3.4 Bentuk Normal Bifurkasi HopfMisalkan diberikan sistem dari
dua persamaan diferensial yang bergantung pada satu parameter :( )(
){2 21 1 2 1 1 22 22 1 2 2 1 2x x x x x xx x x x x x + +
+&& (3.6)sistem ini mempunyi titik ekuilibrium 1 20 x x
untuk setiap dengan matriks Jacobian11A _ ,mempunyai nilai
eigen1,2i t. Denganmenggunakan ariabel kompleks1 2z x ix +! 1 2z x
ix! 22 21 2z zz x x + ariabel ini memenu"i persamaan diferensial:(
) ( ) ( ) ( )2221 2 1 2 1 2 1 2 1x x ix x ix x i ix x x i x z + + +
+ + + Dan sistem (3.6) ini dapat ditulis dalam bentuk kompleks
men#adi:( )2z i z z z + & (3.$)Dengan memisalkan sin ! cos2 1 x
x maka dengan menggunakan representasiie z ! 22 z diperole"
i ie i e z + Dengan mensubstitusi persamaan di atas ke persamaan
(3.$) diperole":
( )( ) i i ii i i ie i e i ee e i e i e22 + + + + %e"ingga
sistem (3.6) dapat ditulis dalam bentuk polar yakni: ( )' 12
(3.&)%istem tersebut memiliki titik ekuilibrium di titik '
untuk setiap nilai dan untuk ' > . (ersaman pertama dan
persamaan ke)dua dari (3.&) merupakan persamaan
yangterpisa".(ersamaan ke)dua menggambarkan rotasi dengan kecepatan
konstan!sedangkan daripersamaan pertama dapat dili"at perilaku
parameter yang berbeda! yaitu:(1) *ntuk ' titik ekuilibrium '
dikatakan stabil tapi tidak linear (nonlinear stable)karena solusi
konergensi ke nol nya tidak lagi eksponensial yang berarti stabil
tapi sangatlampat konergen ke titik ekuilibriumnya. (ada nilai
parameter kritis ' ini! ekuilibriumekuialen secara topologi ke
focus! se"ingga sering #uga disebut sebagai a weakly
attractingfocus.(2) *ntuk ' < titik ekuilibrium stabil linear.
%elain itu! ekuilibriumnya #uga dikatakan stabilfocus.*ntuk ' >
titik ekuilibrium tidak stabil linear. %elain itu! titik
ekuilibrium ini #uga tidakstabil focus. +itik ekuilibrium ini yang
dikelilingi ' > terisolasi pada suatu orbit tertutup(limit
cycle) yang tunggal dan stabil. Cycle ini merupakan suatu lingkaran
yang ber#ari)#ari ) ('. %emua orbit dimulai dari dalam atau luar
cycle dan mengikuti ara" rotasi cycleuntuk. t,ifurkasi ini disebut
sebagai Andronof-Hopf Bifurcation.Di ba-a" ini! diagram bifurkasi
untuk sistem dua) dimensi (3.6) digambarkan dalam .igure3./
berikut.,ifurkasi ini #uga dapat direpresentasikan dalam ruang)( )
! ! y xyang munculnya keluarga) dari limit cycle berupa permukaan
parabola seperti pada .igure 3.6 berikut. %elan#utnya! diberikan
sistem (ersamaan differensial yang berla-anan ara" dengan
sistem(3.6) yaitu:( )( ) '+ + + + + 2221 2 2 1 22221 1 2 1 1x x x x
x xx x x x x x (3.0)sistem ini #uga mempunyi titik ekuilibrium 1 20
x x untuk setiap dengan matriks Jacobian11A _ ,mempunyai nilai
eigen1,2i t. Denganmenggunakan ariabel kompleks1 2z x ix +!1 2z x
ix !22 21 2z zz x x + . Denganmenggunakancarayangsamaseperti
padasistem(3.6)! maka sistem (3.0) ini memiliki bentuk kompleks :(
)2z z z i z + + %e"ingga dengan representasiie z diperole" bentuk
bentuk polar sistem (3.0) yaitu:
( )'+ 12
(3.&1)%istem ini #uga mengalami bifurkasi 2ndrono)3opf pada
. ' ,ertentangan dengansistem (3.6)! pada sistem (3.0) terdapat
limit cycle yang tidak stabil yang meng"ilang ketika mele-ati nol
dari nilai negatie kenilai positif. +itikekuilibriumdi titikasal
mempunyaikestabilan yang sama untuk ' seperti pada sistem (3.6).
+itik ekuilibrium ini stabil untuk' < dan tak stabil untuk '
> . 4estabilannya pada nilai parameter kritis berla-anan
dengansistem (3.6)! yang berarti pada sistem ini tidak stabil pada
' . (er"atikan .igure 3.$ berikut.Dalam ruang)( ) ! ! y x
diperli"atkan pada .igure 3.& berikut.Keterangan:(1) Dari
duasistemdiatas! terdapat duatipebifurkasi 2ndrono)3opf. ,ifurkasi
padasistem(3.6)sering disebut supercritical Hopf Bifurcation karena
limit cycle ada untuk nilai positifdari parameter 5setela"5 ter#adi
bifurkasi. %istem(3.0) disebutsubcritical HopfBifurcation karena
limit cycle ada 6sebelum5 ter#adi bifurkasi.(2) Dalam kedua kasus
ini "ilangnya kestabilan dari titik ekuilibrium pada ' ter#adi
diba-a"peningkatannilai parameter. *ntukkasus pertamayakni
sistem(3.6)! ekuilibriumstabildigantikan ole" limitcycleyang
beramplitudo kecil. 7le" karena itu! sistem tersebut tetapberada di
persekitaran ekuilibrium dan disebut sebagaia soft or
noncatastrophic stabilityloss(ke"ilangan kestabilan secara
perla"an). (ada kasus ke)dua! daera" atraksi
titikekuilibriumterbatas padacycleyang tidak stabil! yang
6menyusut5 ketika parametermendekati nilai kritis dan kemudian
"ilang. Maka! sistemini 6didorong keluar5 daripersekitaran titik
ekuilibrium! dan ini dikatakan sebagaisharpor catastrophic loss
ofstability(ke"ilangan kestabilan secara cepat). Jika
sistemke"ilangan kestabilan secaraperla"an! itudapat
6dikontrol5denganbaik!denganmengambil suatuparameternegatielagi!
maka sistem kembali stabil. %ebaliknya! #ika sistem ke"ilangan
kestabilan dengan sangatcepat!dengankembalimeriset nilaiparameter
negatielagi! belumtentusistem kembalistabil ke titik ekuilibrium
karena bisa #adi sistem tersebut tela" #au" meninggalkan
daera"attraksinya.%elan#utnya! misalkanterdapat
bagian7rderyanglebi"tinggi untuksistem(3.6)danditulis dalam bentuk
ector
( ) ( )821 2221212111x Oxxx xxxxx+
,_
,_
,_
,_
(3.1')dimana( )222122 1! ! x x x x x x
+ dan ( )8x O merupakan bagian smoothly . Lemma 3.2 %istem
(3.1') ekuialen secara topologi lokal disekitar titik asal ke
sistem (3.6).Bukti%istem (3.1') dapat ditulis dalam bentuk ( )( )2
4z i z z z O z + + &(2.1)ekuialen secara topologi lokal
disekitar titik asal ke sistem (3.6) yang ditulis dalam bentuk( )2z
i z z z + &(2.2)!angkah "( 2kan ditun#ukkan eksistensi dan
ketunggalan cycle) . %istem (2.1) ditulis dalambentuk kordinat
polar( ), :( )( )( ){2,1 , ++&&(2.3)dimana ( ) ( )4 3, O O
dan bergantung dari fungsi)fungsi yang tidak
diindikasikanuntukmenyer"anakannotasi. %uatuorbit dari (2.3)
dimulai dari ( ) ( )0, ,0 denganmemenu"i persamaan:( )( ) ( )221,d
d dtd dt dR ++ + (2.8)dimana ( )4RO . (er"atikan ba"-a transisi
dari (2.3) ke (2.8) ekuialen ke parameter -aktuyangbaruyaitu1
yangmengakibatkankembali kesetenga"sumbu0 samauntuksemuaorbit
yangdimulai padasumbuini dengan00 >. 4arena ( );0 0 ! dapat
ditulisekspansi +aylor( )0; !( ) ( ) ( )( )42 31 0 2 0 3 0 0u u u O
+ + +(2./)%ubttitusikan (2./) ke (2.8) dan penyelesaianya
meng"asilkan persamaan diferinsial yangbergantung pada pangkat dari
0 dengan kondisi a-al( ) ( ) ( )1 2 30 1, 0 0 0 u u u diperole" ( )
( ) ( )21 2 31, 0,2eu e u u e (er"atikan ba"-a persamaan diatas
tidak memuat ( ), R . 7le" karena itu! kembali dipetakan( )0 1 02,
amempunyai bentuk ( ) ( )2 2 3 41 0 0 02 e e O O 1 + + ](2.6)untuk
semua( )4RO . (emetaan (2.6) dapat dengan muda" dianalisis untuk 0
dan yangcukup kecil. +erdapat persekitaran dari titik asal yang
pemetaannya "anya mempunyai sebua"titik tetap triial untuk' <
dan suatu titik tetap extra!'' + untuk' > yang cukupkecil(li"at
.igure 3.13).4estabilan darititik tetap #ugamuda" diperole"dari
(2.6).Denganmempertimbangkantitiktetappositif yangberkorespondensi
denganlimit cycledari sistem!disimpulkan ba"-a sistem (2.3) (atau
(2.1) dengan suku lebi" tinggi( )8z Oyang memilikibifurkasi limit
cycle dari titik asalda nada untuk' > seperti dalam sistem
(2.2). 7le" karenaitu! dengan kata lain bagian order lebi" tinggi
tidak mempengaru"i bifurkasi limit cycledalambeberapa persekitaran'
z untuk yang cukup kecil.Langkah 2 (Mengkontruksi
Homoemorfisma)Denganketetapaneksistensi danketunggalanlimit
cyclesuda"cukupuntuksemuaaplikasi.9amundemikian!
ker#aekstra"arusdilakukanuntukmembuktikantopologi
kesetaraanfasepotret. (er"atikan .igure 3.18.+etapkansebagai
bilangan kecil positif.. 4edua sistem (2.1) dan (2.2) memiliki
limitcycle di beberapa persekitaran dari titik asal. 2sumsikan
ba"-a reparameterisasi -aktu se"inggakembali saat
2:konstandilakukandalamsistem(2.1). (;i"at langka"sebelumnya).
Juga!menerapkan skala linier dari koordinat dalam sistem (2.1)
se"ingga titik dari perpotongan dansetenga" sumbu "ori7le" karena
itu! pada 'a ekuilibrium '' memiliki nilai eigen( ) ( )1!2 ' ' 'a i
a tdan bifurkasi 3opf ter#adi. Fkuilibriumnya stabil untuk 'a >
dan tidak stabil untuk 'a