-
Analiza 1 za smer Finančna matematika -
povzetek vsebine
Peter ŠemrlJadranska 21, kabinet
[email protected]
Izpitni režim: Za pozitivno oceno iz vaj je na kolokvijih
potrebno zbrati vsaj50% vseh možnih točk, pri čemer je potrebno
drugi kolokvij pisati vsaj 40%.Študenti, ki imajo pozitivno oceno
iz vaj s kolokviji, se lahko prijavijo na ustniizpit na katerikoli
izpitni rok. Če ustnega izpita ne opravijo, izgubijo
pozitivnooceno iz vaj in morajo ponovno na pisni izpit, da bi
pridobili pravico pristopak ustnemu izpitu.
Izpitni roki so trije, eden v zimskem izpitnem obdobju, eden v
spomladanskemin eden v jesenskem. Kandidati se morajo pravočasno
prijaviti. V 2-4 dneh popisnem izpitu se opravlja ustni izpit. Za
ustni izpit se prijavite po e-pošti. Izpitje celota (pisni in
ustni del izpita je potrebno opraviti v istem roku). Če
študentustnega izpita ne opravi, je potrebno ponovno na pisni
izpit.
Prepisovanja ne bomo tolerirali.Enkrat je možno popravljati
pisno oceno iz kolokvijev tako, da se šteje bolǰsi
rezultat. Pri nadaljnih poizkusih obvelja zadnja ocena pisnega
izpita.
1 Uvod
Pred vami so zapiski, ki vam bodo omogočili lažjo pripravo na
izpit iz Analize1. Te zapiske je mogoče razumeti kot minimalen
katalog znanja, ki ga moraštudent obvladati, da bi opravil izpit.
Nikakor pa niso ti zapiski primerni kotsamostojen učbenik ali celo
kot nadomestilo za predavanja. Definicije in trditveso podane vse
preveč suhoparno z namenom, da bi bili ti zapiski čim
kraǰsi.Ideje niso razložene, dokazi trditev (ali vsaj njihove
skice) niso podani. Pravtako ni zgledov, ki bi utrdili razumevanje.
Študentom priporočam redno obisko-vanje predavanj in vaj, kjer bo
podana snov razložena, precej trditev dokazanih,definicije in
izreki bodo ilustrirani s primeri in protiprimeri, z reševanjem
nalogpa se bo še poglobilo razumevanje snovi.
1
-
2 Številske množice
Množica naravnih števil N = {1, 2, 3, . . .} je zaprta za
seštevanje in množenje.
Princip popolne indukcije: Naj neka trditev T velja za število
1. Naj izveljavnosti trditve T za naravno število n sledi
veljavnost trditve T za naravnoštevilo n+ 1. Potem trditev T velja
za vsa naravna števila.
Naravnih števil ne moremo poljubno odštevati. Da bi odpravili
to pomanj-kljivost, jih vložimo v množico celih števil
Z = {0} ∪ {−1,−2,−3, . . .} ∪ {1, 2, 3, . . .}.
Množica celih števil je zaprta za operacije seštevanja,
odštevanja in množenja.Celih števil pa ne moremo poljubno
deliti.
Množico celih števil vložimo v množico racionalnih števil
Q. To so vsaštevila, ki jih lahko zapǐsemo kot ulomke. Množica
racionalnih števil je zaprtaza vse štiri osnovne računske
operacije (+,−, ·, :) z edino izjemo, da deljenje z0 ni
definirano.
Vsako racionalno število je mogoče zapisati z decimalnim
zapisom. Deci-malni zapis vsakega racionalnega števila je
periodičen (torej neperiodičnih dec-imalnih števil ni v Q).
Trditev 2.1√
2 ni racionalno število.
Množico racionalnih števil vložimo v množico realnih števil
R. Na R imamodefinirani dve računski operaciji: seštevanje in
množenje. Seštevanje je komuta-tivno in asociativno, to je, za
vsako trojico realnih števil x, y, z velja: x+y = y+xin (x + y) +
z = x + (y + z). Število 0 je nevtralni element za seštevanje:
zavsak realen x je x + 0 = x. K vsakemu realnem številu x obstaja
natankoeno nasprotno število −x, to je tako število, da velja x+
(−x) = 0. Iz enakostia+x = a+y sledi x = y (pravilo kraǰsanja).
Odštevanje definiramo s predpisomx− y = x+ (−y).
Množenje je komutativno in asociativno, to je, za vsako trojico
realnih številx, y, z velja: xy = yx in (xy)z = x(yz). Število 1
je enota (nevtralni element)za množenje: za vsak realen x je 1x =
x. K vsakemu realnem številu x 6= 0obstaja natanko eno recipročno
(inverzno) število x−1 = 1x , to je tako število,
da velja x 1x = 1. Če je a 6= 0, potem iz enakosti ax = ay
sledi x = y (pravilokraǰsanja). Deljenje definiramo s predpisom x
: y = x 1y .
Obe računski operaciji veže zakon distributivnosti: za vsako
trojico realnihštevil x, y, z velja x(y+ z) = xy+ xz. Zaradi vseh
naštetih lastnosti je množicarealnih števil z operacijama
seštevanja in množenja obseg.
Realna števila so urejena. Množico realnih števil je mogoče
zapisati kotdisjunktno unijo množice {0}, množice pozitivnih
števil in množice negativnih
2
-
števil. Za vsako neničelno realno število a je natanko eno od
števil a in −a po-zitivno. Množica pozitivnih števil je zaprta
za seštevanje in množenje. Relacija> je definirana s
predpisom: a > b ⇐⇒ a− b je pozitvno število. Definiramoše: a
≥ b ⇐⇒ a > b ali a = b. Relaciji > in ≥ sta tranzitivni: a
> b inb > c⇒ a > c in podobno za ≥. Za poljubna realna
števila a, b, c, d velja:
a > b⇒ a+ c > b+ c,
a > b in c > 0⇒ ac > bc,
a > b in c < 0⇒ ac < bc
ina > b > 0 in c > d > 0⇒ ac > bd.
Realna števila si predstavljamo na številski premici. Ta je
določena, ko si nanjej izberemo točki, ki predstavljata števili
0 in 1. Ponavadi številsko premiconarǐsemo vodoravno in točka 1
leži desno od točke 0. Potem točke desno od 0predstavljajo
pozitivna števila, točke levo od nič pa negativna števila.
Pozitivnoštevilo x je predstavljeno s točko, ki je od točke 0
oddaljena za x.
Absolutna vrednost realnega števila x je definirana s
predpisom
|x| ={
x ; x ≥ 0−x ; x < 0
Absolutna vrednost |x| je oddaljenost točke x na številski
premici od izhodǐsča(izhodǐsče je točka 0). Za vsak par
realnih števil x, y velja
|x+ y| ≤ |x|+ |y|
in|xy| = |x| |y|.
Absolutna vrednost razlike |x − y| je razdalja med točkama x in
y na številskipremici. Za vsako realno število x velja
√x2 = |x|.
Podmnožica A ⊂ R je navzgor omejena, če obstaja tako realno
število M ,da za vsak x ∈ A velja x ≤M . V tem primeru številu M
rečemo zgornja mejamnožice A.
Naj bo množica A ⊂ R navzgor omejena. Potem je število M ∈ R
natančnazgornja množice A, če
• za vsak x ∈ A velja x ≤M , in
• za vsako pozitivno število ε obstaja tak y ∈ A, da je y >
M − ε.
3
-
Natančni zgornji meji množice A rečemo tudi najmanǰsa
zgornja meja množice Aali supremum množice A. Oznaka: supA. Če
velja supA ∈ A, potem natančnizgornji meji množice A rečemo
maksimum množice A. Oznaka: maxA.
Podobno definiramo navzdol omejenost, spodnjo mejo, natančno
spodnjomejo ali največjo spodnjo mejo ali infimum množice, in
minimum množice.
Množica A ⊂ R je omejena, če je navzgor in navzdol
omejena.Množica relanih števil je polna. To pomeni, da ima vsaka
neprazna navzgor
omejena podmnožica realnih števil natančno zgornjo mejo.
Realna števila imajoArhimedsko lastnost: za vsako realno število
x obstaja tako naravno število n,da je n > x (za vsako
pozitivno realno število x obstaja tako naravno število n,da je
1n < x).
3 Realna zaporedja
Definicija 3.1 Realno zaporedje je preslikava iz množice
naravnih števil v množicorealnih števil.
Naj bo f : N→ R zaporedje. Realno število an = f(n) imenujemo
n-ti členzaporedja, zaporedje pa ponavadi označimo s simbolom
(an)
∞n=1 (ali kraǰse:
(an) ). Zaporedja običajno podamo na enega od sledečih
načinov:
• zapǐsemo prvih nekaj členov, iz katerih je mogoče uganiti
vse naslednje(Zgled: 1, 2, 4, 8, 16, ...),
• podamo formulo za izračun n-tega člena (Zgled: an =
2n−1),
• rekurzivno (Zgled: a1 = 1, an+1 = 2an). Poleg enočlenih
rekurzij imamoše veččlene rekurzije.
Naj bo M realno število. Zaporedje (an) ima zgornjo mejo M ,
če za vsakonaravno število n velja an ≤M . Zaporedje je navzgor
omejeno, če ima zgornjomejo. Tedaj natančno zgornjo mejo ali
supremum zaporedja (an) označimo ssup an. Natančno spodnjo mejo
navzdol omejenega zaporedja označimo z inf an.Zaporedje je
omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno.
Zaporedje (an) je monotono naraščajoče, če za vsako naravno
število n veljaan+1 ≥ an. Zaporedje (an) je strogo monotono
naraščajoče, če za vsako naravnoštevilo n velja an+1 > an.
Podobno definiramo padajoča in strogo padajočazaporedja.
Zaporedje je monotono, če je monotono naraščajoče ali
monotonopadajoče.
Naj bo a realno število in ε pozitivno realno število.
Odprtemu intervalu(a− ε, a+ ε) rečemo ε-okolica točke a.
Definicija 3.2 Število s je stekalǐsče zaporedja (an), če za
vsako pozitivnoštevilo ε okolica (s− ε, s+ ε) vsebuje neskončno
členov zaporedja.
4
-
Definicija 3.3 Število L je limita zaporedja (an), če za vsak
ε > 0 obstaja takonaravno število n0, da iz n ∈ N in n ≥ n0
sledi |an − L| < ε.
Oznaka:L = lim
n→∞an.
Pogosto zapǐsemo kraǰse: L = lim an.Torej je L limita
zaporedja (an) natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 zunaj
ε-okolice L leži kvečjemu končno mnogo členov zaporedja
(an).Če ima zaporedje (an) limito, mu rečemo konvergentno
zaporedje. Sicer je
divergentno zaporedje.
Izrek 3.4 Vsako konvergentno zaporedje je omejeno.
Izrek 3.5 Konvergentno zaporedje ima eno samo limito.
Izrek 3.6 Vsako omejeno zaporedje ima stekalǐsče.
Izrek 3.7 Naj bo zaporedje (an) monotono naraščajoče in
omejeno. Potem jekonvergentno in velja
lim an = sup an.
Naj bo (an) zaporedje realnih števil in (kn) strogo
naraščajoče zaporedjenaravnih števil, 1 ≤ k1 < k2 < k3
< . . . Potem zaporedje (akn) imenujemopodzaporedje zaporedja
(an).
Izrek 3.8 Realno število s je stekalǐsče zaporedja (an)
natanko tedaj, ko obstajapodzaporedje zaporedja (an), ki konvergira
k s.
Naj bosta (an) in (bn) konvergentni zaporedji in c realno
število. Potem
• je tudi (an + bn) konvergentno zaporedje in velja
lim(an + bn) = lim an + lim bn,
• je tudi (an · bn) konvergentno zaporedje in velja
lim(anbn) = lim an · lim bn,
• je tudi (can) konvergentno zaporedje in velja
lim(can) = c lim an.
• Naj bo še lim bn 6= 0. Potem je tudi (an/bn) konvergentno
zaporedje invelja
limanbn
=lim anlim bn
.
5
-
Velja:
lim cn =
0 ; −1 < c < 11 ; c = 1ne obstaja ; sicer
in
lim
(1 +
1
n
)n= lim
(1− 1
n
)−n= e.
4 Zaporedja v Rm in kompaktnost
Naj bosta x in y dve točki v Rm, x = (x1, . . . , xm) in y =
(y1, . . . , ym). Razdaljomed njima definiramo s predpisom
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + . . .+ (xm − ym)2.
Za poljubno točko x ∈ Rm in poljubno pozitivno število ε
definiramo ε-okolicotočke x kot množico vseh točk, ki so od x
oddaljene manj kot ε. Torej, čeε-okolico točke x (rečemo ji tudi
odprta krogla s polmerom ε in sredǐsčem x)označimo s K(x, ε),
potem
K(x, ε) = {y ∈ Rm : d(x, y) < ε}.
Naj bo A ⊂ Rm. Točko x ∈ Rm imenujemo
• notranja točka množice A, če obstaja tak ε > 0, da je
K(x, ε) ⊂ A,
• zunanja točka množice A, če obstaja tak ε > 0, da je
K(x, ε) ∩ A praznamnožica,
• robna točka množice A, če za vsak ε > 0 odprta krogla
K(x, ε) sekamnožico A in tudi njen komplement.
Množica A ⊂ Rm je odprta, če je vsak x ∈ A notranja točka
množice A.Množica A ⊂ Rm je zaprta, če vsebuje vse svoje robne
točke. Lahko je preveriti,da je množica zaprta natanko tedaj, ko
je njen komplement odprt.
Množica A ⊂ Rm je omejena, če obstaja tako realno število M ,
da jed(x, 0) ≤ M za vsak x ∈ A. Tu smo z 0 = (0, 0, . . . , 0)
označili izhodǐsčekoordinatnega sistema v Rm.
Naj bo (xn) zaporedje1 v Rm. Točka s ∈ Rm je stekalǐsče
zaporedja (xn), če
vsaka ε-okolica točke s, ε > 0, vsebuje neskončno mnogo
členov tega zaporedja.Točka L ∈ Rm je limita zaporedja (xn), če
je zunaj vsake ε-okolice točke L,ε > 0, kvečjemu končno mnogo
členov tega zaporedja. Če ima zaporedje (xn)
1Tu imamo opravka z nekoliko nerodnimi oznakami; zgoraj smo z x
in y označili točke vm-razsežnem prostoru, z x1, y1, . . . , xm,
ym pa njihove koordinate, medtem, ko je tu xn (n-tičlen zaporedja)
točka v m-razsežnem prostoru - vedno bo iz konteksta jasno ali xk
označujetočko v večrazsežnem prostoru, ali pa k-to koordinato
točke x.
6
-
limito L, pǐsemo limxn = L, in rečemo, da je zaporedje
konvergentno. Sicer jedivergentno.
Zaporedje v Rm je konvergentno natanko tedaj, ko je konvergentno
po kom-ponentah. Tako je zaporedje (an) ∈ R2, an = (xn, yn),
konvergentno natankotedaj, ko sta konvergentni številski zaporedji
(xn) in (yn) in tedaj velja
lim an = lim(xn, yn) = (limxn, lim yn).
Zaporedje (an) ∈ R3, an = (xn, yn, zn), je konvergentno natanko
tedaj, ko sokonvergentna številska zaporedja (xn), (yn) in (zn) in
tedaj velja
lim an = lim(xn, yn, zn) = (limxn, lim yn, lim zn).
Izrek 4.1 Podmnožica A ⊂ Rm je zaprta natanko tedaj, ko za
vsako zaporedje(xn) ⊂ A in za vsako njegovo stekalǐsče s velja s
∈ A.
Definicija 4.2 Podmnožica K ⊂ Rm je kompaktna, če ima vsako
zaporedje(xn) ⊂ K vsaj eno stekalǐsče, ki je vsebovano v K.
Izrek 4.3 Podmnožica K ⊂ Rm je kompaktna natanko tedaj, ko je
zaprta inomejena.
5 Limita funkcije in zveznost
Naj bo A podmnožica Rn. Funkcija n spremenljivk z definicijskim
območjem Aje predpis, ki vsaki točki iz množice A priredi
natanko določeno realno število.Oznaka: f : A → R. Točki x =
(x1, x2, . . . , xn) prirejeno realno številooznačimo f(x) =
f(x1, x2, . . . , xn).
Odprte podmnožice D ⊂ Rn bomo imenovali območja. Če k
območju do-damo vse njegove robne točke, dobimo zaprto območje.
Definicijska območjafunkcij n spremenljivk, s katerimi se bomo
ukvarjali, bodo ponavadi območja alipa zaprta območja (včasih pa
tudi območje, ki smo mu dodali kakšno podmnožiconjegovih robnih
točk).
Naj bo D ⊂ Rn in f : D → R funkcija n spremenljivk definirana na
D. Graffunkcije f je podmnožica Rn+1 definirana s predpisom
G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ D}.
Če je n = 1 in je funkcija f dovolj pohlevna, je njen graf
krivulja v ravnini.Če je n = 2 in je funkcija f dovolj pohlevna,
je njen graf ploskev v običajnemtrorazsežnem prostoru.
Ponovi sledeče pojme: monotono naraščajoča funkcija, strogo
naraščajoča funkcija,padajoče funkcije, monotone funkcije, sode
in lihe funkcije.
7
-
Definicija 5.1 Naj bo funkcija f definirana na nekem območju D
⊂ Rn, točkax0 ∈ Rn pa naj bo notranja ali robna točka območja D.
Funkcija f ima v točkix0 limito L ∈ R (rečemo tudi, da ima f
limito L, ko gre x proti x0), če zavsako pozitivno število ε
obstaja tako pozitivno število δ, da iz x ∈ D \ {x0} ind(x, x0)
< δ sledi |f(x)− L| < ε. V tem primeru zapǐsemo
limx→x0
f(x) = L.
Posebej, če je f funkcija ene spremenljivke definirana na
odprtem intervalu I,razen morda v točki x0 iz tega intervala,
potem ima f limito L, ko gre x protix0, natanko tedaj, ko za vsako
pozitivno število ε obstaja tako pozitivno številoδ, da iz x ∈ I
\{x0} in |x−x0| < δ sledi |f(x)−L| < ε. Nadalje, funkcija f
imalevo limito L v točki x0 natanko tedaj, ko za vsako pozitivno
število ε obstajatako pozitivno število δ, da iz x ∈ I, x < x0
in |x− x0| < δ sledi |f(x)−L| < ε.Tedaj pǐsemo
L = f(x0 − 0) = limx↑x0
f(x) = limx→x0−
f(x).
Podobno definiramo desno limito v x0. Oznaka: f(x0 + 0) =
limx↓x0 f(x) =limx→x0+ f(x)
Izrek 5.2 Naj bo realna funkcija f ene spremenljivke definirana
na neki okolicitočke x0 ∈ R, razen morda v točki x0. Potem ima
funkcija f limito, ko gre xproti x0, natanko tedaj, ko ima v točki
x0 levo limito in desno limito in sta tidve limiti enaki. Tedaj
velja
limx→x0
f(x) = limx↑x0
f(x) = limx↓x0
f(x).
Izrek 5.3
limx→0
sinx
x= 1.
Izrek 5.4 Naj bosta funkciji f in g definirani na nekem območju
D ⊂ Rn, točkax0 ∈ Rm pa naj bo notranja ali robna točka območja
D. Denimo, da obstajatalimiti funkcij f in g, ko gre x proti x0.
Naj bo c poljubno realno število. Potem
• obstaja tudi limita funkcije f + g, ko gre x proti x0, in
velja
limx→x0
(f + g)(x) = limx→x0
f(x) + limx→x0
g(x),
• obstaja tudi limita funkcije f · g, ko gre x proti x0, in
velja
limx→x0
(fg)(x) = limx→x0
f(x) · limx→x0
g(x),
• obstaja tudi limita funkcije cf , ko gre x proti x0, in
velja
limx→x0
(cf)(x) = c limx→x0
f(x).
8
-
• Naj bo še limx→x0 g(x) 6= 0. Potem obstaja tudi limita
funkcijefg , ko gre
x proti x0, in velja
limx→x0
f(x)
g(x)=
limx→x0 f(x)
limx→x0 g(x).
Definicija 5.5 Naj bo f funkcija definirana na poltraku (a,∞),
torej f : (a,∞)→R. Funkcija f ima limito L, ko gre x proti
neskončno, če za vsako pozitivnoštevilo ε obstaja tako število
A ≥ a, da iz x > A sledi |f(x) − L| < ε. V temprimeru
zapǐsemo:
limx→∞
f(x) = L.
Podobno definiramo limito funkcije, ko gre x proti minus
neskončno.
Definicija 5.6 Naj bo f funkcija definirana na intervalu (a, b)
razen v nekitočki x0 iz tega intervala. Funkcija f ima limito ∞,
ko gre x proti x0, če zavsako število A obstaja tako pozitivno
število δ, da iz x ∈ (a, b), x 6= x0 in|x− x0| < δ sledi f(x)
> A. V tem primeru zapǐsemo:
limx→x0
f(x) =∞.
Definicija 5.7 Naj bo f funkcija definirana na intervalu (a,
x0). Funkcija fima levo limito neskončno, ko gre x proti x0, če
za vsako število A obstaja takopozitivno število δ, da iz a <
x < x0 in x0 − x < δ sledi f(x) > A. V temprimeru
zapǐsemo:
limx↑x0
f(x) =∞.
Podobno definiramo limite:
limx→x0
f(x) = −∞, limx↑x0
f(x) = −∞, limx↓x0
f(x) =∞ in limx↓x0
f(x) = −∞.
Definicija 5.8 Naj bo D odprto ali zaprto območje v Rn in naj
bo x0 ∈ D.Funkcija f naj bo definirana na območju D, f : D → R.
Funkcija f je zveznav točki x0, če za vsako pozitivno število ε
obstaja tak δ > 0, da iz x ∈ D ind(x, x0) < δ sledi |f(x)−
f(x0)| < ε.
Definicija 5.9 Funkcija f : D → R je zvezna na območju D, če
je zvezna vvsaki točki tega območja.
Izrek 5.10 Funkcija f : D → R je v točki x0 ∈ D zvezna natanko
tedaj, koobstaja limx→x0 f(x) in velja
limx→x0
f(x) = f(x0).
9
-
Izrek 5.11 Naj bosta f, g : D → R zvezni funkciji na območju D,
c pa poljubnarealna konstanta. Potem so tudi funkcije f + g, cf in
fg zvezne na D, funkcijafg pa je zvezna povsod na D, kjer je
definirana (natanko v tistih točkah x iz
območja D, za katere velja g(x) 6= 0).
Izrek 5.12 Naj bo D območje v Rn in I interval na številski
premici. Naj bostaf : D → R in g : I → R funkciji in naj bo x0 ∈ D
in f(D) ⊂ I. Privzemimo,da je f zvezna v x0 in g zvezna v f(x0).
Potem je kompozitum g ◦ f : D → Rzvezen v x0.
Izrek 5.13 Naj bo D odprto ali zaprto območje v Rn in naj bo x0
∈ D. Funkcijaf : D → R je zvezna v točki x0 natanko tedaj, ko za
vsako zaporedje (xm) ⊂ Dz lastnostjo limxm = x0 velja
limm→∞
f(xm) = f(x0).
Naj bo K ⊂ Rn in f funkcija definirana na K, f : K → R. Potem
rečemo,da je f omejena na K, če obstaja tako število M , da za
vsak x ∈ K velja|f(x)| ≤M .
Izrek 5.14 Naj bo K ⊂ Rn kompaktna množica in f : K → R zvezna
funkcija.Potem je f omejena in obstajata taka x1, x2 ∈ K, da
velja
f(x1) = supx∈K
f(x) in f(x2) = infx∈K
f(x).
Ta izrek na kratko povzamemo takole: vsaka zvezna funkcija na
kompak-tni množici je omejena in doseže svoj maksimum in minimum.
Seveda v temprimeru pǐsemo:
f(x1) = supx∈K
f(x) = maxx∈K
f(x) in f(x2) = infx∈K
f(x) = minx∈K
f(x).
Izrek 5.15 Naj bosta a in b realni števili, a < b, in naj bo
f : [a, b] → Rzvezna funkcija. Označimo m = minx∈[a,b] f(x) in M =
maxx∈[a,b] f(x). Naj bom ≤ y ≤M . Potem obstaja tak x ∈ [a, b], da
velja
f(x) = y.
Ta izrek na kratko povzamemo takole: vsaka zvezna funkcija na
zaprtemintervalu je omejena in doseže svoj minimum in maksimum ter
vse vrednostivmes.
Izrek 5.16 Naj bo f : [a, b]→ R strogo monotono naraščajoča
zvezna funkcija.Potem je f bijekcija intervala [a, b] na interval
[f(a), f(b)]. Inverzna funkcijaf−1 : [f(a), f(b)]→ [a, b] je tudi
strogo monotona naraščajoča in zvezna.
Elementarne funkcije (polinomi, racionalne funkcije, potence,
eksponentnafunkcija in logaritem, kotne funkcije in njihovi
inverzi, ter vse funkcije, ki jihiz naštetih dobimo s
seštevanjem, množenjem, deljenjem ali komponiranjem)
sozvezne.
10
-
6 Odvod
Definicija 6.1 Naj bo funkcija f definirana na intervalu I in
naj bo x0 notranjatočka tega intervala. Če obstaja
limh→0
f(x0 + h)− f(x0)h
,
potem rečemo, da je funkcija f v točki x0 odvedljiva, to
limito pa imenujemoodvod funkcije f v točki x0. Oznaka:
f ′(x0) = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)h
Geometrijsko odvod pomeni smerni koeficient tangente na graf
funkcije f v točki(x0, f(x0)).
Naj se točkasto telo giblje po številski premici. Njegov
položaj na številskipremici v času t označimo s s(t). Če je
funkcija s(t) v t0 odvedljiva, potem jes′(t0) trenutna hitrost
točkastega telesa v času t0.
Izrek 6.2 Če je funkcija f v točki x0 odvedljiva, potem je f v
x0 zvezna.
Funkcija f definirana na odprtem intervalu I je na I odvedljiva,
če je odvedljivav vsaki točki tega intervala. V tem primeru je f
′ funkcija definirana na intervaluI. Če je tudi f ′ : I → R
odvedljiva funkcija, potem jo lahko odvajamo. Dobimodrugi odvod, ki
ga označimo f ′′. Podobno definiramo f ′′′,... Oznaka za n-tiodvod
je f (n). Če za vsak x ∈ I obstaja f (n)(x), potem rečemo, da je
funkcija fn-krat odvedljiva. Če je še f (n) zvezna funkcija,
potem rečemo, da je f n-kratzvezno odvedljiva.
Odvod konstantne funkcije je enak nič.
Izrek 6.3 Naj bosta f in g odvedljivi funkciji na nekem odprtem
intervalu, cpa poljubna realna konstanta. Potem je
• tudi f + g odvedljiva funkcija na tem imtervalu in velja (f +
g)′ = f ′+ g′,
• tudi fg odvedljiva funkcija na tem imtervalu in velja (fg)′ =
f ′g + fg′,
• tudi cf odvedljiva funkcija na tem imtervalu in velja (cf)′ =
cf ′,
• tudi fg odvedljiva funkcija povsod tam, kjer je definirana
(povsod na temintervalu, razen v ničlah funkcije g) in velja(
f
g
)′=f ′g − fg′
g2.
11
-
Pravilo za odvod produkta lahko razširimo na več faktorjev. Za
tri odvedljivefunkcije velja
(fgh)′ = f ′gh+ fg′h+ fgh′
in to pravilo lahko z indukcijo posplošimo na poljubno število
faktorjev.
Izrek 6.4 Naj bo funkcija g odvedljiva na intervalu I, funkcija
f pa naj boodvedljiva na intervalu, ki vsebuje zalogo vrednosti
funkcije g. Potem je tudikompozitum F (x) = f(g(x)) odvedljiv na
intervalu I in velja
F ′(x) = f ′(g(x)) g′(x).
Izrek 6.5 Odvod inverzne funkcije je recipročna vrednost odvoda
prvotne funkcije.
Diferencial funkcije f je enak produktu odvoda funkcije in
diferenciala neod-visne spremenljivke:
df = f ′(x)dx.
Za približno računanje funkcijske vrednosti odvedljive
funkcije f v točki x+dx,kjer je dx majhen, lahko uporabimo
formulo:
f(x+ dx) ≈ f(x) + f ′(x)dx.
Tabela odvodov elementarnih funkcij:
• (ax)′ = ax lnx,
• (ex)′ = ex,
• (loga x)′ = 1x ln a ,
• (lnx)′ = 1x ,
• (xr)′ = rxr−1,
• (sinx)′ = cosx,
• (cosx)′ = − sinx,
• (tanx)′ = 1cos2 x ,
• (cotx)′ = − 1sin2 x
,
• (arcsinx)′ = 1√1−x2 ,
• (arccosx)′ = − 1√1−x2 ,
• (arctanx)′ = 11+x2 ,
• (arccotx)′ = − 11+x2 .
12
-
Naj bo funkcija f definirana na intervalu I in naj bo x0 ∈ I.
Funkcija f imav točki x0 lokalni maksimum, če obstaja tako
pozitivno število δ, da za vsakx ∈ I iz |x − x0| < δ sledi f(x)
≤ f(x0). Funkcija f ima v točki x0 lokalniminimum, če obstaja
tako pozitivno število δ, da za vsak x ∈ I iz |x− x0| < δsledi
f(x) ≥ f(x0). Funkcija f ima v točki x0 lokalni ekstrem, če ima v
x0lokalni maksimum ali lokalni minimum.
Izrek 6.6 Funkcija f naj bo definirana na neki okolici točke x0
in naj bo tamodvedljiva. Denimo, da ima f pri x0 lokalni ekstrem.
Potem je
f ′(x0) = 0.
Izreka, ki sledita, se imenujeta Rolleov in Lagrangeov
izrek.
Izrek 6.7 Naj bo f : [a, b] → R zvezna funkcija. Naj bo f na (a,
b) odvedljivain naj velja f(a) = f(b). Potem obstaja tak x0 ∈ (a,
b), da je f ′(x0) = 0.
Izrek 6.8 Naj bo f : [a, b] → R zvezna funkcija. Naj bo f na (a,
b) odvedljiva.Potem obstaja tak x0 ∈ (a, b), da je
f ′(x0) =f(b)− f(a)
b− a.
Posledica 6.9 Naj bo f : [a, b]→ R zvezna funkcija, ki je
odvedljiva na odprtemintervalu (a, b). Če je
• f ′(x) = 0 za vsak x ∈ (a, b), potem je f na intervalu [a, b]
konstantnafunkcija,
• f ′(x) > 0 za vsak x ∈ (a, b), potem je f na intervalu [a,
b] strogo naraščajočafunkcija,
• f ′(x) < 0 za vsak x ∈ (a, b), potem je f na intervalu [a,
b] strogo padajočafunkcija.
Naj bo f : [a, b] → R zvezna funkcija in naj bo odvedljiva na
odprtemintervalu (a, b). Potem vemo, da je omejena in da doseže
maksimum in mini-mum. Za točko x0 ∈ (a, b) rečemo, da je
stacionarna točka funkcije f , če veljaf ′(x0) = 0. Funkcija f
doseže maksimum v kakšni od stacionarnih točk ali vkrajǐsču
intervala [a, b]. Isto velja za minimum.
Izrek 6.10 Naj bo f na neki okolici točke x0 dvakrat zvezno
odvedljiva in naj box0 stacionarna točka. Če je f
′′(x0) > 0, potem ima f pri x0 lokalni minimum.Če je f
′′(x0) < 0, potem ima f pri x0 lokalni maksimum.
Naj bo funkcija f odvedljiva na neki okolici stacionarne točke
x0. Če je
13
-
• f ′(x0−h) > 0 in f ′(x0 +h) < 0 za vsak dovolj majhen
pozitiven h, potemima f v x0 lokalni maksimum,
• f ′(x0−h) < 0 in f ′(x0 +h) > 0 za vsak dovolj majhen
pozitiven h, potemima f v x0 lokalni minimum,
• f ′(x0−h) > 0 in f ′(x0 +h) > 0 za vsak dovolj majhen
pozitiven h, potemf v x0 nima lokalnega ekstrema,
• f ′(x0−h) < 0 in f ′(x0 +h) < 0 za vsak dovolj majhen
pozitiven h, potemf v x0 nima lokalnega ekstrema.
Naj bo funkcija f na odprtem intervalu I dvakrat zvezno
odvedljiva. Najbo f ′′(x) > 0 za vsak x ∈ I. Potem je f na I
konveksna, to je, tangenta na graffunkcije f v katerikoli točki
tega intervala leži pod grafom funkcije f . Naj bof ′′(x) < 0
za vsak x ∈ I. Potem je f na I konkavna, to je, tangenta na
graffunkcije f v katerikoli točki tega intervala leži nad grafom
funkcije f .
Naslednja dva izreka (L’Hospitalova izreka) sta uporabna pri
računanju limit.
Izrek 6.11 Naj bosta funkciji u(x) in v(x) odvedljivi v okolici
točke a in naj bou(a) = v(a) = 0. Naj velja še v(x) 6= 0 in v′(x)
6= 0 za vse x 6= a iz te okolicetočke a. Če obstaja
limx→a
u′(x)
v′(x),
potem obstaja tudi limx→au(x)v(x) in velja
limx→a
u(x)
v(x)= limx→a
u′(x)
v′(x).
Izrek 6.12 Naj bo I odprt interval in a ∈ I. Funkciji u in v naj
bosta odvedljivina I \ {a}. Naj velja
limx→a
u(x) = limx→a
v(x) = ±∞.
Če obstaja končna ali neskončna limita
limx→a
u′(x)
v′(x),
potem obstaja tudi limx→au(x)v(x) in velja
limx→a
u(x)
v(x)= limx→a
u′(x)
v′(x).
Podobna izreka veljata tudi v primeru, ko pogoj x → a
nadomestimo spogojem x→∞ ali x→ −∞.
14
-
7 Taylorjeva formula
Dogovorimo se, da je 0! = 1 in f (0)(x) = f(x).
Izrek 7.1 Naj bo funkcija f (n+1)-krat zvezno odvedljiva na neki
okolici točkea. Potem za vsak x iz te okolice velja
f(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f′′(a)
2!(x−a)2+f
′′′(a)
3!(x−a)3+. . .+f
(n)(a)
n!(x−a)n+Rn(x) =
=
n∑k=0
f (k)(a)
k!(x− a)k +Rn(x),
pri čemer je
Rn(x) =f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!(x− a)n+1
za neko število ξ, ki leži med a in x.
Zgledi: Za vsak realen x in vsako naravno število n velja:
ex = 1 + x+x2
2!+ . . .+
xn
n!+
eξ
(n+ 1)!xn+1,
kjer je ξ neko število med 0 in x,
sinx = x− x3
3!+x5
5!− . . .+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!+R2n+2(x),
cosx = 1− x2
2!+x4
4!− . . .+ (−1)n x
2n
(2n)!+R2n+1(x).
8 Nedoločeni integral
Definicija 8.1 Naj bo funkcija f(x) definirana na nekem
intervalu I. Vsakofunkcijo F (x), definirano na I, za katero velja
F ′(x) = f(x) za vsak x ∈ I,imenujemo primitivna funkcija funkcije
f(x).
Izrek 8.2 Če je F (x) primitivna funkcija funkcije f(x), potem
je za vsakorealno število C tudi funkcija F (x) + C primitivna
funkcija funkcije f(x) inmnožica vseh takih funkcij je ravno
množica vseh primitivnih funkcij funkcijef(x).
Tedaj zapǐsemo ∫f(x)dx = F (x) + C
15
-
in preberemo: F (x) je nedoločeni integral funkcije f(x).
Funkciji f(x) pa rečemointegrand.
Iz tabele elementarnih odvodov takoj dobimo osnovno tabelo
nedoločenihintegralov:
•∫xndx = x
n+1
n+1 + C, n 6= −1,
•∫dxx = ln |x|+ C,
•∫axdx = a
x
ln a + C,
•∫exdx = ex + C,
•∫
sinxdx = − cosx+ C,
•∫
cosxdx = sinx+ C,
•∫
dxcos2 x = tanx+ C,
•∫
dxsin2 x
= − cotx+ C,
•∫
dx1+x2 = arctanx+ C,
•∫
dx√1−x2 = arcsinx+ C,
•∫
dx√x2+a
= ln(x+√x2 + a) + C.
Če obstajata nedoločena integrala funkcij f in g, in je c
realno število, potemobstajata tudi nedoločena integrala funkcij
f + g in cf in velja∫
(f(x) + g(x))dx =
∫f(x)dx+
∫g(x)dx
in ∫cf(x)dx = c
∫f(x)dx.
Če obstaja nedoločeni integral funkcije f(x) in je x = x(t)
odvedljiva funkcija,potem velja ∫
f(x)dx =
∫f(x(t))x′(t)dt.
Kadar uporabimo to formulo, rečemo, da smo reševali integral z
uvedbo novespremenljivke.
Pri integraciji uporabljamo še metodo integracije po delih (per
partes). Den-imo, da sta f(x) in g(x) odvedljivi funkciji in da
obstaja eden od integralov∫f(x)g′(x)dx ali
∫f ′(x)g(x)dx. Potem obstaja tudi drugi in velja∫f(x)g′(x)dx =
f(x)g(x)−
∫f ′(x)g(x)dx.
16
-
Z vpeljavo oznak u = f(x) in v = g(x) to pravilo kraǰse
zapǐsemo∫udv = uv −
∫vdu.
9 Osnovno o diferencialnih enačbah
Diferencialna enačba je enačba, v kateri nastopajo neodvisna
spremenljivka,neznana funkcija y in njeni odvodi y′, y′′, . . . ,
y(n):
F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0.
Rešiti enačbo pomeni poiskati vse tiste n-krat odvedljive
funkcije y = y(x), kitej enačbi zadoščajo. Diferencialno enačbo
imenujemo navadna diferencialnaenačba, če je neznana funkcija, ki
v njej nastopa, funkcija ene spremenljivke.Red enačbe je n, če je
n-ti odvod najvǐsji odvod neznane funkcije, ki nastopi venačbi.
Tako je
yy′ = x2
navadna diferencialna enačba prvega reda,
y′′′ − 3y′′ + 2y = cosx
pa je zgled navadne diferencialne enačbe tretjega reda.
Parcialne diferencialneenačbe so enačbe, v katerih je neznana
funkcija odvisna od več spremenljivk.Tedaj v enačbi poleg te
funkcije in neodvisnih spremenljivk nastopajo njeniparcialni
odvodi.
Rešimo dva preprosta zgleda. Enačba
y′ = x
ima očitno rešitev y = x2
2 + C, medtem, ko rešitev enačbe y′′ = ex dobimo z
dvakratnim integriranjem:y′ = ex +A,
y = ex +Ax+B.
V prvem primeru imamo opravka z navadno diferencialno enačbo
prvega reda inmnožica vseh rešitev je enoparametrična družina
funkcij. V drugem primeru paimamo opravka z navadno diferencialno
enačbo drugega reda in množica vsehrešitev je dvoparametrična
družina funkcij. Pogosto se zgodi, da ima navadnadiferencialna
enačba n-tega reda za rešitev n-parametrično družino
funkcij.
Naj bo f(x, y) zvezna funkcija definirana na območju D ⊂ R2.
Če skozipoljubno točko (x, y) območja D narǐsemo kratko daljico
s smernim koeficientomf(x, y), potem bo rešitev y = y(x)
diferencialne enačbe
y′ = f(x, y),
17
-
ki poteka skozi točko (x, y), v tej točki imela tangento
določeno z daljico, kismo jo narisali v tej točki. Če območje D
na gosto posejemo s točkami, inv teh točkah postavimo kratke
daljice, kot je opisano zgoraj, dobimo grafičnopredstavitev polja
smeri in je potem mogoče grafično uganiti približen
potekrešitve y = y(x), ki poteka skozi izbrano točko.
Pogosto ima diferencialna enačba y′ = f(x, y) enoparametrično
družinorešitev. Če si izberemo točko (x0, y0) ∈ D in ǐsčemo
rešitev enačbe y′ = f(x, y),ki zadošča pogoju y(x0) = y0
(ǐsčemo tisto rešitev, katere graf poteka skozitočko (x0, y0)),
potem ima ta naloga pri dokaj milih dodatnih pogojih natankoeno
rešitev. To nalogo imenujemo Cauchyjeva naloga, pogoju y(x0) = y0
papravimo začetni pogoj.
Poglejmo si še tri najbolj preproste tipe navadnih
diferencialnih enačb prvegareda. Rešiti enačbo
y′(x) = f(x)
pomeni poiskati nedoločeni integral funkcije f . Enačbo z
ločljivima spremenljivkama
y′ = f(x)g(y)
rešimo z ločitvijo spremenljivk:
dy
dx= f(x)g(y)
dy
g(y)= f(x)dx,
nato pa obe strani tako dobljene enačbe integriramo.Navadna
linearna diferencialna enačba prvega reda je enačba oblike
y′ + f(x)y = g(x), (1)
kjer sta f(x) in g(x) dani zvezni funkciji.Najprej rešimo
ustrezno homogeno enačbo
y′ + f(x)y = 0.
Hitro se vidi, da je to enačba z ločljivima spremenljivkama.
Rešitev je enopara-metrična družina funkcij oblike
y(x) = Au(x)
za neko funkcijo u(x). Če poznamo zgolj eno funkcijo yp(x), ki
zadošča enačbi(1) (taki funkciji rečemo partikularna rešitev
enačbe), potem je splošna rešitevenačbe (1) enoparametrična
družina funkcij
y(x) = yp(x) +Au(x).
Včasih nam uspe partikularno rešitev kar uganiti, lahko pa jo
ǐsčemo z nas-tavkom y(x) = A(x)u(x). V tem primeru rečemo, da
smo partikularno rešitevpoiskali z metodo variacije konstante.
18
-
10 Funkcije več spremenljivk
Naj bo z = f(x, y) funkcija dveh spremenljivk definirana na
ravninskem območjuD in naj točka (a, b) leži v tem območju, (a,
b) ∈ D.
Definicija 10.1 Če obstaja limita
limh→0
f(a+ h, b)− f(a, b)h
,
rečemo, da je funkcija f v točki (a, b) parcialno odvedljiva
po x, to limito paimenujemo parcialni odvod funkcije f(x, y) po
spremenljivki x v točki (a, b).Oznaka:
∂z
∂x(a.b) =
∂f
∂x(a.b) = fx(a, b) = lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)h
.
Podobno definiramo parcialni odvod funkcije f po spremenljivki
y:
∂f
∂y(a.b) = fy(a, b) = lim
k→0
f(a, b+ k)− f(a, b)k
.
Funkcija f(x, y) je v točki (a, b) parcialno odvedljiva, če je
f v (a, b) parcialnoodvedljiva po x in po y. Funkcija f je na D
parcialno odvedljiva, če je parcialnoodvedljiva v vseh točkah
tega območja. Če sta tudi parcialna odvoda zveznifunkciji na
območju D, potem rečemo, da je f na D zvezno parcialno
odvedljiva.
Funkcija f(x, y) je v točki (a, b) diferenciabilna, če
obstajata taki števili Ain B, da je mogoče funkcijsko vrednost
f(a+ h, b+ k) zelo dobro aproksimiratiz vsoto f(a, b) + Ah + Bk. V
tem primeru izraz Ah + Bk imenujemo popolnidiferencial. Podajmo
sedaj natančno definicijo diferenciabilnosti.
Definicija 10.2 Funkcija f(x, y) je v točki (a, b)
diferenciabilna, če obstajatataki števili A in B, da je
lim(h,k)→(0,0)
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−Ah−Bk√h2 + k2
= 0.
Funkcija f je diferenciabilna na D, če je diferenciabilna v
vsaki točki tegaobmočja.
Izrek 10.3 Če je f(x, y) v (a, b) diferenciabilna, je f v (a,
b) parcialno odvedljiva(tedaj sta A in B ravno parcialna odvoda
funkcije f po x in po y v točki (a, b)).Če je f na D zvezno
parcialno odvedljiva, potem je f na D diferenciabilna.
Če je funkcija f na D zvezno parcialno odvedljiva, potem
zapǐsemo totalnidiferencial v obliki
df =∂f
∂xdx+
∂f
∂ydy.
19
-
Za majhni spremembi dx in dy velja
f(x+ dx, y + dy) ≈ f(x, y) + fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy.
Seveda je vse to mogoče posplošiti na funkcije več
spremenljivk. Npr.,
∂f
∂x2(a1, a2, a3, . . . , an) = lim
h→0
f(a1, a2 + h, a3, . . . , an)− f(a1, a2, a3, . . . , an)h
.
Funkcija f(x1, x2, . . . , xn) je v (a1, a2, . . . , an)
diferenciabilna, če obstajajo takaštevila A1, A2, . . . , An, da
je
lim(h1,...,hn)→(0,...,0)
f(a1 + h1, . . . , an + hn)− f(a1, . . . an)−A1h1 − . .
.−Anhn√h21 + . . .+ h
2n
= 0.
Če je f na D ⊂ Rn zvezno parcialno odvedljiva, potem je f v
vsaki točki(a1, a2, . . . , an) diferenciabilna in tedaj je Aj
=
∂f∂xj
(a1, a2, . . . , an).
Naj bo funkcija z = f(u, v) zvezno parcialno odvedljiva in naj
bosta u = u(x)in v = v(x) odvedljivi funkciji. Potem je funkcija z
= z(x) = f(u(x), v(x))odvedljiva in velja
dz
dx=∂z
∂u
du
dx+∂z
∂v
dv
dx.
Kraǰsi zapis z diferenciali:
dz =∂z
∂udu+
∂z
∂vdv.
Naj bo sedaj z = f(u) in u = u(x, y). Parcialna odvoda funkcije
z = z(x, y) =f(u(x, y)) izračunamo po formulah:
∂z
∂x=df
du
∂u
∂xin
∂z
∂y=df
du
∂u
∂y.
In končno, če je z = f(u, v) in u = u(x, y) ter v = v(x, y),
potem sta parcialnaodvoda funkcije z = z(x, y) = f(u(x, y), v(x,
y)):
∂z
∂x=∂f
∂u
∂u
∂x+∂f
∂v
∂v
∂x
in∂z
∂y=∂f
∂u
∂u
∂y+∂f
∂v
∂v
∂y.
Bralec bo zlahka uganil formule za odvode posrednih funkcij več
spremenljivk.
Naj bo f(x, y) zvezno prcialno odvedljiva na D in naj bosta tudi
oba par-cialna odvoda parcialno odvedljiva na D. S ponovnim
odvajanjem dobimo štiriparcialne odvode drugega reda:
∂
∂x
∂f
∂x,
∂
∂x
∂f
∂y,
∂
∂y
∂f
∂x,
∂
∂y
∂f
∂y.
20
-
Dejansko pa pri zelo milih pogojih dobimo le tri parcialne
odvode drugega reda.Velja namreč:
Izrek 10.4 Če mešana odvoda
∂
∂x
∂f
∂yin
∂
∂y
∂f
∂x
obstajata in sta zvezni funkciji, potem sta enaka.
Tako imamo le tri odvode drugega reda, ki jih označimo
takole:
∂2f
∂x2,
∂2f
∂x∂yin
∂2f
∂y2.
Bralec bo zlahka uganil posplošitve na funkcije več
spremenljivk in na odvodevǐsjega reda.
11 Taylorjeva formula za funkcije več spremenljivk
Vpeljimo oznako: (∂f
∂xh+
∂f
∂yk
)(n)(a,b)
.
S tem simbolom označujemo izraz, ki ga dobimo, če(∂f
∂xh+
∂f
∂yk
)nformalno razvijemo z binomsko formulo za n-to potenco, potem
pa vsak izraz(
∂f
∂x
)k (∂f
∂y
)n−knadomestimo z
∂nf
∂xk∂yn−k(a, b).
Izrek 11.1 Naj bo funkcija f(x, y) v okolici točke (a, b)
zvezno parcialno odvedljivado (n+1)-tih parcialnih odvodov. Potem
za vsako točko (a+h, b+k) iz te okolicevelja:
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +1
1!
(∂f
∂xh+
∂f
∂yk
)(a,b)
+
+1
2!
(∂f
∂xh+
∂f
∂yk
)(2)(a,b)
+ . . .+1
n!
(∂f
∂xh+
∂f
∂yk
)(n)(a,b)
+Rn,
21
-
kjer je
Rn =1
(n+ 1)!
(∂f
∂xh+
∂f
∂yk
)(n+1)(a+θh,b+θk)
za nek θ, 0 < θ < 1.
Taylorjeva formula za funkcije več spremenljivk se zapǐse
takole:
f(a1 + h1, a2 + h2, . . . , an + hn) =
m∑k=0
1
k!
(∂f
∂x1h1 +
∂f
∂x2h2 + . . .+
∂f
∂xnhn
)(k)(a1,a2,...,an)
+Rm.
Pri tem bo bralec sam uganil pomen izraza
1
k!
(∂f
∂x1h1 +
∂f
∂x2h2 + . . .+
∂f
∂xnhn
)(k)(a1,a2,...,an)
in tudi formulo za m-ti ostanek Rm.
12 Implicitne funkcije
Izrek 12.1 Naj bo F (x, y) v okolici točke (a, b) zvezno
parcialno odvedljivafunkcija. Naj bo F (a, b) = 0 in Fy(a, b) 6= 0.
Potem obstajata taki okolica Utočke a in okolica V točke b, da za
vsak x ∈ U obstaja natanko en tak y(x) ∈ V ,da je F (x, y(x)) = 0
(seveda velja y(a) = b). Funkcija x 7→ y(x), x ∈ U , jeodvedljiva
in velja
y′(x) = −Fx(x, y)Fy(x, y)
.
.Posledica tega izreka pove, da se da zvezno odvedljivo funkcijo
f(x) lokalno
obrniti povsod tam, kjer je njen odvod različen od nič.
Izrek 12.2 Naj bo F (x, y, z) v okolici točke (a, b, c) zvezno
parcialno odvedljivafunkcija. Naj bo F (a, b, c) = 0 in Fz(a, b, c)
6= 0. Potem obstajata taki okolicaU točke (a, b) in okolica V
točke c, da za vsak (x, y) ∈ U obstaja natanko entak z(x, y) ∈ V ,
da je F (x, y, z(x, y)) = 0 (seveda velja z(a, b) = c). Funkcija(x,
y) 7→ z(x, y), (x, y) ∈ U , je parcialno odvedljiva in velja
∂z
∂x= −Fx(x, y, z)
Fz(x, y, z)in
∂z
∂y= −Fy(x, y, z)
Fz(x, y, z).
.
22
-
Izrek 12.3 Naj bosta F (x, y, z) in G(x, y, z) v okolici točke
(a, b, c) zvezno par-cialno odvedljivi funkciji. Naj bo F (a, b, c)
= G(a, b, c) = 0 in∣∣∣∣Gy FyGz Fz
∣∣∣∣(a,b,c)
6= 0.
Potem obstajajo take okolica U točke a, okolica V točke b in
okolica W točkec, da za vsak x ∈ U obstajata natanko en tak y(x) ∈
V in natanko en takz(x) ∈ W , da je F (x, y(x), z(x)) = 0 in G(x,
y(x), z(x)) = 0 (seveda veljay(a) = b in z(a) = c). Funkciji x 7→
y(x), x 7→ z(x), x ∈ U , sta odvedljivi invelja
y′ = −
∣∣∣∣ Fx FzGx Gz∣∣∣∣∣∣∣∣ Fy FzGy Gz∣∣∣∣ in z
′ = −
∣∣∣∣ Fy FxGy Gx∣∣∣∣∣∣∣∣ Fy FzGy Gz∣∣∣∣ .
.Vse izreke iz tega poglavja je mogoče razširiti na funkcije
več spremenljivk.
13 Ekstremi funkcij več spremenljivk
Funkcija f(x1, x2, . . . , xn) naj bo definirana na območju D ⊂
Rn in naj boa = (a1, . . . , an) ∈ D. Funkcija f ima v točki a
lokalni minimum, če obstajatak δ > 0, da je f(x) ≥ f(a) za vsak
x ∈ D z lastnostjo d(x, a) < δ. Funkcijaf ima v točki a lokalni
maksimum, če obstaja tak δ > 0, da je f(x) ≤ f(a) zavsak x ∈ D
z lastnostjo d(x, a) < δ. Funkcija f ima v točki a lokalni
ekstrem,če ima tam lokalni maksimum ali lokalni minimum.
Izrek 13.1 Naj bo a notranja točka definicijskega območja
parcialno odvedljivefunkcije f . Če ima f pri a lokalni ekstrem,
potem so vsi parcialni odvodi funkcijef v točki a enaki 0.
Točke, v katerih so vsi parcialni odvodi funkcije f enaki 0,
imenujemo sta-cionarne točke funkcije f .
Izrek 13.2 Naj bo (a, b) stacionarna točka dvakrat zvezno
parcialno odvedljivefunkcije f(x, y). Označimo
D =∂2f
∂x2(a, b)
∂2f
∂y2(a, b)−
(∂2f
∂x∂y(a, b)
)2.
• Če je D < 0, potem f pri (a, b) lokalnega ekstrema
nima.
• Če je D > 0 in ∂2f∂x2 (a, b) < 0, potem ima f pri (a,
b) lokalni maksimum.
23
-
• Če je D > 0 in ∂2f∂x2 (a, b) > 0, potem ima f pri (a,
b) lokalni minimum.
Naj bo zvezna funkcija f definirana na omejenem in zaprtem
območju in najbo parcialno odvedljiva v vseh notranjih točkah
tega območja. Ker je omejenozaprto območje kompaktno, funkcija f
zavzame svoj maksimum in minimum insicer v kaki notranji
stacionarni točki ali pa na robu območja.
Poǐsčimo še ekstreme funkcije f(x, y), pri čemer pa smeta x
in y zavzeti levrednosti, ki zadoščajo enačbi
g(x, y) = 0.
Pravimo, da ǐsčemo vezani ekstrem. Nalogo lahko rešujemo
takole: Iz enačbeg(x, y) izrazimo y kot funkcijo x, y = y(x), in
to vstavimo v f . Dobimo funkcijof(x, y(x)) ene spremenljivke in
potem uporabimo metode, ki smo se jih naučiliv poglavju o odvodu
funkcije ene spremenljivke.
Obstaja pa še ena metoda za iskanje vezanih ekstremov. Ogledali
si jo bomokar za funkcije več spremenljivk. Če ǐsčemo ekstrem
funkcije f(x1, x2, . . . , xn),kjer so spremenljivke vezane z
enačbami
g1(x1, x2, . . . , xn) = 0
g2(x1, x2, . . . , xn) = 0
...
gm(x1, x2, . . . , xn) = 0,
potem tvorimo novo funkcijo n+m spremenljivk
F (x1, x2, . . . , xn, λ1, λ2, . . . , λm) = f(x1, x2, . . . ,
xn)+
+λ1g1(x1, x2, . . . , xn) + λ2g2(x1, x2, . . . , xn) + . . .+
λmgm(x1, x2, . . . , xn)
in poǐsčemo njene stacionarne točke. Dobimo n+m enačb, iz
katerih izračunamox1, . . . , xn, λ1, . . . , λm. Če vezani
ekstremi obstajajo, potem so doseženi v eniizmed dobljenih točk
(x1, x2, . . . , xn).
24