-
1
2 Netwerkanalyse met CPM
2.1 Introductie
Vele organisaties worden geconfronteerd met de uitvoering van
ingewikkelde projecten die
bestaan uit een groot aantal activiteiten. De activiteiten
waaruit een project is opgebouwd,
staan meestal niet los van elkaar. Zij moeten in de regel op een
logische manier in de tijd op
elkaar aansluiten. Vaak kan met een bepaalde activiteit niet
worden begonnen voordat een
andere activiteit geheel afgerond is.
Met de term netwerkproject of kortweg project duiden we in het
vervolg de verzameling van
alle uit te voeren activiteiten aan. Onder een netwerk verstaan
we hier een schematische
weergave van alle afzonderlijke activiteiten van een
project.
Een goed voorbeeld van een ingewikkeld project, waarbij vele
verschillende activiteiten te
onderscheiden zijn, vinden we in de bouw. Het bouwen van een
huis of van een kantoor
vergt een zorgvuldige planning van de verschillende
werkzaamheden. Wordt de planning
verkeerd uitgevoerd, dan kan dit leiden tot een aanzienlijke (en
onnodige) vertraging in het
werk, hetgeen weer hogere kosten met zich meebrengt. Er zijn
echter veel meer
voorbeelden te geven van een gecompliceerd project waarbij
zorgvuldige planning vereist is.
Te denken valt bijvoorbeeld aan een ondernemer die een nieuw
product wil introduceren.
Voordat het zover is, zijn er vele activiteiten die ondernomen
moeten worden, zoals het
testen van het product op de productieafdeling, het verrichten
van marktonderzoek, het
ontwerpen van een marketingstrategie, enzovoorts. Om overbodig
verlies aan tijd en geld te
voorkomen, is bij ingewikkelde projecten een zorgvuldige
planning dus noodzakelijk. In dit
onderdeel zullen we een basismethode bespreken dat een
belangrijk hulpmiddel kan zijn bij
het maken van een dergelijke planning. Dit is de kritieke
padmethode (meestal genoemd
CPM: Critical Path Method. Deze methode is aan het eind van de
jaren vijftig in de Verenigde
Staten ontwikkeld.
Binnen het Total gebied van projectmanagement zoals in het
vorige onderdeel besproken
valt netwerkanalyse met CPM onder het gebied project
implementatie en hoort bij de
onderwerpen Scheduling en Resource allocation.
2.2 Leerdoelen
Na bestudering van dit onderdeel wordt van u verwacht dat u
- op de hoogte bent van het belang van planning en de
verschillende fasen van de
planningsprocedure bij het uitvoeren van een project
- in staat bent om relatiediagrammen en Ganttkaarten van een
netwerkproject te
construeren
- in staat bent om het CPM-algoritme toe te passen
- in staat bent om van een netwerk een tabel op te stellen, met
daarin vermeld de
(verwachte) vroegst en laatst mogelijke start- en eindtijden van
de afzonderlijke
activiteiten, plus hun speling
- in staat bent, van een netwerk het kritieke pad te bepalen
- in staat bent om een bekortingprobleem voor een netwerk op te
lossen (bij kleine
netwerken)
- op de hoogte bent van de betekenis van de in dit onderdeel
behandelde kernbegrippen
en in staat bent om deze kernbegrippen te omschrijven.
-
2
2.3 De planningsprocedure: enige kanttekeningen
De belangrijkste doelstelling van een planningsprocedure bij het
uitvoeren van een project is
het beantwoorden van de volgende vragen:
a. Wat is de (verwachte) tijdsduur van het gehele project?
b. Op welke tijdstippen dienen de verschillende activiteiten aan
te vangen en wanneer
moeten ze beindigd zijn?
c. Welke zijn de gevolgen voor het totale project indien er bij
een bepaalde activiteit
vertraging optreedt?
Bij de planningsprocedure onderscheiden we de volgende
fasen:
a Het verzamelen van de gegevens
Voor het totale project moet een overzicht gemaakt worden van
alle activiteiten waaruit het
project is opgebouwd. Voor elke activiteit moet een schatting
worden gemaakt van de
benodigde tijdsduur. Voorts dient ten aanzien van iedere
activiteit vastgesteld te worden
welke activiteiten moeten zijn afgerond voordat men kan
beginnen.
b De analyse van de gegevens
Op grond van de verzamelde gegevens wordt een grafische
voorstelling getekend waarin tot
uiting komt hoe de verschillende activiteiten met elkaar
samenhangen en hoe de
opeenvolging van de activiteiten in de tijd is. Op basis van
zo'n getekend netwerk kan men
vaststellen welke activiteiten een rechtstreekse invloed hebben
op de totale voltooiingtijd
van het project en welke activiteiten qua tijd een zekere
speling hebben zodat het project bij
een eventueel ongunstig verloop van die activiteiten geen
vertraging oploopt.
Met behulp van een analyse van het netwerk kan een planning
gemaakt worden voor alle
activiteiten.
c De begeleiding van het project
Hoewel met deze analyse de planningsprocedure in principe
voltooid is -het berekende
tijdschema geeft precies aan wanneer de verschillende
activiteiten moeten worden gestart
en beindigd - zal men in de praktijk nauwlettend de feitelijke
gang van zaken in het oog
houden. Het zal immers regelmatig voorkomen dat de tijdsduur van
een activiteit verkeerd
is geschat, waardoor tijdens de uitvoering van het project de
gemaakte planning soms
aanzienlijk moet worden bijgesteld. Wij zullen in dit onderdeel
het accent leggen op de
analyse van de gegevens. Voor de praktijk zijn echter de
hierboven onder a (verzamelen van
gegevens) en c (projectbegeleiding) genoemde punten van zeer
groot belang om de hier te
behandelen methoden goed te laten functioneren.
-
3
2.4 Eenvoudige netwerken: de CPM-methode
In dit hoofdstuk zal nader ingegaan worden op de planmatige
aanpak van projecten via de
CPM-methode (Critical Path Method). Deze methode veronderstelt
dat de tijdsduur van de
afzonderlijke projectactiviteiten deterministisch is. Dit
betekent dat de CPM-methode ervan
uitgaat dat de tijdsduur van tevoren met zekerheid bekend is of
dat er, indien de tijdsduur
onzeker is, per activiteit met een geschatte tijdsduur wordt
gewerkt.
2.4.1 Het tekenen van een netwerk en het begrip kritieke pad
Om een project te kunnen analyseren, moeten we beginnen met het
maken van een lijst van
alle activiteiten waaruit het project bestaat. Uit deze lijst
moet blijken hoe de opeenvolging
van activiteiten is. We doen dit door bij elke activiteit aan te
geven welke activiteiten er
onmiddellijk aan voorafgaan. Dus als activiteit E pas begonnen
kan worden als activiteit D
voltooid is, dan is D een onmiddellijk voorafgaande activiteit.
Wellicht moeten dan ook
andere activiteiten al voltooid zijn, omdat deze een voorwaarde
vormen voor het verrichten
van activiteit D. Dergelijke activiteiten zijn dan echter geen
onmiddellijk voorafgaande
activiteiten.
In een schematische tekening (het netwerk) van een project, ook
wel een relatiediagram
genoemd, wordt elke activiteit weergegeven door een rechthoek
die voorzien is van een
hoofdletter. De linkerkant van de rechthoek symboliseert het
begin van de activiteit en de
rechterkant het einde van de activiteit. De relaties tussen de
activiteiten worden
weergegeven door pijlen. In deze cursus maken wij alleen gebruik
van relaties tussen het
einde van een activiteit en het begin van een volgende
activiteit.
Bij het tekenen van een netwerk wordt verder de volgende
afspraak gemaakt dat een
netwerk altijd een begin- en een eindactiviteit heeft. In deze
cursus geven wij een activiteit
weer met het volgende symbool.
De inhoud en het doel van de verschillende (nu nog lege) hokjes
in het symbool komen
verderop ter sprake.
Voorbeeld 1
Indien een project uit twee activiteiten A en B bestaat, waarbij
activiteit B pas kan beginnen
als activiteit A voltooid is, krijgen we de volgende
schematische weergave:
-
4
Voorbeeld 2
Bij een project dat uit drie activiteiten A, B en C bestaat,
waarbij A en B onmiddellijk kunnen
starten terwijl C pas kan beginnen als activiteit A klaar is,
krijgen we de volgende figuur:
Opgave 2.1
Construeer het netwerk voor een project dat bestaat uit de
volgende activiteiten:
activiteit onmiddellijk voorafgaande activiteiten
A -
B -
C A
D A
E C, B
F C, B
G D, E
Het project is voltooid als beide activiteiten F en G af
zijn.
Voorbeeld 3
Indien we pas bij voorbeeld 2 zouden kunnen beginnen met
activiteit C indien A en B beide
gereed zijn, dan krijgen we een iets ingewikkelder situatie:
Start
A
C Einde
B
-
5
Opgave 2.2
Management Beslissing Systemen (MBS) is een adviesbureau dat
gespecialiseerd is in de
ontwikkeling van beslissingsondersteunende
automatiseringssystemen. MBS heeft juist een
contract afgesloten om een computersysteem te ontwikkelen voor
de directie van een groot
bedrijf ten behoeve van de liquiditeitsplanning.
De projectleider van MBS heeft de volgende lijst met uit te
voeren activiteiten opgesteld:
activiteit onmiddellijk voorafgaande activiteiten
A -
B -
C -
D B
E A
F B
G C, D
H B, E
I F, G
J H
Construeer het netwerk voor het liquiditeitsplanningsproject van
MBS.
Voorbeeld 3 (vervolg)
We bezien nogmaals het project dat bestaat uit de activiteiten
A, B en C, waarbij C volgt op
A en waarbij A en B tegelijkertijd kunnen beginnen. Stel, A
duurt 4 weken, B duurt 7 weken
en C duurt 5 weken, dan geven we dit als volgt weer:
Hierbij wordt de tijdsduur=t per activiteit in de rechthoek op
de volgende plaats genoteerd:
Het project kan in 9 weken voltooid zijn, omdat de opeenvolgende
activiteiten A en C deze
tijdsduur vereisen.
Een en ander brengt met zich mee dat de activiteit B ruimschoots
binnen de tijd kan worden
voltooid. Voor activiteit B zijn namelijk slechts 7 weken nodig.
Men spreekt in dit verband
van een speling van 2 weken voor activiteit B. Zonder dat het
gehele project wordt
vertraagd, kan activiteit B 2 weken na aanvang van activiteit A
gestart worden. De
activiteiten A en C worden gezamenlijk het kritieke pad genoemd.
Elke vertraging die er zou
optreden bij deze activiteiten, heeft onmiddellijke gevolgen
voor de voltooiingtijd van het
gehele project. Het kritieke pad is in het voorbeeld vetgedrukt
weergegeven.
Het volgende voorbeeld heeft betrekking op een netwerkprobleem
van wat grotere omvang
dan de eerder besproken voorbeelden.
-
6
Studeeropdracht
P. Lanning heeft als opdracht om voor de volgende zomer een
cursus Verkooptechnieken te
organiseren voor het bedrijf waar hij werkzaam is. De cursus
duurt een week en dient op 1
juli te beginnen. Er kunnen maximaal 100 personeelsleden
deelnemen aan de training. De
ervaring leert dat het aantal aanmeldingen de 100 ruimschoots
overtreft. Peter heeft de
volgende (deterministische) informatie betreffende de
activiteiten van dit project verzameld:
activiteit omschrijving onmiddellijke
voorgangers
tijdsduur
(weken)
A lijst maken van mogelijke conferentiezalen
en hotels
- 4
B selectie van onderwerpen - 5
C selectie en reservering conferentiezaal en
hotel(s)
A 3
D sprekers uitnodigen en afspraken maken B 6
E cursusboek voorbereiden B 8
F voorlichtingsbrochure maken en verzenden C, D 2
G reisplannen sprekers opstellen C, D 4
H finale check sprekers en cursusboek afmaken E, G 7
I ontvangst aanmeldingen cursisten en
selectie van de 100 cursisten
F 5
a. Probeer om zelf het netwerk te tekenen dat hoort bij het
cursusprobleem.
b. Bepaal het kritieke pad en de minimale voltooiingtijd van het
cursusproject.
Getekend ziet het netwerk voor Peters cursusproject er als volgt
uit:
In het netwerk is te zien dat de minimale voltooiingtijd voor
het gehele project bepaald
wordt door de activiteiten B, D, G en H. Het kritieke pad is dus
B-D-G-H. De (minimale)
voltooiingtijd van het project bedraagt daarom 5+6+4+7= 22
weken. (Let op: alle andere
paden dan het kritieke pad hebben een kortere totaaltijd bij
optelling van de afzonderlijke
activiteiten. Het pad A-C-F-I bijvoorbeeld heeft een totaaltijd
van 4+3+2+5= 14 weken,
hetgeen korter is dan 22 weken. Het kritieke pad is dus dat pad
met de grootste totaaltijd
en het bepaalt de minimale voltooiingtijd van het gehele
project.)
Peter dient dus uiterlijk 22 weken voor 1 juli te beginnen met
de uitvoering van het project.
Indien een van de activiteiten van het kritieke pad in de
praktijk langer duurt dan was
verwacht, dan heeft dit rechtstreeks gevolgen voor de
voltooiingtijd van het gehele project.
Dit ligt anders voor de activiteiten die geen deel uitmaken van
het kritieke pad. Bij deze
activiteiten is er sprake van een bepaalde speling. Dit brengt
met zich mee dat dergelijke
activiteiten vaak niet precies volgens het snelst mogelijke
tijdschema behoeven te worden
aangevangen, zonder dat daarmee de voltooiingtijd van het
project in gevaar komt.
-
7
2.4.2 Bepaling van het kritieke pad via het CPM-algoritme
Zoals we zagen bij de bespreking in de vorige paragraaf, is de
minimale tijdsduur van een
project vastgelegd door de totale tijdsduur van de activiteiten
die samen het kritieke pad
vormen. Voor kleine netwerken kan het kritieke pad eenvoudig
vastgesteld worden door de
totale tijdsduur van alle mogelijke paden te berekenen. Het pad
dat de hoogste totale
tijdsduur blijkt te bezitten, is dan het kritieke pad. Voor
grote netwerken is deze procedure
ter bepaling van het kritieke pad erg inefficint. Bij grote
projecten met veel activiteiten kan
het kritieke pad beter vastgesteld worden via het zogenaamde
CPM-algoritme. Dit is een
bepaalde systematische rekenmethode om het kritieke pad te
identificeren. Een bijkomend
voordeel van dit algoritme is dat men automatisch de beschikking
krijgt over de maximaal
toelaatbare tijdspelingen voor elke activiteit die geen deel
uitmaakt van het kritieke pad.
Het CPM-algoritme is gebaseerd op het feit dat bij de
activiteiten die deel uitmaken van het
kritieke pad, de aanvangstijd van een activiteit en de
beindigingtijd van zijn onmiddellijke
voorganger op het kritieke pad gelijk aan elkaar zijn.
In de volgende twee voorbeelden is dit zichtbaar.
Voorbeeld 5
Een project bestaat uit twee activiteiten, A en B, waarvoor
geldt dat B pas kan aanvangen
als A voltooid is. A duurt 6 weken en B duurt 5 weken.
Als we ervan uitgaan dat het project in 11 weken voltooid moet
zijn, dan moet activiteit B na
precies 6 weken beginnen. Vroeger kan niet, want dan is
activiteit A nog niet gereed, later
mag niet, want dan zou het project onnodige vertraging
oplopen.
Voorbeeld 6
We voegen nog een extra activiteit toe aan het project:
activiteit C, die
veertien weken duurt, waarmee bij het begin van het project kan
worden begonnen en die
niet door andere activiteiten gevolgd hoeft te worden. Het
netwerk wordt dan:
Het gehele project kan in 14 weken gereed zijn, want activiteit
C vormt het kritieke pad. Bij
de uitvoering van de activiteiten A en B is er een speling van
drie weken. Om geen
vertraging in het gehele project te krijgen, dient activiteit B
in elk geval op het tijdstip t = 9
aan te vangen. Activiteit A dient dus uiterlijk na negen weken
te zijn voltooid. Het maakt bij
de activiteiten A en B niet uit waar de mogelijke vertraging van
drie weken terechtkomt, als
er maar op wordt gelet dat de gezamenlijke vertraging van de
activiteiten A en B niet meer
dan drie weken bedraagt.
-
8
Om de ruimte die er is bij de planning van de activiteiten, in
het diagram te kunnen
aangeven, worden er vier grootheden gedefinieerd waaruit de
mogelijke speling blijkt. De
vier grootheden zijn achtereenvolgens:
VS: vroegst mogelijke start van een activiteit.
LS: laatst mogelijke start van een activiteit.
VE: vroegst mogelijke einde van een activiteit.
LE: laatst mogelijke einde van een activiteit.
Deze grootheden zijn voor voorbeeld 6 aangegeven in de volgende
tabel:
activiteit tijdsduur VS LS VE LE speling
Start 0 0 0 0 0 0
A 6 0 3 6 9 3
B 5 6 9 11 14 3
C 14 0 0 14 14 0
Einde 14 14 14 14 14 0
In de tabel is ook voor elke activiteit de speling (of slack)
vermeld die maximaal toegestaan
kan worden zonder dat de minimale voltooiingtijd van het project
in gevaar komt. Voor elke
activiteit geldt altijd:
Speling = LS - VS = LE VE
Een activiteit die deel uitmaakt van het kritieke pad, valt te
herkennen aan het feit dat zijn
speling 0 is. Het kritieke pad is daarom de verzameling van alle
activiteiten waarvoor geldt:
speling = 0.
Verder geldt altijd voor een activiteit met tijdsduur t dat
VE = VS + t en LS = LE t
De grootheden VS, LS, VE en LE kunnen bepaald worden aan de hand
van de tekening van
het netwerk van een project. In de tekening zelf zullen we ze
voor elke willekeurige activiteit
X op de volgende wijze weergeven:
waarbij VS, LS, VE en LE slaan op de willekeurige activiteit
Naam, Hieronder zal aan de hand
van het reeds eerder besproken cursusprobleem uitgelegd worden
hoe de tekening van een
netwerk gebruikt moet worden om de grootheden VS, VE, LS en LE
te bepalen.
-
9
(Vervolg van voorbeeld 4)
In de vorige paragraaf hebben we kennis gemaakt met het netwerk
van het cursusprobleem.
De tekening wordt hier nog een keer herhaald:
Op grond van deze tekening bepalen we voor elke activiteit de
grootheden VS, LS, VE en LE.
Er wordt altijd gestart met de bepaling van de vroegste tijden
(VS en VE voor de
activiteiten). Om deze reden wordt er in de tekening aan de
linkerkant begonnen en wordt
er naar rechts toegewerkt. De uitkomsten zijn als volgt:
Voor elke activiteit is VS gelijk aan het maximum van de diverse
VEs die horen bij de
activiteiten die onmiddellijke voorgangers zijn van de
activiteit. Voor activiteit Start geldt dat
t=0, VS=0 en VE=0.
Voor de activiteit Einde geldt dat t, VS en VE gelijk zijn aan
de minimale voltooiingtijd van
het hele project.
Bovenstaande procedure leidt tot de conclusie dat het project in
minimaal 22 weken kan zijn
voltooid.
-
10
Het kritieke pad kan gevonden worden door een soortgelijke
procedure uit te voeren,
waarbij de laatst mogelijke tijdstippen (LS en LE voor de
activiteiten) bepaald worden. Bij de
vaststelling van deze tijdstippen is het vertrekpunt de minimale
voltooiingtijd van 22 weken
en wordt er juist van rechts naar links door het netwerk gegaan.
De uitkomsten zijn als
volgt:
Legenda:
Voor elke activiteit is LE gelijk aan het minimum van de LSen
van de onmiddellijke
opvolgers. LS van de activiteit zelf is dan LE-t.
Voor activiteit Start geldt dat LS=0, LE=0 en speling=0
Voor de activiteit Einde geldt dat LS en LE gelijk zijn aan de
minimale voltooiingtijd van het
hele project. De speling van activiteit Einde is uiteraard
0.
Als laatste stap dient er een overzichtstabel gemaakt te worden
van de berekende
informatie.
activiteit Tijdsduur
(weken)
VS LS VE LE speling
Start 0 0 0 0 0 0
A 4 0 4 4 8 4
B 5 0 0 5 5 0
C 3 4 8 7 11 4
D 6 5 5 11 11 0
E 8 5 7 13 15 2
F 2 11 15 13 17 4
G 4 11 11 15 15 0
H 7 15 15 22 22 0
I 5 13 17 18 22 4
Einde 22 22 22 22 22 0
Uit de tabel valt wederom te concluderen dat de minimale
voltooiingtijd 22 weken is en dat
het kritieke pad bestaat uit de activiteiten B - D - G -H, omdat
deze activiteiten een speling
van 0 hebben.
-
11
Opgave 2.3
Gegeven is de volgende informatie over een project:
activiteit onmiddellijke
voorgangers
tijdsduur
(weken)
A - 4
B - 8
C A 4
D A 6
E B, C 3
F D 4
G E, F 6
H B 10
I H, G 2
a. Teken het netwerk.
b. Bepaal voor de activiteiten VS, LS, VE en LE via het
CPM-algoritme.
c. Maak een overzichtstabel voor de activiteiten met daarin
weergegeven VS, LS, VE en LE
en de speling.
d. Bepaal het kritieke pad en de minimale projectduur.
-
12
2.5 Enige uitbreidingen
Het netwerkmodel dat in de vorige paragrafen besproken is, wordt
vooral bij de wat grotere
bedrijven en organisaties veel toegepast. In de praktijk zal er
bij de analyse van de
gegevens (de eerste fase van de planningsprocedure, zie
paragraaf 1) veelal de behoefte
bestaan om meer aan de weet te komen dan wat in het voorgaande
besproken is. Ook zijn
we ten aanzien van de begeleiding van een project (de derde fase
van de
planningsprocedure, zie paragraaf 1) tot op heden zeer summier
geweest. Er zijn talrijke
methoden die voortborduren op de modelmatige aanpak van CPM.
Deze zijn ontwikkeld om
het management te helpen bij het nader analyseren en/of
begeleiden van een project. Te
denken valt aan:
a Het opstellen en bewaken van kostenbudgetten
Op basis van een tabel met (verwachte) vroegst en laatst
mogelijke start- en eindtijden van
alle activiteiten is het mogelijk om kostenbudgetten op te
stellen. Door tijdens de uitvoering
van een project regelmatig de gebudgetteerde kosten te
vergelijken met de werkelijk
gemaakte kosten, beschikt het management over een
controlesysteem ten aanzien van de
kosten van het gehele project.
b Capaciteitstoewijzing, met name het egaliseren van de
Capaciteitsbezetting
Als alle activiteiten bijvoorbeeld via het vroegst mogelijke
startschema aanvangen, kan het
voorkomen dat er in de tijd gezien een ongelijkmatig beroep
gedaan wordt op de
productiefactoren (bijvoorbeeld mankracht of machines). Een
ongelijkmatig beroep gaat
veelal gepaard met extra kosten en moet dan zoveel mogelijk
vermeden worden. Door nu te
gaan schuiven met de aanvangstijden van de niet-kritieke
activiteiten, is het vaak mogelijk
om pieken en dalen in de Capaciteitsbezetting weg te werken
zonder dat de minimale
voltooiingtijd van het project in gevaar komt.
c Het begeleiden van een project middels de constructie van een
Ganttkaart (of een
strokenbord)
Deze methode vereist dat de netwerkdiagrammen zoals we die zijn
tegengekomen in de
vorige paragrafen, op een iets andere wijze worden weergegeven.
In de volgende paragraaf
zal hierop wat dieper ingegaan worden.
d Het reduceren van de projectduur
Soms is het noodzakelijk om een (verwachte) minimale
voltooiingtijd van het project na te
streven die korter is dan in eerste instantie beoogd was. Dit is
meestal wel mogelijk door het
bekorten van afzonderlijke activiteiten, tegen extra kosten. In
een volgende paragraaf zal
nader ingegaan worden op deze problematiek. Er zal een methode
besproken worden om op
een rationele manier de extra bekortingkosten af te wegen tegen
de te bereiken
verkortingstijd van het gehele project.
2.5.1 De Ganttkaart
De netwerken zoals we die zijn tegengekomen in de vorige
paragrafen, worden, zoals al
eerder is opgemerkt, ook wel relatiediagrammen genoemd. De
onderlinge relaties tussen de
diverse activiteiten komen in dit soort diagrammen goed tot
uiting.
In een relatiediagram wordt visueel de lengte van activiteiten
niet weergegeven. Lange
activiteiten zien er hetzelfde uit als korte activiteiten.
De wijze van weergeven van activiteiten is bij een Ganttkaart
(of een strokenbord) eigenlijk
net tegengesteld aan die van een relatiediagram. Bij een
Ganttkaart treedt juist het
tijdaspect van de activiteiten op de voorgrond. Een nadeel is
echter wel dat de onderlinge
relaties tussen de activiteiten niet goed tot hun recht komen.
Een Ganttkaart moet dan ook
als een aanvulling gezien worden op een relatiediagram en kan
vooral bij de
begeleidingsfase van een project van groot nut zijn. (NB: De
Ganttkaart ontleent zijn naam
aan Henry L. Gantt, die in een tijdschriftartikel van 1918 voor
het eerst een dergelijke kaart
beschreef.)
-
13
Een moeilijkheid bij de behandeling en bestudering van
Ganttkaarten is dat er geen
uniforme richtlijnen zijn te geven voor het construeren ervan.
Vele variaties zijn denkbaar en
in de praktijk is het eigenlijk altijd zo dat een bedrijf of
organisatie een geheel eigen
techniek toepast. We zullen ons in deze paragraaf dan ook
beperken tot een korte
bespreking van het basisidee achter een Ganttkaart. Hierbij zal
uitgegaan worden van het
volgende eenvoudige relatiediagram:
Bij een Ganttkaart worden de activiteiten door middel van
stroken of balken langs een tijdas
weergegeven. De lengte van een balk is gelijk aan de (verwachte)
tijdsduur van een
activiteit. Laten we eens veronderstellen dat het management van
bovenstaand project
gepland heeft dat de activiteiten volgens het zogenaamde
vroegst-mogelijke-tijdenschema
van start zullen gaan. Vertaald in een Ganttkaart ziet het
tijdschema er dan aldus uit.
Gantt-kaart 1
Een ander type Ganttkaart wordt bijvoorbeeld verkregen als ook
de uitlooptijd (de speling)
van de activiteiten weergegeven wordt. Een voordeel hiervan is
dat kritieke activiteiten dan
gemakkelijk zijn te herkennen. (In dit verband is het ook handig
om de kritieke activiteiten
met een aparte kleur aan te geven.)
Een groot voordeel van de Ganttkaart is dat de voortgang van de
activiteiten erop
bijgehouden kan worden. Dit kan bijvoorbeeld geschieden door de
balken van de
activiteiten, voor zover ze af zijn, zwart te maken. Zie als
voorbeeld Ganttkaart 2, waarbij
de stand van zaken na vier perioden getoond wordt. Op deze
Ganttkaart zijn ook de
uitlooptijden, zoals vastgesteld voor de aanvang van het
project, weergegeven door middel
van arceringen.
-
14
Gantt-kaart 2
Op de Ganttkaart valt te zien dat de uitvoering van het project
niet goed verloopt. Volgens
planning zijn A en B na vier perioden gereed. Activiteit D had
echter al voor 50% af moeten
zijn, maar is voor slechts 331/3% af. Als er geen maatregelen
genomen worden om activiteit
D (of eventueel E) versneld uit te voeren, dan zal het project
niet binnen de geplande tien
perioden af zijn, omdat D onderdeel is van het kritieke pad.
Zoals al eerder is opgemerkt, bestaan er veel variaties op het
hierboven gellustreerde
basisidee achter de Ganttkaart. Zo kunnen bijvoorbeeld
stippellijntjes gebruikt worden om
balken met elkaar te verbinden. Een aantal belangrijke relaties
tussen afzonderlijke
activiteiten kan op deze manier benadrukt worden. Omwille van de
overzichtelijkheid van de
kaart kan echter slechts een beperkt gebruik gemaakt worden van
de stippellijntjes.
2.5.2 Het reduceren van de projectduur
Vaak is het noodzakelijk of wenselijk om een project sneller uit
te voeren dan aanvankelijk
de bedoeling was. Een opdrachtgever is bijvoorbeeld ontevreden
met de geraamde bouwtijd
van een huis en wil het contract slechts ondertekenen als de
aannemer ervoor zorgt dat het
huis drie maanden eerder af is. Of de voortgang van een project
valt tegen en de
contractueel vastgelegde voltooiingdatum kan alleen maar
gerealiseerd worden als bepaalde
nog uit te voeren activiteiten aanzienlijk bekort worden. In dit
laatste geval kunnen de nog
uit te voeren activiteiten eigenlijk beschouwd worden als een
nieuw netwerk, waarvan de
voltooiingtijd bekort moet worden.
Het op geforceerde wijze bekorten van de tijdsduur van een
activiteit gaat over het
algemeen gepaard met extra kosten. Hierbij valt als voorbeeld te
denken aan een
bouwproject waarbij activiteiten in minder tijd kunnen worden
uitgevoerd als er gedurende
een aantal avonden wordt overgewerkt of indien er extra
arbeidskrachten worden ingezet.
Hier staat tegenover dat er meestal wel een minimumtijd bestaat,
zodat het ongelimiteerd
bekorten vaak niet mogelijk is. Zo zal er bij het maken van een
betonnen vloer een
minimumtijd gelden omdat de vloer eerst moet drogen en uitharden
voordat er een
volgende activiteit kan worden gestart. Tegenover de noodzaak of
wens om een bepaald
netwerk sneller uit te voeren dan in eerste instantie beoogd
werd, staan dus vaak
kostenverhogingen en gelimiteerde bekortingmogelijkheden voor de
afzonderlijke
activiteiten. Het management staat dan voor de taak om te
beslissen welke activiteiten met
hoeveel tijd bekort moeten worden zodanig dat en de
(bijgestelde) voltooiingtijd van het
project gerealiseerd wordt en de extra kosten minimaal zijn.
-
15
Laten we voorbeeld 9 eens bestuderen. Hierbij dient aangetekend
te worden dat de
'normale tijdsduur en de normale kosten betrekking hebben op de
uitgangssituatie zoals
die in eerste instantie van toepassing is.
Met de term 'crashtijd' wordt de absolute minimumtijd voor een
activiteit bedoeld en met de
term crashkosten worden de totale kosten (normale kosten plus
extra bekortingkosten) bij
de crashtijd van een bepaalde activiteit aangeduid.
Verder gaan we er voor de eenvoud van uit dat de activiteiten
bekort kunnen worden tot
elke tijdsduur liggend tussen de crashtijd en de normale
tijdsduur en dat er een lineair
verband bestaat tussen de bekortingen en de extra
bekortingkosten.
Voorbeeld 7
Gegeven is de volgende informatie voor een bepaald netwerk:
0 0
0 0 0
0
Start
4 4
0 0 4
0
A
6 6
1 1 7
0
B
2 6
5 1 7
4
C
6 10
4 0 10
4
D
3 9
7 1 10
6
E
3 9
12 6 15
6
F
5 15
10 0 15
10
G
15 15
15 0 15
15
Einde
activiteit normale tijd
(in maanden)
crash-tijd
(in maanden)
totale normale
kosten
(x 1.000,-)
totale
crashkosten
(x 1.000,-)
A 4 2 50 70
B 6 3 40 55
C 2 1 20 24
D 6 4 100 130
E 3 2 50 60
F 3 3 25 25
G 5 3 60 75
Uitgaande van de normale tijdsduur valt eenvoudig te bepalen dat
het kritieke pad gevormd
wordt door de activiteiten A-D-G. De minimale voltooiingtijd
bedraagt dan 15 maanden.
Stel nu eens dat de duur van het project bekort moet worden tot
10 maanden. Welke
activiteiten moeten dan bekort worden opdat de totale extra
bekortingkosten minimaal zijn?
-
16
De rest van deze paragraaf zal gewijd zijn aan de beantwoording
van de bij dit voorbeeld
gestelde vraag. Allereerst gaan we de maximale bekortingtijd en
de extra bekortingkosten
per activiteit per maand berekenen. Uitgaande van de gegevens
leidt dit tot de volgende
resultaten:
activiteit maximale
bekortingtijd
(in maanden)
bekortingkosten per maand
(x 1.000,-)
A 4-2=2 (70-50):2 = 10
B 6-3=3 (55-40):3 = 5
C 2-1=1 (24-20):1 = 4
D 6-4=2 (130-100):2 = 15
E 3-2=1 (60-50):1= 10
F 3-3=0 -
G 5-3=2 (75-60):2= 7
In de uitgangssituatie is het pad A-D-G (15 maanden) het
kritieke pad. In het netwerk zijn
nog vier andere niet-kritieke paden te vinden. Welke zijn dit en
wat is de minimale tijdsduur
van elk pad?
Voor de uitgangssituatie bedraagt de minimale tijd van het
project 15 maanden. Dit moet
bekort worden tot 10 maanden. Het ligt voor de hand om de
bekortinginspanningen te
richten op het kritieke pad A-D-G. Als dit pad bekort wordt,
wordt immers meteen de
minimale projecttijd kleiner. Het traject A-D-G, dat 15 maanden
in beslag neemt, moet in
elk geval bekort worden tot 10 maanden. Van de activiteiten A, D
en G heeft G de laagste
bekortingkosten per maand. G kan echter slechts met 2 maanden
bekort worden, hetgeen
onvoldoende is om de gestelde minimale projectduur van 10
maanden te bereiken. Dus ook
A en/of D moeten bekort worden.
Het bekorten van A is voordeliger dan het bekorten van D. Met
het bekorten van A kan
maximaal 2 maanden tijd gewonnen worden en daarom is het ook nog
noodzakelijk om D te
bekorten met 1 maand. Het pad A-D-G is op deze wijze 5 maanden
korter geworden
(namelijk G 2 maanden korter, A ook 2 maanden korter en D 1
maand korter). Zijn we er nu
in geslaagd om de totale minimale projectduur met 5 maanden te
bekorten? Het antwoord
op deze vraag moet nee zijn. Algemeen kan namelijk gezegd worden
dat, als een kritiek pad
korter wordt gemaakt, het dan niet uitgesloten is dat een of
meerdere andere paden kritiek
worden.
Bij het voorbeeld treedt dit verschijnsel ook op. Het pad A-D-G
is weliswaar bekort tot 10
maanden, maar er is een ander pad dat nu kritiek is geworden.
Dit is het pad B-E-G met een
minimale tijdsduur van 6 (voor B) + 3 (voor E) + 3 (voor G na de
bekorting van 2 maanden)
=12 maanden.
Zie hieronder het nieuwe relatiediagram:
0 0
0 0 0
0
Start
2 2
2 2 4
0
A
6 6
0 0 6
0
B
2 4
4 2 6
2
C
5 7
4 2 9
2
D
3 9
6 0 9
6
E
3 9
9 3 12
6
F
3 12
9 0 12
9
G
12 12
12 0 12
12
Einde
-
17
Het zal duidelijk zijn dat ook dit pad bekort zal moeten worden
tot 10 maanden, wil het hele
project binnen 10 maanden afgerond zijn.
Ga na dat het dan het voordeligst is om B met 2 maanden te
bekorten. Ga ook na dat het
project inderdaad binnen 10 maanden afgerond kan zijn als A, B,
D en G respectievelijk met
2, 2, 1 en 2 maanden bekort worden. Merk op dat er in de nieuwe
situatie sprake is van 3
kritieke paden, alle met een minimale tijdsduur van 10
maanden.
Hierboven hebben we dus beredeneerd dat A, B, D en G
respectievelijk met 2, 2, 1 en 2
maanden bekort moeten worden om het hele project binnen 10
maanden af te kunnen
krijgen. De totale (en dus minimale) bekortingkosten die hiermee
gepaard gaan, bedragen
60.000,-:
activiteit bekorting
(in maanden)
bekortingkosten
(x 1.000,-)
A 2 2 x 10 = 20
B 2 2 x 5 = 10
D 1 1 x 15 = 15
G 2 2 x 7 = 15
totaal 60
De methode die hierboven besproken is om het bekortingprobleem
op te lossen, is vrij
omslachtig. Het zal duidelijk zijn dat deze methode moeilijk toe
te passen is bij grote
netwerken met veel paden. Een methode die dan toegepast kan
worden berust op de
techniek die gebruikt wordt bij Lineair Programmeren (LP). Deze
tweede methode is
uiteraard ook geschikt voor kleinere netwerken. In deze cursus
wordt deze methode echter
niet verder uitgewerkt.
-
18
2.6 Samenvatting
1. In dit onderdeel hebben we projecten bestudeerd die bestaan
uit een verzameling
van uit te voeren en aan elkaar gerelateerde activiteiten. Een
netwerk of
relatiediagram is een schematische weergave van een dergelijk
project. We kunnen
ook een Ganttkaart gebruiken om een netwerk schematisch weer te
geven. Een
Ganttkaart kan vooral van groot nut zijn tijdens de
begeleidingsfase van een project.
2. Bij een CPM-netwerk is de tijdsduur van de activiteiten van
een project
deterministisch of wordt verondersteld dat deze deterministisch
is. Het CPM-algoritme
is een methode om de vroegst en laatst mogelijke start- en
eindtijden van
afzonderlijke activiteiten (en knooppunten) te bepalen. Het
kritieke pad kan dan
eenvoudig vastgesteld worden door die activiteiten te
identificeren die geen speling
hebben tussen de vroegst en laatst mogelijke start- of
eindtijden. De tijdsduur van
het kritieke pad is gelijk aan de minimale tijdsduur van het
hele project. Het kritieke
pad heeft van alle mogelijke paden door een netwerk de langste
tijdsduur. Een
netwerk kan meer dan een kritiek pad hebben.
3. Verder is in dit onderdeel aandacht besteed aan het bekorten
van de tijdsduur van
een project. Bij kleine netwerken kunnen de te bekorten
activiteiten beredeneerd
worden door te beginnen met het bekorten van die activiteiten
die op het kritieke pad
liggen en waarvan het bekorten het minste kost. Men moet dan
goed de tijdsduur
van andere paden in de gaten houden en zonodig moeten deze paden
ook bekort
worden. Een andere manier om een bekortingprobleem aan te pakken
die zich ook
leent voor grote netwerken, is het formuleren van het
bekortingprobleem als een LP-
probleem.
-
19
2.7 Zelftoets
Opgave 1
Een bedrijf gaat een nieuw product ontwikkelen en misschien op
de markt brengen. De uit te
voeren activiteiten zijn in de tabel hieronder weergegeven:
activiteit omschrijving onmiddellijke
voorgangers
verwachte tijdsduur
(weken)
A productontwerp - 5
B marktonderzoek - 2
C productieanalyse A 4
D prototype A 4
E verkoopbrochure A 3
F kostenanalyse C 1
G producttest D 4
H prijs-/afzetprognoses B, E 5
I omzetprognoses H 2
J projectrapport F, G, I 3
a. Teken het netwerk voor dit project.
b. Construeer een tabel met daarin vermeld VS, LS, VE, LE en
speling voor elke
afzonderlijke activiteit.
c. Construeer een Ganttkaart voor de situatie dat de
activiteiten volgens het vroegst-
mogelijke-tijdenschema uitgevoerd zullen worden. Geef ook voor
elke activiteit de
uitlooptijd weer.
d. Uit welke activiteiten bestaat het kritieke pad en hoe lang
bedraagt de verwachte
voltooiingtijd van het project?
Opgave 2
De volgende gegevens hebben betrekking op het project van vraag
1 van de zelftoets:
activiteit normaal crash
verwachte tijd verwachte
kosten
(x 1.000,-)
verwachte tijd verwachte
kosten
(x 1.000,-)
A 5 60 3 70 B 2 70 1 75
C 4 40 3 50
D 4 50 2 60
E 3 30 2 35
F 1 20 1 20
G 4 70 3 80
H 5 80 3 100
I 2 15 1 20
J 3 30 3 30
Veronderstel dat de verwachte duur van het project teruggebracht
moet
worden tot 15 weken.
Beredeneer de optimale bekortingen van de activiteiten. Hoe hoog
zijn
dan de bekortingkosten?
-
20
2.8 Terugkoppeling
2.8.1 Uitwerking van de opgaven
2.1
2.2
2.3
a.
-
21
b.
c.
activiteit Tijdsduur
(weken)
VS LS VE LE speling
Start 0 0 0 0 0 0
A 6 0 0 6 6 0
B 8 0 4 8 12 4
C 4 6 9 10 13 3
D 6 6 6 12 12 0
E 3 10 13 13 16 3
F 4 12 12 16 16 0
G 6 16 16 22 22 0
H 10 8 12 18 22 4
I 2 22 22 24 24 0
Einde 24 24 24 24 24 0
d.
Het kritieke pad is: A-D-F-G-I, met als tijdsduur 24 weken.
-
22
2.8.2 Antwoorden op de zelftoets
1 a.
b.
activiteit VS LS VE LE speling
Start 0 0 0 0 0
A 0 0 5 5 0
B 0 6 2 8 6
C 5 10 9 14 5
D 5 7 9 11 2
E 5 5 8 8 0
F 9 14 10 15 5
G 9 11 13 15 2
H 8 8 13 13 0
I 13 13 15 15 0
J 15 15 18 18 0
Einde 18 18 18 18 0
-
23
c.
J
H
G
F
I
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
periode
Activiteiten
E
D
C
B
A
16 17 18 19 20
d.
A-E-H-I-J (18 weken)
2
activiteit maximale bekortingtijd
(in weken)
bekortingkosten
per week
(x 1.000,-)
A 2 5
B 1 5
C 1 10
D 2 5
E 1 5
F 0 -
G 1 10
H 2 10
I 1 5
J 0 -
Er zijn 3 alternatieven die alle 3 15.000,- kosten:
1. Bekort A, E en I elk met 1 week.
2. Bekort A met 2 weken en E met 1 week.
3. Bekort A met 2 weken en I met 1 week.