Nermin Okiˇci´c · UNIVERZITET U TUZLI PRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTETˇ Nermin Okiˇci´c Teorija skupova - Skripta - Tuzla, 2019.

UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Nermin Okicic

Teorija skupova

- Skripta -

Tuzla, 2019.

Sadrzaj

1 Relacije i funkcije 1

1.1 Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Osobine relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Predstavljanje relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Relacija ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4 Relacija poretka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.1 Osobine funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.2 Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.3 Jos o funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3 Aksiom izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Indeks pojmova 45

Bibliografija 47

i

1

Relacije i funkcije

U teoriji skupova i relacije i funkcije definisemo kao skupove, naravno sa odredenimposebnim svojstvima. Iako mozemo razmatrati relacije proizvoljne duzine (arnosti), ovdjecemo se uglavnom baviti binarnim relacijama i njihovim svojstvima. Kao specijalnu vrsturelacija, definisat cemo pojam funkcije i razmatrati najosnovnije njihove osobine.

1.1 Relacije

U dosadasnjem ucenju matematike cesto smo se susretali sa pojmovima jednako,podudarno, paralelno, normalno, slicno, vece, manje, ispred, iza. To su pojmovi kojimauspostavljamo veze, odnose ili zavisnosti izmedu nekih objekata. Te veze nazivamorelacijama i potrebne su nam jer je cesto neophodno objekte uporedivati prema nekomzadatom kriteriju ili ih poredati po nekom odredenom principu, kao i uociti slicnostizmedu njih i grupisati ih u grupe medusobno slicnih. Relacije su matematicki alat zaopisivanje veza izmedu elemenata skupa.

Definicija 1.1.1

Neka je n ∈ N proizvoljan i neka su X1, X2, ..., Xn skupovi. n-arna relacija naskupovima X1, X2, ..., Xn je proizvoljan podskup skupa X1 ×X2 × ...×Xn.Ako je X1 = X2 = · · · = Xn = X , govorimo o n-arnoj relaciji na skupu X .

Specijalno, kada imamo dva skupa X i Y , govorimo o dvoclanoj ili binarnoj relaciji izskupa X u skup Y . Dakle, binarna relacija iz skupa X u skup Y je proizvoljan skupρ ⊆ X × Y . Ako je X = Y i ρ ⊆ X ×X , kazemo da je ρ binarna relacija na X .

Primjer 1.1. Neka je X skup svih ljudi i relacija ρ neka opisuje ko se kome svida. Dakle,(x, y) ∈ ρ ⊆ X ×X znaci da se osobi x svida osoba y.Neka je X skup svih gradova jedne drzave i relacija R neka opisuje da li postoji direktna

autobuska veza izmedu dva grada, tojest (x, y) ∈ R znaci da od grada x postoji direktnaautobuska veza do grada y. ♦

Primjer 1.2. U geometriji kao objekte koristimo prave i tacke. Posmatramo li jednupravu, onda za bilo koje njene tri tacke A, B i C mozemo posmatrati njihov odnos napravoj naprimjer, da je tacka A izmedu tacaka B i C. Na ovaj nacin definisemo jednuternarnu relaciju.U skupu R3 elementi su uredene trojke (x, y, z). Jednu ternarnu relaciju na R mozemo

definisati sa:(x, y, z) ∈ ρ ⇐⇒ x2 + y2 − z2 = 0 . ♦

1

1.1. Relacije

Za binarnu relaciju ρ osim oznake (x, y) ∈ ρ za pripadnost elementa (x, y) relaciji ρ, uliteraturi se za to oznacavanje cesto koristi neka od sljedecih oznaka:

ρ(x, y) , xρy , x ≡ y(mod ρ) , x ≡ρ y .

Jedna primjedba: U biti, binarne relacije u teoriji skupova su dvomjesni predikati u logici.Medutim, ne mozemo svaki dvomjesni predikat smatrati relacijom. Zaista, na samom pocetkunase teorije skupova, dogovarajuci alfabet, uveli smo novi znak ”∈”, da bi smo obogatilimogucnosti zapisa atomarnih formula. Dakle, u pitanju je dvomjesni predikat koga za x ∈ y

citamo x pripada y. Ako su sada x i y proizvoljni skupovi, da li je {(x, y) | x ∈ y} relacija?Oznacimo sa S = {(x, y) | x ∈ y}. Kako za proizvoljan skup x vrijedi x ∈ {x}, zakljucujemo davrijedi

(∀x) (x, {x}) ∈ S .

Iz definicije uredenog para imamo da je {a} ∈ (a, b) = {{a}, {a, b}}, a odavde onda imamo

(∀x) {x} ∈ ∪S ,

a ovo opet znaci,(∀x) x ∈ ∪ ∪ S .

Kako je u posljednjem x proizvoljan skup, ovo znaci

(∃y)(∀x) x ∈ y ,

a ovo bi znacilo da je y = ∪ ∪ S skup svih skupova, sto naravno prema ZF aksiomatici nije

moguce. Dakle, ako je S skup onda je ∪S skup (aksiom unije), a onda je i ∪ ∪ S skup (aksiom

unije), a to je neodrzivo, te S ne moze biti skup. Dakle, pripadnost nije relacija.

Definicija 1.1.2

Neka je ρ ⊆ X × Y proizvoljna binarna relacija.

1. Skup D1(ρ) = {x ∈ X | (∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ ρ}, nazivamo domen ili lijevopodrucje relacije ρ.

2. Skup D2(ρ) = {y ∈ Y | (∃x ∈ X) (x, y) ∈ ρ}, nazivamo kodomen ili desnopodrucje relacije ρ.

Primjer 1.3. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5} i Y = {a, b, c, d}. Skup

ρ = {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, c), (4, a)} ⊂ X × Y ,

predstavlja binarnu relaciju sa X u Y . Pri tome je

D1(ρ) = {1, 2, 3, 4} ⊂ X , a D2(ρ) = {a, b, c} ⊂ Y . ♦Primjer 1.4. Neka je ρ = {(m,n) | m,n ∈ N ∧ n = 2m} ⊂ N × N zadata relacija.Tada je D1(ρ) = N, a D2(ρ) = 2N, tojest desno podrucje je skup svih parnih prirodnihbrojeva. ♦

Primjer 1.5. Neka je relacija ρ, ”biti duplo veci” definisana na skupu neparnih prirodnihbrojeva. Tada je D1(ρ) = D2(ρ) = ∅ jer ne postoji neparan broj koji je dva puta veciod nekog drugog neparnog broja. ♦

2

1.1. Relacije

Definicija 1.1.3

Neka su X,Y i Z proizvoljni skupovi. Neka je ρ1 ⊆ X × Y i ρ2 ⊆ Y × Z. Podkompozicijom relacija ρ1 i ρ2, podrazumijevamo skup

ρ2 ◦ ρ1 = {(x, z) | (∃y ∈ Y )((x, y) ∈ ρ1 ∧ (y, z) ∈ ρ2)} .

Primjer 1.6. Neka su X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b, c} i Z = {2, 3, 4, 5} skupovi i relacijeρ ⊆ X × Y i R ⊆ Y × Z zadate sa

ρ = {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, c)} , R = {(a, 2), (a, 3), (b, 3), (b, 4), (c, 2)} .

Tada je kompozicija ove dvije relacije, R ◦ ρ, zadata sa

R ◦ ρ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 2), (3, 2)} . ♦

Primjer 1.7. Neka je X skup svih ljudi i neka su na X definisane dvije relacije:

x, y ∈ X , (x, y) ∈ ρ1def⇐⇒ x je roditelj od y (bioloski) ,

x, y ∈ X , (x, y) ∈ ρ2def⇐⇒ x je brat od y (bioloski) .

Jasno je da ρ1, ρ2 ⊆ X ×X , te su obje relacije.Neka su x, z ∈ X proizvoljni. Ako postoji osoba y ∈ X takva da je (x, y) ∈ ρ1 i

(y, z) ∈ ρ2, prema definiciji kompozicije to znaci da (x, z) ∈ ρ2◦ρ1. Podatak da (x, y) ∈ ρ1znaci da je osoba x roditelj od y, a podatak (y, z) ∈ ρ2 znaci da je osoba y brat od z.Tada podatak (x, z) ∈ ρ2 ◦ ρ1 znaci da je x roditelj od z.Neka su sada x, z ∈ X proizvoljni i neka postoji osoba y ∈ X takva da je (x, y) ∈ ρ2 i

(y, z) ∈ ρ1. (x, y) ∈ ρ2 znaci da je osoba x brat od y, a (y, z) ∈ ρ1 da je osoba y roditeljod z. Prema definiciji kompozicije relacija je (x, z) ∈ ρ1 ◦ρ2, a sada ovo znaci da je osobax dajdza ili amidza od z. Sta ce biti relacije ρ1 ◦ ρ1 i ρ2 ◦ ρ2? ♦

Iz definicije kompozicije dvije relacije, ρ2 ◦ ρ1, vidimo da bi kompozicija bila dobrodefinisana mora desno podrucje relacije ρ1 biti jednako lijevom podrucju relacije ρ2,tojest korektnost definisane kompozicije diktirana je uslovom D2(ρ1) = D1(ρ2). Pritome je kompozicija dvije relacije opet relacija jer ρ2 ◦ ρ1 ⊆ X × Z. Medutim, ako jeρ1 ⊆ X×Y i ρ2 ⊆ Y ×Z i pri tome X 6= Z, jasno je da nece biti uopste moguce napravitikompoziciju ρ1 ◦ ρ2. Ovo nam govori da kompozicija dvije relacije u opstem slucaju nijekomutativna operacija, tojest u opstem slucaju ne vrijedi ρ2 ◦ ρ1 = ρ1 ◦ ρ2, a ovo nampotvrduje i Primjer 1.7.

Lema 1.1.1

Neka su X,Y i Z proizvoljni skupovi, ρ1 ⊆ X × Y i ρ2 ⊆ Y × Z binarne relacije.Tada vrijedi

D1(ρ2 ◦ ρ1) ⊆ D1(ρ1) , D2(ρ2 ◦ ρ1) ⊆ D2(ρ2) .

3

1.1. Relacije

Dokaz :

D1(ρ2 ◦ ρ1) = {x ∈ X | (∃z ∈ Z) (x, z) ∈ ρ2 ◦ ρ1} definicija lijevog podrucja

= {x ∈ X | (∃z ∈ Z)(∃y ∈ Y )((x, y) ∈ ρ1 ∧ (y, z) ∈ ρ2)} definicija kompozicije

⊆ {x ∈ X | (∃y ∈ Y )(x, y) ∈ ρ1 ∧ (∃y ∈ Y )(∃z ∈ Z)(y, z) ∈ ρ2}valjana formula (∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ⇒ (∃x)P (x) ∧ (∃x)Q(x)

= {x ∈ X | (∃y ∈ Y )(x, y) ∈ ρ1} = D1(ρ1) . definicija lijevog podrucja

Primjetimo da ce vrijediti skupovna jednakosti ako je D2(ρ1) ⊆ D1(ρ2).Dokaz druge skupovne nejednakosti ostavljen je za vjezbu. ✷

Definicija 1.1.4

Neka je ρ ⊆ X × Y proizvoljna binarna relacija. Inverzna relacija relacije ρ, jerelacija

ρ−1 = {(y, x)| (x, y) ∈ ρ} ⊆ Y ×X .

Primjer 1.8. Neka je ρ ⊆ N× N definisana sa

n,m ∈ N , (n,m) ∈ ρ ⇐⇒ n2 = m .

Tada je ρ = {(n, n2) | n ∈ N} = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), ...}. Prema definiciji inverznerelacije je onda ρ−1 = {(1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), ...} = {(n2, n) | n ∈ N}, ili

n,m ∈ N , (n,m) ∈ ρ−1 ⇐⇒√n = m ♦

Primjer 1.9. U Primjeru 1.7 koristili smo relacije ρ1 (”biti roditelj od”) i ρ2 (”biti bratod”). Ako (x, y) ∈ ρ1, sto znaci da je osoba x roditelj od y, prema definiciji inverznerelacije tada (y, x) ∈ ρ−1

1 , a ovo onda znaci da je osoba y dijete (musko ili zensko) od x.Dakle, relacija ρ−1

1 je relacija ”biti dijete od”. Isti tako, ako (x, y) ∈ ρ2, tada (y, x) ∈ ρ−12 ,

a to znaci da je osoba y brat ili sestra od x, te je relacija ρ−12 ”biti brat ili sestra od”.

Sta su relacije ρ−12 ◦ ρ−1

1 , ρ−11 ◦ ρ−1

2 , ρ−11 ◦ ρ−1

1 i ρ−12 ◦ ρ−1

2 ? ♦

Ocigledno iz same definicije slijedi idempotentnost inverznosti relacije, tojest za

proizvoljnu relaciju vrijedi(

ρ−1)−1

= ρ. Takode, iz definicije inverzne relacije direktnoimamo (X × Y )−1 = Y ×X .

Lema 1.1.2

Neka je ρ ⊆ X × Y proizvoljna relacija. Tada vrijedi:

D1(ρ−1) = D2(ρ) i D2(ρ

−1) = D1(ρ) .

Dokaz : Neka je ρ ⊆ X × Y proizvoljna relacija. Prema Definiciji 1.1.2 je

D1(ρ−1) = {y ∈ Y | (∃x ∈ X)(y, x) ∈ ρ−1} ,

4

1.1. Relacije

a ovo je na osnovu definicije inverzne relacije ekvivalentno sa

D1(ρ−1) = {y ∈ Y | (∃x ∈ X)(x, y) ∈ ρ} .

Skup na desnoj strani posljednje jednakosti nije nista drugo do D2(ρ), te je D1(ρ−1) =

D2(ρ). Dokaz druge skupovne jednakosti je ostavljen za vjezbu. ✷

Lema 1.1.3

Neka su zadate relacije ρ1 ⊆ X × Y , ρ2 ⊆ Y × Z i ρ3 ⊆ Z ×W . Tada vrijedi

1. (ρ2 ◦ ρ1)−1 = ρ−11 ◦ ρ−1

2 .

2. (ρ3 ◦ ρ2) ◦ ρ1 = ρ3 ◦ (ρ2 ◦ ρ1).

Dokaz :

1. Neka je (z, x) ∈ (ρ2 ◦ ρ1)−1 proizvoljan. Tada vrijedi niz ekvivalencija,

(z, x) ∈ (ρ2 ◦ ρ1)−1 ⇔ (x, z) ∈ ρ2 ◦ ρ1 definicija inverzne relacije

⇔ (∃y ∈ Y )((x, y) ∈ ρ1 ∧ (y, z) ∈ ρ2) definicija kompozicije

⇔ (∃y ∈ Y )((y, x) ∈ ρ−11 ∧ (z, y) ∈ ρ−1

2 )definicija inverzne relacije

⇔ (∃y ∈ Y )((z, y) ∈ ρ−12 ∧ (y, x) ∈ ρ−1

1 ) komutativnost

⇔ (z, x) ∈ ρ−11 ◦ ρ−1

2 . definicija kompozicije

Na osnovu Aksioma 1 zakljucujemo jednakost skupova (ρ2 ◦ ρ1)−1 i ρ−11 ◦ ρ−1

2 .

2. Dokaz druge tvrdnje ostavljen je za vjezbu. ✷

Lema 1.1.4

Neka su zadate relacije ρ1, ρ2 ⊆ X × Y . Tada vrijedi

1. (ρ1 ∪ ρ2)−1 = ρ−1

1 ∪ ρ−12 .

2. (ρ1 ∩ ρ2)−1 = ρ−1

1 ∩ ρ−12 .

Dokaz :

1. Neka je (x, y) ∈ (ρ1 ∪ ρ2)−1 proizvoljan. Tada imamo,

(x, y) ∈ (ρ1 ∪ ρ2)−1 ⇔ (y, x) ∈ ρ1 ∪ ρ2 definicija inverzne relacije

⇔ (y, x) ∈ ρ1 ∨ (y, x) ∈ ρ2 definicija unije

⇔ (x, y) ∈ ρ−11 ∨ (x, y) ∈ ρ−1

2 definicija inverzne relacije

⇔ (x, y) ∈ ρ−11 ∪ ρ−1

2 . definicija unije

Na osnovu Aksioma 1 zakljucujemo jednakost skupova (ρ1 ∪ ρ2)−1 i ρ−1

1 ∪ ρ−12 .

5

1.1. Relacije

2. Dokaz druge tvrdnje ostavljen je za vjezbu. ✷

1.1.1 Osobine relacija

Sljedecom definicijom uvodimo jednu specijalnu binarnu relaciju na proizvoljnom skupu,pomocu koje cemo okarakterisati mnoge osobine relacija.

Definicija 1.1.5

Neka je X neprazan skup. Relaciju ∆ ⊂ X ×X , definisanu sa

∆ = {(x, x)| x ∈ X} ,

nazivamo dijagonalna relacija skupa X .

Relacije kao specijalna vrsta skupova, imaju neke svoje vazne osobine. Uvodimo nekenajvaznije od tih osobina za binarne relacije.

Definicija 1.1.6

Neka je ρ ⊆ X ×X .

1. Za ρ kazemo da je refleksivna, ako vrijedi ∅ 6= ∆ ⊆ ρ.

2. Za ρ kazemo da je antirefleksivna, ako vrijedi ∆ ∩ ρ = ∅.

3. Za ρ kazemo da je simetricna, ako vrijedi ρ−1 = ρ.

4. Za ρ kazemo da je antisimetricna, ako vrijedi ρ ∩ ρ−1 ⊆ ∆.

5. Za ρ kazemo da je asimetricna, ako vrijedi ρ ∩ ρ−1 = ∅.

6. Za ρ kazemo da je tranzitivna, ako vrijedi ρ ◦ ρ ⊆ ρ.

7. Za ρ kazemo da je povezana, ako vrijedi X ×X = ρ ∪ ρ−1 ∪∆.

Osobine relacija u gornjoj definiciji su iskazane u skupovnom smislu. One se moguiskazati i na drugaciji, formalno-logicki nacin. Tako imamo,

(∀x ∈ X) xρx ( refleksivnost )(∀x ∈ X) ¬(xρx) ( antirefleksivnost )(∀x, y ∈ X)(xρy ⇒ yρx) ( simetricnost )(∀x, y ∈ X)(xρy ∧ yρx ⇒ x = y) ( antisimetricnost )(∀x, y ∈ X)(xρy ⇒ ¬(yρx)) ( asimetricnost )(∀x, y, z ∈ X)(xρy ∧ yρz ⇒ xρz) ( tranzitivnost )(∀x, y ∈ X)(x 6= y ⇒ xρy ∨ yρx) ( povezanost )

Primjer 1.10. Neka je X = {1, 2, 3, 4} i na njemu definisana relacija:

ρ = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4)} .

Dijagonalna relacija na skupu X je ∆ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.Ocigledno je ∆ ⊂ ρ te je relacija ρ refleksivna.

6

1.1. Relacije

Jasno je da ona tada nije antirefleksivna, sto naravno vidimo i iz uslova ∆∩ ρ = ∆ 6= ∅.Kako je ρ−1 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}= ρ, relacija je simetricna.Relacija nije antisimetricna jer ρ∩ ρ−1 = ρ i nije podskup od ∆. To naravno vidimo i izcinjenice (2, 3) ∈ ρ i (3, 2) ∈ ρ, a pri tome 2 6= 3.Relacija nije ni asimetricna jer ρ ∩ ρ−1 6= ∅.Kako je ρ ◦ ρ = ρ ⊆ ρ, relacija je tranzitivna.ρ ∪ ρ−1 ∪∆ = ρ 6= X ×X , pa relacija nije povezana. ♦

Primjer 1.11. U Primjeru 1.7 koristili smo relaciju ρ1 ”biti roditelj od”. Kako nitijedna osoba fizicki ne moze biti roditelj samog sebe, jasno je da ∆ = ∅. Dakle, jestezadovoljen uslov ∆ = ∅ ⊆ ρ1, ali zbog ∆ = ∅ relacija ρ1 nije refleksivna. Cinjenicuda je dijagonalna relacija prazan skup iskoristit cemo da konstatujemo antirefleksivnostrelacije ρ1, tojest niti jedna osoba nije roditelj samog sebe.Kao sto smo vidjeli, relacija ρ−1

1 bila je ”biti dijete od” te kao takva nije jednaka sa ρ1, parelacija nije simetricna. Posmatrajmo uslov antisimetricnosti, (∀x, y ∈ X)(xρy ∧ yρx ⇒x = y). Njegovom negacijom (relacija nije antisimetricna) imamo uslov

(∃x, y ∈ X)(xρy ∧ yρx ∧ x 6= y) ,

tojest da postoje dvije razlicite osobe tako da je svaka od njih roditelj one druge, a stoje ocigledno nemoguce. Dakle, nasa relacija je antisimetricna. Ovo smo mogli zakljucitii iz sljedeceg, ρ1 ∩ ρ−1

1 = ∅ = ∆! Kako je ρ1 ∩ ρ−11 = ∅, relacija je i asimetricna.

Iz cinjenice da je osba x roditelj od y (xρ1y) i da je y roditelj od z (yρ1z) zakljucujemoda je osoba x djed ili nana od osobe z, tojest ne mozemo zakljuciti xρ1z. Dakle, nevrijedi ρ1 ◦ ρ1 ⊆ ρ1, te relacija nije tranzitivna.Za bilo koje dvije razlicite osobe x i y ne mora ni jedna od njih biti roditelj onom drugom,a kako ni jedna osoba nije roditelj samog sebe zakljucujemo da ne vrijedi X × X =ρ1 ∪ ρ−1

1 ∪∆. Dakle, relacija ρ1 nije povezana. ♦

Za izucavanje daljih pojmova teorije skupova, spomenimo jos jednu vaznu osobinurelacija.

Definicija 1.1.7

Ako relacija ρ ⊆ X × Y zadovoljava osobinu

x1ρy ∧ x2ρy ⇒ x1 = x2 ,

kazemo da je relacija ρ jednokorijena relacija.

1.1.2 Predstavljanje relacija

U radu sa relacijama korisno je imati i nekakav ”graficki” nacin njihovog prikazivanja.Naravno, ta predstavljanja su u mnogome diktirana oblikom skupova na kojima je relacijazadata. Navedimo tri takva nacina.Neka je X = {x1, x2, ..., xn} i ρ ⊆ X ×X . Tada elemente skupa X mozemo prestaviti

na nekoj zamisljenoj pravoj. Predstavljajuci elemente skupa X na jednoj takvoj

7

1.1. Relacije

horizontalnoj i vertikalnoj pravoj, uredene parove dobijamo u presjeku horizontalnih ivertikalnih linija kroz tacke skupa predstavljene na osama. Jasno, skup svih tihpresjecnih tacaka tada predstavlja direktni produkt X ×X .

x1 x2 x3· · · xi xn

x1

x2

x3

...

xj

xn

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bxiρxj

(a) Direktni produkt X ×X

x1 x2 x3· · · xi xn

x1

x2

x3

...

xj

xn

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bxiρxj

(b) Relacija ρ ⊆ X ×X

Slika 1.1: Graficko predstavljanje relacije.

Kako je relacija ρ podskup odX×X , izdvajanjem nekih tacaka presjeka dobijamo relacijuρ.

Primjer 1.12. Na skupu X = {1, 2, 3, 4, 5} zadata je relacija,

x, y ∈ X , xρydef⇔ x+ y je neparan broj .

Tada zadata relacija predstavlja skup

ρ = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4)} .

Drzeci se gore opisanog nacina, graficki prikaz zadate relacija dat je na slici 1.2. ♦

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Slika 1.2: Relacija ρ iz Primjera 1.12.

Relacije mozemo predstavljati i pomocu grafova (pojam grafa uzimamo cisto intuitivno,a njihovim izucavanjem se bavi citava grana matematike, Teorija grafova). Neka je zadatskup X = {x1, x2, ..., xn}. Ako njegove elemente predstavimo jednostavnim tackama(cvorovima) u ravni, tada se veze (relacija) izmedu njegovih elemenata mogu prikazatijednostavnim spajanjem odgovarajucih tacaka usmjerenim linijama (granama) kojimanaglasavamo veze tih elemenata (slika 1.3).

Primjer 1.13. Neka je zadat skup X = {2, 3, 4, 5, 6} i relacija ρ na njemu, definisana sa

x, y ∈ X , x ρ ydef⇔ x+ y ≥ 9 .

ρ = {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Predstavljanje overelacije grafom dato je narednom slikom. ♦

8

1.1. Relacije

xi xj

xi ρ xj

xi xj

xj ρ xi

x

x ρ x

Slika 1.3: Predstavljanje veza grafom.

2

3

4 5

6

Slika 1.4: Graf relacije ρ iz primjera 1.13

Treci nacin predstavljanja relacija je pomocu Boolovih matrica. Pri tomepretpostavljamo da je relacija definisana na konacnom skupu X = {x1, x2, . . . , xn}.Tada Boolova matrica relacije ρ ⊆ X ×X je matrica

Mρ =

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n· · · · · · · · · · · ·an,1 an,2 · · · an,n

,

gdje su

ai,j =

{

0 ; xi nije u relaciji sa xj

1 ; xi je u relaciji sa xj

Matricu nazivamo Boolovom jer se sastoji samo od 1 (postoji veza) ili 0 (ne postoji veza).

Primjer 1.14. Neka je X = {1, 2, 3, 4} i

ρ = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} ⊂ X ×X .

Tada je matrica ove relacije,

Mρ =

0 1 1 00 1 1 00 1 0 11 0 0 1

.

♦

1.1.3 Relacija ekvivalencije

Definicija 1.1.8

Neka je X proizvoljan neprazan skup. Binarnu relaciju ρ na X nazivamo relacija

9

1.1. Relacije

ekvivalencije, ako i samo ako je ona refleksivna, simetricna i tranzitivna.

Primjer 1.15. Na skupu prirodnih brojeva (N) definisimo relaciju

m,n ∈ N , m ρ ndef⇐⇒ m+ n paran broj.

Parnost prirodnog broja n okarakterisana je time da postoji prirodan broj k, takav daje n = 2k.Za proizvoljno n ∈ N imamo da je n + n = 2n, tojest vrijedi nρn, te je relacija ρrefleksivna.Neka su m,n ∈ N proizvoljni i neka je mρn. To znaci da je m+ n = 2k, za neko k ∈ N,a na osnovu osobine komutativnosti sabiranja onda je m+n = n+m = 2k, te je i n+mparan broj, odnosno vrijedi nρm. Dakle ρ je i simetricna relacija.Neka su sada m,n, k ∈ N proizvoljni, takvi da je mρn i nρk. Znaci, postoje l, s ∈ N, takoda je m+ n = 2s i n+ k = 2l. Odavde onda imamo da vrijedi m = 2s− n i k = 2l− n.Tada je

m+ k = 2s− n+ 2l− n = 2s+ 2l− 2n = 2(s+ l − n) .

Dakle, m+ k je paran broj, te vrijedi i mρk, a to znaci da je nasa relacija i tranzitivna.Na osnovu svega recenog, pozivajuci se na Definiciju 1.1.8, zakljucujemo da je ρ relacijaekvivalencije. ♦

Primjer 1.16. Zadat je skup A = {b, c, d, e} i binarna relacija na njemu,

ρ = {(b, b), (b, c), (b, d)(c, b), (c, c), (c, d), (d, d), (d, b), (d, c)} .

Data relacija nije refleksivna! Iako jeste bρb, cρc i dρd, nije zadovoljeno eρe, a zahtjevu refleksivnosti jeste da je za svako x ∈ A zadovoljeno xρx.Relacija ρ jeste simetricna! Zaista, u simetricnosti imamo zahtjev da kad god jeste xρy,

onda mora biti i yρx. Pojedinacnim provjerama vidimo da nasa relacija to zadovoljava:bρc onda cρb, bρd onda dρb, cρd onda dρc. Primjetimo da je istinitosna vrijednostimplikacije bρe ⇒ eρb, ⊥ ⇒ ⊥, te je ona tacna. Isto zakljucujemo za cρe ⇒ eρc idρe ⇒ eρd, te je predikat (∀x, y ∈ A)(xρy ⇒ yρx) valjana formula.Relacija ρ je i tranzitivna, ali uobicajeno treba malo vise posla za pokazati to. Naime,

moramo pokazati da za sve x, y, z ∈ A istinita je tvrdnja xρy ∧ yρz ⇒ xρz. Naprimjer,neka je x = b, y = c i z = d. Tada imamo bρc ∧ c ρd ⇒ bρc, a ovo je tacan iskazjer se svodi na (⊤ ∧ ⊤) ⇒ ⊤. Neka je sada x = b, y = e i z = c, te dobijamoiskaz bρe ∧ eρc ⇒ bρc, koji se svodi na (⊥ ∧ ⊥) ⇒ ⊤, a koji je opet tacan iskaz.Provjerom ostalih kombinacija bi utvrdili da je nas uslov tranzitivnosti valjana formula,tojest relacija je tranzitivna.Dakle, posmatrana relacija jeste simetricna i tranzitivna, ali nije refleksivnam, a timenije relacija ekvivalencije. ♦

Primjer 1.17. Neka je p ∈ N. Oznakom x ≡ y mod p oznacavamo da je x − y = kp zaneki cijeli broj k.Za zadato p ∈ N definisimo na skupu cijelih brojeva (Z) relaciju

R = {(x, y) ∈ Z× Z | x ≡ y mod p} .

10

1.1. Relacije

b c d e

b

c

d

e

b

b

b

b

b

b b

b

b

(a) Grafik relacije ρ

e

b c

d

(b) Graf relacije ρ

Slika 1.5: Relacija ρ iz Primjera 1.16.

Kako je x− x = 0 = 0p za proizvoljno x ∈ Z, zakljucujemo da je relacija R refleksivna.Neka je za x, y ∈ Z, x ≡ y mod p, tojest x−y = kp za neko k ∈ Z.Tada je y−x = (−k)p,te je y ≡ x mod p. Dakle, relacija R je simetricna.Neka za x, y, z ∈ Z vrijedi x ≡ y mod p i y ≡ z mod p, tojest x− y = k1p i y− z = k2p zaneke k1, k2 ∈ Z. Tada je x−z = (x−y)+(y−z) = k1p+k2p = kp, gdje je k = k1+k2 ∈ Z.Dakle vrijedi x ≡ z mod p, te je relacija R tranzitivna.Iz svega recenog zakljucujemo da je relacija R jedna relacija ekvivalencije na skupu Z.

♦

Uobicajeno se za relacije ekvivalencije koristi simbol ”∼”, koga citamo ”tilda”. Jednaod osnovnih ideja pomocu koje se koristi relacija ekvivalencije jeste razbijanje ilidekompozicija skupa.

Definicija 1.1.9

Neka je zadat proizvoljan neprazan skup X . Familiju skupova {Ai | i ∈ I}, kojazadovoljava osobine

1. (∀i, j ∈ I)(i 6= j ⇒ Ai ∩Aj = ∅),

2. X =⋃

i∈I

Ai,

nazivamo dekompozicija ili particija skupa X .

Ako je familija {Ai | i ∈ I} proizvoljna particija skupa X , tada na X mozemo definisatirelaciju

x, y ∈ X ; x ∼ ydef⇐⇒ x, y ∈ Ai , za neko i ∈ I .

Nije tesko provjeriti da je ovako definisana relacija upravo relacija ekvivalencije na X .Zaista, na osnovu druge osobine dekompozicije imamo da za proizvoljno x ∈ X , postojii ∈ I, tako da je x ∈ Ai, tojest za proizvoljno x ∈ X je x ∼ x, a to je osobina refleksivnostirelacije ”∼”. Ako su x, y ∈ X proizvoljni, za koje vrijedi x ∼ y, to znaci da postoji i ∈ I,takav da x, y ∈ Ai, a to je isto kao da kazemo da y, x ∈ Ai, sto je opet ekvivalentnosa tim da je y ∼ x, tojest imamo osobinu simetricnosti. Na kraju, ako za proizvoljnex, y, z ∈ X vrijedi x ∼ y i y ∼ z, to znaci da postoje i, j ∈ I, takvi da je x, y ∈ Ai

i y, z ∈ Aj . Zbog prve osobine dekompozicije, element y moze pripadati samo jednom

11

1.1. Relacije

skupu date familije, pa zakljucujemo da mora biti Ai = Aj , iz cega onda opet imamo dax, z ∈ Ai, tojest x ∼ z, a to je osobina tranzitivnosti relacije ”∼”.Dakle, svaka particija skupa odreduje jednu relaciju ekvivalencije na tom skupu. Vrijedi

i obrnuta situacija, tojest svaka relacija ekvivalencije ce odredivati neku particiju skupa,a da bi to pokazali definisimo sljedeci pojam.

Definicija 1.1.10

Neka je na nepraznom skupu X definisana relacija ekvivalencije ∼. Za proizvoljnox ∈ X skup

[x] = {y ∈ X | x ∼ y} ,

nazivamo klasa ekvivalencije elementa x. Skup svih klasa ekvivalencija u odnosuna relaciju ∼ nazivamo kolicnicki skup skupa X i oznacavamo ga sa

X/∼ = { [x] | x ∈ X} .

Jasno je, zbog osobine refleksivnosti relacije ekvivalencije, da je svaka klasa ekvivalencijeneprazan skup. Osim toga, ako je x′ ∈ [x] proizvoljan, klasu [x] takode mozemo oznacitii sa [x′], pri tome proizvoljan element klase nazivamo predstavnikom klase.

Primjer 1.18. U Primjeru 1.15 definisali smo relaciju ρ i pokazali da je ona relacijaekvivalencije. Odredimo klasu ekvivalencije broja 5 ∈ N.

[5] = {n ∈ N | 5ρn} = {n ∈ N | 5 + n paran broj}= {n ∈ N | n neparan broj} .

U gornjem smo se posluzili cinjenicama da je broj 5 neparan, da je zbir dva neparnabroja paran broj i da je zbir neparnog i parnog broja neparan broj. Sada naprimjervrijedi 3 ∈ [5], 101 ∈ [5], ali 2 /∈ [5].Ako sa 2N oznacimo skup parnih brojeva, a sa 2N+ 1 skup neparnih brojeva, lahko se

uvjeravamo da ce za proizvoljan paran broj n ∈ N biti [n] = 2N, a za proizvoljan neparanm ∈ N, [m] = 2N + 1. Ovime opravdavamo cinjenicu da ako je k ∈ [n] da tada klasuekvivalencije [n] mozemo pisati i sa [k]. Naprimjer, kako je 3 ∈ [5], tada je [3] = [5].Kako prirodan broj moze biti ili paran ili neparan, jasno je da na skupu N, u odnosu na

relaciju ρ, postoje samo dvije klase ekvivalencije i to su skupovi 2N i 2N + 1. Pri tomeocigledno vrijedi

N = 2N ∪ (2N+ 1) ♦Posljednja iskazana cinjenica u gornjem primjeru predstavlja osnovnu karakteristiku

klasa ekvivalencije, a iskazujemo je sljedecim tvrdenjem.

Teorem 1.1.5

Neka je na nepraznom skupu X definisana relacija ekvivalencije ∼. Za proizvoljnex, y ∈ X vrijedi

ili [x] = [y] ili [x] ∩ [y] = ∅ .

Dokaz : Neka su x, y ∈ X proizvoljni i neka je x 6= y. Pretpostavimo prvo da vrijedi[x] ∩ [y] = ∅, tojest da niti jedan element klase [x] ne pripada klasi [y]. To znaci da

12

1.1. Relacije

x ∈ [x] i x /∈ [y], a iz ovoga, na osnovu aksioma ekstenzionalnosti zakljucujemo da je[x] 6= [y].Neka je sada [x] ∩ [y] 6= ∅. Dakle, postoji z ∈ X , takav da z ∈ [x] i z ∈ [y], a to

onda znaci da je x ∼ z i y ∼ z. Na osnovu simetricnosti i tranzitivnosti relacije ∼, sadabi imali da vrijedi x ∼ y, tojest x i y pripadaju istoj klasi, a kako su oni proizvoljnipredstavnici svojih klasa, zakljucujemo da vrijedi [x] = [y]. ✷

Na osnovu ove tvrdnje sada imamo sljedece razmatranje: ako je na X definisana relacijaekvivalencije, tada su svake dvije razlicite klase medusobno disjunktne i svaki elementskupa X nalazi se u tacno jednoj klasi ekvivalencije, a sve ovo nam onda na osnovuDefinicije 1.1.10 govori da je familija X/∼ jedna particija skupa X . Dakle, kao storekosmo ranije, vrijedi i obrat, tojest svaka relacija ekvivalencije na skupu, definise jednuparticiju tog skupa.

Primjer 1.19. Na skupu Q = {mn

| m ∈ Z, n ∈ N} (racionalni brojevi) uvedimo relaciju

q1 =m1

n1, q2 =

m2

n2∈ Q , q1 ∼ q2

def= m1n2 −m2n1 = 0 .

Za proizvoljan q = mn∈ Q je mn−mn = 0, tojest q ∼ q, te je relacija refleksivna.

Neka su q1 = m1

n1

, q2 = m2

n2

∈ Q takvi da je q1 ∼ q2, tojest neka je m1n2 − m2n1 = 0.Tada je m2n1 −m1n2 = 0, te je q2 ∼ q1. Dakle, relacija je simetricna.Neka su q1 = m1

n1

, q2 = m2

n2

, q3 = m3

n3

∈ Q, takvi da je q1 ∼ q2 i q2 ∼ q3. Prema definicijirelacije ovo znaci da vrijedi m1n2 −m2n1 = 0 i m2n3 −m3n2 = 0 ili sto je ekvivalentnom1

n1

= m2

n2

i m2

n2

= m3

n3

iz cega zakljucujemo da je onda i m1

n1

= m3

n3

, tojestm1n3−m3n1 = 0.Dakle vrijedi q1 ∼ q3 te je relacija tranzitivna. Iz svega navedenog imamo da je uvedenarelacija, relacija ekvivalencije.Za proizvoljan q ∈ Q je [q] = {p ∈ Q | q ∼ p}. Tako je naprimjer

[

1

2

]

=

{

1

2,2

4,3

6, ...,

100

200, ...

}

, ili [1] =

{

1

1,2

2,3

3, ...,

200

200, ...

}

.

Ocigledno klasa ekvivalencije nekog racionalnog broja predstavlja sve moguce nacinezapisa tog broja kao razlomka. Ako sada posmatramo kolicnicki skup Q/∼, on cepredstavljati sve racionalne brojeve, ali sa jedinstvenim zapisom. ♦

Koristenje grafickog predstavljanja relacija demonstrirajmo sljedecim primjerom.

Primjer 1.20. Neka je zadata relacija ρ = {(2, 2), (4, 1), (4, 3), (5, 3)}, na skupuX = {1, 2, 3, 4, 5}. Odrediti najmanju relaciju ekvivalencije na X koja sadrzi relaciju ρ!Predstavimo relaciju ρ grafom.

1

2

3 4

5

Slika 1.6: Graf relacije ρ

Kako zahtjevamo relaciju ekvivalencije, zelimo da relacija bude refleksivna, simetricnai tranzitivna. Te zahtjeve cemo ispuniti u tri koraka.

13

1.1. Relacije

(I Korak) ”Dopunimo” relaciju do refleksivnosti. U predstavljanju relacije grafom,refleksivnost (xρx) interpretiramo tako da svaki element ima vezu sa samim sobom.Dakle, na svaki cvor dodajmo ”petlju”.(II Korak) Simetricnost (xρy ⇒ yρx) interpretiremo tako da gdje god imamo vezu

(liniju) sa elementa x na element y, moramo imati i obratnu vezu, sa y na x.(III Korak) ”Dopunjavanje” do tranzitivnosti (xρy ∧ yρz ⇒ xρz) vrsimo tako sto

zatvaramo sve trouglove u relaciji, tojest ako relaciji pripadaju parovi (x, y) i (y, z)dodajemo i par (x, z), ali i (z, x) (ako ih nije bilo) da bi ”odrzali” simetricnost. U nasemzadatku to su parovi (1, 3) i (3, 1) te (4, 5) i (5, 4).

1

2

3 4

5

(a) Dopunjenje do refleksivnosti

1

2

3 4

5

(b) Dopunjenje do simetricnosti

1

2

3 4

5

(c) Dopunjenje do tranzitivnosti

Novodobijena relacija

ρ′ ={(1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 4),(4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)} ,

je minimalno zatvorenje relacije ρ do relacije ekvivalencije, te ona sama predstavljarelaciju ekvivalencije. ♦

1.1.4 Relacija poretka

Druga vazna relacija je relacija poretka ili relacija uredenja.

Definicija 1.1.11

Neka je na skupu X definisana binarna relacija ρ. Za relaciju ρ kazemo da jerelacija parcijalnog poretka ako i samo ako zadovoljava uslove refleksivnosti,antisimetricnosti i tranzitivnosti. Uredeni par (X, ρ) tada nazivamo parcijalnoureden skup.

Ove relacije nam sluze da na nekom skupu vrsimo ”uredivanje” njegovih elelemata, ilida elemente tog skupa ”uporedujemo”, a jasno je da iz takvih uloga i potice naziv ovihrelacija.Za relacije parcijalnog poretka uobicajeno koristimo simbol ”≤” ili ”�” i citamo ga ”biti

ispred”, ne podrazumijevajuci uvijek znacenje ovoga u obicnom govoru.

Primjer 1.21. Na svakom od skupova prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva,relacija definisa sa

x ≤ ydef⇐⇒ (∃z nenegativan) x+ z = y ,

predstavljaju relaciju parcijalnog uredenja. Dakle, (N,≤), (Z,≤), (Q,≤) i (R,≤) suuredeni skupovi (preciznije, parcijalno uredeni skupovi). Pokazimo to za skup R.

14

1.1. Relacije

Neka je x ∈ R proizvoljan. Postoji 0 ∈ R (0 je nenegativna), takav da je x+0 = x, a stoprema definisanoj relaciji znaci x ≤ x. Zbog proizvoljnosti x ∈ R, relacija je refleksivna.Neka su sada x, y ∈ R takvi da je x ≤ y i y ≤ x. To znaci da postoje nenegativniz1, z2 ∈ R, takvi da je x+ z1 = y i y+ z2 = x. Uvrstavajuci y iz prve jednakosti u drugujednakost imamo (x+z1)+z2 = x, tojest x+(z1+z2) = x. Kako u skupu realnih brojevapostoji jedinstven neutralni element u odnosu na sabiranje, mora biti z1+ z2 = 0, a kakosu jos z1 i z2 nenegativni, zakljucujemo da je z1 = z2 = 0. Ovo onda znaci da je x = y,pa zbog proizvoljnosti elemenata imamo antisimetricnost relacije.Neka su sada x, y, z ∈ R proizvoljni takvi da je x ≤ y i y ≤ z. Tada postoje t1, t2 ∈ Rtakvi da je

x+ t1 = y (1)

y + t2 = z (2)

Stavljajuci y iz (1) u (2) dobijamo x+ (t1 + t2) = z. Kako su t1, t2 nenegativni takav jei t = t1 + t2, odakle zakljucujemo da postoji nenegativan t ∈ R, takav da je x+ t = z, asto je ekvivalentno sa tvrdnjom x ≤ z. Dakle, relacija je tranzitivna.

Iz svega recenog vidimo da je definisana relacija, relacija poretka. ♦

Primjer 1.22. Na skupu N uvedimo relaciju

n,m ∈ N , n|m def⇐⇒ (∃q ∈ N) m = n · q .

Relaciju ”|” tumacimo kao dijeljenje bez ostatka, tojest izraz n|m citamo ”n dijeli m bezostatka”.

Jasno je da je svaki prirodan broj djeljiv sa samim sobom, tojest vrijedi n|n, zaproizvoljno n ∈ N, a to znaci da je uvedena relacija refleksivna.Neka su m,n ∈ N takvi da vrijedi n|m i m|n. To znaci da postoje prirodni brojevi q1 iq2, takvi da je m = n · q1 i n = m · q2. Zamjenjujuci n iz druge jednakosti u prvujednokost imamo da je m = m · q1 · q2 iz cega je jasno da mora biti q1 = q2 = 1,odnosmo vrijedi n = m, sto pretstavlja osobinu antisimetricnosti.Neka su sada m,n, k ∈ N takvi da je m|n i n|k. Tada vrijedi n = m · q1 i k = n · q2.Zamjenjujuci n iz prve jednakosti u drugu jednakost i stavljajuci da je q1q2 = q ∈ N,dobijamo k = m · q, tojest m|k, pa je nasa relacija i tranzitivna.Iz svega navedenog, na osnovu Definicije 1.1.11 zakljucujemo da je relacija ”|”, relacijaparcijalnog poretka na skupu N.Primjetimo da ista ova relacija na skupu cijelih brojeva nije relacija poretka jer za

proizvoljan n ∈ Z je −n|n i n| − n, ali jasno ne vrijedi n = −n, tojest na skupu Z ovarelacija nije antisimetricna. ♦

Primjer 1.23. Za proizvoljan skup X , (P(X),⊆) primjer je parcijalno uredenog skupa.Ovo se ima na osnovu Teorema ??. ♦

Pomocu relacije parcijalnog poretka uvijek mozemo da definisemo i relaciju ”biti strogoispred”, u oznaci ”<” ili ”≺”, na sljedeci nacin

x < ydef⇐⇒ x ≤ y ∧ x 6= y ,

15

1.1. Relacije

i nazivamo je relacija striktnog ili strogog uredenja. Ovako uvedena relacija jeantirefleksivna i tranzitivna i nije antisimetricna, pa dakle nije relacija poretka. Takode,mozemo definisati i sljedecu relaciju

x ≥ ydef⇐⇒ y ≤ x ,

i sve tri ove relacije su medusobno definabilne (iz proizvoljne se mogu dobiti ostale).Za relaciju parcijalnog poretka, definisanu na skupu X , pravilnije bi bilo koristiti oznaku

”≤X” koju citamo ”relacija parcijalnog poretka na X”, ali kad god to ne izaziva zabunumi cemo pisati jednostavno ”≤”.

Definicija 1.1.12

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup. Za elemente x, y ∈ X kazemo da suuporedivi ako i samo ako vrijedi x ≤ y ili y ≤ x, u suprotnom kazemo da su x i yneuporedivi.

Prefiks ”parcijalno” u definiciji relacije poretka koristimo da naglasimo cinjenicu da nemoraju svi elementi datog skupa na kome je uvedena relacija poretka, biti ”uredeni” ilibiti ”uporedivi” tom relacijom. Za skupove na kojima je moguce definisati relacijuporetka u odnosu na koju su svi elementi skupa uporedivi imamo poseban termin.

Definicija 1.1.13

Neka je (X,4) parcijalno ureden skup. Za skup A ⊆ X kazemo da je lanac (linearnoili totalno ureden skup) ako i samo ako su svaka dva razlicita elementa tog skupauporediva.

Primjer 1.24. Ako posmatramo skup X = {1, 2, 3, 4, 5} sa relacijom ”≤” (biti manjiili jednak), jasno je da je X tada parcijalno ureden skup jer je posmatrana relacija ”≤”relacija poretka. Kako za proizvoljna dva elementa iz tog skupa tacno znamo ko je odkoga veci, tojest za proizvoljne x, y ∈ X znamo da je x ≤ y ili y ≤ x, to je on totalnoureden skup.Ako na istom skupu definisemo relaciju ”|” (dijeli), tada naprimjer za proizvoljno x ∈ X

imamo da je 1|x, tojest 1 je uporediva sa svakim elementom skupa X . Medutim, to nemozemo reci za element 3 jer ¬ 2|3 i ¬ 3|2, tojest 3 nije uporediv sa elementom 2. Stavise, element 3 nije uporediv datom relacijom niti sa jednim elementom skupa X \{1, 3},te je X sa ovom relacijom parcijalno ureden skup. ♦

Osim vec navedenih nacina (grafickog i pomocu grafa) predstavljanja relacija,predstavljanje relacija poretka se izvodi uobicajeno i poznatim Hasseovim1 dijagramom.Da objasnimo i ovaj nacin, definisimo sljedeci pojam.

1Helmut Hasse (1898-1979) - njemacki matematicar

16

1.1. Relacije

Definicija 1.1.14

Neka je (X, ρ) parcijalno ureden skup. Za element x ∈ X kazemo da je neposredniprethodnik elementa y ∈ X ako i samo ako vrijedi

(∀z ∈ X)(xρz ∧ zρy ⇒ z = x ∨ z = y) .

Prosto receno, element x je neposredni prethodnik elementa y ako se niti jedan elementskupa ne moze ”smjestiti izmedu” njih. Sada pomocu pojma neposrednog prethodnika,na uredenom skupu mozemo odrediti nivo svakog elementa tog skupa, u odnosu narelaciju uredenja. Neka je (X, ρ) parcijalno ureden skup.Za element x ∈ X kazemo da je na nivou 0 u odnosu na relaciju ρ ako nema niti jednogneposrednog prethodnika (za elemente koji se nalaze na nivou 0 kazemo da su atomi).U suprotnom, element x je na nivou k (k ∈ N) ako ima bar jednog neposrednogprethodnika na nivou k − 1, a svi ostali njegovi neposredni prethodnici imaju nivo neveci od k − 1. Hasseov dijagram uredenog skupa (X, ρ) konstruisemo na sljedeci nacin.Svakom elementu iz X pridruzujemo jedan cvor dijagrama. Sve cvorove u dijagramuredamo prema njihovom nivou, od 0-tog na dnu, do najviseg nivoa na vrhu. Svaki cvorspajamo (orijentisanom ili neorijentisanom) linijom sa svakim njegovim neposrednimprethodnikom. Ako se koriste orijentisane linije, onda orijentacija ide od cvora samanjim nivoom do cvora sa visim nivoom.

Primjer 1.25. Neka je dat skup X = {a, b, c}. Posmatrajmo parcijalno uredeni skup(P(X),⊆). Elementi partitivnog skupa su

P(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} .

Prazan skup je nultog nivoa jer nema niti jednog neposrednog prethodnika (prazan skupnije nadskup niti jednog skupa iz P(X), osim samog sebe). U odnosu na relaciju ”⊆”,skupovi {a}, {b} i {c} su prvog nivoa jer je prazan skup podskup svakog od njih, a nemajudrugih prethodnika. Skupovi {a, b}, {a, c} i {b, c} su drugog nivoa jer svaki od njih imabar jednog neposrednog prethodnika (skupovi iz prvog nivoa) i skup {a, b, c} je treceg(najviseg) nivoa. Hasseov dijagram sada izgleda,

bC

bC bC bC

bC bC bC

bC

∅

{a}

{a, b}

{c}

{b, c}

{b}

{a, c}

{a, b, c}

0 nivo

2 nivo

3 nivo

1 nivo

Slika 1.7: Hasseov diagram sa prikazanim nivoima.

♦Primjer 1.26. Zadat je uredeni skup ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, |). Hasseov dijagram je,

17

1.1. Relacije

bC

bC bC bC bC

bC bC bC

bC

1

2 3 5 7

4 6 9

8

Jedinicu ne dijeli niti jedan element skupa pa je ona 0-tog nivoa. Ona je takode”prethodnik” svih ostalih elemenata, ali je neposredni prethodnik elemenata 2, 3, 5 i 7koji su onda prvog nivoa. 1 jeste prthodnik broja 4, ali 2 je njegov neposredniprethodnik te je 4 drugog nivoa, a isto vazi za elemente 6 i 9. Na kraju, neposredniprethodnik 8 je 4, te je 8 treceg nivoa. ♦

Primjer 1.27. Neka je X skup svih muskaraca neke familije sa zajednickim pretkom(porodicno stablo) naprimjer, skup svih sinova, unuka i praunuka jednog pradjeda.

Adem

Mujo Huso

Mustafa

Amir Samir

Mehmed

Bekir

Ocigledno da ovako porodicno stablo nije nista drugo do Hasseov dijagram relacije ”bitipotomak” na skupu X (obrnuto postavljen po nivoima). ♦

Primjer 1.28. Konstruisati Hasseov dijagram za relaciju ”≤”, na skupu X = {1, 2, 3, 4}.

bC

bC

bC

bC

bC

1

2

3

4

5

♦

Iz same konstrukcije Hasseovog dijagrama se vidi da su elementi na istom nivoudijagrama medusobno neuporedivi. Iz ovoga je jasno onda da u totalno uredenomskupu (lancu), kod koga su svaka dva elementa uporediva, na svakom nivou moze bitisamo po jedan element, sto imamo u Primjeru 1.28, a to opravdava i naziv ”lanac” zaovakve skupove.

18

1.1. Relacije

Definicija 1.1.15

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup.

1. Za element x ∈ X kazemo da je maksimalan ako i samo ako ne postoji y ∈ X ,takav da je x < y.

2. Za element x ∈ X kazemo da je minimalan ako i samo ako ne postoji y ∈ X ,takav da je y < x.

Definicija 1.1.16

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup.

1. Za element x ∈ X kazemo da je najveci ako i samo ako za sve elemente y ∈ Xvrijedi y ≤ x.

2. Za element x ∈ X kazemo da je najmanji ako i samo ako za sve elementey ∈ X vrijedi x ≤ y.

Dakle, najveci element nekog skupa je ”veci” od svih elemenata tog skupa, tojest svielementi tog skupa su uporedivi sa najvecim i svi su ispred njega. Proizvoljan skup mozeimati najvise jedan najveci i najvise jedan najmanji element. Zaista, ako bi skup Ximao dva najveca elementa x′ i x′′, tada bi posmatrajuci prvo x′ kao najveci imali daje x′′ ≤ x′, a opet posmatrajuci x′′ kao najveci bi imali x′ ≤ x′′. Iz ove dvije veze, naosnovu antisimetricnosti relacije poretka, zakljucujemo da mora vrijediti x′ = x′′, tojestnajveci element je jedinstven.

Maksimalan je onaj element od koga nema ”veceg”, ali ovdje nije eksplicitnozahtjevana uporedivost svih elemenata skupa sa maksimalnim elementom. Upravo ovonezahtijevanje dovodi do toga da u nekom skupu moze postojati i vise od jednogmaksimalnih, odnosno vise od jednog minimalnih elemenata.

Primjer 1.29. Posmatrajmo skup A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Definisimo na njemu relaciju

x|y ako i samo ako x dijeli y bez ostatka .

Kao sto smo vec imali u ranijim primjerima, ovako definisana relacija jeste relacijaparcijalnog poretka na A.

Jasno je da broj 4 ne dijeli niti jedan broj skupa A (osim samog sebe), pa dakle nema nitijednog elementa skupa koji je ”veci” od njega, te ja kao takav on maksimalan element.Ali to isto vrijedi i za elemente 5,6 i 7, te su i oni takode maksimalni elementi skupa A.Primjetimo da je 1 najmanji element ovog skupa (Slika 1.8).

19

1.1. Relacije

bC

bC bC bC bC

bC bC

1

2 3 5 7

4 6

Maksimalni elementi

Najmanji element

Slika 1.8: Hasseov dijagram sa prikazom najmanjeg i maksimalnih elemenata.

Ako bismo posmatrali skup A′ = {2, 3, 4, 5, 6, 7} sa istom relacijom, maksimalni elementiostaju isti, ali sada ne postoji najmanji element, vec imamo minimalne elemente 2,3,5 i7 (slika 1.9). ♦

bC bC bC bC

bC bC

2 3 5 7

4 6

Maksimalni elementi

Minimalni elementi

Slika 1.9: Promjena skupa uzrokuje promjenu minimalnosti i maksimalnosti elemenata.

Primjer 1.30. Posmatrajmo skup A = N0 ∪{

13

}

. Neka je na ovom skupu definisanarelacija ”biti ispred”, na sljedeci nacin. Za x, y ∈ A

x ≤ ydef⇐⇒ (∃z ∈ A) x+ z = y .

Jasno je sada da broj 13 nije uporediv ni sa jednim elementom skupa A osim sa samim

sobom. Zaista, ako bi za neko n ∈ N0 vrijedilo 13 ≤ n, jasno je da niti za jedno m ∈ A

ne moze biti 13 + m = n. Isto tako ne moze biti n ≤ 1

3 niti za jedno n ∈ A. Dakle, nepostoji element skupa A koji je ispred njega, te je prema gornjoj definiciji on maksimalanelement skupa A. Ali on nije najveci element jer najveci element mora biti uporediv sasvim elementima posmatranog skupa i pri tome svi moraju biti ispred njega.Po istom principu mozemo zakljuciti da je 0 jedini minimalan element skupa A, ali on

je i najmanji element jer je uporediv sa svim elementima skupa A. ♦

Za razmatranje ovakvih primjera od koristi su sljedeca jednostavna tvrdenja.

20

1.1. Relacije

Lema 1.1.6

Ako je x najmanji (najveci) element skupa X , tada je on i minimalni (maksimalni)element tog skupa.

Dokaz : Neka je na skupu X definisana relacija parcijalnog uredenja ≤ i neka je x0 ∈ Xnajmanji element skupa X , tojest

(∀x ∈ X) x0 ≤ x .

bC

bC bC bC

bC bC

Najmanji element ⇒ Minimalni element

Slika 1.10: Kad postoji najmanji element on je i minimalan element.

Ako bi za neko x ∈ X vrijedilo x ≤ x0, tada zbog pretpostavke da je x0 najmanjielement, vrijedio bi i obrat x0 ≤ x, a onda bi zbog antisimetricnosti imali da je x = x0.Dakle, niti jedan element skupa X nije ispred x0, a to znaci da je x0 minimalni element.✷

Slika 1.10 ilustruje tvrdnju gornje leme. Obrat ove tvrdnje u opstem slucaju nije tacan,tojest minimalnost elementa ne znaci i da je on najmanji element, sto smo mogli vidjetii u primjeru 1.30. Ipak vrijedi

Lema 1.1.7

Ako je X totalno ureden skup, onda ako postoji minimalni (maksimalni) elementtog skupa, on je i najmanji (najveci) element tog skupa.

Dokaz : Neka je skupX totalno ureden relacijom poretka ≤ i neka je x0 njegov minimalnielemet. Izaberimo proizvoljan x ∈ X . Kako jeX totalno ureden sakup, svaka dva njegovaelementa su uporediva, tojest vrijedi

x ≤ x0 ili x0 ≤ x .

Pretpostavimo da je x ≤ x0. Kako je x0 minimalni element, na osnovu antisimetricnostirelacije poretka, zakljucujemo da vrijedi x = x0. Dakle, uslov uporedivosti se svodi na

x = x0 ili x0 ≤ x ,

pa zbog proizvoljnosti elementa x onda zakljucujemo

(∀x ∈ X) x0 ≤ x ,

odnosno, x0 je najmanji element skupa X . ✷

21

1.1. Relacije

bC

bC

bC

bC

bC

bC Minimalni element ⇒ Najmanji element

Slika 1.11: Na lancu je minimalan element i najmanji element.

Dokaze sljedecih jednostavnih, ali korisnih tvrdenja ostavljamo citaocu za vjezbu.

Lema 1.1.8

Ako u skupu X nema maksimalnih (minimalnih) elemenata, tada X nema ninajveceg (najmanjeg) elementa.

U Primjeru 1.29 elementi 4, 5, 6 i 7 su maksimalni elementi, pa u odnosu na uvedenurelaciju ne postoji najveci element skupa. Ovu cinjenicu okarakterisimo sa,

Lema 1.1.9

Ako u skupu X postoji vise od jednog maksimalnih (minimalnih) elemenata, tadau X ne postoji najveci (najmanji) element.

Primjedba 1.1.1. Ako skup X ima jedinstven maksimalan (minimalan) element, on opetne mora biti najveci (najmanji) element tog skupa.

U Primjeru 1.30 smo vidjeli da je 13 maksimalan element. Sta vise, to je jedini

maksimalni element jer za bilo koji n ∈ N, postoji m = n+1 ∈ N takav da je n ”ispred”m, tojest niti jedan n ∈ N nije maksimalan element skupa N∪ { 1

3}. Medutim, ovaj skupnema najveceg elementa iako ima jedinstven maksimalan element.Svi do sada uvedeni pojmovi ”ogranicenja” skupa su imali karakteristiku da su oni

sami elementi posmatranog skupa. Sada cemo definisati jos cetiri jako vazna pojmaza mnoge oblaste matematike, ali koji ovu karakteristiku pripadnosti skupu ne morajuimati.

Definicija 1.1.17

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup.Za element x0 ∈ X kazemo da je donja meda ili minoranta skupa A ⊆ X ako isamo ako vrijedi

(∀a ∈ A) x0 ≤ a .

Za element x0 ∈ X kazemo da je gornja meda ili majoranta skupa A ⊆ X ako isamo ako vrijedi

(∀a ∈ A) a ≤ x0

22

1.1. Relacije

Primjer 1.31. Za skup (0, 1] = {x ∈ R| 0 < x ≤ 1}, svaki realan broj veci ili jednak 1je gornja meda datog skupa jer

(∀M ≥ 1)(∀x ∈ (0, 1]) x ≤ M ,

dakle gornjih meda moze biti vise. Analogno, svaki realan broj manji ili jednak 0 je donjameda posmatranog skupa jer

(∀m ≤ 0)(∀x ∈ (0, 1]) m ≤ x ,

pa i minoranti moze biti vise. ♦

Definicija 1.1.18

Najmanju majorantu skupa X nazivamo supremum skupa X i obiljezavamo je sasupX .Najvecu minorantu skupa X nazivamo infimum skupa X i obiljezavamo je sa inf X .

Uobicajeno u dokazivanju da je neki element infimum skupa, prvo pokazujemo da jetaj element donja meda skupa, a onda i da je on najveca donja meda. Analogno zasupremum, pokazujemo prvo da je taj element gornja meda skupa, a potom da je inajmanja donja meda.

Primjer 1.32. Neka je skup A = (0, 2] ∪ {3} ⊂ R.Jedna donja meda ovog skupa je x = −1 jer za svako a ∈ A je −1 ≤ a. Medutim, tovrijedi onda i za bilo koji broj manji od −1. Sta vise, skup svih donjih meda skupa A jeskup (−∞, 0], a onda najveca od svih donjih meda je broj 0, te je 0 = inf A.Broj x = 2.5 nije gornja meda skupa A jer za element 3 ∈ A nije tacno 3 ≤ 2.5. Medutim,3 jeste majoranta skupa A jer za proizvoljno a ∈ A je a ≤ 3 (i 3 ≤ 3). Izaberemo li ε > 0proizvoljno maleno, tada 3− ε nece biti gornja meda jer nece vrijediti 3 ≤ 3− ε. Dakle,najmanja gornja meda jeste broj 3, tojest 3 = supA. ♦

Primjer 1.33. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5} ⊂ N i na njemu neka je definisana binarnarelacija | (biti djeljiv).Kako je 1 najmanji element skupa X onda je 1 i donje ogranicenje, sta vise i najvecedonje ogranicenje skupa X .Broj 6 ∈ N nije gornje ogranicenje skupa X jer nisu svi elementi skupa X ispred 6(naprimjer nije 5|6). Broj 120 jeste gornje ogranicenje posmatranog skupa. Zaista,120 = 1 · 120 ili 1|120, 120 = 2 · 60 ili 2|120, 120 = 3 · 40 ili 3|120, 120 = 4 · 30 ili 4|120i 120 = 5 · 24 ili 5|120. Najmanje gornje ogranicenje skupa ce biti najmanji zajednickisadrzalac elemenata naseg skupa, a to je 1 · 2 · 2 · 3 · 5 = 60. Dakle, supX = 60. ♦

Kao sto smo vidjeli u gornjim primjerima, minoranti i majoranti moze biti vise za zadatiskup, ali na osnovu definicije najmanjeg i najveceg elementa, infimum i supremum skupa,ako postoje, su jedinstveni. Pored toga, za minimalne i maksimalne elemente kao i zanajmanji i najveci element nekog skupa, jasno je da svi oni pripadaju datom skupu.Medutim, to nije slucaj sa infimumom i supremumom.

23

1.2. Funkcije

Primjer 1.34. Za skup A = {x ∈ R| 0 < x < 1} = (0, 1), infimum skupa je 0, ali 0 /∈ A.Isto tako, supremum skupa je 1, ali 1 /∈ A.Zaista, za svako x ∈ A vrijedi 0 < x, te je 0 donje ogranicenje skupa A. A da je to

i najvece donje ogranicenje vidimo iz sljedeceg. Neka je ε proizvoljno malen pozitivanbroj, 0 < ε. Tada je element 0 < x0 = ε

2 < 1, a time x0 ∈ A i pri tome vrijedi ε2 < ε.

Ovo znaci da ε nije donje ogranicenje skupa A, odnosno 0 je najvece donje ogranicenje,te vrijedi 0 = inf A. ♦

Teorem 1.1.10

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup.Ako je x0 najmanji element skupa A ⊆ X , tada je x0 = inf A.Ako je x0 najveci element skupa A ⊆ X , tada je x0 = supA.

Dokaz : Dokazat cemo tvrdnju za najmanji element, a dokaz za najveci, koji je potpunoanalogan ovome, ostavljamo za vjezbu.Neka je x0 najmanji element skupa A ⊆ X . Dokazimo prvo da je x0 minoranta skupa

A. Kako je x0 najmani element, to vrijedi

(∀a ∈ A) x0 ≤ a .

Na osnovu Definicije 1.1.17 zakljucujemo da je x0 donja meda skupa A. Pokazimo josda je to i najveca donja meda. Neka je x′ ∈ X proizvoljna donja meda skupa A, tojestneka vrijedi

(∀a ∈ A) x′ ≤ a ,

ali to onda vrijedi i za x0 jer x0 ∈ A, tojest x′ ≤ x0. Zbog proizvoljnosti donje mede,zakljucujemo da je x0 najveca donja meda. Dakle, x0 = inf A. ✷

Jasno je da obrati u gornjem tvrdenju u opstem slucaju ne vrijede jer kao sto smospomenuli ranije supremum i infimum skupa u opstem slucaju ne moraju biti elementiskupa.

1.2 Funkcije

Matematicka veza u kojoj jedna velicina (zavisna varijabla) zavisi o ili je odredenanekom drugom velicinom (nezavisna varijabla) je centralni objekat izucavanja u vecinioblasti moderne matematike. Za zavisnu varijablu tada kazemo da je funkcija nezavisnevarijable. I pojam preslikavanja (funkcije) je predmetom izucavanja teorije skupova.Kao sto cemo vidjeti, funkcije su specijalne vrste relacija, a kao takve i one su skupovi.

Definicija 1.2.1

Za relaciju f ⊆ X × Y , koja zadovoljava osobine

1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ f ,

2. (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f =⇒ y1 = y2,

24

1.2. Funkcije

kazemo da je funkcija ili preslikavanje, definisana na skupu X sa vrijednostima uskupu Y .

Za funkciju f kazemo da preslikava skup X u skup Y i to zapisujemo sa f : X → Y .Umjesto (x, y) ∈ f , uobicajeno pisemo y = f(x), y = fx ili f : x 7→ y. Pri tome, elementx ∈ X nazivamo original, a element y = f(x) ∈ Y nazivamo slika.Skup X = D1(f) nazivamo domen ili podrucje originala i oznacavamo ga sa Df , a skupD2(f) ⊆ Y nazivamo kodomen ili podrucje slika funkcije ili rang funkcije i oznacavamoga sa Im(f) ili Rf .Dakle, funkcija je specijalan slucaj relacije, i jasno je da onda nije svaka relacija funkcija.

Uslov 1. iz gornje definicije zahtjeva da svaki original ima svoju sliku, a uslov 2. namgovori da jedan original moze imati najvise jednu sliku.

b

b

XY

x

f(x)

b

b

b b

XY

x

Slika 1.12: Jednom originalu jedna slika, jeste funkcija (lijevo). Jednom originalu vise slika,nije funkcija (desno).

Primjer 1.35. Posmatrajmo pridruzivanje f : R → R, zadato sa f(x) =√x2 − 1.

Ovo nije funkcija jer za x = 0 pridruzivanje nije definisano, tojest ne znamo koliko jef(0). Medutim ako domen promjenimo na (1,+∞), tojest ako posmatramo pridruzivanjef : (1,+∞) → R, zadato na isti nacin, onda bi to moglo biti funkcija jer svakom elementux ∈ (1,+∞) (zahtjev 1. Definicije 1.2.1) pridruzujemo neki element iz R, ali jos ne znamoda li je zadovoljen uslov 2. Definicije 1.2.1. ♦

Primjer 1.36. Neka su A = {1, 2, 3} i B = {a, b} i g : A → B zadato sa g(1) = a ig(2) = b. g nije funkcija jer nije definisano sta je g(3).Neka jeX = {1, 2, 3, 4} i Y = {2, 5, 7, 9}. Relacija φ = {(1, 5), (2, 2), (2, 7)} nije funkcija,

a relacija ρ = {(1, 5), (2, 2), (3, 5), (4, 7)} jeste funkcija! ♦

Ako je zadovoljena osobina 2. Definicije 1.2.1 kazemo da je funkcija dobro definisana,odnosno da nije dobro definisana ako taj uslov nije ispunjen. Uslov 2. za preslikavanjeα : A → B znaci da za a1, a2 ∈ A, ako je a1 = a2 onda je α(a1) = α(a2) ili

(∀a1, a2 ∈ A)(a1 = a2 ⇒ α(a1) = α(a2)) .

Ovu cinjenicu iskazujemo obicnim rijecima da jednake stvari mogu biti zamjenjenejednakim stvarima.

Primjer 1.37. Pokazati da je preslikavanje α : Q → Q, zadato sa:

x =m

n∈ Q , f(x) =

m+ 3n

2n,

25

1.2. Funkcije

dobro definisano.Neka su m1

n1

, m2

n2

∈ Q proizvoljni i neka je m1

n1

= m2

n2

. Tada je m1n2 = m2n1 iz cegaonda dobijamo 2m1n2 + 6n1n2 = 2m2n1 + 6n1n2. Faktorizacijom lijeve i desne stranedobijamo 2n2(m1 + 3n1) = 2n1(m2 + 3n2), odnosno m1+3n1

2n1

= m2+3n2

2n2

, a ovo znaci

f(

m1

n1

)

= f(

m2

n2

)

. Zbog proizvoljnosti izabranih elemenata zakljucujemo da je f dobro

definisana funkcija. ♦

Pokazati da neka funkcija f : X → Y nije dobro definisana svodi se na ispitivanje,odnosno pokazivanje u logickoj formi da

(∃x1, x2 ∈ X)(x1 = x2 ∧ f(x1) 6= f(x2)) .

Primjer 1.38. Posmatrajmo preslikavanje f : Q → Z, gdje argumentu x = mn

∈ Q(m ∈ Z, n ∈ N), pridruzujemo vrijednost f(x) = m+ n.Da f nije dobro definisana vidimo iz konkretne situacije ako uzmemo x1 = 1

2 i x2 = 24 .

Tada je ocigledno x1 = 12 = 2

4 = x2 i f(x1) = 1 + 2 = 3 6= 6 = 2 + 4 = f(x2). ♦

Definicija 1.2.2

Neka je f : X → Y funkcija, A ⊆ X i B ⊆ Y .Skup

f(A) = {f(a) | a ∈ A} ⊆ Y ,

nazivamo slika skupa A u preslikavanju f . Specijalno, f(X) nazivamo slika od f ioznacavamo ga sa Im(f).Skup

f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} ⊆ X ,

nazivamo predslika skupa B u preslikavanju f .

Za zadatu funkciju f oznaka f−1 u gornjoj definiciji predstavlja ”samo” inverznu relacijuod relacije (funkcije) f . Naime, kao sto smo naglasili na pocetku, ne mora svaka relacijabiti funkcija. I narednim primjerom oslikavamo zasto svaka relacija ne mora biti funkcija.

Primjer 1.39. Na skupu svih ljudi uvedimo binarnu relaciju na sljedeci nacin:

xρydef⇐⇒ x je bioloska majka od y.

Jasno je da relacija ρ nije funkcija jer jedna majka moze imati vise djece, ali jeinteresantno primjetiti da relacija ρ−1 jeste funkcija jer svaka osoba ima i to samojednu biolosku majku. ♦

Definicija 1.2.3

Neka je f : X → Y funkcija. Skup

Gf = {(x, y) | x ∈ Df ∧ y = f(x)} ,

26

1.2. Funkcije

nazivamo graf funkcije f .

Jasno je da za proizvoljnu funkciju f : X → Y vrijedi Gf ⊆ X × Y . Specijalno, zafunkciju f : R → R njen graf predstavljamo uobicajeno u pravouglom Descartesovomkoordinatnom sistemu. Graf funkcije nam moze posluziti za uvjeriti se da li zaista nekopridruzivanje jeste funkcija. Za to nam sluzi takozvani test vertikalne linije. Naime, akograf predstavimo u koordinatnom sistemu, vucenjem okomitih linija na x-osu uocavamopresjeke tih linija sa grafom. Ako svaka takva linija ima njavise jedan presjek sa grafom,tada je odgovarajuce pridruzivanje funkcija.

x

y

b b

b

(a) Test vertikalne linije: jeste funkcija

x

y

b

b

b

b

(b) Test vertikalne linije: nije funkcija

1.2.1 Osobine funkcija

Kao sto nam primjer 1.39 pokazuje nije svaka relacija funkcija. Iako nam definicija tacnoprecizira koje to relacije jesu funkcije, narednim tvrdenjem dajemo jednu karakterizacijutoga.

Lema 1.2.1

Neka je f ⊆ X × Y .

1. f je funkcija ako i samo ako je f−1 jednokorijena relacija.

2. f−1 je funkcija ako i samo ako je f jednokorijena relacija.

Primjer 1.40. Posmatrajmo relaciju f ⊆ R× (R+ ∪ {0}), zadatu sa

x, y ∈ R , (x, y) ∈ fdef⇐⇒ y = x2 .

Provjeravajuci osobine 1. i 2. Definicije 1.2.1, vidimo da je f funkcija. Za x′ = 1 ix′′ = −1 iz domena (R) funkcije f vidimo da (1, 1), (−1, 1) ∈ f , sto znaci da f nijejednokorijena relacija, a to na osnovu kontrapozicije tvrdenja 2. (njene lijeveimplikacije) Lema 1.2.1, znaci da f−1 nije funkcija. U ovom slucaju, f−1 nampredstavlja ”samo” inverznu relaciju relacije f i jasno sa njom mozemo uvijek raditi, alisamo kao sa inverznom relacijom. Tada imamo, (1,−1), (1, 1) ∈ f−1, tojestf−1({1}) = {−1, 1}.

Da f nije jednokorijena relacija, na slici lijevo (c) vidimo iz cinjenice da povlacecihorizontalnu liniju kroz tacku 1 na y-osi, ona presjeca grafik za dvije vrijednosti x-a

27

1.2. Funkcije

1 2−1−20

−1

1

2

3

4

x

y

(c) Funkcija f

1 2 3 4−10

−1

−2

1

2

y

x

(d) Relacija f−1

(x = −1 i x = 1).Da f−1 nije funkcija (nije zadovoljen uslov 2. Definicije 1.2.1), vidimo ako povucemovertikalnu liniju kroz tacku 1 na x-osi, da tada postoje dva y-a (y = −1 i y = 1), takvada je (1,−1), (1, 1) ∈ f−1 (slika (d)). ♦

Kao direktnu posljedicu Leme 1.1.2 i osobina relacija imamo da za proizvoljnu funkcijuf vrijede veze

D1(f−1) = D2(f) = Im(f) , (3)

D2(f−1) = Im(f−1) = D1(f) , (4)(

f−1)−1

= f . (5)

Teorem 1.2.2

Neka je f : X → Y funkcija, A ⊆ X i B ⊆ Y . U opstem slucaju vrijedi

A ⊆ f−1(f(A)) i f(f−1(B)) ⊆ B .

Da ne moraju biti jednakosti u navedenim slucajevima gornjeg tvrdenja ilustrujmosljedecim primjerom.

Primjer 1.41. Neka je f : Z → Z zadata sa f(n) = n2.Im(f) = {0, 1, 4, 9, ...}. Kako je f(2) = 4, to je f({2}) = {4}. f−1({0}) = {0},f−1({1}) = {−1, 1} i f−1({2}) = ∅ pa zakljucujemo da je f−1({0, 1, 2}) = {−1, 0, 1}.Sada imamo:

f(

f−1({0, 1, 2}))

= f({−1, 0, 1}) = {0, 1} ⊂ {0, 1, 2} .

Takode imamof−1(f({2})) = f−1({4}) = {−2, 2} ⊃ {2} ,

cime potvrdujemo gornju konstataciju. ♦

28

1.2. Funkcije

Definicija 1.2.4

Neka je f : X → Y i A ⊆ X . Preslikavanje f |A : A → Y , zadato sa f |A(x) = f(x)(x ∈ A), nazivamo restrikcija preslikavanja f na skup A.

Primjer 1.42. Posmatrajmo funkciju f : R → R, zadatu sa f(x) = x.Graficki prikaz funkcije f je prava koja polovi prvi i treci kvadrant koordinatnog sistema,tojest (x, y) ∈ f ako i samo ako je x = y,

Gf = {(x, x) | x ∈ R} .

Ako sada zelimo datu funkciju posmatrati samo na skupu [0, 2], posmatramo funkciju

1 2 3−1−2−30

−1

−2

−3

1

2

3

x

y

(e) Grafik funkcija f

1 2 3−1−2−30

−1

−2

−3

1

2

3

x

y

(f) Grafik restrikcije f |[0.2]

g : [0, 2] → R, zadatu sa g(x) = x. Tada je ocigledno za x ∈ [0, 2], g(x) = f(x) i kazemoda je funkcija g restrikcija funkcije f na skup [0, 2], tojest g = f |[0,2].Naravno da u ovom slucaju ne mozemo jednostavno reci da je f = f |[0,2] jer domeni ovedvije funkcije nisu isti. ♦

Svaka funkcija je osim skupom svojih uredenih parova (nacinom zadavanja),okarakterisana i svojim domenom i kodomenom. Zato se uslov o jednakosti dvijefunkcije ne svodi samo na identicnost zadavanja funkcija.

Definicija 1.2.5

Za dva preslikavanja f : A → B i g : C → D kazemo da su jednaka, f = g, ako isamo ako je A = C, B = D i za svako x ∈ A = C vrijedi f(x) = g(x).

Ranije definisana dijagonalna relacija ∆ ⊆ X × X , primjer je funkcije koju nazivamoidentiteta ili identicko preslikavanje, idX : X → X , definisana sa idX(x) = x, zaproizvoljno x ∈ X .Preslikavanje i : X → Y , definisano sa i(x) = x (x ∈ X), gdje je X ⊆ Y , nazivamo

inkluzija ili inkluzivno preslikavanje.Jasno je sada da identicko preslikavanje i inkluzivno preslikavanje, bez obzira na

jednakost njihovog zadavanja, u opstem slucaju nisu jednaka preslikavanja jer imkodomeni ne moraju obavezno biti isti.

29

1.2. Funkcije

Ako sa Y X oznacimo sva preslikavanja iz X u Y , tada ako je f ∈ Y X neko od tihpreslikavanja, onda je f ⊆ X×Y , pa jasno f ∈ P(X×Y ). Ali tada vrijedi Y X ⊆ P(X×Y ),te je na osnovu aksioma specifikacije Y X skup, tojest mozemo pisati

Y X = {f | f : X → Y } .

Teorem 1.2.3

Ako je f ∈ Y X i g ∈ ZY onda je g ◦ f ∈ ZX .

Dokaz : Kako je f ∈ Y X i g ∈ ZY , to na osnovu kompozicije relacija imamo

g ◦ f = {(x, z)| (∃y ∈ Y ) ((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g), x ∈ X, z ∈ Z}= {(x, z)| (∃y ∈ Y ) (y = f(x) ∧ z = g(y)), x ∈ X, z ∈ Z}= {(x, z)| z = g(f(x)), x ∈ X, z ∈ Z}= {(x, z)| z = (g ◦ f)(x), x ∈ X, z ∈ Z} ,

tojest

g ◦ f = {(x, z)| z = (g ◦ f)(x)} ⊆ X × Z .

Pokazimo jos da su za relaciju g ◦ f zadovoljeni uslovi Definicije 1.2.1.Kako je f funkcija, onda za svako x ∈ X , postoji y ∈ Y , tako da je y = f(x). To istovazi i za funkciju g, pa specijalno za y = f(x) ∈ Y , postoji z ∈ Z, tako da je z = g(y).Dakle, za svako x ∈ X , postoji z ∈ Z, takav da je

z = g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) ,

a to znaci da je zadovoljen prvi uslov.Neka su sada (x, z1), (x, z2) ∈ g ◦ f . Ovo znaci da je z1 = g(f(x)), odnosno z2 = g(f(x)).Stavljajuci da je y = f(x), ovo bi znacilo da je (y, z1), (y, z2) ∈ g, a kako je g funkcija,zakljucujemo da mora vrijediti z1 = z2. ✷

Funkciju g ◦ f , uvedenu gornjom teoremom, nazivamo kompozicija ili superpozicijafunkcija f i g. Sljedece tvrdenje je direktna posljedica osobina relacija te je ostavljenocitaocu za vjezbu da ga dokaze.

Lema 1.2.4

Kad god su definisane sljedece kompozicije, vrijedi

1. U opstem slucaju, f ◦ g 6= g ◦ f .

2. f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

3. id ◦ f = f i f ◦ id = f .

4. (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

30

1.2. Funkcije

Primjer 1.43. Posmatrajmo preslikavanja f : N → R zadato sa f(n) = n2 i g : N → Rzadato sa g(n) = 2n. Tada imamo;

g ◦ f : N → R , (g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(n2) = 2n2 .

f ◦ g : N → R , (f ◦ g)(n) = f(g(n)) = f(2n) = 4n2 .

Iz ovoga primjera vidimo da u opstem slucaju kompozicija funkcija nije komutativnaoperacija. ♦

Pored osobina funkcija koje preuzimamo iz njihovih osobina kao relacija, za funkcije suod posebnog interesa osobine koje cemo sada uvesti.

Definicija 1.2.6

Neka je f : X → Y proizvoljna funkcija. Za f kazemo da je injektivno preslikavanjeili injekcija, ako vrijedi

(∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)(∀y ∈ Y )((x1, y) ∈ f ∧ (x2, y) ∈ f ⇒ x1 = x2) .

b

bb

b

XY

x1

f(x1)x2

f(x2)b

bb

XY

x1

x2

f(x1) = f(x2)

Slika 1.13: Razlicitim originalima razlicite slike, injektivno preslikavanje (lijevo). Razlicitimoriginalima iste slike, neinjektivno preslikavanje (desno).

Vidimo da je osobina injektivnosti preslikavanja zapravo osobina ”jednokorijenosti”relacije. Kako relacija ne mora biti i funkcija, pravimo razliku izmedu ova dva pojmaiako su oni za funkcije identicni. Za injektivno preslikavanje kazemo jos i da je to ”1-1”(jedan-jedan, jedan-na-jedan) preslikavanje, a to u stvari znaci, pojednostavljenogovoreci, da jednakim slikama odgovaraju jednaki originali. Primjenjujucikontrapoziciju implikacije, ovo iskazujemo sa ”razlicitim originalima odgovarajurazlicite slike”,

(x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)) ⇔ (f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2) .

U ispitivanju da li neko preslikavanje jeste injektivno sluzimo se jednim od gore navedenadva ekvivalentna kriterija.

Primjer 1.44. Za preslikavanje f : R → R, zadato sa f(x) = 2e5x+5 pokazati da je 1-1preslikavanje.Neka su x, y ∈ R proizvoljni, takvi da je x 6= y. Tada je 5x 6= 5y, a time i e5x 6= e5y.

31

1.2. Funkcije

Dalje je onda 2e5x 6= 2e5y i konacno 2e5x + 5 6= 2e5y + 5. Dakle, f(x) 6= f(y), pa zbogproizvoljnosti uzetih x i y zakljucujemo injektivnost preslikavanja. ♦

U ispitivanju da li neko preslikavanje nije injektivno sluzimo se negacijom uslova izDefinicije 1.2.6. Dakle, dovoljno je naci konkretne x1, x2 iz domena funkcije takve da je

x1 6= x2 ∧ f(x1) = f(x2) .

Primjer 1.45. Za funkciju g : R2 → R, zadatu sa g(x, y) = x + y pokazati da nijeinjektivna.Posmatrajmo (1, 1), (0, 2) ∈ R2. Jasno je (1, 1) 6= (0, 2) i pri tome je g(1, 1) = 1 + 1 =2 = 0 + 2 = g(0, 2). Prema tome funkcija g nije injektivna. ♦

Definicija 1.2.7

Neka je f : X → Y proizvoljna funkcija. Za f kazemo da je surjektivno preslikavanjeili surjekcija, ako vrijedi

(∀y ∈ Y )(∃x ∈ X) (x, y) ∈ f .

Surjektivno preslikavanje nazivamo i ”na” preslikavanje jer, pojednostavljeno govoreci,ovo znaci da je svaki element y ∈ Y slika bar jednog elementa x ∈ X , tojest D2(f) = Y .Kako smo u definiciji funkcije naglasili, uopsteno za funkciju f : X → Y kazemo da slikaX u Y . Ako je f surjektivno preslikavanje, tada kazemo da f slika X na Y .

XY

XY

Slika 1.14: Preslikavanje X u Y (lijevo). Preslikavanje X na Y (desno).

Kombinujuci osobine injektivnosti i surjektivnosti preslikavanja dobijamo,

Definicija 1.2.8

Za f : X → Y kazemo da je bijektivno preslikavanje ili bijekcija, ako vrijedi

(∀y ∈ Y )(∃x ∈ X)(∀x′ ∈ X)((x, y) ∈ f ∧ ((x′, y) ∈ f ⇒ x = x′)) .

Bijektivnost preslikavanja znaci istovremenost injektivnosti i surjektivnostipreslikavanja. U kontekstu ovog pojednostavljivanja, bijektivnost znaci da je svakielement y ∈ Y slika tacno jednog originala x ∈ X .

32

1.2. Funkcije

Primjer 1.46. Identiteta na X , tojest preslikavanje idX : X → X je injektivno isurjektivno preslikavanje, dakle bijekcija.Inkluzija, tojest preslikavanje i : X → Y jeste injektivno, ali ne obavezno i surjektivnopreslikavanje. ♦

Primjer 1.47. Posmatrajmo relaciju f ⊂ R× R, zadatu sa

x, y ∈ R , (x, y) ∈ fdef⇐⇒ y = sinx .

Kako za svako x ∈ R postoji sinx i kako je iz (x, y1), (x, y2) ∈ f slijedi y1 = sinx = y2zakljucujemo da je f funkcija. Ovo geometrijski znaci da ako crtamo vertikalne linije ukoordinatnom sistemu, da ce one grafik sjeci u samo jednoj tacki (slika lijevo).

1 2 3−1−2−30

−1

1

1 2 3−1−2−30

−1

1

Slika 1.15: Geometrijsko tumacenje ”biti funkcija” i biti ”1-1” preslikavanje

Da preslikavanje nije injektivno, geometrijski vidimo crtajuci horizontalne linije.Ukoliko bilo koja horizontalna linija sjece grafik u vise tacaka, tada preslikavanje nijeinjektivno (slika desno). ♦

1.2.2 Inverzna funkcija

Kao sto smo mogli vidjeti u sekciji Relacije, za svaku relaciju postoji njoj inverzna relacija.Iako su funkcije specijalne relacije, pricati o inverznoj funkciji nije uvijek moguce. Razlogza to lezi u cinjenici sto ako funkciju gledamo kao relaciju, onda ona ima inverznu relaciju,ali mi bi zeljeli i da je ta inverzna relacija funkcija, a to nije uvijek moguce zadovoljiti.

Definicija 1.2.9

Neka su f : X → Y i g : Y → X funkcije koje zadovoljavaju g ◦ f = idX . Tadakazemo da je funkcija f desni inverz funkcije g, ili ekvivalentno, kazemo da jefunkcija g lijevi inverz funkcije f .

Egzistenciju lijevog ili desnog inverza funkcije karakterisemo sljedecim tvrdenjem.

Teorem 1.2.5

Neka su f : X → Y i g : Y → X funkcije koje zadovoljavaju g ◦ f = idX . Tada jefunkcija f injektivna i funkcija g je surjektivna.

Dokaz : Kako je g ◦ f = idX , to imamo da je za svako x ∈ X zadovoljeno g(f(x)) = x.Neka su x, x′ ∈ X takvi da je f(x) = f(x′) ∈ Y . Djelujuci funkcijom g na obje strane

33

1.2. Funkcije

jednakosti imamo da je g(f(x)) = x = x′ = g(f(x′)). Dakle, zakljucujemo jednakostx = x′ te je preslikavanje f injektivno.Neka je sada x ∈ X proizvoljan. Tada f(x) ∈ Y i pri tome je g(f(x)) = x. Dakle,x ∈ g(Y ) = Im(g) za proizvoljno x ∈ X , sto nam govori da je Im(g) = X , te jepreslikavanje g surjektivno. ✷

Gornjom tvrdnjom iskazujemo cinjenicu da funkcija koja ima lijevi (desni) inverz morabiti injektivna (surjektivna). Medutim, egzistencija lijevog ili desnog inverza ne morabiti jedinstvena.

Primjer 1.48. Neka su A = {1, 2} i B = {a, b, c}. Definisimo funkcije f1, f2 : A → Bna sljedeci nacin:

f1(1) = a , f1(2) = c , f2(1) = b , f2(2) = c .

Definisimo i funkcije g1, g2 : B → A na sljedeci nacin:

g1(a) = g1(b) = 1 , g1(c) = 2 , g2(a) = 1 , g2(b) = g2(c) = 2 .

b

b

b

b

b

b

b

AB

A

1

2

c

b

a

1

2f1

f2

f1, f2

g1

g1g1, g2

g2

Pri tome je ocigledno f1 6= f2 i g1 6= g2. Prostom provjerom uvjeravamo se da jeg1 ◦ f1 = idA = g1 ◦ f2, te funkcija g1 ima dva razlicita desna inverza. Primjetimo dag1 nije injektivno preslikavanje pa prema kontrapoziciji Teorema 1.2.5 zakljucujemo danema lijevog inverza.Takode vrijedi g1 ◦ f1 = idA = g2 ◦ f1, pa f1 ima dva razlicita lijeva inverza. Opetkoristeci Teorem 1.2.5 u kontrapoziciji zakljucujemo da f1 nema desnog inverza jer nijesurjektivno preslikavanje.Dakle, cak i kada postoje jednostrani inverzi, ne moraju biti jedinstveni. ♦

Teorem 1.2.6

Neka funkcija f : X → Y ima lijevi inverz h : Y → X i desni inverz g : Y → X .Tada je g = h i svaki drugi lijevi ili desni inverz funkcije f mora biti jednak sa h.

Dokaz : Kako je h lijevi inverz imamo h ◦ f = idX , g desni inverz, f ◦ g = idY . Koristecise asocijativnoscu kompozicije preslikavanja imamo,

h = h ◦ idY = h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f) ◦ g = idX ◦ g = g .

Kako ce ova argumentacija vrijediti za bilo koji desni inverz g′ funkcije f , on mora bitijednak funkciji h. Ali isto ce vrijediti i za bilo koji drugi lijevi inverz h′ funkcije f , te onmora biti jednak sa g. ✷

Razmatranja o inveznoj funkciji finalizirajmo sa teoremama egzistencije inverza.

34

1.2. Funkcije

Teorem 1.2.7

Funkcija f : X → Y ima lijevi inverz ako i samo ako je injektivna.

Dokaz : (=⇒) Dokaz da ako funkcija ima lijevi inverz onda je injektivna slijedi iz Teorema1.2.5.(⇐=) Neka je f : X → Y injektivna. Neka je x0 ∈ X fiksan element. Posmatrajmo

preslikavanje g : Y → X zadato na sljedeci nacin:

g(y) =

{

x : y ∈ Im(f) ∧ f(x) = yx0 ; u suprotnom

.

Kako je f injektivna to postoji najvise jedno x tako da je f(x) = y, sto nam obezbjedujeda je g dobro definisana funkcija. Nije tesko vidjeti da vrijedi g ◦ f = idX , te je g lijeviinverz funkcije f . ✷

Teorem 1.2.8

Funkcija f : X → Y ima desni inverz ako i samo ako je surjektivna.

Dokaz : (=⇒) Dokaz da ako funkcija ima desni inverz onda je surjektivna slijedi izTeorema 1.2.5.(⇐=) Neka je f : X → Y surjektivna. Tada je za svako y ∈ Y skup f−1({y}) neprazan

podskup od X . Na osnovu aksioma izbora mozemo konstruisati izbornu funkciju g : Y →X tako da za proizvoljan y ∈ Y , g(y) ”bira” jedan element iz nepraznog skupa f−1({y}).Da je g funkcija garantuje nam aksiom izbora i pri tome je f ◦ g = idY . Dakle, g je desniinverz funkcije f . (O aksiomu izbora pogledati u narednoj sekciji.) ✷

Primjer 1.49. Posmatrajmo preslikavanje f : N → N, zadato sa f(n) = 2n. Za razlicitem,n ∈ N ce i 2m i 2n biti razliciti prirodni brojevi. Dakle, f je injektivno preslikavanjei kao takvo ima lijevi inverz. Za preslikavanja

g1 : N → N , g1(n) =

{

n2 ; n paran broj1 ; n neparan broj

g2 : N → N , g2(n) =

{

n2 ; n paran broj2 ; n neparan broj

jednostavno se provjerava da je g1 ◦ f = g2 ◦ f = idN, te su g1 i g2 lijevi inverzi funkcijef . Primjetimo da preslikavanje f nije surjektivno, te onda nece imati desnog inverza.

♦

Primjer 1.50. Posmatrajmo preslikavanje f : N → N, zadato sa

f(n) =

{

n2 ; n paran broj

n+12 ; n neparan broj

Ocigledno je data funkcija surjektivna jer za proizvoljno n ∈ N (iz kodomena), postoji2n ∈ N (iz domena), takav da je f(2n) = n. Dakle, postoji njen desni inverz. Zapreslikavanja

g1 : N → N , g1(n) = 2n ,

35

1.2. Funkcije

g2 : N → N , g2(n) = 2n− 1 ,

jednostavno se provjerava da je f ◦ g1 = f ◦ g2 = idN, te su g1 i g2 desni inverzi funkcijef . Medutim, funkcija f nije injektivna jer naprimjer f(1) = 1+1

2 = 1 = 22 = f(2), a kao

takva ona nema lijevog inverza. ♦

Objedinjujuci gornja dva tvrdenja iskazujemo sljedeci stav.

Teorem 1.2.9

Funkcija f : X → Y ima lijevi i desni inverz ako i samo ako je bijektivna.

Koristeci se Teoremom 1.2.6, ako postoje i lijevi i desni inverz funkcije f : X → Yoni su jednaki i uobicajeno to preslikavanje oznacavamo sa f−1 : Y → X i nazivamoga inverzna funkcija funkcije f . Sta vise, Teorem 1.2.6 nam obezbjeduje i jedinstvenostinverzne funkcije.

Primjer 1.51. Posmatrajmo preslikavanje f : N → N, zadato sa

f(n) =

{

n− 1 ; n paran brojn+ 1 ; n neparan broj

Citaocu je ostavljeno za vjezbu pokazati da je ovo preslikavanje injektivno i surjektivno, akao takvo ima i lijevi i desni inverz koji onda moraju biti jednaki i predstavljaju inverznufunkciju f−1. Pokazati da je f = f−1! ♦

Vezu izmedu preslikavanja i njemu inverznog preslikavanja dajemo sljedecom tvrdnjom.

Teorem 1.2.10

Neka je f : X → Y proizvoljno injektivno preslikavanje. Tada vrijedi,

1. za proizvoljno x ∈ Df , f−1(f(x)) = x,

2. za proizvoljno y ∈ Im(f), f(

f−1(y))

= y.

Dokaz : Neka je f injektivna funkcija. Kao prvo zakljucimo na osnovu Leme 1.2.1, daje i f−1 funkcija.

1. Neka je x ∈ D1(f). Zbog prve osobine funkcije, postoji y ∈ D2(f), takav da jey = f(x). Ovo znaci da je (x, y) ∈ f ili drugacije (x, f(x)) ∈ f , a na osnovudefinicije inverzne relacije onda imamo da (f(x), x) ∈ f−1. Kako je f−1 funkcija,posljednje ustvari mozemo zapisati i sa f−1(f(x)) = x, sto je i trebalo dokazati.

2. Neka je y ∈ D2(f) proizvoljan. Prema (3) je y ∈ D1(f−1), a kako je f−1 funkcija,

f−1(y) je dobro definisan. Dakle, (y, f−1(y)) ∈ f−1, a zbog (5), imamo da je onda(f−1(y), y) ∈ f , sto ne predstavlja nista drugo do cinjenicu da je f

(

f−1(y))

= y.

✷

36

1.2. Funkcije

1.2.3 Jos o funkcijama

U ovom dijelu zelimo da istaknemo jos neke karakteristike funkcija izrazene u drugojterminologiji kao i njihove veze sa skupovnim operacijama.

Definicija 1.2.10

Neka je f ∈ Y X . Kazemo da je:

1. f monomorfizam ako

(∀g1 ∈ XZ)(∀g2 ∈ XZ)(f ◦ g1 = f ◦ g2 ⇒ g1 = g2) .

2. f je epimorfizam ako

(∀g1 ∈ ZY )(∀g2 ∈ ZY )(g1 ◦ f = g2 ◦ f ⇒ g1 = g2) .

3. f je izomorfizam ako

(∃g ∈ XY )(g ◦ f = idX ∧ f ◦ g = idY ) .

Vezu ovih novih pojmova sa teorijom skupova iskazujemo narednim tvrdenjem.

Teorem 1.2.11

Neka je f ∈ Y X . Tada vrijedi:

1. f je monomorfizam ako i samo ako je f injektivno preslikavanje.

2. f je epimorfizam ako i samo ako je f surjektivno preslikavanje.

3. f je izomorfizam ako i samo ako je f bijektivno preslikavanje.

Dokaz :

1. (=⇒) Neka je f : X → Y monomorfizam. Neka su x1, x2 ∈ X , takvi da je f(x1) =f(x2). Posmatrajmo sada skup Z = {0} i na njemu definisana dva preslikavanja,g1 : Z → X , zadato sa g1(0) = x1 i g2 : Z → X , zadato sa g2(0) = x2. Tadakompozicije f ◦ g1 i f ◦ g2 preslikavaju Z u Y i pri tome je

(f ◦ g1)(0) = f(g1(0)) = f(x1) = f(x2) = f(g2(0)) = (f ◦ g2)(0) .Zbog osobine monomorfizma zakljucujemo da mora biti g1 = g2, tj. x1 = g1(0) =g2(0) = x2, a zbog proizvoljnosti elemenata x1, x2 ∈ X ovo znaci injektivnostpreslikavanja f .(⇐=) Neka je sada f injektivno preslikavanje i neka su g1, g2 ∈ XZ , takvi da jef ◦g1 = f ◦g2. Ovo znaci da za proizvoljno z ∈ Z vrijedi f(g1(z)) = f(g2(z)). Kakoje f injektivno preslikavanje, tj. jednakim slikama odgovaraju jednaki originali,zakljucujemo da za svako z ∈ Z je g1(z) = g2(z), tj. g1 = g2, a ovo znaci da je fmonomorfizam.

37

1.2. Funkcije

2. (=⇒) Neka je f : X → Y epimorfizam. Pretpostavimo suprotno tvrdnji, da f nijesurjekcija, tj. pretpostavimo da postoji y0 ∈ Y , tako da niti za jedno x ∈ X nijef(x) = y0, ili ekvivalentno

(∀x ∈ X) f(x) 6= y0 .

Posmatrajmo dvoelementni skup Z = {0, 1} i preslikavanja

g1 : Y → Z , (∀y ∈ Y ) g(y) = 0 ,

g2 : Y → Z , g(y) =

{

1 ; y = y00 ; y 6= y0

Ocigledno je g1 6= g2. Medutim, za proizvoljno x ∈ X , zbog pretpostavljene osobinenesurjektivnosti imamo,

(g1 ◦ f)(x) = g1(f(x)) = g2(f(x)) = (g2 ◦ f)(x) ,

tj. g1 ◦ f = g2 ◦ f , a kako je f epimorfizam ovo bi moralo znaciti jednakostpreslikavanja g1 i g2, sto je opet u suprotnosti sa pokazanom nejednakoscu tihpreslikavanja. Dakle, pretpostavka o nesurjektivnosti preslikavanja f je neodrziva.(⇐=) Neka je f surjektivno preslikavanje i neka su g1, g2 ∈ ZY takvi da je g1 ◦ f =g2◦f . Za proizvoljno x ∈ X je dakle (g1◦f)(x) = g1(f(x)) = g2(f(x)) = (g2◦f)(x).Kako zbog pretpostavljene surjektivnosti imamo da za svako y ∈ Y , postoji x ∈ X ,tako da je y = f(x), prethodno receno mozemo iskazati i sa time da za svako y ∈ Yje g1(y) = g2(y), tj. g1 = g2, a to znaci da je f epimorfizam.

3. Posljednu tvrdnju ostavljamo citaocu da je dokaze za vjezbu.

✷

Teorem 1.2.12

Neka su f ∈ Y X i g ∈ ZY . Tada vrijedi:

1. Ako su f i g monomorfizmi, onda je i g ◦ f monomorfizam.

2. Ako su f i g epimorfizmi, onda je i g ◦ f epimorfizam.

3. Ako su f i g izomorfizmi, onda je i g ◦ f izomorfizam.

Posljednju tvrdnju na osnovu Teorema 1.2.11 mozemo citati i kao:

• Kompozicija injektivnih funkcija je injektivna funkcija,

• Kompozicija surjektivnih funkcija je surjektivna funkcija i

• Kompozicija bijektivnih funkcija je bijektivna funkcija.

Narednim tvrdenjima iskazujemo veze funkcija i skupovnih operacija. Za izraze kojisu iskazani sa jednakoscu uobicajeno kazemo da je posmatrana operacija ”ocuvana” udatom preslikavanju.

38

1.2. Funkcije

Teorem 1.2.13

Neka je f : X → Y funkcija i S, T, Si (i ∈ I) podskupovi od X . Tada vrijedi:

1. f(S ∩ T ) ⊆ f(S) ∩ f(T ).

2. f

(

⋂

i∈I

Si

)

⊆⋂

i∈I

f(Si).

3. f(S ∪ T ) = f(S) ∪ f(T ).

4. f

(

⋃

i∈I

Si

)

=⋃

i∈I

f(Si).

Dokaz : Dokazimo tvrdnju 2. cime ce biti dokazana i tvrdnja 1. kao njen specijalanslucaj.

Neka je y ∈ f

(

⋂

i∈I

Si

)

proizvoljan. Po definiciji slike skupa to znaci da postoji x ∈⋂

i∈I

Si,

takav da je y = f(x). Ovo opet po definiciji presjeka znaci da postoji x takav da za svakoi ∈ I, x ∈ Si i y = f(x), sto povlaci da za svako i ∈ I, y ∈ f(Si). Prema definiciji

presjeka zakljucujemo y ∈⋂

i∈I

f(Si). Na osnovu definicije podskupa zakljucujemo da je

2. tacna tvrdnja.

y ∈ f

⋂

i∈I

Si

⇔ (∃x)

x ∈⋂

i∈I

Si ∧ y = f(x)

⇔ (∃x)(∀i ∈ I) (x ∈ Si ∧ y = f(x))

⇒ (∀i ∈ I)(∃x) (x ∈ Si ∧ y = f(x))

⇔ (∀i ∈ I) y ∈ f(Si)

⇔ y ∈⋂

i∈I

f(Si) .

Dokazimo tvrdenje 4. Neka je y ∈ f

(

⋃

i∈I

Si

)

proizvoljan. To je ekvivalentno sa time

da postoji x ∈⋃

i∈I

Si, takav da je y = f(x). Po definiciji unije ovo je ekvivalentno sa time

da postoji i0 ∈ I, takav da je x ∈ Si0 i y = f(x), sto je opet ekvivalentno sa time dapostoji i0 ∈ I, takav da je y ∈ f(Si0). Na osnovu definicije unije ovo je ekvivalentno da

39

1.2. Funkcije

y ∈⋃

i∈I

f(Si).

y ∈ f

⋃

i∈I

Si

⇔ (∃x)

x ∈⋃

i∈I

Si ∧ y = f(x)

⇔ (∃x)(∃i0 ∈ I) (x ∈ Si0∧ y = f(x))

⇔ (∃i0 ∈ I)(∃x) (x ∈ Si0∧ y = f(x))

⇔ (∃i0 ∈ I) y ∈ f(Si0)

⇔ y ∈

⋃

i∈I

f(Si) .

✷

Kazemo da je unija ocuvana u proizvoljnom preslikavanju, ali da presjek nije ocuvan.Pokusajmo dokazati i obratnu inkluziju u 1. gornje teoreme tojest, f(S) ∩ f(T ) ⊆

f(S ∩ T )!?Neka je y ∈ f(S) ∩ f(T ). To znaci y ∈ f(S) i y ∈ f(T ). Dakle,

(∃x1 ∈ S) f(x1) = y

(∃x2 ∈ T ) f(x2) = y ,

sto daje da mora biti f(x1) = f(x2). Iz ovoga ne mozemo zakljuciti da je x1 = x2 tojest,da postoji zajednicki element x u S i T koji se slika u y. Zato nadimo kontraprimjer daova inkluzija ne mora vaziti, a za sta nam ideju daje upravo pokusani dokaz.Neka je f : R → R, zadata sa f(x) = x2 i neka su S = [−1, 0) i T = (0, 1]. Jasno jeS ∩ T = ∅, pa ce vrijediti f(S ∩ T ) = f(∅) = ∅. S druge strane je f(S) = (0, 1] if(T ) = (0, 1] te je f(S) ∩ f(T ) = (0, 1], te dakle vrijedi f(S) ∩ f(T ) * f(S ∩ T ).Na osnovu ovoga rasudivanja sada mozemo dati uslove kada ce vrijediti jednakost u 1.gornje teoreme.

Teorem 1.2.14

Neka je f : X → Y injektivno preslikavanje. Ako su S, T ⊆ X tada vrijedi f(S ∩T ) = f(S) ∩ f(T ).

Dokaz : Dovoljno je pokazati da vrijedi f(S) ∩ f(T ) ⊆ f(S ∩ T ). Zaista, neka je y ∈f(S) ∩ f(T ). To znaci y ∈ f(S) i y ∈ f(T ). Dakle,

(∃x1 ∈ S) f(x1) = y

(∃x2 ∈ T ) f(x2) = y ,

sto daje da mora biti f(x1) = f(x2). Zbog injektivnosti je sada x1 = x2 = x∗ i pri tomeje x∗ ∈ S ∩ T , a time je y = f(x∗) ∈ f(S ∩ T ). ✷

Teorem 1.2.14 mozemo iskazati na nacin da je presjek ocuvan u injektivnompreslikavanju.

Teorem 1.2.15

Neka je f : X → Y funkcija za koju postoji f−1. Neka su U, V, Ui (i ∈ I) podskupoviod Y . Tada vrijedi:

40

1.2. Funkcije

1. f−1(U ∩ V ) = f−1(U) ∩ f−1(V ).

2. f−1

(

⋂

i∈I

Ui

)

=⋂

i∈I

f−1(Ui).

3. f−1(U ∪ V ) = f−1(U) ∪ f−1(V ).

4. f−1

(

⋃

i∈I

Ui

)

=⋃

i∈I

f−1(Ui).

Dokaz : Dokazimo tvrdnju 4. cime ce biti dokazana i tvrdnja 3. kao njen specijalanslucaj.

Neka je x ∈ f−1

(

⋃

i∈I

Ui

)

proizvoljan. To je po definiciji predslike skupa ekvivalentno

sa time da f(x) ∈⋃

i∈I

Ui. Po definiciji unije posljednje je ekvivalentno da postoji i0 ∈ I,

takav da f(x) ∈ Ui0 , odnosno da je x ∈ f−1(Ui0). Opet po definiciji unije ovo je

ekvivalentno sa time da x ∈⋃

i∈I

f−1(Ui). Na osnovu aksioma ekstenzionalnosti vrijedi 4.

x ∈ f−1

⋃

i∈I

Ui

⇔ f(x) ∈⋃

i∈I

Ui

⇔ (∃i0 ∈ I) f(x) ∈ Ui0

⇔ (∃i0 ∈ I) x ∈ f−1(Ui0

)

⇔ x ∈⋃

i∈I

f−1(Ui) .

Dokazi za 1. i 2. ostavljeni za vjezbu. ✷

Teorem 1.2.16

Neka je f : X → Y funkcija za koju postoji f−1. Neka je S ⊆ X i neka su U, V ⊆ Y. Tada vrijedi:

1. f(f−1(U)) ⊆ U .

2. f−1(f(S)) ⊇ S.

3. f−1(U \ V ) = f−1(U) \ f−1(V ).

Dokaz : Dokazimo tvrdnju 2. .Neka je x ∈ S proizvoljan. Tada je f(x) ∈ f(S), a ovo znaci da x ∈ f−1(f(S)). Naosnovu definicije podskupa zakljucujemo tacnost tvrdnje 2..

x ∈ S ⇒ f(x) ∈ f(S) ⇔ x ∈ f−1

(f(S)) .

Dokazi za 1. i 3. ostavljeni za vjezbu. ✷

41

1.3. Aksiom izbora

1.3 Aksiom izbora

Neka je zadata neprazna familija nepraznih skupova X = {Xi | i ∈ I}. Da li je skup∏

i∈I

Xi takode neprazan?

Ako je familija konacna, npr. X = {X1, X2, ..., Xn}, onda prostim biranjem po jednogelementa xi iz svakog od nepraznih skupova Xi (i = 1, 2, ..., n), formiramo n-torku

(x1, x2, ..., xn) koja pripada

n∏

i=1

Xi, tj. produkt nije prazan skup.

Ako je familija X beskonacna, postavlja se pitanje da li i sada mozemo izabrati pojedan element iz svakog od skupova Xi (i ∈ I)? Ilustrativan primjer za ovo je Rusellovprimjer: za beskonacan skup svih parova cipela imamo jednostavan nacin odlukeizbora, tako sto recimo od svakog para cipela uzmemo desnu cipelu. Ali sta uraditi akoradimo sa beskonacnim skupom parova carapa? Pitanje mozemo postaviti i ovako: nekaje zadata beskonacna familija X nepraznih disjunktnih skupova, da li postoji skup Skoji sadrzi po tacno jedan element iz svakog skupa te familije (takav skup onda bi zvaliizborni skup)? Ako je odgovor ”DA”, sto bas i nije ocigledno ili nije jednostavno zapokazati, onda nas sistem aksioma moramo dopuniti sa jos jednom aksiomom.

Aksiom 1: Aksiom izbora

Za svaki skup X , nepraznih i disjunktnih skupova, postoji skup S koji sadrzi pojedan i samo po jedan element svakog skupa iz X .

(∀x, y ∈ X)(x 6= ∅ ∧ (x 6= y ⇒ x ∩ y = ∅)) ⇒ (∃S)(∀z ∈ X)(∃!u) u ∈ z ∩ S.

Skup S uveden aksiomom izbora nazivamo izborni skup za X . Aksiom izbora mozemoiskazati i u malo ”citljivijoj” formi:Neka je X = {Xi | i ∈ I} familija nepraznih u parovima disjunktnih skupova. Tadapostoji skup S takav da je S ∩Xi jednoclan skup za svako i ∈ I.Pretpostavka o disjunktnosti skupova u aksiomu izbora je neophodna. Naime,posmatramo li skup X = {{a}, {b}, {a, b}} koji sadrzi skupove koji nisu u parovimadisjunktni skupovi, ocigledno je da ne postoji izborni skup za skup X jer presjek takvogskupa sa pojedinacnim skupovima iz X nece uvijek biti jednoclan skup.Najveci ”nedostatak” aksioma izbora je njegova nekonstruktivnost. Naime, njime

tvrdimo postojanje nekog skupa za koga ne znamo njegove elemente niti imamo bilokakav nacin da ga konstruisemo.

Primjer 1.52. Posmatrajmo skup X = [0, 1] i na njemu definisimo relaciju ∼ na sljedecinacin:

x, y ∈ [0, 1] , x ∼ ydef⇐⇒ x− y ∈ Q .

Jednostavno se provjerava da je ovako definisana relacija, relacija ekvivalencije, pa onadekompozira dati skup na klase ekvivalencija koje su disjunktni skupovi. Na osnovuaksioma izbora sada mozemo iz svake klase ekvivalencije izabrati po jedan element kojice ciniti skup koji se naziva Vitalijev skup. Na zalost, nemamo nikakvu predstavu o tomskupu, cak ne znamo niti jedan element tog skupa. ♦

42

1.3. Aksiom izbora

Definicija 1.3.1

Neka je {Xi | i ∈ I} neprazna familija nepraznih skupova i neka je X =⋃

i∈I

Xi.

Funkcija f : {Xi | i ∈ I} → X , sa osobinom da je za svako i ∈ I, f(Xi) ∈ Xi,naziva se funkcija izbora.

Teorem 1.3.1: Zermelo

Za svaku nepraznu familiju skupova, postoji funkcija izbora.

Dokaz : Neka je {Xi | i ∈ I} proizvoljna neprazna familija nepraznih skupova. Za svakoi ∈ I formirajmo direktni proizvod Xi × {i} = X ′

i, tj. X ′i = {(x, i)| x ∈ Xi}. Familija

{X ′i | i ∈ I} se sastoji od medusobno disjunktnih skupova. Naime, ako je i 6= j, onda je i

X ′i∩X ′

j = ∅ jer su svi (x, i) ∈ X ′i i (x, j) ∈ X ′

j medusobno razliciti po drugoj komponenti.Prema aksiomu izbora postoji skup S koji sadrzi jedan i samo jedan element svakog odskupova X ′

i (i ∈ I). To znaci da je S ∩X ′i = (x∗, i) za neko x∗ ∈ Xi i za svako i ∈ I, pa

mozemo definisati funkciju f : {Xi | i ∈ I} → ∪i∈IXi, zadatu sa

f(Xi) = x∗ ∈ Xi ,

a to znaci da je f funkcija izbora. ✷

Dakle, ovim teoremom tvrdimo da aksiom izbora povlaci postojanje izborne funkcije.Medutim, vrijedi i obrat.

Teorem 1.3.2

Ako za nepraznu familiju disjunktnih skupova postoji izborna funkcija, tada vrijediaksiom izbora.

Dokaz : Neka je {Xi | i ∈ I} neprazna familija nepraznih i disjunktnih skupova. Za tufamiliju, na osnovu Zermelove teoreme, postoji funkcija izbora f : {Xi | i ∈ I} → ∪i∈IXi,takva da je f(Xi) ∈ Xi (i ∈ I). Dakle, funkcija f pridruzuje svakom Xi tacno jedanelement skupa Xi, pa skup

S = {f(Xi) | i ∈ I} ,

ima trazenu osobinu iz aksioma izbora. ✷

Teorem 1.3.1 i Teorem 1.3.2 nam pokazuju ekvivalentnost aksioma izbora i postojanjafunkcije izbora.Teorija skupova u kojoj uvodimo ZF sistem aksioma plus aksiom izbora (AC),

oubicajeno se oznacava sa ZFC. Mnogi matematicari, ukljucujuci i samog Cantora,koristili su neki oblik aksiome izbora, ali je nisu eksplicitno navodili. Prvi put jeeksplicitno iskazuje Peano2 1890. jer je u dokazu jedne teoreme u teoriji obicnihdiferencijalnih jednacina imao potrebu za tvrdnjom koju daje aksiom izbora. Russell jeaksiom izbora 1906 iskazao sa,

2Giuseppe Peano 1858-1932, Italijanski matematicar

43

1.3. Aksiom izbora

Ako je X familija nepraznih disjunktnih skupova, tada je∏

X 6= ∅.

Zbog ”jednostavnosti” i ”ociglednosti” aksioma izbora, preovladava utisak da bi se onmogao izbjeci i dokazati pomocu ostalih aksioma ZF teorije. Mnogi su to i pokusali, alinikome to do danas nije poslo za rukom. To je samo produkovalo da danas imamo okostotinjak ekvivalenata aksiomi izbora. Neke od tih ekvivalentnih tvrdnji (koje se cesto ikoriste u dokazima) su:

Teorem (Zornova lema). Neka je (A,�) parcijalno ureden skup koji ima osobinu da zasvaki lanac u A, postoji gornje ogranicenje (u A). Tada A sadrzi bar jedan maksimalanelement.

Teorem (Hausdorffov princip maksimalnosti). Neka je (A,�) parcijalno ureden skup.Za svaki lanac u A postoji maksimalan lanac koji ga sadrzi. (Za svaki lanac L, postojilanac L′, takav da je L ⊆ L′ i za svaki lanac L′′ u A koji sadrzi L vrijedi L′ * L′′. )

Teorem (Zermelov teorem). Svaki skup se moze dobro urediti.

Upravo to ce onda baciti sumnju na ”jednostavnost” i ”ociglednost” aksioma izbora.Ipak, rjesenje ”sumnje” o AC dao je Godel3 1939. On je dokazao sljedeci teorem.

Teorem 1.3.3: O saglasnosti ZF sa AC

AC je saglasan sa ZF teorijom, tj. ako je ZF teorija neprotivurijecna, onda je takvai teorija ZF + AC (ZFC).

Tezim se pokazalo pitanje, da li se ili ne, AC moze izvesti iz ZF teorije. Taj problemce biti rijesen 1963. od strane Cohena4, koji ce pokazati da je problem sa AC slican VEuklidovom postulatu u geometriji.

Teorem 1.3.4: O nezavisnosti AC o ZF

AC je nezavisna od ZF teorije, tj. ako je ZF teorija neprotivurijecna, onda je takvai teorija ZF+¬ AC

Koliko god ove teoreme formalno u potpunosti razrjesavaju status AC u odnosu na ZFteoriju, dopustamo da ce neki citaoci i dalje ostati u dilemi: ” Da li je AC, u stvari, tacnaili ne?” Nikakav ”u stvari” ne postoji. ZF teorijom opisujemo samo zamisljene objekte, akoje u stvari niti smo konstruisali niti vidjeli. Ako se dogovorimo da je svijet koga opisujeZF teorija, svijet skupova, onda je taj opis nepotpun. Naime, postoje svijetovi u kojimaje AC tacna, a postoje i svijetovi u kojima AC ne vazi. Ali je vazno da u svijetu kogaopisuje ZF teorija AC nije istovremeno i tacna i netacna. Dakle, pitanje prihvatanja iliodbacivanja AC nosi iskljucivo filozofski karakter.

3Kurt Godel (1906-1978) - Njemacki matematicar4Paul Joseph Cohen 1934–2007, americki matematicar)

44

Indeks pojmova

AAksiom

izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42antirefleksivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6antisimetricnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6asimetricnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bbijekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Ddekompozicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11dijagonalna relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6, 29domen relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2donja meda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Eepimorfizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Ffunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

domen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27jednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29kodomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25kompozicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25restrikcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29superpozicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

funkcija izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Ggornja meda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

HHasseov dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Iidentiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23injektivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31inkluzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

inverzna funkcijadesni inverz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33egzistencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36lijevi inverz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

inverzna relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4izborni skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42izomorfizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Jjednokorijenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 27

Kklasa ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12kodomen relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2kolicnicki skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12kompozicija relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Llanac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16linearno ureden skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Mmajoranta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22maksimalan element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19minimalan element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19minoranta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22monomorfizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Nnajmanji element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19najveci element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19neposredni prethodnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Pparcijalno ureden skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14particija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6predstavnik klase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Rrefleksivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

45

Indeks pojmova

relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1relacija ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10relacija poretka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ssimetricnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23surjektivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

TTeorem

Hausdorffov princip maksimalnosti . . . 44nezavisnost AC o ZF . . . . . . . . . . . . . . . . . 44saglasnost ZF sa AC . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Zermelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Zermelov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Zornova lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

totalno ureden skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16tranzitivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Uuporedivi elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

46

Bibliografija

[1] D. Kurepa : Teorija skupova, Skolska knjiga, Zagreb, 1951

[2] K. Kuratowski, A. Mostowski: Set Theory, North-Holland, 1967.

[3] S. Presic i drugi: Problem postojanja u matematici, Matematicki Insti tut, Beograd,1979.

[4] Z. Sikic: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd 1987.

[5] Z. Sikic: Kako je stvarana novovjekovna matematika, Skolska knjiga, Zagreb, 1989.

[6] K. Devlin: The Joy of Sets, Springer-Verlag, 1993.

[7] J. Thomas: Set Theory, Third Millennium Edition, Springer Monographs inMathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag 2003.

[8] S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State University, 2005.

[9] M. Vukovic: Matematicka logika 1, Sveuciliste u Zagrebu, Zagreb 2006.

47