Neodluˇ civost u matematici Poploˇ cavanje ravni Poznato je da se ravan moˇ ze poploˇ cati, tj. pokriti bez preklapanja i praznina, kvadratima, jednakostraniˇ cnim trouglovima i pravilnim ˇ sestouglovima, a da se ne moˇ ze poploˇ cati, na primer, pravilnim petouglovima. Mnogi drugi oblici mogu poploˇ cati ravan, kao, na primer, svaki od nepravilnih petouglova prikazanih na narednoj slici. (Matematiˇ cki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 4 / 24
14
Embed
Neodlu civost u matematici Poplo cavanje ravniNeodlu civost u matematici Poplo cavanje ravni Sva poplo cavanja ravni prikazana na prethodnim slikama su periodi cna. Grubo govore ci,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Neodlucivost u matematici
Poplocavanje ravni
Poznato je da se ravan moze poplocati, tj. pokriti bez preklapanja ipraznina, kvadratima, jednakostranicnim trouglovima i pravilnimsestouglovima, a da se ne moze poplocati, na primer, pravilnimpetouglovima.
Mnogi drugi oblici mogu poplocati ravan, kao, na primer, svaki odnepravilnih petouglova prikazanih na narednoj slici.
Sva poplocavanja ravni prikazana naprethodnim slikama su periodicna.Grubo govoreci, to znaci da postoje bardva razlicita pravca u poplocanoj ravni ina svakom od njih beskonacno mnogotacaka iz kojih mozemo posmatratipoplocanu ravan a da ono sto vidimobude jedan te isti sablon, odnosno danam poplocana ravan izgleda potpunoisto kada je posmatramo iz bilo koje odpomenutih tacaka.
Matematickim jezikom, poplocavanje jeperiodicno ako postoje dve nezavisnetranslacije ravni koje uocenopoplocavanje prevode u sebe. Za svakoperiodicno poplocavanje ravni postojitzv. paralelogram perioda odredjenvektorima translacija koje topoplocavanje prevode u sebe.
Kako i zasto su otkriveni aperiodicni skupovi plocica?
Hao Vang je 1961. godine formulisao je problem: Postoji li postupak zaresavanje problema poplocavanja, tj. postoji li neki algoritam kojim semoze utvrditi da li dati skup mnogougaonih plocica moze poplocati ravan?
Dokazao je da ce ovakav algoritam postojati ako se dokaze da svaki skupplocica koji poplocava ravan zaparavo je poplocava periodicno.(U to vreme se verovalo da aperiodicni skupovi plocica ne postoje).
M. R. Robinson, Undecidability and nonperiodicity for tilings of the plane,Invent. Math. 12, 1971.
Sustinska ideja dokaza neodlucivosti problema poplocavanja ravni jestesimulacija Tjuringovih masina pomocu plocica. Sama simulacija jezanimljiva sama po sebi jer omogucava da pakovanje plocica zamisljamokao model izracunljivosti.
Simuliracemo rad proizvoljne Tjuringove masine na praznoj traci jer: nepostoji algoritam koji odlucuje da li se proizvoljna Tjuringova masinazaustavlja ako zapocne rad na praznoj traci.
Umesto opsteg problema poplocavanja ravni razmatracemo tzv. problempoplocavanja ravni sa pocetnim zahtevima.