-
1
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM
VAZIRLIGI
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
AXBOROTLASHTIRISH TEXNOLOGIYALARI KAFEDRASI
« NAZARIY MEXANIKA» fanidan o’quv-uslubiy
M A J M U A
Matematika va mexanika ta’lim yo’nalishi talabalari uchun
SAMARQAND-2010
-
2
1- MA’RUZA «Statikaning asosiy tushuncha va qoidalari.
Statika
aksiomalari »
1.1. « Statikaning asosiy tushuncha va qoidalari. Statika
aksiomalari »
mavzusining texnologik modeli
O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50 ta
O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars)
Ma’ruza rejasi
1.Mexanikaning rivojlanishiga Sharq, Yevropa va o’zbek
olimlarining qo’shgan hissalari.
2.Statikaning asosiy tushuncha vaqoidalari.
3.Statika aksiomalari.
O’quv mashg’ulotining maqsadi: Dinamika fani. Dinamika
rivojlanishining
qisqacha tarixi. Mexanikaning asosiy qonunlari haqida tushuncha
berish.
Pedagogik vazifalar: O’quv faoliyati natijalari:
Mexanika tarixidan tushunchalarni
takrorlash
Fanning ahamiyati va mohiyatini tushunadi
Statika elementlarini va qoidalarini
tushuntirish
Statika elementlari va asosiy tushunchalari
va ta’riflari yodlaydi, eslab qoladi,
tasavvurga ega bo’ladi.
Statika aksiomalarini tushuntiradi,
izohlaydi, misollar keltiradi
Statika aksiomalarini yodlaydi, izohlashni
tushunadi, amaliyotda qo’llashga ko’nikma
hosil qiladi
O’qitish vositalari O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar,
doska
O’qitish usullari Axborotli ma’ruza, blis-so’rov,
texnika-insert
O’qitish shakllari Frontal, kollektiv ish
-
3
O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan,
guruxlarda ishlash
usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya.
Monitoring va baholash og’zaki savollar, blis-so’rov
1.2. « Statikaning asosiy tushuncha va qoidalari. Statika
aksiomalari »
mavzusining texnologik xaritasi
Ish
bosqich-lari
O’qituvchi faoliyatining mazmuni Tinglovchi
faoliyatining mazmuni
1-bosqich.
Mavzuga
kirish
(20 min)
1.1. O’quv mashg’uloti mavzusi, rejasi,
pedagogning vazifasi va talabaning o’quv
faoliyati natijalarini aytadi.
1.2. Baxolash mezonlari (1 – ilova).
1.3. Mavzuni jonlashtirish uchun «Blis-
so’rov» savollarini beradi. Blis-so’rov
usulida natijasiga ko’ra tinglovchilarning
nimalarda adashishlari, xato qilishlari
mumkinligining tashxizini amalga
oshiradi (2-ilova).
1.4. Texnika-insert usulida mavzu
bo’yicha ma’lum bo’lgan tushunchalarni
faollashtiradi. (3-ilova ).
Tinglaydilar.
Yozib oladilar.
Tinglaydilar.
Yozib oladilar.
Aniqlashtiradilar,
savollar beradilar.
-
4
2 -bosqich.
Asosiy
bo’lim
(50 min)
2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi.
2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar
bo’yicha tushuncha beradi. (4 - ilova).
2.2. Ma’ruzada berilgan savollar
yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa
beradi. (5 - ilova).
2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.
2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor
takrorlanadi.
Tinglaydilar.
Javob beradilar
Yozadilar.
UMKga qaraydilar
Har bir tayanch
tushuncha va iboralarni
muhokama qiladilar.
3-bosqich.
Yakunlovc
hi
(10 min)
3.1. Mashg’ulot bo’yicha yakunlovchi
xulosalar qiladi. Mavzu bo’yicha olingan
bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi
ma’lum qiladi.
3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar
ro’yxatini beradi.
3.3. Keyingi mazvu bo’yicha tayyorlanib
kelish uchun savollar beradi.
Savollar beradilar.
UMKga qaraydilar.
UMKga qaraydilar.
Uy vazifalarini yozib
oladilar
-
5
1-Ma’ruza.
STATIKANING ASOSIY TUSHUNCHA VA QOIDALARI.
STATIKA AKSIOMALARI
Reja:
1. Mexanikaning rivojlanishiga Sharq, Yevropa va o’zbek
olimlarining qo’shgan
hissalari.
2.Statikaning asosiy tushuncha vaqoidalari.
3.Statika aksiomalari.
Adabiyotlar: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12.
Tayanch iboralar:
mexanik harakat, absolyut qattiq jism, moddiy nuqta, massa,
inertlik, kuch,
radius-vektor, harakat miqdori statika aksiomalari .
Belgilar:
Ms - Muammoli savol Mt- Muammoli topshiriq
Mv- Muammoli vaziyat Mm- Muammoli masala
-
6
1-ilova
Baholash mezoni:
Har bir savol javobiga - 2 ball
Har bir qo’shimcha fikrga - 2 ball
Har bir javoni to’ldirishiga - 1 ball
2-ilova
.
3-ilova
Insert texnikasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni
to’ldiring.
№ Asosiy tushunchalar Belgi
1. Sharq olimlarining mexanika fani rivojiga qo’shgan
hissalari
2. Mexanika fani asoschilari
3. Mexanika fani rivoji uyg’onish davrida
4. Fan rivojining zamonaviy bosqichi
5. Statika elementlari
Kuch
Mavzuni jonlashtirish uchun blits so’rov savollari
1. «Nazariy mexanika» fani deganda nimani tushunasiz? 2. Bu
fanning ilm-fan-ishlab chiqarishdagi o’rni. 3. Nazariy mexanika
fani elementlari qo’llaniladigan
sohalarga aniq misol keltiring. 4. Bu fan qaysi fanlar bilan
chambarchas bog’langan? 5. Bu fanning vazifasi nimadan iborat?
6.Ushbu fanni o’qigan talaba nimalarni bilishi kerak?
-
7
Inertlik
Moddiy nuqta
Kuch birliklari
6. 1-qonun
7. 2-qonun
8. 3-qonun
Insert jadvali qoidasi
.
4-ilova
V- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. + - yangi ma’lumot ? –
tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar)
-
8
1. Mexanikaning rivojlanishiga Sharq, Yevropa va o’zbek
olimlarining
qo’shgan hissalari.
Dinamika mexanikaning bo’limi bo’lib, unda moddiy jismlarning
harakati
unga ta`sir etuvchi kuchlarga bog’lab o’rganiladi.
Dinamika mexanikaning ko’pgina amaliy masalalarini yechishda
muhim
ahamiyatga ega bo’lgan umumiy bo’limi hisoblanadi.
Buyuk Italian olimi Goliley (1564-1642) dinamikaning
asoschisi
hisoblanadi. U moddiy nuqtaning to’g’ri chiziqli noteks harakati
uchun tezlik va
tezlanish tushunchalarini kiritdi hamda jismlarning bo’shliqda
erkin tushish
qonunlarini yaratdi. Galiley dinamikning birinchi qonuni -
inersiya qonuniga ta`rif
berdi gorizontga burchak ostida otilgan jismlarning bo`shliqda
parabola bo`ylab
harakatlanishini aniqladi.
Gollandiyalik olim Gyuygeus (1629-1695) inersiya momenti –
tushunchasini
kiritgan, tebrangichlar nazariyasini va soatni yaratgan. U egri
chiziqli harakatdagi
nuqta uchun tezlanishning momenti tushunchasini umumlashtirib,
markazdan
qochma kuchni kiritgan.
Buyuk ingliz olimi, Nyuton (1643-1727) Galileyning dinamikaning
yaratish
sohasidagi ishlarini davom ettirdi. O`zining buyuk asari
“philosophniae naturalis
principia mathematika” da klassik mexanikaning qonunlariga
ta`rif bergan va bu
qonunlar asosida dinamikaning sistemali bayonini berdi. Nyuton
butun olam
tortilish qonunini yaratgan.
Moddiy nuqta dinamikasidan mexanik sistema dinamikasiga
o`tishni
ta’minlovchi Nyuton tomonidan yaratilgan ta’sir va ansta’sir
qonuni katta
ahamiyatga ega.
Dekartning harakat miqdorini saqlanishi haqidagi fikrini
rivojlantirib, Nyuton
harakat miqdorining o`zgarishini ta’sir etuvchi kuchga
bog’liqligini aniqladi.
XX asrning boshlarida nemes fizigi Albert Eynshteyn tomonidan
yaratilgan
relyativistik mexanika (nisbiylik nazariyasi) fazo, vaqt, massa
va energiya haqidagi
tasavvurkarni butunlay o’zgartirib yubordi. Lekin yorug’lik
tezligidan kichik
tezliklar uchun klassik mexanika qonunlari asosida olingan
natijalar, relyativistik
-
9
mexanika qonunlari bilan olingan natijalar bilan mos keladi.
Galiley-Nyuton
qonunlari yordamida hozirgi zamon nazariya mexanikasining
asosini tashkil
etuvchi teoremalar isbotlandi va mexanika prinsiplari
asoslandi.
Kinetik energiyaning o’zgarish qonuni Ivan Bernulli (1667-1748)
va
Daniil Bernulli (1300-1782) lar tomonidan ta’riflangan. Harakat
miqdorining
o’zgarishi haqidagi teorema deyarli bir vaqtning o’zida (1746)
Eyler va Daniil
Bernulli tomonidan tariflangan.
1716 yil Peterbur fanlar akademiyasi akademigi Ya. German
dinamika
tenglamalarini statika tenglamalari ko’rinishiga keltiruvchi,
umumiy metod,
mexanika (kinetostatika metodi)ni kiritgan.
1737y Eyler (1707-1783) bu prinsipni umumlashtirdi va egiluvchi
jismlarning
tebranishiga qo’lladi.
1743y Dalamber (1717-1783) German Eyler prinsipini qo’llanilish
sohasini
kengaytirdi, yani bu prinsipni bog’langan jismlardan tashkil
topgan murakkab
sistemalarga qo’lladi. Bu prinsip Dalamber prinsipi (yoki
nachala Dalambera)
nomi bilan yuritiladi.
Lagranj (1736-1813) German – Eyler - Dalamberprinsipini
statikaning
umumiy prinsipini mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi bilan
birlashtirib, amaliyotda
qo’lash uchun qulay bo’lgan ko’rinishga keltirdi. Mumkin bo’lgan
ko’chish
prinsipi birinchi Stevin (1548-1620) tomonidan kiritilgan
Galiley Stevinning og’ma tekislikdagi mulohazalarini davom
etkazib
mexanikaning oltin qoidasiga ta’rif bergan: kuchdan yutilsa
tezlikdan yutqaziladi.
Akademik M.V Ostrogradskiy (1548-1862) mumkin bo’lgan
ko’chish
prinsipini umumlashtirib, mexanikaning yangi masalalarini
yechishga qo’llagan.
Mexanik sistemaning umumlashgan koordinatalardagi tenglamalarini
Lagranj
tomonidan keltirib chiqarilgan. Lagranj tenglamalari mexanik
sistema harakatini
umumiy ko’rinishda ifodalaydi. Bu tenglamalar mexanik
sistemaning amaliyotda
muhim ahamiyatga ega bo’lgan kichik tebranishlarini o’rganishda
qo’llaniladi.
XX asrda mexanikaning rivojlanishida katta hissa qo’shgan o’zbek
olimlari:
M . T . O’razboyev, X. A. Raxmatulin, X. X. Usmonxodjayev, T. R.
Rashidov,…
-
10
√
Statikaning asosiy aksiomalari
Bu bobda statikaning asosiy tushunchalari, aksiomalari,
bog‘lanishlar va
ularning turlari, bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi va
ularning muvozanat
shartlari, markazga va o‘qqa nisbatan kuch hamda kuchlar
sistemasining
momenti, tekislikda kuchlar sistemasining xossalari, kuchning va
kuchlar
sistemasining nuqtaga hamda o`qqa nisbatan momentiga doir
masalalarning
yechimi keltirilgan.
1. Statikaning asosiy tushunchalari va aksiomalari
Moddiy nuqta, mexanik sistema, qattiq jism, kuch, kuch-lar
sistemasi va
bog‘lanishlar.
Statika bo‘limida kuchlar sistemasi ta’siridagi mexanik
sistemaning yoki
mexanik sistemaga qo‘yilgan kuchlar sistemasining muvozanat
shartlari
o‘rganiladi.
Statikaning asosiy tusgunchalari: moddiy nuqta, mexanik sistema,
qattiq jism
va kuchlar hisoblanadi.
Moddiy niqta deganda o‘lchamlari va shakli e’tiborga
olinmaydigan va massasi
bir nuqtaga joylashgan deb qaraladigan jism tushiniladi.
Har bir nuqtasining harakati qolgan nuqtalarining holati va
harakatiga bog‘liq
bo‘lgan moddiy nuqtalar to‘plamiga mexa-nik sistema
deyiladi.
Ixtiyoriy ikkita nuqtasi orasidagi masofa o‘zgarmas va massasi
uzluksiz
taqsimlangan mexanik sistemaga absolyut qattiq jism
deyiladi.
Moddiy jismlarning o‘zaro ta’sirini xarakterlovchi kattalikka
kuch deyiladi.
Nazariy mexanikada kuch tushunchasi asosiy birlamchi tushuncha
hisoblanadi.
Kuch vektor kattalik bo‘lib, u o‘zining son qiymati (miqdori)
yoki moduli,
qo‘yilish nuqtasi va yo‘nalishi bilan xarakterlanadi. Kuch
vektori bilan ustma-ust
tushuvchi to‘g‘ri chiziqqa, shu kuchning ta’sir chizig‘i deb
ataladi. Kuchlar
sistemasi deb qaralayotgan qattiq jismga yoki mexanik sistema
nuqtalariga
qo‘yilgan kuchlar to‘plamiga aytiladi. Bitta nuqtaga qo‘yilgan
kuchlar sistemasini
ham qarash mumkin.
-
11
Jismga ta’sir etuvchi nFFF
,...,, 21 kuchlar to‘plamiga kuchlar sistemasi deyiladi.
Berilgan nFFF
,...,, 21 kuchlar sistemasi ta’siridan qattiq jism yoki
mexanik
sistema o‘zining tinch holatini yoki inersial harakatini
o‘zgartirmasa, bunday
sistemaga nolga ekvivalent yoki muvozanatlashgan kuchlar
sistemasi deyiladi va
quyidagicha yoziladi:
nFFF
,...,, 21 ~ 0.
Qattiq jismga qo‘yilgan nFFF
,...,, 21 kuchlar sistemasining ta’sirini boshqa bir
kQQQ
,...,, 21 kuchlar sistemasining ta’siri bilan almashtirish
mumkin bo‘lsa,
bunday kuchlar sistemalariga ekvivalent kuchlar sistemalari
deyiladi va
quyidagicha yoziladi:
nFFF
,...,, 21 ~ kQQQ
,...,, 21 .
Kuchlar sistemasining jismga ko‘rsatadigan ta’sirini bitta
kuchning ta’siri bilan
almashtirish mumkin bo‘lsa, bu kuch berilgan kuchlar
sistemasining teng ta’sir
etuvchisi deyiladi. nFFF
,...,, 21 kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisini R
bilan belgilasak, u holda nFFF
,...,, 21 ~ R deb yoziladi.
Statika aksiomalari:
1-aksioma (Ikki kuchning muvozanati haqidagi aksioma). Qattiq
jismning
ixtiyoriy ikkta nuqtasiga qo‘yilgan, miqdorlari teng va shu
nuqtalardan o‘tuvchi
to‘g‘ri chiziq bo‘ylab qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan ikkita
kuch
muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi (1-shakl).
Xususiy holda qattiq
jismning bitta nuqtasiga qo‘yilgan, miqdorlari teng va bir
to‘g‘ri chiziq bo‘ylab
qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan ikkita kuch muvozanatlashgan
kuchlar
sistemasini tashkil etadi (2-shakl).
2F
A B 1F
O 2F
1F
1-shakl 2-shakl
-
12
2-aksioma (Nolga ekvivalent kuchlar sistemasini qo‘shish yoki
ayirish
haqidagi aksioma). Qattiq jismga qo‘yilgan kuchlar sistemasiga
nolga ekvivalent
kuchlar sistemasi qo‘shilsa yoki ayrilsa, kuchlar sistemasining
jismga ko‘r-
satiladigan ta’siri o‘zgarmaydi, boshqacha aytganda dastlabki
kuchlar sistemasiga
ekvivalent kuchlar sistemasi hosil bo‘ladi.
Natija. Qattiq jismning biror nugtasiga qo‘yilgan kuchni miqdori
va
yo‘nalishini o‘zgartirmasdan jismning kuch ta’sir chizig‘ida
yotuvchi ixtiyoriy
nuqtasiga ko‘chirganda kuchning jismga ko‘rsatadigan ta’siri
o‘zgarmaydi.
Isbot. Qattiq jismning biror A nuqtasiga 1F
kuch qo‘yil-gan bo‘lsin. Jismning
kuch ta’sir chiziqida yotgan ixtiyoriy B nuqtasiga shunday 0~,
22 FF
sistemani
qo‘yapmizki, bunda 221 FFF va 2121 , FFFF
bo‘lsin (3-shakl).
2-aksiomaga asosan
2211 ,,~ FFFF
, birinchi B 2F
aksiomaga asosan A 2F
0~, 21 FF
. 1F
Natijada 3-shakl
22211 ~,,~ FFFFF
.
3-aksioma. Ikkita nolga ekvivalent kuchlar sistemasi o‘zaro
ekvivalent
boladi, ya’ni
.,...,,~,...,,
0~,...,,,0~,...,,
2121
2121
mn
mn
PPPFFF
PPPFFF
4-aksioma (Parallelogram aksiomasi). Qattiq jismning bitta
nuqtasiga
qo‘yilgan ikkita parallel bo‘lmagan kuchlar teng ta’sir
etuvchisining moduli bu
kuchlarga qurilgan parallelogram diagonaliga teng hamda shu
diagonal bo‘ylab
yo‘nal-gan bo‘ladi (4-shakl):
2121 ,~, FFRRFF
, 1F
R
cos2 212
22
1 FFFFR ,
R
FFFFR 2121^,sin^,sin
, 2F
4-shakl
α
-
13
R
FFFFR 2112^,sin^,sin
.
5-aksioma (Ta’sir va aksta’sir prinsipi). Ikki qatiq jism-ning
o‘zaro ta’siri
miqdor jihatidan teng va bir to‘gri chiziq bo‘ylab qarama-qarshi
tomonga
yo‘nalgan bo‘ladi (5-shakl).
A B A B AF
BF AF
BF
5-shakl
6-aksioma (Qotish prinsipi). Qattiq bo‘lmagan jism kuchlar
sistemasi
ta’siridan muvozanatda bo‘lsa, jism qattiq holatga o‘tganda ham
uning
muvozanati buzilmaydi.
Bog‘lanish aksiomasi. Erksiz qattiq jismga qo‘yilgan
bog‘lanishlar ta’sirini
bog‘lanish reaksiyalari bilan almashtirib jismni berilgan aktiv
kuchlar va
bog‘lanish reaksiyalari ta’siri-dagi erkin qattiq jism deb
qarash mumkin.
Аsоsiy birliklаr sistеmаsi. Mехаnik miqdоrlаrni o`lchоvi uchun
uchtа аsоsiy
birliklаrni kiritish еtаrli. Bulаrdаn ikkitаsi uzunlik vа vаqt
birliklаri bo`lsа,
uchinchi o`lchоv birligi sifаtidа mаssа yoki kuchning o`lchоv
birligi tаnlаnаdi.
Kuch vа mаssа o`zаrо dinаmikаning аsоsiy tеnglаmаsi
kuch = mаssа x tеzlаnish
bilаn bоg‘lаngаnligi uchun ulаrdаn bittаsini tаnlаsh еtаrli.
Shuning uchun hаm
ikkitа аsоsiy o`lchоv birliklаr sistеmаsini kiritish mumkin.
а) Birinchi хil o`lchоv birliklаr sistеmаsi. Bu sistеmаdа аsоsiy
o`lchоv
birliklаr: mаsоfа, vаqt vа mаssа; kuch hоsilаviy birlik
hisоblаnаdi. Bundаy
birliklаr sistеmаsigа fizik miqdоrlаrning хаlqаrо o`lchоv
birliklаr sistеmаsi (SI)
kirаdi. Bungа аsоsаn mехаnik miqdоrlаrning o`lchоv birliklаri:
mеtr, kilоg-rаmm
mаssа vа sеkund.
-
14
SI sistеmаsidа kuchning o`lchоv birligi sifаtidа 1kg mаssаgа
1m/sеk2 tеzlаnish
bеruvchi kuch miqdоri qаbul qilingаn. Kuchning bu o`lchоv
birligigа n’yutоn
dеyilаdi. 22 /1/111 sekmkgsekmkgN .
Birinchi хil o`lchоv birliklаr sistеmаsigа fizikаdа kеng
qo`llаnilаdigаn SGS
sistеmаsi hаm kirаdi. Bu sistеmаning аsоsiy o`lchоv birliklаri:
sаntimеtr, grаmm
mаssа vа sеkund. Kuch birligi dinа. 1dinа = 10-5N.
b) Ikkinchi хil o`lchоv birliklаr sistеmаsi. Аsоsiy o`lchоv
birliklаr: mаsоfа,
vаqt vа kuch. Bu sistеmаgа tехnikаdа kеng tаrqаlgаn tехnik
o`lchоv birliklаr
sistеmаsi MKGS kirаdi. Bundа аsоsiy birliklаr: mеtr, kilоgrаmm
kuch vа sеkund.
Massаning o`lchоv birligi msekkg 21 .
SI vа MKGS o`lchоv birliklаr sistеmаlаridа kuchning o`lchоv
birliklаri
quyidаgichа bоg‘lаngаn:
Nkuchkg 81,91 yoki .102,01 kuchkgN
Nazorat savollari.
1. Nazariy mexanika fani nimani o’rgatadi? 2. Mexanika harakat
deb nimaga aytiladi?
3. Mexanika so’zi qanday manoni bildiradi?
4. Mexanika so’zi kim tomonidan fanga kiritilgan? 5. Nazariy
mexanika fanining rivojlanishiga ulkan hissa qo’shgan qanday
olimlarni bilasiz?
6. Kuch deb nimaga aytiladi?
7. Statika deb nimaga aytiladi?
8. Kuchning jismga ta’siri qanday faktorlar bilan
aniqlanadi?
Xulosa
Hozirgi zamon fan va texnikasi taraqqiyotida ,,Nazariy
mexanika’’ fani muhim
o’rin egallamoqda. Bu fan taraqqiyotning muhim richaglaridan
biri.
-
15
Fanning rivojlanish tarixi uning ildizini chuqurroq o’rganishga
ko’maklashish.
Statika o’quv rejaning zaruriy qismi va boshqa fanlar bilan
uzviy bog’liq.
Statika tushunchalari, elementlari va aksiomalari masalaalrini
yechish bilim
olishning asosiy tayanchi
mavzusining texnologik modeli.
2- Mavzu
Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi
O’quv soati – 2 soat
Talabalar soni: 50
O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (axborotli dars)
Mavzu rejasi
1. Bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi
2. Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasining
muvozanat shartlari.
3. Uchta kuch haqidagi teorema.
O`quv mashg`ulotning
maqsadi
Bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi va uning
muvozanat shartlari haqida tushuncha berish.
Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari:
Kuch, kuchning ta’sir chizig’i va
statika aksomalarini takrorlash.
Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasi
haqida tushunchaga ega.
Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar
haqida tushuncha berish.
Muvozanat shartlarini eslab qoladi va
amaliyotga qo’llay oladi.
Uchta kuch haqidagi teoremani
isbotlash vamisollar keltirish.
Uchta kuch haqidagi teoremani yoddan
biladi vaunga misollar keltiradi.
O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska
O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov, Pinbord
texnikasi, aqliy
hujum.
-
16
1.2. ,,Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasi’’ mavzusining
texnologik
xaritasi Ish bosqich-lari
O’qituvchi faoliyatining mazmuni
Tingloichi faoliyatining Mazmuni
1-Mavzuga bosqich (20min)
1.1.O`quv mashg`uloti mavzusi, savollarni va o`quv faoliyati
natijalarini aytadi. 1.2.Baholash me’zonlari (2-ilova) 1.3.Pinbord
usulida mavzu bo`yicha ma’lum bo`lgan tushunchalarni
faollashtiradi. Pinbord usulida natijasiga ko`ra tinglovchilarning
nimalarda adashishlari, xato qilishlari mumkinligining tashxizini
amalga oshiradi (1-ilova). 1.4.Mavzuni jonlashtirish uchun savollar
beradi. (3-ilova).
Tinglaydilar. Tinglaydilar
2-bosqich Asosiy bo’lim.
(50min)
2.1 Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 2.2 Ma’ruza rejasining
hamma savollar bo`yicha tushuncha beradi (4-ilova). 2.3 Ma’ruzada
berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi.
(5-ilva). 2.4 Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5 Talabalar
ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi.
Tinglaydilar. Tinglaydilar. UMK ga qarydilar UMK ga qarydilar
Vazifalarni yozib oladilar
O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish.
O’qitish sharoiti Texnik vosiitalar bilan taminlangan,guruhda
ishlash
usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya
Monitoging va
baholash
Og’zaki savollar,blis-so’rov
-
17
3- bosqich Yakun lovchi (10min)
3.1 Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu
bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum
qiladi. 3.2 Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun
adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3 Keyingi mavzu bo`yicha
tayyorlanib kelish uchun savollar beradi.
Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMK ga qarydilar
Vazifalarni yozib oladilar.
2-Ma’ruza Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasi.
Reja:
3.Uchta kuch haqidagi teorema.
Adabiyotlar: [1],190-196 sah, [5], 16-21 sah.
Tayanch iboralar:
Kuch, kuchlar sistemasi, teng ta’sir etuvchi kuch, ekvivalent
kuchlar.
Belgilar:
MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat,
MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala
Baholash mezoni :
Har bir savol javobiga – ball
Har bir qo’shimcha fikrga – ball
Har bir javobni to’ldirishga – ball
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari:
1. Bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi
2.Bir nuqtaga kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat
shartlari.
-
18
1. Ekvivalent kuchlar sistemasi deb nimaga aytiladi?
2. Kuch deb nimaga aytiladi ?
3.Teng ta’sir etuvchi kuch deb nimaga aytiladi.
4. Kuchlar sistemasi qachon muvozanatda bo’ladi?
5. Kuchning ta’sir chizig’i debnimaga aytiladi?
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni
to’ldiring
№ Asosiy tushunchalar Belgi
1 Kuch va uning birliklari.
2 Kuchlar sistemasi.
3 Teng ta’sir etuvchi kuch.
4 Ekvivalent kuchlar.
5 Kuchlar ko’pburchagi.
6 Bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi.
7 Kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanati.
8 Uchta kuch haqida teorema.
Insert jadvali qoidasi
-
19
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi.
+ - Yangi ma’lumot.
– - olgan bilimiga qarama-qarshi.
? – tushunarsiz,
-
20
2- Mavzu
1.Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi Ta’sir chiziqlari
bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasiga bir nuqtada kesishuvchi
kuchlar sistemasi deyiladi. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar
sistemasini teng ta’sir etuvchisini topamiz. Qattiq jismga ta’sir
etuvchi bir nuqtada kesishuvchi nFFF
,...,, 21 kuchlar sistemasi
berilgan bo‘lsin. Avval parallelogram aksiomasidan foydalanib
berilgan kuchlar sistemasining birinchi ikkitasining teng ta’sir
etuvchisi-ni topamiz. Teng ta’sir etuvchining moduli
2112 FFR
, 2121222112 ^,2 FFCosFFFFR
ga teng, yo‘nalishi esa quyidagi munosabatlardan topiladi
2112
122
1
121
2^,sin^,sin^,sin FF
RRF
FRF
F .
Endi 12R
kuch bilan 3F
kuchni yoki 321 ,, FFF
kuchlarning teng ta’sir etuvchisini topamiz
1221 ~, RFF
, bu yerda
2112 FFR
; Shunga o‘xshash
2F
3F
12R 123R
1F
2F
3F
nF
R nF
13-shakl
123312 ~, RFR
, bu yerda
321123 FFFR
, va hokazo.
R~F, ...R n)(n-
1123 bu yerda
n
iin FF ... FFFR
1321
(1.3.1)
bo‘ladi. Shunday qilib, bir nuqtada kesishuvchi kuchlar
sistemasi bitta kuchga ekvivalent, ya’ni teng ta’sir etuvchiga ega.
Bu teng ta’sir etuvchi berilgan sistemasi kuchlarining geometrik
yig‘indisiga teng.
-
21
Bir nugtada kesishuvchi kuchlar sistemasining teng ta’sir
etuvchisini kuch ko‘pburchagini qurish usuli bilan ham topish
mumkin. Buning uchun 1F
kuchni
kuchlar sistemasining markazi deb olib, 2F
kuchni o‘z-o‘ziga parallel ravishda shunday ko‘chiramizki,
2F
kuchning boshi 1F
kuchning oxiri bilan ustma-ust
tushsin. Xuddi shunday 3F
kuchni o‘z-o‘ziga parallel ravishda ko‘chiramiz, natijada 3F
kuchning boshi 2F
kuchning oxiri bilan ustma-ust tushsin va hokazo,
shu ishni davom ettirib, oxiri nF
kuchni kochirganimizda bu kuchining boshi 1nF
kuchning oxiri bilan ustma-ust tushsin. Kuchlar sistemasi
markazidan chiqib nF
kuchning oxirini tutashtiruvchi R
kuch berilgan kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi
bo‘ladi. Shunday usul bilan qurilgan ko‘pburchakka kuch
ko‘pburchagi deyiladi (13-shakl). Kuchlar sistemasi teng ta’sir
etuvchisining moduli va yo‘nalishini analitik usul bilan ham topish
mumkin. Geometriya kursidan bizga malumki, vektorlar
yig‘indisi-ning koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari berilgan
vektorlarning mos o‘qlardagi proeksiyalari yig‘indisiga teng,
ya’ni
n
i
n
iizziyy
n
iixx FR,FR,FR
1 11.
Teng ta’sir etuvchining modili va yonalishi quyidagicha
topiladi
.)^,cos(,)^,cos(,)^,cos(
,222
RRzR
RR
yRRRxR
RRRR
zyx
zyx
2. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat
shartlari
Teorema. Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasi muvozanatda
bo‘lishi uchun berilgan kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi
nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli, yani
n
iiFR
10
. (1.3.2)
To‘g‘ri burchakli Oxyz dekart koordinatalar sistemasini tanlab,
(1.3.2) tenglamani koordinata o‘qlariga proyeksialaymiz, natijada
uchta skalyar tenglamalar sistemasini hosil qilamiz, ya’ni
01
n
iixx FR ; 0
1
n
iiуу FR ; 0
1
n
iizz FR . (1.3.3)
Muvozanatdagi qattiq jism erkin bo‘lmasa, bog‘lanishlar
aksiomasidan foydalanib, bog‘lanishlarning jismga ko‘rsatadi-gan
ta’sirini ularning reaksiya kuchi bilan almashtiramiz. Natijada
avval ham aytilganidek, bunday jismni berilgan kuchlar va
bog‘lanish reaksiya kuchlari ta’siridagi erkin jism deb qarash
mumkin. (1.3.3) tenglamalardan foydalanib kuchlar sistemasining
muvozanat shartlarini quyidagicha ifodalash ham mumkin: bir nuqtada
kesishuvchi kuchlar sistemasi
-
22
muvozanatda bo‘lishi uchun berilgan kuchlarning mos koordinata
o‘qlaridagi proyeksiyalari yig‘indisi alohida-alohida nolga teng
bo‘lishi zarur va yetarli.
Agar qattiq jismga qo‘yilgan kuchlar sistemasi bir tekislikda
joylashgan bo‘lsa, koordinata o‘qlaridan bittasini, masalan, z
o‘qini kuchlar tekisligiga perpendikulyar qilib olish kerak. U
holda (1.3.3) tenglamalarning uchinchisi aynan nolga teng bo‘ladi,
ya’ni
.01
n
iizz FR
Natijada quyidagi tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi: .0;0
11
n
iiyy
n
iixx FRFR (1.3.4)
(1.3.4) tenglamalar sistemasi bir tekislikda joylashgan va bir
nuqtada kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat shartlarini
ifodalaydi.
3.Uch kuch haqidagi teorema.
Bir tekislikda yotgan uchta kuchlar sistemasi muvozanatda
bo‘lsa, ularning ta’sir chiziqlari bir nuqtada kesishadi. 1F
A1 12R
A3 O 3F
A2 2F
14-shakl Isbot. Bir tekislikda yotgan uchta 321 ,, FFF
kuch muvozanatda bo‘lsin. Berilgan
1F
va 2F
kuchlarni ta’sir chiziqlari bo‘ylab kesishish nuqtasiga
ko‘chirib, ularni parallelogram qoidasiga ko‘ra qo‘shamiz,
natijada
0~,~,, 312321 FRFFF
ga kelamiz, bu yerda
2112 ,~ FFR
va aytilganidek 312, FR
kuchlar muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi.
1-aksiomaga asosan bu ikki kuch bir to‘gri chiziq bo‘ylab
qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan va demak 3F
kuchining ta’sir chizig‘i ham O nuqtadan o‘tadi.
-
23
Nazorat savollari. 1.Qanday kuchlar sistemasiga bir nuqtada
kesishuvchi kuchlar sistemasi deyiladi? 2.Qanday ko`pburchakga kuch
ko`pburchagi deyiladi? 3.Bir nuqtada kesishuvchi kuchlar
sistemasining teng ta`sir etuvchisi qanday topiladi? 4.Kuch
ko`pburchagida teng ta`sir etuvchisi qanday tasvirlanadi?
5.Kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanat tenglamalari qanday
yoziladi? Xulosa Kesishuvchi kuchlar sistemasi amaliyotda ko`p
uchraydi,shuning uchun ham uning fanda alohida o`rni bor.Mavzuni
o`rganish jarayonida quyidagi natijalarga e`tibor berishimiz
kerak:
1) Kesishuvchi kuchlar sistemasining muvozanatda bo`lishi uchin
uning teng ta`sir etuvchisi (t.t.e.) nolga teng bo`lishi zarur va
etarlidir.
2) Yopiq kuchlar ko`pburchagida hamma kuchlar ko`pburchakning
konturi bo`ylab bir tomonga yo`nalgan bo`ladi.
3) Xususiy hol . Ta`sir chiziqlari kesishuvchi uchta kuchlar
sistemasi muvozanatda bo`ladi, agap kuchlar uchburchagi yopiq
bo`lsa.
4) Muvozanat shartlari faqat bitta jismga ta`sir etuvchi kuchlar
sistemasi uchun qo`llaniladi.
-
24
3-Ma’ruza
Parallel kuchlar sistemasi.
Reja:
1. Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni qo`yish.
2. Qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan ikkita parallel kuchlarni
qo`yish.
3.Parallel kuchlar sistemasi.
Adabiyotlar: [1], 204-211 sah; [5], 27-29, 97-99 sah; [7],
40-43,68-73 sah.
Tayanch iboralar:
Parallel va antiparallel kuchlar, t.t.e. kuch, t.t.e.-ning
moduli va yo`nalishi ,
kuchning ta`sir chizig`i,kuch yelkasi
Belgilar:
MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat,
MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala
Baholash mezoni :
Har bir savol javobiga – ball
Har bir qo’shimcha fikrga – ball
Har bir javobni to’ldirishga – ball
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari:
1. Teng ta’sir etuvchi (t.t.e.)deb nimaga aytiladi?
2. Bir nuqtaga qo`yilgan ikkita kuch nolga ekvivalent
bo`ladimi?
3. T.T.E.-ning qo`yilgan nuqtasi qanday aniqlanadi?
4. Parallel kuchlar sistemasining og`irlik markazi deb qaysi
nuqtaga
aytiladi?
-
25
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni
to’ldiring
№ Asosiy tushunchalar Belgi
1 Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar sistemasi.
2 Qarama-qarshi tominlarga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar
sistemasi.
3 Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar sistemasining
T.T.E.
4 Qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan parallel kuchlar
sistemasining t.t.e.
5 Teng ta’sir etuvchining nuqtasi.
6 Ikkita parallel kuchlar t.t.e.-ning moduli
7 Ikkita antiparallel kuchlar t.t.e.-ning moduli
8 Parallel va antiparallel kuchlar t.t.e.-ning yo`nalishi.
9 Parallel kuchlar sistemasining og`irlik markazi.
Insert jadvali qoidasi.
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi.
+ - Yangi ma’lumot.
– - olgan bilimiga qarama-qarshi.
? – tushunarsiz,
-
26
1.1“ Parallel kuchlar sistemai ” mavzuning texnologik
modeli.
O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50
O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars)
Mavzu rejasi 1. Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel
kuchlarni
qo`shish.
2. Qarama-qarshi tomonga yo`nalgan ikkita parallel
kuchlani qo`shish.
3. Parallel kuchlar sistmasi.
O’quv mashg’ulotining
maqsadi
Parallel va antiparellel kuchlar sistemasi haqida
tushuncha berish.
Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari:
Kuch haqida
tushunchalarni takrorlash
Mavzuning ahamiyati va mohiyatini tushunadi.
Parallel va antiparallel
kuchlarni qo`shish
qoidalarini tushuntiradi.
Parallel kuchlarni qo`shish qoidalarini yodlaydi va
eslab qoladi.
Parallel kuchlar sistemasi
t.t.e., qo`yilgan nuqtasi,
yo`nalishini aniqlash
Parallel kuchlar sistemasini amaliyotda qo`llashga
ko`nikma hosil qiladi.
O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska
O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert
O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish.
O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan,guruhda
ishlash usulini
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya
Monitoging va
baholash
Og’zaki savollar,blis-so’rov
3 mavzu
Parallel kuchlar sistemasi
-
27
1.2. “ Parallel kuchlar sistemasi ” mavzusining texnalogik
xaritasi.
Ish bosqich-lari
O’qituvchi faoliyatining mazmuni
Tingloichi faoliyatining mazmuni
1-bosqich (20min)
1.1. O’quv mashg’uloti savollarni tahlil qiladi va o’qo’v
faoliyati natijalarini aytadi. 1.2. Tinglovchilarning
mashg’ulotdagi faoliyatini baholash ko’rsatgichlari va mezonlari
bilan tanishtiradi (1-ilova). 1.3. Mavzu bo’yicha tayyorlangan
topshiriqlarni tarqatadi.(2-ilova). 1.4. Savollar berib suhbat
tarzida tinglovchilar bilimlarini jonlantiriladi
Tinglaydilar. Tinglaydilar Topshiriqlar bilan tanishadilar Javob
beradilar
2-bosqich Asosiy bo’lim.
(50min)
2.1. Topshiriqlarni aniqlaydi va guruhda ishlashni tashkil
etadi. Yechimini tekshiradi va baholaydi.(3-ilova). 2.2.
Topshiriqlar mazmunini tushuntiradi va bajarish bo’yicha
maslahatlar beradi.
2 ta mini guruxga ajraladilar. Topshiriqda keltirilgan
savvollarga 1-2 javob tayorlaydi.
3-bosqich Yakun lovchi (10min)
3.1. Mavzu bo’yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. 3.2. Mavzu
maqsadiga erishishdagi tinglovchilar faoliyati tahlil qilinadi va
baholanadi. 3.3. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun
adabiyotlar beradi.
Savollar beradilar UMKga qaraydilar. Mustaqil ish topshiqlari va
uy vazifalarini yozib oladilar.
-
28
√ 3-Mavzu
1. Bir tоmоngа yo`nаlgаn ikkitа pаrаlеl kuchlаr sistеmаsi.
Absolyut qattiq jismning ikkita har xil nuqtalariga qo’yilgan
ikkita P
va Q
pаrаllеl kuchlar
sistemasini qaraymiz (41-shakl). Kuchlar qo’yilgan nuqtalarni A
va B bilan belgilaymiz. A va B nuqtalarga miqdorlari teng hamda AB
to’g’ri chiziq bo’ylab qarama-qarshi tomonga yo’nalgan S
va S
kuchlarni qo’yamiz. Bunday ikkita
kuch muvozanatlashgan kuchlar sistemasini hosil qiladi, ya’ni
0~',SS .
A va B nuqtalarga qo’yilgan SP
, va ', SQ
kuchlarni qo’shib, ularning teng ta’sir etuvchilari 1R
va 2R
larni hosil qilamiz. Ikkinchi aksiomaga asosan
',,,~, SSQPQP va demak
21,~, RRQP
. 1R
va 2R
kuchlarni ta’sir chiziqlari bo’ylab ularni O kesishish
nuqtasiga
ko’chiramiz (41-shakl). S O S Q 2R
S 1R
P A C B S 1R
Q P R 2R
41-shakl
Keyin 1R
va 2R
kuchlarini AB to’g’ri chiziq va P
,Q
kuchlarga parallel P
va S
, Q
va 'S
tuzuvchilarga ajratamiz. Shunday qilib, bitta nuqtaga qo’yilgan
kuchlar
sistemasiga ega bo’lamiz. ', SS muvozanatlashgan kuchlar
sistemasini tashkil qiladi, shuning uchun
QPSSQP ,~',,, . P
va Q
kuchlar P
va Q
kuchlarga parallel to’g’ri chiziq bo’ylab bir tоmоngа yo`nаlgаni
uchun ularning tеng tа’sir etuvchisi QPR
bo’ladi. Demak, uning
mоduli berilgan kuchlar modullari yig’indisigа tеng, ya’ni QPR .
(2.3.1)
Tеng tа’sir etuvchining yo’nalishi bеrilgаn kuchlаrga
paralleldir. Mos uchburchaklarning o’xshashligidan
SBS
OCQ
ACS
OCP ', .
-
29
Bu proporsiyalarni birinchisini ikkinchisiga bo’lib, quyidagini
hosil qilamiz:
ACCB
QP , bundan
ACQ
CBP
.
Oxirgi proporsiyadan quyidagi hosilaviy proporsiyaga
kelamiz:
ACQ
CBP
CBACQP
,
RQP va ABCBAC bo’lgani uchun
ABR
ACQ
CBP
. (2.3.2) Shunday qilib, bir tоmоngа yo`nаlgаn ikkita parallel
kuch teng ta’sir etuvchiga ega bo’lib, teng ta’sir etuvchining
mоduli berilgan kuchlar modullari yig’indisigа tеng, yo’nalishi
bеrilgаn kuchlаrga parallel va ular bilan bir xil bo’ladi. Teng
ta’sir etuvchining ta’sir chizig’i AB kesmani berilgan kuchlarning
modullariga nisbatan ichki ravishda teskari proportsional
bo’laklarga ajratadi. Endi berilgan R
kuchni ikkita parallel tuzuvchiga ajratish masalasini
qaraymiz.
Bu masalani cheksiz ko’p usullar bilan echish mumkin, ya’ni
masala umumiy holda aniqmas masala hisoblanadi. Masala aniq masala
bo’lishi uchun tuzuvchi kuchlardan A C B bittasini moduli va
qo’yilish nuqtasi yoki ikkala tuzuvchining P Q ham qo’yilish
nuqtasi berilishi R kerak. Masalan, C nuqtaga 42-shakl qo’yilgan
R
kuchni unga parallel shunday ikkita tuzuvchiga ajratilganki,
ulardan
biri A nuqtaga qo’yilgan bo’lib, moduli P ga teng. Ikkinchi
qo’shiluvchining moduli Q va qo’yilish nuqtasi B quyidagi
munosabatlardan topiladi (42-shakl):
QPR , ACQ
CBP
, bulardan
ACQPCBPRQ , .
Endi R
kuchni A va B nuqtalarga qo’yilgan ikkita parallel tuzuvchilarga
ajratish talab etilsin. Tuzuvchi kuchlarning modullari quyidagi
munosabatlardan topiladi:
ABACRQ
ABCBRP , .
2. Qаrаmа-qаrshi tоmоngа yo`nаlgаn ikkitа pаrаllеl kuchlar
sistemasi. Qаrаmа-qаrshi tоmоngа yo`nаlgаn ikkitа pаrаllеl kuchga
antiparallel kuchlar deyiladi. A va B nuqtalarga qo’yilgan
miqdorlari teng bo’lmagan ikkita antiparallel kuchlar berilgan
bo’lsin (43-shakl). Moduli katta bo’lgan P
Q
kuchni ikkita R
va 'Q
tuzuv- C A B chiga shunday ajratamizki, bu R Q kuchlardan
bittasi 'Q
ning P
moduli Q
ning moduliga 43-shakl teng va Q
kuch bilan bir to’g’ri chiziq bo’ylab qаrаmа-qаrshi tоmоngа
yo`nаlgаn
bo’lsin, ya’ni ',' QQQQ
. U holda Q
va 'Q
kuchlar nol sistemani hosil qiladi,
-
30
ya’ni 0~',QQ . R kuchning moduli va qo’yilish nuqtasi (2.3.1) va
(2.3.2) formulalardan topiladi, ya’ni
QPR . (2.3.3)
ABR
ACQ
BCP
. (2.3.4)
R
kuch QP
, antiparallel kuchlarining teng ta’sir etuvchisi bo’ladi, ya’ni
RQQRQP ~',,~, .
Shunday qilib, ikkita antiparallel kuchlar sistemasi teng ta’sir
etuvchiga ega bo’lib, uning moduli berilgan kuchlar modullari
ayirmasiga teng, yo’nalishi berilgan kuchlarga parallel va katta
kuch bilan bir xil bo’ladi. Teng ta’sir etuvchining qo’yilish
nuqtasi AB kesmaning davomidagi C nuqtada bo’lib, AB kesmani tashqi
ravishda kuchlar modullariga nisbatan teskari proportsional
bo’laklarga ajratadi. MS:R=0 bo`lishi mumkinmi? c
-
31
√ 3. Parallel kuchlar markazi
Teng ta’sir etuvchiga keltiriladigan parallel kuchlar
sistemasining markazi tushunchasini kiritaylik. Qattiq jismning
nAAA ,...,, 21 nuqtalarga qo’yilgan nFFF
,...,, 21 parallel kuchlar sistemasi berilgan bo’lsin. Avval bir
tomonga
yo’nalgan parallel kuchlarni qaraymiz (62-shakl). 1F
va 2F
ikkita kuchni qo’shamiz. 1A va 2A nuqtalarning koordinatalarini
mos ravishda 1211 ,, zyxA va
1212 ,, zyxA bilan radius-vektorlarini esa 1r va 2r
bilan belgilaymiz (62-shakl). 1F
va 2F
kuchlarning teng ta’sir etuvchisini 2R
bilan belgilaymiz. U holda 2R
kuchning moduli 212 PPR . 2R
kuchning qo’yilishi nuqtasini topamiz. 62-shaklga asosan
22 222121, cc rrACrrCA
(2.7.1)
z A2 C2 A1
1F
2r
2F An
2R C3
1r
2Cr
3Cr A3 nF
3r
3R
3F
O y x 62-shakl Ikkinchi tomondan 1-§ dagi (2.1.2) formulaga
asosan C2 nuqtaning holati quyidagi munosabatdan topiladi:
1
22
2
21
PAC
PCA
.
2221 , ACCA va 21AA vektorlar kolleniarligidan
1
22
2
21
PAC
PCA
yoki (2.7.1) munosabatlarga asosan
1
2
2
2 22
Prr
Prr cc
,
bundan
21
22112 PP
rPrPrc
. (2.7.2)
Endi 2R
va 3F
yoki 321 ,, FFF
kuchlarni teng ta’sir etuvchisini qo’yilish nuqtalarini
topamiz
32 , FR
~ nFFF
,...,, 21 ~ 3R
2R
va 3F
bir tomonga yo’nalgan parallel kuchlar bo’lgani uchun ularning
teng
ta’sir etuvchisi 3R
ham shu yo’nalishga ega va uning moduli quyidagicha topiladi:
321323 FFFFRR .
Teng ta’sir etuvchining qo’yilish nuqtasi
-
32
22
332 23 FR
rFrRr cc
formuladan topiladi. (2.7.2) formulaga asosan
321
3322113 FFF
rFrFrFrc
. (2.7.3)
Endi to’la induksiya metodidan foydalanib, (2.7.3) formulani n
ta kuch uchun ham o’rinli ekanligini isbot qilish mumkin. Buning
uchun (2.7.3) formula k ta kuch uchun o’rinli deb k+1 ta kuch uchun
ham o’rinli bo’lishini ko’ramiz. Faraz qilaylik, (2.7.3) formula k
ta kuch uchun o’rinli, ya’ni
k
ii
k
iii
k
kkc
F
rF
FFFrFrFrFr
k
1
1
21
2211
......
(2.7.4)
bo’lsin. kFFF
,...,, 21 kuchlarining teng ta’sir etuvchisi kR
shu kuchlar bilan bir xil yo’nalgan bo’lib, uning moduli
quyidagiga teng
k
iikk FFFFR
121 ... .
Endi kR
va 1kF
kuchlarini teng ta’sir etuvchisini topamiz. kR
va 1kF
bir tomonga yo’nalgan parallel kuchlar ekanligidan teng ta’sir
etuvchisi ular bilan bir xil yo’nalgan, moduli esa quyidagicha
topiladi:
12111 ... kkkk FFFFRR . 1kR
kuchning qo’yilish nuqtasi (2.7.2) ko’ra
11
111
kk
kkc FR
FRrk
bo’ladi. (2.7.4) formulga asosan esa
1
1
1
1
121
112211
...
...1 k
ii
k
iii
k
kkc
F
rF
FFFrFrFrFr
k
.
Shunday qilib, bir tomonga yo’nalgan nFFF
,...,, 21 parallel kuchlar sistemasining teng ta’sir
etuvchisining yo’nalaishi berilgan kuchlarning yo’nalishi bilan bir
xil, moduli esa modullari yig’indisisga teng, ya’ni
n
iiFR
1
.
Teng ta’sir etuvchining qo’yilish nuqtasi
n
ii
n
iii
c
F
rFr
1
1
. (2.7.5)
formula bilan topiladi. (2.7.5) tenglikning ikkala tomonini
koordinatalar sistemasi o’qlariga proeksiyalab, parallel kuchlar
markazining koordinatalarini topamiz
-
33
n
ii
n
iii
cn
ii
n
iii
cn
ii
n
iii
c
F
zFz
F
yFy
F
xFx
1
1
1
1
1
1 ,, , (2.7.6)
bu erda iii zyx ,, -lar iF
kuch qo’yilgan nuqtasining koordinatalari. Berilgan kuchlarni
qo’yilish nuqtalari atrofida bir xil burchakka burganda ularning
teng ta’sir etuvchisi ham xuddi shunday burchakka o’sha yo’nalishda
buriladi, ammo uning qo’yilish nuqtasi o’zgarmaydi. Demak, teng
ta’sir etuvchi qo’yilish nuqtasining holati parallel kuchlar
yo’nalishiga bog’liq bo’lmas ekan. Bu nuqtaning holati berilgan
kuchlarning modullariga va qo’yilish nuqtalarining holatiga
bog’liqdir. Agar bizga qarama-qarshi tomonga yo’nalgan parallel
kuchlar sistemasi berilgan bo’lsa, ularni qarama-qarshi tomonga
yo’nalgan ikkita parallel kuchlar sistemasiga ajratamiz. Hosil
bo’lgan kuchlar sistemalarini teng ta’sir etuvchilarini topamiz.
Natijada RR , antiparallel kuchlar sistemasiga kelamiz. Bu ikki
kuchni ham bitta teng ta’sir etuvchiga keltirish mumkin. Uning
moduli va qo’yilish nuqtasi (2.1.3) va (2.1.4) formulalar bilan
topiladi. Yuqorida keltirilgan formulalardan foydalanishda bir
tomonga yo’nalgan kuchlarning modullari oldiga (+) ishorasini,
ikkinchi tomonga yo’nalgan kuchlarning modullari oldiga (-)
ishorasini qo’yish lozim. (2.7.5) formuladagi
n
iiirF
1
ifodaga parallel kuchlar sistemasining O nuqtaga
nisbatan statik momenti deyiladi.
n
iii
n
iii
n
iii zFyFxF
111
,, miqdorlarga parallel
kuchlar sistemasining mos ravishda (yz),(zx) va (xy)
tekisliklarga nisbatan statik momentlari deyiladi. (2.7.5) va
(2.7.6) lardan
n
iic
n
iii FrrF
11
,
c
n
iii
n
icii
n
icii zzFyyFxxF
111
,, .
munosabatlar kelib chiqadi.
Nazorat savollari?
1) Bir tomonga yo`nalgan ikkita parallel kuchlar t.t.e.-ning
moduli nimaga teng?
2) T.T.E.qaysi nuqtadan o`tadi? 3) Qarama-qarshi tomonlarga
yo`nalgan ikkita parallel kuchlarning moduli
nimaga teng? 4) Parallel kuchlar sistemasining og`rlik markazi
qanday topiladi?
-
34
Xulosa
Parallel kuchlar sistemasini o`rganish jarayonida biz quyidagi
asosiy tushunchalarga duch keldik: bir tomonga yo`nalgan ikkita
parallel kuchlarni qo`shish, qarama-qarshi tomonlarga yo`nalgan
ikkita parallel kuchlarni qo`shish, fazoda jaylashgan n-ta parallel
kuchlarni qo`shib, t.t.e.-ning qo`yilgan nuqtasini aniqlash. Bu
nuqtaga parallel kuchlar sistemasining og`irlik markazi deyiladi.
Demak, ushbu mavzuning asosiy natijasini qisqacha quyidagi
ta’riflash mumkin:
1) Bir tomonga yo`nalgan parallel kuchlar sistemasi hech qachon
muvozanatga kelolmaydi yoki biror juft kuchga kelmaydi.Bunday
kuchlar sistemasi hamma vaqt t.t.e.-ga ega.
2) Parallel kuchlar sistemasining bosh vektori hamma vaqt
kuchlarga paralleldir.
-
35
4-Ma’ruza Kuchning markazga va o`qqa nisbatan momenti.
Juft kuchlar nazariyasi.
Reja:
1. Kuchning nuqtaga nisbatan momenti.
2. Kuchning o`qqa nisbatan momenti
3.Juft kuchlar nazariyasi.
Adabiyotlar: [1], 224-234 sah; [5], 29-35, 72-76 sah; [7],
26-37,43-48 sah.
Tayanch iboralar:
Kuchning algebraik momenti, kuch momenti-vektor, moment
proeksiyalari,
kuchning o`qqa nisbatan momenti, juft kuch, juftning yelkasi,
juft momenti.
Belgilar:
MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat,
MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala
Baholash mezoni :
Har bir savol javobiga – ball
Har bir qo’shimcha fikrga – ball
Har bir javobni to’ldirishga – ball
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari:
1. Kuchning ta’sir chizig`i nima?
2. Kuchning yelkasi deb nimaga aytiladi?
3. Kuchning algebraik momenti nimaga teng?
4. O`ng vint qoidasi nimadan iborat?
5. Juft kuch deb nimaga aytiladi?
6. Juftning momenti nimaga teng?
-
36
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni
to’ldiring
№ Asosiy tushunchalar Belgi
1 Kuch va uning ta’sir chizig`i.
2 Kuchning markazga nisbatan momenti.
3 Kuch yelkasi.
4 Kuch momenti-vektor
5 Kuchning o`qqa nisbatan momenti.
6 O`ng vint qoidasi.
7 Juft kuchlar.
8 Juftning yelkasi.
9 Juft kuch momenti.
10 Juft momenti-vektor.
11 Ekvivalent juftlar.
Insert jadvali qoidasi.
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi.
+ - Yangi ma’lumot.
– - olgan bilimiga qarama-qarshi.
? – tushunarsiz,
-
37
1.1“ Kuchning markazga va o`qqa nisbatan momenti. Juft kuchlar
nazariyasi ”
mavzuning texnologik modeli.
O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50
O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars)
Mavzu rejasi 1. Kuchning nuqtaga nisbatan momenti.
2. Kuchning o`qqa nisbatan momenti.
3. Juft kuchlar nazariyasi.
O’quv mashg’ulotining
maqsadi
Juft kuchlar nazariyasi va kuch momenti haqida
tushuncha berish.
Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari:
1.Kuch, uning qo`yilish
nuqtasi, yo`nalish
tushunchalarini takrorlash.
Kuch va uning momenti haqida tushunchalarni
biladi. Juft kuchlar va ularning momenti to`g`risida
yetarli bilimga ega. Ekvivalent juftlar haqida
2.Kuchning nuqtaga va
o`qqa nisbatan momenti
haqida tushuncha berish.
Juft kuchlar va ularning momenti to`g`risida yetarli
bilimga ega.
3. Juft kuchlar
nazariyasining asosiy
elementlarini tushuntirish.
Ekvivalent juftlar haqida
tasavvurga ega
O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska
O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert
O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish.
O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan,guruhda
ishlash usulini
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya
Monitoging va Og’zaki savollar,blis-so’rov
4 mavzu
Kuchning markazga va o`qqa nisbatan momenti. Juft kuchlar
nazariyasi.
-
38
baholash
1.2. “ parallel kuchlar sistemasi ” mavzusining texnalogik
xaritasi.
Ish bosqich-lari
O’qituvchi faoliyatining mazmuni
Tingloichi faoliyatining mazmuni
1-bosqich Mavzuga kirish (20min)
1.1. O`quv mashg`uloti mavzusi,savollarni va o`quv faoliyati
natijalarini aytadi.
1.2. Baholash me’zonlari (2 ilova) 1.3. Pinbord usulida mavzu
bo`yicha
ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida
natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato
qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1 ilova)
1.4. Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi (3 ilova)
Tinglaydilar.
Tinglaydilar
2-bosqich Asosiy bo’lim.
(50min)
2.1. Savol yuzasidan mini ma’ruza qiladi. 2.2. Ma’ruza
rejasining hamma savollar bo`yicha tuchuncha beradi. (4 ilova) 2.3.
Ma’ruzada berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa
beradi.(5 ilova) 2.4. Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar
ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi.
Tinglaydilar Tinglaydilar UMKga qaraydilar UMKga qarydilar
Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama
qiladilar
3-bosqich Yakun lovchi (10min)
Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu bo`yicha
olingan bilimlarni qayerda ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi.
Mavzu bo`yicha bilimlarni chuqurlashtirish uchun adabiyotlar
ro`yxatini beradi.
Keyingi mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar
beradi.
Savollar beradilar UMKga qaraydilar. UMKga qaraydilar.
Vazifalarni yozib oladilar.
1.Kuchning nuqtaga nisbatan algebraik momenti.
-
39
j
Bir tekislikda yotadigan kuchlar sistemasi qaralganda kichning
nuqtaga nisbatan momenti tushunchasidan foydalaniladi. Kuchning
nuqtaga nisbatan algebraik momenti deb kuch modulini kuch yelkasiga
ko’payitmasining (+) yoki (-) ishorasi bilan olinganiga aytiladi va
quyidagicha yozialdi:
FhFMFmom 00 . (1.5.1) Biror O nuqtadan kuch ta’sir chizig’igacha
bo’lgan eng qisqa h masofaga kuch elkasi (25-shakl), O nuqtaga esa
kuch markazi deyiladi. Agar kuch jismni O markaz atrofida soat mili
harakati yo’nalishiga teskari yo’nalshida aylantirishga intilsa (+)
ishora, soat mili harakati yo’nalishida aylantirishga intilsa (-)
ishora olinadi. Kuchning ta’sir chizig’i kuch markazidan o’tsa,
kuchning bu markazga nisbatan algebraik momenti nolga teng. (1.5.1)
formulaga asosan kuchning nuqtaga nisbatan algebraik momentining
son qiymati kuch vektori va O markazga qurilgan uchburchak yuzining
ikki baravariga teng, ya’ni
OABSFM 20
. (1.5.2) a) Kuchning nuqtaga nisbatan moment vektori Fazoviy
kuchlar sistemasi qaralganda kuchning nuqtaga nisbatan vektorli
momenti tushunchasidan foydalaniladi. Kuchning O markazga nisbatan
momenti deb shunday vektorga aytiladiki, bu vektor O nuqtaga
qo’yilgan bo’lib, uning moduli kuch vektori va O nuqtaga qurilgan
uchburchak yuzining ikki baravariga teng, yo’nalishi esa kuch
vektori va O nuqta orqali o’tuvchi tekislikka perpendikulyar
bo’lib, moment vektori uchidan qaralganda kuch jismni soat mili
yo’nalishiga teskari yo’nalishda aylantirsa musbat, aks holda
manfiy bo’ladi. Kuchning O nuqtaga nisbatan moment vektorini
Fmom 0 yoki FM 0 deb belgilaymiz. Moment vektorining ta’rifiga
asosan FrFMFmom 00 . (1.5.3)
Haqiqatan ham, 26-shaklga asosan: OABSFhrFFrFM 2sin0
, zyx FFFF ,, B F z φ FM A k (x,y,z) r r h O y O i x
25-shakl
O h
F
φ
A
B
-
40
26-shakl 27-shakl bu erda rSinh . (1.5.3) formuladagi r -kuch
qo’yilgan nuqtaning O nuqtaga nisbatan radius-vektori. Fr
vektorning yo’nalishi, r va F
vektorlar tekisligiga
perpendikuliar. Demak moment vektorini (1.5.3) ko’rinishda
yozish mumkin. Kuchni ta’sir chizig’i bo’ylab ko’chirilganda uning
nuqtaga nisbatan momenti o’zgarmaydi. Kuchning ta’sir chizig’i kuch
markazidan o’tsa, uning o’sha markazga nisbatan moment vektori
nolga teng bo’ladi. Agar to’g’ri burchakli dekart koordinatalari
sistemasida F
kuch o’zining
zyx FFF ,, proektsiyalari bilan va kuch qo’yilgan nuqta (x,y,z)
koordinatalari bilan berilgan bo’lsa (27-shakl), (1.5.3) formulani
quyidagicha yozish mumkin:
,0 kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkji
FrFM xyzxyzzyx
(1.5.4)
bu erda kji
,, -lar koordinata o’qlarining birlik vektorlari. (1.5.4)
munosabatlardan foydalanib FM moment vektorining proektsiyalari
uchun
.
,
,
0
0
0
xyz
zxy
yzx
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
(1.5.5)
formulalarni yozish mumkin. Moment vektorining moduli va
yo’naltiruvchi kosinuslari quyidagicha topiladi:
2220 xyzxyz yFxFxFzFzFyFFM
;
,
^cos,^cos0
00
0 FMFM
YMFMFMXM yx
(1.5.6)
FMFMZM z
00^cos .
b) Kuchlar sistemasining markazga nisbatan momenti nFFF
,...,, 21 kuchlar sistemasi berilgan bo’lsin (28-shakl). O
markazga nisbatan
bu sistema kuchlarining moment vektorlari yig’indisini 0M
deb belgilaymiz, ya’ni
n
iii
n
iFrFmomM
1100
. (1.5.7)
1F
2F 1F
2F
1A nF
2A
0M 1r nF
0M
2r r
nr
nA O O 28-shakl 29-shakl
-
41
0M
vektorga kuchlar sistemasining O markazga nisbatan bosh momenti
deyiladi. Agar hamma kuchlar bitta nuqtaga qo’yilgan bo’lsa, u
holda
n
iii
n
ii FrFrM
110
. (1.5.8)
Demak, bir nuqtaga qo’yilgan kuchlar yig’indisining biror O
nuqtaga nisbatan momenti kuchlarning o’sha nuqtaga nisbatan
momentlari yig’indisiga teng (Varinon teoremasi). Kuchning A
nuqtaga nisbatan algebraik momentini analitik tarzda quyidagicha
ham ifodalash mumkin (30-shakl)
xyA FbyFaxFM
, (1.5.9) bu erda x va y kuch qo’yilgan nuqtaning dekart
koordinatalari, a va b A nuqtaning koordinatalari, xF va yF esa
kuchning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari (30-shakl). Xususiy
holda F
kuchining momenti koordinatalar boshiga nisbatan
hisoblansa, (1.5.9) quyidagi ko’rinishda yoziladi: xy yFxFFM
0 . (1.5.10) Endi bitta qo’zg’almas nuqtaga ega bo’lgan qattiq
jismning muvozanati haqidagi masalani qaraymiz. Agar bunday qattiq
jism muvozanatda bo’lsa, qo’zg’almas nuqtaning reaktsiya kuchi
jismga qo’yilgan aktiv kuchlarning teng ta’sir etuvchisi bilan
muvozanatda bo’lishi kerak. Demak, aktiv kuchlarning teng ta’sir
etuvchisining ta’sir chizig’i qo’zg’almas nuqtadan o’tishi kerak,
aks holda jismning ag’darilishi yuz beradi. y jFy F
B iFx A b y O a x x 30-shakl Agar moment markazi sifatida qattiq
jismning qo’zg’almas nuqtasini olsak, reaktsiya kuchining momenti
nolga teng va demak, aktiv kuchlar teng ta’sir etuvchisining
momenti ham nolga teng bo’ladi. Bu holda Varinon teoremasiga asosan
aktiv kuchlarning qo’zg’almas nuqtaga nisbatan algebraik momentlari
yig’indisi nolga teng, ya’ni
01
0
n
iiFM
. (1.5.11)
2. Kuchning o’qqa nisbatan momenti Kuchning o’qqa nisbatan
momenti deb kuchning o’q ustida olingan ixtiyoriy nuqtaga nisbatan
momentining shu o’qdagi proektsiyasiga aytiladi, ya’ni
xx FrFmom
. (1.5.12)
-
42
F
kuchning x o’qi ustida olingan biror O nuqtaga nisbatan
momentining shu o’qdagi proektsiyasi O nuqtani tanlashga bog’liq
emasligini ko’tsatamiz (31-shakl). Haqiqatdan ham (1.5.12)
tenglikni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
FrxxFrFrFmom xx
00 , bu erda 0x - x o’qining birlik vektori. rx 0 ifodaning son
qiymati (31-shakl) asosi 0x va balandligi drxr ,sin 0 ga teng
bo’lgan uchburchak yuzining ikki baravariga teng. Uchburchakning
asosi ham balandligi ham o’zgarmas miqdorlar, demak xFr
miqdor O nuqtani tanlashga
bog’liq emas. Kuchning o’qqa nisbatan momenti ta’rifini
boshqacha ko’rinishda ham berish mumkin: kuchning o’qqa nisbatan
momenti deb kuchning shu o’qqa perpendikulyar tekislikdagi
proektsiyasining o’q bilan tekislik kesishgan nuqtaga nisbatan
algebraik momentiga aytiladi (32-shakl), ya’ni
1101 hFFmomFmomx
(1.5.13) F FrFM 0 x x A F r O 0x O h1 1F
Fz O1 1r 0x 31-shakl 32-shakl (1.5.13) formuladagi (+) yoki (-)
ishora quyidagicha tanlanadi: x o’qining musbat uchidan qaralganda
F
kuch tekislikni soat mili harakatiga teskari yo’nalishda
aylantirsa (+) ishora, aks holda (-) ishora olinadi. Agar F
kuchning ta’sir chizig’i x o’qini kesib o’tsa yoki parallel
bo’lsa, kuchning shu o’qqa nisbatan momenti nolga teng bo’ladi.
Agar ixtiyoriy O nuqta sifatida Oxyz koordinatalar sistemasining
boshi tanlansa, kuchning o’qqa nisbat momenti ta’rifiga hamda
(1.5.5) ga asosan kuchning koordinata o’qlariga nisbatan momentlari
uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
.
,
,
xyzz
zxyy
yzxx
yFxFFrFmom
xFzFFrFmom
zFyFFrFmom
(1.5.14)
3.Juftlar nazariyasi
Qattiq jismning ikkita har xil nuqtalariga qo’yilgan modullari
teng va qarama-qarshi tomonga yo’nalgan ikki parallel kuchlar
sistemasiga juft kuch deyiladi (44-shakl). Kuchlarning ta’sir
chiziqlari orasidagi masofaga juft elkasi deyiladi.
-
43
Juft kuch teng ta’sir etuvchiga ega emas. Buni teskaridan faraz
qilib isbotlaymiz. Faraz qilaylik, FF , juft kuch R teng ta’sir
etuvchiga ega bo’lsin. FF , kuchlar sistemasiga miqdori teng ta’sir
etuvchining moduliga teng va bir to’g’ri chiziq bo’ylab
qarama-qarshi tomonga yo’nalgan R
kuchni qo’shamiz, natijada RFF ,, muvozanatlashgan kuchlar
sistemasi hosil bo’ladi, ya’ni
RRRFF ,0~,, . Uch kuchning muvozanati haqidagi teoremaning
zaruriy sharti bajarilmaydi. Demak FF , juft kuch teng ta’sir
etuvchiga ega emas. Bundan juft kuch ta’siridagi jism muvozanatda
bo’lmaydi degan xulosa kelib chiqadi. Juft kuch ta’siridagi jism
aylanma harakat qiladi. Juftning jismga ko’rsatadigan ta’siri uning
momenti bilan xarakterlanadi. Juftning algebraik momenti deb juftni
tashkil qiluvchi kuchlardan birining moduli bilan juft elkasi
ko’paytmasining (+) yoki (-) ishora bilan olinganiga aytiladi,
ya’ni
dFdFFFmomFFM 21,,
. (2.2.1) Juft kuch yotgan tekislikka juft tekisligi deyiladi.
Agar juft kuch juft tekisligini soat mili harakati yo’nalishiga
qarama-qarshi yo’nalishda aylantirsa (2.2.1) formulada (+) ishora,
soat mili harakati yo’nalishida aylantirsa (-) ishora olinadi
(45a,b-shakl). Tekislikdagi juft kuchlar haqida teoremalar:
1-teorema. Juftning algebraik momenti ixtiyoriy markazga nisbatan
juftni tashkil qiluvchi kuchlarning algebraik momentlari
yig’indisiga teng. Isbot. Ixtiyoriy O nuqtani tanlaymiz (46-shakl).
O nuqtaga nisbatan A va B nuqtalarning radius-vektorlarini
21,rr
bilan F (+) A B F (-)
a) b)
45-shakl belgilaymiz. U holda 12 rrAB
va
FrFrFrrFAB
1212 FF
bo’lgani uchun FrFrFABFFmom 21,
FmomFmom 00 B F 2-teorema. Juftni o’z tekis- F A ligida bir
holatdan boshqa bir 2r 1r holatga ko’chirganda juftning jismga
ko’rsatadigan ta’siri O 46-shakl
2F
d
1F
44-shakl
-
44
o’zgarmaydi. 2F
яя A B 1F
1A 4F
C 6F
K 4F
1F R 2F
5F B1 3F
R L D 5F
47-shakl
Isbot. Yelkasi AB bo’lgan 21, FF
juft berilgan bo’lsin (47-shakl). Tekislikning 1A va 1B
nuqtalariga miqdorlari teng va yo’nalishlari qarama-qarshi
43,FF
va 65, FF
kuchlarni qo’yamiz 6543 FFFF , bu erda 11BAAB .
421 ,, FFF
va 5F
kuchlarning ta’sir chiziqlari bo’ylab K va L nuqtalarga
ko’chiramiz. Natijada K va L nuqtalarga qo’yilgan 41, FF
va 52 ,FF
kuchlar
sistemasiga ega bo’lamiz. 1F
va 4F
kuchlarni teng ta’sir etuvchisini R
bilan 2F
va 5F
kuchlarni teng ta’sir etuvchisini R
bilan belgilaymiz, ya’ni RFFRFF ~,,~, 5241 . ,21 FF
54 FF
bo’lgani uchun R
va R
kuchlarning
modullari teng va bir to’g’ri chiziq bo’ylab qarama-qarshi
tomonga yo’nalgan. U holda
0~',~,,, 5241 RRFFFF
. Natijada
6365432121 ,~,,,,,~, FFFFFFFFFF
. Momentlari teng bo’lgan ikkita juftga ekvivalent juftlar
deyiladi, ya’ni
PPFFPPmomFFmom ,~,,, . 3-teorema. Juftning momentini
o’zgartirmasdan uning tashkil etuvchi kuchlarini va yelkasini har
qancha o’zgartir-ganda ham juftning jismga ko’rsatadigan ta’siri
o’zgarmaydi. Isbot. 21, PP
juft berilgan bo’lsin (48-shakl). 2P
kuchni unga parallel ikkita
tuzuvchiga ajratamiz, ya’ni QPQP 22 ,~ .
Kuchlardan bittasi A nuqtaga 2P
ikkinchisi AB kesma yotgan to’g’ri QP 2 Q
chiziq davomidagi C nuqtaga A B C qo’yilgan bo’lsin. A nuqtaga
1P
qo’yilgan P
va QP
2 kuchlar- 48-shakl
ning teng ta’sir etuvchisi Q
ning moduli
-
45
QQPPQ 21 . Natijada elkasi AC bo’lgan yangi juftga ega bo’lamiz.
AC elka quyidagi munosabatni qanoatlantiradi:
ACP
ABQ 2 bundan ABPACQ 2 . (2.2.2)
(2.2.2) tenglikdagi ACQ ko’paytma QQ , juft kuchning momentini,
ABP 2 ko’paytma esa 21, PP
juftning momentini ifodalaydi, ya’ni
21,, PPmomQQmom
. 4-teorema. Bir tekislikda yotgan juft kuchlar sistemasi bitta
juft kuchga ekvivalent bo’lib, uning momenti berilgan juft kuchlar
momentlari yig’indisiga teng. Isbot. Bir tekislikda yotgan nn
FFFFFF
,,...,,,, 2211 juft kuchlar berilgan bo’lsin
(49-shakl). 3-teoremadan foydalanib, berilgan juft kuchlarning
momentlarini o’zgartirmay bitta D elkaga keltiramiz. Natijada
nnnn QQQQQQFFFFFF
,,...,,,,~,,...,,,, 22112211 .
2F
1F
d2 d1 2F
1F
3F nF
d3 dn 3F
3Q
nF nQ
2Q
1Q
A D B 1Q
2Q
nQ 3Q
49-shakl
A va B nuqtalarga qo’yilgan kuchlarni qo’shib, RR , yangi juft
kuchni hosil qilamiz. 49-shaklga asosan
4321 ... QQQQRR . RR , juftning momenti
....
,
4321 DQDQDQDQDRRRmom
(2.2.3)
3-teoremaga asosan
.,,,
,,
.......................................................................22222
11111
nnnnn FFmomdFDQ
FFmomdFDQ
FFmomdFDQ
Bu tengliklarni hadma-had qo’shib, (2.2.3) ga asosan
-
46
n
iii FFmomRRmom
1,,
. (2.2.4)
ni topamiz. Nazorat savollari. 1) Kuchning nuqtaga nisbatan
momentining ta’rifini ayting.
2) Kuchning nuqtaga nisbatan algebraik momenti deb nimaga
aytiladi? 3) Kuchning nuqtaga nisbatan vektorli momenti deb nimaga
aytiladi? 4) Kuchnung o`qqa nisbatan momenti deb nimaga aytiladi?
5) Kuchning koordinata o’qlariga nisbatan momentini hisoblash
formulalari qanday ifodalanadi?
6) Juft kuch deb nimaga aytiladi? 7) Juft kuchning momenti deb
nimaga aytiladi? 8) Juft kuchning momenti haqidagi teoremani
ayting.
Xulosa Kuchning nuqtaga va o’qqa nisbatan momenti haqidagi
tushuncha nazariy mexanikaning asosiy tushunchalardan biri bo’lib,
amaliy masalalarda ko`p ishlatiladi.Kuchning nuqtaga nisbatan
momenti bilan va bu nuqta orqali o`tuvchi o`qqa nisbatan kuch
momenti orasidagi bog’lanish mavjudligini aniqladik.Fazoda
ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining o’qqa nisbatan bosh
momentlari va o’qqa nisbatan bosh momentlari va ular orasidagi
bog’lanish mavjudligini ko’rib o’tdik.Juft kuchlar tushunchasi ham
asosiy tushunchalardan biri ekanligi ma’lum bo’ldi.Juft kuch
momentining vektor miqdor ekanligi va uning fazodagi yo’nalishi
haqidagi ma’lumotlar ayniqsa diqqatga sazovordir.Ekvivalent juftlar
haqidagi
-
47
teoremalarning natijalari juft kuchlarning tabiati va
xarakteristikasi haqida muhim tushunchalar ekanligi aniqlanadi.
5-Ma’ruza
Fazodagi kuchlar sistemasi.
Reja:
1. Kuchni berilgan markazga keltirish.
2. Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini bitta kuchga
va bitta juftga
keltirish.
3.Kuchalar sistemasining muvozanat shartlari.
Adabiyotlar: [1], 234-257sah; [5], 80-93 sah; [7], 152-172
sah.
Tayanch iboralar:
Kuch, kuchlar sistemasi, kuchning ta’sir chizig`I, teng ta’sir
etuvchi kuch
(t.t.e.), bosh vektor, bosh moment, kuch momenti, juft kuch,
juft kuch momenri.
Belgilar:
MS-muommoli savol, MV- muommoli vaziyat,
MT- muommoli topshiriq, MM- muommoli masala
Baholash mezoni :
Har bir savol javobiga – ball
Har bir qo’shimcha fikrga – ball
Har bir javobni to’ldirishga – ball
-
48
Mavzuni jonlantirish uchun blis-so’rov savollari:
1. Kuch deb nimaga aytiladi? Kuch momenti nima?
2. TTTeng ta’sir etuvchi deb nimaga aytiladi?
3. Bosh vektor nima? Bosh moment nima?
4. T.T.E.-ning momenti nimaga teng?
5. Juft kuch nima? Uning momenti nimaga teng?
6. Juft kuch jismga qanday ta’sir ko`rsatadi?
Insert sxemasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni
to’ldiring
№ Asosiy tushunchalar Belgi
1 Kuch uning ta’sir chizig`i.
2 Kuchlar sistemasi.
3 Teng ta’sir etuvchi kuch.
4 Bosh vektor.
5 Teng ta’sir etuvchining nuqtasi.
6 Kuchni berilgan markazga keltirish.
7 Juft kuch va uning momenti.
8 Fazodagi kuchlar sistemasini bir markazga keltirish.
9 Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining muvozanat
shartlari.
10 Tekislikda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining
muvozanat shartlari.
Insert jadvali qoidasi.
V - avval olgan bilimiga to’g’ri keladi.
+ - Yangi ma’lumot.
– - olgan bilimiga qarama-qarshi.
-
49
? – tushunarsiz,
1.1. “Fazodagi kuchlar sistemasi” mavzusining texnologik modeli
O’quv soati – 2 soat Talabalar soni: 50
O’quv mashg’ulot shakli Ma’ruza (ma’ruzali dars)
Mavzu rejasi 1. Kuchni berilgan markazga keltirish.
2. Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasini
bitta kuchga va bitta juftga keltirish.
3. Kuchlar sistemasining muvozanat shartlari.
O’quv mashg’ulotining
maqsadi
Fazoda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasi haqida
tushuncha berish.
Pedagagik vazifalari: O’quv faoliyati natijalari:
Kuchlar sistemasi va
ularni qo`shish
tushunchalarini takrorlash.
Kuchni berilgan markazga keltirish masalasini
tushunadi.
Fazodagi kuchlar
sistemasini qo`shish
haqida tushuncha berish.
Fazodagi kuchlarni qo`shish haqida mufassal
ma’lumotlarga ega bo`ladi.
Kuchlar sistemasining
muvozanat shartlari bilan
Muvozanat shartlarini yodlab qoladi va amalda
qo`llay oladi.
5 mavzu
Fazodagi kuchlar sistemasi.
-
50
tanishtirish.
O’qitish vositari O’UM,ma’ruza matni,rasmlar,plakatlar,doska
O’qitish usullari Axborot ma’ruza,blis-so’rov,texnika-insert
O’qitish shakllari Frontal,kollektiv ish.
O’qitish sharoiti Texnik vositalar bilan ta’minlangan,guruhda
ishlash usulini
qo’llash mumkin bo’lgan auditoroya
Monitoging va
baholash
Og’zaki savollar,blis-so’rov
1.2. “ Fazodagi kuchlar sistemsi ” mavzusining texnalogik
xaritasi.
Ish bosqich-lari
O’qituvchi faoliyatining mazmuni
Tingloichi faoliyatining mazmuni
1-bosqich Mavzuga kirish (20min)
1.1. O`quv mashg`uloti mavzusi , savollarni va o`quv faoliyati
natijalarini aytadi.
1.2. Baholash me’zonlari. (2-ilova) 1.3. Pinbord usulida mavzu
bo`yicha
ma’lum bo`lgan tushunchalarni faollashtiradi. Pinbord usulida
natijasiga ko`ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato
qilishlari mumkinligining tashxizini amalga oshiradi (1 ilova)
1.4. Mavzuni jonlashtirish uchun savollar beradi (3 ilova)
Tinglaydilar. Tinglaydilar
2-bosqich Asosiy bo’lim.
(50min)
2.1. Savol yuzasida mini ma’ruza qiladi. 2.2. Ma’ruza rejasining
hamma savollar bo`yicha tushuncha beradi. (4 ilova) 2.3. Ma’ruzada
berilgan savollar yuzasidan umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5
ilova) 2.4. Tayanch iboralarga qaytiladi. 2.5. Talabalar
ishtirokida ular yana bir bor takrorlanadi.
Tinglaydilar Tinglaydilar UMK ga qaraydilar UMK ga qaraydilar
Har bir tayanch tushuncha va iboralarni muhokama qiladilar
3-bosqich Yakun
3.1. Mashg`ulot bo`yicha yakunlovchi xulosalar qiladi. Mavzu
bo`yicha olingan bilimlarni qayerda ishlatish
Savollar beradilar UMKga qaraydilar.
-
51
√
lovchi (10min)
mumkinligini ma`lum qiladi. 3.2. Mavzu bo`yicha bilimlarni
chuqurlashtirish uchun adabiyotlar ro`yxatini beradi. 3.3. Keyingi
mavzu bo`yicha tayyorlanib kelish uchun savollar beradi.
UMKga qaraydilar. Vazifalarini yozib oladilar.
5-Mavzu 1. Kuchni berilgan markazga keltirish. Teorema. Qattiq
jismning biror A nuqtasiga qo’yilgan ixtiyoriy kuch jismning boshqa
bir B nuqtasiga qo’yilgan xuddi shunday kuchga va bitta juftga
ekvivalent bo’lib, juftning momenti berilgan kuchning B nuqtaga
nisbatan momentiga teng. Qattiq jismning biror A nuqtasiga
qo’yilgan F
kuch berilgan bo’lsin (110-
shakl). Qattiq jismning boshqa bir B nuqtasiga modullari
berilgan kuchning moduliga teng va F F berilgan kuchga parallel
to’g’ri B A chiziq bo’ylab qarama-qarshi F tomonga yo’nalgan ikkita
F
110-shakl
va F
kuchlarni qo’yamiz. FF , ~ 0
bo’lgani uchun F
~ FFF ,, . F
va F
kuchlar juftni hosil qilganligi sababli F
~ F va FF , , FF , juftning momenti berilgan F kuchning B
nuqtaga nisbatan momentiga teng, ya’ni
FmomFFmom B , . (5.4.1) 2. Kuchlar sistemasini berilgan markazga
keltirish. Statikaning asosiy teoremasi (Puanso teoremasi). Qattiq
jismga ta’sir etuvchi ixtiyoriy kuchlar sistemasini bitta kuchga va
bitta juftga keltirish mumkin. Kuchlar sistemasini bitta kuchga va
bitta juftga keltirishni kuchlar sistemasini berilgan markazga
keltirish deyiladi. Qattiq jismga qo’yilgan ixtiyoriy nFFF
,...,, 21 kuchlar sistemasi berilgan bo’lsin.
Keltirish markazi sifatida qattiq jismning ixtiyoriy O nuqtasini
tanlaymiz va berilgan kuchlarni shu O nuqtaga keltiramiz
(111-shakl).
1F z
2F
3F
-
52
4F
3F
1F
2F
2F O y
1F
3F R
nF
4F
x nF
111-shakl
Natijada nFFF
,...,, 21 ~ nnn FFFFFFFFF
,,...,,,,;,...,, 221121 ,
hosil bo’ladi Shunday qilib, berilgan n ta kuchlar sistemasi
boshqa n ta O nuqtaga qo’yilgan kuchlar sistemasi va n ta
nn FFFFFF
,,...,,,, 2211 juftlar sistemasi bilan almashtirildi. (5.4.1)
formulaga asosan juftlarning momentlari quyidagiga teng:
niFMFFMM iiii ,...,2,1, 0
(5.4.2) O nuqtaga kesishuvchi nFFF
,...,, 21 kuchlar sistemasining teng ta’sir etuvchisi
R
berilgan kuchlarning vektorli yig’indisiga teng, ya’ni nFFF
,...,, 21 ~ R
bu erda
n
iin FFFFR
121 ...
.
nFFF
,...,, 21 kesishuvchi kuchlar sistemasi uchun R
kuch teng ta’sir etuvchi, nFFF
,...,, 21 berilgan kuchlar sistemasi uchun esa bosh vector
hisoblanadi.
Berilgan kuchlar sistemasi uchun bosh vektor deb kuchlarning
vektorli yig’indisiga aytiladi. Bu vektor berilgan kuchlarga
qurilgan kuch ko’pburchagining yopuvchisini ifodalaydi (111-shakl),
ya’ni
n
iiFR
1
. (5.4.3)
Juftlarni qo’shish teoremasiga asosan nn FFFFFF
,,...,,,, 2211 juftlarni bitta , juft bilan almashtiramiz.
Natijaviy juftning momenti 0, MM
ga bosh
moment deyiladi. Bosh moment 0M
juftlar momentlarining vektorli yig’indisiga teng. (5.4.2)
formulaga asosan
n
iin FMFMFMFMM
10020100 ...
. (5.4.4)
Indeksdagi O harf keltirish markazini bildiradi. Berilgan
kuchlar sistemasining O nuqtaga nisbatan bosh momenti deb berilgan
kuchlarning o’sha O nuqtaga nisbatan vektorli momentlari
yig’indisiga aytiladi. Shunday qilib, statikaning quyidagi asosiy
teoremasi isbotlandi: Qattiq jismga qo’yilgan ixtiyoriy kuchlar
sistemasini shu kuchlar sistemasining bosh vektoriga
-
53
teng bo’lgan bitta kuchga va momenti kuchlar sistemasining bosh
momentiga teng bo’lgan bitta juftga keltirish mumkin. Bu teoremani
qisqacha quyidagicha ta’riflash ham mumkin: Har qanday kuchlar
sistemasini bitta bosh vektorga va ixtiyoriy markazga nisbatan
bitta bosh momentga keltirish mumkin, ya’ni
nFFF
,...,, 21 ~ 0,MR
. Ta’sir chiziqlari bir tekislikda yotuvchi kuchlar sistemasiga
tekis kuchlar sistemasi deyiladi. Tekis kuchlar sistemasi uchun ham
statikaning asosiy teoremasi o’rinli. Ixtiyoriy tekis kuchlar
sistemasini bitta kuchga va bitta juftga keltirish mimkin. Tekis
kuchlar sistemasining bosh vektori kuchlar tekisligida yotadi,
keltirish markazi sifatida tekislikning biror O nuqtasi olinsa,
kuchlar sistemasining bosh momenti 0M
kuchlar tekisligiga perpendikulyar bo’ladi.
Bosh vektor va bosh momentni hisoblash