Navegación Aérea - Tema 2: Conceptos Básicos de Navegación … · 2009-03-12 · Introducci on hist orica Navegaci on. De nici on y tipos de navegaci on La actitud de la aeronave.

Introduccion historicaNavegacion. Definicion y tipos de navegacion

La actitud de la aeronave. Formas de representacion

Navegacion AereaTema 2: Conceptos Basicos de Navegacion Aerea.

Rafael Vazquez Valenzuela

Departamento de Ingenierıa AeroespacialEscuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla

[email protected]

12 de marzo de 2009



Historia de la navegacion: La estrella Polar

En tiempos antiguos, la navegacion (fundamentalmentemarıtima) se realizaba fundamentalmente de dos formas:

navegacion visual: basada en puntos de referencia conocidos.navegacion astronomica: basada en la observacion defenomenos celestes.

La estrella polar (Polaris) es un punto de referenciafijo en el cielo del Hemisferio Norte; esta casialineada con el eje de rotacion de la Tierra. Selocaliza encontrando primero la constelacion de laOsa Mayor.Por tanto, su elevacion en el cielo sobre el horizonte(hPOLARIS) es exactamente igual a la latitud (φ) delobservador: φ = hPOLARIS.

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Historia de la navegacion: El Sol

De dıa o con el cielo nublado, no es posible determinarhPOLARIS. Si es posible ver el Sol, entonces se puede usar laelevacion en el cielo del Sol, al mediodıa: hSUN.

El mediodıa local esta determinado cuando el Sol alcanza sumaxima elevacion en el cielo. En ese instante pasa por elmeridiano del observador.

Se debe conocer un dato llamado la declinacion delSol, δSUN (es la “latitud geocentrica del Sol”) . Estadeclinacion depende del dıa del ano y se puedeencontrar en tablas o calcularse.

Entonces: φ = 90o − hSUN + δSUN.

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Historia de la navegacion: El hemisferio Sur

En el hemisferio Sur, de noche, no se puede ver la estrellaPolaris, ni existe ninguna estrella alineada con el eje derotacion de la Tierra hacia el Sur.

Se emplea una constelacion (“la cruz”) cuyo “brazomayor” apunta en direccion al Polo Sur celeste.

A una distancia de 4.5 veces dicho brazo seencuentra el Polo Sur celeste. Su elevacion es −φ.

Otra alternativa es usar el “Puntero de la cruz”, dosestrellas cercanas a la Cruz, como se muestra en lafigura.

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Historia de la navegacion: Instrumentos

En todas las situaciones anteriores, es necesario medir laelevacion de un objeto celeste en el cielo.

Para ello se usaban diversos instrumentos astronomicos.Astrolabio: media circunferencia (ant. siglo X).

Cuadrante: un cuarto de circunferencia (siglo XII).

Sextante: un sexto de circunferencia, con mecanismomas sofisticado (de forma que no sea necesario,p.ej., mirar directamente al Sol) y mayor precision(siglo XVIII).

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Historia de la navegacion: Navegacion a estima

Hallar la latitud mediante los metodos anteriormente descritosno es suficiente para encontrar la posicion sobre la Tierra.No obstante, conocida una estimacion de la posicion inicial(fix), del rumbo, y de la velocidad, y midiendo el tiempo, esposible predecir la trayectoria.

En los barcos, para predecir la velocidad, se utilizabala llamada “corredera”: formada por un lastre(barquilla), una carrete y un cordon marcado connudos, separados 15.43 metros (1 mn/120).

Lanzando la barquilla al agua y contando el numerode nudos en 30 segundos, se estima la velocidad.

Conocida la velocidad y el rumbo, se puede estimar(por ejemplo en una carta tipo Mercator) latrayectoria recorrida por el barco, durante un tiempodado (medido por ejemplo con un reloj de arena),siguiendo la ruta loxodromica.

Problema: los errores (deriva) crecen con t.6 / 28



Historia de la navegacion: El problema de la longitud I

Con los metodos anteriormente descritos se puede conseguiruna navegacion “cruda” (de hecho se llego a America), perono es posible localizar con precision la situacion de un barcoen medio de los oceanos.

Para hacerlo es necesario hallar la longitud. La solucionteorica de este problema era ya conocida en el siglo XVI.

1 Observar una estrella de movimiento conocido o elSol al mediodıa (mediante p.ej. un sextante).

2 Medir el tiempo de observacion (mediante uncronometro).

3 Comparar con la posicion de dicho cuerpo estelar enun lugar conocido (obtenida de tablas deefemerides).

4 Resolver el triangulo astronomico (usandotrigonometrıa elemental).

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Historia de la navegacion: El problema de la longitud II

Por ejemplo, si para un dıa dado se determina la hora t a laque es el mediodıa local, y se conoce la hora t0 en la que esmediodıa local, dicho dıa, en Greenwich: λ ≈ (t0 − t)15o,donde los tiempos estan medidos en horas y con el mismoreloj.El problema es tecnologico: ¿como medir el tiempo conprecision a bordo de un barco que navega durante meses?

Los mejores cronometros del siglo XVI tenıan almenos 10 minutos de error al dıa.

El problema fue tan importante que varios paıses(Espana en 1598, Gran Bretana en 1714)convocaron concursos internacionales.

Finalmente John Harrison (1730) resolvio elproblema para Inglaterra inventando un reloj quecometıa un error de segundos al dıa.

Su mejor reloj viajo a Jamaica desde Inglaterracometiendo solo 5 segundos de error en 1764. 8 / 28



Historia de la navegacion: La era moderna

El nacimiento de la aeronautica ha demandado una granmejora de los metodos de navegacion, que ha de tener encuenta las 3 dimensiones.En la primera mita del siglo XX nacen las radioayudas: ADF,VOR, ILS...En la segunda mitad del siglo XX:

Los avances en computacion hacen posible la navegacioninercial.La conquista del espacio hace posible la navegacion porsatelite: Transit, GPS...

Ultimos avances: sensores inerciales de bajo coste, GPSdiferencial, futuro sistema GALILEO...

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La actitud de la aeronave. Formas de representacionTipos de navegacion

Navegacion. Sistemas de navegacion.

Navegacion: Conjunto de tecnicas para desplazarse entre dospuntos conocidos, origen y destino, siguiendo una ciertatrayectoria.

Sistemas de navegacion: permiten obtener la posicion,velocidad, actitud y tiempo en cualquier instante. PVAT:

P: posicion, dada como xe = [xe y e ze ]T , (λ, φ, h)...

V: velocidad, dada como V ng o (Vg , γ, χ)...

A: actitud, dada por los angulos de Euler (ψ, θ, ϕ) uotras representaciones.

T: tiempo (UTC).

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Errores de navegacion.

Un sistema de navegacion no solo tiene que proporcionarcomo salida el dato actual de PVAT. Puesto que la estimaciondel PVAT nunca es perfecta, tambien es necesario conoceruna estimacion del error cometido.Tıpicamente se visualiza para cada instante el error como unaregion de incertidumbre (tıpicamente un elipsoide) en cuyocentro se encuentra la estimacion actual de la posicion delavion.

El error cometido en la direccion del movimiento se llama ATE(along-track error).El error cometido en la direccion perpendicular al movimientose llama CTE/XTE (cross-track error).El error cometido en la direccion vertical se llama VE (verticalerror).

Uno de los objetivos de la navegacion es minimizar laincertidumbre en posicion, es decir, minimizar el tamano delelipsoide de incertidumbre.

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Tipos de Navegacion

Los sistemas de navegacion se pueden dividir en dos grandesfamilias:

Navegacion autonoma: Aquella que emplea dispositivosinternos de la aeronave sin necesidad de emplear sistemasexternos. Por tanto no son vulnerables a fallos encomunicaciones, ni dependen de la disponibilidad de otrossistemas ajenos. Ello los hace muy deseables, especialmente enaeronaves militares. Dos ejemplos son la antigua navegacion aestima y la navegacion inercial (que no es sino un tiposofisticado de navegacion a estima).Navegacion por posicionamiento: Emplea medidas externascomo referencia para localizar la posicion. Por ejemplo,navegacion visual (basada en puntos de referencia visuales),navegacion astronomica (basada en la observacion de cuerposcelestes), navegacion basada en radioayudas (basada ensenales de radio recibidas), navegacion por satelite...

En realidad, ambos tipos de navegacion son complementariosy la tendencia moderna es a integrarlos.

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Navegacion integrada

La navegacion integrada es aquella que emplea la informacionproporcionada por todos los diferentes sensores y sistemas denavegacion para obtener la mejor estimacion PVAT posible.

La navegacion autonoma (p.ej. inercial) proporciona unaestimacion continua (alto ancho de banda), integrando lasecuaciones del movimiento. Pero se degrada con el tiempo(errores no acotados).La navegacion por posicionamiento proporciona unaestimacion cada cierto tiempo (bajo ancho de banda), perocon error acotado. 13 / 28



Matriz de cosenos directoresAngulos de EulerCuaterniones

La actitud de la aeronave

La actitud de la aeronave es su orientacion respecto al sistemade referencia de navegacion (tıpicamente el sdr horizonte localo el de azimut errante).

En realidad, es suficiente conocer la orientacion de un sistemade referencia solidario a la aeronave (los ejes cuerpo).

Los angulos de Euler cabeceo, guinada y alabeo son larepresentacion clasica, pero no la unica; existen otrasrepresentaciones con diferentes ventajas e inconvenientes.Estudiaremos cuatro representaciones diferentes:

Matriz de cosenos directores.Angulos de Euler.Angulo y eje de Euler.Cuaterniones.

Nota: La posicion (φ, λ) o (φ, λ, α) tambien se puedeconsiderar una “orientacion” del sistema de referencia denavegacion respecto al ECEF.

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Matriz de cosenos directores (DCM) I

Dado un sistema de referencia S (determinado por una basede vectores unitarios (ex , ey , ez) y otro S’ (determinado poruna base de vectores unitarios (ex ′ , ey ′ , ez ′), la orientacion deS respecto a S’ esta totalmente determinada por la matriz decambio de base CS ′

S , que para un vector generico v permite

cambiar de base: vS ′ = CS ′S vS . Denotemos:

CS′S =

24 c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

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Observese: eS ′x = C S ′

S eSx = C S ′

S [1 0 0]T = [c11 c21 c31]T .

Luego: ex ′ · ex = (eS ′

x ′ )TeS

x = [1 0 0][c11 c21 c31]T = c11.

Igualmente:

c21 = ey′ · ex , c31 = ez′ · ex

c12 = ex′ · ey , c22 = ey′ · ey , c32 = ez′ · ey

c13 = ex′ · ez , c23 = ey′ · ez , c32 = ez′ · ez

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Matriz de cosenos directores (DCM) IIPor tanto:

CS′S =

24 ex′ · ex ex′ · ey ex′ · ezey′ · ex ey′ · ey ey′ · ezez′ · ex ez′ · ey ez′ · ez

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Observese que razonando igualmente:

CSS′ =

264 ex′ · ex ey′ · ex ez′ · exex′ · ey ey′ · ey ez′ · eyex′ · ez ey′ · ez ez′ · ez

375 = (CS′S )T

Y por tanto, puesto que C SS ′ = (C S ′

S )−1, obtenemos queC S

S ′ es ortogonal, es decir: (C S ′

S )−1 = (C S ′

S )T . Tambien sejustifica el nombre “matriz de cosenos directores”.Otra propiedad es det(C S

S ′) = 1. Esto se debe a que1 = det(Id) = det((C S

S ′)(C SS ′)−1) = det((C S

S ′)(C SS ′)

T ) =(det(C S

S ′))2

. Por tanto det(C SS ′) = ±1. El signo +

corresponde a los sistemas de referencia que son triedros“a derechas”.

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Matriz de cosenos directores (DCM) III

Es una representacion de la actitud con 9 parametros. Estosparametros son dependientes entre sı, es decir, las entradas dela matriz C no pueden ser cualesquiera (la matriz ha de serortogonal y con determinante +1).

Supongamos que la actitud de S2 respecto a S1 viene dadapor CS2

S1y que la actitud de S3 respecto a S2 viene dada por

CS3S2

. La actitud de S3 respecto a S1 viene dada por

CS3S1

= CS3S2

CS2S1

. Por tanto la “composicion” de actitudes vienedada por un simple producto matricial.

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Angulos de Euler I

En general una actitud se puede describir mediante tresrotaciones, en ejes no consecutivos.

Por ejemplo, la rotacion clasica:

nψ−→zn

Sθ−→yS

S ′ϕ−→

xS′BFS

Existen otras posibilidades:

nθ1−→xn

Sθ2−→yS

S ′θ2−→zS′

BFS nΩ−→zn

Si−→

xSS ′

ω−→zS′

BFS

Existen hasta 12 posibles secuencias de angulos de Euler pararepresentar la actitud.

El numero de parametros de cada secuencia es siempre 3.

Se puede obtener la DCM a partir de los angulos de Eulermediante multiplicacion de matricies de rotacion elementales.Por ejemplo: Cb

n (ψ, θ, ϕ) = CbS ′(ϕ)CS ′

S (θ)CSn (ψ).

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Angulos de Euler II

Como ya vimos, para el caso (ψ, θ, ϕ):

Cbn =

24 cθcψ cθsψ −sθ−cϕsψ + sϕsθcψ cϕcψ + sϕsθsψ sϕcθsϕsψ + cϕsθcψ −sϕcψ + cϕsθsψ cϕcθ

35

Observese que (180o + ψ, 180o − θ, 180o + ϕ) es la mismaactitud que (ψ, θ, ϕ). Por ello se suelen limitar losangulos, tıpicamente θ ∈ [−90o, 90o].

nψ−→zn

Sθ−→yS

S ′ϕ−→

xS′BFS

Para obtener los angulos de la DCM:1 θ = − arc sen c13.2 Con cosψ = c11/ cos θ, senψ = c12/ cos θ, obtener ψ.3 Con senϕ = c23/ cos θ, cosϕ = c33/ cos θ, obtener ϕ.

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Angulos de Euler III

Su mayor ventaja es su significado fısico.

No obstante, hay que tener cuidado a la hora de componerdos actitudes.

Supongamos que la actitud de S2 respecto a S1 viene dadapor (ψ1, θ1, ϕ1) y que la actitud de S3 respecto a S2 vienedada por (ψ2, θ2, ϕ2). Denotemos como (ψ3, θ3, ϕ3) la actitudde S3 respecto a S1. En general: ψ3 6= ψ1 + ψ2, θ3 6= θ1 + θ2,ϕ3 6= ϕ1 + ϕ2.

Para obtener (ψ3, θ3, ϕ3) hay que calcular los angulos de Eulera partir de CS3

S1= CS2

S1(ψ1, θ1, ϕ1)CS3

S2(ψ2, θ2, ϕ2).

Por tanto es complicado operar con angulos de Euler.

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Angulo y eje de Euler I

Teorema de Euler: “el movimiento mas general posible de unsolido con un punto fijo es una rotacion alrededor de un unicoeje”.

Nota: De momento consideramos la actitud en un instante detiempo concreto, es decir, no estudiamos cuando hay unarotacion que cambia con el tiempo.

Denominemos a un vector unitario en la direccion de dicho eje(Eje de Euler) como eS/S ′ y a la magnitud de la rotacion

(Angulo de Euler) como θ.

Por tanto ‖eS/S ′‖ = 1 y si escribimos eS ′

S/S ′ = [ex ey ez ]T , se

tiene que e2x + e2

y + e2z = 1.

Definimos el operador ΣS ′

S/S ′ como:

ΣS′S/S′ =

24 0 −ez eyez 0 −ex−ey ex 0

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Angulo y eje de Euler II

El operador ΣS ′

S/S ′ sirve para escribir facilmente el productoescalar e × v , para cualquier vector v , en el sistema dereferencia S ′: (e × v)S ′ = ΣS ′

S/S ′vS ′ .

Por tanto la actitud con el angulo y eje de Euler quedarepresentada con los parametros (eS ′

S/S ′ , θ). ¿Como se puedepasar de estos parametros a la DCM y viceversa?

Se tiene queCS ′

S = cos θId + (1− cos θ)eS ′

S/S ′(eS ′

S/S ′)T − sen θΣS ′

S/S ′ . Estaes la llamada formula de Euler-Rodrigues.

Por otro lado, dada CS ′S , se tiene que:

cos θ =Tr(CS ′

S )− 1

2

ΣS ′

S/S ′ =1

2 sen θ

((CS ′

S )T − CS ′S

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Angulo y eje de Euler III

Por tanto se representa la actitud con cuatro parametros: trescomponentes de un vector unitario y un angulo. Estosparametros tienen un claro significado fısico.

Observese que la actitud dada por (eS ′

S/S ′ , θ) y por

(−eS ′

S/S ′ ,−θ) es exactamente la misma. Para evitar esta

ambiguedad, se restringe θ al intervalo [0, 180o ].

La actitud inversa (la de S respecto a S ′) vendra dada por(eS

S ′/S , θ′). Observese que eS

S ′/S = eS ′

S/S ′ y θ′ = −θ.

Finalmente si la actitud de S2 respecto a S1 viene dada por(eS2

S1/S2, θ1) y que la actitud de S3 respecto a S2 viene dada

por (eS3

S2/S3, θ2), si denotamos como (eS3

S1/S3, θ3) la actitud de

S3 respecto a S1, viene dada por:cos θ3 = − cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2(eS1/S2

· eS2/S3)

eS3S1/S3

=1

sen θ3

“sen θ1 cos θ2eS1/S2

+ cos θ1 sen θ2eS2/S3+ sen θ1 sen θ2(eS1/S2

× eS2/S3)”

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Cuaterniones

Los cuaterniones son una invencion de Hamilton (siglo XIX),que los consideraba su mayor invento y penso que se usarıancomo el “lenguaje universal” de la fısica. En esta facetafueron sustituidos pronto por los vectores (Gibbs) y lasmatrices (Cayley).Recordemos que un numero complejo z es como un “vector2-D”, que se puede escribir como z = x + iy . Los numeroscomplejos de modulo unidad se pueden usar para representaruna rotacion 2-D, ya que en el caso de que |z | = 1, se puedeescribir z = eiθ, y en tal caso representa una rotacion 2-D deangulo θ.Los cuaterniones son una extension de los numeros complejosa “4 dimensiones”. Escribimos un cuaternion q como:q = q0 + iq1 + jq2 + kq3.En ocasiones q0 se denomina la “parte escalar” de q y sedefine q = [q1 q2 q3]T como la “parte vectorial” de q.

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Algebra de cuaterniones I

Para poder entender los cuaterniones es importante conocersu algebra, es decir, como se opera con cuaterniones.

Suma: la suma es componente a componente, es decir, dadoq = q0 + iq1 + jq2 + kq3 y q′ = q′0 + iq′1 + jq′2 + kq′3, se tieneque q′′ = q + q′ = q′′0 + iq′′1 + jq′′2 + kq′′3 viene dado por lasformulas:q′′0 = q0 + q′0, q′′1 = q1 + q′1, q′′2 = q2 + q′2, q′′3 = q3 + q′3.

Producto: el producto es componente a componente,conociendo las siguientes reglas de multiplicacion:i · i = −1, i · j = k , i · k = −j , j · i = −k, j · j = −1, j · k = i ,k · i = j , k · j = −i , k · k = −1.

Se tiene la formula de Hamilton: i · j · k = −1.

Observese que en general qq′ 6= q′q: La multiplicacion no esconmutativa!

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Algebra de cuaterniones II

Forma matricial del producto: Es posible escribir el productoq′′ = q′q en forma matricial.

q′′0q′′1q′′2q′′3

=

q′0 −q′1 −q′2 −q′3q′1 q′0 −q′3 q′2q′2 q′3 q′0 −q′1q′3 −q′2 q′1 q′0

q0

q1

q2

q3

Forma “vectorial” del producto: q′′0 = q′0q0 − q′Tq,q′′ = q0q

′ + q′0q + q′ × q.Conjugado: Como para los numeros complejos, dadoq = q0 + iq1 + jq2 + kq3 se define el conjugado de q comoq∗ = q0 − iq1 − jq2 − kq3.Modulo: Se define el modulo de q = q0 + iq1 + jq2 + kq3

como |q|2 = qq∗ = q20 + q2

1 + q22 + q2

3

Division: Se define la division usando el conjugado:q′/q = q′/q · q∗/q∗ = (q′q∗)/|q|2.

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Representacion de la actitud mediante cuaterniones I

Dada la actitud representada mediante el eje y angulo deEuler, e y θ, se “codifica” dicha actitud en forma decuaterniones mediante:q0 = cos θ/2, q = sen θ/2e.

Observese que si un cuaternion q representa una actitud,entonces |q| = 1.Definamos, dado q, el operador Q como:

Q =

24 0 −q3 q2q3 0 −q1−q2 q1 0

35Para pasar de la DCM C a cuaterniones, se utilizan las

formulas: q0 =

√1+Tr(C)

2y Q = 1

4q0

(CT − C

).

Para pasar de cuaterniones a DCM se utiliza la formula deEuler-Rodrigues para cuaterniones:C =

(q2

0 − qTq)Id + 2qqT − 2q0Q.

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Representacion de la actitud mediante cuaterniones II

Formula de Euler-Rodrigues en forma matricial:

C =

24 q20 + q2

1 − q22 − q2

3 2(q1q2 + q0q3) 2(q1q3 − q0q2)

2(q1q2 − q0q3) q20 − q2

1 + q22 − q2

3 2(q2q3 + q0q1)

2(q1q3 + q0q2) 2(q2q3 − q0q1) q20 − q2

1 − q22 + q2

3

35

Los cuaterniones son una representacion de la actitud querequiere 4 parametros, con la relacion |q| = 1.

Tienen la desventaja de ser una representacionmatematica sin sentido fısico.

Para pasar de la DCM a cuaterniones y viceversa no esnecesario usar formulas trigonometricas.Si qS ′S representa la actitud de S’ respecto a S y qS ′′S ′

representa la actitud de S” respecto a S’, entonces qS ′′S ,la actitud de S” respecto a S, se calcula comoqS ′′S = qS ′S · qS ′′S ′ (al reves que la DCM).

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