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ANALISI QUALITATIVA DI FENOMENI ALEATORI

Luigi Carassale Settembre 2011

Dottorato di ricerca in Ingegneria delle CostruzioniDipartimento di Ingegneria delle Costruzioni, dell’Ambiente e del Territorio

Università di Genova

Strumenti di analisi MPST – Principal Component Analysis

Representazione modale

, k k

k

q t p tx x

=

1 x 2 x 3 x 4 x

* p1(t) + * p2(t) + * p3(t) + * p4(t)

k k

k

t p tq

N

v vettore aleatorio in n a media nulla

(in pratica disponiamo delle misure v(1),…,v(T))

Principal Component Analysis (PCA)

La PCA può essere formulata in diversi modi alternativi (e sostanzialmente equivalenti)

1. Cercare una direzione (deterministica) in n che rappresenti una

realizzazione tipica di v2. Cercare una trasformazione lineare ortogonale (rotazione) che

trasformi v in un vettore x con componenti non correlate3. Cercare un sistema di riferimento opportuno in n per definire un

modello ridotto di v


1. Cercare una direzione (deterministica) in n che

rappresenti una realizzazione tipica di x

La direzione “tipica” di v è la direzione in n che è più possibile parallela

a v, ovvero che massimizza la grandezza:

2

1

TJ E v con il vincolo 1

Ciò equivale a massimizzare la grandezza:

2 2

1

TJ E v Dove è un moltiplicatore di Lagrange

1 2 2TJE

vv

vv 0

C

vvC I 0

T1,..., n i j ij

Il problema agli autovalori fornisce n direzioni per le quali J1 è stazionario (massimo o minimo)


Il problema agli autovalori fornisce n direzioni per le quali J1 è stazionario (massimo o minimo). Il massimo assoluto è fornito da 1 corrispondente al massimo autovalore 1


rappresenti una realizzazione tipica di v

T

k kx v Componenti principali

T

T T 2

j

k k

j k j k j jk y j

E x E

E x x E

vv

v 0

vv

C

La massimizzazione di J1 massimizza la varianza di xj2

1 jxJ

Tx w v

E’ possibile trovare gli autovettori k massimizzando combinazioni lineari delle vj del tipo

con il vincolo ||w||=1


La massimizzazione di J1 massimizza la varianza di Tx w v

2

1, 1TJ E v

22 2 , 1T

xE x E w v w

Esempio n=2

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-30

-20

-10

0

10

20

30

v1

v2


cos

sinw x

2 è funzione di w, e quindi di

22 2 , 1T

xE x E w v w

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

50

100

150

200

(°)

y2

1 2

w1 w2

Principal Component Analysis (PCA)2

2 2 , 1T

xE x E w v w

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-30

-20

-10

0

10

20

30

v1

v2 x1

x2

w1w2

2

1

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-30

-20

-10

0

10

20

30


x1

x2




rappresenti una realizzazione tipica di v

L’equazione vvC I 0

fornisce una soluzione analitica per il problema 1, ma è ovviamente possibile operare numericamente come segue:

1

1. arbitrario | 1

2.

3.

4. torna a 2 fino a convergenza

5. k

J

w w

w ww

ww

w

w

1 2J

xC ww

w così ottenuto è un autovettore di Cvv (non sappiamo quale, dipende dal valore da cui parte l’algoritmo). Per trovare tutti gli autovettori è sufficiente ripetere n volte la procedura aggiungendo alla condizione di normalizzazione 3 la condizione di ortogonalità rispetto a tutte le soluzioni già trovate.


2. Cercare una trasformazione lineare ortogonale (rotazione) che trasformi v in un vettore x con componenti non correlate

T

1 nx vLa trasformazione

ottenuta dalla soluzione del problema 1 risolve anche il problema 2 (le componenti principali sono non correlate e gli autovettori sono ortonormali)


3. Cercare un sistema di riferimento opportuno in n per definire un

modello ridotto di v

Minimizzazione dell’errore medio quadratico: trovare uno spazio di dimensione m < n che rappresenti al meglio i dati, cioè minimizzando la misura dell’errore:

2

T

31

T T

1

Tr Tr

m

k kk

m

k kk

J E

vv vv vv vv

v w v w

C w C w C W C W

con il vincolo che wk sia una base ortonormale

La minimizzazione di J3 fornisce m vettori wk che definiscono lo stesso sottospazio di Rn definito dai primi m autovettori. La base ottenuta risolvendo il problema 3 corrisponde alla base dei primi m autovettoria meno di una rotazione indeterminata.

3 3J JUW W per ogni U matrice ortogonale m x m

Meteorology (Holmstrom, 1963)

500 mb height – 21.10.1959 1st EOF Mode

Applicazioni

500 mb height – 21.10.1959 2nd EOF Mode

Meteorology (Holmstrom, 1963)

Applicazioni

500 mb height – 21.10.1959 3rd EOF Mode

Meteorology (Lorenz, 1956-1959)

Applicazioni

Meteorology (Lorenz, 1956-1959)

Applicazioni

Bluff-Body Aerodynamics

Armitt (1968), Lee (1975), Best & Holmes (1983), Kareem & Cermak (1984), Kareem et al (1989) Holmes (1990), MacDonald et al (1990), Letchford & Mehta (1993)

Kareem et al (1989)

Applicazioni

3-II BLI: 4,

4 = 10.7 3-II BLI:

5,

5 = 7.4

3-II BLI: 3,

3 = 14.8

Kareem et al (1989)

3-II BLI: 1,

1 = 26.6 3-II BLI:

2,

2 = 25.8

1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

k

k


Applicazioni

Bienkiewicz et al (1995)


Applicazioni

Tamura et al (1997, 1999)


Bienkiewicz et al (1995), Tamura et al (1997),Kikuchi et al (1997), Holmes et al (1997),Tamura et al (1999), Baker (2000, 2001),Kitagawa et al (2002), Chen et al (2003), …

Applicazioni


Kikuchi et al (1997)

mean std

Applicazioni



Applicazioni



1

2

Applicazioni



3

4

Applicazioni



Applicazioni

longitude (m)

lati

tude

(m)

longitude (m)

lati

tude

(m)

Aircraft landing or takeoffat airports in complex terrain

Applicazioni

Turbulence representation in the ABL

0 1000 2000 3000 4000 5000-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

k

k(x)

Longitudinal turbulence comp. (u)

0 1000 2000 3000 4000 5000-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

k

k(x)

Lateral turbulence comp. (v)

0 1000 2000 3000 4000 5000-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

k

k(x)

Vertical turbulence comp. (w)

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

covariance eigenfunctions

ApplicazioniTurbulence representation in the ABL

Applicazioni

Convezione naturale (Venturi, 2006)

Applicazioni

Convezione naturale (Venturi, 2006)

Applicazioni

Mappa genica – modo 1

Applicazioni


Applicazioni


1

2

3

4

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

k

k

Applicazioni

Analisi immagini (compressione)

n=1, c=1:57

n=3, c=1:20

n=5, c=1:12

n=7, c=1:9

n=9, c=1:7

Originale

PCA – Pressure modes

1 2 3

4 5 6

* x1(t) +

* x4(t) +

* x2(t) +

* x5(t) +

* x3(t) +

* x6(t) + …+

1

N

k

k

k xt t

q tq

PCA – Importance of modes

1 2 3

4 5 6

1 6 10 15 20k

0

0.2

0.4

0.6

k

k = E[xk(t)2]

1

N

k

k

k xt t

q

PCA – Convergence of the representation

1 2 3

4 5 6

( )

1

k

jj

k

k

x

q

1 4 8 12 16 20j

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

||q

(j) ||

/

||q(N

) ||


1 2 3

4 5 6

1 4 8 12 16 20j

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q

14

(j) /

q1

4(N

)

( )

1

k

jj

k

k

x

q


1 2 3

4 5 6

1 4 8 12 16 20j

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q

18

(j) /

q1

8(N

)

( )

1

k

jj

k

k

x

q


1 2 3

4 5 6

1 4 8 12 16 20j

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f x(j

) /

f x(N)T( )

1

j

x k

k

j

x k x

f n


1 2 3

4 5 6

1 4 8 12 16 20j

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f y(j

) /

f y(N)T( )

1

j

y k

k

j

y k x

f n


1 2 3

4 5 6

1 4 8 12 16 20j

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m

z(j) /

mz(N

)


1. La PCA identifica componenti principali non correlate. Questa proprietà è utilizzata nel problema di separazione delle sorgenti (se v è la combinazione lineare di sorgenti non correlate, allora è possibile che queste corrispondano alle xj). In realtà il problema così posto sarebbe indeterminato (esistono infinite trasformazioni che estraggono da v componenti non correlate), quindi è necessario aggiungere la condizione di ortogonalità dei vettori wj, che in genere non ha una giustificazione fisica. Se le sorgenti hanno energie molto diverse fra loro, allora queste tendono a corrispondere alle componenti principali della PCA.

2. La PCA identifica una base ortogonale ottima per definire modelli ridotti. Il carattere gerarchico (in termini di varianza) della PCA permette la separazione segnale-rumore (ammesso che il rumore sia piccolo rispetto al segnale)

Nota: se le componenti di v sono non correlate, la PCA non produce alcun risultato


1. La PCA identifica componenti principali non correlate. Questa proprietà è utilizzata nel problema di separazione delle sorgenti (se v è la combinazione lineare di sorgenti non correlate, allora è possibile che queste corrispondano alle xj). In realtà il problema così posto sarebbe indeterminato (esistono infinite trasformazioni che estraggono da v componenti non correlate), quindi è necessario aggiungere la condizione di ortogonalità dei vettori wj, che in genere non ha una giustificazione fisica. Se le sorgenti hanno energie molto diverse fra loro, allora queste tendono a corrispondere alle componenti principali della PCA.


Nota: se le componenti di x sono non correlate, la PCA non produce alcun risultato

ˆ x

y

f zz

f zf

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

1

2

3

4

1, 2

1(x), 1

(y)

1. La PCA identifica componenti principali non correlate. Questa proprietà è utilizzata nel problema di separazione delle sorgenti (se x è la combinazione lineare di sorgenti non correlate, allora è possibile che queste corrispondano alle yj). In realtà il problema così posto sarebbe indeterminato (esistono infinite trasformazioni che estraggono da x componenti non correlate), quindi è necessario aggiungere la condizione di ortogonalità dei vettori wj, che in genere non ha una giustificazione fisica. Se le sorgenti hanno energie molto diverse fra loro, allora queste tendono a corrispondere alle componenti principali della PCA.


Nota: se le componenti di v sono non correlate, la PCA non produce alcun risultato


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10k

0

0.5

1

1.5

2

2.5

k

• The reduced-order models derived by PCA are optimal in the

mean square sense and may be employed to synthesize the

relevant content of experimental datasets.

• Does PCA modes have any physical meaning?... NO

PCA – Limitations

1 Deterministically antisymmetric

1 2 3

4 5 6

PCA – Limitations

4

1 2 3

4 5 6

Symmetrical vortex shedding?Not at this Reynolds number

PCA – Limitations

PCA – Limitations

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