Något om val mellan olika metoder Givet är en observerad tidsserie: y 1 , y 2 ,…,y n Säsonger? Nej Trend? Nej ARMA- modeller Enkel exponentiell utjämning Tidsserieregres sion ARIMA-modeller Dubbel exponentiell utjämning Ja Tidsserieregressi on Klassisk komponentuppdelni ng (S)ARIMA-modeller Winters’ metod
Något om val mellan olika metoder. Givet är en observerad tidsserie: y 1 , y 2 ,…, y n. Nej. Nej. Säsonger?. ARMA-modeller Enkel exponentiell utjämning. Trend?. Ja. Tidsserieregression ARIMA-modeller Dubbel exponentiell utjämning. Tidsserieregression Klassisk komponentuppdelning - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Något om val mellan olika metoder
Givet är en observerad tidsserie: y1, y2,…,yn
Säsonger?Nej
Trend?Nej
ARMA-modeller
Enkel exponentiell utjämning
Tidsserieregression
ARIMA-modeller
Dubbel exponentiell utjämning
Ja
Tidsserieregression
Klassisk komponentuppdelning
(S)ARIMA-modeller
Winters’ metod
ARMA-, ARIMA, (S)ARIMA
Modernare metoder för tidsserieanalys och prognoser
• Box, George and Jenkins, Gwilym (1970) Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco: Holden-Day
– Ett “standardverk” som samlade upp idéer, uppkomna från c:a 1950-talet inom ekonometri och ingenjörsvetenskap
– Skapade ett system för att identifiera, skatta och utvärdera modeller för tidsserier
– Metodologin går fortfarande under namnen “Box-Jenkins-metodik”
Time Series Plot for EUR/ SEK(with forecasts and their 95% confidence limits)
Är nedanstående bättre? (De gröna trianglarna motsvarar prognoserna för 26/11 och 27/11 samt prognosintervallgränser, resten är originaldata.)
Vad är detta för metod?
Några viktiga begrepp i sammanhanget
Stationaritet
En tidsserie säges vara stationär om den i princip består av data med konstant väntevärde och varians
2001000
25
20
15
10
5
0
t
Yt
Något mer matematiskt:
E( yt ) =
Var( yt ) = 2
Corr( yt , yt-k ) beror bara av k
och alltså inte av t.
Hur kan icke-stationära tidsserier se ut?
2001000
2500
2000
1500
1000
500
0
t
Wt
2001000
250000
200000
150000
100000
50000
0
t
Ut
Linjär trend, icke-stationär av första ordningen
Kvadratisk trend, icke-stationär av andra ordningen
2001000
50000
0
-50000
-100000
t
Vt
Icke-konstant varians, även om väntevärdet verkar konstant
Är växelkursexemplet en stationär tidsserie?
EUR/SEK
MonthDay
novokt2111121111
10.50
10.25
10.00
9.75
9.50
Time Series Plot of EUR/ SEK
Beror på tidsperspektivet. Här ser det ut som att en trend finns, men i ett längre tidsperspektiv rör det sig nog bara om en tendens.
Kan en tidsserie göras stationär?
Differentiering
En tidsserie wt som är icke-stationär av första ordningen (i princip uppvisar en linjär trend) kan differentieras en gång:
yt = wt = wt – wt – 1
yt kan då bli en stationär serie (men inte nödvändigtvis)
En tidsserie som är icke-stationär av andra ordningen (i princip uppvisar en kvadratisk trend) kan differentieras två gånger:
yt = (ut ) = ut – ut – 1 = ut – ut – 1 – ( ut – 1 – ut – 2 ) = ut – 2 ∙ ut – 1 + ut – 2
yt kan då bli en stationär serie (men inte nödvändigtvis)
2001000
500
0
-500
-1000
t
Diff
Wt
Har den blivit stationär?2001000
2500
2000
1500
1000
500
0
t
Wt
Variansstabilisering
Om variansen inte bedöms vara konstant Transformera på samma sätt som vid regressionsanalys, oftast med logaritmering
w’t = ln ( wt )
2001000
8
7
6
5
4
3
2
t
log(
Wt)
2001000
2500
2000
1500
1000
500
0
t
Wt
Konstant varians?
Efter variansstabilisering kanske det blir OK att differentiera
2001000
1.0
0.5
0.0
-0.5
tD
iff lo
g(W
t)
2001000
8
7
6
5
4
3
2
t
log(
Wt)
(log(Wt))
Stationär?
Fungerar detta för våra växelkursdata?EU
R/SEK
MonthDay
novokt2111121111
10.50
10.25
10.00
9.75
9.50
Time Series Plot of EUR/ SEK
Diff(
EUR
/SEK
)
MonthDay
novokt2111121111
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
Time Series Plot of Diff(EUR/ SEK)
Inte otänkbart!
Autokorrelation
För en tidsserie yt definieras autokorrelationsfunktionen (acf) som
k = Corr ( yt , yt – k ) för k = 1, 2, 3, 4, …
Anger alltså korrelationen (graden av linjärt beroende) mellan två värden på tidsavstånd k i tidsserien.
För en stationär tidsserie skall acf endast vara en funktion av k, dvs. det skall inte spela någon roll var i tidsserien de två värdena ligger utan endast vilket tidsavstånd det är mellan dem.
Värdena kan både vara positiva och negativa (beroende på hur beroendet ser ut)
För serier med korta beroenden avtar acf snabbt mot 0 då k växer
acf
00.05
0.10.15
0.20.25
0.30.35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
k
acf
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
k
För serier med långa beroenden avtar acf långsammare, men tydligt mot 0 då k växer
Funktionen har egenskaper som effektivt kan utnyttjas vid identifiering av modeller (se nedan)
Även den partiella autokorrelationsfunktionen kan skattas från existerande data. Den brukar då kallas SPAC
z
y
x
Röd korrelation är unik mellan y och x , dvs. partiell korrelationBlå korrelation kommer från y:s och x:s respektive samband med zRöd + Blå är den totala korrelationen.
Autoregressiva modeller (AR-modeller)
En tidsserie y1, y2, y3, … satisfierar en autoregressiv modell av ordning 1, en s.k. AR(1)-modell om
där och 1 är konstanter (parametrar) och at är vitt brus, dvs. en serie av okorrelerade värden (Corr(at , at – k ) = 0 för alla k) med väntevärde 0 och konstant varians (jfr. t från tidsserieregressionen)
(till exempel: yt = 2.0 + 0.4 yt – 1 + at )
“autoregressiv” innebär alltså att y har regression “på sig själv” (fast ett tidssteg bakåt)
ttt ayy 11
Exempel:
yt = 2.0 + 0.4 yt – 1 + at där at antas vara okorrelerade och N(0, 2)-fördelade
En realisering av denna tidsserie i 200 tidpunkter kan se ut på följande sätt
t
Yt
200150100500
10
8
6
4
2
0
-2
Om vi istället realiserar 200 värden av följande modell
yt = 2.0 – 0.4 yt – 1 + at där at antas vara okorrelerade och N(0, 2)-fördelade
dvs. 1 = – 0.4 istället för 0.4
kan vi få
t
Yt
200150100500
7.5
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0 t
Yt
200150100500
10
8
6
4
2
0
-2
Jämför med 1 = 0.4 :
Stationära och icke stationära AR(1)-modeller
En tidsserie som satisfierar en AR(1)-modell är stationär om –1 < 1 < 1
Om 1 = 1 eller –1 råder instabilt läge. Serien kan urarta men behöver inte göra det.
Om 1 = 1 och = 0 säges tidsserien vara en random walk (slumpvandring)
yt = yt – 1 + at
En vanlig modell för enskilda aktiekurser.
Prognoser beräknas med den enkla formeln
persistensprognos
tt yy ˆˆ 1
Exempel på realisering av en random walk
t
Yt
200150100500
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
Skulle mycket väl kunna motsvara utvecklingen av en aktiekurs,
men kan vi med utgångspunkt från det tycka att det rör sig om en trend?
Om | 1 | > 1 säger man ibland att AR(1)-modellen är explosiv.
Exempel: En realisering av modellen yt = 2.0 + 1.01 yt – 1 + at med at ~ N(0, 2)
t
Yt
200150100500
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
Tydligt icke-stationär!
Identifiering av AR(1)-modeller
För tidsserier som satisfierar en AR(1)-modell och är stationära, dvs. | 1 | < 1, gäller att autokorrelationsfunktionen (acf) är
Exempel:
1 = 0.4 1 = –0.7
,3,2,1,1 kkk
acf
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 1617181920
k
acf
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
k
Vidare gäller att den partiella autokorrelationsfunktionen är
Exempel:
1 = 0.4 1 = –0.7
,4,3,20
11
k
kk
pacf
0
0.2
0.4
0.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 15 1617 1819 20
k
pacf
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
01 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1314151617 181920
k
Antag nu att vi har en observerad tidsserie i n tidpunkter: y1, y2,…, yn
t
Yt
200150100500
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Om tidsserien satisfierar en AR(1)-modell borde detta avspeglas i SAC och SPAC, dvs. skattningarna av acf och pacf.
Vi förväntar oss att få liknande utseenden som de teoretiska funktionerna har.
SAC:
Lag
Auto
corr
ela
tion
50454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for Yt(with 5% significance limits for the autocorrelations)
Verkar i början avta ungefär som den teoretiska acf.
De “spikar” som hamnar inom de röda linjerna kan bortses från om de ligger långt från 0.
SPAC:
Lag
Part
ial A
uto
corr
ela
tion
50454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Partial Autocorrelation Function for Yt(with 5% significance limits for the partial autocorrelations) En tydlig spik för k = 1. Övriga kan
negligeras. Utseendet överensstämmer alltså med den teoretiska pacf.
Verkar vara en AR(1)-modell
Skattning av parametrar i en AR(1)-modell
Minitab (liksom andra statistiska programpaket) har procedurer för att skatta parametrar i autoregressiva modeller.
AR(1) är ett specialfall av de generella ARIMA-modellerna.
Skattningsproceduren är betydligt mer komplicerad än t.ex. För multipel regressionsanalys Ingen närmare teoretisk genomgång görs här.
Time Series Plot for EUR/ SEK(with forecasts and their 95% confidence limits)
Detta är det diagram vi först såg (men då med trianglarna grönfärgade).
Andra tillämpningar:
Residualerna från en tidsserieregression, eller från vilken regression som helst där tiden är inblandad kan ofta uppvisa beroendemönster (jfr. Durbin-Watson’s test)
Residualerna kan modelleras separat med en AR-modell och därigenom erhålls bättre skattningar och prognoser (smalare prognosintervall)
Exempel: I datorövning 6 gjordes en tidsserieregression på andel arbetslösa 1994-2002.
Residualerna uppvisar en tydlig positiv seriell korrelation, dvs. autokorrelation, eftersom mönstret är en ”följsam” kurva.
Observation Order
Resi
dual
1009080706050403020101
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Residuals Versus the Order of the Data(response is %Unemployed)
Observation Order
Resi
dual
1009080706050403020101
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Residuals Versus the Order of the Data(response is %Unemployed)
Detta är den variationbredd som skattningen av s baseras på
Detta är den egentliga variationsbredden som själva slumpen omfattar
Om inte hänsyn tas till att residualerna är korrelerade kan man i vissa fall överskatta slumpvariationen
Anpassningen av en AR-modell till residualerna skall göras samtidigt med anpassningen av själva regressionsmodellen (för att få rätt standardavvikelse och medelfel för skattningar)
Kan dock ej göras i Minitab, men i t.ex. SAS
Överhuvudtaget kan modellerna byggas ut till att omfatta säsongsvariation (SARIMA) men även för att inkludera andra tidsserier som förklaringsvariabler (s.k. Transfer Function Models)
En intressant delmodell av detta är s.k. interventionsmodeller (t.ex. inkludering av 11-september-effekten i analyserna)
För allt detta krävs fler kurser i tidsserieanalys!