Nach einem Vortrag von Lucia Del Chicca und Markus Hohenwarter ÖMG-Tagung 25 April 2014 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz.

Nach einem Vortrag von

Lucia Del Chicca und Markus

HohenwarterÖMG-Tagung

25 April 2014L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

Die Problemstellung

Es ist allgemein bekannt, dass wenn wir ein

bestimmtes Kapital zur Verfu¨gung haben, es besser ist

dieses in unterschiedliche Finanzprodukte zu investieren, anstatt nur in ein Einziges (die sogenannte Diversifikation). Bei einer gegebenen Menge von Finanzprodukten, stellen sich einige Fragen wie:

In welche davon sollte man investieren?

Wie sollte man das Kapital am besten aufteilen?

Und vor allem: Gibt es eine Kombination von Finanzprodukten die besser ist als alle anderen?

.,. Motivation

.., Der Fall von 2 Finanzprodukten lässt sich mit den

mathematischen Kenntnissen der Oberstufe vollständig

lösen

.., Der allgemeine Fall von n Finanzprodukten kann im Rahmen eines Projektes bzw. einer Projektarbeit behandelt werden (dazu braucht man die Methode des Lagrange-Multiplikators)

L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

Wir haben zur Verfu¨gung:

.,. Kapital = 1

.,. A1, A2, . . . , An Finanzprodukte

Frage:

In welche dieser Anlagemöglichkeiten oder deren

Kombinationen sollen wir investieren?

Gibt es “bessere” und “schlechtere” Finanzprodukte?


ZIEL einer Investition: so viel wie möglich gewinnen mit so

wenig wie möglich Risiko.

Eine “gute” Investmentstrategie ist eine mit großer erwarteter Rendite und geringem Risiko.


2 “Größen” fu¨r die Finanzprodukte:

.,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ

entspricht dem geschätzten Wert, den das

Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird


2 “Größen” fu¨r die Finanzprodukte:

.,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ

entspricht dem geschätzten Wert, den das

Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird.

.,. Volatilität σ stellt das Risikomaß eines Finanzproduktes

dar.


Jedem Finanzprodukt Ai mit i = 1, . . . n können wir ein

Paar

(σi , µi )

zuordnen und in einem Trend-Volatilitäts-Diagramm

eintragen


5 Finanzprodukten in Trend-Volatilitäts-

Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

DEFINITION:

.,. Risikoloses Finanzprodukt: bei dem wir, unter normalen Voraussetzungen, in jedem Moment den

Wert des Produktes fu¨r jeden Zeitpunkt in der

Zukunft exakt berechnen können

.,. Risikobehaftetes Finanzprodukt: bei dem wir

gegenwärtig nicht exakt berechnen können,

welchen Wert es zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wirdL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

Linz

In Hinsicht auf den Trend-Volatilitäts-Ansatz können wir in

manchen Fällen bereits klar sagen, dass eine Investition in

eine bestimmte Aktie gegenüber der in eine andere zu bevorzugen ist.

Frage: Wie sieht es aber mit Kombinationen von Finanzprodukten aus?


DEFINITION:Eine Kombination von verschiedenen Finanzprodukten heißt Portfolio (von Finanzprodukten).

Um von Rendite und Volatilität eines Portfolios zu

sprechen, brauchen wir eine zusätzliche Größe:

Korrelation

.,. Korrelation ist ein Maß fu¨r den Zusammenhang zweier

Aktien, hat immer einen Wert zwischen − 1 und 1L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

Linz

Notationen:

A1, A2, . . . , An

µ1, µ2, . . . , µn

Aktien zur Verfu¨gung

erwartete Renditen von A1, A2, . . . , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft

Volatilitäten von A1, A2, . . . , An in

einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai

und Aj

σ1, σ2, . . . , σn

ρij = Korr (Ai , Aj )


Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1, . . . , An

Y = x1A1 + x2A2 + . . . + xnAn

wo xi = Anteil des Kapitals, das in Ai investiert wird (i =

1, . . . , n). Als Nebenbedingung gilt also:

x1 + x2 + . . . + xn = 1


Fu¨r Y ist

µY = x1µ1 + x2µ2 + . . . + xnµn

und


Wo befindet sich das allgemeine Portfolio Y mit den Koordinaten (σY , µY )?

Betrachten wir als erstes den Fall zweier Aktien:


Kombinationen aus 2

Aktien Seien:A1, A2

µ1, µ2


erwartete Renditen von A1, A2 in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft

Volatilitäten von A1, A2 in einem bestimmten

Zeitpunkt in der ZukunftKorrelation von A1 und A2

(wir betrachten den allgemeinen Fall − 1 < ρ12 < 1) Kapital zur Verfu¨gung

σ1, σ2

ρ121


2 Aktien in Trend-Volatilitäts-

DiagrammL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

Linz

Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von

A1 und A2 Y = x1A1 + x2A2 = tA1 + (1

− t)A2

wo t = Anteil des Kapitals, das in A1 investiert wird

(σY , µY ) =

GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094


http://ggbtu.be/b110094












Konvexe Kurve aller Portfolios aus A1

und A2L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

Linz

Opportunity Set und Portfolio mit minimaler

Volatilität L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

Efficient Border (Effizienzlinie)


Kombinationen aus 5 AktienSeien:

A1, A2, A3, A4, A5

µ1, µ2, µ3, µ4, µ5


erwartete Renditen von Ai , . . . , An

in einem bestimmten Zeitpunkt in der ZukunftVolatilitäten von Ai , . . . , An in

einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai , Aj mit i , j = 1, . . . , 5

Kapital zur Verfu¨gung

σ1, σ2, σ3, σ4, σ5ρij

1


5 Aktien in Trend-Volatilitäts-

DiagrammL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

Linz

Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von Ai miti = 1, . . . , 5

Y = x1A1 + x2A2 + x3A3 + x4A4 + x5A5

mit x1, . . . , x5 Anteile von Kapital die in A1, . . . , A5

investiert sind (σY , µY ) =

GeoGebraBook Aktienportfolio: http://ggbtu.be/b110094 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU,

Linz













Opportunity Set der Kombination von 5 Aktien


Wo liegen die “besten” Portfolios?


Effizienzlinie und Portfolio mit minimaler Volatilität

der Kombination von 5 AktienL. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

Literatur:

1. Hull, J. (2011). Risikomanagement. Banken, Versicherungen und andere Finanzistitutionen. Pearson.

2. Schnid, F., Trede, M. (2006). Finanzmarktstatistik. Springer.

3. Sharpe, W.F., Alexander, G.J. (1990). Investments. Prentice-Hall International Editions.

4.Sydsaeter, K., Hammond, P. (2004). Mathematik

fu¨r Wirtschaftswissenschaftler. Pearson Studium.


Nach einem Vortrag von Lucia Del Chicca und Markus Hohenwarter ÖMG-Tagung 25 April 2014 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz.

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