MECANICĂ*N* NA. NOŢIUNI GENERALE ‐ 1 ‐ NA. NOŢIUNI GENERALE
MECANICĂ*N* NA. NOŢIUNI GENERALE
‐ 1 ‐
NA.
NOŢIUNI GENERALE
MECANICĂ*N* NA. NOŢIUNI GENERALE
‐ 2 ‐
CUPRINS
Capitolul NA.01. Sisteme de vectori ………………………………………………………………………………………... 3NA.01.1. Consideraţii generale .......................................................................................................... 3NA.01.2. Momentul unui vector în raport cu un punct ...................................................................... 4NA.01.3. Momentul unui vector în raport cu o axă ........................................................................... 8NA.01.4. Caracterizarea unui vector alunecător. Suportul unui vector alunecător ............................ 10NA.01.5. Aplicație ............................................................................................................................. 12
Capitolul NA.02. Geometria maselor ………………………………………………………………………………………. 14 NA.02.1. Generalităţi. Definiţii .......................................................................................................... 14 NA.02.2. Centrul de masă .................................................................................................................. 16 NA.02.3. Proprietăţile centrului de masă ........................................................................................... 19 NA.02.4. Centrul de masă la corpuri omogene de rotaţie .................................................................. 20 NA.02.5. Teoremele Guldin-Pappus .................................................................................................. 25 NA.02.6. Aplicații .............................................................................................................................. 27 Capitolul NA.03. Momente de inerţie.............................................................................................................. 30 NA. 03.1. Definiţii ............................................................................................................................. 30 NA. 03.2. Proprietăţi .......................................................................................................................... 33 NA. 03.3. Momente de inerţie pentru corpuri omogene de rotaţie .................................................... 34 NA. 03.4. Modificarea matricei de inerţie la schimbarea reperului ................................................... 36 NA. 03.5. Momente principale de inerţie ........................................................................................... 39 NA. 03.6. Aplicații ............................................................................................................................. 41 Capitolul NA.04. Autoevaluare ...................................................................................................................... 44 Capitol NA.01. Sisteme de vectori ..................................................................................................... 44 ● Exerciţii şi probleme rezolvate ....................................................................................................... 44 Capitol NA.02. Geometria maselor ................................................................................................... 46 ● Exerciţii şi probleme rezolvate ....................................................................................................... 46 ● Exerciţii şi probleme propuse spre rezolvare ................................................................................. 54 Capitol NA.03. Momente de inerţie ................................................................................................... 57 ● Exerciţii şi probleme rezolvate ....................................................................................................... 57 Bibliografie ....................................................................................................................................... 63
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 3 -
Capitolul NA.01. Sisteme de vectori
Cuvinte-cheie Mărimi scalare, Mărimi vectoriale, Vectori, Momentul unui vector în raport cu un punct,
Momentul unui vector în raport cu o axă, Vector alunecător, Dreapta suport, Metoda versorului
NA.01.1. Considerații generale
În mecanică există două tipuri de mărimi fizice şi anume:
mărimi scalare care sunt caracterizate complet de o valoare numerică ce exprimă numărul de unităţi de măsură conţinut de mărimea respectivă;
mărimi vectoriale care sunt caracterizate complet, pe lângă valoarea numerică (modul), de direcţie, sens şi punct de aplicaţie.
Exemple de mărimi scalare: masa, volumul, timpul, energia cinetică, lucrul mecanic, puterea.
Exemple de mărimi vectoriale: viteza, acceleraţia, impulsul, momentul cinetic, forţa.
În mecanică există trei tipuri de vectori:
1. vectori legaţi, al căror punct de aplicaţie este bine determinat (fix) şi nu pot fi deplasaţi cum este, de exemplu, viteza unui punct;
2. vectori alunecători, care pot aluneca pe dreapta suport, de exemplu, forţa care acţionează asupra unui solid-rigid;
3. vectori liberi, care pot fi translaţi în spaţiu, rămânând deci paraleli cu ei înşişi, de exemplu, vectorul cuplu de vectori.
Pentru a putea opera uşor cu mărimile vectoriale se utilizează un reper care, de regulă, este un reper cartezian ortogonal drept, notat R (O, i , j , k ), unde O este originea reperului numită şi pol iar ( i ,
j , k ) este o bază ortonormată (fig. 1.1). Vectorii i , j şi k se numesc versori ai axelor Ox, Oy şi
respectiv Oz. Ei au modulul egal cu unitatea şi sensul lor indică sensul pozitiv al axei. Orice vector F poate fi scris sub forma:
kFjFiFFFFF zyxzyx ++=++= (1.1)
numită şi expresia analitică a vectorului F . Vectorii yx FF , și zF sunt componentele lui F în baza
( i , j , k ) sau proiecțiile vectorului F pe cele trei axe ale reperului R (O, i , j , k ). Scalarii Fx, Fy
şi Fz sunt mărimile algebrice ale proiecţiilor lui F . Prin mărime algebrică se înțelege notarea cu un singur simbol a modulului și semnului la un loc. Odată cunoscută expresia analitică a vectorului,
acesta este complet determinat ca vector liber. Astfel, mărimea (modulul) vectorului F este
222zyx FFFF ++= , (1.2)
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 4 -
iar direcţia şi sensul (dacă 0≠F ) sunt date de cosinusurile unghiurilor pe care direcția vectorului le face cu cele trei axe:
( ) ( ) ( )FFkF
F
FjF
FFiF zyx === ,cos;,cos;,cos . (1.3)
Aceste cosinusuri se numesc cosinusuri directoare.
Se poate trage concluzia că un vector liber este determinat de trei parametri care sunt cele trei mărimi algebrice ale componentelor sale.
Un vector legat este determinat de şase parametri care sunt cele trei mărimi algebrice ale componentelor sale şi cele trei coordonate ale punctului de aplicație (x, y, z).
Se va arăta în continuare că un vector alunecător este determinat de cinci parametri.
NA.01.2. Momentul unui vector în raport cu un punct
Se consideră mai întâi un vector legat F aplicat într-un punct A şi O un alt punct, numit pol, faţă de
care se va defini momentul vectorului F . Momentul lui F faţă de punctul (polul) O mai este denumit şi moment polar.
Definiţie: Momentul vectorului legat F în raport cu polul O este un vector dat de produsul vectorial dintre vectorul de poziţie rOA = al punctului de aplicaţie A al vectorului F şi vectorul
F (fig. 1.2).
( )FM o
O r
b
F A
Fig. 1.2. Momentul unui vector în raport cu un punct
A0
z zF
yF
k F
j i xF
x Fig. 1.1. Descompunerea unui vector
y
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 5 -
( ) FrFOAFMO ×=×= . (1.4)
Se consideră acum un vector alunecător F aplicat într-un punct A de pe suportul său şi polul O. Momentul polar al vectorului F presupus ca fiind vector legat aplicat în punctul A este dat de formula 1.4. Dacă vectorul F alunecă pe suportul său, astfel încât punctul său de aplicaţie devine un alt punct oarecare B (fig. 1.3) situat tot pe suport, atunci, ținând cont că
BAOBOA += , (1.5)
rezultă
( ) ( ) FOBFBAFOBFBAOBFOAFM O ×=×+×=×+=×= , (1.6)
întrucât 0=× FBA , cei doi vectori fiind coliniari.
Relaţia 1.6. arată că momentul polar al vectorului alunecător F nu depinde de poziţia lui F pe suportul său.
Definiţie: Momentul unui vector alunecător F în raport cu un pol O este un vector dat de produsul vectorial dintre vectorul de poziţie r al unui punct oarecare de pe suportul său şi vectorul F :
( ) FrFM O ×= . (1.7)
Din modul de definire a momentului polar al unui vector legat sau alunecător (adică printr-un produs vectorial), rezultă că momentul polar este un vector perpendicular pe planul determinat de
punctul O şi de suportul vectorului F (deci şi pe vectorul F ), că are sensul dat de regula burghiului drept şi că modulul său este:
( ) ( ) bFFrFrFrFM O ⋅==×= ,sin , (1.8)
în care ( )Frrb ,sin= este numit braţul vectorului şi reprezintă lungimea perpendicularei construită
din pol pe suportul lui F (fig. 1.2. şi fig. 1.3.).
( )FM o
O r
b B F
F A
Fig. 1.3. Momentul unui vector alunecător
A0
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 6 -
Proprietățile momentului polar
Momentul polar al unui vector legat sau alunecător are următoarele proprietăţi:
1. Momentul polar se modifică la schimbarea polului din O în O' conform relaţiei:
( ) ( ) FOOFMFM OO ×+= '' , (1.9)
ceea ce arată că este un vector legat. Numai în cazul când 0' =× FOO , momentul polar rămâne neschimbat.
Demonstraţie: Pe baza figurii 1.4., se poate scrie relaţia vectorială:
AOOOOA ''+= , (1.10)
care conduce la:
( ) ( ) ( )FMFOOFAOFOOFAOOOFOAFM OO '''''' +×=×+×=×+=×= .
2. Produsul scalar dintre ( )FM O şi F este nul în orice pol (este un invariant la schimbarea polului).
Demonstraţie: Deoarece ( )FM O este perpendicular pe F rezultă că produsul lor scalar este nul
( ) 0=⋅ FFM O . (1.11)
În cazul schimbării polului dintre O şi O' avem:
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 0'
'
''
'
=⋅=⋅×+⋅=
=⋅×+=⋅
FFMFFOOFFM
FFOOFMFFM
OO
OO (1.12)
produsul mixt fiind nul deoarece conţine doi vectori identici.
3. Momentul polar al unui vector 0≠F este nul în cazul în care suportul acestuia trece prin pol.
A
O 'O
F
Fig. 1.4. Variația momentului la schimbarea polului
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 7 -
Demonstraţie: Atunci când suportul vectorului F trece prin pol, vectorul de poziţie al punctului de
aplicaţie OAr = fie este coliniar cu F fie punctele O şi A coincid, adică 0=r , ceea ce înseamnă
că vectorul este aplicat chiar în pol. În ambele situaţii 0=× Fr .
Calculul momentului polar
Se consideră polul O ca origine a unui reper R (O, i , j , k ). În această situaţie, momentul polar al
unui vector F se calculează cu ajutorul expresiei analitice a unui produs vectorial atunci când se cunoaşte expresia analitică a vectorului kFjFiFF zyx ++= și expresia analitică a vectorului de
poziție a punctului de aplicație A al său, kzjyixrOA ++== . Dacă vectorul F este alunecător,
atunci punctul A poate fi un punct oarecare de pe suportul vectorului F .
( )
( ) ( ) ( ) kMjMiMkyFxFjxFzFiyFxF
FFFzyxkji
FrFM
zyxxyzxxy
zyx
O
++=−+−+−=
==×=. (1.13)
Momentul polar este complet determinat de expresia analitică dată de (1.13). El este aplicat în polul O, are modulul:
( ) 222zyxO MMMFM ++= , (1.14)
şi orientarea dată de cosinusurile unghiurilor pe care le face vectorul cu axele de coordonate:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )FM
MkFM
FM
MjFM
FMMiFM
O
zO
O
yO
O
xO
=
==
,cos
;,cos;,cos
. (1.15)
Un caz particular este acela în care vectorul F se găseşte într-un plan de coordonate. Acest lucru înseamnă ca vectorul moment are direcţie cunoscută şi anume direcţia perpendicularei pe planul în cauză. Presupunând că planul de coordonate este Oxy , momentul polar va fi coliniar cu axa Oz şi
va avea versorul k . În acest caz, rezultă:
( ) FbFMMMM Ozyx ±=±=== ,0,0 , (1.16)
deci, momentul unui vector F situat în planul xOz se calculează cu relaţia:
( ) ( ) kFbkMkFMFM zOO ±=⋅=±= . (1.17)
Semnul “+” sau “–” din relația (1.17) se stabilește aplicând fie regula burghiului drept, fie regula observatorului care va fi explicată în continuare. Regula observatorului: privind dinspre sensul pozitiv al axei Oz, se rotește brațul b în jurul polului O în sensul indicat de vectorul F . La o rotație în sens trigonometric direct (antiorar) semnul momentului este pozitiv iar la o rotație în sens
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 8 -
trigonometric invers (orar) semnul momentului este minus (fig. 1.5). Aceasta este o convenție ce corespunde cu regula burghiului drept.
Relația de calcul (1.13) se poate folosi și în cazul plan conducând la forma particulară:
( ) ( ) kMkyFxFFFyx
kjiFrFM zxy
yx
O =−==×=00 . (1.18)
NA.01.3. Momentul unui vector în raport cu o axă
Momentul unui vector F în raport cu o axă ( )∆ , numit şi moment axial, este mărimea scalară dată
de mărimea algebrică a proiecţiei pe axa ( )∆ a momentului vectorului F calculat într-un pol oarecare O aparţinând axei ( )∆ :
( ) ( ) uFruFMM O ⋅×=⋅=∆ , (1.19)
unde u este versorul axei ( )∆ (fig. 1.6).
( )∆
'∆M
( )FM O'
'O
∆M
O
( )FM O
r A
F
u
Fig. 1.6. Momentul axial al unui vector
y
O
b r
A F
x - Fig. 1.5. Regula observatorului
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 9 -
Observaţie: Prin mărimea algebrică a unui vector se înţelege modulul acestuia însoţit de semn.
Mărimea algebrică a proiecţiei unui vector v pe o axă având versorul u , notată uv , se obţine
înmulţind scalar vectorul cu versorul axei:
uvvu ⋅= . (1.20)
Vectorul proiecţie rezultă prin înmulţirea mărimii algebrice a proiecţiei vectorului cu versorul axei:
( ) uuvuvv uu ⋅⋅=⋅= . (1.21)
Pentru a arăta că momentul axial nu depinde de alegerea polului pe axă, se alege un alt pol 'O pe
dreapta ( )∆ (fig. 1.6.). Notăm momentul axial în acest caz cu '∆M şi avem:
( ) ( )
( ) ( ) ∆
∆
=⋅=⋅
×−⋅=
=⋅
×−=⋅=
MuFMuFOOuFM
uFOOFMuFMM
OO
OO
'
''
'
(1.22)
deoarece produsul mixt ( ) uFOO ⋅×' este nul datorită faptului că vectorii 'OO şi u sunt coliniari.
Observaţii:
1. Definiţia momentului axial este valabilă atât pentru vectori alunecători cât şi pentru vectori legaţi deoarece momentul polar nu se modifică dacă vectorul alunecă pe suportul său.
2. Expresiile xM , yM şi zM din expresia momentului polar
( ) kMjMiMFM zyxO ++= sunt tocmai momentele axiale ale lui F în raport cu axele de
coordonate Ox , Oy şi respectiv Oz .
3. Condiţia ca momentul axial să fie nul este ca vectorul F şi axa ( )∆ să fie coplanare, fapt
care rezultă din definiţia (1.19), şi este îndeplinită în următoarele trei cazuri: a. vectorul F este paralel cu axa ( )∆ ;
b. vectorul F intersectează axa ( )∆ ;
c. vectorul F este situat pe axa ( )∆ .
Observațiile de mai sus permit aprecierea fără calcul a nulității unor componente ale momentului polar, în funcție de poziția suportului vectorului în raport cu unele axe de coordonate. Reciproc, nulitatea unor componente ale momentului polar permite aprecieri asupra poziției suportului vectorului în raport cu acele axe de coordonate față de care momentul axial este nul.
Calculul momentului axial
Dacă momentul axial ∆M al unui vector F este diferit de zero, acesta este egal cu momentul axial
al proiecţiei 1F a vectorului F pe un plan (P) perpendicular pe axa ( )∆
( ) ( ) ( )11 FMFMFM O±== ∆∆ , (1.23)
în care O este intersecţia dintre planul (P) şi axa ( )∆ (fig. 1.7.).
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 10 -
Fie (P) un plan perpendicular pe axa ( )∆ şi care trece prin punctul de aplicaţie A al vectorului F și
fie O punctul de intersecţie al axei ( )∆ cu planul (P). Se descompune F în două componente
21 FFF += , unde 2F este paralelă cu axa ( )∆ (fig. 1.7.). Notând cu u versorul axei ( )∆ , se obţine:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )11
2121
FMuFr
uFruFruFFruFruFMFM O
∆
∆
=×=
=×+×=+×=×=⋅= (1.24)
deoarece în produsul mixt ( )uFr 2× vectorii 2F şi u sunt paraleli şi deci produsul este nul. Pe de altă parte:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 111111 FbFMuuFMuFMFM OOO ±=±=⋅±=⋅=∆ , (1.25)
în care b1 este braţul vectorului 1F iar semnul se alege conform celor arătate la calculul
momentului unui vector în plan.
Atunci când vectorul F este alunecător, planul (P) nu este neapărat necesar să conţină punctul de
aplicaţie A, dar trebuie să fie perpendicular pe axa ( )∆ .
NA.01.4. Caracterizarea unui vector alunecător. Suportul unui vector alunecător
Pentru a determina mărimea, direcţia, sensul şi suportul unui vector alunecător F este suficient să
se cunoască cinci parametri independenţi dintre următorii şase: .,,,,, zyxzyx MMMFFF
Aceştia reprezintă mărimile algebrice ale componentelor vectorului şi momentului său polar calculat în raport cu originea O a axelor. Deoarece relaţia (1.11) este întotdeauna îndeplinită, rezultă că între cei şase parametri există ecuaţia de legătură:
0=++ zzyyxx MFMFMF , (1.26)
( )∆
O
(P)
u
b1
A
2F
1F
F
Fig. 1.7. Calculul momentului axial
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 11 -
care arată că numai cinci dintre ei sunt independenţi. Cunoscând cele şase mărimi scalare (numite şi
coordonatele lui Plücker), se poate determina suportul vectorului F aşa cum se arată în continuare.
Deoarece nici una dintre coordonatele lui Plücker nu se modifică atunci când vectorul F alunecă pe suportul său, putem considera punctul A0 de pe suport astfel încât vectorul
kzjyixrOA 00000 ++== să fie perpendicular pe vectorul F (fig. 1.8.), ceea ce arată că 0r este
tocmai brațul vectorului F . Acum se poate scrie
( ) FrFrFM O ×=×= 0 , (1.27)
relație care se înmulțește vectorial la stânga cu F , obținându-se:
( ) ( )FrFFMF O ××=× 0 . (1.28)
După dezvoltarea dublului produs vectorial, rezultă:
( ) ( )FrFrFFMF O 002
⋅−⋅=× . (1.29)
Cum vectorii 0r şi F sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero şi deci ultimul termen se
anulează.
Se obține:
( )20
F
FMFr O×= (1.30)
al cărui modul reprezintă tocmai lungimea brațului lui F .
Ecuaţia vectorială a dreptei suport este determinată de punctul A0 şi de direcţia lui F (fig. 1.8.).
( ) FF
FMFFrAArr O λλ +×
=+=+= 2000 , (1.31)
în care kzjyixr ++= este vectorul de poziţie al unui punct oarecare de pe dreapta suport, iar λ
este un parametru scalar astfel ales încât FAA λ=0 .
( )FM o
O
r
0r
A0
A
F
Fig. 1.8.Suportul unui vector alunecător
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 12 -
Ecuaţiile parametrice ale dreptei suport se obţin din (1.31), prin proiectarea acesteia pe axele unui reper Oxyz :
zyx FzzFyyFxx λλλ +=+=+= 000 ;; . (1.32)
Ecuaţiile canonice ale dreptei suport rezultă din (1.32) prin eliminarea parametrului λ între cele trei relaţii:
zyx Fzz
Fyy
Fxx 000 −
=−
=−
. (1.33)
Coordonatele punctului A0 rezultă din expresia analitică a relaţiei (1.30):
zyx
zyxMMMFFFkji
Fkzjyix 2000
1=++ , (1.34)
de unde:
( ) ( )
( )xyyx
zxxzyzzy
MFMFF
z
MFMFF
yMFMFF
x
−=
−=−=
20
2020
1
;1;1
(1.35)
Un caz particular important este acela când vectorul F se află în planul de coordonate xOy , situaţie în care 0=zF , 0=xM și 0=yM . Ecuaţia suportului se obține imediat din relația (1.18),
în care x și y reprezintă acum coordonatele generice ale unui punct al dreptei suport:
zxy MyFxF =− . (1.36)
NA.01.5. Aplicaţie
Determinarea expresiei analitice a unui vector alunecător atunci când se cunosc coordonatele a două puncte de pe suport şi modulul vectorului (metoda versorului)
Fie F un vector alunecător, având modulul F cunoscut. Fie un reper ( )kjiOR ,,, față de care
sunt cunoscute coordonatele ( )AAA zyx ,, și ( )BBB zyx ,, a două puncte A și B, situate pe suportul
vectorului F (fig. 1.9.). Se notează cu u versorul vectorului F , adică:
FFu = . (1.37)
Se consideră vectorul AB coliniar și de același sens cu F , prin urmare AB are tot versorul u :
ABABu = . (1.38)
MECANICĂ*N* NA.01.Sisteme de vectori
- 13 -
Dacă exprimăm F din relaţia (1.37) în funcţie de u şi pe u îl înlocuim cu expresia (1.38), se obţine:
ABABFuFF ⋅=⋅= . (1.39)
Pe de altă parte, conform figurii 1.9:
( ) ( ) ( )kxzjyyixxrrAB ABABABAB −+−+−=−= , (1.40)
expresie care, utilizată în (1.39), ne furnizează formula cu care se determină expresia analitică a
vectorului F :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )222
ABABAB
ABABAB
xzyyxx
kxzjyyixxFF−+−+−
−+−+−⋅= . (1.41)
Această metodă de determinare a expresiei analitice se mai numește și metoda versorului.
z
O
x
y
Br
B(xB,yB,zB)
1F
A(xA,yA,zA)
Ar
Fig. 1.9. Determinarea expresiei analitice a vectorului cu
metoda versorului
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 14 -
Capitolul NA.02. Geometria maselor
Cuvinte-cheie Masa, Masa inerţială, Masa gravitaţională, Punct material, Curbă materială, Suprafaţă materială,
Volum material, Masa specifică, Centrul de masă, Coordonatele centrului de masă, Sistem material, Corpuri omogene, Teoremele Guldin-Pappus
NA.02.1. Generalităţi. Definiţii
Masa este o mărime fundamentală a Mecanicii. Din punct de vedere fizic masa se manifestă sub două aspecte: masă inerţială şi masă gravifică (gravitaţională). Masa inerţială are în vedere acea proprietate a sistemelor materiale de a nu-şi modifica starea de mişcare faţă de un reper, numit reper inerţial, dacă nu interacţionează cu alte sisteme materiale. Acest aspect calitativ al masei apare în principiile mecanicii, care vor fi expuse ulterior. Masa gravitaţională se referă la interacţiunea gravitaţională dintre sistemele materiale. Acest aspect calitativ al masei apare în forţa de atracţie gravitaţională (sau atracţie universală sau newtoniană).
Experimental s-a constatat egalitatea cantitativă a masei inerţiale şi masei gravifice. Egalitatea numerică dintre ele a fost considerată ca o coincidenţă. Prin teoria relativităţii generalizate s-a pus în evidenţă identitatea dintre masa grafivică şi cea inerţială, identitatea care este de fond, intimă, nu numai o egalitatea numerică, cantitativă.
Unitatea de măsură a masei este kilogramul (Kg).
Axiomele de masă
De-a lungul istoriei mecanicii s-a constatat că masa oricărui sistem material îndeplineşte anumite proprietăţi, are anumite caracteristici intrinseci, care nu pot fi demonstrate, ci acceptate ca atare. Aceste proprietăţi pot fi sintetizate în următoarele axiome de masă:
- Axioma 1. Masa oricărui sistem material )(S , notată )(Sm , este întotdeauna pozitivă, deci:
0)( ≥SM (2.1)
- Axioma 2. Dacă un sistem material )(S este format din n subsisteme materiale )( iS , disjuncte
între ele, atunci masa sistemului )(S este egală cu suma maselor subsistemelor componente:
( ) ( )∑=
=n
i iSmSm1
(2.2)
- Axioma 3. Masa unui sistem material )(S este constantă în timp. Exprimarea matematică a acestei
axiome este:
( ) 0=Sm (2.3)
Este de precizat că această ultimă axiomă este valabilă numai pentru sistemele care nu efectuează schimburi de masă cu alte sisteme materiale. Dacă masa sistemului este variabilă (sistemul pierde sau primeşte masă) axioma 3 se exclude.
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 15 -
Varietăţi geometrice materiale
Se consideră un sistem material )(S care ocupă un domeniu spaţial )(D . În funcţie de dimensiunile
domeniului )(D se introduc următoarele concepte mecanice, rezultate prin abstaractizare:
- Punct material (notat PM ) este un punct geometric căruia i se asociază o masă. - Curbă materială (notată CM ) este o curbă geometrică în punctele căreia este repartizată masă. - Suprafaţă materială (notată SM ) este o suprafaţă geometrică în punctele căreia este repartizată masă. - Volum material (VM ) este un volum geometric în punctele căruia este distribuită masă.
Aceste concepte mecanice numite modele mecanice de bază, care reprezintă nişte idealizări, au fost introduse pentru uşurarea studiului mişcărilor mecanice. Utilitatea lor se va dovedi mai târziu, când se va pătrunde în fondul fenomenelor din dinamică.
După cum s-a văzut din definiţiile de mai sus ale modelelor mecanice de bază considerate, prezintă importanţă nu numai mărimea masei ci şi distribuţia sa, legată atât de forma corpului cât şi de repartiţia masei acestuia. Mărimea care caracterizează distribuţia masei unui corp este masa specifică, întâlnită şi sub denumirea de densitate. Pentru fiecare tip de varietate geometrică materială se defineşte mai jos, câte un tip de masă specifică.
Pentru varietăţile geometrice materiale masa se calculează în felul următor:
- pentru curba materială:
( )dsC
tPlm ∫=)(
;ρ (2.4)
în care:
- )(C este curba geometrică suport pentru curba materială; - );( tPlρ este masa specifică liniară, care depinde de punctul P de pe curbă şi de timp (dacă curba este deformabilă) ; - ds elementul de arc pe curba )(C .
Unitatea de măsură pentru masa specifică liniară este Kg/m.
- pentru suprafaţa materială:
( )∫∫=)(
;S
dAtPm ρ (2.5)
în care:
- )(S este suprafaţa geometrică suport pentru masă; - dA este elementul de arie pe suprafaţa )(S ; - );( tPρ este masa specifică superficială, care depinde de poziţia pe suprafaţă (punctul P ) şi de timp (dacă suprafaţa este deformabilă).
Unitatea de măsură pentru masa specifică superficială este Kg/m2.
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 16 -
- pentru volumul material:
( )∫∫∫=)(
;D
dVtPm ρ (2.6)
în care:
- )(D este volumul geometric suport pentru masă; - dV este elementul de volum din )(D ; - );( tPρ este masa specifică volumică, care depinde de poziţia în domeniul )(D şi de timp (dacă domeniul (D) este deformabil) ;
Unitatea de măsură pentru masa specifică volumică este Kg/m3.
Dacă se raportează varietatea geometrică materială la un sistem de referinţă atunci poziţia oricărui
punct al acestuia )(P faţă de reperul considerat este dată prin vectorul de poziţie r . De aceea în
relaţiile (2.4), (2.5) şi (2.6) masa specifică );( tPρ se poate scrie ( )tr,ρ , sau mai simplu ρ .
Observaţie: Introducerea riguros matematică a noţiunii de masă specifică se poate face pe baza noţiunilor din teoria măsurii dar care nu fac obiectul lucrării de faţă.
NA.02.2. Centrul de masă
Definiţie
Se consideră un sistem de puncte materiale iM , ni ,1= (notat SPM), având masele im
( ( )iMmim = ), raportat la un sistem de referinţă. Fie ir vectorul de poziţie al punctului iM , ni ,1= ,
faţă de reperul precizat.
Centrul de masă al sistemului de puncte materiale este un punct notat C al cărui vector de poziţie faţă de reperul considerat este dat de relaţia:
irn
iim
mCr ∑=
=1
1 (2.7)
în care ∑=
=n
iimm
1, este masa sistemului de puncte materiale.
Pentru o curbă materială având ca suport geometric curba )(C (în general deformabilă), poziţia
centrului de masă se defineşte cu relaţia:
∫=)(
1
Cdsr
mCr ρ (2.8)
în care m este masa curbei materiale dată de (2.4).
Pentru o suprafaţă materială având ca suport geometric suprafaţa )(S , poziţia centrului de masă este
dată de:
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 17 -
dAS
rmCr ρ∫∫=
)(
1 (2.9)
în care m este masa suprafeţei materiale, calculată cu (2.5).
Pentru un volum material având ca suport geometric domeniul )(D , poziţia centrului de masă este
dată de relaţia:
∫∫∫=)(
1
DdVr
mCr ρ (2.10)
în care m este masa volumului material, dată de (2.6).
Din relaţiile precedente se deduc matricile coloană ataşate vectorului de poziţie al centrului de masă, astfel:
- pentru sistemul de puncte materiale:
{ } { }irn
iim
mcr ∑=
=1
1 (2.11)
în care { }ir este matricea coloană ataşată vectorului ir .
- pentru curba materială:
{ } { } dsC
rmcr ρ∫=
)(
1 (2.12)
- pentru suprafaţa materială:
{ } { } σρ dS
rmcr ∫∫=
)(
1 (2.13)
- pentru volumul material:
{ } { } τρ dD
rmcr ∫∫∫=
)(
1 (2.14)
În relaţiile (2.12), (2.13) şi (2.14), { }r este matricea coloană ataşată vectorului de poziţie r al punctului curent al curbei materiale, suprafeţei materiale sau volumului material.
Coordonatele centrului de masă se obţin din detalierea relaţiilor (2.11) – (2.14). Astfel, în cazul sistemului de puncte materiale, acestea sunt:
i
mn
i ix
mCx ⋅∑
==
1
1
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 18 -
i
mn
iiy
mCy ⋅∑=
=1
1 (2.15)
i
mn
iiz
mCz ⋅∑=
=1
1 ,
în care ix , iy , iz sunt coordonatele punctului iM .
Pentru celelalte varietăţi geometrice materiale coordonatele punctului C se determină cu relaţiile (2.15) în care se înlocuieşte, după caz, suma cu integrala curbilinie, de suprafaţă sau de volum.
Relaţiile precedente se pot extinde pentru sisteme materiale formate din puncte materiale, curbe, suprafeţe şi volume materiale. Astfel poziţia centrului de masă se determină cu relaţia:
∑=
∫ ∑=
∫∫ ∑=
∫∫∫+++∑=
=
p
kkC
u
llS
v
jjD
drdrdsrirn
i im
mCr 1 1 111 τρσρρ (2.16)
în care:
- n este numărul de puncte materiale; - p este numărul de curbe materiale; - u este numărul de suprafeţe materiale; - v este numărul de volume materiale ce compun sistemul mecanic; - m este masa întregului sistem material şi se calculează cu relaţia:
∑=
∫ ∑=
∫∫ ∑=
∫∫∫+++∑=
=
p
k kC
u
l lS
v
jjD
dddsn
i imm
1 1 11τρσρρ (2.17)
Matricea coloană ataşată vectorului Cr este:
{ } { } { } { } { }
∑=
∫ ∑=
∫∫ ∑=
∫∫∫+++∑=
=
p
k kC
u
l lS
v
jjD
drdrdsrirn
i im
mCr1 1 11
1 τρσρρ (2.18)
Pe componente, relaţia (2.18) dă coordonatele centrului de masă faţă de sistemul de referinţă:
∑=
∫ ∑=
∫∫ ∑=
∫∫∫+++∑=
=
p
kkC
u
llS
v
jjD
dxdxdsxixn
i im
mCx1 1 11
1 τρσρρ
∑=
∫ ∑=
∫∫ ∑=
∫∫∫+++∑=
=
p
kkC
u
llS
v
jjD
dydydsyiyn
i im
mCy1 1 11
1 τρσρρ (2.19)
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 19 -
∑=
∫ ∑=
∫∫ ∑=
∫∫∫+++∑=
=
p
kkC
u
llS
v
jjD
dzdzdszizn
i im
mCz1 1 11
1 τρσρρ
Observaţie: Prin particularizarea relaţiilor (2.16), (2.17) şi (2.18) se pot obţine vectorul de poziţie, matricea coloană ataşată şi coordonatele centrelor de masă pentru varietăţi geometrice materiale particulare (toate relaţiile 2.7 – 2.15).
NA.02.3. Proprietăţile centrului de masă
Se consideră că determinarea poziţiei centrului de masă se reduce la calculul unor integrale curbilinii, de suprafaţă sau de volum, ceea ce, pentru o geometrie mai complicată implică dificultăţi de calcul. De aceea este util să se folosească o serie de proprietăţi relative la poziţionarea centrului de masă.
Proprietatea 1. Dacă un sistem material este inclus în interiorul unei suprafeţe convexe, atunci centrul de masă al sistemului se află în interiorul acelei suprafeţe convexe.
Proprietatea 2. Poziţia centrului de masă al unui sistem material în raport cu punctele sale nu depinde de sistemul de referinţă ales.
Proprietatea 3. Dacă sistemul material )(S este o reuniune de subsisteme )( kS pk ,1= , disjuncte
între ele, la care se cunoaşte poziţia centrului de masă kC prin vectorul de poziţie kr faţă de un
reper dat, atunci centrul de masă al sistemului material )(S are vectorul de poziţie
krp
kkm
mCr ∑=
=1
1 (2.20)
în care:
- km este masa subsistemului )( kS ;
- ∑=
=n
k kmm
1 este masa sistemului )(S .
În acest fel, din punct de vedere al determinării poziţiei centrului de masă, fiecare subsistem )( kS
se înlocuieşte cu un punct material cu aceiaşi masă ca )( kS , plasat în centrul de masă al
subsistemului )( kS .
Un caz particular al acestei proprietăţi este următorul: dacă sistemul material S se obţine prin
eliminarea sistemului material 2S , având masa 2m şi centrul de masă cu vectorul de poziţie 2Cr ,
din sistemul material 1S , care are masa 1m şi centrul de masă cu vectorul de poziţie 1Cr , atunci
poziţia centrului de masă a sistemului )(S se determină cu relaţia:
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 20 -
21
2211mm
CrmCrmCr −
−= (2.21)
Proprietatea 4. Dacă sistemul material admite un plan, o axă sau un punct de simetrie materială (simetrie geometrică şi masică) atunci centrul de masă se găseşte în planul, pe axa sau în punctul de simetrie materială.
Proprietatea 5. Dacă toate punctele unui sistem material se găsesc pe o axă sau într-un plan atunci şi centrul de masă se găseşte pe axa sau în planul respectiv.
Demonstraţiile acestor relaţii se fac elementar pornind de la relaţiile de definiţie a centrului de masă.
Aceste proprietăţi pot fi folosite pentru simplificarea calculului poziţiei centrului de masă la corpurile cu geometrie complexă. În acest sens este util să se considere corpul ca fiind alcătuit din mai multe părţi, fiecare din acestea ocupând un subdomeniu.
Se calculează, în prealabil, masele şi poziţiile centrelor de masă ale acestor subdomenii. Apoi se consideră masele subdomeniilor componente concentrate în centrele lor de masă şi se tratează sistemul material ca un sistem discret alcătuit din puncte materiale. Dacă unele din aceste subdomenii (părţi componente ale corpului iniţial) reprezintă goluri, atunci masele lor se iau cu semn negativ, pentru ca, suprapuse peste o parte a unui subdomeniu de masă pozitivă, să realizeze golul dorit. Considerarea unei mase ca negativă este doar o formalitate de calcul şi nu o contrazicere a primei axiome a masei.
Deasemenea, concentrarea fiecărui subdomeniu în centrul său de masă, reprezintă doar o modelare de calcul, deoarece în realitate masa este distribuită pe întreg domeniul sau subdomeniul ocupat de corp, respectiv de subcorp.
NA.02.4. Centrul de masă la corpuri omogene de rotaţie
Un corp este omogen din punct de vedere masic dacă masa specifică nu depinde de punct, adică este constantă. În acest caz relaţiile care definesc poziţia centrului de masă capătă forme particulare. Se vor prezenta cazurile suprafeţelor omogene de rotaţie şi volumelor omogene de rotaţie.
A. CAZUL SUPRAFEȚELOR OMOGENE DE ROTAȚIE
Se consideră o curbă plană ( )C şi o dreaptă ( )∆ din planul acesteia. O suprafaţă de rotaţie se obţine
prin rotirea planului curbei ( )C în jurul dreptei ( )∆ cu un anumit unghi. Se are în vedere o suprafaţă
omogenă de rotaţie, obţinută prin procedeul de mai sus (fig. 2.1).
Se alege sistemul de referinţă:
- axa Oz să coincidă cu ( )∆ ; - planul Oyz să fie plan de simetrie al suprafeţei )(S .
Se consideră că ecuaţia curbei )(C obţinută prin intersecţia dintre suprafaţa )(S şi planul de
ecuaţie 0=x , este:
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 21 -
( )zfy = .
Fig. 2.1
Cu alegerea făcută pentru sistemul de referinţă, centrul de masă al suprafeţei )(S se găseşte în
planul Oyz , deci 0=Cx . Mai rămân de determinat celelalte coordonate ale centrului de masă. Prin
particularizarea relaţiilor (2.19) şi ţinând cont de omogenitatea suprafeţei se obţine:
∫∫
∫∫
=
)(
)(
Sd
Sdy
Cyσ
σ
; ∫∫
∫∫
=
)(
)(
Sd
Sdz
Cz σ
σ
(2.22)
Pentru efecuarea intergarelor din (2.22) se consideră următoarea parametrizare a suprafeţei )(S :
( ) θsinzfx =
( ) θcoszfy = (2.23)
zz =
în care θ este unghiul dintre dreapta care uneşte punctul O cu proiecţia în planul xOy a punctului curent al suprafeţei şi dreapta Oy
Elementul de arie se calculează cu relaţia:
θθ
σ ddzFEGrzrd 2−=
∂∂
×∂∂
= (2.24)
unde
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 22 -
222
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=zz
zy
zxE
222
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=θθθzyxG
θθθ ∂∂
⋅∂∂
+∂∂
⋅∂∂
+∂∂
⋅∂∂
=z
zzy
zyx
zxF .
Pentru parametrizarea dată de (2.23) rezultă
( )zfE 2'1+=
( )zfG 2=
0=F .
Prin urmare :
( ) θσ dzdzfzfd
+= 2'1 . (2.25)
Parametrii suprafeţei sunt independenţi între ei şi variază între limitele: [ ]baz ;∈ şi [ ]ααθ ;−= (s-a notat cu α2 unghiul de rotire al curbei care generează suprafaţa )(S ).
Dacă se calculează integralele de suprafaţă din (2.22) se obţine:
( ) ( )
( ) ( )dzzfb
azf
dzzfb
azf
Cy2'1
2'12sin
+∫
+∫⋅=
αα (2.26)
( ) ( )
( ) ( )dzzfb
azf
dzzfb
azzf
Cz2'1
2'1
+∫
+∫= . (2.27)
În cazul când rotirea este completă, πα = , coordonata 0=Cy , deci centrul de masă se găseşte pe
axa de rotaţie (care este şi axă de simetrie) în concordanţă cu proprietatea 4.
B. CAZUL VOLUMELOR OMOGENE DE ROTAŢIE
Se consideră două curbe plane coplanare ( )1C şi ( )2C şi o dreaptă ( )∆ din planul în care se găsesc
cele două curbe.
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 23 -
Se consideră că dreptele care unesc capetele celor două arce de curbe sunt perpendiculare pe dreapta ( )∆ . Prin rotirea planului curbelor ( )1C şi ( )2C în jurul dreptei ( )∆ cu un anumit unghi,
suprafaţa mărginită de cele două curbe va genera un volum de rotaţie.
Se are în vedere un volum omogen de rotaţie ( )D , obţinut prin procedeul de mai sus (fig. 2.2).
Se alege sistemul de referinţă astfel:
- axa Oz să coincidă cu ( )∆ ;
- planul Oyz să fie plan de simetrie al domeniului ( )D .
Se consideră că suprafaţa de intersecţie dintre domeniul ( )D şi planul de ecuaţie 0=x , este mărginită de curbele ( )1C şi ( )2C de ecuaţii:
( )1C : ( )zfy =1
( )2C : ( )zgy =2
Cu alegerea făcută pentru sistemul de referinţă, centrul de masă al domeniului ( )D se găseşte în planul Oyz , deci 0=Cx . Prin particularizarea relaţiilor (2.19) se obţin celelalte coordonate ale
centrului de masă,
( )
( )∫∫∫
∫∫∫
=
Dd
Ddy
Cyτ
τ
; ( )
( )∫∫∫
∫∫∫
=
Dd
Ddz
Czτ
τ
(2.28)
Fig. 2.2
Pentru calculul integralelor din (2.28) se consideră următoarea schimbare de variabile:
θsinrx =
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 24 -
θcosry = (2.29)
zz =
în care r este mărimea segmentului care uneşte punctul O cu punctul P ’, proiecţie a punctului curent P al domeniului în planul Oxy , iar θ este unghiul dintre dreptele OP ’ şi Oy .
Elementul de volum se calculează cu relaţia:
dzdrdJd θτ = (2.30)
în care J este iacobianul transformării (2.29):
dzdrdr
zz
rzz
zy
ryt
zx
rxx
J θ
θ
θ
θ=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
= (2.31)
Parametrii θ şi z sunt independenţi între ei şi variază între limitele: [ ]baz ;∈ şi [ ]ααθ ;−= .
Parametrul r are următoarele limite ( ) ( )[ ]zfzgr ;∈ .
Efectuarea integralelor din (2.28) conduce la:
( ) ( )
( ) ( ) dzb
azgzf
dzb
azgzf
Cy
∫
−
∫
−
⋅=22
33
3sin2αα (2.32)
( ) ( )
( ) ( ) dzb
azgzf
dzb
azgzfz
Cz
∫
−
∫
−
=22
22
. (2.33)
În cazul particular când rotirea este completă, πα = , 0=Cy , deci centrul de masă se găseşte pe
axa de rotaţie, ceea ce este în conformitate cu proprietatea 4.
În cazul când ( ) 0=zg , relaţiile (2.32) şi (2.33) se simplifică la:
( )
( )dzb
azf
dzb
azf
Cy
∫
∫⋅=
2
3
3sin2αα (2.34)
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 25 -
( )
( )dzb
azf
dzb
azzf
Cz
∫
∫=
2
2
. (2.35)
NA.02.5. Teoremele Guldin-Pappus
O altă metodă facilă de a determina ariile şi volumele corpurilor de rotaţie este oferită de teoremele Guldin-Pappus care sunt expuse mai jos. Aceste teoreme pot fi folosite şi pentru a determina poziţia centrului de masă la curbe şi suprafeţe plane şi omogene.
Prima teoremă Guldin-Pappus: Aria A a suprafeţei )(S descrise de un arc de curbă plană )(C , omogen, care se roteşte în jurul unei axe )(∆ din planul curbei şi care nu o intersectează este egală
cu produsul dintre lungimea curbei )(C şi lungimea arcului de cerc, descris prin rotaţie, de centrul
de masă al acesteia:
LcdA ⋅⋅=β (2.36)
în care:
- β - unghiul de rotire; - cd - raza arcului de cerc descris de centrul de masă al curbei )(C ;
- L - lungimea curbei )(C .
Demonstraţie: Pentru demonstraţie se are în vedere fig. 2.1. Lungimea curbei )(C se calculează cu
relaţia:
dzb
azf
CdsL ∫ +=∫=
2'1 . (2.37)
Coordonata Cy a curbei )(C se calculează cu relaţia:
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )∫ +
+∫
=∫
∫
=
Cdzzf
dzzfzfC
Cds
Cyds
Cy2'1
2'1
. (2.38)
Cy reprezintă chiar raza cd a cercului descris de centrul de masă al curbei )(C .
Aria suprafeţei )(S descrisă de curba )(C (vezi fig. 2.1) se calculează cu relaţia:
∫∫=)(SdA σ . (2.39)
Pentru calculul integralei de suprafaţă din (2.39) se consideră parametrizarea (2.23) cu care elementul de arie este dat de (2.25). Se obţine:
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 26 -
( ) ( )dzb
azfzfA ∫ += 2'12α (2.40)
Deoarece unghiul de rotire αβ 2= , prin înlocuirea (2.37) şi (2.38) în (2.40) se obţine imediat (2.36).
În cazul rotirii complete, relaţia (2.36) capătă forme particulare:
LcdA ⋅= π2 (2.41)
A doua teoremă Guldin-Pappus: Volumul V al corpului )(D descris de o suprafaţă plană )(S , omogenă, care se roteşte în jurul unei axe )(∆ din planul suprafeţei şi care nu o intersectează este
egal cu produsul dintre aria suprafeţei )(S şi lungimea arcului de cerc, descris prin rotaţie, de
centrul de masă al acesteia:
AcdV ⋅⋅=β (2.42)
în care: - β - unghiul de rotire; - cd - raza arcului de cerc descris de centrul de masă al suprafeţei )(S ;
- A - aria suprafeţei )(S .
Demonstraţie: Se are în vedere fig. 2.2. Suprafaţa )(S este (în fig. 2.2) cea definită de curbele ( )1C
şi ( )2C . Teorema este valabilă chiar dacă suprafaţa )(S nu este convexă.
Aria suprafeţei )(S se calculează cu relaţia:
∫∫=
S
dA σ . (2.43)
Pentru calculul integralei de suprafaţă din (2.43) se consideră următoarea parametrizare:
===
zzry
x 0 (2.44)
în care r este distanţa de la punctul curent al suprafeţei )(S la axa Oz . Se obţine:
∫∫=
S
dzdrA (2.45)
Volumul corpului obţinut prin rotirea suprafeţei )(S este:
∫∫∫=)(DdV τ . (2.46)
Se consideră schimbarea de variabilă (2.43) cu care relaţia (2.46) devine:
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 27 -
∫∫⋅=∫∫⋅∫−
=)(
2)( S
dzdrrS
dzdrrdV αα
αα . (2.47)
S-a ţinut cont că toate secţiunile corpului care conţin axa Oz sunt identice cu )(S , deoarece se obţin prin rotirea acesteia.
Poziţia centrului de masă a suprafeţei )(S se calculează conform definiţiei (2.9). Coodonata Cy
este chiar raza cercului cd , care e dată de:
∫∫
∫∫
==
Sd
Sdy
Cycdσ
σ
. (2.48)
Cu parametrizarea (2.44) se obţine:
dzdr
S
Sdzdrr
Cycd∫∫
∫∫
==
. (2.49)
Dacă se înlocuiesc (2.49) şi (2.45) în (2.47) şi se ţine cont că βα =2 unghiul de rotire, se obţine
imediat relaţia (2.42).
În cazul particular al rotirii complete a suprafeţei )(S în jurul axei )(∆ relaţia (2.42) devine:
AcdV ⋅= π2 . (2.50)
Se observă că teoremele Guldin-Pappus oferă calculul coordonatelor centrului de masă pentru curbe şi suprafeţe plane, folosind ariile unor suprafeţe şi volume de rotaţie. Deoarece în practică se întâlnesc multe corpuri şi suprafeţe cu axe de rotaţie (şi de simetrie în acelaşi timp), uzual se folosesc relaţiile (2.41) şi (2.50).
NA.02.6. Aplicaţii
Aplicaţia 1. Să se determine poziţia centrului de masă pentru o curbă plană, omogenă, în formă de semicerc de rază R (fig. 2.3).
Rezolvare:
Axa Ox este axa de simetrie şi prin urmare centrul de masă se găseşte pe această axă. Trebuie calculată doar coordonata Cx . Prin proiectarea relaţiei (2.8) se obţine:
∫=)(
1
Cdsx
mCx ρ
Masa curbei se calculează cu relaţia (2.4). Pentru calculul integralelor se folosesc schimbările de variabilă
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 28 -
θcosRx =
θsinRy = ,
unde [ ]2/;2/ ππθ −∈ .
Rezultă
( ) ρππ
πθρρ RRdds
CtPlm =∫
−=∫=
2/
2/)(;
πθθπ
πρ
ρπρ
ρπ/2cos
2/
2/
21
)(
1 RdRRC
dsxRCx =∫
−=∫=
Poziţia centrului de masă se poate face şi cu ajutorul primei teoreme Guldin-Pappus. Rotind curba semicirculară în jurul axei Oy se obţine o suprafaţă sferică de rază R . Aria acestei suprafeţe este
24 Rπ . Cu relaţia (2.41) avem RcxR πππ ⋅= 224 de unde rezultă π/2RCx = .
Fig.2.3 Fig.2.4 Aplicaţia 2. Să se determine poziţia centrului de masă pentru o placă plană, omogenă, în formă de semicerc de rază R (fig. 2.4).
Rezolvare:
Axa Ox este axa de simetrie şi prin urmare centrul de masă se găseşte pe această axă. Trebuie
calculată doar coordonata Cx . Prin proiectarea relaţiei (2.9) se obţine:
dAS
xmCx ρ∫∫=
)(
1
Masa suprafeţei se calculează cu relaţia (2.5). Pentru calculul integralelor se folosesc schimbările de variabilă
θcosrx =
MECANICĂ*N* NA.02.Geometria maselor
- 29 -
θsinry = ,
cu [ ]Rr ;0∈ și [ ]2/;2/ ππθ −∈ ț
Elementul de arie este θdrdrdA = .
Rezultă:
( )2
2
0
2/
2/)(; RR
rdrdS
dAtPm ρππ
πθρρ =∫ ∫
−=∫∫=
( )π
π
πθθρ
ρπρ
34
0
2/
2/cos2
22
)(;1 RR
drdrRS
dAtPmCx =∫ ∫
−=∫∫= .
Poziţia centrului de masă se poate face şi cu ajutorul celei de a doua teoreme Guldin-Pappus. Rotind placa semicirculară în jurul axei Oy se obţine o sferă de rază R . Volulmul acestei sfere este
3/34 Rπ . Cu relaţia (2.41) avem 2
22
3
34 RcxR πππ⋅= de unde rezultă
π34R
Cx = .
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 30 -
Capitolul NA.03. Momente de inerţie
Cuvinte-cheie Tensor de inerție, Momente de inerţie axiale, Momente de inerţie centrifugale, Moment de inerţie polar,
Momente de inerție mecanice, Momente de inerţie geometrice, Raza de inerţie, Teorema lui Steiner, Momente principale de inerţie, Axe principale centrale de inerţie
NA.03.1. Definiţii
Se consideră un sistem material format din:
- n puncte materiale iM având masele im , ni ,1= ;
- p curbe materiale ( )kC , pk ,1= ;
- u suprafeţe materiale ( )lS , ul ,1= ;
- v volume materiale ( )jD , vj ,1= .
Se raportează sistemul material precizat la un reper T , Oxyz , care are baza de versori
{} { }tkjii ;;= . Se defineşte vectorul de inerţie al sistemului material asociat unei axe ∆ , de versor
{} { }utiu = , care trece prin originea reperului T , prin:
( ) ( ) ( ) +∑=
∫∫ ××+∑=
∫ ××+∑=
××=
σρρ du
l lSrurds
p
k kCrur
n
iiruirimuI
111
( ) τρ dv
jjD
rur∑=
∫∫∫ ××+
1 (3.1)
în care:
- ir este vectorul de poziţie, faţă de reperul T , al punctului iM ;
- r este vectorul de poziţie, faţă de reperul T , al punctului curent al suprafeţei materiale ( )kC , pk ,1= , suprafeţei materiale ( )lS , ul ,1= , sau volumul material ( )jD , vj ,1= .
Pentru diferite varietăţi geometrice materiale, relaţia (12.1) se particularizează corespunzător. Pentru uşurinţa scrierii în cazul unei varietăţi geometrice materiale, vectorul de inerţie dat de (3.1) se va scrie:
( ) dvVGM
ruruI ρ∫ ××= (3.2)
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 31 -
în care ∫VGM
reprezintă, după caz, sumă în cazul sistemului de puncte materiale, integrală
curbilinie pentru curba materială, integrală de suprafaţă pentru suprafaţa materială sau integrală triplă pentru volumul material.
În scriere matriceală relaţia (3.2) devine:
{} [ ][ ] { }udvVGM
trrtiuI ⋅∫= ρ (3.3)
unde
[ ]
−−
−=
00
0
xyxz
yzr
este matricea antisimetrică ataşată vectorului de poziţie
kzjyixr ++= .
Se introduce matricea de inerţie a varietăţii geometrice materiale, relativ la sistemul de referinţă T prin relaţia:
[ ] [ ][ ] dvVGM
trrTI ρ∫= . (3.4)
Se poate arăta că matricea [ ]TI este matricea atașată unui tensor de ordinul doi, numit tensor de
inerţie, notat ⇒TI .
Deoarece:
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]TIdvVGM
trrdvt
VGM
trrtTI =∫=∫
= ρρ (3.5)
matricea de inerţie este simetrică şi tensorul de inerţie este un tensor simetric.
Dacă ( )1∆ şi ( )2∆ de versori 1u şi 2u sunt două axe care trec prin originea reperului T , se poate
arăta elementar că:
1221 uIuuIu ⋅=⋅ (3.6)
Această realaţie permite să se definească produsul de inerţie al varietăţii geometrice faţă de axele ( )1∆ şi ( )2∆ prin:
122121uIuuIuuuI ⋅=⋅= (3.6’)
Folosind scrierea matriceală şi relaţia (3.3) se obţine:
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 32 -
{ } [ ]{ }2121uTI
tuuuI = . (3.7)
În practică, axele faţă de care se calculează produsele de inerţie sunt axele sistemului de referinţă T . Se notează cu klI produsul de inerţie relativ la axele kOx şi lOx , adică:
{ } [ ]{ }liTIt
kiliki
IklI == (3.8)
cu:
{ } { }ti 0;0;11 = ; { } { }ti 0;1;02 = ; { } { }ti 1;0;03 = .
Se obţin următoarele produse de inerţie relative la reperul T:
a) dvVGM
zyxxII ρ∫
+== 22
11 ; dvVGM
zxyyII ρ∫
+== 22
22 ;
dvVGM
yxzzII ρ∫
+== 22
33 (3.9)
Acestea se numesc momente de inerţie axiale.
b) dvVGM
xyI ρ∫−=12 ; dvVGM
xzI ρ∫−=13 ; ) dvVGM
yzI ρ∫−=23 ; (3.10)
Mărimile 12IxyI −= , 13IxzI −= şi 23IyzI −= se numesc momente de inerţie centrifugale.
Se observă că termenii 22 zy + , 22 zx + ; 22 yx + , care apar la momentele de inerţie axiale reprezintă pătratele distanţelor de la punctul curent al varietăţii geometrice materiale la axele Ox , Oy respectiv Oz . Această constatare permite extinderea noţiunii de moment de inerţie. Astfel, se consideră un plan ( )α , o axă ( )∆ sau un punct O . Se defineşte momentul de inerţie al unui sistem material în raport cu planul ( )α (notat αI ), cu axa ( )∆ (notat ∆I ) sau punctul O (notat 0I ) prin:
τρσρρα dv
jjDdd
u
l lSdds
p
k kCd
n
iidimOI ∑
=∫∫∫+∑
=∫∫+∑
=∫+∑
==∆
1
21
21
21
2;;
(3.11)
în care:
- id este distanţa de la punctul iM la planul ( )α , axa ( )∆ sau polul O ;
- d este distanţa de la punctul curent al curbei materiale, suprafeţei materiale sau volumului material la planul ( )α , axa ( )∆ sau polul O .
αI se numeşte moment de inerţie planar, ∆I se numeşte moment de inerţie axial iar OI moment
de inerţie polar. Conform relaţiei (3.11) pentru o varietate geometrică materială, faţă de planele de coordonate ale reperului T se pot defini următoarele momente de inerţie planare:
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 33 -
dvVGM
zxOyI ρ∫= 2 ; dvVGM
yxOzI ρ∫= 2 ;
dvVGM
xyOzI ρ∫= 2 . (3.12)
De asemenea se poate defini momentul de inerţie polar al varietăţii geometrice materiale în raport cu originea reperului T , prin:
dvVGM
zyxOI ρ∫
++= 222 . (3.13)
Toate acestea sunt momente de inerție mecanice.
Pentru sistemele materiale continue omogene, care au densitatea ρ constantă, se definesc momente
de inerţie geometrice (planare, axiale, polare), prin:
( )OIg
OI ,,1
,, ∆=∆ αρα . (3.14)
Totodată, se poate introduce şi matricea momentelor de inerţie geometrice prin adaptarea relaţiei (3.13):
[ ][ ]∫=
VGMdvtrrg
TI . (3.15)
Pentru un sistem material se defineşte raza de inerţie (sau de giraţie) în raport cu un plan ( )α , o axă ( )∆ sau un pol O prin relaţia:
m
OIOi ,,
,,∆
=∆α
α , (3.16)
în care m este masa totală a sistemului material.
Unitatea de măsură pentru momentele de inerţie este "2" mkg ⋅ .
NA.03.2. Proprietăţi
Momentele de inerţie au o serie de proprietăţi dintre care cele mai importante sunt:
1) Momentele de inerţie planare, axiale sau polare sunt mărimi pozitive. Ele sunt nule atunci când sistemul material este conţinut în planul, pe axa sau în polul respectiv.
2) Momentele de inerţie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule, în funcţie de repartiţia maselor sistemului material faţă de axele în raport cu care se face calculul.
3) Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie planare faţă de trei plane, perpendiculare două câte două, care se intersectează în polul respectiv:
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 34 -
yOzIxOzIxOyIOI ++= . (3.17)
4) Momentul de inerţie în raport cu un pol este egal cu semisuma momentelor de inerţie axiale, faţă de trei axe concurente în polul respectiv şi care sunt perpendiculare între ele, respectiv:
( )zzIyyIxxIOI ++=21 . (3.18)
5) Momentul de inerţie al unui sistem material faţă de un pol O este egal cu suma dintre momentele de inerţie faţă de un plan ( )α ce trece prin polul respectiv şi momentul de inerţie faţă de o axă ( )∆ perpendiculară pe planul ( )α în punctul O :
xxIyOzIyyIxOzIzzIxOyIOI +=+=+= (3.19)
6) Momentul de inerţie în raport cu o axă este egală cu suma momentelor de inerţie faţă de două plane, perpendiculare între ele, care se intersectează după axa respectivă:
xOzIxOyIxxI += ; yOzIxOyIyyI += ;
yOzIxOzIzzI += . (3.20)
7) ( )zzIyyIxxIxOyI −+=21
( )yyIzzIxxIxOzI −+=21 (3.21)
( )xxIzzIyyIyOzI −+=21
8) zzIyyIxxI ≥+ ; yyIzzIxxI ≥+ ; xxIzzIyyI ≥+ (3.22)
9) Suma momentelor de inerţie ale unor mase repartizate într-un plan, în raport cu două axe rectangulare din acel plan, este egală cu momentul de inerţie polar în raport cu punctul de intersecţie al acestor axe.
10) Dacă cel puţin una dintre axele faţă de care se calculează momentul de inerţie centrifugal este axă de simetrie a varietăţii geometrice materiale atunci momentul centrifugal respectiv este nul.
Demonstraţia acestor proprietăţi se face elementar prin folosirea formulelor care definesc aceste momente de inerţie.
NA.03.3. Momente de inerţie pentru corpuri omogene de rotaţie
Deoarece în practică se întâlnesc foarte multe corpuri de revoluţie care prezintă axă de rotaţie, sunt importante momentele de inerţie faţă de acea axă. Se va trata numai cazul rotaţiei complete, similar putându-se efectua calculele şi pentru rotaţii incomplete (parţiale).
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 35 -
A. CAZUL SUPRAFEŢELOR OMOGENE DE ROTAŢIE
Se are în vedere fig. 3.1. Momentul de inerţie al suprafeţei omogene descrise de curba ( )1C prin rotirea completă în jurul axei Oz , faţă de această axă, se calculează cu a treia relaţie (3.9).
Fig.3.1
Cu parametrizarea
( ) θsinzfx =
( ) θcoszfy =
zz =
a suprafeţei ( )S , se obţine:
( ) dzdzfzfb
azfzfzzI θρ
πθθ
+∫ ∫
+= 2'1
2
0
2sin22cos2
adică:
∫ +=
b
adzzfzfzzI 2'132 ρπ . (3.23)
B. CAZUL VOLUMELOR OMOGENE DE ROTAŢIE
Se are în vedere fig.3.2. Momentul de inerţie al corpului omogen obţinut prin rotirea completă în jurul axei Oz a suprafeţei plane mărginite de curbele ( )1C şi ( )2C , faxă de axa Oz se calculează
cu a treia relaţie (3.9).
Cu schimbarea de variabile
θsinrx =
θcosry =
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 36 -
zz = se obţine:
( )
( )dz
b
a
zf
zgdrrdzzI ρ
πθ∫ ∫
∫=
2
0
3
adică:
( ) ( )∫
−=
b
adzzgzfzzI 44
2ρπ (3.24)
Fig.3.2
În cazul corpului plin, pentru care ( ) 0=zg , relaţia (3.24) devine:
( )∫=b
adzzfzzI 4
2ρπ . (3.25)
Pentru suprafeţele şi corpurile omogene obţinute prin rotiri incomplete în jurul axei Oz se obţin relaţii similare celor din (3.23), (3.24) şi (3.25) cu menţiunea că în loc de π apare α care este egal cu jumătate din unghiul de rotire.
NA.03.4. Modificarea matricei de inerţie la schimbarea reperului
Prin relaţia (3.4) a fost introdusă matricea de inerţie. Detalierea acestei relaţii duce la:
[ ] dvVGM zxyzxz
yzzxxyxzxyzy
TI ρ∫
+−−
−+−
−−+
=22
2222
. (3.26)
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 37 -
Se observă că elementele matricei de inerţie sunt chiar produsele de inerţie relative la reperul T , definite prin (3.9) şi (3.10). Prin urmare matricea de inerţie va avea forma:
[ ]
−−−−−−
=
zzIyzIxzIyzIyyIxyIxzIxyIxxJ
TI . (3.27)
Se pune problema determinării matricii de inerţie la schimbarea sistemului de referinţă. Pentru aceasta se consideră o varietate geometrică materială raportată la două sisteme de referinţă T şi 0T (fig.3.3). Se consideră cunoscute:
- poziţia reperului T faţă de 0T , adică se cunosc vectorul OR care dă poziţia originii reperului T faţă de 0T şi [ ]S matricea de schimbare de bază de la 0T la T :
{} [ ]{ }0iSi = , (3.28)
- matricea de inerţie a varietăţii geometrice materiale [ ]TI faţă de reperul T .
Fig.3.3.
Trebuie determinată matricea de inerţie faţă de reperul 0T , [ ]0TI .
Dacă r este vectorul de poziţie al unui punct al varietăţii geometrice materiale faţă de T , faţă de 0T
va avea vectorul de poziţie:
rORR += . (3.29)
Pentru calculul lui [ ]0TI este nevoie de matricea antisimetrică atașată vectorului R :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]SrtSORR += . (3.30)
În scrierea lui [ ]R s-a ţinut cont de modalitatea de transformare a unei matrici antisimetrice la schimbarea reperului. Cu relaţia de definiţie (3.5) a matricei de inerţie se obţine:
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 38 -
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =∫
+
+=∫=
VGMdvStrtSt
ORSrtSORVGM
dvtRRTI ρρ0
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] +⋅∫+⋅∫+∫⋅= tORS
VGMdvrtSS
VGMdvtrtSOR
VGMdvt
OROR ρρρ
[ ] [ ][ ] [ ]SVGM
dvtrrtS ⋅∫+ ρ .
Dar, conform definiţiei masei, centrului de masă şi matricei de inerţie:
- ∫ =VGM
mdvρ este masa varietăţii geometrice materiale;
- [ ] [ ]crVGM
mdvr∫ =ρ în care [ ]cr este matricea antisimetrică ataşată vectorului de poziţie al
centrului de masă al varietăţii geometrice materiale, faţă de reperul T ;
- [ ][ ] [ ]TIVGM
dvtrr∫ =ρ .
Înlocuind toate acestea în relaţia precedentă se obţine:
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]STItStORScr
tSmStcr
tSORmtORORmTI +++=
0. (3.31)
Cazuri particulare:
a) Dacă sistemele de referinţă T şi 0T au aceeaşi origine, vectorul OR este nul, relaţia (3.31)
capătă forma:
[ ] [ ][ ]STItSTI =
0. (3.32)
Aceasta coincide cu relaţia de definiţie a unei mărimi tensoriale ceea ce demonstrează caracterul tensorial al tensorului de inerţie.
b) Dacă sistemele de referinţă T şi 0T au axele paralele, matricea de schimbare de bază coincide cu
matricea unitate, relaţia (3.31) devenind:
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]TItORcrmt
crORmtORORmTI +++=
0. (3.33)
c) Dacă sistemele de referinţă au axele paralele şi originea reperului T este aleasă chiar în centrul de masă al varietăţii geometrice materiale, atunci [ ] [ ]IS = şi [ ] [ ]0=cr , deci:
[ ] [ ][ ]tORORmTITI +=
0. (3.34)
Relaţia (3.34) constituie legea de variaţie a momentelor de inerţie în raport cu axele paralele, cunoscută sub numele de teorema lui Steiner. Dacă se particularizează (3.34) se poate obţine
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 39 -
teorema lui Steiner cu referire numai la una din axele reperului T , respectiv 0T . Se dă enunţul
referitor la o axă oarecare: momentul de inerţie al unui sistem material faţă de o axă oarecare ( )∆ este egal cu momentul de inerţie al sistemului material faţă de o axă ( )c∆ paralelă cu ( )∆ şi care
trece prin centrul de masă al sistemului, la care se adaugă produsul dintre masa totală a sistemului şi pătratul distanţei d dintre cele două axe:
2mdc
II +∆=∆ . (3.35)
Din (3.34) se poate obţine şi teorema lui Steiner referitoare la momentele de inerţie centrifugale.
NA.03.5. Momente principale de inerţie
Se consideră un sistem material raportat la un sistem de referinţă T . Se ia o dreaptă ( )∆ de versor
{} { }3;2;1 uuut
iu = care trece prin originea reperului T ( 1u , 2u şi 3u sunt cosinuşii directori ai
axei ( )∆ în sistemul de referinţă T ). Pentru determinarea momentului de inerţie al sistemului material faţă de axa ( )∆ se poate proceda în două moduri. Un prim mod presupune alegerea unui alt sistem de referinţă cu aceeaşi origine, axa ( )∆ fiind una din axele noului sistem de referinţă. Cu relaţia (3.32) se va determina ∆I . O altă modalitate de calcul a acestui moment de inerţie se
bazează pe folosirea relaţiei (3.7). Se obţine:
{ } [ ]{ }uTItu
uuII ==∆ . (3.36)
Detaliat (3.36) duce la:
32231221223
22
21 uuyzIuuxzIuuxyIuzzIuyyIuxxII −−−++=∆ . (3.37)
Relaţiile (3.36) şi (3.37) reprezintă legea de variaţie a momentelor de inerţie faţă de axele care trec prin originea reperului, ∆I fiind o funcţie de cosinuşii directori 1u , 2u şi 3u .
Se pune problema determinării valorilor extreme (maxime şi minime) pe care le poate atinge momentul de inerţie ∆I . Aceasta este o problemă de extrem condiţionat deoarece variabilele 1u ,
2u , 3u ale funcţiei ∆I trebuie să îndeplinească relaţia:
{ } { } { } [ ]{ } 1== uItuutu . (3.38)
Pentru determinarea extremelor momentului de inerţie se foloseşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se construieşte funcţia auxiliară:
( ) { } { } { } [ ] [ ]( ){ }uITItuutuIuuuf λλ −=−∆=3;2;1 . (3.39)
Condiţiile de staţionaritate sunt:
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 40 -
01=
∂∂uf ; 0
2=
∂∂uf ; 0
3=
∂∂uf . (3.40)
Cele trei relaţii (3.90) formează un sistem liniar omogen, a cărui formă este:
[ ] [ ]( ) { } { }0=− uITI λ . (3.41)
Relaţia (3.41) arată că valorile extreme ale momentului de inerţie ∆I sunt chiar valorile principale
ale tensorului de inerţie, de aceea ele se numesc momente principale de inerţie, iar axele faţă de care se obţin se numesc axe principale de inerţie. Dacă axele principale de inerţie trec prin centrul de masă al sistemului material dat, atunci ele se numesc axe principale centrale de inerţie.
Pentru ca sistemul (3.41) să aibă soluţii diferite de soluţia banală trebuie ca determinantul matricei sistemului să fie nul:
[ ] [ ]( ) 0det =− ITI λ . (3.42)
Dezvoltarea determinantului din (3.41) conduce la o ecuaţie de gradul trei:
0322
13 =−+− III λλλ (3.43)
în care 1I , 2I şi 3I sunt invarianţii tensorului de inerţie. Deoarece tensorul de inerţie este simetric,
ecuaţia (3.43) are trei soluţii reale: 1λ , 2λ , 3λ .
Direcţiile principale de inerţie se obţin rezolvând pentru fiecare valoare iλ , 3,1=i sistemul (3.41)
la care se adaugă condiţia (3.38), adică:
[ ] [ ]( ){ } { }
{ } { }
=
=−
1
0
utu
uIiTI λ. (3.44)
Se obţin deci trei axe (axele principale de inerţie) care sunt ortogonale, având matricele cosinuşilor directori { }iu , 3,1=i .
Determinarea momentelor de inerţie extreme se face cu (3.36), în care se ţine cont de relația:
[ ]{ } [ ]{ }iuIiiuTI λ= (conform 3.44).
Se obţine:
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { } iiutiuiiuIi
tiuiuTI
tiu
iI λλλ ==⋅==∆ .
Prin urmare, se obţine concluzia că valorile extreme ale momentelor de inerţie axiale, coincid cu valorile principale ale tensorului de inerţie. De aceea vor fi notate simplu 11 λ=I , 22 λ=I ,
33 λ=I .
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 41 -
Cu relaţia (3.32) se poate calcula matricea de inerţie faţă de reperul format de axele principale de inerţie. Matricea de schimbare de bază în aceste caz este:
[ ] { }{ }{ }[ ]3u;2u;1uS = . (3.45)
Se obţine imediat, că faţă de axele principale de inerţie tensorul de inerţie are matricea ataşată:
=
300020001
0I
II
TI . (3.46)
Obervaţie: Din teorema lui Steiner rezultă că momentul de inerţie minim corespunde unei axe care trece prin centrul de masă al sistemului material. De aceea matricea de inerţie corespunzătoare axelor principale centrale de inerţie va avea componentele diagonale cu cele mai mici valori.
Forma (3.46) a matricei de inerţie arată că faţă de axele principale de inerţie momentele de inerţie centrifugale sunt nule. Este valabilă şi concluzia reciprocă adică dacă momentele centrifugale ale unui sistem material faţă de axele unui reper T sunt nule, atunci axele reperului T sunt axe principale de inerţie.
NA.03.6. Aplicaţii
Aplicaţia 1. Distanţa de la un punct M de masă 2 kg la un punct O (fig.3.4,a) este de 3 m. Să se determine momentul de inerţie al punctului M faţă de punctul O.
Rezolvare:
Momentul de inerţie al punctului M faţă de punctul O se calculează cu relaţia (3.11):
2182322 kgmmdOI ⋅=⋅== .
Aplicaţia 2. Distanţa de la un punct M de masă 5 kg la o dreaptă ( )∆ (fig.3.4,b) este de 2 m. Să se
determine momentul de inerţie al punctului M faţă de dreapta ( )∆ .
Rezolvare:
Momentul de inerţie al punctului M faţă de dreapta ( )∆ se calculează cu relaţia (3.11):
2202252 kgmmdI ⋅=⋅==∆.
Aplicaţia 3. Distanţa de la un punct M de masă 4 kg la un plan ( )α (fig.3.4,c) este de 5 m. Să se
determine momentul de inerţie al punctului M faţă de planul ( )α .
Rezolvare:
Momentul de inerţie al punctului M faţă de planul ( )α se calculează cu relaţia (3.11):
21002542 kgmmdI ⋅=⋅==∆.
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 42 -
a) b) c)
Fig.3.4
Aplicaţia 4. Pentru placa plană omogenă din fig. 3.5 se cere:
1) Momentele de inerţie faţă de axele Ox şi Oy . 2) Momentul centrifugal de inerţie xyI .
3) Momentul de inerţie faţă de axa ( )∆ care trece prin centrul de masă plăcii şi este paralelă cu axa
Ox .
Fig.12.5
Rezolvare
1) Momentul de inerţie faţă de axa Ox se determină cu prima relaţie (3.9):
3
3
00
2
)()22(22 bhbh
dxdyyS
dAzydvVGM
zyxxI ρρρρ =∫ ∫ ⋅=∫∫ +=∫
+=
Similar, momentul de inerţie faţă de axa Oy este:
3
3
00
2
)()22(22 hbbh
dxdyxS
dAzxdvVGM
zxyyI ρρρρ =∫ ∫ ⋅=∫∫ +=∫
+=
MECANICĂ*N* NA.03.Momente de inerție
- 43 -
2) Momentul centrifugal de inerţie xyI se calculează cu prima relaţie (3.10) :
4
22
00)(
hbbhdxdyxy
SdAxydv
VGMxyxyI ρρρρ =∫ ∫=∫∫=∫=
3) Pentru a determina momentul de inerţie faţă de axa ( )∆ (care trece prin centrul de masă plăcii) se
aplică teorema lui Steiner între această axă şi axa Ox :
4
32
22 bhIhbhImdIxxI ρρ +∆=
+∆=+∆=
Rezultă
12
3
4
3
3
3
4
3 bhbhbhbhxxII ρρρρ
=−=−=∆ .
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 44 ‐
Capitolul NA.04. Autoevaluare
Capitol NA.01. Sisteme de vectori
● Exerciţii/ probleme rezolvate 1. Se consideră un paralelipiped de dimensiuni aOA 3 , aOC 4 şi aOD 5 supus acţiunii unui
sistem de solicitări 54321 ,,,, FFFFFS cu PF 1 , 342 PF , 2103 PF , PF 34 ,
PF 55 . Se cere să se calculeze expresia
vectorială a rezultantei sistemului de forţe.
Rezolvare: (1p oficiu)
Pentru a determina expresiile analitice ale vectorilor vom folosi metoda versorului. Se determină coordonatele a două puncte de pe suportul fiecărui vector astfel:
O(0,0,0), A(3a,0,0), C(0,4a,0),
E(3a,0,5a), G(3a,4a,5a), H(0,4a,5a).
(0,5 puncte)
Expresiile analitice ale vectorilor sunt:
kPa
kajaaiP
zzyyxx
kzzjyyixxF
HC
CHFuFF
HCHCHC
HCHCHCHC
222
2221111
500000
504400
(1,5 puncte)
kiPaaaa
kajaaiaP
zzyyxx
kzzjyyixxF
CG
GCFuFF
CGCGCG
CGCGCGCG
53054403
05440334
222
2222222
(1,5 puncte)
F3 F2
F4
F5
F1
H
G E
D
C
B A
O
x
y
z
Fig. 4.1.1.
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 45 ‐
kjiPaaa
kajaiaP
zzyyxx
kzzjyyixxF
CE
ECFuFF
CECECE
CRCRCECE
5432054003
054003210
222
2223333
(1,5 puncte)
jPa
kjaiP
zzyyxx
kzzjyyixxF
CO
OCFuFF
COCOCO
COCOCOCO
3004000
0040003
222
2224444
(1,5 puncte)
jiPaa
kjaiaP
zzyyxx
kzzjyyixxF
AC
CAFuFF
ACACAC
ACACACAC
43000430
0004305
222
2225555
(1,5 puncte)
Centralizând rezultatele obţinute într-un tabel avem:
Forţa ixF iyF izF
1F 0 0 -P
2F 3P 0 5P
3F 6P -8P 10P
4F 0 -3P 0
5F -3P 4P 0
Σ 6P -7P 14P
Expresia vectorială a rezultantei sistemului de forţe este:
kPjPiPR 1476
(1 punct)
2. Se consideră un cub de latură a supus acţiunii unui sistem de solicitări 4321 ,,, FFFFS cu
PF 21 , 232 PF , 33 PF , 224 PF . Se cere să se calculeze expresia vectorială a
rezultantei sistemului de forţe.
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 46 ‐
Rezolvare: (1p oficiu)
Se determină coordonatele a două puncte de pe suportul fiecărui vector astfel:
O(0,0,0), A(a,0,0), B(a,a,0),
E(a,0,a), G(a,a,a).
(0,5 puncte)
Calculând proiecţiile fiecărei forţe în parte pe cele
3 axe se obţin următoarele rezultate:
Forţa ixF iyF izF Punctaj autoevaluare
1F 2P 0 0 1,5 puncte
2F 3P 0 3P 1,5 puncte
3F P P P 1,5 puncte
4F 2P 2P 0 1,5 puncte
Σ 8P 3P 4P 1,5 puncte
Expresia vectorială a rezultantei sistemului de forţe este:
kPjPiPR 1438
(1 punct)
Capitol NA.02. Geometria maselor
● Exerciţii/ probleme rezolvate 1. Se consideră bara omogenă cotită în spaţiu din figura 4.2.1, formată din: AO-semicerc în Oxy, AO1 = O1O = l , OB = 2l , O2B = O2C = l , BC - sfert de cerc în Oyz, CD = l, O2D = OE , DE ∥ OO2, DE = OO2, EF ∥ OO1 , EF = OO1 , FG ∥ Oz , FG = l. Se cere să se determine coordonatele centrului ei de masă.
Rezolvare: (1p oficiu)
Se împarte bara în corpuri simple (bare drepte sau arc de cerc), iar centrul de masă se calculează cu relaţia (1) proiectată pe axe, rezultatele fiind centralizate în tabelul 1.
F3 F2
F4
F1
H
G E
D
C
B A
O
x
y
z
Fig. 4.1.2.
B
A
z
G
F
E
DC
O1
O
O2
x
y
Fig. 4.2.1.
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 47 ‐
A
O
O1
Tabelul 1
Corp li xi yi zi xili yili zili
πl l l2
0 πl2 -2l2 0 (1 punct)
2l 0 0 l 0 0 2l2 (1 punct)
4
l 0
l2
l2
l3 0 2
2l
24
3 22 ll
(1 punct)
l 0 2
3l 3l 0
2
3 2l 3l2
(1 punct)
3l 0 2l 2
l3 0 6l2
2
9 2l (1 punct)
l 2
l 2l 0
2
2l 2l2 0 (1 punct)
l l 2l 2
l l2 2l2
2
2l (1 punct)
l84
l3
2
3 22 l
l 10l2
2
17
4
3 22 ll
(1 punct)
Se obţin coordonatele centrului de masă:
.
323
343,
323
40,
323
322l
l
lzzl
l
lyyl
l
lxx
i
iiC
i
iiC
i
iiC
(1 punct)
Observaţie:
În cazul corpurilor compuse, acestea se împart în bare, plăci sau volume ale căror centre de masă se cunosc; corespunzător fiecărui tip, pentru calculul centrului de masă se utilizează una dintre relaţiile următoare:
;,,
i
iiC
i
iiC
i
iiC V
Vrr
A
Arr
l
lrr (1)
În cazul în care unul dintre elementele constitutive se elimină (se decupează), atunci aria sau volumul acestuia se iau negative.
Observaţie:
Centrul de masă pentru bara dreapta
Se va considera, pentru început, că bara este neomogenă, având densităţile ρ1 în capătul A şi ρ2 în capătul B (fig.4.2.2.), legate prin relaţia:
B
C O2
C D
D
E
E
F
F
G
Σ
O
B
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 48 ‐
.)( 121 x
lx
(2)
Se obţine:
.3
2)(
21
21
0
121
0
121
)(
)(l
dxxl
dxxl
x
dx
dxxx
xl
l
D
DC
(3)
În cazul în care bara dreaptă AB de lungime l este omogenă, adică ρ1 = ρ2 = ρ , atunci se observă cu
uşurinţă din relaţia (3) că are centrul de masă la jumătatea lungimii ei, respectiv 2
lxC .
Observaţie:
Centrul de masă pentru bara arc de cerc
O bară omogenă sub formă de arc de cerc, de rază R şi unghiul la centru 2α, are ca axă de simetrie bisectoarea acestui unghi, ceea ce face ca centrul său de masă, C , să se găsească pe această dreaptă (fig.4.2.3.). Pentru simplitate ea va fi aleasă drept axă Ox, şi ca urmare,
.0 (4)
Pentru calculul coordonatei ξ=OC, a centrului de masă se consideră un arc de lungime elementară ds = Rdθ şi unghi la centru dθ, situat la unghiul θ faţă de axa Ox, astfel încât se obţine:
.sin
cos
)(
)(
R
dR
dRR
ds
dsx
x
D
DC
(5)
Rezultă coordonatele centrului de masă al barei arc de cerc:
.0;sin
CC yRx
(6)
2. Pentru placa plană omogenă din fig. 4.2.4. Se cere poziţia centrului de masă.
Rezolvare
Se împarte placa în figuri geometrice simple la care se pot calcula uşor masa şi poziţia centrului de masă, astfel:
- figura (1) – dreptunghiul ONBM
Fig. 4.2.2.
A(ρ1) B(ρ2)
l
x dx
C
O x
R A
α
B
dθ
θ
ds
x
α C
Fig.4.2.3.
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 49 ‐
- figura (2) – dreptunghiul MDEF - figura (3) – triunghiul NAB
Fig. 4.2.4.
Pentru figura (1), masa este: 2541 am
Centrul de masă se găseşte la intersecţia diagonalelor. Pentru aflarea coordonatelor sale se face media aritmetică a coordonatelor pentru două vârfuri opuse, de exemplu )0;0;0(O şi )0;6;9( aaB .
2
9
1
aCx ; aCy 3
1 .
Pentru figura (2), masa este 2362 am . Centrul de masă se determină ca la figura (1),
)0;6;0( aM ; )0;12;6( aaE :
aCx 32 ; aCy 9
2 .
Pentru figura (3), masa este 2183 am . Centrul de masă se găseşte la intersecţia medianelor.
Coordonatele sale se determină ca medie aritmetică a coordonatelor vârfurilor: )0;0;9( aN ,
)0;0;15( aA , )0;6;9( aaB , respectiv:
aCx 113 ; aCy 2
3 .
Coordonatele centrului de masă al plăcii se determină cu relaţiile:
a
iim
i iCxim
Cx12
613
1
3
1
a
iim
i iCyim
Cy3
143
1
3
1
.
Poziţia centrului de masă se poate determina şi cu ajutorul celei de a doua teoreme Guldin-Pappus.
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 50 ‐
Aria plăcii este 108a2.
Prin rotirea plăcii în jurul axei Ox se obţine:
-un cilindru cu raza 12a şi înălţimea 6a, deci cu volumul 3864 a .
-un cilindru cu raza 6a şi înălţimea 3a, deci cu volumul 3108 a .
-un con cu raza 6a şi înălţimea 6a, deci cu volumul 372 a .
Volumul total obţinut este 31044 a .
Conform celei de-a doua teoreme Guldin-Pappus:
2108231044 aCya , de unde aCy3
14 .
Prin rotirea plăcii în jurul axei Oy se obţine:
-un trunchi de con cu raza mare 15a, raza mică 9a şi înălţimea 6a, deci cu volumul 3822 a .
-un cilindru cu raza 6a şi înălţimea 6a, deci cu volumul 3216 a .
Volumul total obţinut este 31098 a .
Conform celei de-a doua teoreme Guldin-Pappus:
2108231098 aCxa , de unde aCx12
61 .
3. Se dă placa plană omogenă din figura 4.2.5 şi se cer coordonatele centrului ei de masă.
Rezolvare: (1p oficiu)
Se împarte placa în suprafeţe ale căror centre de masă se cunosc respectiv, pătrate sau dreptunghiuri, triunghiuri şi sectoare de cerc. Rezultatele sunt centralizate în tabelul 2.
Tabelul 2
Corp Ai xi yi xiAi yiAi
2
a2 3
4a 0
3
2 3a 0 (1,5 puncte)
2a2
2
a 0 a3 0 (1,5 puncte)
O
y
x
a a a
a a
Fig. 4.2.5.
O
a/2
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 51 ‐
a2
3
4a 0
3
4 3a 0 (1,5 puncte)
16
2a 3
2a
32a
24
3a
24
3a (1,5 puncte)
4
2a 3
4aa
34a
a 34
33 aa
34
33 aa
(1,5 puncte)
22
316
5a
a
24
47
4
33 aa
8
3
4
33 aa
(0,5 puncte)
Rezultă următoarele coordonate ale centrului de masă al plăcii:
.
485
322,
4853
4762a
A
Ayya
A
Axx
i
iiC
i
iiC
(1 punct)
4. Pentru corpul prismatic omogen din fig. 4.2.6 se cere să se determine poziţia centrului de masă.
Rezolvare
Masa corpului prismatic se calculează cu relaţia:
)(D
dVm .
Elementul de volum este dxdydzd . Pentru efectuarea integralei precedente trebuie stabilite
limitele de integrare pentru variabile. Ecuaţia planului ABGE este:
xa
bbz .
Prin urmare limitele de integrare sunt: ax ;0 ; cy ;0 ;
x
a
bbz ;0 .
Fig. 4.2.6.
Σ
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 52 ‐
Deci:
dxa
xa
bbcdx
a xa
bb
zc
ydxa
xa
bb
dzc
dym00 0
00 00
202
2abcax
a
bbxc
.
În mod asemănător se calculează integralele:
)( 36
2
D
mabcadx
)( 24
2
D
mcabcdy
)( 36
2
D
mbcabdz
Coordonatele centrului de masă se obţin imediat:
3
aCx ;
2
cCy ;
3
bCz .
5. Pentru o suprafaţă conică circulară omogenă, de înălţime H şi raza bazei R se cere poziţia centrului de masă (fig. 4.2.7.).
Fig. 4.2.7. Rezolvare:
Dacă se alege sistemul de referinţă cu originea în vârful conului şi axa Oz pe axa de simetrie a suprafeţei conice atunci ecuaţia curbei care prin rotire generează suprafaţa conului este:
zH
Ry , deci z
H
Rzf .
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 53 ‐
Poziţia centrului de masă se determină cu relaţia (2.27):
HH
dzH
Rz
H
R
Hdz
H
Rz
H
Rz
Cz3
2
02
21
02
21
.
6. Se consideră corpul (volumul) omogen din figura 4.2.8 format dintr-un con, o jumătate de cilindru şi o semisferă. Se cere să se determine coordonatele centrului său de masă.
Rezolvare: (1p oficiu)
Solidul studiat are planul Oyz plan de simetrie, ceea ce face ca centrul său de masă să se găsească în acest plan. Centrul de masă al semicilindrului se află într-un plan paralel cu Oxy situat la jumătatea înălţimii lui. Poziţia sa se determină folosind relaţia de la plăcile sector de cerc. Rezultatele sunt centralizate în tabelul 3.
Se obţin coordonatele centrului de masă:
.6
11
,7
4
,0
RV
Vzz
RV
Vyy
V
Vxx
i
iiC
i
iiC
i
iiC
(1 punct)
Tabelul 3
Corp Vi yi zi yiVi ziVi
3
4 3R 0
8
27R 0
2
9 4R (2,5 puncte)
2
3 3R 3
4R
2
3R
-2R4 4
9 4R (2,5 puncte)
3
2 3R 0
2
R 0
3
4R (2,5 puncte)
2
7 3R -2R4
12
77 4R (0,5 puncte)
z
x
yO
Sferă R
R
2R
3R
Fig.4.2.8.
Σ
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 54 ‐
● Exerciţii/ probleme propuse 1. Se consideră bara omogenă cotită în planul Oxy din figura 4.2.9. Dimensiunile acesteia sunt prezentate în figură. Se cere să se determine coordonatele centrului ei de masă.
Răspuns:
Se obţin coordonatele centrului de masă:
.a0777,0
52
5
a,4055,0
52
52
13
2
2
a
a
l
lyy
a
a
l
lxx
i
iiC
i
iiC
Fig. 4.2.9.
2. Pentru placa plană omogenă din fig. 4.2.10 se cere poziţia centrului de masă.
Fig.4.2.10.
Indicație:
Se împarte placa în figuri geometrice simple la care se pot calcula uşor masa şi poziţia centrului de masă, astfel:
figura (1) – semicercul de rază R2 ,
figura (2) – semicercul de rază R ,
figura (3) – semicercul decupat de rază R .
Pentru figura (1), masa este: 221 Rm . Poziţia centrului de masă la placă semicirculară a fost
determinată în capitolul NA.02.6. Pentru această placă coordonatele centrului de masă sunt:
2a
O x
y
x
y
a
2a
2a
a
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 55 ‐
01Cx ;
38
1
RCy .
Pentru figura (2), masa este: 22
12 Rm . Coordonatele centrului de masă sunt:
RCx 2
; 3
4
2
RCy .
Pentru figura (3), care este decupată, masa este: 22
13 Rm . Coordonatele centrului de masă
sunt:
RCx 3
; 3
43
RCy .
Coordonatele centrului de masă al plăcii se determină cu relaţiile:
22
2
122
122
).(22
1.2
2
10.22
321
332211 R
RRR
RRRRR
mmm
CxmCxmCxm
Cx
R
RRR
RR
RR
RR
mmm
CymCymCym
Cy2
22
122
122
)3
4.(2
2
1)
3
4.(2
2
1
3
8.22
321
332211
3. Se dă placa plană omogenă din figura 4.2.11 şi se cer coordonatele centrului ei de masă.
Fig. 4.2.11
Răspuns:
2a
3a
y
O x
a
3a/5
a
a
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 56 ‐
Se obţin coordonatele centrului de masă:
.a2126,1
8100
141125
2241
100
91
a,9654,0
8100
141125
1009
4
5
2
3
2
3
a
a
A
Ayy
a
a
A
Axx
i
iiC
i
iiC
4. Se dă placa plană omogenă din figura 4.2.12 şi se cer coordonatele centrului ei de masă.
Răspuns:
Se obţin coordonatele centrului de masă:
.a889,0
2721664
27450128
a,927,0
2721664
18936128
2
3
2
3
a
a
A
Ayy
a
a
A
Axx
i
iiC
i
iiC
Fig. 4.2.12.
5. Se dă placa plană omogenă din figura 4.2.13. şi se cer coordonatele centrului ei de masă.
Răspuns:
Se obţin coordonatele centrului de masă:
.a376,1
730050
5015750
a,438,0
730050
2791300150
2
3
2
3
a
a
A
Ayy
a
a
A
Axx
i
iiC
i
iiC
Fig. 4.2.13.
y
O x
3a/23a/2
3a/4
3a/4
a
a
a
2a 3a/5
2a
y
O
x
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 57 ‐
6. Pentru un volum conic circular omogen, de înălţime H şi raza bazei R se cere poziţia centrului de masă .
Indicație:
Poziţia centrului de masă se determină cu relaţia (2.35):
HH
dzzH
R
Hdzz
H
Rz
Cz4
3
0
20
2
.
7. Se consideră corpul (volumul) omogen din figura 4.2.14. Se cere să se determine coordonatele centrului său de masă.
Răspuns:
Se obţin coordonatele centrului de masă:
.a83,226
12
883
a,26,026
3
64
,026
0
3
4
3
4
3
a
a
V
Vzz
a
a
V
Vyy
aV
Vxx
i
iiC
i
iiC
i
iiC
Fig.4.2.14.
Capitol NA.03. Momente de inerție
● Exerciţii/ probleme rezolvate 1. Pentru placa plană omogenă din fig. 4.3.1, se cer: momentele de inerţie faţă de axele Ox şi Oy .
Rezolvare:
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 58 ‐
Se împarte placa în figuri geometrice simple, astfel:
- figura (1) – dreptunghiul ONBM - figura (2) – dreptunghiul MDEF - figura (3) – triunghiul NAB
Fig. 4.3.1.
Pentru calculul momentelor de inerţie sunt necesare următoarele precizări, care se demonstrează elementar folosind definiţiile momentelor de inerţie:
- pentru o placă dreptunghiulară având baza b şi înălţimea h , momentul de inerţie în raport cu baza se calculează cu relaţia:
3
3bhI
iar momentul de inerţie faţă de o axă care trece prin centrul de masă al plăcii şi este paralelă cu baza se calculează cu relaţia:
12
3bh
cI
- pentru o placă triunghiulară care are baza b şi înălţimea h , momentul de inerţie în raport cu o axă ce se suprapune cu baza este:
12
3bhI
iar în raport cu o axă, paralelă cu baza, care trece prin centrul de masă este:
36
3bh
cI .
Momentul de inerţie al plăcii în raport cu axa Ox este:
)3()2()1(
xxI
xxI
xxI
xxI
- pentru figura (1):
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 59 ‐
46483
369)1( aaa
xxI
;
- pentru figura (2) se foloseşte teorema lui Steiner:
430242923612
366)2( aaaaa
xxI
;
- pentru figura (3):
410812
366)3( aaa
xxI
.
Se obţine:
43780axx
I .
Momentul de inerţie în raport cu axa Oy este:
)3()2()1(
yyI
yyI
yyI
yyI
- pentru figura (1):
414583
396)1( aaa
yyI
;
- pentru figura (2):
44323
366)2( aaa
yyI
;
- pentru figura (3) se aplică teorema lui Steiner:
4221421121836
366)3( aaaaa
yyI
.
Se obţine:
44104ayy
I .
2. Pentru corpul prismatic omogen din fig. 4.3.2 se cer:
a) Matricea de inerţie faţă de reperul T . b) Momentul de inerţie faţă de axa OE .
Rezolvare:
Masa corpului prismatic se calculează cu relaţia:
)(D
dm .
Elementul de volum este dxdydzd . Pentru efectuarea integralei precedente trebuie stabilite
limitele de integrare pentru variabile. Ecuaţia planului ABGE este:
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 60 ‐
xa
bbz .
Prin urmare limitele de integrare sunt: ax ;0 ; cy ;0 ;
x
a
bbz ;0 .
Fig. 4.3.2.
Deci:
dxa
xa
bbcdx
a xa
bb
zc
ydxa
xa
bb
dzc
dym00 0
00 00
202
2abcax
a
bbxc
.
1-Componentele matricei de inerţie se calculează cu relaţiile 3.9 şi 3.10. Se calculează integralele:
)( 6
2
12
32
D
mabcadx
)( 3
2
6
32
D
mcabcdy
)( 6
2
12
32
D
mbcabdz
)( 612
22
D
macbcadxy
)( 1224
22
D
mabcbadxz
)( 612
22
D
mbccabdyz .
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 61 ‐
Deci matricea de inerţie va avea forma:
2226612
6222
66
126222
6
cambc
mab
m
bcmba
macm
abm
acmcb
m
TI .
2-Cosinusurile directoare ale dreptei OE sunt: 221
ca
au
;
222ca
cu
; 0
3u .
Momentul de inerţie al corpului prismatic faţă de axa OE se calculează cu relaţia (3.36):
226
222222
2122
221
ca
cbcabamuu
zzIu
yyIu
xxII .
3. Pentru o suprafaţă conică circulară omogenă, de înălţime H şi raza bazei R se cere momentul de inerţie faţă de axa de simetrie (fig.4.3.3.).
Rezolvare:
Dacă se alege sistemul de referinţă cu originea în vârful conului şi axa Oz pe axa de simetrie a suprafeţei conice atunci ecuaţia curbei care prin rotire generează suprafaţa conului este:
zH
Ry , deci z
H
Rzf .
Momentul de inerţie faţă de axa de rotaţie se calculează cu relaţia (3.23).
Fig. 4.3.3.
Rezultă:
2
2223
202
21
32
mRHRR
Hdz
H
Rz
H
RI
.
MECANICĂ*N* NA.04. Autoevaluare
‐ 62 ‐
4. Pentru un volum conic circular omogen, de înălţime H şi raza bazei R se cere momentul de inerţie faţă de axa de simetrie.
Rezolvare:
Momentul de inerţie faţă de axa de rotaţie se calculează cu relaţia (3.25):
2
10
3
10
4
0
4
2mR
HRHdzz
H
RI
.
MECANICĂ*N* NA. Bibliografie
‐ 63 ‐
Bibliografie
[A01] Atanasiu M., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1973.
[B01] Bălan, Şt., Complemente de mecanică teoretică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.
[B02] Beer F. P., Russell J. E., Clausen W. E., Vector Mechanics for Engineers. Statics, 8th edition, McGraw Hill, New York, 2007.
[B03] Bolcu, D., Rizescu, S., Mecanica – Vol. I, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2009
[B04] Bolcu, D., Marin, M., Mecanică, Editura Universitaria, Craiova, 2003.
[B05] Bratu, P., Mecanică teoretică, Editura Impuls, ISBN 973-8132-57-6, Bucureşti, 2006.
[C01] Ceaușu V., Enescu N., Probleme de mecanică. Statică. Cinematică, Editura Corifeu, București, 2002.
[C02] Ceaușu V., Enescu N., Probleme de mecanică. Dinamică. Mecanică analitică, Editura Corifeu, București, 2004.
[C03] Constantinescu I., Bolog C., Mecanică, Editura didactică și pedagogică, București, 1978.
[E01] Enescu N., Carp-Ciocârdia D. C., Predoi M.V., Savu M., Mecanica pentru ingineri din profilul electric, Editura MATRIX-ROM, Bucureşti, 2000.
[G01] Gross. D, Hauger W., Schröder J., Wall W. A., Rajapakse N., Engineering Mechanics 1. Statics, Springer – Verlag Berlin Heidelberg, 2009.
[H01] Hagedorn, P., Technische Mechanik. Vol I-III Verlag H , Deutsche Frankfurt am Main, 1989-1990.
[H02] Hangan S., Slătinenu I., Mecanică, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.
[H03] Higdon, A., Stiles, W., Davis, A., Evces, Ch., Engineering Mechanics. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
[H04] Hibbeler R. C., Engineering mechanics. Statics, 11th edition, Pearson Prentice Hall, New Jersey, 2007.
[I01] Iacob, C., Mecanica teoretica, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.
[I02] Ibănescu R., Rusu E., Mecanică. Statică, Editura Cermi, Iași, 1997.
[I03] Ispas, V., Negrean, I., s.a. Mecanică, Ed. Dacia, ISBN 973-35-06-97-4, Cluj-Napoca, 1997.
[K01] Kittel C., Knight W. D., Ruderman M. A., Cursul de fizică Berkley, vol I, Mecanică, Editura didactică și pedagogică, București, 1981.
[M01] Mangeron D., Irimiciuc N., Mecanica rigidelor cu aplicații în inginerie. Mecanica rigidului, Editura tehnică, București, 1978.
[M02] Mc.Gill, D., King, W., Engineering Mechanics; Statics and an Introduction to Dynamics, P.W.S. Engineering, Boston, 1985.
[M03] Meriam J. L., Kraige L. G., Engineering Mechanics. Statics, 6th edition, John Wiley &Sons, New Jersey, 2007.
MECANICĂ*N* NA. Bibliografie
‐ 64 ‐
[M04] Morin D., Introductory Classical mechanics With Problems and Solutions, Cambridge University Press, 2008.
[N01] Negrean, I., Mecanică Avansată în Robotică, Ed. UT PRESS, ISBN 978-973-662-420-9, Cluj-Napoca, 2008.
[N02] Negrean, I., Mecanică. Teorie şi Aplicaţii, Ed. UT PRESS, ISBN 978-973-662-523-7, Cluj-Napoca, 2012.
[N03] Newton, I., Principiile matematice ale filosofiei naturale (transl. from English), Ed. Academiei R.P.R., 1956
[N04] Nita, M.,M.,Curs de mecanica teoretica, Academia militara, Bucuresti, 1972.
[O01] Onicescu, O., Mecanica, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969.
[P01] Posea, N., ş.a., Mecanică aplicată pentru ingineri, Editura Tehnică, Bucureşti, 1984.
[P02] Pytel A., Kinsalaas J., Engineering Mechanics. Statics, 3th edition, Cengage Learning, Canada, 2010.
[R01] Rădoi M., Deciu E., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1977.
[R02] Ripianu A., Popescu P., Bălan B., Mecanică tehnică, Editura didactică și pedagogică, București, 1982.
[R03] Roșca I., Ion C., Curs de Mecanică pentru ingineri. Statica, IPB, 1985.
[R04] Roșca I., Ion C., Curs de Mecanică. Cinematica-dinamica, IPB, 1981.
[R05] Roy, M., Mécanique. Corps rigides. Dunod Paris, 1965.
[R06] Ruina A., Pratap R., Introduction to Statics and Dynamics, Oxford University Press, 2011.
[S01] Silaș G., Groșanu I., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1981.
[S02] Staicu Șt., Introducere în mecanica teoretică, Editura ștințifică și enciclopedică, București, 1983.
[S03] Staicu Șt., Mecanică teoretică, Editura didactică și pedagogică, București, 1998.
[S04] Stoenescu, A., Silaş, Gh., Mecanica teoretica. ed. III, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1969.
[S05] Stroe I., Mecanica. Statica, Teorie si probleme, IPB, 1991.
[S06] Stroe I., Buracu V., Carp-Ciocardia C.D., Motomancea A., Iliescu V., Alecu A., D.Caruntu, Voiculescu L., Dragomirescu C., Boiangiu M., D.Deleanu, Probleme de statică pentru studenţii din învăţământul superior tehnic, Editura Printech, Bucureşti, 2000 (reeditare).
[T01] Teodorescu P. P., Sisteme mecanice. Modele clasice, vol. 1, Editura tehnică, București, 1984.
[T02] Tocaci E., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1985.
[V01] Voinea, R.,P., Stroe, I.,V., Predoi, M.,V., Technical Mechanics, Geometry Balkan Press, Bucharest, 1996.
[V02] Voinea, R.,P., Stroe, I.,V., Predoi, M.,V., Technical Mechanics, Editura Politehnica Press, Bucuresti, 2010, reeditare in 2012.
[V03] Voinea R., Voiculescu D., Ceaușu V., Mecanica, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.
MECANICĂ*N* NA. Bibliografie
‐ 65 ‐
[V04] Voinea R., Voiculescu D., Simion F. P., Introducere în mecanica rigidului cu aplicații în inginerie, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1989.