Mussadiq Musbach - Teori Medan Elektromagnetik.pdf

0

Daftar Isi

1 Muatan Listrik dan Medan Elektrostatik 11.1 Muatan Listrik dan Muatan Kuantum Elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Kuat Medan Listrik dan Potensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Hukum Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Garis-garis Gaya Medan Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Distribusi Muatan Listrik di dalam Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Contoh: Teori Potensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.1 Kondensator Bola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.2 Elipsoida rotasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.3 Metode Konformasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Muatan Induksi (Muatan Influensi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.1 Muatan di depan Plat Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.2 Muatan titik di depan Konduktor Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.3 Cara Lain Perhitungan Persoalan 1.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8 Medan Listrik pada Jarak tak Berhingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8.1 Medan Coulomb (Monopol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.2 Medan Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.3 Medan Kuadrupol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.8.4 Bentuk Umum Medan Multipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Soal-Soal Latihan Bab 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Elektrostatika Dielektrik 472.1 Kondensator Plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Polarisasi pada Bahan Dielektrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3 Persamaan Dasar Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4 Contoh Elektrostatika Dielektrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.1 Sebuah Muatan Titik di depan Dielektrik Setengah Bola . . . . . . . . . . . . . 562.4.2 Bola Dielektrik di dalam Medan Listrik Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.3 Elipsoida Dielektrik Terpolarisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Soal-Soal Latihan Bab 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1

2 DAFTAR ISI

3 Pengaruh Gaya dan Energi Elektrostatik 653.1 Sistem Muatan Titik Di Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Dipol di dalam Medan Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.2 Kuadrupol di dalam Medan Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Energi Medan Listrik pada Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3 Energi Medan Listrik pada Isolator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.1 Gaya pada Bahan Dielektrik antara dua Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.2 Momen Putar pada Elipsoida Dielektrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4 Kerapatan Gaya di dalam Dielektrik Terpolarisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5 Tegangan M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.6 Pengaruh Gaya dalam Cairan dan Gas Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Soal-Soal Latihan Bab 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Hukum-hukum Arus Listrik 974.1 Kuat dan Kerapatan Arus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2 Hukum Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3 Gaya-gaya Paksaan dan Rangkaian Galvani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4 Pengaruh Kelembaman Elektron pada Logam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5 Panas Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Soal-Soal Latihan Bab 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Medan Magnet 1155.1 Gaya Lorentz dan Induksi Magnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2 Arus Melingkar sebagai Momen Dipol Magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3 Hukum Induksi Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Hukum Oersted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5 Magnetisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.6 Bahan-bahan Magnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Soal-Soal Latihan Bab 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6 Elektrodinamika Arus Kuasi-Stasioner 1536.1 Induksi Diri dan Induksi Mutual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.2 Rangkaian R L: Diagram Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3 Rangkaian R L C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.4 Kekekalan Energi Sistem Berarus Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Soal-Soal Latihan Bab 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7 Persamaan Dasar Medan Elektromagnetik 1717.1 Penyempurnaan Persamaan Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2 Persamaan Maxwell dalam Koordinat Diperumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.3 Teori Maxwell dan Kekekalan Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4 Teori Maxwell dan Kekekalan Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Soal-Soal Latihan Bab 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

DAFTAR ISI 3

8 Gelombang Elektromagnetik 1878.1 Gelombang Elektromagnetik di Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.2 Konstanta Bahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.3 Gelombang Datar di dalam Bahan Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.4 Refleksi Gelombang Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.5 Efek Lapisan Tipis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.6 Gelombang dalam Kawat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.7 Gelombang di Konduktor Kosong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Soal-Soal Latihan Bab 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9 Medan Karena Muatan dan Arus 2239.1 Medan Muatan Bergerak Beraturan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.2 Energi dan Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.3 Potensial Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.4 Medan Elektromagnetik Muatan Bergerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.5 Radiasi Pemancar Gelombang Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2429.6 Multipol dan Radiasi Komponennya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Soal-Soal Latihan Bab 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10 Dasar-dasar Fisis Teori Relativitas 25510.1 Prinsip Relativitas dalam Elektrodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.2 Koreksi Pengertian Ruang-Waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.3 Transformasi L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.4 Beberapa Akibat Transformasi L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10.4.1 Skala Panjang dan Waktu pada Transformasi L . . . . . . . . . . . . . . 26610.4.2 Gambaran Geometri Transformasi L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26710.4.3 Aturan Penambahan Kecepatan dari E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

10.5 Pengertian Ruang-Waktu Empat Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27310.6 Transformasi Lorentz Ruang Empat Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

11 Elektrodinamika Relativistik 28311.1 Persamaan Medan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28311.2 Kerapatan Arus Empat Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29011.3 Tensor Momen Magnetisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.4 Kerapatan Gaya dan Tensor Energi-Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30311.5 Gelombang Datar Cahaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30911.6 Radiasi Medan Sebuah Elektron Bergerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Soal-Soal Latihan Bab 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

12 Mekanika Relativistik 31912.1 Mekanika Titik Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31912.2 Kelembaman Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32312.3 Tegangan Mekanis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

12.3.1 Kesetaraan Energi dan Momentum Elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4 DAFTAR ISI

12.3.2 Percobaan Trouton dan Noble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330Soal-Soal Latihan Bab 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

13 Analisa Vektor dan Tensor Ruang 3D 33713.1 Aljabar Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

13.1.1 Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33713.1.2 Perkalian Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33713.1.3 Vektor Posisi dalam Koordinat Diperumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33813.1.4 Perkalian Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34013.1.5 Hasil Akhir Perkalian Vektor dalam Komponen-komponennya . . . . . . . . . 34113.1.6 Hasil Kali Lainnya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

13.2 Analisa Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34413.2.1 Diferensiasi Sebuah Vektor dengan Satu Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . 34413.2.2 Gradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34413.2.3 Divergensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34613.2.4 Operator Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34713.2.5 Rotasi (curl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34813.2.6 Koordinat Polar ruang: sebagai Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35013.2.7 Hukum-hukum Integral Analisa Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

13.3 Aljabar Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35313.3.1 Tensor dan Komponennya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35313.3.2 Aturan Umum Perhitungan Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35413.3.3 Tensor Ortogonal dan Transformasi Umum untuknya . . . . . . . . . . . . . . . 35513.3.4 Sifat Simetri Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35713.3.5 Tensor Simetri Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35813.3.6 Tensor Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

14 Kumpulan Rumus-rumus 36314.1 Medan dan Persamaan yang Berkaitan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36314.2 Konstanta Materi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36414.3 Relasi Energi dan Gaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36414.4 Rambatan Cahaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36514.5 Istilah-istilah Elektroteknik: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36714.6 Relasi Energi dan Gaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36714.7 Tabel Konversi Satuan SI ke Satuan Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Bab 1

Muatan Listrik dan Medan Elektrostatikdi Vakuum

1.1 Muatan Listrik dan Muatan Kuantum Elementer

Jika sebatang penggaris besi digosokkan pada bulu kucing, maka kedua benda tersebut akanberubah sesuai dengan keadaan karakteristik masing-masing, di mana perubahan tersebut dapatdibuktikan apabila masing-masing diletakkan di dekat potongan-potongan kecil (partikel) ringan,misalnya kertas, menyebabkan partikel-partikel tersebut akan bergerak-gerak. Dikatakan bahwapenggaris dan bulu, karena gesekan menjadi bersifat ”‘listrik”’, keduanya mengandung muatanlistrik. Berdasarkan pengalaman muatan-muatan listrik yang terdapat pada penggaris, maupun bulukucing tersebut tidak ”‘terikat”’ kuat pada masing-masing bahan, melainkan jika masing-masingbahan ditempelkan pada bahan lainnya, muatan tersebut dapat berpindah (ditransfer). Timbulnyamuatan listrik tidak hanya berkaitan dengan gesekan semata, akan tetapi misalnya muatan dapatpula timbul jika sebuah batang logam ditempelkan pada salah satu kutub elemen galvanis.

Dua benda bermuatan saling mengalami gaya karena satu dan lainnya. Gaya yang timbul inidapat digunakan untuk mengukur muatan, misalnya dengan menggunakan motor listrik atau elek-tromotor .. Berdasarkan pengalaman, pengukuran yang dilakukan seperti ini, khususnya dalamperistiwa transfer muatan berbeda yaang terjadi dalam waktu bersamaan ke dalam perkakas terse-but, menghasilkan kesimpulan bahwa muatan mempunyai tanda yang berbeda dan jika keduanya salingbertemu dapat dijumlahkan menurut aturan aljabar biasa. Karenanya pula dapat diidentifikasibahwa tanda muatan yang timbul pada bulu kucing adalah positif, sedangkan pada penggaris logamadalah negatif.Hukum kekekalan Muatan:Muatan yang terdapat pada suatu sistem tertutup selalu konstan. Muatan tidak dapat diciptakanatau dilenyapkan, kecuali jika terdapat muatan yang sama besar dan belawanan tanda. Denganmenggosokkan batang penggaris logam pada bulu kucing, maka pada masing-masing bahan akanmuncul muatan berbeda tanda dan jumlahnya akan tetap sama. Dengan perkataan lain dapatdikatakan bahwa sebelum dan setelah digosokkan, jumlah kedua muatan pada masing-masing bahanakan sama.

Pandangan mendalam tentang fenomena listrik dan magnet di dalam materi, seperti pengertian

1

2 BAB 1. MUATAN LISTRIK DAN MEDAN ELEKTROSTATIK

tentang peristiwa yang terjadi pada berkas partikel bermuatan, diperlukan pengetahuan yang diban-gun dari berbagai macam percobaan, sehingga akhirnya muncul suatu kesimpulan bahwa muatan,seperti halnya bentuk materi lainnya, mempunyai ”‘struktur”’ tertentu, dan diketahui pula bahwaterdapat bagian terkecil dari muatan yang tidak dapat dibagi-bagi lagi. Muatan terkecil ini disebutsebagai muatan kuantum elementer. Muatan elementer ini selanjutnya disimbolkan sebagai e danberlaku:

e = 1, 6 · 10−19 C. (1.1.1)

Bagaimana muatan diukur ?Pembuktian pertama tentang adanya muatan elementer adalah berdasarkan percobaan Faraday ten-tang elektrolisa: dengan mengalirkan aliran listrik pada elektroda yang dicelupkan ke dalam larutangaram (misalnya larutan CuSO4, AgNO3), pada katode akan terdapat endapan logam (Cu atau Ag).Logam yang diendapkan ini berasal dari larutan yang mengalami pemisahan dan dipindahkan keelektroda negatif. (mengapa ?); dalam peristiwa elektrolisa tersebut Faraday juga berhasil membuk-tikan bahwa dalam 1 ol logam yang diendapkan (valensi 1) terdapat muatan sebanyak 96487 C(disebut sebagai konstanta Faraday F, dimensi [C/ol]) . Jumlah atom yang terdapat di dalam 1 olsuatu zat adalah sebanyak bilanganAvogadro 6, 02 ·1023 atom/mol L. . Selanjutnya Faraday menyim-pulkan bahwa jumlah muatan (positif) yang dipindahkan sesuai dengan materi yang dipindahkanke katode dan perbandingan F/L = e selalu mempunyai harga yang sama untuk sembarang logamyang dapat digunakan dalam percobaan elektrolisa. Kenyataan ini untuk pertama kalinya, padatahun 1881, dapat dijelaskan oleh G. J. Stoney dan H. v. Helmholtz. Sementara penentuan harga eseperti di atas, dengan berjalannya waktu dikembangkan pula berbagai pengukuran lainnya, baikpengukuran langsung atau tidak, antara lain: Percobaan tetesan munyak oleh R. A. Milikan (oildrops experiment), atau pecobaan pengukuran harga e yang diperkenalkan oleh E. Regener, denganmenggunakan sinar α. Untuk mengetahui lebih rinci tentang berbagai percobaan penentuan hargae, silahkan baca buku-buku fisika eksperimen lainnya.

Justru pengamatan berkas bermuatan, selain dapat diungkap adanya karakter atomistik muatan,secara langsung dapat pula diketahui sifat pembawa muatan tersebut. Karakter muatan demikianterdapat pula pada peristiwa peluruhan radioaktif yang memancarkan sinar α; berkas atau sinar αini tidak lain merupakan atom He yang memiliki muatan positif dan negatif, selain itu diketahuipula bahwa setiap partikel α mempunyai muatan sebanyak 2 e. Hal yang analog juga diamati padapercobaan berkas ion buatan, di mana dilakukan percobaan menggunakan sebuah tabung gelas yangdiisi gas bertekanan rendah, dengan kedua ujung gelas diberikan medan listrik. Karena adanyamedan tersebut, partikel-partikel akan mengalami tumbukan sesamanya sehingga menimbulkanion-ion yang dipercepat ke salah satu elektroda. Melalui kanal-kanal di elektroda berkas-berkastersebut dapat dilewatkan ke dalam suatu ruang untuk dideteksi. Percobaan ini, sesuai dengannama penemunya, E. Goldstein, disebut sebagai berkas kanal. Percobaan ini, seperti halnya padaperistiwa elektrolisa, berkaitan dengan pemindahan (transport) materi; hal ini dibuktikan denganadanya endapan materi pada layar tempat berkas dijatuhkan.

Sebaliknya pada percobaan di atas, apabila tabung gelas dibuat menjadi vakuum tinggi (keduaujung tabung diberikan elektroda), di mana salah satu elektroda, yaitu katoda, dipanaskan padatemperatur tinggi; dengan memberikan tegangan pada kedua elektroda diamati adanya aliran arusdi dalam tabung, tanpa mengubah sedikitpun sifat kimia katode maupun anode. Berkas yangberasal dari katode (berkas sinar katode) yang membawa muatan listrik ini lebih rinci lagi dapat

1.1. MUATAN LISTRIK DAN MUATAN KUANTUM ELEMENTER 3

diperiksa dengan menggunakan medan magnet (lihat § 1.2 dan § 5.1). Di dalam medan magnet berkasmengalami pembelokan. Arus yang dapat diukur dari percobaan ini pembawa muatan bermassa1840 kali lebih kecil dari massa atom terkecil, hidrogen, dan bermuatan −e. ”‘Benda”’pembawamuatan ini selanjutnya dinamakan elektron. Elektron tersebut juga diketahui terdapat pada berkasradioaktif alamiah (sinar β), demikian pula pada bahan-bahan radioaktif pemancar β buatan, selainitu juga terdapat pemancar β bermassa sama dengan elektron akan tetapi bermuatan +e. Partikelini disebut sebagai positron; dalam elektrodinamika khususnya, karena partikel ini memiliki waktuhidup yang sangat pendek di dalam materi, dianggap tidak mempunyai peran penting.

Elektron berperan penting dalam Fisika Atom: Berdasarkan E. Rutherford diketahui bahwa setiapatom mengandung inti atom yang berat, di mana seluruh massa atom terkonsentrasi di dalamnya danjuga terdiri dari sejumlah elektron yang mengelilingi intinya. Jumlah elektron sebanyak Z disebutsebagai nomor atom; nomor atom sangat menentukan sifat fisis dan kimiawi dari suatu atom. Nomoratom juga menentukan letak unsur di dalam susunan sistem berkala, dengan nomor atom awal Z = 1.

Karena atom secara keseluruhan adalah bermuatan netral, maka inti atom haruslah mempunyaimuatan sebanyak berlawanan fari jumlah muatan elektron −Z e di dalamnya, yaitu +Z e, agarmuatan atom dapat terkompensasi sehingga sebagai atom netral.

Penjelasan lebih rinci tentang konsep dan fenomena fisika atom diberikan pada buku II; di sinihanya diberikan beberapa hal mendasar tentang bangun atom. Akan tetapi tidak dapat dielak lagi,bahwa dalam buku I ini diberikan sifat-sifat listrik dan magnet masing-masing atom pembentukmateri.

Sebelum kembali pada permulaan pembahasan inti dalam bab ini, patut pula dicatat bahwa dalambanyak hal seringkali cukup hanya dipandang muatan total dari suatu benda terisolasi. Tetapi tidakjarang pula diperlukan perhitungan secara eksak distribusi muatan yang terdapat di dalam atau dipermukaan suatu benda. Karena struktur atomistik kelistrikan, maka pengetahuan tersebut secaramendasar menjadi tajuk khusus dalam teori elektron, seperti telah dikatakan pada pendahuluan bukuini, penjelasan tersebut berkaitan dengan medan dan pengaruhnya, serta struktur yang terdapatdi dalam materi. Distribusi muatan, baik yang terdapat di dalam volume, maupun di permukaandianggap sebagai harga rata-rata muatan yang ada.Bagaimana distribusi muatan di dalam dan atau di permukaan benda ?Berdasarkan Lorentz, sebagai pendekatan dianggap bahwa muatan e j terdapat di dalam sebuah bolaberukuran kecil dan bervolume dv.Bagaimana distribusi muatan di dalam ruang ?:Pendekatan sederhana menurut pandangan Lorentz adalah: anggap bahwa di dalam suatu bola kecilbervolume δv terdapat sejumlah muatan, masing-masing sebesar e j; tiap muatan berada pada posisi~r j terhadap titik acuan (anggap titik tengah bola). Seandainya muatan total bola δQ, maka

δQ = δv%(~r) =∑

e j. (1.1.2)

Apabila untuk harga volume yang terlalu besar atau terlalu kecil dianggap bahwa harga %(~r) tidakberubah, atau paling tidak berharga mendekati konstan. Besaran %(~r) ini selanjutnya disebut sebagaikerapatan muatan ruang. Dari sudut pandang teori elektron %(~r) dianggap harga rata-rata, yaitu %(~r);akan tetapi biasanya ditulis tanpa garis. Penulisan muatan yang terdapat di dalam ruang biasanyadinyatakan sebagai:

%(~r) =∑

e j δ(~r −~r j). (1.1.3)


dengan δ(~r − ~r j) disebut sebagai fungsi delta Dirac (3-dimensi). Kerapatan muatan ditulis denganfungsi ini mempunyai arti bahwa muatan hanya terdistribusi di dalam ruang yang terbatas. Fungsiini merupakan fungsi singular, berarti bahwa di seluruh tempat di ruang tidak terdapat muatan,kecuali hanya pada~r = ~r j. Sehingga integrasi fungsi ini untuk seluruh ruang memenuhi:∫

δ(~r −~r j) = 1 (1.1.4)

Pers[1.1.3] dapat pula ditulis dalam bentuk integral terhadap seluruh volume δv:∫%(~r) δv =

∑r jdidlm.δv

e j = %(~r) δv

yaitu sesuai dengan pers[1.1.2].

Distribusi muatan di permukaan dapat dicari dengan cara analog seperti di atas. Jika dianggap bahwakerapatan muatan permukaan sebagai σ(~r) terdistribusi di seluruh permukaan dengan luas δ f , maka:

δ f σ(~r) =∑

e j, (1.1.5)

dalam hal ini jumlah muatan∑

e j seluruh muatan di permukaan benda dibatasi oleh δ f yang terdapatpada jarak~r terhadap suatu titik acuan.Berapa besar ukuran δ f atau δv yang digunakan dalam eksperimen ?Biasanya dipakai hingga ukuran µ (10−6 m). Sementara untuk logam digunakan tidak lebih besardari kedalaman 10−2 µ, atau sekitar 100 Å.

1.2 Kuat Medan Listrik dan Potensial

Bagaimana adanya pengaruh medan gaya listrik pada muatan dirumuskan ?Muatan-muatan saling mengerjakan gaya satu sama lain. Pengaruh gaya pada suatu muatan

karena muatan lainnya dapat dinyatakan dalam ketergantungan terhadap besarnya muatan yangbersangkutan dan jarak antaranya, seperti teori pengaruh jangkau jauh yang dikembangkan sebelumFaraday dan Maxwell. Akan tetapi pengaruh gaya ini dapat pula dikembangkan dari medan listrikyang terdapat di sekitar setiap benda bermuatan, seperti halnya medan gaya gravitasi bumi, dalamhal ini pada titik yang menjadi perhatian dianggap terdapat muatan, walau sebenarnya muatantersebut tidak ada. Rumusan medan gaya listrik yang dianggap sebagai penyebab adanya gayasekaligus menentang teori pengaruh jangkau jauh. Rumusan medan dari Faraday dan Maxwelldidasari pada kenyataan sbb: Gaya ~F(~r) yang bekerja pada sebuah muatan test e yang terletak padasuatu tempat sejauh~r (anggap benda test berbentuk bola berukuran sangat kecil yang diberi muatan)dan berasal dari suatu muatan lain adalah sebanding dengan muatan test e ybs :

~F = e ~E (1.2.1)

1.2. KUAT MEDAN LISTRIK DAN POTENSIAL 5

dengan ~E(~r) merupakan kuat medan listrik yang menimbulkan gaya tidak bergantung pada jarak dimana muatan test ditempatkan. Kuat medan listrik ini oleh Maxwell dikarakteristikkan sebagaivektor yang secara realitas tidak bergantung pada adanya muatan test.

Apakah pers[1.2.1] berlaku secara umum ?

Pers[1.2.1] tentunya tidak berlaku secara umum; persamaan ini tidak berlaku seandainya muatantest berada sangat dekat dengan benda bermuatan (yang menyebabkan timbulnya medan) ataubenda tidak bermuatan lain. Harga gaya akan semakin besar jika muatan test terlalu besar. Dalamhal ini harus diperhatikan pula bahwa muatan test tidak boleh menyebabkan perubahan medanyang ada di dalam ruang bersangkutan. Persamaan ini juga tidak berlaku seandainya kuat medanlistrik sangat sensitif (berubah) terhadap jarak, yaitu gaya akan semakin besar jika semakin besarpula muatan test. Nantinya akan dibahas lebih rinci pada § 1.7.

Apa yang terjadi jika gaya menggeser muatan ?

Jika sebuah muatan e karena gaya~F mengalami pergeseran sejauh d~r, maka berdasarkan mekanikadikatakan bahwa gaya menyebabkan kerja sebesar ~F·d~r = e~Ed~r. Jika muatan mengalami pergeseranposisi dari tempat 1 ke 2, maka kerja yang terdapat dalam perpindahan tersebut adalah

K12 =

2∫1

~F · d~r = e

2∫1

~E · d~r. (1.2.2)

Kerja dari medan elektrostatik ini adalah analog dengan kerja pada mekanika, tidak bergantung padajalan (lintasan) yang ditempuh 1 dan 2, sehingga dapat disimpulkan sebagai integral tertutup sbb:

2∮1

~F · d~r = e

2∮1

~E · d~r = 0. (1.2.3)

Berdasarkan hukum kekekalan energi dalam mekanika diketahui bahwa kuat medan listrik ini tidaklain sama dengan minus gradien suatu fungsi tempat dari energi potensial, atau dengan perkataanlain medan listrik dalam energi potensial dapat ditulis sbb:

~E = −gradϕ ≡ −~∇ϕ. (1.2.4)

Bagaimana penurunan medan listrik sehingga dapat dinyatakan sebagai gradien energi potensial ?

Pengertian Fisika apa yang ada di sebalik itu ?ϕ disebut sebagai potensial skalar listrik. yaitu sebagai energi potensial dibagi dengan muatan e:

K12 = V12 =

2∫1

~E · d~r = ϕ1 − ϕ2, (1.2.5)


perbedaan potensial antara 1 dan 2 disebut pula sebagai tegangan listrik. Selanjutnya pandangpers[1.2.3] dan [1.2.4] yang mengandung ramalan tentang kuat medan listrik ~E di dalam medanelektrostatik: Sebagai gradien dari ϕ garis-garis kuat medan haruslah tanpa tidak ”‘turbulen”’:∮

~E · d~r atau ~∇ × ~E = 0. (1.2.6)

Persamaan di atas tidak lain merupakan persamaan pertama dan keempat dari persamaan Maxwelluntuk medan elektromagnetik, khhususnya untuk medan elektrostatik.

Mengapa disebut medan elektrostatik ?

Bagaimana kerja dinyatakan dalam tegangan ?

Diketahui bahwa e V12 = e(ϕ1 − ϕ2) sama dengan kerja yang terdapat pada sebuah muatan teste sehingga berpindah dari posisi 1 ke 2, yang tidak lain sama dengan penurunan energi potensialyang dipunyai muatan e di dalam medan elektrostatik. Agak berbeda dengan kerja yang dibutuhkanuntuk memindahkan muatan test e dari posisi 1 ke 2, yaitu: −e V12 = e(ϕ2−ϕ1). Jika muatan bergerakdengan sendirinya dari 1 ke 2, maka akan diperoleh persamaan gerak untuk titik muatan test e:

md~vdt= e ~E, (1.2.7)

Bagaimana hubungan kerja dengan hukum kekekalan energi ?Berdasarkan hukum kekekalan energi, maka kerja yang terdapat pada muatan test ini tidak lain samadengan energi kinetiknya:

(mv2

2

)2−

(mv2

2

)1= e

2∫1

~E · ~vdt = e

2∫1

~E · d~r = e(ϕ1 − ϕ2). (1.2.8)

Berikan berbagai contoh penggunaan rumusan di atas!Sebagai contoh: energi kinetik sebuah berkas sinat katode yang pada mulanya partikel (elektron)berada dalam keadaan diam, kemudian jika antara dua elektrode diberikan medan, elektron akanbergerak dipercepat oleh medan dan energinya sama dengan muatan elektron dikali dengan bedapotensial atau tegangan yang diberikan antara dua elektrode tersebut.

Jika ~E = ~E(~r) diketahui, maka gerak partikel bermuatan dapat dicari dengan jalan mengintegrasipers[1.2.7].

Bagaimana bentuk lintasan partikel bermuatan di dalam medan ?Jika medan listrik konstan, maka partikel bermuatan akan bergerak persis seperti massa di dalammedan gaya gravitasi, dengan lintasan berbentuk parabola:

~v = ~v + e ~Etm

~r = ~r + ~v t + e ~Et2

2m, (1.2.9)

1.3. HUKUM COULOMB 7

dengan ~v dan~r sebagai kecepatan dan posisi awal partikel.

Bagaimana persamaan lintasan seperti di atas dalam koordinat Cartesian, jika dianggap medanberada searah sumbu−z dan gerak berada di bindang x − z ?

x = c + vxt, y = y, z = z + vzt + e E t2/2m. (1.2.10)

Bagaimana mencari kurva gerak ?Kurva gerak dapat dicari dengan mengeliminasi t pada persamaan di atas: sehingga diperoleh kurvaparabol yang terbuka ke arah sumbu−z positif.

Cari satuan muatan, medan, energi dan potensial atau tegangan !

Muatan : 1 C = 1 A · detKuatmedanlistrik : 1 V/m

Energi,kerja : 1 1 kg ·m2/det2 = 1 J = 1 WdetPotensial : 1 V = 1 W · det/C = 1 W/A (1.2.11)

Apa yang dimaksud dengan 1 elektron Volt (1 eV) ?1 eV adalah sama dengan energi yang dibutuhkan satu satuan muatan elektron−e untuk bergerak

di dalam medan listrik sebesar 1 V/m dengan beda tegangan 1 V:

|eV12V| = 1, 602 · 10−19 CV = 1, 602 · 10−19 W · det.

1.3 Hukum Coulomb

Di sini akan dibahas pengaruh medan pada muatan. Salah satu hal terpenting dalam pelajaranteori medan yang dikemukakan Faraday adalah hukum bf Coulomb: yait gaya yang terdapat antaradua titik muatan 1 dan 2 yang masing-masing dipisahkan oleh jarak ~r, keduanya terdapat di dalamruang vakuum (tidak mengandung appun selain dua muatan tersebut). Misalkan kedua bendaadalah muatan test (seperti anggapan pada § 1.2) dan gaya yang terdapat diantara keduanya adalah:

F = fe1 e2

r(1.3.1)

Kapan terjadi gaya tarik menarik dan kapan tolak menolak ?Jika muatan bertanda berbeda, terjadi gaya tarik menari, sebaliknya keduanya mengalami tolakmenolak. Faktor f adalah konstanta alamiah.Mengapa disebut konstanta alamiah ?f tidak bergantung pada besarnya muatan, jarak benda. Harganya bergantung pada pemilihansatuan. f = 1/4πε. ε diberikan sebagai:

ε = 8, 8543 · 10−12 A · detV ·m

≈1

4π9 · 109A · detV ·m

(1.3.2)


disebut sebagai konstanta dielektrisitas medium vakuum. Sehingga gaya dapat ditulis kembali menjadi:

F =e1 e2

4πεr2 . (1.3.3)

atau dalam notasi vektor dengan ~F12 = −~F21 sebagai gaya yang bekerja pada muatan kedua karenamuatan pertama dan sebaliknya, dengan~r12 = −~r21.

~F12 =e1 e2~r12

4πεr312

. (1.3.4)

Secara fisis pers[1.3.3] dan [1.3.4] dapat digunakan dalam pengertian satuan muatan yang lain,yaitu sistem satuan Gauss, secara sederhana ditulis tanpa faktor f sbb:

F =e∗1 e∗2r2 . (1.3.5)

e∗1 dan e∗2 dalam satuan Gauss (analog dengan sistem cgs). Terdapat 4 satuan dasar untuk F dan r darisistem satuan SI yang dapat dihubungkan ke sistem Gauss, tanpa merubah arti fisis masing-masingbesaran; r dalam SI dinyatakan dalam m dan dalam sistem lainnya cm. Hubungan antara e∗ dan edapat ditulis sbb:

e∗2 = e2/4πε, berarti e∗ = e/√

4πε. (1.3.6)

Dari hubungan ini dapat dilakukan perhitungan satuan:

e∗ ≈ 1 C ·√

9 · 109 V ·m ·A · det =√

9 · 109 W · det ·m = 3 · 109 √erg · cm;

dengan demikian muatan elementer 1, 602 · 10−19 C dalam satuan Gauss adalah:

e∗ = 4, 80 · 10−10 √erg · cm = 4, 80 · 10−10 √satuan cgs Gauss.

Bagaimana rumusan medan listrik dengan gaya demikian ?Dari rumusan Faraday dan Maxwell hukum Coulomb pada pers[1.3.4] dapat dinyatakan sbb:Suatu titik muatan diam e akan menimbulkan medan ~E di seklilingnya yang besar dan arahnyadinyatakan sbb:

~E =e~r

4πεr3 atau ~E =e

4πεr2~r, (1.3.7)

dengan r = ~r/|~r| sebagai vektor satuan pada arah~r.Dalam hal ini~r dianggap sebagai vektor dari titikacuan nol di mana terdapat titik muatan ybs. Medan ini berdasarkan § 1.2 adalah bebas ”‘turbulensi”’,sehingga dari pers[1.2.4] medan ini tidak lain sebagai gradien dari potensial

ϕ =e

4πεr. (1.3.8)

Apa arti ϕ demikian ?Faktor konstanta integrasi yang muncul dalam mencari harga potensial ini dihilangkan, yaitu jikadianggap bahwa potensial pada titik yang berjarak tak berhingga sama dengan nol. Permukaan

1.3. HUKUM COULOMB 9

ϕ =konstan dalam hal ini adalah sebagai permukaan bola yang melingkupi titik muatan yang beradadi pusat bola tersebut dan disebut sebagai permukaan ekuipotensial. .Apa arti medan ~E dalam hubungan ini ?Medan ~E selalu terletak tegak lurus terhadap permukaan ekuipotensial !Mengapa ?Karena medan tidak lain sebagai gradien dari potensial ybs., sesuai dengan pers[1.3.7] dengan arahsesuai dengan arah jari-jari~r dan besarnya adalah sama dengan E = e/4πεr2.

Pers[1.3.7] dan [1.3.8] juga berlaku (sebagai pendekatan) muatan yang bergerak selama kecepatan-nya v kecil dibanding dengan kecepatan cahaya c. Bagaimana munculnya hubungan v dalam ukuranc akan dibahas pada pelajaran gelombang elektromagnetik § 9.1.Bagaimana persamaan medan jika terdapat sistem mengandung sejumlah muatan ?Misalkan di dalam sistem terdapat muatan e1, e2, e2, · · · , eh, masing-masing terletak pada~r1, ~r2, ~r3, · · · , ~rh terhadap titik acuan.

Bagaimana medan total dalam sistem ini ?Medan-medan yang disebabkan oleh masing-masing muatan dapat dicari berdasarkan penambahanvektor. Jika dilakukan penambahan untuk semua titik muatan, diperoleh:

~E(~r) =1ε

h∑i=1

e j~r −~r j

|~r −~r j|3,

ϕ(~r) =1ε

h∑i=1

e j1

|~r −~r j|. (1.3.9)

Apabila di dalam suatu elemen volume δv benda terdapat muatan titik yang sangat rapat satu samalainnya sedemikian, sehingga dapat dianggap mempunyai kerapatan muatan rata-rata % dan muatantotal δQ, seperti dinyatakan pada pers[1.1.2], maka pers[1.3.9] dapat dinyatakan dalam bentuk sbb:

~E(~r) =1ε

∫∫∫%(~r′) dv′

~r −~r′

|~r −~r′|3,

ϕ(~r) =1ε

∫∫∫%(~r′) dv′

|~r −~r′|. (1.3.10)

Apakah %(~r′ sama dengan kerapatan rata-rata ?Dalam hal ini %(~r′) bukan kerapatan rata-rata muatan yang terdapat di dalam benda, melainkankerapatan muatan sebenarnya.

Demikian pula halnya jika muatan terdapat sangat rapat di permukaan suatu benda (elemen luaspermukaan dA), sesuai dengan kerapatan yang diberikan pada pers[1.1.5], maka kuat medan danpotensial listrik dapat dinyatakan dalam:

~E(~r) =1ε

∫∫σ(~r′) dA′

~r −~r′

|~r −~r′|3,

ϕ(~r) =1ε

∫∫σ(~r′) dA′

|~r −~r′|. (1.3.11)


Contoh-1 :Misalkan di permukaan x − y terdapat kerapatan muatan σ. Karena sifat simetri, medan Ex dan Eyakan saling menghilangkan, sehingga hanya terdapat medan pada arah sumbu−z, Ez, yaitu medan⊥ terhadap bidang x − y di mana muatan berada. Sehingga medan listrik yang terdapat di titik (0, 0,z) dengan sumber terletak di (x′ = r′ cosϕ′, y′ = r′ sinϕ′, z′ = 0) adalah

Ez =σ

4πε

∫∫z dx′ dy′√

z2 + x′2 + y′23

=σz

4πε

∫∫r′dr′ dφ′√

z2 + r′23

=σz

2ε|z|. (1.3.12)

Atau Ez = +σ/2ε untuk z > 0 dan Ez = −σ/2ε untuk z < 0, bergantung pada permukaan mana (atasdan bawah) medan dihitung.Bagaimana dengan potensial listriknya ?Dengan cara analog diperoleh pula potensial:

ϕ = −σ|z|2ε+ konstanta. (1.3.13)

Dalam hal ini harga konstanta tidak begitu penting, secara formal harganya akan∞. Dasar mengapaharga potensial tidak nol, dalam pengandaian pada pers[1.3.8] dianggap bahwa potensial titikmuatan berhaga nol pada jarak tak berhingga, akan tetapi dalam kasus ini berhubungan denganmuatan yang sangat besar, sehingga muatan di titik tak berhingga masih mungkin tidak berharga nol.

Contoh-2 :Untuk dua permukaan yang saling paralel, masing-masing bermuatan +σ dan −σ akan terdapatmedan listrik yang saling menguatkan satu sama lainnya pada darah di antara keduanya, yaitu sebe-sar E = σ/ε, sementara pada daerah di luar itu akan terdapat medan yang saling menghilangkan.Hal ini mirip pada plat kondensator. Terdapat gangguan medan pada daerah sisi plat, karena ter-batasnya ukuran plat, yang biasanya dalam perhitungan tidak diabaikan, selama tebal kondensatord kecil dibanding dimensi plat. Dalam hal ini muatan total yang terdapat pada plat adalah Q = σA,sementara tegangan antara keduanya adalah sebesar ϕ1 − ϕ2 = σd/ε. Dari muatan dan teganganpada plat dapat dicari hubungan antara Q dan V melalui perbandingan harga Q/V:

C =QV= ε

Ad, (1.3.14)

perbandingan Q/V disebut sebagai kapasitas, dimensinya A det/V yang disebut juga sebagai farad F.

1.4 Garis-garis Gaya Medan Listrik

Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa medan disebabkan oleh muatan dan muatan da-pat terdiri dari muatan titik atau muatan yang terdistribusi di dalam suatu volume atau di permukaan.

1.4. GARIS-GARIS GAYA MEDAN LISTRIK 11

Jika distribusi muatan diketahui, medan listrik dan potensial seperti diberikan pada pers[1.3.9],[1.3.10] dan [1.3.11] lebih praktis dihitung dengan mudah melalui apa yang disebut sebagai hukumgaris-garis gaya medan listrik atau hukum Gauss, dibandingkan harus menghitung dengan cara lain.Hukum ini memberikan gambaran persamaan Maxwell kedua untuk medan elektromagnetik.

Perhatikan persamaan integral berikut ini:

Φ =

∫ ∫A

un dA, (1.4.1)

Dengan dA adalah elemen luas permukaan A yang mempunyai arah sesuai dengan vektor normal ~ndan un adalah komponen vektor ~u(~r) pada arah yang sama. Besaran Φ disebut sebagai jumlah garis-garis gaya vektor ~u(~r) yang melewati permukaan A (un ⊥ A). Rumusan ini analog atau diambil darirumusan pada hidrodinamika, yaitu Φ untuk kasus ~u = %~v (% = kerapatan massa dan ~v =kecepatanzat cair) adalah sama dengan debit (jumlah) zat cair dalam satuan waktu yang melewati permukaanA yang mempunyai arah sama dengan vektor normal permukaan luas ~n dan pada saat t di dalamsebuah selinder terdapat pergeseran sejumlah zat cair pada arah~v dan panjang (zat cair yang bergeser)sejauh vndt.Apa yang dimaksud dengan garis gaya medan listrik dan gambarkan garis-garis gaya tersebut yangberasal dari satu titik muatan positif dan negatif !Analog pada peristiwa perpindahan fluks zat cair, dalam pembahasan ini berhubungan dengan fluks(”‘aliran”’) medan listrik atau disebut pula sebagai garis-garis gaya medan listrik yang menembuspermukaan tertutup A dan diberikan sebagai:

Φel =⊂⊃

∫∫En dA. (1.4.2)

Dalam hal ini garis-garis gaya yang dimaksud adalah yang keluar daerah tertutup V pada arah ~n.

Contoh-3:Untuk kasus hukum Coulomb (pers[1.3.7]) garis-garis gaya medan listrik yang berasal dari suatumuattan titik e yang terdapat ditengah-tengah bola berjari-jari r adalah

⊂⊃

∫∫En dA = 4πr2 E =

eε.

Akan diperoleh pula harga yang sama untuk permukaan yang melingkupi muatan. maka berlaku

⊂⊃

∫∫En dA =

14πε

⊂⊃

∫∫er2 cos(~r, ~n) dA =

14πε

⊂⊃

∫∫er2 r2 dΩ;

dΩ adalah elemen sudut ruang, di mana melalui elemen luas dA muatan e dilihat ataur2dΩ =dA cos(~r, ~n).Bagaimana seandainya permukaan tidak menutupi muatan ?Apabila permukaan ini tidak menutupi muatan, atau dengan perkataan lain muatan terletak diluar permukaan tertutup, maka integral ini akan berharga nol. Kerucut yang dibentuk oleh sudutruang dΩ tidak atau akan memotong permukaan pada dua, empat dst. bidang potong dan untuk


kedua permukaan potong ini, karena perbedaan tanda dari cos(~r, ~n), berlaku: (EndA)1 = −(EndA)2 =edΩ/4πε dan karenanya integral keduanya akan saling menghilangkan satu salam lainnya.Berapa besar fluks total garis-garis medan ?Dengan demikian fluks total garis-garis medan listrik untuk muatan titik e adalah

⊂⊃

∫∫En dA =

eε

muatan di dalam permukaan tertutup0 muatan di luar permukaan tertutup.

(1.4.3)

Bagaimana fluks garis-garis medan yang disebabkan oleh sistem titik muatan ?Dari persamaan medan untuk satu titik muatan (pers[1.3.9]) dapat diturunkan persamaan sbb:

⊂⊃

∫∫En dA =

∑e j di dalam V

e j

ε, (1.4.4)

dengan penjumlahan e j hanya untuk muatan yang terdapat di dalam permukaan tertutup (misalkanvolumenya V).Bagaimana fluks garis-garis medan yang disebabkan oleh sistem muatan yang terdistribusi didalam volume atau di suatu permukaan ?

Distribusi muatan permukaan:Untuk muatan yang terdistribusi di dalam volume, fluks garis-garis medan dapat dihitung dengandiketahuinya kerapatan muatan volume rata-rata %:

⊂⊃

∫∫En dA =

1ε

∫∫∫%dv, (1.4.5)

yaitu integral terhadap semua volume bola di mana terdapat distribusi muatan %.

Bagaimana menurunkan persamaan fluks garis-garis medan dalam bentuk persamaan diferensial?Jika ruas kanan pers[1.4.5] diubah dalam bentuk integral Gauss, yaitu

⊂⊃

∫∫En dA =

1ε

∫∫∫~∇ · ~E dv,

dengan

~∇ · ~E = limV→0

1V⊂⊃

∫∫En dA, (1.4.6)

dengan cara demikian diperoleh persamaan fluks dalam bentuk diferensial:

~∇ · ~E =%

ε. (1.4.7)

Pers[1.4.7] tidak lain adalah persamaan Maxwell kedua yang berlaku untuk muatan yang terdapatdi dalam vakuum, bentuk umum persamaan ini akan dibicarakan pada § 2.3.

1.4. GARIS-GARIS GAYA MEDAN LISTRIK 13

Catatan :Pengamatan fluks medan listrik yang agak berbeda dari sebelumnya adalah dengan mengunakanpers[1.1.3]. Secara formal dari pers[1.4.7] akan diperoleh bahwa ~∇·~E akan sama dengan nol di semuatempat, kecuali di~r = ~r j harganya sama dengan tak berhingga besar. Dengan pertimbangan ini dapatdisimpulkan bahwa integral Gauss pada pers[1.4.6] hanya dapat digunakan untuk daerah tertentu,yaitu daerah di mana harga integrand mempunyai harga berhingga. Untuk kasus ini haruslah disembarang tempat di dalam V harganya akan tak berhingga, yaitu di tempat di mana terdapat titikmuatan pada jarak~r j, sehingga dari seluruh batas integral yang ada haruslah dibuat suatu daerah yangsangat kecil infinitisimal dan selanjutnya menggunakan persamaan integral Gauss untuk daerah sisaberbentuk lubang dengan volume V. Kemudian pada daerah V ini, di samping terdapat fluks totalsebesar

∫∫EndA di permukaan luarnya, terdapat pula fluks di bagian permukaan dalamnya. Jumlah

fluks untuk lubang ke j, berdasarkan pers[1.4.3], karena arah normal yang berbeda, maka terdapatjtmlah muatan sebesar −e j/ε. Sehingga persamaan garis-garis gaya medan listrik juga dapat ditulissebagai:

⊂⊃

∫∫En dA −

∑(e j di dlm.) V

=

∫∫∫~∇ · ~E dv.

Berdasarkan rumusan muatan pada pers[1.1.3] di seluruh daerah V berlaku ~∇ ·~E = 0, sehingga akandiperoleh kembali yang sama dengan pers[1.4.4], atau jika ingin dirumuskan dengan divergensidalam integral Gauss diperoleh hubungan

~∇ · ~E =1ε

∑e j δ(~r −~r j). (1.4.8)

Dalam hal ini fungsi delta tidak dilihat mempunyai lebat sangat sempit dan berharga tak berhingga,seperti padap pembahasan yang lalu, melainkan tinggi dan tebalnya justru dianggap berhingga ataudengan perkataan lain dianggap sebagai suatu fungsi yang tetap dengan syarat seperti diberikanpada pers[1.1.4]. Dengan demikian maka integral Gauss dapat digunakan tanpa harus dipikirkan ke-berlakuannya lagi, selama semua fungsi yang berada di luar daerah tersebut berubah sangat lambandibanding dengan fungsi δ sendiri, sehingga syarat pada pers[1.4.5] dapat digunakan tanpa keraguan.

Distribusi muatan permukaan:Untuk kasus distribusi muatan permukaan σ(~r), garis-garis gaya medan listrik dapat dihitung melaluiintegral permukaan tertutup berbentuk kotak, dengan anggapan bahwa tebal permukaan lebih ke-cil dibanding dengan dimensi kedua permukaan yang saling paralel terletak di antara permukaanyang mengandung distribusi muatan permukaan. Bagian di dalam kotak yang mendandung muatandengan luas A dianggap sangat kecil, sehingga dapat dianggap bentuk permukaan datar. Dengandemikian fluks garis-garis gaya hanya berlaku untuk kedua daerah yang memberikan sumbangan,yaitu (En)1A − (En)2A, indeks 1 dan 2 masing-masing menyatakan daerah di atas dan di bawah per-mukaan dengan luas A ybs. dan vektor normal ~n dihitung mempunyai arah positif pada indeks 1. Disamping itu karena tinggi kotak dianggap kecil sekali, sehingga sumbangannya dapat diabaikan un-tuk suatu harga limit tertentu. Maka garus-garis gaya medan listrik E hanya merupakan sumbangandari kedua permukaan komponen normal medan E:

(En)1 A − (En)2 A =σε, (1.4.9)


dalam kasus ini berhubungan dengan perbedaan permukaan.Terlihat bahwa hasil perhitungan pers[1.4.9] di atas sesuai dengan integrasi pers[1.3.12] untuk

permukaan bermuatan. Pengabaian integrasi dalam hal ini adalah karena adanya simetri keduapermukaan, mempunyai harga sama dan komponen normal masing-masing medan pada keduapermukaan adalah saling berlawanan.

Bagaimana medan listrik untuk suatu permukaan bola ?

Contoh-4:Dengan cara analog dapat ditentukan kerapatan fluks dari suatu muatan simetri bola berjari-jari rdan integrasi fluks dapat dicari dengan menggunakan simetri permukaan bola tersebut:

4π r2E(r) =Q(r)ε

, atau E(r) =Q(r)

4πε r2 (1.4.10)

Q(r) adalah jumlah muatan total pada permukaan bola. Misalnya bola mempunyai jari-jari a danmempunyai muatan total sebanyak q, sehingga diperoleh Q = 0 untuk r < a dan Q = q atauE = q/4πεr2 untuk r > a. Dalam hal ini juga terdapat harga medan listrik yang ”‘melompat”’ sesuaiyang pers[1.4.9].

Jika muatan terdistribusi tidak simetri, maka medan dapat dihitung dengan menggunakanpers[1.1.3] atau persamaan fluks garis gaya pada pers[1.4.7], akan tetapi di samping tiga syaratyang terdapat pada persamaan harus pula diambil dua syarat lainnya yang diambila dari hubungan~∇ × ~E = 0, karena syarat tambahan ~∇ · (~∇ × ~E) = 0. Secara sederhana dapat dipandang kembalipers[1.2.4] dengan membuat pers[1.4.7] menjadi persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensialPoisson:

~∇ · ~∇ϕ ≡ ∇2 ϕ = −%

ε(1.4.11)

yang dinyatakan dalam potensial ϕ. Penyelesaian pers[1.4.11] untuk ϕ → 0 pada |r| → ∞ tidak lainakan sama dengan pers[1.3.10].

Catatan:Dalam sistem Gauss persamaan fluks pada pers[1.4.4] dan [1.4.5] adalah:

⊂⊃

∫∫E∗n dA = 4πdikali dengan muatan tertutup.

dengan demikian selain persamaan diferensial dari pers[1.4.7] dan [1.4.11] diperoleh pula

~∇ · ~E∗ = 4π%∗, ∇ϕ∗ = 4π%∗

untuk sistem Gaussian.

1.5 Distribusi Muatan Listrik di dalam Konduktor

Problematik elektrostatika pada umumnya tidak sederhana, bahwa dalam banyak kasus hanyadistribusi muatan yang diketahui dan potensial seperti yang ditulis pada pers[1.3.9], [1.3.10] dan

1.5. DISTRIBUSI MUATAN LISTRIK DI DALAM KONDUKTOR 15

[1.3.11] harus dicari terlebih dahulu. Distribusi muatan listrik pada benda logam dapat ditentukandengan syarat-syarat tertentu, seperti yang akan dibahas di sini.

Logam mempunyai sifat jika ditempelkan pada sebuah benda lain bermuatan, akan terjadiperpindahan muatan dari benda ke logam. Benda-benda yang mempunyai sifat serupa ini secaraumum disebut sebagai penghantar listrik atau konduktor. Klasifikasi benda-benda ini tidak selaludapat dipisahkan dengan jelas.

Bagaimana membedakan benda logam dan bukan logam ?Untuk membedakan benda konduktor dan bukan konduktor adalah erat hubungannya denganlamanya waktu pengamatan. Jika sebuah benda diletakkan di dalam ruang bermedan listrik, makadi dalam benda akan terdapat medan listrik dan medan listrik ini menyebabkan timbulnya aruslistrik di dalam benda. Arus ini mempunyai kecenderungan menimbulkan distribusi muatan dipermukaan benda, yang justru mengkompensasikan timbulnya medan yang terdapat di dalambenda. Jika diperoleh kondisi demikian, maka persoalan elektrostatik yang ada pada fenomena inimenjadi mudah dianalisa; karena medan total yang terdapat di seluruh tempat di dalam benda akanmempunyai harga sama dengan nol.

Apa kemungkinan yang terjadi di dalam fenomena ini ?Dalam kondisi ini terdapat dua kemungkinan hal yang dapat terjadi:

1. Waktu yang dibutuhkan untuk terjadinya keadaan ini kecil dibanding dengan waktu penga-matan (10−6 det.) sehingga medan listrik di seluruh bagian di dalam benda sama dengan noldan benda dinamakan sebagai konduktor;

2. atau waktu yang dibutuhkan amat lambat (dapat berlangsung dalam sehari atau bulan), diikutidengan adanya arus yang kecil dan selama waktu pengamatan tidak ditemukan pengaruhperubahan sama sekali; untuk kasus demikian benda disebut sebagai isolator

Bagaimana pengamatan elektrostatika untuk kenyataan ini ?Dalam pembahasan elektrostatika umumnya dipandang hanya benda ideal, bahwa untuk konduktorsemua medan yang terdapat di dalamnya sama dengan nol, yaitu benda yang mempunyai sifatwaktu pengamatan terjadinya kesetimbangan pada ”‘transfer”’ muatan sangat kecildibandingwaktu pengamatan dan benda yang mempunyai waktu pengamatan sangat panjang.

Adakah benda yang mempunyai sifat antara konduktor dan isolator ?Ada. Benda-benda semacam ini disebut sebagai semikonduktor dan isolator seperti gelas, porselentidak lain adalah sebagai semikonduktor yang jelek.

Bagaimana potensial di dalam konduktor ?Selanjutnya medan yang terdapat di dalam konduktor adalah sama dengan nol. Atau denganperkataan lain: potensial ϕ di dalam konduktor mempunyai harga konstan.

Medan listrik yang ditimbulkan dari batang konduktor berbeda di dalam ruang tanpa materi(vakuum) dan ditulis sbb:

~∇ · ~E = −~∇ · ~∇ϕ ≡ ∇2 ϕ = 0. (1.5.1)


Medan listrik di dalam bahan konduktor sama dengan nol atau potensialnya mempunyai hargakonstan tertentu sbb:

~E = 0, ϕ = ϕi = konstan di dan pada konduktor ke i. (1.5.2)

Bagaimana menentukan garis-garis gayanya ?Karenanya di dalam konduktor tidak terdapat muatan, melainkan hanya di permukaannya. Dariadanya muatan di permukaan konduktor dengan kerapatan σ(r), maka garis-garis medan listrik yangkeluar dari permukaan ini dapat ditentukan sbb:

En =σε. (1.5.3)

dengan ~n adalah vektor normal permukaan konduktor. Dengan demikian pada konduktor ke iterdapat muatan sebesar:

ei = ⊂⊃

∫∫Fi

σdA = ε⊂⊃∫∫

Fi

En dA = −ε ⊂⊃∫∫

Fi

∂ϕ

∂rdA. (1.5.4)

Dari rumusan di atas belum dapat dicari medan E yang berasal dari distribusi muatan permukaankonduktor pers[1.5.3], selanjutnya distribusi muatan ini harus dicari dengan menggunakan distribusimuatan pada pers[1.3.11]. Dalam hal seperti ini problematik fenomena elektrostatik pada konduktordapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan Laplace (pers[1.5.1]), selain itu harus puladiingat syarat tambahan seperti diberikan pada pers[1.5.2], yaitu dengan mencari potensial ϕi untukmasing-masing konduktor ke i atau muatan ei, yang dari kedua macam perhitungan tersebut tentunyadapat diperiksa kembali apakah potensial dan ataupun muatan untuk kedua perhitungan sama atautidak. Dalam perhitungan ini biasanya harga ϕi atau ei dapat ditentukan terlebih dahulu; darikeduanya dapat diperoleh besaran-besaran lain.

Bahwa problem dapat diselesaikan dengan diketahuinya potensial atau muatan, dari persamaanGreen yang dapat diturunkan dari persamaan Gauss (pers[1.4.6]), yaitu dengan menggantikan ~Edengan ϕ: ~E = −~∇ϕ. Karenanya di dalam ruang antara permukaan konduktor dengan luas Aiberlaku ∑

i

⊂⊃

∫∫Fi ϕEn dA = −

∫∫∫~∇(ϕ~E) dv =

∫∫∫E2 dv. (1.5.5)

karena ~∇ · ~E = 0.Misalkan bahwa E(1), ϕ(1),E(2), ϕ(2) adalah penyelesaian medan dan potensial dari persoalan ini;

maka berlaku E(1)− E(2) dan ϕ(1)

− ϕ(2) untuk luas permukaan Ai yaitu ϕ = 0 karena harga ϕiyang telah diketahui atau ϕ , 0, yaitu berharga konstan dan tentunya dengan ⊂⊃

∫∫EndA = 0 karena

telah diketahuinya harga ei. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ruas kiri pers[1.5.5] tetapberharga nol dan agar berlaku pula untuk suku ruas kanan, maka di dalam ruang antara konduktorharuslah E = 0 atau E(1) = E(2).

Dari sudut pandang teori elektron, muatan-miatan ini tidak terdistribusi persis di permukaankonduktor. Hal ini disebabkan pertama, bahwa di dalam teori atom tentang materi tidak dijelaskandengan jelas apa yang dimaksud permukaan, dan juga seandainya jika dalam perhitungan dianggapbahwa permukaan yang membatasi benda adalah sangat licin. Kedua bahwa pembawa muatan tidak

1.6. CONTOH: TEORI POTENSIAL 17

terletak persis di permukaan benda, melainkan terdistribusi pada sautu lapisan tertentu denganketebalan dalam orde 10 Å, sehingga dapat dianggap bahwa semakin dalam jarak menuju pusatbenda terdapat distribusi % yang semakin berkurang, sehingga di dekat permukaan dapat dianggapdistribusi muatan yang berpengaruh hanya σ δ(s) (distribusi muatan permukaan); dalam hal ini δ(s)berdimensi panjang (linier), sebagai ukuran panjang dari fungsi δ Dirac dari permukaan ke bagiandalam benda. Jika % pada pers[1.3.10] digantikan dengan σ δ(s) dan lakukan integrasi terhadap s,maka diperoleh pers[1.3.11].

1.6 Contoh: Teori Potensial

Untuk menyelesaikan persoalan elektrostatika di bawah ini akan dijelaskan beberapa metodeyang menyangkut teori potensial , yang biasanya dibahas dalam berbagai macam literatur. Dalampembahasan di sini hanya akan dipersoalkan beberapa contoh yang sering ditemukan dalammenyelesaiakan persoalan teori elektrostatika.

1.6.1 Kondensator Bola.

Persoalan paling mudah adalah menyelesaikan kasus bola konduktor bermuatan; misalkan terdapatmuatan e dan jari-jari bola adalah a. Dari sifat simetri bola diketahui bahwa kerapatan muatanhomogen di permukaan bola adalah sama dengan:

σ =e

4πεa2 .

Bagaimana mencari potensialnya ?Potensial yang timbul karena adanya medan listrik pada arah radial dapat dicari dengan dasar sifatsimetri bola dengan menggunakan persamaan garis gaya medan listrik, pers[1.4.3] sbb:

E(r) =e

4πεr2 =ϕ(r)

r. atau ϕ(r) =

e4πεr

+ k, (1.6.1)

dengan menganggap untuk sementara bahan konstanta integrasi k sama dengan nol. Tentunya ϕ(r)dari persamaan Laplace (pers[refp1.5.1]) dapat ditentukan, dengan menggunakan koodinat polaruntuk fungsi ϕ yang hanya bergantung pada r:

d2ϕ

dr2 +2r

dϕdr≡

1r

d2ϕ

dr2 = 0 (1.6.2)

dengan solusi umum sbb:

ϕ(r) =Ar+ B, atau juga E(r) =

Ar2 . (1.6.3)

Dalam hal ini konstanta A dapat diketahui dari hukum garis gaya bahwa A = e/4πε, sementara Btetap belum dapat ditentukan.


Berapa besar kapasitansi kapasitor bola ? Jika di bagian luar bola ini terdapat bola lain berjari-jarib > a dengan distribusi muatan dipermukaan (muatan berbeda tanda −e):

σ = −e

4πεb2 .

Maka tegangan antara dua permukaan bola V adalah sama dengan

V = ϕ(a) − ϕ(b) =e

4πε

(1a−

1b

)=

e(b − a)4πε ab

.

Dengan demikian diperoleh kapasitansi kondesator bola C sbb:

C =eV=

4πε abb − a

. (1.6.4)

Berapa besar kapasitansi kapasitor bola jika jarak antara kedua bola diperkecil sehingga samadengan d ?Dengan memperkecil jarak antara dua bola b − a = d akan diperoleh harga kapasitas yang semakinbesar. Sebagai contoh untuk d a, maka dengan pendekatan, pers[1.6.4] menjadi:

C =eV=

4πε a2

d=εA

d, (1.6.5)

dengan A = 4πa2 adalah sebagai luas permukaan kondensator. Hasil perhitungan kapasitas di atasadala sama dengan kapasitas untuk kondensator plat pada pers[1.3.14], hal ini tidak mengherankankarena dianggap d a sangat kecil sehingga lengkungan kondensator dianggap datar, sedangkanpada penurunan pers[refp1.3.14] efek sisi dari kondensator diabaikan.Berapa besar kapasitansi kapasitor bola jika jarak antara kedua bola diperbesar, dianggap bahwadinding bola kedua sama dengan dinding laboratorium ?Sebaliknya jika jarak antara kedua kondensator amat besar, maka pers[1.6.4] dapat ditulis menjadi:

C = 4πε a. (1.6.6)

Dalam kasus ini b dikeluarkan dari persamaan yang juga berlaku seandainya kedua bola adalah iso-lator, maka garis-garis gaya yang keluar dari bola akan lenyap ke dinding laboratorium (permukaankedua dianggap sama dengan dinding lab). Dalam hal ini dapat pula disimpulkan bahwa bolakonduktor atau logam mempunyai kapasitas yang sangat besar seperti diberikan pers[1.6.6].

1.6.2 Elipsoida rotasi.

Pandang sebuah konduktor elipsoida rotasi bermuatan total e.

Bagaimana bentuk medan listrik, potensial dan kapasitansinya ?Penyelesaian persoalan ini dapat diselesaikan hanya untuk bentuk konduktor ybs.:Anggap terdapat garis hubungan antara titik fokus elipsoida yang jaraknya adalah 2c dan mengan-dung muatan total homogen yang besarnya e.


Gambar 1.1: Perhitungan potensial suatu ”lintasan” jarak 2c yang diberi muatan.

Selanjutnya cari permukaan ekuipotensial akibat adanya medan ”‘non turbulen”’ dari elipsoidarotasi konfokal, yaitu potensial yang ditimbulkan oleh muatan e, mirip seperti yang dinyatakan padapers[1.3.10] dan [1.3.11]:

ϕ =e

8πε

+c∫−c

dζr=

e8πε

+c∫−c

dζ√x2 + y2 + (z − ζ)2

, (1.6.7)

ζ adalah jarak titik yang diintegrasi pada sumbu−z diukur dari titik pusat jarak 2c antara dua titikfokus elipsoida dan r adalah jarak titik di mana potensial diukur dari muatan sumber. Integrasiterhadap ζ menghasilkan persamaan:

ϕ = −e

8πε[ln(z − ζ + r)]

∣∣∣∣∣ζ = −cζ = +c

=e

8πεln

(z + c + r1

z − c + r2

), (1.6.8)

r1 dan r2 masing-masing adalah jarak titik di mana potensial diukur terhadap ζ = −c dan ζ = +cyang berada pada garis antara muatan yang ada. Untuk menilik lebih jauh pers[1.6.8], pandangkoordinat elipsoida yang didefinisikan sbb (lihat gbr[1.1]):

r1 + r2 = 2ur1 − r2 = 2v

yx= tan α.

Dari gbr[1.1] dapat dilihat:

r21 = (z + c)2 + h2, r2

2 = (z − c)2 + h2, dengan h2 = x2 + y2.

Dari persamaan ini diperoleh

r1 = u + v, r2 = u − v, cz = uv.

Pandang kembali pers[1.6.8] dengan transformasi koordinat elipsoida, dan v dapat disingkat denganmenggantikan v + c pada persamaan:

ϕ =e

8πεln

(u + cu − c

)= ϕ(u), (1.6.9)


Potensial ini adalah konstan pada u =konstan. Jarak perhitungan potensial ini tidak lain adalah jarakrotasi elipsoid dengan titik-titik hubung adalah titik fokus elipsoida. PAda jarak u c diperolehpendekatan

u + cu − c

≈ 1 +2cu, ln

u + cu − c

≈2cu.

Dalam harga batas ini u praktis sama dengan jarak dari titik acuan, kurva ϕ adalah berubah menjadipotensial titik muatan e secara asimtotis.

Jika dianggap bahwa suatu elipsoida dikelilingi suatu konduktor, dianggap bahwa permukaantersebut merupakan permukaan bola yang terletak di titik tak berhingga terhadap titik acuan, makakondisi ini akan memenuhi persoalan elektrostatika: Medan dalam hal ini tidak ”‘turbulen”’ danbebas sumber, semua garis-garis gaya yang timbul dari elipsoida adalah sama dengan e/ε danpermukaan yang membatasi medan adalah permukaan ekuipotensial. Medan ini telah dibahasdengan rinci pada § 1.5 dan ϕ adalah potensial dari medan yang dicari.

Panjang sumbu panjang a elipsoida yang dipandang sebagai konduktor ini adalah sama denganu dri permukaan ini. Pada elipsoida ini ϕ1 = ϕ(a). Pada permukaan yang sangat jauh tak berhinggaharga potensialϕ2 = 0. Dengan demikian dapat diperoleh kapasitansi elipsoida C yang dicari dengansumbu panjang a, eksentrisitas c dan sumbu pendek b =

√

a2 − c2 sbb:

1C=ϕ1 − ϕ2

e=

18πεc

lna + ca − c

=1

4πε√

a2 − b2ln

a +√

a2 − b2

b. (1.6.10)

Untuk elipsoida yang amat panjang, atau d.p.l. untuk harga b/a yang sangat kecil didapat:

1C=

14πεa

ln2ab.

Kapasitansi di atas tidak lain adalah sama dengan harga kapasitansi kawat dengan panjang 2a dandiameter 2b.

Untuk pembaca yang merasa tidak menyenangi cara peneyelesaian yang diberikan di sini, dapatmenghitung dengan cara yang lebih sistematik lainnya. Cara ini bersangkut-paut dengan penyelesa-ian persamaan Laplace∇2ϕ = 0 untuk ruang tanpa terdapat muatan (vakuum) dengan menggunakankoordinat yang sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Dalam penyelesaian di atas digunakan koor-dinat elipsoida. Kemudian permukaan tersebut terletak pada u = a, sehingga potensial di permukaanharuslah konstan ϕ(u, v, α), sehingga ϕ tidak lagi bergantung pada α dan v. Maka akan diperolehpenyelesaian persamaan Laplace yang di dalam ruang, di luar daerah tersebut tidak bergantungpada α dan v. Persamaan Laplace dalam hal ini dapat direformulasikan kembali dalam koordinatu, v dan α (koordinat elipsoida).

Dalam hal ini pers[1.6.9] dapat dibuktikan dengan mudah, melalui transformasi:

x =1c

√(u2 − c2)(c2 − v2) cos α,

y =1c

√(u2 − c2)(c2 − v2) sin α, (1.6.11)


Maka elemen panjang menjadi:

ds ≡ dx2 + dy2 + dz2,

= (u2− v2)

du2

u2 − c2 +dv2

c2 − v2

+

(u2− c2)(c2

− v2)c2 dα2 (1.6.12)

dan untuk operator Laplace atau untuk persamaan Laplace (lihat § 13.2) diperoleh:

∇2 ϕ =

1u2 − v2

∂∂u

(u2− c2

) ∂ϕ∂u+

(c2− v2

) ∂ϕ∂v

+

c2

(u2 − c2)(c2 − v2)∂2ϕ

∂α2 = 0. (1.6.13)

Penyelesaian yang dicari hanya yang begantung terhadap u. Penyelesaian tersebut adalah (karenau > c) dengan kedua konstanta integrasi A dan B:

ϕ(u) = A lnu + cu − c

+ B. (1.6.14)

Dalam jarak yang cukup jauh dari elipsoida u dari pers[1.6.9] secara pendekatan sama denganr =

√x2 + y2 + z2 terhadap titik acuan 1, logaritma pada pers[1.6.14] secara pendekatan sama dengan

2c/r, sehingga akan didapat bahwa A = e/8πε dan B = 0 untuk potensial Coulomb dari sebuahbola dengan muatan sama dengan e. Dengan demikian maka penyelesaian pers[1.6.14] adalah samadengan pers[1.6.9] yang dicari dengan cara berbeda.

e dalam hal ini dianggap sebagai muatan total yang terdapat pada elipsoida, tidak saja diperolehdari hukum fluks (Gauss), digunakan pada permukaan bola terhadap sebuah benda dengan r a.Cara lain lagi dapat pula dihitung melalui distribusi muatan permkaan yang terdapat pada elipsoida,yaitu dari σ = ε(En)u=a. Dalam hal ini berlaku karena pers[refp1.6.13] dengan elemen jalan (lintasan)ds pada arah normal ~n

(En)u=a = −

(∂ϕ

∂u

)u=a

=

e4πε(u2 − c2)

√u2 − c2

u2 − v2

u=a

(1.6.15)

=e

4πε√

a2 − u2.

Maka kuat medan, tentun juga kerapatan muatan permukaan akan terdapat lebih kuat dan basardi daerah ”‘kutub”’ dari elipsoida (v = ±c) dan paling kecil di daerah ekuator elipsoida (v = 0),yaitu sesuai dengan kenyataan pada suatu permukaan konduktor yang diberi muatan yang denganpenambahan kelengkungan akan bertambah besar (pengaruh ujung).

1Perhatikan suatu daerah batas untuk c → 0, yaitu sebagau peralihan dari elipsoida ke bola, yaitu sesuai denganperalihan koodinat eliptik dengan bola.


Dari pers[1.6.15] diperoleh jumlah muatan total sebesar:

σ =e√

4πb√

a2 − v2

melalui integrasi terhadap seluruh permukaan, yaitu dsv dan dsα yang elemen garisnya terletaksaling tegak lurus satu sama lain pada permukaan ybs. pada koordinat v =konstan (hiperbola rotasi)dan α =konstan (permukaan yang dibentuk melalui sumbu rotasi), maka dari pers[1.6.12] berlaku

dsv =

√a2 − c2

c2 − v2 dv, dsα =ba

√

c3 − v2 dα

demikian pula

dA =∣∣∣d~sv × d~sα

∣∣∣ = bc

√

a2 − v2 dv dα.

Dari perhitungan di atas kenyataannya diperoleh bahwa:

⊂⊃

∫∫σdA =

+c∫−c

dv

2π∫0

dαe

4πb√

a2 − v2=

bc

√

a2 − v2 =e

2c

+c∫−c

dv = e

adalah sama dengan muatan total yang terdapat di dalam elipsoida.

1.6.3 Metode Konformasi.

Cara yang amat berguna untuk menyelesaikan persoalan-persoalan dasar elektrostatika, yaitukhususnya untuk permukaan logam bermuatan berbentuk selinder dan selain itu ruang tidak terda-pat muatan adalah metode konformasi gambar. Dalam kasus ini koordinat ketiga dipilih berada padaselimut selinder di mana terdapat potensial ϕ(x, y), sehingga persamaan Laplace ∇2ϕ = 0 cukupdibuat dalam dua koordinat x, y.

Di sini berlaku teori fungsi berikut: Jika suatu fungsi analitik f (z) dipecah menjadi dua komponen,dengan z = x + iy menjadi komponen real dan imajiner berdasarkan kaedah:

f (z) = f (x + iy) = ϕ(x + y) + iψ(x + y), (1.6.16)

maka komponen real dari fungsi ϕ dan ψ akan memenuhi persamaan sbb:

∇2 ϕ(x, y) =

∂2ϕ

∂x2 +∂2ϕ

∂y2 = 0,

∇2 ψ(x, y) =

∂2ψ

∂x2 +∂2ψ

∂y2 = 0. (1.6.17)

Untuk membuktikannya, pers[1.6.16] diturunkan satu kali terhadap x dan y:

∂ f∂x

=d fdz=∂ϕ

∂x+ i

∂ψ

∂x,

∂ f∂y

= id fdz=∂ϕ

∂y+ i

∂ψ

∂y,


Jika kedua persamaan di atas saling dibandingkan satu sama lainnya, maka akan diperoleh relasiCauchy-Riemann sbb:

∂ϕ

∂x=∂ψ

∂y,

∂ϕ

∂y= −

∂ψ

∂x. (1.6.18)

dengan mengeleminasi ϕ dan ψ akan diperoleh kembali pers[1.6.17].Dalam hal ini ϕ(x, y) dapat dipandang sebagai fungsi potensial elektrostatika, selama fungsi

f (z) dapat dipilih dengan baik, misalkan permukaan ekuipoensial ϕ(x, y) = ϕ1 dan ϕ(x, y) = ϕ2berada di suatu bidang kondensator selinder; sehingga pada kondensator ini terdapat beda potensialsebesar V = ϕ1 − ϕ2. Selain itu permukaan ini memberikan harga bahwa ϕ(x, y) =konstan,yang memberikan arah tegak lurus, atau arah medan listrik sesuai dengan −~∇ϕ pada bidangx − y; karena normal permukaan medan ini dengan arahnya ditentukan oleh −~∇ψ, selalu beradapada arah tegak lurus pada arah dari−~∇ϕ, yang berdasarkan pers[1.6.18] berlaku bahwa−~∇ϕ·~∇ψ = 0.

Sebagai contoh pandang suatu kondensator selinder, terdiri dari dua konduktor berbentuk selin-der yang tersusun secara koaksial dengan jari-jari r1 dan r2 > r1 dan panjang keduanya dianggap amatpanjang. Pada permukaan bagian dalam terdapat muatan e = λL, dengan λ adalah muatan per sat-uan panjang, yang dalam hal ini disebut sebagai muatan (per satuan panjang) spesifik. Berdasarkanhukum garis gaya, bahwa jumlah garis gaya yang menembus bidang antara dua selinder, di mana ter-dapat medan E adalah E(r) = λ/2εr, dengan r =

√x2 + y2. Sehingga pada daerah tersebut terdapat

ppotensial sebesar:

ϕ(r) = ϕ1 −λ

2εln

rr1

juga ϕ2 = ϕ1 −λ

2εln

r2

r1, (1.6.19)

sementara sebagai tegangan dan kapasitansi didapat:

V = ϕ1 − ϕ2 =λ

2εln

r2

r1dan C =

eV=

2εLln(r2/r1)

. (1.6.20)

Dari pers[1.6.19] akan diperoleh secara langsung relasi Cauchy-Riemann pers[1.6.18] sbb:

∂ψ

∂x=

λ2πε

yx2 + y2 ,

∂ψ

∂y= −

λ2πε

xx2 + y2 ,

atauψ = −

λ2πε

arctanyx+ konstanta;

Permukaan potensial ψ =konstan adalah permukaan datar, terletak pada sumbu yang melalui titikx = 0 dan y = 0 dari kondensator selinder. Akhirnya fungsi f (z) dari pers[1.6.16] didapat f (z) sbb:

f (z) =λ

2εln

zz1+ konstanta dengan z = x + iy = r exp

arctan

yx

. (1.6.21)

Sekarang amati suatu konformasi, yaitu gambaran goniometri 2 titik (x, y) di bidang z menjadi titikξ, η di bidang ζ dan sebaliknyam yang diberikan melalui persamaan sbb:

z ≡ x + iy = F(ζ) ≡ F(ξ + iη). (1.6.22)


Gambar 1.2: Gambaran konformasi sebuah kondensator selinder menkjadi kondensator plat.

Sekarang misalkan bahwa di bidang z terdapat suatu susunan A dari konduktor (atau lebih baikjika dikatakan potongan konduktor berbentuk selinder) dan akan diselesaikan persoalan potensial,atau dengan perkataan lain mencari harga potensial ϕ(x, y) yang pada suatu titik di A mempunyaiharga konstan dan memenuhi persamaan Laplace. Misalkan bahwa ϕ adalah suatu fungsi f (z) =ϕ + iψ. Selanjutnya di bidang ζ terdapat suatu susunan B dan akan dicari pula potensial. Dalamhal ini misalkan bahwa z = F(ζ), yang merupakan fungsi pembentuk dari bidang z ke ζ. ataudengan perkataan lain susunan A berubah menjadi B, maka bagian real dari f [F(ζ)] adalah sebagaipotensial yang dicari Φ(ξ, η) tentunya harus memenuhi persamaan Laplace seperti halnya ϕ(x, y)dan berdasarkan definisi terletak pada garis dari B konstan.

Dengan pembentukan gambaran A ke B kapasitansi konduktor tidak akan mengalami peruba-han. Karena pertaman gambaran harga potensial yang diubah tidak mengalami perubahan; keduaberdasarkan relasi Cauchy-Riemann berlaku integral permukaan untuk garis-garis gaya denganmenggunakan f (z) = ϕ + iψ, yang diubah menjadi suatu integral garis pada sebuah kontour dibidang x − y (dengan elemen garis ds):

⊂⊃

∫∫∂ϕ

∂nds =⊂⊃

∫∫ (∂ϕ

∂xdy −

∂ϕ

∂ydx

)=⊂⊃

∫∫ (∂ψ

∂xdy −

∂ψ

∂ydx

)=⊂⊃

∫∫dψ;

dan harga integral garis ini, yang sebanding dengan harga muatan total tertutup, melalui transfor-masi tidak mengalami perubahan.

2Gambaran goniometri diketahui jika pada bidang z yang melalui titik (x, y) terhadap titik yang bertetanggaan selan-jutnya (x+ s cosα, y+ s sinα), yaitu dari z diubah menjadi z+ seiα, dalam hal ini sesuai dengan perubahan bidang ζmenjadiζ + σeiβ. Untuk perubahan ini dari pers[1.6.20] berlaku:

δ z ≡ s eiα =dFδζδ ζ ≡

dFdζ

σ eiβ.

Dari hubungan ini secara langsung dapat diketahui bahwa jika sudut α diperbesar sekitar ε maka sudut β juga akanbertambah juga sebesar ε, sehingga jika digambarkan sebuah sudut pada bidang z, maka besarnya sudut tersebut adalahsama juga yang terdapat pada bidang ζ.

1.7. MUATAN INDUKSI (MUATAN INFLUENSI) 25

Contoh-5:Sebagai contoh pandang gambaran potongan kondensator selinder sbb:

z = r1 e−iζ/a, atau x + iy ≡ r eiα = r1 eη/a e−iζ/a. (1.6.23)

dengan a adalah real positif. Dalam hal ini berlaku (lihat gbr[1.2]):

lingkaran r = r1

pada garis lurus η = 0lingkaran r = r2

pada garis lurus r η = a ln(r2/r1)

dibentuk sesuai menjadi:

azimut α = 0harga ξ ξ = 0azimut α = 2πharga ξ ξ = −2πa.

Melalui gambaran cincin lingkaran pada bidang z yang diberikan melalui r1 ≤ r ≤ r2, diubah menjadigaris segi empat dengan tinggi d = a ln(r1/r2) dan lebar b = 2πa, berarti bahwa selinder (penampang)berbentuk lingkaran yang panjangnya L pada suatu kondensator plat yang dibatasi luas permukaanA = 2πaL. Dengan mengamati harga-harga ini untuk A dan d diperoleh kapasitansi pada pers[1.6.20]yang identik dengan pers[1.6.5] C = εA/d yang tidak lain merupakan kapasitansi untuk kondensatorplat. Khusus untuk distribusi potensial pada bidang ζ berdasarkan (dengan menggunakan singkatanRe untuk bagian atau suku realnya) pers[1.6.21], [1.6.23] dan [1.6.20] diberikan sbb:

Φ = Ref [F(ζ)]

= Re

iλ2πε

ζa

= −

λη

2πεa+ konst.′ = −

V ηa+ konst.′,

sesuai dengan medan listrik homogen E = V/d yang terdapat pada kondensator plat.Untuk melihat contoh lainnya yang tidak trivial dari persoalan penyelesaian elektrostatika untuk

potensial dan medan, dapat dilihat soal 1.2.10.

1.7 Muatan Induksi (Muatan Influensi)

1.7.1 Muatan di depan Plat Konduktor

Sebuah muatan e diletakkan di depan sebuah konduktor berbentuk plat dengan medan listrik yangterdapat di seluruh ruang dapat diturunkan dari potensial ϕ = e/4πεr; di permukaan konduktortersebut karena adanya muatan titik di hadapannya medan listrik ini akan mengalami gangguan.


Karena potensial yang ada tidak lagi memenuhi kondisi konstan pada permukaan tersebut. Medanlistrik di titik P dan Q dapat dicari dengan mengganggap adanya permukaan ekuipotensial yangterletak di tengah-tengah jarak antara titik P dan Q; dengan anggapan seolah terdapat titik muatandi dalam konduktor sebagai muatan cermin dari e di luar konduktor, bidang ekuipotensial dapatdicari. Jarak antara permukaan ekuipotensial ke muatan e dan −e adalah sama dengan a (lihatgbr[1.3]). Dengan adanya muatan cermin ini pada jarak yang sama pula terhadap muatan e, makapotensialnya menjadi:

ϕ =e

4πεr−

e4πεr′

(1.7.1)

qadalah sebagai potensial yang menyebabkan timbulnya medan total di dalam ruang tanpa kon-duktor. Potensial ini berharga nol pada permukaan batas konduktor-vakuum, yaitu pada r = r′.Garis-garis medan yang tidak turbulen pada sisi lainnya (vakuum) di mana titik P terletak, adalahtidak terdapat sumber muatan, dengan pengecualian di titik P sendiri; dari titik ini terdapat jumlahgaris medan sebesar e/ε.

Pada permukaan batas konduktor-vakuum terdapat medan listrik yang tegak lurus terhadapnyasebesar:

E = −∂ϕ

∂r=

e4πε

(∂(1/r)∂x

+∂(1/r′)∂x

)x=0

=ea

2πεr3 . (1.7.2)

Kerapatan muatan permukaan yang terdapat di bidang konduktor adalah sama dengan

σ = ε E = −ea

2πr3 .

Harganya mempunyai maksimum pada garis lurus PQ melalui permukaan, yaitu pada r = a danakan mengalami penurunan dari garis tersebut menuju ke luar. Sebagaimuatan total permukaandiperoleh [melalui koordinat polar (%, α)] di permukaan:

∫∫σdA = −

ea2π

∞∫0

2π∫0

%d%dα(% + a2)3/2

= ea[

1(% + a2)1/2

]∣∣∣∣∣∣%=∞%=0= −e.

Pada muatan −e ini semua garis-garis gaya yang berasal dari titik P akan berakhir.Kuat medan yang timbul karena muatan permukaan ke ruang vakuum, dengannya juga timbul

pada tempat di mana terdapat muatan e adalah identik dengan medan yang ditimbulkan olehmuatan cermin −e. Dengan demikian pada e bekerja gaya karena muatan cermin pada permukaankonduktor sebesar −e2/16πεa2. Energi potensial dari muatan di permukaan konduktor adalah samadengan −e2/16πεa.

Bagaimana cara menghitung muatan pada konduktor dengan menggunakan muatan test ?Catatan: Peristiwa timbulnya muatan listrik pada permukaan konduktor karena adanya muatan didepannya disebut sebagai peristiwa muatan terinduksi. Peristiwa ini terjadi sebagai akibat karena


Gambar 1.3: Gambaran konformasi sebuah kondensator selinder menjadi kondensator plat.

medan yang ditimbulkan oleh muatan di depan konduktor tidak dapat menembus bagian dalamkonduktor. Apabila konduktor tersebut tidak berhubungan dengan benda lain, maka muatan totalyang terdapat pada konduktor tersebut haruslah tetap sama dengan nol, garis-garis gaya yang masukke satu sisi permukaan konduktor akan keluar pada sisi lainnya. Dalam contoh yang dibahas di atasuntuk konduktor dengan luas tak berhingga garis-garis medan yang timbul pada sisi konduktorlainnya (+e) terdapat bersama-sama dengan muatan induksi −e dapat dianggap berada pada tempattak berhingga.

Untuk mencari medan di dekat sebuah konduktor harus ditempatkan sebuah muatan test didekatnya, maka selain gaya yang berasal dari muatan konduktor pada muatan test, terdapat pulagaya tambahan akibat timbulnya muatan induksi karena muatan test. Akibatnya gaya total yangdialami oleh muatan test tidak dapat digunakan sebagai ukuran untuk mengetahui berapat besarmuatan asli yang terdapat di dalam konduktor, tanpa muatan induksi; karena muatan asli konduktorakan semakin kecil jika harga muatan test semakin besar dan jika muatan test berada semakindekat dengan permukaan konduktor. Muatan test yang dimaksud pada § 1.2 dapat dibenarkanpenggunaannya untuk mencari harga ~E jika muatan tersebut dianggap sangat kecil. Tentunyapengecilan harga muatan test ini haruslah sesuai dengan harga perbandingan gaya dan muatan(mempunyai harga berhingga).

Bagaimana jika jarak muatan test sangat dekat dengan permukaan konduktor ?Selain itu pengamatan seperti di atas tidak dapat dilakukan jika jarak a muatan test terlalu kecil daripermukaan konduktor, seperti misalnya jarak tak berhingga kecil untuk a → 0. Dasarnya adalahterletak pada struktur atomik materi dan partikel pembawa muatan. Karena di satu pihak adanyaion atau elektron yang terlepas dari permukaan materi menyebabkan permukaan tidak akan ratalagi, segera setelah partikel mencapai jarak 100 Å. Di samping itu adanya muatan induksi pada kon-duktor menyebabkan terjadinya tolak menolak atau tarik menarik sesama pembawa muatan bebaskonduktor (elektron) pada muatan e. Adanya penumpukan atau keluarnya elektron tidak hanya


Gambar 1.4: Tempat potensial dari dua titik muatan berlawanan yang berharga nol.

berpengaruh pada lapisan yang sangat tipis di permukaan konduktor, melainkan juga dapat men-capai suatu kedalaman yang cukup dalam, sehingga gaya cermin (gaya pada muatan cermin) akantetap mempunyai harga berhingga hingga muatan cermin menemukan ion yang dapat mengikatnya.Hal yang sama berlaku pula untuk energi potensial yang terdapat pada peristiwa ybs. (energi adhesi).

1.7.2 Muatan titik di depan Konduktor Bola

Untuk memperlakukan muatan induksi pada permukaan bola pandang contoh berikut ini:Misalkan diketahui muatan e dan −e′ berada pada jarak tertentu, dengan e > −e′ > 0. Dipertanyakandi mana suatu permukaan dengan potensial

ϕ =1

4πε

(er−

e′

r′

)(1.7.3)

yang mempunyai harga nol.Misalkan sebagai titik nol (acuan) digambarkan dalam sistem koordinat polar (R, ϑ, α) yang

terletak sepanjang garis yang menghubungkan e dan −e′, di luar dari −e′ jarak keduanya ditulssebagai s dan s′. Dari Gambar[1.4] diketahui:

r2 = R2 + s2− 2R s cos ϑ, r′2 = R2 + s′2 − 2R s′ cos ϑ.

Potensial pada pers[1.4.3] sama dengan nol jika

e2

e′2=

r2

r′2=

ss′

R2/s + s − 2R cosϑR2/s′ + s′ − 2R cosϑ

.

Syarat diatas akan dipenuhi untuk seluruh harga ϑ jika

e2

e′2=

ss′

dan R2 = s s′.

Potensial pada bola akan sama dengan jika perbandingan kuadrat muatan yang terletak di titik pusatbola dan muatan kuadrat yang terletak pada satu garis lurus, sebagai muatan di titik cerminannyasama dengan perbandinganjarak muatan ybs.


Gambar 1.5: Sebuah titik muatan yang terdapat di hadapan bola konduktor terisolir.

Sekarang amati sebuah titik muatan e uyang terletak pada jarak s dari pusat bola konduktorberjari-jari R. Bola konduktor selanjutnya dihubungkan dengan kawat konduktor ke bumi sehinggamempunyai potensial sama dengan nol. Sepintas lalu dari gbr[1.4] dapat dicari penyelesaian sbb:Dibayangkan selain terdapat muatan e di pusat bola, pada jarak s′ = R/s terhadap titik pusatnyaterdapat pula muatan

−e = e

√s′

s= −e

Rs,

maka bersamaan dengan muatan yang ada akan terdapat medan listrik yang mempunyai potensialjustru pada permukaan bola sama dengan nol dan di luar dari muatan tersebut terdapat muatan yangsama, sehingga potensial di luarnya adalah sama dengan yang diberikan pada pers[1.7.3].

Jika bola terisolir dan berada di dekat titik muatan tidak termuati, maka bola tetap tidak akanbermuatan. Untuk mencari besarnya medan yang terdapat di dalamnya, bayangkan terdapat titikmuatan+e yang terletak di titik pusat bola sedemikian sehingga potensial di permukaan yang konstantidak mengalami gangguan (lihat gbr[1.5]). Potensial yang terdapat pada bola karena muatan e adalah

14πε

(er−

e′

r′+

e′

r

), (1.7.4)

dengan r adalah jarak titik di mana medan diukur dari titik pusat bola. Pada permukaan bolaterdapat potensial sebesar ϕ = 1

4πεR = 1/ 1

4πεs, yaitu sama dengan potensial seandainya muatan

terdapat di titik pusat bola.Gaya yang dialami muatan e pada bola terisolir karena adanya muatan induksi adalah

F =1

4πεe e′

(1

(s − s′)2 −1s2

)=

14πε

e2 Rs3

(

s2

s2 − R2

)2

− 1

. (1.7.5)

Jika jarak muatan terhadap permukaan bola s − R = x adalah kecil terhadap jari-jari R, maka sebagaipendekatan gaya menjadi F ≈ e2/16πεx2, yaitu sama dengan gaya pada permukaan bidang datarsuatu konduktor. Jika s R, gaya tarik menariknya menjadi F ≈ e2R3/2πεs5 dan potensial titikmuatannya menjadi ϕ ≈ −e2R3/8πεs4.


Hal yang menarik adalah jika muatan e terletak pada jarak tak berhingga dan muatan mem-perkuat sedemikian, sehingga medan yang timbul darinya pada tempat di bola E = 1/4πεcircs2 akanmempunyai harga tertentu sebesar E. Dalam kasus ini muatan cermin −e′ tentunya terletak di pusatbola sedemikian sehingga memenuhi hubungan e′s′ = eR3/s2 dan dapat dianggap mempunyai hargatertentu sebesar 4πεcircR3E. Untuk bola terisolir terdapat dua sumber atau seperti dikatakan (lihat§ 1.8) suatu dipol listrik di pusat bola dengan ”‘momen”’ diberikan dalam bentuk vektor sbb:

~p = 4πεR3 ~E. (1.7.6)

Medan pada jarak tak berhingga dari sebuah muatan yang besarnya tak berhingga di daerah bolatentunya homogen. Melalui moedan homogen ~E ini sebuah bola logam terisolir berjari-jari Rmelalui induksi akan mengalami ”‘polarisasi”’, yaitu muatan yang terdapat di permukaan bola akanberpengaruh ke luar seperti dianggap terdapat sebuah momen dipol di pusat bola sebesar 4πεR2~E.

1.7.3 Cara Lain Perhitungan Persoalan 1.7.2.

Amati kembali suatu bola logam terisolasi berari-jari R dan bermuatan e pada jarak~s di luar bola.Akan dicoba mencari medan listrik pada jarak tersebut dengan menyelesaikan persamaan Poisson:

∇2 ϕ = −

e4πε

δ(~r −~s). (1.7.7)

Keadaan simetri sistem ini lebih sederhana dipandang dengan menggunakan korrdinat bolar, ϑ, α dengan titik acuan berada di pusat bola dan sumbu polar koordinat berada pada arah ~s.Dalam hal ini ϕ hanya bergantung pada ~r dan ϑ, tetapi tidak bergantung pada α. Selanjutnyaϕ di permukaan ola konduktor dan juga di dalam bola sendiri haruslah konstan, atau ϕ(R, ϑ) =ϕ =konstan, sementara di tempat tak berhingga harganya sama dengan nol.

Untuk mempermudah pembahasan ini anggap di dalam ruang terdapat muatan titik (bola diang-gap tidak ada). Maka pers[1.7.7] dapat ditulis dalam potensial Coulomb:

ϕ =e

4πε|~r −~s|=

e

4πε√

r2 − 2rs cosϑ + s2. (1.7.8)

Selanjutnya suku penyebut√

r2 − 2rs cosϑ + s2 dapat dibentuk dalam deret, yaitu dalam deret r/sberpangkat semakin besar untuk kasus r < s dan dalam deret s/r untuk kasus r > s:

ϕ =e

4πε~s

∞∑l=0

(rs

)Pl(cos ϑ) untuk r < s

ϕ =e

4πε~r

∞∑l=0

(sr

)Pl(cos ϑ) untuk r > s (1.7.9)

Pl(cos ϑ) adalah polinomial cos ϑ berderajat l yaitu sebagai fungsi yang didefinsikan sebagai:

1√t2 − 2tζ cosϑ + ζ2

=

∞∑l=0

tl Pl(ζ). (1.7.10)


Gambar 1.6: Lima fungsi simetri bola orde pertama.

Fungsi ini disebut sebagai polinomial Legendre atau biasanya disebut pula sebagai fungsi bola. Pem-bentukan fungsi yang berasal dari deret t ini dapat ditulis (sebagian) sbb:

P(ζ) = 1, P1(ζ) = cos ϑP2(ζ) = 1

2 (3ζ2− 1), (1.7.11)

P3(ζ) = 12 (5ζ2

− 3ζ).

Dari pers[1.7.10] hubungan fungsi ini dapat dilihat secara langsung sbb:

Pl(1) = 1,Pl(−1) = (−1)l, (1.7.12)Pl(−ζ) = (−1)l Pl(ζ).

Fungsi Pl(−ζ) dapat merupakan fungsi genap atau ganjil dalam ζ, bergantung apakah l berhargagenap atau ganjil. Diketahui pula bahwa polinomial Pl ini dengan l yang berbeda adalah saling tidakbergantung secara linier satu sama lain dan selain itu masing-masing adalah saling ortogonal, yaituberlaku:

+1∫−1

Pl(ζ) Pk(ζ) dζ = 0 untuk l , k. (1.7.13)

Dari integrasi terhadap ζ ini diperoleh hubungan sbb:

+1∫−1

dζ√1 − 2sζ + s2

√1 − 2tζ + t2

=1√

stln

1 +√

st

1 −√

st.


Cara di atas diperoleh dengan mensubstitusikan pernyataan dalam tanda akar seperti dinyatakanpada pers[1.7.10], maka dengan mengintegrasi ruas kiri akan diperoleh suatu fungsi yang sesuaidengan syarat seperti dinyatakan pada pers[1.7.13], yaitu suatu fungsi yang hanya bergantung padast, seperti diharapkan pada persamaan di atas. Selanjutnya dapat dinyatakan bahwa

l=∞∑l=0

(st)l

+1∫−1

Pl(ζ) Pk(ζ) dζ =1√

stln

1 +√

st

1 −√

st= 2

l=∞∑l=0

(st)l

2l + 1,

dengan integral normalisasi diperoleh secara langsung dengan jalan mengintegrasi

+1∫−1

P2l (ζ) dζ =

22l + 1

. (1.7.14)

Selanjutnya sistem fungsi Pl(ζ) dengan l = 1, 2, · · · disebut sempurna 3, yaitu suatu sistem fungsiyang pada daerah interval −1 < ζ < +1 merupakan fungsi reguler dari f (ζ) dalam deret polinomialLegendre yang dibentuk dari

f (ζ) =∞∑

l=0

al Pl(ζ); (1.7.15)

kemudian koefisien al dapat dicari berdasarkan sifat ortogonalitas (pers[1.7.13]) dan normalisasi(pers[1.7.14]) fungsi:

al =2l + 1

2

+1∫−1

f (ζ) Pl(ζ) dζ. (1.7.16)

Akhirnya persamaan diferensial untuk Pl(ζ) untuk potensial ϕ dapat ditulis dari pers[1.7.7] dalambentuk deret seperti dinyatakan pada pers[1.7.9]:

∇2 ϕ ≡

1r∂2(rϕ)∂r2 +

1r2 sinϑ

∂∂ϑ

(sinϑ

∂ϕ

∂ϑ

)= 0 untuk ~r , ~s (1.7.17)

dan untuk kedua kasus ini didapat

1sinϑ

ddϑ

(sinϑ

dPl(cosϑ)dϑ

)≡

ddζ

[(1 − ζ2)

dPl(ζ)dζ

]= −l(l + 1) Pl(ζ). (1.7.18)

Penyelesaian persamaan diferensial orde dua ini (untuk l bilangan bulat) adalah fungsi bolaseperti yang telah disebutkan di atas; penyelesaian lain, yaitu penyelesaian fungsi bola orde keduapada daerah singular persamaan diferensial, yaitu pada ζ = +1 dan ζ = −1, berharga logratima takberhingga dan secara fisis tidak berguna.

Penyelesaian yang berguna secara fisis (mempunyai interpretasi fisis) dari persamaan diferensialpada pers[1.7.17] sebagai fungsi bola dapat ditulis dalam bentuk:

ϕ(r, ϑ) =∞∑

l=0

(bl rl + clr−l−1) Pl(cos ϑ), (1.7.19)

3Pembuktian kesempurnaan sistem fungsi Pl(ζ) dalam pembahasan yang ringkas ini tidak dapat dijelaskan.


mengandung dua suku dengan koefisien bl dan cl untuk l = 1, 2, · · ·. Dalam mencari penyelesaianpersamaan ini, sesuai dengan persoalan fisis yang dihadapi, diperlukan syarat batas berikut. Apabilaintegrasi memenuhi kondisi batas hingga tak berhingga maka ϕ(∞, ϑ) = 0, maka haruslah hargabl = 0; jika pada daerah batas di titik acuan di mana tidak terdapat muatan titik di titik tersebut,ϕ(0, ϑ) akan mempunyai harga berhingga, maka seluruh harga cl = 0. Pada pers[1.7.9] untukpotensial Coulomb seperti dinyatakan oleh pers[1.7.8] kedua syarat batas di atas adalah memenuhi.Untuk r = s tentunya potensial akan mengalami divergensi pada theta = 0, yaitu pada posisi di titikmuatan itu sendiri.

Dengan menggunakan penyelesaian ke dalam bentuk fungsi bola dan persamaan diferensialnya,maka muatan induksi pada permukaan bola logam karena adanya muatan titik e di depannya dapatdicari. Untuk itu potensial yang dinyatakan pada pers[1.7.7] dipecah menjadi dua bagian yaituϕ1 + ϕ2. Misalkan bahwa ϕ1 adalah potensial Coulomb murni dari muatan titik seperti dinyatakanpada pers[1.7.8] yang dinyatakan dalam bentuk deret pada pers[1.7.9]. Potensial ϕ2 adalah munculkarena adanya medan muatan induksi pada permukaan bola dan diberikan dalam bentuk deretseperti ditulis pada pers[1.7.19] dengan bl = 0. Substitusikan cl = e sl γl/4πε, maka didapat:

ϕ =e

4πε

∞∑l=0

[(rs

)l+ γl

(sl

)l+1]

Pl(cos ϑ) untuk R ≤ e < s,

ϕ =e

4πε

∞∑l=0

(sr

)l+1(1 + γl) Pl(cos ϑ) untuk r > s. (1.7.20)

Sekarang haruslah terdapat kondisi yang memenuhi ϕ =konstan untuk r = R. Untuk itu haruslahγl = −(R/s)2l+1 untuk semua l > 0, sementara γ = −(R/s)+ 4πεRϕ/e; dalam hal ini ϕ adalah hargapotensial pada yang harus ditentukan berdasarkan susunan percobaan. Dari pers[1.7.20] diperolehuntuk R ≤ r < s bahwa

ϕ =e

4πε

∞∑l=0

(rs

)l−

Rs

(R2

rs

)l (sl

)l+1 Pl(cos ϑ) + ϕ

Rr. (1.7.21)

atau dengan menggunakan rumusan pejumlahan pada pers[1.7.10] dapat ditulis kembali dalambentuk:

ϕ =e

4πε√

r2 − 2rs cosϑ + s2−

eR/s

4πε√

r2 − 2r R2

s cosϑ + R4

s2

+ ϕRr. (1.7.22)

Suku pertama pada pers[1.7.22] adalah potensial Coulomb dari muatan e, sedangkan suku keduamerupakan potensial yang muncul karena muatan −eR/s pada jarak s′ = R2/s dari titik acuan dansuku ketiga adalah sumbangan potensial bola yang berharga ϕ di permukaan bola. Untuk bolalogam yang dihubungkan dengan bumi berlaku ϕ = 0, pada bola logam yang terisolir dan tanpamuatan berlau bahwa ϕ = e/4πεs yang dapat dicari secara langsung dari hukum Gauss. Daripers[1.7.21] diketahui bahwa:

⊂⊃

∫∫Er dA = − ⊂⊃

∫∫ (∂ϕ

∂r

)r=R

R2 dΩ = −eRεs+ 4πRϕ,


persamaan terakhir diperoleh karena

⊂⊃

∫∫Pl dΩ = 2π

+1∫−1

Pl dζ = 0

dari pers[1.7.13] untuk l > 0, k = 0. Dari pers[1.7.22] diperoleh hasil perhitungan yang persis samaseperti telah diperoleh pada § 1.7.2. Hanya saja dengan menggunakan fungsi bola persoalan dapatdiselesaikan lebih sistematis.

1.8 Medan Listrik pada Jarak tak Berhingga dari Muatan Titik

Pada § 1.3 telah ditunjukkan bagaimana menghitung potensial dari muatan yang terdistribusi(muatan titi, permukaan dan volume) sehingga diperoleh hubungan seperti dinyatakan olehpers[1.3.9] dan [1.3.10] 4:

ϕ(r) =1

4πε

∑j

e|~r −~r j|

dan ϕ(r) =1

4πε

∫%(~r′)|~r −~r′|

dv′. (1.8.1)

Selanjutnya akan diamati potensial dan medan pada jarak yang sangat jauh akibat muatan yang terda-pat di dalam ruang (benda) berhingga; jarak medan yang dipandang adalah sangat besar dibandingdengan ukuran benda bermuatan. Untuk itu misalkan bahwa titik acuan terletak pada benda bermu-atan, sehingga |~r| mempunyai harga jauh lebih besar dibanding dengan |~r j| atau |~r′| dan membentuk1/|~r −~r j| dan 1/|~r −~r′| dalam deret~r atau~r j berpangkat. Karena

1√

1 − ζ= 1 +

12ζ +

38ζ2 +

516ζ3 + · · ·

akan diperoleh sesuai dengan suku-suku deret di atas:

1|~r −~r′|

=1r

1√1 − 2r~r′

r2 +~r′r2

=

1r+~r~r′

r3 +3(~r~r′)2

− r2r′2

2r5 +5(~r~r′)3

− r2r′2

2r7 + · · · , (1.8.2)

dan analog untuk 1/|~r −~r j|. Terlihat bahwa suku pertama sebanding dengan 1/r, suku kedua 1/r2

dst. Ketergantungan terhadap r ini dapat disubstitusikan ke pers[1.8.1] sehingga diperoleh bentukpotensial sbb:

ϕ(~r) = ϕ(~r) + ϕ1(~r) + ϕ2(~r) + ϕ3(~r) + · · · ; (1.8.3)

masing-masing suku potensialϕn pada pers[1.8.3] adalah sesuai untuk masing-masing 1/r, 1/r2, 1/r3,· · · yang semakin menurun sebanding dengan 1/rn+1. Selanjutnya akan diinterpretasikan masing-masing suku potensial.

4Dalam pembahasan nantinya tanda intgral volume akan ditulis hanya dengan tanda integral saja.

1.8. MEDAN LISTRIK PADA JARAK TAK BERHINGGA 35

1.8.1 Medan Coulomb (Monopol)

Sebagai suku pertama dari deret potensial pada pers[1.8.3] dapat diperoleh dari pers[1.8.1] dan[1.8.2] yaitu:

ϕ(r) =1

4πεr

∑j

e j atau ϕ(r) =1

4πεr

∫j

%(r′) dv′. (1.8.4)

Sebagai pendekatan pertama diasumsikan bahwa distribusi muatan terdapat di titik yang jauh

sedemikian seolah potensial ditimbulkan oleh hanya suatu muatan∑j

e j atau∫j%(r)dv.

1.8.2 Medan Dipol

Apabila muatan total sistem sama dengan nol sedemikian, maka deret potensial pada pers[1.8.3]dengan suku ϕ1 yang dinyatakan sbb:

ϕ1(r) =~r · ~p

4πεr3 =xpx + ypy + zpz

4πεr3 , (1.8.5)

dengan ~p dengan komponen px, py, pz berdasarkan pers[1.8.3] dan [1.8.2] diberikan sebagai:

~p =∑

j

~r je j atau ~p =∫j

~r %(r) dv. (1.8.6)

Medan listrik dari muatan ini diberikan sbb:

~E(~r) = −~∇ϕ1(r) =1

4πε

−~pr3 +

3(~p ·~r)~rr5

. (1.8.7)

Untuk memandang lebih jelas medan ini dapat dilihat pada gbr[1.7] yang menggambarkan garis-garis horizontal dari vektor ~p dan garis-garis potensial konstan, diberikan dengan angka-angkadalam satuan sembarang.

Medan demikian disepbut sebagai medan dipol listrik. Distribusi muatan paling sederhana yangmenyebabkan timbulnya medan pada jarak cukup jauh dari tempat muatan berada terdapat duakutub yang mempunyai tanda berlawanan, akan tetapi mempunyai kuantitas muatan kutub yangsama. Secara fisis distribusi muatan seperti ini disebut sebagai dipol listrik . Jika ~a adalah vektoryang menghubungkan muatan −e dan +e, maka menurut pers[1.8.6] besaran ~p yang disebut sebagaimomen dipol listrik dapat ditulis sebagai:

~p = e (~r+ −~r−) = e~a. (1.8.8)

Medan yang ditimbulkan sebuah dipol dengan vektor jarak ~a, seperti ditunjukkan dari penurunanpersamaannya, hanya akan sesuai dengan pers[1.8.7] untuk jarak yang besar (r a). Sekarangmisalkan bahwa e mempunyai harga mendekati tak behingga, sedangkan a menuju nol sedemikian,seperti yang telah dibahas pada § 1.7.2, sehingga e~a mempunyai harga ~p konstan; dalam hal demikian


Gambar 1.7: Garis-garis medan listrik (garis yang dibelokkan lebih kuat dan garis-garis ekuipotensial (garis yangdibelokkan lebih lemah) dari sebuah dipol yang terletak horizontal.

Gambar 1.8: Definisi dipol listrik.

akan diperoleh suatu sistem muatan yang secara matematis dinamakan dipol ideal, karena mempunyaimedan untuk r = 0 identik dengan medan yang diberikan pada pers[1.8.7].

Untuk mengelakkan dari kesalahpahaman harus pula dicatat, bahwa berdasarkan rumus daripers[1.8.1] hingga [1.8.3], juga untuk masing-masing persamaan, tidak pada titik di mana muatanterdapat secara formal adanya bagian medan dipol. Seperti terlihat langsung pada pers[1.8.6], dalamkasus ini apabila muatan total yang tidak sama dengan nol digeser dari titik nol (acuan) sedemikiansejauh

∑j~r j e j/

∑j

e j, sehingga menyebabkannya berharga nol, maka medan yang timbul seperti diny-

atakan pers[1.8.3] ϕ(~r) akan mengalami perubahan sedemikian, sehingga medan akibat ϕ1(~r) akansama dengan nol. Untuk kasus

∑j

e j = 0, yaitu jika muatan total sama dengan nol, kompensasi

demikian tidak mungkin terjadi.


Karena kegunaannya yang demikian penting, akan diturunkan medan akibat suatu dipol idealdengan cara lain (lihat gbr[1.8]). Penurunan diawali dengan sebuah dipol fisis dengan jarak polar ~a.Muatan +e akan menimbulkan potensial pada dirinya sendiri di titik P sebesar ϕ+ = e/4πεr. Hargapotensial dari muatan −e di titik P dengan tanda yang sama dengan potensial akibat muatan +e dititik P′, yaitu titik yang terdapat dihadapan P, berjarak sejauh~a dari P. Potensial total di titik P adalah

ϕ(P) = ϕ+(P) + ϕ−(P) = ϕ+(P) + ϕ+(P′).

Jika jarak ~a cukup kecil, maka persamaan potensial total dapat ditulis dalam bentuk gradien sbb:

ϕ(r) ≈ −~a ~∇ϕ+(r) = −~a e

4πε~∇

1r=

~p~r4πεr3 , (1.8.9)

dengan e~a = ~p. Rumus ini untuk ~a→ 0, e→ ∞ dengan lim e~a = ~p adalah eksak untuk semua hargar; maka rumus ini adalah sesuai seperti dinyatakan pada pers[1.8.5].

1.8.3 Medan Kuadrupol

Jika muatan total dan momen dipol sistem muatan sama dengan nol, maka mulailah diperhi-tungkan suku ketiga dari deret pada pers[1.8.3], yaitu suku ϕ2. Berdasarkan pers[1.8.1] dan [1.8.3]dapat ditulis dalam bentuk:

ϕ2 =1

4πεr

3x2− r2

2Qxx +

3y2− r2

2Qyy +

3z2− r2

2Qzz

+3 xy Qxy + 3 yz Qyz + 3 zx Qzx, (1.8.10)

dengan menyingkat

Qxx =∑

j

x2j e j atau Qxx =

∫x2 %(r) dv,

Qxy =∑

j

x j y j e j atau Qxy =

∫xy %(r) dv, (1.8.11)

dan seterusnya. Keenam besaran Q membentuk struktur komponen suatu sistem tensor simetri rankdua, demikian pula dengan semua besaran P

Pxx =3x2− r2

2, Pyy =

3y2−r2

2 , Pzz =3z2− r2

2,

Pxy =3xy

2, Pyz =

3yz2 , Pzx =

3zx2. (1.8.12)

Persamaan terakhir juga merupakan komponen suatu sistem tensor simetri rank dua yang diperolehdari kenyataan bahwa ϕ2 adalah skalar sedemikian, sehingga relasi pada pers[1.8.10] dan [1.8.12]


juga dapat ditulis dalam bentuk:

ϕ2 =1

4πεr3

Pxx Qxx + Pyy Qyy + Pzz Qzz

+2 Pxy Qxy + 2 Pyz Qyz + 2 Pzx Qzx.

Sekarang transformasikan setiap tensor simetri terhadap sumbu utamanya, berarti dapat dipilihsistem koordinat sedemikian, sehingga semua komponen dengan dua indeks berbeda akan lenyap.Dalam hal ini terdapat pemilihan secara sembarang lainnya dari skema komponen pada pers[1.8.11]:Menurut pers[1.8.10] secara langsung didapat bahwa ϕ2 tidak mengalami perubahan, jika setiapbesaran Qxx, Qyy, Qzz ditambahkan konstanta C yang sama. Dengan demikian maka Qxy < Qyz < Qzxsehingga dapat dipilih bahwa C = −Qyy, sehingga diperoleh tensor Q dalam sistem sumbu utama(prinsipal) dalam bentuk:

Qxx −Qyy 0 00 0 00 0 Qzz −Qyy

=

Q′xx 0 00 0 00 0 Q′zz

, (1.8.13)

dengan Q′xx < 0 dan Q′zz > 0.Secara umum semua suku diagonal tensor Q dinormalisasi tidak dengan pers[1.8.13], melainkan

dengan C = −(Qxx+Qyy+Qzz)/3, yaitu melalui pengurangan sepertiga spur tensor pada suku diagonalmenjadi deviator tensor. Sebagai komponen-konponen tensor yang telah mengalami reduksi diperolehdari suku diagonal utama sbb:

Q′xx =13

∑j

(2x2j − y2

j − 2z2j ) atau Qxx =

13

∫(2x2− y2

− z2) %(r) dv,

Q′yy =13

∑j

(2y2j − z2

j − 2x2j ) atau Qyy =

13

∫(2y2

− z2− x2) %(r) dv,

Q′zz =13

∑j

(2z2j − x2

j − 2y2j ) atau Qzz =

13

∫(2z2− x2

− y2) %(r) dv,

(1.8.14)

sementara semua suku lainnya teap tidak mengalami perubahan dan pada sistem sumbu utamasemua komponen ini sama dengan nol. Keuntungan melakukan normalisasi ini adalah bahwa jikadistribusi muatan % = %(r) adalah simetri bola, maka semua komponen Q′ karena suku

∫x2 %(r)dv,∫

y2 %(r)dv dan∫

z2 %(r)dv sama dengan nol, akan menghasilkan pula ϕ2 = 0. Dengan demikiannormalisasi ini dapat digunakan sebagai ukuran untuk melihat adanya deviasi distribusi muatandari bentuk simetri bola.

Medan yang ditimbulkan oleh tensor Q disebut sebagai medan kuadrupol . Untuk membayangkansecara sederhana medan yang timbul akibat kuadrupol ini, pandang dalam sistem muatan terdapat


Gambar 1.9: (a) Kuadrupol secara umum; (b) kuadrupol memanjang.

muatan dan momen dipol sama dengan nol, sehingga hanya terdapat suku potensial yang dise-babkan oleh kuadrupol; kuadrupol demikian dapat dipandang secara sederhana terdiri dari duamomen dipol yang masing-masing mempunyai muatan yang sama akan tetapi berbeda tanda, yaituterdiri dari empat kutub dengan perbedaan jarak relatif terhadap masing-masing muatan. Susunanmuatan demikian dapat dipandang sebagai susunan ”‘wajik”’ (lihat gbr[1.9a]) yang terletak padabidang x − z dan padanya dapat dianggap bahwa jarak antara dua muatan negatif adalah 2a danjarak antara muatan positif adalah 2c; komponen-komponen tensor Q′ (tensor Q yang mengalamireduksi) adalah persis seperti yang dinyatakan oleh pers[1.8.13], bahwa Q′xx = 2a2 e dan Q′zz = 2c2 e.Sebagai kuadri=upol yang dipandang penting, adalah kuadrupol memanjang seperti ditunjukkan padagbr[1.9b]: Muatan pada kuadrupol semacam ini tersusun pada titik-titik sudut suatu rhombik den-gan dua sisinya saling berimpit, sehingga pada kedua ujungnya masing-masing terdapat muatan+e, sedangkan di bagian tengahnya terletak muatan sebesar −2e; karenanya kuadrupol semacam inidapat dinyatakan hanya melalui satu besaran.

Sebagai contoh pandang suatu elipsoida rotasional dengan sumbunya berada pada sumbu z.Sumbu ini secara alamiah dapat dianggap sebagai sumbu utama dari tensor momen kuadrupoldengan Q′xy = Q′yz = Qzx = 0. Selanjutnya momen kuadrupol sumbu utama dinyatakan sebagai Q′xx =

QI, Q′yy = QII dan Q′zz = QIII dan karena simetri rotasinya, maka berlaku bahwa QI = QII dan padaspur komponen matriks yang sama dengan nol QIII = −2QI = −2QII. Kuadrupol dari suatu distribusimuatan yang mempunyai simetri rotasi, seperti juga pada kuarupol memanjang (gbr[1.9b]), dapatdinyatakan hanya melalui satu-satunya besaran. Dengan bersandar pada perbandingan kuadrupolmemanjang, dengan momennya didapat dari pers[1.8.11], yaitu dengan Qzze = 2a2 e ≡ Q, makamomen reduksinya, berdasarkan pers[refp1.8.14] diberikan melalui Q′zz = QIII = 4a2e/3 = 2Q/3,secara umum disebut sebagai momen kuadrupol dari distribusi muatan yang mempunyai simetri


rotasi 5

Q =32

Q′zz =12

∫(2z2− x2

− y2) %dv =∫

r2 %3 cos2 η − 1

2dv; (1.8.15)

dalam hal ini η adalah sudut antara garis yang menghubungkan dv dan sumbu z. Untuk elipsoidarotasional bermuatan homogen dengan sumbu panjang a dan sumbu pendek c (dengan x2 + y2 = ζ2)diperoleh

Q =%2

+c∫−c

dz =

a√

1−(z/c)2∫0

2πζdζ (2z2− ζ2)

=4π15% a2 c (c2

− a2) =e5

(c2− a2),

dengan e adalah jumlah muatan total elipsoida 4πϕa3/3. Dengan demikian diketahui bahwa hargaQ adalah positif untuk elipsoida memanjang (c > a) dan negatif untuk elipsoida mendatar (c < a).

Akhirnya potensial dari kuadrupol simetri rotasi dari adanya medan listrik kuadrupol adalah

ϕ2 =Q

4πε3z2− r2

2r5 =Q

4πεr33 cosϑ − 1

2

=QP2(cosϑ)

4πεr3 , (1.8.16)

dengan ϑ adalah sudut antara garis yang menghubungkan titik di mana potensial diukur dengantitik acuan terhadap sumbu kuadrupol. Gambaran garis-garis gaya medan kuadrupol dan garis-garisekuipotensial diilustrasikan pada gbr[1.10].

Pandang kembali kasus umum untuk kuadrupol dengan medan yang diakibatkan olehnya di titikyang jauh adalah sama dengan medan yang ditimbulkan oleh empat buah muatan titik, yang padagbr[1.9] digambarkan terdiri dari dua momen dipol listrik yang masing-masing mempunyai dua mu-atan negatif dan dua muatan positif sama besar. Dengan demikian, seperti halnya pada pembahasantentang momen dipol pada § 1.8.2 untuk mengubah dari kuadrupol real menjadi kuadrupol ideal,dengan memilih jarak mendekati nol dan muatan sebaliknya menuju tak berhingga, sehingga akandiperoleh harga komponen Q konstan; maka pers[1.8.10] menggambarkan potensial dari medankuadrupol yang berlaku untuk semua harga r, tidak hanya pada pendekatan untuk harga r yangsangat besar.

1.8.4 Bentuk Umum Medan Multipol

Pada pers[1.8.9] telah dikembangkan potensial suatu dipol ideal dari potensial monopol (potensialCoulomb), dengan cara menggeser potensial Coulomb sejauh~a, kemudian membuat batasan-batasanyang diperlukan untuk itu. Dengan cara yang sama dalam pembahasan ini akan diturunkan potensial

5Dalam Fisika atom besaran Q/e atau bahkan 2Q/e, mempunyai dimensi luas, sering disebut sebagai momenkuadrupol (e =muatan elementer).


Gambar 1.10: Garis-garis medan listrik (garis yang dibelokkan lebih kuat) dan garis-garis ekuipotensial (garis yangdibelokkan lebih lemah) dari sebuah kuadrupol memanjang yang terletak horizontal.

kuadrupol ideal dengan memandang kembali distribusi muatan seperti diilustrasikan pada gbr[1.9a],dengan cara menggeser dipol pada pers[1.8.9] sejau ~b dan mencari batasan, sehingga diperoleh:

ϕ2(~r) = (−~∇~a)(−~∇ ~b)e

4πε=

e4πε

3(~a~r)(~b~r) − (~a~b)~r2

r5 . (1.8.17)

Sebagai contoh untuk kuadrupol memanjang dengan ~a = ~b paralel terhadap sumbu z, persis sepertiyang dinyatakan pada pers[1.8.10] dengan satu-satunya komponen kuadrupol yang tidak samadengan nol, yaitu Qzz = 2a2 e dan padanya masih dianggap berlaku untuk a→ 0 dan e→∞ sehinggaddapat dianggap bahwa Qzz tetapi berharga konstan.

Dengan cara yang sama dapat pula dibuat suatu kutub (pole) 2l dari ϕl(r) sbb:

ϕl(~r) = (−~∇~a1)(−~∇ ~a2) · · · (−~∇~al)e

4πε=

e~a1~a2 · · · ~al

4πεrl+1Yl, (1.8.18)

dengan l vektor ~a1, ~a2, · · · , ~al yang untuk multipol dapat dibuat mempunyai harga mendekati noldan demikian pula dengan e masing-masing mendekati tak berhingga. Besaran tanpa dimensi yang


muncul, dibuat oleh Maxwell, Yl, adalah:

Yl,=(−1)l rl+1

l!

(~a1

a1~∇

) (~a2

a2~∇

)· · ·

(~al

al~∇

)1~r

(1.8.19)

hanya bergantung pada sudut polar dari a rah vektor~al dan disebut sebagai persamaan bola Maxwellderajat ke l.

Terlihat bahwa Yl mengandung turunan linier terhadap ketiga arah koordinat. Selain dinyatakandalam pers[1.8.19], dapat pula dinyatakan sebagai:

Yl =(−1)l rl+1

l!∂α

∂xα∂β

∂yβ∂γ

∂zγdengan α + β + γ = l. (1.8.20)

Akan tetapi fungsi (l + 1)(l + 2)/2 ini untuk l ≥ 2 tidak saling bergantung satu sama lain. Karena

~∇1~r≡

(∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2

∂z2

)1~r= 0 (1.8.21)

untuk ~r > 0 maka semua turunan terhadap z berderajat tinggi dapat dianggap sebagai turunanberderajat dua lebih rendah dan dari pers[1.8.20] agar diperoleh suatu sistem fungsi yang bergantunglinier Yl, dapat dibatasi harga γ = 0 dan γ = 1. Untuk kasus kasus pertama, γ = 0, didapat α + β = lsehingga akan terdapat kemungkinan sebanyak l + 1 fungsi yang mungkin; sedangkan untuk kasuskedua, γ = 1, diperolehα+β = l−1, didapat l kemungkinan. Seluruhnya diperoleh 2l+1 kemungkinanfungsi bola berorde l yang saling bergantung secara linier satu salam lain (fungsi bola Maxwell) .

Dari 2l+1 fungsi bola berderajat l ini, dari pers[1.8.20], salah satunya pada § 1.7.3 telah dibicarakan,

yaitu fungsi Legendre Pl(cosϑ). Akan dikenak segera jika fungsi Yl ditulis dalam bentuk deret∞∑

l=0tlYl

dan membandingkannya dengan pers[1.7.10]:

∞∑l=0

tl Yl = ~r∞∑

l=0

(−t r)l

l!∂l

∂zl

1√x2 + y2 + z2

=

~r√x2 + y2 + (z − tr)2

=1√

1 − 2t(z/r) + t2=

∞∑l=0

tl P(z/r).

Dalam hal ini digunakan r =√

x2 + y2 + z2 dan penjumlahan diperoleh dengan menggunakan deretTaylor.

2l fungsi bola Maxwell berderajat l selebihnya berdasarkan pers[1.8.20] tentunya dapat diperolehdisamping dalam sudut polar ϑ, juga dalam sudut azimut α. Dengan demikian diperoleh persamaanpotensial dari 2l kutub (pole), yaitu potensial di luar dari benda bermuatan yang memenuhi persamaanLaplace:

∇2 ϕ ≡

1r∂2

∂r2 (rϕ) +1r

1

sin ϑ

(sin ϑ

∂ϕ

∂ϑ

)+

1sin ϑ

∂ϕ

∂α2

= 0, (1.8.22)

dalam bentuk

ϕ(r, ϑ, α) =1

rl+1

+1∑m=−1

cm Pml (cosϑ) elmα. (1.8.23)


Pertama fungsi potensial ϕ haruslah mengandung ketergantungan terhadap r, yaitu r−l−1. Keduaϕ juga bergantung terhadap α, yang dinyatakan dalam emlα, dengan m merupakan bilangan bulat(diperoleh karena syarat untuk menyelesaikan pers[1.8.22]). Ketiga harga m haruslah tidak bolehmelebihi l, seperti dapat dilihat secara langsung dari pers[1.8.20], di mana mengandung suku (cosϑ)l

atau (sinϑ)l atau cos lα atau muncul faktor yang sama seperti dalam variabel ϑ.Maka fungsi yang mengandung ϑ memenuhi persamaan diferensial sbb:

1sin ϑ

ddϑ

(sin ϑ

d Pml (cosϑ)

dϑ

)≡

ddζ

[(1 − ζ2

) d Pml (ζ)

dζ

]

= −

l(l + 1) −

m2

1 − ζ2

Pm

l (ζ).

(1.8.24)

Untuk seluruh daerah yang memenuhi fungsi ini, −1 ≥ ζ ≥ +1, akan menghasilkan penyelesaianhomogen (reguler) yang disebut sebagai fungsi bola beraturan. Fungsi ini dapat ditulis dalam bentuk

Pml (ζ) = (−1)m (1 − ζ2)m/2

2l l!dl+m(ζ − 1)l

dζl+m; (1.8.25)

dalam hal ini jika dihitung kembali berdasarkan pers[1.8.25] berlaku:

P−ml (ζ) = (−1)m (l −m)!

(l +m)!Pm

l (ζ). (1.8.26)

Khusus untuk m = 0, seperti yang telah dibahas sebelumnya pada § 1.7.3 untuk fungsi bola sederhana,berlaku Pl (ζ) = Pl(ζ) dan bentuk eksplisit dari pers[1.8.25] dapat diperoleh dari pers[1.7.11], sertajuga memenuhi relasi pers[1.7.10].

Dengan sendirinya dapat dimengerti bahwa mengapa terdapat fungsi Pml (ζ) emlα sebanyak 2l + 1

pada pers[1.8.23] yang dapat dinyatakan melalui kombinasi linier dari 2l + 1 fungsi bola Maxwellpada pers[1.8.20].Soal-Soal Latihan Bab 1

1 [] Dengan gaya ~F berapa proton dan elektron saling berpengaruh satu sama lain di dalam atom Hidrogen, jika jarakrata-rata keduanya adalah 0,53 Å(=jari-jari B) ?jawab-1: F = 8, 2 · 10−8 W det/m= 8, 2 · 10−8 N= 8, 2 · 10−3 dyne.

2 [] Tentukan medan listrik yang bergantung jarak r, ~E(~r) dan potensialϕ(r) untuk muatan simetri bola %(r) dengan muatantotal e (cari dengan menggunakan hukum Gauss atau menyelesaikan persamaan Poisson):

(a) untuk bentuk umum %(r),

(b) untuk bola bermuatan homogen berjari-jari a dan

(c) untuk bola logam berjari-jari a


dan gambarkan bentuk kurva E(r) dan ϕ(r) untuk pertanyaan (b) dan (c).

jawab-2: secara umum berlaku:

E(r) =1εr2

r∫0

r′2 %(r) dr′,

ϕ(r) =1ε

1r

r∫0

r′2 %(r) dr′ +

r∫0

r′ %(r) dr′

.Untuk kasus (b) dan (c) di luar dari bola, yaitu untuk r > a medannya adalah

E(r) =e

4πεr2 ϕ(r) =e

4πεr.

Di dalam bola, yaitu untuk r < a berlaku:

Untuk kasus (b) E(r) = er4πεa3 ; ϕ(r) =

e8πεa3 (3a3

− r2)

Untuk kasus (c) E(r) = 0 ϕ(r) =e

4πεa

3 [] Berapa besar gaya ~F antara bola logam berjari-jari R dan bermuatan Q dengan sebuah muatan e berukuran kecil, jikadianggap bahwa s > R dari titik pusat bola ? Dapatkan bola dan benda berukuran kecil tersebut dalam keadaan ini beradadalam keadaan tarik menarik, juga seandainya Q dan e mempunyai tanda yang sama ?jawab-3:

F(s) =1

4πε

eQs2 −

e2R3

s3

2s2− R2

(s2 − R2)2

.

e dan Q mempunyai tanda yang sama, maka terdapat gaya tarik menarik selama Q < eR3(2s2− R2)/s(s2

− R2).

4 [] Berapa besar muatan terbanyak yang dapat diperoleh dari sebuah bola logam berdiameter 10 cm, jika kuat medan diudara sama dengan 2 · 106 V/cm ?jawab-4: 5, 56 · 10−7 C.

5 [] Dengan jari-jari kelengkungan berapa paling tidak sisi sebuah konduktor yang diberi tegangan 10 kV harus dibuatjika kuat medan udara adalah ? 2 · 106 V/cm Dianggap bahwa potensial pada permukaan sisi yang dilengkungkan dapatdianggap sama dengan potensial permukaan bola.jawab-5: r = 5 mm.

6 [] Berapa besar kerapatan muatan σ di permukaan bumi pada suatu tempat di mana terdapat penurunan potensialsebesar 200 V/m ? Catatan: Medan listrik di permukaan dianggap lebih besar karena keadaan deviasi cuaca; medanlistrik ini akan menurun dengan semakin besarnya ketinggian dan harga medan ini pada ketinggian 10 km menjadi hanyabeberapa V/m.jawab-6: σ = 2, 2 · 10−9 C/m2.

7 [] Tegangan di sebuah pencacah (kondensator berbentuk selinder) antara kawat di bagian dalam (diameter 0,05 mm)dan anode yang melingkupinya pada jarak 1 cm adalah 100 V. Berapa besar kuat medan di permukaan kawat ?jawab-7: 6, 67 · 105 V/m.


8 [] Dua kondensator dengan kapasitansi 0,5 µF dan 0,2 µF dihubungkan satu sama lain secara seri dan diberi teganganDC sebesar 220 V. Berapa jumlah muatan yang terdapat antara permukaan kondesator yang berhadapan dan berapa besartegangan kondensator ?jawab-8: 3, 15 · 10−5 C; V1 = 63 V dan V2 = 157 V.

9 [] Diberikan susunan kondensator, terdiri dari dua kawat (panjang L) berbentuk selinder saling paralel satu sama lain,dengan jari-jari sama, yaitu a dan jarak antara sumbu kawat selinder adalah d. Jika distribusi medan dihitung untuksusunan seperti ini, maka kapasitansinya dapat dihitung melalui penyelesaian persamaan L 2-dimensi dengankoordinat bipolar. Didefinisikan bahwa

x =c sinh u

cosh u − cos v,

x =c sinh u

cosh u − cos v,

dengan −∞ < u < +∞, 0 ≤ v ≤ 2π.

Dalam hal ini garis u = u adalah lingkaran dengan titik pusatnya berada pada sumbu x, sedangkan garis v = v tegaklurus terhadapnya berbentuk lingkaran dengan titik pusat berada pada sumbu y. Untuk mentransformasikan persamaanL dalam koordinat yang baru, dibuat seperti pada pembahasan terkaitjawab-9: Persamaan L adalah

∆ϕ =(cosh u − cos v)2

c2

(∂2ϕ

∂u2 +∂2ϕ

∂v2

)= 0

dan solusi umum ϕ yang hanya bergantung pada u dapat diperoleh sebagai: ϕ(u) = α+ βu; untuk kasus ini ϕ(u) = Vu/2u,dengan V adalah tegangan antara kedua kawat, u didapat dari susunan geometri sistem, yaitu c = a sinh u dan d =2a cosh u, maka u = ln

[(d +

√

d2 − 4a2)/2a]. Selanjutnya dari elemen garis koordinat bipolar, yaitu

d s2 =c2 (

du2 + dv2)(cosh u − cos v)2 ,

untuk medan di permukaan kawat:

E = −

(∂ϕ

∂s

)v= V

(cosh u − cos v)2

2uc,

dengan menggunakan hukum G untuk mencari muatan yang terdapat di permukaan kawat, diperoleh:

e = ε L∮

E (ds)u = πε LVu.

dengan demikian maka kapasitas untuk sistem ini adalah:

C =eV=

πεL

ln[

(d+√

d2−4a2

2a

] .

10 [] Untuk menyelesaikan soal di atas diperlakukan dengan menggunakan metode konformasi seperti dijelaskan pada§1.6.3. Untuk itu dibentuk bahwa ζ = R2/z melalui lingkaran Kz pada bdang kompleks z menjadi suatu lingkaran Kζ padabidang ζ, yaitu selain Kz melalui titik tengah z ≡ x+ iy = 0 dari lingkaran x2 + y2 = R2; dalam hal ini Kζ menjadi gais lurus.Lalu dengan gambar ini dibuat transformasi menjadi dua gambar lingkaran konsentris dengan jari-jari masing-masing r1

dan r2 (r2 > r1) dan jarak titik pusatnya p dari pusat gambar lingkaran konsentris tersebut, maka dengan pemilihan p dan Rtertentu dapat diperoleh bahwa dua lingkaran konsentris ini adalah dua lingkaran yang terpisah di bidang z dan menjadilingkaran yang sama besar dengan jari-jari a di bidang ζ. Maka jarak titik pusatnya menjadi d yang hanya bergantung daria dan perbandingan r2/r1.


Agar pada metode konformasi gambar kapasitas tidak mengalami perubahan, kapasitas sebuah kondensator selinderharuslah mempunyai panjang L berjari-jari r1 dan r2 yang berdasarkan pers[1.6.20] adalah identik dengan kapasitas darisoal sebelumnya (soal no. 9), selama r2/r1 dapat dinyatakan dalam a dan d.jawab-10: Pada soal ini haruslah dipilih p =

√r1r2 dan R =

√a(r2 − r1), maka√

r2

r1=

(d2 +√

d2 − 4a2)2a

,

sehingga dari pers[1.6.20] akan menghasilkan perhitungan persis sama seperti pada soal no. 9.

Bab 2

Elektrostatika Dielektrik

2.1 Kondensator Plat dengan Lapisan Tipis Diantaranya

Pembahasan sebelumnya telah dibatasi untuk persoalan-persoalan medan listrik di ruangvakuum. Jika ingin dibicarakan medan listrik di udara, maka jika digunakan rumusan yang telahdibicarakan sebelumnya akan diperoleh ketidaktepatan, yang akan terlihat nantinya, untuk ke-banyakan kasus sebenarnya tidak berarti. Dengan demikian semua rumusan yang telah dibuat padabab I adalah berlaku khusus di vakuum, atau jika berbicara tentang muatan terisolasi atau padalogam, keduanya haruslah dilinkupi oleh vakuum.

F telah mengungkap mendasar bahwa kapasitansi suatu kondensator akan mengalamiperubahan apabila ruang yang terdapat di antara kapasitor diisi dengan bahan isolator, misalkandiisi dengan gelas, sulfur atau minyak. Kapasitansi ternyata akan bertambah besar sesuai denganbahan yang telah diketahui di atas. Faktor tanpa dimensi ε dalam hal bertambah besarnya hargaC merupakan konstanta bahan yang digunakan sebagai lapisan pada kondensator. Faktor ini dise-but sebagai konstanta dielektrik dari bahan, disingkat dengan KD atau disebut pula sebagai bilangandielektrik. Maka untuk kondensatoir plat sekarang berlaku rumusan:

C = ε εAd. (2.1.1)

Harga konstanta dielektrik beberapa bahan pada T = 20 C dan tekanan normal adalah sbb:

Udara 1, 00005 Gelas 5 − 8

MinyakPetrolium 2, 1 Alkohol 26

Porselan 6 Air 81.

Di vakuum harga ε didefinisikan sama dengan 1 (dalam hal ini jangan dilupakan bahwa hargakonstanta dielektrisitas di vakuum adalah ε dan berdasarkan pers[1.3.2] merupakan konstantaalamiah berharga 8, 8543 · 10−12 A det/Vm).

Selanjutnya akan dipandang percobaan yang dibuat oleh F tentang dielektrik yang di-ilustrasikan pada gbr[2.1]: Misalkan kedua plat dipisahkan oleh jarak d satu sama lain dan mis-alkan bahwa di antara kedua plat kondensator dengan luas A terdapat ruang kosong dan keduanya

47

48 BAB 2. ELEKTROSTATIKA DIELEKTRIK

Gambar 2.1: Lapisan bahan dielektrik di antara kondensator plat.

diberikan perbedaan potensial yang dijaga tetap sebesar V = ϕ1 − ϕ2 (misalkan dengan pertolonganelemen G). Apabila ruang antara kedua plat vakuum, maka dari gbr[2.1] diperoleh hargakonstanta ε yang sama di semua tempat; medan listrik antara keduanya adalah E = V/d dan padaplat bagian atas akan terdapat kerapatan muatan permukaan sebesar σ = ε E = εV/d. Apabiladi dalam ruang antara kedua plat dimasukkan bahan isolator dengan ketebalan d dan konstantadielektrik ε, maka pada bagian kondensator yang terisi bahan isolator terdapat medan yang serupa

seperti sebelumnya, yaitu E, yang dibatasi integral garis2∫

1Edr akan mempunyai potensial sama

dengan V = E d. Terisinya plat dengan bahan isolator menyebabkan kapasitansi dan juga kerapatanmuatan permukaan mengalami peningkatan sebesar:

σ = εE. (2.1.2)

Sementara dengan digeserkannya bahan isolator ke dalam ruang antara dua plat kondensator, padasetiap elemen G untuk setiap permukaan yang ditutupi lapisan isolator dengan luas a akanterdapat jumlah muatan listrik sebanyak:

a σP = a(σP − σ) = a ε(ε − 1) = a ε (ε − 1) E. (2.1.3)

Jumlah muatan listrik yang terdapat di permukaan plat isolator ini dapat dibuktikan lebih lanjutdengan menggunakan amperemeter.

Apakah jumlah muatan listrik akan berubah jika jarak kedua kondensator plat lebih didekatkanpada lapisan isolator ?Untuk keberhasilan percobaan demikian tidak lagi diperlukan bahwa kedua kondensator plat beradadalam keadaan kontak dengan isolator. Ternyata jumalh muatan listrik yang terdapat di permukaanadalah sama jika plat kondensator di dekatkan, selama jarak celah ini kecil dibanding dengan jarakantar kondensator plat d.

Mengapa demikian ?

Maka medan listrik yang terdapat menjadi:

E′ =σε= ε

σε= εE; (2.1.4)

2.2. POLARISASI PADA BAHAN DIELEKTRIK 49

dengan demikian maka kondensator plat sekarang dibatasi oleh vakuum. Apabila ditilik lebih lanjutapa yang terjadi di dalam isolator sebenarnya, terjadi lonjakan kuat medan dari εE menjadi E.Suatu lonjakan komponen normal kuat medan adalah sama artinya dengan keberadaan muatanpermukaan. Kerapatan muatan permukaan yang terdapat di bagian atas permukaan plat isolatoradalah:

ε (E − E′) = −ε (ε − 1) E = −σP, (2.1.5)

yaitu hingga tanda muatan mencapat harga persis sama dengan seperti yang diberikan padapers[2.1.3]. Pada muatan ini garis-garis gaya medan listrik akan berakhir, dari kelebihan kerapatanmuatan σ−σ = σP, jika dipandang dari permukaan bagian atas, persis sama jika seandainya diamatipada permukaan sebaliknya.

Catatan : Dalam sistem satuan G konstanta dielektrik didefinisikan sebagai meningkatnyaharga kapasitansi suatu kondensator yang diisi dengan lapisan dielektrik dengan faktor ε. Sehinggakapasitansi suatu kondensator plat yang diisi dengan bahan isolator menjadi:

C∗ = εA

4πd,

dan kerapatan muatan permukaan σ∗ yang terdapat di permukaan isolator dihubungkan dalampersamaan sbb:

σ∗P = σ∗− σ∗ = (ε − 1) σ∗ = (ε − 1) E∗/4π.

2.2 Polarisasi pada Bahan Dielektrik

Sifat-sifat seperti yang digambarkan pada § 2.1 dari suatu isolator tidak bermuatan yang dipen-garuhi medan listrik, disebut sebagai polarisabilitas . Selanjutnya akan dibahas polarisasi muatan yangterjadi pada isolator. Untuk mengerti sifat-sifat ini dapat dipandang bahwa setiap materi terdiri darimuatan negatif dan positif dan jika bahan bermuatan netral maka dikatakan bahwa perbandinganmuatan positif dan negatif untuk setiap macam bahan adalah sama. Sementara pada konduktorsalah satu dari muatan tersebut dapat bergerak dengan bebas (pada logam misalnya adalah elektron,sedangkan pada elektrolit adalah ion), sedangkan pada isolator kedua macam muatan tersebutterikat secara kuasi-elastik satu sama lain. Dalam pengaruh medan listrik muatan-muatan yangterdapat di dalam isolator mengalami pergeseran posisi.

Bagaimana arah pergeseran muatan positif dan negatif ?

Muatan positif akan bergeser searah medan listrik dan muatan negatif pada arah sebaliknya.Semakin besar medan listrik yang diberikan, maka posisi pergeseran muatan akan semakin be-sar. Pergeseran muatan yang saling berlawanan dengan arah pergeseran yang saling berlawananpula disebut sebagai polarisasi dan dinyatakan dengan vektor parameter ~P, yang mengandung duapengertian, akan tetapi mempunyai definisi yang sama.


Definisi pertama ~P dapat digambarkan melalui polarisasi muatan berbeda yang terdapat di dalamisolator dan memandang PndA sebagai jumlah muatan listrik yang melalui elemen luas dA pada arahvektor normal ~n, jika isolator berubah dari keadaan tidak terpolarisasi menjadi terpolarisasi.

Dari definisi ini ~P dapat dimengerti secara langsung, bahwa pada suatu isolator yang terpolarisasiakan terdapat kerapatan muatan di permukaannya sebesar:

σP = Pn. (2.2.1)

Pandang suatu permukaan selinder dengan elemen luas dA dan permukaan alasnya berada di luarisolator, sedangkan permukaan lainnya menempel pada isolator. Maka dengan memberikan medanlistrik pada isolator ini akan terdapat muatan litrik sebanyak PndA. Dengan cara yang sama akandiperoleh muatan yang masuk ke dalam volume terbatas dari isolator, karena isolator mengalamipolarisasi, yaitu:

eP =⊂⊃

∫∫Pn dA,

dengan integral dibatasi oleh permukaan yang melingkupi volume ybs. dan ~n menggambarkanvektor normal di luar. Berdasarkan hukum Gauss, pernyataan di atas dapat pula ditulis dalambentuk:

eP = −

∫∫∫~∇ · ~P dv,

dan sesuai dengan kerapatan muatan volume terpolarisasi (inhomogen) sbb:

%P = −~∇ · ~P. (2.2.2)

Sebagai definisi kedua dari ~P dapat dimengerti dengan gambaran bahwa dengan adanya po-larisasi pada isolator sehingga menyebabkan pergeseran posisi muatan, maka masing-masing atomisolator akan membentuk momen dipol atau dengan perkataan lain sebagai pembawa momen dipol.Dalam hal ini medan listrik dari momen dipol atomik tersebut, demikian pula dengan potensialnya,merupakan penjumlahan dari masing-masing medan listrik yang ada dari medan dipol masing-masing atom; berdasarkan hal ini maka momen dipol akan lebih jelas jika dinyatakan terdapat didalam elemen volume dv dalam ”‘momen dipol”’ tunggal ~Pdv, sehingga penjumlahan terhadap se-mua medan listrik atau potensial semua dipol yang ada yang terdapat di dalam isolator dapat ditulisdalam bentuk integrak terhadap semua medan listrik atau potensial dari momen dipol ~Pdv.

Agar prosedur rumusan ini lebih jelas lagi, dapat dipandang kembali teori elektron, dengan ~Pdvdinyatakan dalam dN = n dv sebagai jumlah momen dipol yang terdapat di dalam elemen volume dv.Berdasarkan teori elektron apabila ~p adalah momen dipol rata-rata yang terdapat di dalam elemenvolume dv, maka secara sederhana ~P = n ~p.

Selanjutnya masih akan ditunjukkan bahwa kedua definisi dari ~P mempunyai pengertian yangsama. Berdasarkaan § 1.8.2 potensial di suatu titik berjarak ~r′ di mana terdapat momen dipol ~pterhadap titik~r diberikan sebagai:

ϕ(r) =~p

4πε

~r −~r′

|~r −~r′|3=

~p4πε

~∇′1

|~r −~r′|,

2.2. POLARISASI PADA BAHAN DIELEKTRIK 51

dan berdasarkan definisi kedua untuk potensial ϕP yang timbul dari benda mengalami polarisasipada jarak~r adalah

ϕP(r) =1

4πε

∫∫∫~P(~r′) dv′ ~∇′

1|~r −~r′|

. (2.2.3)

Karena

~∇′ ·~P(~r′)|~r −~r′|

=1

|~r −~r′|~∇′ · ~P(~r′) + ~P(~r′) ~∇′

1|~r −~r′|

,

maka dengan menggunakan hukum G diperoleh:

ϕP(r) =1

4πε⊂⊃

∫∫Pn(~r′)|~r −~r′|

dA′ −1

4πε

∫∫∫~∇′ ·

~P(~r′)|~r −~r′|

dv′. (2.2.4)

Hubungan ini menjelaskan dengan tepat bahwa muatan permukaan isolator adalah sama denganσP = Pn dan suatu muatan yang terdistiribusi di dalam ruang sebesar %P = −~∇·~P, yaitu sesuai dengandefinisi pertama dari ~P pada pers[2.2.1] dan [2.2.2].

Sekarang akan dicari hubungan antara konstanta dielektrik ε yang dibicarakan pada § 2.1 den-gan definisi ~P. Untuk itu perhatikan kembali kondensator plat yang mengandung plat isolatordiantaranya. Dalam pembahasan ini akan dibahas kasus polarisasi homogen dari isolator, yangmempunyai kerapatan muatan permukaan sebesar σP, muncul di permukaan kondensator, yangdisebut juga sebagai muatan polarisasi. Dari pers[2.1.5] berlaku pula bahwa

P = σP = (ε − 1) ε E,

dengan E adalah kuat medan listrik yang terdapat di dalam isolator. Gunakan pernyataan di atasuntuk kasus lebih umum, yaitu jika isolator berbentuk sembarang terhadap vektor medan listrikyang tidak bergantung tempat ~E di dalam isolator, maka diperoleh hubungan sebagai:

~P = (ε − 1) ε ~E, (2.2.5)

yang menghubungkan antara ~P dan ~E, dengan konstanta kesebandingannya adalah ε. Besaran

ε − 1 = χ (2.2.6)

disebut sebagai suseptibilitas listrik dari materi.Seandainya dalam hal ini dapat diketahui secara langsung, bahwa hubungan sederhana yang

terdapat pada pers[2.2.5] antara ~P dan medan listrik yang timbul ~E adalah tidak berlaku untuk semuabahan dielektrika, maka arah vektor ~P di dalam kristal tunggal misalnya tidak akan sama denganarah medan listrik ~E; selanjutnya ε dan χ selain mempunyai bentuk skalar juga dapat berbentuktensor, yaitu hubungan antara komponen-komponennya dapat dinyatakan sbb:

Px = ε (χxx Ex + χxy Ey + χxz Ez)Py = ε (χyx Ex + χyy Ey + χyz Ez)Pz = ε (χzx Ex + χzy Ey + χzz Ez) (2.2.7)


atau PxPyPz

= εχxx χxy χxzχyx χyy χyzχzx χzy χzz

ExEyEz

. (2.2.7a)

dan dari hubungan ini dapat diperhatikan bahwa komponen ~P dan ~E tetap mempunyai hubunganlinier.

Terdapat pula bahan-bahan (misalnya garam S, Barium titanat) yang di dalamnya kom-ponen ~P dan ~E tidak mempunyai hubungan linier satu sama lain, dan masih bergantung padaperlakuan pada proses pembuatan bahan yang berangkutan, mirip seperti pada ferromagnet yangtidak mempunyai hubungan secara langsung antara momen magnetisasi dan medan magnet. Dalampembahasan selanjutnya tidak akan dibicarakan kasus lain selain yang berlaku pada pers[2.2.5].

Dalam pembahasan hubungan linier antara ~P dan ~E dapat ditilik dari kelakuan atom-atom ataumolekul materi yang diletakkan di dalam medan listrik. Selanjutnya dalam pembahasan ini akandibedakan antara bahan yang tidak mempunyai momen dipol dalam keadaan tidak terpolarisasi danbahan yang telah mempunyai momen dipol permanen, seperti misalnya pada HCl, HBr dan HI.

Untuk jenis bahan pertama dengan timbulnya medan listrik di dalam atom akan terdapat pulamomen dipol listrik yang untuk kuat medan yang tidak terlalu besar adalah sebanding dengan medan~Ea:

~p = α~Ea. (2.2.8)

α disebut sebagai polarisabilitas. Harganya ditentukan oleh gambaran atomik dengan model atom.Harga α dengan model atom yang hingga kini dikembangkan lebih kurang mendekati:

α ≈ 4πεa3, (2.2.9)

dengan a adalah jari-jari atom. Dalam hal ini bahkan, menurut pers[1.7.6], berlaku tanda yang sama,jika dianggap tanpa memandangnya dengan teori elektron atau mekanika kuantum, hanya meman-dang pengandaian M, bahwa sebuah atom dapat dianggap mempunyai sifat seperti sebuahkonduktor berbentuk bola. Dengan cara analog molekul dapat dianggap mirip sebuah elipsoidakonduktor, sehingga dari pegandaian demikian akan diperoleh harga anisotropi α yang bergantungpada orientasi molekul, karenanya χ akan mempunyai sifat sebagai tensor seperti dinyatakan padapers[2.2.7].

Untuk kasus kedua, jika sebuah molekul tidak berada dalam keadaan terpolarisasi, molekul telahmempunyai momen dipol p, maka pada molekul di samping munculnya momen dipol induksi dalammedan ~Ea masih terdapat pula orientasi parsial momen dipol terhadap masing-masing medan yangada di dekatnya. Karena medan tersebut berusaha untuk memutar semua momen dipol yang beradadi dekatnya sehingga mempunyai arah yang sesuai dengan aah medan yang bersangkutan; akantetapi selain terjadi orientasi momen dipol karena medan tersebut, terdapat pula deorientasi momendipol karena pengaruh temperatur pada tiap molekul yang cenderung melawan arah orientasi karenamedan. Perhitungan harga rata-rata momen dipol ~p dari harga ~p merupakan ”‘tugas”’ mekanikastatistik. Untuk kasus momen dipol yang dapat dirotasikan secara bebas, misalkan momen dipoldari molekul gas, dalam medan yang tidak begitu besar diperoleh:

~p =~p

2

3kT~E atau α =

~p2

3kT(2.2.10)

2.3. PERSAMAAN DASAR DIELEKTRIKA 53

dengan k adalah konstanta B (k = 1, 37 · 10−23 W det/) dan T adalah temperatur absolut.Untuk memperoleh gambaran fisis secara makroskopik suseptibilitas listrik χ dari pengamatan

atomik ini, harus dicari hubungan dan perbedaan antara kuat medan yang berpengaruh di atas ~Ea

dan kuat medan listrik makroskopik ~E. Untuk ini pembahasan akan sampai pada persoalan palingyang menentukan dalam teori elektron: Antara masing-masing pembangun (elemen) bermuatandari materi pasti terdapat medan elektromagnetik yang sangat cepat berubah-ubah terhadap waktu.Misalkan kuat medan listrik ini adalah ~e = ~e(~r, t). Di dekat titik muatan ke j, e j, medan tersebutakan mempunyai harga tak berhingga, yaitu ~e(~r −~r j)/4π4πε|~r −~r j|

3. Medan yang bekerja pada titikmuatan ini E j akan diperoleh melalui ~e, melalui pengurangan tanpa memperhatikan adanya medandiri dari muatan yang bersangkutan:

~E j = limr→r j

(~e j(~r, t) −

e j

4πε

Catatan : Sementara dalam sistem satuan G pers[2.2.1] dan [2.2.2] untuk muatan terpolarisasi,yang secara formal tidak mengalami perubahan, pers[2.2.5] sekarang mempunyai bentuk sbb:

~P∗ =ε − 14π

~E∗ = χ∗ ~E∗.

Suseptibilitas listrik χ∗ dalam hal ini merupakan konstanta alamiah yang tidak mempunyai dimensi,yaitu lebih kecil sebesar faktor 1/4π dari definisi χ pada pers[2.2.6]. Karenanya definisi χ∗ yang baruuntuk keadaan ada medan dalam sistem satuan G adalah:

~E∗a = ~E∗ +

4π~P∗

3.

2.3 Persamaan Dasar Elektrostatika untuk Isolator

(Persamaan M untuk Pergeseran Medan)Dua pembahasan yang telah diberikan sebelumnya memungkinkan untuk menjadi dasar pem-

bicaraan selanjutnya tentang persamaan dasar elektrostatika untuk kasus, bahwa di dalam ruangyang diamati di samping benda logam terdapat pula bahan dielektrik. Selanjutnya berlaku, sepertisebelumnya:

~∇ × ~E = 0, berarti ~E = −~∇ϕ. (2.3.1)

Karenanya untuk memindahkan suatu muatan pada kurva tertutup sekarang tidak lagi memerlukankerja. Maka secara umum pada daerah batas dua medium komponen tangensial dari ~E haruslahtetap sama. Apabila tidak demikian, maka untuk memindahkan sebuah muatan melewati batas duamedium, akan diperlukan kerja, tergantung apakah muatan dipindahkan dari medium pertama ataudari medium kedua. Seandainya diingat bahwa dalam kasus elektrostatika komponen tangensialdari ~E di permukaan logam mempunyai harga yang tetap dan di daerah lainnya, di dalam dan diluar logam medan ini akan sama dengan nol.

Hal sebaliknya untuk persamaan dasar elektrostika dari pers[2.3.1] adalah persamaan kedua,yaitu hukum garis-garis gaya medan listrik, karena kemungkinan terdapatnya muatan polarisasi


%P dan σP, selain muatan ”‘nyata”’ yang telah diamati sebelumnya, yaitu % dan σ akan mengalamiperubahan. Dalam hal ini di dalam materi, selain pers[1.4.7], berlaku pula bahwa

~∇ · ~E = (% + %P)/ε = (% − ~∇ · ~P)/ε, (2.3.2)

sementara pada daerah batas dua medium 1 dan 2, karena pers[1.4.9] dan [2.2.1] berlaku

(En)1 − (En)2 = (σ + σP)/ε = (σ − (Pn)1) + (σP − (Pn)2)/ε; (2.3.3)

dalam hal ini vektor normal ~n akan mengarah dari permukaan batas medium 2 ke medium 1,karennya muatan polarisasi diberi tanda negatif.

Apa perbedaan antara muatan sebenarnya dan muatan polarisasi ?

Perbedaan antara muatan sebenarnya dan muatan polarisasi adalah bahwa muatan pertamadapat diturunkan, sedangkan muatan terakhir terikat erat di dalam materi. Apabila di dalam medanlistrik homogen diletakkan dua buah plat logam sejajar tegak lurus arah medan, maka pada plat akanterdapat muatan induksi dan muatan tersebut akan tetap berada di permukaan walaupun keduaplat dijauhkan satu sama lain dan pengaruh medan di tiadakan. Apabila dua plat logam digantidengan sepasang plat gelas, maka pada permukaan gelas akan terdapat pula muatan, akan tetapidalam bentuk muatan polarisasi, akan tetapi muatan tersebut segera akan lenyap jika kedua plat gelasdijauhkan dari medan, berlaku sama apakah kedua plat saling dijauhkan atau tidak.

Pada pers[2.3.2] dan [2.3.3] muncul besaran ~E dan ~P hanya dalam hubungan ε ~E+~P. Vektor yangbaru ini didefinisikan sebagai

~D = ε ~E + ~P (2.3.4)

yang disebut sebagai vektor pergeseran medan (pergeseran pada persamaan M). Untuk vektorini berlaku:

~∇ · ~D = % (2.3.5)

dan untuk daerah batas antara dua medium berlaku pula:

(Dn)1 − (Dn)2 = σ. (2.3.6)

Apa sumber vektor ~D dan ~E?

Sumber ~D adalah juga muatan sebenarnya, sementara sumber adalah jumlah muatan senenarnyadan muatan polarisasi (muatan total) dan di dalam literatur lama disebut sebagai ”‘muatan bebas”’.

Khususnya dengan memperkenalkan vektor pergeseran medan ~D, selain vektor kuat medan ~Emenyebabkan persamaan garis gaya medan listrik dalam bentuk diferensial pada pers[2.3.5] dan[2.3.6], masing-masing dapat pula ditulis dalam bentuk persamaan integral sbb:

⊂⊃

∫∫A

Dn dA = Q (2.3.7)

(Muatan total di A yang terdapat di dalam volume tertutup.) yaitu diformulasikan tanpa diperlukanpengetahuan struktur materi dan sifat dapat terpolarisasinya (polarisabilitas).

2.3. PERSAMAAN DASAR DIELEKTRIKA 55

Pengukuran ~E di vakuum karena ~D = ε~E juga akan diperoleh secara langsung ~E, maka untukmateri akan diperoleh harga ~E dan ~D sekaligus. Di dalam ruang yang berisi gas dan kebanyakanjuga pada zat cair ~E adalah timbul dari garis-garis gaya muatan test. Untuk pengukuran ~D dapatrdilakukan dengan meletakkan dua plat logam saling paralel (luas permukaan A) di dalam medanlistrik, diletakkan sedemikian rupa, sehingga pada permukaan plat logam akan timbul muataninduksi +q dan −q; muatan-muatan ini dapat diukur dengan menggunakan Galvanometer setelahplat dijauhkan dari medan; dalam hal ini ~D terletak tegak lurus terhadap permukaan plat, mengarahdari muatan negatif ke muatan positif, dan akan mempunyai harga sebesar D = q/A. Pengukuran ~Epada zat padat dilakukan dengan membuat kanal (membor plat ybs.) searah dengan medan listrik~E dan karena komponen tangensial medan yang tetap pada dinding kanal pada arah ~E, maka ~Edapat ditentukan berdasarkan harga terukur ~E pada kanal tersebut. Pengukuran ~D pada isolatorisolator padat dilakukan mirip dengan kasus pada konduktor, yaitu dengan membuat kanal padaplat isolator, memotong tegak lurus garis-garis gaya ~D dan karenanya ~D pada pers[2.3.6] dapatdiukur pula melalui kanal tersebut, selama tidak terdapat muatan di permukaan kanal tersebut.

Cara mementukan vektor ~E dan ~D demikian, sehingga akan diperoleh ~P, yang pada bahandielektrik normal satu sama lain mempunyai hubungan linier, maka dari pers[2.2.5] dan [2.3.4]diperoleh:

~D = ε ε ~E (2.3.8)

dengan ε adalah konstanta dielektrik relatif yang masih bergantung terhadap posisi (di dalam ruang).Kadang-kadang ~D juga didefinisikan seperti pada pers[2.3.8]; akan tetapi definisi ini adalah terlalukhusus dibandingkan dengan definisi pada pers[2.3.4]. Seperti halnya telah disebutkan, dalampembahasan selanjutnya penggunaan pers[2.3.8] dibatasi untuk kasus sederhana yang lebih khusus.

Dalam hal ini syarat batas yang berlaku di daerah batas antara dua isolator (komponen tangensialdari ~E yang tetapi (kontinu) dan komponen normal dari ~D) dapat dirumuskan sifat-sifat hukumpembiasan dari garis-garis medan,: Jika sin α1 dan α2 adalah sudut antara garis-garis gaya medandan vektor normal pada permukaan batas dua medium yang sama, maka diperoleh:

E1 sin α1 = E2 sin α2, D2 cos α1 = D2 cos α2

dan jika dihubungkan dengan pers[2.3.8] diketahui pula bahwa:

tan α1

tan α2=ε1

ε2. (2.3.9)

Catatan : Dalam sistem satuan G pers[2.3.2] ditulis sbb:

~∇ · ~E∗ = 4π (%∗ + %′P)/ε = (%∗ − ~∇ · ~P∗)/ε

dan vektor pergeseran medan ~D∗ didefinisikan sebagai:

~D∗ = ~E∗ + 4π~P∗

khususnya juga~D∗ = ε ~E∗.


Sehingga harga ~D∗ di dalam materi adalah

~∇ · ~D∗ = 4π%∗

dan pada daerah permukaan batas berlaku:

(D∗n)1 − (D∗n)2 = 4πσ∗.

Sementara ~E dan ~D dalam sistem satuan SI mempunyai dimensi yang berbeda; satuan garis-garisgaya medan listrik ~E adalah dalam V/m, besaran muatan ~D diukur dalam A/m2. Dalam satuan G~E∗ dan ~D∗ mempunyai dimensi yang sama dan di vakuum bahkan keduanya identik, yaitu ~E dan~D/ε. Vektor pergeseran ~D dan ~D∗ pada dasarnya untuk perlakuan elektrodinamik di materi.

Dari perbedaan definisi satuan vektor ini diperoleh hubungan dari pers[1.3.15]:

~E∗ =√

4πε ~E, ~D∗ =√

4π/ε ~D, ~P∗ =√

1/4πε ~P. (2.3.10)

2.4 Contoh Elektrostatika Dielektrik

2.4.1 Sebuah Muatan Titik di depan Dielektrik Setengah Bola

Pandang sebuah muatan e di titik A pada jarak a dari permukaan datar suatu bahan dielektrik danakan dicari medan C setelah terjadi perubahan yang dialami oleh bahan dielektrik. Persoalanini dapat diselesaikan sesuai dengan yang telah dijelaskan sebelumnya pada § 1.7.1 untuk suatukonduktor. Pada pembahasan yang lalu hanya diperlukan medan listrik di dalam ruang berisi udara,karena pada permukaan konduktor sendiri medan adalah sama dengan nol. Dalam pembahasan iniharus pula dilakukan perhitungan medan di dalam bahan dielektrik. Misalkan koefisien dielektrikrelatif di dalam bahan adalah ε2 dan di ruang adalah ε1. Akan dicoba pula untuk menyelesaikanpersoalan ini dengan metode muatan cermin. Misal B adalah cerminan titik A dipandang terhadappermukaan bahan dielektrik dan misalkan pula bahwa r dan r′ adalah jarak masing-masing titik Adan B. Potensial di dalam ruang berisi udara adalah:

ϕ1 =1

4πεε1

(er−

e′

r′

), (2.4.1)

adalah sesuai dengan medan akibat muatan sebenarnya e di titik A dan medan akibat muatancerminan −e di titik B. Rumusan ini memenuhi syarat dasar, bahwa sumber dari pergeseran medandi dalam ruang hanya terdapat di titik A; karena titik cerminan B terletak di luar ruang udara. Medanyang terdapat di dalam bahan dielektrik dicoba untuk dirumuskan melalui persamaan sbb:

ϕ2 =1

4πεε2

e∗

r. (2.4.2)

Medan di dalam isolator haruslah sedemikian, seolah isolator mengalami pengembangan ukuranmenjadi tak berhingga dan seolah di titik A terdapat muatan sebesar e∗. Rumusan ini memenuhikondisi bahwa di dalam bahan dielektrik tidak terdapat sumber atau penurunan pergeseran medanlistrik.

2.4. CONTOH ELEKTROSTATIKA DIELEKTRIK 57

Selanjutnya masih harus ditunjukkan bahwa medan yang dicari adalah benar-benar dapat diper-oleh dari kedua rumusan di atas dan akan dibuktikan pula bahwa syarat kontinuitas pada daerahpermukaan batas, yaitu untuk r = r′, dapat dipenuhi melalui semua besaran yang tersedia, yaitumuatan e dan e∗ yang hingga kini belum diketahui. Selain itu komponen tangensial dari ~E pada saatmelewati permukaan batas dua medium haruslah tetap kontinu dan demikian pula karena ~E = −~∇ϕdan tentunya juga ϕ; maka untuk r = r′ harus pula berlaku bahwa ϕ1 = ϕ2, sehingga didapat:

e − e′

ε1=

e∗

ε2.

Selain itu komponen normal dari ~D haruslah tetapi kontinu, karena

(Dn1)r=r′ =(e + e′)a

4πr3 , (Dn2)r=r′ =e∗a

4πr3 ,

dengan ~n sebagai vektor satuan dari ruang udara ke dalam isolator dengan

e + e′ = e′′.

Maka berlaku:e′ = e

ε2 − ε1

ε2 + ε1, e′′ = e

2ε2

ε2 + ε1.

Dalam hal ini medan yang terdapat di udara dan di dalam isolator menjadi jelas dan tidak berten-tangan. Garis-garis gaya terdapat di dalam daerah dielektrik sedemikian, datang secara radial darititik A, sementara medan di udara melalui tumpang tindih dari dua garis-garis gaya yang berasaldari sumber muatan di A dan akan mengakibatkan menurunnya medan di titik B. Akhirnya padadaerah batas akan terdapat ”gaya cerminan” dengan harga ee′/16πεε1a2.

Jika bahan dielektrik diganti dengan bahan konduktor, maka berdasarkan § 1.7.1, menentukanmedan di dalam ruang berisi udara, akan terdapat muatan cermin sebesar −e. Pengaruh gangguandari bahan dielektrik pada harga medan listrik, jika dibandingkan dengan pengaruh gangguan yangterdapat pada konduktor dapat ditentukan melalui persamaan sbb:

e′

e=ε2 − ε1

ε2 + ε1.

Pada bahan dielektrik terdapat pengaruh yang jauh lebih kecil dibanding pada konduktor. Padadaerah batas dengan konstanta dielektrik ε2 dari isolator sangat besar dibandingkan udara, sehinggamenjadikan e′ ≈ e; konduktor mempengaruhi pula medan listrik di udara sesuai dengan hargakonstanta dielektrik yang besar.

Di dalam bahan dielektrik dengan konstanta dielektrikum ε2 akan timbul medan listrik untukkasus ε2 = ε1 akan melemah dengan faktor

e′′

ε2:

eε1= 2ε1 : ε2 + ε1.

Untuk daerah batas ε2/ε1 → ∞medan listrik di dalam isolator adalah sama dengan nol persis samaseperti pada konduktor.


2.4.2 Bola Dielektrik di dalam Medan Listrik Homogen

Sebuah bola berjari-jari a dan mempunyai konstanta dielektrik ε2, misalkan terdapat di dalammedan homogen, sedangkan ruang lainnya diisi oleh bahan dielektrikum dengan konstanta dielektrikε1. Misalkan bahwa medan E, sebelum bola dimasukkan ke dalamnya arah medan adalah padasumbu z. Bagaimana medan mengalami modifikasi dengan adanya bola tersebut ?

Untuk menjawab pertanyaan ini akan ditentukan terlebih dahulu potensialϕ dari sifat-sifat sbb:

1. ϕ memenuhi persamaan L ∇2ϕ = 0.

2. Pada daerah tak berhingga potensial tetap berharga ϕ.

3. Pada jarak yang sangat jauh dari bola tersebut (lim r → ∞) ϕ haruslah berharga sama denganEz.

4. ϕ sendiri dan juga komponen tangensial dari ~∇ϕ = −~E jika melewati bola adalah kontinu.

5. Di permukaan bola komponen normal dari ~∇ϕ akan mengalami gangguan sehingga menye-babkan harganya menjadi ε ∂ϕ/∂r dan pada kedua daerah mempunyai harga yang sama.

Dari syarat 1 dan simetri rotasi dari sistem terhadap sumbu z harga ϕ dari pers[1.7.19] dapat ditulisdalam bentuk (dengan memisalkan bahwa z = r cosϑ):

ϕ(r, ϑ) =∞∑

l=0

[b(1)

l

( ra

)l− c(1)

l

( ra

)l+1]

P(cos ϑ) untuk r ≤ a

ϕ(r, ϑ) =∞∑

l=0

[b(2)

l

( ra

)l− c(2)

l

( ra

)l+1]

P(cos ϑ) untuk r ≥ a. (2.4.3)

Dari syarat 2 untuk r = 0 haruslah semua harga c(2)l = 0. Sedangkan dari syarat 3 diperoleh bahwa

b(2)l = 0 dengan pengecualian untuk harga b(2)

1 = −Ea. Dari syarat 4 dan 5 memberikan harga semua

koefisien selain itu berharga nol denga pengecualian koefisien b(1)1 dan c(2)

1 , sehingga rumusan padapers[2.4.3] hanya mengandung suku P1(cosϑ) = cosϑ = z/r. Dengan demikian pers[2.4.3] dapatditulis kembali secara sederhana dalam bentuk:

ϕ(r, ϑ) = −Ei r cos ϑ = −Ei r untuk r ≤ a

ϕ(r, ϑ) = −E (1 − kr−3) cos ϑ = −E (1 − kr−3) untuk r ≥ a. (2.4.4)

Dengan demikian di dalam bola terdapat medan homogen dengan kuat medan Ei pada arah sumbuz, bola mengalami polarisasi homogen pada arah ini. Di luar bola sebaliknya bola akan berpengaruhsedemikian, seolah di pusatnya terdapat momen dipol dengan momen p = 4πεε1Ek, dan medannyaakan tumpang tindih dengan medan luar.


Harga-harga medan Ei dan konstanta k dapat ditentukan berdasarkan syarat kontinuitas padapermukaan bola (lihat syarat 4 dan 5 di atas):

Ei = E (1 − k a−3) dan ε2 Ei = ε1 E (1 − 2k a−3),

atau juga

Ei =3ε1

2ε1 + ε2E, k =

ε2 − ε1

ε2 + 2ε1a3. (2.4.5)

Untuk kasus khusus, jika bola terdapat di dalam vakuum, yaitu untuk ε1 = 1 dan ε2 = ε = 1 + χ > 1,maka medan listrik yang terdapat di dalam bahan dielektrik, jika dibandingkan dengan medan listrikluar E, akan melemah dengan faktor: 3/(ε+ 2) = 1/(1+χ/3) dan vektor pergerseran medan listrik ~Ddibandikan dengan ~D akan mengalami penguatan dengan faktor 3ε/(ε + 2) (garis-garis gaya yangsaling tumpang tindih di dalam bola adalah dapat dirunut dari hukum G: hukum garis gayamedan listrik). Bola mempunyai polarisasi muatan homogen dan ditulis dalam bentuk:

~P = (ε − 1) ε Ei =3εε + 2

ε ~E/(

1χ+

13χ

)(2.4.6)

dan akan bekerja ke arah luar sebagai dipol dengan momen dipol sebesar:

~p =4πa3

3~P = 4π a3

(ε − 1ε + 2

)ε ~E. (2.4.7)

sesuai dengan rumusan di atas dengan k = a3(ε − 1)/(ε + 2).Perbandingan persoalan ini dengan bola konduktor (lihat § 1.7.2) menunjukkan akan mempunyai

kelakuan mirip seperti sebuah bola isolator yang mempunyai harga konstanta dielektrik ekstrim besarε→∞.

2.4.3 Elipsoida Dielektrik Terpolarisasi

Apabila sebuah benda dengan permitivitas ε = 1+χditempatkan di dalam medan listrik homogenE, maka secara umum, seperti telah dibahas pada bola dielektrik, tidak akan muncul polarisasisebesar ~P = χε~E, melainkan ~P = χε~Ei. Dengan terjadinya polarisasi menyebabkan medan yangterdapat di dalam dielektrik ~Ei adalah berbeda dari ~E. Untuk bentuk benda sembarang, medantambahan yang timbul karena adanya polarisasi ~P adalah ~E′ = ~Ei−~E dan di dalam materi medan iniadalah sebagai fungsi kompleks dari posisi, sehingga adanya medan homogen ~E tidak menyebabkantimbulnya polarisasi ~P homogen.

Kapan muncul polarisasi ~P ?

Polarisasi homogen ~P akan muncul hanya jika bentuk benda adalah elipsoida.

Mengapa harus elipsoida ?

Untuk tiga kasus yang akan dipandang berikut ini, harapan ini dapat dilihat secara langsungmelalui sebuah kawat panjang, bola dan plat. Kawat panjang dapat dipandang sebagai sebuahelipsoida berukuran panjang; apabila dianggap bahwa arah medan adalah sesuai dengan arah sumbu


kawat, maka berdasarkan kontinuitas dari komponen tangensial ~E, juga di dalam kawat ~Ei = ~E;sehingga untuk kawat panjang yang mengalami polarisasi diperoleh:

~P = χ ε ~E, ~E′ = ~Ei − ~E. (2.4.8)

Untuk bola, dari pers[2.4.6]:

~P = χ ε ~Ei = ε ~E/(

1χ+

13

), ~E′ = ~Ei − ~E =

~P3ε

. (2.4.9)

Untuk plat dielektrik dapat dipandang pula sebagai elipsoida mendatar, dengan tebal terbatas,sehingga jika diberikan medan listrik ~E pada arah tegak lurus terhadap permukaan plat, karenakontinuitas komponen normal dari vektor pergeseran medan di dalam plat akan mempunyai hargayang sama dengan vektor pergeseran medan listrik di luar plat; atau dengan perkataan lain ~Ei =~E/ε, sehingga:

~P = χ ε ~E = ε ~E/(

1χ+ 1

), ~E′ = ~Ei − ~E = −

~Pε. (2.4.10)

Faktor dari −~Pε dalam persamaan ~E′, yang bergantung dari bentuk benda, disebut sebagai faktordielektrisasi . Faktor ini akan sama dengan nol untuk dielektrik berbentuk kawat panjang, samadengan 1

3 untuk bola dan berharga 1 untuk plat.Untuk kasus umum, yaitu elipsoida tiga sumbu (x, y, z), dapat dibuktikan melalui: Jika elipsoida

serupa ini diletakkan di dalam medan listrik ~E, maka bahan ini akan mengalami polarisasi homogen.Dalam hal ini Px, Py dan Pz, sebagai komponen ~P pada masing-masing sumbu koordinat, sehinggadi dalam bahan dielektrik akan muncul medan tambahan, yaitu ~E′ = ~Ei − ~E, dengan komponen-komponennya adalah:

E′x = −APx

εE′y = −B

Py

εE′z = −C

Py

ε. (2.4.11)

Ketiga konstanta A, B dan C disebut sebagai faktor dielektrisitas elipsoida. Jika faktor ini diketahuimaka polarisasi yang terjadi di dalam medan luar ~E, yaitu ~P = χε~E = χε(~E + ~Eprime) menjadi:

Px = −ε Ex(1χ + A

) Py = −ε Ey(1χ + B

)Pz = −ε Ez(1χ + C

) . (2.4.12)

Perhitungan faktor dielektrisitas adalah menjadi pusat perhatian pembahasan selanjutnya.Untuk menyelesaikan persoalan ini pandang seandainya terjadi polarisasi P melalui pergeseran

infinitisimal dua elipsoida yang sama dengan kerapatan muatan sama +% dan −%. Selanjutnya akanditentukan potensial ϕ suatu elipsoida yang diberi muatan, dengan permukaannya diberikan olehpersamaan:

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1. (2.4.13)

Untuk potensial ini berlaku rumusan berbeda untuk suatu tempat di dalam elipsoida (ϕ = ϕd, ∇2ϕd =

−%/ε) dan daerah di luar elipsoida (ϕ = ϕl, ∇2ϕl = 0). Akan ditunjukkan bahwa persoalan ini dapat


diselesaikan melalui formulasi D sbb:

ϕd =abc%4ε

∞∫0

(1 −

x2

a2 + λ−

y2

b2 + λ,−

z2

c2 + λ

)dλ

D(λ),

ϕl =abc%4ε

∞∫u

(1 −

x2

a2 + λ−

y2

b2 + λ,−

z2

c2 + λ

)dλ

D(λ). (2.4.14)

Dalam rumusan di atas D(λ) adalah

D(λ) =√

(a2 + λ2)(b2 + λ2)(c2 + λ2), (2.4.15)

dan batas bawah integrasi u ≡ u(x, y, z) didefinisikan sebagai yang terbesar yang terdapat di luardari elipsoida dan merupakan akar positif dari persamaan:

x2

a2 + u+

y2

b2 + u+

z2

c2 + u= 1. (2.4.16)

Dari definisi ini selanjutnya turunan ϕd dan ϕl untuk u = 0, atau berarti bahwa pada permukaanyang dinyatakan pers[2.4.13] tetap kontinu. Kontinuitas turunan pertama dapat diketahui dari

∂ϕd

∂u= −

abc%2ε

,

∞∫0

x(a2 + λ)D(λ)

,∂ϕl

∂u= −

abc%2ε

∞∫0

xdλ(a2 + λ)D(λ)

. (2.4.17)

dalam hal ini turunan varphil dengan batas bahwa integrasi u karena pers[2.4.16] tidak memberikanharga apapun.

Selanjutnya masih akan ditunjukkan, bahwa keddua rumusanϕ pada pers[2.4.14] masing-masingjuga memenuhi persamaan P dan L. Bahwa hal ini berlaku untuk ϕd dapat diketahuidari persamaan pertama pada pers[2.4.17] dan dari hubungan pada pers[2.4.15]

∇2 ϕd = −

abc%εD(λ)

∞∫0

( 1a2 + λ

+1

b2 + λ+

1c2 + λ

) dλD(λ)

,

= −abc%εD(λ)

∞∫0

d ln D(λ)dλ

dλD(λ)

= −abc%εD(0)

= −%

ε.

Hubungan yang mirip untuk ϕl masih mengandung suku turunan dari batas bawah integrasi:

∇2 ϕl = −

abc%εD(u)

∞∫0

1 −

12

[x

(a2 + u)2

(∂u∂x

)+

y(b2 + λ)2

(∂u∂y

)+

z(c2 + λ)2

(∂u∂z

)].

Karena suku dalam tanda kurung segiempat sama dengan nol, sehingga ∇ϕl = 0, maka daripers[2.4.16] diperoleh turunan u terhadap koodinat sbb:(

∂u∂x

)=

2x

a2+u(x2

(a2+u)2 +y2

(a2+u)2 +z2

(a2+u)2

)


Dengan demikian relasi pada pers[2.4.14] tidak lain merupakan potensial di luar dan di dalam darielipsoida bermuatan homogen.

Akan dibuktikan bahwa ϕl untuk jarak sangat jauh dari elipsoida sebanding dengan 1/r danmendekati nol. Berdasarkan pers[2.4.16] batas bawah integrasi u akan mendekati r2. Kemudianintegran pada ϕl yang mengandung a2, b2, c2, di samping λ dapat diabaikan dan diperoleh:

ϕl ≈abc%4πε

∞∫0

(1 −

r2

λ

)dλ3/2

=abc%3εr

=Q

4πεrdengan Q =

4πabc%3

,

diperolehϕl sebagaimana mestinya, untuk jarak r yang cukup besar dalam potensial C sepertiterpusat menjadi satu muatan titik.

Untuk elipsoida dengan tiga sumbu dapat dihitung dari pers[2.4.14] dengan integral eliptik.Untuk elipsoida rotasi peran integral adalah elementer, walaupun perhitungannya agak sukar. Untukkasus bola akan diperoleh penyelesaian lebih mudah seperti soal 2b pada bab I.

Dari potensial pada pers[2.4.14] yang berlaku untuk elipsoida bermuatan homogen, kemudiandapat dilakukan perhitungan untuk mencari potensial akibat muatan elpisoida terpolarisasiϕ′, yaitujika pada elipsoida dengan kerapatan muatan % ditutupi dengan elipsoida lain bermuatan −%, kemu-dian elipsoida bermuatan % digeser sebesar δr ≡ (δx, δy, δz). Proses ini adalah sama artinya dengandengan menimbulkan polarisasi linier ~P = %δ~r. Potensial ϕ′ dapat diberikan sebagai perbedaan daridua potensial yang diberikan pada pers[2.4.14] sbb:

ϕ′(~r) = ϕ(~r − δ~r)→ δ~r ~∇ϕ(~r).

Di dalam elipsoida akan diperoleh rumusan pertama dari pers[2.4.14]:

ϕ′(~r) = (x A Px + y B Py + z C Pz)/ε, (2.4.18)

dengan A, B, C diberikan sebagai:

A =abc2

∞∫0

dλ(a2 + λ)D(λ)

,

B =abc2

∞∫0

dλ(b2 + λ)D(λ)

, (2.4.19)

C =abc2

∞∫0

dλ(c2 + λ)D(λ)

.

Sebagai gradien negatif dariϕ′ kenyataannya diperoleh sekarang seperti yang diberikan dielektrisitasdari medan E′ pada pers[2.4.11]. Pada pers[2.4.19] terdapat faktor dielektrisitas untuk tiga sumbuutama elipsoida pada pers[2.4.13].


Dari pers[2.4.19] dapat dilihat bahwa berlaku

A + B + C =abc2

∞∫0

( 1a2 + λ

+1

b2 + λ+

1c2 + λ

) dλD(λ)

= abc

∞∫0

d ln D(λ)dλ

dλD(λ)

=abc

D(0)= 1. (2.4.20)

Hubungan ini berlaku untuk beberapa kasus dielektrisitas berdasarkan sifat simetri secara langsung,yaitu:

untuk kawat panjang ‖ sumbu z A = B = 1/2, C = 0,

untuk bola A = B = C = 1/3,

Untuk plat ⊥ sumbu z A = B = 0, C = 1.

Untuk bentuk lain faktor ini harus dihitung dari integral pada pers[2.4.19].Sebagai contoh praktis berikut diberikan contoh perhitungan untuk suatu elipsoida memanjang

atau vertikal (a = b < c). Perhitungan faktor A, B, C adalah sbb:

C =a2c2

∞∫0

dλ(a2 + λ)D(λ)(c2 + λ)D(λ)

. dan A = B =1 − C

2.

dengan substitusiλ = ζ2(c2

− a2) − c2

dan dengan mempeperkenalkan perbandingan ukuran dimensi elipsoida sebaga δ = c/a diperoleh:

C =δ

(δ2 − 1)3/2

∞∫δ/√

δ2−1

dζ(ζ2 − 1) ζ2

=1

δ2 − 1

δ√

δ2 − 1lnδ +√

δ2 − 1

δ −√

δ2 − 1− 1

.Untuk δ = 1 rumusan di atas tentunya akan memberikan hasil 1/3, yaitu berlaku untuk bola. Untukelipsoida berbentuk hampir bola, yaitu untuk harga δ2

− 1 sangat kecil diperoleh dengan membuat Cdalam bentuk deret:

C =13

(1 −

25

(δ2− 1) + · · ·

).

Untuk elipsoida yang sangat panjang harga δ 1, sehingga didapat

C =1δ2 (ln 2δ − 1) + · · · ,


harga C akan mendekati nol untuk δ→∞, sesuai dengan harga yang diperoleh di atas untuk sebuahbenda berbentuk kawat panjang.

Soal-Soal Latihan Bab 2

11 [] Pada sebuah kondensator plat yang masing-masing berjarak d dimasukkan plat gelas yang tebalnya δ < d dengankonstanta dielektrik ε Berapa besar faktor perubahan kapasitansi kapasitor karenanya ?

jawab-1:Cδ

Cδ=0=

[d

d − δ(1 − 1/ε)

].

12 [] Bagaimana perubahan medan listrik bumi terhadap ketinggian, jika seandainya di atmosfir dianggap tidak terdapatmuatan sebenarnya (ion dan elektron) dan seandainya pengamatan hanya mengandalkan penurunan harga konstantadielektrisitas terhadap ketinggian ? Secara sederhana dalam hal ini permukaan bumi dianggap sebagai bidang datardengan harga konstanta dielektrisitas ε = ε(0) − bz. Apa tanda muatan terpolarisasi jika dianggap bahwa muatan di bumiadalah negatif ?

jawab-2: Karena D(z) =konstan maka medan listrik akan meningkat sesuai dengan pertambahan ketinggian; muatandi atmosfir karena peristiwa polarisasi muatan akan mempunyai tanda negatif (secara praktis hal ini muncul karena hargaε − 1 yang kecil di samping muatan sebenarnya di udara tidak diperhitungkan).

13 [] Di dalam sebuah isolator dengan konstanta dielektrik ε terdapat sebuah ruang kosong berbentuk bola berjari-jari a.Bagaimana pengaruh medan luar ~E pada isolator karena adanya ruang kosong tersebut ?

jawab-3: Penyelesaian dapat dicari dengan menggunakan rumusan pada §2.4.2. Di dalam ruang kosong terdapatporsi medan sebesar:

~Ek =( 3ε

2ε + 1

)~E.

14 [] Apabila di dalam ruang kosong soal di atas ditempatkan sebuah momen dipol ~p searah dengan medan luar ~E,maka baik di dalam isolator, maupun di dalam ruang hampa akan terdapat tumpang tindih medan karena momen dipoldan medan homogen ~E. Berapa besar momen dipol ~p harus dipilih sehingga ruang di luar isolator hanya terdapat medanyang sama besarnya dengan medan ~E ? Berapa besar bagian medan yang terdapat di dalam ruang kosong ?

jawab-4: Momen dipol harus berharga ~p = 4πa2~P/3 dengan ~P = (ε−1)ε~E; momen dipol haruslah sama besar sepertimomen dipol di dalam medan ~E dari daerah berbentuk bola berjari-jari a yang terdapat di dalam isolator homogen. Bagianmedan di dalam ruang hampa ini adalah

~Ek = ~E +~P3ε

atau sama dengan medan listrik ~E pada pers[2.2.1].

Bab 3

Pengaruh Gaya dan Energi Elektrostatik

3.1 Sistem Muatan Titik Di Vakuum

Gaya-gaya dan momen putar yang timbul dari suatu sistem muatan titik dapat diturunkan dariadanya gaya pada muatan akibat medan ~E(~r). Dalam hal ini, seperti halnya di dalam mekanika,pengaruh-pengaruh gaya pada sistem selalu digambarkan sebagai jalan atau lintasan yang diben-tuknya, yaitu sebagai energi yang terkandung di dalam sistem ybs. (3.1.0)

Berapa banyak energi tersimpan di dalam sistem muatan titik ? (3.1.1)Pandang suatu sistem muatan titik e1, e2, · · · , eh yang terletak di dalam ruang vakuum dan ber-

jarak ~r1, ~r2, · · · , ~rh terhadap titik acuan dan akan dicari berapa besar energi elektrostatik yang ter-simpan di dalam sistem tersebut. Energi tersebut dapat dicari melalui kerja yang dibutuhkan untukmemindahkan masing-masing muatan dari tempat tak berhingga ke suatu tempat berjarak tertentu.Pertama-tama lakukan pemidahan muatan e1 ke tempatnya; dalam hal ini tidak diperlukan kerja,karena muatan lainnnya masih berada di tempat tak berhingga, sehingga muatan e1 tidak dipen-garuhi muatan lainnya. Kemudian pindahkan muatan e2 pada tempatnya yang berjarak |~r2−~r1| = ~r12dari muatan e1. Untuk ini diperlukan kerja untuk melawan gaya Coulomb sebesar e1 e2/4πεr12.Sekarang lakukan pemindahan muatan e3 dan diperlukan kerja sebesar (e1 e3/r13 + e2 e3/r23)/vk. Jikadilakukan seterusnya untuk semua muatan selebihnya, maka secara keseluruhan diperlukan kerjasebesar:

K =1

4πε

(e1 e2

r12+

e1 e3

r13+

e2 e3

r23+ · · ·

)=

14πε

∑ ∑1< j<k<h

e j ek

r jk. (3.1.3)

Harga energi ini haruslah tersimpan di dalam sistem sedemikian. Apabila pertanyaan tentangdimana energi tersebut terlokalisir secara elektrostatik tidak terjawab, teori jangkau jauh juga membuatpenjelasan lain dibanding dengan penjelasan berdasarkan teori medan M. Teori jangkau jauhmenjawab pertanyaan ini dengan mengandainkan bahwa kerja yang tersimpan ini adalah sebagaienergi potensial pada masing-masing muatan. Sedangkan menurut Mbahwa pembawa energitersebut tersimpan sebagai medan dan diharapkan bahwa setiap elemen volume dv di dalam ruanghampa, di mana terdapat medan listrik, mengandung energi sebesar udv, dengan u adalah kerapatanenergi yang dinyatakan sebagai:

u =12

E D =ε2

E2. (3.1.4)

65

66 BAB 3. PENGARUH GAYA DAN ENERGI ELEKTROSTATIK

Maka di suatu daerah di dalam ruang akan mengandung energi sebanyak:

U =12

∫E D dv =

∫ε2

E2 dv. (3.1.5)

Sebagai bukti bahwa kerja yang dijelaskan di atas dengan pendekatan berbeda dari h titik muatanadalah identik dengan peristiwa pertambahan energi medan U.

Untuk membuktikannya misalkan terdapat medan listrik ~E1, ~E2, · · · , ~Eh yang masing-masingditimbulkan oleh muatan e1, e2, · · · , eh. Maka berlaku:

~E = ~E1 + ~E2 + · · · + ~Eh

dan~E2 =

~E2

1 +~E2

2 + · · · +~E2

h

+ 2

~E1 ~E2 + ~E1 ~E3 + · · · ~Eh−1 ~Eh

.

Kemudian berdasarkan pers[3.1.5] dibuat energi medan U, maka akan terlihat dari harga kuadratmedan ~E2

j didapat harga U j = ε∫~E2

j dv/2 dan apabila masing-masing muatan saling berdekatan satusama lain tidak akan berubah; U j adalah energi yang berasal dari muatan e j (energi ini adalah bagiandari kerna listrik yang diperlukan seandainya muatan e j dipindahkan ke tempat dengan kerapatanmuatan lebih renggang pada jarak tak berhingga). Selanjutnya perhatikan suku yang mengandungkombinasi ~E1 ~E2 dst. Misalkan titik nol koordinat polar dipandang sebagai titik di mana muatan e1berada dan sumbu polar berada pada arah~r2 −~r1 = ~r12, maka diperoleh:

~E1 =e1

4πε

~rr3 ,

~E2 =e2

4πε

~r −~r12

|~r −~r12|3,

~E1 ~E2 =e1 e2

16π2ε2

~r −~r12 cosϑ

r2 (√

r2 − 2rr12 cosϑ + r212)3

.

Dengan demikian dapat dilakukan integrasi terhadap r secara langsung:

ε

∫E1 E2 dv =

e1 e2

16π2ε2

∫∫dΩ

∞∫0

(r − r12 cosϑ) dr

(√

r2 − 2rr12 cosϑ + r212)3

=e1 e2

16π2ε2

∫∫dΩr12=

e1 e2

4πε r12.

Dengan demikian diperoleh bahwa:

U − (U1 +U2 + · · · +Uh) =1

4πε

(e1 e2

r12+

e1 e3

r13+

e2 e3

r23+ · · ·

),

kenyataannya rumusan di atas adalah sama dengan kerja yang diberikan pada pers[3.1.5].Rumusan pada pers[3.1.5] adalah berlaku untuk logam dan beberapa bahan dielektrik. Kegunaan

dan penggunaan rumusan ini akan dibahas lebih lanjut pada bagian selanjutnya, dengan menganggapbahwa distribusi muatan adalah kontinu. Pers[3.1.5] umumnya berlaku untuk sistem muatan titik.Selanjutnya akan dibahas dua contoh sbb:

3.1. SISTEM MUATAN TITIK DI VAKUUM 67

3.1.1 Dipol di dalam Medan Listrik

Berapa besar kerja yang dibutuhkan untuk memindahkan sebuah dipol ~p dari suatu tempat ketempat lain di mana terdapat medan listrik ~E ? Untuk menjawab pertanyaan ini dengan pertolonganpers[3.1.3], gantikan e1 = +e dan e2 = −e, demikian pula ~r1 = ~r + ~s dan ~r2 = ~r, dan diketahui pulabahwa e~s = ~p; selanjutnya bayangkan bahwa ~E muncul karena adanya muatan titik e3, e4, e5, · · · , eh:

~E(~r) = −~∇ϕ(~r) dengan ϕ(~r) =1

4πε

h∑k=3

ek

|~r −~rk|.

Karena jarak~r12 tidak berubah, maka untuk memindahkan momen dipol diperlukan kerja sebesar:

K =e1

4πε

h∑k=3

ek

|~r1 −~rk|+

e2

4πε

h∑k=3

ek

|~r2 −~rk|= e

ϕ(~r +~s) − ϕ(~r)

,

dan untuk jarak ~s yang cukup kecil

K = e~s ~∇ϕ(~r) = −~p ~E.

Maka diperoleh energi sebesar −~p ~E, jika dipol diarahkan paralel terhadap medan listrik, sehinggaharus digunakan kerja sebesar ~p ~E agar dipol dapat diarahkan berlawanan orientasi medan. Kerjayang dibutuhkan dan demikian pula energi potensial U ari dipol di dalam medan akan bergantungpada sudut antara momen dipol dan medan:

U = −~p · ~E = −p E cos ϑ. (3.1.6)

Dengan demikian haruslah terdapat momen putar sebesar:

N = −∂U∂ϑ= −p E sin ϑ

yang melawan kerja untuk memperbesar sudut ϑ. Kenyataannya terdapat hubungan elementer darigambaran dipol ini (Gambar[3.1]), yaitu:

~N = e~s × ~E = ~p × ~E. (3.1.7)

Di dalam medan yang tidak homogen terdapat pula pengaruh gaya sebesar:

~F = e~E(~r +~s) − ~E(~r)

= px

∂~E∂x+ py

∂~E∂y+ pz

∂~E∂z= (~p · ~∇) ~E, (3.1.8)

sesuai dengan ketergantungan energi potensial terhadao jarak:

~F = −~∇U = ~∇ (~p · ~E). (3.1.9)


Gambar 3.1: Pengaruh gaya pada sebuah dipol di dalam medan tidak homogen.

Karena

~∇ (~p · ~E) − (~p ~∇) ~E) = ~p × (~∇ × ~E) = ~p × (~∇ × ~E) = 0

maka gaya ~F ini adalah sesuai dengan pernyataan elektrostatik (karena ~∇ × ~F = 0).Pengamatan khusus untuk suatu kasus bahwa akan timbul momen dipol di dalam medan dan

berlaku:~p = α~E, (3.1.10)

dengan α adalah polarisabilitas yang tidak bergantung medan., sehingga gaya di dalam medan yangtidak homogen, berdasarkan pers[3.1.8], dapat dinyatakan sbb:

~F = (α~E ~∇) ~E =α2~∇ (~E2), (3.1.11)

dan akhirnya karena ~∇ × ~E = 0. maka

~E · ~∇Ex = Ex∂Ex

∂x+ Ey

∂Ey

∂y+ Ez

∂Ez

∂z= Ex

∂Ex

∂x+ Ey

∂Ey

∂y+ Ez

∂Ez

∂z=

12∂~E2

∂x.

Dalam kasus momen dipol ditimbulkan oleh medan gaya tidak dapat diturunkan dari energi potensialpada pers[refp3.1.4], melainkan dari energi:

U′ = −α~E2

2= −

~p · ~E2. (3.1.12)

Perbedaan dari U′ − U = ~p · ~E/2 adalah memenuhi kondisi bahwa harus dipakai sebagian energiuntuk menimbulkan momen dipol; yaitu energi yang dibutuhkan untuk menggeser muatan sehinggamenyebabkan terjadinya momen dipol melawan gaya yang cenderung membalikan muatan, yaitugaya yang diakibatkan dari selain gaya listrik, atau dengan perkataan lain, energi tersebut adalahsebesar ~p · ~E/2.

3.1. SISTEM MUATAN TITIK DI VAKUUM 69

3.1.2 Kuadrupol di dalam Medan Listrik

Mirip seperti pada dipol permanan ~p, maka jika terdapat sekumpulan muatan yang berada dekatsatu sama lainnya, energi karena pemberian medan sebesar ~E = −~∇ϕ adalah

K =∑

e j ϕ(~r),

atau jika ϕ(~r) ditulis dalam deret dari koordinat muatan e j, maka

K = eϕr=0 + ~p (~∇ϕ)0 +

12

Qxx

(∂2ϕ

∂x2

)0+Qyy

(∂2ϕ

∂y2

)0+Qzz

(∂2ϕ

∂z2

)0

+

Qxy

(∂2ϕ

∂x∂y

)0+Qxz

(∂2ϕ

∂x∂z

)0+Qyz

(∂2ϕ

∂y∂z

)0

+ · · ·

(3.1.13)

Suku pertama ruas kanan memberikan sumbangan energi yang tersedia untuk membawa sekumpu-lan muatan titik yang mempunyai muatan total sebesar e =

∑e j dan mengandung momen dipol

sebesar ~p =∑

e j~r j. Suku kedua ruas kanan yang mengandung turunan kedua potensial memberikankerja akibat adanya momen kuadrupol yang mengandung komponen Q seperti telah diberikan padapers[1.8.11], atau karena ∇2ϕ = (∇2ϕ)0 = 0 komponen Q terreduksi juga sesuai dengan pers[1.8.14].Berikut akan dilakukan perhitungan dengan besaran Q′jk.

Untuk menyederhanakan pembahasan pandang kasus khusus, bahwa baik distribusi muatanyang menimbulkan momen dipol, maupun medan potensial adalah sama-sama mempunyai simetrirotasi. Pilih sumbu simetri medan pada arah sumbu z pada sistem koordinat, sehingga pers[3.1.13]yang mengandung turunan kedua campuran dari ϕ akan menjadi nol, dan karena ∇2ϕ = 0, sehinggaberlaku: (

∂2ϕ

∂x2

)0=

(∂2ϕ

∂y2

)0= −

12

(∂2ϕ

∂z2

)0.

Dengan demikian bentuk suku yang mengandung momen kuadrupol dalam pernyataan energipotensial dapat dinyatakan lebih sederhana:

U =14

(∂2ϕ

∂z2

)0

2Q′zz −Q′xx −Q′yy

=

34

(∂2ϕ

∂z2

)0

Q′zz, (3.1.14)

dalam hal ini spur Q′xx+Q′yy+Q′zz dari komponen kuadrupol terreduksi akan sama dengan nol. Sumbusimetri dari distribusi muatan dan sumbu utama ketiga dari tensor Q membentuk sudut ϑ terhadapsumbu z; arahnya diberikan dalam vektor satuan ~aIII, sedangkan vektor satuan yang saling tegaklurus untuk dua sumbu utama lainnya masing-masing diberikan sebagai ~aI dan ~aII. Untuk ketigakuadrupol utama berlaku, seperti telah ditunukkan pada pers[1.8.15], bahwa QI = QII = −Q/3,


QIII = 2Q/3, dengan Q sesuai dengan yang diberikan pada pers[1.8.15] untuk momen kuadrupolyang mempunyai simetri rotasi.

Selanjutnya diperlukan untuk mencari pernyataan pada pers[3.1.14] yang mengandung Q′zz dalamQ dan sudut ϑ. Dengan vektor satuan ~z pada arah sumbu z berlaku

Q′zz = QI (~z~aI)2 +QII (~z~aII)2 +QIII (~z~aIII)2.

Dengan demikian diperoleh QI + QII + QIII = 0, (~z~aI)2 + (~z~aII)2 + (~z~aIII)2 = 1 dan ~z~aIII = cos ϑ dandengan merumuskan kembali diperoleh:

U =Q2

(∂2ϕ

∂z2

)0

3 cos2 ϑ − 12

. (3.1.15)

Dalam hal ini, seperti suatu medan kuadrupol yang mempunyai simetri rotasi dari pers[1.8.16],dengan ketergantungan terhadap sudut diberikan pada fungsi bola (fungsi L) P2(cosϑ).

Dari pers[3.1.15] terlihat bahwa sebuah kuadrupol di dalam medan homogen tidak akan men-galami gaya maupun momen putar. Di dalam medan inhomogen timbul momen putar untuk pen-dekatan pertama:

N =∂U∂ϑ=

3Q4

(∂2ϕ

∂z2

)0

sin 2ϑ. (3.1.16)

Gradien medan (∂Ez/∂z)0 = −(∂2ϕ/∂z2)0. adalah positif, maka N akan terorientasi sesuai denganarah kuadrupol pada arah medan ϑ = 0 atau berlawanan arah dengannya ϑ = π; jika gradien medannegatif, maka energi kuadrupol akan minimum, yaitu pada ϑ = π/2, yaitu terletak tegak lurusterhadap medan. Sebagai contoh kelakuan ini dapat dengan mudah ditunjukkan seperti terlihatpada gbr[3.1] untuk momen kuadupol memanjang.

Catatan: Dalam sistem G kerapatan energi elektrostatik di dalam vakuum adalah

u =1

8π~E∗ ~D∗ =

18π

~E′2. (3.1.17)

Pers[3.1.6], [3.1.7], [3.1.12] dan [3.1.15] untuk sistem G harus ditambahkan tanda bintang (∗) padaruas kanannya.

3.2 Energi Medan Listrik pada Konduktor

(Kaedah T)Pengamatan selanjutnya pandang kasus bahwa disamping terdapat muatan terisolir di dalam

ruang, terdapat pula konduktor bermuatan dan ditanyakan apakah dalam pandangan Makan terdapat kerapatan energi medan listrik, sebagai kerja yang tersimpan di dalam sistem, yangkemudian akan diperoleh kembali dalam energi total medan.

Untuk mencari energi tersebut pandang kasus sederhana yaitu kondensator plat dengan kapa-sitansi sebesar C = εA/d dan akan dicari kerja yang dibutuhkan untuk memuat muatan padanya.Proses pengisian muatan terjadi dengan jalan pemindahan elemen muatan sebesar de′ dari plat

3.2. ENERGI MEDAN LISTRIK PADA KONDUKTOR 71

negatif ke positif, hingga mencapai muatan akhir sebesar e = CV. Apabila jumlah muatan total yangdimuat adalah e′ = CV′, maka untuk memuat elemen muatan selanjutnya sebesar de′ diperlukankerja sebesar V′de′, sehingga sebagai kerja total proses pengisian muatan diperoleh sebesar:

K =

e∫0

e′de′

C=

e2

2C=

e V2=

CV2

2. (3.2.1)

Karena V = E d dan e = A σ = A D, maka kerja dapat pula ditulis dalam bentuk:

K =e V2=

A d2

E D.

Harga E dan D di dalam kondensator, jika efek pinggir kondensator diabaikan, adalah konstandan di luar kondensator harganya sama dengan nol; A d adalah volume ruang antara kedua platkondensator. Dalam contoh ini adalah lebih baik untuk menyatakan kerja dalam kerapatan energisbb:

u =12

E D =ε2

E2, (3.2.2)

yaitu sesuai dengan pers[3.1.4]. (3.2.2)

Perhatian: Patut diperhatikan bahwa untuk persoalan kondensator yang diisi bahan dielektrik,rumusan di atas tidak dapat digunakan secara langsung dengan menggantikan faktor ε dengan εdalam relasi C = εA/d dan D = ε E. Mengapa hal ini tidak memungkinkan akan dibicarakan lebihrinci pada §3.3.

Selanjutnya akan dibahas rumusan energi medan untuk susunan konduktor statis dan untukmuatan terisolir. Misalkan di permukaan logam terdapat elemen muatan sebesar δ e yang terdapatpada permukaan berpotensial ϕ1 dan ditransfer ke permukaan logam potensial ϕ2. Kerja yangdibutuhkan untuk itu karena muatan δ e1 = −δ e dan δ e2 = +δ e adalah

δK = δ e1 ϕ1 + δ e2 ϕ2 = δ e (ϕ2 − ϕ1). (3.2.4)

Akan dicoba untuk memformulasikan pernyataan di atas dalam integral volume untuk seluruhdaerah yang terdapat medan. Untuk itu perlu diketahui perubahan δD karena adanya perpindahanmuatan. Berdasarkan hukum kerapatan garis-garis gaya berlaku:

δ e1 = ⊂⊃

∫∫A1

δDn dA, δ e2 =⊂⊃

∫∫A2

δDn dA,

dengan A1 dan A2 adalah luas konduktor yang dipandang dan ~n adalah vektor normal dengan arahke luar permukaan. Untuk seluruh permukaan lain yang masih terdapat pada konduktor, misalnyapermukaan yang terletak jauh tak berhingga, berlaku

⊂⊃

∫∫δDn dA = 0


sehingga untuk semua permukaan pada arah normal dapat dibayangkan sebaliknya:

δK = − ⊂⊃

∫∫ϕδDn dA;

dengan demikian dilakukan integrasi terhadap semua daerah ruang yang terdapat medan, termasukpermukaan yang letaknya tak berhingga dan ~n masih berarti sebagai vektor normal yang mempunyaiarah ke luar permukaan dari ruang tersebut. Dengan menggunakan hukum integral Gauss diperolehintegral volume sbb:

δK = −

∫~∇ · (ϕδD) dv = −

∫δD ~∇ϕdv − −

∫ϕ ~∇ · (δD) dv,

dan dibatasi untuk semua daerah ruang yang mengandung medan. Dengan memisalkan adanyamuatan terisolir yang tidak mengalami perubahan (pergeseran: dengan perkataan lain δD = δ % = 0),maka

δK =

∫E δD dv. (3.2.5)

Harga kerja yang kecil δK yang diperlukan untuk memindahkan muatan sebesar δ e dari per-mukaan konduktor satu ke permukaan lainnya, akan diperoleh sebagai perubahan kerapatan energidari energi medan listrik:

δK =∫

δu dv dengan δu = E · δD. (3.2.6)

Selanjutnya bayangkan bahwa keseluruhan medan langkah demi langkah dibentuk oleh karenaadanya perpindahan muatan, sehingga akan diperoleh kerapatan energi sebesar:

u =

D∫0

E dD, (3.2.7)

dengan ~E dalam integrasi sebagai fungsi dari vektor ~D di vakuum dan karena ~D = 4πε ~E, maka

u =D2

2ε=

E D2=ε E2

2, (3.2.8)

yang tidak lain sesuai dengan pers[3.2.2]. Berdasarkan kenyataan di atas dapat diartikan bahwa kerjadalam proses pengisian muatan secara kuantitatif merupakan penambahan energi medan.

Penjelasan di atas berhubungan dengan kaedah Thomson. Kaedah ini berhubungan dengankerapatan energi medan minimal. Jika suatu muatan bergerak di dalam medan elektrostatik, en-ergi medan akan menurun sesuai dengan energi yang digunakan muatan untuk ”‘menggerakkan

3.2. ENERGI MEDAN LISTRIK PADA KONDUKTOR 73

dirinya”’. Kasus khusus untuk konduktor, energi akan berkurang terus selama muatan bergerakhingga mencapai harga minimum. Sebagaimana diketahui, bahwa dalam keadaan kesetimbangpotensial di dalam konduktor adalah konstan dan muatan keseluruhan terdapat dipermukaannya,maka akan diperoleh bahwa distribusi muatan tersebut pada kenyataannya sesuai dengan hargaminimum dari energi medan ybs.

Untuk membuktikan hal ini pandang disamping terdapat medan elektrostatik ~E dan ~D dalamsusunan tertentu, terdapat pula medan ~E′ dan ~D′ yang juga seperti medan pertama, di luar ruangharus memenuhi persamaan:

~∇ × ~E = 0, ~∇ · ~D = %,dengan

~∇ × ~E′ = 0, ~D = %, ~D′ = 4πε ~E′,

dan untuk ~E′ dan ~D′ di dalam konduktor yang tidak sama dengan nol. Dapat dibuktikan bahwaU < U′ jika

U =12

∫E D dv, dan U′ =

12

∫E′D′ dv

berarti sebagai energi kedua medan ybs. Untuk membuktikannya substitusikan

~E′ = ~E + ~E′′, dan ~D′ = ~D + ~D′′

sehingga bentuk persamaan di atas menjadi

U −U′ =12

∫(E D′′ − E′′D) dv +

12

∫E′′D′′ dv.

Rumusan di atas akan sama dengan nol, karena ~E dan ~D di dalam konduktor sama dengan nol, makahanya tinggal integral pertama yang dibatasi oleh ruang antara kedua konduktor; untuk integralpertama berlaku:

~E ~D′′ = ~E′′ ~D = −~D′′ ~∇ϕ = −~∇ · (ϕ ~D′′) + ϕ ~∇ · ~D′′,

dengan ~∇ · ~D′′ = 0 dan integral kedua dengan menggunakan hukum integral Gauss bahwa

⊂⊃

∫∫(ϕ ~D′′) dv = ⊂⊃

∫∫ϕ ~D′′n dA

dan karena harga ϕ pada permukaan konduktor adalah konstan dan karena

⊂⊃

∫∫ϕ ~D′′n ) dA = 0


sama halnya, integral akan sama dengan nol. Dengan demikian berdasarkan Thomson berlaku:

U −U′ =12

∫E′′D′′ dv > 0,

yaitu selama ~E′ dan ~E berbeda di dalam ruang.Kaedah Thomson menurunkan pula medan bahwa distribusi kesetimbangan muatan listrik sesuai

dengan prinsip minimal. Prinsip minimal ini sesuai dengan syarat kesetimbangan, yang juga berlakuuntuk benda di dalam medan gaya berat; benda tersebut akan mengalami kesetimbangan, yaitukesetimbangan stabil, jika energi potensial gaya berat mencapai harga minimumnya. Demikianpula dapat dilihat pada pembahasan di sini, bahwa kesetimbangan muatan listrik yang terdapat dipermukaan suatu konduktor dapat dinyatakan melalui energi listrik minimal pula. Energi listrikdalam hal ini mempunyai peran penting seperti halnya energi potensial dalam mekanika biasa.

Telah dibahas di atas bahwa kerja yang diperlukan untuk memuat sejumlah muatan pada per-mukaan suatu logam (konduktor) atau untuk menambahkan sejumlah muatan lain pada permukaantersebut, adalah dapat diperoleh kembali dalam bentuk energi medan. Dengan cara yang sama akandipelukan kerja untuk menggeser sebuah konduktor yang berada di dalam medan adalah ekuivalendengan perbedaan energi medan. Apabila energi tersebut, untuk suatu susunan sistem tertentu dike-tahui, maka dapat pula diketahui gaya dan atau momen putar yang bekerja pada masing-masingelemen sistem. Fenomena seperti ini dapat ditemui pada timbangan tegangan seperti ditunjukan padagbr[3.2].

Misalkan akan diukur tegangan pada kondensator plat, yaitu dengan menentukan gaya, sepertiditunjukkan pada Gambar[3.2]. Gaya ini dapat diukur dari kondensator plat yang diletakkan didalam ruang vakuum: Dalam hal ini gaya yang bekerja pada salah satu plat karena plat lainnyaadalah sebanding dengan E/2, jika E adalah medan yang terdapat antara kedua plat, sehinggadidapat:

F = eE2. (3.2.9)

Harga gaya di atas dapat dengan mudah diturunkan dari persamaan energi, uaitu: jumlah energitotal pada kondensator adalah sama dengan U = ε E2 A d/2, yaitu bertambaha sesuai dengan per-tambahan jarak antar dua plat d, jika kondensator diberi muatan konstan sebesar e, sehingga keduaplat akan saling tarik menarik dengan medan yang konstan sebesar E = D/ε = e/εA pula. Jikad betambah sebesar δ infinitisimal, maka akan diperoleh pula pertambahan energi medan sebesarU = 4πε E2 A δ/2 = e E δ/2. Energi ini adalah sama dengan kerja yang dilakukan sebesar F δ untukmenambah jarak kedua plat kondesator sebesar δ. Sebagai perbandingan untuk kedua harga energidapat diperoleh langsung dengan mengalikan pers[3.2.9] dengan δ. (3.2.9)Bagaimana perbandingan energi untuk kasus, seandainya pada timbangan tegangan muatan tidakdijaga konstan, melainkan tegangan V yang terdapat pada kedua plat yang dibuat konstan, yaitudengan cara menghubungkan kedua kutub kondensator dengan sebuah bateri ? (3.2.10)

Tentunya tidak akan ada kekhawatiran sama sekali bahwa dalam kasus ini kedua plat kondensatorakan tarik menarik satu sama lain dengan gaya F yang sama, seperti halnya pada kasus jika e dijagakonstan dan menggeser kedua plat sejauh δ d, sehingga diperlukan kerja sebesar F δ. Di sampingitu sekarang, energi medan U pada kondensator akan menurun dengan bertambah besarnya jarak

3.3. ENERGI MEDAN LISTRIK PADA ISOLATOR 75

Gambar 3.2: Timbangan tegangan.

antar kedua plat; karena V = E d, maka energi medan dapat ditulis sebagai U = 4πεV2 A/2ddan dengan bertambahnya jarak sebesar δ akan menyebabkan penurunan energi medan sebesarδU = −4πεV2 A δ/2d2.Di mana sebenarnya kedua jumlah energi medan berharga F δ dari kerja mekanik dan εV2 A δ/2d2

? (3.2.11)Jawaban untk pertanyaan ini dapat diperoleh dari: bahwa dengan meperbesar jarak kedua plat

sebesar δ kapasitas kondensator sebenarnya akan menurun yaitu sebesar δC = −4πεA δ/d2. Dengandemikian maka muatan e yang terdapat pada kondensator akan mengalami penurunan pula sebesarδ e = +V δC = −4πεV A δ/d2 dan bateri (akku) akan bertambah muatannya sesuai dengan harga|δ e|, sesuai dengan pertambahan energi sebesar δ e V = 4πεV2 F δ/d2. Dengan demikian diperolehjumlah energi total menjadi:

F δ +4πεV2 A δ

2d2 =εV2 A δ

d2 , (3.2.13)

dengan menggantikan V = E d dan E = e/4πεA akan diperoleh kembali pers[3.2.9].

Catatan: Rumusan pada pers[3.2.7] dapat ditulis dalam sismtem Gauss menjadi:

U =1

4π

D∗∫0

E∗ dD∗,

di mana untuk vakuum karena D∗ = E∗, maka persamaan kerapatan energi ditulis menjadi u = E∗2/8π.

3.3 Energi Medan Listrik pada Isolator

Pembahasan meliputi kelakuan energi untuk sistem selain terdapat muatan titik dan pada bendalogam, juga masih terdapat isolator. Untuk itu dapat dibayangkan bahwa pembahasan akan berkisarpada rumusan yang tidak jauh berbeda dengan rumusan yang terdapat pada pembahasan yang lalu,yaitu hanya perlu menggantikan semua persamaan pada bsb 3.1 dan 3.2 yang mengandung 4πεdengan ε (konstanta dielektrik relatif). Pers[3.2.5] yang merupakan persamaan diferensial dari kerja


yang diperlukan dalam proses ”‘pemuatan”’ muatan tetap berbentuk seperti semula untuk peruba-han yang sangat kecil dari medan, termasuk dasar-dasar penurunannya seperti dinyatakan padapers[3.2.4], tetap tidak berubah. Karena pada penggunaannya tidak pernah digunakan hubunganantara ~D dan ~E; untuk rumusan kembali diperlukan pula batas permukaan dari bahan dielektrik yangdianggap sebagai permukaan yang tidak kontinu;kebalikan dari konduktor, pada isolator, setiap per-mukaan yang tidak kontinu dapat dibayangkan sebagai permukaan kontinu antara dua mediumyang berbeda. Kerja dalam proses pemuatan pada sistem, seperti sebelumnya, berlaku:

δA =∫

E δD dv, (3.3.1)

tidak bergantung dari apakah sistem dibentuk dari konduktor atau isolator.Sebaliknya persamaan yang tidak berlaku umum adalah pers[3.2.1], misalnya untuk kondesator

plat yang diisi bahan dielektrikum. Persamaan ini akan tetap berlaku, jika konstanta dielektrik selamaproses pengisian muatan tidak mengalami perubahan. Karena ε biasanya adalah sebagai fungsi darikerapatan dan seringkali bahkan juga sebagai fungsi temperatur, maka pers[3.2.1] dapat digunakanhanya jika kerapatan dan juga temperatur dalam proses pengisian muatan dapat dijaga konstan.Untuk menjaga kerapatan adalah masih dapat dilakukan, pada umumnya, karena adanya perubahantekanan menyebabkan akan terjadi kompensasi sehingga menimbulkan elektrostriksi. Sedangkanuntuk menjaga temperatur konstan dapat dilakukan dengan penambahan atau pengurangan panaske dan dari sistem; karena seandainya tanpa memperhatikan sama sekali kedua hal di atas, makadalam hal ini temperatur bahan dielektrik yang diisi antara keduan plat akan berubah dalam prosespemuatan. Harga energi ini akan muncul pada persamaan energi (pers[3.2.1]) pada proses pengisianmuatan pada ε konstan, sehingga kerja K tidak dapat dihitung dari persamaan energi dalam prosespemuatan untuk mengisi kondensator, melainkan persamaan tersebut harus ditambahkan denganpenambahan panas yang semula belum diketahui, yaitu Q.

Tentunya dapat dihindari untuk menghitung Q, yaitu apabila pengisian muatan pada konden-sator dilakukan secara adiabatis tanpa adanya penambahan maupun pengurangan panas. Selain ituperubahan temperatur yang muncul dalam proses pemuatan harus dihitung untuk mendapatkankerja total dari pers[3.3.1] dan perubahan energi total dalam proses pemuatan.Bagaimana perhitungan harus dilakukan ? (3.3.1)

Perhitungan untuk kasus ini dapat dilakukan dengan seksama sbb: (3.3.2)

Berdasarkan hukum pertama termidinamika (= hukum kekekalan energi panas) untuk bahansebagai sistem tertutup berlaku:

dU = dK + dQ. (3.3.4)

Dalam hal ini dU berarti sebagai perubahan energi total sistem dalam pandangan termodinamikauntuk suatu perubahan yang kecil; dK adalah sebagai kerja yang digunakan yang terdiri dari kerjalistrik dKlist dan kerja mekanik yang terdapat dalam proses dKmek (misalkan kerja karena kompresiatau pergeseran di dalam medan listrik) dan dQ adalah sebagai pertambahan panas yang terdapatpada sistem.

Proses ini tidak terjadi secara reversibel, maka tidak hanya akan terjadi satu peristiwa, sepertiproses histerisis pada ferromagnetik (lihat §5.6), karena dQ akan bertambah besar dan berdasarkan


hukum kedua termodinamika, akan terjadi perubahan entropi S sebesar:

dS =dQT. (3.3.5)

Karena dTS = TdS + SdT, sehingga pers[3.3.4] dapat ditulis kembali menjadi:

dF ≡ d (U − TS) = dK − S dT, (3.3.6)

dengan F adalah sebagai energi bebas yang didefinisikan sebagai F = U−TS , yaitu sebagai persamaankeadaan yang baru. Untuk proses pemuatan tanpa adanya kerja mekanik (dKmek = 0) berlaku:

d Kel = d U proses isentropi (dS = 0 dari pers[3.3.4])d Kel = d U proses isotermis (dT = 0 dari pers[3.3.6]).

Dalam kasus ini, untuk proses isotermik, F berperan sama dengan energi dalam U pada prosesisentropi. Maka dalam proses reversibel isotermik misalnya, perhitungan tidak berhubungan denganpersamaan energi biasa, melainkan berhubungan dengan persamaan energi bebas F yang ditulisdalam bentuk umum sebagai:

dF = d Kel + d Kmek. (3.3.7)

Dengan demikian pengertian persamaan energi medan listrik dan penggunaannya dari sudut pan-dang termodinamika menjadi jelas.

Sebagai contoh penggunaan pandang sebuah kondensator yang diisi dengan suatu bahan dielek-trik (kosntanta dielektrik ε = ε(T)) pada volume konstan. Hubungan antara tegangan V yangdiberikan pada kondensator dan muatan yang diisi ke dalamnya adalah:

e = C V = C ε(T) V. (3.3.8)

Untuk memperbesar muatan sebanyak de, diperlukan kerja sebesar dK = Vde. Dalam hal ini peruba-han energi total U dan energi bebas F untuk proses reversibel adalah

d U = T d S + V d e, d F = −S d T + V d e. (3.3.9)

Sebagai variabel bebas dalam proses pengisian muatan dipilih T dan e, sehingga kedua persamaanpada pers[3.3.9] dapat diintegrasi secara langsung pada temperatur tetap:

F(T, e) = F(T, 0) +

e∫

0

V de

T

= F(T, 0) +V e2, (3.3.10)

yaitu dengan mengamati kembali pers[3.3.8]. Maka berlaku bahwa

S(T, e) = −∂F(T, 0)∂T

= S(T, 0) −

e∫

0

(∂V∂T

)de

T

= S(T, 0) +V e2ε

dεdT

(3.3.11)


sehingga diperoleh

U(T, e) = F + T S = U(T, 0) − T2

e∫

0

(∂(V/T)∂T

)de

ε

= U(T, 0) +V e2ε

d(εT)dT

. (3.3.12)

Dari rumusan di atas jelaslah, bahwa energi dalam bagian elektrostatik U(T, e) − U(T, 0) dari kerjayang diberikan sebesar F(T, e) − F(T, 0) = K(T, e) untuk proses isotermis mempunyai perbedaansebesar (Ve/2ε)Tdε/dT dan bagian ini tidak lain sama dengan energi panas yang terdapat padaproses pengisian muatan dalam keadaan isotermis.

Q(T, e) = T S(T, e) − S(T, 0) =V e T

2εdεdT. (3.3.13)

Untuk kasus di mana ε = 1+χ = 1+α+β/T dengan α dan β adalah konstanta positif, dari pers[3.3.12]diperoleh bahwa

U(T, e) −U(T, 0) =V e(1 + α)

2ε=

CV2(1 + α)2

,

sementara kerja proses pengisian muatan A(T, e) dan perbedaan energi bebas dalam keadaanpengisian dan tidak pengisian muatan diberikan sebagai:

F(T, e) − F(T, 0) = A(T, e) =C V2

2=

CV2(1 + α + β/T)2

.

Dalam hal ini selama proses penigisian muatan, sebagian enegi panas akan diberikan pada termo-stat. Apabila dalam proses ini kondensator tidak didinginkan, maka temperatur akan meningkat.Dengan mengetahui besaran panas S(T, 0) sebagai entropi yang tidak bergantung temperatur darikondensator, dari S(T, e) =konstan diberikan dari harga entropi pada pers[3.3.11].

Contoh lain seperti halnya pada kondensator dapat pula diturunkan untuk berbagai susunansistem elektrostatik. Jika sistem tidak mengandung medan homogen, perhitungan yang berhubungandengan besaran-besaran termodinamika tidak lagi digunakan besaran S, U, F dls., akan tetapi adalahkerapatan masing-masing besaran yang ditulis dengan huruf kecil: s, u, f dst. Maka relasi padapers[3.3.4] dan [3.3.5] harus pula mengalami perubahan menjadi:

d u = T d s + E d D + µd σ. (3.3.14)

Dalam penulisan di atas jumlah panas dq yang seharusnya terdapat pada suku kedua ruas kanandiganti dengan dq = Tds. Suku kedua mengandung bentuk yang telah diketahui, sebagai kerjayang digunakan dalam perubahan keadaan. Suku ketiga dengan bentuk diferensial dari dσ sebagaikerapatan massa, yang dalam hal ini digunakan untuk membedakannya dengan kerapatan muatanyang disimbolkan dengan σ; perubahan energi yang diikuti dengan perubahan kerapatan massa yangterdapat di dalam elemen volume (misalkan karena adanya kompresi atau regangan dari materi).Faktor µ yang muncul disebut sebagai potensial kimia. Khususnya pada zat cair dan gas, poten-sial kimia berhubungan dengan besaran-besaran termodinamika, termasuk tekanan hidrostatika pmelalui hubungan:

u = T s + µσ − p; (3.3.15)


sedangkan pada zat padat relasi di atas karena adanya regangan geser menjadi lebih kompleks yangdalam hal ini tidak akan dibahas lebih lanjut. Untuk meletakkan dasar yang dirumuskan pers[3.3.14]dan [3.3.15] dalam kasus zat cair dan gas, pandang kembali rumusan lain dari hukum termodinamikakedua untuk proses reversibel:

d T = T d S − p d V + V E d D + µdΣ. (3.3.16)

Dalam hal ini pertambahan panas yang terdapat dalam sistem adalah dQ = TdS, kerja dalam setiapsatuan dKmek = −pdV dan kerja listrik dKlist = VEdD; untuk kasus medan homogen harus ditam-bahkan suku termodinamis lainnya yaitu potensial kimia yang pada perubahan Σ total dari sistemsebesar dΣ mempunyai peran penting. Dengan demikian U yang telah dibahas sebelumnya dapatmerupakan fungsi dari variabel S, V, D, dan Σ. Karena proporsionalitas dari U, S, V dan Σ, denganbertambahnya keempat ”‘besaran kualitas”’ ini dengan faktor λ, berlaku persamaan:

λU(S, V, D, Σ) = U(λS, λV, λD, λΣ),

kemudian dengan menurunkan persamaan ini terhadap λ dan mengambil harga transisi λ = 1, makadiperoleh:

U = S∂U∂S+ V

∂U∂V+ Σ

∂U∂Σ

Kemudian gunakan persamaan diferensial parsial dari pers[3.3.16], yaitu ∂U/∂S = T, ∂U/∂V =−p, T, ∂U/∂Σ = µ, maka akan diperoleh persamaan D-G yang meyatakan hubungan:

U = T S − p V + µΣ. (3.3.17)

Dengan mengubah dalam kerapatan masing-masing atau U = µV, S = sV, Σ = σV pada pers[3.3.16]dan [3.3.17], maka akan diperoleh secara langsung relasi pada pers[3.3.14] dan [3.3.15].

Dari pers[3.3.14] akan didapat pula kerapatan energi bebas f dalam bentuk diferensial sbb:

d f ≡ d(u − T s) = −s dT + E dD + µdσ (3.3.18)

dan melalui integrasi pada T dan σ konstan, pers[3.3.10] berhubungan dengan relasi berikut:

f (T, σ, D) = f (T, σ, 0) +

D∫0

E dD. (3.3.19)

Dari hubungan ini kemudian, dengan menggantikan ~D = ε(T, σ)ε~E diperoleh s = ∂ f/∂T dan µ =∂ f/∂σ. Dengan harga-harga ini diperoleh kerapatan energi untuk kerapatan u = f + Ts sbb:

u(T, σ, D) = u(T, σ, 0) +

D∫0

(E − T

∂E∂T

)dD = u(T, σ, 0) +

~E~D2ε

∂(εT)∂T

, (3.3.20)

demikian pula dengan p = Ts + µσ − u = µσ − f yang dapat diperoleh dari pers[3.3.15] mempunyaihubungan:

p(T, σ, D) = p(T, σ, 0) +

D∫0

(E − σ

∂σ∂

)dD = p(T, σ, 0) −

~E~D2ε

∂(εσ)∂σ

. (3.3.21)


Hubungan di atas di satu pihak adalah mirip sepertimunculnya panas yang menyebabkan peruba-han temperatur pada kondensator, yang terjadi dalam proses reversibel adiabatis. Di lain pihakpers[3.3.21] juga menunjukkan adanya perubahan tekanan hidrostatik akibat sistem diberikan medanlistrik, sehingga dapat pula menyebabkan perubahan volume yang disebut sebagai elektrstriksi.Fenomena yang terjadi pada zat cair dan gas ini akan dibicarakan lebih rinci pada §3.6.

Pembahasan tentang panas yang timbul di atas pada peristiwa polarisasi suatu bahan dielektrikjuga mempunyai peran dalam harga panas jenis bahan tersebut.

Selanjutnya akan dipandang suatu peristiwa di mana bahan dielekrik dipanaskan. Untuk mem-anaskan bahan ini dapat dilakukan dengan cara memberikan ~D konstan (dibuat muatan permukaankondensator konstan) atau ~E (dilakukan dengan cara membuat konstan tegangan kondensator) kon-stan. Misalkan panas jenis spesifik baha adalah γD dan γg. Dari pers[3.3.14] diketahui bahwa

γD = T(∂s∂T

)D=

(∂u∂T

)D. (3.3.22)

Untuk relasi terahir jika disubstitusikan u = u[T, D(E, T)], maka:

γg = T(∂s∂T

)E=

(∂u∂T

)E− E

(∂D∂T

)E=

(∂u∂T

)D+

[(∂u∂D

)T− E

] (∂D∂T

)E.

Suku yang berada di dalam tanda kurung segiempat dapat diubah menjadi:(∂s∂T

)D=

1T

(∂u∂T

)D

dan(∂s∂D

)T=

1T

[(∂u∂D

)T− E

]dan syarat dapat diintegrasi adalah:

∂2s∂T∂D

=1T

∂2u∂T∂D

=1T

(∂2u∂D∂T

−∂E∂T

)−

1T2

(∂u∂D− E

);

maka berlaku: (∂u∂D

)T= E − T

(∂E∂T

)D

sehingga didapat

γg = T(∂u∂T

)D− T

(∂E∂T

)D

(∂D∂T

)E. (3.3.23)

Maka selisih kedua panas jenis spesifik diperoleh sebagai:

γg − γD = −T(∂E∂T

)D

(∂D∂T

)E

(3.3.24)

dan jika diganti bahwa ~D = ε(T) ε ~E, hubungan di atas menjadi:

γg − γD = TE Dε2

( dεdT

)2. (3.3.25)


Untuk memanaskan bahan pada medan konstan akan memerlukan energi yang lebih besar dibandingdengan memanaskan dengan vektor pergeseran medan yang konstan.

Pada bahan yang dapat terpolarisasi secara normal perbedaan antara γg dan γD tidak terlihatjelas. Perbedaan tersebut akan terlihat jelas pada bahan-bahan yang mempunyai anomali, sepertipada baram Siegnette yang telah disebutkan pada §2, juga barium titanat yang pada pemberianmedan listrik akan menunjukkan sifat yang mirip dengan besi dalam medan magnet, khususnya didekat daerah temperatur transisi fase (temperatur C).

Pembahasan ini akan ditutup dengan beberapa bahasan tentang sifat-sifat energi sistem elektro-statik pada isolator dengan dua contoh, di mana gaya total dan momen putar tidak diturunkan daripersamaan medan, melainkan dari energi.

3.3.1 Gaya pada Bahan Dielektrik antara dua Kondensator

Pandang sebuah kondensator plat: panjang l, lebar b dan jarak antara kedua plat adalah d. An-tara kedua plat diisi dengan bahan dielektrik dengan konstanta dielektrik ε. Ditanya gaya yangterdapat pada bahan yang mengisi kondensator. Untuk menghitung berapa besar gaya tersebut, iso-lator dianggap mengalami proses reversibel isotermis, dengan fungsi keadaan termodinamik bahandinyatakan dengan energi bebas F. Seketika permukaan isolator dimasukkan ke dalam kondensatorsejauh x, maka bagian energi bebas yang tergantung medan dapat dinyatakan sbb:

Flist =

∫E D

2dv =

ε E2 b d2

ε x + (l − x) . (3.3.26)

Untuk mendorong ke dalam isolator sejauh δ x dengan membuat tegangan kondensator V konstan,demikian pula dengan E, melalui bateri, maka Flist akan mengalami kenaikan sebesar:

δFlist = (ε − 1)ε E2 b d δx

2.

Sementara itu pada kondensator terjadi pengisian muatan sebesar:

e = ε E b ε x + (l − x)

dan dengan bergesernya islaotor sejauh δ x, terdapat pertambahan muatan sebesar

δ e = (ε − 1) ε E b δ x,

sehingga bateri akan terbebani kerja sebesar:

δKlist = V δ e = (ε − 1) ε E b δ x. (3.3.27)

Energi ini kenyataannya hanya digunakan setengah bagian untuk menaikkan energi medan. Sedan-gkan setengah bagian lainnya akan diperoleh berupa energi~F · δ~x, yaitu energi yang digunakan untukmenggeser isolator sejauh δx ke dalam untuk melawan keadaan setimbang isolator dengan gaya luar(misalkan digunakan pegas). Dengan demikian didapat bahwa:

F = (ε − 1)ε E2 b d

2, (3.3.28)


sementara kerja mekanik dapat diperoleh dari pers[3.3.7] dengan menganggap melawan arah δ xsehingga δKmek = ~F · δ~x.

Jika isolator padat yang terdapat di antara dua plat kondensator digantikan dengan zat cair(metode kenaikan tinggi permukaan zat air untuk menentukan ε), maka pengaruh gaya yang diberikanpada pers[3.3.28] akan diseimbangi oleh gaya berat sehingga akan terdapat kesetimbangan.

3.3.2 Momen Putar pada Elipsoida Dielektrik

Sekarang pandang sebuah isolator berbentuk elipsoida yang berada di dalam medan listrik ~Edan mengalami rotasi terhadap titik pusatnya. Ditanya keadaan kesetimbangan elpisoida. Dalamkasus ini ε praktis tidak bergantung pada temperatur, sehingga sumbangan bagian listrik dari energibebas adalah sama dengan energi dalam dan dinyatakan sebagai U.

Pertanyaan di atas dapat pula dijawab melalui energi medan U. Dalam hal ini harga U yang akandiperoleh harus dikurangi dengan energi medan U untuk sistem sebelum menempatkan elipsoida:

U −U =12

∫(~E ~D − ~E ~D) dv. (3.3.29)

Selanjutnya rumusan ini dibentuk dari hubungan antara keduanya:∫~E (~D − ~D) dv = 0 dan

∫~E (~D − ~D) dv = 0, (3.3.30)

kebenaran dari untuk rumusan pertama menunjukkan: dengan ~E = −~∇ϕ diperoleh dari integralpertama dengan menggunakan hukum Gauss dalam bentuk integral terhadap keseluruhan ruangyang dibatasi oleh permukaan logam:∫

~E (~D − ~D) dv = − ⊂⊃∫∫

ϕ (Dn −Dn) dA +∫

ϕ (~∇ · ~D − ~∇ · ~D) dv,

dalam hal ini diskontinuitas antara dua isolator karena kontinuitas Dn tidak memberikan sumbanganharga (hal ini dapat digantikan melalui kontinuitas transisi). Sehingga integral pertama pada ruaskanan akan berharga nol, karena ϕ pada permukaan konduktor mempunyai harga konstan dan didaerah ini berlaku pula:

⊂⊃

∫∫Dn dA =⊂⊃

∫∫Dn dA,

selama muatan yang terdapat di daerah tersebut tidak mengalami perubahan; integral kedua ruaskanan juga akan mempunyai harga nol karena ~D dan ~D di dalam ruang mempunyai muatan yangsama. Dari pers[3.3.30] dan [3.3.29] diruumuskan kembali dalam bentuk:

U −U =12

∫(~E ~D − ~E ~D) dv.


Untuk semua daerah du luar elipsoida integral akan mempunyai harga sama dengan nol, karenaantara ~E dan ~D, demikian pula antara ~D dan ~E, mempunyai hubungan yang sama. Akan tetapi didalam elipsoida berlaku: ~D = ε ~E dan ~D = εε ~E, sehingga

U −U =(ε − 1)ε

2

∫~E ~E dv, (3.3.31)

dengan integral hanya dibatasi oleh elipsoida.Dalam pembahasan ini rumusan yang berlaku untuk isolator berbentuk sembarang adalah

disederhanakan menjadi elipsoida, bahwa dengan menempatkan elipsoida di dalam medan ho-mogen ~E akan menyebabkan timbulnya medan di dalam elipsoida ~E yang konstan, seperti telahdibahas pada bab 2.4.3. Yaitu berlaku ~E = ~E + ~E′, sesuai pers[2.4.11] dan[2.4.12] diperoleh:

Ex =Ex

(1 + χA), Ey =

Ey

(1 + χB), Ez =

Ez(1 + χC)

, (3.3.32)

yaitu jika sumbu utama koordinat persis berada pada sumbu elipsoida dan A, B, C dapat ditentukanberdasarkan pers[2.4.19], sebagai faktor deelektrisitas. Dengan demikian didapat:

U −U =2π(ε − 1)εabc

2

E2x

1 + χA+

E2y

1 + χB+

E2z

1 + χC

. (3.3.33)

Dari persamaan di atas dapat dilihat, bahwa keadaan ε > 1 mempunyai energi lebih menguntungkanjika elipsoida terdapat di dalam medan; elipsoida akan terdorong ke dalam medan. Berdasarkanpers[2.4.19] untuk kasus a ≥ b ≥ c berlaku faktor deelektrisitas A ≤ B ≤ C, karena χ > 0 secaraenergetik lebih menguntungkan, yaitu jika elipsoida ditempatkan sesuai dengan sumbu panjangnya.(3.3.33)

Bagaimana dengan momen putarnya ? (3.3.34)

Momen putar yang dialami elipsoida di dalam medan, dengan sumbu panjang elipsoida danmedan membentuk sudut ϑ dan sumbu pendeknya berada tegak lurus terhadap medan, makapers[3.3.33] akan menghasilkan Ex = E cos ϑ, Ey = 0 dan Ez = E sin ϑ, sehingga momen puatterhadap sumbu pendek (karena χ = ε − 1) adalah:

N = −∂U∂ϑ=

2π(ε − 1)2εabc E2

(C − A) sin 2ϑ(1 + χA)(1 + χC)

. (3.3.36)

Dari persamaan ini didapat dua keadaan kesetimbangan, yaitu pada ϕ = 0 dan ϕ = π/2 dan darikeduanya keadaan pertama (juga identik untuk ϕ = π) adalah stabil, sedangkan kasus kedua adalahlabil.

Apabila terdapat suatu bahan dengan konstanta dielektrik ε < 1, maka elipsoida yang ditem-patkan di dalam medan akan tertolak keluar, akan tetapi dapat pula tetap berada di dalam medan,jika elipsoida tetap mengalami rotasi secara stabil di dalam medan, yaitu misalnya sumbu panjangelipsoida berada sesuai dengan arah medan listrik.


3.4 Kerapatan Gaya di dalam Dielektrik Terpolarisasi

Akan dibahas pengaruh gaya pada isolator dan akan dicari gaya ~fdv (~f adalah kerapatan gayaper satuan volume), yang dikerjakan medan pada elemen volume dv dari bahan dielektrik. Untukitu bayangkan kerapatan gaya~f apakah dalam bentuk:

~f = (% + %P) ~E = (% − ~∇ · ~P) ~E = ε ~E ~∇ · ~E,

dengan kerapatan muatan total yang terdapat pada bahan adalah (% + %P)dv, termasuk muatanpolarisasi berdasarkan pers[2.2.2], atau

~f = % ~E + (~∇ · ~P) ~E,

dengan memandang momen dipol ~Pdv dari elemen dielektrik dan gunakan rumusan gaya yangdiberikan oleh pers[3.1.8]. Kedua pernyataan di atas bersama-sama menyebabkan gaya total padaisolator, jika pernyataan pertama masih ditambahkan pengaruh kerapatan muatan permukaan PndAyang terdapat pada elemen luas isolator dA dan dilakukan integrasi terhadap seluruh permukaan.Akan tetapi pada kedua rumusan di atas hal tersebut tidak dipandang, karena kuat medan yangdiukur pada materi bukan merupakan kuat medan rata-rata ~E, melainkan, seperti halnya telahdisebutkan pada § 2.2, yaitu medan yang berpengaruh pada bahan, yaitu ~EB dan untuk itu jangandilupakan produk besaran derajat dua dari medan tersebut, bahwa harga rata-rata dari produkini umumnya merupakan produk fungsi dua medan yang tentunya tidak sama dengan harga kuatmedan rata-rata.

Untuk memperoleh harga sebesarnya dari ~k, lakukan perhitungan yang mirip dengan pemba-hasan pada bab sebelumnya, yaitu melalui pernyataan energi. Untuk itu anggap bahwa bahanyang terdapat di dalam medan bergerak sedemikian dan misalkan bahwa ~s(~r) adalah sebagai lin-tasan pergeseran bahan yang sangkat kecil pada posisi ~r pada elemen bahan. Dengan demikian~s · ~kdv merupakan kerja yang terdapat pada elemen volume dv. Berdasarkan hukum kekekalanenergi, bahwa kerja karena medan yang terdapat di dalam seluruh ruang materi adalah sama denganpenurunan energi bebas medan total F:

∫~s · ~k dv = −δF = −δ

∫

dv

D∫0

~E · d~D

. (3.4.1)

Maka rumusan pada ruas kanan persamaan di atas dalam bentuk∫~s · ~kdv, dengan~s sebagai varibel

bebas, ~k sebagai besaran medan listrik, sehingga rumusan ini dapat dibandingkan dengan pers[3.4.1],

karena pemilihan sembarang vektor pergeseran ~s dengan menyamakan ~k = ~k.Selanjutnya pandang jika hanya sebagian isolator, berlaku untuk ~D = ε ε ~E dengan konstanta

dielektrik ε(~r) yang tidak bergantung medan, yang hanya merupakan fungsi dari kerapatan massaσ(~r). Selain itu akan dipandang pula kemungkinan terdapatnya kerapatan muatan pada bahandielektrik yang besarnya adalah %(~r), yaitu sebagai muatan sebenarnya.

3.4. KERAPATAN GAYA DI DALAM DIELEKTRIK TERPOLARISASI 85

Untuk merumuskan kembali δF selanjutnya ditulis:

δF =

∫ ~D2

2εεdv =

∫ ~D δ ~Dεε

dv −∫ ~D2 δε

2ε2εdv =

∫~E δ ~D dv −

varepsilon2

∫~E2 δε2 dv.(3.4.2)

Karena ~E = −~∇ϕ dan ~∇ · ~D = %, maka integrand pada ruas kanan dapat ditulis kembali menjadi:

~E δ ~D = −~∇ · (ϕδ ~D) + ϕ ~∇ · δ ~D = −~∇ · (ϕδ ~D) + ϕδ %.

Integral volume dari ~∇ · (ϕδ ~D) menurut hukum Gauss dapat dicari terhadap seluruh permukaanhingga jauhnya tak berhingga dan terhadap semua permukaan konduktor, karena δ ~D = 0 dan

⊂⊃

∫∫ϕδ ~D dA = 0,

sementara pada daerah batas antara isolator yang berbeda dapat disederhanakan melalui kaedahkontinuitas, sehingga tidak akan memberikan sumbangan juga; dari pers[3.4.2] didapat:

δF =∫

ϕδ % −ε2

∫~E2 δεdv. (3.4.3)

Sekarang dapat dicari hubungan antara perubahan % dan ε dari materi dengan~s. Pada gerak tersebutterjadi pergeseran elemen permukaan dA pada arah normal permukaan ~n dengan materi yangmengandung jumlah muatan listrik tetap sebesar % sn dA. Untuk ruang dengan volume tetap berlakurelasi: ∫

δ %dv = − ⊂⊃∫∫

% sn dA =∫∇ · (%~s) dv,

relasi terakhir diperoleh berdasarkan hukum G. Dengan hanya memandang elemen volumeyang kecil didapat:

δ % = −~∇ · (%~s). (3.4.4)

Rumusan yang analog dengan pernyataan di atas, untuk perubahan kerapatan massa σ adalah:

δ σ = −~∇ · (σ~s). (3.4.5)

Karena pengandaian di atas, bahwa ε sebagai σ, maka didapat bahwa

δ ε = −dεdσ

d σ =dεdσ

~∇ (σ~s). (3.4.6)

Berdasarkan pers[3.4.4] dengan demikian dari pers[3.4.3] diperoleh

δF = −∫

ϕ ~∇ (σ~s) dv +ε2

∫~E2 dε

dσ~∇ (σ~s) dv.


Di sini kedua turunan pada dua divergensi di atas dapat dituliskan menjadi integrasi parsial didepan faktor-faktor yang ada dan karena integral luas yang muncul tidak memberikan harga, makadiperoleh:

δF = −∫

% ~E +ε σ

2~∇

(~E2 dε

dσ

)~s) dv. (3.4.7)

Dengan demikian diperoleh pula suatu rumusan dalam bentuk integral kerja seperti yang dinyatakanpada pers[3.4.1] dan dari rumusan ini diperoleh pula kerapatan gaya yang dicari, yaitu:

~k = % ~E +ε σ

2~∇

(~E2 dε

dσ

). (3.4.8)

Karena ~∇ ε =dεdσ~∇σ, maka dapat pula persamaan ini ditulis dalam bentuk lain, seperti berikut:

~k = % ~E −ε σ

2~∇ ε +

ε2~∇

(~E2 σ

dεdσ

). (3.4.9)

Selanjutnya pandang persamaan ini dengan seksama: (3.4.9)

Suku pertama dari k pada pers[3.4.8] dan [3.4.9] memberikan pengaruh gaya pada muatan sebe-narnya.

Suku kedua dari ~k pada pers[3.4.9] berpengaruh pada seluruh bagian sistem, di tempat manaharga ε bervariasi; khususnya pada daerah batas isolator-vakuum akan terdapat gaya yang mem-punyai arah tegak lurus terhadap permukaan, yang cenderung mendorong sistem ke arah vakuum.Gaya ini juga berperan dalam contoh yang diberikan pada bab 3.3 untuk dielektrik homogen, mis-alkan suatu plat isolator yang dimasukkan ke dalam konduktor plat. Dalam hal ini gaya-gaya iniakan mendorong permukaan bagian bawah dan atas kondensator plat saling berlawanan dan hanyaada pada sisi yang tertinggal, yaitu pada permukaan penampang kondensator. Karena ~E terletakparalel permukaan batas, sehingga di dalam plat akan terdapat medan yang sama dengan di luarplat, sehingga integrasi terhadap volume untuk suku kedua dari ~k pada pers[3.4.9] untuk kasus iniadalah sama dengan (ε − 1) ε~E bd/2, yaitu persis sama seperti dinyatakan pada pers[3.3.28].

Suku ketiga dari ~k pada pers[3.4.9] akhirnya terhadap gradien tidak memberikan gaya total padabahan dielektrik; karena integral volume yang dibentuk diubah dalam integral permukaan untuksemua permukaan yang beada di luar bahan dielektrik, di mana σ berharga nol. Rumusan seperti inimempunyai kegunaan pula jika dipertanyakan perubahan permukaan atau volume dielektrik yangterdapat di dalam medan listrik. Pertanyaan serupa ini akan dibahas pada § 3.6.

Dalam pembahasan di sini hanya dibicarakan penggunaan pers[3.4.9] untuk menghitung kerap-atan gaya yang bekerja pada volume terbatas dari bahan dielektrik. Akan diperkenalkan lebih jauhsifat-sifat gaya listrik yang menjadi karakteristik dari teori medan yang dikembangkan oleh Fdan M.

Catatan : Untuk mengubah satuan dalam SI menjadi satuan G, rumusan-rumusan yang terda-pat di atas secara formal tidak mengalami perubahan; hanya faktor ε harus ditambahkan dengan1/4π.

3.5. TEGANGAN MAXWELL 87

3.5 Tegangan M

F dan M menganggap tidak terdapat gaya jangkau jauh, pada medium kontinuyang ada hanya gaya yang berpengaruh melalui medan elektromagnetik dan dapat ditransfer darisuatu benda ke benda lainnya. Sebagai contoh: pada suatu material yang mengalami tegangansecara elastik, dalam pandangan medium sebagai benda kontinu, terjadi transfer gaya. Dengan carayang mirip F dapat menjelaskan pengaruh gaya elektromagnetik karena adanya teganganpada ruang yang terisi medan listrik atau medan magnet. Hal ini dapat dibayangkan, bahwa dalamkeadaan kesetimbangan elektrostatik suatu sistem dengan permukaan A yang terbagi dua bagian,yaitu bagian 1 dan 2, maka menurut F, gaya total yang bekerja pada permukaan 2 akibatpermukaan 1, dengan cara sedemikian, dapat menembus permukaan A. Dalam hal ini adalah samasaja, apakah permukaan hanya terdapat sebagian atau keseluruhannya di dalam ruang hampa.

Penjelasan yang lebih rinci tentang gaya ini kemudian dibuat oleh Mmelalui pembuktian,bahwa gaya yang bekerja pada permukaan 1 adalah sama dengan ~F =

∫~fdv, yang dapat dijelaskan

sebagai gaya melalui permukaan, yang hanya terdapat pada bagian dengan luas A. Apabila ~TndAadalah gaya yang bekerja pada daerah dengan luas dA, dengan ~n adalah vektor normal dari per-mukaan tersebut yang mengarah ke luar, maka dimungkinkan akan diperoleh gaya ini dengan hanyamengatahui besaran medan pada daerah dengan konstanta dielektrik ε dan luas dA dalam bentuk:

~F =∫~f dv =⊂⊃

∫∫~Tn dA (3.5.1)

Penulisan kembali persamaan ini dalam integral G, dapat dibuat dengan menuliskannya dalambentuk divergansi sbb:

fx =∂Txx

∂x+∂Txy

∂y+∂Txz

∂z

fy =∂Tyx

∂x+∂Tyy

∂y+∂Tyz

∂z(3.5.2)

fz =∂Tzx

∂x+∂Tzy

∂y+∂Tyz

∂z

Dari pers[3.5.1] komponen sumbux dari K adalah

Fx =

∫ (∂Txx

∂x+∂Tyy

∂y+∂Tzz

∂z

)dv, (3.5.3)

atau jika ditulis dalam bentuk integral permukaan:

Fx =⊂⊃

∫∫ (Txx nx + Tyy ny + Tzz nz

); (3.5.3a)


dan dalam persamaan ini tanda dalam kurung adalah merupakan komponen x dari ~Tn dan skalarini dapat diperoleh dari produk tensor T dengan vektor satuan ~n (lihat Bab 13.3).

Penulisan pers[3.4.9] untuk fx dalam bentuk pers[3.5.2], yang hanya ditulis suku pertama sajadari fx:

%Ex = Ex ~∇ · ~D = ~∇ · (Ex ~D) − ~D~∇Ex

dan suku kedua adalah:

ε2~E2 ∂ε∂x

= −ε2∂∂x

(ε ~E2) + ε ε ~E∂~E∂x= −

ε2∂∂x

(ε ~E2) + ~D~∇Ex, (3.5.4)

dengan rumusan terakhir digunakan untuk garis-garis medan listrik ~E non-turbulen. Suku ketigadari fx pada pers[3.4.9] dituliskan sebagai turunan terhadap x, sehingga ketiga suku fx dapat ditulisseluruhnya menjadi:

fx = ε

[∂∂x

εEx −

E2

(ε − σ

dεdσ

)+∂∂y

εEx Ey

+∂∂zεEx Ez

]. (3.5.5)

Dengan demikian tensor tegangan bf Maxwell dapat dituliskan dalam komponen-komponen matrikssbb:

~T = ε

εE2

x −~E2

2

(ε − σdε

dσ

)εEx Ey εEx Ez

εEx Ey εE2y −

~E2

2

(ε − σdε

dσ

)εEy Ez

εEx Ez εEy Ez εE2z −

~E2

2

(ε − σdε

dσ

)

. (3.5.6)

Khususnya untuk potongan permukaan yang terdapat di dalam vakuum, matriks di atas mempunyaibentuk lebih sederhana, yaitu:

~T = ε

E2

x −~E2

2 Ex Ey Ex Ez

Ex Ey E2y −

~E2

2 Ey Ez

Ex Ez εEy Ez E2z −

~E2

2

. (3.5.7)

Khususnya untuk kasus seperti dinyatakan pada pers[??] dengan ε = 1 + nα/(ε − nα/3), dengankerapatan partikel n = σ/m untuk faktor ε − σdε/dσ pada pers[3.5.6] yang mempunyai harga 1 −(ε − 1)2/3. Dalam hal ini terlihat dengan jelas bahwa untuk gas yang mempunyai kerapatan tidakbegitu besar, suku-suku tensor yang muncul sebagai suku diagonal εE2/2 dari kedua tensor yangdinyatakan pada pers[3.5.6] dan [3.5.7] praktis tidak terbedakan lagi.

Dengan medan tegangan ~T diketahui dapat dilihat lebih jelas hal sbb: Pada sistem koordinatdiletakkan suatu permukaan dengan elemen luas dA sedemikian rupa, di mana vektor normal ~nberada pada sumbu z dan vektor ~E pada bidang x−z (lihat gbr[3.3]). Jika sudut antara ~E dan ~n adalahϑ, maka komponen-komponen kuat medan akan mengikuti persamaan sbb:

Ex = E sin ϑ, Ey = 0, Ez = cos ϑ, (3.5.8)

3.5. TEGANGAN MAXWELL 89

Gambar 3.3: Sudut antara gaya permukaan Maxwell ~Tn dan vektor normal ~n adalah dibagi oleh arah garis medan E

dan komponen-komponen gaya permukaan ~Tz berdasarkan pers[3.5.7] adalah

~Tzx =ε2~E2 sin 2ϑ, ~Tzy = 0, Tzz = cos 2ϑ. (3.5.9)

Dengan demikian diperoleh hubungan gaya permukaan εE2/2 tidak bergantung pada orientasielemen luas terhadap medan. Gaya permukaan sendiri terletak antara ~E dan ~n pada bidang yangmenghampar dan akhirnya, seperti dapat dilihat pada Gambar[3.3] dengan E membentuk sudutyang sama, sama seperti dengan vektor normal ~n. Jika ~E terletak tegak lurus terhadap permukaan(atau ϑ = 0) dan hal ini juga berlaku untuk vektor atau tensor ~Tx. Dengan demikian harga gayapermukaan ε E2/2 tidak akan bergantung pada orientasi dari elemen permukaan terhadap medan.Gaya permukaan ini sendiri terletak pada bidang antara ~n dan ~E yang saling membentuk sudutyang sama, seperti dengan vektor normal ~n tersebut. Apabila ~E terletak tegak lurus pada elemenpermukaan (ϑ = 0), maka berlaku pula untuk vektor ~Tz; dengan demikian terdapat tegangan normalmurni. Jika ~E terletak pada elemen permukaan maka ~Tz terletak pula tegak lurus terhadap elemenpermukaan, akan tetapi vektor n menjadi berlawanan arah semula, sehingga terdapat tekanan normal.

Selanjutnya akan diilustrasikan fenomena ini melalui pengamatan gaya, yang bekerja pada duamuatan yang sama besar dan bertanda sama (gaya tolak menolak) atau bertanda belawanan (gayatarik menarik). Misalkan masing-masing muatan terletak pada sumbu x, di koordinat x = +a danx = −a. Sebagai bagian volume yang diamati anggap untuk daerah x < 0 yang dibatasi olehbidang y− z dan bidang yang terletak pada jarak tak berhingga. Pada permukaan terakhir dianggaptidak terdapat tegangan, karena komponen ~Tz paling tidak sebanding dengan jarak: 1/r4, sehinggaharganya akan mendekati nol. Gaya yang ada hanya berpengaruh pada permukaan-permukaanyang simetri.

Untuk muatan yang sama (e1 = e2 = e) seperti digambarkan pada Gambar[3.4a], terdapat gaya-gaya yang saling paralel terhadap permukaan; dari muatan sebelah kanan akan hanya terdapatpengaruh tekanan murni pada daerah sebelah kiri dan tentunya berpengaruh pula pada muatan


Gambar 3.4: Tolak menolak dan tarik menarik antara dua muatan titik.

sebelah kiri. Untuk sebuah titik yang berada pada jarak b terhadap sumbu berlaku E = e b/2πε r3

sehingga |~Tx| = e2 b2/8π2 ε r6. Karena r2 = a2 + b2 dan dA = 2π bdb diperoleh gaya sebesar:

F =

+∞∫0

e2 b2 πd(b2)8π2 ε (a2 + b2)3 =

e2

16πε a2 =e2

4πε (2a)2 ,

sesuai dengan gaya tolak menolak Coulomb.Untuk kasus muatan berbeda tanda (e1 = −e2 = e) terjadi hal seperti digambarkan pada

Gaambar[3.4b] dengan garis-garis gaya berada tegak lurus terhadap permukaan tengah; dalam halini terdapat hanya tegangan murni dan berlaku bahwa E = e a/2πε r3 sehingga diperoleh pulategangan sebesar |~Tx| = e2 a2/8π2 ε r6. Dengan demikian gaya Coulomb didapat sebesar:

F =

+∞∫0

e2 a2 πd(b2)8π2 ε (a2 + b2)3 =

e2

16π a2 ,

sebagai gaya tarik menarik.Sebagai contoh sederhana akan ditunjukkan bagaimana mencari efek tegangan Maxwell pada su-

atu permukaan. Pada pembahasan yang lalu telah dibicarakan bagaimana dari kasus diskontinuitasdua permukaan batas secara sederhana dapat diubah menjadi kasus kontinu. Apabila dipertanyakanbagaimana pengaruh tegangan pada suatu muatan yang terdapat pada permukaan batas, misalkan

3.6. PENGARUH GAYA DALAM CAIRAN DAN GAS HOMOGEN 91

di permukaan suatu logam, penyederhanaan di atas tidak lagi dapat digunakan. Selanjutnya akandipertanyakan pengaruh gaya total pada daerah volume yang kecil, dengan bentuk permukaan se-bagai permukaan selinder yang mempunyai luas permukaan alas dan atas sebesar da. Gaya tersebutdapat dihitung berdasarkan tegangan Maxwell yang terdapat pada permukaan atas dan bawah selin-der, sedangkan pengaruh tegangan pada permukaan selimut selinder, karena berharga sangat kecil,dapat diabaikan. Jika harga besaran medan yang terdapat pada permukaan alas dan atas selinderdisimbolkan dengan indeks 1 dan 2, berdasarkan pers[3.5.3] dan [3.5.5] didapat gaya total yangbekerja pada selinder adalah:∫

f dv = [ε2 E2 n − ε1 E1 · n]

−n2

[E2

2

(ε − σ

dεdσ

)2

]− E2

1

(ε − σ

dεdσ

)1

. (3.5.10)

Faktor da adalah sebagai sebagai elemen luas permukaan di mana terdapat tegangan.Jika rumusan pada pers[3.5.10] digunakan untuk kasus sederhana pada permukaan logam yang

terdapat di dalam vakuum, maka di dalam logam harga E1 = 0. Selanjutnya diketahui pula bahwamedan luar E2 = E yang terletak pada arah tegak lurus permukaan logam; dan berlaku pula ε2 = 1.Dari pers[3.5.10] didapat ∫

f dv = ε daE(E · n) − n E2/2

= da D

σ2, (3.5.11)

dalam hal ini terdapat kenyataan bahwa kerapatan muatan permukaan σ dapat diberikan dalamε E = D = σn. Faktor 1/2 yang muncul pada hasil perhitungan di atas adalah mirip denganhasil perhitungan pada kondensator plat pada pers[3.5.9]. Akan tetapi dalam perhitungan padapers[3.5.11] faktor tersebut muncul dari pengaruh adanya kuat medan sebesar E/2 yang merupakansumbangan medan luar yang berasal dari muatan yang terdapat di luar logam yang berpengaruhpada permukaan logam (seperti juga pada pers[3.5.9] yaitu sebagai hasil sumbangan medan dariplat lainnya). Medan ini terdapat bersamaan dengan medan luar akibat kerapatan muatan σ yangterdapat pada permukaan logam dan akan saling mengkompensasi sehingga mempunyai harga samadengan nol.

3.6 Pengaruh Gaya dalam Cairan dan Gas Homogen

Pada § 3.4 telah dibahas bagaimana menghitung kerapatan gaya yang ditimbulkan oleh medan didalam bahan dielektrik. Kerapatan gaya tersebut haruslah terjadi dalam keadaan setimbang antaragaya elastik dan tegangan. Secara statistik di dalam zat cair atau gas hanya terdapat satu macamtegangan, yaitu tegangan p = p(T, σ) yang mempunyai besar yang sama ke segala arah. Apabilategangan elastik semacam ini berubah-ubah terhadap tempat, maka pada elemen volume dv, denganmenurunnya tekanan, akan terdapat gaya sebesar −∇pdv. Dalam keadaan setimbang gaya karenatekanan haruslah sama dengan gaya elektrostatik yang dirumuskan pada § 3.4 f dv. Pada zat cair


yang tidak bermuatan (% = 0) dan dalam keadaan setimbang, berdasarkan pers[3.4.8] akan diperolehsyarat kesetimbangan sbb:

σ∇

(ε E2

2εdεdσ

)− ∇ = 0. (3.6.1)

Karena pengertian persamaan ini dan sebagai pembuktian dari kebenaran perhitungan f pada§ 3.4, akan diturunkan kembali persamaan ini sekali lagi melalui cara yang berbeda. Titik tolakdidasari dari rumusan pada pers[3.3.14] dan [3.3.15] dan dengan mengeliminasi kerapatan energi udiperoleh syarat kesetimbangan sbb:

s dT + σdµ − dpD − E · dD = 0. (3.6.2)

Dalam hal ini tekanan yang timbul pada sistem, berdasarkan pers[3.3.21] bergantung pada besaranmedan dan dapat ditulis menjadi p(T, α, D) ≡ pD(T, σ). Dengan dasar termodinamika, pada keadaankesetimbangan temperatur T, demikian pula dengan potensial termodinamika µ yang termasuk didalam sistem akan mempunyai harga yang sama. Maka dua suku terakhir pada pers[3.6.2] dapatdireduksi. Dengan menggunakan pD dari pers[3.3.21] akan didapat persamaan sbb:

−dp + d(

ED2ε

d(εσ)dσ

)− E dD = 0. (3.6.3)

Dengan mensubstitusikan D = ε ε E pada suku terakhir, didapat hubungan:

d[ε E2

2

(ε − σ

dεdσ

)]= ε ε E dE +

ε E2

2dε +

ε E2

2dεdσ

dσ

+σd(ε E2

2dεdσ

dσ).

Karena (dε/dσ =dσ)=dσ, maka suku kedua dan ketiga menjadi sama besar sehingga dapat ditulisbersama dengan suku pertama εE(εE) = EdD:

−dp + σd(ε E2

2dεdσ

)= 0.

Terbukti bahwa persamaan ini sama dengan pers[3.6.1].Untuk perhitungan kedua σ dinyatakan sebagai persamaan keadaan sebagai fungsi dari p. Se-

hingga pers[3.6.1] dapat pula mempunyai bentuk seperti:

∇

εE2

2dεdσ−

∫dpσ

;

pernyataan di dalam tanda kurung akan mempunyai harga yang sama di seluruh tempat di dalamruang. Nyatakan di suatu tempat masing-masing dengan indeks 1 dan 2, maka berlaku:

p2∫p1

dpσ=ε2

E2

2(dεdσ

)2− E2

1

(dεdσ

)1

. (3.6.4)


Dengan besaran E1 dan E2 adalah kuat medan masing-masing, sehingga pers[3.6.4] memberikanhubungan antara p1 dan p2.

Gunakan rumusan ini untuk suatu gas dengan kerapatan (massa) yang rendah. Apa yang ingindiketahui adalah berapa besar tekanan p2 = p yang terdapat di dalam kondensator plat yang diberikanmedan E2 = E dibandingkan dengan tekanan p1 = p di dalam kondensator yang sama dalam keadaantanpa medan E1 = 0. Dari persamaan gas ideal

p = σRTM= σ k

Tm

dengan M =massa mol; m =massa masing-masing partikel gas dan k =konstanta B. Untukkasus isotermik, ruas kanan pers[3.6.4] menjadi:

p∫p

dpσ=

kTm

ln(

pp

).

Untuk gas dengan kerapatan yang tidak begitu tinggi, berdasarkan pers[??] berlaku:

ε − 1 = χ =nαε, (3.6.5)

dengan n = σ/m sebagai kerapatan total molekul gas dan α tidak lain merupakan polarisabilitasmasing-masong molekul gas. Dengan demikian dari pers[3.6.4] diperoleh:

pp= e

mεE22kT

dσdε = e

αE22kT . (3.6.6)

Seandainya rumusan ini dapat diturunkan dengan cara yang berbeda, berhubungan denganpers[3.1.12] untuk energi listrik suatu momen dipol p = αE yang ditimbulkan oleh medan listrikE, maka dengan energi −αE2/2, maka pers[3.6.6] tidak lain adalah persamaan yang telah dikenal didalam mekanika, yaitu persamaan ketinggian barometer:

pp= e−

m g hkT ,

dengan hanya menggantikan m g h dengan −αE2/2.Pers[3.6.6] memungkinkan untuk meramalkan secara kasar perubahan tekanan karena elektrostriksi. Jika dianggap

bahwa partikel gas berbentuk bola dengan jari-jari 1 · 10−10 m, sebagai pendekatan dpat disubstitusikan harga α ≈ 4πεr2≈

(1/9) · 10−39 A det m2/V. Di dalam kuat medan listrik 3 · 107 V/m, dengan T = 300K dan k = 1, 38 · 10−23 W det/derajat, hargaeksponensial pada pers[3.6.6] kira-kira mendekati 1, 2 · 10−5. Apa yang dapat disimpulkan dari perhitungan ini adalahbahwa efek elektrostriksi merupakan suatu fenomena yang sangat kecil akan tetapi terukur.

Penjelasan untuk hal di atas, senadainya gas digantikan dengan zat cair adalah sedikit berbeda.Selama pembahasan menyangkut peristiwa yang terjadi di dalam zat cair, pers[3.6.4] masih dapatdigunakan, yaitu dengan pendekatan harga σ mendekati konstan. Untuk kasus ini, senadainyadipilih harga E2 = E dan E1 = 0, didapat

p − p =σ ε E2

2dσdε. (3.6.7)


Gambar 3.5: Perhitungan untuk perbandingan tekanan yang terdapat di dalam cairan dielektrik yang dicelupkankondensator plat.

Pada permukaan batas zat cair terdapat perubahan yang sangat kontras dari σ, dari harga kerapatanyang terdapat di dalam zat cair menjadi nol, harga kerapatan di luar zat cair. Dalam hal ini perhi-tungan gaya listrik dapat cari dengan menggunakan pers[3.5.10] dan apabila gaya tersebut dibagidengan da (elemen luas), akan diperoleh tekanan yang terdapat pada sistem zat cair.

Untuk lebih jelas membangun pengertian fenomena ini, pada gbr[refg3.5] diilustrasikan suatususunan peralatan yang terdiri dari tabung berisi cairan homogen dengan kondensator plat yangdicelupkan di dalamnya. Antara plat kondensator A dan B yang dicelupkan di dalam zat cair dandiberi muatan (dengan cara memberikan tegangan), berdasarkan pers[3.6.7] terdapat tekanan sebesarp′, jika tekanan dalam keadaan tanpa medan adalah p. Pada permukaan lintang dari zat cair yangterdapat antara kedua kondensator plat, yaitu permukaan di mana E2 = E1 = E yang tegak lurusterhadap vektor normal n permukaan, berlaku pers[3.5.10] sbb:

p′ − p =ε E2

2

ε − 1 − σ

dσdε

. (3.6.8)

Dengan demikian pada sistem terdapat perbedaan tekanan p′ − p di satu pihak dan gaya listrik dilain pihak di dalam zat cair, berdasarkan pers[3.6.7] dan [3.6.8]; sehingga dalam keadaan setimbangdiperoleh hubungan sbb:

p′ − p = (ε − 1)ε E2

2. (3.6.9)

Hasil perhitungan ini adalah sesuai dengan hasil perhitungan pada pers[3.3.28]; hanya saja padapengamatan di sini mengandung pengertian yang lebih dalam, mengapa timbul gaya listrik didalam zat cair, yaitu gaya yang terdistribusi di seluruh ruang yang terisi zat cair.



15 [] Berapa besar gaya yang ditimbulkan oleh: a) dipol; b) kuadrupol linier dengan momen kuadrupol Q yang berjarakr terhadap sebuah titik muatan e,jika titik muatan terdapat ditengah-tengah dipol dan kuadrupol ? (3.6.9)

jawab-1: a) ep/2πεr3; b) 3eQ/4πr4; keduanya merupakan gaya tarik menarik jika e mempunyai tanda yang berbedadengan muatan tetangga yang dipunyai oleh momen dipol dan kuadrupol.

16 [] Dipol yang sama dengan momen masing-masing p dapat dirotasikan terhadap titik pusatnya; jarak dipol satusama lain adalah a. Bagaimana susunan kedua dipol tersebut karena adanya gaya yang ditimbulkan satu sama lain danberapa besar gaya tarik menarik tersebut ? anggap bahwa energi interaksi antara kedua dipol pada keadaan setimbangmempunyai harga minimum.

jawab-2: Momen dipol terletak saling paralel satu sama lain dan mempunyai arah pada garis hubung satu sama lain.Keduanya akan saling tarik menarik dengan gaya sebesar: 3p2/2πεa4.

17 [] Berapa besar energi listrik pada bola logam dengan jari-jari a dan bermuatan e ? Berapa besar energinya jika didekatbola logam terdapat bola lain yang sama (muatan total e) dari bahan isolasi dengan konstanta dielektrik ε.

jawab-3: Untuk bola logam U = e2/8πεa; untuk bola dielektrik energi yang berasal dari luar akan menyelusup kedalam sebesar e2/40πεεa.

18 [] Suatu bola sabun yang menggantung pada pipa peniupnya akan jatuh jika pipa di buka karena pengaruh teganganpermukaan sebesar 0,05 J/m2. Apakah mungkin dapat dihindari agar bola sabun tidak pecah jika diberikan muatan ?Apabila benar berapa ukuran diameter bola seharusnya agar bola stabil dan jika muatan yang terdapat di permukaannyademikian besar sehingga medan yang terdapat dipermukaan karenanya sama dengan kuat medan yang dapat memec-ahkannya 2 · 106 V/m ?

jawab-4: diameter 11 mm.

19 [] (a) Berapa besar gaya yang terdapat pada kondensator plat dengan luas permukaan 0,01 m2 dan jarak keduanya 1mm jika diberi tegangan sebesar 1000 V ?

(b) Berapa besar gaya yang terdapat pada kondensator di atas setelah dilepaskan hubungan dengan bateri 1000 V,kemudian di celupkan ke dalam bensol (ε = 2, 24) ?

(c) Berapa besar gaya jika pertama-tama dicelupkan ke dalam bensol kemudian baru diberi tegangan sebesar 1000 V ?

jawab-5: a) 0,0443 J/m=0,0443 N; b) 0,0198 J/m; c) 0,0992 J/m.

20 [] Sebuah kondensator plat dicelupkan tegak lurus ke dalam cairan bensol misalnya (ε = 2, 24 dan kerapatan σ = 0, 88g/cm3). Berapa tinggi kenaikan ciaran di dalam kondensator jika kondensator dibiarkan terdapat di udara, jika di dalamkondensator terdapat medan vsebesar 1 · 106 V/m ?

jawab-6: Kenaikan ketinggian adalah h = (ε − 1)εE2/2σg, yaitu sama dengan h = 0, 64 mm.

21 [] Dengan gaya berapa kedua plat kondensator (luas A) akan saling tarik menarik jika pada masing-masing platdiberikan muatan sebesar +e dan −e dan jika plat dicelupkan ke dalam cairan dengan konstanta dielektrik ε ? Gayatersebut dapat dicari dengan tiga macam cara:

(a) langsung dari gaya C, yaitu dengan menghitung gaya karena muatan sebenarnya yang terdapat padasatu plat dan muatan plarisasi yang terdapat pada pemukaan cairan yang mempengaruhi muatan sebenarnya pada platlainnya.

(b) dengan cara mencari besarnya energi bebas F dari kondensator yang dicelupkan ke dalam cairan, yaitu denganmemperbesar jarak x antar plat secara infinitisimal (F = ∂F/∂x),

c) dengan menggunakan tensor tegangan M pada pers[3.5.6], dianggap untuk bidang batas pada plat konden-sator dan sebagai tambahan dengan menggunakan pers[3.6.8] melalui perbedaan tekanan pada cairan yang terdapat didalam dan di luar kondensator.

jawab-7: Dengan semua metode diperoleh gaya F = eE/2 = AD/2εε.


Bab 4

Hukum-hukum Arus Listrik

4.1 Kuat dan Kerapatan Arus

Dari beberapa persamaan yang digunakan untuk menjelaskan fenomena medan elektromagnetik,juga berlaku untuk peristiwa elektromagnetik secara umum. Persamaan tersebut adalah hubunganantara divergensi ~D dan kerapatan % dari muatan listrik sebenarnya, yaitu:

~∇ · ~D = %, (4.1.1)

demikian pula hubungan antara vektor ~D dan ~E, khususnya sifat elektrostatik dari

~E = −~∇ϕ dan ϕ = konstan untuk konduktor,

termasuk sifat garis-garis medan ~E yang non-turbulen dan harga ~E = 0 di dalam konduktor.Selanjutnya akan dipandang kondisi terakhir secara eksperimen, yaitu dengan menggunakan

kondensator plat yang diberi muatan dengan jalan memberikan beda potensial pada kedua platϕ2 − ϕ1 = V, dalam hal ini kedua plat dihubungkan dengan sebuah kawat. (4.1.1) Apakah beda tegangan antara dua plat kondensator tetap konstan dengan adanya hubungan tersebut ?(4.1.2)Dengan dihubungkannya dua plat melalui kawat, tentunya tegangan antara kedua plat tidak lagikonstan, walaupun pada tiap plat tetap mempunyai potensial sebesar ϕ1 dan ϕ2. Karenanya didalam kawat konduktor akan terdapat medan listrik. Medan ini timbul karena adanya perpindahanpembawa muatan (elektron) di dalam kawat dan gerak pembawa muatan tersebut akan terus menerusterjadi hingga mencapai keadaan kesetimbangan muatan pada kedua plat. Selama terdapatnyakesetimbangan muatan tersebut pada kawat akan mengalir muatan yang berubah-ubah setiap saatdengan kuat arus sebesar I, yaitu pada setiap elemen waktu pada kawat akan mengalir muatan yangmelewati elemen luas sebanyak Idt. Sesuai dengan definisi dari kuat arus untuk penurunan jumlahmuatan e pada plat kondensator terdapat hubungan:

I = −dedt. (4.1.4)

Dengan terdapatnya perubahan e terhadap waktu pada kawat, maka pada kawat akan terdapat pulapancaran panas dan medan magnet. Timbulnya medan magnet menyebabkan adanya komplikasi

97

98 BAB 4. HUKUM-HUKUM ARUS LISTRIK

dalam perhitungan, yang nantinya akan dibahas lebih lanjut pada bab selanjutnya. Selama kuat arusI konstan, maka medan magnet yang terdapat pada sistem tidak akan mengalami perubahan, ataudengan perkataan lain akan konstan pula. Dengan demikian hukum-hukum tentang arus stasioner,yaitu arus yang tidak berubah terhadap waktu dapat dirumuskan hingga dalam batas-batas tertentu,tanpa harus memandang dengan rinci medan magnet yang terdapat pada sistem. Suatu keadaanarus stasioner dalam contoh yang diberikan di atas hanya dapat diperoleh dengan pendekatan, yaitudengan memilih harga tahanan kawat dan kapasitansi kondensator sebesar mungkin. Syarat keadaanarus stasioner akan terpenuhi, jika dilakukan hal tertentu, yang dalam pembahasan elektrostatikmasih asing, yaitu dengan menjaga potensial antara kedua plat konstan (dengan menggunakan selGalvani, akkumulator atau akku atau elemen termis). Semua cara ini akan dibicarakan pada bagianselanjutnya.

Selain kuat arus I didefinisikan pula kerapatan arus ~g. Kerapatan arus didefinisikan sebagai vektor,dengan arahnya sesuai dengan arah perpindahan elektron (transport elektron) di dalam konduktor,sehingga berarti pula gndAdt adalah jumlah pembawa muatan yang melewat elemen luas konduktordA dalam waktu dt yang mempunyai arah sesuai dengan vektor normal ~n. Dengan demikian berlakubahwa:

I =∫

gn dA, (4.1.5)

integrasi dilakukan terhadap penampang lintang konduktor.Berdasarkan pengalaman diketahui bahwa muatan listrik tidak dapat diciptakan dan dilenyapkan. Se-

hingga proses pemuatan muatan listrik hanya dapat berubah terhadap waktu dengan cara mengalir.Sehubungan dengan ini berlaku persamaan kontinuitas sbb:

ddt

(∫∫∫V%dv

)= − ⊂⊃

∫∫F

g, dA; (4.1.6)

integral dilakukan terhadap volume seluruhnya yang dilinkupi oleh permukaan A dengan batas V.Dengan menggunakan hukum Gauss integral volume pada pers[4.1.6] dapat ditulis menjadi integralluas, sehingga akan diperoleh persamaan kontinuitas dalam bentuk diferensial sbb:

∂%

∂t= −~∇ · ~g, (4.1.7)

yang telah digunakan dalam menurunkan kerapatan gaya yang terdapat di dalam medan listrik padapers[3.4.4].

Dari persamaan kontinuitas khususnya untuk kerapatan muatan yang tidak mengalami peruba-han terhadap waktu diketahui bahwa ~∇ ·~g = 0. Dalam hal ini selanjutnya melalui setiap penampanglintang suatu kawat akan mengalir arus yang sama. Untuk hal ini berarti pula berlaku pencabanganarus (lihat Gambar[4.1]) yang dikemukakan oleh Kirschoff sbb:

I = I1 + I2.

Untuk perbandingan arus yang tidak stasioner berlaku pula, selama daerah di mana terdapat penca-bangan mempunyai ukuran kecil, pada daerah tersebut tidak akan muncul pemuatan muatan yangberarti.

4.1. KUAT DAN KERAPATAN ARUS 99

Gambar 4.1: Hukum Kirschoff pada arus bercabang.

Hingga di sini hanya dipersoalkan gerak dari muatan sebenarnya. Di samping muatan sebe-narnya, seperti telah dibahas pada § 2.2, masih terdapat pula muatan polarisasi yang diberikan sebagai%P = −~∇ · ~P di dalam bahan dan σP = Pn yang terdapat di permukaan bahan dielektrik. Telah dike-tahui bahwa PndA adalah sebagai muatan yang pada saat medium mengalami polarisasi merupakanmuatan yang melewati elemen luas dA pada arah vektor normal ~n, sehingga akan telihat pula den-gan perubahan polarisasi secar kontinu, analog dengan kerapatan arus sebenarnya, ~g, terdapat pulakerapatan arus muatan terpolarisasi sbb:

~gP =∂~P∂t

(4.1.8)

Tentunya kerapatan arus ~gP, bersama dengan kerapatan muatan %P akan memenuhi pula persamaankontinuitas berikut:

∂%P

∂t= −~∇ · ~gP, (4.1.9)

Dari pers[4.1.7] dapat diperoleh kunci selanjutnya yang menjadi dasar penting dari teori Maxwell.Jika pers[4.1.1] diturunkan terhadap waktu, maka akan diperoleh persamaan yang berhubungandengan pers[4.1.7] yaitu:

~∇ ·

∂~D∂t

= ∂∂t

(~∇ · ~D

)=∂%

∂t= −~∇ · ~gP.

Sehingga besaran

~c = ~g +∂~D∂t= ~g + ~gP + ε

∂~E∂t, (4.1.10)

Persamaan terakhir diperoleh dari relasi ~D = εε ~E yang bebas divergensi (divergensia sama dengannol); untuknya berlaku bahwa untuk daerah yang terdapat di dalam adalah~c = 0 dan di daerah batasantara dua medium berlaku: ~cn kontinu. Arus konduksi ~g selanjutnya dengan arus pergeseran ∂~D/∂tdinyatakan dalam kerapatan arus ~c.

Sebagai ilustrasi sederhana dari peristiwa ini digunakan pula kondensator plat yang juga di-hubungkan dengan kawat: Arus yang menglair pada kawat dengan kuat arus I akan berakhir dimana terdapat kondensator. Akan tetapi pada peristiwa pelepasan muatan pada kondensator, terda-pat medan pergeseran listrik ~D = σ dengan kerapatan muatan σ = e/A yang berubah-ubah terhadapwaktu, sehingga di dalam ruang antara plat kondensator akan terdapat pergeseran arus listrik dengan


kuat arus sebesar:A

dDdt= A

dσdt=

dedt.

Arus ini mengalir dengan menurunnya muatan e dari plat bermuatan poitif ke plat bermuatan negatifdan bersamaan itu terdapat pula aliran arus yang berlawanan arah I suatu rangkaian tertutup tanpasumber.

Catatan: Dalam sistem Gauss persamaan kontinuitas pada pers[4.1.7] dan [4.1.9] akan mempun-yai bentuk yang sama. Akhirnya pada pers[4.1.10] persamaan untuk arus total akan mengalamiperubahan sbb:

~c∗ = ~g∗ +1

4π∂~D∗

∂t= ~g∗ ~g∗P +

14π

∂~E∗

∂t.

Selanjutnya berdasarkan pers[4.1.4] yang berhubungan dengan pers[1.3.6] untuk menghitung I men-jadi I∗ sbb:

I∗ =I

√4πε

, (4.1.11)

yaitu sesuai dengan kuata arus I = 1 A dalam sistem Gauss sebagai:

I∗ ≈ 1 A ·√

9 · 109 Vm/As =√

9 · 109 Wm/det = 3 A ·√

9 · 1093 · 109 ergcm/det.

Karena ada faktor angka 3 pandang kembali catatan pada bab 1.3 !

4.2 Hukum Ohm

Georg Simon Ohm membuktikan bahwa kuat arus I yang melewati suatu konduktor padat dancair yang homogen adalah sebanding dengan tegangan yang diberikan:

I =VR. (4.2.1)

Konstanta kesebandingan R disebut sebagai tahanan (widertand) dari konduktor. Konstanta ini hanyabergantung pada jenis bahan konduktor dan ukurannya 1. Untuk kawat berbentuk selinder: panjangl dan penampang lintang A misalnya, berlaku hubungan

R =1σ

lA. (4.2.2)

dengan besaran σ bergantung pada jenis bahan konduktor. σdisebut sebagai konduktivitas dan % = 1/σdisebut sebagai tahanan jenis. Jika digunakan pers[4.2.1] dan [4.2.2] untuk kawat berbentuk selinder,karena I = A g dan V = l E , maka akan diperoleh hubungan

g = σE. (4.2.3)1Karena perbandingan arus yang dialirkan pada konduktor inhomogen (misalkan penyearah), misalnya melalui gas

tidak dibicakan dalam bagian ini.Juga pada pengukuran harga tahanan dari konduktor padat dan cair, karena ketergantungan tahanan terhadap temper-

atur dan juga dengan mengalirnya arus selalu terdapat panas Joule akan menyebabkan terdapatnya kesalahan perbandin-gan harga hasil pengukuran apabila temperatur bahan konduktor tidak dijaga konstan.

4.2. HUKUM OHM 101

Dalam hal ini kerapatan arus ~g pada bahan isotrop akan mempunyai arah sesuai dengan ~E, sehinggarelasi pada pers[4.2.3] dapat ditulis dalam bentuk vektor sbb:

~g = σ~E. (4.2.4)

Sebaliknya untuk bahan konduktor yang anisotrop (misalkan kristal dan bahan-bahan atau mediayang dapat teregang) konduktivitas listriknya akan bergantung pada arah rambatan arus. Sehinggaσ tidak lagi merupakan besaran skalr, melainkan tensor; dengan demikian maka pers[4.2.4] harusdibaca sebagai persamaan tensor dan vektor ~g dan ~E tidak lagi mempunyai arah yang sama; selanjut-nya hubungan antara komponen-komponen tensor konduktivitas listrik dan kerapatan arus dapatditulis mirip seperti halnya suseptibilitas listrik χ sbb:

gx = σxx Ex + σxy Ey + σxz Ez,

gy = σyx Ex + σyy Ey + σyz Ez, (4.2.5)

gy = σzx Ex + σzy Ey + σzz Ez.

Dalam pembahasan ini hanya akan dibatasi pada persoalan bahan isotrop.Pers[4.2.4] dapat dihubungkan kembali dengan rumusan integrasi hukum Ohm pada pers[4.2.1],

yaitu untuk susunan atau bentuk konduktor tertentu. Karena kerapatan arus dan medan mempunyaihubungan linier, maka dengan memperbesar ~E dengan faktor α, tidak hanya ~g yang akan meningkat,melainkan juha V dan I; karena diketahui adanya hubungan proporsional besaran-besaran ini denganmedan.

Selanjutnya akan ditentukan R untuk beberapa bentuk konduktor, selain yang berlaku padapers[4.2.2]. Karena kasus yang dipandang adalah arus stasioner, maka ~E dapat dicari berdasarkanhukum-hukum elektrostatik yang telah dipejari sebelumnya. Akan tetapi dalam perhitungan harusdiingat, bahwa untuk konduktor tidak lagi berlaku ϕ =konstan; karena justru medan yang terdapatdi dalam konduktor yang akan ditentukan. Untuk kasus arus stasioner, medan di semua tempatdi dalam konduktor adalah non-turbulen, sehingga berdasarkan persamaan kontinuitas, pers[4.1.7],demikian pula dengan dasar keadaan stasioneritas yang terdapat di dalam konduktor, berlaku per-samaan sbb:

~∇ · ~g = ~∇ · (σ~E) = 0;

sementara pada daerah batas konduktor berlaku keadaan kontinu, di mana gn = σEn. Akan tetapi,khususnya pada daerah batas antara konduktor dan isolator dan juga konduktor-vakuum berlakubahwa gn dan En sama dengan nol; atau dengan perkataan lain pada daerah batas tersebut kompo-nen medan listrik haruslah tetap berada pada arah tangensial. Seandainya keadaan tersebut tidakterdapat, maka karena komponen gn mempunyai harga berhingga, haruslah terdapat muatan padadaerah permukaan batas hingga muatan yang terbentuk akan menyebabkan adanya medan tamba-han, sehingga komponen normal medan total akan sama dengan nol. Muatan permukaan serupaitu pula yang menyebabkan pembelokan arah pada konduktor yang sangat tipis selalu pada arahsumbu konduktor.

Karena kompleksnya penyelesaian dari persoalan elektrostatik, maka perhitungan E yang diper-lukan untuk menentukan harga R hanya mungkin dilakukan untuk beberapa bentuk konduktor yangrelatif sederhana. Sebagai contoh akan dibahas tiga macam bentuk konduktor.


1. Kawat Tipis. Kawat panjang dengan penampang lintang berubah-ubah A: dalam hal ini hargamedan E dapat dicari dengan pendekatan mempunyai arah pada arau sumbu kawat dan karena~∇ × ~E = 0 atau ~E = −~∇ϕ yang melalui penampang lintang secara pendekatan dianggap dapatkonstan. Sama halnya berlaku pula bahwa kerapatan arus ~g, sehingga dengan pendekatan inidiperoleh I = A g = AσE. Karena untuk kasus arus stasioner kuat arus I mempunyai harga samadi semua tempat di dalam kawat, maka maka integral garis dari kuat medan, dihitung sepanjangsumbu kawat, didapat sebagai:

V =∫

E dr =∫

E ds = I∫

ds/(A σ). (4.2.6)

Dengan demikian harga tahan diperoleh dengan dasar pers[4.2.1] sbb:

R =∫

dsAσ. (4.2.7)

Untuk kawat lurus berbentuk selinder, persamaan di atas sesuai dengan pers[4.2.2].

2. Kabel Koaksial. Kabel ini terdiri dari dua bagian koaksial berbentuk selinder, terbuat darilogam yang dapat menghantarkan arus dengan baik, masing-masing berjari-jari a1 dan a2 (a2 > a1);keduanya dipisahkan oleh lapisan isolator yang tipis, akan tetapi mempunyai konduktivitas. Untukmenentukan tahanan lapisan isolator yang panjangnya l, abaikan penurunan tegangan pada selinderlogam dibandingkan dengan penurunan tegangan yang sangat besar yang terdapat pada lapisanisolator. Dengan anggapan ini maka distribusi medan listrik yang terdapat pada kabel koaksialdapat dianggap seperti distribusi medan pada kondensator berbentuk selinder. Untuk medan radialberlaku:

E =V

r ln(a2/a1), V =

2∫1

E dr,

maka kuat arus yang melewati lapisan isolator adalah

I = 2π r l g = 2π r l σE =2π l σ

ln a2/a1.

Sehingga tahanan yang dicari adalah sama dengan:

R =ln (a1/a2)

2π l σ.

3. Aarde. Apabila arus melalui suatu konduktor dengan sifat penghantar yang baik, berbentukbola, jari-jari a yang dikelilingi oleh medium terentang tak berhingga dengan konduktivitas σ, makadi sekitar bola logam akan terdapat medan dan potensial sebesar:

E =V ar2 , V =

2∫1

E dr.

4.2. HUKUM OHM 103

Maka kuat arus menjadiI = 4π r2 σE = 4π a σV,

sehingga tahanan aarde diperoleh sebagai:

R =1

4π a σ.

Selanjutnya dipertanyakan dasar-dasar berlakunya hukum Ohm. Telah diketahui bahwa padamateri yang mempunyai sifat penghantar listrik yang baik maupun kurang baik, terdapat pembawamuatan bebas atomik (misalkan adalah elektron pada logam dan ion pada larutan elektrolit), yangpada keadaan tanpa medan bergerak dengan arah acak. Jika bahan demikian diberikan medan listrik,maka pembawa muatan akan mempunyai komponen gerak tambahan, searah atau berlawananmedan yang diberikan, tergantung pada tanda yang dipunyai muatan tersebut. Gerak tambahantersebut akan semakin dipercepat dalam waktu tertentu, seandainya partikel tidak mengalami tum-bukan dengan bagian bahan lainnya dan energi yang diperoleh partikel dari medan akan diberikankembali pada sistem. Secara formal peristiwa ini dapat dipandang seolah partikel pembawa muatanberada di dalam suatu medium viskos dengan tahanan gesekan yang besar, sehingga gaya e ~E yangbekerja pada partikel akan sebanding dengan kecepatan:

~v = B e ~E. (4.2.8)

Faktor B disebut sebagai mobilitas pembawa muatan 2. Kerapatan arus ~g dalam hal ini tentu akansebanding dengan kecepatan dan, karena dari pers[4.2.4] diketahui bahwa ~g sebanding dengan ~E.

Hubungan antara konduktivitas σ dengan B dapat diketahui sbb: untuk mencari kerapatan arus~g, pandang suatu jenis pembawa muatan tertentu yang dalam waktu dt melewati elemen luas dAyang berada tegak lurus terhadap medan ~E. Dengan demikian dalam selang interval elemen waktudt setiap partikel pembawa muatan dapat dipandang terdapat di dalam sebuat selinder dengan luaspenampang dA dan tinggi vdt, atau terdapat muatan sebanyak n v dA dt, dengan n sebagai kerapatanpembawa muatan per satuan volume. Jumlah pembawa muatan ini tentunya, sesuai dengan definisi~g, sama dengan g dA dt. Dengan demikian diperoleh hubungan

~g = n e~v (4.2.9)

dan karena ~v = eB~E, untuk σ didapat pula hubungan sbb:

σ n e2 B, (4.2.10)

dan dengan mengetahui harga σ dan n, dapat diketahui harga mobilitas B 3. Untuk larutan elek-trolit yang terdiri dari beberapa macam pembawa muatan misalnya, pers[4.2.9] dan [4.2.10] dapatdimodifikasi dalam bentuk penambahan sesuai dengan macam pembawa muatan.

2Dalam fisika semikonduktor mobilitas digambarkan sebagai produk dari faktor B dan muatan partikel pembawa muatanµ = |e|B.

3Walaupun terdapat perbedaan antara konduktivitas konduktor (logam) dan semikonduktor, akan tetapi pada umum-nya mobilitas kedua bahan tersebut kira-kira mempunyai harga dalam orde yang sama. Perbedaan yang nyata antarakeduanya terletak pada harga n untuk konduktor adalah konstan, atau dengan perkataan lain tidak bergantung padatemperatur dan mempunyai kerapatan ion dalam orde yang besar, sedangkan untuk semikonduktor harga n lebih kecildalam orde beberapa pangkat sepuluh dan meningkat dengan bertambah besarnya temperatur.


Perhitungan σ atau B lebih jelas dapat ditemui pada teori konduktivitas yang banyak ditemukanpada buku-buku zat padat atau teori listrik. Dalam pembahasan ini hanya akan ditilik kembalikoreksi terhadap pers[4.2.4] untuk kasus jika terdapat perubahan medan terhadap waktu atau ruang,sehingga dapat dirumuskan hukum Ohm yang lebih umum.

Perubahan Medan terhadap waktu. Untuk medan yang berubah-ubah terhadap waktu dapat dia-mati, bahwa pembawa muatan, karena adanya kelembaman (massa), hanya dapat menggeser medan,seperti telah diketahui dalam pelajaran mekanik persamaan gerak pembawa muatan yang berada didalam medan ybs. sbb:

md~vdt= e ~E −

eB. (4.2.11)

Jika persamaan di atas digunakan untuk sistem pembawa muatan total, yaitu dengan menggunakanpers[4.2.9] dan [4.2.10], diperoleh persamaan sbb:

taud~gdt+ ~g = e ~E; (4.2.12)

dengan menyingkatB m = τ. (4.2.13)

Besaran ini mempunyai dimensi waktu dan sering disebut sebagai waktu tumbukan atau waktu relaksasi.Dengan demikian maka konduktivitas untuk arus searah dapat diberikan dengan membandingkandengan pers[4.2.10] sbb:

σ =n e2 τ

m. (4.2.14)

Untuk arus bolak-balik akan dibahas pada § 8.2, yaitu konduktivitas akan bergantung padafrekuensi dan apabila frekuensiω = 0, akan berubah menjadi pers[4.2.14], sedangkan untuk frekuensisangat kecil (ω τ), harga konduktivitas persis sama dengan pers[4.2.14]. Adanya pengaruh massadari gerak pembawa muatan di dalam materi akan dibahas lebih jauh pada § 4.4.

Jika distribusi kerapatan pembawa muatan di dalam bahan berubah terhadap ruang, yang ser-ing dijumpai pada larutan elektrolit dan semikonduktor, bahkan kadang-kadang juga terjadi padakonduktor logam pada frekuensi tinggi, maka dalam hal ini hukum Ohm yang diberikan pada ruaskanan pers[4.2.4], atau juga pers[4.2.12] harus ditambahkan suku korektur yang menyatakan adanyafaktor difusi pembawa muatan. Untuk kasus arus bolak-balik dengan frekuensi yang tidak begitutinggi akan muncul arus partikel sebesar −D ~∇n (D ≡konstanta difusi). Dengan demikian pers[4.2.4]menjadi:

~g = σ~E − e D ~∇n. (4.2.15)

Beberapa contoh untuk keperluan praktis relasi ini akan dibahas lebih rinci pada § 4.3.

Catatan: Dalam sistem Gauss hukum Ohm dapat ditulis dalam bentuk I∗ = V∗/R∗ dan ~g∗ = σ~E∗.Hubungan antara tahanan R∗ dalam sistem Gauss dan R dalam sistem SI dapat ditulis sebagai:

R∗ =V∗

VII∗

R = 4πε R, (4.2.16)

4.3. GAYA-GAYA PAKSAAN DAN RANGKAIAN GALVANI 105

relasi terakhir diperoleh dari pers[1.3.15] dan [4.1.11]. Maka tahanan 1 Ohm (Ω)= 1 V/A dalam sistemGauss sama dengan:

R∗ ≈ 1VA·

19 · 109

Adet.Vm

=1

9 · 1011

det.cm

.

Dalam hal ini kebalikan tahanan dalam sistem Gauss mempunyai dimensi sama dengan kecepatan.Analog berlaku pula untuk konduktivitas σ∗ = σ/4πε dan suatu konduktivitas σ = 1Ω−1 m−1 = 1A/Vm dan dalam sistem Gauss harga ini sama dengan σ∗ ≈ 9 · 109 det−1; Jadi satuan dari kebalikankonduktivitas adalah waktu.

4.3 Gaya-gaya Paksaan dan Rangkaian Galvani

Seperti telah dibahas sebelumnya, disamping terdapat medan listrik di dalam konduktor, dapatpula muncul difusi pembawa muatan, yang menimbulkan adanya gaya yang dapat pula mempen-garuhi arus. Selain difusi sesungguhnya terdapat pula peristiwa lain yang juga timbul bukan karenapenyebab listrik dan dapat memperbesar atau memperkecil arus. Gaya-gaya yang bukan disebabkanoleh pengaruh elektris disebut sebagai gaya paksaan atau gaya non-listrik. Jika gaya tersebut dituliskembali dalam bentuk e ~E(e) yang bekerja pada masing-masing muatan dan kuat medan karena gayatersebut dinamakan kuat medan terbatas, yang menurut hukum Ohm dapat ditulis dalam bentuk:

~g = σ (~E + ~E(e)). (4.3.1)

Untuk kasus di mana terdapat difusi pembawa muatan, berdasarkan pers[4.2.15] didapat hubungan:

~E(e) = −e Dσ~∇n = −

m Dn e τ

~∇n, (4.3.2)

Untuk mengerti lebih jauh besaran ~E(e) perhatikan contoh berikut ini.Larutan yang diencerkan dengan pelarut air adalah larutan elektrolit kuat 1 , misalnya HCl, cen-

derung mengandung penurunan konsentrasi. Misalkan pada saat awal tidak terdapat medan listrik.Maka akan terjadi peristiwa difusi yang terjadi karena adanya perbedaan konsentrasi di dalam laru-tan sehingga mencapai kesetimbangan konsentrasi. Selanjutnya larutan elektrolit praktis mengalamidissosiasi keseluruhan menjadi ion H+ dan Cl− yang satu sama lain dapat berdifusi secara bebas tanpasaling bergantung. Karena besarnya harga mobilitas H+ dibanding dengan Cl−, maka pada tempatdi mana konsentrasi lebih rendah H+ akan bergerak lebih cepat atau dengan perkataan lain akanterdapat lebih banyak ion H+ dibanding ion Cl−, sehingga terdapat arus listrik pada arah penurunankonsentrasi. Gerak karena difusi ini adalah penyebab adanya gaya paksaan (non-listrik), sehinggamenimbulkan ~E(e) pula. Arus ini menyebabkan terjadinya ”pemisahan” muatan di dalam larutan,yaitu muatan positif akan berada pada daerah berkonsentrasi lebih rendah dan negatif berada padadaerah konsentrasi lebih besar; selanjutnya karena adanya polaritas muatan di dalam larutan, timbulmedan listrik dengan arah sesuai dengan muatan positif ke negatif, sehingga difusi ion H+mengalamipengereman dan ion Cl− akan terdifusi lebih cepat.

1Sebagai elektrolit kuat biasanya disebut larutan yang mengandung molekul zat pelarut praktis mengalami dissosiasiseluruhnya, atau dengan perkataan lain terpecah menjadi ion-ionnya. Sebaliknya larutan elektrolit lemah derajat dissosiasirelatif lebih kecil, akan tetapi dapat meningkat dengan meningkatnya temperatur.


Secara fisis vektor ~E dan ~E(e) mempunyai perbedaan penting: keduanya sama-sama dapat diny-atakan sebagai gradien dari potensial ϕ dan ϕ(e). Sementara medan ~E berdasarkan hukum elektrosi-tatika dapat mempunyai harga tertentu di luar larutan, sesuai dengan relasi

∮~E·d~r = 0, memenuhi

sembarang kurva tertutup, sedangkan ~E(e) menurut definisi, hanya terdapat di dalam larutan danmemenuhi

∮~E(e)·d~r = 0 untuk suatu kurva tertutup yang hanya terdapat di dalam larutan elektrolit.

Integrasi garis dalam integral∮~E(e)·d~r juga mengandung daerah di luar larutan elektrolit di mana

~E(e) = 0, sehingga secara keseluruhan itegral dapat ditulis dalam bentuk:

2∫1

E(e)· d~r = ϕ(e)

1 − ϕ(e)2 = V(e) , 0, (4.3.3)

dengan 1 dan 2 berarti sebagai titik ”‘masuk”’ dan ”keluar” integral di dalam larutan elektrolit dandarinya.

Pemikiran di atas akan diperjelas dengan rumusan berikut: Misalkan n+ adalah konsentrasi ionH+ dan n− adalah konsentrasi ion Cl− yang diberikan sebagai fungsi dari tempat. Misalkan D+ danD− adalah konstanta difusi, B+ dan B− adalah mobilitas dan +e dan −e adalah muatan kedua macamion. Kemudian misalkan pula bahwa arus ion H+ adalah ~g+ dan arus Cl− adalah ~g− dan menurutpers[4.2.15] dan [4.2.10] diberikan sebagai:

~g+ = e−D+~∇n+ + n+ B+ e ~E

~g− = −e

−D−~∇n− + n− B− e ~E

. (4.3.4)

Maka untuk arus total berlaku:

~g = ~g+ + ~g− = −e (D+~∇n+ −D−~∇n−) + e2 (n+ B+ + n− B−). (4.3.5)

Hubungan di atas dapat ditulis kembali dalam bentuk pers[4.3.1], jika konduktivitas yang berubahterhadap tempat adalah:

σ = e2 (n+ B+ + n− B−) (4.3.6)

dan medan dari gaya paksaan ~E(e) didefinisikan dalam relasi:

e ~E(e) = −(D+~∇n+ −D−~∇n−)

(n+ B+ + n− B−)(4.3.7)

Suatu keadaan kesetimbangan akan dicapai apabila, baik ~g+ maupun ~g− sama dengan nol:

D+~∇n+ = n+ B+ e ~E, D−~∇n− = −n− B− e ~E.

Jika medan diganti dengan ~E = −~∇ϕ, maka persamaan untuk n+ dan n− ini dapat diitegrasi danmenghasilkan persamaan sbb:

n+ = konst. · e−B+eϕ/D+ , n− = konst. · e+B−eϕ/D− . (4.3.8)

Pada pers[4.3.8] di atas terlihat bahwa pada suku eksponensial, berdasarkan mekanika statistik(bandingkan dengan rumus ketinggian barometer), mengandung perbandingan negatif dari energi

4.3. GAYA-GAYA PAKSAAN DAN RANGKAIAN GALVANI 107

potensial partikel pembawa muatan di dalam medan listrik: ±eϕ yang sama dengan kT (k =konstantaBoltzmann=1, 38·10−23 Joule/K dan T =temperatur absolut), sehingga dari pers[4.3.8] dapat diperolehrelasi Einstein sbb:

D+

B+=

D−

B−= kT. (4.3.9)

Dengan demikian dari pers[4.3.7] diperoleh pula rumusan untuk ~E(e) sbb:

e ~E(e) = −kTB+ ~∇n+ − B− ~∇n−

B+ n+ + B− n−. (4.3.10)

Pada larutan elektrolit HCl berlaku bahwa B+ B− dan di setiap tempat terdapat keadaan normal(tidak bermuatan) yaitu |n+ − n−| n+ ≈ n, sehingga pers[4.3.10] dapat disederhanakan menjadi:

e ~E(e) = −kT~∇nn, dan eϕ(e) = kT ln n + konstanta.

Antara dua titik di dalam larutan elektrolit dengan konsentrasi n1 dan n2 berdasarkan pers[4.3.3]diperoleh pula tegangan paksaan sbb:

e V(e) = e

2∫1

~E(e)· d~r = e (ϕ(e)

1 − ϕ(e)2 ) = kT ln

n1

n2.

Orde tegangan ini dalam pemilihan semua harga besaran sembarang sebagai contoh adalah untukn1/n2 = 2, T = 300K, e = e = 1, 6cdot10−19 C didapat sebesar V(e)

≈ 0, 018 V.Contoh lain timbulnya tegangan paksaan diperoleh dengan jalan menyetuh logam dengan larutan

elektrolit. Misalkan sebuah batang Cu dicelupkan ke dalam larutan Cu2SO4, maka di dalam larutanakan terbentuk sejumlah kecil ion Cu++. Ion ini karena pengaruh adanya tensi (”‘tegangan”’) larutanakan mengalir dari logam ke elektrolit. Arus ini akan terhenti jika logam menjadi bermuatan negatifdibanding larutan elektrolit bermuatan positif terdapat medan. Dalam keadaan kesetimbanganmedan ~E akan terkompensasi justru karena adanya kesetimbangan dengan medan paksaan ~E(e).Sehingga karena ~E + ~E(e) = 0 antara batang Cu (1) dan larutan elektrolit (2), serta adanya medanpaksaan akan timbul perbedaan tegangan yang berlawanan dengan tegangan paksaan sbb:

V12 =

2∫1

~E · d~r = −

2∫1

~E(e)· d~r = −V(e)

12 . (4.3.11)

Pada kenyataannya, di daerah transisi di dalam larutan elektrolit, di mana harga ~E(e) tidak samadengan nol, adalah sangat tipis untuk dapat dibicarakan dengan persis adanya perbedaan tegangan didaerah batas antara logam-elektrolit. Pada daerah ini biasanya orang menyebutnya sebagai pengaruhelemen Galvani.

Adanya perbedaan tegangan yang mirip seperti kasus di atas terjadi pula antara dua logam yangberbeda. Karena adanya karakteristik gerak elektron yang berbeda di dalam logam masing-masing,mengakibatkan timbulnya arus yang hanya dapat dihentikan dengan memberikan perbedaan poten-sial antara dua plat logam yang bersangkutan.


Gambar 4.2: Rangkaian sel Galvani AB yang dihubungkan dengan kawat tertutup.

Selanjutnya akan dibahas rangkaian Galvani, yaitu terdiri dari suatu seri konduktor (logam ataukonduktor, semikonduktor atau elektrolit), yang pada masing-masing konduktor atau dan padadaerah batas konduktor terdapat tegangan paksaan (lihat gbr[4.2]). Awal rangkaian (1) dan akhir (2)haruslah terbuat dari logam yang sama. Maka antara akhir rangkaian untuk kasus tanpa arus akanterdapat perbedaan potensial listrik, yang menurut pers[4.3.11] adalah sama dan berlawanan arahdengan integral garis dari medan paksaan, dengan batas integrasi diambil untuk semua daerah yangtermasuk dalam rangkaian.

Jika kedua ujung rangkaian dihubungkan satu sama lain (misalkan dengan menggunakan kawatBDA), maka keadaan kesetimbangan tidak akan mungkin dicapai. Karena ”‘jalan”’ ABDA dariintegral garis

∮~E·d~r tidak sama dengan nol dan di dalam kawat homogen harga ~E(e) = 0, sementara

syarat berlakunya∮~E·d~r adalah jika medan listrik non-turbulen. Sehingga akhirnya secara total

akan terdapat arus listrik di dalam rangkaian.Selanjutnya jika dibentuk rangkaian konduktor yang relatif tipis dan integral dilakukan dengan

membagi pers[4.3.1] dengan σ, maka analog dengan pers[4.2.6] diperoleh persamaan sbb:

I∮

dsAσ=

∮(~E + ~E(e)) · d~r =

∮~E(e)· d~r =

2∫1

~E(e)· d~r V(e).

Faktor dari I berdasarkan pers[4.2.7] adalah sama dengan tahanan R dari rangkaian keseluruhan,sehingga akhirnya diperoleh bahwa:

I R = V(e). (4.3.12)

Hasil kali kuat arus dan tahanan dari seluruh rangkaian tertutup adalah sama dengan integral garisdari medan paksaan 2. Dengan dasar ini kemudian didefinisikan (walaupun tidak menguntungkan)gaya motor listrik (gml) rangkaian. Tegangan ini akan identik dengan integral garis rangkaian terbukaantara A dan B hanya jika bagian awal dan akhir rangkaian tersebut terbuat dari bahan yang sama dandalam kondisi (temperatur) yang sama pula, apabila tidak demikian, jika rangkaian dihubungkan

2Relasi pada pers[4.3.12] tentunya juga berlaku untuk jika masing-masing bagian rangkaian diperlebar. Hanya sajatahanan masing-masing bagian rangkaian harus diperhitungkan menurut cara pada yang dijelaskan pada § 4.2, kemudianmasing-masing tahanan ditambahkan satu sama lainnya.

4.4. PENGARUH KELEMBAMAN ELEKTRON PADA LOGAM 109

akan terdapat kontak yang dapat menimbulkan tegangan termis (termospannung). Tegangan padarangkaian ini, jika peristiwa difusi dominan dan dengan menjaga temperatur konstan terhadapwaktu, dengan mengubah-ubah konsentasi larutan dapat diperbesar atau diperkecil.

4.4 Pengaruh Kelembaman Elektron pada Logam

Suatu contoh lain yang lebih instruktif dari gaya paksaan adalah dengan membuat percobaanbahwa pembawa muatan elektron konduksi adalah juga pembawa massa (kelembaman). Percobaanpertama tentang pembuktian hal ini berasal dan K. V. Nichols. Dasar pemikiran percobaan yangdibuatnya adalah sbb: Jika sebuah piringan logam dirotasikan terhadap sumbunya, akan terdapatgaya sentrifugal, karenanya elektron konduksi akan terlempar ke pinggir piringan; karenanya sisipiringan akan bermuatan negatif, sedangkan bagian tengah piringan akan bermuatan positif. Ke-setimbangan akan terjadi jika medan yang timbul karena adanya perbedaan muatan antara bagianpinggir dan tengah piringan justru mengkompensasikan gaya sentrifugal yang bekerja pada elek-tron. Gaya sentrifugal dalam hal ini berpengaruh (karena e = −e) pada arah radial ke dalam piringansehingga menimbulkan medan paksaan sebesar:

~E(e) =m rω2

e= −

m rω2

e, (4.4.1)

dengan ω adalah frekuensi sudut piringan dan m dan e adalah massa dan muatan elektron. Denganmengintegrasi ~E(e) terhadap~r dari piringan dengan batas dari tengah piringan~r = 0 hingga ke ujungpiringan |~r| = R, diperoleh tegangan paksaan (gaya motor listrik) sbb:

R∫0

~E(e)· d~r = V(e) = −

m R2ω2

2e. (4.4.2)

Untuk mengetahui orde besar harga tegangan yang ditimbulkan dari efek ini misalkan untukR = 0, 1 m dan ω = 100 det−1 yang digunakan pada percobaan Nichols; dengan e = 1, 6 · 10−19 C danm = 0, 9 · 10−27 g, diperoleh |V(e)

| = 3 · 10−10 V. Pengkuran statik efek ini, karena harganya yang keciltidak dapat dilakukan dengan ketelitian yang baik; Nichols dalam hal ini menghubungkan sebuahgalvanometer dengan tahanan dalam sekecil mungkin antara ujung dan tengah piringan (gbr[??]),yaitu untuk mengetahui kesamaanarus antara sisi piringan yang bermuatan negatif dan bagian ten-gah bermuatan positif. Nichols dapat menentukan adanya aliran arus, walaupun dengan ketelitianyang tidak pasti, karena adanya kontak termis antara gesekan kontak dengan piringan dan pengaruhyang sama sebagai efek pengganggusaling tumpang tindih yang karena ketidakberaturan dan tidakdapat dikontrolnya pengukuran menyebabkan efek ini tidak dapat dipertanggung jawabkan.

Kebalikan dengan apa yang dilakukan Nichols, R. C. Tollman dkk. dapat membuat percobaandengan hasil yang lebih baik. Deretan percobaan pertama didasari pada pandangan, bahwa pen-gereman serta-merta suatu batang logam yang digerakkan, di mana elektron konduksinya juga ikutbergerak, karena adanya sisa momentum elektron-elektron tersebut dapat terus bergerak di dalamlogam, hingga terdapat medan yang melawan gerak karena adanya muatan di sisi batang dan karena


Gambar 4.3: Sentrifugal elektron dari Nichols.

Gambar 4.4: Pembuktian adanya bahwa elektron adalah partikel yang mempunyai kelembaan (pembawa massa) dariTollman.

tahanan Ohm yang menghambat gerak elektron melalui kisi logam. Adanya gerak relatif lebih lanjutdari elektron di dalam kisi haruslah menyebabkan adanya arus singkat.

Untuk membuktikan digunakan sebuah kumparan kawat dengan kedua ujung sumbu kumparandihubungkan dengan galvanometer balistik (gbr[4.3]). Dengan menghentikan secara tiba-tibakumparan yang dirotasikan terhadap sumbunya ini kenyataanya dapat terbaca adanya simpan-gan pada Galvanometer dan dengan proses penghentian demikian dapat diketahui berapa jumlahmuatan listrik yang muncul melewati penampang lintang kawat.

Untuk menghitung berapa besar kuat arus listrik yang muncul, perhatikan bagian kecil kawatyang pada saat yang bersangkutan bergerak dengan kecepatan ~v. Maka gerak rata-rata elektronyang berada di dalam bagian ini dapat diperoleh dengan memodifikasi pers[4.2.11] menjadi:

md~vdt= e ~E −

~v − ~vB

, (4.4.3)

dalam keadaan terdapat tahanan gesek hanya bergantung pada kecepatan relatif antara elektron danbagian kawat yang bergerak. Dengan dasar yang sama kerapatan arus ~g selain dinyatakan sepertipada pers[4.2.9], juga dapat ditulis dalam bentuk:

~g = n e (~v − ~v. (4.4.4)

Gantikan harga ~v pada pers[4.4.3] dengan menggunakan pers[4.4.3], sehingga didapat:

τd~gdt+ ~g = σ~E − n e τ

∂~v∂t= σ (~E + ~E(e)), (4.4.5)

dengan

e ~E(e) = −m∂~v∂t

(4.4.6)

4.5. PANAS JOULE 111

didefinisikan sebagai gaya karakteristik paksaan.

4.5 Panas Joule

Seperti telah dibahas pada § 4.2, pembawa muatan akan kehilangan energinya selama melewatikonduktor, terjadi karena adanya tumbukan pembawa muatan dengan penyusun materi konduktordan proses tersebut (sebagai penjumlahan) dinyatakan dalam tahanan gesek. Energi yang ”‘hilang”’tersebut berubah menjadi panas Joule pada konduktor.

Peristiwa ini akan dijelaskan dengan menggunakan contoh pada proses pengosongan muatanpada kondensator berkapasitas C yang dihubungkan melalui tahanan R. Proses pengosongan mu-atan, selama proses berlangsung tidak cepat, dapat ditentukan melalui persamaan:

e = C V dan −dedt= I =

VR, (4.5.1)

dengan solusi:VV=

ee=

II= e−t/RC. (4.5.2)

Dari persamaan di atas diketahui bahwa tegangan, muatan dan arus akan menurun secara ekspo-nensial dan penurunan akan semakin cepat jika harga R dan C semakin kecil. Sebagai contoh untuksebuah kondensator dengan kapasitas 1µF= 1 · 10−6 A·det/V yang dihubungkan dengan sebuahtahanan R = 1Ω = 1 V/A sehingga RC = 1 · 10−6 det. Sehingga dalam waktu 10−6 det. akan terjadipenurunan tegangan, arus maupun muatan sebesar e bagian 1. Dengan menurunnya muatan padakondensator, terjadi pula penurunan energi medan U, yang pada kondensator yang tidak diberikanbahan dielektrik besarnya sesuai dengan kerja K yang diberikan pada pers[3.2.1] dan akan menurunmenurut hubungan:

U =C V2

2C V2

2e−2t/RC. (4.5.3)

Energi medan yang hilang dalam waktu dt adalah sama dengan

−dU =2U dtR C

=V2 dt

R= I V dt = I2 R dt (4.5.4)

yang diubah menjadi panas Joule. Dalam waktu ini terdapat muatan sebanyak Tdt di dalam konduk-tor dengan tegangan sebesar V, sehingga terdapat perubahan energi potensial di dalam konduktorsebanyak I Vdt yang menjadi panas.

Dasar umum hukum Joule untuk menjelaskan terjadinya panas di dalam suatu sistem arusakan diberikan lebih rinci pada § 7.3 dengan menggunakan persamaan Maxwell ”‘lengkap”’. Padapembahasan di sini cukup diberikan dalam bentuk contoh, yaitu panas yang timbul pada suaturangkaian arus stasioner yang ditimbulkan oleh GGL tidak bergantung terhadap waktu. Dalam halini perhitungan dilakukan dengan menggunakan pers[4.3.1]. Dengan mencari atau menyelesaikan

1Walaupun kelihatannya waktu peluruhan ini sangat kecil akan tetapi masih lebih besar jika dibandingkan denganwaktu tumbukan yang dinyatakan pada pers[4.5.1], selain dengan persamaan ini terdapat hubungan sederhana denganpers[4.2.4] atau yang bersesuaian dengan pers[4.2.1]. Patutu pula diperhatikan bahwa jika terjadi pengosongan muatandengan cepat akan terjadi efek induksi (lihat § 6).


~E(e) dan membuat perkalian skalar dengan ~g dan lakukan integrasi terhadap seluruh rangkaian, makaakan diperoleh relasi sbb: ∫

~g ~E(e) dv = −∫

~g ~E dv +∫

~g2

σdv. (4.5.5)

Apabila pernyataan di atas ditujukan untuk menggambarkan ramalan kesetimbangan daya yangterdapat di dalam rangkaian arus, maka dapat dijelaskan melalui cara sbb: Karena e ~E~vdt menyatakankerja akibat adanya gaya ”‘paksaan”’ sebesar e ~E(e) dalam waktu dt, sehingga menyebabkan pembawamuatan mempunyai kecepatan (rata-rata) ~v, maka berdasarkan pers[4.2.9] kerja keseluruhan yangterdapat pada sistem terdiri dari n dv pembawa muatan menjadi n dv e ~E(e) ~vdt = ~g ~E(e) dvdt. Sehingga

dapat pula diartikan bahwa dt∫~g ~E(e) dv tidak lain merupakan energi yang diterima sistem dalam

waktu dt akibat gaya e ~E(e). Dengan menggunakan relasi Gauss, yaitu mengubah ~E(e) = −~∇ϕ(e),pernyataan energi di atas dapat dirumuskan kembali dalam bentuk:∫

~g ~E(e) dv = −∫

~gn ~∇ϕ(e) dA +

∫ϕ(e) ~∇ · ~g dv. (4.5.6)

Untuk arus stasioner, suku kedua ruas kanan akan sama dengan nol (~∇ · ~g = −∂%/∂t = 0). Integralsuku pertama ruas kanan hanya dibatasi oleh elemen permukaan dA di mana gaya e ~E(e) bekerja,yaitu hanya pada daerah di mana terdapatnya arus masuk dan keluar dan selain daerah tersebutberlaku harga ~gn = 0; Dengan demikian diperoleh (Iϕ(e))1 − (Iϕ(e))2 = I V(e), yaitu sama dengan dayayang diberikan oleh sumber arus (GGL) itu sendiri. Sehingga berdasarkan pers[4.5.6] berlaku:∫

~g ~E(e) dv = I V(e). (4.5.7)

Ekuivalensi energi yang diperoleh dari pergitungan di atas dalam perstiwa ini digunakan sebagaienergi untuk menimbulkan medan listrik ~E(e). Dalam rantaian konsentrasi (larutan elektrolit) halini timbul dari energi bebas yang timbul karena perbedaan konsentrasi antara larutan yang lebih”‘kental”’ dengan larutan yang lebih encer. Pada elemen Galvani hal ini terjadi berhubungan denganpenguraian atau pemisahan senyawa secara kimiawi. Pada elemen panas energi berasal dari sumberpanas melalui perbedaan temperatur pada bagian pateri. Dalam semua kasus yang disebutkan di atas,hal terpenting adalah bahwa terdapat ”‘perpindahan”’ daya sebesar I V(e) dari sumber energi, yangsesungguhnay secara elektrostatik sangat asing, akan tetapi dengan panas Joule dapat dimengertiterjadi dengan cara analog.

Pada ruas kanan pers[4.5.5] integral suku pertama, seperti halnya telah dilakukan pada pers[4.5.6],dapat dirumuskan kembali melalui rumusan Gauss; untuk kasus arusstasioner yang dipandang disini, maka baik integral terhadap permukaan (karena di seluruh permukaan ~gn = 0), maupun integralvolume (karena ~g = 0) sama dengan nol.

Sehingga pada pers[4.5.5] hanya tinggal suku-suku pada ruas kanan. Suku-suku ini, untukrangkaian arus, berhubungan dengan panas Joule; hal ini dapat dilihat secara langsung jika dipan-

4.5. PANAS JOULE 113

dang elemen panjang l dan penampang lintang a, yaitu akan diperoleh bahwa:∫

~g2

σdv

= g2 a lσ=

I2 lσ a= I2 RD,

relasi suku terakhir ruas sesuai dengan pers[4.2.2], yaitu RD sesuai dengan tahanan dari kawat yangbersangkutan. Untuk rangkaian keseluruhan, sesuai dengan pers[4.5.5] dan [4.5.7], demikian jugaberdasarkan relasi pers[4.3.12] yang berlaku:∫

~g2

σdv = I V(e) = I2 R, (4.5.8)

atau diperoleh relasi panas Joule yang sama kembali seperti dinyatakan oleh pers[4.5.4]. Dalampembahasan di sini diperoleh hasil yang berlawanan dengan kelakuan pelepasan muatan padakondensator, bahwa melalui medan statik selama energi tidak berupa energi listrik alamiah akandiubah menjadi bentuk energi lain, yaitu panas Joule.

Catatan: Dalam sistem Gauss panas Joule dinyatakan dalam I∗2 R∗, kerapatan daya dinyatakandalam g∗2/σ. Untuk sistem ini daya tidak dinyatakan dalam W (Watt) atau kerapatan daya dalam Wm−3, melainkan dalam erg/det dan dalam erg cm−3 det. Atau 1 erg= 1 E det.

2mmSoal-Soal Latihan Bab 4

22 [] Suatu rangkaian dengan tahanan Rv dihubungkan dengan sumber arus dengan tegangan paksaan V(e) dan tahanandalam Ri. Berapa besar penurunan tegangan Ohm pada tahanan Rv tersebut, yaitu tegangan di titik kontak yang digunakan?

Jawab: V = V(e) Rv/(Rv + Ri).

23 [] Pada suatu sumber tegangan 220 V dihubungkan n peralatan, masing-masing alat dikarakteristikkan oleh tahananR1, R2, · · · , Rn. Berapa besar tahanan, arus dan daya total sistem ini ? Misalkan pada tiap alat terdapat 6 lampu pijar 220V, masing-masing 50 W, sebuah lampu pijar 8 V dan 6 A dengan tahanan depan dan sebuah motor dengan daya yangterdapat pada saklar sambungan tegangan sebesar 1/6 tenaga kuda (1 tenaga kuda= 735,5 W) dan dengan efisiensi 75%.Berapa besar tahanan, arus dan daya total sistem untuk kasus ini dan berapa besar tahanan depan yang harus dipilih untuklampu 8 V, 6 A ?

Jawab: Tahanan total R = 1/∑

(1/Rv), arus total I = V/R, daya adalah V2/R. Untuk kasus khusus R = 27, 1Ω, I = 8, 1 A,daya= 1783 W; tahanan depan adalah Rv = 35, 3Ω.

24 [] Apabila terdapat n akumulator (accu) dengan tahanan dalam masing-masing Ri dan tegangan non-listrik V(e); setiapakumulator ke k terdapat n/k rangkaian paralel. Berapa seharusnya k agar dengan tahanan R diperoleh daya maksimumdan berapa besar daya tersebut ?

Jawab: k =√

n R/Ri; daya maksimal adalah = n V(e)2/4 Ri.

25 [] Berapa lama kawat Wolfram yang terdapat pada lampu pijar dapat digunakan, jika daya lampu 50 W dan meng-gunakan arus searah 220 V (anggap bahwa diameter kawat adalah 25 µm) ? Tahanan jenis Wolfram pada 18C adalah% = 5, 3 · 10−8Ωm dan akan meningkat secara tetap pada temperatur absolut. Misalkan temperatur operasi kawat adalah


2500 K. Berapa perbedaan arus pada saat lampu dihidupkan (pada temperatur 18 C) lebih besar dibanding pada penggu-naan stasioner ?

Jawab: Panjang kawat ≈ 1 m; I/I = 8, 6 pada I = 1, 95 A.

26 [] Sebuah panci listrik 220 V dan 3 A memerlukan waktu 11 menit untuk mendidihkan air dari 18C. Berapa besarefisiensi panci, yaitu porsi atau persentase energi yang digunakan untuk memanaskan air dibagi dengan energi total yangterdapat pada sistem.

Jawab: 79%.

27 [] Misalkan kapasitas C suatu susunan yang terdiri dari dua plat logam diketahui. Ruang antara dua logam misalnyadiisi oleh bahan dengan tahanan jenis spesifik %; misalkan pula bahwa % bahan lebih besar dibanding dengan tahananspesifik logam, sehingga penurunan potensial pada elektroda logam dapat diabaikan. Berapa besar tahanan total R darisusunan tersebut untuk peralihan arus dari suatu logam ke logam lainnya ? Susunan seperti ini misalnya terdapat padaelemen Daniel, yang terdiri dari satu selinder Cu dan Zn yang disusun secara koaksial, masing-masing berjari-jari a danb, serta tinggi selinder h. Dengan anggapan bahwa susunan dapat dianggap sebagai kondensator selinder dan % adalahtahanan spesifik dari CuSO4.

Jawab: R = ε%/C; khususnya R = % ln (b/a)/2πh.

28 [] Sebuah kondensator plat diisi dengan bahan berkonstanta dielektrik ε dan konduktifitas σ. Kemudian kondensatordihubungkan dengan bateri. Pada saat t = 0 hubungan diputuskan, sehingga kondensator mengalami pelepasan muatan.Berapa besar waktur relaksasi, yaitu waktu yang diperlukan agar muatan dan atau tegangan kondensator mengalamipenurunan sebesar e bagian semula ?

Jawab: ε ε/σ.

29 [] Tahanan suatu konduktor berbentuk sembarang jika diukur pada titik 1 dan 2, berdasarkan hukum Ohm dapatdinyatakan dalam bentuk: R = V/I =

∫E dr =

∫(g/σ) dr/I. Atau dengan menggunakan hukum Joule dapat pula

dinyatakan sebagai R =∫

(g2/σ) dv/I2. Ditunjukan bahwa karena relasi ~g − σ~E = −σ ~∇ϕ dari pernyataan kedua untuk Radalah sesuai dengan pernyataan pertama.

Jawab: R = −∫

g∇ϕdv/I2 = −∫

gn ϕdA/I2 = −(ϕ2 − ϕ1)/I =2∫

1

Edr/I.

Bab 5

Medan Magnet

5.1 Gaya Lorentz dan Induksi Magnetik

Untuk menggambarkan hukum medan listrik telah dimulai melalui gaya

~F = e ~E, (5.1.1)

yaitu gaya yang dialami oleh sebuah muatan diam e di dalam medan listrik ~E. Hal yang miripadalah gaya yang bekerja pada muatan yang terdapat di dalam medan magnet. Dari H. A. Lorentzsebuah partikel bermuatan e akan mengalami gaya sebesar ~F yang sebanding dengan muatan e dankecepatan ~v muatan yang berangkutan, akan tetap gaya tersebut akan terletak tegak lurus terhadapmedan. Selanjutnya besaran yang dikarakteristikkan sebagai medan magnet ditulis sebagai vektor ~Byang didefinisikan berdasarkan relasi Lorentz sbb:

~F = e~v × ~B. (5.1.2)

Hukum yang diturunkan oleh Lorentz ini dapat dibuktikan dengan mudah melalui percobaan pem-belokan berkas elektron atau berkas ion. Gerak muatan ini di dalam medan listrik ~E dan magnet ~Bdapat ditulis dalam relasi sbb. 1:

md~vdt= e (~E + ~v × ~B). (5.1.3)

Patut dicatat pula bahwa medan magnet tidak berpengaruh terhadap besarnya kecepatan partikel.Hal ini dapat dibuktikan dengan mengalikan skalar pers[5.1.3] dengan kecepatan ~v:

ddt

(m~v2

2

)= e ~E~v; (5.1.4)

perubahan energi kinetik hanya dipengaruhi oleh perubahan medan listrik. Jika ~E. Jika ~E ditimbulkanoleh potensial statik ϕ, maka berdasarkan hukum kekekalan energi didapat pula hubungan energi

1Dalam hal ini patut dicatat bahwa kecepatan partikel v adalah kecil dibandingkan dengan kecepatan cahaya di vakuumc. Apabila v ≈ c, maka massa yang terdapat pada pers[5.1.3] haruslah mengalami perbahan relativistik, yaitu denganmengubah suku pada ruas m d~v/dt pada pers[5.1.3] dengan m d~v/

√1 − v2/c2

/dt. Untuk ini lihat bab 12.1.

115

116 BAB 5. MEDAN MAGNET

dalam keadaan terdapat medan magnet sbb:

m~v2

2+ eϕ = konstan. (5.1.5)

Selanjutnya pandang untuk kasus di mana hanya terdapat medan magnet konstan ~B. Misalkan arahmedan magnet berada pada arah sumbu z positif, maka berdasarkan pers[5.1.3] komponen gerakmuatan pada masing-masing sumbu dapat ditulis dalam bentuk:

m dvx

dt= e B vy;

m dvy

dt= −e B vx;

m dvz

dt= 0. (5.1.6)

Dari pers[5.1.6] dapat dilihat bahwa komponen gerak yang berada searah medan magnet ~B tidakterpengaruh medan sama sekali. Karenanya hanya perlu diperhatikan proyeksi gerak pada bidangx − y. Selanjutnya misalkan bahwa

ω = eBm

(5.1.7)

sehingga pers[5.1.6] dapat ditulis lebih sederhana menjadi:

m dvx

dt= ω vy;

m dvy

dt= −ω vx.

Penyelesaian umum persamaan diferensial di atas (dengan menganggap konstanta integrasi v seba-gai kecepatan awal dan t sebagai waktu awal) adalah

vx = v cos ω (t − t), vy = −v sin ω (t − t).

Dengan mengintegrasikan penyelesaian persamaan sekali lagi terhadap waktu diperoleh:

x − x =vm

sin ω (t − t), y − y =vm

cos ω (t − t).

Yaitu proyeksi kurva lintasan muatan pada bidang yang tegak lurus terhadap arah medan magnet~B (untuk kasus ini adalah bidang x − y), yaitu lintasan berbentuk lingkaran dengan jari-jari di titik(x, y) sebesar

R =vω=

m ve B

. (5.1.8)

Bersamaan dengan komponen lintasan pada arah medan magnet homogen ~B akan didapat kurva lin-tasan linier dengan panjang lintasan tidak bergantung pada v h = 2π vz/ω = 2πm vz/eB. Pers[5.1.8]juga sekaligus menyatakan bahwa gaya sentrifugal gerak melingkar muatan ini justru dikompen-sasikan oleh gaya Lorentz e v B.

Pers[5.1.3] merupakan dasar dari semua percobaan yang berhubungan dengan pembelokanberkas bermuatan di dalam medan yang diberikan. Sebaliknya dari percobaan pembelokan berkas,dengan pers[5.1.3] dapat pula ditentukan medan magnet pembelok berkas ~B.

Dari relasi Lorentz pers[5.1.2] dapat dengan mudah ditentukan gaya yang bekerja pada muatanyang mengalir (arus) di dalam konduktor yang ditempatkan di dalam medan magnet. Gaya ini yang

5.1. GAYA LORENTZ DAN INDUKSI MAGNETIK 117

menyebabkan gerak dari motor listrik sehingga gaya tersebut dipandang amat penting dalam bidangelektroteknik.

Untuk itu pandang suatu elemen volume yang sangat kecil dv suatu konduktor yang dialiri arusI atau kerapatan arus ~g. Dengan demikian pada setiap muatan e j yang bergerak dengan kecepatan ~v j

di dalam medan medan magnet ~B akan bekerja gaya sebesar e j ~v j×~B. Maka elemen gaya keseluruhanyang terdapat di dalam elemen dv adalah 2

~f dv =∑

e j ~v j × ~B = ~g × ~B dv. (5.1.9)

Seluruh partikel yang terdapat di dalam konduktor tersebut, karena mengalami gaya gesek dengankisi dan sesamanya, sebagian karena terdapatnya muatan di dinding konduktor (gaya elektrostatiksebagai media) ditransfer ke kisi kristal, maka selanjutnya gaya Lorentz ini dapat dipandang seolahsebagai gaya total satu-satunya yang terdapat di dalam elemen volume dv. Kerapatan gaya ini dapatditulis sebagai:

~f = ~g × ~B. (5.1.10)

Untuk suatu konduktor dengan luas penampang lintang a yang dialiri arus I, karena ~g dv =~g a|d~r| = I d~r, maka gaya total yang terdapat pada elemen konduktor adalah seolah sama dengangaya yang bekerja pada elemen d~r sbb:

~F = I d~r × ~B. (5.1.11)

Untuk mencari gaya total ~F ini, dapat dilakukan integrasi pers[5.1.9] terhadap elemen volume dvsecara langsung terhadap, atau jika menggunakan pers[5.1.11], diintegrasi terhadap seluruh panjangkawat.

Catatan: Dalam sistem Gauss rumusan pada pers[5.1.2] dan [5.1.10] ditulis kembali dalam bentuk:

~F = e∗ ~v × ~B∗/c dan ~f =1c~g∗ × ~B∗. (5.1.12)

Dalam hal ini c adalah suatu besaran yang dipilih dalam dimensi kecepatan sembarang, sementaradimensi ~B∗ dan ~E∗. Pemilihan sembarang dari besaran c mempunyai arti bahwa dalam percobaanpembelokan berkas besaran ~B∗/c tetap merupakan satu kesatuan yang tidak terpisahkan. Nantinyadiketahui bahwa besaran c ini dipilih sama dengan kecepatan cahaya di vakuum:

c = 2, 99793 · 1010 cm/det ≈ 3 · 1010 cm/det. (5.1.13)

Dengan dasar pemilihan besaran ini, maka satuan ~B∗ dapat pula ditentukan.Satuan B berdasarkan pers[5.1.2] adalah V det/m2, demikian pula satuan B∗ dapat ditentukan.

Dari pers[??] berlaku bahwa

B∗ =c e B

e∗= c

√4πε B. (5.1.14)

2Di sini dan di rumus berikutnya dv adalah elemen volume yang dipandang, bukan turunan dari kecepatan d~v j.


Dengan demikian didapat pula hubungan untuk besaran medan magnet induksi 1 V det/m2 sebesar:

B∗ = 2, 9979 · 108 mdet

√4π 8, 854 · 10−12 Adet

Vm· 1

Vdetm2 = 1 · 104

√ergcm3 ; (5.1.15)

besaran berdimensi yang muncul ini seringkali disebut sebagai ”Gauss”. Faktor angka dalam perhi-tungan di atas persis menghasilkan angka 1, sehingga harga ε yang telah diberikan pada pers[??]sebagai besaran terukur dapat diberikan dalam bentuk:

ε =107

4π c2

AmVdet

. (5.1.16)

Dasar mengapa khususnya timbul faktor angka yang sederhana pada pers[5.1.15] akan dibahas lebihrinci nantinya (lihat § 5.4 dan § 8.1).

5.2 Arus Melingkar sebagai Momen Dipol Magnet

Penggunaan penting dari relasi yang terdapat pada pers[5.1.11] pandang suatu pengaruh gayayang terdapat pada rangkaian listrik tegar dan tertutup yang dialiri dengan kuat arus konstan Idi dalam medan magnet ~B. Integrasi pers[5.1.11] terhadap seluruh rangkaian, karena

∮d~r = 0,

menyebabkan ~F = 0; karenanya berarti pula bahwa medan magnet ~B tidak menyebabkan adanyagaya ~F pada rangkaian, sehingga rangkaian mengalami gerak translasi. Jika dicari besaran momenputar ~N yang dialami rangkaian ini karena berada di dalam medan magnet, didapat

~N =∮~r × d~F = I

∮~r × (d~r × ~B), (5.2.1)

rumusan ini umumnya mempunyai harga tertentu. Untuk membuktikannya dibuat modifikasirumusan sederhana sbb:

~r × (d~r × ~B) =12

d(~r × (~r × ~B)

)+

12

(~r × d~r) × ~B. (5.2.2)

Selanjutnya substitusikan rumusan ini ke pers[5.2.1], maka harga diferensial total di atas akan samadengan nol, sehingga diperoleh rumusan sederhana sbb:

~N = ~m × ~B, (5.2.3)

yaitu jika ~m didefinisikan sebagai:

~m =12

∮~r × d~r = I ~A; (5.2.4)

dalam hal ini ~A mempunyai arti sebagai vektor dengan tiga komponennya sesuai dengan komponenproyeksi vektor

∮~r × d~r/2 pada bidang koordinat: Ax =

∮(ydz − zdy)/2, Ay =

∮(zdx − xdz)/2 dan

Az =∮

(xdy− ydx)/2 (vektor ini dalam mekanika dapat dianalogikan analog dengan momen putar !).

5.2. ARUS MELINGKAR SEBAGAI MOMEN DIPOL MAGNET 119

Untuk analogi demikian, diperoleh pula jika dipandang selain rangkaian arus melingkar secaraumum dipandang pula suatu distribusi arus stasioner, yang dalam hal ini telah dirumuskan padapers[5.1.10] untuk kerapatan gaya ~f yang bekerja pada sistem. Dalam hal ini, jika dalam sistemterdapat medan magnet ~B homogen, gaya ~F haruslah akan sama dengan nol:

~F =∫~f dv =

∫

~g dv

× ~B = 0. (5.2.5)

Secara langsung dari pernyataan di atas dapat terlihat jika dipandang kembali persamaan kontinuitas~∇ · ~g = −∂%/∂t = 0 yang dikalikan dengan x dan kemudian diintegrasi terhadap seluruh ruang;kemudian melalui integrasi parsial, karena integral permukaan berharga nol

0 =∫

x ~∇ · ~g dv = −∫

~gx dv,

yang selanjutnya membuktikan pernyataan sebelumnya. Atau dengan menuliskan kembalipers[5.2.5] dalam bentuk:

~F =∫ (

~g ~∇) (~r × ~B

)dv (5.2.6)

dan lakukan integrasi secara parsial, dengan mengingat kembali bahwa integral permukaan akansama dengan nol, sehingga menyebabkan pula harga ~F = 0 karena ~g ~∇ · ~g = 0.

Selanjutnya perhatikan kembali momen putar ~N yang terdapat pada sistem yang dialiri arus; ~Ndiberikan menurut persamaan sbb:

~N =∫~r × (~g × ~B) dv. (5.2.7)

Dalam hal ini integran pada persamaan di atas ditulis sesuai dari relasi yang terdapat pada pers[5.2.2]dan [5.2.6] yang dilakukan modifikasi menurut relasi sbb:

~r ×(~g × ~B

)=

12

(~g ~∇

) (~r × (~r × ~B)

)+

12

(~r × ~g) × ~B.

Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke pers[5.2.7], suku pertama ruas kanan akan sama dengannol jika diintegrasi secara parsial, yaitu karena ~∇·~g = 0. Sisanya akan sesuai dengan pers[5.2.3], yaitujika didefinisikan bahwa:

~m =12

∫~r × ~g dv. (5.2.8)

Tentunya rumusan ini juga berlaku khususnya untuk rangkaian yang terdiri dari kawat dankarena ~g a d~r = I d~r akan diperoleh kembali pers[5.2.4] kembali.

Untuk suatu sistem yang terdapat medan magnet homogen dengan arus stasioner akan terdapatpula momen putar seperti dirumuskan pada pers[5.2.3], yaitu mempunyai bentuk yang sama seperti


halnya momen putar yang terdapat bekerja pada sebuah momen dipol listrik yang terdapat di dalammedan listrik homogen, seperti dirumuskan pada pers[3.1.5]. Dengan cara yang analog medanmagnet ~B(~r dapat pula ditulis dalam bentuk deret terhadap~r dan apabila hanya diambil suku pertamadari deret tersebut, akan terdapat gerak translasi sistem muatan untuk medan magnet inhomogen,yaitu jika gaya yang menyebabkan gerak translasi ditulis dalam bentuk:

~F = (~m ~∇) ~B = ~∇ (~m · ~B), (5.2.9)

dengan mengambil harga ~m dari pers[5.2.4] atau [5.2.8], akan dapat dibuktikan adanya analogidengan gaya yang dialami oleh sebuah momen dipol listrik yang terdapat di dalam medan listrikinhomogen yang dinyatakan oleh pers[3.1.6] dan [3.1.7]. Hanya untuk kasus momen dipol listrik,karena diketahui bahwa ~∇ × ~E = 0, untuk kasus momen dipol magnetik berlaku pula ~∇ × ~B = 0.Hubungan ini dibahas lebih rinci nantinya, tetap berlaku untuk sistem rangkaian arus yang terdapatdi dalam ruang hampa (tanpa materi).

Relasi vektor ~m yang terdapat pada pers[5.2.3] dan [5.2.9] analog dengan yang dibahas padabab 3.1, disebut sebagai momen dipol magnetik, untuk kasus medan listrik misalnya, juga berlaku untukpengertian ganda dari dua muatan yang terpisah satu sama lain (”monopol”) yang mengandungmuatan berbeda tanda (positif dan negatif), sedangkan untuk kasus magnetik, karena tidak adanyamonopol magnetik pengertian ini tidak dapat digunakan. Momen dipol listrik berdasarkan Amperedigambarkan dengan tanda panah, tetapi momen dipol magnetik dibyangkan sebagai adanya arusmelingkar (”arus cincin”) , khususnya dalam pandangan atomik momen dipol dikondisi oleh ”arus”atau gerak elektron mengelilingi inti, sehingga arah momen dipol magnetik dikarakterisitikkan oleharah vektor ~m yang berada tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh ”arus melingkar” denganarah putar sesuai dengan arah perputaran jarum jam. Atau dengan perkataan lain: vektor momendipol listrik ~p adalah seperti vektor kecepatan atau vektor medan listrik yaitu sebagai vektor polar,sebaliknya vektor momen dipol magnetik ~m adalah mirip seperti vektor momen putar atau vektormedan magneyt induksi, yaitu sebagai vektor aksial 1. Sehingga untuk pencerminan kedua momendipol terhadap bidang x − y, berlaku hubungan:

~p = (px, py, pz) menjadi vektor ~p′ = (px, py, −pz) (5.2.10)~m = (mx, my, mz) menjadi vektor ~m′ = (−mx, −my, mz)

(lihat gbr[5.1]). Dalam pencerminan ini muatan postif momen dipol ~p akan menjadi muatan positifmomen dipol ~p′. Seandainya vektor momen dipol ~m dapat dipandang terdiri dari dua monopolyang dipisahkan oleh jarak, seperti halnya momen dipol listrik, maka pada pencerminan, ”monopolpositif” (=kutub Utara) akan menjadi ”monopol negatif” (=kutub Selatan). Alasan ini yang menjadipenyebab mengapa di dalam teori Maxwell tidak terdapat monopol sebagai besaran skalar yangdapat dibenarkan.

Untuk lebih memperjelas hubungan antara momen dipol magnetik ~m suatu arus cincin sepertidinyatakan pada pers[5.2.4] dan momentum angular~J = m~r×~v dari suatu partikel bermassa m yangbergerak melingkar di dalam medan sentral, pandang diskusi berikut: (5.2.10)

Berdasarkan mekanika Newton momentum angular dimengerti sebagai besaran yang konstanterhadap waktu, sehingga dapat dilakukan integrasi lintasan partikel terhadap waktu; misalkan

1Lihat pembahasan pada bab 13.1.

5.2. ARUS MELINGKAR SEBAGAI MOMEN DIPOL MAGNET 121

Gambar 5.1: Vektor polar p dan vetor aksial m pada pencerminan terhadap bidang x − y.

dilakukan integrasi terhadap waktu τ:

τ~J = m∮~r × d~r = 2 m A. (5.2.12)

Jika partikel mempunyai muatan sebesar e dan bergerak dengan frekuensi ν = 1/τ dengan lintasantertutup, maka gerakan partikel tersebut dapat dianalogikan dengan adanya arus cincin dengan kuatarus I = e ν = e/τ dan berdasarkan pers[5.2.4] akan timbul momen dipol magnetik sebesar

m = eAτ. (5.2.13)

Dalam kasus ini berlaku pula, seperti halnya terlihat pada kedua rumusan di atas, bahwa terdapathubungan penting sbb:

~m =e

2m~J. (5.2.14)

Di dalam medan sentral momentum angular ~J suatu partikel yang bergerak mengelilingi suatutitik dan momen dipol magnetik ~m yang timbul karenanya adalah saling sebanding satu samalain, sementara faktor kesebandingannya, yaitu e/2m, hanya bergantung pada muatan e dan massam partikel yang bersangkutan, selain itu, baik bentuk lintasan, maupun kecepatan partikel tidakberperan sama sekali. Besaran γ = e/2m disebut sebagai faktor giromagnetik.

Berdasarkan mekanika kuantum, harga momentum angular suatu partikel yang bergerakmengelilingi suatu titik adalah sama dengan kelipatan bilangan bulat dari h/2π ≡ ~, denganh = 6, 626 · 10−27 erg·det = 6, 626 · 10−34 W·det sebagai konstanta Planck , sehingga harga kuantummomentum angular dari momen dipol magnetik dapat dinyatakan sebagai e~/4πm = 0, 9274 · 10−23

A m2, yang disebut sebagai magneton Bohr.


Catatan: Karena cara penulisan yang berbeda, gaya Lorentz pada pers[5.1.12] dalam sistemGauss ditulis dengan faktor c, seperti terlihat dalam banyak rumusan pada bab 5.2. misalkanpada pers[5.2.4] dan [5.2.8]:

~m∗ = I∗Ac

dan ~m∗ =∫

~r × ~g∗

2 cdv. (5.2.15)

Dalam sistem Gauss ini, maka faktor rasio giromagnetik ditulis dalam bentuk:

γ∗ =e∗

2 m c;

dan magneton Bohr menjadi

e∗ h4πm c

= 0, 9274 · 10−20 Oerstedcm3≡ erg ·Gauss−1.

5.3 Hukum Induksi Faraday

Faraday pada tahun 1831 mengungkap peristiwa fundamental, bahwa pada suatu kawat berben-tuk cincin tertutup akan mengalir arus listrik jika kawat digerak-gerakkan di dekat daerah bermedanmagnet atau jika kawat tersebut digeser di dalam medan magnet. Untuk kedua peristiwa ini berlakuhukum induksi dalam bentuk:

I R = −ddt

∫∫Bn dA = −

dΦdt. (5.3.1)

Hal ini terjadi karena adanya perubahan fluks induksi mangetik yang melewati bidang yang dibentukkawat:

Φ =

∫∫Bn dA ≡

∫∫~B · d~A; (5.3.2)

dalam hal ini arus diperhitungkan mempunyai arah positif jika arah alirnya terhadap arah vektornormal ~n permukaan yang dibentuk kawat sesuai dengan arah putar kanan sekrup (arah jarum jam) 1.

Fluks induksiΦ haruslah tidak bergantung dari posisi permukaan ybs., seandainyaΦ bergantungpada permukaan, maka hukum induksi magnetik tidak akan pernah dapat dibuktikan dan tidakakan berlaku secara umum; hal ini dapat dibuktikan melalui rumusan yang mempunyai arti tidakterdapatnya sumber magnetik:

~∇ · ~B = 0. (5.3.3)

Persamaan keempat dari persamaan Maxwell ini diformulasikan pula sedemikian, bahwa fluksinduksi yang melalui permukaan tertutup akan sama dengan nol:

⊂⊃

∫∫Bn dA = 0. (5.3.4)

1Besaran −dΦ/dt dalam istilah teknik sering disebut sebagai ”penyusutan magnetik”.

5.3. HUKUM INDUKSI FARADAY 123

Persamaan di atas berlawanan dengan rumusan yang terdapat pada pers[2.3.7], bahwa flukspergeseran medan listrik ~D yang melalui permukaan tertutup adalah sama dengan jumlah seluruhmuatan yang terdapat di permukaan tersebut. Karena tidak terdapat muatan magnetik sebenarnya,maka secara formal pers[5.3.3] dapat dianalogikan dengan teori Maxwell yang dinyatakan padapers[2.3.5], demikian pula analogi pers[2.3.7] dan [5.3.4]. Hukum induksi dalam bentuk pers[5.3.1]memberikan pengertian yang baru kepada kita, dan secara praktis dapat digunakan sebagai salah satumetode penting untuk mengukur medan magnet. Untuk itu misalnya digunakan suatu kumparansampel berukuran kecil, sehingga medan magnet yang melewati kumparan dapat dipandang sebagaimedan yang homogen. Kumparan yang dililitkan dengan kawat demikian rapi, dihubungkan dengansebuah galvanometer balistik. Selama kumpatan berada di dalam medan magnet yang konstanterhadap waktu, galvanometer tidak akan menunjukkan adanya arus induksi. Misalkan terdapatfluks induksi awal yang melalui permukaan lilitan A (= penampang lintang kumparan dikali jumlahlilitan) adalah sama dengan Φ = (Bn)A. Selanjutnya pindahkan kumparan dari medan magnet,maka selama kumparan digerakkan, pada galvanometer, melalui hukum induksi, akan terdapat arusinduksi sebesar I. Karenanya dalam keadaan gerak kumparan yang cepat tersebut pada galvanometerakan terdapat jumlah muatan listrik sebanyak:

e =

t∫0

I dt = −Φ −Φ

R=ΦR=

(Bn)AR

.

Simpangan jarum galvanometer dalam hal ini menunjukkan secara langsung besarnya medan magnetinduksi yang tegak lurus terhadap permukaan Bn, di mana terukur pada saat kumparan dipindahkankeluar dari tempat bermedan magnet. Percobaan ini dapat pula dilakukan sedemikian, di manakumparan dibiarkan berada pada posisinya semula, sementara kumparan dirotasikan 180 dengancepat terhadap sumbu yang terletak pada permukaan kumparan dengan luas A. Dalam keadaandemikian Bn akan berubah tanda, sehingga jumlah muatan yang diperoleh menjadi dua kali lipatdari muatan yang dinyatakan pada persamaan di atas.

Jika dalam hukum induksi magnetik hanya bertumpu pada gerak relatif antara medan magnetyang ditimbulkan dan kawat, maka induksi haruslah dapat dibedakan seandainya kawat digerakkandi dalam medan magnet statik dan kawat diam diletakkan di dalam medan magnet yang berubahterhadap waktu.

Dalam kasus pertama (kawat digerak-gerakkan di dalam medan magnet statik) hukum induksidapat diturunkan dari § 5.1 melalui aksi gaya Lorentz. Jika kawat tanpa dialiri arus listrik digerakkandengan kecepatan ~v di dalam medan magnet statik, maka elektron-elektron konduksi yang terdapatdi dalam kawat juga akan mengalami gerak sesuai dengan gerak kawat tersebut dan masing-masingelektron akan mengalami gaya Lorentz sama dengan~F = e~v×~B, sehingga apabila terdapat komponengaya Lorentz yang searah dengan arah kawat, elekron-elektron akan bergerak pada arah tersebut.Gaya ini kemudian dapat dipandang sebagai gaya paksaan (non-listrik), sehingga akan terdapat kuatmedan karena gaya paksaan ini, yaitu:

~E(ind) = ~v × ~B,

yang jika dihubungkan dengan hukum induksi magnetik ditulis dalam indeks ”‘ind”’. Dengandemikian diperoleh hubungan hukum induksi magnetik dengan pembahasan pada § 4.3, khususnya


Gambar 5.2: Perubahan fluks magnetik pada permukaan yang digerakkan.

dengan pers[4.3.12], sehingga diperoleh pula hubungan untuk arus induksi sbb:

I R = V(ind) =

∮~E(ind)

· d~r =∮

(~v × ~B d~r. (5.3.5)

Selanjutnya hanya perlu ditunjukkan bahwa hubungan ini untuk kasus yang diamati adalah sesuaidengan hukum induksi yang dinyatakan pada pers[5.3.1], yaitu berlaku persamaan sbb:∮

(~v × ~B) d~r = −dΦdt= −

ddt

∫∫Bn dA. (5.3.6)

Untuk itu perhatikan gbr[5.2], misalkan diketahui panjang kawat berbentuk cincin pada saat t(ditulis dengan angka 1) dan pada saat t+dt (ditulis dengan angka 2). Masing-masing titik yangterdapat pada kedua panjang kawat dihubungkan dengan pergeseran posisi ~v dt. Perkalian vektord~r × ~v dt adalah sama dengan elemen luas d~A yang dibentuk oleh vektor d~r dan ~v dt dan arahnyaadalah keluar terhadap vektor normal. Dengan sifat perkalian distributif dari perkalian terakhirdiperoleh:

dt∮

(~v × ~B) d~r =∮

(d~r × ~v dt) ~B) =∫∫

Bn dA,

dengan batas integral permukaan terakhir diambil sama dengan permukaan selubung bentuk yangdiilustrasikan pada gbr[5.2], sehingga fluks induksi magnetik ΦM dapat dinyatakan dalam luasselubung tersebut 2. Berdasarkan relasi ~∇ · ~B (relasi medan magnet bebas sumber) dari ~B, haruslahdiperoleh bahwa fluks induksi magnetik total yang melewati atau keluar dari permukaan ”‘benda”’yang diilustrasikan gbr[5.2] haruslah sama dengan nol, yaitu: ΦM+Φ1+Φ2 = 0, atau jika arah normaldipilih terletak pada permukaan atas dan alas ”‘benda”’, yaitu pada arah 1 dan 2 didapat hubungan

2Terlihat bahwa ΦM dan demikian pula dengan arus induksi tidak akan sama dengan nol jika B mempunyai komponentegak lurus terhadap arah kawat dan terhadap arah geraknya, atau dengan perkataan lain jika ”‘garis-garis medan magnetdipotong oleh gerak kawat”’.

5.3. HUKUM INDUKSI FARADAY 125

ΦM = Φ1−Φ2 =dΦ. Dengan demikian pers[5.3.6] telah dibuktikan dan hukum induksi untuk konduktorbergerak dapat diturunkan dengan menggunakan gaya Lonrentz.

Lain halnya penurunan hukum induksi magnetik untuk sebuah konduktor diam yang diletakkandi dalam medan magnet yang berubah terhadap waktu. Untuk kasus ini penurunan hukum induksitidak dapat dibuat dari gaya yang timbul akibat adanya arus yang mengalir di dalam konduktor,karena sebagaimana diketahui bahwa muatan yang diam, walaupun terdapat di dalam medan mag-net, tidak akan mengalami gaya. Penurunkan hukum induksi untuk kasus ini hanya mungkin dibuatjika dianggap bahwa dengan berubahnya medan magnet terhadap waktu akan timbul medan listrikturbulen sehingga menyebabkan adanya perbedaan tegangan cincin

∫~E ·d~r, atau dengan perkataan

lain terdapat medan listrik dan medan terinduksi. Dengan demikian arus yang terjadi karena adanyaperbedaan tegangan cincin adalah:

I R =∮

~E d~r. (5.3.7)

Seperti halnya dapat dibandingkan dengan hukum induksi magnetik yang ditunjukkan padapers[5.3.4], maka tegangan cincin haruslah sama dengan ”‘penyusutan magnetik”’ (−dΦ/dt):∮

~E d~r = −ddt

∫∫Bn dA = −

∫∫ ∂~B∂t

n

dA. (5.3.8)

Kenyataan bahwa dari rumusan ini besaran yang bergantung dari bahan kawat, yaitu R, dapat”‘ditiadakan”’ sama sekali, atau dengan perkataan lain pernyataan umum rumusan pada pers[5.3.8]ini hanya ditulis untuk kawat berbentuk cincin. Sekarang apabila dimisalkan bahwa berlakunyarumus ini tidak hanya untuk kawat berbentuk cincin, karena tegangan cincin ∈ ~E·d~r juga berlakuuntuk tiap kurva yang tertutup, anggapan demikian dapat dibuktikan kebenarannya.

Keberadaan dan kebenaran dari hipotesa ini dapat dibuktikan melalui kosekuensi yang ada, yaituapabila rumusan yang ditulis dalam bentuk integral diubah dalam bentuk diferensial. Yaitu jikapers[5.3.8] berlaku untuk setiap elemen permukaan sembarang, dapat dibuktikan melalui rumusanStoke sbb:

~∇ × ~E = −d~Bdt, (5.3.9)

Suatu medan magnet yang berubah terhadap waktu akan menginduksikan medan listrik yang mem-punyai sifat kebalikan dengan medan listrik statik, yaitu bersifat turbulen (sifat medan listrik statikadalah non-turbulen), sehingga medan listrik ini tidak lagi dapat ditulis dalam bentuk gradien daripotennsial. Persamaan yang berlaku untuk kasus medan elektrostatik ~∇ × ~E = 0 sekarang dapatdigantikan dengan pers[5.3.9].

Sebagai pembuktian langsung kebenaran pernyataan ini, bahwa adanya medan magnet ~B yangberubah terhadap waktu menimbulkan medan listrik induksi, dapat dibuktikan langsung pada be-tatron . Peralatan untuk menimbulkan elektron berenergi tinggi ini secara prinsip terdiri dari suaturuang vakuum tinggi, bilik pelepas muatan berbentuk cincin yang ditempatkan secara simetris an-tara dua elektromagnet (lihat gbr[5.3]). Elektron yang terdapat di dalam bilik pelepas muatan akandipercepat dengan membentuk lintasan berbentuk lingkaran berjari-jari r tanpa menumbuk dinding


Gambar 5.3: Gambaran skematik suatu betatron dalam potongan mediannya. G adalah penampang lintang di manaberfungsi sebagai bilik pelepas muatan. Di atas dan di bawah G ditempatkan kumparan yang membangkitkan fluksmagnetik ”pengeksitasi”.

bilik yang biasanya terbuat dari kaca, jika pada elektron-elektron tersebut setiap saat bekerja medanmagnet pengarah B f yang melawan gaya sentripetal:

m v2

r= e v B f atau m v = e r B f . (5.3.10)

Jika medan magnet B yang terdapat antara dua kutub elektromagnet diperbesar, maka pada bilikpelepas muatan akan terdapat tegangan induksi pula yang menyebabkan gerak elektron mengalamipercepatan. Dengan demikian berlaku:

d(m v)dt

= −e E = +e

2π r

∫∫Bn dA karena

∮E dr = 2π r E.

Dengan menintegrasi persamaan ini untuk t = 0: v = 0 dan B = 0, diperoleh relasi

m v =e

2π r

∫∫Bn dA. (5.3.11)

Dengan demikian dapat dikatakan pula bahwa momentum elektron setiap saat adalah sama denganperubahan fluks magnetik yang melewati bidang lintasan berbentuk lingkaran dan dikali dengane/2π r. Dengan demikian maka syarat lintasan setiap saat berdasarkan pers[5.3.10] memenuhipersamaan sbb:

B f =1

2π r2

∫∫Bn dA. (5.3.12)

Dengan skala ukuran betatron demikian telah berhasil direkayasa elektron dengan energi hinggamencapai 300 MeV. Dalam energi demikian tinggi semua perhitungan gerak elektron harus dihitungdengan efek relativitas, karena massa elektron m yang bergerak dengan energi demikian akan berubahmenjadi m/

√1 − v2/c2

. Tentunya pers[5.3.10] hingga [5.3.12] masih tetap berlaku, hanya saja massa

5.4. HUKUM OERSTED 127

m harus diganti dengan massa relativitas elektron. Keadaan energi elektron yang demikian tinggiini tentunya akan dapat dicapai dengan membuat bentuk kutub magnet untuk menimbulkan medanpengarah B f inhomogen yang tidak begitu besar sedemikian, sehingga elektron akan tetap beradapada lintasannya yang tetap berbentuk lingkaran di dalam bilik pelepas muatan.

Catatan: Dalam sistem Gauss seluruh rumusan yang diberikan di atas mempunyai bentuk analogdan hanya berbeda dengan adanya faktor 1/c. Khususnya integral hukum induksi magnetik:

I∗ R∗ = −1c

ddt

∫∫B∗n dA = −

1c

dΦ∗

dt(5.3.13)

dan dalam bentuk diferensial ditulis menjadi:

~∇ × ~E = −1c∂B∗

∂t. (5.3.14)

Dari pers[5.1.14] diperoleh hubungan antara Φ dan Φ∗ sbb:

Φ∗ = c√

4πεΦ;

maka fluks induksi magnetik Φ = 1 V det.≡ 1 Weber (Wb) berdasarkan pers[5.1.15] sesuai dengan

Φ∗ = 1 · 104

√ergcm3 · 104 cm2 = 1 · 108 ergcm; (5.3.15)

besaran dalam tanda akar yang mempunyai dimensi sering pula disebut sebagai ”‘1 Maxwell”’.

5.4 Hukum Oersted

(Medan Magnet Arus Stasioner di Vakuum) (5.4.15)

Jauh sebelum Faraday menemukan hukum induksi H. C. Oersted pada tahun 1820 menyim-pulkan bahwa selalu muncul arus listrik dengan adanya medan magnet. Berdasarkan Oersted padasebuah kawat yang dialiri arus listrik, selalu terdapat medan magnet dengan garis-garis gaya medanberada tegak lurus terhadap bidang yang terletak pada kawat dan selalu melingkupi kawat dengangaris-garis medan berbentuk lingkaran; arah medan magnet pada garis melingkar ini, bersama-samadengan arah arus membentuk aturan putar kanan.

Ukuran sebenarnya medan magnet suatu kawat berbentuk sembarang yang dialiri arus listrik di

dalam ruang hampa dapat ditentukan secara langsung dari integral garis kuat medan magnet∮~B·d~r

yang sebanding dengan besarnya kuat arus I yang mengalir di dalam kawat tersebut:∮~B · d~r = µ I. (5.4.1)


µ merupakan konstanta universal yang disebut sebagai konstanta induksi atau konstanta medan mag-net atau disebut pula sebagai permeabilitas vakuum dengan besarnya dapat ditentukan berdasarkanpers[5.4.1] dengan mengetahui harga B dan I:

µ = 1, 2566 · 10−6 Vdet/Am. (5.4.2)

Konstanta ini mempunyai pengertian analog dengan konstanta permitivitas ε untuk medan listrikpada pers[1.3.2].

Dari kondisi ini dapat ditentukan suatu sistem satuan internasional (biasanya disebut satuan SI).Untuk harga arus sebesar 1 A dari pers[5.4.1] dapat diukur harga µ. Sejak tahun 1948 berdasarkankonvensi internasional telah ditentukan satuan µ dalam sistem SI, yaitu:

µ = 4π · 10−7 Vdet/Am. (5.4.3)

Dalam hal melalui arus sebesar 1 A dapat ditentukan hargaµ; apabila dua kawat tipis, lurus, panjangtak berhingga yang diletakkan saling paralel satu sama lain dan dialiri arus pada arah yang samasebesar 1 A (kedua kawat diletakkan di dalam vakuum), satu sama lain berjarak 1 m akan mengalamigaya sebesar 2 · 10−7 kg m/det2 untuk setiap meter panjang kawat.

Kenyataannya penggunaan pers[5.4.1] untuk kawat berbentuk lingkaran berjari-jari r akan diper-oleh besar medan magnet yang terdapat pada salah satu kawat adalah sama dengan B = µ I/2π r;dapat dibuktikan pula bahwa medan magnet ini akan bekerja pada kawat lainnya yang ditempatkanberjarak l dari kawat pertama dengan gaya, sesuai dengan pers[5.1.11] sebesar F = i l B = lµ I2/2πr.Jika dianggap gaya tersebut besarnya adalah sama dengan 2 · 10−7 Kg m/det2, I = 1 A, l = r = 1 m,maka dapat dibuktikan bahwa harga µ sama dengan harga yang diberikan di atas.

Secara umum pers[5.4.1] ditulis dalam bentuk lain, yaitu jika dianggap bahwa di dalam vakuumterdapat kuat medan magnet yang berbeda dengan B, biasanya ditulis sebagai H, maka diperolehhubungan:

B = µH (5.4.4)

dengan H didefinisikan sebagai: ∮~H · d~r = I. (5.4.5)

Penulisan kembali seperti di atas menjelaskan pula bahwa di dalam bahan yang dapat mengalamimagnetisasi, seperti akan dibahas pada § 5.5 nanti, tidak hanya berlaku pers[5.4.1], melainkan jugapers[5.4.5], yang disebut sebagai hukum Oersted atau hukum fluks magnetik.

Dari pers[5.4.5], mirip seperti hukum induksi, dapat pula dibuat dalam bentuk diferensial, jikadiandaikan berlaku di dalam konduktor yang dapat dilalui arus. Jika dianggap bahwa pada elemenluas dA mengalir arus sebesar gn dA, dengan menggunakan hukum Stoke akan diperoleh persamaanyang ekuivalen dengan pers[5.4.5] sbb:

~∇ × ~H = ~g. (5.4.6)

Rumusan di atas dapat diartikan bahwa di semua tempat di mana terdapat kerapatan arus, ter-dapat pula medan magnet atau persisnya garis-garis medan magnet turbulen. Kedua persamaandiferensial, pers[5.3.3] dan[5.4.6], adalah memenuhi pula relasi integral yang bersangkutan sepertidinyatakan oleh pers[5.4.4], yaitu untuk menentukan medan magnet yang timbul di dalam vakuum


Gambar 5.4: Pengukuran medan magnet pada kumparan berbentuk cincin.

atau di dalam bahan yang tidak dapat termagnetisasi. Khususnya segera akan diperoleh relasi yangdicari, seandainya dapat diramalkan distribusi medan dengan dasar sifat simetri, seperti misalnyauntuk kasus arus yang mengalir di dalam kawat linier dengan luas penampang lintang berben-tuk lingkaran a. Dalam kasus ini, jika dipilih ”‘jalan”’ integrasi merupakan ”‘lintasan”’ berbentuklingkaran berjari-jari r terhadap sumbu kawat, maka dari pers[5.4.5] diperoleh:

2π r H = I = π a2 g atau H = I2π r = a2 g

2 r untuk r > a

2π r H = Ir2

a2 = π r2 g atau H = r I2π a2 =

r g2 r untuk r < a

(5.4.7)

Untuk suatu kumparan kawat lurus yang sangat panjang yang dialiri arus listrik, yang terdapatmedan magnet cukup dominan di dalamnya, medan akan terorientasi paralel terhadap sumbukumparan. Apabil jalan integrasi dipilih berbentuk empat persegi panjang berukuran kecil, den-gan menganggap sisi masing-masing segiempat ini paralel terhadap sumbu (panjang sisi l) dan satusisi terletak di luar dan sisi lainnya terletak di bagian dalam kumparan, maka untuk segiempat iniberlaku:

∮H dr = Hs l; dalam hal ini Hs adalah kuat medan magnet yang terdapat di bagian dalam

kumparan, yaitu selama segiempat tersebut terletak jauh dari ujung kumparan. Pada segiempatyang mengandung n l lilitan ini mengalir arus sebesar n l I. Dengan demikian diperoleh kuat medanmagnet konstan pada kumparan sebesar:

Hs = n I. (5.4.8)

Rumusan ini tetap berlaku untuk kumparan yang berbentuk cincin dengan diameter kumparankecil dibanding diameter cincin (lihat gbr[5.3], di bagian kiri atas kumparan diilustrasikan ”‘jalan”’ in-tegrasi yang dimaksud). Sebagai batasan yang harus ditambahkan adalah baik pers[5.4.7], demikianpula untuk medan magnet induksi ~B adalah tanpa ”sumber magnetik” (tanpa muatan magnet).

Apabika tidak terdapat keadaan simetri seperti di atas, maka medan magnet yang terdapat padasistem arus demikian dapat ditentukan menurut tiga relasi untuk bahan yang dapat termagnetisasi,yaitu:

~∇ · ~B = 0 ~∇ × ~H = ~g ~B = µ ~H. (5.4.9)


Relasi pertama dari ketiga persamaan ini, karena definisi ~∇ · ~∇ × ~A = 0 dapat diselesaikan menurut

~B = ~∇ × ~A, (5.4.10)

dengan ~A adalah suatu vektor medan sembarang yang dapat didiferensiasi. Vektor ~A ini dinamakanpula sebagai potensial vektor dari medan magnet induksi ~B. Dari relasi ketiga ~B = µ ~H, persamaankedua dapat dirumuskan kembali dengan operasi analisa vektor sbb (lihat § 13.2):

~∇ × ~∇ × ~A = ~∇(~∇ · ~A) − ∆ ~A = µ ~g 1.

Untuk menyederhanakan relasi ini andaikan bahwa

~∇ · ~A = 0, (5.4.11)

yang selalu dipenuhi karena setiap vektor medan pertama diberikan melalui turbulensi dan sumberyang menyebabkan timbulnya medan ybs. Dengan demikian didapat persamaan yang dicari untuk~A sbb:

∆ ~A = −µ ~g. (5.4.12)

Karena bentuknya yang mirip dengan persamaan Poisson (pers[1.4.11]) untuk potensial skalar elek-trostatik ϕ, sesuai dengan pernyataan pada pers[1.3.10], dapat diselesaikan melalui integral berikut:

~A(~r) =µ4π

∫~g(~r′) dv′

|~r −~r′|. (5.4.13)

Untuk kuat medan magnet, karena relasi

~∇ ×~g(~r′) dv′

|~r −~r′|= −~g(~r′) × ~∇

1|~r −~r′|

=~g(~r′) × (~r −~r′)|~r −~r′|

,

diperoleh relasi yang disebut hukum Biot-Savart sbb:

~H(~r) =1

4π

∫~g(~r′) × (~r −~r′)|~r −~r′|3

dv′. (5.4.14)

Masing-masing elemen arus ~g(~r′)dv′ pada titik pengamatan berjarak ~r yang menyebabkan medantegak lurus terhadap vektor ~g(~r′) dan vektor yang menghubungkannya~r−~r′ dari titik sumber ke titikpengamatan dan dengan bertambahnya jarak akan berkurang sebanding dengan kuadratnya.

Khususnya untuk distribusi arus berbentuk garis karena ~g(~r′)dv′ = I d~r′ pers[5.4.13] menjadi:

~A(~r) =µ I4π

∮d~r′

|~r −~r′|. (5.4.15)

1∆ ~A biasanya ditulis pula sebagai ~∇2~A.


Dengan demikian, seperti halnya penurunan sebelumnya, relasi untuk kuat medan magnet diperolehsebagai:

~H(~r) =I

4π

∫d~r′ × (~r −~r′)|~r −~r′|3

. (5.4.16)

Sebagai contoh pandang medan yang timbul dari sebuah kawat berbentuk cincin yang dialiri aruslistrik I, berjari-jari a dengan sumbu simetri melalui titik tengah linkaran (untuk titik yang berada diluar sumbu integral pers[5.4.16] menjadi integral eliptik). Misalkan sumbu ini dipilih sebagai sumbuz dan bidang di mana cincin kawat berada dianggap sebagai bidang z − y; dari pers[5.4.16] dapatdiperoleh kuat medan magnet yang tentunya hanya bergantung pada komponen kuat medan padasumbu z:

H(z) =I

4π

∫x′ dy′ − y′ dx′

(z2 + a2)3/2=

I a2

2(z2 + a2)3/2. (5.4.17)

Khusus untuk z = 0 didapat H = I/2a, yang sering dipakai sebagai rumus dasar untuk menentukanpenukuran kuat medan magnet dengan menggnakan tangenbussole, yaitu dengan membandingkanmedan ini dengan medan magnet bumi.

Pers[5.4.15] merupakan perumusan kembali kuat medan magnet yang dipandang penting. Jikapersamaan ini dikalikan dengan suatu konstanta, memilih vektor ~V sembarang dan selanjutnyadengan menggunakan penukaran vektor untuk perkalian vektor seperti dalam merumuskan integralgaris dengan kaedah Stoke, didapat relasi sbb:

~V ~H(~r) =I

4π

∮d~r′

(~r −~r′) × ~V|~r −~r′|3

=I

4π

∫∫d~A′ ~∇′

(~r −~r′) × ~V|~r −~r′|3

=I

4π

∫∫d~A′

(~V ~∇′

) ~r −~r′

|~r −~r′|3− ~V

(~r −~r′

|~r −~r′|3

).

Dalam hal suku terakhir ruas kanan untuk titik~r yang tidak terletak pada cincin berbentuk lingkarankarena ~∇(~r/~r3) = 0 akan berharga sama dengan nol untuk ~r , 0. Dengan demikian, jika dipandangbahwa ~∇′ = −~∇, yaitu sebagai faktor sembarang karena pemilihan vektor ~V, diperoleh:

~H(~r) = −~∇ϕ(~r) dengan ϕ(~r) =I

4π

∫∫d~A′

~r −~r′

|~r −~r′|3. (5.4.18)

Walaupun kuat medan pada pers[5.4.10] diturunkan dari vektor potensial, akan tetapi vektor inidapat dinyatakan dalam potensial skalar ϕ. Dalam hal ini patut pula dicatat bahwa potensial skalarini, dibanding dengan potensial elektrostatik, mempunyai pengertian khusus yang akan dijelaskansbb: (5.4.18)

Jika medan magnet yang dipandang berasal dari suatu sistem arus yang mengalir di dalam kawattertutup yang diberikan melalui pers[5.4.16], maka dari pers[5.4.5] untuk setiap ”‘jalan”’ di mana

lintasan arus tidak tertutup, akan diperoleh∮~H·d~r = 0, sementara untuk ”‘jalan”’ yang mengelilingi


arus pertama kali berlaku∮~H · d~r = ± I. Dengan demikian di luar kawat akan diperoleh medan

vektor non-turbulen (~∇ × ~H = 0, untuk kasus di mana medan melingkupi kawat diperoleh hargaintegrasi

∮~H · d~r yang konstan, dalam istilah hidrodinamika disebut sebagai sirkulasi Z; sehingga

untuk kasus demikian berlaku Z = ± I.Seperti ditunjukkan pada pers[5.4.18] di atas bahwa medan magnet yang timbul dari kawat yang

dialiri arus listrik dapat pula diturunkan dari potensial skalar ϕ. Potensial skalar ϕ ini, kebalikandari potensial elektrostatik, tidak lagi tetap, melainkan selalu berubah dengan berubahnya ”‘jalanintegrasi”’ di sekeliling kawat sebesar± I. Untuk menetapkan potensial ini, bayangkan antara lintasanarus terdapat ”‘kurva sisi”’ suatu bidang sembarang dan ditentukan bahwa potensial tersebut tidaklagi tetap jika melalui daerah bidang ybs., bergantung apakah arah yang dilalui mempunyai arus +Iatau −I.

Selanjutnya untuk kasus arus melingkar ditentukan, seperti halnya menurunkan pers[5.4.17],bidang x − y adalah sesuai dengan bidang di mana arus melingkar berada, bersamaan denganpemilihan tidak tetapnya harga potensial; maka dengan mengevaluasi kembali pers[5.4.18] ataudapat pula dilakukan dengan mengitegrasi pers[5.4.17] terhadap z, akan diperoleh harga potensialuntuk sebuah titik yang berada di sumbu lingkaran sbb:

ϕ(z) =I2

(z|z|−

z(z2 + a2)1/2

). (5.4.20)

Dalam hal melalui titik z = 0 potensial ϕ(z) akan berubah, sesuai dengan yang diharapkan, sebesar± I, sementara kuat medan pada titik tersebut tetap berharga konstan.

Pada pers[5.4.18] untuk potensial skalar magnetik suatu arus melingkar adalah mirip denganpotensial elektrostatik yang diberikan pada pers[2.2.3] untuk bahan yang mengalami polarisasi, yaitudi mana di dalam elemen volume dv terdapat momen dipol listrik d~p = ~P dv. Dengan demikian dapatdiartikan bahwa pers[5.4.18] sebagai akibat adanya lapisan momen dipol magnetik (fiktif) dalam bentuk,bahwa setiap elemen permukaan d~A yang terbentang antara kawat berbentuk cincin terdapat momendipol magnetik d~m = I d~A. Bahwa pengertian ini tidak menyimpang dari pengertian sebenarnya,dapat dibuktikan melalui pers[5.2.4]. Demikian pula gambaran ini sesuai dengan kenyataan darilompatan harga ϕ pada lapisan mangetik ganda ini, mirip seperti dijelaskan untuk lapisan listrikganda yang dipandang sebagai kondensator dengan jarak antara plat infinitisimal.

Selanjutnya akan dijelaskan pengamatan yang dibahas pada § 5.2, dengan dasar pengertian yangdiberikan Ampere, bahwa setiap arus melingkar yang mempunyai distribusi arus stasioner ~g(~r)sembarang pada suatu tempat yang berjarak cukup jauh akan menunjukkan adanya medan magnetmirip seperti sebuah magnet yang menimbulkan momen dipol yang diberikan pada pers[5.2.8], yaitu:

~m =12

∫~r′ × ~g(~r′) dv′. (5.4.21)

Untuk itu akan dievaluasi rumusan potensial vektor pada pers[5.4.13] dari suatu arus melingkaruntuk jarak yang cukup jauh (~r ~r′). Maka berlaku:

1|~r −~r′|

=1~r′+~r ·~r′

~r3+ · · ·


sehingga dari pers[5.4.13] diperoleh potensial vektor sbb:

~A(~r) =µ

4π r

∫~g(~r′) dv′ +

µ4π r3

∫(~r ·~r′)~g(~r′) dv′ + · · · (5.4.22)

Untuk arus stasioner integral pertama ruas kanan akan sama dengan nol, seperti halnya padapers[5.2.5] karena ~g = 0. Untuk integral kedua, seperti halnya dilakukan pada pers[5.4.7], integranddirumuskan kembali menjadi:(

~r ·~r′)~g =

12

(~g ~∇

) (~r′(~r ·~r′)

)+

12

(~r × (~g ×~r′)

).

Dengan mensubstitusikan rumusan di atas ke pers[5.4.22] dan mengintegrasikannya secara parsial,bagian pertama pernyataan ini akan sama dengan nol, yaitu kembali karena ~g = 0, sementara bagiankeduanya menjadi:

~A(~r) =µ~r

8π r3 ×

∫ (~g(~r′) ×~r′

)dv′ =

µ ~m ×~r4π r3 (5.4.23)

jika ditulis dalam momen dipol magnetik untuk arus melingkar yang diberikan pada pers[5.4.21].Dengan demikian kuat medan magnet dapat dicari dengan membentuk rotasi (curl) dari ~A sbb:

~H = ~∇ ×~Aµ=

14π

(−~mr3 −

3(~m~r)~rr5

). (5.4.24)

Akan tetapi, sesuai dengan pers[5.4.18], ~H juga dapat dinyatakan dalam gradien potensial skalar sbb:

~H = −~∇ϕ dengan ϕ =1

4π~m~rr3 . (5.4.25)

Catatan: Dalam sistem Gauss satuan medan magnet induksi dan kuat medan magnet di vakuum(~B∗ dalam Gauss dan ~H∗ dalam Oersted) tidak dibedakan, melainkan dianggap bahwa ~B∗ = ~H∗, sepertihalnya hubungan antara vektor pergeseran medan listrik dan medan listrik ~D∗ = ~E∗ (karenanya seringterjadi kesalahan pengertian jika 1 Gauss dan 1 Oersted dibedakan!). Jika satuan ~B∗ dipilih melaluisatuan kecepatan c, maka sistem satuan seperti ini akan benar jika hukum Oersted pers[5.4.6] ditulisdengan membubuhkan faktor konstanta. Hukum ini jika ditulis dalam sistem satuan Gauss menjadi:

~∇ × ~H∗ =4πc~g∗, (5.4.26)

yaitu ditulis dalam konstanta c yang sama dengan yang diberikan pada pers[5.1.13]. Seandainya cdalam persamaan di atas diganti dengan suatu besaran c1, maka c pada pers[5.4.26] akan berubahmenjadi besaran c2. Kedua konstanta akan mempunyai harga yang sama besar, bergantung daridasar pemilihan sistem satuan Gauss. Konstanta c ini kemudian diketahui sama dengan kecepatancahaya di vakuum dan kesimpulan ini merupakan puncak keberhasilan teori yang dikembangkanoleh Maxwell. Tentunya satuan dapat pula dinyatakan dalam sistem satuan SI; nantinya akan jelas


bagi kita bahwa hasil kali dari permitivitas dan permeabilitas di vakuum ε µ mempunyai relasilangsung dengan c sbb:

ε µ =1c2

. (5.4.27)

Dalam sistem satuan Gauss pengetahuan ini dapat diperoleh berdasarkan pemilihan satuan yangdigunakan, seperti dapat dilihat dari pers[5.1.16] dan [5.4.3].

Hubungan satuan kuat medan magnet dalam sistem Gauss dan sistem SI dapat diperoleh denganmembandingkan pers[5.4.26] dan [5.4.6] dan dengan memperhatikan kembali pers[4.1.9]:

H∗ =4πµ

~g∗

~gH =

1c

√4πε

H. (5.4.28)

Karenanya kuat medan magnet H∗ untuk suatu kuat medan H = 1 A/m adalah sama dengan 4π ·

10−3√

erg/cm3≡ 4π · 10−3 Oersted, jika seandainya harga ε yang dinyatakan pers[5.1.16] masih

harus ditambahkan. Untuk vakuum berlaku B = µH, dengan µ = 4π · 10−7 V det/A m, sehinggaB∗ karena pers[5.1.15] akan sama dengan 4π · 10−3 Gauss, yaitu sesuai dengan relasi yang telahdinyatakan sebelumnya, B∗ = H∗.

Apabila relasi pada pers[5.4.27] ditulis kembali dalam pers[5.1.14] dan [5.4.28], maka akan diper-oleh hubungan sederhana sbb:

B∗ =

√4πµ

B, H∗ =√

4πµH. (5.4.29)

5.5 Magnetisasi

Hingga di sini pembahasan tentang medan magnet adalah untuk ruang vakuum. Selanjutnyaakan dipandang kasus di mana terdapat perubahan kelakuan medan magnet di dalam bahan, ataudengan menempatkan bahan di dalam ruang yang terdapat medan magnet.

Masukkan ke dalam sebuah kumparan yang dialiri arus I sebuah batang lurus terbuat dari bahanpadat, karenanya akan terjadi perubahan fluks magnetik Φ, demikian pula dengan medan magnetinduksi ~B yang terdapat di dalam sistem ini; keduanya berubah sesuai dengan faktor tertentu dandapat dengan mudah dibuktikan secara eksperimen. Faktor ini disebut pula sebagai permeabilitasrelatif atau permeabilitas dari batang magnet, yaitu merupakan deviasi harga permeabilitas magnetik χterhadap angka 1 1:

µ = 1 + χ. (5.5.1)

1Dalam sistem G di samping pers[5.5.1] digunakan pula persamaan sbb:

µ = 1 + 4πχ∗.

Karenanya di dalam banyak buku-buku selain ditemukan harga suseptibilitas: χ seringkali diberikan sebagai

χ∗ = χ/4π = (µ − 1)/4π

5.5. MAGNETISASI 135

Gambar 5.5: Perhitungan untuk arus listrik akibat magnetik.

Berdasarkan harga-harga besaran ini, bahan magnet dapat dikelompokkan ke dalam tiga grup, yaitu:(5.5.1)

1. Bahan Diamagnetik: Bahan-bahan yang termasuk kelompok ini mempunyai harga µ < 1, ataudengan perkataan lain χ berharga negatif dan umumnya tidak bergantng temperatur. Contohnya χuntuk air adalah −9, 0 · 10−6, sedangkan untuk emas −34 · 10−6 dan bismut −152 · 10−6.

2. Bahan Paramagnetik: Pada bahan ini µ > 1, atau χ berharga positif dan umumnnya akanberbanding terbalik dengan temperatur absolut T (hukum C) . Sebagai contoh χ untuk O2 (cair)pada temparatur 20C adalah 3620 · 10−6, untuk Aluminium 20 · 10−6 dan platina 264 · 10−6.

3. Bahan Ferromagnetik dan Bahan-bahan yang mirip lainnya: Untuk bahan ini harga µ adalahsangat besar dari 1 dan umumnya bahan ini mempunyai medan magnet induksi yang besar dan jugasangat bergantung pada temperatur. Seperti halnya bahan diamagnetik dan paramagnetik, bahanini akan dibahas lebih rinci pada § 5.6.

Untuk mengerti berbagai sifat magnet bahan ini, pertama-tama harus dijawab pertanyaan men-gapa dengan menyisipkan bahan tersebut ke dalam kumparan yang dialiri arus listrik menyebabkanperubahan fluks induksi magnetik, sehingga dapat pula mengakibatkan perubahan medan magnetinduksi ~B, dibandingkan jika kumparan tidak disisipkan bahan ini. Untuk menjawab pertanyaan iniharuslah dipandang kembali hipotesa A yang memandang bahwa bahan yang termagnetisasiadalah pengaruh dari adanya momen-momen (dipol) magnetik akibat dari gerakan elektron kulityang terdapat di dalam atom yang berada dalam pengaruh medan magnet luar.

Untuk mengerti pandangan ini selanjutnya pandang pengaruh arus molekuler A pada in-duksi magnetik dalam model atom sederhana sbb: (5.5.2)

Misalkan masing-masing atom pembentuk bahan mempunyai kuat arus cincin dan permukaanyang sama, masing-masing sebesar i dan A; misalkan pula kerapatan atom bahan adalan n. Kemu-dian, berdasarkan pers[5.4.1] akan dicari kuat arus total I yang dianggap mengalir melewati sebuah


kawat berbentuk empat persegi panjang dengan sisi a dan b yang terletak pada arah sumbu y dan z(lihat gbr[5.5]). Arus total I dapat diketahui dari kerapatan arus sebenarnya ~g yang melewati kawatsebagai sumbangan dari elektron-elektron konduksi sebesar a b gx. Selain harga I ini juga akan timbularus i pada setiap atom yang memiliki luas penampang lintang A sebagai arus cincin atomik yangdigambarkan menembus keempat sisi empat persegi panjang.

Untuk mengetahui jumlah atom-atom yang dilewati I, harus dicari terlebih dahulu jumlah atomyang terdapat pada sisi A B (panjang sisi a). Sebagai langkah awal anggap bahwa proyeksi pe-nampang lintang atom pada bidang x − z adalah sama besar, sehingga jumlah seluruh atom yang”‘menembus”’ sisi A B dengan A B adalah terletak di dalam selinder yang dibentuk oleh penam-pang lintang Ay dengan sumbu sisi A B sendiri, yaitu sama dengan n a Ay; jumlah atom ini akanmemberikan kondtribusi pada arus total sebesar i n a Ay. Apabila harga Ay berbeda, maka dalamperhitungan harus dicari harga Ay rata-rata. Jika harga i ~A disubstitusikan sebagai momen dipolmagnetik ~m untuk masing-masing atom pada pers[5.2.4], maka vektor momen magnetisasi ~M dapatdidefinisikan menurut persamaan sbb:

~M = n ~m, (5.5.4)

sehingga sebagai sumbangan sisi A B pada arus total I didapat sebesar a My. Dengan cara yang samadiperoleh pula sumbangan karena sisi C D, yaitu −a My, yaitu dengan menggantikan harga My padaz = b. Sehingga sumbangan dari sisi empat persegi panjang A B C D yang sejajar terhadap sumbu yadalah:

a (My)z=0 − a (My)z=b ≈ −a b∂My

∂z.

Untuk dua sisi empat persegi panjang lainnya didapat pula:

−b (Mz)y=0 + b (Mz)y=a ≈ + a b∂Mz

∂y.

Sebagai kesimpulan sumbangan arus molekuler Ampere yang mengambil bagian pada arus total Idiperoleh

a b (gM)x = a b(∂Mz

∂y−∂My

∂z

)= a b (~∇ × ~M)x,

atau jika dirumuskan secara umum untuk kerapatan arus akibat magnetisasi ditulis sbb:

~gM = ~∇ × ~M. (5.5.5)

Substitusikan pernyataan di atas ke dalam pers[5.4.1], atau lebih baik lagi jika menggunakan aturanStoke sehingga dirumuskan dalam bentuk persamaan diferensial:

~∇ × ~B = µ (~g + ~gM) = µ ~g + µ ~∇ × ~M, (5.5.6)

atau juga dapat ditulis dalam bentuk

~∇ × (~B − µ ~gM) = µ ~g. (5.5.7)

Pengertian dari rumusan ini akan dibahas lebih rinci di bawah ini.


Sebelum masuk pada pengertian rumusan di atas, pertama-tama pandang penurunan matematissecara umum dari ~gM. Akan dicari medan magnet yang terdapat pada benda yang mengalamimagnetisasi dari potensial vektor ~AM dengan menambahkan pers[5.4.23] terhadap seluruh magnetelementer di dalam bahan:

~AM(~r) =µ4π

∑j

~m j × (~r −~r j)

|~r −~r j|3=µ4π

∫ ~M(~r′) × (~r −~r j)

|~r −~r j|3d n′. (5.5.8)

Dalam hal ini bahan yang terdapat di dalam elemen volume dv′ dapat dinyatakan dalam ~Mdv′,dengan momen magnetisasi ~M masih bergantung pada jarak~r′. Gantikan (~r−~r′)/|~r−~r′|3 = ~∇′(1/|~r−~r′|),dengan ~∇′ sebagai gradien dari komponen terhadap ~r′, sehingga penyataan potensial vektor dapatdirumuskan kembali dalam bentuk sbb:

~AM(~r) = −µ4π

∫~∇′ ×

~M(~r′)|~r −~r′|

dv′ +µ4π

∫ ~∇′ × ~M(~r′)|~r −~r′|

dv′.

atau dapat pula dalam bentuk:

~AM(~r) = +µ4π

∫ ~M(~r′) × ~n|~r −~r′|

dA′ +µ4π

∫ ~∇′ × ~M(~r′)|~r −~r′|

dv′, (5.5.9)

dengan ~n adalah vektor normal permukaan bahan yang termagnetisasi. Dalam pernyataan di atas,suku kedua ruas kanan, seperti halnya dapat dibandingkan dengan pers[5.4.13], adalah persis samadengan kerapatan arus magnetisasi gM seperti dinyatakan pada pers[5.5.5]; sementara suku pertamaruas kanan adalah sama dengan kerapatan total arus permukaan, yaitu

~gMO(~r) = ~M × ~n. (5.5.10)

Munculnya vektor magnetisasi ~M disamping medan magnet induksi ~B pada pers[5.5.7] adalaherat kaitannya dengan vektor medan magnet ~H di dalam materi, yaitu memenuhi hubungan sbb:

~B = µ (~H + ~M), (5.5.11)

sehingga diketahui pula bahwa pers[5.5.7] dengan pers[5.4.6] adalah identik. Pada § 5.4 telah di-jelaskan bahwa vektor ~H untuk ruang vakuum dinyatakan melalui pers[5.4.4], akan tetapi padarumusan di atas terdapat perbedaan pengertian antara ~B di dalam bahan dan µ ~H dan berdasarkanhukum Oersted ~H dinyatakan sebagai ~B/µ. Bahwa hal ini menjadi lebih berarti telah disebutkan se-belumnya. Akan tetapi patut pula diketahui akan muncul pernyataan yang menimbulkan pengertianyang menyulitkan sbb: (5.5.11)

Kuat medan magnet ~H telah didefinisikan pada pers[5.5.11] dengan menganggap bahwapers[5.5.7] merupakan bentuk sederhana dari pers[5.4.6]; mirip seperti halnya vektor pergeseranmedan listrik ~D yang didefinisikan oleh pers[2.3.4] dan pers[2.3.2] dinyatakan dalam bentuk seder-hana pada pers[2.3.5]. Seperti medan pergeseran listrik ~D, medan magnet ~H yang terdapat di dalam


bahan juga sukar diukur secara langsung, sebaliknya medan listrik ~E dan medan induksi magnetik~B hanya dapat ditentukan melalui pengukuran tidak langsung, yaitu dengan mengukur tegangandan pengukuran induksi. Selanjunya ~H dan ~D, paling tidak untuk bahan non-konduktor, hanyadapat diukur melalui pengukuran tidak langsung, dengan menggunakan ruang vakuum, di mana~H = ~B/µ dan ~D = ε ~E diukur melalui pengukuran pengaruh gaya masing-masing yang diakibatkanoleh ~B dan ~E, kemudian dari harga-harga tersebut dan dengan memandang syarat batas antara ruangvakuum dan ”‘daerah batas”’ bahan harga-harga kedua besaran di dalam bahan dapat ditentukan 2.Untuk itu ruang vakuum yang sesuai untuk pengukuran ~H (hal yang serupa juga berlaku untukpengukuran ~E) dicari hubungan garis-garis medan antara daerah di dalam bahan dan vakuum, yangseharusnya menurut pers[5.4.6] mempunyai komponen tangensial ~Htan (demikian pula berlaku un-tuk ~Etan) harusnya mempunyai harga yang sama. Sesuai dengan kaedah ini, pengukuran ~D (demikianpula pada pengukuran ~B) dilakukan dengan memandang garis-garis medan yang tegak lurus, yaitukomponen-komponen medan pada arah normal bidang batas haruslah mempunyai harga yang sama,sesuai dengan syarat kontinuitas.

Dengan dasar pengukuran ~H dan ~D seperti di atas, metode tersebut mempunyai ”‘karaktersikrkular”’; karenanya ~H hanya dapat diukur, sesuai dari pers[5.4.6], jika terpenuhi syarat batassehingga kegunaan ini dapat dibuktikan secara eksperimen; hal ini tentunya hanya dapat dilakukanhanya dengan pengukuran ~H. Analog dengan pengukuran ~D.

Tentunya kesukaran ini hanya dapat diatasi dengan cara tidak memandang ~H dan ~D secaralangsung, melainkan dihitung dengan dasar pers[5.5.7] dan [2.3.2] kemudian perhitungan menujuke persamaan dasarnya. Atau dengan menganggap ~H dan ~D sebagai besaran perhitungan yangmemenuhi pers[5.4.6] dan [2.3.5], tanpa mencoba membuat rujukan melalui pengukuran ~H dan ~Dsecara eksperimen.

Dari pembahasan di atas jelaslah, bahwa secara elektrodinamika ~E dan ~B merupakan besaran-besaran primer, sementara ~H dan ~D hanya sebagai besaran perhitungan semata yang didefinisikanmelalui persamaan sbb:

~D = ε ~E + ~P dan ~H =1µ~B − ~M. (5.5.13)

Dengan demikian persamaan Maxwell untuk keadaan stasioner di mana ∂/∂t = 0 adalah ~∇ · ~E = 1ε

(% − ~∇ · ~P), ~∇ × ~E = 0,~∇ · ~B = 0, ~∇ × ~B = µ (~g + ~∇ × ~M),

(5.5.14)

dengan % kerapatan muatan sebenarnya yang dinyatakan dalam divergensi vektor polarisasi −~∇ · ~Pdan ~g adalah kerapatan arus sebenarnya yang dinyatakan sebagai rotasi (curl) dari arus magnetisasi~∇ × ~M. Umumnya persamaan di atas ditulis dalam bentuk lain, dengan menggunakan pers[5.5.13]dan mengeleminasi ~P dan ~M, yaitu dalam bentuk sbb:

~∇ · ~D = %, ~∇ × ~E = 0,~∇ · ~B = 0, ~∇ × ~H = ~g.

(5.5.15)

2Perhatian: Pada konduktor karena terdapat kemungkinan timbulnya muatan dan arus permukaan, maka harga-hargaHtan dan Dnorm menjadi tidak tetap.


Demikian pula persamaan tersebut dapat digunakan untuk kasus magnetostatik, di mana tidak terda-pat arus listrik. Untuk kasus ini, di satu sisi ~E dan ~H, di sisi lainnya ~B dan ~H ditulis secara paralel 3;karena ~∇ × ~H = 0, maka analog dengan fenomena elektrostatik ~H = −~∇ϕ, sehingga diperoleh per-samaan Poisson untuk fungsi potensial ϕ.

Jika bahan diamagnetik atau paramagnetik dengan permeabilitas magnet µ diletakkan di dalamruang yang mengandung medan magnet, maka ~B dapat digantikan dengan:

~B = µ (~H + ~M) = µµ ~H (5.5.16)

dan karena pers[5.5.1] di mana~M = (µ − 1) ~H = χ ~H. (5.5.17)

Untuk kasus ini kedua persamaan medan magnet dapat disederhanakan melalui pers[5.5.14] atau[5.5.15] menjadi:

~∇ · ~B = 0, ~∇ × ~H = µµ ~g, (5.5.18)

dengan solusi

~B = ~∇ × ~A dengan ~A(~r) =µµ4π

∫~g

|~r −~r′|, dv′, (5.5.19)

yaitu sesuai dengan pers[5.4.13] dengan menganggap untuk vakuum µ = 1. Dalam hal ini kerapatandari arus magnetisasi adalah sama dengan:

~gM = ~∇ × ~M = χ ~∇ × ~H = χ~g,

dengan kerapatan total arus adalah~g + ~gM = µ~g.

Lain halnya sifat bahan ferromagnetik. Untuk kasus ini magnetisasi ~M di bawah temperaturtertentu, disebut sebagai temperatur Curie (lihat § 5.6), praktis tidak bergantung pada medan magnetyang diberikan dan hanya cenderung bergantung pada temperatur. Untuk mengetahui magnetisasi~M dalam hal ini, dengan pertolongan pers[5.5.14], harus diketahui besarnya medan magnet induksi ~Bdi bawah dan di atas temperatur Curie. Untuk ini harus diperhatikan syarat batas, yaitu kontinuitaskomponen normal dari medan ~B dan komponen tangensial dari ~B − µ ~M = µ ~H; kondisi terakhirhanya dipenuhi jika tidak terdapat arus sebenarnya di dalam dan dipermukaan bahan magnet, sepertiyang diandaikan pada pembahasan nantinya.

Sebagai contoh perhatikan kelakuan sebuah bola besi (jari-jari a) yang mengalami magnetisasidi dalam medan magnet homogen. Misalkan magnetisasi awalnya adalah ~M, sehingga momenmagnetisasi totalnya adalah ~m = 4π a3 ~M/3. Karenanya di dalam ruang di luar bola akan timbulmedan akibat adanya momen dipol (medan dipol magnet) yang diberikan sbb:

~Ba =µ4π

(−~mr3 +

3(~m~r)~rr5

)= µ ~H, (5.5.17a)

3Kebanyakan ~M digantikan oleh ~M′/µ, sehingga persamaan kedua pada pers[5.5.13] dapat ditulis dalam bentukB = µH +M′ sehingga M′ dapat dipandang sebagai lawan yang sama kedudukannya dengan P. Misalkan dalam bukuacuan yang ditulis oleh G. Mie, A. Sommerfeld dan F. Hund dijumpai M, sedangkan dalam buku R. W. Pohl ditulissebagai M′.


sementara di dalam bola terdapat medan magnet induksi ~Bi dan kuat medan magnet ~Hi dan dihitungmenurut hubungan:

~Bi = µ (~Hi + ~M).

Dari syarat batas diperoleh relasi:

2µ ~m4π a3 =

~Bi dan −~m

4π a3 =~Hi,

maka diperoleh pula bahwa:

~Bi =2µ ~M

3dan ~Hi = −

~M3. (5.5.17b)

Di dalam bola diketahui pula adanya induksi magnetik pada arah magnetisasi ~M dan kuat medanmagnet pada arah kebalikannya.

Tentunya pers[5.5.17a] dan [5.5.17b] dapat pula dipandang sebagai kasus khusus dari relasi yangtelah dibahas pada § 2.4c untuk bahan berbentuk elipsioda homogen yang mengalami polarisasilistrik, yang pada pembahasan di sini dapat dipakai secara langsung, hanya dengan mengubah ~P/3menjadi ~M, karena adanya perbedaan hubungan seperti dinyatakan pada pers[5.5.13]. Maka selainrelasi potensial yang terdapat pada pers[2.4.19], untuk potensial magnetik ϕM dinyatakan sebagai:

ϕM = A x Mx + B y My + C z Mz, (5.5.18)

dengan harga faktor A, B dan C sama dengan yang dinyatakan pada pers[2.4.20]. Dalam hal iniantara ~Hl = −~∇ϕM dan ~M terdapat sudut; arah ~Hl hampir berlawanan arah dengan magnetisasi.

Pada gbr[5.6] diilustrasikan kurva H dan B dari sebuah batang besi homogen berbentuk selindersecara kualitatif. Sementara di ruang bagian luar garis-garis medan ~H dan ~B, karena relasi ~B = µ ~Hakan saling ”‘menutupi”’ satu sama lain, berbeda halnya dengan garis-garis medan di dalam bahanmagnetik tersebut. Pada permukaan selimut selinder garis-garis medan hanya mengalami sedikitpatahan, sebaliknya garis-garis ~B patah lebih ”‘tajam”’ karena (Be)tangen = (Bl − µM)tangen yangmenunjukkan adanya turbulensi garis-garis medan. Sebaliknya pada permukaan atas dan bawahselinder, garis-garis medan ~B mengalami sedikit pembelokan arah, sementra garis-garis ~H karena(HA)norm = (Hl +M)norm menjadi tersebar (sebagai ”‘sumber”’) dan terpusat (sebagai ”penerima”).

Catatan: Dalam sistem Gauss hubungan antara medan magnet induksi dan kuat medan magnetadalah:

~B∗ = ~H∗ + 4π ~M∗. (5.5.19)

Karenanya diperoleh hubungan permeabilitas µ∗ = µ dan suseptibilitas χ∗ akan diperoleh berbedadari yang dinyatakan pada pers[5.5.1], yaitu:

µ∗ = 1 + 4πχ∗ (5.5.20)

(lihat catatan pada § 5.4). Arus magnetisasi dalam sistem satuan Gauss dapat ditulis menjadi:

~g∗M = c ~∇ × ~M∗.

5.6. BAHAN-BAHAN MAGNETIK 141

Gambar 5.6: Medan dari magnet permanen: (a) Kurva garis-garis medan H yang berawal pada permukaan bawah; (b)Garis-garis medan induksi B mengalami turbulensi pada permukaan selimut selinder.

Akhirnya dari pers[5.4.29] diperoleh hubungan yang berbeda dibanding pers[5.5.11] menurut relasipers[5.5.19] untuk momen magnetisasi ~M∗ sbb:

~M∗ =

√µ4π

~M. (5.5.21)

5.6 Bahan-bahan Magnetik

Pada permulaan § 5.5 telah dijelaskan bahwa bahan-bahan yang dapat termagnetisasi diklasi-fikasikan dalam tiga grup. Bahan diamagnetik mempunyai χ negatif, sehingga jika termagnetisasimomen magnetisasi yang terdapat di dalam bahan ini akan berlawanan arah terhadap medan yangdiberikan. Pada bahan paramagnetik karena harga χ positif, magnetisasi akan mempunyai arah (bi-asanya) sesuai dengan arah medan yang diberikan. Sifat ferromagnetik juga muncul pada bahan iniuntuk temperatur di atas temperatur Curie T, sementara pada temperatur di bawah ini bahan mem-punyai momen magnetisasi abnormal. Selain sifat ferromagnetik, pada grup ini juga masih terdapatbahan-bahan yang mempunyai sifat antiferromagnetik dan ferrimagnetik, yang hanya dapat munculpada temperatur tertentu, sementara di bawah temperatur tersebut terdapat sifat abnormal.

Penjelasan yang akan diberikan selanjutnya tentang karakteristik sifat bahan magnetik hanyaberupa informasi semata. Karena untuk lebih mengerti lebih jauh sifat-sifat ini diperlukan penjelasandengan mekanika kuantum, seperti halnya keberadaan atom-atom stabil yang hanya dapat dijelaskanmelalui teori kuantum. Di sini hanya akan dijelaskan secara sepintas yang menyangkut sifat-sifatbahan tersebut. Untuk mengerti lebih jauh dapat dibaca pembahasan yang terdapat pada buku IIbagian C.


1. Diamagnetik. Bahwa untuk bahan diamagnetik magnetisasi dan juga momen dipol mag-netik masing-masing atom atau molekul mempunyai arah berlawanan dengan medan magnet yangdiberikan, secara kualitatif dapat dijelaskan dari pandangan bahwa jika sebuah atom atau molekuldipengaruhi medan magnetik, maka pada masing-masing atom atau molekul akan terinduksi aruscincin dengan momen dipol magnetik mempunyai arah berlawanan dengan arah medan ~B.

Untuk menjelaskan peristiwa ini secara kuanlitatif, pandang model sederhana berikut: (5.6.0)Misalkan diketahui sebuah partikel bermassa m dan bermuatan e bergerak melingkar dengan

jari-jari lintasan pada mulanya konstan sebesar a, tetapi dengan kecepatan sudut yang dapat dipilihsembarangω. Apabila pada arah tegak lurus lintasan partikel diberikan medan magnet ~B(~r), dengansumbu kumparan yang menimbulkan medan magnet terletak melalui pusat lintasan, karenanyaakan terdapat medan listrik sirkular induksi dan berdasarkan hukum induksi diberikan menurut

persamaan ~E = ~r× ~B/2. Adanya medan listrik sirkular induksi ini menyebabkan partikel mengalamipercepatan sudut sebesar ϕ yang dapat dicari dari persamaan gerak m a ϕ = e E = −a e B/2. Sehinggadalam waktu t detik, yaitu dengan medan magnetik B(t), akan diperoleh kecepatan sudut partikelsebesar ϕ = ω + ωL, dengan ωL disebut sebagai frekuensi Larmor yang didefinisikan sebagai:

ωL = −eB

2matau dalam bentuk vektor ~oL = −e

~B2m. (5.6.2)

Dengan ω untuk model atom primitif yang dipandang dapat dipilih berharga positif atau negatif,sementara frekuensi ωL lebih universal. Karena frekuensi ωL ini tidak hanya berlaku untuk partikelyang bergerak di dalam medan lamban seperti model yang dipandang di atas, melainkan berlakupula untuk model-model lainnya. Berdasarkan teorema Larmor diketahui bahwa jika atom beradadi dalam medan magnet, maka elektron yang terdapat di dalamnya, selain mengalami gerak rotasisemula (tanpa medan magnet), juga mengalami gerak rotasi beraturan dengan frekuensi ωL; ataudengan perkataan lain elektron mengalami gerak rotasi tambahan selain gerak rotasi tanpa medan.Untuk mengerti teorema Larmor dapat dibaca buku II, § 35.

Rotasi tambahan yang selanjutnya disebut rotasi Larmor menyebabkan adanya tambahan mo-men dipol magnetik atom. Untuk model ini, berdasarkan pers[5.2.4] momen dipol magnetik atomdiberikan menurut persamaan sbb:

~m = I ~A = eωL ~A2π

= −e2 a2~B

4m.

Untuk model atom lebih umum, a2 biasanya digantikan oleh harga rata-rata dari x2 + y2, jika Bdianggap berada pada arah sumbu z, sehingga untuk susunan sistem elektron berbentuk bola∑

(x2j + y2

j ) = 2/3∑

r2j , sehingga akhirnya diperoleh:

~m = I ~A = −e2 ~B

∑j

r2j

6m. (5.6.3)

Dengan demikian harga suseptibilitas χ untuk bahan diamagnetik dengan yang mempunyai kerap-atan atom n adalah:

χ = −nµ e2

∑j

r2j

6m.


Ramalan harga χ berdasarkan rumusan di atas diperoleh kira-kira dari 10−6 hingga 10−5, yaitusesuai dengan angka-angka suseptibilitas bahan ini yang diperoleh dari hasil eksperimen dan telahdiberikan pada permulaan § 5.5.

Sifat diamagnetik ini umumnya dipunyai segala materi, sehingga dapat dikatakan terdapat padasetiap bahan. Akan tetapi pada umumnya sangat lemah sehingga sukar diamati secara eksperimen,sementara itu bahan yang bersangkutan dapat mempunyai sifat lain seperti para- atau ferromagnetik.

2. Paramagnetik. Setiap satuan materi bahan ini mengandung momen dipol magnetik |~m|, seba-gian magnet elementer ini akan searah dengan medan magnet luar yang diberikan, di mana medanmagnet ini melawan orientasi magnet elementer yang tidak beraturan akibat pengaruh temperatur.Selanjutnya berdasarkan teori Curie yang menyatakan bahwa:

χ =CT, (5.6.4)

dengan medan magnet yang samadan pada temperatur yang rendah akan diperoleh derajat keterat-uran magnet elementer dibanding jika bahan diperlakukan pada temperatur yang tinggi.

Kelakuan ini dapat dipandang analog dengan kasus fenomena listrik, yaitu fenomena molekulyang mempunyai momen dipol listrik permanen ditempatkan di dalam medan listrik ~E. Sepertihalnya untuk kasus listrik (lihat § 2.2), untuk kasus bahan magnet, akan diperoleh momen dipolmagnet rata-rata berdasarkan perhitungan mekanika statistik sbb:

~m = η|~m|2

kT~B. (5.6.5)

dengan η adalah faktor bilangan yang mirip dengan pers[2.2.10], mempunyai harga 1/3. Hargaini diperoleh dari perhitungan kuantisasi arah momen dipol magnetik secara mekanika kuantum,dengan sudut antara momen dipol magnetik dan medan magnet, tidak seperti pada kasus medanlistrik sudut dapat mempunyai harga dari 0 hingga 180, melainkan lebih sedikit lagi. Sebagai contohmomen dipol magnetik sebuah elektron (spin elektron) hanya dapat mempunyai arah paralel danantiparalel terhadap medan magnet; untuk kasus ini harga η = 1. Dasar perhitungan ini dapat dilihatpada buku II bab C.

Medan magnet di sekitar benda yang bersifat dia- atau paramagnetik dapat dihitung analogseperti menghitung medan listrik yang berada di dekat bahan yang dapat mengalami polarisasilistrik (lihat § 2.4). Juga rumusan untuk energi yang dibawa dan dipengaruhi medan (bab 3) dapat”‘diterjemahkan”’ untuk kasus fenomena magnetik. Khususnya dari pengamatan pada § 3.3, bahwabahan paramagnetik dapat terdorong masuk ke dalam medan magnet, sedangkan bahan diamagnetakan terdorong ke luar dari medan magnet. Akan tetapi berdasarkan pers[3.3.31] kedua kasussama-sama membentuk rotasi elipsoida dengan sumbu panjang searah dengan arah medan magnet.

3. Ferromagnetik. Kelakuan magnetik dari bahan ferromagnetik (Besi, Cobalt, Gadolinium, dancampuran bahan-bahan tersebut) adalah sangat bervariasi dan sangat bervariasi dan pada umumnyabergantung pada keadaan campurannya. Untuk itu dalam pembahasan di sini cukuplah hanya akandiketengahkan gambaran skematis untuk mengenal sifat-sifat bahan ini.


Gambar 5.7: Kurva magnetisasi dari bahan ferromagnetik lunak.

Suatu fenomena ferromagnetik suatu bahan ditandai dengan harga momen magnetisasi yangsangat besar dibanding dengan bahan lainnya apabila diberikan medan magnet yang sama. Hubun-gan ~M untuk bahan ini tidak lagi linier terhadap ~B ataupun ~H, melainkan akan tercapai kejenuhanhanya pada pemberian medan magnet yang relatif rendah yang dapat dicapai dengan mudah secarateknis. Momen magnetisasi jenuh atau disingkat dengan magnetisasi jenuh MS yang harganya tidakdapat terlewati untuk berbagai jenis bahan, walaupun dengan memberikan medan magnet yangamat besar; harga magnetisasi jenuh untuk ketiga bahan ferromagnetik penting adalah (dalam 106

A/m):1, 74 untuk Fe 1, 43; untuk Co; 0, 51 untuk Ni 1, 98 untuk Gd.

Selain dinyatakan dengan harga-harga di atas, biasanya dituliskan pula harga magnetisasi dalamµMS [V det/m2]:

2, 19 untuk Fe 1, 80; untuk Co; 0, 64 Ni 2, 49 untuk Gd.

Harga momen magnetisasi jenuh di atas juga diketahui tidak bergantung pada proses pembuatanbahan dan adanya impuritas yang kecil pada bahan. Sebaliknya kurva magnetisasi, yaitukurva yangmenggambarkan kenaikan ~M terhadap kuat medan magnet ~H yang diberikan, yaitu sangat bergan-tung pada teknik pembuatan bahan. Secara umum dibedakan dua sifat bahan magnet penting, yaitu:(5.6.5)


Bahan Magnet Lunak. Pada bahan ini terlihat bahwa ~M masih jelas sebagai fungsi ~H. Cirifungsi M(H) untuk bahan ini diilustrasikan pada gbr[5.7], yaitu bermula dengan kenaikan hargaM yang terjal terhadap H, selanjutnya tercapai kurva yang agak mendatar dan akhirnya tercapaikurva yang horizontal sama sekali yang menyatakan tercapainya keadaan magnetisasi jenuh. Jikaawal kenaikan kurva berbentuk garis lurus, maka dapat dijelaskan suseptibilitas awal dari bahanyang bersangkutan, yang didefinisikan oleh M/H atau ∂M/∂H. Harganya untuk berbagai bahanyang mengandung besi berkisar dari 50 hingga 1000. Bahan ferromagnet yang benar-benar lunaksebenarnya jarang terdapat. ”‘Kelunakan”’ atau ”‘kekerasan”’ suatu bahan ferromagnetik dibedakandari makin sempit atau makin lebarnya kurva histeris.

Bahan Magnet Keras. Pada bahan ini ~M tidak lagi jelas sebagai fungsi ~H; harga magnetisasiditentukan pula oleh besarnya kuat medan yang diberikan pada bahan yang bersangkutan. Ciri kurvamagnetisasi untuk bahan ini diilustrasikan pada gbr[5.8]. Apabila bahan magnet keras diberikankuat medan magnet H, maka M akan membentuk kurva sejauh AB yang bentuknya tidak berbedadengan kurva magnetisasi untuk bahan magnet lunak yang diilustrasikan pada gbr[5.7]. Akan tetapiapabila H kembali diperkecil, maka M akan menurun sangat perlahan-lahan dibanding kenaikannyasebelumnya, pada harga H semakin besar (lihat kurva BCDE). Pada H = 0 masih akan diperolehmagnetisasi remanen yang besarnya dinyatakan oleh AC. Dengan membuat gaya koersivitas AD yangberlawanan akan diperoleh kembali harga magnetisasi sama dengan nol. Remanen dan koersivitasmerupakan ukuran dari kekerasan bahan magnet. Untuk harga H negatif yang cukup besar, yaitupada E, diperoleh keadaan magnetisasi jenuh. Dari titik ini, jika kuat medan H diubah-ubah keabali,akan diperole kurva EFGB, sehingga secara kesuluruhan proses diperoleh kurva histerisis tertutup.Jika proses diulangi kembali dari keadaan jenuh, dengan menggunakan kuat medan magnet sehinggmenyebabkan didapat keadaan jenuh pada arah berlawanan secara bolak-balik, diperoleh kurva Myang masih melintasi kuva yang sama.

Hal sebaliknya terjadi jika kuat medan H diturunkan hingga kurva mencapai suatu titik tertentu,katakanlah D′, kemudian H kembali dinaikkan. Maka akan terbentuk potongan kurva D′C′E′ yangdapat dilihat pada gbr[5.8]; untuk kasus ini kurva tetap tidak mengalami perubahan dan kurva dapatkembali bergerak mundur dan secara keseluruhannya menurut Rayleigh akan terbentuk sebuahelips tipis dengan sumbu panjangnya berimpit dengan garis D′E′. Apabila bahan magnet dapatdipertahankan pada daerah batas antara D′ dan E′, maka secara pendekatan untuk daerah batas iniberlaku proses magnetisasi reversibel dan bahan dikatakan memenuhi persamaan keadaan sbb:

~M = (5.6.7)

mathbf ~M + χ′ ~H.(5.6.8)χ′ untuk kasus ini disebut sebagai suseptibilitas efektif .Di dalam sebuah magnet permanen, dalam keadaan tanpa arus dan jika terdapat magnet lain

di luarnya dengan medan magnet ~H, seperti telah dijelaskan pada § 5.5, akan terdapat magnetisasiyang berlawanan arah. Magnet seperti ini sesuai dengan potongan kurva CD pada kurva histerisisdan dapat diwakili hingga tiutik D′. Selain itu, medan magnet yang terdapat di dalam magnetpermanen sangat bergantung pula pada bentuk geometri magnet tersebut. Khususnya jika magnetberbentuk elipsoida, didapat harga ~H = −~∇ϕM, dengan hargaϕM sesuai dengan yang diberikan padapers[5.5.18]. Jika elipsoida ini ditempatkan di dalam medan magnet ~H, maka komponen medan


Gambar 5.8: Kurva magnetisasi dari bahan ferromagnet keras.

magnet ~H di mana harganya bergantung dari ~H dan ~M dapat dituliskan sbb:

Hx = Hx − A Mx Hy = Hy − B My Hz = Hz − C Mz. (5.6.9)

Dalam hal ini harus pula diperhatikan harga ~M dibandingkan dengan ~H dalam hal terjadinyademagnetisasi.

Semua bahan ferromagnetik menunjukkan sifat yang dijelaskan di atas hanya jika temperaturbahan ini berada di bawah tempatur Curie dan untuk bahan-bahan berikut, temperatur karakteristikmasing-masing adalah

1043 K untuk Fe; 1393 K untuk Co; 631 K untuk Ni; 293 K untuk Gd.

Jika temperatur dinaikkan hingga mencapai temperatur Curie, maka magnetisasi jenuh mula-mulaakan terjadi secara perlahan, kemudian semakin cepat hingga mencapai nol pada temperatur T =Θ. Di atas temperatur Curie semua bahan ferromagnetik mempunyai sifat paramagnetis biasa;karenanya temperatur pada hukum Curie seperti yang diberikan pada pers[5.5.5] harus digantikandengan selisih temperatur Curie dan Weiss, yaitu T−Θ. Pada saat sekarang ini hukum Curie-Weissditulis dalam bentuk

χ =C

T − Tp, (5.6.10)

dalam hal ini temperatur paramagnetik Tp terletak sedikit di atas temperatur Curie Θ ≡ Tc; harga Tpuntuk beberapa bahan ferromagnetik adalah

1101 K untuk Fe; 1411 K untuk Co; 649 K untuk Ni; 317 K untuk Gd.


Interpretasi hukum Curie-Weiss, menurut P. Weiss adalah: bahwa pada masing-masing magnetelementer, selain terdapat kuat medan magnet ~H terdapat pula medan dalam yang yang bukan bukanmagnetis, yang sebanding dengan magnetisasi ~M, yaitu sama dengan W ~M. W disebut sebagai faktorWeiss dari medan dalam. Maka medan total yang terdapat di dalam bahan ~H +W ~M beradasarkanhukum Curie (pers[5.5.8]) menentukan magnetisasi:

~M =C(~H +W ~M

T, atau ~M =

C ~HT − C W

. (5.6.11)

Dengan demikian akan diperoleh suseptibilitas untuk harga temperatur Curie Tp = C W (bahanparamagnetik).

Dari pandangan Weiss tentang adanya medan tambahan W ~M pada harga kuat medan magnet ~Hdapat ditunjukkan, bahwa pada temperatur di bawah temperatur Curie Tc untuk bahan ferromag-netik, di mana perbedaan Tp − Tc tetap menjadi pertanyaan, akan diperoleh kenaikan harga mag-netisasi jenuh dengan menurunnya temperatur. Pada kondisi kritis (disebut pula sebagai keadaanbatas) temperatur T → 0 magnet elementer akan berada dalam keadaan saling paralel di dalammateri. Maka magnetisasi jenuh MS(0) dari magnet elementer tersebut dapat ditentukan, contohnyadiberikan dalam momen-momen magnetik yang dinyatakan dalam magneton Bohr (lihat § 5.2), yaitu:

2, 22 untuk Fe; 1, 71 untuk Co; 0, 605 untukNi; 7, 1 untuk Gd.

Mengapa harga magnetisasi untuk berbagai bahan di atas bukan merupakan bilangan bulat sepertiyang diramalkan sebelumnya adalah berhubungan dengan teori atom di dalam kisi kristal yangmasih belum terungkap dengan baik.

Dasar teori dari hipotesa yang dibuat Weiss sehingga akhirnya akan diperoleh harga faktor WeissW berhasil dirumuskan oleh W. Heisenberg dengan pertolongan mekanika kuantum. Peristiwa yangmenentukan dalam kasus ini adalah interaksi antara magnet elementer dengan tetangganya yangdijelaskan melalui gaya pertukaran melalui mekanika kuantum, yaitu mirip dengan teori molekulhomoepolar, misalnya pada molekul H2 yang memungkinkan adanya ikatan antara atom H yangsatu dan lainnya.

Sementara kelakuan paramagnetik dari bahan-bahan ferromagnet di atas temperatur Curie danbentuk kurva MS(T) di bawah Tc untuk pertama kali dapat dimengerti dengan penjelasan teorimekanika kuantum oleh Heisenberg dan beberapa peneliti lain, sedangkan kelakuannya di dalamdaerah ferromagnetik pada kondisi medan magnet yang kecil, khususnya berhubungan denganbentuk kurva histerisisnya telah dimengerti tanpa mekanika kuantum. Dalam daerah ini energimemegang peran penting yang dalam pengamatan mekanika kuantum untuk bahan ferromagnet diluar perhatian. Seperti yang diramalkan oleh Weiss bahwa sifat ferromagnetik di bawah temperaturCurie akan terjadi pula mangetisasi spontan pada bagian kecil di dalam bahan hingga mengalamikejenuhan, walaupun dengan adanya medan yang kecil; akan tetapi magnetisasi homogen ini hanyaterjadi dalam daerah yang kecil, disebut sebagai daerah Weiss, sedangkan untuk daerah lainnya arahmagnetisasi adalah berbeda. Kurva magnetisasi yang diamati, yaitu daerah yang termasuk di dalamkurva histerisis hanya berasal dari orientasi arah daerah yang mengalami magnetisasi spontan sesuaidengan arah medan magnet yang diberikan, di mana hanya terjadi perubahan arah vektor-vektorMS, sementara harganya adalah tetap.


Gambar 5.9: Gambaran skematik kurva 1/χ(T) untuk (a) ferromagnetik; (b) antiferromagnetik; c) bahan ferrimagnetik.

Munculnya daerah Weiss pada kondisi medan magnet yang tidak begitu besar, adalah akibatadanya energi medan magnetis; karenanya di sekitar sebuah batang besi homogen yang termagneti-sasi akan terdapat medan magnet yang sangat kuat dan mempunyai jangkauan jauh (medan dipol!)dan karenanya dua batang magnet berukuran sama, terdiri dari dua daerah Weiss masing-masingmempunyai orientasi berlawanan, akan mempunyai energi medan magnetik yang besar (medankuadrupol !).

Besarnya ukuran daerah Weiss dipengaruhi oleh selisih energi magnetik dan energi pertukaranyang terdapat pada daerah transisi antara daerah-daerah dengan orientasi magnetisasi berbedaadalah minimal.

Demikian pula, kondisi adanya dislokasi atau kekosongan pada kisi kristal di mana berpengaruhterhadap magnetisasi masing-masing daerah Weiss harus dianggap tidak berpengaruh; karenanya,dalam kasus ini, MS untuk Fe akan mempunyai orientasi pada diagonal bidang, sedangkan padaNi pada arah diagonal ruang dan jika diberikan medan magnet MS akan mengalami rotasi perlahanatau sertamerta (lompatan Barkhausen) pada arah medan.

Pada bahan ferromagnetik dimengerti adanya kelakuan khusus, yaitu kecenderungan magnetelementer yang terdapat pada daerah-daerah yang berbeda saling paralel dan tidak dikondisi secaramagnetis. Terdapat pula sekian banyak bahan yang mempunyai kecenderungan bahwa posisi mag-net elementer antiparalel, yang diketahui dari sifat magnetiknya (bukan mangetisasi spontan, sifatparamagnetik menurut pers[5.6.11] muncul di atas temperatur tertentu TN dengan harga W negatif).Di bawah temperatur peralihan TN, yang disebut sebagai temperatur Neel, di mana bahan menun-jukkan sifat anomali pada harga panas jenis spesifiknya, yaitu mirip seperti peristiwa ferromagnetikyang terjadi di bawah temperatur Curie, bahan ini akan tetap bersifat paramagnetik, akan tetapidengan temperatur transisi berbeda dibanding dengan hukum Curie dan Weiss. Bahan seperti inidisebut sebagai antiferromagnet.

Selain kedua bahan di atas, terdapat pula bahan ferrimagnetik, yang di bawah temperatur per-alihan TN juga menunjukkan adanya magnetisasi spontan, seperti bahan ferromagnetik; di atas TN


bahan ini bersifat paramagnetik, akan tetapi χ untuk bahan ini mempunyai ketergantungan ter-hadap temperatur yang berbeda dibanding dengan bahan ferromagnetik. Karena sifat penghantarlistrik yang kecil dari bahan ini, bahan-bahan ini digunakan secara teknis bersamaan dengan bahanferromagnetik.

Sebagai ilustrasi sifat paramagnetik yang disebutkan di atas, gbr[5.9] menunjukkan kurva 1/χsebagai fungsi T masing-masing untuk bahan ferromagnetik (kurva a), bahan antiferromagnetik(kurva b) dan kurva c adalah untuk bahan ferrimagnetik.

Catatan: Dalam sistem Gauss frekuensi Larmor untuk bahan diamagnetik diberikan sbb:

~oL = −e∗~B∗

2m c,

dan untuk momen dipol bahan diamagnetik:

~m∗ = −e∗2 ~B∑ r2

j

∗

6m c2

.

Akhirnya patut pula dicatat bahwa magnetisasi ~M∗ dalam sistem Gauss tidak diberikan dalamsatuan Oersted. Sehingga magnetisasi jenuh M∗S pada bahan-bahan ferromagnetik diberikan menurutpersamaan sbb:

4πMS = 2, 1900 G untuk Fe; 1800 G untukCo;4πMS = 6400 G untukNi; 24900 untuk Gd

dengan faktor 4π diperoleh dari definisi persamaan ~B∗ = ~H∗ + 4π ~M∗.


30 [] Dengan perolongan pers[5.4.17] untuk medan magnet di pusat sebuah cincin dihitung medan magnet di pusatsebuah kumparan yang dialiri arus I (panjang l, jari-jari a dan jumlah lilitan adalah N), yaitu dengan penjumlahan atauintegrasi terhadap seluruh kumparan. Diskusikan pula untuk kasus l a !

jawab:

H =I N2l

z + l/2√a2 + (z + l/2)2

−z + l/2√

a2 + (z − l/2)2

;

dalam hal ini z berarti jarak terhadap bidang simetri kumparan. Untuk kasus l a suku dalam tanda kurung untuk|z| l/2 praktis sama dengan 2, maka kuat medan H akan sama dengan medan yang terdapat pada kumparan panjangtakberhingga dengan N/l sama. Untuk |z| l kuat medan magnet akan mempunyai kelakuan mirip medan dipol, yaitusebanding dengan z−3.

31 [] Menurut Helmholtz medan magnet yang relatif homogen dapat ditimbulkan dengan cara menggunakan dua kawatberbentuk cincin, berukuran sama dan dialiri arus I yang sama (sebagai kumparan ”‘tipis”’) yang diletakkan secara koaksialpada jarak tertentu h, sehingga medan magnet di sumbu sistem H(z) merupakan fungsi dari z terhadap bidang simetriyang mempunyai ”‘titik mendatar”’, yaitu titik di mana d2H/dz2 = 0 pada z = 0 ? Bagaimana bentuk deret H(z) di dekattitik z = 0 ?

jawab: h = a; H(z) = H(0)1 − 144 z4/125a4

− · · ·

dengan H(0) = Ia2/[a2 + (h/2)2]3/2.


32 [] Sebagai pendekatan untuk mencari medan magnet bumi dapat dianggap bahwa di tengah-tengah bumi terdapatmomen dipol magnet. a) Berapa besar momen dipol magnet m jika intensitas medan magnet bumi rata-rata pada daerahmembujur sejauh 45 adalah H = 18, 3 A/m ? b) Seandainya sudut inklinasi sebagai fungsi dari sudut bujur β.

jawab: a) m = 8, 39 · 1022 A m2; b) tan i = 2 tan β

33 [] Sebuah bola besi berjari-jari a = 5 cm jika termanetisasi homogen hingga mengalami magnetisasi jenuh (MS = 1, 74·10−

A/m). Berapa besar momen dipol magnetnya ? Berapa besar B dan H di dalam bola ? Berapa besar perubahan M terhadapluas permukaan dan kerapatan arus per satuan luas yang ada ?

jawab: m = 911 A m2; B = 1, 46 V det/m2; H = −5, 8 · 105 A/m. Perbedaan M persatuan luas (kerapatan magnetisasiper satuan luas) adalah −M cos ϑ; kerapatan arus yang sesuai dengan kerapatan magnetisasi dapat dicari dari pers[5.5.8],yaitu arus yang mengalir melingkar pada arah M adalah M sin ϑ.

34 [] Sebuah cincin besi berdiameter d = 20 cm dan luas penampang lintang q = 10 cm2 dililitkan dengan kawat halussebanyak N = 600 lilitan. Berapa besar fluks induksi magnetik yang terdapat pada cincin, jika melalui kawat yang dililitkandialiri arus sebesar 1 A dan jika dihitung dengan permeabilitas µ = 500 ?

jawab: H = IN/πd = 9, 55 A/m; B = µµ I N/πd = 0, 60 V det/m2; Φ = 6, 00 · 10−4 V det.

35 [] Apa yang mengalami perubahan pada soal sebelumnya, jika besi lunak berbentuk cincin di atas diganti dengan besikeras dan temagnetisasi hingga mencapai keadaan magnetisasi jenuh ( MS = 1, 74 · 106 A/m) ?

jawab:H = IN/πd = 9, 55 A/m; B = µ(I N/πd +MS) ≈ 2, 19 V det/m2; Φ = 2, 19 · 10−3 V det.

36 [] Diberikan dua batang magnet berukuran kecil, masing-masing memeliki momen dipol m1 dan m2; misalkan vektorposisi antara magnet pertama dan kedua adalah r. Berapa besar energi pertukaran yang terdapat antara dua dipol danberapa besar gaya yang terdapat diantara keduanya ? Bagaimana kelakuan kedua magnet jika keduanya digantung dandapat berputar secara bebas dan berapa besar gayanya ?

jawab:

Epot =µ4π

~m1 ~m2

r3 −(~m1 ·~r)(~m2

·~r)r5

;

~K =3µ4π

(~m1 · ~m2)~r + (~m1 ·~r) ~m2 + (~m2 ·~r) ~m1

r5 −5(~m1 ·~r)(~m2 ·~r)~r

r7

Keadaan setimbang stabil adalah untuk ~m1 ‖ ~m2 ‖ ~r; sehingga

~K = −3µ2π

(~m1 ~m2)~rr5 .

37 [] Suatu kawat tembaga dibengkokkan berbentuk cincin, berjari-jari a dengan tahanan kawat R , dirotasikan di dalammedan magnet bumi terhadap sumbu vertikalnya dengan kecepatan sudut ω. Bagaimana ketergantungan kuat arusinduksi terhadap sudut tabg dibentuk antara arah bidang normal cincin dan kutub utara ? Berapa besar panas J yangtimbul pada sistem tersebut ? Berapa besar momen dipol agar sistem dapat mengalami rotasi ? Berapa besar kuat medanmagnet yang terdapat di tengah-tengah cincin dan berapa besar sudut α yang akan dibentuk oleh sebuah jarum penunjukmagnet terhadap sumbu vertikal pada daerah ini ? Misalkan jika a = 10 cm; R = 0, 01Ω dan ω = 10π, sesuai dengan 5putaran per detik; komponen horizontal dari kuat medan magnet bumi Hh = 18, 3 A/m.

jawab: Arus pada induktor bumi adalah I = I sin ωt dengan I = µHh a2 πω/R = 2, 28 mA; panas J yangmuncul adalah I2

R/2 = 0, 260 · 10−7 W; momen putar = (I2

R/2ω)(1 − cos 2ωt); kuat medan magnet di sekitar titik tengah

cincin = (I/2a) sin ωt = (11, 4) sin ωt mA, dengan komponen tegak lurus terhadap medan magnet bumi adalah sebesar= (I/2a) sin2 ωt; penyimpangan jarum magnet menjadi tan α = µaπω/4R, yaitu α ≈ 3, 10 · 10−4 = 1, 07′.


38 [] Dua rel kereta api, masing-masing berada dalam keadaan isolasi terhadap bumi dihubungkan dengan Voltmeter.Berapa besar tegangan yang akan timbul pada Voltmeter jika sebuah kereta api bergerak di rel tersebut dengan kecepatan100 km/jam ? Jarak antara dua rel adalah 1, 435 m, sedangkan komponen vertikal medan magnet bumi adalah Hv =35 A/m. jawab: 1, 75 mV.


Bab 6

Elektrodinamika Arus Kuasi-Stasioner

6.1 Induksi Diri dan Induksi Mutual

Pada bab ini akan dibahas susunan sistem arus (biasanya susunan linier) karena kepentinganpraktisnya, baik dalam fisika maupun teknik. Dalam pembahasan ini dibatasi pada analisa untukarus kuasi stasioner, termasuk pula arus bolak-balik dengan frekuensi rendah yang hingga saat iniberhasil dijelaskan dengan hukum-hukum listrik dan magnet. Karena adanya koreksi untuk arusbolak-balik berfrekuensi tinggi terhadap persamaan ~∇ × ~H = ~g, yang membawa keberhasilan padateknik frekuensi tinggi dan teori gelombang elektromagnetik dari cahaya, akan dibahas pada bab 7.

Istilah dan pengertian-pengertian baru yang akan dijumpai pada pembahasan nantinya adalahinduksi diri (self induction) dan induksi mutual (mutual induction). Pandang suatu sistem terdiri dari nkumparan yang terpisah, masing-masing dialiri oleh arus I1, I2, · · · , In. Kemudian medan magnet~B yang terdapat pada sistem ini dapat ditentukan menurut masing-masing arus yang besangku-tan, yaitu selama diambil pengandaian sederhana, bahwa permeabilitas µ di dalam ruang tidakbergantung pada ~H. Dalam hal ini dianggap bahwa kuat arus yang terdapat pada sistem salingmengalami superposisi linier sehingga menyebabkan timbulnya medan magnet ~B. Karenanya fluksinduksiΦ j = (Bn dA) dapat dinyatakan dalam rangkaian ke j dan merupakan fungsi linier dari n kuatarus yang ada, atau dinyatakan dalam bentuk:

Φ j =

n∑k=1

L jk Ik. (6.1.1)

Faktor kesebandingan L jk disebut sebagai koefisien induktivitas ; dengan L j j biasanya disebut sebagaiinduktivitas!diri dari kumparan dan L jk untuk j , k disebut sebagai induktivitas mutual . Apabila hanyaterdapat satu kumparan, maka pers[6.1.1] dapat disederhanakan menjadi:

Φ = L I, (6.1.2)

dengan L adalah induktivitas diri. Dalam pembahasan ini akan dibahas lebih jauh koefisien-koefisientersebut.

Perhitungan lebih sederhana dari induktivitas adalah untuk sistem yang terdiri dari kumparanpanjang dengan penampang lintang q dan panjang l. Misalkan kumparan terdiri dari N lilitan kawat

153

154 BAB 6. ELEKTRODINAMIKA ARUS KUASI-STASIONER

dan µ adalah permeabilitas inti kumparan. Kuat medan magnet di dalam kumparan ini dapatdicari yaitu H = N I/L. Karenanya fluks induksi yang melalui kumparan dengan N lilitan adalahΦ = µµN2 I q/l, sehingga berdasarkan pers[6.1.2] induktivitas diri L dapat dicari sbb:

L =µµN2 q

l. (6.1.3)

L dinyatakan dalam satuan V det/A atau dalam henry (H).Demikian pula perhitungan L jk dapat dicari dengan mudah jika dianggap bahwa semua daerah

yang dilalui medan magnet mempunyaiµ =konstan. Berdasarkan pers[6.1.1] L jk I merupakan bagiandari fluks induksi, yaitu fluks induksi yang berasal dari kumparan dengan kuat arus Ik dan melaluirangkaian dengan kuat arus I j. Misalkan d~r j adalah elemen panjang dari rangkaian ke j dan d~rkadalah panjang elemen dari rangkaian ke k, maka dari pers[5.3.2] dan [5.5.19] diperoleh hubungan:

L jk Ik =

∫∫Bk dA j =

∮~Ak(~r j) d~r j =

µµ4π

∮d~r j

∮Ik d~rk

|~r j −~rk|,

dalam hal ini ~Bk(~r j) = ~∇ j× ~Ak(~r j) yang berarti sebagai induksi yang timbul pada rangkaian ke j akibatpengaruh rangkaian ke k. Karenanya akan diperoleh

L jk =µµ4π

∮ ∮ d~r j d~rk

|~r j −~rk|. (6.1.4)

Dalam hal ini berlaku hal simetri, yaitu L jk = Lkj.Sebagai contoh penggunaannya pandang dua buah rangakaian arus yang tersusun secara koaksial

dengan jari-jari a j dan ak dengan jarak tegak lurus masing-masing adalah h. Untuk menyelesaikanpers[6.1.4] untuk kasus ini, azimut~r j dianggap adalah ϕ j dan azimut~rk dianggap adalah ϕk, dengansudut antara dua vektor ini juga sama dengan sudut antara d~r j dan d~rk, yaitu ~ϕ j − ~ϕk = ~ϑ. Daripers[6.1.4] didapat:

L jk =µµ4π

2π∫0

∫ a j ak cos ϑdϕ j dϕk√h2 + a2

j + a2k − 2 a j ak cos ϑ

(6.1.5)

=µµ

2

2π∫0

a j ak cos ϑdϑ√h2 + a2

j + a2k − 2 a j ak cos ϑ

,

rumusan terakhir diperoleh dengan menggantikan integrasi terhadap dϕk dan dϕ j dengan dϑ. Inte-gral terakhir merupakan integral eliptik dan dapat diselesaikan dengan melihat kembali tabel integraleliptik. Dalam pembahasan kasus ini integral eliptik di atas tidak akan diselesaikan, melainkan hanyaakan dibatasi pada pendekatan dua syarat batas yang menjadi pokok perhatian.

Untuk syarat batas h a j, ak, yaitu jika dua rangkaian berbentuk lingkaran berada jauh satusama lain, penyebut pada pers[6.1.5] dapat dibuat dalam deret berpangkat h. Dengan mengambil

6.1. INDUKSI DIRI DAN INDUKSI MUTUAL 155

hingga suku pertama yang mengandung 1/h3, maka perhitungan sementara memberikan hasil sbb:

L jk =µµ π a2

j a2k

2h3 . (6.1.6)

Perhitungan untuk syarat batas h a j, ak agak sedikit rumit. Untuk syarat batas ini jarakterpendek antara dua rangkaian berbentuk lingkaran dinyatakan sebagai b2 = h2 + (a j − ak)2; dengandemikian pers[6.1.5] akan menghasilkan persamaan sbb:

L jk = µµ

π∫0

a j ak cos ϑdϑ√b2 + 4 a j ak sin2(ϑ/2)

. (6.1.7)

Integrand akan mempunyai harga maksimum ”‘tajam”’ hana pada ϑ = 0, yaitu selama b a j, ak,maka b → 0, atau dengan perkataan lain jika h → 0, maka a j → ak dan integral akan memberikanhasil takberhingga. Untuk dapat mencari integral pada pers[6.1.7], maka batas integral harus dibagidalam dua bagian, yaitu dari 0 hingga ε dan dari ε hingga π, di mana ε dipilih sedemikian memenuhiketidaksamaan b/√a j ak ε 1. Pada integral pertaman sin ϑ/2 diganti dengan ϑ/2 dan cos ϑsama dengan 1, sehingga diperoleh integral dalam bentuk:

ε∫0

a j ak dϑ√b2 + a j ak ϑ2

=√

a j ak ln

√a j ak +

√b2 + a j ak ε2

b

≈

√a j ak ln

√a j ak ε

b.

Untuk integral kedua b pada penyebut dapat diabaikan, sehingga didapat:

π∫ε

√a j ak

2cos ϑdϑsin ϑ/2

=√

a j ak

[ln tan

ϑ4+ 2 cos

ϑ2

]∣∣∣∣∣ επ≈ −

√a j ak

(lnε4+ 2

).

Sehingga dari pers[6.1.7] diperoleh hasil perhitungan:

L jk = µµ√

a j ak

(ln

8√a j ak

b− 2

), (6.1.8)

dengan harga ε diabaikan.Untuk menghitung induktivitas diri dari pers[6.1.4] tentunya karena karena ~r j = ~rk perbedaan

keduanya menyebabkan tidak akan menghasilkan harga tertentu. Dalam hal ini kawat tidak lagidapat dianggap linier, melainkan harus pula diperhitungkan penampang lintangnya, yaitu q. Apabilaperhitungan tidak demikian, maka akan terlihat adanya ketidakpastian, di mana kurva batas kawatuntuk menentukan fluks induksi Φ berdasarkan pers[5.3.2] atau bahkan penggunaan hukum fluksinduksi dalam bentuk pers[5.3.8] terabaikan.


Akan diatasi kesulitan ini dengan memandang bahwa kawat terdiri dari bagian-bagian kawathalus sehingga penampang lintangnya q juga terdiri dari elemen luas masing-masing kawat sangathalus, yaitu d f1, d f2, ·, sehingga hukum induksi karenanya berdasarkan pers[5.4.10] ~B = ~∇× ~A ditulisdalam bentuk: ∮

~E · d~r = −ddt

∮~A · d~r, (6.1.9)

yang selanjutnya dapat digunakan untuk masing-masing kawat sangat halus. Untuk itu ruas kananpersamaan, persis seperti pada pers[5.3.7], akan menghasilkan perkalian I R. Pada ruas kanan akandiperoleh hukum B-S dalam bentuk yang dinyatakan pers[5.4.13]∮

~A · d~r =µµ4π

∫d f d~r

q

∫~g(~r′)dv′

|~r −~r′|

=µµ4π

∫d f ′ d~r′

q

∫~g(~r′)dv′

q′ |~r −~r′|,

dan sebagai pendekatan dianggap bahwa ~g pada luas penampang lintang berharga konstan. Kare-nanya dari hasil perhitungan akan diperoleh kembali persamaan untuk hukum induksi dalam bentuk:

I R = −ddt

(L J),

dengan

L =µµ

4

∫∫d f d f ′

q q′d~rd~r′

|~r −~r′|, (6.1.10)

adalah sebagai induktivitas diri.Khususnya untuk kawat berbentuk cincin, berjari-jari a dan jari-jari kawat r a, akan diperoleh

harga induktivitas mutual dengan menggunakan pers[6.1.8] untuk dua kumparan berukuran hampirsama a1 ≈ a2 ≈ a dengan jarak antara keduanya kecil, yaitu b adalah

L =∫∫

d f1 d f2r2 π

L12 = µµ a(ln

8ab− 2

);

dalam hal ini dilakukan perata-rataan terhadap harga b. Untuk mencari harga rata-rata ini bayangkanpada permukaan tersebut terdapat vektor posisi~r1dan~r2, masing-masing memnghubungkan elemenluas d f1 dan d f2 yang bertitik awal di titik tengah lingkaran, dan gantikan b2 = r2

1 + r22 − 2 r1 r2 cosϕ.

Dengan demikian berlaku:

ln b =1

r4 π2

∫∫d f1 d f2 ln b (6.1.11)

=2

r4 π

∫ r∫0

r1 r2 dr1 dr2 ln b∫ 2π∫

0

dϕ ln√

r21 + r2

2 − 2 r1 r2 cosϕ.

6.2. RANGKAIAN R L: DIAGRAM VEKTOR 157

Selanjutnya untuk r1 > r2 berlaku deret berikut yang dicari berdasarkan aturan deret karena ln (1 −

x) = −∞∑

n=1x2/n

ln√

r21 + r2

2 − 2 r1 r2 cosϕ = ln r1 +12

ln(1 −

r2

r1eiϕ

) (1 −

r2

r1e−iϕ

)= ln r1 −

∞∑n=1

(r2

r1

)n cos nϕn

.

Substitusikan deret di atas ke pers[6.1.11] dengan mengambil syarat r2 < r1 dan r2 > r1 dan akandiperoleh hasil perhitungan sbb:

ln b =4r4

r∫0

r1 dr1

r1∫

0

r1 dr1 +

r∫r1

r2 dr2

=

1r2

r∫0

r1 dr1

2 ln r −

1 −r2

1

r2

= ln r −

14.

Dengan demikian induktivitas diri untuk kawat berbentuk cincin diperoleh sebagai:

L = µµ a(ln

8ar−

74

). (6.1.12)

Sebagai contoh pandang sebuah kawat berjari-jari a = 5 cm dan r = 0, 05 cm, terbuat dari bahanbukan magnetik dan ditempatkan di udara, serta mempunyai L = 1/9 · 10−11 V det/A= 3, 10 · 10−7 H.

Catatan: Untuk menghitung induktansi diri dari suatu rangkaian arus listrik sederhana yang dicaridengan menggunakan hukum induksi I R =dI L/dt, dalam satuan G akan mempunyai bentukyang sama atau ditulis dalam relasi sbb:

L∗

L=

R∗

R= 4πε.

Relasi ini diperoleh dari pers[4.2.16]. Dalam hubungan ini, maka induktivitas 1 H adalah sesuaidengan 1/9 · 10−11 dalam sistem satuan G (det2/cm).

6.2 Rangkaian R L: Diagram Vektor

Pandang suatu sistem mengadung n kumparan dengan tahanan O R j dan gaya-gaya paksaanV(e)

j dan fluks induksiΦ j. Maka kuat arus-arus listrik I j secara umum dinyatakan melalui persamaansbb:

I j R j = V(e)j −

dΦdt. (6.2.1)


Jika kondisi yang dijelaskan pada § 6.1 terpenuhi, khususnya µ tidak bergantung pada kuat medan,makaΦ j berdasarkan pers[6.1.1] merupakan fungsi linier terhadap kuat arus dan jika rangkaian diam,maka induktivitas L jk tidak berubah terhadap waktu. Dari hukum induksi diperoleh n persamaanuntuk sistem yang dipandang:

I j R j +

n∑k=1

L jkdIdt= V(e)

j . (6.2.2)

Jika V(e)j sebagai fungsi waktu diketahui, maka dengan n persamaan simultan berorde satu ini, maka

dapat dicari kurva arus I sebagai fungsi waktu, I(t).Sebagai contoh pers[6.2.2] dapat lebih disederhanakan jika tidak mengandung gaya paksaan:

V(e)j = 0, sehingga diperoleh persaaan sbb:

I j R j + Ln∑

k=1

dIk

dt= 0

dengan penyelesaian:I = I et R/L.

Arus pada saat t = 0, yaitu I akan menurun secara eksponensial sebesar 1/e setelah waktu mencapaiR/L (disebut sebagai konstanta waktu rangkaian listrik). Jika di dalam rangkaian terdapat tegangandipaksakan V(e) = V cos ωt, maka berlaku persamaan:

I R + LdIdt= V cos ωt, (6.2.3)

dengan penyelesaiannya adalahI = I cos(ωt − ϕ). (6.2.4)

Maka pers[6.2.3] berubah dalam bentuk:I (cos ϕ + ωL sin ϕ) − V

cos ωt + I (R sin ϕ − ωL cos ϕ) sin ωt = 0,

relasi ini hanya akan memenuhi untuk sembarang t, jika masing-masing faktor dari cos ωt dansin ωt sama dengan nol. Dengan demikian akan diperoleh dua persamaan untuk I dan ϕ denganpenyelesaiannya adalah

I =V

√

R2 − ω2L2dan tan ϕ =

ωLR. (6.2.5)

√

R2 − ω2L2 dan ϕ masing-masing disebut sebagai impedansi dan sudut fase rangkaian listrik .Perhitungan untuk besaran-besaran arus bolak-balik lebih singkat dan jelas karena menggunakan

penulisan dalam bilangan kompleks dan gambaran grafis. Apabila suku real pernyataan arus padapers[6.2.4] ditulis dalam ”‘ kuat arus kompleks”’

I = I ei(ωt−ϕ), (6.2.6)


Gambar 6.1: Gambaran arus bolak-balik pada bidang kompleks.

maka besaran-besaran yang terkait dapat ditulis sebagai vektor pada bidang kompleks dengankomponen-komponennya adalah

Re I = I cos(ωt − ϕ) (6.2.7)Im I = I sin(ωt − ϕ)

(lihat gbr[6.1]). Panjang vektor adalah I, dengan sumbu real membentuk sudut ωt − ϕ. Untuk satuperiode titik akhir kurva akan membentuk lingkaran di sekitar titik pusatnya sedemikian, sehinggaproyeksi OA dari vektor pada sumbu real setiap saat memberikan harga arus listrik real sesuai denganyang diberikan pada pers[6.2.4].

Untuk perhitungan vektor demikian berlaku aturan sbb: (6.2.7)

Penambahan dua besaran A eiα dan B eiβ berlaku seperti halnya penambahan geometri biasa untukdua vektor, yaitu metode penambahan paralelogram. Perkalian dengan satuan imajiner i = eiπ/2

berarti rotasi dengan sudut sebesar 90 pada arah positif. Turunannya terhadap waktu t mempunyaiarti sama dengan kecepatan sudut ω dan sama artinya dengan perkalian iω.

Dari pers[6.2.6], arus bolak-balik yang terdapat pada pers[6.2.3] dapat ditulis kembali dalambentuk:

R I + iωL I = V(e).

yaitu persamaan yang menyatakan hubungan antara I dan V(e) (gbr[6.2] ). Untuk harga I sem-barang, dalam waktu R I adalah sama dengan OA. Vektor L dI/dt = iωL I dan terletak tegak lu-rus padanya (OB). Dari OA dan OB dapat ditentukan V(e) dengan penambahan geometris (OC).Jika dibayangkan gambaran di atas berrotasi dengan frekuensi sudut ω terhadap titik 0, maka dariproyeksi OA dan OC pada sumbu real sesaat akan diperoleh harga R I dan V(e). Pernyataan impedansidan fase yang diberikan pada pers[6.2.5] dapat dibaca secara langsung pada gbr[6.2]. Perbandingankompleks antara V(e)/I umumnya disebut sebagai tahanan bayangan R. Dalam kasus yang dipandangdi sini R = R + i ıωL. Karenanya impedansi adalah sama dengan R. Suku real dari R disebut sebagaitahanan real (Wirkwiederstand) dan bagian imajinernya disebut tahanan buta (Blidwiederstand).


Gambar 6.2: Diagram vektor untuk kumparan yang mengandung induktivitas diri dan tahanan.

Sebagai contoh selanjutnya pandang dua rangkaian dengan V(e) periodik pada salah satu darikedua rangkaian (transformator). Untuk kasus ini pers[6.2.2] ditulis dalam bentuk:

R1 I1 + L11dI1

dt+ L12

dI2

dt= V(e) (6.2.9)

R2 I2 + L21dI1

dt+ L22

dI2

dt= 0

Penyelesaian persamaan di atas analog dengan kasus yang telah dibahas sebelumnya untuk teganganbolak-balik V(e) = V eiωt dan arus I1 = I1 ei(ωt−ϕ1) dan I2 = I2 ei(ωt−ϕ2), yaitu:

I1

R2 + iωL22=

I2

−iωL21(6.2.10)

=V(e)

(R1 + iωL11)(R2 + iωL22) + ω2 L12 L21.

Dalam mendiskusikan rumusan ini akan dibatasi untuk transformator ideal dengan beban O”‘murni”’. Batasan ini dibuat dengan menganggap harga tahanan pada rangkaian primer sangatkecil (R1 ωL11) dan adanya penghubung (kopling) ideal antara rangkaian primer dan sekunder.Hal ini akan terpenuhi jika seluruh garis-garis induksi yang masuk pada salah satu rangkaian jugamelewati rangkaian lainnya. Pendekatan yang dapat dibuat untuk mencapai kondisi demikianadalah dengan cara mengguling kedua kumparan melalui satu inti magnet lunak sehingga keduanyaakan dilewati hampir semua garis-garis gaya medan magnet (lihat gbr[6.3]). Misalkan garis-garisinduksi yang berasal dari inti magnet adalah Φ =

∫Bd f , dengan N1 dan N2 (N2 N1), masing-

masing merupakan jumlah lilitan yang terdapat pada kumparan primer dan sekunder, sehingga garisinduksi yang melewati kedua kumparan adalah N1Φ dan N2Φ. Karena adanya hubungan yangtetap demikian, maka berlaku:

L11 : L12 : L22 = N21 : N1 N2 : N2

2; (6.2.11)

karenanya dapat ditulis L11 = N21 L dst. dan sebagai jumlah garis-garis induksi pada kumparan

pertama didapat:N1Φ = L11 I1 + L12 I2;


Gambar 6.3: Gambaran skematik transformator.

Gambar 6.4: Diagram vektor transformator ideal.

sehingga antara L dan Φ berlaku hubungan:

Φ = (N1 I1 +N2 I2) L.

Substitusikan hubungan di atas ke pers[6.2.10], sehingga diperoleh (untuk R1 → 0):

iωN21 LR2 I1

R2 + iωN22 L

= −N1 R2 I2

N2= V(e) = iωN1Φ. (6.2.12)

Dari pembahasan di atas selanjutnya terlihat bahwa fluks ditentukan hanya dapat ditentukandari tegangan primer V(e), bukan dari tahanan R2. Hal yang menentukan pada transformator adalahkenyataan, bahwasanya adanya perbedaan penurunan tegangan I2 R2 pada tahanan yang digunakanadalah dalam faktor N2/N1 1 terhadap tegangan paksaan V(e).


Gambar 6.5: Rangkaian R, L, C.

Diagram vektor transformator ideal dilukiskan pada gbr[6.4]: Dimulai dengan vektor Phi/Luntuk bagian fluks induksi yang melewati L melalui inti magnet. Terhadap vektor ini, bergesersekitar 90 terdapat vektor N2 I2 dan 90 lebih dulu dari V(e) terdapat vektor V(e) N2

2/N1 R2. Selan-juntnya vektor N1 I1 diperoleh sebagai perbedaan dari Φ/L − N2 I2. Pada penurunan harga R2,yaitu dengan bertambahnya I2 sehingga menyebabkan penambahan beban pada transformator, N1 I1akan mengalami rotasi terhadap Φ/L pada arah positif sedemikian, sehingga proyeksi vektor N1 I1pada arah tersebut akan tetap sama dengan Φ/L. Sementrara tahanan real pada kumparan primerbertambah, ”‘tahanan buta”’ tidak bergantung pada R2.

6.3 Rangkaian R L C

Segera di dalam suatu rangkaian arus bolak-balik dihubungkan dengan sebuah kondensator,maka arus akan terhenti, menjadi bebas sumber, selanjutnya dapat diketahui pada kondensatorterdapat akumulasi atau penurunan muatan yang diketahui dari gambaran arus yang ada di dalamrangkaian. Dengan demikian perhitungan konduktivitas untuk arus stasioner yang telah dibahaspada § 6.1, menurut persamaan ~∇× ~H = ~g tidak lagi berlaku; karena dalam hal di atas ~∇·~g = 0. Koreksiterhadap kesalahan ini akan dibahas secara rinci pada § 7.1. Selama jarak antara plat kondensatorsangat kecil, maka koreksi dari persamaan ini dapat diabaikan, akan tetapi dalam menggunakanhukum induksi, seperti akan terlihat nantinya, akan terdapat ketidakpastian penggunaannya secarapraktis.

Pandang suatu seri rangkaian clock pada gbr[6.5] yang mempunyai tahanan R, kapasitansi C daninduktivitas diri L yang dihubungkan dengan sumber tegangan V(e) yang ditempatkan antara titik Adan B pada rangkaian. Maka arus yang mengalir di dalam rangkaian diberikan sebagai:

R I =

2∫1

(~E + ~E(e)) · d~r dengan∫

12 ~E(e)· d~r = V(e),

dengan integral garis untuk pengisian kondensator 1 melalui BARL untuk pengisian kondensator 2.

6.3. RANGKAIAN R L C 163

Gambar 6.6: Diagram vektor untuk susunan rangkaian pada gbr[6.5].

Maka berlaku:2∫

1

E dr = ϕ1 − ϕ2 +

∮E(ind) dr = V12 − L

dIdt,

yaitu tegangan elektrostatik pada kondensator. Karena pada suku induksi jalan integrasi harustertutup, maka hasil integral pada ruas kanan yang menyatakan integral daerah antara kedua platkondensator dapat diabaikan.

Dalam hal ini daerah integrasi tertutup dapat dipilih secara bebas, bergantung pada pelilihantempat di dalam kondensator. Dalm perlakuan perhitungan di atas suku induksi L dianggap se-bagai konstanta, maka bagian yang mengandung medan magnet yang terdapat antara pengisiankondensator dapat diabaikan.

Sebagai hasil akhir diperoleh persamaan:

R I + LdIdt− V12 = V(e). (6.3.1)

Selanjutnya arus I adalah sama dengan perubahan muatan yang terdapat di dalam kondensatorterhadap waktu. Jika kondensator dianggap mempunyai kapasitansi C, maka

I = −CdV12

dt. (6.3.2)

Untuk arus bolak-balik dengan perubahan terhadap waktu seperti dinyatakan pada pers[6.2.6], yaituI ∼ V(e)

∼ eiωt, menghasikan persamaan:

R I + iωL I − Ci IωC

= V(e). (6.3.3)

Dari hasik perhitungan ini dapat dibuat diagram vektor untuk mencari hubungan antara I dan V(e),seperti dilukiskan pada gbr[6.6].

Dari pers[6.3.3] diketahui tahanan bayangan R = R+ i (ωL−1/ωC), dan sebagai impedansi adalah√R2 + (ωL − 1/ωC)2. Relasi terakhir mempunyai maksimum pada ω = 1/

√LC dan dibatasi untuk


harga R yang kecil. Apabila tegangan V(e) mengandung tumpangtindih dari beberapa frekuensisedemikian, maka arus I khususnya hanya akan mempunyai frekuensi yang dekat dengan ”‘frekuensieigen”’ tersebut. Dengan perkataan lain, dalam kasus seperti ini terjadi resonansi antara frekuensitegangan dan frekuensi yang disebut sebagai frekuensi getaran eigen dari rangkaian RLC.

Jika titik A dan B dihubungkan dengan sebuah kawat yang relatif tebal (lihat gbr[6.5]), ataudengan perkataan lain A dan B dihubungsingkat, maka V(e) akan sama dengan nol. Maka pers[6.3.1]dan [6.3.2], setelah mengeliminasi V12 dapat ditulis sebagai:

Ld2Idt2 + R

dIdt+

IC= 0. (6.3.4)

Penyelesaian umum persamaan ini memberikan hasil:

I = a1 ek1t + a2 ek2t, dengank1, 2 = −R2L±

√( R2L

)2−

1LC. (6.3.5)

Diperoleh suatu pelepasan muatan periodik jika R/2L < 1/√

LC dan pelepasan muatan aperiodikjika R/2L > 1/

√LC. Kemudian didefinisikan:

δ =R2L

dan ω =1

LC, (6.3.6)

maka untuk kasus pelepasan muatan periodik didapat

I = A e−δt sin(√

ω2 − δ2t + ψ

),

dan untuk kasus pelepasan muatan aperiodik:

I = a e−(δ+√δ2−ω2

)t + b e−(δ−√δ2−ω2

)t.

Getaran teredam lemah khususnya mempunyai banyak kegunaan secara praktis. Getaran iniakan terjadi jika δ mempunyai jarga sangat kecil dibanding dengan ω, sehingga δ2 dapat diabaikandibandingkan dengan ω2. Untuk kasus ini diperoleh persamaan:

I = A e−δt sin (ωt + ϕ),

dengan periode getaran T = 2π/ω = 2π√

LC dan logaritma dekremen D = δT = πR√

C/L yaitusebagai perbandingan amplitudo dua getaran berurutan; 1/D memberikan harga jumlah getaransetelah amplitudo getaran mengalami mengecil sebesar 1/e dari amplitudo semula.

Sebagai contoh pandang botol Leiden berjari-jari R = 5 cm, dengan tebal dinding 0, 2 cm dan tinggih = 20 cm. Berdasarkan rumusan kapasitansi dari kondensator plat diketahui bahwa C = εεF/d,diketahui pula bahwa ε = 5 (untuk gelas) dan F = 2π r h + π r2, sehingga secara keseluruhannyadidapat C = 1, 56 · 10−9 F. Sebagai kawat penutup secara sederhana digunakan kawat tembagaberbentuk lingkaran dengan ukuran seperti dibahas pada § 6.1 atau dengan induktivitas diri L =3, 10 · 10−7 H. Tahanan Rdapat dicari dengan mengetahui ukuran penampang lintang dan panjang

6.4. KEKEKALAN ENERGI SISTEM BERARUS LINIER 165

kawat: dengan % = 1, 54 · 10−8Ωm untuk Cu maka diperoleh R = 6, 2 · 10−3Ω. Dengan harga-hargakapasitansi, induktivitas dan tahanan di atas, dari pers[6.3.6] didapat:

ν =ω2π= 7, 2 · 106 det−1 dan δ =

R2L= 1, 0 · 104 det−1.

Frekuensi ν sesuai dengan panjang gelombang λ = c/ν = 42 m; jumlah getaran hingga amplitudogetaran mengalami redaman sebesar 1/e dari amplitudo semula adalah ν/δ = 1/D = 720.

Jika timbulnya getaran dirangsang dari pelepasan muatan melalui percikan bunga api, akandiperoleh adanya redaman yang besar karena membesarnya harga R dari adanya bunga api. Akantetapi kenyataannya tanpa timbulnya bunga api sekalipun harga R telah besar, yaitu karenaadanyaefek S yang akan dibahas pada § 8.5, yaitu adanya penurunan arus di permukaan kawat yangterjadi pada frekuensi tinggi.

Catatan: Karena C∗/C = 1/4πε dan L∗/L = 4πε, maka frekuensi eigen dari rangkaian osilator inidalam sistem satuan yang dipandang di sini dapat diberikan secara sama:

ω =1√

LC=

1√

L∗ C∗.

6.4 Kekekalan Energi Sistem Berarus Linier

Untuk melengkapi pembahasan elektrodinamika arus kuasi stasioner akan dibahas energi yangberhubungan dengan sistem demikian. Pembahasan akan dimulai dari beberapa persamaan dasaryang berlaku untuk arus linier, seperti yang ditulis pada pers[6.2.1], [6.3.1] dan [6.3.2] dalam bentuk:

V(e)j = R j I j +

dΦ j

dt− V j dengan I j = −C

dV j

dt. (6.4.1)

I j V(e)j merupakan daya yang terdapat pada komponen rangkaian ke j di mana terdapat tegangan

paksaan dan mengalir arus, sehingga jumlah pertambahan energi akibat semua tegangan paksaanpada sistem akan diperoleh dengan mengalikan pers[6.4.1] dengan I j dt dan dijumlahkan terhadapsemua komponen yang terdapat di dalam rangkaian. Maka pada ruas kanan akan muncul jumlahtotal panas J selama waktu dt, yaitu

∑R j I2

j . Jika suku ruas kanan ini dipindahkan ke ruas kiri,maka akan didapat bahwa energi yang ditambahkan ke dalam rangkaian dikurangi panas J:

dW =∑

I j V(e)j dt −

∑R j I2

j dt =∑

I j dΦ j −∑

I j V j dt. (6.4.2)

Suku terakhir pada ruas kanan persamaan telah dikenal dalam elektrostatik:

−

∑I j V j dt =

∑C j V j dt = dUel dengan dUel =

12

∑C j V j dt. (6.4.3)

Uel tidak lain adalah energi medan yang tersimpan di dalam seluruh kondensator yang terdapat disistem, dalam hal ini tentunya dibuat untuk memisahkan dengan energi dalam dan energi bebas


yang terdapat pada sistem. Sebagian dari W digunakan untuk menambah energi ini. Karenanyaramalan untuk memperoleh kembali energi W dari pertambahan energi elektromagnetik Um dansisanya sebagai kerja dA yang dapat diperoleh dari timbulnya arus di dalam kawat (misalkan didalam motor listrik): ∑

I j dΦ j = dUm + dA. (6.4.4)

Maka hukum kekekalan energi pers[6.4.2] dapat ditulis kembali dalam bentuk berbeda, yaitu:

dW = d (Uel +Um) + dA. (6.4.5)

Dengan demikian besaran dUm dan dA dapat diperoleh.Selanjutnya pandang suatu kawat yang dialiri arus dalam sistem yang tetap. Maka tidak akan

terdapat kerja mekanis dalam sistem (dA = 0). Dalam hal ini induktivitas L jk sistem akan tetapkonstan, sehingga dari pers[6.1.1]

∑I j dΦ j =

∑∑L jk I j dIk = d

12

∑∑L jk I j Ik

.Untuk kasus ini, berdasarkan pers[6.4.4] didapat energi magnetik sbb:

Um =12

∑∑L jk I j Ik. (6.4.6)

Bahwasanya rumusan ini merupakan energi medan magnet sebenarnya, akan dibahas lebih jauhpada § 7.2. Di sini hanya akan dipandang energi medan magnet yang tersimpan di dalam sebuahkumparan berbentuk garis lurus, yaitu dengan menggunakan pers[6.1.3] untuk induktivitas diriH = N I/l, sehingga energi medan magnet dapat dinyatakan sebagai:

Um =L I2

2=µµN2 q I2

2=

H B q l2

, (6.4.7)

dan karena volume kumparan sesuai dengan q l, maka rumusan di atas adalah sesuai dengan energimedan elekrostatik.

Selanjutnya akan dibahas energi dari sistem rangkaian osilator yaitu dalam bentuk seperti yangdibicarakan pada § 6.3, untuk kasus di mana harga tahanan kecil sehingga menyebabkan osilatormengalami redaman lemah. Dalam hal ini, sehubungan dengan pers[6.4.5], yaitu dW = 0, dA =0, terjadi peralihan energi elektromagnetik secara periodik dari kondensator dan induktivitas diri(kumparan) bolak-balik. Dengan I = I cos ωt dari pers[6.3.4] dan [6.4.6] dengan memperhatikankembali persamaan kedua pada pers[6.4.1]

Uel =I2

2ω2 C

sin2 ωt, Um =L I2

2cos2 ωt,

dan karena untuk kasus ini ω2 = 1/LC kenyataannya akan diperoleh bahwa Uel +Um =konstan.

Sekarang pandang kasus di mana masing-masing komponen rangkaian atau sebagian diantaranyamengandung bahan (bukan magnetik) yang dapat bergerak saling berlawanan. Posisi sesaat dari


komponen yang dapat bergerak dari sistem misalkan dinyatakan melalui parameter a1, a2, · · · , as.Misalkan sebuah kawat yang paralel terhadap sumbu x dapat digeser, maka a1 dapat merupakan ko-ordinat dari sumbu x pada kawat tersebut. Selanujutnya didefinisikan parameter ar yang berhubun-gan dengan gaya Fr dan diketahui pula bahwa pada perubahan parameter ar sebesar dar akanterdapat kerja yang berasal dari sistem sebesar Fr dar. Jika parameter ar adalah jarak, maka Fr harus-lah merupakan gaya dalam arti sebenarnya; apabila ar adalah menyatakan sudut, maka Fr harus-lah momen putar (momen gaya). Jika perubahan posisi sistem dinyatakan sebagai fungsi waktua1(t), a2(t), · · · , as(t), maka diperlukan kerja yang berasal dari medan sebesar

dA =s∑

r=1

Fr dar. (6.4.8)

Untuk menentukan Fr dapat diperoleh dari hukum kekekalan energi (pers[6.4.4]), yaitu denganmensubstitusikan harga Φ j untuk Um yang didapat dari pers[6.1.1] dan amati pula bahwa L jk adalahsebagai fungsi dari ar(t). Maka didapat

dA =

n∑j=1

I j dΦ j − dUm

=12

Fr

n∑j=1

n∑k=1

I j Ik dL jk

dengan dL jk =

s∑r=1

∂L jk

∂ ardar

Kemudian persamaan di atas dibandingkan dengan pers[6.4.8], maka berlaku bahwa

Fr =12

n∑j=1

n∑k=1

I j Ik∂L jk

∂ ar=∂Um

∂ ar, (6.4.9)

dengan menganggap I j konstan dalam menurunkan secara parsial terhadap ar.Secara khusus harus pula diperhatikan tanda yang terdapat pada pers[6.4.9]. Jika di dalam

mekanika biasa energi potensial dinyatakan sebagai fungsi koordinat posisi, maka Fr dapat diperolehsebagai minus turunan energi potensial terhadap koordinat, dihitung dari koordinat yang menjadipokok perhatian. Akan tetapi pada pers[6.4.9] gaya Fr merupakan turunan positif energi magnetikterhadap koordinat. Sementara di dalam mekanika gaya-gaya yang mempunyai kelakuan sepertidemikian adalah gaya-gaya yang tetap bekerja pada arah tertentu dengan menurunnya energi poten-sial, atau dengan perkataan lain daya yang digunakan kerja berasal dari energi tersebut; sepertihalnya dalam kasus ini, gaya elektromagnetik mempunyai kelakuan yang berlawanan dengan gayadalam mekanika; gaya ini bekerja pada arah tertentu dengan bertambahnya energi medan magnet.

Hal yang jelas-jelas dapat diamati adalah jika selama terjadinya gerak kuat arus dibiarkan konstan,yaitu dengan mengubah gaya paksaan (memutus hubungan atau dengan mematikan akumulator).Maka dI j/dt = 0 untuk semua j, sehingga dari pers[6.4.8] dan [6.4.9] diperoleh

dA =12

s∑r=1

∂Um

∂ ardar = (dUm)I j=konstan.


Dalam kasus ini energi medan akan bertambah persis sama dengan kerja yang digunakan. Se-hingga akan terdapat energi sebesar 2 dA karena adanay penambahan daya melalui tegangan paksaandengan pertolongan kuat arus konstan.

Dari pers[6.4.9], karena arah gaya mekanik yang disebutkan di atas, bahwa setiap kawat yang di-aliri arus berusaha untuk dapat menghasilkan fluks induksi terbesar yang bersesuaian. Maka rangka-ian pertama hanya mungkin mengalami pergeseran atau deformasi yang diberikan oleh parametera1(t), sementara rangkaian lainnya tetap diam, sehingga gaya F1 yang terdapat pada rangkaian 1,berdasarkan pers[6.4.9] berlaku

F1 =12

n∑k=1

I1 Ik∂L1k

∂ a1+

12

n∑j=1

I j I1∂L j1

∂ a1= I1

dφ1

da1, (6.4.10)

dalam hal ini hanya L jk = Lkj yang bergantung pada a1, yaitu hanya j atau k saja yang dapat berharga1. Gaya yang terdapat pada rangkaian pertama ”‘pada arah”’ koordinat a1 akan meningkat sesuaidengan mengingkatnya harga I1, demikian pula fluks Φ1 dengan bergesernya rangkaian pada araha1 dan arus yang tetap konstan.

Dengan cara analog seperti dibicarakan pada § 5.1, dapat dicari gaya yang bekerja pada suatukonduktor dialiri arus. Suatu potongan konduktor berukuran δ~r, misalkan dengan pertolongankontak pelicin dapat bergerak bebas sejauh ~s; misalkan pergeseran posisi pada arah tersebut adalaha~s, sehingga terbentuk luas a~s × δ~r. Dengan demikian fluks induksi akan bertambah sejumlaha(~s × ~r) · ~B. Komponen gaya pada arah ~s yang terdapat pada elemen posisi δ~r dari pers[6.4.10]menjadi:

δ ~Kr = I (~s × δ~r) ~B = I~s(δ~r × ~B),

sehingga untuk gaya ~K sendiri, sesuai dengan pers[5.1.11] adalah

δ ~K = I (δ~r × ~B).

Pada penurunan gaya yang berpengaruh pada kawat yang dialiri arus listrik melalui hukumkekekalan energi telah digunakan hukum fluks induksi untuk kasus kawat melingkar yang bergerakdi dalam medan magnet. Dalam hal ini telahpun dibicarakan penurunan rumusan ini melalui hukuminduksi fluks pada § 5.3 dengan menggunakan gaya L. Patut pula dijelaskan bahwa untukmenghindari adanya kesalahpahaman, baik hukum gaya pada pers[5.1.11], demikian pula perny-ataan pers[5.1.2] untuk gaya L dan juga hukum induksi fluks pada kawat melingkar yangbergerak harus ditempatkan suatu rumusan yang diperoleh dari pengalaman; sedangkan hukum-hukum lainnya dapat diturunkan dari rumusan tersebut.

Sebagai penutup pembahasan ini pandang suatu perhitungan teknis berikut. Rumusan energisecara lengkap dalam pembahasan bab ini merupakan penentuan derajat dua dari medan elektro-magnetik. Melalui rumusan tersebut kelakuan arus bolak-balik, khususnya penggunaan bilangankompleks yang telah dibahas pada § 6.2, merupakan pengamatan khusus.

Untuk arus bolak-balik I = I cos ωt, secara alamiah mempunyai harga rata-rata I = 0, sementaraharga rata-rata arus kuadrat I2 = I2

/2. Secara teknis ampitudo arus I diberikan sebagai amplitudoefektif Ief = I/

√2; sehingga panas J dapat dinyatakan sebagai R Ief.


Seandainya di dalam suatu rangkaian listrik terdapat tegangan paksaan V(e) = V cosωt yangmempunyai beda fase ϕ terhadap arus I = I cos(ωt − ϕ), maka daya yang dinyatakan dalam gayagerak listrik atau GGL (emf) adalah

V(e) I = V I cos(ωt − ϕ) cos ωt =12

V I cos ϕ,

Rumusan terakhir pada ruas kiri persamaan di atas didapat dari cos(ωt−ϕ) cos ωt = cosωt sin cosϕ−sinωt sinϕ. Pada gbr[6.2] yang melukiskan karakteristik rangkaian RL, dapat disimpulkan bahwadaya GGL ini haruslah sama dengan panas J yang timbul setiap saat yang digunakan. Rumusanuntuk ini akan diperoleh jika pers[6.2.3] dikalikan dengan I dan dirata-ratakan dalam 1 periode, dimana suku yang menyatakan induktivitas LI dI/dt sama dengan nol. Dalam teknik arus bolak-balikbesaran V(e) I = V I(cosϕ)/2 disebut sebagai daya real, sebaliknya suku V(e) IdI/dt = V I(sinϕ)/2disebut sebegai daya buta, sesuai dengan istilah tahanan R = R + iωL yang dibicarakan pada § 6.2,dengan R sebagai tahanan real dan ωL adalah tahanan buta.

Jika kuat arus I tidak dinyatakan dalam fungsi waktu secara real, melainkan dalam pengertiandiagram vektor I = I eiωt, demikian pula dengan tegangan V = V eiωt, maka pernyataan-pernyataanyang telah diberikan di atas dapat diberikan dalam penulisan kompoleks. Sebagai catatan untuk itubagian real dari arus dan tegangan diberikan sebagai:

Re I =12

(I + I∗), Re V =12

(V + V∗);

dalam pernyataan di atas tanda ∗ berarti sebagai besaran konygat-kompleks. Maka

(Re I)2 =14

(I2 + 2 I I∗ + I∗2) =12

I I∗2,

harga rata-rata I2 dan I∗2 karena ketergantungannya terhadap waktu adalah akan sama dengan nol.Analog dengan di atas didapat pula

Re V Re I =14

(V I + V I∗ + V∗ I + V∗ I∗) =14

(V I∗ + V∗ I).

Metode perhitungan ini berguna untuk mencari daya tanpa secara khusus harus menentukan cos ϕ;sedangkan pergeseran (perbedaan) fase antara arus dan tegangan dapat diperoleh secara langsungdari amplitudo kompleks I dan V.


39 [] Suatu kumparan berisi udara dengan induktivitas diri 0,3 H dan tahanan real 20Ω dihubungkan dengan teganganVef = 220 V dan frekuensi 50 Hz. Berapa jumlah panas yang akan diperoleh pada kumparan setiap detiknya ?

jawab: 1490 cal/menit= 104 W.

40 [] Sebuah tahanan 10Ω, sebuah kumparan dengan induktivitas diri 0,5 H dan sebuah kondensator dengan kapasitansi0,5 µF dirangkaikan secara seri dengan tegangan Vef = 220 V dan frekuensi 50 Hz. Berapa besar arus efektif, pergeseranfasenya terhadap tegangan, daya real dan daya buta yang terdapat pada rangkaian ?

jawab: Ief = 0, 0354 A; ϕ = 89 54, 5′ (lebih dahulu); daya real = 0, 0125 W dan daya buta = 7, 79 W.


41 [] Pada ”rangkaian bintang” suatu sistem tiga arus bolak-balik sinusoida mengalir pada tiga kawat yang salingdihubungkan pada satu titik (”titik bintang”), dengan frekuensi dan amplitudo yang sama, akan tetapi dengan perbedaanfase masing-masing sebesar 120. Tunjukkan bahwa jumlah arus setiap saat yang terdapat pada ”titik bintang” adalahsama dengan nol.

jawab: I = I sin ωt + sin(ωt − 2π/3) + sin(ωt − 4π/3) = 0.

42 [] Tiga kumparan mempunyai simetri bintang, tersusun melalui satu titik dengan masing-masing sumbu kumparansaling berpotongan; ketiga kumparan dialiri arus dengan sistem tiga fase. Ketiga kumparan menyebabkan adanya kuatmedan magnet bergantung waktu yang terdapat di ”titik bintang” berbentuk sinusoida dengan arah sesuai dengan arahsumbu kumparan. Bagaimana bentuk resultan medan magnet di ”‘titik bintang”’ tersebut ?

jawab: Kuat medan magnet melingkar mempunyai harga konstan H = 3H/2, dengan H adalah medan magnet yangditimbulkan oleh masing-masing kumparan.

43 [] Suatu kumparan dengan L = 1 H dan R = 1Ω pada saat t = 0 dihubungkan dengan sebuah bateri dengan tegangankonstan V(e). Cari kurva arus terhadap waktu. Berapa lama waktu diperlukan agar arus stasioner berkurang hingga /

?

jawab: I = V/R (1 − e−Rt/L). Waktu yang diperlukan untuk penurunan arus adalah 6,9 det.

44 [] Dua kumparan yang praktis tanpa tahanan dengan induktivitas masing-masing L1 dan L2 dihubungkan dengan satukondensator berkapasitansi C. Berapa besar frekuensi eigen sistem rangkaian ini dan bagaimana kelakuan I1 dan I2 satuterhadap lainnya ?

jawab: Frekuensi eigen:

ω =

√1C

( 1L1+

1L2

);

perbandingan arus adalah: I1 : I2 = L2 : L1.

45 [] Dua rangkaian osilator praktis tanpa tahanan dengan kapasitansi C1 dan C2, demikian pula induktivitas diriL1 ≡ L11, L2 ≡ L22 berhubungan secara induktif meyebabkan timbulnya induktivitas L12. Berapa besar frekuensi eigensistem rangkaian ini ? Harga apa saja yang dapat dihubungkan dengan kopling lemah dan kuat ? Dengan harga berapaakan diperoleh frekuensi eigen ω1 = 1/

√L1C1 dan ω2 = 1/

√L2C2 dengan memutuskan kedua rangkaian osilator secara

pendekatan akan mempunyai harga yang sama ?

jawab: Dengan frekuensi ω1 dan ω2 dua rangkaian osilator yang terpisah sepenuhnya dan dengan konstanta koplingκ = L2

12/L1 L2 akan diperoleh frekuensi eigen untuk ω dan ω2 dari persamaan kuadrat

(ω2− ω2

1)(ω2− ω2

2) − κω4 = 0. (6.4.11)

Untuk kopling lemah κ 1 diperoleh kedua penyelesaian

ω(1) = ω1

(1 +

κω21

2(ω21 − ω

22)+ · · ·

)ω(2) = ω2

(1 +

κω22

2(ω21 − ω

22)+ · · ·

)selama |ω2

1−ω22| κω2

1 atau κω22. Untuk kopling kuat (κ ≈ 1, L2

12 ≈ L11 L22; lihat kembali pers[6.2.10]) salah satu frekuensieigen akan menuju takberhingga dan lainnya akan mendekati 1/

√L1C1 + L2C2, berarti pula bahwa 1/ω2 = 1/ω2

1 + 1/ω22.

Untuk kasus ω1 = ω2 kedua penyelesaian ω(1,2) = ω/√

1 ±√κ.

Bab 7

Persamaan Dasar Medan Elektromagnetik

7.1 Penyempurnaan Persamaan Maxwell

Pada bab ini akan dibahas persamaan Maxwell lebih lengkap yang berlaku untuk benda diam.Untuk itu pembahasan akan diawali dengan hukum Oersted yang telah dibicarakan pada § 6, yaitu:

~∇ × ~H = ~g (7.1.1)

yang berlaku untuk kuat medan magnet yang disebabkan oleh arus stasioner, khususnya dibatasiuntuk kawat yang dialiri arus tidak tertutup, melainkan misalnya bermuara pada sebuah konden-sator. Pada posisi tersebut kerapatan arus ~g tidak akan sama dengan nol, sementara pada ruas kiripers[7.1.1] karena ~∇ ·~r = 0 tetap tidak mengandung sumber. Apabila diinginkan suatu persamaanlengkap yang menyatakan keadaan sebenarnya, haruslah dicari suatu hubungan baru atau denganmenambahkan suatu suku lain pada ruas kanan yang juga sebagai vektor tanpa sumber. Maxwellmemilih batasan kedua, seperti telah ditunjukkan penurunan pada § 4.1, ia menyatakan vektor ker-apatan arus pada pers[7.1.1] ~g dengan suatu vektor baru yang didefinisikan pada pers[4.1.8] sbb:

~c = ~g +∂~D∂t. (7.1.2)

Karenanya disamping pers[7.1.1] diperoleh pula persamaan sbb:

~∇ × ~H = ~c = ~g +∂~D∂t, (7.1.3)

dan karena

~∇ ·~c = ~∇ · ~g +∂~∇ · ~D∂t

= ~∇ · ~g +∂%

∂t= 0

yang juga benar secara matematis.Pengenalan turunan partial vektor pergeseran terhadap waktu, ∂~D/∂t pada persamaan dasar

elektromagnetik adalah sebagai inti dari teori yang dikembangkan Maxwell. Titik tolak ini merupakansatu-satunya, juga hal yang menentukan, meramalkan isi yang terdapat di dalam teori tersebut dansekaligus membedakan isi teori Maxwell dan teori pengaruh jangkau jauh yang telah dikembangkan

171

172 BAB 7. PERSAMAAN DASAR MEDAN ELEKTROMAGNETIK

terlebih dahulu. Adanya pengaruh medan magnet yang timbul dan menyebabkan timbulnya aruspergeseran, seperti dinyatakan pada pers[7.1.3], karena diturunkan secara matematis murni sukardibuktikan melalui percobaan, akan tetapi dengan menggunakan kondensator (pelepasan muatankondensator) peristiwa tersebut dapat dibuktikan keberadaannya. Di samping itu teori ini telahberhasil membuktikan rambatan gelombang elektromagnetik dengan sangat memuaskan dan tidak dapatdisangkal lagi kebenarannya. Rambatan gelombang elektromagnetik ini, seperti akan dilihat pada§ 8 nantinya, dapat diturunkan melalui suku tambahan pers[7.1.2], walaupun di vakuum sekalipuntidak akan berharga nol dan karenanya untuk kasus ~g = 0 akan menyebabkan adanya medan magnetturbulen.

Andaikan hukum Oersted yang mengalami modifikasi pada pers[7.1.3] masih ditambahkanhukum fluks induksi, agar terdapat ramalan tentang sumber ~D dan ~B, maka akan diperoleh em-pat persamaan dasar yang saling simetri sbb:

(I) ~∇ × ~H =∂~D∂t+ ~g, (7.1.4)

(II) ~∇ · ~D = %,

(III) ~∇ × ~E =∂~B∂t,

(IV) ~∇ · ~B = 0

yaitu sebagai bentuk akhir persamaan Maxwell untuk media tidak bergerak. Dengan mengeliminasi ~Dpada (I) dan (II), akan diperoleh persamaan kontinuitas:

∂ %

∂ t+ ~∇ · ~g = 0, (7.1.5)

dan berarti pula bahwa persamaan kontinuitas ini tetap memenuhi persamaan Maxwell, yang ten-tunya dapat dimengerti dari penurunan pers[7.1.3] di atas. Patut pula diketahui bahwa keempatpersamaan Maxwell ini tidak seluruhnya saling tidak bergantung satu sama lain. Dengan memben-tuk divergensi pada persamaan (III) akan diperoleh turunan parsial ~B terhadap waktu haruslah akansama dengan nol; persamaan (III) dapat pula memenuhi persamaan (IV) untuk seluruh waktu, se-lama (IV) hanya memenuhi suatu ”‘titik waktu”’ tertentu di seluruh ruang. Seperti halnya persamaanlainnya, dengan membentuk divergensi persamaan (I) dengan menggunakan persamaan kontinuitasakan diperoleh turunan terhadap waktu persamaan (II).

Antara keempat besaran medan pada teori Maxwell terdapat pula dua persamaan yang dapatsaling berhubungan, yaitu:

~D = ε ~E + ~P dan ~B = µ (~H + ~M). (7.1.6)

Dalam hal ini vektor polarisasi ~P dan magnetisasi ~M dipandang sebagai fungsi medan yang dapatditilik dari pandangan teori elektron. Pandangan ini mengungkap hal yang selalu dipandang pentinglain dan pandangan tersebut lebih memberikan makna dari pandangan teori elektron, bahwasanyakarena besaran ~D dan ~H tidak dapat ditentukan secara langsung dari keempat persamaan Maxwellpada pers[7.1.4], maka demikian pula besaran ~P dan ~M; maka kedua besaran terakhir ini hanya

7.1. PENYEMPURNAAN PERSAMAAN MAXWELL 173

dapat ditentukan oleh besaran-besaran medan ~E dan ~B yang dapat diukur secara langsung, untukselanjutnya akan diperoleh dua besaran turunan lainnya (~D dan ~H). Selanjutnya didapat empatpersamaan Maxwell dalam ~E: dan ~B:

~∇ × ~B = µ ε∂~E∂t+ µ

~g + ∂ ~P∂t+ ~∇ × ~M

, (7.1.7)

~∇ · ~E =1ε

(% − ~∇ · ~P),

~∇ × ~E =∂~B∂t,

~∇ · ~B = 0.

Pada persamaan di atas selain muncul kerapatan arus sebenarnya ~g, juga terdapat kerapatan aruspolarisasi ~gP = ∂~P/∂t dan kerapatan arus magnetisasi ~gM = ~∇ × ~M, sementara kerapatan muatansebenarnya % adalah dapat dibatasi dengan kerapatan muatan polarisasi %P = −~∇ · ~P. Dalam halini selain kerapatan arus ~g dan ~gM, seperti telah dibicarakan pada § 5.5, juga diperoleh kerapatanarus polarisasi ~gP; munculnya kerapatan-kerapatan arus seperti di atas adalah akibat pengandaiantambahan dalam suku persamaan Maxwell (pers[7.1.3]).

Terlihat bahwa persamaan Maxwell yang dinyatakan pada pers[7.1.7] tidak sepenuhnya salingtidak bergantung satu sama lain, terpaut pada perhitungan berikut: Untuk enam besaran medan ~Edan ~B dari pers[7.1.7] akan didapat delapan persamaan. Pada kenyataannya persamaan-persamaantersebut dapat diperoleh dengan membentuk divergensi pada kedua persamaan yang mengandung~∇ × ~B dan ~∇ × ~E dan turunan terhadap waktu dari kedua persamaan divergensi ini haruslah samadengan nol. Untuk mencari persamaan yang sama sekali saling tidak bergantung dapat diperolehjika dua pernyataan medan:

~B = ~∇ × ~A dan ~E = −∂~A∂t− ~∇ϕ (7.1.8)

yang telah dikenal dari § 5.4, yaitu selain dinyatakan dalam potensial vektor ~A juga dinyatakan dalampotensial skalar ϕ dan dengan memperhitungkan untuk kasus elektrostatik (~A = 0). Kemudian duapersamaan terakhir pada pers[7.1.7] dengan sendirinya akan pula terpenuhi; dari dua persamaanpertama pers[7.1.7] dapat ditentukan ~A dan ϕ yang satu sama lain tidak mempunyai hubungan:

~∇ × ~∇ ~A + ε µ∂2~A∂t2 + ε µ

~∇∂ϕ

∂t= µ

~g + ∂~P∂t+ ~∇ × ~M

,~∇ ·

∂ ~A∂ t+ ~∇ · ~∇ϕ = −

1ε

(% − ~∇ · ~P). (7.1.9)

Relasi yang dibentuk dengan tidak begitu jelas di atas dapat ditambahkan harga sembarang pada~∇ · ~A sehingga akan diperoleh pernyataan yang lebih jelas lagi; karena penambahan harga tersebutdimungkinkan dan dapat diterima, yaitu dengan menambahkan setiap vektor medan ditentukan


melalui pemberian turbulensi dan sumbernya. Untuk itu didefinisikan apa yang disebut sebagai:

KonvensiCoulomb ~∇ · ~A = 0, (7.1.10)

kemudian relasi kedua pada pers[7.1.9] diubah dalam bentuk rumusan elektrostatik ~∇2ϕ =−(% + %P)/ε. Secara umum biasanya, sebagai relasi kedua didefinisikan, rumusan pada pers[7.1.9]dinyatakan dalam:

KonvensiLorentz ~∇ · ~A + ε µ∂ϕ

∂ t= 0. (7.1.11)

Karena ~∇ × ~∇ × ~A = ~∇(~∇ · ~A) − ~∇2~A, maka pers[7.1.9] dapat ditulis kembali dalam bentuk:

~∇2~A − ε µ∂2~A∂ t2 = µ

~g + ∂ ~P∂t+ ~∇ × ~M

(7.1.12)

~∇2 ϕ − ε µ∂2 ϕ

∂ t2 = −1ε

(% − ~∇ · ~P

),

yang menjadi dasar persamaan gelombang sehingga nantinya dapat dibuktikan secara langsung dariteori cahaya yang tidak lain adalah gelombang elektromagnetik sendiri.

Bentuk rumusan lebih sederhana adalah untuk vakuum, dengan ~P dan ~M sama dengan noldan hanya dipersoalkan muatan dan arus yang terisolasi. Suatu bentuk sederhana dari persamaanpenghubung antara empat vektor medan ~E, ~D, ~H dan ~B diperoleh pula untuk kasus media isotropyang dapat mengalami polarisasi dan magnetisasi normal:

~D = ε ε ~E, dan ~B = µµ ~H, (7.1.13)

dengan permittivitas dan permeabilitas relatif ε dan µ. Juga apabila relasi di atas selalu digunakan,tentunya telah dimengerti bahwa relasi tersebut, sebaliknya jika dibandingkan dengan pers[7.1.6],tidak berlaku umum (terbatas) dan bahwa persamaan ini berlaku hanya untuk kasus medan berubahterhadap waktu dengan cepat, selain itu dapat dibuktikan pula bahwa relasi tersebut tidak dapat di-gunakan untuk kasus gelombang elektromagnetik. Dengan cara bagaimana persamaan penghubungpers[7.1.13] harus diubah, akan dibahas nanti pada § 8.2.

Catatan: Dalam sistem Gauss keempat persamaan Maxwell pada pers[7.1.4] menjadi:

(I) ~∇ × ~H∗ =1c∂~D∗

∂t+

4π~g∗

c, (7.1.14)

(II) ~∇ · ~D∗ = 4π%∗,

(III) ~∇ × ~E∗ =1c∂~B∗

∂t,

(IV) ~∇ · ~B∗ = 0

dengan c ≡kecepatan cahaya di vakuum. Dari persamaan ini diperoleh pula relasi:

~D∗ = ~E∗ + 4π~P∗ dan ~B∗ = ~H∗ + 4π ~M∗. (7.1.15)

7.2. PERSAMAAN MAXWELL DALAM KOORDINAT DIPERUMUM 175

yang tentunya masing-masing vektor medan sesuai dengan

~D∗ = ε ~E∗dan ~B∗ = µ ~H∗. (7.1.16)

Dengan mengenalkan potensial vektor dan skalar, ~A∗ dan ϕ∗, melalui relasi:

~B∗ = ~∇ × ~A∗ dan ~E∗ = −1c∂~A∗

∂t− ~∇ϕ∗ (7.1.17)

dan dengan menggunakan konvensi Lorentz

~∇ · ~A∗ +1c

∂ϕ∗

∂ t= 0 (7.1.18)

akan didapat kembali dua persamaan analog dengan pers[7.1.12], yaitu:

~∇2~A∗ −1c2

∂2~A∗

∂ t2 = −4πc

~g∗ + ∂ ~P∗∂t+ c ~∇ × ~M∗

, (7.1.19)

~∇2 ϕ∗ −1c2

∂2 ϕ∗

∂ t2 = −4π(%∗ − ~∇ · ~P∗

).

7.2 Persamaan Maxwell dalam Koordinat Diperumum

Penulisan praktis simbol vektor pada persamaan Maxwell, yaitu pers[7.1.4], selalu dibuatdemikian, karena pada persamaan-persamaan tersebut selalu mengandung komponen-komponenoperator vektor. Kebanyakan dinyatakan dalam sistem koordinat kartesian. Dalam hal tertentuadalah penting persamaan-persamaan ini diformulasikan dalam sistem koordinat diperumum dandalam hal ini ditulis dengan menggunakan komponen-komponen kovarian dan kontravarian. Rumu-san dan kaedah matematis yang digunakan untuk penulisan ini dapat dilihat pada § 13.

Hal pokok yang paling menentukan adalah kenyataan, bahwa besaran-besaran yang selama inidipandang sebagai vektor aksial, misalnya seperti vektor medan magnet atau operasi vektor rotasi(curl), lebih menguntungkan jika dipandang sebagai tensor rank dua dan diperlakukan sebagai be-saran demikian. Pengenalan vektor-vektor aksial dibuat sedemikian, sehingga pengertian tentangaturan putar kanan dapat digunakan. Pengertian yang terbatas pada sistem putar kanan dan pemili-han sistem koordinat demikian dapat menimbulkan kekeliruan jika vektor-vektor aksial dinyatakansebagai tensor simetri translasi. Selain itu perubahan ini juga menentukan untuk pengamatan sis-tem ruang tiga dimensi dalam teori relativitas menjadi pengamatan dalam ruang empat dimensi,yang pada dasarnya tidak mengandung vektor aksial sama sekali, melainkan pada posisinya hanyaterdapat tensor simetri translasi rank dua. Untuk mepersiapkan penurunan penulisan vektor aksialmenjadi tensor yang akan digunakan dalam pembahasan teori relativitas pada § 11 nanti, di sini akandiberikan beberapa tata caranya.

Sekarang akan diturunkan persamaan Maxwell dalam ruang tiga dimensi dengan koordinat kon-travarian x1, x2, x3. yang dapat mempunyai dimensi berbeda, mirip seperti sistem koordinat polaryang mempunyai variabel r, ϑ, α. Untuk itu diperlukan vektor basis h1, h2, h3, yang pada sistem


koordinat kartesian analog dengan x, y, z. dan dengan vektor basis ini akan dicari panjang jarak satutitik dengan lainnya ds, yaitu:

d~s =∑

~h j d x1 dan∑∑

~h j~hs d x j d xk; = d~s2 (7.2.1)

Penjumlahan pada persamaan di atas dilakukan mulai dari 1 hingga 3, sementara untuk indeks yangmuncul dua kali pertama dipakai untuk indeks ”‘bawah”’ kemudian ”‘atas”’. Selanjutnya vektorbasis ~hk didefinisikan sebagai:

~h j ~hk = δkj =

1 untuk j = k,0 untuk j , k, (7.2.2)

dan besaran g jk dan g jk diberikan melalui relasi sbb:

~h j ~hk = ~g jk, ~h j ~hk = ~g jk, (7.2.3)juga

~hk = ~h j ~g jk, ~h j = ~hk ~g jk.

Selanjutnya setiap vektor (polar) ~A dinyatakan dalam komponen kovarian ~A j atau kontravariannya~A j, yaitu

~A =∑

~h j ~A j =∑

~h j ~A j (7.2.4)

dengan ~A j = ~A ~h j, ~A j = ~A ~h j,

dan antara dua bentuk komponen, karena pers[7.2.3] berlaku aturan transformasi sbb:

~Ak =∑

~A j ~g jk dengan ~A j = ~Ak ~gkj. (7.2.5)

Untuk merumuskan persamaan Maxwell dalam penulisan seperti di atas dan menyatakannyadalam koordinat diperumum dapat dilakukan dengan menggunakan pers[7.1.8], di mana vektor-vektor medan ~E dan ~B dinyatakan dalam potensial skalar ϕ dan vektor ~A. Agar persamaan keduadari pers[7.1.8] diperoleh komponen kovarian dari ~E:

E j = −∂A j

∂t−∂ϕ

∂x j , (7.2.6)

sementara komponen ~B = ~∇ × ~A dinyatakan dengan memperkenalkan komponen dengan indeksganda:

B jk =∂Ak

∂x j −∂A j

∂xk= Bkj. (7.2.7)

7.2. PERSAMAAN MAXWELL DALAM KOORDINAT DIPERUMUM 177

Dengan demikian maka medan magnet induksi menjadi tensor simetri translasi rank dua, yangselanjutnya ditulis sebagai B. Vektor aksial dari medan magnet induksi yang ditulis sebagai B,berdasarkan pers[13.3.41] dalam koordinat diperumum ditulis sebagai:

B1 =1v

(∂A3

∂x2 −∂A2

∂x3

)=

B23

v= −

B32

v, (7.2.8)

B2 =B31

v, B3 =

B12

v,

dengan v = (~h1 ~h2 ~h3) berarti sebagai produk perkalian tiga vektor basis kovarian dan harganya samadengan

√g, atau sama dengan akar dari determinan |g jk| yang muncul sebagai koefisien g jk = ~h j ~hk

pada elemen panjang d~s2. Selanjutnya berdasarkan pers[7.2.7] dan [7.2.8] komponen matriks B dapatditulis sbb:

B =

0 B12 B13

B21 0 B23B31 B32 0

= v

0 B3

−B2

B3 0 B1

B2 B1 0

. (7.2.9)

Patut pula dalam hal ini diketahui, bahwa semua relasi yang diturunkan di atas apabila dinyatakandalam koordinat kartesian akan mempunyai harga g j j = 1 dan g jk = 0 untuk j , k dan berlakupula harga

√g = v = 1 dan berdasarkan pers[7.2.5] diketahui pula bahwa tidak ada lagi perbedaan

antara komponen kovarian dan kotravarian. Bahwa pengenalan komponen tensor B jk memberikanarti dapat diketahui dari hukum induksi (III) dari pers[7.1.4] yang sekarang ditulis kembali dalambentuk:

∂Ek

∂ x j −∂E j

∂ xk=∂B jk

∂ t, (7.2.10)

dan melalui pers[7.2.5] dan [7.2.6], yang memenuhi untuk pemilihan besaran A j dan ϕ sembarang.Demikian pula berlakunya hukum fluks induksi (IV) pada pers[7.1.4], yaitu relasi ~∇ · ~B = 0, dapatpula dituliskan dalam bentuk tensor sbb:

∂B23

∂ x1+∂B31

∂ x2 +∂B12

∂ x3 = 0. (7.2.11)

Berdasarkan pers[7.2.7] diketahui pula bahwa relasi tersebut berlaku untuk vektor ~A sembarang.Penulisan hukum fluks gaya listrik (II) yang terdapat pada pers[7.1.4] dalam bentuk tensor dapat

dibuat dengan menggunakan pers[13.3.44], yaitu persamaan transformasi divergensi suatu vektorpolar dalam komponen kovarainnya, yaitu:

1v

∑ ∂D j

∂ x j = %. (7.2.12)

Sesuai dengan relasi ini diperoleh pula komponen kovarian dari hukum Oersted (I) dari pers[7.1.4]dengan menggunakan relasi pers[13.3.43]:

1v

∑ ∂ v H jk

∂ xk=∂D j

∂ t+ g j, (7.2.13)


kuat medan magnet, seperti halnya medan magnet induksi, dipandang sebagai tensor simetritranslasi.

Tentunya akan diperoleh pula turunan terhadap waktu dari pers[7.2.12] dan apabila dibentukdivergensi dari pers[7.2.13], akan diperoleh persamaan kontinuitas untuk muatan listrik, yaitu dalambentuk:

∂ %

∂ t+

1v

∑ ∂ v g j

∂ x j = 0; (7.2.14)

karena divergensi ruas kiri pers[7.2.13] akan sama dengan nol disebabkan oleh H jk = −Hkj. Darirelasi pada pers[7.2.10] hingga [7.2.13] dapat dibentuk persamaan Maxwell, yang telah diberikanpada pers[7.1.4], dalam koordinat sembarang. Misalkan koordinat ini adalah koordinat kartesian,dengan g jk dan g jk untuk j = k adalah sama dengan 1 dan untuk j , k sama dengan nol, karena v = 1maka perbedaan antara komponen kovarian dan kontravarian disebabkan pers[7.2.5] sama dengannol. Sehingga persamaan Maxwell dapat ditulis kembali dalam bentuk:∑ ∂H jk

∂ xk=∂D j

∂ t+ g j

∑ ∂D j

∂ x j= % (7.2.15)

∂Ek

∂ x j−∂E j

∂ xk= −

∂B jk

∂ t∂B23

∂ x1+∂B31

∂ x2+∂B12

∂ x3= 0,

jika untuk penyederhanaan penulisan koordinat-koordinat x, y, z ditulis sebagai x1, x2, x3 demikianpula semua komponen-komponen yang berhubungan dengan ketiga koordinat tersebut. Sebagaipenutup, patut pula ditambahkan beberapa catatan tentang sifat-sifat persamaan Maxwell. Jikawaktu t yang terdapat pada persamaan Maxwell diganti dengan koordinat x4 = γ t, dengan γ adalahkonstanta sembarang dan jika kerapatan arus koordinat keempat didefinisikan sebagai g4 = γ %,maka persamaan kontinuitas pada pers[7.2.14] dapat disederhanakan lagi dalam bentuk:∑ ∂ v g j

∂ x j = 0, (7.2.16)

selama besaran v =√

g tidak bergantung terhadap waktu, yang tentunya masih merupakan kasusyang relevan dengan persamaan tersebut. Dengan demikian maka tiga persamaan pada pers[7.2.13]dan satu persamaan pada pers[7.2.12] dapat dibentuk menjadi empat persamaan:

1v

4∑k=1

∂ v H jk

∂ xk= g j, j = 1, 2, 3, 4, (7.2.17)

jika disubstitusikan bahwaγD j = H4 j = −H j4. (7.2.18)

Dan akhirnya denganE j = γB j4 = −γB4 j (7.2.19)

dari pers[7.2.10] dan [7.2.11] diperoleh empat persamaan

∂Bi j

∂ xk+∂B jk

∂ xi +∂Bki

∂ xk= 0, (7.2.20)

7.3. TEORI MAXWELL DAN KEKEKALAN ENERGI 179

dengan i, j, k dianggap tiga dari empat bilangan 1, 2, 3, 4. Kenyataan penting ini akan dibahaslebih rinci lagi pada pembicaraan teori relativitas khusus. Selanjutnya pandang kembali persamaanMaxwell ”‘biasa”’, seperti yang diberikan pada pers[7.1.4], ditulis dalam penulisan vektor.

7.3 Teori Maxwell dan Kekekalan Energi

Dari sistem persamaan Maxwell (I) hingga (IV) dapat diturunkan beberapa relasi penting yangdikenal sebagai formulasi matematis hukum kekekalan energi dari medan elektromagnetik. Jikapersamaan Maxwell (I) dikali dengan ~E, (IV) dikali dengan −~H dan kedua persamaan yang dikalitersebut saling ditambahkan satu sama lain, selanjutnya didapat:

~E ~∇ × ~H − ~H ~∇ × ~E = ~E∂ ~D∂ t+ ~H

∂ ~B∂ t+ ~g ~E. (7.3.1)

Dengan indentitas~H ~∇ × ~E − ~E ~∇ × ~H = ~∇ · (~E × ~H) (7.3.2)

maka selanjutnya diperoleh persamaan sbb:

−

~E ∂ ~D∂ t+ ~H

∂ ~B∂ t

= ~∇ · (~E × ~H) + ~g ~E, (7.3.3)

atau dengan mengalikan dengan elemen waktu yang sangat kecil dt dan diintegrasikan terhadapvolume tertentu V dengan permukaan F dengan menggunakan integral Gauss

−

∫V

~E d~D + ~H d~B

dv = dt

∮(~E × ~H)n d f + dt

∫V

~g ~E dv. (7.3.4)

Relasi ini hanya berhubungan erat dengan persamaan (I) dan (III), tanpa menggunakan persamaanpenghubung, pers[7.1.13], persamaan ini haruslah dipandang berlaku untuk benda diam.

Untuk mengartikan pers[7.3.4], pandang kembali∫~E · d~D, seperti telah dibicarakan pada § 3.1

hingga § 3.3 dalam membahas kerja, yaitu jika di dalam suatu volume V terdapat medan listrik,atau lebih tepat lagi pada adanya perubahan vektor medan listrik sebesar d~D dalam waktu dt,terjadi secara adiabatis sehingga menyebabkan terdapat perubahan energi dalam sistem sebesar Ueldan apabila terjadi secara isotermik akan diperoleh kembali energi bebas sebesar Fel; selanjutnya

−

∫~E · d~D dv merupakan energi yang ”‘hilang”’ yang dialami oleh medan listrik pada saat sistem

melakukan kerja.

Besaran analog yang terbentuk −∫~H · d~B dv haruslah juga menggambarkan energi yang hilang

yang dialami medan magnet saat terjadinya kerja; dengan dasar pengandaian demikian dan jugapesoalan yang muncul nantinya, akan dibicarakan pada akhir pembahasan ini.


Gambar 7.1: Posisi ~E dan ~H di permukaan kawat yang dialiri arus listrik.

Berapa besar energi medan elektromagnetik yang tetap ada selama waktu dt dapat diperolehpada ruas kanan pers[7.3.4]. Selanjutnya dt (~E × ~H)n d f adalah besarnya energi yang selama waktudt melewati elemen luas d f dari permukaan F dari daerah volume V pada arah normal ~n. Besaran

~S = ~E × ~H (7.3.5)

disebut vektor Poynting; besaran ini merupakan istilah langsung dari kemungkinan energi transferdalam bentuk pancaran gelombang elektromagnetik (juga terjadi di dalam ruang hampa) dan sekali-gus menjelaskan pula kemungkinan pengertian elektromagnetik dari fenomena optis. Pengertian iniakan dibahas lebih rinci dalam membicarakan gelombang elektromagnetik.

Karena pentingnya pengertian ini, akan dibahas contoh elementer berikut. Untuk itu pandangsebuah kawat berbentuk selinder, panjang l dan jari-jari a, yang dialiri arus listrik searah dengankuat arus I (lihat gbr[7.1]). Di dalam kawat ini, pada saat dt, terdapat panas Joule sebesar E I l dt.Akan dipertanyakan bagaimana energi listrik diubah menjadi energi panas. Bahwa apabila energitersebut dipindahkan oleh elektron-elektron konduksi yang terdapat pada kawat logam, telah dike-tahui sebelumnya, merupakan hal yang mustahil terjadi. Akan tetapi karena jumlah elektron yangdemikian banyak, juga pada keadaan kerapatan arus yang besar, elektron-elektron ini hanya dapatmelalui kawat dengan kecepatan rata-rata (besarnya hingga beberapa cm/det) yang relatif kecil.

Jawaban dari pertanyaan di atas dapat diperoleh dari pers[7.3.4] melalui pengamatan vektorPoynting ~S. Karena medan listrik ~E terletak paralel terhadap sumbu kawat, sedangkan ~H tegak lurusmelingkari sumbu kawat, maka vektor Poynting ~S akan berada tegak lurus terhadap permukaankawat. Sehingga 2π l a l S dt, dengan S = E H = E I/2π a, berdasarkan pers[5.3.7] merupakan energitotal yang dialirkan selama waktu dt melalui kawat yang secara kuantitatif harganya sama denganpanas Joule E I l dt yang timbul.


Dengan demikian pada sistem yang dialiri arus, di mana energi listrik digunakan, akan terdapatenergi yang ”‘dipindahkan”’ (ditransfer) ke kawat, dengan kerapatan energi yang masuk ke dalamkawat dinyatakan sebagai vektor Poynting ~S. Sesuai dengan hal tersebut, seperti dalam dijelaskandengan cara yang sama, di mana terdapat gaya paksaan, mengalir pula energi dari sistem yang dialiriarus menjadi energi dalam bentuk medan (energi medan).

Patut pula dicatat, bahwa definisi vektor Poynting di atas tidak diragukan lagi. Karena vektor inimenurut pers[7.3.3] hanya dapat dibentuk melalui operasi divergensi, sehingga tidak akan terdapatperubahan pengertian fisis atau menambahkan operasi rotasi (curl) dari suatu vektor pada pernyataantersebut. Terlihat bahwa nantinya rumusan ~S yang diberikan pada pers[7.3.5] mempunyai dasar yangberbeda, yang tentunya diperlukan dalam menjelaskan teori cahaya elektromagnetik.

Suku kedua yang terdapat pada ruas kanan pers[7.3.4] kerja yang dilakukan oleh medan ~E padakerapatan arus ~g selama waktu dt. Energi yang diperoleh dengan cara demikian, dalam kasusberlakunya hukum Ohm, akan diperoleh kembali dalam bentuk seperti dinyatakan oleh pers[4.3.1]

~g · ~E =~g2

σ− ~g · ~E(e) (7.3.6)

di satu pihak sebagai panas Joule yang terjadi pada daerah volume V dalam waktu dt, yaitu sebe-

sar −dt∫

dv~g2/σ, selain itu sebagai energi untuk melawan adanya gaya paksaan −dt∫

dv~g · ~E(e),

yaitu sebagai kerja yang diperlukan untuk mengisi muatan jika dalam rangkaian listrik terdapatakumulator (bateri). Kedua bagian energi di atas disebut sebagai daya termokimia.

Akan dihitung tidak dengan menggunakan relasi sederhana ~g = σ(~E + ~E(e)), melainkan melaluisuku tambahan dari hukum Ohm pada relasi pers[4.2.12] dan [4.2.15], yang dipengaruhi oleh adanyakelembaman dari pembawa muatan elektron dan melalui kemungkinan adanya difusi dan padakondisi tertentu yang berlaku untuk hukum Ohm yang diringkas dalam persamaan sbb:

τ∂~g∂ t+ ~g = σ (~E + ~E(e)) − e D ~∇n, (7.3.7)

maka diperoleh relasi untuk kerapatan daya termokimia dari medan sbb:

~g ~E =~g2

σ− ~g ~E(e) +

τ~gσ

∂~g∂ t+

e D~gσ

~∇n. (7.3.8)

Dalam hal ini τ adalah waktu tumbukan elektron, D adalah konstanta difusi dan σ adalah konduk-tivitas listrik.

Untuk memperoleh beberapa pengertian lebih jelas dari munculnya suku tambahan padapers[7.3.8] dibanding pers[7.3.6], untuk kasus khusus dianggap bahwa kerapatan elektron n dalamhal ini adalah homogen. Maka suku difusi akan lenyap dari persamaan di atas, dan adanya sukukelembaman elektron akan diperoleh perubahan energi kinetik rata-rata terhadap waktu denganmengingat kembali hubungan τ/σ = m/n e2 dan ~g = n e~v:

τ~gσ

∂~g∂ t= m~v

∂n~v∂ t

=∂∂ t

n m~v2

2

. (7.3.9)


Dalam kasus ini daya termokimia medan berfungsi sebagai pengubah kerapatan energi n m~v2/2 dari

keteraturan gerak elektron di dalam materi, sementara kerapatan energi yang besar n m (~v − ~v)2/2dari ketidakteraturan gerak elektron dalam hal ini tidak berpengaruh.

Jika kerapatan elektron n tidak lagi homogen, maka selain muncul suku tambahan padapers[7.3.9], akan muncul pula suku tambahan lain yang sukar dilihat dengan jelas, yang sebagiandisebabkan karena adanya elektron gas yang terdapat di dalam volume V, akan tetapi sebagian lagi(sebagai suku divergensi) adalah akibat yang keluar dari daerah tersebut yang melalui permukaanF. Arus energi seperti demikian, yang berpindah di dalam bahan haruslah ada, dalam pembahasaini harus disebutkan secara langsung, karena suku tambahan ini tidak akan muncul dalam kasus nhomogen, akibat divergensi ~g sama dengan nol.

Sebagai akhir pembahasan ini, seperti telah disebutkan sebelumnya, akan dipandang kembalipersoalan energi magnetik dan akhirnya dihubungkan dengan adanya gaya yang berperan dalampersoalan tersebut. Pada pembahasan di atas telah diberikan tanpa pembuktian, bahwa kerja yangterdapat karena adanya medan magnetik pada perubahan kecil yang terdapat di dalam sistem adalah

−

∫~H · d~H dv, dengan integral berbatas untuk seluruh volume sistem. Selanjutnya seandainya kerja

yang dibutuhkan untuk memagnetisasi sistem dengan mengubah medan magneti induksi dari ~B1(~r)menjadi ~B2(~r) adalah

Am =

∫dv

B2∫B1

~H · d~B. (7.3.10)

Dan seandainya energi magnetisasi yang terjadi pada proses adiabatis ini sesuai dengan perubahanenergi dalam sistem Um, maka pada proses isotermis energi ini akan diperoleh kembali sebagai energibebas Fm.

Bahwa pers[7.3.10] adalah tidak diragukan kebenarannya, dapat dibuktikan dengan dasarpers[7.3.4], jika diketahui adanya pemikiran lain, seperti halnya perhitungan fluks energi yang dihi-tung dengan menggunakan integral permukaan dari vektor Poynting. Dalam hal ini tidak mungkinterjadi, tetapi dicoba-paksakan bahwa untuk menurunkan rumus pers[7.3.10] langsung dari modelyang dikembangkan. Nantinya diketahui bahwa rumusan ini justru hanya berlaku untuk kasustertentu dan selanjutnya akan dipandang dua kasus.

Pertama pandang sebuah kumparan berbentuk cincin, dililitkan oleh kawat dengan tahanan Rdan di dalam cincin terdapat batang dengan penampang lintang q dan panjang l, serta terdiri dari Nlilitan yang beraturan. Dari bateri dengan tegangan paksaan V(e) akan mengalir kuat arus I di dalamkawat. Kerja yang dilakukan bateri pada saat dt adalah dA = I V(e) dt. Dari hukum induksi di satupihak dan menurut hukum Oersted di lain pihak, diperoleh relasi sbb:

I R = V(e)−N q

dBdt

dan l H = N I.

Maka kerja yang digunakan adalah:

dA = I2 R dt +N q I dB = I2 R dt + l q H dB.


Karena q l adalah sama dengan volume batang yang mengisi kumparan dan diperoleh pula, disamping panas Joule sebagai daya ekuivalen dari bateri, berasal dari energi yang ditambahkan olehmedan magnet V H dB, yang tidak lain sesuai dengan rumusan yang diberikan pada pers[7.3.10].

Kasus kedua adalah membuktikan bahwa energi yang terdapat pada suatu sistem rangkaianlinier seperti dinyatakan pada pers[6.4.6] adalah sesuai dengan pers[7.3.10]. Dalam kasus ini, jikadianggap bahwa pada sistem tidak terdapat bahan magnet atau bahan yang dapat termagnetisasikuat, karena relasi ~B = µ ~H diperoleh energi magnetik sbb:

Um =12

∫~H · ~B dv. (7.3.11)

Karena ~B adalah bebas sumber, ~B dapat dinyatakan sebagai ~B = ~∇ × ~A,

~H ~B = ~H (~∇ × ~A) = ~A (~∇ × ~H) + ~∇ · (~A × ~H).

Integrasi terhadap seluruh volume ruang memberikan hasil bahwa integral permukaan yang men-gandung suku divergensi akan berharga nol, sehingga untuk kasus arus kuasi stasioner, karena~H = ~g, didapat:

Um =12

∫~g · ~A dv. (7.3.12)

Sekarang pandang untuk sistem linier dengan kuat arus I dan penampang lintang q, jika d~r adalahelemen panjang dari konduktor, maka ~g dv = I d~r. Karena I di seluruh kawat mempunyai hargasama, maka untuk n rankaian listrik didapat relasi:

Um =12

∑Ik

∮

~A d~r

k

=12

∑Ik

∫

~Bn d f

k

=12

∑IkΦk.

Berdasarkan pers[6.1.1] akan diketahui pula bahwa pers[6.4.6] merupakan pernyataan energi medanmagnetik dari suatu sistem mengandung arus kuasi stasioner.

Jika kedua kasus di atas menjadi dasar penurunan pers[7.3.10], maka rumusan tersebut tentu tidakakan bebas berlaku untuk kasus khusus, atau dengan perkataan lain pernyataan tidak bebas dari kri-tik. Pada kedua kasus terlihat secara de facto ditentukan, bahwa suku tambahan persamaan Maxwellpada hukum Oersted telah diabaikan. Pada kasus kedua hal ini ditentukan secara lebih eksplisitmelalui adanya arus kuasi stasioner. Sedangkan pada kasus pertama, untuk menurunkan kerjakarena magnetisasi, karena muncul suku yang penting, yaitu dB/dt, yang tentunya berhubungandengan kasus arus kuasi stasioner. Karenanya pada pandangan kedua kasus di atas telah diabaikandemikian saja kemungkinan adanya pancaran gelombang elektromagnetik.

Akan tetapi apabila pengabaian efek pancaran gelombang elekromagnetik dibenarkan, akanterdapat pertentangan untuk mencari dasar pers[7.3.10] sesuai dengan pemikian yang dikemukakanpada § 3, yaitu kesukaran ”‘karakteristik”’ untuk menggunakan hukum induksi. Jika penentuankerja pada cincin logam dicari dengan menggeser cincin di dalam medan magnet, maka di dalamcincin akan terdapat arus listrik induksi. Arus ini, seperti yang telah dibahas pada § 5.3 bukan


merupakan penyebab adanya kuat medan magnet induksi, melainkan akan timbul pengaruh gayaLorentz; gaya ini, seperti diketahui merupakan hal asing atau dengan perkataan lain tidak terdapatdalam persamaan Maxwell. Untuk itu kesukaran ini dapat pula diturunkan dari persamaan Maxwelldengan sudut pandang energi. Pada § 6.4 telah diturunkan penurunan rumusan tersebut untuk sistemrangkaian linier; hal ini dimungkinkan karena menggunakan hukum induksi dalam bentuk teknis, dimana hanya dipandang adanya perubahan fluks magnetik yang berasal dari rangkaian yang dialiriarus. Dari persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial untuk media diam yang dikemukakanpada § 7.1 persoalan ini tidak dapat diselesaikan dengan tuntas. Persoalan ini hanya mungkin dapatdiselesaikan dengan menggunakan persamaan Maxwell untuk media bergerak (lihat pembahasan§ 11).

Anggap bahwa kebenaran dan kegunaan pers[7.3.10] telah diketahui, maka mirip seperti yangdibahas pada § 3.4 untuk kasus listrik, kerapatan gaya yang terdapat pada bahan non-konduktor dannon-ferromagnetik akan menghasilkan persamaan yang mirip dengan pers[3.4.9]:

~k = −µ ~H2

2~∇µ +

µ2~∇

(~H2 σ

dµdσ

), (7.3.13)

jika permeabilitas µ dipandang sebagai fungsi dari kerapatan bahan σ. Rumus ini dapat digunakanuntuk sifat diamagnetik dan paramagnetik dari bahan non-konduktor cair pada § 3.6.

Pada penggunaan rumusan yang bersangkutan di atas untuk konduktor listrik dan ferromagnetik,mirip seperti pembahasan deformasi ~s pada bab 3.4, di samping dijumpai kesukaran menggunakanhukum induksi untuk media bergerak, muncul pula kesukaran lain, yaitu adanya pergeseran~s yangterjadi di dalam bahan ferromagnetik menyebabkan kurva magnetisasi akan mengalami perubahanyang bergantung tempat, tanpa dapat dijelaskan dengan baik. Karenanya fenomena magnetostriksihanya dapat dipandang merupakan kasus khusus untuk bahan yang berbentuk elipsoida. Ramalanumum yang dapat dikemukakan di sini hanyalah gaya total yang bekerja pada benda ferromagnetik,yaitu dengan menganggap bahwa benda hanya mengalami pergeseran secara keseluruhan (bendategar) dan mempersoalkan perubahan energi yang terjadi di dalamnya.

Catatan: Dalam sistem Gauss pers[7.3.3] diganti dengan persamaan sbb:

−1

4π

~E∗ ∂ ~D∗∂ t+ ~H∗

∂ ~B∗

∂ t

= c4π

~∇ (~E∗ × ~H∗) + ~g∗ ~E∗. (7.3.14)

Dari persamaan di atas, maka vektor Poynting dinyatakan sebagai:

~S =c4π

(~E∗ × ~H∗). (7.3.15)

7.4 Teori Maxwell dan Kekekalan Momentum

Walaupun telah diketahui adanya kesukaran pada pembahasan sebelumnya, dalam bab ini akandibahas pengaruh gaya total yang bekerja pada bahan konduktor dan bahan yang dapat termag-netisasi jika diberikan medan; gaya total ini tidak dicari melalui hukum kekekalan energi, di manaharus dicari kerapatan gaya karena adanya pergeseran di dalam materi secara langsung, melainkan

7.4. TEORI MAXWELL DAN KEKEKALAN MOMENTUM 185

melalui hukum kekekalan momentum gelombang elekromagnetik, di mana harus diperkenalkanistilah yang disebut sebagai tegangan Maxwell , dengan bagian listriknya telah dibahas pada § 3.5.Jika ketergantungan medan terhadap tegangan ini diketahui, maka gaya total ~K yang bekerja padabenda di dalam medan elektromagnet, seperti telah diketahui pada pers[3.1.5]:

~K =⊂⊃∫∫

Tn d f ; (7.4.16)

pada persamaan di atas integral permukaan dilakukan terhadap seluruh permukaandi ruang vakuumdan permukaan yang menutupi benda dengan vektor normal permukaan ~n ke arah luar permukaan.

Dalam hal ini adalah tidak mungkin dilakukan perhitungan secara langsung dari tensor teganganmirip seperti yang dilakukan pada § 3.5 , sehingga haru dipilih cara perhitungan yang tidak menim-bulkan keraguan; cara terbaik adalah membuat sejumlah komponen tensor, kemudian memerik-sanya, apakah sekumpulan hasil yang diperoleh menunjukkan kegunaan atau tidak. Unruk memper-oleh komponen-komponen tensor tersebut di luar ruang, digunakan pers[3.5.6], yang menunjukkankemiripan dan mengandung bagian medan listrik dan magnet. Sebagai ujicoba komponen:

Txx = ε E2x −

ε E2

2+ µH2

x −µH2

2, (7.4.17)

Tzy = ε Ex Ey + µHx Hy

yaitu komponen simetri tensor tegangan di luar ruang. Selanjutnya akan dicoba menurunkannya daripersamaan Maxwell di dalam benda, akan diperoleh suku divergensi dan dilakukan integrasi per-mukaan terhadap seluruh permukaan benda dengan menggunakan pers[7.4.16] sehingga diperolehkomponen tegangan seperti dinyatakan pada pers[7.4.17].

Untuk menurunkannya, diperkenalkan persamaan:

~k = % ~E + ~g × ~B (7.4.18)

sebagai kerapatan gaya yang bekerja hanya pada kerapatan muatan % dan arus, masing-masingdipengaruhi oleh ~E dan ~B, yang kenyataannya dibedakan dengan kerapatan gaya ~k yang belumdiketahui, sebagai kerapatan gaya dari bahan yang terpolarisasi dan termagnetisasi. Selanjutnyadengan mengeliminasi % dan ~g pada pers[7.4.18] melalui persamaan Maxwell:

~k = ~E ~∇ · ~D − ~B × (~∇ × ~H) −∂ ~D∂ t× ~B.

Kemudian tambahkan suku-suku simetri dan tambahkan pula relasi berikut:

0 = −~D × (~∇ · ~E) − ~D ×∂ ~B∂ t

dan 0 = ~H(~∇ · ~B)

sehingga diperoleh persamaan:

~k = ~E(~∇ · ~D) − ~D × (~∇ × ~E) + ~H(~∇ · ~B) − ~B × (~∇ × ~H) −∂∂ t

(~D × ~B), (7.4.19)


dengan komponen x kerapatan gaya di atas, setelah disederhanakan didapat sebagai:

~k x = ~∇ · (Ex ~D +Hx ~B) −12∂∂ x

(~E ~D + ~H ~B) − (7.4.20)

~D2∂ ~E∂ x+~E2∂ ~D∂ x−

~B2∂ ~H∂ x+~H2∂ ~B∂ x−∂∂ t

(~D × ~B)x.

Dari persamaan di atas diperoleh suku-suku yang mengandung turunan lengkap dari ∂Tx/∂x +∂Ty/∂y + ∂Tz/∂z pada pers[3.5.2], yang dapat ditulis sbb:

Txx = Ex Dx −~E ~D

2+Hx Bx −

~H ~B2, (7.4.21)

Txy = Ex Dy +Hx By

dan komponen-komponen lain untuk daerah antara ruang luar adalah persis sama dengan yangdiberikan pada pers[7.4.17]. Dengan merumuskan kembali untuk daerah seluruh volume benda, in-tegrasikan pers[7.4.20] dan amati pula adanya diskontinuitas di permukaan benda dengan membuat-nya kontinu, maka akan diperoleh turunan sempurna dari tegangan, persis sama dengan komponentegangan pada arah sumbu x yang telah diberikan pada pers[7.4.16]. Dengan memandang kembalipers[7.4.20], kemudian dibentuk persamaan:

~K =⊂⊃∫∫

Tn d f =∫

~k dv +ddt

∫~D × ~B dv, (7.4.22)

dengan komponen subu x kerapatan gaya ditulis sebagai:

kx = k x +12

~D ∂ ~E∂ x− ~E

∂ ~D∂ x+ ~B

∂ ~H∂ x− ~H

∂ ~B∂ x

. (7.4.23)

Terlihat bahwa harga ~k akan berbeda dengan ~k hanya untuk daerah di dalam bahan dan berlakuuntuk bahan yang dapat terpolarisasi dan termagnetisasi secara normal, atau dengan perkataan lainbahan yang memenuhi relasi ~D = ε ε ~E, ~B = µµ ~H dan melalui pers[7.4.18] akan diperoleh bentukpersamaan dasar seperti yang diharapkan, yaitu:

~k = % ~E + ~g × ~B −12

(ε ~E2 ~∇ ε + µ ~H2 ~∇µ). (7.4.24)

Dalam hal ini rumusan yang terdapat pada pers[3.4.9] dan [7.3.13] hanya dibedakan dari turunankomplitnya, yang sesungguhnya tidak memberikan sumbangan apapun pada hasil integrasi terhadapseluruh volume bahan, karena kerapatan massa σ di ruang luar sama dengan nol, maka turunan yangdiperoleh di atas tentunya dapat dipandang secara lengkap, termasuk pemecahan yang dibuat padapers[7.4.22].

Hal yang benar-benar baru pada pers[7.4.22] adalah munculnya suku yang mengandung turunanterhadap waktu. Hal ini dapat dimengerti jika dari persamaan gaya

∫~k dv diubah sebagai turunan

momentum mekanis~JK dari benda terhadap waktu:∫~k dv =

d~JK

d t. (7.4.25)


Jika suku terakhir ruas kanan pada pers[7.4.22] ditulis sebagai d~JS/dt, di mana medan elektromag-netik, mirip seperti partikel, memiliki momentum sebesar:

~JS dv =∫~jS dv, dengankerapatan ~jS = ~D × ~D, (7.4.26)

sehingga didapat hukum kekekalan momentum dari teori Maxwell sbb:

dd t

(~JK +~JS) =⊂⊃∫∫

Tn d f = ~K. (7.4.27)

Munculnya momentum medan tentunya dapat dimengerti, jika dipandang kembali bahwamelalui pancaran gelombang elektromagnetik, tidak hanya energi yang ditransfer dari sumber keabsorber, melainkan juga momentum dan momentum yang ditransfer ini dapat diukur pada absorbersebagai tekanan radiasi (pancaran) .

Tekanan radiasi yang terdapat di dalam volume tertentu V dapat dihitung berdasarkanpers[7.4.17] untuk elemen permukaan dengan vektor normal permukaan ~n berada pada arah negatifsumbu x dan pada arah sumbu x positif akan terdapat tekanan radiasi sebesar:

pS = −Txx = ε

~E2

2+ E2

x

+ µ ~H2

2−H2

x

. (7.4.28)

Untuk cahaya yang datang pada arah tegak lurus, seperti ditunjukkan pada pembahasan baba berikut,Ex = 0 dan Hx = 0, sehingga didapat:

pS =12

(ε ~E2 + µ ~H2

)= uS (7.4.29)

dengan uS adalah kerapatan energi radiasi. Pada medium isotrop gelombang elektromagnetik akan

sama pada semua arah, misalkan seperti ”‘radiasi ruang kosong”’ E2x = ~E2/3, H2

x = ~H2/3; dalam kasusini berlaku:

pS =uS

3. (7.4.30)

Di ruang vakuum akan didapat kerapatan momentum pers[7.4.26] sebesar:

~jS = ~D × ~B = ε µ (~E × ~H).

Sekarang berlaku, seperti halnya telah dirumuskan pada pers[5.4.27] dan akan dijelaskan leboh rincipada § 8.1 nantinya, bahwa ε µ = 1/c2

dengan c adalah kecepatan cahaya di vakuum. Karenanyadiperoleh hubungan penting antara kerapatan momentum~jS dari medan elektromagnetik dan vektorPoynting yang diberikan pada pers[7.3.5]:

~jS =~Sc2

. (7.4.31)


Patut dicatat bahwa relasi ini tidak hanya dapat diperoleh dari teori radiasi elektromagnetiksemata. Relasi ini dapat pula diturunkan dari pengamatan yang samasekali berbeda, yaitu teorikuantum cahaya yang dirumuskan oleh Albert Einstein. Dari sudut pandang teori ini, gelombangcahaya monokromatik dengan frekuensi ν terdiri dari sejumlah partikel-partikel cahaya atau kuantacahaya dan masing-masing kuantum cahaya mempunyai energi h ν dan momentum h ν/c; h adalahkonstanta kuantum Planck yang besarnya h = 6, 626 ·10−27 ergdet. = 6, 626 ·10−34 W det2. Selanjutnyapandang dua bekas cahaya monokromatik, seperti gelombang yang disebutkan di atas, apabila nadalah kerapatan kuanta cahaya, maka kerapatan energi berkas adalah uS = n h ν dan kerapatanmomentumnya adalah jS = n h ν/c. Sedangkan arus kuanta cahaya yang lewat elemen luas d fdalam waktu dt sama dengan n c dt d f dan di dalam arus ini terdapat arus energi sebesar S =n h ν c. Karenanya untuk cahaya demikian diperoleh pula relasi persis seperti yang dinyatakanpada pers[7.4.31]. Relasi ini juga berlaku, sebagaimana mudah dibuktikan nantinya, untuk berbagaikuanta cahaya yang berbeda frekuensi dan arah.

Jika berkas cahaya monokromatik ini jatuh pada suatu absorber yang dapat menyerap semuafreukuensi cahaya, di mana setiap kuantum cahaya datang ”‘ditelan”’ olehnya, maka momentumdari cahaya pada saat dt sebesar (n c dt d f ) h ν/c = n h νdt d f akan ditransfer ke absorber adalahsesuai tekanan yang berpengaruh pada proses transfer tersebut, yaitu: pS = n h ν. Dari gambarandi atas diperoleh pula bahwa uS = n h ν, sehingga jelaslah bahwa teori kuanta cahaya adalah sesuaidengan teori Maxwell yang dikemas dalam rumusan pers[7.4.29].

Catatan: Untuk kerapatan momentum radiasi jS dalam sistem satuan Gauss ditulis dalam bentuk:

~jS =1

4π c~D∗ × ~B∗.

Di vakuum, sesuai dengan pers[7.4.30] adalah

~jS =1

4π c~E∗ × ~H∗ =

~Sc2

,

dengan relasi antara~jS dan ~S yang sama seperti dinyatakan pada pers[7.4.31].


46 [] Di dalam sebuah kondensator berbentuk selinder, panjang l, jari-jari a dan jari-jari permukaan penutup (mantel) b,dihubungkan dengan tegangan V. Karenanya aralel terhadap sumbu selinder terdapat medan magnet induksi B, sehinggadi dalam kondensator, pada arah sumbunya, akan mengalir arus energi yang berhubungan dengan momentum medan.Hitunglah: (a) Besarnya vektor P,

(b) kerapatan momentum medan dan

(c) momentum putar total yang timbul akibat adanya momentum linier medan di sekitar sumbu kondensator.

jawab: Dengan menganggap jarak sumbu selinder adalah r berlaku:

(a) S = B/µ r ln (b/a);

(b) jS = ε V B/r ln(b/a);

(c) J = πε B l (b2− a2)/ ln(b/a).


47 [] Cari pertanyaan yang sama dengan soal no. 1 untuk sebuah bola homogen yang termagnetisasi, dengan momendipol m, dengan jumlah muatan yang terdapat di permukaan e dan jari-jari bola adalah a.

jawab:

(a) ~S = e (~m ×~r)/16π2 ε r6;

(b)~jS = µ e(~m ×~r)16π2 r6 ;

(c)~J = µ e ~m/6π a.

48 [] Dua bola besi homogen dan termagnetisasi mempunyai momen dipol tetap, masing-masing ~m1 dan ~m2, keduanyamenyebabkan gaya yang dapat dihitung berdasarkan tegangan Maxwell. Tegangan tersebut dapat dihitung khususnyadari permukaan simetri antara titik tengah kedua bola yang posisinya pada arah sumbu x terletak pada x1 = −a dan x2 = +a.Kemudian akan diperoleh komponen-komponen gaya dari bola pertama yang bekerja pada bola kedua melalui integrasikomponen tegangan M Txx, Txy, Txz terhadap seluruh bidang y − z pada x = 0.

jawab: Penyelesaian persoalan ini adalah mirip seperti penyelesaian soal no. 7 pada bab 5.

49 [] Turunkan hukum kekekalan energi dari formulasi persamaan Maxwell dalam koordinat diperumum yang diberikanpada bab terkait. Bagaimana bentuk vektor Poynting untuk kasus ini ?

jawab: Hukum kekekalan energi berbunyi:

−

∑E j∂D j

∂ t−

12

∑∑H jk ∂B jk

∂ t= −

1v

∑∑ ∂ v E j H jk

∂ xk+ E j g j.

suku pertama ruas kanan haruslah merupakan divergensi dari vektor P, karena relasi

~∇ · ~S =1v

∑ ∂ v Sk

∂ xk,

berlaku

Sk =∑

E j Hkj;

hal ini memberikan arti penggunaan vektor aksial ~H, contohnya S1 = (E2 H3 − E3 H2)/v.


Bab 8

Gelombang Elektromagnetik

8.1 Gelombang Elektromagnetik di Vakuum

Dalam bab ini akan dibahas perubahan yang cepat dari medan elektromagnetik, khususnyagelombang elektromagnetik, terhadap ruang dan waktu yang diberikan dalam persamaan diferensialmedan elektromagnetik.

Sebagai pembicaraan awal, akan dibahas kasus rambatan gelombang di vakuum. Dalam kasusini ~D = ε ~E, ~B = µ ~H dan ~P = 0 serta ~M = 0, demikian pula ~g = 0 dan % = 0; maka persamaanMaxwell, berdasarkan pers[7.1.4], juga pers[7.1.7] menjadi:

~∇ × ~B = ε µ∂ ~E∂ t, ~∇ · ~E = 0, (8.1.1)

~∇ × ~E = −∂ ~B∂ t, ~∇ · ~B = 0.

Dari persamaan ini, ~E dan ~B dengan mudah dapat dieliminasi. Lakukan rotasi (curl) dari persamaanyang mengandung rotasi vektor ~E dan ~B, maka karena ~∇ × ~∇× = ~∇(~∇· ) − ~∇2, diperoleh relasi:

~∇2 ~E = ε µ∂2 ~E∂ t2 dan ~∇2 ~B = ε µ

∂2 ~B∂ t2 . (8.1.2)

Kedua vektor ~E dan ~B memenuhi persamaan diferensial yang sama, yang disebut sebagai per-samaan gelombang elektromagnetik . Selain itu, berdasarkan pers[7.1.12], persamaan gelombang inijuga memenuhi potensial vektor ~A dan potensial skalar ϕ sejauh digunakan konvensi Lorentz.

Selanjutnya akan dicari penyelesaian partikular dari persamaan gelombang, yaitu dari pers[8.1.1]dan [8.1.2], dan akan dipersoalkan pula penyelesaian persamaan tersebut yang memenuhi persamaangelombang datar. Muka gelombang dalam hal ini digambarkan berbentuk bidang datar dan andaikandapat dibuat suatu bidang datar yang paralel sedemikian, sehingga vektor ~E dan ~B yang berada padasalah satu bidang ini tidak mengalami perubahan; bidang datar ini disebut sebagai bidang gelombangdan vektor ~n yang tegak lurus bidang ini disebut normal gelombang.

Jika sumbu x diletakkan pada normal gelombang, maka bidang gelombang akan berada paralelterhadap bidang y−z. Karena dalam hal ini ~E dan ~B tidak bergantung pada y dan z, maka semua suku

191

192 BAB 8. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

yang mengandung turunan parsial pada pers[8.1.1] dan [8.1.2] akan sama dengan nol. Kemudianselain itu diperoleh pula bahwa ∂Ex/∂ x = 0, ∂Bx/∂ x = 0 dan komponen x dari hasil rotasi vektordiketahui pula bahwa ∂Ex/∂ t = 0, ∂Bx/∂ t = 0. Karenanya Ex dan Bx adalah konstan, baik terhadaptempat, maupun terhadap waktu. Seandainya keduanya tidak berharga nol, kasus ini berkenaandengan peristiwa gelombang statik sebagai hasil superposisi dua medan. Masing-masing bagianmedan tidak akan memberikan pengaruh terhadap rambatan gelombang, karenanya bukan menjadititik pokok pembahasan disini. Selanjutnya pandang untuk kasus:

Ex = 0, Bx = 0. (8.1.3)

Maka komponen lain dari hasil perkalian silang (rotasi) adalah

−∂Bz

∂ x= ε µ

∂Ey

∂ t, (8.1.4)

∂By

∂ x= ε µ

∂Ez

∂ t,

−∂Ez

∂ x= −

∂By

∂ t,

−∂Ey

∂ x= −

∂Bz

∂ t.

Melalui keempat persamaan di atas didapat hubungan antara Ey, Bz dan Ez, By. Karenanya cukuphanya diperhatikan dua persamaan pertama; sedangkan penyelesaian dua persamaan lainnya dapatdiperoleh dengan merotasikan 90 kedua persamaan terhadap sumbu x. Dengan mengeliminasi Bzatau Ey langsung dari pers[8.1.2] diperoleh relasi bergikut:

∂2Ey

∂ x2 = ε µ∂2 Ey

∂ t2 dan∂2Bz

∂ x2 = ε µ∂2 Bz

∂ t2 . (8.1.5)

Penyelesaian persamaan diferensial di atas telah diketahui dari pelajaran getaran. Penyelesaianumum persamaan ini ditulis, dengan mengamati kembali pers[8.1.4], dalam bentuk:

Dy = ε Ey =√ε

f (t −

√ε µ x) + g(t +

√ε µ x)

, (8.1.6)

Bz = εHz =√µ

f (t −

√ε µ x) + g(t −

√ε µ x)

,

dengan f dan g adalah fungsi sembarang sebagai variabel yang tuliskan di dalam tanda kurungbiasa.

Penyelesaian di atas mengandung dua bagian yang menunjukkan bahwa f merambat padaarah sumbu x positif dan g pada sumbu x negatif. Kedua bagian gelombang ini saling mengalamipergeseran, tetapi tidak saling meniadakan dan keduanya bergerak, tanpa bergantung bentunya,dengan kecepatan:

c =1

√ε µ

. (8.1.7)

Harga kecepatan ini dapat diperoleh langsung dari harga ε = 8, 8543 ·10−12 A det/V m dari pers[1.3.2]dan µ = 4π · 10−7 V det/A m dari pers[5.4.3], yaitu c = 2, 9979 · 188 m/det dan harga ini diketahui

8.1. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DI VAKUUM 193

sebagai harga oti kecepatan cahaya di vakuum. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa rangsanganelektromagntik di permukaan, atau gelombang permukaan elektromagnetik merambat di vakuum dengankecepatan sama dengan kecepatan cahaya.

Akan tetapi tidak hanya kecepatan rambat untuk kedua gelombang yang sama, melainkan keadaanpolarisasi pada pembentukan gelombang juga sama; gelombang elektromagnetik bergetar (berosilasi)sama seperti gelombang cahaya, yaitu secara transversal. Kenyataannya pada pers[8.1.3] ditemukanpula bahwa baik medan listrik maupun medan magnet, tidak memiliki komponen osilasi horizontalpada pada bidang getar. Semua vektor-vektor medan yang terdapat pada gelombang seperti ini ter-letak tegak lurus terhadap normal gelombang. Dalam ruang hampa baik gelombang elektromagnetik,muapun gelombang cahaya menunjukkan sifat-sifat yang sama.

Keberhasilan menjelaskan fenomena gelombang dari persamaan medan membuat teori Maxwelldapat digunakan untuk menjelaskan teori elektromagnetik cahaya. Teori ini memandang radiasi cahaya,demikian pula radiasi panas, sebagai gelombang elektromagnetik. Teori ini sekaligus menggeserkedudukan teori mekanis tentang cahaya yang menganggap bahwa cahaya merupakan rambatangelombang yang berasal dari medium elastik, yaitu ether dan sekaligus pula dengan teori ini ke-cepatan rambatan gelombang dapat diukur dari pengukuran-pengukuran listrik dan magnet murni;selain itu pula teori Maxwell dapat pula menunjukkan bahwa gelombang cahaya yang dapat diram-batkan di vakuum adalah hanya gelombang transversal, sementara menurut teori usang (teori ether)sukar dijelaskan mengapa di vakuum tidak terdapat gelombang logintudinal.

Jika cahaya benar-benar merupakan peristiwa elektromagnetis, maka seluruh sifat-sifat optis ma-teri haruslah dapat ditentukan dari konstanta-konstanta listrik dan magnetnya. Kenyataannya dariteori Maxwell yang dihubungkan dengan teori elektron dari Lorentz dapat dibuktikan nantinyabahwa indeks bias materi bergantung pada konstanta dielektrik, sedangkan kemampuan (daya) ab-sorpsi bahan bergantung pada konduktivitasnya. Dari kenyataan ini, perbedaan dasar dari sifatoptik bahan isolator dan konduktor dapat dijelaskan dengan landasan pemikiran teori elektromag-netik cahaya dan akan dibahas pada bab selanjutnya.

Untuk persiapan pembahasan nantinya, akan dipandang kembali kelakuan gelombang datar diruang vakuum. Karena dengan adanya materi harus pula diperhitungkan adanya peristiwa gelom-bang harmonik murni bergantung waktu atau pada kasus umumnya merupakan peristiwa super-posisi dari gelombang-gelombang yang bersangkutan; dalam pembahasan gelombang di vakuumakan dipersoalkan pula hal seperti demikian. Kenyataannya berdasarkan Fourier setiap gelombangberbentuk F(t − x/c) dapat dipecahkan dalam bentuk integral dari gelombang-gelombang yangbersangkutan, yaitu:

F(t −

xc

)=

+∞∫−∞

A(ω) eiω(t−x/c) dω. (8.1.8)

Koefisien A(ω) dari persamaan di atas dapat dicari melalui transformasi Fourier sbb:

A(ω) =1

2π

+∞∫−∞

F(t −

xc

)eiω(t−x/c) d t =

12π

+∞∫−∞

F(τ) eiωτ d τ. (8.1.9)

Agar F(τ) berharga real, maka haruslah

A(ω) = A∗(−ω), (8.1.10)


seperti dapat dilihat dari pers[8.1.9] melalui transisi pembentukan konyugasi kompleks secara lang-sung dari A(ω) sendiri.

Selanjutnya tulis, khususnya komponen Fourier dari deret yang dibentuk pers[8.1.8] dalam ben-tuk umum penulisan bilangan kompleks untuk gelombang datar, seperti telah dibahas pada bab 6,yaitu:

~E = ~E ei(ωt−~k·~r), ~B = ~B ei(ωt−~k·~r). (8.1.11)

~E dan ~B kenyataannya adalah konstan pada suatu bidang datar yang tegak lurus terhadap vektor ~k.Seperti dapat dibandingkan dengan pers[8.1.8], haruslah

k =ωc=

2πνc=

2πλ

; (8.1.12)

dalam hal ini ν adalah bilangan getar (frekuensi), dan λ adalah panjang gelombang yang merambat.Untuk mempercayai bahwa penulisan dalam bentuk bilangan kompleks pada pers[8.1.11] meru-

pakan persamaan gelombang datar pula, dapat diurut atau diturunkan hubungan antara~E dan ~B, ataujuga ~E dan ω dari persamaan Maxwell, pers[8.1.1]. Untuk menurunkannya, turunkan pers[8.1.11]terhadap waktu, selanjutnya kalikan fungsi turunan tersebut dengan iω. Dengan cara yang serupa,untuk relasi ~k dan ω, turunkan relasi pers[8.1.11] terhadap x dan kalikan hasil turunan dengan −i kx.Dengan aturan:

∂∂ t→ iω

∂∂ x→ −i k, (8.1.13)

melalui substitusi pers[8.1.11] pada pers[8.1.1] dengan mengalikan dengan i dan dengan memper-hatikan kembali pers[8.1.7], diperoleh relasi sbb:

~k × ~B = −ω~Ec2

~k · ~E = 0, (8.1.14)

~k × ~E = −ω ~B ~k · ~B = 0.

Dari persamaan ini diketahui pula bahwa baik ~E maupun ~B terletak tegak lurus terhadap ~k, ataudengan perkataan lain gelombang adalah transversal. ~E dan ~B selalu saling tegak lurus satu sama lainsedemikian, sehingga arah urut-urutan ~k, ~E dan ~B dapat dipilih sesuai dengan urut-urutan koordinatx, y, z dalam sistem koordinat kartesian. Sesuai dengan hal ini, pada pembicaraan di atas, arahsumbu x dipilih sesuai dengan arah ~k dan dipilih ~E ‖ y dan ~B ‖ z. Akhirnya dari pers[8.1.14] akandidapat pula kembali tidak hanya persamaan transisi pers[8.1.12], melainkan diperoleh pula relasiyang dinyatakan oleh pers[8.1.6], yaitu B = E

√ε µ = E/c.

Selanjutnya fungsi gelombang kembali dibuat dalam bentuk penulisan real dan anggap sumbux adalah arah di mana gelombang merambat. Sementara pada pers[8.1.6] medan ~E dan ~B masing-masing terletak pada arah sumbu y dan z, maka fungsi gelombang datar monokromatik dapat ditulisdalam bentuk:

Ey = a cos (ω t − k x − ψ),Ez = b cos (ω t − k x − χ),

(8.1.15)

8.1. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DI VAKUUM 195

Gambar 8.1: Getaran elips dari medan E pada cahaya terpolarisasi eliptik.

By = −bc

cos (ω t − k x − χ),

Bz =ac

cos (ω t − k x − ψ),

dengan amplitudo masing-masing a dan b dan konstanta fase adalah ψ dan χ. Dengan gambaranini, apabila x tetap, titik ujung medan ~E terhadap waktu umumnya akan bergerak di bidang y − zberbentuk elips, yang berdasarkan gbr[8.1] terletak di dalam segiempat dengan panjang 2a dan lebar2b dan memenuhi persamaan elips sbb:

E2y

a2 +E2

z

b2 −2 Ey Ez

a bcos (ψ − χ) = sin2(ψ − χ).

Pers[8.1.15] menggambarkan getaran gelombang terpolarisasi eliptik. Jika konstanta fase keduanyasama (ψ = χ), maka pers[8.1.15] akan mengambarkan gelombang terpolarisasi linier, dengan bidangpolarisasi membentuk sudut arctan (b/a) terhadap bidang x− y. Jika a = b dan ψ−χ = π/2 atau −π/2,maka akan terjadi gelombang terpolarisasi lingkaran; untuk beda fase π/2 medan ~E akan mengalamirotasi pada arah positif, atau pada sesuai dengan arah putaran jarum jam terhadap arah rambatannya,sedangkan untuk beda fase −π/2 medan mengalami rotasi pada arah kebalikannya (negatif).

Selanjutnya akan dicari berapa besar kerapatan energi u yang terdapat pada gelombang danberapa besar vektor Poynting ~S. Untuk menjawab pertanyaan pertama, dari pers[8.1.15] dan [8.1.7],dengan merata-ratakannya terhadap waktu didapat relasi:

u =12

(ε ~E2 + µ ~H2)t=ε2

(a2 + b2),

sementara vektor Poynting hanya memiliki harga dari komponen x, yaitu:

S = Sz = Ey Hy − Ez Hzt=ε c

2(a2 + b2).


Sehingga untuk setiap gelombang datar di vakuum berlaku relasi:

S = c u. (8.1.16)

Dalam waktu dt melalui elemen luas d f , di bidang y − z, terdapat sejumlah S d f dt energi yangdapat dianggap terkemas di dalam selinder dengan luas penampang lintang d f dan panjang c dt.Sementara berdasarkan pers[7.4.31] melalui elemen luas tersebut, dalam waktu dt terdapat radiasi(pancaran) momentum sebesar jS c d f dt = S d f dt/c = u d f dt.

Selanjutnya dapat dilakukan perbandingan hasil perhitungan di atas dengan catatan yangdiberikan untuk pers[7.4.31] tentang teori kuantum cahaya, jika seandainya hasil di atas bertentangan,maka dapat dikatakan bahwa struktur teori gelombang elektromagnetik akan jelas bertentangan.

Catatan: Dalam sistem Gauss pers[8.1.1] menjadi:

~∇ × ~B∗ =1c∂ ~E∗

∂ t, ~∇ · ~E∗ = 0, (8.1.17)

~∇ × ~E∗ = −1c∂ ~B∗

∂ t, ~∇ · ~B∗ = 0,

dengan tambahan pemilihan satuan kecepatan cahaya c. Dari persamaan di atas diperoleh pulapersamaan gelombang dalam sistem satuan Gauss sbb:

~∇2~E∗ =1c2

∂2~E∗

∂ t2 dan ~∇2~B∗ =1c2

∂2~B∗

∂ t2 , (8.1.18)

dengan c adalah kecepatan cahaya di vakuum. Pernyataan persamaan gelombang dalam satuanGauss menyebabkan informasi bahwa kecepatan cahaya, seperti dinyatakan dengan gemilang padapers[8.1.7], dapat diukur dari besaran konstanta elektromagnetik menjadi lenyap.

Hubungan yang terdapat pada pers[8.1.12], yaitu hubungan antara ω, k dan c tetap berlakuseperti adanya, atau tidak mengalami perubahan samasekali; dari pers[8.1.11] diketahui pula bahwauntuk gelombang datar monokromatik yang merambat di ruang vakuum berlaku: ~E∗ = ~D∗ = ~H∗ = ~B∗,yaitu semua amplitudo gelombang sama besar.

8.2 Konstanta Bahan dan Gelombang Elektromagnetik

Pada bab ini akan dibahas rambatan gelombang elektromagnetik di dalam medium diam, ho-mogen dan isotrop dan persoalan akan dibatasi untuk bahas yang dapat terpolarisasi dan termag-netisasi secara normal, sehingga tidak terdapat gaya paksaan (gaya tambahan) dan hubungan ~E dan~D, demikian pula ~B dan ~H tetap linier.

Hubungan persoalan ini dengan persamaan Maxwell yang berlaku untuk gelombang elektro-magnetik yang merambat di dalam medium akan diperoleh dengan menghubungkan persamaanMaxwell dengan persamaan penghubung:

~D = ε ε ~E, ~B = µµ ~H dan ~g = σ~E. (8.2.1)

8.2. KONSTANTA BAHAN 197

pada pers[7.1.4] dan semua besaran-besaran materi ε, µ dan σ dipandang sebagai besaran yang tetap(konstanta). Akan tetapi dari sudut pandang teori elektron dapat dimengerti, demikian pula telahdibuktikan secara eksperimen, bahwa semua besaran-besaran materi tersebut tidak lagi mempun-yai harga yang konstan jika ditempatkan di dalam medan berubah-ubah pada frekuensi tinggi ataugelombang cahaya, melainkan di samping bergantung pada frekuensi cahaya ω dan vektor rambatcahaya ~k. Kunci utama terletak pada elektron yang terdapat di dalam materi dengan bertambahnyafrekuensi gelombang elektromagnetik, karena kelembaman elektron pengaruh medan akan semakinlemah. Dalam pembahasan ini akan diperjelas kaitan kelakuan elektron di dalam medan elektro-magneti terhadap harga konduktivitas σ dan konstantan dielektrik ε dari materi yang dirangkumdalam besaran dinamis masing-masing. Harga permeabilitas relatif µ dalam pengamatan ini tidakdiperhitungkan, dianggap harga µ tetap 1, yaitu untuk materi selain besi lunak dan materi yangmempunyai sifat mirip ferromagnetik dengan harga µ dapat mencapai 500.

a) Harga Konduktivitas Dinamis.

Adanya pengaruh kelembaman (massa) elektron konduksi pada harga konduktivitas telahpun dije-laskan pada § 4.2. Pada bab dijelaskan bahwa konduktivitas dapat diperoleh dari hubungan antarakerapatan arus dan medan melalui hukum Ohm ~g = σ~E. Melalui relasi tersebut, bersama-samadengan pengaruh kelembaman elektron, diperoleh persamaan gerak elektron konduksi, seperti dit-uliskan pada pers[4.2.12], yaitu:

τd~gd t+ ~g = σ ~E, (8.2.2)

dengan τ adalah waktu tumbukan atau waktu relaksasi dan σ adalah harga konduktivitas untukmedan elektrostatik (statik), yang diberikan sebagai:

σ =n e2 τ

m; (8.2.3)

n adalah kerapatan elektron konduksi dengan muatan e = e (untuk tembaga pada 0C σ = 6, 45 ·107Ω−1 m−1, n = 8, 4 · 1028 m−1, τ = 2, 7 · 10−14 det.

Bergetarnya medan ~E dan tentunya juga ~g dengan frekuensi ω menyebabkan keduanya bergan-tung pada eiωt, sehingga dari pers[8.2.2] didapat relasi:

(iωτ + 1)~g = σ ~E, dengan ~g = σ~E

dengan konduktivitas dinamis:σ =

σ1 + iωτ

. (8.2.4)

Selama ω 1/τ, σ tetap mempunyai harga real, yaitu sama dengan σ. Dengan bertambahnyaω, dengan bertambahnya ukuran bagian σ imajiner akan semakin negatif, hingga harganya akanimajiner sepenuhnya untuk ω 1/τ dan untuk kasus terakhir ini, ~g tidak lagi sefase dengan ~E ,melainkan ∂~g/∂t sefase dengan ~E.

Pada beberapa logam, yang termasuk superkonduktor, harga tahanan jenis akan turun secaradrastis menuju nol pada temperatur tertentu. Megapa harga tahanan jenis tersebut dapat mempunyaikelakuan demikian, belum ada penjelasan fenomenologis yang memuaskan untuk hal tersebut, akan


tetapi dari penjelasan di atas, melalui σ, kejadian tersebut dapat dianggap jika harga τ di bawahtemperatur transisi sangat besar menuju tak berhingga. Untuk kasus ini dengan membagi pers[8.2.2]dengan τ, kemudian dianggap bahwa τ→∞ diperoleh persamaan:

∂~g∂ t=

n e2

m~E = Λ ~E, dengan Λ =

n e2

m. (8.2.5a)

Dari persamaan di atas dilakukan operasi rotasi, maka akan diperoleh relasi hukum induksi

∂ ~∇ × ~g∂ t

= Λ ~∇ × ~E = −Λ∂ ~B∂ t,

yang dalam kasus arus bolak-balik harmonik adalah identik dengan persamaan sbb:

~∇ × ~g = −Λ ~B. (8.2.5b)

Kedua relasi pada pers[8.2.5a] dan [8.2.5b] di dalam teori umum superkonduktor dapat dianggapberlaku dan disebut sebagai persamaan London .

Ketergantungan konduktivitas listrik σ terhadap frekuensi ω yang diberikan pada pers[8.2.4]dapat pula bergantung pada vektor rambat gelombang ~k, jika dipandang adanya inhomogenitaskerapatan elektron di dalam ruang dan peristiwa difusi. Dalam kasus ini menurut hukum Ohmseperti telah diberikan pada pers[4.2.15], pada suku tambahan yang menyatakan adanya difusi,masih harus ditambahkan proporsionalitas suku tersebut terhadap vektor rambat gelombang ~k,sebagai pengembangan lebih lanjut dari hukum Ohm yang diberikan pada pers[8.2.2].

Sebagai penutup pembahasan tentang konduktivitas dinamis akan dipandang secara khususkasus σ bergantung pada ~k, yaitu dengan menggunakan pers[8.2.4] atau dapat langsung dihitungmelalui persamaan diferensial pada pers[8.2.2] dan beberapa catatan tambahan berikut. Jika medan~E = ~E(t) sebagai fungsi waktu yang diketahui, maka penyelesaian ~g = ~g(t) persamaan ini, denganσ = n e2 τ/m diberikan secara langsung sebagai:

~g(t) =n e2

m

t∫−∞

~E(t′) e−(t−t′)/τ dt′, (8.2.6)

seperti halnya dapat dibuktikan dengan mensubstitusikan ke pers[8.2.2]. Rumusan di atas dapatditurunkan pula dengan menggunakan teorema Fourier, dengan~g(t) dan ~E(t) sebagai integral Fourier

~g(t) =

+∞∫−∞

~gω eiωt dω, ~E(t) =

+∞∫−∞

~Eω eiωt dω,

dengan

~gω = σ~Eω =σ ~Eω

1 + iωτdan transformasi baliknya dapat dituliskan sebagai:

~Eω =1

2π

+∞∫−∞

~E(t′) eiωt′ dt′.


Dengan demikian maka didapat:

~g(t) = σ

+∞∫−∞

~Eω eiωt dω1 + iωτ

=σ

2π i τ

+∞∫−∞

~E(t′) dt′+∞∫−∞

eiω(t−t′) dωω − i/τ

,

dengan urutan integrasi dapat dipertukarkan dan dalam hal ini ~E(t) tetap dapat dipilih sedemikian,sehingga medan dalam interval waktu tertentu tidak berharga sama dengan nol. Selanjutnya akandicari integral ω dengan menggunakan bilangan kompleks: Terlihat bahwa integrand di bidangkompleksω hanya mempunyai satu kutub, yaitu padaω = 1/τ. Jika jalan integrasi dari panjang awalsumbu ω real digeser hingga ke bidang imajiner negatif, tidak akan ditemukan kutub; karenanyauntuk kasus t < t′, jalan integrasi dapat dipilih menuju ke sumbu imajiner negatif tak berhingga,di mana integrand akan cepat menuju nol karena mengandung suku eksponensial, sehingga hasilintegrasi yang diperoleh adalah sama dengan nol. Karenanya batas integrasi untuk integral terhadapt′ dapat ditentukan hanya dari −∞ hingga t. Untuk kasus t > t′ jalan integrasi dapat dilakukanhingga ke sumbu imajiner positif, di mana hasil integrasi juga sama dengan nol. Dengan demikianjalan integrasi yang tinggal hanya terbatas pada daerah kutub dengan ω = 1/τ, sehingga hanyadiperlukan untuk menghitung integral di sekitar kutub; perhitungan ini menghasilkan 2π i kaliresidu, yaitu harga eksponensial fungsi di tempat yang bersangkutan. Sebagai hasil akhir diperolehpenyelesaian pers[8.2.2] yang tidak lain sama dengan yang telah diberikan pada pers[8.2.6].

Pada hukum Ohm sederhana ~g = σ ~E, akan muncul pula integral yang berkaitan untuk harga~E(t) sembarang, di mana harga ~g pada saat t bergantung pada ~E yang dikondisikan pada seluruhharga t < t′. Perhitungan yang dilakukan di sini secara otomatis memberikan pengaruh maju dari~E ke masa depan, akan tetapi tidak memberikan pengaruh mundur ke masa yang lalu, yaitu sesuaidengan prinsip kausalitas yang dikenal di dalam Fisika.

b) Harga Permitivitas Dinamis.

Kelembaman elektron tidak hanya mempengaruhi harga konduktivitas, melainkan juga pada ke-lakuan listrik dari atom yang menyebabkan harga polarisabilitas α atom bergantung pada frekuensi,sehingga mempengaruhi pula harga konstanta dielektrisitas ε. Walaupun peristiwa dinamis di dalamatom ini dapat dimengerti melalui mekanika kuantum, akan tetapi J. J. Thomson dapat pula diang-gap berhasil menjelaskan peristiwa tersebut secara optik, dengan menggunakan mekanika klasik;Thomson menganggap bahwa elektron atom terikat secara elastik dengan inti atom. Tanpa meman-dang secara rinci model atom yang digunakan Thomson, dianggap bahwa masing-masing elektrondi dalam atom bergerak memenuhi persamaan sbb:

m(

d 2~rd t2 + γ

d~rd t+ ω2

~r = e~F

). (8.2.7)

Gaya penggerak elektron dalam persamaan di atas dianggap adalah sama dengan−mω2~r, sedangkan

gaya peredam yang sebanding dengan kecepatan elektron dan mempunyai arah berlawanan denganarah gerak adalah −γd~r/d t (dianggap γ ω) dan kedua gaya ini dipindahkan ke ruas kiri danpada ruas kanan hanya tingga gaya sebesar e~F, dengan ~F adalah medan yang bekerja pada posisi


di mana atom berada, seperti dijelaskan pada § 2.2. Masing-masing atom mempunyai momen dipollistrik sebesar ~p = e~r; maka dari pers[8.2.7] diperoleh persamaan penentu:

d 2~pd t2 + γ

d ~pd t+ ω2

~p =

e2 ~Fm. (8.2.8)

Dengan demikian harga polarisabilitas dapat dicari dari persamaan ~p = α~F, untuk medan statikharganya adalah α = α = e2/mω2

. Di dalam medan yang berubah-ubah, ~p, demikian pula dengan~F, bergantung terhadap waktu, yang dinyatakan dengan eiωt dan dari pers[8.2.8] didapat hargapolarisabilitas dinamis sbb:

α =e2/m

ω2 − ω2 + iωγ

. (8.2.9)

Bentuk kurva real dan imajiner dari α terhadap ω dilukiskan pada gbr[8.2]. Keadaan resonansi αterjadi jika ω = ω, dengan α untuk interval frekuensi yang sangat sempit, ω − γ < ω < ω + γ,mengalami perubahan drastis, sementara pada bagian imajinernya, terdapat harga ekstrim α. Di luardaerah resonansi harga α mendekati real, akan positif jika ω < ω dan negatif jika ω > ω. Untukkasus terakhir, elektron-elektron, seperti halnya pada semua peristiwa getaran lain, adalah denganfase berlawanan terhadap gaya penggerak getaran.

Polarisabilitas untuk suatu gas yang tidak begitu rapat, dengan kerapatan partikel n, berdasarkanpers[8.2.9] didapat sebesar:

ε = 1 +nαε

(8.2.10)

= 1 +n e2

εm1

ω2 − ω2 + iωγ

.

Untuk gas dengan kerapatan lebih besar, karena perbedaan antara ~F dan ~E berdasarkan pers[2.2.11],terdapat faktor koreksi pada ruas pada penyebut ruas kanan:

ε = 1 +n

ε − nα/3,

atau

ε − 1ε + 2

=nα3 ε

(8.2.11)

=n e2

3 ε1

ω2 − ω2 + iωγ

.

Untuk kasus nα ε faktor koreksi ini dapat diabaikan dan diperoleh hubungan antara ~D dan ~Esbb:

~D = ε ε ~E = ε

1 +

n e2

εm1

ω2 − ω2 − iωγ

. (8.2.12)


Gambar 8.2: Kurva polarisabilitas terhadap frekuensi di dekat daerah resonansi: a) adalah bagian real dan b) bagianimajiner.

Apabila dalam kasus ini ~F ≈ ~E tidak bersifat harmonik sempurna, melainkan ~E(t) diketahui sebagaifungsi waktu sembarang, maka penyelesaian khusus pers[8.2.8] menjadi:

~D(t) − ε ~E(t) = ~P(t)

= −n e2

m√ω2 − γ2/4

+∞∫−∞

~E(t′) e−γ(t−t′)/2×

sin

√ω2 −

γ2

4(t − t′)

dt′. (8.2.13)

Dalam hal ini polarisasi ~P secara automatis memberikan pengaruh lanjut, yaitu dengan periodepengaruh sebesar 2/γ, dengan γ adalah konstanta redaman getaran atom.


Tentunya untuk kasus ini, seperti halnya pada konduktivitas, penyelesaian pers[8.2.13] dari per-samaan diferensial pers[8.2.8] dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi Fourier, yaitudengan mengintegrasi persamaan terhadap semua frekuensi yang memenuhi; akan tetapi dalamkasus ini terdapat dua kutub, yaitu pada ω = iγ/2 ±

√ω2 − γ2/4 yang diketahui dari penyebut

pers[8.2.9].

Catatan: Semua rumusan yang telah dibahas dalam bab ini, secara formal tidak mengalami peruba-han jika ditulis dalam sistem satuan Gauss. Hanya rumusan yang terdapat pada pers[8.2.10] dan[8.2.11], suku α/ε diganti dengan 4πα∗ dan pers[8.2.12] mengalami perubahan menjadi:

~D∗ = ε ~E∗ = ~E∗

1 +4πn e2

m1

ω2 − ω2 + iωγ

.

8.3 Gelombang Datar di dalam Bahan Homogen

Setelah mempersiapkan diri pada bab sebelumnya, sekarang dapat dimulai untuk mencari penye-lesaian persamaan Maxwell, pers[7.1.4], untuk gelombang datar yang merambat di dalam materi.Anggap, seperti pada pers[8.1.1], semua besaran medan, termasuk besaran ~g dan % adalah be-saran yang bergantung terhadap waktu dalam bentuk ei(ωt−k r), maka pers[7.1.4] dengan pertolonganpers[8.1.13] dan dikali dengan bilangan kompleks i menjadi:

~k × ~H = −ω ~D + i~g, (8.3.1)~k · ~D = i %,~k × ~E = ω ~B,~k · ~B = 0

dari persamaan kontinuitas atau dari dua persamaan pertama pada pers[8.3.1] didapat relasi:

ω% = ~k · ~g. (8.3.2)

Di samping relasi di atas, diketahui pula persamaan penghubung besaran-besaran medan sbb:

~D = ε ε ~E, ~B = µµ ~H, dan ~g = σ~E, (8.3.3)

dengan besaran-besaran bahan yang telah diketahui dari § 8.2 dan mengeliminasi semua besaran~D, ~H, ~g dan %, diperoleh persamaan sbb:

~k × ~B = −µµ (ε εω − i σ) ~E, (8.3.4)

ωε ε ~k · ~E = iω% = i σ~E,~k × ~E = ω ~B,~k · ~B = 0.

8.3. GELOMBANG DATAR DI DALAM BAHAN HOMOGEN 203

Relasi ini berlaku untuk bahan (material) homogen, isotropik, sedangkan relasi pada pers[8.1.14],yaitu persamaan Maxwell untuk ruang vakuum dapat diperoleh dari pers[8.3.4] jika konstan-konstanta bahan adalah ε = 1, µ = 1, σ = 0 dan dengan 1/ε µ = c2

.Kebalikan dengan kasus di vakuum, untuk gelombang elektromagnetik yang merambat di dalam

bahan, didapat dua penyelesaian dari pers[8.3.4] sbb:

~k · ~E = 0, ω ε ε = i σ. (8.3.5)

Selanjutnya kedua penyelesaian ini akan dibahas secara terpisah.Pada penyelesaian pertama, seperti halnya untuk kasus di ruang vakuum, ~E dan ~B yang terletak

saling tegak lurus satu sama lain, terletak tegak lurus pula terhadap vektor rambatan gelombang ~ksedemikian, sehingga urutan vektor ~k, ~E dan ~B adalah identik seperti urutan koordinat kartesian x, ydan z. Dengan demikian dalam penyelesaian pertama ini mengandung pula gelombang transversal;selanjutnya karena pada masing-masing vektor-vektor ~E dan ~B muncul satuan imajiner, kedua vektorini akan mempunyai pergeseran fase satu sama lain. Gelombang yang merambat secara elektrisadalah netral % = 0. Dan akhirnya untuk kasus di vakuum, selain berlaku relasi yang dinyatakanpada pers[8.1.12], berlaku pula persamaan berikut:

k2 = ε ε µµω2(1 −

i σε εω

)= ε µ

ω2

c2

(1 −

i σε εω

), (8.3.6)

yang dinyatakan dalam besaran-besaran dinamis yang dibahas pada § 8.2.Selanjutnya padang kelakuan gelombang di dalam isolator σ = 0. Dalam kasus ini harga k selain di

daerah yang sangt dekat dengan kondisi resonansi adalah real dan harganya sama denganω√ε µ/c.

Substitusikan harga tersebut ke dalam persamaan gelombang ei(ωt−k r) dan akan memberikan hasilberikut, jika normal gelombang dianggap berada pada sumbu x

ei(ωt−kr) = eiω(t−x√εµ/c). (8.3.7)

Gelombang ini akan merambat di dalam isolator dengan kecepatan

c =c√ε µ=

1√ε ε µµ

. (8.3.8)

Berdasarkan teori optik, berlaku hubungan kecepatan di atas dan indeks bias bahan yang disebutsebagai relasi Maxwell sbb 1:

n =√ε µ. (8.3.9)

Untuk isolator berlaku bahwa hasil kali konstanta dielektrisitas dan permeabilitasnya, untuk daerahdi luar resonansi ε(ω), adalah sama dengan indeks bias kuadrat dari isolator yang bersangkutan.Dalam daerah tersebut berlaku dε/dω > 0, demikian pula halnya dn/dω > 0 dan keduanya adalahsesuai dengan rumusan yang diberikan pada pers[8.2.10] dan [8.2.11], demikian pula dengan hasileksperimen ybs (”‘dispersi normal”’).

1Kekeliruan penggunaan simbol n untuk indeks bias di atas dengan simbol n yang digunakan untuk menyatakankerapatan elektron pada § 8.2 tentunya dapat dihindarkan.


Maxwell sendiri telah memasukkan konstanta dielektrik pada pers[8.3.9]. Relasi ini masih berlakuhingga daerah frekuensi gelombang radio dan daerah getaran lamban ultravolet, akan tetapi relasitersebut tidak lagi dapat digunakan untuk sejumlah besar bahan dalam daerah panjang gelombangcahaya tampak, walaupun akan diperoleh pula kesesuaian jika seandainya bahan diperlakukandengan menggunakan gelombang ultramerah dalam daerah absorpsi selektifnya, yaitu daerah dimana menunjukkan adanya resonansi. Relasi ini khususnya tidak berlaku untuk air; bahan inimempunyai konstanta dielektrik ε = 81 dan ω = 0, meskipun indeks bias air pada daerah panjanggelombang cahaya tampak hanya n = 1, 33.

Di dekat daerah frekuensi resonansi harga ε adalah kompleks, dinyatakan dalam bentuk:

√ε µ = n = n − iχ (8.3.10)

yang menyatakan indeks bias komplek terdiri dari indeks bias real n positif dan indeks bias positifimajiner χ.

Bahwa harga χ selalu positif dan seharusnya memang demikian, dapat dilihat dari pers[8.3.10]atau dari pernyataan berikut:

ei(ωt−kx) = eiω(t−xn/c) = et−nx/c e−ωχx/c . (8.3.11)

Gelombang yang merambat di dalam bahan akan mengalami pelemahan secara eksponensial, mis-alkan jika gelombang merambat sejauh satu panjang gelombang (ωn x/c = 2π) akan melemahsebesar e−2πχ/n. χ selanjutnya disebut sebagai koefisien ekstingsi.

Pada logam, karena suku yang mengandung konduktivitas pada pers[8.3.6], vektor rambat gelom-bang ~k berharga kompleks. Karenanya dapat pula ditunjukkan, dengan menggunakan indeks biaskompleks n, substitusikan:

k =ω nc

(8.3.12)

ke persamaan:

n = n − iχ =

√ε µ

(1 −

i σε εω

)=

√ε µ

(1 −

i σε εω (1 + iωτ)

); (8.3.13)

Pada persamaan di atas harga σ diperoleh dari pers[8.2.4].Selama ω 1/τ, yaitu untuk gelombang yang cukup panjang, suku iωτ yang terdapat pada

penyebut dapat diabaikan dibanding dengan 1, tentunya juga angka satu yng terdapat di depanharga konduktivitas; pada logam diketahui bahwa perbandingan σ/ε 1/τ (misalnya untukTembaga pada temperatur 0C, harga pendekatan σ/ε = 7, 3 · 1018 ) det−1 dan dibanding denganharga 1τ = 3, 7 · 1013 det−1). Untuk kasus ω 1/τ diperoleh harga pendekatan sharga n dalamσ, ε, µ, dan ω sbb:

n ≈ χ ≈√

µσ2 εω

; (8.3.14)

sehingga dapar dikatakan bahwa suatu gelombang yang merambat di dalam konduktor sejauh satupanjang gelombangnya akan melemah dengan faktor e2π

≈ 0, 028. Selanjutnya didefinisikan istilah

8.3. GELOMBANG DATAR DI DALAM BAHAN HOMOGEN 205

kedalaman penembusan d yaitu kedalaman (lintasan) yang ditempuh gelombang di dalam bahan se-hingga gelombang mengalami pelemahan dengan faktor 1/e; dari pers[8.3.11] dan [8.3.13] kedalamanpenembusan d tidak lain adalah

d =cωχ

=

√2 ε c2

µσω=

√2

µµ σω=

√1

πµµ σ ν. (8.3.15)

Sebagai contoh untuk Tembaga yang ditembus gelombang dengan frekuensi nu = 50 Hz akan meng-hasilkan kedalaman penembusan d = 8, 9 mm dan pada ν = 5 · 107 Hz didapat d = 8, 9µm. Harga dini menyatakan adanya efek pelindung dari panjang gelombang yang mengenai bahan.

Apabila ω 1/τ, maka angka 1 pada penyebut dapat diabaikan, atau dengan perkataan lainsuku penyebut yang bersangkutan hanya mengandung iωτ, sehingga diperoleh harga n pendekatansbb:

n ≡ n − iχ ≈

√ε µ

(1 −

σε εω2 τ

)=

√ε µ

1 −ω2

p

ω2

, (8.3.16)

jika didefinisikan

ω2p =

σε ε τ

=n e2

ε εm. (8.3.17)

Nantinya besaranωp ini disebut sebagai frekuensi dasar plasma ; harganya untuk Tembaga sekitar 1, 64 ·1016 det−1, jika dianggap ε = 1. Selama ω ωp perhitungan selalu berhubungan dengan absorpsikuat χ ≈

√ε µωp/ω, yang menghasilkan kedalaman penembusan d tidak bergantung frekuensi, yaitu

d ≈ c/ωp√ε µ, pada Tembaga misalnya d = 2 · 10−8 m= 0, 02µm. Jika ω bertambah besar hingga

melewati hargaωp, maka harga indeks bias praktis real. Dalam daerah ini, jika ketebalan logam tidakbegitu tebal, logam-logam tersebut praktis transparan (tembus pandang). Dasar dari peristiwa iniadalah, bahwa untuk kasus ωp ωp terdapat arus pergeseran yang besar dibanding dengan aruskonduksi; pada frekuensi tinggi demikian konduktor akan bersifat mirip isolator.

Dasar pemikiran yang sama juga dapat digunakan untuk menjelaskan jumlah plasma gelas, men-gandung ion dan elektron bebas, yang sedikit jumlahnya di ionosfir. Di plasma gelas demikian,karena kerapatan elektron yang kecil (frekuensi lebih kurang 107 hingga 108 Hz), maka substitusiharga ω ≥ ωp pada frekuensi tinggi dapat dibuktikan secara eksperimen.

Selanjutnya akan dibahas penyelesaian kedua dari pers[8.3.4], yang diberikan melalui relasi keduayang terdapat pada pers[8.3.5]. Untuk kasus ini berlaku ~B = 0, diperoleh dengan menilik kembalipersamaan pertama dan keempat pers[8.3.4], karenanya getaran hanya berhubungan dengan medanlistrik, tidak lagi berhubungan dengan medan magnet. Dalam kasus ini lebih jauh lagi, berdasarkanhukum induksi atau persamaan ketiga pers[8.3.4], getaran ~E adalah logitudinal, karena relasi ~g = σ~Edan persamaan kontinuitas menyebabkan kerapatan muatan juga mengalami getaran. Frekuensigetaran kerapatan muatan diberikan sebaggai ωε ε = 1 σ dan untuk logam, berdasarkan pers[8.2.4]dan ε ≈ 1 melallui

ωε ε =i σ

1 + iωτ, atau ω2

−iωi τ= −

σε ε τ

= 0. (8.3.18)

Dari persamaan di atas diperoleh frekuensi eigen kompleks, yang karena pers[8.3.17] dan ωp 1/τ

terjadi getaran teredam lemah dengan frekuensi real sama dengan√ω2

p − 1/4/τ2 ≈ ωp dan konstanta


redaman bergantung waktu adalah sesuai dengan 2 τ. Karena kasus ini berhubungan dengan getaran,di mana terdapat plasma elektron yang membentuk elektron konduksi yang bergetar terhadap ion kisiyang relatif diam, ωp disebut sebagai frekuensi plasma.

Relasi ω pada pers[8.3.18] dapat pula diperoleh secara langsung dari hukum Ohm yang dimodi-fikasi pada pers[8.2.2] secara langsung dengan mengoperasikannya dengan operator divergensi dandengan memandang kembali persamaan kontinuitas; karenanya pers[??] didapat dari

τ∂2 %

∂ t2 +∂ %

∂ t= −σ ~∇ · ~E = −

σ %

ε ε= −τω2

p % (8.3.19)

dengan frekuensi % ∼ eiω t. Seandainya pers[8.2.2] masih ditambahkan suku yang menyatakan di-fusi seperti dinyatakan pada pers[4.2.15], maka dengan operasi divergensi seperti di atas, pada ruaskanan pers[8.3.19] masih akan muncul suku tambahan ~∇2%, sehingga persamaan ini akan mempun-yai bentuk analog dengan persamaan gelombang dengan suku yang menyatakan adanya redamandiberikan dengan ∂ %/∂ t. Dalam kasus ini terjadi getaran plasma, sehingga di samping diperolehfrekuensi kompleks gelombang plasma, seperti diberikan pada pers[8.3.18], diperoleh pula hubungankompleks ω dengan vektor rambat ~k gelombang ini.

Pada nonkonduktor (σ = 0) juga didapat penyelesaian kedua pers[8.3.4], yaitu untuk frekuensiω, untuk

ε(ω) = 0. (8.3.20)

Dengan berlakunya harga ε pada pers[8.2.10] dan harga α pada pers[8.2.9] adalah untuk kasus

nα = −ε, dan nα = −3ε2,

yaitu untuk

ω2− iωγ = ω2

+n e2

εmdan ω2

− iωγ = ω2 +

2 n e2

3 εm; (8.3.21)

dalam persamaan di atas n bukan lagi mempunyai arti sebagai kerapatan elektron, melainkan kerap-atan atom yang mempunyai polarisabilitas α. Dalam hal ini terdapat frekuensi getaran tambahan didalam bahan yang orde besarnya sama dengan frekuensi di dalam logam; hal ini juga berhubungandengan getaran polarisasi dengan ~D = 0 dan % = 0, yang secara praktis sukar diamati.

Catatan: Dalam sistem satuan Gauss relasi yang terdapat pada § 8.3 adalah analog dengan relasiuntuk besaran medan yang telah berlalu, semua yang selain ε diganti dengan 1/4π. Sebagai contohpenyelesaian kedua pers[8.3.4] untuk frekuensi diperoleh relasi ωε = 4π i σ∗ dan frekuensi plasmaωp diberikan sebagai:

ω2p =

4πn e2

εm. (8.3.22)

8.4 Refleksi Gelombang Elektromagnetik di Bidang Batas

Sekarang pandang gelombang elektromagnetik yang berasal dari ruang vakuum dan masukmenembus permukaan normal pada bidang y− z dari suatu bahan yang dapat mengalami polarisasi

8.4. REFLEKSI GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK 207

dan magnetisasi. Untuk pembahasan pertama pandang kasus di mana gelombang jatuh tegaklurus permukaan dan mengalami polarisasi dengan arah ~E ‖ y dan ~B ‖ z. Berdasarkan pengalamandiketahui bahwa gelombang yang datang di permukaan bahan akan ”‘terpecah”’ menjadi gelombangrefleksi yang merambat kembali ke ruang vakuum pada dengan arah rambatan ke sumbu x negatifdan gelombang yang merambat di dalam bahan pada arah sumbu x positif, yaitu sebagai gelombangtransmisi.

Sebagai medium yang dianggap homogen dan isotropik yang memenuhi pers[8.3.10], mempunyaiindeks bias n = n− iχ, sementara ruang indeks bias ruang vakuum adalah n = 1. Telahpun diketahuibahwa sesuai dengan persamaan Maxell, komponen tangensial~E dan komponen normal ~B memenuhisyarat kontinuitas di antara dua bidang batas antara dua medium, sementara Dn dan Ht akan kontinu,seperti untuk kasus ini, hanya jika tidak terdapat muatan permukaan dan arus.

Dengan memandang kembali pers[8.1.14] dan [8.3.4], persamaan Maxwell dipandang memenuhipersamaan berikut:

Gelombangdatang(x < 0) :

E(e)y = a eiω(t−x/c), B(e)

y =ac

eiω(t−x/c) (8.4.1)

Gelombangrefleksi(x < 0) :

E(r)y = a′ eiω(t+x/c), B(r)

y =a′

ceiω(t+x/c),

Gelombangtransmisi(x > 0) :

Ey = a′′ eiω(t−nx/c), By =n a′′

ceiω(t−nx/c).

Untuk vakuum, berdasarkan pers[8.1.12], berlaku k = ω/c dan di dalam medium, dari pers[8.3.12]k = nω/c, sementara dari pers[8.3.13] diperoleh pula relasi indeks bias kompleks sbb:

n =√ε µ(1 − iσ/ε εω). (8.4.2)

Dari syarat kontinuitas dapat dicari amplitudo a′ dan a′′ yang belum diketahui, yaitu:

KontinuitasdariEt : E(e)y + E(r)

y = Ey, a + a′ = a′′

KontinuitasdariHt : B(e)z + B(r)

z =By

µ , a − a′ =a′′ nµ

Dari hubungan di atas diperoleh:

a′

a=µ − nµ + n

,a′′

a=

2µµ + n

(8.4.3)

Koefisien refleksi R bahan didefinisikan sebagai perbandingan antara intesitas gelombang yang dire-fleksikan dan gelombang datang. Karena gelombang yang direfleksikan, begitu pula gelombangdatang merambat di vakuum, maka perbandingan vektor Poynting keduanya adalah sama denganperbandingan kuadrat dari a dan a′:

R =a′ a′∗

a a∗=

(µ − n)(µ − n∗)(µ + n)(µ + n∗)

=(n − µ)2 + χ2

(n + µ)2 + χ2 . (8.4.4)


Untuk medium transparan (χ = 0) diperoleh relasi yang telah dikenal baik dalam optik, yaitu:

R =(n − µ)2

(n + µ)2 =(√ε/µ − 1)2

(√ε/µ + 1)2

, danjikaµ = 1 didapat

R =(n − 1)2

(n + 1)2 . (8.4.5)

Dengan bertambahnya absorpsi, reflektansi juga akan meningkat. Pada logam, apabila frekuensigelombang datang tidak begitu tinggi, yaitu dalam daerah berlakunya pers[8.3.14], dengan n ≈ χ 1,µ ≈ 1, harga pendekatan reflektansi mendekati 1:

R ≈ 1 −n

(n + 1)2 + χ2 ≈ 1 −2n≈ 1 −

√8 εωσ

. (8.4.6)

Rumus reflektansi di atas telah dibuktikan oleh Hagen dan Rubens untuk berbagai macam logamdan pada panjang gelombang panjang inframerah hingga 25µm adalah memenuhi secara kuanti-tatif. Sifat-sifat optis dari logam ditentukan oleh konduktivitas σ arus searah hingga daerah panjanggelombang ini. Pada daerah panjang gelombang lebih kecil lagi, diperoleh harga reflektansi yanglebih kecil dibanding yang diberikan pada pers[8.4.6], sesuai dengan pengamatan yang telah di-lakukan pada § 8.2 untuk konduktivitas listrik dinamis pada ω = 1/τ; karena adanya kelembaman(pembawa massa) elektron tidak akan dapat mengikuti perubahan medan yang demikian cepat darigelombang cahaya.

Efek kelembaman ini lebih jelas diamati pada larutan elektrolit (misalnya: H2SO4 di dalam air),yang memiliki konduktivitas statik dan larutan masih menunjukkan sifat transparan. Karena untukkasus ini pembawa muatan adalah ion, yang apabila dibandingkan dengan leketrom memiliki massalebih dari seribu kali massa elektron, jelaslah bahwa larutan elektrolit yang diberikan medan listrikakan mempunyai sifat mirip isolator.

Kembali ke rumusan di atas dan selanjutnya ditentukan pula bahwa untuk harga n real, atauχ = 0, berdasarkan pers[8.4.3] pada daerah batas antara dua medium, vektor ~E gelombang yangdirefleksikan mempunyai fase yang berlawanan terhadap gelombang datang, atau dengan perkataanlain gelombang refleksi akan mengalami perubahan fase sebesar 180. Hal ini juga berlaku, sebagaipendekatan, untuk daerah berlakunya pers[8.4.6] untuk reflektansi pada logam. Yaitu a′/a ≈ −1 +2µ/n, a′′/a ≈ 2µ/n; atau kedua gelombang ini akan saling kompensasi di luar bahan, sehingga didalam logam hanya akan diteruskan medan listrik ~E yang sangat lemah. Sebaliknya kedua medan~B di luar bahan mempunyai arah yang sama dan besarnya mendekati sama, sehingga di dalamlogam akan terdapat medan ~B yang cukup besar. Akan tetapi medan ini akan mengalami pelemahanyang cukup besar karena adanya medan magnet induksi akibat adanya arus dari medan ~E, denganpelemahan untuk satu lintasan seperti diberikan pada kedalaman penembusan d.

Selanjutnya pandang kasus di mana gelombang datang membentuk sudut terhadap permukaan.Dalam kasus ini akan diperoleh empat fungsi fase, yaitu:

ei(ωt−kr), ei(ωt−k′r), ei(ωt−ktr) dan ei(ωt−klr),

dengan k, k′, kt dan kl masing-nasing sebagai vektor rambat gelombang datang, refleksi, transmisitransversal dan transmisi logitudinal. Agar syarat kontinuitas gelombang di bidang batas tidak

8.4. REFLEKSI GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK 209

hanya terpenuhi untuk setiap saat, melainkan juga untuk setiap titik di permukaan batas, makasemua komponen tangensial dari vektor ~k yang terletak di bidang batas haruslah mempunyai besaryang sama. Misalkan α adalah sudut yang dibentuk gelombang datang terhadap bidang batas, atausudut antara ~k dan normal bidang batas, α′ adalah sudut refleksi, β sudut gelombang ditransmisitransversal dan γ untuk gelombang transmisi longitudinal di dalam bahan, maka haruslah berlakurelasi sbb:

k sin α = k′ sin α′ = kt sin β = kl sin γ. (8.4.7)

Diketahui bahwa karena k = k′, tidak hanya memenuhi hukum refleksi di mana α = α′, tetapi jugarelasi kt = n kl memenuhi hukum pembiasan:

sin α = n sin β, (8.4.8)

dan untuk cahaya yang masuk ke medium transparan berlaku pula

sin α = n sin β. (8.4.9)

Untuk medium yang dapat mengabsorpsi cahaya indeks bias n akan berbentuk kompleks, demikianpula β, sehingga relasi di atas tidak lagi berlaku untuk gelombang di dalam medium, demikian pulaberlaku untuk kl dan γ.

Amplitudo gelombang kedua atau ketiga gelombang sekunder tentunya akan mengikuti pulakondisi syarat batas untuk vektor-vektor medan. Karenanya akan didapat berbagai kelakuan gelom-bang sekunder yang berbeda, tergantung apakah vektor ~E dari gelombang primer bergetar tegaklurus atau berada di permukaan ”‘jatuh”’ (dalam kasus ini permukaan tersebut dipilih bidang x− z).

Untuk kasus polarisasi pertama (~E ‖ sumbu y), dari syarat kontinuitas gelombang di permukaanbatas berlaku hanya untuk Ey, Bx dan Hz, sementara kontinuitas Bx akan diketahui jika diperoleh Eydan Hz. Dari syarat kontinuitas akan diketahui relasi untuk dua amplitudo gelombang sekunder,yaitu gelombang yang direfleksi dan gelombang yang ditransmisikan secara transversal. Gelombanglongitudinal dalam kasus ini tidak akan dapat menembus medium, karena gelombang datang dipermukaan batas tidak memiliki komponen yang masuk di dalam medium, atau dengan perkataanlain karena Ex = 0 !.

Untuk kasus polarisasi kedua (~B ‖ sumbu y), dari syarat kontinuitas gelombang di permukaanbatas berlaku hanya untuk Dx, Ex dan Hy. Karenanya muncul syarat kontinuitas lain, yaitu lebihtepat jika memilih gx = 0.

Apabila dipilih syarat demikian, maka karena Ex , 0, muatan akan bergerak secara periodis dipermukaan batas, yaitu muncul sebagai muatan atau arus permukaan, sementara Dx dan Hy tidakteramati mempunyai kontinuitas; untuk Hy harus diperhitungkan konduktivitas permukaan; semuakesukaran ini akan lenyap jika diperhatikan kerapatan muatan dan arus permukaan dan hanyadengan kerapatan muatan dan arus yang diketahui.

Pandang juga gx kontinu di permukaan bahan, maka didapat pula bahwa Dx juga kontinu, jikaEz, Hy dan gx kontinu. Karenanya akan didapat tiga relasi untuk amplitudo gelombang sekun-der, sehingga di dalam medium di samping akan terdapat gelombang transversal, juga gelombanglongitudinal.

Adanya gejala dominan rambatan gelombang plasma di dalam medium konduktor dan seba-liknya di dalam medium isolator hanya jika frekuensiω gelombang datang mendekati sesuai dengan


frekuensi gelombang plasma. Di luar daerah frekuensi ini dapat dilakukan perhitungan denganmengetahui pendekatan rumusan yang berlaku, tanpa harus memperhatikan apakah Dx dan gxmasing-masing kontinu atau tidak, melainkan hanya dengan kombinasi∂Dx/∂ t+gx = (iωε ε+σ) Ex;kondisi ini dapat diketahui kontinu jika Ez dan Hy juga kontinu. Dalam kasus ini praktis terdapat, disamping gelombang refleksi, hanya gelombang transmisi transversal di dalam medium. Gelombangplasma di dalam medium hanya terjadi jika frekuensi ω berada dalam daerah frekuensi plasma.

Selanjutnya untuk kasus polarisasi kedua diperhitungkan hanya dua gelombang sekunder, yaituuntuk kasus ~E tegak lurus dan ~E paralel terhadap permukaan dan didapat koefisien refleksi (tanpapembuktian) kedua kasus tersebut sbb:

R⊥ =∣∣∣∣∣µ cos α − n cos βµ cos α + n cos β

∣∣∣∣∣2 , R‖ =∣∣∣∣∣µ cos β − n cos αµ cos β + n cos α

∣∣∣∣∣2 . (8.4.10)

Khususnya untuk refleksi cahayapada medium transparan, tidak termagnetisasi (n = n, µ = 1) danjika disubstitusikan n = sin α/ sin β ke rumus Fresnel, diperoleh:

R⊥ =

sin(α − β)sin(α + β)

2

, R‖ =

tan(α − β)tan(α + β)

2

. (8.4.11)

Dengan R⊥ akan meningkat secara monoton pada α = 0 hingga berharga 1 pada α = 90 dibandingdengan harga R dan sebaliknya R‖ akan menurun hingga mencapai harga 0, untuk α+ β = 90, yaitujika tercapai tan α = n (polarisasi Brewster), terus meningkat secara monoton hingga berharga 1 1.

8.5 Efek Lapisan Tipis (Efek ”‘Skin”’)

Pandang sebuah kawat logam dengan penampang lintang berbentuk lingkaran dengan jari-jarir. Kawat ini dialiri arus bolak-balik dengan frekuensi ω. Di permukaan kawat di samping terdapatmedan listrik pada arah sumbunya, terdapat pula medan magnet pada arah tegak lurus medan listrikdan juga paralel terhadap permukaan. Secara kualitatif keduanya mempunyai kelakuan seperti yangtelah dibahas pada § 8.4, yaitu gelombang cahaya terdapat tegak lurus permukaan dan ditransmisikanke dalam logam. Untuk transmisi gelombang cahaya di permukaan logam (pada frekuensi yang tidakbegitu tinggi ω 1/τ), berdasarkan pers[8.3.15] telah diketahui kedalaman penembusan

d =

√2

µµ σω. (8.5.1)

Pada permukaan selinder akan terdapat kelakuan yang serupa. Yaitu jika perhitungan untuk itudilakukan dengan lebih rinci dibanding perhitungan untuk kasus gelombang yang menembus logamdatar; untuk itu pertama-tama perlu dipehatikan dua kondisi, yaitu:

1Pada kasus refleksi suatu cahaya yang pada awalnya tidak terpolarisasi di permukaan pada sudut Brewster, karenauntuk cahaya yang direfeksikan mengalami polarisasi linier, dengan R⊥ , 0, R‖ = 0, yang biasanya bidang polarisasi cahayaybs. dianggap sebagai permukaan atau bidang ”‘jatuh”’, Akan tetapi karena secara fisisvektor medan listrik gelombangcahaya tidak memberikan respons yang memadai, maka untuk kasus polarisasi linier dapat ditunjukkan bahwa pengertianbidang polarisasi dapat disamakan dengan bidang getar datu bidang arah getar dari vektor medan listrik.

8.5. EFEK LAPISAN TIPIS 211

1. r d: Medan bolak-balik tidak mengalami pelemahan pada saat memasuki permukaanhingga ke sumbu kawat; kerapatan arus hampir tidak mengalami perubahan, atau sama darisumbu hingga ke permukaan kawat.

2. Medan bolak-balik mengalami pelemahan, mulai dari luar dan hanya sebagian yang dapatmerambat sepanjang jari-jari kawat; karenanya kerapatan arus hanya terdapat pada suatulapisan tipis (dalah bahasa Inggris diistilahkan dengan skin), sementara di bagian dalam kawattidak terdapat arus sama sekali.

Untuk mengetahui secara kualitatif penembusan medan listrik bolak-balik di dalam kawat, kawatdinyatakan dalam koordinat selinder r, α ϑ dan pilih arah sumbu paralel dengan medan ~E = ~f(~r) eiωt,maka dari persamaan Maxwell, pers[7.1.4], dengan memandang persamaan penghubung, pers[8.3.3],didapat relasi sbb:

~∇2 ~E = −ω2 ε ε µµ

(1 −

i σωε ε

)~E,

karena operator ~∇2 dinyatakan dalam koordinat selinder dan besaran ~k sesuai dengan yang didefin-isikan pada pers[8.3.6], maka relasi di atas dapat ditulis dalam bentuk:

1~r∂

∂~r

~r ∂ ~E∂~r = −~k2 ~E. (8.5.2)

Khususnya pada konduktor yang baik untuk frekuensi ω 1/τ, berdasarkan pers[8.3.12] hingga[8.3.15] secara pendekatan diketahui bahwa k = (1 − i)/d, dengan d adalah kedalaman penembusanseperti diberikan pada pers[8.5.1].

Penyelesaian pers[8.5.2] merupakan persamaan Bessel orde ke nol yang mengandung argumeni k r = (1 + i)r/d. Dalam pembahasan ini cukup hanya dipandang penyelesaian untuk r d danr d, sesuai dengan batasan yang menjadi perhatian di sini.

Pada efek lapisan tipis (efek skin) lemah adalah penting untuk membuat E dalam bentuk deretdari variabel r/d, sehingga diperoleh (dengan (1 + i)2 = 2 i)

E(r, t) = E(0, t)∞∑ν=0

1(ν!)2

(i r2

2 d2

)ν≡ E(0, t) J(k r), (8.5.3)

dan persamaan ini akan diperoleh lebih eksplisit jika semua koefisien yang ada dicari dengan mens-bstitusikannya ke pers[8.5.2]. Pada efek lapisan tipis kuat semua peristiwa berperan di dekat per-mukaan logam dan r yang muncul secara eksplisit terdapat pada pers[8.5.2] dianggap sebagai kon-stanta dan dapat digantikan dengan r. Dari pers[8.5.2] diperoleh:

E(r, t) ≈ E(r, t) eik(r−r) = E(r, t) e(1+i)(r−r)/d (8.5.4)

yaitu sebagai penyelesaian pendekatan medan listrik yang mengalami pelemahan secara eksponesialdi dalam kawat.

Selanjutnya perhatikan arus total yang melewati kawat untuk kasus frekuensi yang tidak begitutinggi (ω 1/τ):

I(t) = 2πσ

r∫0

r E(r, t) dr = −2πσ r

k2

∂E(r, t)∂ r

; (8.5.5)


dalam hal ini ruas kiri integral E dapat digantikan dengan pernyataan yang terdapat pada pers[8.5.2],yaitu integral tertutup 1. Untuk arus searah, yaitu tanpa efek lapisan tipis, dari pembentukan deretpers[8.5.3] didapat relasi:

I = π r2 σ E,

dengan E adalah kuat medan listrik konstan pada arah penampang lintang kawat. Karenanyadiperoleh pula tahanan untuk arus searah dari kawat yang panjangnya l sebagai:

R =l EI=

lπ r2 σ

. (8.5.6)

Sesuai dengan penurunan di atas akan diperoleh pula tahanan kompleks dari kawat untuk arus bolak-balik pada frekuensi yang tidak begitu tinggi, yaitu:

R = R + iωLt =l E(r, t)

I(t)=

i ld2 π r2

σE(r, t)

(∂E(r, t)∂ t

)−1

, (8.5.7)

dan karena adanya efek lapisan tipis adalah penting untuk menghubungkan kuat arus dengan medanlistrik yang terdapat di luar dan di sisi kawat. R adalah tahanan di daerah di mana terdapat arus didalam kawat dan Lt(ω) − L(0) adalah induktansi diri yang muncul karena adanya efek lapisan tipis,seperti yang telah dibahas pada § 6, yaitu menyebabkan adanya induktansi tambahan atau disebutinduktansi ”‘dalam”’.

Untuk efek lapisan tipis lemah dari pers[8.5.6] dengan [8.5.3] dan jika untuk penyederhanaanpenulisan dimisalkan z = r/2d, dengan mengambil empat suku pertama dari deret tahanan, dit-ulis:

R + iωLt = R

(1 + i z +

z4

3−

i z6

6+ · · ·

).

Untuk hal ini diperoleh membesarnya harga tahanan

R = R

(1 +

z4

3+ · · ·

)= R

(1 +

r4

48 d4+ · · ·

)1Dari relasi rekursif fungsi Bessel Jn(%) untuk orde yang berdekatan, yaitu:

Jn−1 + Jn+1 =2n%

Jn, dan Jn−1 + Jn+1 = 2dJn

d%,

akan diperoleh misalnya relasi antara:

J1 = −dJd%, dan % J =

dJ1

d%.

Dengan demikian maka pers[8.5.5] dapat ditulis dalam fungsi Bessel sbb:

I(t) =2πσ r

kJ1(k r) E(0, t).

tentang relasi ini dan relasi yang mirip lainnya dari fungsi Bessel dapat dilihat antara lain pada buku kuliah IV yang ditulisoleh A. Sommerfeld (judul asli ”‘Partielle Differentialgleichungen der Physik”’ atau ”‘Persamaan diferensial Parsial dalamFisika”’) atau dalam buku-buku Fisika matematik lain, misalnya yang ditulis oleh F. Sauter: ”‘Differentialgleichung derPhysik”’ (Persamaan Diferensial dalam Fisika).

8.5. EFEK LAPISAN TIPIS 213

Gambar 8.3: Efek skin. Efek lapisan tipis. Kenaikan harga tahanan Ohm terhadap r/2d.

dan induktansi

Lt =R z2

ω

(1 −

z4

6+ · · ·

)=µµ i

8π

(1 −

r4

96 d4+ · · ·

).

Sebagai contoh induktansi untuk kawat berbentuk lingkaran. berjari-jari a, yang dialiri arus kuasistasioner dan l tidak lain merupakan keliling lingkaran atau l = 2π a, maka pernyataan

[Lt(ω)]µ − [Lt(0)]µ =µ l8π

((µ − 1) −

µ r4

96 d4+ · · ·

)harus ditambahkan, pada § 6.1 khususnya untuk ruang di luar kawat berlaku mu = 1. Kawat yangterbuat dari besi lunak kira-kira mempunyai µ = 500, karenanya tidak akan terdapat pengaruh ωyang memadai pada harga z.

Untuk efek lapisan tipis kuat akan diperoleh dengan menggunakan pers[8.5.6] dan [8.5.4], yaitu:

R + iωLt =i l

d2 πσ rd

1 + i= R

r2d

(1 + i).

Dalam hal ini tahanan pada arus bolak balik akan mempunyai ”‘kelakuan”’ sama dengan tahananpada arus searah, seperti halnya r : d = r2

: 2r π d, yaitu berlawanan dengan penampang lintanglapisan yang dialiri arus listrik. Seperti yang dinyatakan pada § 8.3, di sini diperoleh kembaliketergantungan relasi R/R terhadap r/2d. Relasi tersebut menunjukkan adanya pertambahantahanan pada awalnya, yakni pada R = R sebanding dengan pangkat empat r/2d, kemudianbertambah secara linier.

Fenomena yang mempunyai kemiripan dengan efek lapisan tipis ini adalah fenomena padapemanas frekuensi tinggi berbentuk batang selinder. Pemanas ini terdiri dari sebuah logam yangditembusi oleh medan magnet bolak-balik longitudinal berfrekuensi tinggi. Medan magnet iniakan menimbulkan medan listrik di dalam logam, dengan garis-garis gaya medan ini melingkupi(berbentuk cincin) batang logam. Timbulnya panas Joule di dalam batang logam adalah karenaadanya arus induksi melingkar (arus cincin) yang mengakibatkan kenaikan temperatur logam. Dalamfenomena ini keadaan elektromagnetis yang sama diperoleh juga di permukaan batang, karena


timbul gelombang terpolarisasi linier pada arah tegak lurus permukaan, hanya saja sekarang medan~B bergetar sejajar dengan sumbu batang. Kebalikan dari efek lapisan tipis, dalam kasus ini peranmedan listrik dan magnet menjadi saling bertukar; khususnya berlaku pers[8.5.2]. untuk medanmagnet induksi ~B di dalam medium batang yang dipanaskan.

Catatan: Dalam sistem Gauss pers[8.5.2] untuk efek lapisan tipis tidak mengalami perubahan,persis sama seperti menggunakan sistem SI. Hanya kedalaman penembusan yang ditulis padapers[p8.5.1] mengalami sedikit perubahan, menjadi:

d =d√

2πσ∗ωµ.

8.6 Gelombang dalam Kawat

Pandang dua buah konduktor berbentuk selinder (panjang l) yang diletakkan saling paralel padaarau sumbu z (kabel paralel) atau suatu kabel yang diselubungi dengan isolator dan ditempatkandi dalam air laut; pada kabel terakhir air laut juga merupakan penghantar, sementara untuk halpertama dua kabel paralel sebagai penghantar listrik. Pada z = 0 kedua konduktor dihubungkandengan sumber tegangan bolak-balik V(e) = V eiωt, pada z = l kedua konduktor dihubungkandengan tahanan Ohm R. Antara konduktor terdapat isolator homogen dengan konstanta bahan εdan µ. Selanjutnya kasus ini dianggap bahwa tahanan konduktor sendiri sama dengan nol, sehinggatidak terdapat penurunan tegangan karena tahanan Ohm sepanjang kawat. Kemudian akan dicaripenyelesaian persamaan Maxwell untuk medan listrik yang terdapat di dalam isolator dan dalam halini dianggap bahwa baik medan listrik, maupun medan magnet terletak saling tegak lurus terhadapsumbu z (Ez = 0, Bz = 0) dan memiliki ketergantungan terhadap waktu yang dinyatakan dalameiωt. Dari persamaan Maxwell pers[7.4.16] dengan persamaan penghubung pers[7.1.13] dan dengankecepatan gelombang datar yang diberikan oleh pers[8.3.8], yaitu

ε ε µµ =1c2 (8.6.1)

diperoleh relasi gelombang datar di dalam isolator sbb:

~∇ × ~B = iω~Ec, ~∇ × ~E = −iω

~Bc, ~∇ · ~E = 0 ~∇ · ~B = 0. (8.6.2)

Maka komponen z dari rotasi kedua besaran medan, dengan memperhatikan kembali bahwa Ez = 0dan Bz = 0, yaitu

∂Ey

∂ x−∂Ex

∂ y= 0,

∂By

∂ x−∂Bx

∂ y= 0. (8.6.3)

Dalam hal ini dua relasi pertama persamaan di atas dapat diselesailan dengan menggunakan relasisbb:

Ex =∂F∂ x, Ey =

∂F∂ y

(8.6.4)

8.6. GELOMBANG DALAM KAWAT 215

dan karena diketahui pula bahwa ~∇ · ~E = 0, maka syarat

∂2 F∂ x2 +

∂2 F∂ y2 = 0. (8.6.5)

haruslah dipenuhi F. Selanjutnya dari persamaan kedua pers[8.6.2] dan [8.6.4] didapat

Bx = −iω

∂2F∂ y ∂ z

, By =iω

∂2F∂ x ∂ z

, (8.6.6)

dan akhirnya dari persamaan pertama pers[8.6.2] dipeoleh relasi

∂2F∂ z+ω2

c2 F = 0. (8.6.7)

Pers[8.6.7] ini, bersama-sama dengan pers[8.6.5] memberikan penyelesaian untuk F sbb:

F(x, y, z, t) = f (x, y) eiω(t−x/c) + g(x, y) eiω(t+x/c), (8.6.8)

yang menggambarkan dua gelombang saling tumpang tindih, salah satu merambat pada arah sumbuz dan lainnya berlawanan arah dan kecepatan rambat gelombang ini di dalam isolator homogen jugasama dengan c. Dalam hal ini kedua fungsi f dan g yang menyatakan amplitudo gelombang haruslahmemenuhi persamaan Laplace sbb:

∂2 f∂ x2 +

∂2 f∂ y2 = 0,

∂2 g∂ x2 +

∂2 g∂ y2 = 0 (8.6.9)

dan selain itu, berdasarkan pers[8.6.4] haruslah memenuhi syarat batas potensial elektrostatik dipermukaan konduktor, yaitu f =konstan dan g =konstan; selanjutnya potensial di permukaan inidapat ditentukan berdasarkan metode teori potensial yang telah dijelaskan di § 1.

Dengan demikian didapat penghantar ganda, terdiri dari dua kabel dengan panjang l dan jari-jaria, terpisah oleh jarak d a, dengan kapasitansi C = πεεl/ ln(d/a), dan untuk kabel berbentukselinder dengan panjang yang sama dan jari-jari a, di mana jari-jari selimut konduktor adalah b akanmempunyai kapasitansi C = 2πεεl/ ln(b/a).

Apabila F(x, y, z, t) diketahui, akan diperoleh komponen-komponen medan dari pers[8.6.4] dan[8.6.6]. Untuk bagian gelombang yang merambat ke arah sumbu z positif berlaku:

Ex = c By =∂ f∂ x

eiω(t−x/c), Ey = −c Bx =∂ f∂ y

eiω(t−x/c). (8.6.10)

Pada persamaan di atas diketahui pula, seperti halnya gelombang datar dari cahaya, di mana ~E dan~B saling tegak lurus satu sama lain, dan berlaku pula relasi ε ε |~E|2 = µµ|~B|2 = ε ε c2

|~B|2.Untuk mencari penyelesaian persoalan ini, perlu diperoleh hubungan antara V dan I dari peng-

hantar ganda. Kedua besaran ini mustilah sebagai fungsi z dan t dan karena pers[8.6.4] dan [8.6.7]haruslah pula memenuhi persamaan sbb:

∂2V∂ z2 +

ω2

c2 V = 0, dan∂2I∂ z2 +

ω2

c2 I = 0. (8.6.11)


Gambar 8.4: Penggunaan hukum induksi pada konduktor ganda.

Selain itu V dan I harus pula dihubungkan dengan kapasitansi dan induktansi diri dari susunan yangada 1 dengan cara sbb: (8.6.11)

Karena I sebagai fungsi z, maka akan diperoleh pengisian muatan listrik dari konduktorberdasarkan persamaan kontinuitas. Di satu pihak, jika δ e adalah muatan yang terdapat di ele-men panjang δ z konduktor, maka berlaku persamaan kontinuitas ∂δ/∂t = −∂I/∂z. Di lain pihak,muatan δ e dengan tegangan antara kedua konduktor sebesar V pada posisi z haruslah bergantungpada kapasitansi elemen yang besangkutan, yaitu δC = δ z C/l, sehingga didapat δ e = δ z C/l. Dengandemikian diperoleh relasi:

∂ I∂ z= −

Cl∂V∂ t

(8.6.13)

yang merupakan relasi pertama yang dicari.Relasi kedua diperoleh dengan menggunakan hukum induksi pada daerah segiempat antara

kedua konduktor, lebar δ z dan luas abcd, seperti ditunjukkan pada gbr[8.4]. Integral garis darimedan listrik terhadap seluruh segiempat

∫~E · d~r = Vab − Vdc = (∂V/∂ z) δ z, yang merupakan

perubahan fluks−(∂Φ/∂ t) dari fluks induksi δΦ yang melewati bidang abcd; perubahan fluks induksiini haruslah sama dengan I δLa ini haruslah, dengan induktansi bagian atau elemen yang dipandangδLa = δ z La/l. Maka diperoleh relasi:

∂V∂ z= −

La

l∂ I∂ t

(8.6.14)

sebagai relasi kedua yang dicari.

1Hubungan ”‘induktansi luar”’ dan harus pula diperhatikan indeks a, bahwa untuk menghitung induktansi total medanmagnet yang terdapat di dalam penghantar, seperti telah dibahas pada § 8.5 untuk harga Lt.

8.6. GELOMBANG DALAM KAWAT 217

Dari kedua relasi di atas diperoleh persamaan gelombang keduanya

∂2V∂ z2 =

C La

l2∂2V∂ t2 dan

∂2I∂ z2 =

C La

l2∂2I∂ t2 , (8.6.15)

dan akan sesuai dengan pers[8.6.11], jika:

C La

l2=

1c2 . (8.6.16)

Hasil kali kapasitansi dan induktansi diri dibagi per satua panjang kadrat adalah sama dengankebalikan kecepatan cahaya kuadrat. di dalam isolator yang terletak antara dua konduktor.

Sebagai contoh dalam kasus ini, pada konduktor ganda sesungguhnya dengan konduktivitasseperti diberikan di atas C = πε ε l/ ln(d/a) dan La = µµ l ln(d/a)/π untuk induktansi luar.

Sekarang dapat dicari penyelesaian persoalan ini dari relasi pers[8.6.13] hingga [8.6.15] dengansyarat batas z = 0 hingga z = l; penyelesaian umu persamaan ini adalah

V = V1 eiω(t−x/c) + V2 eiω(t+x/c) (8.6.17)

I =c Cl

V1eiω(t−x/c) + V2 eiω(t+x/c)

.

Dari syarat batas pada z = 0 diperoleh V1 + V2 = V dan dari z = l

V1 ei−ωl/c + V2 eiωl/c =R c C

l

V1 e−iωl/c + V2 eiωl/c

. (8.6.18)

Dengan mensubstitusikan harga V1 dan V2 dari pers[8.6.17] akan diperoleh pernyataan eksplisitdalam tegangan dan arus dari R. Selanjutnya hanya akan dibahas dua kasus khusus sbb:

1. Jika R = ∞, ujung penghantar adalah terbuka, maka rumusan yang terdapat dalam tandakurung pada pers[8.6.18] sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh, jika panjang gelombangdiganti dengan λ = 2πc/ω,

V = V eiωt cos(2π(l − z)/λ)cos (2π l/2π)

, I =i c C V

leiωt sin(2π(l − z)/λ)

sin (2π l/2π). (8.6.19)

Dari persamaan ini diketahui bahwa beda fase antara V dan I adalah 90. Pada posisi z = l− λ/4, l−3λ/4, · · ·, sehingga V = 0; diperoleh pula gelombang diam dengan simpul dari I dan perut dari V diujung hantaran dan pada posisi z = l −mλ/2 dengan m adalah bilangan bulat (sistem Lecher).

2. Jika R = l C =√

La/C, maka dari pers[8.6.18] segera diketahui bahwa V2 = 0. Gelombangrefleksi datang sedemikian, di mana tahanan ”‘menelan”’ gelombang ini seluruhnya. Maka daripers[8.6.17] diketahui pula bahwa V dan I l/c mempunyai harga dan fase yang sama di setiap tempat:I R = V. Sekarang ”‘tahanan gelombang”’ Z, yang secara umum digambarkan sebagai tahanankompleks, dengannya tertutup aliran terbatas, sehingga aliran tertutup apabila dibandingkan dengangelombang datang akan mempunyai kelakuan yang sama, dan sekarang sebagai aliran yang takberhingga. Dalam kasus konduktor ganda bebas tahanan harga Z menjadi real, yaitu sama denganR =

√La/C.

Modifikasi apa yang harus dibuat dalam persoalan yang telah dibahas di atas, yaitu rambatangelombang di dalam konduktor ideal, merupakan pertanyaan mendasar untuk menjawab kepentin-gan penggunaan praktis dalam telegrafi, jika masih dipandang adanya tahanan Ohm pada kawat


konduktor yang bersangkutan. Adalah jelas bahwasanya adanya panas Joule yang timbul di dalamkonduktor mempunyai dampak negatif, yaitu meredam gelombang yang merambat di dalam kawat.Selain itu terdapat lagi, seperti akan dilihat nantinya, adanya ketergantungan baik redaman maupunkecepatam rambat gelombang terhadap frekuensi, sehingga menyebabkan adanya pergeseran sinyalyang dirambatkan di dalam konduktor, misalnya sinyal suara.

Selanjutnya akan dicari hubungan antara V dan I berdasarkan penurunan di atas, di mana ter-dapat tahanan Ohm R pada konduktor ganda. Relasi yang terdapat pada pers[8.6.13] tetap tidakmengalami perubahan, selama isolator pembungkus konduktor merupakan isolator ideal (σ = 0),sehingga tidak terjadi penurunan arus karenanya. Sedangkan pers[8.6.14] mengalami perubahan,karena dari integral garis

∮~Ed~r yang menghasilkan tegangan ∂V/∂ z δz masih terdapat penurunan

tegangan sebesar I R δz/l karena adanya tahanan Ohm pada konduktor ganda. Untuk menggam-barkan rambatan gelombang digunakan persamaan sbb 2:

∂ I∂ z+

Cl∂V∂ t= 0, dan

∂V∂ z+

Ll∂ I∂ t+

R Il= 0. (8.6.20)

Persamaan di atas memberikan penyelesaian persamaan gelombang yang merambat pada arahsumbu z positif sbb:

I = I ei(ωt−γz), dan V = Z I ei(ωt−γz), (8.6.21)

yaitu jikaγ l − ωC Z = 0 dan γ l Z − ωL + i R = 0.

Maka tahanan gelombang Z yang merupakan besaran kompleks diperoleh sbb:

Z =

√ωL − i RωC

=lγωC

(8.6.22)

dan konstanta rambatan γ = α − i β adalah:

γ =1l

√ωC(ωL − i R) dengan

α2

β2

=ωC2 l2

(√

ω2L2 + R2 ± ωL). (8.6.23)

Sehingga diperoleh gelombang yang meredam dengan faktor redaman e−β.Gelombang akan mengalami redaman lemah jika R ωL dan sebaliknya terjadi redaman kuat

jika R ωL. Untuk kasus pertama harga β dari pers[8.6.23] dibuat dalam bentuk deret yang tidakbergantung frekuensi, β =

√R2 C/4L l2, sedangkan untuk kasus kedua harga β bergantung frekuensi,

yaitu β =√ωR C/2 l2. Kecepatan rambat gelombang cR = ω/α dari konduktor ganda dengan

tahanan R untuk kasus pertama adalah sama dengan c pada R = 0, sementara untuk kasus keduaakan diperoleh harga kecepatan yang lebih kecil dan bergantung frekuensi sbb: cR = c

√2ωL/R.

Selanjutnya pandang contoh praktis dari hal yang dibahas di atas: Frekuensi normal dari pesawattelepon yang biasa digunakan dalam teknik komunikasi adalah sebesar ω = 5000 det−1. Untukkonduktor ganda berjari-jari a dan jarak antara kawat konduktor adalah d dengan kapasitansi C =π ε ε l ln(d/a) dan anggap bahwa harga C/l = 2, 2 · 10−11 F/m, R/l = 3, 1 · 10−2Ω/m; besaran ini

2Dalam hal ini harga Li, yaitu induktansi diri ”‘dalam”’, yang muncul sebagai suku imajiner iωLi dalam tahanan Rdengan induktansi diri ”‘luar”’ La dinyatakan dalam L.

8.7. GELOMBANG DI KONDUKTOR KOSONG 219

sesuai jika kawat yang digunakan adalah Tembaga dengan penampang lintang 1 mm2. Karenanyauntk konduktor ganda demikian yang diletakkan di udara, karena L C/l = 1/c2 maka didapat hargaL = 5, 0 · 10−7 H/m. Sehingga R/ωL ≈ 12 yang merupakan ciri gelombang teredam kuat. Harga βuntuk konduktor ganda seperti ini adalah β = 4, 1 ·10−5 m−1, yaitu sesuai dengan jarak tempuh sekiar1/β = 24 km.

Untuk kepentingan penggunaan teknis penjelasan di atas, masih ada hal lain yang patut puladicatat, yaitu selain terdapat tahanan Ohm R, terjadi pula penurunan tegangan karena adanya gang-guan, seperti yang disebutkan di atas. Misalkan terdapat arus sebesar δz G V/l yang lewat dari elemenδ z konduktor satu, mengalir ke konduktor lainnya melalui isolator dan apabila antara keduanya ter-dapat tegangan sebesar V, maka adanya penurunan dapat dirumuskan melalui persamaan pertamadari pers[8.6.20]:

∂V∂ z+

Cl∂V∂ t+

G Vl= 0,

∂V∂ z+

Ll∂T∂ t+

R Il= 0. (8.6.24)

Dari penyelesaian pers[8.6.21] di samping pers[8.6.21], diperoleh pula:

γ =1l

√(ωC − i G)(ωL − i R) = α − i β (8.6.25)

dengan harga

α2

β2

=

12 l2

√(ωC − R G)2 + ω2(C R + R G)2 ± ω (Ω2 L C − R G)

. (8.6.26)

Rumusan terakhir berhubungan dengan kasus redaman lemah, yaitu merupakan salah satu rumusanpenting dalam penggunaannya. Pandang harga tahanan R dan G adalah kecil dibanding ωC dan ωL, sehingga semua suku yang lebih tinggi dapat diabaikan (misalkan hingga suku perpangkat dua),

α =ω√

LCl

1 +

18ω2

(RL−

Ga

)2, β =

L C2 l

(RL+

Ga

)2.

Dari pembahasan di atas bahwa tidak adanya redaman melalui pembesaran besaran L; hal ini terjadiakibat adanya penurunan tegangan pada konduktor, yaitu untuk L = R C/G. Kasus redaman lemahmemberikan pula beberapa keuntungan kaum wanita, sehingga ω/α = l/

√L R C, yaitu sama dengan

kecepatan rambat gelombang c, yang tidak bergantung pada frekuensi. Untuk kasus teredam sangatrendah aliran bebas dari hambatan.

8.7 Gelombang di Konduktor Kosong

Di dalam sebuah pipa terbuat dari konduktor yang baik, tidak akan mungkin dilewati gelombangtransversal murni, seperti halnya pada kawat selinder yang telah dijelaskan pada § 8.6. Di dalam-nya hanya akan dapat dilalui gelombang longitudinal dengan komponen medan tambahan yangmemberikan manfaat dalam teknik frekuensi tinggi. Dalam kasus ini gelombang dibedakan menjadigelombang tipe E, H atau B, tergantung apakah terdapat komponen medan listrik atau magnet padaarah rambatan longitudinal.


Untuk mengerti lebih jauh tentang sifat-sifat gelombang demikian, pandang sebuah konduktorhampa (karena secara matematis gelombang lebih mudah dipersoalkan jika konduktor mempunyaibentuk demikian) dengan dinding terbuat dari konduktor yang baik. Misalkan komponen z adalahsejajar dengan sumbu pipa, bagian dalam pipa dibatasi oleh bidang x − y dengan ukuran 0 < x <a, 0 < y < b. Akan dicari gelombang yang merambat pada arah sumbu z di dalam pipa, berfrekuensiω dan bilangan gelombang k = 2π/λ. Semua komponen vektor medan haruslah ditulis dalam bentukfungsi f (x, y) eiω(t−kz), memenuhi persamaan Maxwell dan syarat batas sbb:

Ey = 0 Ez = 0 Bx = 0 untuk

x = 0,x = a, (8.7.1)

Ex = 0 Ez = 0 By = 0 untuk

y = 0,y = b.

Selanjutnya komponen-komponen medan akan dimisalkan sebagai fungsi bilangan bulat n dan mdari sinus dan cosinus (dengan Φ = ωt − kz):

Ex = α cosnπ x

asin

mπ yb

eiΦ, Bx = α′ sin

nπ xa

cosmπ y

beiΦ,

Ey = β sinnπ x

acos

mπ yb

eiΦ, By = β′ cos

nπ xa

sinmπ y

beiΦ,

Ez = γ sinnπ x

asin

mπ yb

eiΦ, Bz = γ′ cos

nπ xa

cosmπ y

beiΦ,

(8.7.2)

yang memenuhi syarat batas pada pers[8.7.1]. Karena setiap komponen persamaan gelombang harusmemenuhi kondisi ruang vakuum, maka diperoleh hubungan:(nπ

a

)2+

(nπb

)2+ k2 =

ω2

c2

. (8.7.3)

Selanjutnya dengan menggunakan atau mensubstitusikan penyelesaian persamaan gelombang kedalam persamaan Maxwell kembali, diperoleh relasi koefisien α hingga γ′; dengan dua konstantabaru sembarang δ dan δ′, dengan perhitungan singkat akan diperoleh relasi sbb:

α =nπ k δ

a+

mπ k δ′

b, α′ =

nπ k δa−

mπωδ

b c2

, (8.7.4)

β =mπ k δ

b−

mπωδ′

a, β′ =

mπ k δ′

b c2

+nπωδ

a,

γ = i(ω2

c2

− k2)δ, γ′ = −i

(ω2

c2

− k2)δ′.

Karenanya jika δ , 0 dan δ′ = 0 akan diperoleh gelombang E yang merambat di dalam ruang hampapipa konduktor (dengan Bz = 0) dan untuk δ = 0 dan δ′ , 0 didapat gelombang tipe H (denganEz = 0).

Pers[8.7.3] memberikan fenomena penting yang terjadi di dalam konduktor kosong. Suatu gelom-bang yang mempunyai harga parameter n dan m akan memiliki k real jika harga ω lebih besar dari


frekuensi kritis:

ωk = c

√(nπa

)2+

(mπb

)2. (8.7.5)

Selanjutnya apabila dipertanyakan frekuensi terkecil, kepunyaan gelombang yang merambat didalam konduktor kosong, maka akan dapat dibedakan dengan jelas antara dua macam gelombangseperti disebutkan di atas. Gelombang tipe E (δ′ = 0) berdasarkan pers[8.7.2] dan [8.7.4] akan diper-oleh, hanya penyelesaian persamaan gelombang untuk n ≥ 1, m ≥ 1, atau ω ≥ π c

√(1/a)2 + (1/b)2.

Sebaliknya gelombang tipe H (δ = 0) untuk kasus a ≥ b atau pada harga ωk terkecil, yaitu gelombangmerupakan gelombang dasar dengan n = 1, m = 0, sehingga untuk kasus ini berlaku ω ≥ π c/a.

Selanjutnya apabila dipertanyakan frekuensi terkecil, kepunyaan gelombang yang merambat didalam konduktor kosong, maka akan dapat dibedakan dengan jelas antara dua macam gelombangseperti disebutkan di atas. Gelombang tipe E (δ′ = 0) berdasarkan pers[8.7.2] dan [8.7.4] akan diper-oleh, hanya penyelesaian persamaan gelombang untuk n ≥ 1, m ≥ 1, atau ω ≥ π c

√(1/a)2 + (1/b)2.

Sebaliknya gelombang tipe H (δ = 0) untuk kasus a ≥ b atau pada harga ωk terkecil, yaitu gelombangmerupakan gelombang dasar dengan n = 1, m = 0, sehingga untuk kasus ini berlaku ω ≥ π c/a.Perbedaan antara dua macam gelombang ini dapat dijelaskan, bahwa untuk Hz dan Ez tidak terdapatsyarat batas, sementara Ez harus ”‘lenyap”’ di dinding pipa.

Dari pers[8.7.3] bilangan gelombang k dinyatakan dalam frekuensi kritis sbb:

k =1c

√ω3 − ω2

k ; (8.7.6)

Karenanya kecepatan fase c dapat diperoleh dalam kecepatan rambat gelombang yang dikarakteris-tikkan dalam bilangan bulat n dan m sbb:

c =ωk=

c√1 − (ωk/ω)2

. (8.7.7)

Kecepatan fase ini akan sama dengan kecepatan cahaya di vakuum untuk limit ω → ∞. Hasilyang merupakan paradoks ini dapat dimengerti keberadaannya, jika digunakan relasi sudut yangdiberikan pada pers[8.7.2] dinyatakan secara eksponensial:

cos ϕ =12

(eiϕ + e−iϕ), sin ϕ =12

(eiϕ− e−iϕ).

Maka akan diperoleh bahwa ~E dan ~B merupakan penjumlahan dari gelombang-gelombang datar.Selanjutnya akan ditunjukkan penguraian gelombang ini dinyatakan sebagai gelombang tipe H(n = 1, m = 0). Dalam kasus ini Ey, Bx dan Bz adalah tidak sama dengan nol, sehingga untuk medan~E berlaku relasi:

Ey = β sinπ xa

ei(ωt−kz) =β

2i

exp

(i(ωt +

πxa− kz)

)(8.7.8)

− exp(i(ωt −

πxa− kz)

).

Persamaan medan dari gelombang yang dihasilkan merupakan tumpangtindih dua gelombang den-gan normal gelombang terletak pada bidang x − z. Sudut ε antara normal gelombang dan sumbu x


Gambar 8.5: Potongan kecepatan gelombang di dalam konduktor kosong.

diberikan dalam cos ε = ∓√

1 + (ka/π)2, sehingga dari pers[8.7.3] dan [8.7.5] dapat diketahui bahwaarah masing-masing gelombang pertama dan kedua masing-masing adalah cos ε = −ωk/ω dancos ε = ωk/ω yang muncul pada pers[8.7.8]. Medan keseluruhan Ey dapat dibayangkan dengandengna ”‘merefleksikan”’ suatu bidang yang bergerak dengan kecepatan c dan gelombang yangmuncul bersudut ε terhadap bidang x = 0 dan x = a. Kecepatan rambat c gelombang ini pada arahsumbu z dapat diperoleh dari pers[8.7.7] dan [8.7.8], yaitu

c =c

sin ε. (8.7.9)

Gelombang ini dari ilustrasi pada gbr[8.5] sama dengan potongan kecepatan dari muka gelombangdengan bidang x = 0 dan x = a.

Sebaliknya kecepatan grup v adalah tetap lebih kecil dari c. Kecepatan ini diartikan sebagaikecepatan gerak titik berat suatu grup gelombang yang terdiri dari berbagai gelombang denganfrekuensi berbeda-beda, di mana frekuensi tersebutt saling berdekatan satu sama lain. Grup gelom-bang semacam ini contohnya dapat timbul di dalam konduktor kosong (pipa), jika lubang pipanyaterbuka dalam waktu singkat untuk gelombang monokromatik, selain serbasama, tidak ada tandaterdapat sinyal gelombang primer yang dikirimkan kembali oleh konduktor kosong (berbentuk pipa).

Sekarang pandang suatu grup gelombang dengan spektrum yang diberikan oleh fungsi f (ω);dalam hal ini f (ω) haruslah tidak sama dengan nol di sekitar harga ω. Maka ketergantungan setiapgrup atau sekelompok medan diberikan dalam faktor:

ϕ(z, t) =∫

f (ω) ei[ωt−k(ω)z] dω.


Substitusikanω = ω+µ dan buat k(ω) dalam deret k(ω) = k(ω)+µ(dk/dω)ω + · · ·. Dianggap bahwaf (ω) tidak sama dengan nol dan berharga sebesarµ, sehingga suku dalam deret hanya diambil hinggasuku pertama, yaitu suku linier, sehingga didapat:

ϕ(z, t) = ei[ωt−k(ω)z]∫

f (ω + µ) eiµ[ωt−z(dk/dω)ω ] dµ.

ϕ(z, t) dalam persamaan di atas ditulis sebagai sebuah gelombang datar dengan frekuensi ω danfaktor rambat gelombang k(ω), tetapi dengan amplitudo bergantung dengan faktor t − z(dk/dω)ω ,yaitu sesuai dengan grup gelombang yang merambat dengan kecepatan grup v = (dk/dω)ω . Daripers[8.7.6] kecepatan grup menjadi:

v = c

√1 −

(ωk

ω

)2, (8.7.10)

yang ternyata lebih kecil jika dibandingkan dengan kecepatan cahaya di vakuum. Jika kecepatangrup dibandingkan dengan kecepatan fase diperoleh relasi:

v c = c2. (8.7.11)


50 [] Energi yang terdapat di dalam radiasi matahari dan jatuh tegak lurus pada permukaan datar adalah sebesar 2,2cal/cm2 menit; besaran ini selanjutnya disebut sebagai konstanta matahari. Berapa besar harganya dalam W/m2 ? Berapabesar amplitudo medan listrik dan magnet yang terdapat di dalamnya ? Berapa watt cahaya yang dipancarkan sebuahbola lampu pada jarak 1 m ke layar, agar energinya sama dengan konstanta matahari ?

jawab: Konstanta matahari 1,5 kW/m2; Eef = 7, 6 · 102 V/m, Hef = 2 A/m; daya dari lampu pijar adalah 19 kW.

51 [] Suatu gelombang datar cahaya menjalar keluar dari isolator ke permukaan yang dibatasi udara dan membentuksudut α. Tentukan sudut αk, yaitu sudut kritis di mana terjadi refleksi total dan bahas kelakuan gelombang di udara untukkasus α > αk !

jawab: sin αk = 1/n. Untuk α > αk gelombang di udara akan melemah secara eksponensial dengan ketebalanpenembusan d = c/(ω

√

n2 sin2 α − 1) dan dengan vektor Poynting paralel terhadap permukaan batas.

52 [] Pada permukaan isolator berbentuk plat datar, tebal d, konstanta bahan ε dan µ, dijatuhkan secara tegak lurusgelombang dengan frekuensi ω. Gelombang ini kemudian sebagian akan direfleksikan sebagai gelombang sekunder,tertier, · · · pada kedua permukaan isolator dan sebagian lagi diteruskan. Cari intensitas gelombang yang direfleksi dandibiaskan !

Catatan: Pertanyaan di atas dapat dijawab dari penjumlahan semua bagian gelombang dengan memperhatikan adanyaperubahan fase gelombang di permukaan batas. Persoalan ini dapat dijawab secara langsung, jika seluruh gelombangyang direfleksikan diperhitungkan, yaitu gelombang yang direfleksikan dari permukaan batas, kedua gelombang yangdibiaskan di dalam medium dan dan dengan mengamati syarat batas.

jawab: Reflektansi

R =(ε − µ)2 sin2 ϕ

4εµ + (ε − µ)2 sin2 ϕ, (8.7.12)


dan transmitansi:

T =4εµ

4εµ + (ε − µ)2 sin2 ϕ, (8.7.13)

dengan ϕ = ω d√εµ/c = ω d/c = 2π d/λ, dengan λ sebagai panjang gelombang plat. Dalam hal ini R akan berharga nol,

tanpa memandang kemungkinan yang terdapat rumusan pada pers[8.4.5] untuk ε = µ dan selalu demikian jika d = λ/2atau sama dengan kelipatan bilangan bulat darinya.

53 [] Suatu gelombang datar dijatuhkan tegak lurus pada permukaan logam berbentuk berbentuk plat datar. Denganmenggunakan rumusan yang diturunkan pada bab terkait dapat ditunjukkan bahwa intensitas gelombang yang ditrans-misikan oleh permukaan adalah sama dengan perbedaan intensitas gelombang primer dan gelombang yang direfleksikan.Perhatikan pula, karena penulisan dalam fungsi gelombang dalam bentuk bilangan kompleks, intensitas merupakan hargarata-rata dari bagian real ~E dan ~B.

jawab: Dalam kasus ini berlaku

Jtrans

Jrefl=

2, µn(n + µ)2 χ2 e2χωx = T e2χωx dengan T = 1 − R. (8.7.14)

54 [] Pada elektron yang mulanya diam dijatuhkan gelombang datar yang dinyatakan dalam potensial vektor ~A =(0, A(t − x/c)); dalam hal ini ~A berhaga sembarang, untuk t→ in f ty vektor potensial merupakan fungsi berharga nol dariargumennya. Tunjukkan bahwa elektron dapat dinyatakan sebagai gelombang pada arah sumbu x positif (dx/dt¿0, untukharga dy/dt tidak tertentu) !

jawab: Dari persamaan gerak diketahui bahwa

md2xd t2 = e

d yd t

∂ ~A∂ x

,

md2 yd t2 = −e

∂ ~A∂ t− e

d xd t

∂ ~A∂ t

md2zd t2 = 0

diperoleh

d ~Ad t=∂ ~A∂ t+

d xd t

∂ ~A∂ t

=(1 −

1c

d xd t

)∂ ~A∂ t

;

untuk komponen kecepatan elektron dalam waktu sembaranh didapat:

d xd t

=∂ ~A∂ t

(1 −

1c

d xd t

)=

e2

2 m2 c~A2(t − x/c) > 0,

d yd t

= −em~A2(t − x/c)

d zd t

= 0.

55 [] Apabila suatu cairan tertentu (misalnya Nitrobenzoat) diletakkan di dalam medan listrik kuat ~E ‖ z, maka momendipol listik molekul-molekul cairan akan mengarah pada arah medan yang diberikan. Karenanya konstanta dielektrikcairan akan bergantung pada arah dan dapat dinyatakan dalam tensor simetri dengan εxx = εyy < εzz, εxy = εyz = εxz = 0.Bahas suatu gelombang datar yang merambat pada arah sumbu x di dalam medium anisotropik di mana terdapat medanlistrik ~E.


jawab: Medium akan befungsi sebagai medium pembias ganda yang menyebabkan gelombang terpolarisasi linier(efek Kerr) . Gelombang datar yang merambat pada arah sumbu x akan terpisah menjadi dua gelombang terpolarisasi linierpada arah sumbu y dan z, yang masing-masing mempunyai kecepatan rambat berbeda di dalam medium. Karenanyagelombang yang pada mulanya terpolarisasi linier dan agak mengeser dari arah ~E, setelah melewati medium padaumumnya akan mengalami polarisasi eliptik.

56 [] Apabila suatu bahan diletakkan di dalam medan magnet ~B, maka karena adanya gaya Lorentz, kebanykan elektron-elektron yang terdapat di dalam atom-atom bahan, karena bermuatan, akan mempunyai komponen gerak melingkar tam-bahan di sekitar medan magnet yang diberikan. Dengan menggunakan model atom Thomson bahas harga polarisabilitaskarena adanya medan listrik bolak-balik yang timbul yang berubah-ubah karena medan ~B !

jawab: Dari m(~r + ω~r) = e (~E + ~r × ~B) dan dengan E = E eiωt diperoleh momen dipol sebesar:

~p =e2

m(ω2 − ω2)

~E (~E ~G) ~G − i(~E × ~G)

1 − ~G2,

dengan penulisan singkat ω e ~B = m(ω2− ω2) ~G. Khususnya untuk ~B ‖ z diperoleh tensor dengan εxx = εyy , εzz, εxz =

εyz = 0 dan εxy = −εyx adalah imajiner murni.

57 [] Untuk keadaan seperti yang digambarkan pada soal nomor 7, bahas penjalaran gelombang datar di dalam medium,khususnya untuk kasus normal gelombang berada pada arah ~B ‖ z. (karena harganya yang kecil, sumbangan medan ~Bdari gelombang pada gaya Lorentz dapat diabaikan).

jawab: Medium sebagai medium pembias ganda polarisasi melingkar (efek Faraday) . Khususnya untuk ~k ‖ ~B ‖ zakan didapat dua gelombang terpolasisasi melingkar (Ey = ±i Ex, Bx = ∓i By). masing-masing dengan kecepatan rambatyang berbeda.


Bab 9

Medan Karena Muatan dan Arus

9.1 Medan Muatan Bergerak Beraturan

Akan dibahas medan yang timbul akibat muatan yang bergerak di dalam ruang vakuum dengankecepatan ~v; muatan dilambangkan dengan kerapatan % yang hanya terdistribusi di dalam ruangsangat sempit dan tidak sama dengan nol. Medan ini dapat dijelaskan menurut pers[7.1.4] dengan~g = %~v, atau ~D = ε ~E dan ~H = ~B/µ dan dengan 1/µ ε = 1/c2

dapat dinyatakan dalam persamaansbb:

~∇ × ~H =1c2

∂ ~E∂ t+ µ %~v ~∇ · ~E =

%

ε, (9.1.1)

~∇ × ~E = −∂ ~B∂ t, ~∇ · ~B = 0,

atau jika menggunakan relasi fungsi potensial ~A dan ϕ

~E = −∂ ~A∂ t− ~∇ϕ, ~B = −~∇ × ~A (9.1.2)

dari pers[7.1.8] dan konvensi L

~∇2~A +1c2

∂ϕ

∂ t= 0. (9.1.3)

dan jika dipandang kembali pers[7.1.1], melalui kedua persamaan sbb:

~∇2 ~A +1c2

∂2 ~A∂ t2 = −µ %~v, dan ~∇2 ϕ −

1c2

∂2 ϕ

∂ t2 = −%

ε. (9.1.4)

adalah sesuai dengan pers[7.1.12]. Pembahasan selanjutnya berkaitan dengan penentuan medandengan menggunakan sistem persamaan di atas.

Selanjutnya, tanpa perhitungan lebih jauh, hanya berdasarkan sifat simetri, bahwa ~E tetap beradapada bidang yang melalui titik tangkap di mana partikel berada, yaitu tegak lurus lintasan partikel

227

228 BAB 9. MEDAN KARENA MUATAN DAN ARUS

(lintasan dan ~E berada pada satu bidang datar), sementara ~B terletak tegak lurus terhadap bidangini; dalam hal ini baik ~E, maupun ~B adalah simetri rotasi terhadap lintasan partikel, atau denganperkataan lain rotasi ~E dan ~B menghasilkan arah gerak partikel.

Dalam kasus khusus yang dipandang di sini, distribusi medan keseluruhan tidak mengalamiperubahan dengan bergeraknya muatan, sehingga untuk masing-masing komponen medan f (~r, t)berlaku relasi sbb:

f (~r, t) ≡ f (~r − ~v t, 0).

Karenanya diperoleh pula bahwa∂ f∂ t= ~v ~∇ f = −~v ~∇ f . (9.1.5)

Sehingga konvensi L pada pers[9.1.3] dapat ditulis kembali dalam bentuk

~∇ · ~A −~vϕ

c2

~∇ϕ ≡ ~∇

(~A −

~vϕ

c2

)= 0,

dan diperoleh pula bahwa

~A =~vϕ

c2

. (9.1.6)

Relasi ini dapat diperoleh pula dengan membandingkan kedua persamaan gelombang, pers[9.1.4],yaitu suku ruas kanan yang mengandung perbedaan faktor ε µ ~v = ~v/c2

.Selanjutnya dari relasi pers[9.1.6] dalam rumusan pada pers[9.1.2] dan perhatikan pula relasi

∂ ~A/∂ t = −(~v ~∇) ~A pada pers[9.1.5], maka diperoleh relasi untuk ~E dan ~B sbb:

~E = −~∇ϕ +~v (~∇ϕ)

c2

, ~B = −~v × ~∇ϕ

c2

. (9.1.7)

Dari relasi ini diketahui pula bahwa

~B =~v × ~E

c2

. (9.1.8)

Dari alasan simetri, ~E haruslah terletak pada bidang datar bersama-sama dengan lintasan partikeldan terletak di titik di mana partikel berada, sedangkan ~B, seperti telah diketahui di atas, terletaktegak lurus bidang ini.

Untuk menyelesaikan persoalan ini selanjutnya, hanya diperlukan mengintegrasi persamaankedua pada pers[9.1.4], yaitu persamaan yang menyatakan potensial skalar ϕ. Untuk itu ubahturunan terhadap waktu menjadi turunan terhadap jarak atau ruang dengan menggunakan pers[9.1.5]dan anggap khususnya, bahwa sumbu x sistem koordinat terletak pada lintasan partikel, sehinggadidapat relasi: (

1 −v2

c2

)∂2 ϕ

∂ x2 +∂2 ϕ

∂ y2 +∂2 ϕ

∂ z2 ≡ (1 − β2)∂2 ϕ

∂ x2 +∂2 ϕ

∂ y2 +∂2 ϕ

∂ z2 = −%

ε; (9.1.9)

dengan demikian diperoleh pula relasi tanpa dimensi yang telah dikenal dalam teori relativitas, yaitu

β =vc. (9.1.10)

9.1. MEDAN MUATAN BERGERAK BERATURAN 229

Untuk kasus ini terlihat pula bahwa potensial skalar untuk partikel bergerak sekaligus terbedakandengan potensial untuk partikel diam, yaitu dengan faktor (1 − β2) yang terdapat pada turunankuadrat dari potensial terhadap x. Untuk menyederhanakan perhitungan selanjutnya, persoalan diatas dapat dikembalikan menjadi persoalan elektrostatik biasa, yaitu dengan melakukan transformasikoordinat sbb:

x = ξ√

1 − β2, y = η, z = ζ

dan

ϕ(x, y, z) ≡ ϕ(ξ√

1 − β2, η, ζ) = ϕ(ξ, η, ζ). (9.1.11)

Maka didapat persamaan diferensial untuk potensial skalar ϕ

∂2 ϕ

∂ξ2 +∂2 ϕ

∂η2 +∂2 ϕ

∂ζ2 = −%(ξ

√1 − β2, η, ζ)ε

(9.1.12)

yang harus diselesaikan dan berdasarkan pers[1.3.10] diperoleh

ϕ(ξ, η, ζ) =1

4πε

∫∫∫%(ξ′

√1 − β2, η′, ζ′) dξ′ dη′ dζ′√

(ξ − ξ′)2 + (η − η′)2 + (ζ − ζ′)2. (9.1.13)

Kemudian transformasikan kembali ke dalam sistem koordinat awal:

ϕ(x, y, z) =1

4πε

∫∫∫%(x′, y′, z′) dx′ dy′ dz′√

(x − x′)2 + (1 − β2)[(y − y′)2 + (z − z′)2]. (9.1.14)

Akan dicari penyelesaian persamaan ini untuk waktu di mana partikel terdapat pada titik nol sistemkoordinat dan batasi persoalan untuk partikel berbentuk titik. Maka suku pada penyebut yangmengandung koordinat aksen dapat ditulis sama dengan nol (~r′ = 0) dan lakukan integrasi sehinggadiperoleh

ϕ(x, y, z) =e

4πε√

x2 + (1 − β2)(y2 + z2), (9.1.15)

atau jika pernyataan di atas dinyatakan bebas dari sistem koordinat:

ϕ(~r) =e

4πε√~r2 − (~r × ~v/c)2

. (9.1.16)

Maka setelah melalui perhitungan singkat, yaitu dengan menurunkan dalam komponen-komponennya, penyelesaian untuk medan listrik, sesuai dengan pers[9.1.7], didapat sebagai:

~E =e~r (1 − β2)

4πε [~r2 − (~r × ~v/c)2]3/2, ~B =

~v × ~Ec2

. (9.1.17)

Terlihat bahwa untuk kecepatan yang kecil (β 1) penyelesaian persamaan medan menjadi medanstatik ~E = e~r/4πε~r3 dan masih terdapat pula medan magnet lemah bersama dengan medan listrik


Gambar 9.1: Gaya-gaya ~K yang saling berlawanan dari dua partikel titik yang bergerak dengan kecepatan ~v.

tersebut. Juga untuk harga β yang besar, kedua rumusan medan ~E menunjukkan arah yang bersesua-ian, walaupun terdapat perbedaan dalam besar dari kuat medannya. Sementara untuk penyelesaianmedan~E statik tidak bergantung pada arah, sedangkan medan~E seperti dirumuskan pada pers[9.1.17]menunjukkan adanya ketergantungan arah dengan bertambahnya β. Khususnya berlaku

E =e

4πε r2 (1 − β2) untuk ~r ‖ ~v dan

E =e

4πε r21√

1 − β2untuk ~r ⊥ ~v.

Untuk skala kecepatan mendekati kecepatan cahaya, seluruh medan akan terkonsentrasi pada suatubidang, yaitu permukaan yang tegak lurus terhadap arah lintasan partikel, pada batas kecepatanv = c, atau β = 1, harga medan seluruhnya menjadi besar tak berhingga.

Hal yang menarik perhatian adalah adanya gaya konveksi ~K yang bekerja pada muatan kedua e′,bergerak dengan kecepatan yang sama. Untuk kasus ini, berdasarkan pers[9.1.7], didapat bahwa

~K = e′ (~E + ~v × ~B) = −e′ (1 − β2) ~∇ϕ. (9.1.18)

Gaya ini, kebalikan dari ~E, dapat dinyatakan sebagai gradien suatu fungsi potensial χ = (1 − β2)ϕ,yang pertama kali dikemukakan oleh O. H dan dinamakan sebagai potensial konveksi. Terlihatpula bahwa χ, seperti halnya ϕ, berdasarkan pers[9.1.15] adalah konstan pada elipsoida rotasi yangmengalami ”‘pendataran”’, atau

x2 + (1 − β2)(y2 + z2) = konstan, (9.1.19)

yang terletak pada bidang konsentris bola, melalui bagian pemendekan pada arah sumbu x denganperbandingan 1 : (1 − β2). Arti lebih jelas dari elipsoida ini adalah, bahwa gaya ~K yang bekerja

9.1. MEDAN MUATAN BERGERAK BERATURAN 231

pada muatan yang ikut bergerak, seperti dinyatakan pers[9.1.18], sebagai gradien dari χ dan terletaktegak lurus terhadap permukaan elipsoida tersebut (lihat gbr[9.1]). Dari kenyataan ini dapat dibuatkesimpulan sbb:

Pandang dua muatan titik e dan e′, masing-masing terletak di ujung batang yang panjangnya~r. Selama batang dengan kedua muatannya berada dalam keadaan diam, gaya yang dialami oleh edan e′ terletak sepanjang batang yang bersaingkutan. Jika batang keseluruhan, termasuk muatan dikedua ujungnya, bergerak dengan kecepatan ~v, maka maka gaya tersebut akan terletak tegak lurusterhadap permukaan yang dibayangkan elipsoida dan secara umum gaya tidak lagi melalui sumbubatang. Karenanya batang akan mengalami momen putar yang mempunyai kecenderungan, jikamuatan mempunyai tanda yang sama, akan mengalami rotasi searah dengan arah gerak, sementarajika muatan mempunyai tanda berlawanan, batang cenderung berputar sehingga arahnya tegak lurusterhadap arah gerak. Momen putar tersebut, berdadarkan pers[9.1.18] dan [9.1.17] dapat dirumuskandalam bentuk:

~N = ~r × ~K =e′~r × [~v(~v × ~E)]

c2

=e e′ (1 − β2)(~r × ~v)(~r~v)

4πε c2

√[~r2 − (~r × ~v)2]3

, (9.1.20)

dan harganya

N =e e′ (1 − β2) β2 sin 2α

8πε r√

1 − β2 sin2 α→

e e′ β2 sin 2α8πε r

untuk β 1; (9.1.21)

α adalah sudut antara~r dan ~v.Arti mendasar dari hasil perhitungan di atas adalah, bahwa perhitungan tersebut memberikan

kemungkinan untuk mengetahui gerak absolut dari bumi atau sistem tata surya seluruhnya. Sebagaicontoh misalnya posisi sebuah kondensator yang digantungkan vertikal menggunakan kawat torsiakan kecenderungan melintang terhadap arah gerak. Dari percobaan yang dilakukan oleh Tdan N diketahui, bahwa momen putar demikian ternyata tidak muncul dan ternyata kesimpulanini adalah sesuai dengan postulasi dasar dari teori relativitas. Dalam kondisi demikian haruslahterdapat momen putar kedua, yang justru mengkompensasikan momen putar elektromatik yangdisebutkan di atas. Seperti yang akan ditunujukkan pada § 12.3 nantinya, momen putar keduaini adalah seabagai penyebab adanya tegangan mekanis yang tentunya musti terdapat pada keduamuatan yang berada di kedua ujung batang. Pengamatan seperti ini memberikan penjelasan mengapapercobaan T-Nmemberikan hasil yang negatif.

Hingga pembahasan di sini masih dianggap, bahwa kecepatan partikel ~v dianggap kecil diband-ing kecepatan cahaya c. Hal ini sebenarnya menjadi patokan dari teori relativitas, bahwasanyakecepatan cahaya merupakan batas atas dari kecepatan semua partikel.

Bahwa penyelesaian di atas, misalnya pers[9.1.15], hanya berlaku untuk v < c, karena jikaterjadi hal sebaliknya, yaitu v > c, maka penyebut untuk x2 < (1 − β2)(y2 + z2) akan menjadiimajiner. Dasar matematis dari kegagalan ini terletak pada persamaan peralihan, yaitu pers[9.1.9]yang mengkarakterkan potensial, tidak lagi mepunyai bentuk sebagai persamaan diferensial eliptik,melainkan berbentuk persamaan diferensial hiperbola yang mengkarakterkan persamaan gelom-bang. Dengan menyelesaikan persamaan ini dengan benar, akan diperoleh persamaan rambatangelombang, yang ternyata analog dengan rambatan gelombang akustik di dalam bahan, di manabenda mempunyai kecepatan lebih besar dari kecepatan suara. Dalam bidang akustik, peristiwaini telah lama diketahui sebagai rambatan gelombang M. Di dalam optik, gelombang demikian


pertama kali diamati oleh P. A. C pada tahun 1934, walaupun pengamatan bukan untukgerak partikel bermuatan dengan kecepatan di atas kecepatan cahaya di vakuum, karena kecepatandemikian, berdasarkan teori relativitas, seperti disebutkan sebelumnya, secara mendasar tidak akanmuncul, melainkan muncul dapat timbul untuk partikel bermuatan yang bergerak cepat di dalam ba-han, yaitu jia v > c/

√ε µ. Dengan cara demikian ketergantungan ε terhadap ωmusti diikutsertakan

dalam proses ini dan perlakuan yang dilakukan E. F untuk itu tidak berhasil dilakukan.Akan tetapi patut pula dicatat, bahwa dalam perhitungan terdapat hal penting untuk mengubah

besaran komponen medan yang dinyatakan sebagai fungsi ruang dan waktu, f (x − v t, y, z) denganmenggunakan transformasi F, berdasarkan rumusan sbb 1:

f (x − v t, y, z) =∫

fk e−i(kx(x−v t)+ky y+kz z) dxk dyk dzk.

dengan fk =1

(2π)2

∫f (x, y, z) eikr dV,

kemudian selain menggunakan variabel kx, dipakai pula relasi kx v = ω dan dengan cara ini da-pat diperoleh kemungkinan relasi penghubungan antara ~D dan ~E, demikian pula antara ~B dan ~Hyang selanjutnya ditulis dalam komponen-komponennya. Dengan cara ini dapat pula ditentukanpotensial skalar ϕ dan darinya dapat dengan mudah dinyatakan dalam komponen F untukmendapatkan persamaan M yang mudah diselesaikan sbb:

ϕ(x − v t, y, z) =e v

(2π)3 ε

+∞∫−∞

eiω(t−x/v)dωε(ω)

∫ +∞∫−∞

e−i(ky y+kz z)dky dkz

ω2(1 − β2 ε µ) + (k2y + k2

z) v2, (9.1.22)

di mana integral ganda merupakan modifikasi dari fungsi selinder dari argumenω

√[1 − β2 ε(ω)µ](y2 + z2)/v. Karena khususnya terdapat kesulitan untuk mengintegrasikannya

dalam ω; tetapi kenyataannya diperoleh pula sumbangan ω pada gelombang M untukc/

√ε(ω)µ < v.

Catatan: Dalam mengubah medan listrik dan magnet dalam satuan G, seperti relasi yang telahdiberikan pada § 7.1, masih harus ditambahkan faktor lain hingga medan dapat dinyatakan sbb:

~E∗ =e∗~r(1 − β2)

[√~r2 − (~r × ~v/c)2]3

, ~B∗ =~v × ~E∗

c.

9.2 Energi dan Momentum Partikel Bergerak Beraturan

Pada § 7.3 dan § 7.4 telah dilihat bahwa setiap medan elektromagnetik, tidak hanya mengandungenergi, melainkan juga momentum. Khususnya untuk partikel bermuatan yang bergerak di dalam

1Mulai pembahasan di sini elemen volume yang biasanya ditulis sebagai dv diganti dengan dV sehingga dapat dihindarikekeliruan mengartikannya sebagai kecepatan v.

9.2. ENERGI DAN MOMENTUM 233

ruang vakuum, berdasarkan hukum kekekalan energi dari pers[7.3.4] diberikan sebagai:

d(UK +Uel +Um) = − ⊂⊃∫∫

Sn d f dt, (9.2.1)

dengan integral pada ruas kanan merupakan energi radiasi yang melewati luas, praktis mencakupseluruh permukaan tak berhingga dalam waktu dt; pada ruas kiri: dUK = dt

∫~g · ~E dV = e~v ~E dt,

yaitu sebagai perubahan energi kinetik partikel karena daya yang berasal dari medan, sehinggamenyebabkan perubahan energi listrik dan magnetik dUel + Um selama waktu dt. Analog denganpers[7.4.12] untuk momentum:

d(~JK +~JS) =⊂⊃∫∫

Tn d f dt, (9.2.2)

dengan ~JK dan ~JS adalah momentum partikel dan medan dan integral pada ruas kanan adalahpengaruh dari tegangan M pada permukaan tak berhingga selama waktu dt. Dalam hal iniberdasarkan pers[7.4.11]~JS di vakuum diberikan sbb:

~JS =

∫~D × ~B dV = ~E × ~H dV =

1c2

∫~D dV. (9.2.3)

Pada pembahasan ini akan dipandang lebih jauh momentum medan untuk kasus yang telahdibahas sebelumnya, yaitu untuk partikel bermuatan dan bergerak lurus beraturan. Untuk itutidak lagi digunakan pers[9.1.15] dan [9.1.17] untuk muatan berbentuk titik, karena untuk partikelsemacam itu baik ~JS, demikian pula Uel dan Um dianggap akan mempunyai harga tak berhinggabesar. Selanjutnya harus pula dicari kembali potensial ϕ(~r) seperti yang diberikan pada pers[9.1.14],yaitu untuk muatan yang terdistribusi di dalam ruang terbatas yang diwakili oleh kerapatan muatan%(~r).

Perhitungan ~JS dalam hal ini khususnya bergantung pada bentuk benda di mana muatan ter-distribusi untuk partikel bergerak. Dalam membandingkan hasil perhitungan dan eksperimen ininantinya, seperti diperingatkan oleh H. A. B dan L, bahwa partikel yang bergerakdemikian, sesuai dengan pengamatan potensial konvensi pada § 9.1 yang mempunyai bentuk elip-soida rotasi yang menagalami pendataran, dengan perbandingan 1 :

√1 − β2. Dasar dari hipotesa

kontraksi L , karenanya ukuran panjang benda mengalami pemendekan sesuai dengan arahgerak dalam skala perbandingan yang sama, sementara ukuran panjang pada arah tegak lurus geraktetap tidak mengalami perubahan sama sekali, akan dibahas lebih rinci pada § 10.

Dalam pengertian hipotesa ini dianggap, bahwa distribusi muatan di mana partikel mengalamigerak pada arah sumbu x memenuhi persamaan:

%(x, y, z) =1√

1 − β2%

x√1 − β2

, y, z

≡ 1√1 − β2

%(ξ, η, ζ), (9.2.4)

yang ditransfromasikan ke dalam koordinat baru, sesuai dengan persamaan transformasi padapers[9.1.11]. Dalam hal ini faktor %(ξ, η, ζ) dipilish sedemikian, bahwa karena dx =

√1 − β2dξ


muatan total e tidak mengalami perubahan dalam proses transformasi:∫∫∫%(x, y, z) dx dy, dz =

∫∫∫%(ξ, η, ζ) dξdηdζ.

Selain itu kerapatan muatan %(ξ, η, ζ) di dalam ruang koordinat (ξ, η, ζ) juga merupakan distribusimuatan simetri bola, seperti halnya %(x, y, z) dalam ruang koordinat awal (x, y, z), untuk kasus dimana partikel dalam korrdinat ini berada dalam keadaan diam.

Selanjutnya pers[9.2.4] yang menyatakan distribusi muatan disubstitusikan ke dalam pers[9.1.14]atau [9.1.13], sehingga didapat:

ϕ(x, y, z) =1√

1 − β2ϕ

x√1 − β2

, y, z

≡ 1√1 − β2

ϕ(ξ, η, ζ), (9.2.5)

dengan ϕ adalah potensial statik dari muatan %, seperti halnya akan diperoleh pernyataan yangsama jika persamaan potensial pada pers[9.1.9] ditransformasikan dengan menggunakan pers[9.1.11].Dengan memandang kembali pers[9.1.7] dan selanjutnya dari pers[9.1.7], diperoleh komponen xmedan listrik ~E dapat ditulis dalam bentuk:

Ex(x, y, z) = −(1 − β2)∂(x, y, z)∂ x

= −∂(ξ, η, ζ)

∂ ξ= E x(ξ, η, ζ), (9.2.6)

dengan E x(ξ, η, ζ) sebagai komponen x medan listrik di dalam ruang (ξ, η, ζ) dari vektor medanlistrik ~E. Demikian pula untuk kedua komponen medan listrik lainnya:

Ey(x, y, z) = −∂(x, y, z)∂ y

= −E y√1 − β2

, (9.2.7)

Ez(x, y, z) =∂(x, y, z)∂ y

= −E z√1 − β2

.

Dengan demikian dari pers[9.1.8] diperoleh pula komponen medan magnet sbb:

Bx(x, y, z) = 0 (9.2.8)

By(x, y, z) =v E z(ξ, η, ζ)

c2

√1 − β2

,

Bz(x, y, z) =v E y(ξ, η, ζ)

c2

√1 − β2

Selanjutnya akan dihitung momentum medan ~JS dari partikel bermuatan yang bergerak. Daripers[9.2.3], [9.2.7] dan [9.2.8] untuk komponen x dari momentum yang tidak berharga nol diper-oleh relasi

(~JS)x = ε

∫(Ey Bz − Ez By) dx dy dz (9.2.9)

=ε v

c2

√1 − β2

∫(E2 y − E2

z) dξdηdζ

9.2. ENERGI DAN MOMENTUM 235

dan selanjutnya karena simetri rotasi dari distribusi % akibatnya momentum medan ~E menjadi:

~JS =2 ε ~v

3c2

√1 − β2

∫~E2 dξdηdζ =

4~v U3c2

√1 − β2

; (9.2.10)

dalam persamaan di atas U diartikan sebagai energi medan elektrostatik di ruang ξ, η, ζ. Jika faktor4 U/3c2

dianggap sebagai ”‘massa diam”’ m dari partikel medan, maka momentum medan dapatdengan sederhana dituliskan dalam bentuk:

~JS =m~v√1 − β2

. (9.2.11)

Rumusan ini berlaku pula untuk partikel berbentuk bola, berjari-jari R dengan muatan permukaanmurni m = e2/6πε R c2

, untuk partikel semacam itu sesuai dengan muatan ruang homogen m =e2/5πε R c2

; walaupun demikian adalah biasa, khususnya untuk elektron, mendefinisikan jari-jarielektron Re sebagai m = e2/4πε Re c2

, dengan harga muatan elementer e = |e| dan massa diamelektron sebesar 2, 8 · 10−15 m.

Apabila dianggap bahwa partikel yang bergerak ini bukan merupakan partikel pembawa massa,sehingga harga UK = 0 dan JK = 0, akan tetapi dengan adanya percepatan menyebabkan adanya gaya,sehingga menyebabkan adanya pertambahan momentum medan~JS dan tentunya juga bertambahnyaenergi medan U = Uel +Um. Dalam hal tersebut akan diperoleh harga U, mirip seperti menghitungJS, yaitu:

U =ε2

∫ E2 x + (E2

y + E2 z)

1 + β2

1 − β2

√1 − β2 dξdηdζ

=U√1 − β2

(1 +

β2

3

). (9.2.12)

Sebagai pendekatan pertama, hubungan antara U dan~JS, jika β 1 adalah

U = U, ~JS = m~v. (9.2.13)

Untuk melawan adanya gaya luar, partikel bermuatan yang bergerak dengan kecepatan yang tidakbegitu besar juga tidak bermassa sedemikian, seolah partikel meiliki massa sebesar m = 4 U/3 c2

.Massa elektromagnetik akan semakin besar jika jari-jari R partikel semakin kecil. Dengan pemilihantertentu dari R maka massa suatu partikel bermuatan dapat dijelaskan melalui massa elektromag-netiknya. Akan tetapi patut pula dicatat, bahwa hingga saat ini belum ada pembuktian yang memadaiuntuk membuktikan massa murni dari elektron ataupun proton.

Asal muasal dari pengaruh kelembaman elektromagnetik suatu partikel bermuatan dapat dije-laskan dengan mudah melalui pengamatan sbb:

Suatu partikel bermuatan yang bergerak dengan kecepatan konstan di samping dipengaruhimedan listrik juga magnet. dengan garis-garis gaya melingkupi lintasan partikel yang bersangku-tan. Sementara gerak tersebut tidak memberikan adanya gaya resultan pada partikel. Seandainya


dicoba gerak partikel dihentikan secara tiba-tiba, maka pengaruh medan magnet akan lenyap. Suatu”‘pemutusan”’ tiba-tiba medan magnet demikian, berdasarkan hukum induksi, akan menyebabkantimbulnya medan listrik induksi E(ind) yang cenderung menghambat penghentian gerak tersebut.Gaya kelembaman yang dialami partikel yang mengalami percepatan ternyata adalah sama denganpengaruh gaya yang timbul karena induksi, yaitu e E(ind).

Percobaan yang dilakukan menggunakan partikel cepat bermuatan hanya memberikan jawaban,bahwa momentum partikel, didefinisikan sebagai d~J/dt = ~K, akan bertambah sesuai dengan rumu-san pada pers[9.2.10]. Kunci yang mungkin memberikan harapan untuk itu, bahwa sifat alamiahelektromagnetik dari massa partikel bermuatan dapat dibuktikan melalui ”‘penerjemahan”’ bebasteori relativitas yang tidak membatasi bahwa definisi momentum yang terkandung pada pers[9.2.10]berlaku untuk setiap macam bentuk massa. Di samping itu munculnya faktor 4/3 pada massa elek-tromagnetik, sedangkan menurut definisi teori relativitas E faktor ini haruslah sama dengan1, demikian pula dengan rumusan energi yang mengandung suku tambahan ÷ β2/3 pada pers[9.2.11]seharusnya tidak muncul, bahwa pandangan tentang adanya sifat alamiah dari massa eletromagnetikmurni tidak berlaku. Persoalan ini akan dibahas lebih lanjut pada § 12.3 dan sekaligus memperke-nalkan penyelesaiannya.

Catatan: Dalam sistem G jari-jari elektron Re didefinisikan melalui relasi m c2 = e∗2/Re, yang

juga mempunyai harga Re = 1, 28 · 10−13 cm.

9.3 Potensial Elektromagnetik dari Muatan Terdistribusi dan Arus

Pada pembahasan ini akan ditilik lebih jauh medan yang berasal dari beberapa muatan bergerakatau arus di dalam ruang vakuum. Untuk itu perlu dibayangkan dua besaran, yakni % dan ~g atau %~v,sebagai fungsi dari koordinat ruang dan waktu, kemudian melalui besaran-besaran ini akan dicobauntuk menyelesaikan potensial yang dinyatakan pada pers[9.1.4].

Penyelesaian persamaan ini dibuat dalam bentuk yang mirip dalam menyelesaikan medan elek-trostatik. Penyelesaiannya adalah, seperti akan dihitung nantinya 1:

~A(x, y, z) =µ4π

∫∫∫~g(ξ, η, ζ), t −~r/c

~rdξdηdζ, (9.3.1)

ϕ(x, y, z) =1

4πε

∫∫∫%(ξ, η, ζ), t −~r/c

~rdξdηdζ

dengan

r =√

(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2, (9.3.2)

yaitu jarak antara sumber muatan dan titik di mana potensial dicari. Berdasarkan rumusan inielemen volume dξdηdζ untuk potensial di titik pengamatan (x, y, z) dibedakan dengan kasus statik,

1Penyelesaian pers[9.3.1] merupakan integral partikular dari persamaan homogen, pers[9.1.4]. Untuk perhitungan lebihteliti dalam pemilihan syarat batas awal dan akhir, penyelesaian harus ditambahkan integral homogen pada persamaanpotensial untuk ~A maupun ϕ.

9.3. POTENSIAL ELEKTROMAGNETIK 237

bahwa ~g dan % bukan merupakan harga sesaat, melainkan harga arus atau kerapatan muatan yangterdapat di elemen volume dξdηdζ pada saat r/c. Sumbangan dari titik sumber muatan untukharga potensial di titik pengamatan merupakan sumbangan selama waktu r/c. Dengan dasar inimaka potensial ~A dan ϕ yang dinyatakan pada pers[9.3.1] disebut sebagai potensial retardasi.

Patut pula dicatat, bahwa secara fisis penyelesaian yang disajikan pada pers[9.3.1] dan [9.1.4]adalah tidak identik. Sementara tanda dari waktu pada persamaan diferensial tidak dapat diten-tukan, maka pertukaran waktu antara masa lampau dan kini tidak akan terdapat perbedaan penting,sehingga pers[9.3.1] sekaligus memberikan perbedaan potensial untuk masa lalu dan kini. Murnimatematis dapat pula diusahakan kemungkinan penyelesaian yang mengandung ~g dan % pada saatt + r/c, yaitu pada saat berikutnya. Potensial ke depan (maju) demikian adalah bertentangan denganpandangan yang telah diketahui, karena baik muatan dan arus merupakan sumber atau penyebabadanya potensial. Dengan meniadakan penyelesaian ke depan ini kenyataannya akan didapat kan-dungan sebenarnya yang terdapat di dalam persamaan diferensial pers[9.1.4].

Harus pula dibuktikan bahwa rumusan pada pers[9.3.1] benar-benar merupakan penyelesaianpers[9.1.4]. Pembuktian ini cukup dilakukan untuk potensial skalar ϕ. Untuk itu daerah integrasidibagi dalam dua bagian, yaitu V1 dan V2; V1 adalah volume kecil yang terdapat pada titik penga-matan, sedangkan V2 bagian volume lainnya. Maka integral ditulis dalam bentuk:

ϕ = ϕ1 + ϕ2 =1

4πε

∫V1

%(ξ, η, ζ, t − r/c)r

dV

+

∫V2

%(ξ, η, ζ, t − r/c)r

dV

dan selanjutnya dianggap integral untuk daerah V1 adalah mendekati nol.

Integrasi pada daerah yang sangat kecil V1 tidak memberikan peran penting pada retardasi,sehingga pada suku pertama integral faktor %(ξ, η, ζ, t − r/c) dapat disederhanakan menjadi%(ξ, η, ζ, t). Karenanya peristiwa ini tidak lagi terbedakan dengan kasus elektrostatik dan diper-oleh ∇2ϕ1 = −%(x, y, z, t)/ε Karena volume V1 sangat kecil sehingga ∂2ϕ1/∂ t2 dapat diabaikan,sehingga harga ϕ1 akan memenuhi persamaan potensial ϕ pada pers[9.1.4].

Integrasi untuk daerah lainnya, V2, titik pengamatan (~r = 0) tidak lagi terdapat pada daerahintegrasi. Pada integran ϕ2 diperhitungkan mengandung fungsi reguler r dan t − r/c dalam daerahV2, sehingga haruslah dilakukan diferensiasi. Dalam hal ini operator ~∇2 dapat direduksi menjaditurunan:

1r∂2

∂ r2 r =∂2

∂ r2 +2r∂∂ r,

sehingga integran ϕ2 dapat ditulis menjadi:

∇2 %(t − r/c)

r=

1r∂2%(t − r/c)

∂ r2

dan1

c2 r∂2%(t − r/c)

∂ t2 =1r∂2%(t − r/c)

∂ r2 .


Maka persamaan diferensial untuk ϕ2 merupakan persamaan homogen dari persamaan gelombang∇

2ϕ2 − ∂2ϕ2/∂ (c t)2 = 0 dan penyelesaian ϕ1 dari persamaan inhomogen dapat ditambahkan, se-hingga dapat dibuktikan bahwaϕ = ϕ1+ϕ2 benar-benar memenuhi pers[9.1.4] untuk fungsi potensialskalar ϕ, yaitu persamaan:

∇2ϕ −

1c2

∂2ϕ2

∂ t2 = −%

ε; (9.3.3)

penyelesaian persamaan pertama pada pers[9.1.4] untuk potensial vektor adalah analog dengan caradi atas.

Untuk mempersiapkan diri pandang kasus elektrostatik di mana % dan ϕ hanya bergantung padakoordinat ruang, tetapi tidak bergantung terhadap waktu. Maka berdasarkan transformasi Fdapat ditulis dalam bentuk:

%(r) =∫

%k ei k r dVk dan ϕ(r) =∫

ϕk ei k r dVk, (9.3.4)

dan transformasi baliknya adalah

%k =1

(2π)3

∫%(r′) ei k r′ dVr′ dan ϕk =

1(2π)3

∫ϕ(r′) ei k r dVr′ . (9.3.5)

Dari pers[9.3.3], karena pengabaian suku mengandung waktu, didapat relasi antara komponen-komponen deret F %k dan ϕk sbb:

k2 ϕk =%k

ε. (9.3.6)

Selanjutnya substitusikan ϕk dengan integrasi untuk ϕk dari pers[9.3.5] dalam pernyataan ϕ(r) padapers[9.3.4], maka didapat:

ϕ(r) =1

8πε

∫dVk

∫%(r′) ei k (r−r′)

~k2dVr′ , (9.3.7)

atau dengan menukar penulisan integrasi yang dimungkinkan karena distribusi muatan di dalamruang adalah terbatas,

%(r) =1

8πε

∫%(r′) dVk

∫ei k (r−r′)

~k2dVr′ . (9.3.8)

Dengan integral terakhir integrasi dilakukan di dalam ruang k. Apabila ruang tersebut dinyatakandalam koordinat polar, dengan sumbu polar berada pada arah~r −~r′, maka integrasi terhadap sudutdidapat: ∫∫

ei k (r−r′)

~k2dk dΩk = 2π

∞∫0

ei k |r−r′|− e−i k |r−r′|

i k |~r −~r′|dk (9.3.9)

= 4π

∞∫0

sin k|~r −~r′|i k |~r −~r′|

dk,

9.3. POTENSIAL ELEKTROMAGNETIK 239

dengan demikian, berlaku integrasi terhadap k = 2π2/|~r −~r′| adalah∞∫

0

sin ξξ

dξ =π2. (9.3.10)

Maka pers[9.3.8] merupakan penyelesaian pers[9.3.3] untuk kasus elektrostatik yang telah dikenalpada pers[1.3.10]:

ϕ(r) =1

4πε

∫ϕ(~r′)|~r −~r′|

dVr′ . (9.3.11)

Dengan cara yang sama akan dipandang kembali pers[9.3.3] untuk kasus % dan ϕ selain sebagaifungsi koordinat ruang, juga tergantung waktu. Untuk itu melalui transformasi F:

%(r, t) =

∫∫%k, ω ei k r+ωt dVk dω (9.3.12)

dan

ϕ(r, t) =

∫∫ϕk, ω ei k r+ωt dVk dω,

dan dengan tramsformasi balik

%k, ω =1

(2π)4

∫∫%(~r′, t) e−i k r−iω t dVr′ dt′ (9.3.13)

ke persamaan gelombang pers[9.3.3], maka diperoleh relasi antara komponen F %k, ω dan ϕk, ω,yaitu: (

k2−ω2

c2

)ϕk, ω =

%k, ω

ε. (9.3.14)

Dengan demikian diperoleh relasi yang berkaitan dengan pers[9.3.7] yang mengandung faktor waktu,yaitu:

ϕ(~r, t) =1

16πε

∫∫dVk dω

∫∫%(~r′, t′) ei k (r−r′)+iω(t−t′)

~k2 − ω2/c2

dVr′ dt′. (9.3.15)

Dalam menukarkan integral di atas haruslah hati-hati, artinya tanda integral tidak dapat diper-tukarkan secara sembarang. Karena %(~r′, t′) di dalam ruang~r′ adalah terbatas, tetapi tidak demikiandengan skala waktu, karenanya hanya integral yang mengandung dVr′ yang dapat diubah. Selan-jutnya pandang integrasi terhadap sudut di dalam ruang ~k, berdasarkan pers[9.3.9], maka diperolehrelasi:

ϕ(~r, t) =1

8π3 i ε

∫dVr′

|~r −~r′|

+∞∫−∞

dω

+∞∫−∞

dt′ %(~r′, t′) eiω(t−t′)

×

+∞∫0

k dkei k (r−r′)

− e−i k (r−r′)

k2 − ω2/c2

. (9.3.16)


Gambar 9.2: Ilustrasi untuk menghitung integral k pada pers[9.3.16].

Pembaca harus pula memperhatikan bahwa rumusan pada pers[9.3.15] mengandung integran k =|ω|/c tidak dapat diintegrasi untuk batas tak berhingga, sehingga integral k pada pers[9.3.16] jugamengandung bentuk serupa dan tidak memberikan arti sama sekali. Harga k tersebut adalah persissama dengan terkandung di dalam rumusan gelombang pers[9.3.12] yang tidak dapat memenuhipersamaan homogen pers[9.3.3], melainkan hanya persamaan homogen di mana %k, ω = 0.

Sekarang kesulitan yang dihadapi di atas dapat diabaikan, yaitu dengan tidak menghitung lebihjauh integrasi k dalam sumbu realnya pada pers[9.1.16], melainkan hanya di daerah di dekat hargak = ω/c ke atas atau ke bawah di atas bidang kompleks k seperti duilustrasikan pada gbr[9.2](masing-masing digambarkan dengan garis tebal dan putus-putus). Seperti akan yang dilihat berikutini, sesuai dengan dua kemungkinan pemilihan jalan integrasi ini, maka kemungkinan akan diperolehpotensial retardasi atau potensial ”‘maju”’.

Selanjutnya adalah penting untuk mengetahui bahwa integral pada pers[9.3.16] dari −∞ ke +∞diganti dengan 0 hingga ∞. Penggantian ini akan diperoleh jika pada bagian kedua integral k diganti dengan −k, yang pada gbr[9.2] berarti sebagai pencerminan dari jalan integrasi terhadap titiknol. Dengan demikian integral k diperoleh dalam bentuk:

+∞∫−∞

k dkk2 − ω2/c2

ei k|r−r′| =12

+∞∫−∞

( 1k − ω/c

+1

k + ω/c

)ei k|r−r′| dk.

(9.3.17)

Sekarang jalan integrasi yang menuju ke sumbu k positif ke atas pada bidang imajiner diabaikan,karena integral mengandung suku eksponensial minus tak berhingga dan integran menuju nol.Karenanya hanya terdapat integral untuk garis tebal pada gbr[9.2], yaitu dari titik k = −ω/c dan

9.4. MEDAN ELEKTROMAGNETIK MUATAN BERGERAK 241

untuk garis putus-putus dari titik k = ω/c, sehingga integral pers[9.3.17] sebagai residu pada keduatempat tersebut dan menghasilkan harga:

iπ e−i|ω| |r−r|prime|/c dan iπ e+i|ω| |r−r|prime|/c .

Karenanya rumusan pada pers[9.3.16] dapat ditulis kembali menjadi:

ϕ(~r, t) =1

8π3 i ε

∫dVr′

|~r −~r′|

+∞∫−∞

dω

+∞∫−∞

dt′ %(~r′, t′) eiω(t−t′)−|r−r′|/c

(9.3.18)

jika jalannya integrasi dipilih garis putus-putus untuk ω < 0 dan garis tebal untuk ω > 0. Dalam halini terdapat integrasi ganda terhadap ω dan t′ yang berdasarkan transformasi Fmenghasilkan2π%(~r′, t− |~r−~r′|/c), tanpa memperhatikan perubahan simbol, persamaan yang diperoleh tidak lainsama dengan persamaan yang diberikan pada pers[9.3.1]. Jika jalannya integrasi dipilih selain ω > 0dan ω < 0, maka akan diperoleh fungsi potensial ”‘maju”’.

9.4 Medan Elektromagnetik Muatan Bergerak

Pada pembahasan ini akan dirumuskan kembali ~A dan ϕ dari pers[9.3.1], bahwa rumusan inihanya dapat digunakan dalam wilayah sempit. Hal yang masih mengganjal dalam melakukanintegrasi terhadap elemen volume harus mengambil batasan waktu berbeda t − r/c yang berbeda.Misalnya adalah integrak

∫∫∫%(ξ, η, ζ, t − r/c) dξdηdζ yang pada pers[9.3.1] dilakukan dengan

mengabaikan pembilang r, akan tetapi beda halnya dalam kasus elektrostatik melalui muatan totalyang ada; hal demikian dilakukan seandainya integran mengandung atau merepresentasikan waktuyang sama.

Kasus terakhir dapat dicapai melalui pengertian yang telah dikenal sebelumnya, yakni dari § 1.1dengan menggunakan fungsi δ satu dimensi. Fungsi ini didefiniskan δ(u) = 0 untuk u , 0 danδ(u) , 0, yaitu

+∞∫−∞

δ(u) du = 1 (9.4.1)

untuk harga u selain itu. Karenanya untuk suatu fungsi kontinu dan dapat didiferensiasi f (u)

+∞∫−∞

f (u) δ(u − a) du = f (a) dan

+∞∫−∞

f (u)d

du[δ(u − a)] du =

d f (a)da

.

(9.4.2)

Dengan fungsi ini fungsi potensial pada pers[9.3.1] dapat dirumuskan kembali dalam bentuk:

~A(x, y, z, t) =µ4π

∫ ∫ ∫ ∫~g(ξ, η, ζ, τ)

~rδ

(τ − t +

~rc

)dξdηdζdτ


ϕ(x, y, z, t) =1

4πε

∫ ∫ ∫ ∫%(ξ, η, ζ, τ)

~rδ

(τ − t +

~rc

)dξdηdζdτ.

(9.4.3)

Kerapatan muatan %(ξ, η, ζ, τ) dξdηdζ = de adalah sama dengan muatan yang terdapat di dalamelemen volume dξdηdζ pada saat τ, demikian pula ~g(ξ, η, ζ, τ) dξdηdζ = v(τ) de dengan ~v adalahkecepatan partikel. Dengan demikian untuk muatan yang terdapat di dalam ruang kecil yang terbatasdapat dicari dengan melakukan integrasi, yaitu:

~A =µ e4π

∫v(τ) dτ~r

δ

(τ − t +

~rc

), (9.4.4)

ϕ =e

4πε

∫dτ~rδ

(τ − t +

~rc

).

Dengan rumusan kembali seperti di atas sekarang r sebagai jarak dari partikel terhadap titik penga-matan dalam saat tertentu, yaitu:

r =√

(x − ξ(τ))2 + (y − η(τ))2 + (z − ζ(τ))2 = r(τ).

Selanjutnya harus dicari pula integrasi fungsi δ. Untuk itu variabel τ diganti dengan variabel baruu = τ − t + r/c, dengan

dudτ

= 1 +1c

drdτ= 1 −

~r~vr c

, atau

dτdu

=1

1 − (~r~v)/r c, (9.4.5)

karena karakter fungsi δ didapat:

~A =µ e4π

[~v

r − (~r~v)/r c

]τ=t−r/c

, (9.4.6)

ϕ =e

4πε

[1

r − (~r~v)/r c

]τ=t−r/c

.

Potensial dalam bentuk ini pertama kali diberikan oleh A. L dan E. W.Selanjutnya akan dihitung medan yang timbul dari partikel bermuatan yang bergerak dengan

kecepatan ~v(τ). Hal yang menguntungkan untuk melakukan perhitungan selain menggunakanpers[9.4.6], yaitu menggunakan pers[9.4.4] dan selanjutnya dari pers[9.1.4] dapat ditentukan medan~E dan ~B. Dengan menggunakan definisi variabel baru u = τ − t +~r/c dengan ~r = ~r(τ), diperolehpersamaan medan sbb:

~E =e

4πε

∫ ~rr3 δ(u) −

(~r

c r2 −~v

c2 r

)d δ(u)

d u

dτ

~B =µ e4π

∫ −~r × ~v

r3 δ(u) +~r × ~vc r2

d δ(u)d u

dτ.


Dalam hal ini turunan fungsi δ dapat dicari dari pers[9.4.5] melalui argumennya, yaitu menggunakanintegrasi parsial dan didapat:

~E =e

4πε

∫ ~rr3 +

dd r

(~r − r~r/c

r (r c −~r~v)

)δ(u) dτ,

~B =µ e4π

∫ ~r × ~v

r3 −d

d r

(~r × ~v

r (r c −~r~v)

)δ(u) dτ.

Selanjutnya akan dihitung integral fungsi δ seperti halnya peralihan dari pers[9.4.4] ke [9.4.6], se-hingga diperoleh rumusan akhir sbb:

~E =e

4πε

(~r c −~r~v) c2 (1 − β2) +~r × [(~r c −~r~v) × ~v]

(~r c −~r~v)3

τ=t−r/c

(9.4.7)

~B =µ e4π

−(~r × ~v) c2

(1 − β2) +~r × (~r × [(~r c −~r~v)])(~r c −~r~v)3

τ=t−r/c

.

Dalam hal ini berlaku pula

~B =~r × ~Er c

; (9.4.8)

medan magnet selalu terletak tegak lurus terhadap medan listrik dan terhadap vektor ~r di manapartikel berada pada saat τ = t − r/c dari titik pengamatan.

Untuk mendiskusikan pers[9.4.7] amati dua suku yang mengandung penambahan secara terpisah.Bagian pertama yang tidak mengandung percepatan ~v mempunyai bagian medan ~E1 dan ~B1 dengankarakter sebagai medan statik dan akan menurun jika jarak~r semakin besar, sebanding dengan 1/r2.Untuk medan bagian ini berlaku relasi selain pers[9.4.8]:

~B1 =~v × ~E1

c; (9.4.9)

~B1 tetap berada tegak lurus terhadap kecepatan bagian pada saat τ, sementara ~E1 mempunyai arahsesuai dengan~r c −~r~v.

Harga ~B1 dan ~E1 akan diperoleh untuk setiap ~v(t) sebagai penyelesaian pers[9.4.7] jika ~v konstandan harganya sesuai dengan medan yang diberikan pada pers[9.1.7]. Perbedaan dari kedua perny-ataan tersebut terletak pada arti yang berbeda dari ~r pada kasus yang dipandang di sini dan § 9.1.Pada bab tersebut~r = ~r(t) adalah sebagai vektor posisi sesaat partikel di B terhadap titik pengamatandi P, seperti diilustrasikan pada gbr[9.3], sementara dalam pembahasan di sini ~r = ~r(τ) = ~r(t −~r/c)adalah vektor partikel dari titik A pada saat τ dipandang dari titik pengamatan di P. Untuk kasuskecepatan konstan berlaku:

~r(t) c = ~r(τ) c −~r(τ)~v,

dan vektor ini ternyata sebagai pembilang untuk suku medan ~E1 pada pers[9.4.7]. Selain itu didapatpula bahwa

(~r(t) c)2− (~r(t) × ~v)2 = (~r(τ) c −~r(τ)~v)2,


Gambar 9.3: Hubungan antara posisi retardasi A dan posisi sesaat B dari partikel mengalami gerak beraturan.

persamaan ini merupakan suku penyebut dari ~E1 pada pers[9.4.7]. Demikian pula rumusan untuk~B1 berdasarkan pers[9.4.9] adalah sesuai dengan pers[9.1.17].

Kebalikan dari bagian medan ~E1 dan ~B1, di mana menggambarkan medan yang ditimbulkan par-tikel, bagian medan yang sebanding dengan percepatan, yaitu ~E2 dan ~B2 pada pers[9.4.7] mempunyaikarakteristik menurun sebanding dengan 1/r dan setiap pasangan ketiga vektor~r, ~E2 dan ~B2 adalahsaling tegak lurus satu sama lain. Khususnya untuk partikel yang pada saat τ berada dalam keadaandiam (~v(τ) = 0) medan tersebut pada jarak~r dan pada saat t = ~r/c adalah sama dengan:

~E2 =e

4πε

~r × (~r × ~v)r2 , ~B = −

µ e4π c

~r × ~vr2 . (9.4.10)

Dengan demikian diperoleh pula vektor P sbb:

~S = ~E2 × ~H2 =e2~r

16π2 ε c3 r3

(~r × ~v)2

r2 (9.4.11)

sehingga daya total radiasi yang dihitung pada permukaan bola yang berjarak r dari partikel adalahsebesar:

I =⊂⊃∫∫

S d f =e2 ~v

2

6πε c3

. (9.4.12)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa partikel yang dipercepatan atau diperlambat meru-pakan sumber radiasi suatu gelombang bola yang diberikan sesuai pers[9.4.12], intensitas = yangtidak bergantung jari-jari r bola. Hal yang berkaitan dengan gelombang bola ini akan dibahas lebihrinci pada bab berikutnya. Hingga di sini akan diberikan batasan penting dan tambahan.

Jika partikel bergerak dengan kecepatan ~v pada saat emisi, maka perhitungan energi radiasi yangdipancarkan melalui permukaan bola dalam waktu dt akan menjadi sukar, karena partikel pada


saat tersebut melintasi jalan sejauh ~v dτ dari titik pusat bola, sehingga menyebabkan medan radiasirelatif terhadap bola yang tetap menjadi tidak simetri. Karena partikel mengalami gerak, rumusandaya seperti dirumuskan pada pers[9.4.12] harus ditambahkan dengan faktor (1− β2 sin2 γ)/(1− β2);dengan γ adalah sudut antara ~v dan ~v. Faktor tambahan ini tidak dihitung pada pembahasan ini danakan diberikan dengan sederhana, walaupun menyangkut persoalan yang berbeda, pada § 11.6.

Selanjutnya harus pula diketahui bahwa pers[9.4.12] atau bentuk umum dari persamaan terse-but untuk ~v , 0 adalah berguna untuk menjelaskan spektrum bremsstrahlung dari sinar R.Radiasi ini timbul karena terdapat elektron yang bergerak tinggi di dalam zat padat, misalnya sinarkatode. Seperti halnya diperoleh dari hasil percobaan pengukuran spektrum radiasi, sinar Rmengandung dua komponen sangat ”‘tajam”’ yang dapat dipisahkan satu sama lain. Salah satu kom-ponennya mengandung spektrum garis dan bergantung pada sifat-sifat alamiah dari bahan antikatode;spektrum ini timbul karena atom-atom zat padat tertumbuk sinar katode sedemikian, sehingga atomyang ”‘tereksitasi”’ akan mengemisikan radiasi kembali dalam bentuk spektrum ini. Sementara kom-ponen lainnya mengandung spektrum kontinu, muncul dari elektron yang mengalami perlambatan(pengereman) pada saat menembus antikatode.

Berdasarkan pendekatan yang dibuat A. S, emisi tersebut timbul karena elektron men-galami perlambatan atau percepatan, masing-masing elektron yang bergerak di dekat inti atom bahan

antikatode dengan lintasan mirip hiperbola akan mempunyai harga ~v2

yang besar, sehingga terjadipancaran radiasi yang sangat besar. Distribusi spektrum bremmstrahlung dapat diperoleh denganmemisahkan peristiwa pengereman dan medan radiasi melalui transformasi F. Hasil perhitun-gan teoritis yang dikemukakan S, khususnya untuk radiasi frekuensi kecil, adalah sesuaisecara kualitatif dengan pengamatan hasil eksperimen. Sedangkan pada frekuensi tinggi munculberbagai penyimpangan karakteristik yang hanya dapat dijelaskan melalui prosedur mekanika kuan-tum. Kenyataan penting yang dapat ditarik dari fenomena ini, bahwa bremmstrahlung tidak akanmencapai frekuensi yang tinggi tak berhingga, seperti yang diharapkan dari perhitungan teoritis,melainkan hanya pada frekuensi tertentu yang sangat ”‘tajam”’ dan bergantung pada energi sinarkatode yang membatasi bagian atas batas frekuensinya.

Selain itu pers[9.4.12] juga berguna untuk peralatan pemercepat partikel (misal: betatron, siklotrondls.), di mana partikel diarahkan dan dipercepat melalui medan magnet ~B f sehingga bergerak denganlintasan berbentuk lingkaran. Dalam alat ini partikel mengalami (pada kecepatan yang tidak begitubesar) percepatan sebesar ~v = e~v× ~B f /m dan berdasarkan pers[9.4.12] memancarkan energi tiap saatsebesar (karena ~v ⊥ ~B f ):

I =e4 v2 B2

f

6πεm2 c3

=e4 Ek B2

f

3πε (m c)3 (9.4.13)

dengan Ek = m v2/2 adalah energi partikel yang bersangkutan. Kehilangan energi ini menjadi nyatapada alat pemercepat elektron (karena m kecil !) dan dapat mencapai 109 eV.

Catatan: Dalam sistem satuan G selain semua besaran medan yang dibahas dalam bab inidiberi tanda (∗), pada rumusan medan listrik dan magnet faktor konstanta ε digantikan dengan1/4π dan µ diganti dengan 4π/c2

. Karenanya pers[9.4.12] untuk energi yang dipancarkan partikel


yang mengalami pecepatan atau perlambatan berlaku rumusan sbb:

I =2 e2 v2

3 c3

.

9.5 Radiasi Pemancar Gelombang Elektromagnetik

Pada bab ini akan dibahas leboh rinci emisi gelombang elektromagnetik berasal dari muatan berg-erak yang mengalami perlambatan (pengereman) dan untuk itu pandang sebuah pemancar, terdiri darisistem muatan atau arus yang mengalami getaran dengan frekuensiω. Karenanya pembawa muatanyang terdapat di dalam pemancar tersebut mengalami perubahan kecepatan (~v , 0), berdasarkan§ 9.4, muatan menimbulkan emisi gelombnang elektromagnetik.

Sebagai contoh pertama, gunakan rumusan yang terdapat pada § 9.4, khususnya pers[9.4.6],yaitu berhubungan dengan percobaan yang dibuat oleh H. H untuk momen dipol ~p = ~p(t) yangmengalami getaran. Bayangkan dipol tersebut berdasarkan model atom T sebagai elektronyang terikat dengan gaya elastik, terdiri dari pasangan muatan± e, dengan jarak antara kedua muatan~s(t) berubah-ubah setiap saat, atau berdasarkan pers[9.4.6] dapat dirumuskan menjadi:

e~v = e~s = ~p ≡d ~pd t. (9.5.1)

Selanjutnya untuk menyederhanakan persoalan anggap bahwa harga |~s| adalah kecil dibandingpanjang gelombang λ dari radiasi gelombang yang diemisikan dan juga kecil dibanding terhadaptitik pengamatan di mama medan dihitung yang berjarak ~r dari momen dipol. Maka penyebutvektor potensial pada pers[9.4.6] dapat diganti dengan r; karena getaran dipandang harmonik, makaberlaku v/ccirc = ω s/c = 2π s/λ dan pengandaian ini dianggap mempunyai harga kecil dari 1.Selanjutnya perubahan r karena gerak momen dipol dianggap kecil dan dapat diabaikan, sehinggaperhitungan dapat dilakukan dengan menganggap jarak konstan. Dengan demikian diperoleh relasivektor potensial sbb:

~A =µ

4π r~p(t − r/c). (9.5.2)

Untuk menghitung potensial skalar ϕ berdasarkan pers[9.4.6] segala pengandaian harus dibuat den-gan hati-hati, jika tidak demikian, karena netralitas muatan yang terdapat pada dipol akan meng-hasilkan harga ϕ = 0; dalam hal ini harus dibuat deret hingga suku pertama yang mempunyai hargacukup besar, sedangkan suku-suku lainnya dapat diabaikan. Untuk menyederhanakan persoalanpersamaan vektor potensial pada pers[9.5.2] dioperasikan dengan konvensi L pers[9.1.3] yangmerupakan dasar pembahasan pada § 9.4. Dan dengan mengintegrasikan persamaan ini terhadapwaktu, diperoleh:

ϕ = −1

4πε~∇ ·

~p(t − r/c)r

=1

4πε

~p ·~rc r2 +~p ·~rr3

, (9.5.3)

dengan mengabaikan penulisan argumen t−r/c untuk momen dipol. Dapat pula dibuktikan melaluiperhitungan ulang, bahwa rumusan ϕ memenuhi persamaan potensial untuk~r , 0 pada pers[9.1.4].

9.5. RADIASI PEMANCAR GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK 247

Untuk mengabaikan pengertian fisis yang terdapat di dalam rumusan ini, khususnya substi-tusikan:

~p = ~p sin (t − r/c), dengan ω = 2πν = 2πcλ. (9.5.4)

Maka diperoleh persamaan:

ϕ =~p~rω

4πε c~r2cos ω

(t −

rc

)+

~p~r4πε c~r3

sin ω(t −

rc

). (9.5.5)

Untuk mendiskusikan persoalan ini lebih jauh, pandang kasus r λ: (9.5.5)Untuk kasus ini pertama suku r yang terdapat sebagai argumen dari fungsi sudut dapat diabaikan

dan kedua suku yang mengandung cosinus dapat dicoret, sehingga diperoleh persamaan denganamplitudo lebih kecil, sebanding dengan faktorω r/c = 2π r/λdibanding dengan suku yang sinus; didekat pemancar harga ϕ setiap saat, secara pendekatan, adalah sama dengan potensial elektrostatikdari momen dipol ~p(t). Untuk kasus r λ suku kedua pada persamaan ϕ akan lebih kecil, yaitumengecil sebanding dengan 1/r, yaitu sesuai dengan gelombang bola. Untuk kasus r λ disebutzone jauh dan untuk r λ disebut zone dekat.

Dengan mensubstitusikan rumusan potensial pers[9.5.2] dan [9.5.3] pada pers[9.1.2] diperolehmedan ~E dan ~B untuk harga r sembarang, yaitu:

~E =1

4πε

− ~pc r+

(~p ·~r)~rc2 r3

−

~pc r2 +

(~p ·~r)~rc r4

−~pr3 +

(~p ·~r)~rr5 ,

~B =

µ4π

~p ×~rc r2 +~p ×~r

r3

, (9.5.7)

Di zone dekat (r λ) penyebut pada medan listrik hanya bergantung pada suku yang mengandungr berpangkat tinggi:

~E =1

4πε

−~pr3 +

(~p ·~r)~rr5 ,

, ~B =

µ4π

~p ×~rr3

. (9.5.8)

Seperti telah disebutkan sebelumnya, bahwa potensial skalar yang muncul hanya potensial statikdari momen dipol ~p dan potensial dari adanya medan listrik akibat arus kuasi stasioner

∫~g dV = ~p.

Untuk kasus zone jauh (r λ) penyebut hanya mengandung suku-suku r berpangkat rendah:

~E =1

4πε

− ~pr + (~p ·~r)~rr3

, ~B =µ4π

~p ×~rc r2 . (9.5.9)

Dalam hal ini berlaku pula relasi:

~E = c ~B ×~rr, dan ~B =

~rr×

~Ec. (9.5.10)

~E dan c ~B, seperti pada gelombang datar, di zone gelombang mempunyai harga yang sama dansatu sama lain berada saling tegak lurus terhadap vektor ~r. Hal ini, karena |~p|/r sebagai gambarangelombang bola yang merambat dari pemancar pada arah~r.


Jika momen dipol bergetar pada arah tertentu, misalnya pada sumbu suatu ruang dalam koordinatpolar r, ϑ, α, maka medan ~E akan bergetar pada bidang horizontal (bujur) dan vektor ~B pada bidangvertikal (lintang). Amplitudo medan akan menurun mulai dari ”‘ekuator”’ hingga ke ”‘kutub”’; padaarah getar momen dipol (ϑ = 0) tidak akan terdapat radiasi. Vektor P:

~S = ~E × ~H =(~p ×~r)2

16π2 ε c2 r3

~rr=

~p sin2 ϑ

16π2 ε c2 r3

~rr

(9.5.11)

searah dengan jari-jari dan akan berkurang sesuai dengan pertambahan ~r sebanding dengan 1/r2,sesuai dengan hukum kebalikan jarak kuadrat. Total radiasi I yang melewati permukaan bola padaarah radial adalah sesuai dengan rumusan yang diberikan pada pers[9.4.12] untuk bremmstrahlung:

I =⊂⊃∫∫

~S~r2 dΩ =~p

2

6πε c3

. (9.5.12)

Khususnya untuk momen dipol yang mengalami getaran harmonik, harga rata-rata terhadap waktudari radiasi total adalah

= =ω2 ~p2

12πε c3

=π3

√µε

ω2 ~p2

λ2 . (9.5.13)

Patut pula dicatat bahwa retardasi pada rumus potensial menentukan timbulnya gelombangbola pada pers[9.5.9]. Gelombang bola justru akan muncul jika dalam mendiferensiasi terhadap rhanya diperhatikan~r pada kombinasi t−~r/c dan r yang terdapat pada penyebut dipandang sebagaikonstanta.

Berdasarkan penurunan rumusan di atas dimungkinkan untuk menurunkan radiasi yang berasaldari muatan dan arus yang mengalami getaran. Jika yang menjadi pokok perhatian di sini hanyakasus di mana r λ, dengan harga ~r tentunya besar dibanding dengan ukuran pemancar radiasi,maka dengan dasar persamaan potensial pada pers[9.3.1] r pada penyebut dapat digantikan denganjarak dari pemancar ke titik pusat koordinat, yang selanjutnya disimbolkan dengan ~r. Sebaliknyamenurut pers[9.3.2]~r pada potensial retardasi ditulis sebagai |~r−~rprime|, dengan~r′ adalah vektor titiksumber. Dengan demikian dari pers[9.3.1] diperoleh zone gelombang sbb:

~A =µ

4π r

∫~g(~r′, t −

|~r −~r′|c

)dV′

ϕ =1

4πε

∫%

(~r′, t −

|~r −~r′|c

)dV′ (9.5.14)

Selanjutnya perhitungan dibatasi, khususnya untuk kasus getaran harmonik murni dengan meng-gunakan bilangan kompleks yang bergantung waktu, yaitu ∼ eiωt; dirumuskan bahwa

~g(~r, t) = ~g(~r) eiω t, %(~r, t) = %(~r) eiω t, (9.5.15)

dengan menganggap bahwa kedua sumber di atas memenuhi persamaan kontinuitas:

iω%(~r) + ~∇ · ~g(~r) = 0, (9.5.16)

9.5. RADIASI PEMANCAR GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK 249

dan karena selain terdapat retardasi waktu yang dinyatakan pers[9.5.14], terdapat pula retardasiyang sebanding dengan eiω|r−r′|/c , karena r < r′ dan |~r −~r′| =

√

r2 − 2~r ·~r′ + r′2 = ~r − (~r ·~r′)/r − · · ·,serta dengan memotong deret di atas hingga suku kedua, maka faktor retardasi terakhir dapat ditulisdalam bentuk:

e−iω (r−(r·r′)/r)/c = e−i k r+i k r′ ;

dalam persamaan di atas dibuat penyingkatan untuk ω/c = k dan ω~r/r c = ~k, dengan ~r/r = ~nadalah vektor satuan yang menentukan arah rambatan radiasi dari pemancar ke titik pengamatan.Dengan demikian maka pers[9.5.14] dapat diubah menjadi:

~A =µ

4π rei(ω t−k r)

r

∫~g(~r′) ei k r′ dV′,

ϕ =1

4πεei(ω t−k r)

r

∫%(~r′) ei k r′ dV′ (9.5.17)

Dalam hal ini integral untuk rumusan ϕ berbeda hanya dengan faktor ~k/ω = ~n/c dengan potensialvektor ~A, yang dapat diperoleh dengan mensubstitusikan % dari pers[9.5.16] dan melakukan diver-gensi dengan integral parsial pada faktor retardasi. Selanjutnya didefinisikan vektor ~q(t) dan ~q(t)melalui persamaan sbb:

~q(t) = ~q eiω t, dengan iω~q =∫

~g(~r) eiω r dV, (9.5.18)

sehingga dari pers[9.5.17] diperoleh rumusan yang analog:

~A =µ i q

4πei(ω−k r)

r=µ ~q(t −~r/c)

4π r

ϕ =iω~n ~q4πε c

ei(ω t−k r)

r=~n ~q(t − r/c)

4πε c r(9.5.19)

Dan akhirnya dengan memandang kembali pers[9.1.4] dan [9.5.9] didapat relasi untuk medan listrik~E dan magnet ~B:

~E =µ

4π r

−~q + ~n(~n~q)

t−r/c

,

~B =µ

4π c r

~q × ~n

t−r/c

, (9.5.20)

untuk jarak yang cukup jauh dari sumber radiasi dan dengan demikian diperoleh pula intensitasradiasi yang dari vektor P sbb:

S =~nω4

|~q × ~n|2

32π2 ε c3 r2

=~n8

√µε

ω2|~q × ~n|2

λ2 r2 . (9.5.21)


Intensitas dari sejumlah pemancar radiasi mempunyai gambaran yang sama dengan gelombangbola di zone gelombang, mirip seperti gelombang yang berasal dari momen dipol yang mengalamigetaran. Akan tetapi untuk kasus ini, seperti akan dilihat pada § 9.6 nantinya, vektor ~q yang munculmenggantikan ~p, karena retardasi mengandung vektor ~n = ~k/k masih mengandung ketergantunganterhadap arah.

Catatan: Dalam sistem satuan G berlaku pula rumusan yang telah diberikan pada catatanpenutup § 9.4. Sebagai contoh dalam kasus ini berlaku, selain intensitas radiasi = suatu dipol yangbergetar seperti dirumuskan pada pers[9.5.13], berlaku pula rumusan sbb:

= =ω4 (~p∗2)2

3 c3

.

9.6 Multipol dan Radiasi Komponennya

Telah diketahui dari pembahasan sebelumnya, bahwa pancaran atau radiasi dari suatu distribusimuatan atau arus yang berosilasi, seperti dirumuskan pada pers[9.5.15], pada jarak yang cukup jauhdapat dinyatakan dalam medan ~E dan ~B, sehingga diperoleh intensitas rata-rata terhadap waktu dariradiasi seperti dinyatakan pada pers[9.5.21]. Besaran yang paling menentukan ~q(t) yang munculsebagai pengganti dari momen dipol listrik ~p untuk osilator H, berdasarkan pers[9.5.18] dan[9.5.15] dapat ditulis kembali dalam bentuk:

d ~qd t=

∫~g(~r, t) ei k r dV, (9.6.1)

dengan ~k = ~nω/c adalah vektor rambatan yang dinyatakan dalam vektor satuan arah pancaranradiasi ~n. Apabila pers[9.6.1] disubstitusikan ke persamaan kontinuitas, maka akan diperoleh relasi~q dengan kerapatan muatan seperti:

i ~k ~q(t) =∫

%(~r, t) ei k r dV, (9.6.2)

seperti dapat dilihat dari turunan terhadap waktu pers[9.6.2], karena relasi

iω% =∂ %

∂ t= −~∇ · ~g (9.6.3)

diperoleh dari integrasi parsial melalui multiplikasi pers[9.6.1] dengan i ~k. Dalam pembahasanselanjutnya akan dievaluasi kedua persamaan, pers[9.6.1] dan [9.6.2].

Patut pula diulangi dengan tegas, bahwa rumusan pada pers[9.5.15] hanya berlaku untuk muatanatau arus yang getaran harmonik, akan tetapi tidak berlaku misalnya untuk muatan yang mengalamigerak melingkar pada bidang x − y (jari-jari lintasan a), yang ditulis dalam bentuk:

~g(~r, t) = e δ(x − a cos ωt) δ(y − a sin ωt) δ(z).

9.6. MULTIPOL DAN RADIASI KOMPONENNYA 251

Kasus demikian harus diselesaikan dengan cara yang dikemukakan pada § 9.4; bandingkan denganrumusan pada pers[9.4.13] untuk radiasi gelombang yang dipancarkan partikel demikian.

Dengan diketahuinya %(~r, t) dan ~g(~r, t) penyelesaian pers[9.6.1] dan [9.6.2] secara medasar adalahmungkin dan praktis tidak dapat diselesaikan. Sebagai contoh adalah rangkaian osilator yangdihubungkan dengan antene batang dengan menganggap

~g(~r, t) dV = I(t) d~r dan

%(~r, t) dV = e(t)δ(~r −~l/2) + δ(~r +~l/2)

dV,

dengan ~r adalah panjang garis lurus dari −~l/2 hingga +~l/2, dengan l adalah panjang antene. Daripers[9.6.1] dan [9.6.2] didapat:

~q(t) I(t)sin (k l/2)

k l/2, ~q(t) = e(t)

sin (k l/2)k l/2

. (9.6.4)

Kelihatannya harga ~q untuk l λ = 2π/k adalah persis sama dengan momen dipol matematisyang mempunyai jarak l. Akan tetapi tidak demikian halnya, karena pada rumusan ~q untuk hargautama ~p = e~r muncul faktor yang bergantung pada arah pancaran radiasi ~n, yaitu sin ξ/ξ, denganξ = k ~n~l/2 = π l/λ cos ϑ, dengan ϑ sudut antara vektor ~n dan~l.

Untuk mendiskusikan secara sederhana pers[9.6.1] dan [9.6.2] pandang secara umum kasus,bahwa dimensi linier dari pemancar adalah kecil dibanding dengan panjang gelombang yang di-pancarkan, yaitu kasus yang sama dengan pancaran gelombang cahaya tampak dari atom atau sinarγ dari inti atom, atau pancaran gelombang radio untuk daerah panjang gelombang panjang danmenengah. Untuk kasus ini faktor retardasi ei k r yang terdapat dalam deret potensial dibuat dalambentuk deret dan pada umumnya hanya diambil suku pertama yang tidak sama dengan nol darideret tersebut. Selanjutnya akan dibahas suku pertama dari pasangan deret berikut:

d ~q(t)d t

=

∞∑n=0

in

n!

∫~g(~r, t) (~k~r)n dV, (9.6.5)

i ~k~r =∞∑

n=0

in

n!

∫%(~r, t) (~k~r)n dV.

Dalam deret yang mengandung integral % harga suku pertama (n = 0) untuk pemancar netralsecara elektris akan sama dengan nol, sehingga dapat ditulis dalam bentuk:

~q(t) = ~q(0)(t) + ~q(1)(t) + · · · =∞∑

n=0

~q(n)(t), (9.6.6)

dan selanjutnya masing-masing suku ruas kiri dan kanan di dalam deret dapat disamakan. Untukn = 0, 1, 2, · · · berlaku

d ~q(n)(t)d t

=in

n!

∫~g(~r, t) (~k~r)n dV, (9.6.7)

i ~k ~q(n)(t) =in+1

(n + 1)!

∫%(~r, t) (~k~r)n dV.


Dalam hal ini integral ~g dan % dapat diringkas dengan cara menurunkan ruas kanan keduanyaterhadap waktu dan eliminasi % melalui relasi ∂ %/∂ t = −~∇ · ~g, selanjutnya lakukan integrasi secaraparsial.

Untuk membahas lebih lanjut, akan dimulai dengan kasus n = 0, yaitu dengan relasi:

d ~q(0)(t)d t

=

∫~g(~r, t) dV, (9.6.8)

~k ~q(0)(t) =∫

%(~r, t) dV.

Apabila pemancar terdiri dari satu dipol listrik yang bergetar, maka penyelesaian persoalan ini akansama dengan kasus yang telah dibahas pada § 9.5 untuk kasus osilator H; karenanya hasilintegrasi ~g dan %, masing-masing diperoleh sama dengan

∫~g dV = e~v =dp/dt dan

∫%~r dV = ~p. Jika

pemancar terdiri dari dua benda logam yang dihubungkan dengan sebuah kawat logam pula, maka~g dV = I d~r dan akan diperoleh kembali, mirip seperti kasus dipol, yaitu:

d ~q(0)(t)d t

= I(t)

2∫1

d~r = I(t)~l = I~l eiω t, (9.6.9)

dengan vektor~l dihitung mulai dari titik acuan ke titik akhir di antene. Karenanya harga rata-rataintensitas total terhadap waktu, sesuai seperti diberikan pada pers[9.5.13] adalah

= =ω2~l2 I2

12πε c=π3

√µε

l2 I2

λ2 . (9.6.10)

Untuk telegrafi tanpa kabel penghubung persamaan di atas dapat diartikan sebagai intensitasradiasi dari pemancar dengan panjang l kecil dibanding denganλdan arus efektif yang terdapat padaantene adalah Ie f = I/

√2. Pada generator osilasi untuk kasus ini, selain terdapat daya pancaran

gelombang demikian, timbul pula panas J, yaitu R2=

2, dengan R adalah tahanan O (dengan

mengingat kembali efek skin), dan faktor=2

pada pers[9.6.10] diartikan sebagai tahanan radiasi RS dariantene. Atau berlaku:

RS =ω2 l2

6πε c3

=2π3

√µε

l2

λ2 , (9.6.11)

dengan faktor dimensi 2π/3√µ/ε ≈ 80π2Ω ≈ 790Ω.

Suatu pengamatan khusus untuk kasus ini masih diperlukan, yaitu bahwa jarak antara dua bendalogam, terdiri dari dua plat kondensator, sebagai penguhung kawat hampir melingkar adalah sangatkecil (lihat gbr[9.4]). Kemudian dari harga ~q(0) yang diberikan pers[9.6.8] diperoleh radiasi yangsangat kecil. Susunan yang diberikan pada gbr[9.4] menggambarkan bahwa apabila arus melingkarI dengan permukaan yang dibuatnya, yaitu f , dipandang, secara bersamaan akan terdapat momendipol magnetik ~m = I~f, maka momen yang diberikan secara umum pada pers[5.2.8] dapat ditulis


Gambar 9.4: Pemancar gelombang dari rangkaian osilator.

kembali menjadi:

~m(t) =12

∫~r × ~g(~r, t) dV = ~m eiω t. (9.6.12)

Apabila jarak l sangat kecil, radiasi yang berasal dari momen dipol ini akan dapat diamati; dan radiasiini tidak diperoleh dari ~q(0)(t), melainkan dari ~q(1)(t).

Selanjutnya, telah menjadi keharusan untuk mengetahui kasus di atas, untuk memandang kasusn = 1 dari relasi:

d ~q(1)(t)d t

= i∫

~g(~r, t) (~k~r) dV, (9.6.13)

~k ~q(1)(t) =i2

∫%(~r, t) (~k~r)2 dV.

Integral yang harus diselesaikan adalah integral ~g dan juga % yang dikalikan dengan komponen ~r;untuk itu, berdasarkan persamaan kontinuitas diperoleh relasi:

12

dd t

∫

x2 %dV

=∫

x gx dV, (9.6.14)

dd t

∫

x y %dV

=∫

(x gy + y gx) dV,

dan analog dengan kombinasi komponen-komponen lainnya. Terlihat bahwa muncul integral yangmengandung salah satu, apakah komponen momen dipol magnet dari pers[9.6.12] atau momenkuadrupol listrik berdasarkan pers[1.8.11], yaitu

Qxx(t) =∫

x2 %(~r, t) dV, Qxy(t) =∫

x y %(~r, t) dV, dst., (9.6.15)


atau kedua macam komponen, masing-masing mengambil bagian. Secara khusus didapat contohnya:∫x gx dV =

12

d Qxx

d t,

∫x gy dV =

12

d Qxy

d t+mz,

∫y gx dV =

12

d Qxy

d t−mz,

sehingga secara keseluruhan dari pers[9.6.13] didapat relasi sbb:

d q(1)x

d t=

i2

dd t

(kx Qxx + ky Qxy + kz Qxz) − i (~k × ~m)x (9.6.16)

dan~k ~q(1) =

i2

(k2x Qxx + k2

y Qyy + k2z Qzz) + i (kx ky Qxy + ky kz Qyz + kz kx Qzx). (9.6.17)

Untuk kasus tidak terdapat momen kuadrupol hanya akan terdapat sumbangan bagian magnetik,yaitu:

~q(t) = −~k × ~mω

= −~n × ~m

c. (9.6.18)

Dari pers[9.5.21] karenanya diperoleh intesitas rata-rata

S =~nω4

|~q(1) × ~n|2

32π2 ε c3 r2

(9.6.19)

dan daya total keseluruhan

= =ω4 ~m2

12πε c5

=4π3

3

√µε

~m2

λ4. (9.6.20)

Diketahui momen dipol magnetik pada rangkaian arus adalah ~m = I~f, maka didapat

= =ω4 f 2 I2

12πε c5

=4π3

3

√µε

f 2 I2

λ4. (9.6.21)

Seperti dapat dibandingkan dengan pers[9.6.10], suatu arus bolak-balik yang mengalir di dalamrangkaian melingkar (kumparan) dengan luas permukaan lilitan f akan memancarkan energi samabesarnya dengan sebuah antene yang panjangnya l = 2π f/λ dan dialiri arus yang sama. Keberadaanpers[9.6.10] selanjutnya dapat dilihat lebih teliti sbb: (9.6.21)

Persamaan tersebut berlaku selama jarak antara plat l yang dilustrasikan pada gbr[9.4] besardibanding dengan 2π f/λ. Jika l jauh lebih kecil, maka harga yang diberikan oleh pers[9.6.10]samasekali akan sama dengan nol dan dikatakan bahwa rangkaian demikian hanya memancarkanradiasi hanya disebabkan momen dipol magnetik.


Selanjutnya pandang kembali besaran ~q(1)(t) dan akan dibahas untuk kasus di mana ~m = 0, tetapiuntuk kasus terdapat momen kuadrupol. Pembahasan hanya akan dibatasi untuk kuadrupol linier,seperti diilustrasikan pada gbr[1.9b] dengan muatan pusat −2e berada dalam keadaan diam di titikacuan dan dua muatan+e mengalami osilasi berlawanan fase pada z = +ζ(t) dan z = −ζ(t). Karenanyasatu-satunya komponen momen kuadrupol yang tidak sama dengan nol adalah Qzz ≡ Q = Q eiω t;dengan demikian ~q(1), berdasarkan pers[9.6.16], merupakan sebuah vektor pada arah sumbu z danberharga |~q(1)

| = q(1) = i kz Q/2 = i k Q cos ϑ/2; dengan ϑ adalah sudut antara sumbu z dan arahradiasi gelombang yang dipancarkan.

Intensitas radiasi yang dipancarkan karenanya, sesuai dengan susunan sistem yang dipandang,berdasarkan pers[9.5.21], diberikan sesuai dengan persamaan berikut:

S =~nω6 Q2

sin2 ϑ cos2 ϑ

128π2 ε c5 r

. (9.6.23)

Intensitas ini, dibandingkan dengan radiasi oleh momen dipol, menggambarkan pancaran radiasigelombang yang mempunyai distribusi arah berubah-ubah, di mana tidak terdapat radiasi gelom-bang, baik pada arah kuadrupol linier, maupun pada arah tegak lurus dengannya. Hal ini terjadikarena dikondisi oleh interferensi dua momen dipol yang berlawanan, membentuk kuadrupol. In-tensitas radiasi total dari kuadrupol dengan amplitudo Q demikian adalah

= =ω6 Q2

240π2 ε c5

=π3

15

√µε

ω2 Q2

λ4. (9.6.24)

Perbedaan intesitas di atas, jika dibandingkan dengan intensitas radiasi yang dipancarkan olehmomen dipol ~p, seperti ditunjukkan pada pers[9.5.13], adalah dengan faktor π3/15/5λ2 p2

, yaitudalam ukuran lebih kecil dari jarak momen dipol/panjang gelombang. Hal yang sama berlaku pulauntuk komponen kuadrupol lainnya.

Sebagai contoh untuk kasus di atas adalah radiasi yang dipancarkan oleh sebuah atom denganjarak momen dipolnya 1 Å= 10−10 m, dengan panjang gelombang garis spektrum radiasinya 1000 kalilebih besar. Karenanya radiasi karena momen kuadrupol lebih kurang sama dengan 106 kali lebihlemah dibanding dengan radiasi momen dipol, sehingga umumnya pancaran radiasi kuadrupolsukar diamati. Radiasi kuadrupol akan muncul dan dapat diamati jika radiasi karena momen dipol,menurut aturan seleksi mekanika kuantum dalam peristiwa emisi, adalah terlarang.

Sebagai penutup akan dipandang dua kasus untuk n > 1: (9.6.24)

Pertama, seperti telah disebutkan sebelumnya, bahwa perbandingan radiasi yang dipancarkanoleh |~q(n)

|2 dengan |~q(n−1)

|2 adalah juga dalam orde (r/λ)2, seperti halny perbandingan antara faktor

(~k~r)n dan (~k~r)n−1 yang terdapat pada integral ~g. (9.6.25)

Kedua dari |~q(n)|2, seperti dapat dibandingkan dengan contoh untuk |~q(0)

|2 dan |~q(1)

|2, berhubun-

gan dengan peristiwa radiasi oleh 2n+1 pol (multipol) listrik dan 2n pol (multipol) magnetik; akantetapi sumbangan radiasi multipol ini akan dapat diamati, jika tidak terdapat radiasi dari pol-pollebih rendah.


Catatan: Dalam sistem satuan G rumusan intensitas radiasi total oleh sub-antene dengan pan-jang l λ yang dinyatakan pers[9.6.10] berubah menjadi

= =ω2 l2 I∗

2

3 c3

=4π2 l2 I∗

2

3 c λ2 .

Intensitas radiasi yang dipancarkan oleh arus melingkar yang mengalami osilasi dengan momendipol magnetik ~m∗ = I∗~l/c adalah:

= =ω4 m∗

2

3 c3

=16π4 f 2 I∗

2

3 c λ4,

dan intensitas radiasi total dari momen kuadrupol linier diberikan sebagai:

= =ω6 Q∗

2

60 c5

.


58 [] Tentukan radiasi sebuah momen dipol listrik ~p yang berada pada suatu bidang datar dan mengalami rotasi denganfrekuensi sudut ω !

Jawab: (9.6.26)

Jika dipol mengalami rotasi pada bidang x− y dan gelombang yang diradiasikan diamati melalui bidang x− z dengansudut η terhadap sumbu z, maka dari tumpangtindih komponen-komponen getaran dari momen dipol pada arah x dan ydiperoleh intensitas radiasi sbb:

S =ω4 p2

(cos2 η − 1)

32π2 ε c3 r2

dan daya radiasi total adalah

= =ω4 p2

6πε c3

.

Selain itu dapat pula dibuktikan bahwa kedua komponen radiasi terpolarisasi secara tegak lurus.

59 [] Tentukan ketergantungan arah radiasi sebuah antene pemancar yang mengandung N dipol, tersusun secara sinkrondan masing-masing bejarak a satu sama lain. Dalam hal ini radiasi seluruh susunan ini dinyatakan dalam radiasi sebuahdipol dan masih dikali dengan faktor arah |F|2, yaitu faktor yang ditentukan oleh faktor retardasi (redaman) yang bergantungpada pergeseran fase dari elemen medan listrik dua dipol yang bertetangga.

Jawab: (9.6.27)

Jika ~E adalah medan yang timbul dari masing-masing momen dipol listrik, maka belaku: ~E = F ~E dengan:

F =

N−1∑j=0

eiω(~r j/~r)/r c

dan~r j = ~a j. Atau

|F|2 =[sin (Nω~a · ~n)/2c][sin(ω~a · ~n)/2c]2

,

dengan ~n = ~r/|~r| sama dengan arah radiasi. Untuk ~a · ~n = 0, maka |F|2 = N2; akan tetapi jika ~a · ~n = 2π c/Nω = λ/N,terdapat pola ke satu.


60 [] Pada kristal kubus primitif jatuh gelombang cahaya datar sinar Roentgen yang diberikan melalui kuat medanlistrik ~E(~r, t) = ~E eiω t−~k ·~r. Sinar ini merangsang setiap atom-atom yang berada di titik kisi membentuk momen dipollistrik sedemikian, sehingga mmen dipol ini ikut bergetar; sebagai contoh atom ke j mempunyai momen dipol listrik~p j = α~E eiω t−~k ·~r j , dengan α adalah polarisabilitas dinamis (polarisabilitas bergantung frekuensi getaran). Masing-masingdipol ini merupakan sumber dari gelombang sinar Roentgen sekunder yang diberikan pada pers[9.5.7]; dalam hal ini dapatdipilih secara bebas faktor retardasi (redaman) t − r/c dengan t − |~r −~r j|/c ≈ t − r/c + ~n ·~r j/c, dengan ~n = ~k/k = ~k c/ωadalah menentukan arah radiasi gelombang. Dengan menjumlahkan semua gelombang sekunder ini akan diperoleh faktorarah |F|2 yang menurut M. v. Laue menentukan arah interferensi.

Tentukan faktor |F|2 ini dan arahnya untuk kasus bahwa titik-titik kisis ditentukan oleh vektor posisi ~r j = a n, m, l,dengan n, m dan l adalah bilangan bulat yang memenuhi: 1 ≤ n ≤ N; 1 ≤ m ≤ M; 1 ≤ l ≤ L. Diskusikan hal tersebut!Jawab: (9.6.27)

Berlaku:

~E = −ω2 α~n × (~n × ~E) F

4πε c2 r

e−i(ω t−k r/c)

dengan

F =

N−1∑j=0

ei(~k−~k)/r j

dan

|F|2 =

sin [N(~k − ~k)x a/2] sin [M(~k − ~k)y a/2] sin [L(~k − ~k)z a/2]

[sin (~k − ~k)x a/2] [sin (~k − ~k)y a/2] [sin (~k − ~k)z a/2]

.Interferen dengan |F|2 = N2 M2 L2 muncul pada arah ~k, untuk kasus ini pembilang dan penyebut sama dengan nol,

atau misalnya (~k − ~k)x = 2π/a atau kelipatan bilangan bulat darinya dan analog untuk ky dan kz. Karena ~k2 = ~k = ω2/c2,

dalam hal ini memberikan gambaran yang benar tentang arak ~k sendiri, sehingga interferensi gelombang hanya terjadiuntuk ω dan λ tertentu.


Bab 10

Dasar-dasar Fisis Teori Relativitas

10.1 Prinsip Relativitas dalam Elektrodinamika

Hasil yang mengejutkan dari teori gelombang elektromagneti cahaya adalah berhasilnya dira-malkan, bahwa cahaya yang merambat di dalam ruang tanpa materi mempunyai kecepatan samadengan c, ternyata sama dengan c = 1/

√ε µ, yang dapat dinyatakan dengan konstanta universal

dari medan ε dan µ. Dengan demikian timbul hal baru yang tadinya tidak terperhatikan, akantetapi tidak kalah pentingnya, yaitu koordinat acuan, dari mana persamaan M diturunkandan pada mulanya tidak menimbulkan ramalan apapun. Persamaan ini telah memberikan gagasangemilang dalam memandang peristiwa fisis dan teknis biasa dalam sistem koordinat yang digunakan.Karenanya kunci pokok persoalan menjadi semakin jelas, bahwa secara prinsip tidak mungkin mem-bedakan melalui percobaan elektromagnetik atau optik gerak transilasi relatif dari dua benda.

Prinsip relativitas demikian telah dikenal dalam mekanika N, dengan seluruh persamaandasarnya berlaku untuk setiap sistem koordinat inersial; apabila persamaan dinyatakan dalam sistemkoordinat~r ≡ (x, y, z), pada saat t diubah ke dalam sistem koordinat~r′ ≡ (x′, y′, z′) dan pada saat t′

yang bergerak dengan kecepatan~v, maka hubungan kedua sistem koordinat di atas dapat dinyatakanmelalui transformasi G yang ditulis sbb:

~r′ = ~r − ~v t, t′ = t (10.1.1)

adalah tidak mengalami perubahan. Dari sudut pandang mekanika N dua sistem koordinatyang diberikan pada pers[10.1.1] adalah ekuivalen; pandangan demikian disebut sebagai prinsiprelativitas klasik.

Berlawanan dengan prinsip relativitas di atas, persamaan M secara eksak adalah tidakinvarian terhadap transformasi G, seperti dapat dilihat pada peristiwa pancaran momentumradiasi dalam bentuk gelombang bola yang berlangsung dalam waktu sangat singkat. Jika dianggapbahwa gelombang bola ini untuk seorang pengamat yang berada dalam sistem koodinat tanpatanda aksen terhadap titik acuan di mana terdapat sumber radiasi yang memancarkan gelombang kesemua arah dengan kecepatan rambat c, maka setelah waktu t pancaran momentum akan mencapaipermukaan bola:

x2 + y2 + z2 = c t. (10.1.2)

259

260 BAB 10. DASAR-DASAR FISIS TEORI RELATIVITAS

Sebaliknya untuk seorang pengamat lain yang bergerak dengan kecepatan ~v pada arah x, dalamsistem koordinat dengan tanda aksen, akan mengamati gelombang momentum yang dipancarkanmasih berbentuk bola dan berdasarkan pers[10.1.1] permukaan gelombang akan ”‘menggembung”’:

(x′ + v t)2 + y′2 + z′2 = c t′. (10.1.3)

Gelombang merambat pada arah sumbu x′ positif dengan kecepatan c − v dan pada arah sumbux negatif dengan kecepatan c + v. Ramalan ini tentunya bertentangan sama sekali dengan teoriM yang menyatakan bahwa kecepatan rambat momentum gelombang, baik dalam sistemkoordinat tanda dan dengan tanda aksen, mempunyai kecepatan yang sama dengan c.

Apakah ramalan tersebut benar atau keliru, apakah persamaan Mdalam bentuk yang dike-nal sekarang berlaku secara universal, atau apakah persamaan tersebut hanya berlaku untuk suatusistem koordinat tertentu dan untuk sistem yang mengalami gerak harus dilakukan koreksi, dan dari-padanya akan keluar pula rumusan seperti pada pers[10.1.3] dan hal tersebut pada akhirnya meru-pakan pertanyaan yang dapat dijawab hana melalui eksperimen, walaupun persamaan Mmempunyai bentuk sederhana, tidak mengurangki kandungan kebenaran umum yang ada. Eksper-imen untuk membuktikannya haruslah mempunyai ketepatan teknis secara rinci dengan peralatanyang dapat mencapai kecepatan mendekati kecepatan cahaya.

Eksperimen semacam itu telahpun menimbulkan ”‘kekalutan”’, seperti telah dibuat oleh A.A. M pada tahun 1881 dengan ketelitian yang masih diragukan, kemudian pada tahun1887 eksperimen M bersama dengan E. W. Mmengulangi percobaan tersebut denganketelitian yang lebih baik; setelah beberapa peneliti mengulangi percobaan yang sama, akhirnyapada tahun 1930 G. J memperoleh hasil percobaan dengan ketelitian yang paling baik yang per-nah dicapai hingga saat ini. Semua percobaan yang dilakukan tersebut menyimpulkan kebenaranteori M dan sekaligus bertentangan dengan kesimpulan yang telah dibuat sebelumnya ten-tang hipotesa invarian dari transformasi G. Dalam hal tersebut sistem koordinat acuan yangdigunakan adalah sistem inersial yang berkaitan dengan tata surya dibandingkan dengan sistemkoordinat bumi yang mengalami gerak berubah-ubah dengan kecepatan sekitar 30 km/det.

Karena percobaan M-M mengandung arti penting dalam menurunkan teori rel-ativitas, di sini akan dibahas secara ringkas. Seluruh peralatan yang digunakan dalam percobaandiletakkan secara tetap pada plat datar, mengambang di atas air raksa (ilustrasi, lihat gbr[10.1]),untuk mencegah adanya goncangan yang dapat mengakibatkan adanya pergeseran sudut rotasi. Ca-haya yang datang dari sumber L dilewatkan melalui sebuah plat gelas yang membentuk sudut 45,sehingga gelas dapat merefleksikan sebagian cahaya dan meneruskan bagian lainnya (S). Bagiancahaya yang direfleksikan oleh S kembali direfleksikan kembali oleh cermin S2 dan akan dilewatkanmelalui S dan akan dapat diamati di B dan di B, sebagian cahaya ini akan mengalami interferensi.Dengan pengaturan percobaan yang jitu, akan diperoleh garis-garis pola gambar terang-gelap di Bsebagai hasil dari garis-garis interferensi. Setiap perubahan pada lintasan optik l1 dan l2 menjadikanpergeseran garis-garis pola interferensi semakin nyata 1.

1Sebagai contoh untuk mengetahui adanya pergeseran pola garis interferensi menjadi semakin lebar jika salah satu daricermin S1 atau S2 di geser sejauh setengah panjang gelombang. Prinsip ini dipakai oleh M dalam normalmeteruntuk panjang gelombang dari garis spektrum Cadmium merah. Contoh lainnya adalah dengan menempatikan suatumedium pembias pada salah satu lintasan optik; adanya pergeseran pola garis interferensi seperti ini dapat digunakanuntuk menentukan indeks bias suatu bahan.

10.1. PRINSIP RELATIVITAS DALAM ELEKTRODINAMIKA 261

Gambar 10.1: Susunan peralatan percobaan M.

Interferometer M dapat digunakan untuk mengamati pengaruh gerak bumi terhadaprambatan cahaya. Tanda panah ~v pada gbr[10.1] menunjukkan ”‘posisi”’ peralatan pada suatu saattertentu terhadap sistem inersial matahari yang bergerak. Akan dihitung lintasan 2 berkas cahayayang dipisahkan oleh cermin S, masing-masing memerlukan waktu t1 dan t2; t1 adalah waktu yangdiperlukan cahaya untuk melintasi jarak dari S ke S1 dan kembali ke S; analog dengan t2. Jarak l1di mana sesuai dengan arah ~v, menurut transformasi G didapat:

t1 =l1

c − v+

l1c + v

=2l1c

11 − β2 , dengan β =

vc.

Untuk menghitung t2 haruslah diperhatikan dengan teliti lintasan kedua yang dibentuk berkascahaya (gbr[10.2]): Jika A adalah posisi cermin datar S pada saat t = 0 dan B adalah posisi pada saatt = t2, maka panjang lintasan AB adalah sama dengan ~v t2 dan lintasan yang ditempuh oleh berkas

cahaya yang direfleksikan adalah√

4 l22 + v2 t22 dan haruslah sama dengan c t2. Dengan demikian

diperoleh

t2 =2l2√

c2 − v2

2l2c

1√1 − β2

.

Perbedaan waktu dari lintasan berkas cahaya menjadi:

t2 − t1 =2c

l2√1 − β2

−l1

1 − β2

. (10.1.4)

Dengan merotasikan seluruh peralatan sebesar 90maka lintasan cahaya l1 dan l2 akan saling bertukarrelatif terhadap arah kecepatan ~v, sehingga karena rotasi demikian diperoleh perbedaan waktu


Gambar 10.2: Perhitungan waktu pada percobaan M.

sebesar:

t′2 − t′1 =2c

l21 − β2 −

l1√1 − β2

. (10.1.5)

Pada saat peralatan dirotasi seharusnya akan diamati adanya pergeseran ppola-pola garis interferensiyang dinyatakan dalam Θ, sebanding dengan perbedaan antara beda waktu sebelum dan setelahperalatan dirotasi:

Θ = (t′2 − t′1) − (t2 − t1) =2(l1 + l2)

c

11 − β2 −

1√1 − β2

,atau pada kecepatan yang tidak begitu besar (β 1) adalah

Θ =l2 + l2

cv2

c2

. (10.1.6)

Akan dicari berapa besar orde pergeseran pola garis interferensi seharusnya. Untuk itu waktu Θdianalogikan dengan periode getaran cahaya: τ = λ/c. Adanya perbedaan waktu tempuh sebesarτ menyebabkan terjadi pergeseran pola garis interferensi sebesar lebar garis yang bersangkutan.Dengan harga v = 3 · 104 m/det untuk kecepatan bumi dan panjang gelombang cahaya dalam ordeλ = 0, 5µm= 5 · 10−7 m diperlukan lintasan cahaya sebesar l1 + l2 = 50 m. Lintasan cahaya sepanjangini tentunya dapat diperoleh, yaitu dengan cara menjadikan cahaya melintasi l1 dan l2 tidak hanyadua sekali, melainkan berkali-kali melalui refleksi.

Sensitivitas susunan peralatan ini pertama kali ditingkatkan oleh J, yaitu dengan menggu-nakan kecepatan relatif 1,5 km/det dibandingkan dengan pengamat yang berada di sistem inersial.

10.1. PRINSIP RELATIVITAS DALAM ELEKTRODINAMIKA 263

Gambar 10.3: Susunan peralatan percobaan S.

Kenyataannya dengan merotasikan peralatan dengan sudut 90 adanya pergeseran pola interferensi,dalam ukuran ketelitiannya, tidak dapat diamati. Juga dengan mengulangi percobaan ini dalamwaktu yang berbeda dalam satu tahun, tetap membuahkan hasil negatif.

Hasil percobaan ini dapat diformulasikan sbb: Dibandingkan dengan percobaan yang dibuatM tidak terbukti sama sekali adanya kecepatan relatif antara peralatan yang terdapat dibumi dengan sistem acuan yang berhubungan dengan matahari, walaupun seharusnya terdapatpengaruh gerak relatif berdasarkan persamaan transformasi pers[10.1.1]. Selanjutnya percobaantersebut berjalan sedemikian, seperti halnya diketahui dari persamaan M, jika berlaku padasistem acuan di mana peralatan berada.

Seandainya dapat dicoba, hasil negatif yang didapat dari percobaan M dapat dijelaskan,bahwa sistem koordinat yang berkaitan erat dengan bumi dipandang sebagai sistem inersial. Akantetapi hal ini adalah tidak mungkin, karena sistem koordinat ini tidak saja bergerak mengelilingimatahari, juga mengalami rotasi, sesuai dengan rotasi bumi terhadap sumbunya. Gerak rotasikoordinat dapat dengan mudah diamati, yaitu tidak hanya melalui pendel F, melainkan jugasecara optik melalui percobaan yang dibuat oleh S, yaitu dengan percobaan yang berbedadibanding dengan percobaan M dan G.

S dalam percobaannya menggunakan interferometer yang ditanamkan secara permanendi bumi, yaitu seperti diilustrasikan pada gbr[10.3]. Cahaya yang datang dari sumber L dibagi duamelalui cermin S dan berkas cahaya pertama dilewatkan melalui cermin S1, S2, S3, sedangkan berkaslainnya melewati cermin S S1, S2, S3. Kedua berkas disatukan kembali di B, seperti halnya padainterferometer M, akan terbentuk pola garis interferensi di B dan akan terjadi pergeseranpola interferensi dengan mengubah letak lensa S1, S2 dan S3.

Selanjutnya, seperti halnya pada percobaan M, akan dihitung waktu yang diperlukan


cahaya yang berasal dari cermin S, melintasi kedua lintasan seluruhnya dan kembali ke S lagidengan menggunakan transformasi G. Jika cahaya bergerak sepanjang kurva r = r(ϕ) padabidang gambar, dengan titik awal r = 0 di pusat rotasi, maka kecepatan relatif pada kurva ini adalahvmp = c ∓ ω r cos ϑ, bergantung apakah rotasi ω searah dengan lintasan cahaya atau tidak; ϑ dalamhal ini adalah sudut antara posisi sesaat elemen panjang lintasan dS, dan kecepatan yang timbulkarena rotasi, yaitu rω, sehingga berlaku bahwa cos ϑds = r dϕ. Karenanya perbedaan antara duawaktu tempuh cahaya adalah

Θ = t− − t+ =∮

dsc − ω r2 dϕ/ds

−

∮ds

c + ω r2 dϕ/ds.

sehingga karena suku-suku lainnya berharga kecil, maka

Θ =

∮2ω r2 dϕ

c2

=4ωF

c2

. (10.1.7)

dengan F adalah luas bidang yang dibentuk lintasan. Selanjutnya perbedaan waktu tersebut dihi-tung dalam periode getaran τ = λ/c, maka diperoleh pergeseran pola interferensi yang dinyatakandalam kecepatan sudut rotasi ω dan sebanding dengan permukaan F, akan tetapi sekarang penyebuttidak lagi dalam kecepatan cahaya kuadrat, melainkan hanya kecepatan cahaya pangkat satu. Kasusini, berbeda dengan percobaan M, tidak berhubungan dengan efek orde kedua, melainkanhanya orde pertama. Efek ini ternyata menghasilkan ramalan yang sama, seperti yang akan di-tunjukkan nantinya, apakah perhitungan dibuat dengan menggunakan aturan transfromasi Guntuk menghitung kecepatan, atau menggunakan aturan penambahan E yang mengikutitransformasi L.

Ternyata S, seperti halnya M dan G juga memperkuat alasan berlakunyapers[10.1.7], atau dapat pula dibuktikan rotasi bumi dengan menggunakan peralatan di bumi sendiri.

Kembali pada percobaan M yang mendapatkan hasil percobaan negatif. Tentu sajaM tidak senang dengan hasil percobaan yang didapatnya, ia berubasah untuk mencari hasilpercobaan yang sesuai dengan rumusan pada pers[10.1.1], yaitu transformasi G untuk satusistem koordinat ke sistem koordinat lain yang mengalami gerak, dan dimaksudkan agar prinsiprelativitas dapat pula digunakan dalam bidang mekanik dan optik. Rupanya M terlalu jauhmelangkah, sehingga diperoleh hasil yang keliru.

Sebaliknya, sejak Mmembuat percobaan tersebut dan beberapa peneliti lain setelahnyahingga tahun 1910, berhasil memperkuat, baik langsung maupun tidak, konsekuensi berlakunyateori M di mana secara umum berhasil menyimpulkan bahwa kecepatan cahaya di vakuumadalah universal. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa fenomena elektrodinamika dan optikdari teori M, atau secara singkat disebut prinsip relativitas elektrodinamika tetap berlaku danperistiwa ini dalam setiap sistem koordinat, baik bergerak maupun diam tetap berlangsung sama.Karenanya untuk mengubah besaran-besaran fisis dari satu sistem koordinat ke sistem koordinatlainnya tidak lagi menggunakan transformasi G pers[10.1.1], melainkan transformasi yangsama sekali berbeda, yaitu transformasi L.

10.2. KOREKSI PENGERTIAN RUANG-WAKTU 265

10.2 Koreksi Pengertian Ruang-Waktu

Bagaimana dapat dimengerti bahwa kenyataan sekarang selain terdapat prinsip relativitas yangditurunkan dari mekanika N, terdapat pula prinsip relativitas lainnya, dengan aturan trans-formasi sistem koordinat yang juga berbeda dari transformasi G ? Dalam hal demikian peny-ingkapan teori relativitas oleh E merupakan kunci penting dalam menjelaskan pertanyaandi atas. E justru mengungkap teori relativitas dari hasil negatif percobaan M danmenurunkan sebuah hipotesa, bahwa pada dasarnya tidak mungkin untuk membedakan sistemmana yang diam dan sistem mana yang bergerak dari dua sistem yang mengalami bergerak dengankecepatan konstan satu sama lain. Bahwa dalam kasus ini, baik mekanika Ndan teori Mtidak dapat menjelaskan, telahpun terlihat dari percobaan yang dilakukan M. Karenanyasalah satu dari teori tersebut, atau bahkan kedua-duanya haruslah dikoreksi sedemikian, sehinggasesuai dengan hipotesa E. Sehubungan dengan itu E merumuskan pertanyaan sbb:Bagaimana hukum alam dibentuk, sehingga tidak mungkin secara prinsip untuk membedakan duasistem yang mengalami gerak translasi.

E berhasil mengungkap seluruh kesulitan yang terdapat di dalamnya, yaitu pengertianruang-waktu, yang di dalam Fisika hingga sekarang digunakan tanpa kritik dan dianggap berlakuabsolut. Khususnya waktu dipandang berlaku secara homogen dan dianggap bahwa waktu mem-punyai makna untuk suatu kejadian absolut bersama yang terjadi di tempat berbeda dan berperanuntuk menyatakan kejadian.

Bagi Fisikawan ramalan tentang ruang dan waktu suatu kejadian akan berarti, jika angka-angkayang menyatakan ukuran ruang dan waktu di mana kejadian terjadi didefinisikan dengan baik dansecara prinsip selalu dapat dilakukan pengukuran. Alat bantu untuk melakukan pengukuran besaranruang dan waktu adalah skala panjang dan jam yang keberadaanya dapat dinyatakan dengan baik.Untuk menggambarkan suatu kejadian di dalam suatu sistem koordinat, haruslan diketahui padaposisi dan waktu mana kejadian terjadi. Persoalan ini dianggap terselesaikan, jika di semua tempat didalam ruang terdapat tanda atau petunjuk tempat yang menyatakan posisi koordinat di dalam ruangyang bersangkutan, dan selain itu di setiap tempat di ruang terdapat pula pengukur waktu (jam),sehingga waktu setiap kejadian yang terdapat di ruang dapat dicatat dengan baik. Dalam hal inisecara mendasar ditetapkan bahwa untuk mengetahui suatu titik kejadian, data-data tentang posisidan waktu hanya dapat dibaca pada petunjuk tempat dan jam yang terdapat di tempat kejadian.

Selanjutnya harus pula dipikirkan bagaimana petunjuk tempat diletakkan di dalam sistem koor-dinat dan bagaimana mengatur jam yang diletakkan di dalam sistem. Petunjuk tempat dapat dibuatdengan menuliskan berulang-ulang skala satuan panjang yang keberadaannya dapat ditentukan.Kemudian pada setiap tempat di mana diberikan tanda skala satuan diletakkan pula jam, dengananggapan bahwa semua jam ”‘berjalan”’ sama cepatnya, bahwa kecepatan berjalannya jarum jam(pengukur satuan waktu) tidak bergantung pada tempat di mana jam berada.

Persoalan yang dihadapi adalah jam harus diatur sedemikian, agar seluruh jam menunjukkanwaktu yang sama. Untuk ini tidak boleh diatur bahwa semua jam tidak disinkoronisasi terhadaptitik acuan sistem koordinat dan semua jam yang diatur sedemikian dipindahkan ke tempat berbedayang sebelumnya telah diketahui ukurannya. Karena keadaan sebelumnya tidak dapat diketahui,apakah kecepatan ”‘berjalannya”’ sebuah jam di suatu tempat, pada saat dipindahkan ke tempatlainnya akan berjalan lebih dahulu atau tertinggal di belakang. Selanjutnya diketahui, jika tidakingin dibuat suatu hipotesa baru, jam-jam dipindahkan ke tempatnya, kemudian diatur kembali,


bahwa jam menunjukkan keadaan waktu yang sama dengan jam yang terdapat di titik acuan.

Untuk lebih jelas lakukan hal sbb: Dari suatu tempat di mana jam menunjukkan t = 0 dikirimpkanberkas cahaya ke tempat lain di mana terdapat jam lain yang harus diatur, terletak berjarak r darititik awal. Seorang pengamat yang berada di jam yang harus diatur ini menerima instruksi untukmengatur waktu di jamnya t = r/c, sesaat jika sinyal cahaya sampai kepadanya. Berdasarkan caraini dapat dibayangkan semua jam yang terdapat di dalam sistem koordinat ini diatur sedemikian.Setelah semua kejadian terjadi, maka dapat didefinisikan kesamaan kejadian 1 dalam sistem koordinattersebut: Dua kejadian yang terjadi di tempat yang berbeda di dalam sistem koordinat disebut terjadisecara bersamaan, jika jam yang terdapat di masing-masing tempat menunjukkan waktu yang sama.Cara pengaturan waktu seperti ini disebut sebagai definisi kesamaan kejadian dan merupakan inti dariteori relativitas khusus.

Dari definisi di atas, percobaan M justru memperkuat prinsip tersebut. Karena telahdiketahui dari kenyataan, bahwa cahaya merambat ke segala arah dengan kecepatan yang sama,yaitu c dan langsung memberikan dasar-dasar pengertian tentang waktu.

Selanjutnya harus pula dipikirkan, bahwa bagaimana caranya mengukur ukuran suatu bendayang terdapat di dalam sistem di atas, terdiri dari petunjuk tempat dan jam yang bergerak. Untukmenentukan panjang suatu batang yang bergerak, maka titik awal dan akhir dari batang haruspula diamati dalam waktu yang sama. Telah diketahui sebelumnya bahwa tidak ada artinya utukmempersoalkan ukuran dari batang yang bergerak, seandainya definisi kesamaan kejadian belumdidefinisi dengan jelas. Untuk mengukur panjang batang, diandaikan bahwa semua pengamat yangterdapat pada titik yang berbeda di dalam sistem koordinat harus menerima instruksi dan mencatat,pada saat mana titik ujung dan akhir batang tersebut sampai ke masing-masing pengamat. Dengandata-data hasil catatan tersebut, dapat dihitung panjang batang yang bersangkutan dari kedua datamasing-masing, di mana seorang pengamat mengamati ujung awal batang dan pengamat lainnya,yang berada di tempat lain, mengamati ujung akhir batang pada waktu t yang sama. Dengan carayang mirip demikian dapat pula diukur lamanya waktu suatu peristiwa yang terjadi pada bendayang bergerak. Tentunya waktu dari kedua jam tersebut harus diketahui, yaitu waktu di mana suatukejadian berawal dan berakhir.

Hingga pembahasan di sini hanya dipandang satu sistem koordinat semata dan telahpundibicarakan bagaimana suatu pengukuran dilakukan di dalam sistem koordinat tersebut secara prin-sip tanpa kesulitan sama sekali. Dengan cara yang sama tentunya prosedur di atas dapat puladiterapkan pada sistem koordinat lain, yaitu sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatan kon-stan dibanding sistem koordinat pertama. Pada bab berikut akan dibahas secara rinci bagaimanaharus dibuat relasi antara posisi dan waktu antara kedua sistem koordinat. Patut pula dicatat,walaupun tidak disebutkan sebelumnya tentang pengertian kesamaan kejadian antara kedua sistemkoordinat, belum tentu pengertian tersebut berlaku sama. Akan dilihat nantinya bahwa dua kejadianyang pada satu sistem terjadi bersamaan, untuk sistem koordinat lain ternyata tidak.

1Kesamaan kejadian: kejadian dalam satu sistem koordinat yang terjadi dalam waktu bersamaan (simultan) karenadiamati pada sistem koordinat lain. Dalam istilah asli disebut sebagai Gleichzeitigkeit.

10.3. TRANSFORMASI LORENTZ 267

10.3 Transformasi L

Pandang dua sistem koordinat dan anggap bahwa skala posisi dan waktu pada keduanya dibuatpersis seperti yang dibahas pada bab sebelumnya. Maka setiap titik kejadian, misalnya timbulnyakilatan cahaya pada suatu layar atau melalui penunjuk dari suatu peralatan tertentu dibuat nol padamasing-masing sistem koordinat. Jika pengamatan kedua diberi simbol dengan tanda aksen, un-tuk membedakannya dengan pengamatan pertama, maka titik kejadian yang diamati pengamatanpertama ditulis dalam koordinat empat dimensi x, y, z, t dan untuk pengamatan kedua dinyatakandalam x′, y′, z′, t′. Jika ingin diketahui persamaan transformasi dari satu sistem koordinat ke koor-dinat lainnya, dimaksudkan merupakan hubungan antara koordinat yang telah disebutkan di atas,yaitu hubungan antara x, y, z, t dan x′, y′, z′, t′.

Untuk menentukan hubungan antara koordinat tanpa tanda aksen dan bertanda aksen, dibautanggapan sbb: (10.3.0)1. Relasi keduanya haruslah linier. Hal ini penting, karenanya titik acuan atau titik lain, di sampingtitik-titik lainnya dapat digambarkan.2. Kedua sistem satu sama lain mengalami gerak translasi.; berarti bahwa setiap titik ~r′ ≡ (x′, y′, z′)dari sistem kedua terhadap sistem pertama bergerak dengan kecepatan konstan ~v. Sebaliknya setiaptitik di sistem pertama,~r ≡ (x, y, z) terhadap sistem kedua bergerak pula dengan kecepatan konstansebesar −~v. Batasan pengandaian ini merupakan titik tolak dari teori relativitas khusus. .3.Suatu pengukuran kecepatan cahaya di vakuum pada semua arah akan memberikan harga kecepatansama dengan c. Kejadian ini membentuk titik transisi dari pengamatan; kesimpulan ini terkandungpula dalam prosedur E untuk mementukan waktu.4. Seharusnya, tanpa pengukuran fisis, dimungkinkan untuk mendapatkan perbedaan parameter antara duasistem yang konstan. Ketetapan ini mengandung program teori relativitas seluruhnya, sebagaimanapengukuran kecepatan cahaya dapat dilakukan dan sesuai dengan semua fenomena fisis yang ada.

Selanjutnya akan diturunkan rumusan transformasi untuk kasus di mana kecepatan kedua ~vpada arah sumbu x positif, bahwa sumbu x berimpit dengan x′ dan akhirnya dilakukan transformasibidang x − y ke bidang x′ − y′. Karena kondisi di atas dan perlakuan untuk sumbu y dan z, makatransformasi haruslah mempunyai bentuk sbb:

y′ = ε y, z′ = ε z. (10.3.2)

Dalam hal ini faktor ε berarti, bahwa panjang sebuah batang diam yang pada sistem koordinatpertama l, oleh pengamat yang ikut bergerak dengan sistem koordinat lain dengan kecepatan vmenjadi ε l, berarti bahwa untuk ε > 1, panjang batang menjadi lebih panjang sebesar ε kali panjangsemula. Sebaliknya untuk sebuah batang diam yang berada pada sistem koordinat kedua, panjangl, bagi seorang pengamat yang berada pada sistem koordinat pertama akan mengamati panjangbatang tersebut sama dengna l/ε, atau akan batang memendek dengan faktor 1/ε. Seandainyapanjang batang pada masing-masing sistem koordinat berbeda, maka haruslah terdapat sesuatu halobjektif antara keduanya. Atau haruslah ε = 1/ε = 1. Dengan demikian berlaku:

y′ = y, z′ = z. (10.3.3)

Sekarang hanya tinggal mencari persamaan transformasi untuk x dan t. Berdasarkan pernyataansebelumnya, titik x′ = 0 haruslah bergerak dengan kecepatan v sepanjang sumbu x positif; pernyataan


x′ = 0 haruslah identik dengan x = v t. Sehubungan dengan itu titik x = 0 sama artinya denganx′ = −v t. Dengan demikian rumusan transformasi yang dicari haruslah sama dengan

x′ = ξ (x − v t) x = x′ ξprime(x′ + v t′), (10.3.4)

dengan dimensi faktor ξ dan ξ′ berlum dapat ditentukan di sini.Bahwa dari anggapan pada angka 4 di atas haruslah sama, adalah terlihat jelas; selanjutnya akan

dibuktikan secara langsung melalui pers[10.3.4]: (10.3.4)Pandang sebuah batang, panjang l, di dalam sistem koordinat pertama, dengan masing-masing

ujung awal dan akhir batang berada di titik x = 0 dan x = l, maka pengamat yang berada pada sistemkoordinat kedua, dari persamaan kedua pada pers[10.3.4], pada saat bersamaan ujung awal dan akhirbatang, pada saat t′ = 0, masing-masing berada pada x′ = 0 dan x′ = l/ξ′; atau dengan perkataan lainpanjang batang pada pengamat ini adalah l/ξ′. Jika batang, panjang l, berada pada keadaan diamantara kedua sistem koordinat, maka pengamat diam yang berada pada sistem koordinat pertama,pada saat t = 0, berdasarkan pertama pada pers[10.3.4], akan mengamati kedua ujung batang padax = l/ξ. Maka berdasarkan anggapan pada nomor 4 haruslah ξ = ξ′.

Selanjutnya hanya perlu dicari faktor ξ dari pernyataan nomor 3, denhan anggapan bahwakecepatan cahaya adalah konstan: (10.3.5)

Pada saat t = t′ = 0, di titik x = x′ = 0 terdapat suatu berkas cahaya sedemikian, sehingga di layaryang terletak di tempat sembarang. di sumbu x, akan terdapat noktah cahaya. Adanya noktah titikdi titik kejadian, dan darinya jika seorang pengamat yang ditandai dengan x = c t dan x′ = c t′,maka didapat dengan harga c, maka didapat persamaan sbb:

c t′ = ξ t (c − v) c t′ = ξ t (c + v).

Melalui perkalian kedua persamaan di atas diperoleh:

ξ′ =1√

1 − v2/c2

=1√

1 − β2dengan β =

vc. (10.3.7)

Untuk memperoleh rumusan transformasi, dari pers[10.3.4] masih dapat diperoleh t′ sebagai fungsix dan t:

t′ = ξ t

t +xv

(1ξ2 − 1

)Atau dengan mengeliminasi harga ξ dari pers[10.3.7] didapat persamaan sbb:

ξ′ =x − v t√

1 − β2y′ = y, z′ = z, t′ =

t − v x/c2√

1 − β2(10.3.8)

Dalam variabel aksen, persamaan di atas ditulis menjadi

ξ =x′ + v t√

1 − β2y = y′, z = z′, t =

t′ + v x′/c2√

1 − β2, (10.3.9)

yang berbeda, seperti seharusnya, hanya dengan tanda positif dibanding pers[10.3.8].

10.3. TRANSFORMASI LORENTZ 269

Relasi antara kedua sistem koordinat yang berhubungan, seperti diberikan dari pers[10.3.8] dan[10.3.9], disebut sebagai transformasi L . Persamaan transformasi L ini akan menjadipersamaan transformasi G, pers[10.1.1], jika kecepatan cahaya c →∞ atau β→ 0. Khususnyauntuk kasus ini t′ → t; karenanya untuk kasus ini pula didapat kesamaan kejadian absolut. Pengertianyang telah berkembang sebelumnya tentang kesamaan kejadian (kejadian simultan), tersebut masihmengandung keragu-raguan dan menjadi jelas melalui analisa E dengan anggapan, bahwauntuk menentukan kesamaan kejadian dari dua kejadian yang berlangsung di dalam dua sistemkoordinat yang berada jauh satu sama lain, pada dasarnya ditentukan melalui sinyal yang merambatdengan kecepatan sangat luar biasa cepat.

Penggunaan kecepatan cahaya c untuk mendefinisikan kesamaan kejadian , secara implisit men-gandung ramalan, bahwa suatu sinyal yang merambat dengan kecepatan luar biasa besar (diband-ing dengan kecepatan cahaya) adalah tidak mungkin terdapat. Seandainya terdapat aksi dengankecepatan lebih besar dibanding c, maka aksi tersebut dapat melampaui massa lampaunya.

Penentuan persamaan transformasi L dibuat sedemikian, bahwa rambatan gelombangcahaya tidak bergantung pada konstanta yang berhubungan dengan kecepatan translasi keduanya.Hal ini dapat dijelaskan sbb: (10.3.9)

Pada saat t = 0 di titik awal koordinat merambat gelombang bola, pada saat t permukaangelombang akan mencapai:

x2 + y2 + z2− c2 t2 = 0.

Munculnya kecepatan cahaya pada permukaan bola, ditentukan dengan menandainya pada layarpengamatan, pada sistem koordinat kedua haruslah dalam bentuk:

x′2 + y′2 + z′2 − c2 t′2 = 0.

Ternyata, melalui pers[10.3.8] dan [10.3.9] dapat dengan mudah ditunjukkan, bahwa karena trans-formasi L selalu berlaku:

x2 + y2 + z2− c2 t2 = x′2 + y′2 + z′2 − c2

t′2. (10.3.11)

Nantinya akan didiskusikan suatu pengertian transisi dalam mengartikan persamaan di atas lebihjauh.

Dalam bentuk diferensial diperoleh persamaan: gerak cahaya di vakuum dapat dituliskan dalambentuk persamaan diferensial sbb:

∂2 ϕ

∂ x2 +∂2 ϕ

∂ y2 +∂2 ϕ

∂ z2 −1c2

∂2 ϕ

∂ t2 = 0.

Jika persamaan ini ditransformasikan ke dalam sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatanv, maka argumen (variabel bebas) dari fungsi ϕ(x, y, z, t) harus dinyatakan dalam koordinat aksen,seperti dinyatakan pada pers[10.3.8], yaitu melalui:

∂ϕ

∂ x=

∂ϕ

∂ x′1√

1 − β2−∂ϕ

∂ t′v c√1 − β2

,

∂ ϕ

∂ t= −

∂ϕ

∂ x′v√

1 − β2+∂ϕ

∂ t′1√

1 − β2.


Dengan mencari turunan kedua persamaan di atas, ternyata diperoleh persamaan:

∂2 ϕ

∂ x2 +∂2 ϕ

∂ y2 +∂2 ϕ

∂ z2 −1c2

∂2 ϕ

∂ t2 =∂2 ϕ

∂ x′2+∂2 ϕ

∂ y′2+∂2 ϕ

∂ z′2−

1c2

∂2 ϕ

∂ t′2. (10.3.12)

Pers[10.3.12] merupakan persamaan diferensial karakteristik rambatan cahaya dan invarian terhadaptansformasi L.

10.4 Beberapa Akibat Transformasi L

10.4.1 Skala Panjang dan Waktu pada Transformasi L

Pada pembahasan telah diketahui bahwa suatu ukuran panjang suatu batang l yang berada dalamkeadaan diam, bagi seorang pengamat yang bergerak relatif terhadapnya akan terlihat mengalamipemendekan menjadi l

√1 − β2. Efek ini dinamakan sebagai kontraksi L, sesuai dengan hal

yang pertama kali dikemukakan oleh L pada masanya (sebenarnya pada saat yang hampirbersamaan, di lain tempat hal ini dikemukakan pula oleh G. F), seperti dikemukakan pada§ 9.2 tentang hipotesa kontraksi untuk benda yang bergerak dengan kecepatan v, semua benda yangberada pada arah gerak akan mengalami pemendekan dalam faktor

√1 − β2, sementara semua skala

panjang yang melintang arah gerak tidak mengalami perubahan.Hipotesa kontraksi ini pada mulanya digunakan untuk mengartikan hasil negatif dari percobaan

M. Kenyataannya pengerutan panjang l1 pada pers[10.1.4] dan l2 pada pers[10.1.5] den-gan faktor

√1 − β2 dan menghasilkan perbedaan waktu t2 − t1 = t′2 − t′1 = 2(l2 − l1)/c

√1 − β2 dan

selanjutnya akan menghasilkan harga Θ = 0. Walaupun hipotesa ini telah dikemukakan jauh se-belum teori relativitas disampaikan, akan tetapi secara mendasar kenyataannya, hipotesa kontraksiini bertentangan dengan prinsip dasar relativitas sendiri. Jika seorang pengamat yang membawabatang padanya bergerak relatif terhadap sistem koordinat lain, jika ia bandingkan batang yangada padanya dengan batang yang sama, tetapi berada di sistem koordinat diam, maka hanya dapatdibuktikan bahwa kenyataannya batang yang ada padanya mengalami pemendekan. Agar secaraprinsip dimungkinkan, keadaan absolut diam secara eksperimen ditentukan, di mana seseorangdapat mengamatinya, sejumlah batang dengan kukuran sama yang mana yang mempunyai ukuranlebih panjang.

Dengan cara yang sama dapat diramalkan perbedaan kecepatan jam yang berada di sistem ko-ordinat aksen dibanding dengan sistem koordinat tanpa aksen. Berdasarkan pers[10.3.9] jika padaposisi x′ dan pada saat t′1 = t′ dan t′2 = t′ + t′ sesuai dengan waktu

t1 =t′ + v x′/c2

√1 − β2

t2 =t′ + t′ + v x′/c2

√1 − β2

di koordinat tanpa tanda aksen. Dari sistem koordinat pertama terlihat bahwa jam di sistem koordinatkedua menunjukkan putaran (dari t′ hingga t′t′) atau sama dengan

t = t2 − t1 =t′√

1 − β2.

10.4. BEBERAPA AKIBAT TRANSFORMASI LORENTZ 271

Jam yang berada pada sistem koordinat bergerak akan mengalami pemendekan waktu dengan faktor1/

√1 − β2. Efek ini disebut sebagai dilatasi waktu .

Suatu besaran yang sering muncul dalam penggunaannya adalah waktu eigen suatu benda yangbergerak. Definisi dari waktu eigen yang disimbolkan dengan τ adalah waktu yang ikut bergerakdengan benda yang mengalami gerak. Hubungan antara waktu eigen dengan waktu t, yaitu waktuyang dipandang dari pemilihan sistem koordinat tetap tertentu untuk mengamati waktu eigen, dapatditentukan berdasarkan pembahasan sebelumnya, yaitu: (10.4.0)

Jika jam yang berada di sistem koordinat aksen tercatat berada dalam interval dτ, maka intervaltersebut jika diamati pada sistem koordinat tanpa tanda aksen menjadi:

d t =dτ√1 − β2

. (10.4.2)

Karenanya interval waktu bagi pengamat yang berada di sistem koordinat tanpa tanda aksen akanmenjadi lebih panjang dibanding waktu eigen (waktu pada sistem bertanda aksen).

Peristiwa dilatasi waktu yang lebih nyata khususnya dapat diamati pada atom yang bergerak san-gat cepat yang juga ”‘memiliki waktu eigen yang ikut bergerak dengannya”’. Peristiwa ini misalnyaadalah peristiwa peluruhan atom radioaktif yang dapat berubah menjadi atom anak dalam waktuparuh rata-raya τ karena memancarkan partikel bermuatan. Waktu paruh rata-rata τ didefinisikansebagai waktu di mana jumlah atom radioaktif yang mengalami peluruhan berkurang sebanyak e(bilangan alamiah) kali dari jumlah semula. Jika bahan tersebut diamati di sistem koordinat terhadapsistem koordinat lain yang bergerak dengan kecepatan v, maka berdasarkan pers[10.4.2] waktu hiduprata-rata menjadi lebih panjang dengan faktir 1/

√1 − β2. Partikel radioaktif di dalam sinar kosmik,

khususnya meson µ yang timbul di lapisan atas atmosfir bumi karena tumbukan partikel primeryang berasal dari sinar kosmik dan partikel di atmosfir, efek dilatasi waktu yang dialaminya dapatmencapai faktor 104 (karena v ≈ c). Hal ini menyebabkan, walaupun waktu paruh meson µ sangatpendek, hanya τ = 2 · 10−6 det., tetapi partikel ini dapat diamati di permukaan bumi yang berjarakkurang lebih 10 km dari lapisan atas atmosfir, atau meson µ dapat mencapai jarak tersebut dalamwaktu 3 · 10−5 det.

10.4.2 Gambaran Geometri Transformasi L

Konsekuensi dari § 10.4.1 untuk pers[10.3.8] dan [10.3.9] akan lebih jelas, jika kandungan yangterdapat di dalamnya digambarkan secara geometri, seperti yang dikemukakan oleh H. M.Dalam hal ini koordinat y dan z yang pada transformasi tidak mengalami perubahan, jika kecepatanrelatif sistem hanya pada sumbu x semata, sehingga tidak harus diperhatikan. Akan dinyatakansemua pengertian atau titik kejadian di dalam sistem koordinat pertama melalui diagram ruang-waktu, yaitu dengan menggambarkan x sebagai absis dan w = c t sebagai ordinat, yaitu waktudikali dengan kecepatan c. Gerak suatu titik materi digambarkan di dalam skema (gbr[10.4]) sebagaisuatu kurva yang disebut sebagai ”‘garis semesta”’ dari titik. Tangen garis ini dengan sumbu waktumembentuk sudut ϑ dan ditulis sebagai tan ϑ =dx/dw =u/c, dengan u adalah kecepatan sesaat darititik. Karena pengamatan dikaitkan dengan kecepatan cahaya, maka sudut kemiringan dari kurvaini terhadap sumbu waktu haruslah tetap kecil dibanding dengan 45. Diagram gerak untuk berkascahaya tang bergerak pada arah sumbu x merupakan garus lurus yang mempunyai kemiringan dibawah 45.


Gambar 10.4: Garis semesta suatu titik pada bidang x − w. Kecepatannya adalah sama dengan w = c tan ϑ.

Di samping koordinat pertama, sistem koordinat tanpa tanda aksen I, pandang pula sistemkoordinat dengan tanda aksen II yang bergerak pada arah x dengan kecepatan v terhadap sistemkoordinat pertama (lihat gbr[10.5]). Dengan menyingkat w = c t dan w′ = c t′, maka persamaan yangdidiskusikan, yaitu pers[10.3.8] dan [10.3.9] dapat ditulis kembali dalam bentuk (hanya koordinat x,seperti dikatakan di atas):

x′ =x − βw√

1 − β2w′ =

w − β x√1 − β2

(10.4.3)

dan

x =x′ + βw′√

1 − β2w =

w′ + β x′√1 − β2

.

Sistem koordinat II yang bergerak terhadap sistem I dalam skema x−w digambarkan sebagai x′ −w′,dengan sumbunya dicari sbb: (10.4.3)

Berdasarkan definisi, titik-titik x = 0, w = 0 dan x′ = 0, w′ = 0 adalah saling berimpit. Titik x′

bergerak dengan kecepatan v terhadap sistem I; garis semestanya dan karenanya sumbu w′ meru-pakan garis lurus yang memotong titik acuan, dan dengan sumbu w membentuk sudut ϕ = arctan β.Sehubungan dengan hal ini, berdasarkan pers[10.4.3] diperoleh pula sumbu x′ yang dinyatakandalam persamaan w = β x dan membentuk sudut ϕ = arctan β terhadap sumbu x.

Dengan gambaran ini, dapat diketahui lebih jelas makna dari kesamaan kejadian : Semua titikkejadian yang terletak pada x′ akan terlihat oleh pengamat kedua secara bersamaan, sementaratitik-titik tersebut bagi pengamat pertama telah berlangsung.

Untuk menyempurnakan gambaran transformasi L, perlu diberikan satuan panjang padasumbu yang disimbolkan dengan l. Untuk keperluan ini, lihat dua hiperbola yang diilustrasikanpada gbr[10.5] yang ditulis dalam persamaan sbb:

x2− w2 = l2, dan w2

− x2 = l2. (10.4.5)


Gambar 10.5: Transisi dari sistem xm w ke sistem x′, w′. Kedua hiperbola memotong sumbu setiap satuan koordinat.

Kedua hiperbola ini memotong sumbu sistem koordinat tanpa tanda aksen pada titik x = 0, w = 0dan x = 0, w = l. Sedangkan untuk sistem koordinat bertanda aksen, hiperbola memotong padatitik-titik x′ = 0, w′ = 0 dan x′ = 0, w′ = l dan dengan menuliskan kembali relasi pada pers[10.3.11]dari hubungan w = c t dan w′ = c t′, yaitu dari

x2− w2 = x′2 − w′2;

dan berdasarkan pers[10.4.5] x′2 − w′2 akan sama dengan l2 atau −l2.Fenomena ”‘pengerutan batang”’ yang diamati dari sistem koordinat lain dapat dijelaskan dengan

cara berbeda dari gbr[10.6] sbb: (10.4.5)

Misalkan O A adalah batang diam yang panjangnya l di dalam sistem koordinat. Garis semestatitik ujung akhir batang adalah O D C dan A A′. Bagi seorang pengamat diam yang berada di sistemkoordinat kedua posisi kesamaan kejadian (w′ = 0) dari ujung awal dan akhir batang diberikanmelalui garis semesta O dan A′. Batang bagi pengamat ini menjadi lebih pendek, dibangkan seab-dainya pengamat tersebut berada dalam keadaan diam di sistem koordinat kedua, hanya akanmencapai titik O dan B′. Sebaliknya sebuah batang yang berada dalam keadaan diam di sistem koor-dinat kedua O B′ dengan garis semesta O C′D′ dan B B′ bagi pengamat di sistem koordinat pertamapada saat w = 0 dan di titik O dan B. Batang bagi pengamat ini juga akan menjadi lebih pendek jikaseandainya batang berada dalam keadaan diam dalam sistem koordinat ini dan mencapai titik O danA.

Sesuai dengan hal di atas demikian juga waktu kontrol juga berlangsung seperti: (10.4.6)


Gambar 10.6: Membandingkan skala satuan panjang dan waktu dari sistem koordinat bergerak terhadap sistemkoordinat lainnya.

Sebuah jam diam, berada di sistem koordinat kedua, akan berjalan menurut garis semesta O C′D′.Jam ini di titik D′ pada garis semesta, pada w′ = l, justru akan melintasi jalan secara penuh, di manasebelumnya (di titik C) jam yang berada di sistem koordinat pertama juga berjalan secara penuhdengan w = l; jam yang bergerak mennjukkan waktu yang lebih pendek dibandingkan dengan jamdiam. Sebaliknya untuk jam yang diam pada sistem koordinat pertama pada posisi x = 0 di titiksemesta C mengakhiri satu putaran penuh, sementara jam yang berada di titik D pada tempat yangsama di sistem koordinat kedua bergerak juga satu putaran penuh.

10.4.3 Aturan Penambahan Kecepatan dari E

Berdasarkan aturan kinematik dalam mekanika N beberapa kecepatan ditambahkan satusama lain menurut aturan penambahan vektor: Jika~v adalah kecepatan sebuah pesawat (dalam sistemkoordinat aksen) terhadap seorang pengamat di sistem koordinat diam dan apabila di dalam pesawatterdapat titik massa bergerak dengan kecepatan ~u′, maka massa tersebut bergerak relatif terhadappengamat dengan kecepatan ~u = ~u′+~v, seperti halnya dapat dibuktikan melalui transformasi Gpada pers[10.1.1].

Dalam teori relativitas, hubungan antara kecepatan sedikit lebih kompleks. Untuk menjelaskan-nya, pandang kembali persamaan transformasi L, pers[10.3.9], yang menghubungkan duasistem koordinat dan anggap, bahwa terdapat sebuah titik massa yang bergerak relatif, dengan ke-cepatan ~u′, terhadap sistem koordinat aksen, membentuk lintasan garis lurus pada bidang x′− y′ danlintasannya membentuk sudut ϑ′ terhadap sumbu x′. Gerak titik massa di dalam sistem koordinataksen dapat ditulis menurut persamaan:

x′ = u′ t′ cos ϑ′, y′ = u′ t′ sin ϑ′, z′ = 0. (10.4.8)


Selanjutnya akan dicari garis semesta dari gerak di atas di dalam sistem koordinat tanpa aksen;dengan perkataan lain akan dicari dua besaran u dan ϑ sedemikian, sehingga di dapat persamaan:

x = u t cos ϑ, y = u t sin ϑ, z = 0 (10.4.9)

dengan cara sesuai dengan transformasi koordinat menurut pers[10.3.9] dan [10.4.8]. Dengan men-substitusikannya ke pers[10.3.9] diperoleh tiga relasi sbb:

u t cos ϑ =u′ t′ cos ϑ′√

1 − β2,

u t sin ϑ = u′ t′ sin ϑ′

t =t′ + u′ t′ v cos ϑ′/c2

√1 − β2

.

Dengan membagi dua persamaan pertama dengan persamaan ketiga, didapat

u cos ϑ =u′ cos ϑ′ + v

1 + u′ v cos ϑ′/c2

, (10.4.10)

u sin ϑ =u′ sin ϑ′

√1 − β2

1 + u′ v cos ϑ′/c2

,

dan arah dan besarnya kecepatan yang dicari diperoleh

u2 =u′2 + v2 + u′ v cos ϑ′ − u′2 v2 sin2 ϑ′/c2

1 + u′ v cos ϑ′/c2

, (10.4.11)

tan ϑ =u′ sin ϑ′

√1 − β2

u′ cos ϑ′ + v.

Apabila, untuk kasus khusus, ~u′ searah dengan~v, makaϑ′ = 0, demikian pula denganϑ = 0, sehinggadiperoleh kecepatan:

u =u′ + v

1 + u′ v/c2

. (10.4.12)

Kecepatan yang diperoleh adalah lebih kecil dibanding dengan jumlah dua kecepatan u′ + v.Dari pers[10.4.12] dapat diketahui, bahwa tidak mungkin melalui penambahan dua kecepatan, dimana masing-masing kecepatan mempunyai harga lebih kecil dibanding dengan kecepatan cahaya,akan melebihi kecepatan cahaya sendiri. Khususnya untuk u′ = c, maka haruslah u = c pula,tidak bergantung pada besarnya kecepatan v sendiri. Hasil kesimpulan ini tentu harus semestinyademikian, karena rumusan transformasi Ldiperoleh melalui anggapan, bahwa suatu peristiwadi mana di dalamya terdapat sebuah sistem bergerak atau merambat dengan kecepatan c, hal inijuga berlaku untuk sistem lainnya.

Penggunaan lebih instruktif dari pers[10.4.12] dikemukakan oleh M. . L dalam menjelaskanpercobaan F. Percobaan ini mencoba membuktikan rambatan cahaya di dalam medium berg-erak, di mana diharapkan,mirip seperti peristiwa gelombang bunyi, bahwa cahaya akan meram-bat dengan kecepatan searah dengan arah gerak medium akan mempunyai kecepatan lebih besar


Gambar 10.7: Susunan alat ukur F dalam menentukan koefisien ”medium bergerak”.

dibanding jika kecepatannya berlawanan arah gerak medium; karenanya rambatan cahaya diang-gap terpengaruh oleh gerak medium. Sementara gelombang bunyi mengikuti kaedah transformasiG dengan baik, maka kecepatan gelombang bunyi, khususnya yang searah dengan arah gerakmedium, mempunyai kecepatan sama dengan cs = cs + η v, dengan cs adalah kecepatan bunyi didalam medium tidak bergerak; karenanya dianggap bahwa kecepatan cahaya di dalam mediumdemikian adalah c = c + η v, dengan koefisien ”‘medium bergerak”’ η < 1, yang dapat ditentukanbaik secara eksperimen maupun teori.

Pengukuran eksperimen pertama η dilakukan oleh F pada tahun 1851. susunan alat ukuryang digunakannya secara skematik diilustrasikan pada gbr[10.7]. Jalannya percobaan yang di-lakukan F adalah sbb: (10.4.12)

Cahaya yang berasal dari sumber L dijatuhkan pada plat kaca yang dilapisi perak P (ceminpembagi berkas), sehingga berkas cahaya menjadi dua (sebagian direfleksikan dan sebagian ditrans-misikan), yang selanjutnya, seperti terlihat pada gambar, kedua berkas tersebut merambat salingberlawanan arah. Melalui plat tersebut kedua berkas cahaya disatukan kembali dan interferensikeduanya diamati melalui alat interferensi di B. Kedua berkas tersebut dilalukan pada kolom R1 danR2 yang diisi air bergerak, masing-masing dengan kecepatan v saling berlawanan, sesuai dengan arahyang ditunjukkan gambar. Karenanya waktu yang diperlukan bagi berkas pertama yang merambatdari plat gelas melalui kedua kolom dengan kecepatan searah dengan aliran air dan kembali ke platgelas, akan lebih singkat dibading dengan berkas kedua yang juga harus melewati kolom air, tetapiberlawanan dengan arah gerak aliran air. Kedua berkas nyatanya datang pada plat gelas denganfase interferensi yang berbeda jika diamati dari alat interferensi B dan menunjukkan pola garis inter-ferensi. Dari posisi pola garis interferensi dapat ditentukan waktu, sehingga harga koefisien η dapatditentukan.

Perhitungan koefisien medium bergerak η ditentukan . L dari rumusan penambahan ke-cepatan E. Cahaya yang bergerak di dalam medium dengan indeks bias n akan mempunyaikecepatan sama dengan u′ = c = c/n, seandainya tidak dibedakan kecepatan grup dan kecepatanfase dari cahaya; selain itu musti diperhatikan bahwa harga n juga bergantung pada frekuensi ca-

10.5. PENGERTIAN RUANG-WAKTU EMPAT DIMENSI 277

haya ω′ di dalam medium. Jika medium sendiri mengalir dengan kecepatan v, maka berdasarkanpers[10.4.12] seorang pengamat diam yang berada di dalam sistem koordinat tanpa aksen akanmemperoleh kecepatan cahaya sama dengan

u =u + c/n

1 + v/n c, (10.4.14)

atau untuk pendekatan pertama, jika v/c diperoleh

u =cn+ v

(1 −

1n2

). (10.4.15)

Karena efek D (lihat § 11.5) dalam pendekatan ini dapat dicari perubahan frekuensi sudutcahaya di dalam medium, yaitu:

ω′ = ω(1 −

n vc

), (10.4.16)

maka harga indeks bias lebih eksak yang terdapat pada pers[10.4.15] adalah

n ≡ n(ω′) ≈ n(ω) −ωn v

cdndω

. (10.4.17)

Dengan demikian pers[10.4.15] dapat ditulis kembali menjadi:

u =c

n(ω)+ v

(1 −

1n2 +

ωn

dndω

), (10.4.18)

dan koefisien medium bergerak

η = 1 −1n2 +

ωn

dndω

. (10.4.19)

Dengan demikian perbedaan waktu antara dua berkas cahaya yang melewati dua kolom berisi air,melintasi lintasan 2 l adalah

∆ t = 1 −2 l

c/n(ω) − η v−

2 lc/n(ω) + η v

≈4 l η v n2

c2

.

Hasil perhitungan di atas adalah sesuai dengan hasil percobaan yang didapat oleh F dalampercobaan interferensinya.

10.5 Pengantar Pengertian Ruang-Waktu Empat Dimensi

Syarat keempat yang dikemukakan pada § 10.3 untuk penurunan transformasi Lorentz men-gandung, seperti ditekankan di bab tersebut, merupakan titik tolak seluruh teori relativitas khususdalam menentukan, bahwa tidak mungkin untuk menentukan perbedaan mendasar antara dua sis-tem koordinat yang mengalami gerak translasi beraturan satu sama lain. Karenanya semua hukumalam, tidak hanya rambatan gelombang cahaya, haruslah invarian terhadap transformasi Lorentz. Ke-mudian berdasarkan kondisi yang dikemukakan Einstein ini, mekanika Newton yang merupakan


dasar mekanika klasik dan mengikuti transformasi Galilei, harus dimodifikasi sedemikian, sehinggainvarian terhadap transformasi Lorentz.

Untuk membuktikan apakah suatu persamaan Fisika, misalnya persamaan hukum induksi~∇ × ~E + ∂ ~B/∂ t = 0 memenuhi prinsip relativitas, haruslah dicari persamaan transformasi untukmedan listrik ~E dan magnet ~B, yaitu medan ~E′ dan ~B′ yang diamati oleh pengamat di dalam sistemkoordinat bergerak; kemudian baru dapat dibuktikan apakah besaran-besaran medan ini memenuhipula persamaan ~∇′ × ~E′ + ∂ ~B′/∂ t′ = 0. Dengan cara demikian Einstein melakukan pembuktian danternyata ia menemukan bahwa persamaan Maxwell memenuhi prinsip relativitas dan bahwa persamaanini, dalam bentuk aslinya seperti sekarang ini adalah invarian terhadap transformasi Lorentz.

Pembuktian untuk kasus konkrit dan tunggal ini seringkali diturunkan dengan prosedur yang ru-mit dan oleh Minkowski digantikan dengan metode matematis yang lebih sederhana yang nantinyadapat digunakan untuk membuktikan formulasi semua hukum alam adalah invarian terhadap trans-formasi Lorentz.

Gambaran dari metode matematis Mikowski ini sebenarnya telah diketahui dalam perhitunganvektor ruang tiga dimensi (3D). Rumusan timbul dari kenyataan, bahwa secara fisis sistem koordinattidak terlalu penting dan tidak akan muncul dalam persamaan. Misalnya pandang tiga persamaangerak Newton m vx = Kx, m vy = Ky, m vz = Kz sebagai persamaan vektor m ~v = ~K, apa yang mungkinadalah, jika ketiga persamaan komponen vektor gaya dirotasikan terhadap sistem koordinat, yaitumelalui transformasi ortogonal, maka ketiga persamaan komponen gaya tersebut akan menjadim vx′ = Kx′ , m vy′ = Ky′ , m vz′ = Kz′ .

Metode Mikowski ini merupakan modifikasi dari kalkulus vektor dalam ruang 3D menjadi kalkulusvektor ruang-waktu kontinu 4D, dimana syarat invarian terhadap rotasi dalam ruang 3D diubah menjadisyarat invarian terhadap transformasi Lorentz, yang mirip seperti proses rotasi atau, secara umum,dapat dipandang sebagai transformasi ortogonal dalam ruang-waktu empat dimensi (4D).

Untuk mengerti metode ini, pertama-tama haruslah dipikirkan, besaran apa yang akan mewakilikoordinat keempat selain tiga besaran koordinat ruang x, y, z, di mana patut pula dipertimbangkanbesaran apa yang harus dipilih sebagai komponen keempat di samping tiga komponen suatu vektorbiasa dalam ruang 3D, sehingga bersama dengan ketiga komponen tersebut diperoleh suatu vektorruang 4D sebenarnya. Kedua adalah kemudian haruslah dapat dibuktikan bahwa apakah persamaantransformasi yang dicari dalam empat koordinat dalam peralihannya (transformasi) dari sistemkoordinat tanpa tanda aksen ke koordinat bertanda aksen juga tetap berlaku dan ternyata suatutransformasi ortogonal berarti sebagai transformasi yang memenuhi syarat seperti diberikan pada§ 10.3 untuk transformasi Lorentz. Khususnya dalam pembahasan bab ini akan dibuktikan bahwatransformasi ini adalah linier dan homogen, dan bahwa besaran x2 + y2 + z2

− c2 t2 adalah invarian

terhadap transformasi ini atau dengan perkataan lain berlaku relasi:

x2 + y2 + z2− c2 t2 = x′2 + y′2 + x′2 − c2

t′2. (10.5.1)

Untuk merealisir syarat ini, Minkowski memberikan koordinat keempat, di samping tiga koor-dinat ruang yang telah diketahui x, y, z adalah suatu besaran imajiner:

u = i c t, (10.5.2)

sehingga besaran simetris yang dibentuk u2+x2+y2+z2 pada proses transformasi koordinat haruslahinvarian (tetap tidak berubah), untuk menggambarkan berlakunya transformasi Lorentz. Apabila


salah satu dari empat koordinat dibuat konstan, misalnya u =konstan, maka kasus seperti ini da-pat dianggap analog dengan rotasi tiga koordinat ruang, di mana tertutup syarat pencerminansedemikian, sehingga melalui perubahan parameter transformasi yang kontinu sebagai peralihandari transformasi infinitisimal, maka dimungkinkan terdapat identitas. Dengan demikian untuk ka-sus lebih umum dapat diperlakukan analog, di mana empat koordinat ditransformasikan, atau dapatdianggap merupakan peristiwa rotasi empat koordinat di dalam ruang-waktu kontinu.

Interpretasi Minkowski untuk transformasi Lorentz demikian sederhana dan cerdik, akan tetapiseringkali dalam prakteknya, penggunaan koordinat keempat dari vektor tempat dan vektor lainnyayang juga digunakan dalam perhitungan, misalnya komponen tensor ditulis dalam bentuk imajiner.Hal ini dapat menimbulkan kekeliruan jika seandainya, seperti yang diberikan pada § 6.4 karenapertimbangan matematis, atau di dalam mekanika kuantum, seringkali muncul perhitungan medandalam bentuk bilangan kompleks. Kemudian dalam mengubah besaran medan imajiner menjadibentuk konyugat kompleksnya, bilangan imajiner i harus diganti dengan−i, akan tetapi bukan faktori yang terdapat pada pers[10.5.2] dan sangat jarang ditemukan bilangan i dalam komponen waktudari vektor keempat dan di dalam komponen campuran ruang dan waktu pada tensor keempat.

Karenanya formalisme dari teori relativitas khusus yang dinyatakan dalam ruang real dan koordinatwaktu dilakukan dengan menggunakan vektor atau tensor keempat, sedangkan pada teori relativitasumum tidak terdapat pengecualian khusus. Sebagai persiapan untuk menjelaskan persoalan ini lebihlanjut, pada § 7.2 telahpun diperkenalkan formalisme untuk mengubah persamaan Maxwell dalamberbagai sistem koordinat, linier maupun tidak yang relatif sederhana dan mudah. Sebagai saranbagi pembaca, silahkan membaca § 7.2 sekali lagi, sebelum membahas prinsip relativitas lebih jauh.

Selanjutnya akan terlihat nantinya pada akhir pembahasan bab ini, bahwa adalah mungkin un-tuk menyatakan persamaan Maxwell dalam koordinat ruang-waktu kontinu 4D. Dalam hal ini dite-mukan pula hal yang mengejukan, bahwa semua rumus yang mengandung dua rotasi (curl) dan duadivergensi dalam koordinat 3D, atau ditulis dalam bentuk komponen koordinat masing-masing, selu-ruhnya mengandung delapan persamaan, tetapi dalam penulisan ruang-waktu 4D dapat diringkasdalam dua persamaan 4D, masing-masing mengandung empat komponen. Permbahasan lebih rincibagaimana persamaan tersebut dapat diringkas, akan dibahas lebih rinci pada § 11 nanti.

Pada bab ini hanya akan dipersoalkan kembali formalisme kovarian perhitungan vektor dan ten-sordari ruang 3D menjadi 4D, tanpa harus membuktikan apakah formalisme tersebut dapat langsungdigunakan dalam ruang-waktu 4D atau tidak. Misalkan perhitungan yang akan dilakukan denganmenggunakan kovarian xν dan kontravarian xν, demikian pula dengan vektor konvarian dan kon-travarian ~Aν dan ~Aν, atau dengan komponen tensor keduanya, ~Tν µ, ~Tν µ, ~Tµν dan ~Tνµ. Dalam hal inipenulisan indeks komponen vektor dan tensor 4D adalah persis sama seperti penulisan indeks dalamuntuk vektor dan tensor 3D, akan tetapi diganti dengan huruf Yunani yang berharga dari 1 hingga 4,sementara indeks pada komponen vektor dan tensor ruang 3D ditulis pula dalam simbol huruf latindan berharga mulai dari 1 hingga 3. Perubahan dari komponen vektor atau tensor kovarian menjadikontravarian atau indeks ”‘ke atas”’ dan ”‘ke bawah”’, berdasarkan pers[7.2.5] ditulis dalam bentuk:

~Aν =∑

gν µ ~Aµ atau ~Aµ =∑

gν µ ~Aν. (10.5.3)

gν µ dan gν µ adalah komponen tensor metrik fundamental yang didefinisikan dari elemen panjang ds


sbb:ds2 =

∑ ∑gν µ dxν dxµ =

∑ ∑gν µ dxν dxµ =

∑dxν dxν, (10.5.4)

dan ds2 adalah jarak kuadrat dari dua titik semesta yang berdekatan dalam ruang-waktu kontinu.Sehubungan dengan hal di atas, vektor 4D kuadrat dapat pula ditulis dalam tiga bentuk sbb:∑ ∑

gν µ ~Aν ~Aµ =∑ ∑

gν µ ~Aν ~Aµ =∑

~Aν ~Aν. (10.5.5)

Khususnya untuk gν µ dan gν µ berlaku relasi:

gν µ gµλ = gλν ≡ δλν , (10.5.6)

dengan δλν sama dengan 1 atau nol, bergantung apakah ν = λ atau ν , λ.Sekarang akan dibahas, yang tadinya belum diperhatikan, adalah dari suatu titik semesta dalam

ruang 4D, berdasarkan elemen panjang yang diberikan pada pers[10.5.4], yaitu

ds2 = c2dt2

− (dx2 + dy2 + dz2). (10.5.7)

Selanjutnya diperkenalkan koordinat sbb:

(xν) = (x, y, z, c t) atau (xν) = (−x, −y, −z, c t), (10.5.8)

sehingga berdasarkan koordinat di atas diperoleh komponen-komponen tensor metrik fundamentaldari pers[10.5.4] dalam bentuk matriks sbb:

(gν µ) =

−1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

= (gν µ). (10.5.9)

Perubahan tanda pada komponen ruang 3D vektor posisi dari perubahan xν menjadi xν berdasarkanpers[10.5.3] dapat dibuat melalui matriks khusus pada pers[10.5.9], sesuai dengan pers[10.5.3].

Terlihat bahwa metrik ini adalah tak tentu, karena elemen garis kuadrat, seperti diberikan padapers[10.5.5] dapat berharga negatif atau positif. Untuk

∑ ~Aν ~Aν > 0 diberikan oleh vektor (~Aν)

yang disebut sebagai vektor waktu , sedangkan jika∑ ~Aν ~Aν < 0 disebut sebagai vektor ruang. Istilah

ini sengaja diberikan dengan membandingkan jarak kuadrat ds2 dari dua titik semesta yang salingberdekatan yang terdapat di dalam ruang-waktu kontinu. Jika ds2 > 0, maka dimungkinkan satugaris semesta dibatasi oleh kedua titik tersebut dan bahwa gambaran ruang untuk suatu titik materisendiri dapat diilustrasikan dalam dua titik waktu secara berurutan; untuk kasus ini diperolehinterval waktu, yaitu ds/c =dτ, yaitu waktu yang tercatat pada jam yang ikut bergerak dengan titikmateri, atau disebut interval waktu eigen. Jika sebaliknya, ds2 < 0, maka sebuah batang digunakanuntuk mengukur jarak dua titik yang bergerak sedemikian, bahwa ukuran ini merupakan jarak duatitik yang berurutan dan dapat diamati seorang pengamat yang ikut bergerak; jarak ini disebutsebagai panjang eigen.


Pada gbr[10.5] terlihat adanya daerah yang diarsir, titik-titik yang terletak di dalam daerah iniadalah terletak dalam koordinat waktu, sedangkan semua titik yang berada dalam daerah tanpa arsirdikatakan berada dalam mode ruang. Selalu terdapat transformasi demikian, di mana dua titik yangterletak pada jarak koordinat waktu tertentu terdapat sumbu x4′ dan dari dua titik yang dipisahkanoleh jarak koordinat ruang tertentu dilalui sumbu x1′ .

Sebagai catatan tambahkan, patut pula diketahui hal sbb: Vektor basis dalam 3D yang dise-butkan pada § 7.2, yaitu ~hν dan ~hν, untuk ruang 4D tidak perlu dipersoalkan kembali di sini, karenatelah diwakili tensor metrik fundamental yang diberikan pada pers[10.5.4]. Akan tetapi patut puladisebutkan, bahwa indeks vektor basis ν = 1, 2, 3 adalah menyatakan koordinat ruang dan ν = 4menyatakan koordinat waktu dan karena harga kuadratnya yang negatif, akan menjadi imajinermurni.

Seandainya memulai pembahasan selain menggunakan pers[10.5.7], digunakan persamaan sbb:

d s2 = d x2 + d y2 + d z2− c2 d t2, (10.5.10)

maka baik tanda pada tensor fundamental gν µ, demikian pula dengan komponen xν haruslah men-galami perubahan. Dengan demikian maka vektor basis koordinat ruang menjadi real, sedangkankoordinat waktu imajiner, mirip seperti yang dikemukakan oleh Minkowski, yang memandang ko-ordinat waktu imajiner murni, seperti diberikan pada pers[10.5.2]. Perhitungan lebih lanjut haruspula disertakan komponen kovarian dan kontravarian. Akan tetapi secara fisis adalah tidak penting,apakah persoalan ini dipandang bermula dengan pers[10.5.7] atau [10.5.10], seperti yang akan dilihatdengan jelas nantinya dalaml membahas persoalan penurunan rumusan ini lebih umum. Akan tetapiindeks komponen keempat tidak dituliskan dalam angka 4, melainkan dengan 0.

Sebagai penutup pembahasan bab ini akan ditunjukkan sebagai contoh penggunaan, yaitubagaimana penulisan vektor kecepatan ~v dan percepatan ~a dari ruang 3D menjadi vektor dalamruang-waktu kontinum 4D. Untuk itu pandang garis semesta dari titik materi yang diberikan dalamkomponen kontravariannya xν(τ) sebagai fungsi dari waktu τ yang menyatakan titik tersebut. Dalamhal ini waktu eigen τ ini tentunya adalah skalar dan merupakan besaran yang invarian terhadaptransformasi Fourier, yang didefinisikan menurut pers[10.4.2] dalam bentuk persamaan diferensialsbb:

d τ2 = d t2(1 −

v2

c2

)(10.5.11)

=c2 d t2

− d x2− d y2

− d z2

c2

=1c2

∑∑gν µ d xν d xµ,

yang diperoleh dari pers[10.5.8] dan [10.5.9]. Didefinisi kecepatan di dalam ruang 4D dalam kompo-nen kontravarian sbb:

uν =d xν

d τ. (10.5.12)

Relasinya dengan kecepatan normal dalam 3D dapat dicari dari aturan misalnya u1 = dx2/dτ =vx dt/dτ. Dari pers[10.5.11] berlaku untuk β = v/c:

u1 =vx√

1 − β2, u2 =

vy√1 − β2

, (10.5.13)


u3 =vz√

1 − β2, u4 =

c√1 − β2

.

Darinya atau juga dari pers[10.5.11] diperoleh relasi penting∑∑gν µ uν uµ =

∑∑uν uµ = c2

; (10.5.14)

harga kecepatan 4D adalah tetap konstan dan sama dengan kecepatan cahaya. Kecepatan yangdiberikan dalam uν masih merupakan vektor dari koordinat waktu.

Sesuai dengan pers[10.5.12], percepatan 4D didefinisikan sbb adalah

aν =d uν

d τ=

d2 uν

d τ2 (10.5.15)

dan merupakan vektor 4D. Dari relasi percepatan di atas dapat dituliskan komponen-komponenpercepatan 4D sbb:

a1 =dd t

vx√1 − β2

d td τ=

az√1 − β2

+vx (v b)

c2(1 − β2)

a4 =dd t

c√1 − β2

d td τ=

~v~a

c (√

1 − β2)2. (10.5.16)

Karenanya diperoleh percepatan kuadrat dalam ruang 4D:

∑∑gν µ anu aµ = (a4)2

− [(a1)2 + (a2)2 + (a3)2] = −~a2− (~v × ~a)2/c2

(1 − β2)3 (10.5.17)

Dalam sistem koordinat diam, harga a4 = 0; percepatan 4D merupakan ektor koordinat ruang. Darirelasi pers[10.5.14], dapat dilakukan diferensiasi terhadap τ∑∑

gν µ unu anu; (10.5.18)

Kecepatan, maupun percepatan 4D dan selalu tegak lurus masing-masing.

10.6 Transformasi Lorentz untuk Ruang Empat Dimensi

Setelah mengenal penulisan besaran fisika dalam 4D, dapatlah ditilik lebih jauh transformasiLorentz yang didefinisikan sebagai transformasi yang mempunyai sifat linier dan homogen dalamruang-waktu kontinum 4D untuk menyatakan elemen panjang dari sistem koordinat diam (tanpatanda aksen) ke sistem koordinat yang bergerak (dengan tanda aksen), yaitu berdasarkan pers[10.5.4]atau lebih tegas dikatakan bahwa harga keempat vektor pada pers[10.5.5] tidak mengalami peruba-han.

10.6. TRANSFORMASI LORENTZ RUANG EMPAT DIMENSI 283

Transformasi demikian apabila ditulis dalam vektor 4D menjadi

Aν′ =∑µ

Lνµ Aµ, atau Aν′ =∑µ

Lµν Aµ, (10.6.1)

dengan komponen campuran kovarian dan kontravarian dari transformasi L. Sehingga diperoleh∑A′ν Aν′ =

∑ν

∑µ

∑λ

(Lµν Aµ) (Lνλ Aλ) =∑µ

∑λ

∑ν

Lµν Lλν

Aµ Aλ

untuk vektor ~A sembarang sama dengan∑

Aν Aµ, sehingga relasi antara komponen-komponennya

haruslah memenuhi tensor: ∑µ

Lµν Lνλ = δµλ. (10.6.2)

Kalikan pers[10.6.1] dengan Lλν dan jumlahkan terhadap ν, maka dengan menggunakan pulapers[10.6.2] diperoleh penyelesaian persamaan tersebut dalam Aµ dan juga dalam Aµ, yaitu:

Aλ =∑µ

Aν′ Lλν , dan Aµ =∑ν

A′ν Lνλ, (10.6.3)

dan dari persamaan ini diperoleh pula kebalikan dari pers[10.6.2]∑λ

Lνλ Lλµ = δνµ. (10.6.4)

Dengan demikian pers[10.6.2] dan [10.6.4] merupakan persamaan yang membuktikan syarat bahwatensor transformasi L benar-benar merupakan transformasi Lorentz. Persamaan ini analog dengantensor transformasi untuk ruang 3D dalam transformasi ortogonal. Tensor dalam ruang 4D ini akanberubah menjadi tensor dalam ruang 3D, jika L44 = L44 = 1 dan jika semua komponen dengan indeks4 dari L sama dengan nol. Karenanya rotasi terhadap ruang untuk kasus koordinat waktu tidakberubah secara umum menggambarkan transformasi Lorentz. Tentunya transformasi yang identikdengannya dengan vektor satuan E tidak lain merupakan transformasi Lorentz sendiri.

Pengamatan di atas dapat disingkat dalam penulisan vektor dan simbol tensor 1: Jika ~A meru-pakan vektor ruang 4D yang dapat ditransformasi, maka berlaku

~A′ = L ~A = ~A L. (10.6.5)1Dalam kasus ini penulisan komponen suatu vektor (A)nu = Aν dan (A)ν = Aν, dan demikian pula untuk komponen

tensor Lν µ =Lν µ dst. Untuk hasil kali suatu vektor dengan tensor L ditulis dalam komponennya adalah:

(A L)ν =∑

Aµ Lµ ν =∑

Lµν Aµ,

dan untuk hasil kali dua tensor (tensor K dan L) ditulis sbb:

(K L)ν µ =∑

Kνλ Lλµ =∑

Kλν Lλµ.

Dalam hal ini penjumlahan harus dilakukan terhadap pasangan indeks yang ada, di mana kedua indeks masing-masingselalu berada di ”‘atas”’ dan di ”‘bawah”’.


dengan L dan L merupakan tensor yang mengalami transformasi dengan komponen Lν µ = Lν µ. Makaharga kuadrat dari ~A dituliskan dalam bentuk:

~A′ ~A′ = ~A L L ~A atau ~A′ ~A′ = L ~A ~A L

Agar untuk kedua hal di atas sama dengan skalar dari hasil perkalian ~A ~A, maka haruslah

L L = L L = E, (10.6.6)

atau sama dengan tensor satuan. Relasi ini sesuai dengan relasi pers[10.6.2] dan [10.6.4] yang ditulisdalam komponen-komponennya. Selanjutnya akan dicari relasi kebalikan dari pers[10.6.5], yaituuntuk:

~A = L−1 ~A′ = ~A′ L−1, (10.6.7)

dengan tensor transformasi inversi L−1, maka pers[10.6.6] dapat ditulis kembali dalam bentuk:

L−1 = L dan L−1 = L. (10.6.8)

Selanjutnya tensor transformasi L dalam penulisan singkat ini dapat pula dinyatakan dalam duatransformasi Lorentz yang berurutan L(1) dan L(2) sbb:

L = L(2) L(1) dan L = ˜L(2) L(1) = L(1) L(2) (10.6.9)

dan karena L(1) L(1) = E dan L(2) L(2) = E, maka L L = E. Untuk transformasi Lorentz L(1), L(2), · · ·berlaku kaedah sbb:

1. L(1) L(2) juga merupakan transformasi Lorentz,

2. tensor transformasi identitas E jika dikalikan dengan L adalah E L = L dan

3. tensor invers transformasi L−1 dikalikan dengan L adalah menjadi L−1 L = E,

seluruh transformasi ini membentuk apa yang dinamakan grup Lorentz .Selanjutnya pandang khususnya transformasi Lorentz yang diberikan pada pers[10.3.8] dari sis-

tem koordinat tanpa tanda aksen ke koordinat dengan tanda aksen, yaitu sistem koordinat yangbergerak dengan kecepatan v = β c pada arah sumbu x positif. Formulasi untuk transformasi ini,ditulis dalam komponen kontravarian pers[10.5.8] dari vektor posisi di dalam ruang 4D:

(xν′) ≡ (x1′, x2′, x3′, x4′) =

x1− β x4√1 − β2

, x2, x3,x4− β x1√1 − β2

, (10.6.10)

dengan rumusan untuk komponen kovarian dapat diperoleh dari relasi (xν) =∑

gν µ xµ dengan tensor

metrik fundamental pers[10.6.9] dengan perubahan tanda dari tiga koordinat pertama. Analog untuksetiap vektor ruang-waktu 4D

(Aν′) ≡ (A1′, A2′, A3′, A4′) =

A1− βA4√1 − β2

, A2, A3,A4− βA1√1 − β2

. (10.6.11)

10.6. TRANSFORMASI LORENTZ RUANG EMPAT DIMENSI 285

Dari rumusan di atas, seperti ditunjukkan pada pers[10.6.1] untuk komponen campuran Lνµ daritensor transformasi khusus Ls, diperoleh matriks:

(Lνµ) =

1√1−β2

0 0 −−β√

1−β2

0 1 0 00 0 1 0

−−β√

1−β20 0 1√

1−β2

, (10.6.12)

di mana komponen-komponen lainnya dapat diperoleh melalui rumusan Lν µ =∑ ν

λ gλµ, misalnya

melalui perubahan tanda Lν µ pada tiga baris pertama dan Lν µ didapat melalui perubahan tiga barispertama matriks padap pers[10.6.12]. Dengan perhitungan yang mudah dapat ditunjukkan bahwaberlaku relasi Lµν (β) = Lµν (−β).

Untuk transformasi komponen Tν µ atau Tν µ suatu tensor rank dua berlaku rumusan yang analogdengan pers[10.6.1]:

Tν µ′ =∑χ

∑λ

Lνχ Lµλ

Tχλ atau Tν µ′ =∑χ

∑λ

Lχν Lλµ Tχλ. (10.6.13)

Persamaan secara mudah ini dikhususkan untuk transformasi Lorentz yang terdapat padapers[10.6.12]. Matriks simetri ini dapat ditulis sbb:

(Tν µ′) =

0 T1 2+βT2 4√

1−β2

T1 3+βT3 4√

1−β2T1 4

−T1 2+βT2 4√

1−β20 T2 3 T3 4+βT1 3

√1−β2

−T1 3+βT3 4√

1−β2−T2 3 0 T3 4+βT1 3

√1−β2

−T1 4−

T2 4+βT1 2√

1−β2−

T3 4+βT1 3√

1−β20

. (10.6.14)

Persamaan ini akan digunakan dalam mentransformasikan besaran-besaran medan dalam persamaanMaxwell.

Sebagai penutup pembahasan ini akan dibahas bentuk umum transformasi Lorentz: (10.6.14)Diharapkan bahwa untuk setiap transformasi Lorentz sembarang, L merupakan hasil sederetan

transformasi sbb: pertama-tama lakukan transformasi rotasi koordinat D1 dan transformasi khususLs, seperti diberikan pada pers[10.6.12] dan kembali dilakukan transformasi rotasi koordinat D2, atauditulis sebagai:

L = D2 Ls D1. (10.6.16)

Jika pernyataan ini benar, maka setiap proses transformasi suatu persoalan fisis dapat dibatasi dengantransformasi khusus Ls, seperti yang selama ini dilakukan pada § 10.3 dan § 10.4.

Akan dibuktikan pers[10.5.15] tanpa perhitungan, yaitu hanya melalui pemikiran geometris se-mata. Misalkan koordinat yang telah ditransformasikan oleh L adalah xν′. Sumbu x4′ yaitu garissemesta x1′ = x2′ = x3′ = 0, berdasarkan pers[10.6.3] dalam sistem koordinat tanpa aksen berbentukgaris lurus xλ = Lλ4 x4′ dan demikian pula proyeksinya pada sistem koordinat tanpa aksen adalah


(x1, x2, x3 sebagai fungsi dari x4′). Sekarang terdapat pula rotasi D1 dengan proyeksinya sesuaidengan arah sumbu x1, yaitu rotasi yang sama dengan arah kecepatan dalam sistem koordinat ak-sen, relatif terhadap sistem koordinat tanpa aksen. Misalkan sistem yang diperoleh karena rotasiD2 adalah xν′′. Sumbu x4′ sekarang terletak pada bidang yang dibentuk oleh x1′′

− x4′′, dan dapatpula, seperti diilustrasikan pada § 10.3, dilakukan hanya melalui transformasi dari x1′′ dan x4′′, yaitumelalui Ls pada pers[10.6.12] ke koordinat xν′′ sedemikian, sehingga sumbu x4′′ dan x4′ akan salingberimpit. Sistem koordinat xν′′ dan xν′ hanya dibedakan oleh transformasi rotasi D2.

Bab 11

Elektrodinamika Relativistik

11.1 Persamaan Medan

Pada bab ini akan didiskusikan persoalan elektrodinamika relativistik. Seperti terlihat pada§ 10.5 dan § 10.6, berdasarkan Minkowski, setiap transformasi Lorentz dapat dimodifikasi menjaditransformasi ortogonal yang dinyatakan di dalam ruang-waktu kontinu 4D. Apa yang diperolehdari semua itu adalah bahwa semua hukum-hukum Fisika, seperti yang diramalkan oleh Einsteinsebelumnya, adalah invarian terhadap transformasi Lorentz, selama hukum tersebut dapat formu-lasikan dalam sistem koordinat 4D, baik melalui vektor 4D atau tensor 4D. Bahwa rumusan kembalipersamaan dasar elektrodinamika benar-benar dimungkinkan, telahpun terlihat pada akhir pem-bahasan bab 7.2. Dengan demikian telahpun dibuktikan bahwa persamaan dasar elektrodinamikaadalah invarian terhadap transformasi Lorentz.

Penulisan kembali persamaan dasar elektrodinamika memberikan dua dampak positif: (11.1.0)

• Pertama secara formal akan diperoleh persamaan dasar elektrodinamika yang lebih sederhanadan melalui simetrinya memberikan pengertian lebih jauh, dibanding dengan persamaan terse-but dalam 3D.

• Kedua, khususnya merupakan hal penting bagi kita, terdapat beberapa relasi antara besaran-besaran yang terdapat dalam teori Maxwell, yang sangat penting dan mengandung pengertianlebih dalam tentang fenomena elektromagnetik.

Sebagai pembuka, akan dirumuskan kembali semua pengertian yang terkandung di dalam for-mulasi ulang persamaan Maxwell dalam formalisme kovarian, yaitu dinyatakan dalam koordinatkartesian 4D:

(xν) = (x, y, z, c t), (xν) = (−x, −y, −z, c t) (11.1.2)

dan didapat pula tensor metrik fundamental sbb:

(gν µ) = (gν µ) =

−1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

. (11.1.3)

287

288 BAB 11. ELEKTRODINAMIKA RELATIVISTIK

Indeks ke ”‘bawah”’ dan ke ”atas” mempunyai arti pertukaran tanda untuk komponen-komponenν = 1, 2, 3, sementara untuk indeks ν = 4 tetap tidak mengalami perubahan.

Dalam pembahasan ini akan dibahas penulisan kembali persamaan Maxwell pada pers[7.1.4]

~∇ × ~H =∂ ~D∂ t

, ~∇ · ~D = % (11.1.4)

~∇ × ~E = −∂ ~B∂ t, ~∇ · ~B = 0,

juga persamaan kontinuitas, pers[7.1.5],

∂ %

∂ t+ ~∇ · ~g = 0, (11.1.5)

persamaan yang mendefinisikan medan dan potensial elektromagnetik, pers[7.1.8],

~B = ~∇ × ~A dan ~E = ~∇ϕ, (11.1.6)

serta konvensi Lorentz, pers[7.1.11], yaitu

~∇ · ~A +1c2

∂ϕ

∂ t= 0 (11.1.7)

untuk potensial yang bersangkutan dalam formalisme 4D.Persamaan kontinuitas, pers[11.1.5], dalam ruang-waktu 4D dapat dituliskan sebagai divergensi

kerapatan arus 4D:

(sν) = (gx, gy, gz, c %), (sν) = (−gx, −gy, −gz, c %) (11.1.8)

melalui persamaan: ∑ ∂ sν

∂ t= 0, (11.1.9)

yang dapat dibuktikakn memenuhi pers[11.1.5].Dengan cara analog, konvensi Lorentz pada pers[11.1.7] dapat ditulis dalam potensial 4D:

(Φν) = (Ax, Ay, Az, ϕ/c), (Φν) = (−Ax, −Ay, −Az, ϕ/c) (11.1.10)

sebagai divergensi potensial 4D di atas dalam bentuk:∑ ∂Φν

∂ xν= 0. (11.1.11)

Dalam hal ini patut pula diketahui bahwa konvensi Lorentz dalam menentukan potensial elek-tromagnetik tentunya terbatas dalam batasan formalisme relativistik, semetara konvensi Coulumb,pers[7.1.10], tidak invarian relativistik, sehingga tidak dapat dinyatakan dalam penulisan relativistik.

11.1. PERSAMAAN MEDAN 289

Melalui definisi potensial 4D pada pers[11.1.10] dengan mudah dapat diperoleh rumusan rela-tivistik 4D pers[11.1.6]. Sebagai contoh, berdasarkan pers[11.1.12], dapat diperoleh komponen medanmagnet dan medan listrik pada sumbu x sbb:

Bx =∂Az

∂ y−∂Ay

∂ z=∂Φ2

∂ x3 −∂Φ3

∂ x2 ,

Ex = −∂Ax

∂ y−∂ϕ

∂ x= c

(∂Φ1

∂ x4−∂Φ4

∂ x1

).

Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa ~E dan ~B dapat diringkas dalam satu tensor simetridiagonal 4D rank dua dalam komponen kovarian:

Fν µ =∂Φν∂ xµ

−∂Φµ

∂ xν. (11.1.12)

Hubungannya dengan komponen vektor ~B dan ~E dapat ditulis dalam bentuk matriks sbb:

(Fν µ) =

0 Bz −By Ex/c−Bz 0 Bx Ey/cBy −Bx 0 Ez/c−Ex/c −Ey/c −Ez/c 0

. (11.1.13)

(Fν µ) =

0 Bz −By −Ex/c−Bz 0 Bx −Ey/cBy −Bx 0 −Ez/c

Ex/c Ey/c Ez/c 0

.Dari pers[11.1.12] langsung diperoleh persamaan:

∂Fν µ∂ xλ

+∂Fµλ∂ xν

+∂Fλν∂ xµ

= 0, (11.1.14)

dengan ν, µ dan λ adalah indeks berharga mulai dari 1 hingga 4, tetapi ruas kanan karena simetri dariFν µ adalah tidak identik sama dengan nol jika ν, µ dan λ berbeda. Dari pers[11.1.14] diperoleh empatpersamaan, yaitu tiga daripadanya mengandung indeks (ν, µ, λ) tripel: (2, 3, 4), (3, 1, 4) dan (1, 2, 3)dan karena pers[11.1.13] didapat pula hukum induksi ~∇ × ~E = −∂ ~B/∂ t, tripel (1, 2, 3) memberikanrelasi ~∇ · ~B = 0.

Untuk merumuskan kemali pers[11.1.4], lakukan prosedur yang analog dengan pers[11.1.13],yaitu menentukakn tensor simetri dengan komponen-komponennya sbb:

(Hν µ) =

0 Hz −Hy cDx−Hz 0 Hx cDyHy −Hx 0 cDz−cDx −cDy −cDz 0

, (11.1.15)


(Hν µ) =

0 Hz −Hy −cDx−Hz 0 Hx −cDyHy −Hx 0 −cDz

cDx cDy cDz 0

.Secara sederhana dapat dibuktikan bahwa kedua persamaan di atasadalah sesuai dengan persamaan:∑ ∂Hν µ

∂ xµ= 0. (11.1.16)

Dalam sistem koordinat 4D penulisan persamaan tersebut menjadi lebih sederhana, di mana delapanpersamaan Maxwell pada pers[11.1.4] ditulis menjadi dua persamaan 4D, yaitu pers[11.1.14] danpers[11.4.15].

Selanjutnya persamaan Maxwell untuk ruang vakuum, dalam 4D ditulis lebih sederhana dalambentuk:

Fν µ = µHν µ, Fν µ = µHν µ, (11.1.17)

yang sekaligus menggambarkan komponen ruang ~B = µ ~H dan persamaan campuran yang men-gandung komponen ruang dan waktu: ~E/c = µ µ ~D, atau karena ε µ c2

= 1, ditulis dalam bentuk~E = εcirc ~D. Dalam hal ini persamaan diferensial untuk komponen potensial Φν dapat diturunkanpula secara sederhana melalui pers[11.4.15]. Berdasarkan pers[11.1.12] dan [11.1.17] diperoleh:

µ sν =∑µ

∑χ

∑λ

∂∂ xµ

(gν χ gνλ Fχλ)

=∑µ

∑χ

∑λ

gν χ gµλ∂

∂ xmu

(∂Φχ

∂ xλ−∂Φλ

∂ xχ

)

=∑µ

∑λ

gµλ∂2Φν

∂ xµ ∂ xλ−

∑χ

gν χ∂∂ xχ

∑χ

∂Φµ

∂ xµ

.Penjumlahan kedua pada ruas sebelah kanan lenyap karena konvensi Lorentz pers[11.1.11], semen-tara pernyataan dalam bentuk diferensial dari potensial pada suku penjumlahan pertama dapatditulis dalam operator Lapace 4D, yaitu:∑

µ

∑λ

gµλ∂2

∂ xµ ∂ xλ=

1c∂2

∂ t2 −∂2

∂ x2 −∂2

∂ y2 −∂2

∂ z2 = −. (11.1.18)

Maka diperoleh persamaan potensial dalam operator Laplace 4D sbb:

Φν = −µ sν, (11.1.19)

yang berdasarkan pers[11.1.8] dan [11.1.10] adalah analog dengan pers[11.1.13], khususnya untukkasus di ruang vakuum (~P = 0, ~M = 0).

Selanjutnya kembali pada pernyataan dalam bentuk matriks dari pers[11.1.13] dan [11.1.15], yaituberdasarkan persamaan tersebut ~E dan ~B, maupun ~D dan ~H tidak lagi saling bergantung satu sama


lain, melainkan masing-masing dapat diringkas dalam tensor sebagai satu kesatuan. Sebagai contohpada transformasi Lorentz komponen-komponen medan ~E dan ~B tidak mengalami perubahan satusama lain, melainkan ”‘tercampur”’. Pernyataan rumusan transformasi untuk masing-masing medandari sistem koordinat tanpa tanda aksen ke sistem koordinat dengan tanda aksen yang bergerak padaarah sumbu x adalah:

E′x = Ex, B′x = Bx,

E′y =(Ey − v Bz)√

1 − β2, B′y =

(By + v Ez/c2√

1 − β2(11.1.20)

E′z =(Ez + v By)√

1 − β2, B′z =

(Bz + v Ez/c2√

1 − β2

dan

D′x = Dx, H′x = Hx,

D′y =(Dy − v Hz/c2

)√1 − β2

, H′y =(Hy + v Dz√

1 − β2(11.1.21)

D′z =(Dz + v Hy/ccirc2)√

1 − β2, H′z =

(Hz + v Dz√1 − β2

.

Untuk kedua grup persamaan di atas masih perlu diperhatikan hal-hal sbb: (11.1.21)

Pertama-tama dengan mudah dapat dibuktikan dari pers[11.1.20], bahwa ~E ~B dan ~E2−c2~B2 adalah

invarian terhadap transformasi Lorentz dan bahwa harganya tidak berubah terhadap transformasidari sistem koordinat tanpa tanda aksen ke sistem koordinat dengan tanda aksen. Hal yang sama,dari pers[11.1.21], berlaku pula untuk relasi ~D ~H dan c2

~D2− ~H2. Kenyataan ini akan digunakan pada

pembahasan nantinya.Apabila di dalam sistem dengan tanda aksen yang diam terdapat sebuah muatan titik E, maka

berarti di sistem ini, yaitu pada muatan titik E bekerja gaya e ~E′ = e ~E. Gaya ini justru, menurutpers[11.1.20], adalah sama dengan gaya Lorentz di dalam sistem laboratorium: e(~E)+~v× ~B, jika sukurelativistik beta jauh lebih kecil dari 1. Terlihat bahwa gaya Lorentz, seperti halnya gaya yang dapatditurunkan dari konduktor yang dialiri arus di dalam medan magnet dan demikian pula halnyahukum induksi yang dapat dideduksir untuk kumparan yang diberi arus listrik dan digerakkan,untuk pertama kali muncul sebagai ”‘barang asing”’ dalam teori Maxwell dan karenanya dipandangsebagai pengalaman yang dapat dimengerti, karena langsung diturunkan dari rumusan transformasiteori relativitas.

Sebagai penutup akan dibahas kelakuan materi yang mengalami gerak, yaitu dengan menuliskanpersamaan-persamaan yang berhubungan dengan fenomena tersebut dalam bentuk vektor atautenssor 4D, yang tidak mengalami perubahan terhadap transformasi Lorentz. Telahpun diketahui,bahwa dalam kasus ini terdapat suatu sistem koordinat yang baik, yaitu sistem koordinat yang terikatbersama-sama dengan materi, sehingga karenanya semua besaran yang bersangkutpaut denganmateri tersebut, seperti konstanta dielektrik dan permeabilitas materi dalam sistem koordinat yangbaik ini hanya dapat didefinisi.


Terlihat bahwa persamaan transformasi sistem koordinat dengan tanda aksen adalah sebagaisistem koordinat yang baik ini dan semua besaran yang dinyatakan dalam sistem koordinat inidituliskan dengan indeks , maka semua persamaan yang berhubungan dengan polarisasi normalmateri ini ditulis sbb:

~D = ε ε ~E dan ~B = µµ ~H, (11.1.23)

atau berdasarkan pers[11.1.20] dan [11.1.21], jika ditulis dalam penulisan vektor:

~D + ~v ×~Hc2

= ε ε (~E × ~B), (11.1.24)

~B − ~v ×~Ec2

= µµ (~H − ~v × ~D).

Dengan menyelesaikan kedua vektor ~D dan ~H diperoleh persamaan sbb:

~D = ε ε ~E +ε(ε − 1/µ)

1 − β2~v ×

~B − ~v × ~Ec2

(11.1.25)

~H =~Bµµ

+ε(ε − 1/µ

1 − β2~v ×

~B + ~v × ~Ec2

,yang dapat dibuktikan apakah melalui perhitungan ulang secara langsung atau dengan substitusi kepers[11.1.24]. Di vakuum (ε = 1, µ = 1) tentunya diperoleh hubungan ~D = ε ~E dan ~B = µ ~H, yaitusesuai dengan pers[11.1.16].

Catatan: Perubahan satuan besaran-besaran elektromagnetik dari sistem SI ke sistem Gauss memer-lukan beberapa perubahan formalisme penulisan teori Maxwell. Untuk melihat bentuk perubahan-nya, pertama-tama kita mulai dari persamaan dasar teori Maxwell dan abaikan penulisan persamaandengan tanda ∗:

~∇ × ~H =1c∂ ~D∂ t+

4π~gc

, ~∇ · ~D = 4π% (11.1.3a)

~∇ × ~E = −1c∂ ~B∂ t, ~∇ · ~B = 0,

dengan persamaan kontinuitas:∂ %

∂ t+ ~∇ · ~g = 0, (11.1.4a)

untuk muatan dan selanjutnya persamaan potensial yang didefinisikan:

~B = ~∇ × ~A dan ~E = −1c∂ ~A∂ t

~∇ϕ, (11.1.5a)

dengan konvensi Lorentz:

~∇ · ~A +1c

∂ϕ

∂ t= 0. (11.1.6a)


Relasi-relasi di atas selanjutnya ditulis dalam koordinat ruang-waktu 4D berdasarkan pers[11.1.2]dengan tensor metrik pers[11.1.3] dengan cara sbb: (11.1.6a)

Persamaan yang mendefinisikan rumusan pada pers[11.1.8] untuk kerapatan arus 4D dan per-samaan kontinuitas yang berhubungan dengannya, pers[11.1.9], tidak mengalami perubahan. Sedan-gkan persamaan potensial, selain ditulis dalam bentuk seperti diberikan pada pers[11.1.10], dalamsistem Gauss berubah menjadi:

(Φν) = (Ax, Ay, Az, ϕ), (Φν) = (−Ax, −Ay, −Az, ϕ), (11.1.9a)

sedangkan pers[11.1.11] untuk konvensi Lorentz tidak mengalami perubahan. Selanjutnya per-samaan yang menghubungkan potensial dan besaran tensor medan Fν µ pada pers[11.1.12] dapatditulis kembali dalam satuan Gauss menjadi:

(Fν µ) =

0 Bz −By Ex−Bz 0 Bx EyBy −Bx 0 Ez−Ex −Ey −Ez 0

. (11.1.12a)

(Fν µ) =

0 Bz −By −Ex−Bz 0 Bx −EyBy −Bx 0 −EzEx Ey Ez 0

.Tentunya persamaan Maxwell, pers[11.1.14] karena pers[11.1.12], tidak berubah:

∂Fν µ∂ xλ

+∂Fµλ∂ xν

+∂Fλν∂ xµ

= 0, (11.1.13a)

Sedangkan bentuk tensor medan kedua dalam sistem Gauss berubah menjadi:

(Hν µ) =

0 Hz −Hy Dx−Hz 0 Hx DyHy −Hx 0 Dz−Dx −Dy −Dz 0

, (11.1.14a)

(Hν µ) =

0 Hz −Hy −Dx−Hz 0 Hx −DyHy −Hx 0 −DzDx Dy Dz 0

.dan memenuhi persamaan: ∑ ∂Hν µ

∂ xµ=

4π sν

c. (11.1.15a)


Dan tentunya di vakuum menjadi

Fν µ = Hν µ, Fν µ = Hν µ, (11.1.16a)

dan berlaku pula persamaan potensial sbb:

Φν = −4π sν

c. (11.1.18a)

Akhirnya rumus transformasi dari sistem koordinat tanpa tanda aksen ke sistem koordinat bertandaaksen, bergerak pada arah sumbu x dengan kecepatan v, atau analog dengan pers[11.1.20], berubahmenjadi:

E′x = Ex, B′x = Bx,

E′y =(Ey − βBz)√

1 − β2, B′y =

(By + βEz/c2√

1 − β2(11.1.19a)

E′z =(Ez + βBy)√

1 − β2, B′z =

(Bz + βEz/c2√

1 − β2,

demikian pula persamaan yang menghubungkan ~D dan ~H. Untuk materi yang dapat mengalamipolarisasi normal dan termagnetisasi diperoleh persamaan penghubung untuk sistek koordinat diam,yaitu:

~D = ε ~E dan ~B = µ ~H, (11.1.21a)

dan akhirnya selain pers[11.1.25], dalam sistem Gauss berlaku relasi:

~D = ε ~E +ε − 1/µ1 − β2

~vc×

~B − ~v × ~Ec2

(11.1.23a)

~H =~Bµ+ε − 1/µ1 − β2

~vc×

~B + ~v × ~Ec2

.11.2 Kerapatan Arus Empat Dimensi

Suatu pengamatan khusus tentang kerapatan arus 4D yang telah diberikan pada pers[11.4.15],didefinisi melalui pers[11.1.8] dan memenuhi persamaan kontinuitas, pers[11.1.9], serta ditulis dalamkomponen kovarian sν akan dibahas di sini secara lebih rinci.

Suatu kasus khusus untuk sebah muatan yang bergerak di dalam ruang tanpa materi, dalamsistem koordinat muatan yang diam (koordinat sesaat) diberikan dalam persamaan (dalam indeks ):

(sν) = (0, 0, 0, c %). (11.2.1)

Akan dipandang bagaimana vektor kerapatan arus mengalami perubahan dari sistem koordinatmuatan diam ke dalam sistem koordinat lain (tanpa tanda aksen), yaitu sistem laboratorium (labor),

11.2. KERAPATAN ARUS EMPAT DIMENSI 295

apabila muatan bergerak dengan kecepatan v = c β pada arah sumbu x positif. Berdasarkan per-samaan transformasi, pers[10.6.11] dan persamaan transformasi baliknya, yaitu dengan mengantikanβ menjadi −β, berlau persamaan sbb:

s1 =s1 0 + β s4 0√

1 − β2, s2 = 0 (11.2.2)

s3 = 0 s4 =s4 0 + β s1 0√

1 − β2=

c %√1 − β2

,

atau dengan menggunakan kecepatan yang diberikan pada pers[10.5.13] dengan komponen kon-travarian uν disingkat dalam bentuk:

sν = % uν. (11.2.3)

Relasi di atas dapat diartikan bahwa muatan, seperti halnya telah diramalkan, bergerak pada arahsumbu x dengan kecepatan v, dan bahwa muatan ini dalam sistem koordinat tersebut mempunyaikerapatan:

% =%√

1 − β2. (11.2.4)

Kerapatan muatan akan bertambah karena perubahan dari sistem koordinat muatan diam ke sistemkoordinat labor. Akan tetapi jumlah muatan di dalam kedua sistem adalah tetap sama; karenakotraksi Lorentz yang menyebabkan terjadinya perubahan panjang pada arah gerak, atau karenadV =dV

√1 − β2, berlaku

e =∫

%dV =∫

%√1 − β2

dV =∫

% dV = e, (11.2.5)

yang menyatakan bahwa jumlah muatan total sebuah partikel adalah invarian terhadap gerak rela-tivistik.

Selain itu pernyataan di atas juga berlaku untuk muatan total suatu sistem tertutup. Karena daripersamaan kontinuitas, pers[11.2.5], yang diintegrasi terhadap seluruh volume sistem diperoleh:

dd t

∫%dV = 0. (11.2.5a)

Berarti bahwa muatan total sistem adalah konstan terhadap waktu dan karenanya kasus pers[11.2.5]juga tidak berubah terhadap transformasi Lorentz.

Selanjutnya pandang kasus materi bergerak yang mengandung muatan %, berada di dalam sistemkoordinat diam dan mengalir kerapatan arus ~g:

(sν) = (gx, gy, gz , c %). (11.2.5f)

Untuk sistem koordinat sembarang (sistek koordinat labor), apabila muatan bergerak pada arahsumbu x dengan kecepatan v, di samping diperoleh kerapatan arus konduksi, terdapat pula kerapatanarus konveksi yang timbul karena kerapatan muatan % yang bergerak. Karenanya dibedakan antara


Gambar 11.1: Ilustrasi yang lebih jelas dari kerapatan muatan konduksi dari v. Laue dengan pertolongan garis semestauntuk ion positif (digambarkan dengan garis putus-putus) dan elektron dengan muatan negatif (garis miring tebal).

kerapatan arus karena konduksi (sν)L dan konvenksi (sν)K, yang penambahan keduanya merupakankerapatan arus total (sν).

Tentang kerapatan arus konveksi (sν)K tidak ada hal baru yang harus dijelaskan. Kerapatanarus ini sesuai atau tidak bertentangan dengan yang diberikan pada pers[11.2.1], maupun kerapatanarus bagian yang diberikan pada pers[11.2.2]. Untuk kerapatan arus konduksi (sν)L diperoleh daripersamaan

(sν)L = (gx, gy, gz , 0) (11.2.5g)

melalui transformasi Lorentz dari sistem koordinat diam materi ke sistem koordinat labor diperolehrelasi sbb:

(sν)1L =

s1 0 + β s4 0√1 − β2

=g0

x√1 − β2

, (11.2.5h)

(sν)2L = gy

(sν)3L = gz

(sν)4L =

s4 0 + β s1 0√1 − β2

=β g0

x√1 − β2

,

Hal yang mengejutkan adalah munculnya komponen keempat pada kerapatan arus konduksi. Kom-ponen ini mengandung arti bahwa setiap konduktor yang dialirkakn arus akan terdapat kerapatanmuatan tambahan yang besarnya sama dengan

%L =v gx√1 − β2

=v gL

c2

, (11.2.5i)


Gambar 11.2: Kerapatan muatan konduksi pada sebuah kawat berbentuk cincin yang bergerak.

juga apabila terdapat pengamat yang tidak dimuati.

Hasil ini merupakan akibat langsung dari definisi Einstein tentang kesamaan kejadian dan denganpenjelasannya dapat dijelaskan dengan memuaskan. Pandang misalnya sebuah batang diam yangdialiri arus listrik pada arah sepanjang batang. Ion-ion positif yang terdapat di dalam batang logamini berada dalam keadaan diam, sementara elektron bergerak pada arah berlawanan dari arah aruslistrik. Apabila garis semesta ion-ion digambarkan pada bidang x − c t (gbr[11.1]), garis-garissemesta ion dan elektron masing-masing digambarkan dengan garis putus-putus (garis paralel ⊥sumbu c t) dan garis tebal yang miring. Karena sifat netral dari batang logam dengan panjangtertentu, maka garis-garis semesta yang terdapat di tengah tentunya bermacam-macam. Jika garis-garis semesta ini dipandang dari sistem koodinat lain yang bergerak dengan sumbu O x dan O c t,maka diketahui pula bahwa pada setiap potongan sumbu x tidak akan pernah terdapat atau terletakion dan elektron sama banyak. Untuk gambaran yang diberikan pada gbr[11.1] terlihat bahwa setiap11 ion hanya, terdapat 10 elektron., sehingga pada sistem koordinat ini batang seolah bermuatanpositif.

Selanjutnya sebagai ilustrasi, perhatikan pula sebuah kawat berbentuk cincin (diameter cincinq) yang dialiri arus sebesar Icirc dan cincin terletak pada bidang x − y (lihat gbr[11.2]). Jika cincinini bergerak dengan kecepatan v pada arah sumbu x, maka berdasarkan hasil yang diperlihatkandi atas, pada bagian setengah cincin yang disimbolkan dengan huruf A B C terdapat muatan positif,sedangkan pada setengah cincin lainnya (C D A) terdapat muatan negatif. Dalam hal ini tentunya,jumlah total muatan keseluruhannya harus sama dengan nol, karena cincin logam ini tidak bermuatanpada keadaan diam. Dalam kasus cincin logam bergerak seperti ini, karena mengalir arus I padacincin tentu saja terdapat momen dipol magnetik ~m pada arah sumbu z, yang besarnya m = I, f danmomen dipol listrik ~P yang arahnya tegak lurus terhadap arah kecepatan v dan tegak lurus terhadapsumbu di mana arus mengalir, yaitu hanya mengandung komponen y saja. Berdasarkan pers[11.2.5i]


diketahui hubungan:

p =∫

%L y dV = −1c2

2π∫0

v gL sin ϕ · a sin ϕ · q a dϕ = −v I a2 π

c2

.

sehingga secara keseluruhannya diperoleh

~P =~v × ~m

c2

. (11.2.5j)

Pers[11.2.5j] ini akan dilihat kembali pada bab 11.3 nantinya dan akan diketahui pula bahwa dengansetiap momen dipol magnetik ~m yang bergerak, jarang terdapat momen dipol listrik seperti relasiyang diberikan pada pers[11.2.5j].

Efek ini secara terpisah dapat pula dipandang terjadi pada sebuah atom dengan lintasan elektronyang mengelilingi intinya berbentuk lingkaran. Lintasan elektron dalam sistem koordinat diammisalkan diberikan menurut persamaan sbb:

x′ = a cos ω (t′ − t), y′ = a sin ω (t′ − t), z′ = 0. (11.2.5k)

Dalam contoh ini lintasan elektron yang berbentuk lingkaran dianggap berada pada bidang x′−y′,dengan jari-jari a dan frekuensi sudutω. Proyeksi garis semesta elektron digambarkan pada gbr[11.3]berada pada bidang x′ − c t′. Sumbu y′ haruslah dibayangkan terletak tegak lurus terhadap bidanggambar. Titik-titik yang digambarkan pada gbr[11.3]: 0′, 1′, 2′ · · · adalah tempat-tempat yang dilaluielektron melalui bidang x′ − c t′, yaitu pada posisi y′ = 0. Proyeksi titik-titik ini pada sumbu c t′

tentunya mempunyai jarak yang sama satu sama lain, berarti bahwa elektron berada sama lamanyadalam daerah y′ positif dan negatif dan harga rata-rata terhadap waktu dari y′ adalah sama dengannol.

Kemudian pandang untuk kasus di mana atom bergerak di dalam sistem dengan kecepatan v padaarah sumbu x, maka hal ini berarti bahwa, mirip seperti diilustrasikan pada gbr[10.5], merupakanperubahan sistem ke koordinat baru yang membentuk sudutϕ = arctan β terhadap sumbu koordinatlama. Dalam hal ini koordinat y tidak mengalami perubahan, titik-titik 0′, 1′, 2′ · · · juga merupakantitik-titik yang dilalui elektron pada bidang x′ − c t. Waktu mengalami perubahan dalam hal ini,seperti terlihat pada proyeksi titik-titik 1, 2, · · · pada sumbu c t. Untuk lintasan 2 dan 3 elektronmemerlukan waktu lebih lama dibanding untuk lintasan 1 dan 2. Jika elektron berada pada daerahy > 0, maka harga rata-rata y akan berharga negatif. Munculnya harga rata-rata y yang tidak samadengan nol sama artinya dengan munculnya sebuah momen dipol: yaitu berharga sama denganp = −e y dan arahnya adalah pada sumbu y dan tegak lurus arah gerak.

Harga rata-rata y dapat dengan mudah dicari, yaitu dengan mengerjakan persamaan gerak padapers[11.2.5k] dengan transformasi Lorentz pada pers[10.3.9]. Dengan demikian diperoleh hubunganantara t dan t′

t =t′ + v x′/c√

1 − β2=

t′ + (v a′/c) cos ω t′√1 − β2

karenanyadtdt′=

1 − (ω v a/c2) sin ω t′√

1 − β2,


Gambar 11.3: Pengamatan gerak lingkaran (pers[11.2.11]) dalam dua sistem koordinat yang saling bergerak.


dan untuk harga rata-rata y dalam sistem koordinat baru, karena y = y′ = a sin ω t′ pada saat satuperiode T′ = 2π/ω, yaitu T = 2π/ω

√1 − β2:

y =1T

∫y dt =

1T

∫y

d td t′

d t′ = −ω v a2

2 c2

.

Dengan multiplikasi dengan muatan diperoleh momen dipol listrik dari atom yang bergerak, yaitu p =−e y = eω v a2/2 c1

. Momen dipol magnetik yang timbul akibat gerak melingkar pada pers[11.2.5k]adalah sama dengan mz = m = I f = eω a2/2, sehingga akhirnya diperoleh:

py = −v mz

c2

dan ~P =~v × ~m

c2

,

yaitu sesuai dengan persamaan yang diberikan pada pers[11.2.5j].Akhirnya harus pula dicari persamaan yang menghubungkan arus konduksi dan besaran medan

yang terdapat di dalam konduktor bergerak, yaitu dengan pertolongan hukum Ohm dari sistemkoordinat konduktor yang diam ke sistem koordinat labor. Di sistem koordinat diam berlaku relasiyang sama seperti telah diketahui sebelumnya, yaitu:

gL = σE. (11.2.5l)

Di sistem labor, di mana konduktor bergerak dengan kecepatan v pada arah sumbu x, berdasarkanpers[11.2.5h] dan [11.1.20] dan relasi ~E′ = ~E, berlaku persamaan:

gL =σ√

1 − β2(~E + ~v × ~B). (11.2.5m)

Persamaan ini dapat dipakai dengan menggunakan vektor kecepatan 4D yang diberikan padapers[11.1.8] dan [11.1.13] yang juga akan menghasilkan empat persamaan dalam komponen kon-travarian sbb:

sνL = σ∑

uµ Fµ ν. (11.2.5n)

Tiga komponen pertama pers[11.2.5n] memenuhi tiga komponen pers[11.2.5m], sementara komponenkeempat c %L = σ (~v ~E)/c

√1 − β2, atau dengan perkataan lain, berdasarkan pers[11.2.5m] adalah

sama dengan ~v~gL/c. Karenanya diperoleh kembali kerapatan muatan konduksi seperti diberikanpada pers[11.2.5i].

Catatan: Dalam merubah ke satuan Gauss secara formal faktor c pada penyebut pers[11.2.5j] akanlenyap, karena momen dipol magnetik untuk sistem satuan Gauss ditulis dalam bentuk ~m∗ = I∗~f/c,sedangkan dalam sistem SI ~m = I~f.

11.3. TENSOR MOMEN MAGNETISASI 301

11.3 Tensor Momen Magnetisasi

Pada penutup § 11.1 telah diberikan persamaan penghubungan antara besaran ~D dan ~H denganbesaran medan ~E dan ~B yang diturunkan untuk kasus, bahwa sifat-sifat materi dapat dinyatakandalam konstanta ε dan µ. Akan tetapi sifat-sifat materi demikian tidak berlaku umum, sehinggaseharusnyalah dikembalikan ke persamaan asal sbb:

~D = ε ~E + ~P, ~B = µ (~H + ~M). (11.3.5a)

Dalam pembahasan ini akan dicoba untuk memformulasikan penulisan persamaan penghubung inidalam vektor 4D.

Diharapkan bahwa kedua persamaan vektor di atas dapat diringkas ke dalam relasi:

Fν µ = µ (Hν µ +Mν µ), atau Fν µ = µ (Hν µ +Mν µ) (11.3.5b)

yang berhubungan dengan komponen kedua tensor simetri diagonal dari medan pers[11.1.13]dan [11.1.15], dengan mendefinisikan tensor momen magnetisasi yang ditulis dalam komponen-komponennya sbb:

(Mν µ) =

0 Mz −My −c Px−Mz 0 Mx −c PyMy −Mx 0 −c Pz

c Px c Py c Pz 0

. (11.3.5c)

(Mν µ) =

0 Mz −My c Px−Mz 0 Mx c PyMy −Mx 0 c Pz−c Px −c Py −c Pz 0

.Untuk komponen-komponen ruang murni dari pers[11.3.5b] pernyataan ini sekaligus merupakanpembuktian. Karena relasi ε µ c2

= 1, maka tentunya berlaku pula untuk komponen-komponencampuran. Eliminasi ke dalam persamaan Maxwell, yaitu pers[11.4.15], dan dari relasi pers[11.3.5b]yang mengadung komponen Hν µ, yaitu komponen dari ~H dan ~D, maka diperoleh persaman:

∑ ∂Fν µ

∂ xµ= µ

sν +∑ ∂Mν µ

∂ xµ

. (11.3.5d)

Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa persamaan ini adalah sesuai dengan persamaan baris per-tama pada pers[7.1.7]. Karenanya selain muncul kerapatan arus konduksi dan konvensi yang salingditambahkan, terdapat pula kerapatan arus keempat, dengan komponen ruang darinya dinyatakanbersama-sama dengan ~gP = ∂P/∂ t dan ~gM = ~∇ × ~M yang berasal dari arus polarisasi dan konduksi,sementara komponen waktu dari %P = −~∇ · ~P dari muatan polarisasi akan muncul jika %M samadengan nol.


Pada transformasi Lorentz dari sistem koordinat tanpa tanda aksen ke sistem koordinat aksenyang bergerak dengan kecepatan v pada arah sumbu x, ~P dan ~M mengalami perubahan sesuai denganpers[11.3.5c] dan pers[10.6.14] menurut persamaan:

P′x = Px, M′x = Mx,

P′y =(Py + v Mz/c2

)√1 − β2

, M′y =(My − v Pz)√

1 − β2(11.3.5e)

P′z =Pz − v My/c2

√1 − β2

, M′z =Mz + v Py√

1 − β2.

Identifikasikan kembali sistem koordinat aksen, seperti terdahulu, dengan sistem materi diam dansubstitusikan faktor

√1 − β2 dengan 1, yang dapat digunakan untuk pendekatan jika kecepatan

materi tidak begitu besar relatif terhadap kecepatan sistem labor, maka dari pers[11.3.5e] diperoleh:Rumusan ini mengandung hubungan khusus antara vektor ~P dan ~M: (11.3.5e)

Sebuah benda yang terpolarisasi, berada dalam keadaan diam, tetapi tidak termagnetisasi ( ~M =0) terlihat oleh seorang pengamat yang bergerak mengalami magnetisasi pula. Bagi pengamatdemikian, juga untuk benda yang tidak mengalami magnetisasi harga B/µ dan H tidak lagi identik,melainkan dibedakan dengan adanya faktor magnetisasi tambahan −~v × ~P. Integrasikan terhadapdaerah yang sempit, di mana terdapat momen dipol listrik ~P, sehingga memberikan momen dipolmagnetik tambahan

~m = −~v × ~P. (11.3.5g)

Rumusan ini dapat dimengerti secara langsung jika dipandang bahwa~P adalah persis seperti momendipol listrik sebenarnya yang terdiri dari muatan +E dan −E yang dipisahkan oleh jarak ~s, adalah~P = e~s dan hitung sumbangan arus untuk kedua muatan ybs., dan karena gerak momen dipol~P (kecepatannya adalah ~v). Momen magnet yang timbul ~m dapat ditulis sebagai I~f, dengan ~fadalah luas permukaan yang dibentuk dipol pada waktu τ atau sama dengan ~s × ~v τ, sementara Iberhubungan dengan E sebagai e = I τ. Maka dipoleh momen dipol magnet sbb: ~m = e~s×~v = −~v×~P,yaitu persis sama dengan pers[11.3.5g].

Sekarang perhatikan sebuah benda yang pada sistem koordinta diam tidak mengalami polarisasi(~P = 0), akan tetapi terdapat momen magnetisasi ~M, yaitu misalnya karena magnet permanen yangdigerakkan. Dalam hal ini pers[11.3.6a] dan [11.3.6b] memberikan pengertian baru yang di dalamelektrodinamika klasik dan teori elektron tidak ditemukan, yaitu suatu polarisasi:

~P = ~v ×~Mc, (11.3.5h)

dan jika persamaan ini diintegrasi terhadap suatu volume yang kecil, akan didapat kembalipers[11.2.5j]. Terlihat bahwa pers[11.3.5h] dan [11.2.5j] merupakan hasil yang diperoleh dari teorirelativitas dan untuk pertama kalinya dapat dijelaskan dengan menggunakan pengertian waktu.

Selanjutnya harus pula diyakini bahwa ciri efek relativistik ini tidak dapat diamati karena terlalukecil. Kenyataannya di bidang teknik efek ini sejak lama dikenal sebagai induksi unipolar dan prinsipini digunakan untuk membangun mesin unipolar, yaitu suatu mesin yang dapat menimbulkan kuat


Gambar 11.4: Skema mesin unipolar.

arus relatif besar. Hanya saja di dalam literatur teknik prinsip ini tidak dapat dijelaskan dengan baik,tetapi dengan menggunakan pers[11.3.5h] prinsip ini dapat diterangkan sebagai efek relativistik.Apakah pendapat ini benar, akan didiskusikan kasus sbb: (11.3.5h)

Sebelumnya perlu dijelaskan prinsip dari mesin induksi unipolar terlebih dahulu, dan beberapapenjelasan tentang fungsi mesin ybs. Mesin seperti ini terdiri dari sebuah selinder besi yang da-pat dirotasi melalui sumbu selinder dengan kecepatan ω dan akan mengalami magnetisasi paralelterhadap sumbunya (lihat gbr[11.4])

Dengan pertolongan kontak putar A (pada sumbu) dan B (di ekuator) dapat dialirkan arus darimesin tersebut, dengan GGL yang diperoleh dari hukum induksi dapat dihitung melalui persamaansbb: ∮

~E · d~s = −dd t

∫Bn d f . (11.3.5j)

Dari bagian di dalam besi yang diintegrasi dan ikut mengalami rotasi pada saat dt, yaitu bagian yangbergeser dari A B C D ke A B B′ C′A, dapat dihitung pertambahan fluks magnetisasi dalam waktu dtyang melalui permukaan luas besi A C B B′ C′A. Maka diperoleh GGL sebesar:

V(e) = −

∫~B (~v × d~s) = −

∫(~B × ~v) d~s, (11.3.5k)

dengan jalannya integrasi adalah dari B melalui C dan berakhir di A di permukaan meridian dan~v adalah kecepatan dari elemen materi yang diintegrasi. Kenyataannya penyelesaian integrasipers[11.3.5k] adalah sama dengan GGL yang diukur secara eksperimen.


Untuk mencari perbedaan potensial antara A dan B, digunakan analogi dengan elektron bebas didalam logam. Karena persoalannya sekarang berhubungan dengan sebatang logam yang digerakkandengan kecepatan ~v, maka pada pada elektron di dalam logam akan terdapat gaya Lorentz e~v × ~B.Kesetimbangan akan terjadi jika gaya ini, yang besarnya sama di setiap tempat di dalam logam,dikompensasikan oleh medan ~E = −~v × ~B. Antara titik A dan B haruslah terdapat perbedaanpotensial sebesar:

V(e) = ϕA − ϕB = −

∫BCA

~E · d~s =∫

BCA

(~v × ~B) d~s −∫

BCA

(~B × ~v) d~s

yaitu sama dengan persamaan yang diberikan pada pers[11.3.5k].Prosedur perhitungan tegangan pada mesin unipolar tentunya tidak lagi dipertanyakan, demikian

pula pada magnet yang dirotasikan, tentunya juga prosedur perhitungan tersebut dapat digunakanuntuk kasus batang besi ringan yang mengalami gerak translasi dapat digunakan untuk membuk-tikan kebenaran pers[11.3.5h]. Misalkan terdapat sebuah batang besi dengan penampang lintangberbentuk segiempat, dengan sumbu batang berada pada arah sumbu x dan mengalami magnetisasipada arah sumbu y (gbr[??]). Jika batang tersebut bergerak dengan kecepatan v pada arah sumbu x,maka batang tersebut dapat dianggap sebagai mesin unipolar dengan A dan B adalah kontak gesermesin ybs. Antara kedua kontak tersebut haruslah, seperti halnya susunan alat yang diilustrasikangbr[11.4], terdapat tegangan sebesar:

V(e) = −

∫~B (~v × d~s) = −v

∫Byd s. (11.3.5l)

Selanjutnya akan dicari medan listrik ~E di sekitar batang yang digerakkan. Akan dibuktikanbahwa medan listrik tersebut adalah sesuai dengan persamaan sbb:

~E = −~v × ~B, (11.3.5m)

sehingga tegangan V(e) yang diberikan pada pers[11.3.5l] dapat dimengerti keberadaannya. Tentunyarelasi di atas diperoleh langsung dari pers[11.1.10], yaitu transformas Lorentz untuk kasus, bahwa didalam sistem koordinat aksen, juga di sistem koordinat diam batang berlaku ~E′ = ~E = 0. Ternyata halini diperoleh tidak dengan menggunakan transformasi Lorentz secara langsung, melainkan hanyaakan ditunjukkan bahwa rumusan seperti itu dapat diperoleh dari pers[11.3.5h], tanpa menggunakantransformasi Lorentz.

Literatur yang menjelaskan relasi pada pers[11.3.5m] dan menghubungkannya dengan rumusansederhana efek relativistik pada umumnya adalah sangat jarang, khususnya yang menghubungkanbahwa muatan diam E dari batang yang bergerak akam mengalami gaya yang sama untuk kasus dimana batang diam dan muatan bergerak dengan kecepatan −~v; dalam kasus demikian gaya Lorentzditulis dalam bentuk −e (~v × ~B), yaitu sesuai seperti yang diberikan pada pers[11.3.5m].

Dikatakan bahwa pengaruh gaya harus berlaku sama, apakah muatan bergerak terpengaruh garisgaya atau garis-garis gaya bergerak mempengaruhi muatan. Dalam kasus terakhir ini dipandangbahwa garis-garis gaya dari batang magnet yang digerakkan, seolah padanya terdapat pendorong.


Gambar 11.5: Induksi unipolar susunan peralatan yang mengalami gerak translasi. Polarisasi listrik suatu magnet yangdigerakkan.

Penjelasan semacam ini adalah kurang dapat dihubungkan dengan teori medan. Karena medan~B yang ada di tempat di mana elektron timbul, adalah konstan terhadap waktu, sehingga denganpengukuran ~B di lingkungan bermuatan tidak akan memberikan informasi yang diharapkan, yaituapakah batang berada dalam keadaan diam atau digerakkan. Karenanya penjelasan tentang adanyamedan ~E seperti yang dijelaskan di atas, tetap tidak memberikan jawaban yang memuaskan.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa medan listrik yang diberikan pada pers[11.3.5m] adalahmerupakan sifat alamiah elektrostatik, yaitu berhubungan dengan polarisasi yang terjadi dari bahantermagnetisasi, seperti diberikan pada pers[11.3.5h]. Polarisasi yang terjadi pada batang, sepertidiilustrasikan pada gbr[11.5] mengarah sedemikian, sehingga pada permukaan depan batang akanterdapat muatan positif, sedangkan permukaan belakang bermuatan negatif. Muatan polarisasi inijustru menimbulkan medan listrik ~E seperti diberikan pers[11.3.5m].

Untuk memudahkan pembuktian ini dianggap bahwa ~P dan ~M merupakan fungsi tempat yangkontinu, yaitu dengan membayangkan adanya permukaan transisi yang memisahkan peristiwa kon-tinu. Setiap vektor medan tiga dimensi dapat dibayangkan dengan jelas muncul dari sumber danbebas ”‘pusaran”’, sehingga cukuplah hanya ditunjukkan bahwa persamaan medan listrik yangdiberikan pada pers[11.3.5m] adalah memenuhi persamaan berikut:

~∇ · ~E =%P

ε= −

~∇ · ~Pε

dan ~∇ × ~E = 0, (11.3.5n)

yaitu jika ~P menggantikan pernyataan ~v × ~M/c2 dari pers[11.3.5h]. Karena ~v merupakan vektor

konstanta, maka dari ~∇ · ~E dapat dapat dicari dengan perhitungan vektor sbb:

~∇ · (~v × ~M) = µ ~v × ~M = µ ~v × ~B = −~∇ · (~v × ~B) (11.3.5o)


Dalam hal ini berlaku ~B = µ (~H + ~M) dan ~∇ × ~H = 0. Karenanya divergensi dari pers[11.3.5m] daripersamaan pertama pers[11.3.5n] dapat diketahui. Sehubungan dengan ini diperoleh pula ~∇× ~E daripers[11.3.5m]:

~∇ × ~E) = ~∇ (~v × ~B) = ~v ~∇ · ~B + (~v ~∇) ~B; (11.3.5p)

persamaan di atas mempunyai harga sama dengan nol, yang tidak lain sesuai dengan pers[11.3.5n],selain itu berlaku pula bahwa ~∇ · ~B = 0, di samping itu untuk kasus jika panjang batang mempunyaisangat panjang, maka ~B batang tidak lagi bergantung pada x, karenanya (~v ~∇) ~B = ~v ∂ ~B/∂ x = 0.

Selain itu perlu pula diketahui bahwa pers[11.3.5m] tetap benar adanya, jika tidak menggunakanbatang magnet berbentuk segiempat seperti di atas, melainkan magnet berbentuk sembarang yang jugabergerak dengan kecepatan ~v. Dengan demikian medan ~E tidak lagi bebas ”pusaran”. Selanjutnyaberdasarkan pers[11.3.5p] berlaku pula persamaan:

~v ~∇ × ~E = (~v ~∇) ~B.

Akan tetapi bagi seorang pengamat yang ikut bergerak perubahan total ~B, yaitu ∂ ~B/∂ t + (~v ~∇) ~Badalah sama dengan nol, sehingga ~∇ × ~E = ∂ ~B/∂ t, persis sama seperti diharuskan menurut hukuminduksi. Tentunya medan listrik yang diberikan pada pers[11.3.5m] juga terdapat di dalam batang;akan tetapi pengaruhnya akan dikompensasikan oleh gaya Lorentz e~v × ~B dari elektron konduksiyang juga ikut bergerak.

Apa yang di bidang teknik sejak lama diketahui, di mana timbul medan listrik apabila magnetdigerakkan, pertama kali berhasil dijelaskan dengan baik melalui teori relativitas, pers[11.3.5h],selama teorinya dari mulai dijelaskan dengan teori relativitas.

Catatan: Dalam mengubah satuan SI ke dalam satuan Gauss, maka persamaan penghubung disamping pers[11.3.5a] dan [11.3.5b] didapat relasi sbb:

~D = ~E + 4π~P, ~B = ~H + 4π ~M (11.3.1a)

danFν µ = Hν µ + 4πMν µ, (11.3.2a)

dengan definisi tensor momen magnetisasi adalah

(Mν µ) =

0 Mz −My −Px−Mz 0 Mx −PyMy −Mx 0 −PzPx Py Pz 0

. (11.3.3a)

(Mν µ) =

0 Mz −My Px−Mz 0 Mx PyMy −Mx 0 Pz−Px −Py −Pz 0

.

11.4. KERAPATAN GAYA DAN TENSOR ENERGI-MOMENTUM 307

Maka berlaku pula rumus transformasi:

P′x = Px, M′x = Mx,

P′y =(Py + βMz)√

1 − β2, M′y =

(My − βPz)√1 − β2

(11.3.5a)

P′z =Pz − βMy√

1 − β2, M′z =

Mz + βPy√1 − β2

.

Khususnya untuk benda diam yang tidak mengalami magnetisasi ( ~M = 0) di dalam sistem laborberlaku persamaan sbb:

~M = −~v ×~Pc. (11.3.6a)

sementara untuk benda tidak mengalami polarisasi di dalam koordinat diam (~P = 0):

~P = ~v ×~Mc. (11.3.8a)

Dalam satuan ini pers[11.3.5m] dapat ditulis kemabi dalam bentuk:

~E = −~v ×~Bc. (11.3.12a)

11.4 Kerapatan Gaya dan Tensor Energi-Momentum Gelombang Elektro-magnetik di Vakuum

Kerapatan gaya yang bekerja pada muatan (kerapatan %) di dalam ruang terbatas dan bergerakdengan kecepatan ~v dalam teori elektron L diberikan sbb:

~k = % (~E + ~v × ~B). (11.4.1)

Selanjutnya akan dicoba vektor yang ditulis dalam ruang 3D ini, melalui penambahan kompo-nen besaran vektor keempat menjadi vektor 4D di dalam ruang-waktu kontinu. Dalam penulisannantinya kerapatan % dan kerapatan arus %~v = ~g dinyatakan dalam sµ atau sµ, seperti diberikan padapers[11.1.8] dan sehubungan dengan pernyataan tersebut dikalikan dengan tensor Fν µ atau Fν µ darimedan (~E, ~B) berdasarkan pers[11.1.13]. Bentuk vektor 4D dengan komponen

f ν =∑

sµ Fν µ, atau fν =∑

sµ Fν µ, (11.4.2)

maka terlihat bahwa tiga komponen pertama dari ( f ν) sesuai dengan tiga komponen ~k. Untukkomponen keempat pers[11.4.2] didapat:

f 4 = ~g~Ec= %~v

~Ec=~v · ~k

c; (11.4.3)


persamaan ini menyatakan daya dari kerapatan gaya ~k dibagi 1/c. Karenanya penulisan vektor 4Ddari ~k yang ditulis dalam komponen-komponennya menjadi:

( f ν) =

kx, ky, kz,~v · ~k

c

, atau ( fν) =

−kx, −ky, −kz,~v · ~k

c

. (11.4.4)

Dan secara umum, berdasarkan pers[11.4.2], berlaku persamaan:∑sν f ν =

∑∑sν sµ Fν µ = 0, (11.4.5)

dengan Fν µ merupakan komponen dari tensor simetri diagonal dan sν sµ adalah tensor simetri.

Hingga pembahasan di sini telah dibahas kerapatan gaya ~k dan diketahui pula bahwa kerapatangaya ini merupakan bagian ruang dari vektor 4D ( f ν). Selanjutnya akan dicari gaya ~K, yang bekerjapada sejumlah muatan atau pada suatu volume tertentu. Berdasarkan definisi gaya ~K dapat diperolehdari melalui integrasi kerapatan gaya ~k terhadap volume di mana gaya bekerja:

~K =∫

~k dV. (11.4.6)

Misalnya merupakan gaya total yang bekerja pada sejumlah muatan di dalam ruang karena medanyang tidak begitu cepat berubah,

~K =∫

% (~E + ~v × ~B) dV = e (~E + ~v × ~B). (11.4.7)

Pennulisan gaya ~K ini selanjutnya tidak akan dibatasi dalam penulisan vektor 4D. Karena telahdiketahui bahwa ~k telah merupakan bagian ruang dari vektor tersebut; akan tetapi elemen volumedV adalah tidak invarian terhadap relativistik, seperti yang diharapkan dalam pembahasan di sini,melainkan elemen volume akan berubah jika ditransformasi dari suatu sistem koordinat ke koordinatlainnya, karena adanya kontraksi L dari dimensi panjangnya. Untuk itu patut diketahuibagaimana gaya ~K mengalami perubahan karena transformasi L.

Untuk menjawab pertanyaan ini, pandang kasus khusus di mana sistem koordinat diam meru-pakan sistem koordinat muatan dan di dalam sistem ini berlaku f 4′ = f 40 = 0. Dari persamaantransformasi, pers[10.6.11] diperoleh kerapatan gaya 4D, pers[11.4.4] sbb:

kx = kx√

1 − β2, ky = ky, kz = kz . (11.4.8)

Integrasikan ruas kiri dan kanan persamaan ini terhadap volume dan amati bahwa

d V = d V√

1 − β2. (11.4.9)


Maka diperoleh hubungan antara antara gaya ~K di dalam sistem koordinat labor dan ~K di dalamkoordinat diam sbb:

Kx = Kx , Ky = Ky√

1 − β2, Kz = Kz√

1 − β2. (11.4.10)

Untuk mendapatkan relasi yang sama, tentunya harus dipandang sistem yang mengandung muatan,di mana pada keadaan diam muatan mengalami gaya sebesar ~K = e ~E, sementara di dalam sistemkoordinat labor sesuai dengan ~K yang diberikan pada pers[11.4.7]. Sehingga diperoleh relasi langsungdari persamaan transformasi, pers[11.1.20], untuk medan elektromagnetik,

Ex = Ex , Ey = (Ey − v Bz)√

1 − β2, Ez = (Ez + v By)√

1 − β2. (11.4.11)

dengan mengalikannya dengan muatan e. Relasi pada pers[11.4.10] akan dibahas lebih rinci pada§ 12.

Hasil yang sama dari pengaruh gaya diperoleh untuk kasus yang mengandung dua muatanyang bergerak relatif terhadap muatan diam di dalam ruang vakuum. Sementara di dalam sistemkoordinat diam hanya terdapat gaya tolak menolak elektrostatik, maka pada sistem koordinat yangbergerak dengan kecepatan ~v pada arah sumbu x, selain gaya tolak menolak elektrostatik, terdapatpula gaya tarik magnetik yang menyebabkan pengurangan komponen gaya Ky dan Kz yang diberikanpada pers[11.4.10].

Pembahasan selanjutnya akan dicari bentuk penulisan 4D dari relasi kerapatan energi, momentumdan tegangan M yang telah dibahas pada § 7, dalam bentuk invariannya terhadap transformasiL. Bentuk penulisan demikian akan mempunyai makna dan mempunyai bentuk lebih seder-hana hanya untuk kasus ruang vakuum, karena untuk kasus terdapat materi, persoalannya menjadisangat kompleks, disebabkan adanya beberapa sistem koordinat. yaitu sistem koordinat diam daimateri, seperti telah diberikan oleh pers[11.1.25], dan untuk transformasi dalam sistem koordinatbergerak akan diperoleh rumusan yang lebih kompleks.

Sebaliknya dengan penulisan 4D ini sekaligus akan lebih mudah menjawab persoalan transfor-masi besaran di atas dari sistem koordinat diam ke sistem koordinat bergerak. Rumusan transfor-masi ini nantinya akan digunakan sebagai rumusan penting dalam membahas persoalan-persoalanmekanika relativistik.

Sebagai permulaan pembahasan lihat kembali relasi kerapatan gaya dalam medan elektromag-netik pada pers[11.4.2] dan akan ditunjukkan bahwa persamaan berikut:

f ν =∑µ

∂Tν µ

∂ xµ(11.4.12)

sebagai divergensi 4D dari tensor simetri rank dua. Untuk itu akan dicari relasi sµ =∑

gµλ sλ padapers[refp11.4.2] yang diperoleh dari sistem pers[11.4.15] dan diperoleh:

f ν =∑µ

∑λ

gµλ sλ Fµ ν =∑µ

∑λ

∑ν

gµλ sλ Fµ ν∂Hλκ

∂ xκ

=∑σ

∑λ

∑κ

gν σ Fλσ∂Hλκ

∂ xκ,


atau juga

f ν =∑κ

∂∂ xκ

∑σ

∑λ

gν σ Fλσ Hλκ−

∑σ

∑λ

∑κ

gν σ Hλκ ∂Fλσ∂ xκ

.Suku ruas kanan persamaan di atas yang mengandung penjumlahan terhadap indeks λ dan κ da-pat saling dipertukarkan dengan memandang kembali tensor simetri diagonal dari besaran medansehingga dirumuskan kembali dalam bentuk:∑

λ

∑κ

Hλκ ∂Fλσ∂ xκ

=12

∑λ

∑κ

Hλκ

(Hλκ ∂Fλσ

∂ xκ+Hκλ ∂Fκσ

∂ xλ

)=

12

∑λ

∑κ

Hλκ

(∂Fλσ∂ xκ

+∂Fσκ∂ xλ

).

Dalam hal ini suku terakhir dalam tanda kurung, berdasarkan pers[11.1.14] adalah sama dengan−∂Fkλ/∂ xσ = ∂Fλ k/∂ xσ, sehingga seluruh pernyataan di atas dapat ditulis hanya dalam bentuk:

=12

∑λ

∑κ

Hλκ ∂Fλκ∂ xκ

=14

∂∂ xσ

∑λ

∑κ

Hλκ Fλκ

;

dalam hal ini didapat kenyataan bahwa di vakuum berlaku relasi Fλ k = µHλ k (lihat pers[11.1.17]).Maka untuk f ν diperoleh persamaan sbb:

f ν =∑κ

∂∂ xσ

∑σ

∑λ

gν σ Fλσ Hλκ

− 14

∑σ

gµσ∂∂ xσ

∑σ

∑λ

Hλκ Fλκ

. (11.4.13)

Relasi ini sesuai dengan pers[11.4.12] jika (setelah dilakukan perubahan indeks penjumlahan) disub-stitusikan:

Tµ ν =∑λ

∑κ

gλκ Fκ ν Hλν−

gµ ν

4

∑λ

∑κ

Fλκ Hλκ. (11.4.14)

Tensor Tν µ disebut sebagai tensor energi-momentum dan akan digunakan nantinya adalah meru-pakan tensor simetri. Untuk mengerti arti dari tensor ini, akan ditulis komponen-komponennyaberdasarkan pers[11.1.13] dan [11.1.15] dalam vektor-vektor medan. Terlihat bahwa untuk sukukedua pers[11.4.14] berlaku:

−14

∑λ

∑κ

Fλκ Hλκ =12

(~E ~D − ~B ~H).

Dengan cara yang serupa, seperti dapat dilihat pada pers[7.4.6], berlaku pula

T1 1 = (Ex Dx − By Hy − Bz Hz) −12

(~E ~D − ~B ~H)

= Ex Dx + Bx Hx −12

(~E ~D + ~B ~H) = Tx x

T1 2 = Ey Dx + Bx Hy = Ex Dy + Bx Hy = Tx y,


selanjutnya berdasarkan pers[7.3.5] dan [7.4.11]

T1 4 =1c

(Ex Hy + Ey Hz) = −1c

(~E × ~H)x = −Sx

c= −

csx

dan terakhir berdasarkan definisi kerapatan energi pada § 7.3 didapat

T4 4 = −12

(~E ~D − ~B ~H) = −(uel + um) = −u.

Dengan demikian tensor energi-momentum di vakuum dapat ditulis secara lengkap sbb:

(Tν µ) =

Tx x Tx y Tx z −Sx/cTy x Ty y Ty z −Sy/cTz x Tz y Tz z −Sz/c−c/sx −c/sy −c/sz −u

, (11.4.15)

(Tν µ) =

Tx x Tx y Tx z Sx/cTy x Ty y Ty z Sy/cTz x Tz y Tz z Sz/c

c/sx c/sy c/sz −u

.Penjelesan yang telah dibuat di atas tentang komponen tensor 4D akan dijelaskan secara tun-

tas sekali lagi, yaitu dengan mengilustrasikannya menurut pengertian fisis yang terdapat padapers[11.4.12]. Untuk keperluan ini integrasikan pers[11.4.12] terhadap volume tertentu V, sehinggaakan diperoleh komponen koordinat waktu sbb:∫

f 4 dV =∫ (

∂T1 4

∂ x+∂T24

∂ y+∂T34

∂ z

)dV +

1c

dd t

∫T4 4 dV. (11.4.16)

Kalikan persamaan ini dengan c, maka pada ruas kanan diperoleh c f 4 = ~v · ~k adalah sebagaidaya total dari medan karena muatan yang terdapat di dalam volume V. Persamaan ini haruslahidentik dengan rumusan hukum kekekalan energi pada pers[7.3.4], khususnya untuk kasus di ruangvakuum, yaitu dengan

−dd t

∫u dV =

∫~v · ~k dV +

∮Sn d f . (11.4.17)

Hasil ini, seperti ditunjukkan pada pernyataan tensor pada pers[??], merupakan kasus yang dimak-sud.

Sesuai dengan hal tersebut di atas dari komponen pertama pers[11.4.12] diperoleh dengan meng-intgerasikannya terhadap volume V:∫

f 1 dV =∫ (

∂T1 1

∂ x+∂T21

∂ y+∂T31

∂ z

)dV +

1c

dd t

∫T4 1 dV. (11.4.18)


Pada ruas kanan persamaan ini, karena f 1 = kx, sebagai komponen x gaya ~K yang dihasilkan padasemua muatan yang terdapat di dalam volume V. Persamaan ini haruslah identik dengan komponenx dari pernyataan momentum pada pers[7.4.12], yang ditulis sebagai:

dd t

(~JK +~JS) =∮

Tn d f (11.4.19)

dengan ~K adalah sama dengan perubahan momentum ~JK setiap saat yang berhubungan denganpembawa massa. Dalam hal ini

∫T4 1 dV, hanya berbeda dengan faktor −c, berdasarkan pers[??]

mempunyai arti sebagai komponen momentum radiasi pada sumbu x yang terdapat di dalam volumeV, sehingga diketahui pula bahwa komponen x pers[11.4.19] tidak lain sama dengan pers[11.4.18].

Selama tidak terdapat muatan, maka kerapatan gaya yang tetap dan dinyatakan oleh pers[11.4.12]adalah sama dengan nol. Sebagai contoh pandang radiasi yang terpancarkan di dalam vakuum, yaituradiasi yang awalnya diemisikan oleh sumber cahaya. Maka tensor energi-momentum dalam seluruhdaerah yang terisi gelombang tersebut memenuhi persamaan sbb:∑ ∂Tν µ

∂ xµ= 0. (11.4.20)

Selanjutnya akan dibuktikan hubungan pernyataan berikut: (11.4.20)Misalkan sebuah tensor 4D dengan komponen Tν µ hanya dalam daerah tertentu di dalam ruang

tidak berharga sama dengan nol, dan di sini dianggpa pula bahwa pengertian yang terkandung didalam pers[11.4.20] adalah tanpa sumber di semua tempat. Maka batas integral dari seluruh ruangyang ada ∑

Tν µ dV (11.4.22)

mempunyai karakter sebagai komponen kontravarian suatu vektor 4D. Untuk kasus khusus daritensor elektrmagnetik (Tν µ) di atas, mempunyai arti bahwa c kali momentum total dan energi totalsuatu gelombang ”‘tertutup”’

c Jx = −

∫T1 4 dV, c Jy = −

∫T2 4 dV,

c Jz = −

∫T3 4 dV, U = −

∫T4 4 dV, (11.4.23)

apabila ditransformasikan ke koordinat bergerak mempunyai kelakuan seperti transformasi vektor4D.

Untuk membuktikannya, akan diturunkan rumusan pembantu sbb: (11.4.23)Misalkan (Aν) adalah vektor 4D dengan divergensinya sama dengan nol untuk semu tempat dan

mempunyai harga hanya dalam daerah volume V. Dari (Aν) yang bebas sumber diperoleh pula relasiG secara umum yang berlaku untuk ruang-waktu 4D:∫ ∑ ∂Aν

∂ xνdx1 dx2 dx3 dx4 =

∫(A)n d f = 0, (11.4.25)

11.5. GELOMBANG DATAR CAHAYA 313

dengan integrasi dibatasi terhadap semua ruang semesta 4D. Daerah ruang semesta yang dipilihdibatasi oleh dua ruang x4 =konstan dan x4′ =konstan, yaitu sebagai penampang lintang kesamaankejadian dari ”‘pipa dunia”’ yang diisi oleh medan yang dipancarkan, di mana kesamaan kejadianpertama bagi seorang pengamat di sistem koordinat tanpa aksen dan pengamat di sistem koordinataksen. Untuk daerah semesta khusus ini diperoleh ramalan dari rumus G sbb:∫

A4 dx1 dx2 dx3 =

∫A4′ dx1′ dx2′ dx3′ . (11.4.26)

Integral dengan batas ruang 3D, terhadap waktu dari komponen bebas sumber vektor 4D adalahinvarian terhadap transformasi L. Dengan pertolongan rumusan ini, rumusan yang diperolehdi atas dapat dibuktikan melalui cara sbb: (11.4.26)

Misalkan (pµ) adalah suatu vektor konstanta 4D sembarang (ruang dan waktu konstan). Kare-nanya dapat dibentuk sebuah vektor yang mempunyai komponen

∑pµ Tµ ν yang memenuhi semua

kondisi dari rumusan penolong di atas dan khususnya tanpa sumber jika Tµ ν memenuhi pers[11.4.20].Selanjutnya berdasarkan pers[11.4.26] besaran

∑pµ

∫Tµ 4 dV =

∑p′µ

∫Tµ 4′ dV′

adalah invarian terhadap transformasi. Karena (pµ) suatu vektor 4D sembarang, maka∫

Tµ 4 dV

haruslah komponen ke µ dari vektor 4D.

11.5 Gelombang Datar Cahaya

Dalam bab ini akan dicoba menjelaskan rambatan gelombang datar cahaya di vakuum denganmenggunakan rumusan elektrodinamika relativistik. Dalam pembahasan ini rumusan elektrodi-namika ini akan digunakan pada seluruh cabang optik, misalnya fenomena D, aberasi dan refleksipada cermin bergerak. Rumusan-rumusan ini dapat pula diformulasikan tanpa pengetahuan tentangefek relativitas, tetapi cukup hanya dengan menggunakan persamaan M, karena, seperti telahdiketahui, bahwa persamaan tersebut telahpun memenuhi postulasi relativitas. Penggunaan teorirelativitas sebenarnya lebih menyederhanakan persoalan yang dipandang, karena hanya menggu-nakan rumusan transformasi untuk mengubah besaran-besaran yang mengkarakterkan gelombangcahaya dari suatu sistem koordinat diam ke sistem koordinat bergerak lainnya. Untuk memulaipembahasan ini, pandang suatu gelombang cahaya, dikarakterkan oleh ~n ≡ (nx, ny, nz), terpolar-isasi linier dengan frekuensi ω, panjang gelombang λ di dalam sistem koordinat tanpa aksen, dalambentuk:

~E = ~E eiΦ, ~B = ~B eiΦ, (11.5.1)

dengan menyingkat

Φ = ω(t −

x nx + y ny + z nz

c

)(11.5.2)


sebagai fase dari gelombang yang bergerak dan dengan ~E dan ~B adalah amplitudo gelombang yangtegak lurus terhadap vektor ~n, atau ~B = ~n × ~E/c. Dalam sudut pandang sistem koordinat aksengelombang cahaya dinyatakan melalui persamaan sbb:

~E′ = ~E′ eiΦ′ , ~B′ = ~B′ eiΦ′ , (11.5.3)

dengan

Φ = ω′(t′ −

x′ n′x + y′ n′y + z′ n′zc

)(11.5.4)

sebagai fase gelombang dan dengan ampiltudo ~B′ = ~n′ × ~E′/c.Selanjutnya pandang transformasi fase. Fase haruslah invarian terhadap transformasi L;

karena ramalan yang mengatakan bahwa fase pada sebuah titik semesta adalah nol atau sama dengankelipatan 2π, maka dipastikan terdapat sebuah objek yang konstan tidak bergantung pada sistemkoordinat. Sehingga berlaku:

Φ = Φ′ (11.5.5)

berarti bahwa Φ haruslah berbentuk:

Φ =∑

gµ ν kµ nν =∑

kν xν =∑

kν xν, (11.5.5a)

sebagai hasil kali skalar dari vektor ruang 4D pers[11.1.2] dengan vektor rambat gelombang 4Ddapat ditulis sebagai:

(kν) =(ωnx

c,ωny

c,ωnz

c,ωc

)(11.5.6)

(kν) =(−ωnx

c, −ωny

c, −ωnz

c,ωc

).

Karenanya persamaan transformasi L yang diberikan pada pers[10.6.12] untuk komponenvektor rambat gelombang pers[11.5.6] haruslah berbentuk:

ω′ n′x = ωnx − β√1 − β2

ω′ n′y = ωny (11.5.7)

ω′ n′z = ωnz ω′ = ω1 − βnx√

1 − β2.

Rumusan ini dikenal sebagai efek D untuk perubahan frekuensi dari gelombang cahayayang diemisikan oleh sumber bergerak: Suatu sumber cahaya diam yang berada dalam sistemkoordinat aksen akan memancarkan cahaya ke segala arah, yaitu untuk semua ~n, dengan ω′ = ω.Frekuensi bagi seorang pengamat yang diam (sistem koordinat tanpa aksen) relatif terhadap sumbercahaya bergerak dengan kecepatan v pada arah sumbu x akan bergantung pada arah pengamatan ~n,atau lebih tepatnya cosinus nx, yaitu sudut antara arah pengamatan dan arah gerak. Relasi ini dapatdiperoleh secara langsung dari persamaan terakhir, pers[11.5.7]:

ω = ω

√1 − β2

1 − βnx. (11.5.8)


Apabila pemancar cahaya bergerak mendekati pengamat atau menjauhinya, maka berlaku relasinx = n′x = ±1, sehingga di dapat:

ω = ω f rac√

1 − β21 ∓ β = ω (1 ± β + · · ·) (11.5.8a)

Suatu ramalan baru akan diperoleh untuk kasus jika cahaya jatuh tegak lurus terhadap pengamat,atau nx = 0, sehingga berlaku:

ω = ω

√1 − β2. (11.5.8b)

Perubahan frekuensi pada efek D transversal, kebalikan dari efek longitudinal, adalah se-banding dengan β2 dan hanya mempunyai perbedaan yang kecil dari hasil eksperimen yang didapathingga saat ini.

Ramalan yang terkandung pada tiga persamaan pertama pers[11.5.7] tentang perubahan arahgelombang cahaya karena perubahan sistem koordinat ke koordinat lainnya akan diamati sebagaiaberasi cahaya yang berasal dari suatu bintang tetap yang diamati di bumi: Suatu bintang tetapyang praktis berjarak tak berhingga, dianggap diam pada sistem koordinat aksen dan mengirimkangelombang cahaya pada arah ~n = (0, 1, 0). Pada sistem koordinat tanpa aksen terdapat seorangpengamat di bumi dan misalkan bergerak relatif terhadap sistem koordinat aksen dengan kecepatanv pada arah sumbu x negatif. Dari pers[11.5.7] didapat relasi:

nx = β, ny =ω′

ω=

1 − βnx√1 − β2

, nz = 0. (11.5.9)

Bagi pengamat muka gelombang cahaya yang datang padanya akan dibelokkan dengan sudut α,sehingga berlaku:

tan α =nx

ny=

β√1 − β2

, dengan sin α = β. (11.5.10)

Adanya pembelokan muka gelombang cahaya secara langsung merupakan efek dari definisi ke-samaan kejadian (kejadian simultan) oleh E. Pada sistem koordinat aksen bidang fase, yaitubidang di mana fase Φ′ dalam waktu t′ mencapai harga tertentu, adalah bidang yang sejajar denganbidang x − x′. Bidang ini, yang secara objektif tidak bergantung pada sistem koordinat, dari sudutpandang sistem koordinat tanpa aksen tidak lagi merupakan bidang fase, karena fase Φ pada bidangini mempunyai harga yang sama untuk waktu yang berbeda; karena dua kejadian (dalam kasus yangdipandang bahwa kejadian bahwa fase pada suatu titik di dalam ruang mencapai harga tertentu),yang terjadi dalam sistem koordinat secara bersamaan, maka akan terjadi pada sistem koordinat lainpada saat yang berbeda.

Selanjutnya akan dipandang contoh penggunaan ketiga pers[11.5.7] adalah refleksi gelombang datarcahaya pada cermin bergerak yang merupakan salah satu cara untuk membuktikan penurunan termod-inamis hukum pergeseran W dari teori radiasi cahaya. Dengan cara sederhana daridua contohpenggunaan persamaan tranmsformasi pers[11.5.7] dengan mengamati kenyataan, bahwa hukumrefleksi normal berlaku untuk sistem koordinat diam cermin. Anggap bahwa cermin ditempatkantegak lurus terhadap sumbu x; cermin, relatif terhadap sistem koordinat tanpa aksen (sistem koor-dinat labor), bergerak dengan kecepatan v pada arah sumbu x positif. Pada sisi kiri cermin jatuhgelombang datar cahaya berfrekuensi ω, dengan arah rambatnya membentuk sudut ϑ terhadap


sumbu x. Maka cahaya yang direfleksikan, berfrekuensi ω dan membentuk sudut ϑ antara arahrambat dan sumbu x memenuhi relasi:

ω = ω1 − 2 β cos ϑ + β2

1 − β2 ≈ ω (1 − 2 β cos ϑ) (11.5.11)

cos ϑ = −cos ϑ − 2 β + β2 cos ϑ

1 − 2 β cos ϑ + β2 ≈ sin ϑ + 2 β sin2 ϑ

sin ϑ =(1 − β2) sin ϑ

1 − 2 β cos ϑ + β2 ≈ sin ϑ + 2 β sin ϑ cos ϑ;

rumusan pada ruas paling kiri persamaan di atas, yaitu harga pendekatan non relativistik berlakuuntuk β 1.

Sifat transformasi gelombang cahaya hingga pembahasan di sini hanya berhubungan denganinvarian fase terhadap transformasi L. Akan dipersoalkan apakah amplitudo gelombang ca-haya juga invarian terhadap transformasi L dari satu sistem koordinat ke sistem koordinatlainnya. Patokan utama untuk membahas persoalan ini adalah pesamaan M invarian ter-hadap transformasi relativistik untuk semua sistem koordinat dan bahwa gelombang cahaya yangmengandung vektor ~E dan c ~B saling tegak lurus dan berharga sama satu sama lain, adalah tidakmengalami perubahan. Hal ini secara matematis telahpun dibahas pada § 11.1, bahwa relasi ~E ~B dan~E2− c2~B2 adalah invarian terhadap transformasi; untuk gelombang yang sama, kedua harga relasi

tersebut mempunyai harga nol.Pembahasan secara rinci transformasi amplitudo, khususnya untuk kasus gelombang cahaya

datar, di mana baik vektor normal ~n, maupun ~E terletak pada bidang x− y, sedangkan vektor medanmagnet induksi ~B berada pada arah sumbu z. Apabila amplitudo disimbolkan dengan ~B, makavektor kuat medan gelombang cahaya yang ditulis pada pers[11.5.1] diberikan sbb:

~Bz = ~B eiΦ, ~Ex = −ny c ~B eiΦ, ~Ey = nx c ~B eiΦ, (11.5.12)

sementara komponen-komponen medan lainnya sama dengan nol. Persamaan medan di atas adalahberlaku untuk sistem koordinat tanpa aksen. Transformasi dari sistem koordinat tanpa aksen ke aksendari persamaan medan di atas dapat dicari dengan menggunakan pers[11.1.20], atau pers[11.5.12]berubah menjadi:

~B′ =1 − βnx√

1 − β2~B, n′x ~B

′ =

nx − β√1 − β2

~B, n′y ~B′ = ny ~B. (11.5.13)

Dari persamaan ini di satu sisi melalui pembagian pers[11.5.11] diperoleh pula persamaan transfor-masi sbb:

n′x =nx − β

1 − βnx, n′y =

ny√

1 − β2

1 − βny(11.5.14)

sebagai komponen vektor yang menyatakan arah vektor normal gelombang. Di lain pihak, jika dilihatpersamaan pertama pada pers[11.5.13] dan persamaan terakhir pers[11.5.11], vektor amplitudo Byang di transformasi, demikian pula ω, didapat relasi sbb:

Bω=

B′ω′. (11.5.15)


Selanjutnya akan dicari relasi dari energi total yang dibawa gelombang dalam suatu ruang tertentuyang melingkupi volume yang ikut bergerak:

U′ =12

∫(~E · ~D + ~B · ~H) dV =

∫~E · ~D dV. (11.5.16)

Akan dicari berapa besar U′ gelombang yang diamati dari sistem koordinat aksen. Transformasiamplitudo telahpun diketahui. Apa yang diperlukan untuk menghitung energi ini adalah hanyamenurunkan volume yang bergerak. Dalam hal ini terdapat kesulitan, karena volume bergerakdengan kecepatan cahaya, sehingga tidak dapat dinyatakan sebagai volume yang diam. Untukdapat mengatasi kesulitan tersebut, pandang suatu daerah tertentu di dalam ruang-waktu denganvolume diam V yang bergerak relatif terhadap sistem koordinat tanpa aksen dengan kecepatan uyang membentuk sudut ϑ terhadap sumbu x; maka dilihat dari sudut padangan demikian, diperolehvolume:

V = V√

1 −u2

c2

. (11.5.17a)

Demikian pula dalam sistem koordinat aksen, jika volume bergerak dengan kecepatan u′,

V′ = V√

1 −u2

c2

. (11.5.17b)

Hubungan antara u′ dan u dapat diperoleh dari § 10.4.3 yang membahas aturan penambahankecepatan:

u′ =

u2− 2 u v cos ϑ + v2

−

(u v/c2

)sin2 ϑ

1 − u v/c2 cos2 ϑ

2

sehingga diperoleh relasi √1 −

u′2

c2

=

√1 − u2/c2

√1 − v2/c2

1 − u v/c2 cos2 ϑ

.

Maka dari pers[10.5.17] relasi:

V′ = V

√1 − β2

1 −(β u

c

)cos ϑ

.

Dalam persamaan ini tidak dapat dibuat pendekatan untuk u → c dan karenanya bentuk terse-but merupakan bentuk akhir dari persamaan transformasi untuk volume yang bergerak dengankecepatan cahaya:

V′ = V

√1 − β2

1 − β cos ϑ= V

√1 − β2

1 − βnx. (11.5.18)

Bandingkan rumusan di atas dengan persamaan transformasi frekuensi dari pada pers[11.5.7], makaterlihat bahwa V mengalami transformasi sama dengan 1/ω, sehingga Vω adalah invarian terhadap


transformasi L. Dengan demikian dari pers[11.5.6] diketahui bahwa transformasi U haruslahsama seperti transformasi ω, sehingga diperoleh relasi:

Uω=

U′

ω′. (11.5.19)

Energi suatu gelombang yang diamati oleh beberapa pengamat adalah seperti yang diamati padapengamatan seperti di atas.

Hasil perhitungan di atas khususnya menarik perhatian dalam teori kuantum cahaya, yaitu padasaat cahaya berinteraksi dengan materi mempunyai kelakuan sedemikian, seolah cahaya terdiri darisatu kuantum cahaya dengan energi h ν = ~ω, dengan ~ = h/2π dan h adalah konstanta P.Misalkan suatu gelombang terdiri dari Z kuantum demikian, maka energi cahaya adalah samadengan U = Z hν. Invarian besaran U/ω mempunyai arti bahwa besaran Z h haruslah invarianterhadap transformasi. Dapat dikatakan pula bahwa Z adalah suatu bilangan yang secara alamiahinvarian pula h yang terdapat pada pers[11.5.19], juga invarian terhadap transformasi L.

Selain energi total gelombang, akan dipandang pula momentum total gelombang datar yang ditulissebagai:

J =∫

Js dV =1c2

∫~E × ~B dV =

~nc

∫~E · ~D dV =

~n Uc. (11.5.20)

Karenanya~J dan U/c dapat disingkat dalam satu vektor 4D dengan komponen-komponennya ditulisdengan menggunakan definisi vektor rambat gelombang (k)ν, yaitu:

Jν = KνUω. (11.5.21)

Hal yang perlu dicatat adalah bahwa karena ~n = 1 didapat∑

kν kν akan sama dengan nol. Demikianpula berlaku relasi

∑Jν Jν = 0 dan relasi ini adalah identik dengan J = U/c.

11.6 Radiasi Medan Sebuah Elektron Bergerak

Pemakaian khusus dari pembahasan energi-momentum yang terkandung di dalam gelombang,akan dipandang pancaran atau radiasi suatu elektron sembarang yang bergerak. Pada § 9.4 telahpundibahas bagaimana rasiasi gelombang elektromagnetik terjadi, yaitu di mana elektron justru padasaat mengemisikan gelombang berada diam keadaan diam dan sebagai perubahan energi terhadapwaktu U pada saat tersebut, misalkan berlaku relasi sbb:

d U

d t= −= = −

e2 v2

6πε c3

. (11.6.1)

Dan pada saat di mana emisi gelombang terjadi, radiasi pada arah ~n justru sama besarnya dengan−~n, sehingga momentum elektron ~J tidak akan dapat berubah pada saat tersebut, maka selainpers[11.6.1] berlaku pula persamaan sbb:

d~J

d t= 0. (11.6.2)

11.6. RADIASI MEDAN SEBUAH ELEKTRON BERGERAK 319

Selanjutnya dari hubungan yang diperoleh di atas, akan dicari energi dan momentum elektronyang hilang pada saat emisi terjadi, jika dianggap kecepatan elektron adalah ~v. Perhitungan inidapat dilakukan dengan mengubah rumusan untuk elektron yang berada dalam sistem koordinatdiam, pers[11.6.1] dan [11.6.2], berdasarkan pers[11.5.21], dalam bentuk vektor 4D dan rumusan yangdiperoleh ditransformasikan ke dalam sistem koordinat bergerak. Misalkan waktu eigen elektronadalah τ, −dU dan−d~J sebagai energi dan momentum elektron yang terdapat dalam bagian medanradiasi yang diemisikan pada saat dτ. Karena bagian dari medan radiasi tersebut merambat tidakbergantung dari medan-medan lainnya dan tidak pula mengalami interferensi dengan medan yangdi[ancarkan sebelum atau setelah radiasi ini, sehingga pagian radiasi ini dapat dipandang sebagai”‘gelombang tertutup”’. Untuk kasus ini, berdasarkan § 11.4. akan dibentuk momentum dan energivektor 4D dan dapat ditulis analog dengan pers[11.5.21] sebagai d~J ν. Karenanya kedua pers[11.6.1]dan [11.6.2] dapat diringkas dalam bentuk persamaan 4D dengan komponen-komponen

d~Jν

d τ= −

e2 v2

6πε c5

uν, (11.6.3)

yang pada keadaan diam (u1 = u2 = u3 = 0 dan u4 = c) dalam sistem pers[11.6.1] dan [11.6.2].Percepatan v untuk sistem koordinat diam telahpun diubah dalam sistem koordinat sembarang

v′. Untuk itu pandang kembali penurunan pada § 10.5. Pada bab tersebut percepatan dikenal sebagaivektor ruang, maka dengan menggunakan pers[10.5.17] dapat diperoleh relasi

~v2 =

∑bν b ν =

∑bν bν =

~v2− (~v × ~dotv)2/c2

(1 − β2)3 . (11.6.4)

Kemudian substitusikan persamaan ini ke dalam pers[11.6.3], maka akan didapat persamaan biasadengan menggantikan τ dengan t dengan pertimbangan t = dt

√1 − β2:

d Ud t= −

e2

6πε c3

~v2− (~v × ~v)2/c2

(1 − β2)3 ,d~Jd t= −

e2 ~v6πε c5

~v2− (~v × ~v)2/c2

(1 − β2)3 . (11.6.5)

Untuk kasus~v = 0 pada pers[9.4.12], dalam pembahasan di sini, seperti telah disebutkan sebelumnya,untuk elektron yang mengalami gerak, akan muncul faktor tambahan (1−β2 sin2 γ)/(1−β2)3, denganγ adalah sudut antara ~v dan ~dotv.

Akan dibahas secara singkat syarat tambahan dan dicoba pula memformulakannya secara rela-tivistik, di mana diferensiasi pada § 9.4 mempunyai bentuk rumit, yaitu prosedur adanya retardasi(redaman) yang dialami sebuah elektron yang pada saat t berada pada posisi ~r dan bergerak dalamwaktu t′ = t − |~r −~r′|/c. Prosedur ini adalah identik dengan pernyataan

~R2 =∑

Rν Rν = c2 (t − t′)2

− (~r −~r′)2 = 0, (11.6.6)

Rν adalah komponen vektor jarak dalam ruang-waktu 4D yang menyatakan jarak dari sumber ketitik pengamatan, atau ditulis dalam bentuk:

(Rν) = (x − x′, y − y′, z − z′, c(t − t′)). (11.6.7)


Pada § 9.4 telah dicoba mencari medan yang timbul karena sejumlah elektron bergerak secaralangsung melalui vektor 4D dan berhubungan dengan mencari penyelesaian persoalan yang ter-dapat pada § 11.1, khususnya persoalan yang berpangkal pada persamaan potensial (pers[11.1.19]),karenanya pembahasan dihadapkan pada rumusan matematik yang sukar: Inti dari penyelesaian un-tuk kasus 3D adalah menggunakan rumus G dengan penyelesaian dasar f = 1/r dari persamaanL ~∇2 f = 0., berlaku untuk semua harga ~r, selain ~r = 0. Fungsi yang analog dengan f untukpenyelesaian persamaan potensial ruang-waktu 4D adalah F = 1/R2 yang merupakan penyelesaianpersamaan F = 0, dengan (Rν) adalah vektor 4D dari jarak. Dengan menggunakan rumus Gdalam 4D, sebaliknya untuk kasus 3D, akan terdapat sumbangan yang sangat besar dari integrasipermukaan; karena potensial tidak sama dengan nol untuk t→∞, yaitu karena terdapatnya jumlahmuatan yang konstan di dalam ruang, sehingga dalam waktu yang sangat panjang tetap terdapatmedan di dalam ruang. Kesukaran lebih jauh akan ditemukan pada penyelesaian dasarnya, yaituF = 1/R2 dalam ruang-waktu 4D; Seperti halnya bentuk penyelesaian 3D, F = 1/R2 tidak hanyaberharga tak berhingga pada r = 0, tetapi juga pada ”‘permukaan kerucut”’ (kasus 3D) R2 = c t2

− r2.Selanjutnya untuk menyelesaikan persamaan potensial 4D atau harus menggunakan metode inte-grasi yang berbeda atau dengan memakai metode lama kembali, seperti yang terdapat pada § 9.3 dan§ 9.4.


61 [] Bagaimana benntuk persamaan vektor dari transformasi L untuk kasus di mana sistem koordinat aksen tidakbergerak pada arah sumbu x, melainkan pada arah vektor ~v ?

Jawab:

~r′ = ~r −(~r · ~v)~v

v2 +

(~r · ~vv2 − t

)~v√

1 − β2, t′ =

t −~r · ~v/c2√

1 − β2.

62 [] Jika dari sistem koordinat S1 yang ditandai dengan kecepatan sistem koordinat ini dengan kecepatan ~v1, melaluitransformasi Lorentz diubah ke dalam sistem koordinat S2 dan sistem koordinat ini bergerak dengan kecepatan ~v2,selanjutnya diubah lagi dalam sistem koordinat S3; secara umum tidak dapat dilakukan transformasi secara langsung dariS1 ke S3 dengan menggunakan kecepatan ~v3 = ~v1 + ~v2; untuk mengoperasikan transformasi secara langsung biasanyadilakukan selain dengan menggunakan transformasi ini, digunakan pula transformasi tambahan melalui rotasi yangdisebut sebagai ”rotasi Thomas”’ terhadap suatu sumbu yang tegak lurus ~v1 dan ~v2. Carilah transformasi seperti ini untukkasus di mana ~v1 = −~v dan ~v2 = ~v + δ~v, dengan |δ~v| v !

Jawab:

Vektor rotasi:

~o = −~v × δ~v

v2

1√1 − β2

− 1

≈ −~v × δ~v2 cuntuk v c.

63 [] Turunkan persamaan aturan penambahan kecepatan Einstein yang terdapat pada persamaan transformasi padapers[10.6.11], di mana untuk komponen vektor 4D (Aν) digantikan dengan vektor kecepatan (uν) = (ux, uu, uz, c)/

√1 − γ2,

dengan γ = u/c. Bagaimana hubungannya dengan penulisan vektor biasa ?

11.6. RADIASI MEDAN SEBUAH ELEKTRON BERGERAK 321

Jawab: Berlaku:

u′x√1 − γ′2

=u′x − v√

1 − γ2√

1 − β2

u′y√1 − γ′2

=u′y√

1 − γ2

u′z√1 − γ′2

=u′z√

1 − γ2,

c√1 − γ′2

=c − ux v/c)√1 − γ2

√1 − β2

,

di mana diperoleh kembali pers[10.4.6] dan [10.4.8]. Dalam penulisan vektor biasa didapat:

~u′ =1

1 − ~u · ~v/c

~u − ~v + ((~u × ~v) × ~v)1 −

√1 − β2

v2

.64 [] Sementara rumusan pada transformasi Galilei dalam penulisan vektor biasa adalah ~u′ = ~u − ~v dan d~u′/dt′ =d~u/dt,

atau berlaku ~aprime = ~a, pada transformasi Lorentz, hubungan antara ~u′ dan ~u, sesuai dengan aturan penambahan duakecepatan menurut Einstein (lihat soal no.3) lebih kompleks. Bagaimana hubungan antara percepatan di sistem koordinataksen ~a′ dan tanpa aksen ~a pada transformasi Lorentz ? (11.6.7)

Petunjuk: Pertama-tama pandang komponen ~a′ dengan menggunakan pers[10.5.16], dengan menggantikan ~v dan βdengan ~u′ dan γ′ = u′/c. menjadi komponen aν′; kemudian melalui transformasi L pada pers[10.5.16] dengan ~uγ = u/c menggantikan ~v dan β menjadi komponen vektor ~a.

Jawab: (11.6.8)

Dalam hal ini berlaku:

~a′ =1 − β2

(1 − ~u · ~v/c)3

~a + ((~v × ~u) × ~a) − (~a · ~v)~v1 −

√1 − β2

v2

.


Bab 12

Mekanika Relativistik

12.1 Mekanika Titik Massa

Seperti telah disebutkan dengan rinci pada § 10, bahwa semua hukum alam berdasarkan prinsiprelativitas Einstein harus invarian terhadap transformasi Lorentz. Persamaan dasar elektrodinamikaMaxwell secara otomatis telah memenuhi tuntutan ini, seperti telah dibahas pada § 11, akan tetapitidak demikian halnya dengan persamaan gerak Newton untuk mekanika klasik yang hanya invarianterhadap transformasi Galileo. Karenanya persamaan Newton tidak lagi dapat dipandang sebagaihukum alam yang berlaku umum, melainkan perlu dicoba untuk melakukan perubahan sehinggaakhirnya dapat memenuhi tuntutan prinsip relativitas Einstein. Dalam memodifikasi persamaangerak ini haruslah terdapat patokan penting, yaitu persamaan gerak yang dimodifikasi nantinyaharus memenuhi kembali persamaan gerak Newton untuk kasus v c. Kenyataannya, semua yangdiramalkan berdasarkan prinsip relativitas tentang deviasi persamaan gerak mekanika klasik hanyaberkisar dalam orde (v/c)2 dibandingkan dengan 1.

Pembahasan pada bab ini akan dimulai dengan memandang kembali persamaan gerak sebuah titikmassa yang terpengaruh medan gaya. Persamaan gerak Newton untuk titik massa adalah

md~vd t= ~K. (12.1.1)

Dari persamaan ini diperoleh pula relasi hukum kekekalan energi sbb:

dd t

(m~v2

2

)= = ~K · ~v, (12.1.2)

yang tidak lain berarti: perubahan energi kinetik terhadap waktu adalah sama dengan kemampuankerja dari gaya yang bersangkutan atau biasanya disebut sebagai daya. Selanjutnya akan dipikirkanpula bagaimana merubah relasi di atas ke dalam bentuk yang invarian terhadap prinsip relativistik.Untuk kepentingan penurunan ini, rumusan akan diturunkan dari persamaan dasar elektrodinamikadengan menggunakan pengertian kerapatan gaya, dengan persamaan transformasinya telah dikenaldengan baik pada § 11.4, kemudian tinggal mentransfer pengertiannya ke dalam kerapatan gayamekanik, yang berdasarkan prinsip relativitas tidak pernah terpikirkan. Karena ramalan bahwaseluruh gaya yang bekerja pada satu titik massa pada keadaan setimbang haruslah secara objektif

323

324 BAB 12. MEKANIKA RELATIVISTIK

almiah tidak bergantung pada sistem koordinat masing-masing gaya yang bersangkutan, apabilatidak demikian, maka karena adanya perbedaan hukum transformasi untuk setiap gaya dua penga-mat yang bergerak saling berlawanan akan memperoleh ramalan yang bertentangan tentang keadaansetimbang.

Akan dipilih cara yang berbeda untuk menurunkan persamaan gerak yang berlaku dalam teori rel-ativitas, yaitu dengan merumuskan kembali persamaan gerak Newton, pers[12.1.1] dalam penulisanvektor 4D. Untuk itu kecepatan ~v akan ditulis dalam rumusan kecepatan 4D yang mengandungkomponen kontravarian:

(uν) =

vx√1 − β2

,vy√

1 − β2,

vz√1 − β2

. (12.1.3)

Selanjutnya untuk elemen waktu dt yang tidak bergantung pada sistem koordinat digantikan den-gan elemen invarian waktu eigen dτ. Terakhir sifat kelembaman yang dibawa oleh titik massa di-hubungkan dengan massa invarian yang disimbolkan dengan m. Dengan tahapan-tahapan demikian,akhirnya untuk pertama kalinya diperoleh persamaan gerak Mikowski dalam 4D:

md uν

d τ= Kν, (12.1.4)

terlihat bahwa pada ruas kanan pers[12.1.4] muncul vektor gaya 4D (Kν), yang sering disebut sebagaivektor gaya Minkowski .

Untuk mengabaikan kandungan fisis yang terdapat di dalam persamaan gerak yang dimodifikasidi atas dan dimungkinkan untuk membandingkannya dengan pers[12.1.1], gantikan dτ dengan√

1 − β2 dt dan uν dengan harganya pada pers[12.1.3]. Dengan demikian diperoleh tiga komponenpertama persamaan gerak dari pers[12.1.4] sbb:

mddt

~v√1 − β2

= ~K, (12.1.5)

dengan relasi ketiga komponen pertama gaya Mikowski (Kν) dan komponen vektor gaya ~K dianggapsama dengan:

(K1, K2, K3) =~K√

1 − β2. (12.1.6)

Untuk mengartikan komponen gaya keempat K4, kalikan persamaan gerak pers[12.1.4] dengan uνdan jumlahkan terhadap seluruh harga ν. Berdasarkan identitas:∑

uν uν = c2 (12.1.7)

, maka penjumlahan pada suku ruas kanan akan sama dengan nol; sehingga berlaku:

∑uν Kν = 0, berarti −

~K~v√1 − β2

+K4 c√1 − β2

= 0.

12.1. MEKANIKA TITIK MASSA 325

Komponen keempat gaya Minkowski mempunyai bentuk:

K4 =~K · ~v/c√

1 − β2, (12.1.8)

dan komponen keempat persamaan gerak menjadi:

mdd t

c2√

1 − β2

= ~K · ~v. (12.1.9)

Ruas kanan persamaan di atas adalah identik dengan ruas kanan persamaan energi, pers[12.1.2]dalam mekanika klasik. Selanjtunya akan dipandang energi dari titik massa, yang ditulis dalambentuk:

E =m c2

√1 − β2

=m c2

√1 − v2/c2

, (12.1.10)

dan perubahan terhadap waktu dari besaran pada pers[12.1.10] ini tidak lain sama dengan daya yangditimbulkan gaya tersebut. Apabila rumusan energi dideretkan terhadap v/c = β, maka diperolehrelasi sbb:

E = m c2 +

12

m v2 + · · · . (12.1.11)

Selanjutnya suku pertama dari deret ini,

E = m c2 (12.1.12)

disebut sebagai energi diam dari titik massa. Energi ini merupakan besaran yang tidak berubah dalamproses gerak dan selanjutnya untuk persoalan kinematika yang akan dibahas tidak memberikan artipenting; akan tetapi akan terlihat nantinya, bahwa konstanta yang ditambahkan ini mempunyai artipenting yang sangat dalam. Suku kedua pers[12.1.11] adalah identik dengan energi kinetik dalammekanika klasik. Selanjutnya besaran:

E = m c2

1√1 − β2

− 1

(12.1.13)

disebut sebagai energi kinetik relativistik titik massa dan untuk keadaan gerak β 1 besaran iniakan kembali menjadi energi kinetik non-relativistik kembali.

Dengan mengalikan massa diam m dengan kecepatan 4D diperoleh vektor 4D yang baru dalambentuk:

Jν = m uν (12.1.14)

atau

(J1, J2, J3) = ~J =m ~v√1 − β2

, J4 =Ec=

m c√1 − β2

. (12.1.15)

Tiga komponen pertama (Jν) adalah identik dengan vektor momentum mekanis~J, sedangkan kompo-nen keempat adalah sama dengan besaran E/c. Harga invarian dari vektor momentum 4D diberikansebagai: ∑

Jν Jν =E2

c2

−~J2 = m2 c2. (12.1.16)


Jika pengamatan dinamika titik massa sebaliknya diamati dari pengertian kerapatan gaya, makatitik massa haruslah dianggap mengandung materi yang kontinu dan sifat kontinu tersebut haruslahmerupakan fungsi skalar yang ditulis dalam bentuk u(), yang disebut sebagai kerapatan (massa)diam. Selanjutnya dari kerapatan gaya yang diperoleh dari hasil perhitungan elektrodinamika danditulis dalam bentuk vektor 4D akan diperoleh persamaan gerak yang memenuhi persamaan sbb:

µ()d uν

d τ= kν (12.1.17)

yang berhubungan dengan elemen massa dari besaran kontinu µ(). Jika kecepatan 4D mempun-yai harga untuk setiap pengembangan materi kontinu, maka persamaan gerak dapat diturunkandari integrasi pers[12.1.17] terhadap volume. Jika pers[12.1.17] dikalikan dengan elemen volumedVν =dV/

√1 − β2 dari massa diam dan menggantikan

∫µ() dV = m, maka persamaan gerak

untuk semua titik massa (yang terdapat di dalam elemen volume) diperoleh sebagai:

µ()d uν

d τ=

1√1 − β2

∫kν dV. (12.1.18)

Selanjutnya jika semua komponen gaya 3D yang dihasilkan dapat ditulis dalam bentuk:

kx =

∫k1 dV, ky =

∫k2 dV kz =

∫k3 dV , (12.1.19)

maka dengan memandang kembali pers[12.1.6] akan diperoleh kembali persamaan gerakMinkowski, pers[12.1.4].

Hasil yang palin mengesankan dari mekanika relativistik adalah membesarnya harga massa terhadapkecepatan. Selanjutnya rumusan momentum pada pers[12.1.15] dapat ditulis dalam bentuk yang telahdiketahui, yaitu

~J = m~v, (12.1.20)

jika harga massa disingkat dalam:

m =m√

1 − v2/c2

(12.1.21)

yang bergantung pada kecepatan. Massa m ini akan sama dengan massa diam m jika kecepatanv c dan harganya juga akan semakin besar, sebanding dengan kuadrat kecepatan seandainyaβ mempunyai harga berhingga besar dan akan mendekati tak berhingga jika v ∼ c. Harga massademikian telahpun dibicarakan pada § 9.2, saat mengamati medan yang ditimbulkan oleh sebuahelektron. Dalam kenyataannya, membesarnya harga massa ini dapat diamati secara eksperimen,khususnya membesarnya massa partikel-partikel yang bergerak sangat cepat, seperti sinar katode,sinar β yang berasal dari unsur radioaktif. Sebelum teori relativitas berhasil diungkapkan, orangpercaya bahwa di dalam penemuan tersebut terdapat karakter massa dari gelombang elektromag-netik. Pada bab ini telahpun terlihat bahwa setiap pembawa massa mempunyai ketergantungan terhadapkecepatan, tidak bergantung, apakah asalnya dari sifat alamiah gelombang elektromagnetik atau tidak.

12.2. KELEMBAMAN ENERGI 327

Sebagai akhir pembahasan pada bab ini, masih akan ditambahkan bahwa berdasarkanpers[12.1.15] dapat dituliskan hubungan antara momentum~J dan energi E sbb:

~J = ~vEc2

. (12.1.22)

Apabila harga v mendekati cmaka momentum juga akan bertambah sebanding dengan E/c. Catatanterakhir ini adalah penting dalam pandangan kuantum cahaya dari Einstein, yaitu dengan meman-dang bahwa cahaya dengan energi h νdan momentum h ν/c dianggap sebagai pertikel yang bergerakdengan kecepatan sama dengan c di dalam ruang.

12.2 Kelembaman Energi

Telah dikenal momentum 4D, (Jν), pada pers[12.1.14], yang sekaligus menyatakan momentum ~Jbiasa dan energi E suatu titik massa. Untuk partikel diam, atau pada ~v = 0, tiga komponen pertamadari (Jν) sama dengan nol, sementara J4

= E/c, yaitu sebagai energi diam E, seperti dinyatakanpada pers[12.1.12]. Melalui transformasi Lorentz suatu sistem yang bergerak dengan kecepatan ~vterhadap sistem lainnya, diperoleh relasi:

~J =~v√

1 − β2

Ec2

, E =E√

1 − β2. (12.2.1)

Dalam bentuk seperti ini, hasil perhitungan suatu besaran berlaku lebih luas; selanjutnya akandibahas beberapa contoh sederhana. Bentuk diperumum ini mengandung harapan, bahwa setiapsistem tertutup dengan energi diam E, secara bersamaan merupakan pembawa massa yang harganya:

m =Ec2

. (12.2.2)

Energi diam didefinisikan sebagai energi total dalam sistem koordinat lain, yaitu dengan momentumyang dihasilkannya sama dengan nol. Untuk kasus khusus suatu medan elektromagneti murni, yaituhanya untuk daerah radiasi tertentu, kebenaran dari rumusan pada pers[12.2.2] telah dikemukakanpada § 11.5. Akan dipandang dua contoh mekanis menurut yang berhubungan dengan pers[p12.2.2].

Sebagai contoh pertama, pandang suatu sistem titik massa yang satu sama lain berada salingterikat secara elastik, yaitu misalnya mempunyai bentuk sedemikian, seperti halnya kelakuan partikelgas ideal di dalam termodinaika. Masing-masing titik massa. Kemudian misalkan massa diampartikel disimbolkan dengan m 1, m 2, m 2 dan kecepatan masing-masing titik tersebut dan masing-masing mempunyai kecepatan sebagai ~v1, ~v2 · · ·, sehingga untuk kasus tumbukan elastik dalamFisika klasik, kedua hukum kekekalan untuk momentum dan energi dapat ditulis dalam bentuk:

~J =∑

m s ~vs = konstan E =∑ m s ~v2

s

2= konstan (12.2.3)

Kedua hukum kekekalan ini di dalam teori relativitas diringkas dalam satu rumusan, yaitu dalamvektor 4D momentum dan energi yang ditulis dalam komponen-komponen sbb:

Jν =∑

m s uνs , (12.2.4)


yang konstan terhadap waktu. Dalam penulisan 3D, berlaku hukum kekekalan sbb:

~J =∑ m s ~vs√

1 − (vs/c)2, E =

∑ m s c2√

1 − (vs/c)2. (12.2.5)

Sekarang perhatikan pula suatu gas yang terdapat di dalam sistem yang secara keseluruhan beradadalam keadaan diam, yaitu di dalam sistem mekanis dengan ~J = 0. Jika di dalam sistem terdapatmolekul gaus ke s bergerak dengan kecepatan ~v s, maka energi yang terdapat di dalamnya adalahsama dengan:

E =∑ m s c2

√1 − (v s/c)2

. (12.2.6)

Kemudian perhatikan pula suatu gas di dalam suatu sistem yang keseluruhannya bergerak den-gan kecepatan ~v terhadap lainnya, maka dari rumusan transformasiyang telah dikenal diperolehmomentum di dalam sistem ini sebagai:

~J =∑ ~v E/c2

√1 − (v s/c)2

=~v M√1 − β2

, (12.2.7)

jika massa diam gas keseluruhan disingkat dengan

M =Ec2

=∑ m s√

1 − (v s/c)2. (12.2.8)

Anggap bahwa gas bukan sebagai sistem mekanis, melainkan dari sudut pandang makroskopikdalam Fisika panas, yaitu sebagai sistem benda yang mengembang dengan kandungan panas ter-tentu, maka dengan anggapan demikian tentunya tidak akan mengubah apapun yang terdapat dalamsistem. Diketahui dari pers[12.2.8], bahwa massa diam seluruh gas tidak hanya terdiri dari massadiam tiap molekul yang terdapat di dalam gas, melainkan termasuk pula energi kinetik yang secaramakroskopik mempunyai arti sama dengan kandungan panas di dalam seluruh gas.

Hasil pengamatan ini selanjutnya akan dipandang dengan dasar yang berbeda, yaitu denganpertolongan aturan penambahan kecepatan dari Einstein, tanpa menggunakan istilah atau rumusanenergi, tetapi akan membuahkan rumusan yang sama. Digunakan simbol-simbol yang sama sepertipada pembahasan sebelumnya, dan untuk memudahkan perhitungan, dianggap bahwa gas di dalamsistem koordinat kedua (sistem koordinat labor) bergerak dengan kecepatan v paa arah sumbux. Aturan penambahan kecepatan akan digunakan untuk mencari kecepatan vs di dalam sistemkoordinat labor berdasarkan kecepatan dalam koordinat diam v. Dari pers[10.4.6] telah diketahuirelasi berikut:

vs x =v s x + v

1 + v s x v/c2

, vs y =v s y

√1 − (v/c)2

1 + v s x v/c2

, (12.2.9)

dan dengan mudah diperoleh pula:

√1 − (v/c)2 =

√1 − (v s/c2

)√

1 − (v/c)2

1 + v s x v/c2

. (12.2.10)

12.2. KELEMBAMAN ENERGI 329

Momentum total di dalam sistem sembarang diberikan melalui persamaan pertama pada pers[12.2.9]dan [12.2.10] dan dengan melihat kembali pers[12.2.8], karena~J = 0, maka didapat

Jx =∑ m s (v s x + v)√

1 − (v s/c2)

√1 − (v/c)2

=M v√

1 − (v/c)2Jy = 0, Jz = 0, (12.2.11a)

yaitu tidak lain sama dengan relasi momentum yang dinyatakan pada pers[12.2.7]. Sehubungandengan momentum di atas, didapat pula relasi energi total E sbb:

E =∑ m s c2

(1 + v s x v/c2)√

1 − (v s/c2)

√1 − (v/c)2

=M c2

√1 − (v/c)2

. (12.2.11b)

Untuk kasus khusus, bahwa energi panas adalah energi kinetik dari atom-atom bebas gas, kare-nanya relasi yang terdapat pada pers[12.2.2] dapat dibenarkan adanya.

Contoh kedua akan ditunjukkan bahwa sifat pembawa kelembaman dari energi panas haruslahtidak bergantung pada pandangan molekuler tentang mekanisme gerak karena panas. Dalam contohini dianggap bahwa tumbukan antara dua partikel terjadi tidak elastik sedemikian, sehingga setelahterjadi tumbukan antara dua partikel materi, keduanya menempel satu sama lain, menjadi satupartikel baru. Dari sudut pandang mekanika Newton peristiwa ini dapat dijelaskan melalui hukumkekekalan momentum dan energi. Misalkan massa kedua partikel masing-masing adalah m1 dan m2,kecepatan sebelum tumbukan adalah ~v1 dan ~v2 dan setelah tumbukan, keduanya akan mempunyaikecepatan yang sama, yaitu ~v; berdasarkan hukum kekekalan momentum berlaku:

m1 ~v1 +m2 ~v2 = (m1 +m2)~v. (12.2.12)

Hukum kekekalan energi mekanika klasik untuk kasus ini tentunya tidak lagi berlaku; dalam peri-stiwa tumbukan terdapat energi mekanis yang diubah menjadi energi panas. Panas W yang ditim-bulkan setelah tumbukan haruslah sama dengan perbedaan energi kinetik sebelim dan setelah tum-bukan; berdasarkan pers[12.2.12] berlaku:

2 W = m1 ~v21 +m2 ~v2

2 − (m1 +m2)~v2 =m1 m2

m1 +m2(~v2

1 − ~v22). (12.2.13)

Dapat pula dicoba untuk menuliskan hukum kekekalan pada pers[12.2.12] ke dalam rumusan rela-tivistik, yaitu dengan menambahkan adanya massa diam m 1 dan m 2, demikian pula kecepatan 4Duntuk uν1 dan uν2 dan uν dalam bentuk:

m 1 uν1 +m 2 uν2 = (m 1 +m 2) uν.

Penulisan hukum kekekalan momentum di atas adalah tidak invarian secara relativistik; karenavektor kecepatan 4D harus ditentukan dari 4 persamaan dan antaranya terdapat relasi

∑uν uν = c2

.Bentuk hukum kekekalan momentum 4D yang tidak bertentangan akan diperoleh, jika massa

diam setelah tumbukan tidak sama dengan m 1 + m 2, melainkan m. Maka hukum kekekalanmomentum dalam 4D ditulis kembali dalam bentuk:

m 1 uν1 +m 2 uν2 = m uν. (12.2.14)


Di samping pers[12.2.12] sekarang diperoleh suatu ramalan yang baru. Sementara tiga persamaanyang diperoleh dari pers[12.2.12] dipandang sebagai sebagai tiga persamaan dari komponen ke-cepatan ~v setelah tumbukan, maka pers[12.2.14] merupakan persamaan komponen keempat darimassa diam dari kedua massa berbentuk bola yang timbul setelah tumbukan terjadi. Empatpers[12.2.14] jika ditulis dalam bentuk 3D adalah

m 1 ~v1√1 − (v1/c)2

+m 2 ~v2√

1 − (v2/c)2=

m ~v√1 − (v/c)2

(12.2.15)

m 1√1 − (v1/c)2

+m 2√

1 − (v2/c)2=

m√1 − (v/c)2

.

Akhirnya dengan mengeliminasi ~v diperoleh massa yang dihasilkan dalam proses tumbukan, yaitu:

m2 = (m 1 +m 2)2 + 2 m 1 m 2

~v1 ~v2/c2√

1 − (v1/c)2√

1 − (v2/c)2− 1

,atau dengan membentuk deret dalam v1/c dan v2/c, serta membatasi deret hingga suku yangmengandung kuadrat, didapat relasi sbb:

m = m 1 +m 2 +m 1 m 2 (~v1 − ~v2)2

2 (m 1 +m 2) c2

(12.2.16)

= m 1 +m 2 +Wc2

,

yaitu sebagai persamaan massa diam yang ditulis dalam energi panas W yang dihasilkan oleh energikinetik setelah proses tumbukan dua massa. Selain itu secara umum, tidak begitu penting atau lebihjelas lagi tidak selalu harus terjadi energi kinetik diubah menjadi energi panas. Adakalanya setelahdua partikel bersatu melalui tumbukan, energi kinetik diubah menjadi energi rotasi terhadap titikpusat massa dua partikel.

Sebagai contoh selanjutnya untuk kelembaman energi pandang sebuah benda dengan massadian M yang dalam potongan waktu berhingga memancarkan energinya sebesar δ dalam bentukgelombang elektromagnetik (radiasi cahaya atau panas). Radiasi energi ini terjadi sedemikian rupa,”‘simetris”’ terhadap benda yang memancarkannya, yaitu momentum dari energi yang pancarkansama dengan nol. Gelombang radiasi dapat berbentuk gelombang bola atau (untuk benda yangberbentuk datar atau plat) dalam bentuk dua gelombang datar yang dipancarkan saling berlawananarah. Dalam peristiwa radiasi ini jelas, bahwa benda yang memancarkan gelombang tetap beradadalam keadaan diam.

Selanjutnya perhatikan peristiwa radiasi yang terjadi dari sistem koordinat, di mana benda berg-erak dengan kecepatan ~v relativ terhadap sistem koordinat. Dalam sistem koordinat ini radiasi yangdipancarkan akan mempunyai momentum, setelah ditransformasikan dalam rumusan vektor 4D,mempunyai bentuk sbb:

∆~J =~v δE/c2

√1 − β2

. (12.2.17)

12.3. TEGANGAN MEKANIS 331

Sementara pada saat radiasi dipancarkan benda mentransfer momentum sebesar∆~J, tanpa mengubahkecepatannya. Hal ini hanya mungkin terjadi jika benda mengubah massa diamnya. Apabila M′

adalah massa benda setelah mengemiskan radiasi, maka berlaku hukum kekekalan momentum sbb:

M~v√1 − β2

=M′ ~v√1 − β2

+~v δE/c2

√1 − β2

,

atau berlaku pula bahwa

M′ = M −δEc2

. (12.2.18)

Massa benda menjadi berkurang sebanyak 1/c2 kali karena emisi radiasi yang dipancarakannya.

Dalam pengertian yang terkandung pada pers[12.2.2] di atas, hasil perhitungan yang diperolehpada contoh ini adalah berlaku sama, apakah energi sebesar δE ini sebelum dipancarkan, tersimpandalam bentuk energi panas atau energi medan listrik atau juga energi mekanik. Contoh seperti inikhususnya menarik perhatian, karena Einstein dengan pertolongan rumusan yang diturunkannyauntuk pertama kali, yaitu hukum kelembaman energi sebagai hukum alam pula .

Khususnya dalam reaksi inti hukum kelembaman energi dapat diamati secara nyata melaluieksperimen, seperti halnya terjadi pada peristiwa peluruhan radioaktif. Pada peristiwa reaksi intimassa partikel M sebelum proses peluruhan radioaktif terbukti tidak sama dengan massa M′ daripartikel yang ikut serta setelah peluruhan terjadi. Perbedaan (M−M′) c2

adalah sebagai energi yangdibebaskan melalui proses atau dengan perkataan lain adalah perbedaan energi diam total dan energikinetik sebelum dan setelah proses terjadi. Dengan cara yang mirip, defek massa dari berat atom,yaitu perbedaan antara massa inti total dan jumlah massa masing-masing nukleon yang digunakansebagai energi ikat.

12.3 Tegangan Mekanis

Dalam bab ini akan dibahas lebih jauh bentuk mekanika relativitas. Untuk membahas hal iniakan dikemukakan dua persoalan nyata yang selanjutnya dapat memberikan jawaban pertanyaanyang muncul dalam dinamika relativistik. Sebagai persoalan pertama adalah pertanyaan yangdikemukakan pada § 9.2 tentang kesetaraan energi-momentum pada elektron, sedangkan persoalankedua berhubungan dengan kegagalan percobaan Trouton-Noble yang telah diberikan pada § 9.1.

12.3.1 Kesetaraan Energi dan Momentum Elektron

Untuk membahas kesetaraan energi-momentum elektron lebih jauh, pandang kembali pers[9.2.10]yang menyatakan momentum total medan elektromagnetik yang ditimbulkan oleh sebuah elektronyang bergerak dengan kecepatan ~v, yaitu:

~J =4 U3 c2

~v√1 − β2

; (12.3.1)

dalam hal ini U berarti sebagai energi total medan yang ditimbulkan oleh elektron. Hasil yangdiperoleh dari rumusan ini menimbulkan kesulitan untuk mencoba memberikan pengertian elektro-magnetik murni dari massa elektron. Pada ruas kanan pers[12.3.1] yang menyatakan momentum


elektromagnetik lebih besar 4/3 kali dari momentum yang seharusnya muncul, jika bertitik tolak dariprinsip Einstein tentang kelembaman energi, massa diam elektron ditulis menjadi U/c dan kemu-dian dihitung sedemikian, sehingga seolah sebuah elektron mempunyai massa yang sama denganpernyataan tersebut.

Sebelum dibahas lebih lanjut tentang munculnya faktor 4/3, akan dipandang terlebih dahuluhasil penurunan pers[12.3.1] berdasarkan prinsip relativitas. Untuk keperluan ini, pandang kembalipenurunan tensor energi-momentum (Tν µ) untuk gelombang elektromagnetik pada § 11.4. Komponen-komponen ruang ”‘murni”’ dari tensor ini tidak lain menyatakan tensor tegangan Maxwell;komponen-komponen campuran ruang dan waktu mengandung pembagian vektor Poynting ~S den-gan c atau komponen yang mengandung perkalian antara c dan kerapatan momentum ~js darimedan radiasi dan akhirnya T4 4 merupakan kerapatan energi negatif dari medan tersebut. Apa-bila digunakan untuk kasus khusus medan yang ditimbulkan oleh sebuah elektron dalam sistemkoordinat diam, maka komponen ruang dari tensor akan sama dengan nol karena ~B = µ ~H = 0;medan elektrostatik dari sebuah elektron diam tidak mengandung momentum, sehingga tidak adapula aliran energi.

Apabila Tν µ adalah sebuah tensor energi-momentum elektron yang terdapat di dalam sistemkoordinat yang bergerak dengan kecepatan ~v pada arah sumbu x, maka momentum total Jx danenergi total U dari medan diberikan sebagai:

Jx =

∫T4 1 dV, U = −

∫T4 4 dV, (12.3.2)

sementara komponen Jy dan Jz dari momentum dengan dasar simetri adalah sama dengan nol.Kedua komponen tegangan T4 1 dan T4 4 diperoleh dari persamaan transformasi pada pers[10.6.13]dari komponen tensor Tν µ dari elektron diam:

T4 1 = −β (T4 4 + T1 1)

1 − β2 , T4 4 = −T4 4 + β

2 T1 1

1 − β2 , (12.3.3)

untuk elektron diam, kedua komponen T1 4 dan T4 1 akan sama dengan nol. Integrasi terhadap ruangkarena relasi dV =dV

√1 − β2 dapat dilakukan untuk sistem diam dan diperoleh:

Jx =v

c2

√1 − β2

∫(−T4 4 − T1 1) dV, (12.3.4)

U =1√

1 − β2

∫(−T4 4 − β

2 T1 1) dV,

Integral dari −T4 4 memberikan energi medan total dalam sistem koordinat diam U, sementaraberdasarkan § 11.4 ∫

T1 1 dV = ε

∫ (Ex)2

−12

(E)2

dV

= −ε6

∫(E)2 dV = −

U3,


dengan dasar simetri∫

(Ex)2 dV =∫

(E)2 dV/3. Dengan demikian harga ~J akan diperoleh sesuaidengan pers[12.3.1], sedangkan U berharga sama dengan:

U =U√1 − β2

(1 +

β2

3

). (12.3.5)

Munculnya faktor 4/3 pada pers[12.3.1] menunjukkan bahwa sifat dinamis sebuah elektron tidakhanya disebabkan hanya oleh medan yang ditimbulkannya. Faktor ini muncul begitu saja pada saatrumusan tersebut diturunkan, bahwa di dalam pernyataan pers[12.3.3] terdapat suku lain di sampingsuku kerapatan energi diam−T4 4 dari medan, yaitu suku yang timbul dari tegangan Maxwell. Dalamsifat dinamis elektron haruslah terdapat gaya-gaya lain selain gaya-gaya yang disebabkan medanelektromagnetik. Hal ini sering dijumpai dalam setiap percobaan yang dibentuk oleh kerangka Fisikaklasik yang mencoba membuat model konstruksi elektron. Karena setiap muatan elementer yangmemiliki muatan sama saling tolak-menolak, maka model demikian akan stabil jika terdapat gayalain yang dapat menjinakkan gaya tolak-menolak elekrostatis sehingga sistem muatan akan beradadalam keadaan setimbang. Karena adanya gaya tersebut belum dapat dijelaskan hingga saat ini,maka dapatlah diperkirakan, terlepas apakah gaya tersebut berhubungan dengan tegangan mekanisatau penyebab lainnya, paling tidak dapat diharapkan, bahwa gaya tersebut haruslah mempunyaikelakuan sedemikian terhadap transformasi Lorentz, mirip seperti gaya-gaya elektromagnetik murnidan bahwa gaya tersebut jika berada di dalam sistem koordinat bergerak tetap merupakan gayapenyangga keadaan setimbang.

Selain tensor elektromagnetik Tν µ, diperkenalkan pula suatu tensor mekanis atau yang berasaldari penyebab lainnya, yaitu ditulis dalam komponen Pν µ, yang haruslan pula mempunyai struktursama dengan tensor elektromagnetik, yaitu tensor simetri dan untuk sistem koordinat diam mem-punyai komponen-komponen yang memenuhi Pν 4 = P4 ν = 0, untuk ν = 1, 2, 3. Untuk menyempur-nakan sifat dinamis elektron, harus ditulis sebagai Tν µ + Pν µ = Tν µ dan elektron yang berada dalamsistem koordinat diam haruslah memenuhi tensor tegangan Tν µ sehingga terdapat kesetimbangan.Maka kerapatan gaya yang berhubungan dengan keadaan ini, yaitu dalam sistem koordinat diam,sesuai dengan pers[11.4.12], adalah

f ν =∑ ∂

∂ xµ(T)ν µ = 0 untuk ν = 1, 2, 3. (12.3.6)

Kalikan relasi di atas dengan koordinat sembarang, misalkan x1 dan integrasikan terhadap seluruhruang 3D, maka didapat ∫

x1 f ν dV =∑ ∫

x1 ∂∂ xµ

(T)ν µ dV = 0,

atau dengan menggunakan integrasi parsial dari integral kedua karena integran mendekati nol ditempat tak berhingga: ∫

(T)νλ dV = 0 untuk ν = 1, 2, 3. (12.3.7)


Dengan demikian diperoleh kesetaraan energi-momentum elektron. Jika Tν µ pada pers[12.3.4] di-ganti dengan Tν µ, maka berdasarkan pers[12.3.7] diperoleh:

~J = −~v

c2

√1 − β2

∫T4 4 dV, U = −

1√1 − β2

∫T4 4 dV,

atau dapat puladitulis dalam bentuk:

~J =m ~v√1 − β2

, U =m c2

√1 − β2

, (12.3.8)

dengan

m c2 = −

∫T4 4 dV,= −

∫(T4 4 + P4 4) dV,

yang tidak lain sesuai dengan pernyataan Einstein tentang kelembaman energi.Secara umum orang cenderung beranggapan bahwa energi diam elektron merupakan sifat

alamiah elektromagnetik murni darinya, dan dianggap pula bahwa P4 4 = 0. Anggapan ini tentunyatidak akan mengubah pernyataan yang terdapat pada pers[12.3.8]. Hal penting dalam pembahasandi sini tidaklah berkaitan dengan kerapatan diam P4 4/c

2, melainkan yang berasal dari tegangan, yang

menyebabkan gaya-gaya listrik pada elektron tetap berada dalam keadaan setimbang.

12.3.2 Percobaan Trouton dan Noble

Percobaan ini dilakukan seperti yang dijelaskan pada § 9.1, yaitu dengan menggunakan susunankondensator yang dapat dirotasikan dan dimaksudkan dapat menghitung kecepatan absolut di dalamruang. Dengan perlakukan sebelum dikemukakannya prinsip relayivitas, pada kondensator yangdiberi muatan dan mengalami gerak translasi terdapat momen putar, yang akhirnya menyebabkangerak rotasi kondensator. Walaupun dengan membuat percobaan sehati-hati mungkin, gerak rotasikondensator tidak memberikan arti apa-apa. Dengan pendekatan klasik hasil negatif percobaan initidak dapat dimengerti, sama seperti percobaan Michelson yang juga memberikan hasil negatif.Sedangkan dengan prinsip relativitas, hasil percobaan tersebut akan memberikan arti; jika konden-sator bagi seorang pengamat diam terhadapnya tidak mengalami rotasi, demikian pula bagi seorangpengamat lain yang bergerak relatif terhadapnya. Akan tetapi melalui penyimpulan sederhanademikian tentunya belum memadai untuk mendapatkan pengertian yang cukup tentang itu. Akandicoba untuk membuat pengertian dari hasil percobaan tersebut dengan menggunakan suatu model.

Model kondensator sederhana yang digunakan pada percobaan Trouton-Noble terdiri dari duapembawa muatan yang sangat kecil dengan jarak satu sama lain sebesar l tetap terjaga denganbaik melalui sebuah batang tegar. Jika kedua pembawa muatan memiliki muatan yang sama, makapada keadaan diam kedua pembawa muatan akan mengalami gaya tolak menolak sebesar K =e2/4πεl. Apabila kedua pembawa muatan digerakkan dengan kecepatan v pada arah sumbu x,maka gaya elektromagnetik yang bekerja pada keduanya tidak lagi mempunyai arah segaris dengangaris penghubung keduanya, seperti telah diturunkan pada § 9.1 melalui penyelesaian persamaan


Gambar 12.1: Ilustrasi Percobaan Trouton-Noble.

medan. Selain itu pada sistem kondensator akan terdapat pula momen putar yang cenderungmemaksa batang untuk merotasikannya pada arah gerak.

Akan dicoba menurunkan kembali hasil percobaan ini dalam sudut pandang mekanika rela-tivistik, yang seharusnya akan menghasilkan jawaban yang sama seandainya diturunkan denganmenggunakan teori Maxwell, yang tentunya juga memenuhi prinsip relativitas. Seperti terlihat padagbr[12.1], pembawa muatan A dan B dipisahkan dengan jarak tetap melalui batang tegar yang pan-jangnya l dan pada kedua pembawa muatan terdapat gaya tolak menolak elektrostatik K. Batangsendiri membentuk sudut α terhadap sumbu x; maka proyeksi panjang batang ini terhadap sumbukoordinat adalah sama dengan

lx = l cos α, ly = l sin α.

Dan gaya yang terdapat pada masing-masing sumbu adalah:

Kx = ∓K cos α, Ky = ∓K sin α Kz = 0,

dengan tanda atas (−) berarti gaya bekerja pada A dan tanda bawah (+) berarti bekerja pada B.Apabila sistem bergerak dengan kecepatan v pada a rah sumbu x, maka karena adanya kontraksiLorentz, panjang proyeksi batang pada masing-masing sumbu menjadi:

lx = lx√

1 − β2 = l√

1 − β2 cos α,

ly = ly√

1 − β2 = l√

1 − β2 sin α, (12.3.9)

lz = 0.

Sebaliknya komponen gaya-gaya berdasarkan persamaan transformasi, pers[11.4.10] menjadi:

Kx = Kx = ∓K cos α,

Ky = Ky = ∓K√

1 − β2 sin α, (12.3.10)

Kz = 0.


%vspace5cm

Gambar 12.2: Garis semesta titik akhir sebuah batang, hanya pada t = 0 bergeser karena adanyatarikan.

Gaya-gaya tersebut bagi pengamat yang bergerak tidak lagi berada pada arah garis penghubung,melainkan garis penghubung gaya tersebut akan membentuk sudut lebih kecil dibanding denganyang dibentuk batang (α). Momen putar pada arah sumbu z ditulis dalam bentuk:

~N = ~l × ~K, (12.3.11)N = Nz = lx Ky − ly Kx = −l K β2 sin α cos α.

Momen putar ini ternyata sesuai dengan yang diberikan pada pers[9.1.20], yaitu jika ~r = (x, y, z)diganti dengan ~l = lx, ly, 0 dan demikian pula komponen-komponen ~l yang membentuk sudut αdigantikan dengan l membentuk sudut α, sesuai seperti yang dinyatakan pers[12.3.9].

Dari elektrodinamika terdapat momen putar pada batang dengan kedua muatan pada ujung-ujungnya. Dalam sudut pandang Fisika pra-relativistik tidak terbayangkan bahwa momen dipol inidikompensasikan oleh momen dipol lain yang timbul dari gaya non-elektromagnetik. Karenanyakenyataan yang didapatkan adalah tidak timbul rotasi pada sistem ini; karenanya pula hal yangbertentangan ini tidak dapat dijelaskan. Sebaliknya bagi teori relativitas fenomena ini dapat dije-laskan sedemikian, seperti halnya penjelasan untuk elektron pada § 12.3.1, yaitu dengan mengamatigaya-gaya mekanis, yaitu tegangan tarik pada batang, terdapat pula gaya listrik yang menjaga ke-setimbangan sehingga sistem yang terdiri dari batang dan muatan di kedua ujungnya akan tetapstabil. Apabila percobaan Trouton-Noble dijelaskan dengan cara demikian, hasil negatif percobaanini dengan mudah dapat dimengerti. Karena pada sistem yang diam gaya-gaya mekanis dan listrikberada dalam keadaan setimbang dan dengan mnegubah sistem dalam sistem koordinat lain, sistemmengalami transformasi dengan cara yang sama, yaitu kedua momen putar yang ada pada sistemakan saling meniadakan satu sama lain. Momen putar yang timbul dari pers[12.3.11] N akan dikom-ponensasi oleh momen putar lainnya −N yang timbul dari tegangan mekanis pada batang. Justrupada batang terbentang yang mengalami gerak terdapat momen putar, tidak dapat dijelaskan den-gan teori Fisika klasik pra-relativitas. Selanjutnya tidak akan dicoba untuk mengerti momen putartambahan pada batang yang mengaalami tegangan dan bergerak ini dengan menggunakan model,yaitu dengan menggunakan teori elastisitas dalam sudut pandang teori relativitas. Momen putar inijuga timbul pada batang yang tidak diberi muatan di kedua ujungya, melainkan diberi gaya K padaarah sumbu batang. Tentunya pada batang juga terdapat tegangan seperti halnya pada percobaanTrouton-Noble yang menyebabkan timbulkan momen putar −N pada sistem; momen putar ini akan


mengkompensasikan pengaruh gaya regang ±K yang bekerja pada batang, yang terjadi justru padakeadaan batang bergerak, tidak bergantung pada sifat alamiah dan menimbulkan momen putar +N.

Harus pula ditunjukkan asal momen putar N dari gaya luar ini dapat dimengerti dengan cara yangberbeda sedemikian, sehingga sifat alamiah relativistik dapat diamati dengan jelas dalam peristiwaini. Untuk itu pandang kasus, bahwa batang terletak pada arah geraknya, yaitu pada arah sumbu x.Pada awalnya, di sistem koordinat diam tidak terdapat tegangan. Kemudian bayangkan pada saatt = 0 sistem diberikan gaya tarik, yaitu dengan memberikan pegas pada masing-masing ujung kirdan kanan batang. Pada saat diberikan gaya batang tetap berada dalam keadaan diam, yaitu jikapegas dianggap sangat kaku sehingga adanya efek dilatasi dapat diabaikan.

Kemudian saat diberikan gaya tarik ini amati sistem dari sistem koordinat bergerak, maka akandiperoleh gambaran yang lain sama sekali dengan gambaran pertama (lihat gbr[12.2]). Pada gbr[12.2]terlihat bahwa garis semesta dari kedua titik ujung A dan B dari batang digambarkan di dalam sistemkoordinat yang baru. A dan B adalah titik-titik semesta di mana kedua gaya tarik diberikan. Sepertidapat dilihat jelas pada gbr[12.2], gaya gaya tarik tersebut di dalam sistem koordinat yang baru tidakbekerja pada saat bersamaan, melainkan terdapat perbedaan waktu. Seperti telah dimengerti dariteori relativitas, perbedaan waktu bekerjanya kedua gaya tersebut adalah t2 − t1 = v l/c

√1 − β2,

yang hanya terdapat satu gaya yang bekerja pada sisi kiri ”‘bidang muka”’. Selama waktu ini gayadi satu sisi ini akan ditransfer (atau diterima) impuls sebesar:

Jx = −(t2 − t1) K = −v l K

c2

√1 − β2

. (12.3.12)

tanpa merubah kecepatan gerak batang.Juga untuk kasus di mana batang bergerak (pada arah sumbu x) dan membentuk sudut α

terhadap sumbu x, karena gaya tarik yang bekerja pada kedua ujung batang, akan terdapat impulstambahan. Impuls ini, dengan cara yang sama seperti dibahas sebelumnya, mempunyai komponen-komponen sbb:

Jx = −v l cos αc2

√1 − β2

K cos α,

Jy = −v l cos αc2

√1 − β2

K sin α√

1 − β2, (12.3.13)

Jz = 0.

Sekarang berdasarkan mekanika berlaku momentum angular untuk momen putar tambahan (kera-patan~j):

~L =∫~r ×~j dV = ~rS ×~J, (12.3.14)

dengan ~rS adalah vektor posisi titik pusat massa batang. Sementara momen putar biasa ~rS ×M~vbatang, karena d~rS/dt = ~v adalah konstan terhadap waktu, maka momen putar tambahan ini akanberubah terhadap waktu, yaitu hanya untuk komponen z yang tidak sama dengan nol:

d ~Ld t= (~v ×~J)z = v Jy =

v2 l K cos α sin αc2

. (12.3.15)


Untuk menimbulkan perubahan momentum angular ini selama mungkin, haruslah terdapat momenputar dalam waktu yang lama Nz =dLz/dt. Momen putar demikian, seperti terlihat pada pers[12.3.11]adalah timbul karena adanya gaya tarik pada batang.


65 [] Sebuah partikel bermassa diam m jatuh bebas di dalam medan gaya ~K. Bagaimana hukum gerak jatuh bebas untukmassa yang berubah ?

Jawab:

z =m c

K

1 +

( K tm c

)2; (12.3.16)

kurva ini berbentuk hiperbola dengan kecepatan akhir sama dengan c dalam diagram z − t.

66 [] Turunkan kurva lintasan partikel yang bergerak di dalam medan ~K, yaitu untuk kasus kecepatan partikel ~v tegaklurus terhadap arah medan !

Jawab:

x =l vc

ln

c tl+

√1 +

( c tl

)2 ,

z = l

√

1 +( c t

l

)2

− 1

,dengan l =

m c2

K√1 − (v/c)2

Maka diperoleh kurva lintasan sbb:

z = 2 l sinhx c

2 l v.

3. Bagaimana gerak partikel bermuatan di dalam medan magnet apabila massanya berubah-ubah ?

Jawab:

Kurva lintasan akan berbentuk spiral atau untuk kasus khusus berbentuk lingkaran, dengan frekuensi gerak samadengan

ω =e Bm

√1 −

(vc

)2

.

67 [] ‘Sebuah partikel bermassa diam m dengan kecepatan awal v = β c menumbuk sebuah partikel lain yang diam,bermassa M. Berapa besar energi kinetik T yang ditransfer pada massa diam ?

Jawab:

Tmaks =2 M m2 v2

(m +M√

1 − (v/c)2)2 −m2 (v/c)2. (12.3.17)


Untuk kasus v c diperoleh

Tmaks =4 M m

(m +M)2

m v2

2.

68 [] Dengan sudut ϑ dan η berapa terhadap kecepatan awal partikel bermassa m yang mengalami tumbukan denganpartikel lain, bermassa M pada soal no. 4, jika dianggan bahwa energi kinetik yang ditransfer T < Tmaks ?

Jawab:

Apabila p dan E adalah momentum dan energi partikel bermassa m sebelum tumbukan, maka setelah tumbukanpartikel ini akan mempunyai momentum:

p =

√(E − T)2

c

)2

−

(m vc

)2

dan partikel momentum partikel lain adalah

P =

√2 M T +

( Tc

)2

.

Untuk sudut yang dicari berlaku persamaan sbb:

cos ϑ =p2− T(M + E/c2

)

p p, cos η =

T(M + E/c2)

p P.

69 [] Diamati tumbukan dua partikel m1 dan m2 pada sistem ”koordinat pusat massa”, yaitu sistem koordinat di manamomentum total kedua partikel sama dengan nol. Dalam sistem koordinat ini kedua partikel akan dihamburkan dengansudutΘdan dengan harga kecepatan v1 dan v2 tidak berubah. Dengan pertolongan transformasi L proses tumbukanuntuk sistem koordinat labor dihitung, di mana dianggap bahwa partikel pertama berada dalam keadaan diam sebelumtumbukan dan partikel kedua bergerak dengan kecepatan v. Cari hubungan antara energi kinetik T dalam sistem koordinatlabor dengan sudut Θ dari sistem koordinat pusat massa dari perhitungan ini!

Jawab:

Hubungan antara kecepatan v1 dan v2 dalam sistem koordinat pusat massa dan kecepatan v dalam sistem koordinatlabor adalah

v1 =m2 v

(m1

√1 − β2

+m2), v2 =

m1 v(m1 +m2

√1 − β2

).

Jika transformasi L dilakukan dalam vektor 4D untuk momentum, maka komponen keempat adalah

m2 T = p2 (1 − cos Θ),

dengan p = p1 = p2 yaitu harga momentum dalam sistem koordinat pusat massa.


Bab 13

Analisa Vektor dan Tensor Ruang 3D

13.1 Aljabar Vektor

13.1.1 Vektor

Semua besaran yang mempunyai arah dan besar, seperti posisi titik yang dipindahkan denganlintasan garis lurus disebut vektor; besaran ini secara tegas dinyatakan dalam arah dan besarnyadan menuruti aturan penambahan dan pengurangan yang sama seperti pergeseran posisi di atas.Vektor ditulis dengan huruf tebal. Misalnya~a adalah sebuah vektor dan dalam gambar diilustrasikandengan garis bertanda panah, |~a| = a menyatakan besar vektor yang bersangkutan, yaitu panjangdari garis.

Berdasarkan definisi vektor di atas, penambahan atau pengurangan dua vektor ~a dan ~b masing-masing ditulis sebagai: ~a + ~b dan ~a − ~b, dalam ilustrasi gambar dinyatakan dengan garis bertandapanah, melalui satu titik, dengan arah masing-masing antara vektor ~a dan ~b atau ~a dan −~b; vektor−~b berarti adalah vektor yang besarnya sama dengan besar vektor ~b, akan tetapi mempunyai arahkebalikan darinya. Karenanya berlaku persamaan sbb:

~a + ~b = ~b + ~a, (~a + ~b) +~c = ~a + (~b +~c).

Hasil kali sebuah besaran skalar α terhadap ~a (α~a) adalah sebuah vektor yang mempunyai arahsesuai dengan ~a, tetapi dengan besar |α~a| = α a. Dalam hal ini berlaku relasi:

α~a = ~a (α + β)~a = α~a + β~a, α (~a + ~b) = α~a + α~b.

Jika ~e adalah vektor satuan tanpa dimensi berharga |~e| = 1 dan mempunyai arah sama dengan ~a,maka berlaku hubungan ~e a.

13.1.2 Perkalian Skalar

Skalar atau hasil kali titik dua vektor ~a dan ~b diberikan dalam skalar, yaitu besaran yang tidakbergantung arah:

~a · ~b = a b cos ϕ, (13.1.1)

341

342 BAB 13. ANALISA VEKTOR DAN TENSOR RUANG 3D

dengan ϕ =< ~a, ~b >= sudut antara vektor ~a dan ~b. Dalam hal ini berlaku:

~a · ~b = ~b · ~a, ~a · (~b +~c) = ~a · ~b + ~a ·~c.

Untuk kasus ~a = ~b, maka ~a · ~a = ~a2 = a2, atau a =√~a2. Jika ~a · ~n = an adalah proyeksi ~a pada arah ~n

atau disebut sebagai komponen ke n dari ~a.Setiap vektor ~a dapat diproyeksikan dalam tiga arah yang tidak terletak pada satu bidang. Se-

bagai penentu arah masing-masing proyeksi tersebut disebut vektor basis atau vektor elementer dalamruang, dinyatakan sebagai ~ex, ~ey, ~ez, masing-masing berada pada sumbu-sumbu koordinat tegaklurus kartesian, atau dalam sistem koordinat empat persegi dan berlaku relasi sbb:

~ex = ~ey = ~ey = 1, ~ex · ~ey = ~ey · ~ez = ~ex · ~ez = 0. (13.1.2)

Maka ~a jika dinyatakan pada arah sumbu koordinat merupakan jumlah dari tiga vektor, ditulissebagai:

~a = ~ex ax + ~ey ay + ~ez az, (13.1.3)

dengan tiga komponen kartesian ax = ~a · ~ex, ay = ~a · ~ey dan az = ~a · ~ez dan besarnya vektor ~a adapat

dicari dari penjumlahan komponen kartesian kuadratnya, atau a =√

a2x + a2

y + a2z . Dengan penulisan

komponen demikian, perkalian skalar dua vektor ~a dan ~b dapat dinyatakan sbb:

~a · ~b = ax bx + ay by + az bz. (13.1.4)

Khususnya pula berlaku relasi:~a · ~n = ax nx + ay ny + az nz, (13.1.5)

yaitu komponen an dari vektor ~a pada arah vektor satuan ~n.

13.1.3 Vektor Posisi dan Representasi Vektor dalam Koordinat Diperumum

Ciri asal sebuah vektor adalah pergeseran posisi d~s dari titik P ke titik Q. Jika P dan Q masing-masing dinyatakan dalam koordinat kartesian (x, y, z) dan (x+dx, y+dy, z+dz), maka dari pers[13.1.3]berlaku:

d~s = ~ex dx + ~ey dy + ~ez dz. (13.1.6)

demikian pula(d~s)2 = (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2. (13.1.7)

Apabila vektor tidak dinyatakan dalam sistem koordinat kartesian, melainkan dalam sistem koor-dinat sembarang (x1, x2, x3), misalnya koordinat polar (r, ϑ, α), maka diperoleh pernyataan umumdibanding pers[13.1.6] sbb:

d~s = ~h1 dx1 + ~h2 dx2 + ~h3 dx3 =

3∑j,k=1

~h j dx j. (13.1.8)

Terlihat pada persamaan di atas bahwa setiap titik dinyatakan dalam tiga vektor basis ~h j, di manamenunjukkan arah pertambahan komponen sesuai masing-masing sumbu x j dan besarnya |~h j| = h j

13.1. ALJABAR VEKTOR 343

adalah sama dengan ukuran kenaikan dari x j sendiri: ~h j = ∂ s/∂ x j. Karena ketiga vektor basis di atastidak harus saling tegak lurus satu sama lain, maka harga kuadrat elemen panjang ditulis menjadi:

(d~s)2 = (ds)2 =

3∑j, k=1

∑~g j k dx j dxk dengan ~g j k = ~h j ~hk. (13.1.9)

Selanjutnya dalam mengubah vektor dari satuan ~h j menjadi ~hk berlaku persamaan:

~h j ~hk = ~δkj =

1 untuk j = k,0 untuk j , k (13.1.10)

yang terletak tegak lurus terhadap vektor berindeks berneda ~hk. Dengan persamaan ini, yaitu melaluirelasi

d~s =∑

~hk dxk, (13.1.11)

d~s2 = d s2 =∑∑

g j k d x j d xk

dengan ~g j k = ~h j hk

titik dapat dinyatakan diubah ke dalam koordinat baru (x1, x2, x3), dengan menggantikan rumusand~s pada pers[13.1.8] ke pers[13.1.11] dan kalikan dengan skalar ~hk atau ~h j; berdasarkan pers[13.1.10]kemudian berlaku:

d xk = ~hk d~s =∑

~hk~h j d x j =

∑~g j k d x j d x j =

∑~g j k d xk. (13.1.12)

Dengan cara analog diperoleh pula persamaan:

~h j =∑

~g j k~hk dan ~hk =

∑~g j k ~h j, atau

∑~gk j ~g j l = δ

kl , (13.1.13)

sebagai perhitungan (transformasi) kebalikan dari ~h j ke ~hk.Dari relasi-relasi di atas kemudian dikenal aturan perhitungan: penjumlahan terhadap indeks da-

pat dilakukan hanya jika indeks yang terdapat dalam tanda penjumlahan (summa) muncul dua kali,yaitu sekali muncul sebagai indeks bawah (subscript) dan lainnya sebagai indeks atas (upperscript).Indeks-indeks yang hanya muncul sekali dalam suatu persamaan, harus pula terdapat hanya sekalidalam semua suku-suku pada persamaan yang bersangkutan.

Selannjutnya batas indeks dalam penjumlahan yang terdapat pada baris pers[13.1.11] secaraotomatis dapat tidak dituliskan. Karenanya pula dalam banyak buku-buku acuan bahkan tanda pen-jumlahan (summa) seringkali tidak dituliskan, untuk menyederhanakan atau meringkas penulisan,karena dengan acuan aturan perhitungan di atas, apabila dituliskan dianggap terlalu berlebihan danselain itu lebih mudah dimengerti.


Dalam cara penulisan demikian, komponen-komponen vektor ~a didefinisikan menurut persamaansbb:

~a =∑

~h j a j, atau a j = ~a · ~h j. (13.1.14)

Dalam hal ini a j disenut sebagai komponen kontravarian dan a j adalah komponen kovarian dari vektor~a dalam sistem koordinat yang digunakan. Sebagai catatan penting, patut pula diketahui bahwadalam sistem koordinat berdimensi sembarang, seperti misalnya dalam sistem koordinat polar ruang,komponen-komponen vektor yang didefinisikan pada pers[13.1.14] dapat pula mempunyai dimensiyang berbeda. Proyeksi murni dari~a pada arah vektor satuan dapat diperoleh dari rumusan~a j ·~h j/h j

atau ~a j· ~h j/h j. Akhirnya dari pers[13.1.14] komponen-komponen dari perkalian skalar ~a · ~b dapat

ditulis menjadi:

~a · ~b =∑∑

g j k a j bk =∑∑

g j k a j bk =∑

a j b j =∑

a j b j. (13.1.15)

13.1.4 Perkalian Vektor

Sebagai hasil kali dua vektor yang menghasilkan suatu vektor baru dengan arah di luar dari duavektor pertama dituliskan~c = ~a× ~b, dengan arah~c adalah tegak lurus terhadap arah bidang di manaterletak vektor ~a dan ~b dan besarnya vektor ~c adalah

c = |~a × ~b| = a b sin ϕ dengan ϕ =< ~a, ~b >, (13.1.16)

yaitu sama dengan luas bidang paralelogram yang dibentuk vektor ~a dan ~b. Arah vektor ~c dapatditentukan sesuai dengan urut-urutan sumbu dalam sistem koordinat segiempat, yaitu dengan vektorbasis ~a, ~b dan ~a × ~b. Untuk perkalian vektor berlaku relasi:

~a × ~b = −~b × ~a, (~a + ~b) × ~d = ~a × ~d + ~b × ~d.

Bahwa perkalian ~a × ~b benar-benar merupakan vektor, karena perkalian ini memenuhi aturan pe-nambahan vektor, yang dapat ditentukan dengan memandang proyeksi vektor yang bersangkutanterhadap arah vektor satuan sembarang ~e atau proyeksi paralelogram yang dibentuk oleh vektor ~adan ~b pada bidang yang tegak lurus vektor ~e; karenanya proyeksi dari dua perkalian vektor ~a × ~bdan ~c × ~d dapat dijumlahkan menurut aturan aljabar biasa.

Seperti yang ditunjukkan pada perkalian vektor di atas, terdapat dua macam vektor dengan sifatyang berbeda, yaitu:

1. Vektor biasa: juga disebut sebagai vektor polar, seperti vektor pergeseran posisi d~s atau gayamekanis, dinyatakan dengan cara biasa, yaitu dengan membubuhkan tanda panah. Contohlain dari vektor ini misalnya: ~e, ~d, ~P dan ~g.

2. Vektor Semu: disebut pula sebagai vektor aksial, yang merupakan hasil kali dari dua vektor polardengan arah yang berbeda dari vektor ini, seperti musalnya perkalian vektor dari~r × ~p dalammekanika, yang dapat dikarakteristikkan melalui tanda panah juga; vektor ini lebih berarti jika


digambarkan melalui sebuah sumbu dan arah putar di sekeliling sumbu yang bersangkutan.Contoh lain dari vektor ini adalah vektor-vektor magnetik seperti: ~b, ~H dan ~M.

Kedua macam vektor di atas mempunyai kelakuan yang sama pada rotasi ruang, akan tetapidengan operasi inversi terhadap titik acuan (nol) sistem koordinat menunjukkan sifat yang berbeda,di mana vektor polar menunjukkan perubahan arahnya (kebalikan arah semula), sementara vektoraksial tidak. Karenanya vektor aksial tidak dapat ditambahkan secara langsung, menurut aturanpenambahan vektor yang ada, dengan vektor polar; dan dalam penulisan keduanya musti ditulis di”‘tempat”’ masing-masing. Dengan dasar yang sama pula, perkalian skalar dari dua macam vektoryang berbeda ini akan menghasilkan skalar semu pula, yaitu suatu skalar jika dioperasikan inversiterhadap titik acuan akan mengalami perubahan tanda (misalnya dari positif menjadi negatif).

13.1.5 Hasil Akhir Perkalian Vektor dalam Komponen-komponennya

Suatu contoh penting untuk skalar semu adalah pembentukan dari operasi (~a × ~b) ·~c ≡ (~a · ~bcdot~c)dari tiga vektor polar ~a, ~b, ~c atau hasil kali skalar dari vektor ~a × ~b dan ~c, yang disebut sebagai hasilakhir dan ruang yang dibentuk oleh tiga vektor ini berbentuk paralelepipedium. Dalam hal ini berlaku:

(~a · ~b ·~c) = (~b ·~c · ~a) = −(~c · ~a · ~b) = −(~b · ~a ·~c) = −(~a ·~c · ~b).

Terlihat bahwa hasil akhir perkalian di atas mengalami perubahan tanda dengan pencerminan ter-hadap titik acuan.

Ilustrasi komponen hasil akhir dalam koordinat kartesian dari tiga vektor~a, ~b, ~c diperoleh denganmenuliskannya dalam komponen-komponen hasil kali vektor yang bersangkutan. Jika vektor satuansistem koordinat kartesian ditulis sebagai ~ex, ~ey, ~ez, berdasarkan definisi hasil kali vektor, berlakurelasi sbb:

~ex × ~ey = −~ey × ~ex = ~ez, ~ey × ~ez = −~ez × ~ey = ~ex, ~ez × ~ex = ~ey, (13.1.17)

selanjutnya dari perkalian silang (cross) dua vektor ~a dan ~b pada pers[13.1.3], diperoleh:

~a × ~b = ~ex (ay bz − az by) + ~ey (az bx − ax bz) + ~ez (ax by − ay bx),

atau jika ditulis dalam bentuk determinan:

~a × ~b =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ezax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (13.1.18)

Kemudian melalui perkalian skalar dengan ~c = ~ex cx + ~ey cy + ~ez cz didapat:

(~a · ~b ·~c) =

∣∣∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (13.1.19)

sebagai pernyataan hasil akhir melalui komponen-komponen vektor yang bersangkutan.


Dalam menggunakan koordinat diperumum, dalam perhitungan digunakan vektor satuan~h1, ~h2, ~h3 atau ~h1, ~h2, ~h3. Dalam hal ini ~h3 terletak tegak lurus terhadap ~h1 dan ~h2, atau mem-punyai arah sama dengan perkalian dari vektor satuan ~h1 × ~h2; karenanya ~h3 dapat diganti denganpernyataan ~h3 = ~h1 × ~h2/v, dengan membubuhkan faktor v sebagai penyebut, yang karena hasil kali~h3 ·~h3 = 1 sebagai hasil akhir dari perkalian skalar tiga vektor satuan (~h1 ·~h2 ·~h3). Karenanya berlaku:

~h1 =~h2 × ~h3

v, (13.1.20)

~h2 =~h3 × ~h1

v,

~h3 =~h1 × ~h2

v,

dengan v = (~h1 · ~h2 · ~h3).

Sesuai dengan persamaan di atas berlaku pula persamaan berikut, untuk komponen kovarian:

~h1 =~h2× ~h3

w, (13.1.21)

~h2 =~h3× ~h1

w,

~h3 =~h1× ~h2

w,

dengan w = (~h1· ~h2· ~h3).

Bahwa w = 1/v, akan dibuktikan nantinya. Dengan mengambil analogi sifat-sifat yang terdapatdalam teori kisi kristal, di mana ~a1, ~a2 dan ~a3 adalah vektor basis dari kisi sederhana dengan volumesatuan elemen sebesar v = (~a1 · ~a2 · ~a3), dan misalkan pula bahwa ~b1, ~b2 dan ~b3 adalah vektor basisdalam ruang balik (ruang fase) yang didefinisikan sebagai: ~a j · ~bk = δ j k, dengan elemen volume sama

dengan (~b1 ·~b2 ·~b3) = 1/v. Karenanya dengan skema pada pers[13.1.14] diperoleh kembali relasi yangterdapat pada pers[13.1.18], dengan pertolongan rumusan pers[13.1.20] dan [13.1.21] dalam ~a dan ~bsbb:

~a × ~b = v

∣∣∣∣∣∣∣∣~h1 ~h2 ~h3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = w

∣∣∣∣∣∣∣∣~h1 ~h2 ~h3a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (13.1.22)

Perkalian skalar dengan c =∑ ~h j c j =

∑ ~h j c j, berdasarkan pers[13.1.20], kemudian memberikan

hasil akhir yang dinyatakan dalam komponen-komponennya sbb:

(~a · ~b ·~c) = v

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = w

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (13.1.23)


13.1.6 Hasil Kali Lainnya

Jika ~a × ~b yang bukan skalar dikalisilangkan dengan ~c maka (~a × ~b) ×~c, hasil kalinya merupakansebuah vektor yang tegak lurus terhadap vektor ~a × ~b dan juga ~c, yaitu sebuah vektor yang terletakpada bidang yang dibentuk ~a dan ~b dan harus sebanding dengan ~b(~a · ~c) − ~a(~b · ~c). Konstantakesebandingan yang muncul adalah bilangan yang murni tidak bergantung pada tiga vektor yangberangkutan dan faktor ini dapat dicari, misalnya untuk kasus khusus di mana ~c ‖ ~a ⊥ ~b yang samadengan 1, dan atas dasar simetri geometris haruslah (~a × ~b) ×~c = ~a · ~b ·~c. Sehingga berlaku:

(~a × ~b) ×~c = ~b (~a ·~c) − ~a (~b ·~c). (13.1.24)

dan rumusan dalam koordinat kartesian diperoleh mirip seperti perhitungan yang dilakukan se-belumnya.

Dengan pertolongan rumusan ini dapat ditunjukkan secara langsung, bahwa besaran v dan wyang didefinisikan pada pers[13.1.20] dan [13.1.21] masing-masing merupakan kebalikan satu samalainnya. Penggunaan dua kali dari relasi ini diperoleh hubungan persamaan sbb:

~h1 =~h2× ~h3

w=

(~h3 × ~h1 × ~h3)v w

=~h1

v w,

persamaan terakhir diperoleh dari pers[13.1.24] dan [13.1.10]; atau dengan perkataan benar-benarberlaku bahwa v w = 1.

Selanjutnya dari pers[13.1.24], melalui multiplikasi dengan skalar dengan ~d, didapat relasi:

((~a × ~b) ×~c) · ~d = (~a × ~b) · (~c × ~d) = (~a ·~c) · (~b · ~d) − (~a · ~d) · (~b ·~c). (13.1.25)

Dan untuk ~a = ~c dan ~c = ~d berlaku:

(~a × ~b)2 = ~a2· ~b2− (a b)2,

sesuai dengan relasi sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ dengan ϕ =< ~a, ~b >.Sebagai penutup melalui pernyataan pada pers[13.1.19] diperoleh hasil akhir dari aturan perkalian

untuk dua determinan relasi sbb:

(~a · ~b ·~c)(~d · ~e ·~f) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~a · ~d ~a · ~e ~a ·~f~b · ~d ~b · ~e ~b ·~f~c · ~d ~c · ~e ~c ·~f

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (13.1.26)

Dari pers[13.1.10] didapat pula

v w ≡ (~h1 · ~h2 · ~h3)(~h1· ~h2· ~h3) = 1, (13.1.27)

seperti telah diketahui dari perhitungan di atas. Dari pers[13.1.26] didapat pula relasi:

v2 = (~h1 · ~h2 · ~h3)2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≡ ~g (13.1.28)

yaitu determinan yang dibentuk dari ~g j k. Sesuai dengan determinan ini adalah determinan ~g j k samadengan w2, sehingga karena relasi v w = 1 didapat pula hubungan, bahwa v w = 1/g.


13.2 Analisa Vektor

13.2.1 Diferensiasi Sebuah Vektor dengan Satu Parameter

Jika vektor~a bergantung pada suatu parameter t, misalnya bergantung terhadap waktu, maka per-bandingan perubahan ~a terhadap perubahan waktu didefinisikan dalam suatu limit waktu tertentusebagai:

d~ad t= lim

t→0

~a(t + ∆t) − ~a(t)∆ t

. (13.2.1)

Jika ~a(t) ≡ ~r(t), yaitu vektor jarak dari suatu titik acuan O terhadap suatu titik P, atau vektor posisititik P, maka diberikan ~v =d~r/dt adalah vektor kecepatan titik P.

Suatu turunan yang mirip telah digunakan pada akhir pers[13.1.8], di mana lintasan ~s dari titikacuan nol ke titik tetap Q dinyatakan dalam sistem koordinat diperumum x1, x2, x3 dan digunakanuntuk mendefinisikan vektor basis ~h j yang didefinisikan sebagai: ~h j = ∂~s/∂ x j. Dari definisi inididapat pula relasi lain, yaitu:

∂ ~h j

∂ xk=∂ ~hk

∂ x j =∂2~s

∂ x j ∂ xk, (13.2.2)

yang akan digunakan untuk pembicaraan nantinya.Berdasarkan aturan pada pers[13.2.1] untuk mendiferensiasi sebuah vektor, maka pernyataan

diferensiasi dapat dituliskan dalam pernyataan lain yang juga dinyatakan dalam vektor. Sebagaimisal berlaku relasi sbb:

d (~a · ~b)d t

=d~ad t+

d ~bd t

dan

d (~a × ~b)d t

=d~ad t× ~b + ~a ×

d ~bd t.

13.2.2 Gradien

Suatu besaran skalar, tetapi bergantung tempat yang disebut sebagai besaran medan ϕ(~r) berpin-dah secara infinitisimal dari suatu titik yang dinyatakan dengan vektor posisi ~r ke titik lain pada(~r + d~r), maka sebagai pendekatan pertama besaran ϕ akan berubah menjadi dϕ sesuai dengn pe-rubahan d~r, yang didefinisikan sebagai:

dϕ(~r) = ϕ(~r + d~r) − ϕ(~r) (13.2.3)

= d~rdϕ(~r)

d~r≡ d~r ~∇ϕ(~r)≡ d~r d~r gradϕ(~r).

Dalam hal ini besaran vektor yang terdiri dari skalar dϕ yang dibagi oleh d~r, atau dϕ/d~r disebutsebagai nabla dari ϕ atau disingkat menjadi ~∇ϕ, atau gradien dari ϕ, atau gradϕ. Dari pers[13.2.3]vektor gradϕ terletak tegak lurus terhadap bidang ϕ =konstan; karena harga dϕ akan sama dengannol untuk setiap vektor d~r yang terletak di bidang ini.

13.2. ANALISA VEKTOR 349

Dalam sistem koordinat kartesian pertambahan dϕ dari ϕ(x, y, z) diberikan sebagai:

dϕ = d x∂ϕ

∂ x+ d y

∂ϕ

∂ y+ d z

∂ϕ

∂ z. (13.2.4)

Karenanya untuk kasus ini ~∇ ≡grad dalam koordinat kartesian ditulis dalam bentuk:

~∇ = ~ex∂∂ x+ ~ey

∂∂ y+ ~ez

∂∂ z. (13.2.5)

Dalam koordinat diperumum x1, x2, x3, dengan ϕ(x1, x2, x3) ditulis menjadi:

dϕ = d x1 ∂ϕ

∂ x1+ d x2 ∂ϕ

∂ x2 + d x3 ∂ϕ

∂ x3 ≡∑

d x j ∂ϕ

∂ x j . (13.2.6)

Dalam koordinat ini operator operator ~∇ ditulis dalam bentuk:

~∇ = ~h1 ∂

∂ x1+ ~h2 ∂

∂ x2 +~h3 ∂

∂ x3 ≡∑

d h j ∂

∂ x j , (13.2.7)

karena persamaan definisi (pers[13.2.3]) dengan d~r =∑ ~hk dxk, yaitu tidak lain analog dengan

pers[13.2.6].Dengan cara pandang yang sama untuk vektor medan yang bergantung tempat ~a(~r):

d~a(~r) ≡ ~a(~r + d~r) − ~a(~r) (13.2.8)

=(d

dd~r

)~a(~r)

≡ (d~r ~∇)~a(~r)≡ (d~r grad)~a(~r).

Untuk setiap komponen ~a dalam koordinat kartesian, sesuai dengan pers[13.2.4] dan [13.2.3]:

d ax = d x∂ ax

∂ x+ d y

∂ ay

∂ y+ d z

∂ az

∂ z= d~r ~∇ ax, (13.2.9)

d ay = d ~∇ ay,

d az = d ~∇ az.

Dengan menggunakan koordinat diperumum haruslah diperhatikan, bahwa vektor basis ~h j atau ~h j

seringkali sebagai fungsi dari xk. Karenanya berlaku persamaan sbb:

d~a = d

∑ ~h j a j

= ∑a j d ~h j.

dengan

d a j =∑

d xk ∂ a j

∂ xk, atau d ~h j =

∑d xk ∂

~h j

∂ xk;


dalam hal ini vektor ∂ ~h j/∂ xk yang berdasarkan pers[13.2.2] sama dengan ∂ ~hk/∂ x j juga ditulis dalambentuk:

∂ ~h j

∂ xk=

∑~hl Γl j k dengan Γl j k = ~hl ∂

~h j

∂ xk= ~hl

∂ ~hk

∂ x j = Γi k j. (13.2.10)

Γl j k disebut sebagai simbol tiga indeks Christoffel .

13.2.3 Divergensi

Istilah lain pada analisa vektor adalah divergensi suatu vektor medan ~a(~r), yang ditulis sebagaidiv~a atau ~∇ · ~a. Divergensi didefinisikan sebagai jumlah total fluks dari vektor ~a(~r) yang melaluipermukaan atau kurva tertutup dengan luas F, dibagi dengan volume tertutup V, dengan bataspermukaan F dan volume V secara langsung, di mana terdapat titik P:

div~a = limV→0

1V⊂⊃

∫∫~a · ~n d f . (13.2.11)

Dalam hal ini fluks dari~a yang melalui elemen luas permukaan d f dengan arah sesuai dengan vektorsatuan ~n dari vektor normal yang sama dengan ~a ·~n d f ≡ a n d f . Dan seperti ditunjukkan pada suatupengamatan rinci, berarti sama, apakah dengan cara bagaimana dan bagaimana bentuk permukaanF berhubungan dengan titik P.

Untuk memperoleh gambaran lebih secara eksplisit dari rumusan integral pada pers[13.2.11],misalkan divergensi dilakukan dalam koordinat kartersian dan permukaan F dipilih berbentuk em-patpersegi dengan panjang sisi dx, dy dan dz, paralel dengan sumbu koordinat. Kemudian normalpermukaan berada pada arah sumbu x positif dan negatif; harga integral pers[13.2.11] untuk kasusini adalah sama dengan

(ax dy dz)x+dx = −(ax dy dz)x ≈∂ ax

∂ xdx dy dz.

Tambahkan hasil integrasi di atas untuk pasangan permukaan lainnya dan bagi dengan elemenvolume dx dy dz, maka akan diperoleh ~∇ · ~a atau div~a dalam limit dari komponen-komponennya,yaitu:

div~a = ~∇ · ~a =∂ ax

∂ x+∂ ay

∂ y+∂ az

∂ z, (13.2.12)

yaitu tidak lain sama dengan perkalian skalar dari operator nabla dan vektor ~a, atau dapat ditulisdalam bentuk:

div~a = ~∇ · ~a. (13.2.13)

Selanjutnya dalam koordinat diperumum x1, x2, x3, kemudian pandang panjang sisi empatpersegi~h1 dx1, ~h2 dx2 dan ~h3 dx3, masing-masing sesuai dengan arah sumbu koordinat, sehingga elemenvolume menjadi dV = (~h1 · ~h2 · ~h3)dx1 dx2 dx3, serta karena x j dapat mempunyai dimensi berbeda,volume tidak harus sama dengan dimensi volume biasa, seperti dalam koordinat kartesian. Makauntuk permukaan sebelah kanan empatpersegi d f dan vektor normal~n yang membentuk sudut lancip


dengan ~h1 adalah ~n d f = (~h2dx2) × (~h3dx3) = v ~h1 dx2 dx3, yang terakhir diperoleh dari pers[13.1.20].Kalikan vektor skalar ini dengan vektor ~a =

∑ ~h1 a j, maka diperoleh selisih harga permukaan kiri

dan kanan sama dengan

(v a1 dx2 dx3)x1+dx1 − (v a1 dx2 dx3)x1 ≈∂ a1

∂ x1dx1 dx2 dx3.

Dengan demikian dari pers[13.2.11] diperoleh relasi yang sama dengan di atas sbb:

div~a = ~∇ · ~a =1v

∂ (v a1)∂ x1

+∂ (v a2)∂ x2 +

∂ (v a3)∂ x3

=

∑ ∂ (v a j)∂ x j +

∑ a j

v∂ v∂ x j , (13.2.14)

yang akan sama dengan div~a pada sistem koordinat kartesian jika disubstitusikan v = 1 padapers[13.2.12]. Tentunya relasi seperti pada pers[13.2.13] dapat pula diturunkan, yaitu:

div~a = ~∇ · ~a =∑∑ (

~hk ∂∂ xk

)(~h j a j)

=∑ ∂ a j

∂ x j +∑∑

a j ~hk ∂ h j

∂ xk

=∑ ∂ a j

∂ x j +∑∑

a j ~hk ∂ hk

∂ x j .

relasi terakhir diperoleh dari pers[13.2.2].

13.2.4 Operator Laplace

Sebagai operator Laplace dapat diurut dari pers[13.2.13] dengan memisalkan ~a = gradϕ ≡ ~∇ϕ;sehingga didapat:

~44ϕ ≡ ~∇ · (~∇ϕ) = ~∇ · ~∇ϕ =∂2ϕ

∂ x2 +∂2ϕ

∂ y2 +∂2ϕ

∂ z2 , (13.2.15)

dan biasanya ditulis singkat dengan ~∇2 ϕ atau~44ϕ dalam koordinat kartesian. Dalam koordinatdiperumum dari pers[13.2.14] dengan

~a = ~∇ϕ =∑

~hk ∂ϕ

∂ xkatau a j = ~h j

· ~a =∑

g j k ∂ϕ

∂ xk

dan untuk~44ϕ diperoleh relasi:

~44ϕ =1v

∑∑ ∂

∂ x j

(v g j k ∂ϕ

∂ xk

)=

1√

g

∑∑ ∂

∂ x j

(√

g g j k ∂ϕ

∂ xk

). (13.2.16)


Khusus untuk koordinat ortogonal (tegak lurus), pada koordinat ini semua permukaan terletak salingtegak lurus satu sama lain, karenanya g j k = ~h j ~hk dan ~g j k = ~h j ~hk untuk j , k akan berharga samadengan nol, sehingga

√g = v = h1 h2 h3 dan g j j = (h j)2 = 1/(h j)2. Kemudian dari pers[13.2.14] dan

[13.2.16] berlaku:

div~a =

1h1 h2 h3

(∂ (h1 h2 h3 a1)

∂ x1+∂ (h1 h2 h3 a2)

∂ x2 +∂ (h1 h2 h3 a3)

∂ x3

)(13.2.17)

dan

~44ϕ =1

h1 h2 h3

∂

∂ x1

(h2 h3

h1

∂ϕ

∂ x1

)+

∂

∂ x2

(h3 h1

h2

∂ϕ

∂ x2

)+

∂

∂ x3

(h1 h2

h3

∂ϕ

∂ x3

). (13.2.18)

13.2.5 Rotasi (curl)

Sebagai istilah terakhir dalam analisa vektor adalah rotasi (curl) dari suatu vektor medan~a(~r), yang

biasanya ditulis sebagai rot~a atau ~∇ × ~a. Rotasi didefinisikan sebagai integral garis∮~a d~r sepanjang

suatu kurva tertutup C dengan luas permukaannya F dan masih dibagi dengan F, yaitu dengan batasbahwa kurva C yang dilingkupi oleh F di mana terdapat titik P pada F saling berhubungan. Daridefinisi ini berlaku persamaan:

~n · rot~a = limF→0

1F

∮~a · d~r, (13.2.19)

dengan ~n adalah vektor satuan pada arah normal permukaan F dan jalannya integral garis adalahsesuai dengan arah putar kanan jarum jam.

Untuk menentukan gambaran integral dari rotasi vektor ~a yang dinyatakan melalui komponen-komponen dalam koordinat kartesian, bayangkan bahwa kurva C yang membatasi luas F berbentuksegiempat kecil dan terletak pada bidang x − y, dengan panjang sisi dx dan dy. Maka panjang sisisegiempat yang sejajar dengan sumbu y akan mempunyai harga sama dengan:

(ay dy)x+dx − (ay dy)x ≈∂ ay

∂ xdx dy.

Dengan cara yang sama dapat pula diperoleh panjang sisi segiempat yang paralel dengan sumbu x,sehingga dengan menambahkan keduanya dan membaginya dengan F =dx dy untuk limit F → 0,maka komponen z dari ~∇ × ~a adalah

(~∇ × ~a)z = (rot~a)z =∂ ay

∂ x−∂ ax

∂ y. (13.2.20)

Dengan demikian maka rotasi dari ~a diketahui sama dengan

rot~a = ~∇ × ~a. (13.2.21)


yaitu tidak lain sama dengan perkalian vektor dari operator nabla dengan vektor ~a.Bahwa rumusan ini dapat pula diformulasikan kembali untuk koordinat diperumum, dapat

dilakukan prosedur sebagai berikut: (13.2.21)Untuk mencari gambaran integral pada pers[13.2.19] kurva C dapat dipilih berbentuk paralel-

logram pada bidang x1− x2 dengan panjang masing-masing sisi adalah ~h1 dx1 dan ~h2 dx2. Kemudian

di satu sisi diperoleh ~n F = (~h1 × ~h2) dx1 dx2. Di lain pihak kedua sisi paralellogram yang paralelterhadap sumbu ~h2 karena ~h2 · ~a = a2 adalah

(a2 dx2)x1+dx1 − (a2 dx2)x1 ≈∂ a2

∂ x1dx1 dx2.

Dengan cara yang sama dapat pula diperoleh harga untuk dua sisi paralellogram lainnya, kemudianditambahkan dan berdasarkan definisi pada pers[13.2.19] dibagi dengan F =dx1 dx2, sehingga sebagaikomponen ~h3 dan rot~a diperoleh relasi:

(~h1 × ~h2) rot~a = v ~h3 rot~a =∂ a2

∂ x1−∂ a1

∂ x2 . (13.2.23)

Sehingga karena rot~a =∑ ~h j(~h j rot~a, maka rotasi ~a dapat pula ditulis dalam bentuk determinan sbb:

~∇ × ~a = rot~a =1v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~h1 ~h2 ~h3∂∂ x1

∂∂ x2

∂∂ x3

~a1 ~a2 ~a3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (13.2.24)

Dengan cara yang serupa akan diperoleh rumusan pada pers[13.2.21] dalam rumusan sepertipersamaan di atas. Maka dapat ditulis

~∇ × ~a = rot~a =∑∑ (

~h j ∂

∂ x j

)× (~hk~ak)

=∑∑

(~h j× ~hk)

∂ ak

∂ x j +∑∑

ak

~hk ∂~hk

∂ x j

.Dalam persamaan di atas penjumlahan ganda pada ruas kanan adalah karena ~h1

× ~h2 = ~h3/vberdasarkan pers[13.2.21] atau lebih jelas lagi melalui pers[13.2.24], seperti akan dilihat nantinya,sementara suku penjumlahan ganda kedua diperoleh karena:

∑~h j×∂ ~hk

∂ x j =∑∑

(~h j× ~hi)

~hi∂ ~hk

∂ x j

= −

∑∑(~h j× ~hl)

~hl∂ ~hk

∂ x j

adalah sama dengan nol, di satu pihak tanda dari ~h j

× ~hi akan berubah jika indeks j dan i salingdipertukarkan, di lain pihak berlaku pula ∂ ~hi/∂ x j = ∂ ~h j/∂ xi.


Dari pers[13.2.21] diperoleh aturan perhitungan sbb: (13.2.24)Jika ~a = gradϕ, maka dari pers[13.2.20] atau [13.2.24] diperoleh secara langsung bahwa

rot gradϕ ≡ ~∇ × (~∇ϕ) = (~∇ × ~∇)ϕ = 0; (13.2.26)

rotasi suatu gradien akan selalu sama dengan nol. Demikian pula jika div ~b = ~∇ · ~b dengan ~b = ~∇rot ~b,maka

div rotϕ ≡ ~∇ · (~∇ × ~a) = (~∇ × ~∇)~a = 0; (13.2.27)

divergensi suatu rotasi juga akan selalu sama dengan nol. Karenanya penyelesaian suatu persamaan ~a(~r)dalam bentuk ~a = f (~r) tetap tidak akan diperoleh hingga suku penambahan ~a′(~r) = ~∇ψ(~r), denganfungsi skalar sembarang ψ(~r). Demikian pula untuk mencari pernyelesaian dari ~a(~r) = jika diketahui~∇ · ~a = g(~r), tetap akan terdapat suku yang mengandung ~a′′(~r) = ~∇ × ~b(~r), dengan ~b(~r) adalah fungsivektor sembarang. Untuk mencari kedua fungsi ψ(~r) atau ~b(~r) lebih lanjut tentunya berhubungandengan syarat batas yang diketahui.

Sebagai penutup ada dua relasi yang juga penting dan sering dijumpai dalam persoalan-persoalanelektrodinamika, yaitu: pertama

(~∇~a ~b) = (~b ~∇~a) − (~a ~∇ ~b), (13.2.28)berartipula

div (~a × ~b) = ~b rot~a − ~a rot ~b.

Kedua adalah

~∇ × (~∇ × ~a) = ~∇(~∇ · ~a) − (~∇ · ~∇)~a, (13.2.29)berartipula

rot rot~a = grad div~a −~44~a.

Dalam hal ini adalah bebas untuk memperhatikan suku~44~a, misalnya dalam koordinat kartersianberlaku relasi (~44~a)x =~44 ax, akan tetapi dalam koordinat diperumum, relasi seperti di atas tidak berlaku,karena (~44~a) j ,~44 a j, karenanya dalam hal ini adalah penting untuk menghitung terletbih dahulu relasi−rot rot~a + grad div~a.

13.2.6 Koordinat Polar ruang: sebagai Contoh

Untuk koordinat polar ruang berlaku x1 = r, x2 = ϑ, x3 = α, dan karena x = r sin ϑ cos α, y =r sin ϑ sin α dan z = r cos ϑ, maka elemen panjang kuadrat menjadi:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + r2 dϑ + r2 sin2 ϑdα,

dan jika digunakan vektor satuan yang saling tegak lurus untuk sistem koordinat polar di dalamruang (~er, ~eϑ, ~eα), maka elemen panjang ds dapat ditulis dalam bentuk:

d~s = ~er dr + ~eϑ rdϑ + ~eα r2 sin2 α.


Dengan demikian, untuk vektor basis ~h j dan ~hk karena ~h j = ds/dx j dan ~hk ~h j = δkj , maka diperoleh

hubungan sbb:

~h1 = ~er, ~h2 = ~eϑ r ~h3 = ~eα r sin αdan

~h1 = ~er, ~h2 =~eϑr

~h3 =~eα

r sin α,

demikian pula untuk hasil akhir perkalian (~h1 ~h2 ~h3) = h1 h2, h3 = r2 sin ϑ. Tentunya hasil kali skalardari ~h j d~s =dx j dan kembali dinyatakan dalam dr, dϑ dan dα, sementara untuk hasil kali skalar~h j d~s =dx j berhubungan dengan dx1 =dr, dx2 = r2dϑ dan dx3 = r sin αdα. Analog untuk suatuvektor sembarang ~a, berlaku:

~a =∑

~h j a j =∑

~h j a j = ~er ar + ~eϑ aϑ + ~eα aα

dengan komponen-komponen vektor adalah sbb:

ar = a1 = a1 aϑ = a2/r = a2 r aα = a3/r sin ϑ = a3 r sin ϑ.

Selanjutnya operator nabla ~∇ pada pers[13.2.7] dapat ditulis kembali dalam bentuk:

~∇ =∑ ∂

∂ x j = ~er∂∂ r+~eϑr

∂∂ϑ+

~eαr sin ϑ

∂∂α

.

Sedangkan untuk div~a berdasarkan pers[13.2.14] atau [13.2.17] jika dituliskan kembali dalamkomponen-komponen vektor menjadi:

div~a =1r2

∂ (r2 ar)∂ r

+1

r sin ϑ∂ (sin ϑ aϑ)

∂ϑ+

1r sin ϑ

∂ aα∂α

.

Relasi~44ϕ dapat pula dicari dari pers[13.2.16] atau lebih singkat dari pers[13.2.17] sehingga didapatsebagai:

~44ϕ =1r2∂∂ r

(r2 ∂ϕ

∂ r

)+

1r2 sin ϑ

∂∂ϑ

(sin ϑ

∂ϕ

∂ϑ

)+

1r2 sin2 ϑ

∂2 ϕ

∂α2 .

Akhirnya pers[13.2.24] untuk rot~a dapat pula ditulis dalam bentuk determinan sbb:

~∇ × ~a = rot~a =1

~r2 sin2 ϑ

∣∣∣∣∣∣∣∣~er ~eϑ ~eα∂∂ r

∂∂ϑ

∂∂α

~ar ~r aϑ ~r sin ϑ aα

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,dengan komponen-komponen (rot~a)r, (rot~a)ϑ, (rot~a)α) dapat dibaca dengan jelas.


13.2.7 Hukum-hukum Integral Analisa Vektor

Dari definisi operasi vektor di atas dapat diturunkan rumusan integral yang khususnya pentingdalam elektrodinamika dan hidrodinamika. Jika dipandang kembali rumusan pada pers[13.2.11]untuk div~a tidak lain merupakan rumus integral Gauss:∫∫∫

V

div~a dv =⊂⊃∫∫

F

~a · ~n d f =⊂⊃∫∫

F

~a · d~f. (13.2.30)

Pada ruas kiri persamaan di atas terdapat div~a yang diintegrasi terhadap volume tertentu V, sedan-gkan pada ruas kanan berarti sebagai fluks total ~a yang menembus permukaan F dari volume Vtersebut. Untuk membuktikan kedua relasi di atas, pandang bahwa volume V terbagi dalam elemen-elemen volume infinitisimal dv, di mana pada elemen volume ini integral pada pers[13.2.11] dicari,kemudian lakukan penjumlahan semua integral terhadap seluruh elemen volume tersebut. Kare-nanya harga elemen luas antara elemen volume yang berdekatan sama dengan nol, sementara hanyaelemen luas lainnya tersisa dan akhirnya akan diperoleh hanya harga integral untuk permukaanbatas. Sebagai penutup perhitungan ini pandang penjumlahan semua elemen volume untuk integralvolume yang bersangkutan.

Jika vektor ~a pada daerah batas sama dengan gradien suatu skalar ϕ, berlaku ~a = ~∇ϕ, makaberdasarkan integral Gauss pada pers[13.2.30] diperoleh relasi yang khususnya penting dalammenyelesaikan persoalan elektrostatik, yaitu:∫∫∫

V

~44ϕdv =⊂⊃∫∫

F

∂ϕ

∂nd f ≡⊂⊃

∫∫F

~∇ϕ · d~f. (13.2.31)

Selanjutnya dari pers[13.2.30] karena ~a = ψ ~∇ϕ − ϕ ~∇ψ didapat relasi integral sbb:∫∫∫V

(ψ ~∇ϕ − ϕ ~∇ψ) dv =⊂⊃∫∫

F

(ψ∂ϕ

∂n− ϕ

∂ψ

∂n

)d~f, (13.2.32)

yang disebut pula sebagai integral Green.Akhirnya dari definisi pada pers[13.2.19] didapat pula integral Stoke sbb:∫∫

F

~n ~∇ × ~a d f =∫∫

F

~∇ × ~a · d~f =∮C

~a · d~r. (13.2.33)

Pada ruas kanan persamaan di atas masih terdapat integral terhadap luas F dengan elemen luasd f yang mempunyai arah sesuai dengan vektor normal ~n. Cara demikian adalah penting untukmembuktikan, bahwa luas F dibagi dalam elemen luas infinitisimal d f dan dengan elemen luasini integral pada pers[13.2.19] dicari dalam daerah batasnya, kemudian tambahkan seluruh hargauntuk elemen luas tersebut. Dalam hal ini semua elemen garis yang dibatasi oleh permukaan yangberdekatan akan saling menghilangkan, sehingga hanya tinggal harga kurva C semata. Akhirnyapenjumlahan terhadap semua elemen luas diubah menjadi integral.

13.3. ALJABAR TENSOR 357

13.3 Aljabar Tensor

13.3.1 Tensor dan Komponennya

Jika komponen-komponen vektor ~a dalam sistem koordinat kartersian bergantung padakomponen-komponen vektor lain, ~b, maka berlaku (dengan koefisien baru Txx dan Tzz) persamaansbb:

ax = Txx bx + Txy by + Txz bz, (13.3.1)ay = Tyx bx + Tyy by + Tyz bz,

az = Tzx bx + Tzy by + Tzz bz,

atau ketergantung komponen ~a di atas terhadap komponen ~b secara ringkas dapat ditulis dalambentuk:

~a = T ~b, (13.3.2)

di mana komponen matriks secara lengkap dari pers[13.3.1] didapat sbb:

T =

Txx Txy TxzTyx Tyy TyzTzx Tzy Tzz

(13.3.3)

yang ditulis dalam komponen-komponen tensor T 1. Ruas kanan pers[13.3.2] dapat dikatakan sebagaihasil kali dari vektor ~b dan tensor T. Transpose tensor T (ditulis T) dapat dicari melalui pencerminankomponen matriks T terhadap diagonalnya, dengan Txx = Txx, Txy = Tyx, Tyy = Tyy, Tyz = Tzy, Tzz =Tzz, sehingga pers[13.3.1] dapat pula ditulis dalam bentuk:

ax = bx Txx + by Tyx + bz Tzx, (13.3.4)ay = bx Txy + by Tyy + bz Tzy,

az = bx Txz + by Tyz + bz Tzz,

dan pers[13.3.2] dapat pula ditulis kembali menjadi:

~a = T ~b; (13.3.5)

dalam hal ini~a dinyatakan sebagai perkalian vektor ~b dengan tensor T (~b diletakkan sebelah kiri dariT, bandingkakn dengan pers[13.3.2]). Multiplikasi ~a dengan vektor ketiga ~c, diperoleh relasi:

~c~a = ~c T ~b = ~c (~b T),= (~b T)~c = ~b T~c = ~a~c. (13.3.6)

Jika ~b dan ~c dicirikan dengan vektor satuan ~n dan ~m, maka akan diperoleh tensor yang dinyatakandalam vektor sbb:

~m T ~n = mx (Txx nx + Txy ny + Txz nz)+my (Tyx nx + Tyy ny + Tyz nz)+mz (Tzx nx + Tzy ny + Tzz nz).

= ~n T ~m (13.3.7)1Untuk kasus ini berhubungan dengan tensor rank dua, dicirikan dengan dua indeks pada masing-masing komponen.

Karenanya vektor juga dikenal sebagai tensor rank satu dan skalar sebagai tensor rank nol.


Persamaan ini menunjukkan bahwa komponen-komponen Tnm = Tnm dari tensor T dan T beradapada arah ~n dan ~m. Jika digunakan penulisan dalam tensor satuan E, maka suatu vektor sembarang~a dapat didefinisikan sebagai:

~E~a = ~a ~E; (13.3.8)

komponen-komponen dari ~E mempunyai harga 1 pada diagonal tensor dan lainnya sama dengan 0.Suatu tensor sebagai hasil kali dari dua vektor ~p dan ~q, diberikan dan didefinisikan melalui

persamaan:T = ~p ~q; juga ~a = T ~b = ~p (~q ~b), atau Tmn = (~m ~p)(~n ~q); (13.3.9)

sehingga tensor transpos dari T ditulis menjadi T = ~qJika vektor maupun tensor tidak dinyatakan dalam koordinat kartesian. melainkan dalam ko-

ordinat x j, maka dari definisi tensor pada pers[13.3.2], melalui perkalian skalar dengan ~h j didapatrelasi sbb:

a j = ~h j · ~a = ~h j T ~b (13.3.10)

=∑

~h j T ~hk bk

=∑

T j k bk, dengan T j k = ~h j T ~hk.

Besaran T j k disebut sebagai komponen kovarian tensor T. Sebaliknya T j k = ~h j T ~hk disebut komponenkontravarian tensor T, sementara

Tkj =

~h j T ~hk =∑

g j i ~hi T ~hk =∑

g j i Ti k =∑

T j i gi k

dan analog untuk T jk adalah komponen campuran dari T. Juga besaran yang dibentuk dengan tensor

satuan E:

g j k = ~h j E ~hk = ~h j ~hk, (13.3.11)

g j k = ~h j E ~hk = ~h j ~hk,

g jk =~h j E ~hk = ~h j ~hk = δk

j

adalah komponen-komponen tensor tersebut, yaitu ditulis dengan memperhatikan tensor satuanpada sisten koordinat yang selanjutnya disebut pula sebagai tensor metrik fundamental; karena melaluikomponen-komponennya, g j k atau g j k berdasarkan pers[13.1.9] atau [13.1.11] mementukan elemengaris yang penting untuk ukuran semua besaran.

13.3.2 Aturan Umum Perhitungan Tensor

Untuk tensor berlaku aturan perhitungan berikut: dari ~a1 = T~b1 dan ~a2 = T~b2 diperoleh jumlahvektor sbb:

~a1 + ~a2 = T(~b1 + ~b2), (13.3.12)


sedangkan jumlah tensor T1 dan T2 didefinisikan sebagai:

(T1 + T2) ~b = T1 ~b + T2 ~b; (13.3.13)

komponen-komponen penjumlahan tensor adalah sama dengan jumlah komponen-komponen tensoryang besangkutan. Jika di samping ~a = T~b berlaku pula ~b = S~c, maka akan terdapat hubungan sbb:

~a = T (S~c) = (T S)~c (13.3.14)

yaitu ketergantung linier antara ~a dan ~c dihubungkan dengan perkalian tensor T S;dalam hal iniberlaku, sebagai contoh untuk komponen (T S) j k berlaku relasi:

(T S) j k =∑

T j i Sik =

∑Ti

j Si k =∑∑

Tij gi m Sm k. (13.3.15)

Secara umum berlaku hubungan T S,S T; atau dengan perkataan lain tensor kebanyakan tidak dapatsaling dipertukarkan. Berdasarkan pers[13.3.5] dan [13.3.6] dari

~d T S~c = ~c (T S) ~d, atau ~d T S~c = (S~c) (T ~d) = ~c S T ~d

untuk tensor transpos sebagai hasil dari T S diperoleh:

T S = T S. (13.3.16)

Hal ini dapat diketahui secara langsung dari pers[13.3.15], jika melalui definisi persamaan ini tensortranspos T atau komponen-komponennya T j k = Tk j menjadi besaran yang ditransposkan.

Relasi pada pers[13.3.1] dan [13.3.10] antara komponen-komponen dari~a yang dinyatakan dalam~b, maka dapat diselesaikan melalui ~b, selama determinan dari koefisien T j i dari sistem persamantersebut, yang disimbolkan sebagai Det(T), tidak sama dengan nol. Maka penyelesaian pers[13.3.2]dinyatakan dalam ~b ditulis dalam bentuk:

~b = T−1~a. (13.3.17)

T−1 disebut sebagai tensor inversi atau tensor resiprokal; untuk tensor ini berlaku T T−1 T−1 T = E,dengan E adalah tensor satuan.

13.3.3 Tensor Ortogonal dan Transformasi Umum untuknya

Tensor ortogonal secara aljabar disimbolkan sebagai O dan berlaku

O−1 = O. (13.3.18)

Dalam hal ini operasi tensor pada dua vektor sembarang ~a dan~b adalah

(O~a)(O ~b) = (O~a)(O ~b) = ~a ~b. (13.3.19)


Susunan perkalian dari ~a seperti O~a atau ~b dalam O ~b akan menghasilkan vektor yang sama (karena(O~a)(O~a) = ~a2), dan juga terdapat pula sudut antaranya. Karenanya operasi O~a tidak lain adalahsama dengan merotasikan vektor ~a terhadap sumbu yang digambarkan oleh tensor O atau pencer-minan dari ~a melalui bidang yang dilukiskan O.

Dengan menuliskan O O = O O = O O−1 = E dalam komponen-komponennya, berdasarkanaturan perkalian tensor pada pers[13.3.15] di atas dan karena O j k = Ok j, maka didapat:∑

O j i Ok i = δkj , atau

∑Oi j Oi k = δk

j . (13.3.20)

Dalam koordinat kartesian pernyataan di atas dapat ditulis dalam bentuk:

O j x Ok x +O j y Ok y +O j z Ok z = δ j k, (13.3.21)Ox j Ox k +Oy j Oy k +Oz j Oz k = δ j k

dengan indeks j dan k dapat digantikan dengan x, y atau z. Selanjutnya untuk kasus ini dari relasiO O−1 = E berdasarkan aturan determinan, karena

(Det(O))2 = Det(O) Det(O) = Det(O) Det(O) = Det(E) = 1, (13.3.22)

maka dapat dikatakan bahwa determinan dari suatu matriks ortogonal dapat berharga +1 datu−1 2. Untuk kasus pertama, berhubungan dengan rotasi murni, dan untuk harga batas O sangat kecilmendekati E, harga Det(O) akan mendekati harga +1. Sedangkan untuk kasus kedua berhubungandengan pencerminan murni terhadap bidang datar, misalnya terhadap bidang y−z, di mana harga Ox x =−1, Oy y=−1 dan Oz z = +1, sementara semua komponen lainnya sama dengan nol, atau berhubungandengan pencerminan terhadap titik nol, dengan Ox x = Oy y = Oz z = −1 yang berlaku untuk komponentensor campuran kovarian dan kontravarian, sehingga untuk keduanya berlaku Det(O)= −1.

Dari sifat-sifat tensor ortogonal O yang diberikan di atas, tensor ini dapat digunakan denganuntuk hal sekebalinya, dengan satu deret dari tiga besaran diperlakukan atau disimbolkan sebagaivektor, jika semua besaran tersebut pada operasi rotasi, yaitu dengan menggunakan transformasiortogonal O dengan Det(O)= +1 sehingga transformasi suatu vektor posisi ~r misalnya dapat ditulisdalam relasi: ~r′ = O~r′.

Ramalan demikian selanjutnya dinyatakan dalam transformasi umum sbb: (13.3.22)Misalkan terdapat suatu transformasi yang dinyatakan dengan persamaan sbb:

x′k = fk(x1, x2, x3) (13.3.24)

yaitu suatu transformasi dari koordinat x j ke koordinat x′k, maka h j, h j, g j k dst. akan mengalamiperubahan, demikian pula semua komponen-komponen vektor maupun tensor, sementara semuarelasi yang ada, tetap tidak mengalami peribahan. Dalam penulisan diferensial:

∂ x′k

∂ x j = αkj ,

∂ x j

∂ x′k= β

jk, (13.3.25)

2Pada penggunaan koordinat diperumum, determinan dari komponen kontravarian karena pers[13.1.28] sama denganv2 dan dari komponen kovarian sama dengan 1/v2.


antara keduanya terdapat relasi∑αk

j βij = δ

ki , dan

∑β

jk α

ki = δ

li, (13.3.26)

sebagai contoh dari pers[13.1.8] misalnya

d~s =∑

~h j dx j =,∑∑

~h j βjk dx′k =

∑~h′k dx′k.

Maka untuk vektor basis berlaku hubungan:

~h′k =∑

βjk~h j, ~h′j =

∑αk

j~h′k,

demikianpula,

~h′k =∑

αkj~h j, ~h j =

∑β

jk~h′k.

Karenanya dari relasi ~a = ~h j a j = ~h′k a′k diperoleh persamaan transformasi sbb:

komponenvektorkontravarian : a′k =∑

αkj a j, a j =

∑β

jk a′k

komponenvektorkovarian : a′k =∑

βjk a j, a j =

∑α

jk a′k.

(13.3.27)

Sehubungan dengannya diperoleh pula komponen-komponen tensor yang dinyatakan melalui per-samaan berikut:

T′i j =∑∑

βki β

ij Tk i dst.. (13.3.28)

Akhirnya operator diferensial juga mengalami transformasi dan ditulis menjadi:

∂

∂ x′k=

∑β

jk∂

∂ x j ,∂

∂ x j =∑

αkj∂

∂ xk(13.3.29)

seperti komponen kovarian vektor.

13.3.4 Sifat Simetri Tensor

Sifat penting lain dari tensor adalah sifat simetri. Suatu tensor disebut simetri jika

T = T, berarti T j k = Tk j; (13.3.30)

dan tensor disebut simetri diagonal atau antisimetri jika memenuhi relasi

T = −T, berarti T j k = −Tk j. (13.3.31)


Setiap tensor T dapat dinyatakan dalam tensor simetri dan antisimetri, dengan komponen-komponennya

T j k =12

(T j k + Tk j) +12

(T j k − Tk j). (13.3.32)

Terlihat bahwa terdapat enam bagian komponen tensor simetri, sementara komponen tensor anti-simetri hanya tiga. Sebagai contoh misalnya penulisan tensor simetri diagonal pada pers[13.3.9]T = ~p ~q − ~q ~p hanya mempunyai tiga komponen tidak sama dengan nol, yaitu:

T23 = T32 = p2 q3 − p3 q2, (13.3.33)T31 = T13 = p3 q1 − p1 q3,

T12 = T21 = p1 q2 − p2 q1,

sementara komponen-komponen T11, T22 dan T33 sama dengan nol.

13.3.5 Tensor Simetri Diagonal

Kemiripan dari ketiga komponen pada pers[13.3.33] dengan suatu perkalian vektor menunjukkan,bahwa hasil kali dari dua vektor polar, seperti momentum angular ~J = ~r × ~p dalam mekanika, yangmempunyai sifat sebagai vektor aksial seperti telah diketahui sebelumnya, juga merupakan tensorsimetri diagonal dengan komponen-komponen dalam sistem koordinat kartesian dapat ditulis sbb:

Jyz = y pz − z py, Jzx = z px − x pz, Jxy = x py − y px. (13.3.34)

Demikian pula untuk vektor-vektor aksial lainnya, seperti yang telah disebutkan di atas, sepertimedan magnet ~b, ~H dan ~M dan demikian pula untuk rotasi suatu vektor polar. Karenanya vektoraksial demikian sering pula disebut sebagai vektor semu.

Kemungkinan hubungan formal antara komponen-komponen suatu vektor aksial dan komponen-komponen tensor simetri diagonal rank dua dalam ruang tiga dimensi dinyatakan dalam be-saran simetri diagonal total ε yang dikemukakan oleh T. L-C, yaitu dengan komponen-komponennya sbb:

εi j k = 0, ±1, εi j k = 0, ±1; (13.3.35)

dalam hal ini komponen ε tidak akan sama dengan nol, jika ketiga indeksnya tidak mempunyaiharga sama; jika ketiga bilangan indeks i, j, k membentuk permuatasi genap dari tiga bilangan:1, 2, 3, maka komponen akan mempunyai harga = +1, sebaliknya jika membentuk permutasi ganjil,maka harga komponen = −1. Harus pula diperhatikan bahwa besaran ε bukanlah tensor rank tiga,melainkan kerapatan tensor dan akan menjadi tensor rank tiga jika dibentuk v εi j k atau w εi j k. Hal inidapat dibuktikan dengan mudah engan menggunakan pers[13.1.28] melalui relasi:∑∑∑

εi j k gi l g j m gk n = w εl m n (13.3.36)

dengan |g j k| = g = v2 dan |g j k| = 1/g = w2, atau juga dapat dicari melalui aturan perkalian (~a · ~b ·~c)

yang dinyatakan dalam besaran ε dan ditulis sebagai:

(~a · ~b ·~c) = v∑∑∑

εi j k ai b j ck = v∑∑∑

εi j k ai b j ck, (13.3.37)


akan tetapi dengan menambahkan faktor v atau w sehingga akan menjadi suatu skalar semu sebe-narnya, selama vektor ~a ~b dan ~c adalah vektor polar.

Dalam hal ini momentum angular mekanis dapat dituliskan dalam tensor simetri diagonal dengankomponen-komponen kartesiannya seperti diberikan pada pers[13.3.34] atau juga dengan menggu-nakan koordinat diperumum x j dengan komponen kontravarian sbb:

J j k = x j pk− xk p j = −Jk j, (13.3.38)

di samping itu sebagai vektor dengan komponen kovarian adalah

Ji = v∑∑

εi j k x j pk =v2

∑∑εi j k x j pk J j kx j pk

− xk p j = −Jk j. (13.3.39)

Sehingga jika tensor ditulis lengkap dengan semua komponen-komponennya akan terungkap per-samaan sbb:

0 J12 J13

J21 0 J13

J31 J32 0

= 1v

0 J3 J2−J3 0 J1J2 −J1 0

atau

0 J12 J13J21 0 J13J31 J32 0

= 1w

0 J3 J2

−J3 0 J1

J2−J1 0

.

(13.3.40)

Dan hubungan yang sama berlaku pula antara komponen-komponen suatu tensor simetri diagonalsembarang dan komponen-komponen vektor aksial yang bersangkutan.

Karenanya sebagai contoh rotasi vektor-vektor polar ~a dapat dinyatakan sebagai tensor simetridiagonal B dengan komponen-komponennya memenuhi persamaan:

B j k =∂Ak

∂ x j −∂A j

∂ xk(13.3.41)

atau juga sebagai ~b = ~∇×~a, dengan komponen-komponen kontravariannya berdasarkan pers[13.2.24]dinyatakan sebagai:

B1 =1v

(∂A3

∂ x2 −∂A2

∂ x3

)=

B23

v= −

B32

v(13.3.42)

yaitu sesuai dengan pers[13.3.40] didapat hubungan sbb:

B1 = v B23, B2 = v B31, B3 = v B12. (13.3.43)

Bentuk rotasi suatu vektor aksial ~b, sehingga diperoleh ~c = ~∇ × ~b dan pers[13.3.42] sebagaikomponen kontravarian:

C1 =1v

(∂B3

∂ x2 −∂B2

∂ x3

)=

1v

(∂ v B12

∂ x2 −∂ v B31

∂ x3

),


sehingga ketiga komponen C j juga dapat ditulis dalam bentuk:

C j = (~∇ × ~b) j =1v

∑ ∂ v B jk

∂ xk, (13.3.44)

dan dengan demikian komponen-komponen vektor polar dapat dinyatakan. Terlihat bahwakomponen-komponen ini mempunyai kemiripan dengan bentuk pers[13.3.14], yaitu:

~∇ · ~a =1v

∑ ∂ v A j

∂ x j , (13.3.45)

yang untuk kasus bahwa ~a adalah suatu vektor polar, yang menggambarkan suatu besaran skalarsebenarnya. Jika akan dicari divergensi suatu vektor aksial ~b, maka dengan menggunakanpers[13.3.45] dan [13.3.42] diperoleh relasi:

~∇ · ~b =1v

∑ ∂ v B j

∂ x j =

(∂B23

∂ x1+∂B31

∂ x2 +∂B12

∂ x3

), (13.3.46)

dan dari persamaan ini akan diketahui kemudian bahwa ~∇ · ~b akan menghasilkan skalar semu(pseudo-skalar). Harganya akan sama dengan nol jika komponen-komponen suatu tensor simetridiagonal diberikan berdasarkan pers[13.3.41], sesuai dengan ~∇ · (~∇ × ~a) = 0, jika ~b merupakan suatuvektor aksial, karena berdasarkan rumusan pada pers[13.3.44] diketahui pula bahwa

~∇ · (~∇ × ~b) = ~∇ ·~c =1v

∑ ∂ v C j

∂ x j =1v

∑∑ ∂2v B jk

∂ x j ∂ xk,

dan dalam hal ini penjumlahan akan sama dengan nol, karena B j k = −Bk j.

13.3.6 Tensor Simetri

Dalam perlakuan tensor simetri dengan T j k = Tk j akan dibatasi pembahasannya untuk kasusdalam sistem koordinat kartesian. Dengan persamaan

(~r T~r) = x2 Txx + y2 Tyy + z2 Tzz + 2 x y Txy + 2 y z Tyz + 2 z x Tzx = konstan (13.3.47)

yang merupakan persamaan permukaan derajat dua dengan pusat simetri, yaitu suatu elipsoida atausuatu hiperboloida atau untuk suatu kasus degenerasi yang akan didefinisikan di sini. Sistem ko-ordinat dipilih sedemikian rupa sehingga sumbu-sumbu koordinat berimpit dengan sumbu-sumbupermukaan sentral tersebut. Arah dari sumbu-sumbu tersebut dapat ditentukan dari persoalan vari-asi, yaitu dengan δ(x2 + y2 + z2) = 0 dngan syarat tambahan seperti diberikan pada pers[13.3.47];maka dengan menuliskannya dalam parameter L λ:

T~r = λ~r, berarti

x Txx + y Txy + z Txz = λ x,x Tyx + y Tyy + z Tyz = λ y,x Tzx + y Tzy + z Tzz = λ z.

(13.3.48)


Persamaan linier simultan dari variabel x, y, z di atas dapat diselesaikan dengan cara aljabar biasajika dan hanya jika persamaan ini mempunyai penyelesaian berhingga, yaitu dengan perkataan lainjika determinan yang dibentuk dari koefisien persamaan tersebut adalah sama dengan nol, yaitu jika∣∣∣∣∣∣∣∣

Txx − λ Txy TxzTyx Tyy − λ TyzTzx Tzy Tzz − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (13.3.49)

Determinan ini akan menghasilkan persamaan aljabar biasa dalam λ berpangkat tiga, karenanyaakan mempunyai akar λI, λII dan λIII, yang disebut sebagai harga eigen dari tensor T atau dari matrikskomponen-komponennya. Dari ketiga akar di atas akan diperoleh ketiga arah yang dinyatakan dalamvektor~r = r~e, sedemikian sehingga dengan tiga vektor satuan~eI, ~eII dan~eIII diperoleh tiga arah yangdicari, di mana agar arah-arah tersebut sesuai dengan arah sumbu-sumbu sistem koordinat, makatensor T harus mengalami transformasi sumbu utama. Bahwa ketiga vektor satuan terletak saling tegaklurus satu sama lain, dapat diketahui dari gambaran permukaan pada pers[13.3.47]. Jika selain itupermukaan tersebut merupakan permukaan simetri rotasi terhadap suatu sumbu, maka salah satusumbu utama akan terletak pada sumbu rotasi; sedangkan dua sumbu lainnya dapat dipilih beradategak lurus terhadap sumbu utama yang bersangkutan.

Mirip seperti harga sebuah vektor, yang harganya tidak bergantung dari posisi khusus dari sistemkoordinat, demikian pula harga eigen λI, λII dan λIII juga merupakan bagian tensor T yang tidakbergantung pada sistem koordinat. Untuk menurunkan besaran invarian dari tensor, bentuk persamaanyang diperoleh dari pers[13.3.49] ditulis sebagai:

λ2− λ2 Sp(T) + λC(T) −Det(T) ≡ (λ − λI)(λ − λII)(λ − λIII) = 0. (13.3.50)

Dalam hal ini berartiSp(T) = Txx + Tyy + Tzz = λ

I + λII + λIII (13.3.51)

yaitu spur suatu tensor, yaitu penjumlahan semua komponen diagonal dari matriks, sedangkan C(T)merupakan beesaran yang tidak diberi nama secara khusus, hanya didefinisikan sebagai:

C(T) = Tyy Tzz + Tzz Txx + Txx Tyy − T2yz − T2

zx − T2xy = λ

II λI + λIII λI + λI λII,

dan DetT adalah determinan dari komponen tensor T, yang tidak lain sama dengan hasil kali dariλI λII λIII. Relasi ini juga akan dapat diperoleh secara langsung, jika sumbu-sumbu sistem koordinatditempatkan pada sumbu-sumbu utama tensor T, sehingga pers[13.3.47] akan berubah, menjadi lebihsederhana, yaitu: x2 Txx+y2 Tyy+z2 Tzz =konstan dan komponen-komponen matriks dari T juga akanterreduksi dengan sendirinya, yang hanya menjadi suku-suku diagonal dengan harga masing-masingTxx = λI, Tyy = λII dan Tzz = λIII, sementara komponen-komponen dengan indeks yang tidak samaakan berharga sama dengan nol.

Sebagai penutup akan dibahas pula rumusan yang juga sering dijumpai dalam perhitungantensor, yaitu deviator (lihat misalnya pembahasan tentang momen kuadrupol pada § 1.8.3). Deviatorberasal dari tensor simetri sembarang T dengan mengurangi satuan tensor E yang dikali denganSp(T/3), sehingga deviator adalah suatu tensor T − E Sp(T)/3 yang mempunyai spur sama dengannol. Dalam hal ini arah sumbu utama dari tensor tetap tidak mengalami perubahan. Hanya hargaeigennya yang mengalami perubahan; yaitu misalnya λI berubah menjadi (2λI

− λII− λIII)/3, dan

sesuai dengan λII dan λIII, bahwa jumlah dari ketiga harga eigen yang baru, yaitu spur dari deviatorsama dengan nol.


Bab 14

Kumpulan Rumus-rumus

Dalam banyak literatur teori medan terdapat dua macam sistem satuan besaran-besaran elektro-dinamis yang digunakan, yaitu sistem internasional (SI) dan sistem Gauss; besaran dalam sistemsatuan Gauss biasanya ditulis dengan tanda bintang (∗). Persamaan-persamaan dalam kedua sistemsatuan ini biasanya mempunyai bentuk yang berbeda; karenanya dalam baba ini akan ditulis kembaliseluruh persamaan yang penting dalam kedua sistem satuan tersebut.

Karena muncul relasi-relasi elektrodinamika yang berbeda dalam teori relativitas khusus, dapatditilik kembali rumusan-rumusan tersebut pada § 11 dan § 12.

14.1 Medan dan Persamaan yang Berkaitan

Persamaan Maxwell:

Sistem SI Sistem Gauss~∇ × ~H = ∂ ~D

∂ t + ~g,~∇ × ~E = −

∂ ~B∂ t

~∇ · ~D = %,~∇ · ~B = 0

~∇ × ~H∗ = 1c

∂ ~D∂ t +

4π~g∗

c,

~∇ × ~E∗ = −1c

∂ ~B∗∂ t ,

~∇ · ~D∗ = 4π%,~∇ · ~B∗ = 0.

Persamaan Penghubung:

~D = ε ~E + ~P,~B = µ (~H + ~M),

~D∗ = ~E∗ + 4π~P∗,~B∗ = ~H∗ + 4π ~M∗,

Persamaan Kontinuitas:~∇ · ~g+ = 0,

(∂ %∂ t

), ~∇ · ~g∗ +

(∂ %∗

∂ t

)= 0.

367

368 BAB 14. KUMPULAN RUMUS-RUMUS

Dengan mengeliminasi besaran-besaran ~D, ~H atau ~D∗ dan ~H∗ dari persamaan Maxwell, makadiperoleh persamaan sbb:

Sistem SI Sistem Gauss~∇ × ~B = ε µ

(∂ ~E∂ t

)+

µ (~g + ~gP + ~gM)~∇ · ~E = 1

ε(% + %P)

~∇ × ~B∗ = 1c

∂ ~E∗∂ t +

+4πc

(~g∗ + ~g∗P + ~g∗

M)~∇ · ~E∗ = 4π (% + %P)

Dengankerapatan muatan polarisasi : %P = −~∇ · ~P %∗P = −

~∇ · ~P∗

Arus polarisasi : ~g = ~gP =∂ ·~P∂ t ~g∗P =

∂ ·~P∗∂ t

Arus magnetisasi : ~gM = ~∇ × ~M, ~g∗M = ~∇ × ~M∗,

14.2 Konstanta Materi

Sifat-sifat materi normal (dimaksudkan bukan materi ferroelektrik dan ferromagnetik) isotropterhadap medan statik dapat dikenal dari konstanta-konstanta sbb:

Konstanta Dielektrik : ~D = ε ε ~E = (1 + χ) ε~E ~D∗ = ε ~E∗ = (1 + 4πχ∗) ~E∗.Suseptibilitas listrik : ~P = χ ε ~E ~P∗ = χ∗ ~E∗

Permeabilitas : ~B = µµ ~H = (1 + κ)µ ~H ~B∗ = µ ~H∗ = (1 + 4πκ∗) ~H∗.Susept.magnetik : ~M = κ ~H ~M∗ = κ∗ ~H∗.Kondukt. listrik : ~g = σ (~E + ~E(e)), ~g∗ = σ∗ (~E∗ + ~E∗ (e)).

Di dalam medan yang berubah terhadap waktu ε, µ dan σ atau σ∗ umumnya bergantung padafrekuensi; maka relasi di atas hanya berlaku hanya untuk komponen Fourier dari medan.

14.3 Relasi Energi dan Gaya

Kerapatan Energi Medan :(∂u∂t

)+ ~∇ · ~S = −~g ~E = g2

σ + ~g · ~E(e)

Kerapatan Energi Medan : du = ~E · d~Ed~B du = 14π (~E∗ · d~D∗‘ + ~H∗ d~B∗

Kerapatan Energi Khusus : u = (~E · ~D + ~B · ~H), u = 18π (~E∗ · ~D∗ + ~B∗ · ~H∗)

senyawa normal :Vektor Poynting : ~S = ~E × ~H, ~S∗ = c

4π (~E∗ × ~H∗)Gaya pada muatan bergerak : ~F = e (~E + e~v × ~B), ~F∗ = e∗

(~E∗ + v∗

c× ~B∗

).

Kerapatan Gaya padaµ = ε = 1 : ~f = % (~E + e~g × ~B), ~f∗ = %∗ ~E∗ + g∗

c× ~B∗.

Kerapatan Gayapada σ = 0, µ = 1 : ~f = % ~E − εE2

2 ∇ε +ε2 ∇

(Eσ dε

dσ

)Kerapatan gaya dapat dinyatakan sebagai divergensi dari tensor tegangan Maxwell.

14.4. RAMBATAN CAHAYA 369

14.4 Rambatan Cahaya

Pada bahan normal, homogen dan tidak bermuatan (ε, µ, σ adalah konstan di dalam ruang,% = 0, ~E(e) = 0), setiap komponen medan ~F memenuhi persamaan:

∇2 F = ε ε µµ ∂

2 F∂ t2 − µµ σ

∂F∂ t

∇2 F =

ε µ

c2

∂2 F∂ t2 −

4πµσ∗

c2

∂F∂ t .

Untuk konstanta material yang bergantung frekuensi persamaan di atas hanya berlaku untukmasing-masing komponen Fourier yang bergantung waktu dari ~F. Karenanya diperoleh

Kecepatan cahaya di vakuum : c = 1√ε µ

,

Kecepatan cahaya di dalam isolator : c = cn =

1√ε ε µµ

,

Dengan indeks bias : n =√ε µ.

Perhitungan medan di vakuum dapat diperoleh secara sederhana melalui perhitungan potensial:


~B = ~∇ × ~A, ~B = ~∇ × ~A∗,~E = −∂ ~A∂ t −

~∇ϕ ~E∗ = −∂ ~A∗

∂ t −~∇ϕ∗

Persamaan potensial :~∇ ~A − ε µ ∂

2 ~A∂ t2 = −µ ~g ~∇ ~A∗ − 1

c∂2 ~A∗∂ t2 = −

4π ~g∗

c~∇ϕ − ε µ

∂2 ϕ∂ t2 = −

%ε

~∇ϕ∗ − 1c2

∂2 ϕ∗

∂ t2 = −4π%∗

KonvensiLorentz :~∇ · ~A + ε µ

∂ϕ∂ t = 0 ~∇ · ~A∗ + 1

c∂ϕ∗

∂ t = 0.Penyelesaian Persamaanϕ :

ϕ(r, t) =∫ %

(~r′, t− |~r−~r

′|

c

)|~r−~r′| dV, ϕ∗(~r, t) =

∫ %∗(~r′, t− |~r−~r

′|

c

)|~r−~r′| dV.

14.5. ISTILAH-ISTILAH ELEKTROTEKNIK: 371

14.5 Istilah-istilah Elektroteknik:

Kapasitansi : C = QV C∗ = Q∗

V∗

Khusus plat : C = ε ε Fd C∗ = εF

4π dKhusus selinder : C = 2πε ε l

ln(r2/r1) C∗ = ε l2 ln (r2/r1)

Khusus bola : C = ε ε R C∗ = εRInduktansi dirikumparan : L = µµN2 q

l L∗ = 4πµN2 ql c2

Induktansi mutual M =µµ4π

∮ ∮d~r1~r2~r12

M∗ =µ

c2

∮ ∮d~r1~r2~r12

Tahanan : R = VI R∗ = V∗

I∗

Energi medanpada kondensator : Uel =

12

QV =

12 C V2 U∗el =

12

Q∗ V∗ = 12 C∗V2∗

Energi medanpada sistem arus : Um =

12

∑∑L jk I j Ik U∗m =

12

∑∑L∗jk I∗j I∗k

Persamaanosilator : L d2 I

d t2 + R d Idt +

IC = 0 L∗ d2 I∗

dt2 + R d I∗dt +

I∗C = 0

Frekuensi eigenosilator : ω = 1

√L C

ω∗ = 1√

L∗ C∗

Logaritma

pelemahan : D = πR√

CL D = πR∗

√C∗L∗

14.6 Relasi Energi dan Gaya

14.7 Tabel Konversi Satuan SI ke Satuan Gauss

Pada tabel ini diberikan konversi semua besaran-besaran fisis yang dinyatakan dalam satuan SIdalam buku ke dalam satuan Gauss sistem cgs. Tabel ini diharapkan memberikan kemudahan untukmengubah rumusan elektromagetik dalam satu sistem satuan ke dalam sistem satuan lainnya.

Selanjutnya diberikan pula besaran-besaran apa saja dalam sistem Gauss yang mempunyai satuanberbeda akan tetapi mempunyai simbol yang sama dalam sistem SI. Besaran-besaran ini ditulisdengan simbol↔.


Muatan Q∗ =√

1/4πεQ 1 coulomb (1 C≡A·det) ↔ 3 × 109 √erg.cmKuat arus I∗ =

√1/4πε I 1 Ampere (A) ↔ 3 × 109 √ergcm/det

Tegangan V∗ =√

4πεV 1 volt (V) ↔ 1/300 ‘√

erg/cmKuat medan listrik E∗ =

√1/4πε E 1 volt/m ↔ 1/30, 000

√erg/cm3

Pergeseran medan listrik D∗ =√

4π/εD 1 A·det/m2↔ 12π × 105

√erg · cm3

Fluks listrik Φ∗el =√

1/4π/εΦel 1 A· det ↔ 12π · 109 √ergcm

Polarisasi listrik P∗ =√

1/4π/ε P 1 A ·det/m2↔ 3 × 105

√erg/cm3

Kuat medan magnet H∗ =√

4πµH 1 A/m ↔ 4π · 10−3√

erg/cm3 (= Oe)

Induksi magnetik B∗ =√

4π/µ B 1 V det/m2↔ 1 · 104

√erg/cm3 (= G)

Fluks magnetik Φ∗ =√

4π/µΦ 1 weber (Wb=V det) ↔ 1 · 108 √ergcm (=Mx)

Magnetisasi M∗ =√µ/4πM 1 A/m ↔ 1 × 10−3

√erg/cm3 (=Mx)

Kapasitansi C∗ = (1/4πε) C 1 fahrad (F≡ 1A det/V) ↔ 9 × 1011 cmInduktansi L∗ = 4πε L 1 henry (H≡V det/A) ↔ 9 × 1011 cmTahanan listrik R∗ = 4πε R 1 ohm (Ω ≡V/det) ↔ 1/9 · 1011 det/cmDaya I∗V∗ = I V 1 watt (W≡V A) = 1 · 107 erg/detEnergi U∗ = U 1 joule (V A det) = 1 · 107 ergKonstanta medan listrik (permitivitas) ε = 8, 85 · 10−12 A det/V m≈ 1/36π · 109 A det/V m.Konstanta medan magnet (permeabilitas): µ = 4π · 107 V det/A m= 1/ε c2

Indeks

Avogadrobilangan, 2

Barkhausenlompatan, 148

Biot-Savarthukum, 130

Brewsterpolarisasi, 206

Cauchy-Riemannrelasi, 23

Coulombhukum, 7konvensi, 173medan, 35ptensial, 21

Curie-Weisshukum, 146

Curietemperatur, 139

Diracfungsi delta, 4

Einsteinkelembaman energi, 323

Faradayhukum induksi, 122konstanta, 2

Fouriertransformasi, 189

Galvanisel, 105

Gausshukum, 11integral, 12sistem satuan, 8

hukum induksi magnetik, 127hukum Ohm, 104

momen dipol manget, 122panas Joule, 113persamaan kontinuitas, 100

Greenpersamaan, 16

Heisenbergpenjelasan hipotesa Weiss, 147

Joulepanas, 111

Larmorfrekuensi, 142rotasi, 142teorema, 142

Legendrepolinomial, 31

Lorentzgrup, 280konvensi, 173

Maxwellfungsi bola, 42persamaan, 6

dlm. koord. diperumum, 174tegangan, 181

Milikanpercobaan tetesan munyak, 2

Minkowskivektor gaya, 320

Neeltemperatur, 148

NicholsK. V., 109

OerstedH. C., 127hukum, 128

Planckkonstanta, 121

373

374 INDEKS

konstanta kuantum, 183Poisson

persamaan diferensial, 14Poynting

vektor, 177Stoke

rumusan, 125Trouton-Noble

percobaan, 330Weiss

daerah, 147faktor medan dalam, 147

Aarus molekuler, 135hipotesa, 135

B-Shukum, 156

Chukum, 135temperatur, 81

Defek

transversal, 311fenomena, 309

D-Gpersamaan, 79

Fpercobaan, 271

Gsistem satuan

hukum G, 86kerapatan energi elektrostatik, 70kerapatan gaya, 86konstanta dielektrik, 49medan pergeseran, 55persamaan M, 86persamaan P, 55vektor polarisasi, 53

H. Mgeometri transf. L, 267

HO., 226

Kefek, 221

Lparameter, 360

Lhipotesa kontraksi, 229kontraksi, 266transformasi, 260, 265

Mgelombang, 227

M-M, 256M

A. A, 256interferometer, 257

Sefek, 165

T-Npercobaan, 227

Thomasrotasi, 316

G. Flih. kontraksi L, 266

aberasicahaya

krn. perubahan koordinat, 311antiferromagnet

bahan, 148antiferromagnetik

bahan, 141arus

cincin, 120kerapatan, 98kuat, 97pergeseran, 99

arus molekulerA, 135

atomnomor, 3

berkas kanalpercobaan, 2

betatron, 125bukti medan listrik induksi, 125

bidang gelombang, 187Bohr

INDEKS 375

magneton, 121botol Leiden, 164bremmstrahlung

spektrum, 241

Christoffelsimbol tiga indeks, 346

Danielelemen, 114

dayatermokimia, 178

deviator, 361diamagnetik

bahan, 141dielektrik

bilangan, 47konstanta, 47

dielektrisasifaktor, 60

difusipembawa muatan, 104

dilatasiwaktu, 267

dipol ideal, 36dipol listrik, 35dispersi

normal, 199dissosiasi, 105

derajat, 105

efekK, 221Faraday, 221lapisan tipis

kuat, 209lemah, 208lih. efek skin, 206

skin, 206ekuipotensial, 9

permukaan, 9elektrolit

larutan kuat, 105larutan lemah, 105

elektromagnetik

persamaan gelombang, 187elektromotor, 1elektron, 3

massa diam, 330teori, 3

elektrostriksi, 76energi

bebas, 77kerapatan, 65muatan bergerak, 229

faradsatuan kapasitas, 10

Faradayefek, 221

ferrimagnetikbahan, 141, 148

ferromagnetikbahan, 141

frekuensidasar plasma, 201kritis

gel. dalam konduktor kosong, 217plasma, 202

Galvanisel, 98

Galvanometerbalistik, 110

garis gayamedan listrik, 11

hukum, 11Gauss

integral, 352sistem satuan

energi elektrostatik, 75gaya Lorentz, 117kuat medan magnet, 133medan magnet induksi, 133

gayakonveksi, 226Lorentz, 115motor listrik (gml), 108pertukaran, 147

376 INDEKS

gelombangM, 227elektromagnetik, 187kecepatan grup, 218persamaan, 187terpolarisasi eliptik, 191terpolarisasi linier, 191

giromagnetikfaktor, 121

Greenintegral, 352

histeriskurva, 145

hukumBiot-Savart, 130Oersted, 128C, 135fluks magnetik, 128kelembaman energi, 327

impedansirangkaian R, L, 158

induksidiri, 153mutual, 153unipolar, 298

induktivitaskoefisien, 153mutual, 153

induktivitas diri, 153intensitas

radiasi antene dipol, 248radiasi arus melingkar, 252radiasi dipol, 245, 246radiasi kuadrupol, 251radiasi kuadrupol linier, 252radiasi sub-antene, 252

interferometerM, 257

isolator, 15isotrop

bahan, 101

kapasitansi

kondenstaor plat, 10kondenstor bola, 18

kapasitaslih. kapasitansi, 10

kausalitasprinsip, 195

kecepatan4D, 277

kedalaman penembusan, 201kelembaman

energihukum, 327

kelembaman energiEinstein, 323

kerapatan arus4D, 290

kerapatan gaya4D, 304

kesamaan kejadian, 262koefisien

induktivitas, 153koefisien ekstingsi, 200koersivitas

gaya, 145kondensator

bola, 17plat, 10

konduktivitasarus searah, 104listrik, 100

konduktor, 15konduktor listrik, 15konformasi

metode, 22konstanta

Planck, 121dielektrisitas

vakuum, 8induksi, 128matahari, 219

kontinuitaspersamaan, 98

kontraksihipotesa

INDEKS 377

L, 229kontravarian

koordinat, 174konveksi

gaya, 226potensial, 226

koordinatkontravarian, 174

kuat medanlistrik, 5

Lorentzgaya, 115H. A., 115

magnetbahan lunak, 144

magnetisasikurva, 144momen 4D, 297momen jenuh, 144proses reversibel, 145remanen, 145

magnetonBohr, 121

magnetostriksi, 181massa

elektromagnetik, 231invarian, 320

Maxwellpersamaan 4D, 283satuan fluks, 127

medandipol

magnet, 139dipol listrik, 35kuadrupol, 38listrik, 4

muatan bergerak, 223magnet

homogen, 116mobilitas, 103momen

dipol

magnetik, 120dipol listrik, 35magnetisasi

tensor, 297magnetisasi jenuh, 144

momen dipolinduksi, 52listrik

permanen, 52momentum

muatan bergerak, 229motor listrik, 1muatan

cermin, 26kerapatan ruang, 3kuantum elementer, 2listrik, 1polarisasi, 51, 54, 99

normal gelombang, 187

OhmGeorg Simon, 100

panjangeigen, 276

paramagnetikbahan, 141

penghantar listriklih. kondktor, 15

percepatan4D, 278

pergeseran medanvektor, 54

permeabilitasrelatif, 134vakuum, 128

persamaanMaxwell, 6gelombang elektromagnetik, 187kontinuitas, 98London, 194Maxwell

4D, 283plasma

378 INDEKS

elektron, 202plasma gelas, 201polarisabilitas, 49, 52

tidak bergantung medan, 68polarisasi, 49

Brewster, 206positron, 3potensial

bola konduktor, 17gelombang elektromagnetik, 232kimia, 78konveksi, 226retardasi, 233skalar listrik, 5teori, 17vektor, 130

prinsipkausalitas, 195

radiasiintensitas, 245sumber, 240

reflektansi, 203relativitas

teori khusus, 262prinsip, 255prinsip klasik, 255teori khusus, 263

semikonduktor, 15skalar, 337

semu, 341spur

tensor, 361Stoke

integral, 352sudut fase

rangkaian R, L, 158suseptibilitas

awal, 145efektif, 145listrik, 51, 53

tahananbuta, 159

jenis, 100kawat, 100kompleks, 208radiasi, 248

tahanan bayangan, 159tahanan gesek, 111tegangan

Maxwell, 181cincin, 125listrik, 6normal murni, 89tensor, 181

tegangan mekanisrelativistik, 327

tekanannormal, 89radiasi, 183

telegrafi, 213temperatur

Curie, 139tensor

antisimetrilih. tensor simetri diagonal, 357

energi-momentum, 306inversi, 355metrik fundamental, 275, 354momen magnetisasi, 297resiprokal

lih. tensor inversi, 355simetri, 357simetri diagonal, 357transpos, 355

termokimiadaya, 178

Thomsonkaedah, 72

timbangan tegangan, 74transformasi

Fourier, 189L, 260, 265energi total

gelombang, 313momentum total

gelombang, 314

INDEKS 379

ortogonal 4D, 274umum, 356

vektor, 337aksial, 341basis, 338polar, 120, 341semu, 341

vektor gayaMinkowski, 320

waktudilatasi, 267eigen, 267

interval, 276relaksasi, 104tumbukan

lih.waktu relaksasi, 104

zone dekat, 243zone jauh, 243

Mussadiq Musbach - Teori Medan Elektromagnetik.pdf

Documents