Consorcio para la promoción de la Música Guía didáctica MÚSICA o MATEMÁTICAS J. S. BACH El Arte de la Fuga W. A. MOZART Dúo de la mesa I. XENAKIS Mikka (Para violín electrónico) W. A. MOZART Juego de dados musicales Autores: Florian Vlashi María Remedios Cruz Araújo
Guía didáctica "Música o Matemáticas", para el programa educativo del curso 2011/2012 de la Orquesta Sinfónica de Galicia
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Consorcio para la promoción de la Música
Guía didáctica
MÚSICA o MATEMÁTICAS
J. S. BACH
El Arte de la Fuga
W. A. MOZART Dúo de la mesa
I. XENAKIS
Mikka (Para violín electrónico)
W. A. MOZART
Juego de dados musicales
Autores: Florian Vlashi María Remedios Cruz Araújo
Prólogo La imagen que sirve para
ilustrar la portada de esta guía
es el cuadro “Los
Embajadores” de Hans Holbein
el Joven, pintado en 1533 y
considerado una de las obras
maestras del Renacimiento.
Hoy se encuentra en la
National Gallery de Londres.
El cuadro representa al
embajador de Francia en
Londres, Jean de Dinteville, y
al obispo de Lavaur, Georges
de Selve, embajador ante la
Santa Sede. Los personajes
están rodeando un mueble con
dos estantes donde hay varios
objetos relacionados con las
cuatro artes que se estudiaban
en el Quadrivium, y que representan las cuatro ciencias matemáticas: Aritmética,
Geometría, Música y Astronomía.
En el estante inferior aparecen:
Un globo terráqueo.
Un libro de aritmética.
Una escuadra, que mantiene abierto el libro de aritmética.
Un laud, con una cuerda rota.
Un libro de himnos luteranos.
Un compás.
Estante inferior Estante superior
En el estante superior:
Una esfera celeste.
Varios relojes de sol.
Un libro: AETATIS SVAE 25 (es decir: Tiene 25 años)
Un instrumento astronómico medieval: Toquetum
Además de estos objetos aparece un crucifijo en la esquina superior izquierda que se
ve pese a la gran cortina de terciopelo verde que cubre el fondo. Este crucifijo en
muchas reproducciones del cuadro no se ve por el redimensionamiento de los
márgenes.
Pero lo más reseñable de este cuadro es un raro objeto que ocupa el primer plano y
que se mantuvo como algo misterioso durante mucho tiempo. Este objeto se
denomina “hueso de sepia” y no es más que una figura vista en anamorfosis, es decir
que el objeto tridimensional ha sufrido una deformación para poder ser representado
en forma bidimensional. El objeto oculto es un cráneo humano.
Para corregir la deformación y observar el cráneo se puede usar el dorso de una
cuchara. También se puede ver la figura oculta usando métodos informáticos.
El cráneo, visto en anamorfosis Uso de una cuchara para corregir la deformación
Pero ¿cuál es el significado oculto del cuadro?. Un embajador representa el poder
político, el otro el poder de la Iglesia. Los objetos de las estanterías el poder de las
ciencias. Pero como contraste de tanto materialismo aparece un cráneo que nos habla
de la vanidad humana. Lo importante en la tierra la muerte lo deshace.
Tal vez sea la música la matemática del sentimiento y la matemática la música de la razón.
Pedro Puig Adam ( 1900-1960)
Matemático español.
Introducción La palabra música proviene del griego musiké (el arte de las musas). Por esta razón
la paternidad de la música es atribuida a los griegos.
El término matemáticas proviene del griego mathema, que significa conocimiento.
Etimológicamente mathema se contrapone a musiké en el siguiente sentido:
Mathema: es lo que necesita estudio, conocimiento e instrucción para
ser conocido, como por ejemplo la Astronomía, la Aritmética,…
Musiké: es lo que se puede entender sin haber sido instruido o
estudiado y se refiere a la Poesía, la Retórica,…
Orígenes
En la época anterior a la Antigua Grecia el hombre primitivo ya había encontrado
música en la naturaleza, y había aprendido a usar objetos como huesos, cañas, palos,
troncos, conchas,… para producir nuevos sonidos, además de usar su propia voz.
Ciertos instrumentos de percusión y cuerda (similares a liras y arpas) aparecen en
excavaciones de la antigua Sumeria y se supone que estos objetos tienen unos 50
siglos (30 siglos antes de Cristo).
En Egipto hace unos 40 siglos la voz humana era considerada como el instrumento
más poderoso para contactar con el mundo de los muertos.
En el siglo X a.C. (hace unos 30 siglos), en Asiria en las grandes celebraciones y
fiestas colectivas la música profana era considerada un ingrediente fundamental.
Con toda seguridad en el siglo VI a.C., en Mesopotamia, ya conocieran las relaciones
numéricas entre longitudes de cuerdas.
1:1……….. Unísono (dos cuerdas iguales de igual longitud producen la misma nota)
1:2……….. Octava (si una cuerda es doble de otra el sonido diferirá en una octava)
2:3………… Quinta
3:4…………..Cuarta
Do4
Octava: Do5
Quinta: Sol4
Cuarta: Fa4
Estas proporciones de las cuerdas fueron estudiadas por Pitágoras en el siglo IV a. C.
así como sus derivaciones armónicas. Esto dará lugar al inicio de la teoría musical
occidental Europea.
Los inicios de la matemática también se remontan a los orígenes de las
civilizaciones. Las ideas primitivas mediante la abstracción van evolucionando poco
a poco. Aparece la necesidad de llevar un registro del paso del tiempo, nace así el
concepto de número, después las primeras operaciones, el cálculo, las mediciones,
los primeros estudios de la forma, de los objetos geométricos, la geometría… La
Matemática desde sus inicios ha tenido una vertiente práctica, y su finalidad era
solucionar problemas y generalizar sus resultados.
Los primeros matemáticos de los que tenemos conocimiento son los griegos Tales de
Mileto y Pitágoras.
Pitágoras
Pitágoras es el inventor de la filosofía y él a sí mismo
se denomina filósofo. En la palabra filosofía recogió
dos formas de conocimiento: contemplación y
comprensión. Dicho de otro modo el arte de filosofar
consiste en aprender a ver y saber escuchar.
Por lo tanto las matemáticas y la música, lo que se
aprende por los ojos, y lo que se aprende por los
oídos, son los dos fundamentos de la filosofía
pitagórica, y ambas se unen en el concepto pitagórico
de harmonia que significa: proporción de las partes de
un todo.
Pitágoras fue el primero en llamar Cosmos al conjunto
de todas las cosas. El universo está en movimiento y
este movimiento y las fuerzas que mueven a los astros se ajustan en un todo
harmónico. Así, el Cosmos es “harmonía”. Creía que las órbitas de los cuerpos
celestiales que giraban en torno a la Tierra producían sonidos que armonizaban entre
sí, dando lugar a un sonido bello al que llamaba “música de las esferas”
Pitágoras establecía un paralelismo entre los intervalos acústicos considerados como
base de la música y las distancias que nos separan de los planetas.
1 tono distancia Tierra – Luna
1/2 tono distancia Luna – Mercurio
1 tono y medio distancia Venus – Sol
Cuarta distancia Luna – Sol
Quinta distancia Tierra – Sol
Los pitagóricos dividieron la ciencia Matemática en cuatro secciones: aritmética,
geometría, astronomía y música, que constituían la esencia del conocimiento.
Aristóteles nos dice sobre la relación que encontraban los pitagóricos entre
matemática y música:
“Como los pitagóricos veían que las propiedades y las
relaciones de la armonía musical están determinadas por los
números y que todas las cosas están también conformadas
según los números y que estos son lo primero en toda la
naturaleza, pensaron que las relaciones de los números son
las relaciones de todas las cosas y que el cielo entero es
A partir de la nota 3 marcamos las notas que se obtienen contando 5 casillas (OJO
porque la casilla de partida también se cuenta)
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Cada vez que hemos marcado una casilla nueva hemos aumentado una quinta, y
repitiendo el proceso siete veces obtenemos las notas naturales en el orden siguiente:
Fa – Do – Sol – Re - La - Mi - Si
Para obtener más notas ampliamos el número de matrices o tablas. Con ellas
aparecerán, en un sentido, las notas con un sostenido, con dos, etc y en el sentido
contrario las notas con 1 bemol, 2 bemoles, etc.
Cada vez que vamos de una nota marcada a otra bajando en la tabla multiplicamos
por 3/2 tantas veces como notas marcadas haya. Y en el sentido contrario lo que
haremos es dividir por 3/2 .
Ejemplo: A partir de un Do (natural), ¿cómo se obtiene un Fa# y un Mib?
a) Desde el Do (natural) al Fa# hay que subir 6 quintas (hemos contado 6 casillas de
las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente:
Para que el Do (natural) y el Fa# estén en la misma octava debemos dividir por una
potencia de 2 , en concreto 2 3
, es decir:
b) Desde el Do (natural) al Mib hay que bajar 3 quintas (hemos contado 3 casillas de
las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente:
Para que el Do (natural) y el Mib estén en la misma octava debemos multiplicar por
una potencia de 2 , en concreto 2 2
, es decir :
Las fracciones para obtener las notas más frecuentes son las siguientes:
Para el sistema pitagórico, por ejemplo un Lab y un Sol# son dos notas diferentes
Actividad 3:
Calcula las frecuencias de La b y Sol# a partir de Do natural y comprueba que son
notas distintas.
¿Cuántas notas deben aparecer en una octava?
Con este método podríamos generar una cantidad infinita de notas dentro de una
misma octava.
Dado que manejar un número infinito o muy elevado de notas sería inoperativo
parece lógico pensar que debemos conformarnos con aceptar como “sonidos iguales”
a los sonidos que sean “muy parecidos”.
De ahí que nos quedemos con 12 notas de la tabla anterior: Mib Sib Fa Do Sol Re
La Mi Si Fa# Do# Sol#, y aceptemos como notas iguales por ejemplo: La# y Sib.
Justa entonación
Cuando para representar la tercera mayor se toman los 4/5 de la cuerda vibrante base
de longitud L, entonces se dice que la nueva afinación se llama justa.
La forma de incorporar esta nueva razón sería ajustando algunas notas de la afinación
pitagórica. Dado que en la afinación pitagórica la tercera mayor no se considera un
intervalo consonante sino que se calcula subiendo cuatro quintas (y bajando dos
octavas) se aprecia una diferencia entre ambas construcciones.
Tercera pitagórica Tercera justa
MiDoDoDo 2656,164
81
2
1
2
324
MiDoDo 25,14
5
Temperamentos
Los temperamentos surgen para evitar en la práctica los problemas que acabamos de
analizar. Lo que se hace es templar o disminuir las quintas de manera que los
resultados obtenidos sean aceptables. Los temperamentos más utilizados en nuestros
días son dos:
Temperamento igual de 12 notas (regular e igual)
Temperamento de Holder (regular mesotónico)
Matemáticamente los temperamentos se obtienen de la siguiente forma:
Si queremos obtener n notas distintas dividimos el intervalo [1,2] en n subintervalos
iguales. De forma que si el primer subintervalo va de 1 a x el segundo va de x a x2, y
así sucesivamente hasta el último que irá de xn-1
hasta xn.
Como sabemos que el extremo superior del intervalo es 2 igualamos y despejamos x:
2nx nx 2
Por lo tanto las notas afinadas en un temperamento de n notas serán:
120
n,
1
2n,
2
2n, … ,
1
2n
n, 22
nn
Temperamento igual de 12 notas
El intervalo [1,2] se divide en 12 semitonos iguales.
120
12;
112 2 = 1,05946…;
212 2 ; … ;
1112 2 ; 22
1212
En otra notación:
12
0
2 ; 12
1
2 ; 12
2
2 ; … ; 12
11
2 ; 12
12
2
Por propia construcción, la distribución de semitonos en el sistema temperado de 12
notas resulta totalmente uniforme:
Aunque este temperamento tiene la ventaja de que se puede modular fácilmente,
tiene el inconveniente de que no existen intervalos justos. La aproximación de las
quintas es bastante buena, sin embargo las terceras mayores están muy desviadas. En
la actualidad, estamos tan acostumbrados a este temperamento en el que el intervalo
justo de tercera nos suele parecer excesivamente apagado.
En cualquier caso, surge un orden de prioridades a la hora de valorar las propiedades
de los temperamentos. En términos generales, es preferible la perfección en las
quintas que en las terceras (Lattard, 1988; Goldáraz, 1992).
Temperamento de Holder
William Holder (1614-1697) divide la octava en 53 partes, notas o comas, de esta
forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4.
120
53;
453 2 ;
553 2 ; … ;
4953 2 ; 22
5353
El sistema utilizado por Holder no es más que una adaptación del sistema Pitagórico
y, de hecho, cuando se compara ambos sistemas dan resultados prácticamente
iguales.
En el temperamento de Holder, si nos quedamos con las notas más habituales, 7
notas naturales, 5 notas con sostenido y 5 notas con un bemol, la distribución que se
obtiene es prácticamente la misma que en la afinación pitagórica:
El mayor inconveniente práctico de este sistema es que 53 notas por octava resulta un
número excesivamente grande.
Actividad 4:
Suponiendo que la frecuencia de DO es f, calcula las frecuencias de SOL# y de LAb
con la afinación temperada de Holder. (Observa que los resultados son casi análogos
a los de la afinación pitagórica que vimos en la actividad 3)-
Veamos una tabla donde se comparan las frecuencias de las notas de la escala central
fijado el diapasón en 440 Hz para La4
NOTA: Para elaborar esta tabla se ha fijado el diapasón, La4 , a 440 Hz.
Actividad 5:
En la columna de la afinación temperada de 12 notas (3ª columna) multiplica la
frecuencia del DO por 11
12 2 para obtener la frecuencia de SI. (Comprueba que la
afinación de la tabla es correcta).
J. S. Bach (1685 - 1750)
El español Bartolomé Ramos de Pareja (1440 - 1491) sistematizó el Temperamento
igual de 12 notas en 1482, cuando ejercía como profesor de Música en la
Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Música Práctica (1482) se
encuentran teorías renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos.
En 1627 el matemático francés Mersenne formula en su obra Armonía Universal la
relación entre la longitud de la cuerda y la frecuencia. Esto permitía la creación de
una escala en donde todos los intervalos son iguales: la escala cromática de 12
semitonos. Se resolvía así el problema de cambiar de tonalidad sin reajustar la
afinación.
Este sistema, que tardó mucho tiempo en imponerse, lo consagró J. S. Bach en su
obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros)
en todas las tonalidades, usando el modo mayor y el menor. Dada la complejidad de
hacer modulaciones en un sistema de afinación pitagórico, Bach demuestra las
posibilidades de modulación creada por una afinación igual.
Transformaciones Geométricas y Homotecias
Una transformación geométrica en el plano hace corresponder a una figura otra
figura de igual forma y tamaño.
Una homotecia en el plano hace corresponder a una figura otra de igual forma pero
de distinto tamaño, tanto mayor como menor. (La homotecia podemos definirla como
un cambio de escala).
Las transformaciones se pueden llamar Movimientos en el Plano y son de tres tipos:
Traslaciones
Giros (Rotaciones)
Simetrías axiales (Reflexiones)
Veamos una figura con forma de “ele” invertida
Esto es una transformación geométrica ya que la
figura no cambió de forma ni de tamaño (la figura
está girada 90º)
Esto no es una trasformación geométrica porque
la figura cambió de tamaño (está agrandada)
Esto es una Homotecia.
Analizamos cada caso:
Traslación En una traslación se conserva la forma y el tamaño, pero la figura está
desplazada de lugar según una dirección dada.
Traslación horizontal
Traslación vertical
Giro La figura resultante está girada según un ángulo de giro
Giro de 90º
Giro de 180º
Tanto la traslación como el giro son movimientos directos: conservan la
orientación (la “ele invertida” sigue siendo una “ele invertida”)
Simetría axial
Para hacer una simetría axial se necesita un eje (es decir una recta)
Las simetrías son movimientos inversos: no conservan la orientación. (la “ele
invertida” pasa a ser una “ele”)
Hay otro movimiento más al que podemos llamar: Deslizamiento
Deslizamiento En realidad un deslizamiento es una composición de una simetría axial con
una traslación en la dirección del eje de simetría
Estos 4 movimientos en el plano: Traslaciones, Giros, Simetrías y Deslizamientos
podemos aplicarlos para construir Frisos (cenefas) y Mosaicos.
Friso (o cenefa)
En un friso hay un motivo inicial y este motivo se repite periódicamente.
Aunque hay infinidad de motivos que pueden dar origen a una cenefa y
podríamos pensar que hay un número ilimitado de combinaciones de
realizarla, en realidad generar un friso depende de muy pocos movimientos
geométricos.
Mosaico
Un mosaico es una forma de recubrir el suelo(o una pared) con baldosas entre
las cuales no habrá agujeros ni solapamientos.
o Hay mosaicos con baldosas iguales
o Hay mosaicos con baldosas diferentes
Existen sólo 17 estructuras básicas de Mosaicos periódicos. Esto fue
demostrado recientemente, en 1981, por el cristalógrafo ruso Fedorov.
En la Alhambra de Granada hay representaciones de cada uno de los 17
modelos posibles.
Mosaico de baldosas iguales
Mosaicos de baldosas diferentes
Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
Escher es un artista holandés conocido por sus grabados que tratan de teselados y de
figuras imposibles. La obra de Escher ha interesado mucho a los matemáticos.
Utiliza las traslaciones y homotecias de una forma muy original.
El trabajo gráfico de M. C. Escher estuvo muy influenciado por los diseños de arte
musulmán que descubrió visitando Granada.
En la obra “Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle” (Douglas Hofstadter-
1979) el autor relaciona los logros creativos de Bach y Escher, además de los del
lógico y matemático Kurt Gödel.
En resumen
Traslaciones
Giros (Rotaciones)
• Movimientos Simetrías axiales (Reflexiones)
Deslizamientos
Homotecias
La geometría en la música Las transformaciones geométricas que en matemáticas conservan la forma de una
figura, en música se corresponden con transformaciones que conservan los intervalos
(en el caso de los movimientos) o que conservan la proporción entre ellos (en el caso
de las homotecias).
En casi cualquier composición se pueden encontrar ejemplos de este tipo de
transformaciones.
Esto no quiere decir que el compositor sea consciente de estar realizando una
“transformación geométrica”, pero su oído y su experiencia le indican que conservar
los intervalos o sus proporcione es una excelente forma de familiarizar al oyente con
el motivo musical sin que este tenga que ser repetido exactamente.
Simetrías en la música: Reflexiones (4 ejemplos)
o Simetría en la altura de la melodía por medio de un eje vertical: es una
reflexión horizontal
o Simetría vertical de la altura de un acorde: La simetría se realiza
respecto de la nota LA
o Simetría del ritmo en el tiempo:
A tempo - accel - decel - a tempo
o Simetría de la intensidad del sonido en el tiempo
Piano - Forte - Piano
Actividad 6: Puedes identificar el tipo de reflexión del siguiente ejemplo
Veamos ahora una rotación y otro tipo de reflexión (inversión).
o Primero tenemos un giro o rotación respecto a SI
Se mantienen los intervalos en orden inversa por ser un giro:
RE - MIb - RE • SOL - FA# - SOL 1/2↑ 1/2↓ GIRO 1/2↓ 1/2↑
o En segundo lugar se realiza una reflexión(simetría respecto a la nota
SOL, en clave de FA)
Se mantienen los intervalos en el mismo orden pero con distinto
sentido por ser una reflexión:
LA - SOL - FA - MI - SOL FA - SOL - LA - SIb* - SOL
1↓ 1↓ 1/2↓ 1 ½ ↑ 1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓
*Nota: Fuga nº 6 en Re menor de J. S. Bach (el SI es Bemol)
Continuemos con una reflexión desplazada y dos tipos de reflexión con
homotecia:
o Primero tenemos un desplazamiento con simetría horizontal
DO MI SOL MI → DO MI SOL MI → DO MI SOL MI
Hay una traslación 3 veces
DO MI SOL MI DO MI SOL MI DO MI SOL MI DO
Hay una reflexión respecto a la nota SOL
o Reflexión con homotecia en la duración(disminución del tempo)
DO RE MI FA SOL FA MI RE DO
Negras corcheas
o Reflexión con homotecia en la compresión del sonido
FA SOL LA SI DO# DOb SI SIb LA
1↑ 1↑ 1↑ 1↑ 1/2↓ 1/2↓ 1/2↓ 1/2↓
Gioachino Antonio Rossini (1792 - 1868)
La repetición es uno de los procedimientos más usado en
la música. La repetición constante causa un efecto
hipnótico, una adaptación del oído y ayuda a recordar la
melodía.
Las oberturas de Rossini son un ejemplo de traslación
melódica. Las frases se repiten cada vez con más
intensidad, en crescendo. Precisamente el clímax se
alcanza rompiendo la traslación.
F. Chopin (1810-1849)
Una doble traslación.
Estamos en Mib Mayor
LAb SOL MI DO → REb DO SIb SOL
1/2↓ 1 ½ ↓ 1 ½ ↓ 1/2↓ 1 ↓ 1 ½ ↓
LAb SOL MI DO REb DO SIb SOL → LAb SOL MI DO REb DO SIb SOL
L. van Beethoven (1770-1827)
Homotecia en la duración.
o 1er compás: SOL FA# MI RE# MI
Semicorcheas Corchea
o 2º compás: SOL FA# MI RE# MI
Corcheas Negra
o 3er compás: SOL FA# MI RE# MI
Negras Negra
Reflexión desplazada (Simetría + Traslación)
La transformación geométrica ocurre 132 compases después de la primera
aparición (se repite todo salvo el compás en rojo).
En este caso Beethoven, en la Sonata nº 29, tuvo que ser consciente de
que estaba utilizando una transformación geométrica.
J. S. Bach (1685 - 1750)
Veamos ahora 8 compases de la Invención I a dos voces (BWV 772) de J. S.
Bach de su música para clave.
o El sujeto de la fuga aparece en el 1er compás en una elipse roja
DO RE MI FA RE MI DO SOL
1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓ 1↑ 1 ½↓ 5ª
En el mismo compás ya aparece el sujeto trasladado (una 8ª más
grave)
En el compás siguiente aparece otra vez pero subiéndolo una quinta
(do → sol)
SOL LA SI DO LA SI SOL RE
En el quinto compás vuelve a aparecer subiéndolo una 2ª Mayor
(do → re)
RE MI FA# SOL MI FA# RE SOL
Hay una variación en la última nota que debería ser un LA
En el octavo compás aparece otra vez pero ya con nota final LA
En el último compás aparece otra vez el sujeto pero ya no guarda la
misma relación interválica:
LA SI DO RE SI DO LA …
o La elipse azul se usa para marcar una simetría del sujeto
Sujeto: DO RE MI FA RE MI DO SOL
1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓ 1↑ 1 ½↓ 5ª
Reflexión: LA SOL FA MI SOL FA LA SOL
1↓ 1↓ 1/2↓ 1 ½ ↑ 1↓ 1 ½↑ 1↓
Aunque no siempre guarda la relación interválica (3er compás 2ª
parte)
FA MI RE DO MI RE FA MI
o El rectángulo rojo marca un motivo que aparece en la mano izquierda
en corcheas: SI DO RE MI y que se traslada bajando una tercera
la primera vez: SOL LA SI DO (aquí tampoco se guardan los
intervalos)
o El rectángulo verde marca otro motivo que aparecerá mas adelante.
Actividad 7: Comprueba la relación interválica de los rectángulos rojos
1ª vez: SI DO RE MI
2ª vez: SOL LA SI DO
3ª vez: MI FA# SOL LA
4ª vez: SOL LA SI DO
5ª vez: SI DO RE MI
6ª vez: RE MI FA# SOL
Tanto las simetrías en espejo como las traslaciones son frecuentes en la
música de Bach a muchos niveles.
En la obertura de La Invención en dos partes nº 6 en Mi Mayor aparece
una simetría en espejo entre los dos pentagramas de la partitura con una
traslación al cabo de cuatro compases.
La famosa Ofrenda Musical está formada por las siguientes formas
musicales:
Ricercar 5 Cánones Trío Sonata 5 Cánones Ricercar
Esta composición presenta una indudable simetría en su distribución, aunque
en este caso no es nota a nota.
Además los 10 Cánones de esta obra son un ejemplo de la operación de
traslación.
Pero esto no es lo único, dentro de la Ofrenda Musical el Canon 1 es
conocido por el Canon del Cangrejo. En esta pieza cada violín toca la parte
del otro al revés resultando ser una simetría en espejo vertical. De esta obra
volveremos a hablar más adelante.
La geometría en las obras de Bach
Durante muchos años Bach no fue consciente del rigor científico de sus obras. En
palabras de su hijo CPE Bach “(mi padre) no se dejaba arrastrar por profundas
consideraciones teóricas y dedicaba en su lugar
sus energías a la práctica”
Tras 9 años de negativa, en 1774 Bach accedió a
entrar en la Sociedad de las Ciencias Musicales
(Sozietat der Musicalischen Wissenschaften).
Esta sociedad creada por L.C. Mizler, un alumno
de Bach, que además de músico fue matemático,
físico, filósofo y médico. Su propósito era
investigar la relación entre la música y las
matemáticas, de hecho el propio Mizler publicó
un trabajo basado en el “Ars Combinatoria” de
Leibniz.
JS Bach para ingresar presentó una pieza a canon
basada en su “Vom Himmel hoch (BWV 769)”
junto con un canon a 6 voces de las Variaciones
Goldberg. Además por exigencias de la sociedad
también aportó un retrato, que se ha convertido en la imagen más conocida de Bach.
La genialidad de Bach alcanza su cenit en el contrapunto y en la fuga, composiciones
donde la estructura geométrica es incuestionable. Se parte de uno o varios temas y se
les somete a Transformaciones geométricas: Traslaciones – Giros – Reflexiones –
Deslizamientos y Homotecias, que confieren a la obra una estructura muy rígida pero
donde el “Cantor de Leipzig” encontró una fuente de inspiración.
La suprema importancia de este compositor está en el hecho de que pese a la rigidez
estructural, sus obras poseen una velocidad y una brillantez en la improvisación que
resultan admirables.
El biógrafo de JS Bach, J.N. Forkel (1749-1818) nos comenta una anécdota
refiriéndose a una visita de Bach a rey de Prusia Federico II (1712-1786):
Una noche, en los momentos en que [Federico II] preparaba ya su flauta y sus músicos estaban preparados para comenzar, un funcionario […] dijo[…] “Señores el viejo Bach está aquí”. […] El rey renunció a su concierto de esa noche e […] invitó a Bach […] a tocar […] alguna improvisación. […] Bach le pidió al rey un tema para una fuga, ofreciéndose a interpretarla de inmediato, sin preparación alguna. El rey quedó admirado […] y expresó el deseo de oir una fufa a seis voces obligadas. Pero como no cualquier tema se presta para una armonía tan rica, Bach mismo eligió uno, y al punto, con asombro de todos los presentes lo desarrolló de la misma sabia y magnífica manera como había desarrollado antes el tema del rey.
La dificultad de componer una fuga a 6 voces es altísima y el hecho de improvisarla
está sólo al alcance de unos pocos elegidos. En palabras de Hofstadler (Autor del
libro: “Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle” 1979): “la tarea de improvisar
una fuga a 6 voces puede compararse, por decir algo con jugar con los ojos vendados
60 partidas simultáneas de ajedrez y ganarlas todas”.
El Arte de la Fuga (1751) es una de las obras maestras de la Historia de la música y
puede verse como una colección de ejemplos brillantes de transformaciones
geométricas.
El Arte de la Fuga
Fue escrita en el último año de su vida y es una obra didáctica incompleta que
sobrecoge por su inmensa trascendencia y belleza. El libro del Arte de la fuga se
compone de catorce fugas y cuatro cánones, o más bien, a juicio de Spitta, de una
gigantesca fuga en quince capítulos. Esta creación, descansa sobre un único tema en
re menor, «bastante insignificante por sí mismo». La homogeneidad del inacabado
opus es tan grande que las fugas requieren una ejecución conjunta, Interpretadas
aisladamente pierden algo de su peculiar grandeza, y tan solo brillan esplendorosas
cuando suenan agrupadas.
El Arte de la Fuga (Die Kunst der Fuge, BWV 1080) probablemente JS Bach la
comenzaría a componer entre 1738 y 1742. Fue publicada inacababa en 1751, un año
después de la muerte del compositor. Está formada por 14 Fugas(la última
incompleta) y 4 Cánones, todos ellos basados en el mismo sujeto en Re menor. Fue
publicada sin indicaciones de instrumentación ni de orden, lo que ha dado lugar a
múltiples versiones.
Fugas:
4 Fugas simples (Contrapunctus I - IV)
3 Fugas con respuestas invertidas (Contrapunctus V- VII)
4 Fugas dobles / triples (Contrapunctus VIII - XI)
2 Fugas en espejo (Contrapunctus XII- XIII)
1 Fuga cuádruple inconclusa (Contrapunctus XIV)
Cánones:
Canon per Augmentationem in contrario motu
Canon alla Ottava
Canon alla Duodécima in contrapunto alla Quinta
Canon alla Decima in contrapunto alla Terza
El Contrapunctus XIV es una fuga a 3 temas, el tercero de los cuales está basado en
el considerado tema BACH (las notas B-A-C-H están escritas en notación alemana,
donde B es Sib, A es La, C es Do y H es Si)
Actividad 8:
Escucha el contrapunto nº 1 de El Arte de la Fuga.
Veamos algunos ejemplos:
Los sujetos de las dos primeras fugas son prácticamente iguales, con una pequeña
modificación al final, en la segunda aparecen corcheas con puntillo:
El sujeto de la fuga nº3 utiliza ya una transformación geométrica:
La línea melódica es justo la contraria que en el primer sujeto. Donde antes subía un
intervalo, ahora baja y además en la misma cantidad. Se puede encontrar una
pequeña "trampa" en el primer intervalo para conseguir la tonalidad deseada.
En la fuga nº4 el procedimiento utilizado es el mismo pero un poco más grave que en
el nº 3.
Estos cuatro primeros contrapuntos son "simples", entendiendo por tales aquellos en
las que las posteriores entradas de los sujetos no sufren modificaciones importantes,
es decir, siempre volvemos a escuchar el sujeto tal como se enuncia al principio de
cada contrapunto.
Actividad 9:
Escucha los cuatro primeros contrapuntos de El Arte de la Fuga.
Comprueba que los sujetos de las cuatro primeras fugas siguen los ejemplos
anteriores.
A partir del contrapunto nº5 las transformaciones geométricas empiezan a ser más
complicadas.
Actividad 10:
La fuga XII tiene dos partes: Rectus e Inversus.
Vamos a comparar las dos primeras páginas de ambas fugas.
Comparando los distintos compases de ambas partituras vemos que existen
reflexiones (inversiones) en las entradas de las distintas voces:
Compases:
• 1-4 Rectus: Entrada de Bajo.
• 1-4 Inversus: Entrada de Soprano.
• 5-9 Rectus: Entrada de Tenor.
• 5-9 Inversus: Entrada de Alto.
• 10-13 Rectus: Entrada de Alto.
• 10-13 Inversus: Entrada de Tenor.
• 14-18 Rectus: Entrada de Soprano.
• 14-18 Inversus: Entrada de Bajo.
Identifica estas inversiones en las partituras siguientes.
Manuscrito de la primera página del Arte de la Fuga. Fuga nº 1
Bach y los Números Veamos el Abecedario alemán de la época de Bach
Antes de nada hay que reseñar que en esa época en Alemania la I y la J eran la
misma letra y lo mismo ocurría con la U y la V
A B C D E F G H I=J K L M N O P Q R S T U=V W X Y Z
Ahora a cada letra le asignamos un número natural de forma consecutiva
A B C D E F G H I=J K L M N O P Q R S T U=V W X Y Z
Escribe el número de Köchel de la versión del minueto generada por 16 lanzamientos
de dos dados de sumas (8,3,7,12,7,11,5,7,2,9,7,12,4,10, 5,5)
Actividad 25:
Implicamos a los alumnos para que escriban 8 compases rítmicos en 4x4, todos
distintos.
• ¿Cuántas piezas rítmicas distintas de 8 compases se pueden hacer usando
todos estos 8 compases (no se pueden repetir)?
• Si cada pieza dura unos 10 segundos y una clase de música dura 50 minutos,
¿cuántas piezas se pueden interpretar en cada clase?
• ¿Cuántas clases necesitaría para interpretarlas todas?
• Si puedo repetir los compases, ¿cuántas piezas rítmicas distintas de 8
compases puedo hacer?
Iannis Xenakis (Braïla, 1922 - París, 2001)
Xenakis nació en 1922 en Rumania,
aunque su familia era griega. Su madre
era pianista y lo introduce en la música
desde temprana edad. Pero ella muere
cuando él tiene cinco años de edad, hecho
que le traumatiza, "su muerte me dejó
profundamente asustado", diría años más
tarde. A la edad de 10 años Xenakis
vuelve a Grecia y su padre lo envía a un
internado. Allí estudia filosofía, literatura
europea, matemáticas, ciencias y música.
Xenakis canta en un coro de música polifónica del Renacimiento y de música
litúrgica bizantina. Por esa época empieza a estudiar piano.
Estalla la Segunda Guerra Mundial y Xenakis debe interrumpir sus estudios de
ingeniería. Se une a la resistencia de izquierdas, unión que le cuesta la cárcel. En
1944 una bomba de mortero lo alcanza y lo pone al borde de la muerte. La explosión
le provoca la pérdida de un ojo y le desfigura la parte izquierda del rostro. En 1946
acaba sus estudios de ingeniería.
En 1947 llega a París y entra a trabajar como ingeniero en el estudio del famoso
arquitecto Le Corbusier. Xenakis participa en varios proyectos importantes tales
como el convento de La Tourette o el Pabellón Philips de la Exposición Universal de
Bruselas (1956). Le Corbusier y Xenakis comparten un gusto por los sistemas de
proporciones.
Xenakis no deja en ningún momento su carrera musical. Empieza a estudiar con
Honegger y Milhaud, pero no satisface sus necesidades musicales y pronto deja sus
clases. A sugerencia de Le Corbusier se presenta ante Messian para que le dé clases
de composición. Messian lo anima a que aplique sus ideas matemáticas a la
composición musical.
A partir de finales de los años 50 Xenakis empieza a aplicar
sistemáticamente las matemáticas en la composición. En su
obra podemos encontrar piezas cuyos principios
compositivos se basan en la teoría de probabilidades, en las
cadenas de Markov, en la teoría de juegos, en principios
geométricos y en otras ramas de las matemáticas.
Xenakis es también un pionero de la música electrónica.
Funda un laboratorio, el CEMAMu, en que estudia la
aplicación de la informática a la música.
Xenakis es una figura reconocida de la música contemporánea del siglo XX. Tiene
una carrera exitosa como compositor, pedagogo y teórico de la música que dura hasta
1997, año en que su salud le impide componer. Muere en 2001 tras una larga
enfermedad.
Procesos estocásticos Un proceso estocástico es todo aquel que evoluciona en el tiempo de forma total o
parcialmente aleatoria.
Veamos unos ejemplos:
La temperatura en una ciudad: aumenta por el día y baja por la noche,
aumenta en verano y baja en invierno. La variación es pues parcialmente
aleatoria.
Las variaciones del precio de unas acciones: aunque se espera que a largo
plazo el crecimiento sea positivo, la evolución de un día a otro es aleatoria.
Los números que salen en un sorteo de lotería. Son totalmente aleatorios.
Podemos definir un proceso estocástico mediante una ley de probabilidad que rige la
evolución de una variable x (temperatura, variación del precio de acciones, números
extraídos en la lotería,…) a lo largo de un tiempo t.
Así en los diferentes momentos del tiempo t0 < t1 < t2 … podemos obtener la
probabilidad de los valores correspondientes x0 < x1 < x2…
En el instante t1 observamos el valor de x1 y podemos condicionar la probabilidad de
futuros sucesos a la luz de esta información.
La Música estocástica
Xenakis se sentía ajeno a dos de las corrientes musicales más importantes del S. XX:
El serialismo, abanderado por Pierre Boulez, contra el que reacciona por su
enorme complejidad que impide al oyente seguir el entramado de las líneas.
Esta corriente proponía el uso de una serie de sonidos, normalmente utilizaba
los doce sonidos que se encuentran en una octava, sin que se pudiera repetir
una sola nota hasta no haber aparecido los doce sonidos.
El indeterminismo (o música casual, o postserialismo), personalizado en
John Cage. Xenakis califica este movimiento como sonidos tocados libre y
aleatoriamente, y que no transmiten ningún significado estético musical al
oyente.
La respuesta a los problemas estéticos de ambas tendencias viene dada por las
Matemáticas. Xenakis introduce sobre todo la probabilidad en el mundo de la
composición. A pesar de la excesiva formalización del proceso compositivo logra
dotar a su obra de gran expresividad.
Xenakis tenía preferencia por los grandes bloques de sonido. Al buscar un tipo de
causalidad apropiada para los efectos sonoros en masa comenzó a aplicar a su música
las teorías de la Probabilidad matemática, especialmente “La ley de los grandes
números”, formulada por el matemático suizo Jacques Bernoulli en el S. XVIII.
Esta ley, de la que ya hemos hablado con anterioridad, en términos sencillos dice que
cuanto más aumente el número de ocasiones en las que se produce un hecho casual
(aleatorio) más posibilidades habrá de qué el resultado se encamine hacia un fin
determinado.
Usando “La ley de lo grandes números”, Xenakis definió la música estocástica como
música indeterminada en sus detalles pero que sin embargo se dirige hacia un final
definido. Las matemáticas las utiliza como una herramienta y cuando traslada los
cálculos a unas indicaciones musicales concretas los ajusta con el fin de obtener los
resultados musicales previamente prefijados.
Los principios formales de la música, tales como la altura, la duración y el instante
de comienzo de cada sonido son controlados estadísticamente.
La música estocástica esta gobernada por las leyes de la probabilidad. Xenakis
encuentra tres puntos de inflexión para componer música estocástica:
Intenta reproducir sonidos y estructuras propias de la naturaleza. Así la
música es concebida como el medio más idóneo para reflejar la realidad
universal. En palabras del compositor “la música es el arte que, antes que
las demás artes, ha creado un puente entre el ente abstracto y su
materialización sensible”.
El hombre siempre ha intentado determinar la naturaleza mediante reglas
universales; el uso de estas reglas se hace necesario a la hora de componer
música. Xenakis acudió a las leyes de Poisson y Gauss, (la teoría cinética de
gases), que postula que toda alteración, movimiento o alternancia en el
espacio y tiempo se puede medir y acaso prever según la posibilidad de
cálculo de probabilidades. No hay más que aplicar estas reglas sobre los
timbres y estructuras tonales para que sea el principio de incertidumbre el que
guíe toda composición musical. El resultado es una música libre, liberada de
la determinación serial.
Sólo la intencionalidad del autor pueden medir el valor de una obra.
Dos aspectos influyeron decisivamente al desarrollo de la música estocástica y en
particular a la proyección creativa de Xenakis:
Su “visión arquitectónica”
El desarrollo de la tecnología computacional.
Dos tipos de escritura musical son usados por el compositor de forma recurrente:
Los Glissando: Si en Geometría la línea recta es la forma espacial más
básica, en música lo serán los glisandos, que son variaciones constantes y
continuas de alturas de sonido. Estas estructuras sonoras más tarde las llevará
a la arquitectura.
El Pizzicato: que intenta asemejar al movimiento de las moléculas de gas.
Un aspecto de importancia capital para el desarrollo de la música estocástica fue el
auge de la computación. El uso de sofisticadas computadoras, permitía al compositor
el poder preocuparse de aspectos estéticos, ya que todos los complicados y fatigosos
cálculos algebraicos y probabilísticos que determinaban el desarrollo de la
composición, eran relegados y resueltos por el ordenador.
La primera composición realizada por ordenador y calculada para un conjunto de 10
instrumentistas, fue “ST/ 10-1”; Xenakis utilizó el IBM 7090, que le fue cedido
durante 1hora por el centro de investigación científica IBM-France, aunque el trabajo
de producción posterior le ocupó meses.
Estas son algunas de las leyes de la probabilidad, y otros campos matemáticos que
usó en algunas de sus obras:
Distribución aleatoria de puntos en un plano: Diamorphoses
Ley de Maxwell-Boltzmann : Pithoprakta
Restricciones mínimas: Achorripsis
Cadenas de Markov: Analogicas
Distribución de Gauss: ST/IO,Atrés
Teoría de juegos: Duel, Stratégie
Teoría de grupos: Nomos alpha
Teoría de conjuntos y álgebra booleana : Henna, Eona.
Otro de los campos matemáticos en los que el compositor se ha movido, incluyendo
nuevas definiciones para la composición musical, es la Teoría de Conjuntos, pero
incomprensible para la mayoría de los compositores que han decidido estudiarla o
imitarla.
Según palabras de su autor, extraídas del prefacio de su libro “Formalized Music:
Thought and Mathematics in Composition”:
“Los acontecimientos naturales, tales como la colisión del granizo o la lluvia sobre superficies duras, o el canto de las cigarras en un campo veraniego. Estos acontecimientos sonoros están constituidos por miles de sonidos aislados; esta multitud de sonidos, vista como una totalidad, es un nuevo acontecimiento sonoro. Este acontecimiento masivo está articulado y forma un molde temporal flexible, que de por sí sigue las leyes aleatorias y estocásticas. Si alguien desea formar una gran masa a partir de notas puntuales, como con pizzicati de cuerdas, debe saber estas leyes matemáticas, que, en cualquier caso, no son más que una estricta y concisa expresión de cadenas de razonamiento lógico. Todo el mundo ha observado los fenómenos sonoros de una multitud política de decenas o cientos de miles de personas. El río humano grita un lema con un ritmo uniforme. Entonces otro lema surge desde la cabeza de la manifestación; se extiende hacia la cola, reemplazando el primero. Una onda de transición pasa de la cabeza a la cola. El clamor llena la ciudad y la fuerza inhibidora de la voz y el ritmo llegan a un clímax. Es un acontecimiento de gran poder y belleza en su ferocidad. Entonces, el impacto entre los manifestantes y el enemigo se produce. El perfecto ritmo del último lema se rompe en un gran grupo de gritos caóticos, que también se extiende hasta la cola. Imagina, además, los estallidos de las ametralladoras y el silbido de las balas intercalándose en ese desorden total. La multitud se dispersa rápidamente y después del infierno sonoro y visual sólo queda el silencio, lleno de desesperación, polvo y muerte. Las leyes estadísticas de estos acontecimientos, separadas de su contexto político o moral, son las mismas que aquellas de las cigarras o de la lluvia. Son las leyes de transición desde el orden absoluto al desorden total de una manera continua o explosiva. Son leyes estocásticas [Xenakis, 1971].”
Mikka
Obra para violín solo de 4 minutos de duración, compuesta en 1971.
Es una aplicación de la música estocástica de Xenakis. Consiste en una serie de
glissandos calculados por ordenador, en el que los intervalos y cuartos de tono son
recorridos sin detenimiento, explotando fuertes contrastes de dinámicas y alturas.
Estos glissandos confieren a la pieza una textura musical muy insinuante y delicada.
Actividad 26:
Escucha la obra Mikka de Xenakis.
El crítico musical Paco Yánez escribió la siguiente nota de prensa publicada en
Mundoclasico.com (ISSN 1886-0605) el 08/05/2007, después del concierto del
martes 24 de abril de 2007, del „Festival de Música Cidade de Lugo‟ donde se
programó un interesante concierto que, bajo el título El violín en el Siglo XX, estuvo
interpretado por el violinista albanés Florian Vlashi (Durres, 1963) y compuesto por
obras de Manuel Quiroga, Paulino Pereiro, Sergei Procofiev, Iannis Xenakis y Alfred
Schnittke. Precisamente el mismo violinista que interpretará la obra en el concierto
didáctico “Música o Matemática”.
“Si alguna interpretación de Vlashi resultó especialmente reveladora esa fue, para mí,
la de Mikka.[…]; en la [interpretación]de Vlashi prima los aspectos expresivos de la
obra, en la que destaca su carácter femenino (algo que el propio Xenakis señalaba),
lírico y hasta sensual. Pude contrastar esta opinión tras el concierto con el propio
violinista, cuyo amor por Mikka es conocido desde que hace ya años la incorporara a
su repertorio. Este énfasis en la expresividad no implica, en absoluto, una pérdida en el
rigor técnico y constructivo de su ejecución. Técnicamente la lectura de Vlashi me ha
parecido deslumbrante en cuanto a matices, control del recorrido y velocidad del
glissando, dominio de la transición dinámica -aquí muy matizada, buscando una
progresión más sutil e ínfima que brusca y abrupta-, y precisión en la medida con el
arco en los pasajes más centelleantes y ágiles, muchos de ellos cristalinamente
desarrollados, con una presencia totalmente nítida de cada nota hasta en los pasajes de
volumen apenas audible.
A pesar de que el concepto y ejecución de la obra por parte de Vlashi (que la interpretó
de forma entregadísima, como su lenguaje corporal manifestaba) son idóneos para
facilitar el acceso del público a esta difícil composición, siempre habrá a quien estas
piezas le resulten aún desconcertantes, cuando no perturbadoras o molestas. Y lo digo
porque al final del concierto, ya en la calle, Paulino Pereiro y yo fuimos testigos de un
comentario que nos hizo esbozar una sonrisa a ambos, por parte de una mujer que
decía que “el virtuoso ha estado muy bien, pero si la obra del Xenakis ese dura cinco
minutos más subo al escenario y le pego con el paraguas”. Obviamente, el público es
muy libre de tener sus gustos, pero siempre me ha parecido la crítica más interesante la
de aquel/aquella que comprende la obra en profundidad y desde ese conocimiento la
comparte o la rechaza, que es una opción totalmente lícita y respetable”.
Actividad 27:
Después de escuchar la obra Mikka de Xenakis lee el texto del crítico musical Paco
Yánez y comenta tus impresiones respecto a esta pieza. ¿Estás de acuerdo con la
“señora del paraguas”?
Fractales
Un fractal es una estructura donde si se analiza a distintas escalas se encuentran una
y otra vez os mismos elementos. Encontrar fractales, por ejemplo en la naturaleza,
resulta muy fácil. Y es que los fractales tienen menor o mayor presencia en los
diferentes entornos y objetos que podemos encontrar en la realidad. El matemático
Benoît Mandelbrot en los años sesenta observó fractales en muchas estructuras
naturales: nubes, montañas, líneas de costas, conductos pulmonares, vasos
sanguíneos, helechos,…
Hoja de Helecho Fractal diseñado por ordenador
Posiblemente el caso más espectacular es la demostración de que la música clásica
contiene formas fractales en su interior. La música clásica de Beethoven es un
ejemplo muy representativo.
Pero también existe poesía fractal e incluso formas de escritura fractal que ponen de
manifiesto la relación que existe entre la realidad y las matemáticas.
Fractales en la música
Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes
compositores de obras clásicas de increíble majestuosidad y belleza. Pero lo que
reveló hace años el estudio de los fractales es que también están integrados en obras
clásicas.
El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no,
para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión
fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.
Beethoven (1770 - 1827)
A continuación hay un completo análisis de la pieza “Primera Escossaien” de
Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.
Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades o
compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de la 1 a la 16;
B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 períodos. Periodo A: 1 y 2; periodo B: 3
y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y a' compuestas por 4 unidades (1, 2, 3, 4)
agrupadas cada una de a 2 (1 y 2). En conjunto pues la obra se divide en 32 --> 16 --
> 8 --> 4 --> 2, una sucesión binaria que goza de autosimilitud propia de una
estructura fractal.
Música Tecno
Pero la unión música-fractal no queda ahí. Actualmente algunos sintetizadores son
usados para crear música techno con bases fractales. También hay autores que están
experimentando con este tipo de música que promete. Richard F. Voss – físico
estadounidense – conjetura que existe una filiación entre la manera en que nuestro
sistema sensorial envía la información al sistema nervioso y las dimensiones fractales
de manera que la música con estructura fractal es grata al oído humano.
Las estructuras repetitivas de Philip Glass
Philip Glass estudió matemáticas y filosofía en la Universidad de Chicago. Uno de
sus héroes de juventud fue el señor Einstein (su primera ópera se titularía Einstein on
the Beach). Después le daría por la música, y se convirtió en una de las grandes
figuras del minimalismo musical. Como es normal, rechaza la etiqueta, aunque para
ello se invente otra al decir que lo suyo es trabajar con "estructuras repetitivas".
En cierta ocasión dijo en The Wall Street Journal:
"Los matemáticos experimentan los mismos tipos de entusiasmos que todos los
demás. La belleza de las matemáticas es algo de lo que los matemáticos hablan todo
el tiempo, y la elegancia de un teorema matemático es casi tan buena como su
prueba. No sólo es cierto, sino que es elegante. Por lo que entramos en cuestiones
cuasi estéticas."
La influencia de la matemática no solo es visible en la repetición de estructuras
musicales, o en su filosofía estética: también la utiliza directamente como material
sonoro, como en el caso de sus knee plays, pequeñas piezas musicales que sirven
para entretener al personal mientras se realizan los cambios de escenario. En estas
piezas se puede escuchar una voz recitando números. Lo curioso es que resulta de
lo más sugerente.
John Cage (1912 - 1992)
John Milton Cage Jr. (Los Ángeles 1912 – Nueva York 1992) fue un compositor,
instrumentista, filósofo, poeta, pintor y aficionado a la micología.
Fue uno de los pioneros de la música aleatoria y de la música electrónica. Y uno de
los compositores estadounidenses más influyentes del Siglo XX.
Uno de sus maestros fue el compositor Arnold Schoenberg, durante el periodo
comprendido entre los años 1933-35. Pero su principal influencia se encuentra en
diferentes culturas orientales. Estudió filosofía india, budismo zen y el clásico texto
chino “I Ching”, este libro se convierte en una herramienta habitual compositiva de
Cage.
Cage es conocido principalmente por su composición de 4´ 33´´ tres movimientos
que se interpretan sin tocar una sola nota.
4′ 33″
4′33″, pronunciado cuatro, treinta y tres, es la obra más conocida de Cage. Está
escrita en tres movimientos y compuesta en 1952.
La pieza puede ser interpretada por un instrumento solista o por cualquier conjunto
de instrumentos. En la partitura la única palabra escrita es “tacet”, que significa
silencio. El material sonoro de la obra son los ruidos que oye el espectador durante
ese tiempo.
En el transcurso de una clase que dio en la Universidad de Passer, en 1947, Cage
mencionó por primera vez la idea de una pieza compuesta exclusivamente de
silencio, pero una obra así le pareció incomprensible en Occidente. Sin embargo en
1951, Cage visitó la cámara anecioca de la Universidad de Harvard. El compositor
entró en ella esperando escuchar el silencio, pero oyó dos sonidos: uno agudo y otro
grave. Un ingeniero le explicó que el agudo era su sistema nervioso y el grave era su
sistema circulatorio. Ante la imposibilidad del silencio decidió escribir finalmente la
obra.
John Cage sobre la premier de 4′33″ escribió:
“No entendieron su objetivo. No existe eso llamado silencio. Lo que pensaron que era silencio, porque no sabían como escuchar, estaba lleno de sonidos accidentales. Podías oir el viento golpenado fuera durante el primer movimiento. Durante el segundo, gotas de lluva comenzaron a golpetear sobre el techo, y durante el tercero la propia gente hacía todo tipo de sonidos interesantes a medida que hablaban o salían.”
Actividad 28:
Escucha la obra 4′33″ de John Cage.
Después anota lo que has sentido y qué has escuchado durante estos cuatro minutos y
medio. Al final poned en común los resultados.
ORGAN²/ASLSP
Organ²/ASLSP (As SLow aS Possible) es otra pieza musical de Cage escrita para
órgano en 1987 y es una adaptación de una obra escrita para piano (las obras para
piano suelen tener una duración entre 20 y 70 minutos).
La curiosidad de esta pieza es que se ejecuta de una forma muy lenta y por tanto es la
de mayor duración jamás escrita.
La interpretación actual de esta pieza está llevándose a cabo en la iglesia de San
Buchardi en Halberstadt, Alemania, y empezó en 2001. Se estima que finalizará en
2640, por los tanto después de 639 años.
La partitura consta de 8 páginas y el “tempo” está ajustado para una duración tan
larga. De hecho hay una línea temporal debajo del pentagrama que marca cada año.
La obra comenzó con un silencio que duró 17 meses y después se tocó el primer
acorde que se prolongó durante 2 años. Las notas, que se mantienen poniendo unos
pesos en los pedales del órgano, están sonando constantemente ya que un fuelle
eléctrico proporciona un flujo continuo de aire al órgano.