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Premios del Departamento de Matemticas
de la Universidad Autnoma de Madrid para Estudiantes de
Secundaria
Cuarta Edicin, 2009/2010
TRABAJO: Paseo por un mundo reticular en el cuaderno de mates
GANADOR EN LA CATEGORA DE E.S.O. AUTORES: o David Laso lvarez o
Javier Lazcano Pardos o Daniel Loscos Barroso o Jorge Prez Gonzlez
TUTORA: o Mercedes Snchez Benito CENTRO: IES Gran Capitn
(Madrid)
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PASEOPORUNMUNDORETCULAR
ENELCUADERNODEMATES
PUNTOSSUSPENSIVOS
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos2/26
INTRODUCCINYANTECEDENTES:Elproblemadepartida es, aparentemente
sencillo,pero encierraotros problemasque
losmatemticoshantardadobastantetiempoenresolver:Llamamospuntosreticularesalconjuntodepuntosdelplanodecoordenadasenteras.Dadounnmeroenteropositivo
A ,encontrartodoslosrectngulos,esencialmentedistintos, que tienenun
vrtice en elpunto (0,0)O y losotros tres vrtices
enpuntosreticularesderea A .
Entendemosporrectngulosesencialmentedistintosaquellosquenosepuedenobtenerunodelotroapartirdeungiro,unasimetraounatraslacin.Porejemploestosdosrectngulossonesencialmenteelmismo
Al resolver algunos casos particulares hemosdescubiertoque hay
algunosnmerosque
sepuedenobtenercomosumadedoscuadradosyotrosqueno.Buscandolainformacinnecesariapararesolveresteproblemahemosencontradoresultadosmuy
interesantes en el plano reticular, parecementira que bajo una
apariencia tan
simplehayaproblemastandifciles,yalgunostodavasinresolver!
OBJETIVOS:Conocermejoresemundodelosnmerosenterosdesdeelpuntodevistanumricoysobretododesdeelpuntodevistageomtricoenelsentidodelasconstruccionesgeomtricasquesepuedenhacerenunplanodecoordenadasenteras,puesaunque
losnmerosenteros
losconocemosdesdelaprimariacuandounproblemaexigequelassolucionesseanslonmerosenterosempiezaunlomuygrande.
RESULTADOSHemos analizado en un mundo reticular, el
comportamiento de las rectas, los polgonosregulares, los crculos
las circunferencias, es decir si tienen puntos reticulares,
cuntostienen?HemosencontradolamgicafrmuladePickparacalcularelreadeunpolgonoreticularyhemosextendidoestafrmulaaunpolgonoreticularcontenidoenunplanoenelespacio.
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos3/26
Comenzamosresolviendoelproblemainicial.Obviamente, elnmerode
rectngulosposiblesdependede ladescomposicin en
factoresprimosdelnmero A .Loprimeroquehemosaprendidoes
sabercuntosdivisores tieneunnmero N ycmo secalculan.
Si 1 21 2 ................ kaa a kN p p p , el nmero de
divisores que tiene N , es1 2( 1)( 1)........( 1)ka a a
Pero adems de la descomposicin de A en factores primos tendremos
que ver si
hayfactoresquesepuedanponercomosumadedoscuadradosdenmerosenterosydecuntasmaneraspuedehacerse.Losnmerosprimosexceptoel
2 son imparesyhemosobservadodistinto
comportamientosegnseandelaforma4 1n odelaforma 4 3n
.Vamosaexploraralgunoscasos:
13A ,unnmeroprimodelaforma4 1n .Enestecasoslohay2rectngulos
7A ,unnmeroprimodelaforma4 3n ,enestecasoslohay1
65A
,unnmerocompuestoyensudescomposicinhaydosfactoresprimosdelaforma
4 1n .Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a ,
65b y 5a ,
13b ;sepuedenconstruirlosrectngulosdelados 13 5a , 5b y 5 13a ,
13b
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos4/26
Perotambin65 1 64 y65 16 49 ,porlotanto,haydoscuadradosdelado 65
quesonesencialmenteelmismo
Esdecirpara 65A salen5Si 15A
,unnmerocompuestoporunnmeroprimodelaforma4 1n yotrodelaforma4 3n
Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 15b y 3a ,
5b ,podemosconstruirelquetienenporlados 5a y 3 5b Enestecasohay3Si
45A ,unnmerocompuestoporunprimodelaforma4 1n
yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n
Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 45b ; 3a
y
15b ; 5a , 9b estarnlosquetienenporlados 5a , 9 5b , 3 5a , 3
5b
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos5/26
Enestecasohay5Si 36A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 (el 2
secomportacomolosprimosdelaforma 4 1n
)yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n
.Ademsdelosrectngulosdelados1.36 2.18 3.12 4.9 6.6
paralelosalaretcula;estnlosquetienenporlados 2a , 18 2b ; 2 2a , 9
2b ; 3 2a , 6 2b
Enestecasoencontramos:8Si 90A ,unnmerocompuestoporunapotenciade
2 ,unprimodelaforma4 1n yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n
.Todoslosproductosdedosfactores1.90 2.45 3.30 5.18 6.15 9.10
yademssepuedenconstruir 2 , 5 y 10
,entonceshacemoslasparejascorrespondientes:
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos6/26
2 y45 2 ;3 2 y15 2 ;5 2 y9 2 ; 5 y18 5 ; 2 5 y9 5 ;3 5 y6 5 ;10
y9 10 ;3 10 y3 10
Total:14Si 216A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2
yelcubodeunprimodelaforma4 3n .Enestecasotenemos1.216 2.108 3.72
4.54 6.36 8.27 9.24 12.18
deladosparalelosalaretculaylosquetienenporlados 2a , 108 2b ; 2 2a
, 54 2b ;
3 2a , 36 2b ; 4 2a , 27 2b ; 6 2a , 18 2b ; 9 2a , 12 2b
.Total:14Si 72A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 (el2
secomportacomolosprimosdelaforma 4 1n
)yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .
Ademsdelosquetienenlosladosparalelosalatramareticularencontramos:
Entodosestosrectngulosentendemosqueunodesusvrticeseselpunto
(0,0) porqueenrealidad lo que importa es la longitud de sus lados y
que los vrtices sean
puntosreticulares.Total:11Pararesolveresteproblematenemosquesabersiunnmeroprimosepuededescomponercomosumadedoscuadradosyhemosencontradolosiguiente:
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos7/26
Sitenemosunnmeroprimo p delaforma 4 3p k
,nosepuedeponercomosumadedoscuadrados:Comoesimpar,unodelossumandosdebeserparyelotroimpar.Siunnmeroesimpar,obienesdelaforma4
1k ,obienesdelaforma 4 3k ;peroelcuadradodeunnmerodelaforma4 1k
esdelaforma 2 2 24 1 16 8 1 4(4 2 ) 1k k k k k
,yelcuadradodeunnmerodelaforma 4 3k es 2 2 24 3 16 24 9 4(4 6 2) 1k
k k k k ,asquenuncasepuedeobtenerunnmeroprimodelaforma 4 3p k
comosumadedoscuadradosdenmerosenteros.Eulerdemostrquetodonmeroprimodelaforma
4 1p k
siempresepuedeponercomosumadedoscuadradosdeformanica.Porlotantosiemprevamosapoderelegirpuntosreticularesadecuadosparaconstruirsegmentosdelongitudes:
2,2, 5,2 2,3, 10, 13,4, 17,3 2,2 5,5.......
Teniendoencuentaestosdosresultados,siunnmero 1 2 1 21 2 1 22 ....
....k ma ba a b ba k mA p p p q q q ,dondelosnmeros: 1 2, ,.... kp
p p sondelaforma4 1n y 1 2, ... mq q q sondelaforma 4 3n
,elnmeroderectngulosquevamosapoderconstruireslomismoqueconsiderarque
1 1 22 2 21 1 22 ............ ....k ma a a bb bk mA p p q q q
,yelnmerodedivisoresquepodramosobtenerser: 1 1 22 1 2 1 ..... 2 1 1
1 ..... 1k mR a a a b b b ,si
2R r ,elnmeroderectngulosqueseobtienenes r ;ysi 2 1R r
,elnmeroderectngulosqueobtenemoses r
Yahemosconseguidounprimerresultado!!!!Despusderesolveresteproblemavamosainiciarunpaseoporalgunosproblemasplanteadosenunplanoreticular,comonuestrocuadernodemates.
RECTAS:Enelplanohayrectasquenotienenpuntosreticulares,talescomoporejemplolasrectasquepasasporlospuntosmediosdedosladoscontiguosodosladosopuestosdeuncuadradounidad.
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos8/26
Hayrectasqueslotienenunpuntoreticular,porejemplolaquepasapor(0,0)yformaunngulode60conelejeOX.
Siunarectacontienemsdeunpuntoreticular,entoncestieneinfinitospuntosreticularesigualmenteespaciados:
POLGONOSREGULARES:Lospolgonosregularesquerellenanelplanosoneltringulo,elcuadradoyelhexgono.Esimposibleobteneruntringuloequilteroconlostresvrticesenpuntosreticulares,puessiunvrticeeselpunto
(0,0) yel
otroeselpunto ( ,0)l ,entonceseltercerodebeser 3,2 2l l
ysi l es
unnmeroentero 32
lnoloes.
Demaneraanlogasepuedeverqueelhexgonoregularnopuedetenertodoslosvrticesenpuntosreticulares,alfinyalcabounhexgonoestformadopor6tringulosequilteros.
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos9/26
Elnicopolgonoregularquepuedesercolocadoenelplanodecoordenadasenterasdemodoquesusvrticesseanpuntosreticulareseselcuadrado.LademostracindeesteresultadosepuedeverenunartculodeDanielJ.OloughlinenMathematicsMagazinevol75,n1febrero2002.Lademostracinsebasaentresideas:
I) Si A
eselreadeunpolgonoenelplanocuyosvrticessonpuntosreticularesentonces
2A
esunnmeroentero(resultadoelementalapartirdelTeoremadePickcomoveremosmsadelante).
II) Lafrmulaparacalcularelreadeunpolgonoregularde n
ladosdelongitud s es:
2
( )4 tan
nnsA P
n
III) Si 3n elvalorde tann esracionalslopara 4n
.Paracompletaresta
demostracinsonnecesariosunosclculosconfuncionestrigonomtricas,nosdicenquelascuentasnosondifcilesperonosotrossabemosmuypocodetrigonometra.
CRCULOSYCIRCUNFERENCIASH.Steinhauspropusoelsiguienteproblema.Paracadanmeronaturaln
,existeenelplanouncrculoquecontengaensuinteriorexactamenten
puntosreticulares?Esfcildemostrarqueexistennmerosnaturalesn
paralosquenohayningncrculoconcentroenunpuntoreticularyencuyointeriorhayaexactamente
n puntosreticulares.
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos10/26
Claramente:Sitenemosuncrculodecentrounpuntoreticularyradio 1r
entoncesslohayunpuntoreticularensuinterior;perosielradioes1 2r
entoncesenelinteriordeesecrculohabrexactamentecincopuntosreticulares.Ynoexisteningncrculodecentrounpuntoreticularquetengaensuinteriorexactamentedos,tresocuatropuntosreticulares.
Situviramosuncrculoderadio 1/ 2r
ycentroelpuntomediodeunladocualquieradeuncuadradounidaddelretculo,nohabrningnpuntoreticularensuinterior,peroparaunradio1/
2 5 / 2r
,tendramosexactamentedospuntosreticularesenelinteriordelcrculo.
Siahoraconsideramosuncrculocuyocentroseaelcentrodecualquiercuadradounidadyradio
2 / 2r
,entoncestampocotendramospuntosreticularesensuinterior;peroparaunradio
2 / 2 10 / 2r
,habraexactamentecuatropuntosreticularesensuinterior.
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos11/26
Supongamosacontinuacinqueelcentrodenuestrocrculopudieramoversepartiendodelcentrodeuncuadradounidadysiguiendoladireccindeladiagonal,podramosconseguiruncrculoquetieneexactamentetrespuntosreticularesensuinteriorProbaremosahoraque,eligiendouncentroyunradioapropiadosenelplano,esposibleteneruncrculoencuyointeriorhayaexactamenteelnmerodepuntosreticularesquequeramos.Sifijamosunosejesdecoordenadas,vamosaelegircomocentrodelcrculoelpunto
12,3
O ,entoncesparacadanmeronatural n existirunradio nr
talqueenelinteriordelcrculodecentroO yradio nr contendrexactamente
n puntosreticulares.
Parademostrarlo:PRIMERO:lasdistanciasdelpuntoO
adospuntosreticularescualesquierasondistintas,porloquesiemprehabruncrculoconunradiocomprendidoentrelasdistanciasdedospuntosdistintosaP.ComotodosellostienendistanciasdistintasaPlosordenamosenunasucesinfinitadeacuerdoasusdistanciacrecientesdesdeO
. 1 2, ..... nP P P .
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos12/26
Supongamosque 1( , )P a b y 2 ( , )P c d
sondospuntosreticularesdistintos,peroqueladistanciaaO
fueralamisma,esdecir: 1 2( , ) ( , )d O P d O P
PorelteoremadePitgorassetendraque: 2 22 21 12 23 3a b c d
,dedonde 2 2 2 2 22 2
3c a c d a b b d ,ycomoelmiembrodeladerechaesun
nmeroracional,entonces c a yconsecuentemente 2 03
d b b d ,perocomob yd sonnmerosenterosb d
,contrarioalahiptesisdequelospuntos 1P y 2P
sondistintos.SEGUNDO:claramente,cadacrculodecentroO
yradiosuficientementegrandecontendrmsdenpuntosreticulares.Enelinteriordeunodeesoscrculoshabrunnmerofinitodepuntosreticulares.Vamosallamar
kn1 alcrculodecentroO
quepasaporelpuntoPn1.As,losnicospuntosqueestnenelcrculosonlospuntos
1 2, ..... nP P P
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos13/26
ResultadosmuydifcilesdeprobarEnlawebhttp://mathworld.wolfram.comhemosencontradolossiguientesresultados
Paracadanmeronaturaln ,existeuncrculoderea n
quecontieneensuinteriorexactamente n
puntosreticulares?Steinhausprobquesiempreesposible.
Paracadanmeronaturaln
,existeuncrculoencuyacircunferenciahayaexactamenten
puntosreticulares?LademostracinsedebeaA.Schinzel:
Si n 2k 1(impar)siendo k unentero 0k lacircunferenciadecentro 1/
3,0 yradio 5
3
k
r contieneexactamentenpuntosreticulares.
Si n espar, n 2k siendo k
unnmeronatural,lacircunferenciadecentroenel
punto 1 ,02
yradio1
252
k
r
contendr n puntosreticulares.
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos14/26
Estasolucinnoproporcionaelmenorradioposible
Paracadanmeronaturaln
existeenelplanouncuadradoquecontieneensuinteriorexactamente n
puntosreticulares.
Muchasotrascuestionessepuedenformularsobrecrculosypuntosreticulares:Sitenemosuncrculoconcentroenunpuntoreticularypasapor,almenos,unpuntoreticular,Culessuradio?Imaginemosqueelcentroesel
(0,0)O ,sipasaporelpuntoreticular ( , )A a b ,entonces
2 2 2r a b
,esdecirelradioalcuadradodebepoderseescribircomosumadedoscuadrados.Otraveznosencontramosconladescomposicindeunnmerocomosumadedoscuadrados!!Teniendoencuentaloquesabemosalrespecto,larespuestaanuestrapreguntaes:Elradiodelcrculotienequeserigualalarazcuadradadeunnmeronaturalque,cuandosedivideporsumayorfactorcuadrtico,dauncocientequeesunnmeroquenotienedivisoresdelaforma
4 3p k
.As,siconsideramosuncrculoconcentroenunpuntoreticularyensucircunferenciahayalmenosunpuntoreticular,susradiosposiblesson:1,
2,2, 5,2 2,3, 10, 13,4, 17,3 2,2 5...
Otrapreguntaquenospodemoshacer:Cuntospuntosreticularespuedenestarenlacircunferenciadeuncrculodecentrounpuntoreticular?
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos15/26
Esfcilver,porsimetraquesiempreobtendremosunmltiplode 4
,perolomscuriosoesquesepuedeobtenercualquiermltiplode 4
.Sehademostradoque:Paraunnmeronatural k
,uncrculoconcentroenunpuntoreticularyradio 15kr
tendrensucircunferenciaexactamente 4k puntosreticulares.
UnproblematodavanoresueltoExisteunortoedrocuyasaristas,diagonalesdelascarasydiagonalesinteriorestengantodaslaslongitudesenteras?Esteproblemaesequivalente,utilizandoelTeoremadePitgoras,aversiexisten,ono,nmerosnaturales
x , y , z talesquecadaunodelosnmeros 2 2x y , 2 2x y , 2 2y z y
2 2 2x y z
seancuadradosdenmerosnaturales.Porelmomento,parecequetodavanohayrespuesta!!!!!!!
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos16/26
Unacuriosidad:Lospuntosreticularessepuedenordenar:Sepuedennumerartodoslospuntosreticularesenunasucesininfinita,detalmodoquepuedanserordenados:
ELTEOREMADEPICKparaunpolgonosimpleSupongamosquetenemosuntringulodevrtices
(0,0)A , ( , )B m n y ( , )C r s ,puntos
reticulares,elreadeltringulolacalculamosrestandoalreadelrectngulolasreasdelostrestringulosquehemosaadidoparaformarelrectnguloyobtenemosquees:
2ms rn
A
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos17/26
Llamamostringulofundamentalauntringulocuyosvrticessonpuntosreticularesynotienenningnpuntoreticularnienelinteriornienloslados(slolosvrtices).Veamosqueelreadecualquiertringulofundamentales.Podemosmovercualquiertringulofundamentaldemodoquetengaunvrticeenelpunto
(0,0)
,entoncessegnelproblemaanteriorelreadecualquiertringulofundamentalsiempresermayoroigualque
1
2,pueselnumeradoresunnmeroentero
positivononulo,yelmspequeodetodosesel1.Dadounpolgonosimple(losladosnosecortan)reticularcualquiera,lodescomponemosentringulosfundamentales.SupongamosquehayT
tringulosfundamentales,enesecasolasumatotaldelosngulosdetodoslostringuloses180T
,peroporcadapuntointeriorestamosaadiendo360
grados,luegolasumaser180 360T I .Sinembargoenunpolgonode k
lados,losngulosinterioressuman 2 180k
,peroahoraestamosconsiderandocomovrticeslospuntosdelbordequenolosonensentidoclsico.Cadaunodeellosincrementalasumaen180grados.AsqueentrminosdeB
,lasumavale 2 180B .Igualando180 360 ( 2)180T I B ,esdecir 2 2T B I
Resultadosorprendente,elnmerodetringulosfundamentalesdeunpolgonoreticularsimpleslodependedelospuntosquehayenelbordeydelosquehayenelinteriorynodependedecmoseelijanlostringulos.Dadountringulofundamental,seguroquesepuedeinscribirenuncuadradoreticulardeladon
.Descomponemosesecuadradoentringulosfundamentales,unodeloscualeseseltringuloinicial,elnmerodetringulosfundamentalesser
2 24 2 2( 1) 2T n n n
,Tendremosentoncesqueelcuadradolotenemosdescompuestoen 22n
tringulosfundamentalesylasumadelasreasdetodoselloses 2n
,comoelreadecadaunodeellosesmayoroiguala,necesariamentetodostienenquetenerrea.Portantocualquiertringulofundamentaltienerea.
TeoremadePickEn1899GeorgePickdescubriunafrmulaparacalcularelreadeunpolgonosimplePcuyosvrticessonpuntosreticulares(simplesignificaqueelpolgononosecortaasmismo)
Elreaes 12BA I ,siendo I
lospuntosreticularesqueestnenelinterioryB los
puntosreticularesqueestnenelborde.
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos18/26
Dadocualquierpolgonosimplereticularlodescomponemosentringulosfundamentales,anteshemosvistoque
2 2T B I ycadatringulofundamentaltienerea,entonces
1 2 2 12 2 2
B I BA T I
Lafrmuladelreaesaditivaenelsentidodequesilafrmulaesvlidaparadospolgonosconinterioresdisjuntos,peroqueestnunidosporunaaristacomn,entoncestambinesvlidaparaelpolgonoformadoporlaunindelosdosanteriores.Polgono1Polgono2
Polgono1+2
rea 5 rea 4 rea 9
Si llamamos 11 1 12BA I a la frmula de Pick para el polgono 1P ,
y 22 2 12
BA I a la frmula
de Pick para el polgono 2P , y finalmente, 12BA I la frmula de
Pick para el polgono
P construido con los polgonos 1P y 2P unidos por una arista
comn. Si E es el nmero de puntos reticulares de la arista comn,
entonces 1 2 2B B E B E , 1 2 2I I I E y por lo tanto 1 2A A A
Si el polgono no es simple tambin se puede calcular el rea
mediante una
generalizacin de la frmula de Pick teniendo en cuenta el nmero
de agujeros
que tenga el polgono o si se cruzan o no los lados.
Si en el polgono los lados no se cortan y tiene m agujeros que
no se tocan
entonces, calculamos el rea del polgono sin agujeros y el rea de
los agujeros
y despus se restan, pero tambin podemos hacerlo todo a la vez
teniendo en
cuenta que el nmero de puntos interiores del polgono ha
disminuido en tantos
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos19/26
como tienen los huecos incluido los de sus bordes, pero por otro
lado el nmero de lados del polgono se
ha incrementado y haciendo las cuentas al final queda que el rea
es (1 )2BA I m .Enla
figuraanterior 364 (1 3) 242
A
Esteresultadonosepuedeaplicarafigurascomo:
Antes de abordar la siguiente parte necesitamos poder utilizar
una nueva herramienta llamada determinante:
Un determinante de orden 2 se calcula de la siguiente manera a
b
ad bcc d
;
Un determinante de orden 3 se puede calcular a travs de 3
determinantes de orden 2
' ' ' ' ' '' ' '
'' '' '' '' '' '''' '' ''
a b cb c a c a b
a b c a b cb c a c a b
a b c
Dados dos vectores de componentes ', ', 'u a b c y '', '', ''v a
b c se llama producto vectorial de estos dos vectores al vector
cuyas componentes son
' ' ' ' ' ', ,
'' '' '' '' '' ''b c a c a b
uxvb c a c a b
Si los vectores u y v tienen distinta direccin determinan un
paralelogramo, pues bien el rea de este paralelogramo es uxv
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos20/26
Una exploracin del teorema de Pick en el espacio
Dado un polgono simple reticular P, el rea de P viene dada por:
12BA I , siendo A el rea que
encierra el polgono, I es el nmero de puntos reticulares que hay
en el interior del polgono y B es el nmero de puntos reticulares en
el borde del polgono.
Por ejemplo en esta figura, 22I , 11B , por lo tanto el rea
es
11 5322 12 2
A .
Vamos a intentar extender la frmula de Pick a polgonos en
una
retcula tridimensional.
Si hacemos una transformacinlineal enelplano,elteoremadePick
sigue siendo vlido. Sitransformamos nuestra retculainicial en otra
retcula: porejemplo consideramos laaplicacin que transforma el
punto (1,0) en el punto (2,0) y el punto (0,1) en el
(1,1),obtenemosestanuevaretcula.Alparalelogramoobtenidoaltransformarelcuadradounidadlellamaremosparalelogramounidad.
Esta transformacin sepuede escribirde la siguientemanera: '
2'
x x yy y ,obien en forma
matricial:2 1 '0 1 '
x xy y
Lospuntosreticularesdelaprimerafigurasetransformanenlosdelasegunda.Elnmerodepuntosreticularesquehayenelinterioryenlafronteraeselmismoqueantes,sinembargoelreaeseldoblede
laanterior.Laraznesqueelparalelogramounidadde
laretculanuevatienerea2.Un resultadoelemental
nosdicequeelvalorabsolutodeldeterminantede lamatriz 2 1 2
0 1 ,eselreade la
imagendelcuadradounidadyengeneraleselfactorpara
convertirreas.EnelteoremadePickpodemosinterpretarelreacomoelnmerodecuadradosunidadquehay
en el polgono, en esta nueva retcula podemos interpretarlo de la
misma manera,
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos21/26
Cuntosparalelogramosunidadcabenen la
imagendelpolgonooriginal?Por lotantoparacalcular el rea del polgono
transformado, hacemos lo mismo que antes pero habr
quemultiplicaresacantidadporelreadelparalelogramounidad.Enestecaso
' 53A EngeneralsielparalelogramounidadtienereaU
,entoncestenemos:TeoremadePickparauna retcula construida
coneseparalelogramounidad:El
readeunpolgonosimpleformadoporpuntosreticulareses 1
2BA U I
RetculasunidimensionalesConsideremoslarectaqueunelospuntosreticulares
(0,0) y ( , )a b .Paracualquiernmeroentero n ,elpunto ( , )na nb
estendicharecta.Porlotantoenelsegmentoqueunelospuntos (0,0) y ( ,
)a b nohaypuntosreticularessiyslosa yb sonprimosentresi,esdecirsi (
, ) 1mcd a b .Engeneraldadoelsegmentoqueunelospuntos (0,0) y ( , )a
b ,si ( , )d mcd a b ,entonces. ,a b
d d ,
2 2,a bd d
( 1) ( 1),d a d b
d d sonlos
( 1)d
puntosreticularesqueestnenelinteriordelsegmento.PuntosreticularesdeunplanoenelespacioConsideremoselplano
: 2 3 6 12x y z
.Todoslospuntosreticularesenelespaciosepuedenproyectarenelplanoreticular
,x y .Porejemploelpunto (3, 4, 1) queestenelplano
seproyectaenelpunto (3,4) enelplano,x y .
Queremosconstruirunaretculasobreelplano
parapoderaplicarelteoremadePickaunpolgonoconstruidosobreesaretcula.Para
construirdicharetcula,primerotenemosque
determinardosdireccionesparaformarunparalelogramounidad.
Si 0z ,tenemoslarecta 2 3 12x y ,enestarectaestnlospuntos 3,2,0
, 6,0,0 .
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos22/26
Cualquier otra recta de la forma 2 3x y k ser paralela a la
dada, pero para que estcontenidaenelplano, k tienequesermltiplode 6
.Porejemplosi 6k ,entonces 1z ,ysobre esa recta podemos sealar los
puntos reticulares 3,2,1 , 6,0,1 .; es decir
yapodemosformarunparalelogramounidadparaconstruirunatramareticularenelplano
.Vamosahacerloengeneral:Supongamosque
tenemosunplanoquepasaporelorigen 0ax by cz ,
(sielplanonopasaporelorigen,trazamoselplanoparaleloalquepasaporelorigenparaconstruirunatrama
reticular)demaneraque , ,a b c no son todosnulos.Yparams comodidad
vamosasuponerquelostrescoeficientesnotienendivisorescomunes,esdecir
( , , ) 1mcd a b c .Elplano cortaalplano ,x y enlarecta 0ax by
,vamosaconsiderarestarectacomounade
lasdireccionesparaformarelparalelogramounidad.Si 0a tendramos
larecta 0y ,ytendramosrectasparalelasaleje OX .Algoparecidosucedesi
0b
.Estoscasossonmuysimples,esmejortratarloscomouncasoaparte.Asquesuponemosque
0a y 0b La recta 0ax by contiene lospuntos reticulares (0,0,0) y (
, ,0)b a .Por loquehemosvistoantes,si ( , )d mcd a b ,entonces
lospuntosreticularesqueestnenesarectason lospuntos ,nb na
d d para todo n entero. El punto reticular ,
b ad d
es adyacente al punto
(0,0) ;esdecirelvectordecomponentes ,b ad d
esunodelosvectoresquedeterminanelparalelogramobase.Engeneral,
lasrectasparalelasaestasonde laforma ax by k
,yparaqueestaecuacintengasolucinennmerosenteros k nd siendo n
entero.(Hemosaprendidodelalgoritmode Euclides para calcular elmximo
comn divisor que si ( , )d mcd a b , existen enterosx , y talesque
ax by d )Cada una de las rectas ax by nd estn contenidas en el
plano , pero no todascorrespondenaunvalorenterode z
.Paraellotienequesucederque cz nd yporlotanto
ndzc
.
Como ,a b y c sonprimos entre si, entonces d y c tambin lo
son.Por lo tanto,paraquez seaunentero, c tienequedividira n .Por lo
tanto las rectasdepuntos reticularesenelplano deben ser de la forma
ax by cmd para cualquier entero m y en ese casoz md .
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos23/26
Larecta ax by d esadyacentea 0ax by enelplano ,x y .Si 0 0,x y
esunasolucinen nmeros enteros de ax by d , entonces los mltiplos
enteros del vector decomponentes 0 0,x y
determinarnpuntosreticularesencadanivel.Paracadam ,lospuntos 0
0,cmx cmy sern puntos reticulares correspondientes a la retcula
tridimensional en elplano .Porlotantoelproblemaresideenencontrar 0
0,x y
,peroestopuedehacerseporunsencillotanteo.Entoncestenemoselsiguienteresultado:Sea
unplanodeecuacin 0ax by cz demaneraque , ,a b c
nosontodosnulosytalesque ( , , ) 1mcd a b c . Entonces los puntos
de la retcula tridimensional que estn sobre elplano tienen por
coordenadas 0 0, ,nb nacmx cmy mdd d
siendo ( , )d mcd a b , 0 0,x y esunasolucinparticularde ax by d
yn esunenterocualquiera.Estosepuedeescribiras 0 0 0 0, , , , ,0nb
na b acmx cmy md m cx cy d nd d d d
Ylosvectores 0 0,cx cy d y , ,0b ad d
formanunaparalelogramounidaddelaretcula
tridimensionalenelplano .
ELreadeesteparalelogramoeselmdulode 0 0, , ,0 , ,b acx cy d x a
b cd d
;esdecir 2 2 2U a b c
.YahorayaestamosencondicionesdegeneralizarelteoremadePickaunplanocontenidoenelespacio.
TeoremadePickenunplanocontenidoenelespacio
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Puntossuspensivos24/26
SupongamosqueP
esunpolgonocuyosvrticessonpuntosreticularesenelespacioqueestncontenidosenelplano
0ax by cz ,demaneraque , ,a b c nosontodosnulosytalesque ( , , )
1mcd a b c .SiB eselnmerodepuntosreticularesdelbordedeP , I
eselnmerodepuntosreticularesdelinteriordeP ,entonceselreadeP es
2 2 2 12BA a b c I
Ejemplo:Consideramoselplanodeecuacin 2 3 6 0x y z
;(paraleloalplano 2 3 6 12x y z ).Como (2,3) 1mcd ,laecuacin2 3 1x
y tienesolucinennmerosenteros,porejemplolasolucinparticular 1,1
Losvectoresqueformanelparalelogramobaseson ( 6,6, 1) y 3, 2,0
yelreadeeste
paralelogramounidades7
.Entonceselreadeltringulodeterminadoporlospuntos 6,0,0A , 0,4,0B y
(0,0,2)C ser
67 0 1 142
A
,porquenotieneningnpuntoreticularenelinterioryhay6puntosreticularesenelborde.
Realmenteenesteejemploencontrar I esmscomplicadoqueencontrar A
porqueelpolgonoP
esuntringulo.Sinembargovamosaexplorarunpocomsestafrmula:Consideramoselplano
0ax by cz ,demaneraque , ,a b c nosontodosnulosytalesque
( , , ) 1mcd a b c ,sabemosqueelreadeunparalelogramounidades 2 2
2a b c .Siproyectamoslosvectoresqueformanlaretculasobreelplano ,x y
tenemoslosvectores
0 0, ,0cx cy y , ,0b ad d
,ysiconsideramoslaretculaquedeterminanestosvectores,el
paralelogramounidadtieneporreaelmdulodelvector:
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Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates
Puntossuspensivos25/26
0 0 0 00,0, 0,0, (0,0, ) 0,0,1cax cby c cax by d cd d d d
;esdecir c
Sillamamos xyA alreadelpolgonoproyeccindeP sobreelplano xy
,tendremosque:
2 2 2
xy
A a b cA c
Anlogamentesetendrque2 2 2
xz
A a b cA b
y2 2 2
yz
A a b cA a
siendo xzA y yzA lasproyeccionesdeP sobrelosplanos xz y yz .
Esdecir: 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy yzxzA AAA a b c a b c a b cc b
a
yteniendoencuentaestoseobtieneque:
2 2 2 2xy yz xzA A A A
Sorprendentementepodemosencontrarelrea A
deotramanera:Consideremoselcuadrilterocuyosvrticesson
0,0,0A , 6, 2, 1B , 3,2, 2C y 3,6, 2D queestsobreelplano2 3 6 0x
y z .Proyectandoestecuadrilterosobreelplano xy
nosdauncuadrilterocuyosvrticesson
' (0,0)A , ' 6, 2B , ' 3, 2C y ' 3,6D
,enestafiguraesfcilverqueenelinteriorhay18puntosyenlafrontera8,porloque
21xyA
Porloque: 2 2 2 21 492 3 66 2
A
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Puntossuspensivos26/26
Yadems,como 216 3 2
yzxz AA podemossaberque 212xz
A yque 7yzA
Ahoratambinpodemosutilizaresteresultadoparacontarlospuntosqueestnenelinteriordelpolgono,delafrmuladePicktenemosque
49 7 1
2 2BI ,esdecir9 2I B ,elnmerode
puntosquehayenelbordeesfcildeencontrar:enestecasoformamoslosvectoresquedeterminanlosladosdelcuadriltero:
(6, 2,1)AB ; ( 3,4, 1)BC ,
( 6,4,0) 2( 3,2,0)CD y (3, 6,2)DA
;tresdeellostienensuscomponentesprimosentresiyenunodeellosel ( 6,4)
2mcd ,porlotanto 5B hay5puntosenelborde,asque 2I
Esdecir,podemoscalcularelreadelpolgonoP
sinmsqueconocerelreadesuproyeccinsobreelplano xy
yutilizarlafrmuladePickparacalcularlospuntosreticularesquehayenelinteriordelpolgono.CONCLUSIONES:Apartirdeunproblema,aparentementefcilhemosexploradounmundoreticularyhemosencontradounamaneradeutilizarelteoremadePickparacalcularelreadeunpolgonosimplereticularcontenidoenunplanoenelespacio.NosgustarahaberdesarrolladotambinlafrmuladePickparaunpolgonocualquiera!YrelacionarlaconlafrmuladeEuler,pero
BIBLIOGRAFA:Gardiner:MathematicalPuzzling.DoverDanielJ.OloughlinenMathematicsMagazinevol75,n1febrero2002W.Sierpinski:AselectionofProblemsintheTHEORYOFNUMBERS.PergamonPressHowardIseriMathematicsMagazineVol81,n2Abril2008http://mathworld.wolfram.com