Kunnskap for en bedre verden Hvordan utvikle språk om multiplikasjon og divisjon på småskoletrinnet? Oda Tingstad Burheim Charlottenlund skole Frode Rønning Institutt for matematiske fag NTNU
Kunnskap for en bedre verden
Hvordan utvikle språk om multiplikasjon og divisjon på småskoletrinnet?Oda Tingstad BurheimCharlottenlund skole
Frode RønningInstitutt for matematiske fagNTNU
Kunnskap for en bedre verden 2
• Mål for prosjektet:– Få større kunnskap om læringsmiljøets betydning for utvikling av
matematisk tenking og forståelse– Utvikle elevenes evne til å framstille matematikk, muntlig og skriftlig,
diskutere matematikk, begrunne hvorfor noe er riktig eller ikke• Samarbeid mellom NTNU og to barneskoler• Designet bygger på Teorien for didaktiske situasjoner
(Brousseau, 1997)
www.laudim.no
Kunnskap for en bedre verden 3
Fasene i en didaktisk situasjon
Devolusjon(overlevering)
Analyseavmålkunnskapenogoppgavedesign
Aksjon
Validering
Formulering
Institusjonalisering=lærer”inaktiv”
Kunnskap for en bedre verden 4
Introduksjon av divisjon på 3. trinn
• Målingsdivisjon eller delingsdivisjon?
Kunnskap for en bedre verden 5
Elevenes strategier
• Tegne og telle
• Gjentatt addisjon - tallinje eller tall12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96
• Gjentatt subtraksjon - tallinje eller tall96, 84, 72, 60, 48, 36, 24, 12
Kunnskap for en bedre verden 6
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden 8
Arbeid med målingsdivisjon
• Innføring av symbolet : og språket “delt i”, basert på elevenes forklaring av strategier
• 96 : 12 “96 delt i tolvere”
• Naturlig språk (skriftlig og muntlig), tegning og symbolspråk
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden 11
Introduksjon av delingsdivisjon
• Tekstoppgaver
• Elevene hadde færre strategier, “dele ut en og en”
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden 15
Modeller for multiplikasjon
• Like grupper– Gjentatt addisjon
• Multiplikativ sammenligning– … ganger så mange som …
• Rate – mål per enhet · antall enheter
• Kartesisk produkt– Antall kombinasjoner
• Rektangulært areal
(Greer,1992)
Kunnskap for en bedre verden
●●●●
●●●●
●●●●
■ Multiplikasjon:3barnhar4lekebilerhver.Hvormangelekebilerhardetilsammen?
■ 3gruppermed4ihver■ 3 ·4 =12■ 3 – multiplikator■ 4 – multiplikand■ 12- produkt
■ Delingsdivisjon:3barnskaldele12lekebiler.Hvormangefårhver?■ 12:3 = 4■ 12- dividend■ 3 - divisor■ 4- kvotient
■ Målingsdivisjon:12lekebilerdelesslikathverfår4biler.Hvormangekanfå?■ 12:4 = 3■ 12- dividend■ 4- divisor■ 3 - kvotient
Kunnskap for en bedre verden 17
Intuitive modeller
• For multiplikasjon: Gjentatt addisjon• For divisjon: Delingsdivisjon• Disse modellene er rotfestet i menneskers mentale
handlinger, men de er ufullstendige og vil etter hvert komme i konflikt med de formelle begrepene multiplikasjon og divisjon (Fischbein, Deri, Nello, & Marino, 1985)
• Men kanskje det ikke er så enkelt?• Kan målingsdivisjon være like intuitivt?• Hvorfor vektlegge målingsdivisjon?
Kunnskap for en bedre verden
Lekse
Kunnskap for en bedre verden 19
Begrensninger i gjentatt addisjon og delingsdivisjon• 3 · 4 = 12 – tenkt som gjentatt addisjon• multiplikator · multiplikand = produkt
• 12 : 3 = 4 – tenkt som delingsdivisjon• dividend : divisor = kvotient
Måværeheltall
Behøverikkeåværeheltall
Måværeheltall
Behøverikkeåværeheltall
Kunnskap for en bedre verden 20
Hvorfor målingsdivisjon?
• 12 : 3 = 4 – tenkt som delingsdivisjon• dividend : divisor = kvotient
• 12 : 4 = 3 – tenkt som målingsdivisjon• dividend : divisor = kvotient
Behøverikkeåværeheltall
Behøverikkeåværeheltall
Behøverikkeåværeheltall
Måværeheltall
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden
48:6=8
Detsomskaldeles
Såmangedeler
Kunnskap for en bedre verden 23
Konsekvent språkbruk
• 3 ·4 =12 forståssom”trefirere”• 12:4 = 3 forståssom”12deltifirere”• 12:3 = 4 forståssom”12deltpåtre”
●●●●
●●●●
●●●●
Kunnskap for en bedre verden
Firefemmere
20deltpåfire
Kunnskap for en bedre verden
Hererdettrefirere
Delingsdivisjon
Kunnskap for en bedre verden
Hererdetfirefemmere
Målingsdivisjon
Kunnskap for en bedre verden
Når divisor ikke er et heltall
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden
Kunnskap for en bedre verden 31
Referanser
Brousseau, G. (1997). The theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, 1970-1990 (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland & V. Warfield, Red. & Overs.). Dordrecht, Nederland: Kluwer.
Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S., & Marino, M. S. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 3-17.
Greer, B. (1992). Multiplication and division as models of situations. I D. A. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 276-295). New York, NY: Simon and Schuster Macmillan.