Multicriteria decision makingwebstaff.itn.liu.se/~clryd/KURSER/TNK047/uppgifter3.pdfCost Community impact Environmental protection d1 1 0.25 0.25 d2 0 0.5 1 d3 0.6667 0.5 0.5 ”good”,

Linkopings Tekniska Hogskola TNK047 Optimering och systemanalys

Carl-Louis Sandblom och Clas Rydergren, ITN Ovningsuppgifter20 oktober 2009

Multicriteria decision making

M1 The board of directors of a large corporation consists of the six individuals A–F. Thecorporation has decided to go ahead with exactly one of the four projects W, X, Y,and Z. Each member of the board has ranked the four projects with the followingresults:

IndividualRanking A B C D E F

First Y Z X Z W XSecond X W W Y Z WThird W X Z X Y ZForth Z Y Y W X Y

In order to pick a winner (i.e., a project to go ahead with) the board has to use theCondorcet criterion according to which project U wins, if for every other project V,U is ranked higher than V by a strict majority (more than 50%) of the individuals.

(a) Which are the winners, if any?

(b) Same as a) except that F is excluded from the board?

(c) Same as a) except that D is excluded from the board?

(d) Same as a) except that project X is excluded from consideration?

(e) Same as a) except that in the Condorcet criterion, the word ”strict” is omitted?

(Uppgiften ar inte kopplad till nagot kapitel i kursboken.)

M2 Consider the same situation as in Exercise M1 except that the plurality criterion isused, for which project U wins if for any other project V, the number of individualsranking U first is strictly larger that the number of individuals ranking V first. In(e), the words ”strictly larger than” are replaced by ”larger than or equal to” in theplurality criterion. (Uppgiften ar inte kopplad till nagot kapitel i kursboken.)

M3 Gronsaksfirman Ferrsk producerar svamp pa burk i tre fabriker (I, II och III), somlevererar till fyra distributionscentraler (A, B, C och D). De tre fabrikernas produk-tionskapacitet (som ej kan overskridas) ar respektive 1000kg, 600kg och 800kg permanad, och de fyra distributionscentralerna kraver minst respektive 300kg, 500kg,400kg och 700kg per manad. Nettovisten (i kr per kg) beror pa i vilken fabrik varanproduceras och till vilken distributionscentral den levereras, enligt tabellen nedan.

Ferrsk har tre malfunktioner:

z1: Maximera nettovinsten;z2: Maximera produktionen i fabrik II;z3: Minimera leveransen fran fabrik I till distributionscentral B.

1

DistributionscentralFabrik A B C D

I 9:50 8:50 11:- 9:40II 8:80 10:20 9:60 8:70III 9:10 9:30 9:90 10:10

(a) Formulera, men los ej, en vektoroptimeringsmodell for firman Ferrsk.

(b) Hur modifieras optimeringsmodellen i (a) ovan om Ferrsk dessutom vill:

z4: Maximera totala leveranserna fran fabrikerna I och III till distribu-tionscentralerna C och D?

(c) Hur modifieras optimeringsmodellen i (a) ovan om Ferrsk istallet for malet z2

(som minimerar kapacitetsgapet for fabrik II) vill

z′2: Minimera det storsta av kapacitetsgapen for de tre fabrikerna?

M4 Ett beslutsproblem med fyra mojliga beslut d1, d2, d3 och d4, och tre kriterier c1, c2

och c3 har resulterat i en nyttomatris:

U = (uik) =

0.5 1 00.25 0.75 0.33330 0.75 0.66671 0.25 0.333

Man har bestamt sig for att ge de tre kriterierna vikter w1 = 0.4, w2 = 0.3 ochw3 = 0.3.

(a) Rangordna de fyra besluten och finn det basta genom att anvanda den allmannaMCDM-proceduren med viktad summa.

(b) Rangordna de fyra besluten och finn det basta genom att anvanda den allmannaMCDM-proceduren med viktad produkt.

(c) Rangordna de fyra besluten och finn det basta genom att anvanda TOPSIS-metoden med Manhattan-avstandet till den ideala punkten.

(d) Rangordna de fyra besluten och finn det basta genom att anvanda TOPSIS-metoden med Euklidiska avstandet till den ideala punkten.

M5 (Following the example on pages 35–36.) A decision maker faces the task of choosingone of three sites for the location of a sanitary lanfill. The three decisions are thend1, d2 and d3. The criteria are cost (in millions of dollars), impact on the surround-ing communities, and the environmental protection afforded by the solution. Thedecision maker’s evaluations are summarized in the table below. Note that the first

Cost Community impact Environmental protection

d1 20 high poord2 80 medium very goodd3 40 medium medium

two criteria are of the ”minimization” type wheras the last is of the ”maximization”type. Using Edwards’ linear scaling technique for criterion c1 (cost), a 5-point scalestarting at ”very low”, then continuing to ”low”, ”medium”, ”high” and ”very high”for c2 (community impact), and the 5-point scale that ranges from ”very good”, to

2

Cost Community impact Environmental protection

d1 1 0.25 0.25d2 0 0.5 1d3 0.6667 0.5 0.5

”good”, ”medium”, ”poor”, and ”very poor” for criterion c3 (environmental pro-tection). The scores on both qualitative scales are assumed to have equidistantutilities, and are shown in the table above. Use the weight vector [0.25 0.35 0.4] andthe generic MCDM procedure to obtain a ranking of the decision alternatives, aswell as an optimal decision, using

(a) the weighted sum model;

(b) the weighted product model.

M6 (Following the example on page 39–40.) A retail franchise is planning to locate anew store in a rapidly developing town. Management has delineated three impor-tant features: (annualized) costs, the quality of the neighborhood, and the futurepotential of the site. Letting c1, c2 and c3 symbolize the three criteria, the potentiallocations d1, d2, d3 and d4 have been evaluated as shown in the table below.

c1 (Cost, $) c2 (Neighborhood) c3 (Site)

d1 40 medium goodd2 50 medium very goodd3 30 good poord4 60 very good medium

Translating the evaluations into a utility matrix results in

U = (uik) =

.6667 .5 .75.333 .5 11 .75 .250 1 .5

Defining the ideal point as the column maxima, we obtain u = [1 1 1]. Use theweight vector [0.7 0.1 0.2] and the TOPSIS method to rank the potential locationdecisions, using

(a) the Manhattan distance;

(b) the Euclidian distance.

M7 (Following the example on page 42–43.) A city council has to evaluate its fourhistoric buildings. In particular, it operates a lighthouse museum with an originalFresnel lens, a downtown townhouse whose main feature is its 19th century collec-tion of paintings, an old factory on the fringes of town that sports avent-garde artexhibitions, and a historic farm near a modern-day suburb. The main criteria usedin the evaluation are the operating costs and the loss of revenue based on potentialalternative uses of the buildings (the input factors), as well as the number of visi-tors, the architectural integrity, and the historical significance of the buildings (theoutput factors). The numerical evaluations are shown in the table on the next page.Evaluating the Factory, we can set up the following linear programming problem:

3

Input factors Output factors

Operating Loss of Numbers of Architectual Historicalcosts revenue visitors (in 1,000) integrity significance

Lighthouse 20 100 18 100 90Townhouse 30 70 25 90 90

Factory 10 60 5 10 70Farm 5 50 3 50 80

P3 : min E3

20w1 + 30w2 + 10w3 + 5w4 ≤ 10E3

100w1 + 70w2 + 60w3 + 50w4 ≤ 60E3

18w1 + 25w2 + 5w3 + 3w4 ≥ 5100w1 + 90w2 + 10w3 + 50w4 ≥ 1090w1 + 90w2 + 70w3 + 80w4 ≥ 70w1 + w2 + w3 + w4 = 1

w1, w2, w3, w4 ≥ 0.

The solution to this problem is w1 = 0, w2 = 0.0909, w3 = 0, w4 = 0.9090, withE3 = 0.8636. This result indicate that the Factory is only about 86% efficient ascompared with a combination of the existing facilities, more specifically, a fictiouscombinations of 9% of the townhouse and 91% of the farm.

Using the DEA approach, formulate (and using AMPL, solve) the linear program-ming models for

(a) the lighthouse;

(b) the townhouse;

(c) the farm.

and explain why they are all efficient.

M8 Ett nytt akademiskt utbildningsprogram planeras i en mellansvensk hogskolestad.Flera upplagg och alternativ har diskuterats och man har kommit fram till sextankbara beslut. For dessa har kostnaderna k1 (i miljoner kronor, Mkr) och installningenbland foretagen i regionen (k2) uppskattats enligt tabellen nedan, dar beslutet d1

svarar mot att utbildningsprogrammet ej startas. Man har ocksa faststallt vikternaw1 = 0,7 och w2 = 0,3 for de tva kriterierna.

Beslut k1: Kostnad (Mkr) k2: Installning

d1 0 mycket negativd2 4,5 negativd3 5,2 neutrald4 5,7 neutrald5 6,0 mycket positivd6 6,7 positiv

(a) Bestam nyttomatrisen (utility matrix) for detta beslutsproblem (anvand en 5-gradig Likert-skala for det kvalitativa kriteriet k2) och visa hur besluten d4 ochd6 kan elimineras, eftersom de domineras av andra beslut.

(b) Rangordna de kvarvarande besluten och finn det/de basta genom att anvandaden allmanna MCDM-proceduren med viktad produkt.

4

(c) Rangordna de kvarvarande besluten och i) finn det/de basta genom att anvandaTOPSIS-metoden med Manhattan-avstandet till den ideala punkten, samt ii)rangordna de kvarvarande besluten och finn det/de basta genom att anvandaTOPSIS-metoden med Euklidiska avstandet till den ideala punkten.

M9 Ett sjukhus har foljande dagliga minimibehov av sjukskoterskepersonal:

Skift Dygnstid Minimibehov (personer)

1 06:00 - 10:00 602 10:00 - 14:00 703 14:00 - 18:00 604 18:00 - 22:00 505 22:00 - 02:00 206 02:00 - 06:00 30

Skiftespersonalen anlander vid borjan av varje skift och arbetar 8 timmar i strack(med avbrott endast for avtalsenliga pauser). Sjukhusadministratoren onskar bestammadet minsta antal personer som behovs for att tillrackligt mycket personal ska finnasi varje skift.

Formulera, men los ej, en vektoroptimeringsmodell for sjukhuset, som:

(a) • Minimerar totalantalet sjukskoterskepersonal (z1);

• Minimerar antalet personer pa nattskiften (skiften 5 och 6) (z2);

(b) Modifiera optimeringsmodellen i a) ovan, om sjukhuset dessutom vill:

• Minimera absoluta skillnaden i totala antalet personer som borjar underformiddagsskiften 1 och 2 jamfort med eftermiddagsskiften 3 och 4 (z3).

(c) Modifiera optimeringsmodellen i b) ovan, om sjukhuset dessutom vill:

• Minimera det maximala antalet personer under nagot av nattskiften 5 och6 (z4).

• Formulera det linjara programmeringsproblem som erhalles med viktmeto-den, om i b) ovan malen z1, z2 och z3 sammanvags, med viktvektornw = (5, 3, 2).

M10 Lagprisbolaget Havringeflyg onskar schemalagga minst tva dagliga avgangar franSkavsta till Goteborg, Malmo, Oslo och Helsingfors vardera. De mojliga avrese-tiderna ar 07:00, 07:30 och 08:30. Havringeflyg leasar flygplanen till en kostnad av80.000:- per avgang for tiderna 07:00 och 07:30, och 60.000:- for tiden 08:30; vidarefar Havringeflyg ej anvanda mer an tre plan for tiden 07:00, fem plan for tiden 07:30och fyra plan for tiden 08:30. Vinsten per avgang (leasingkostnad oraknad) framgarav foljande tabell:

Stad 07:00 07:30 08:30

Goteborg 13 9 8Malmo 15 10 11Oslo 9 8 7Helsingfors 14 15 13

(a) Formulera, men los ej, en vektoroptimeringsmodell for Havringeflyg, som:

5

• Maximerar totala nettovinsten (z1);

• Minimerar antalet avgangar f¨or tiden 07:30 (z2).

(b) Modifiera optimeringsmodellen i a) ovan om Havringeflyg dessutom vill:

• Minimera totala leasingkostnaden (z3);

• Maximera antalet inrikes avgangar f¨or tiden 08:30 (z4).

(c) Modifiera optimeringsmodellen i b) ovan om Havringeflyg dessutom vill:

• Minimera absoluta skillnaden i antalet avgangar for tiderna 07:00 och 07:30(z5).

(d) Formulera det linjara programmeringsproblem som erhalles med viktmetoden,om i b) ovan malen z1, z2 , z3 och z4 sammanvags, med viktvektorn w = (4,7000, 1, 500). (Varfor ar vikterna sa olika?)

M11 Person Z ska bygga en sokmotor till sin arbetsgivares intranat. En viktig del i dennasokmotor ar att rangordna de webbkallor som blir sokbara. Nar sedan en rangord-ning av webbkallorna skapats sa gar det snabbare att presentera bra informationtill den som gor sokningen. Sokningen i sokmotorn gors genom att ett eller fleraord skrivs in av anvandaren varefter sokmotorn snabbt hittar i vilka dokument somdessa ord forekommer. Dessa dokument kommer att presenteras i den ordning ivilken kallorna har rangordnats.

Person Z har satt upp ett antal kriterier for hur rangordningen ska goras, dessa ar:”tillganglighet”, ”korrekthet”, etc. Alla kategorierna och listan med webbkallor gesi tabellen nedan. Siffrorna (heltalen) i tabellen anger en bedomning mellan 0 och10; ju lagre desto battre.

Webbkalla tillganglighet korrekthet fullstandighet presentationA 2 1 6 2B 5 2 1 3C 4 4 4 5D 5 4 2 6

Viktning 0.25 0.4 0.2 0.15

(a) Transformera tabellen ovan till en nyttomatris. Anvand nyttomatrisen for attgora en rangordning av webbkallorna baserat pa TOPSIS-metoden och med deteuklidiska avstand som avstandsmatt.

(b) Antag nu att Z vill minska antalet webbkallor och tanker sig att anvanda DEA-metodik for att gora detta. Formulera det problem som Z behover losa for attutvardera effektiviteten hos kalla B. Antag att kriteriet ”tillganglighet” betrak-tas som en ”output factor”, och ovriga som ”input factors” vid utvarderingen.

6

Games against nature

N1 Byggfirman Agemo maste besluta om man ska lamna en offert eller ej pa ett planeratbro- och/eller tunnel-projekt mellan fastlandet och en stor o. Det kostar Agemo150.000:- att arbeta ut och lamna in en offert pa en bro, medan nettofortjanstenskulle bli 1,2Mkr om broprojektet far klartecken. Likaledes vore kostnaden 200.000:-for en tunneloffert, medan nettofortjansten blir 1,7Mkr om tunnelprojektet far klar-tecken. En tredje mojlighet for Agemo vore att lamna offert pa bade bro- ochtunnelprojektet, och en fjarde vore att inte lamna nagon offert alls. De fyra mojligautfallen svarar mot byggandet av en bro, en tunnel, baggedera eller ingendera.

(a) Konstruera en betalmatris genom att rubricera de fyra raderna (svarande motbesluten) och de fyra kolumnerna (svarande mot utfallen), och att berakna allabetalningarna.

(b) Vilka ar de maximin-optimala besluten?

(c) Finn alla optimala beslut med Laplace-kriteriet.

(d) Berakna gramelsematrisen och bestam alla optimala minimax-gramelse-beslut.

Antag nu att Agemo har uppskattat att sannolikheten for de fyra utfallen ar respek-tive 0,47, 0,21, 0,01 och 0,31.

(e) Vilka ar de optimala besluten med Bayes kriterium?

(f) Vilka ar de optimala besluten med forvantade gramelse-kriteriet?

(g) Vad ar det forvantade vardet av perfekt information?

(h) Visa genom direkt utrakning att EMV + EOL ar konstant for alla beslut ochlika med EMV med perfekt information.

N2 A bank is opening a new branch in a certain area of a large city, and is consideringthe purchase of a building lot on which to construct the new office. The lot iscurrently (February-March) for sale at $300,000. If it is still on the market in April,the bank can buy the lot for $250,000, but there is a probability p = 0.3 that it willno longer be on the market. If it is still on the market in April, there is a probabilityp = 0.6 that it will be available in May; when the price will be $100,000. The lotwill certainly not be on the market by June. At any time, the bank may purchase anequally attractive neighbouring lot, for which it has acquired an option to purchaseat $400,000. Given that the bank must acquire one of the lots by June, find itsoptimal policy and its expected outlay for the purchase. What is the probabilitythat the bank will buy the $400,000 lot?

N3 Consider the Wagner job interview problem, where applicants are interviewed, oneafter the other. During each interview, the applicant turns out excellent, good oronly acceptable, as given in the table below. At the end of each interview, the

Outcome Probability Value ($)

Excellent 0.15 7,000Good 0.55 5,000Acceptable 0.30 2,000

decision ”hire” or ”do not hire” must be made. No more than three applicants can

7

be interviewed, and at the end of the process exactly one hiring must have beencompleted.

(a) Draw a decision tree and find a policy which maximizes the expected value ofthe applicant hired. What is this value?

(b) For what range of values of an excellent applicant (presently $7,000) will theoptimal policy, found i (a) above, remain optimal?

(c) Same as (a), except that each interview now costs $500 to perform.

N4 I Wagners anstallningsproblem intervjuas sokande till ett arbete, en efter en. Vidvarje intervju befinns den sokande vara ”utmarkt”, ”bra” eller ”acceptabel”, enligtfoljande tabell:

Utfall Sannolikhet Varde (euro)

Utmarkt 0,15 7000Bra 0,55 5000Acceptabel 0,30 2000

Vid slutet av varje intervju maste beslutet ”anstall” eller ”anstall ej” goras. Hogst tresokande kan intervjuas, och vid slutet av proceduren maste en sokande ha anstallts.Antag nu att intervjuproceduren ar imperfekt, pa ett sadant satt att varje sokandesom intervjuas bedoms som ”lovande” eller ”icke lovande”, enligt foljande sanno-likhetstabell:

IntervjubedomningSokande Lovande Icke lovande

Utmarkt 0,10 0,05Bra 0,35 0,20Acceptabel 0,05 0,25

(a) Konstruera ett beslutstrad och finn en strategi som maximerar vantevardet forden sokande som anstalls. Vad ar vantevardet?

(b) Anvand resultatet fran (a) och uppgift N3 till att berakna vantevardet av denimperfekta intervjuprocessen. Vad ar vantevardet av perfekt information?

N5 The Bayesalli Electronic Company is planning to introduce a new video cassette onthe market. Presently they are considering the following three options:

(a) Produce the full number of cassettes, which is the expected demand on themarket.

(b) Produce a partial number of cassettes.

(c) Produce a minimal number of cassettes.

The company estimates that the expected profit for the first year under the followingstates of nature (regarding product acceptance by the market) will be as shown inthe table below. Obtain an optimal decision and the associated expected monetaryvalue.

N6 In Excersise N5 above, the management of the Bayesalli Electronic Company wantsto test their product for market acceptance prior to launching it on the market. The

8

State of nature (product acceptance)Course of action Excellent Good Poor

Full production $250,000 $180,000 -$10,000Partial production $170,000 $200,000 -$5,000Minimal production $80,000 $120,000 $35,000

Probability of occurence 0.2 0.5 0.3

service of the Clearview Research Institute are considered for a pilot evaluation of themarket reaction to the video cassette. The Bayesalli management believes that theanalysis provided by Clearview (resulting in a favourable or an unfavourable projec-tion) are associated with the probabilities shown in the table below. Incorporate this

Clearview projectionProduct acceptance Favorable Unfavorable

Excellent 0.6 0.4Good 0.3 0.7Poor 0.2 0.8

additional information into the decision tree, and find an optimal policy. Assumefor the time being that Clearview does not charge for its services.

N7 Consider Excercise N5 and N6 above. Clearview now wants to charge $20,000 forits market evaluation service.

(a) Will the optimal decision from Excercise N6 change?

(b) Calculate the expected value of perfect information and the expected value ofimperfect information.

(c) At what price would the Bayesalli management be indifferent between hiringand not hiring the Clearview service?

N8 Mr. Ong is considering a number of risk ventures. He is indifferent between aninvestment opportunity offering $50,000 with certainty and a risk opportunity giving$30,000 with probability 0.4 and $70,000 with propability 0.6. He is also indifferentbetween obtaining $75,000 for sure and a risky investment offering $70,000 withprobability 0.2 and $100,000 with probability 0.8. How would he rank the riskyventures shown in the figure on the next page?

N9 Ledningen inom foretaget NTI overvager brandforsakring for sitt varulager. Radandeforsakring har en sjalvrisk pa 1500 euro och forsakringspremien ar 5000 euro per ar.Om sjalvrisken hojs till 6000 euro, gar arspremien ned fran 5000 euro till 4500 euro.Ledningen uppskattar att i handelse av brand, kommer ersattningskostnaden (tillfullo tackt av forsakringen, minus sjalvrisken) att belopa sig 170000 euro; vidareuppskattar man att brandrisken ar 0,025 varje ar, och att hogst en brand om aretkan forekomma.

(a) Konstruera en betalmatris for att jamfora de bada forsakringsalternativen medalternativet att ej ha nagon forsakring alls.

(b) Vilket forsakringsalternativ ar bast ur EMV-synvinkel, och hur blir jamforelsenmed ingen forsakring alls?

Antag nu att NTIs nyttofunktion ar u(x) = 1 − exp{−(x + 300)/300)}, dar x aruttryckt i tusentals-euro.

9

$30,000

$50,000

$20,000

$30,000

$70,000

$20,000

$30,000

$40,000

$50,000

0.4

0.6

0.1

0.8

0.1

0.1

0.3

0.4

0.2

A:

B:

C:

(c) Konstruera en betalmatris for att jamfora den forvantade nyttan hos de badaforsakringsalternativen med forvantade nyttan hos alternativet att ej ha nagonforsakring.

(d) Vilket forsakringsalternativ ar bast ur forvantad nyttosynvinkel, och hur blirjamforelsen med ingen forsakring alls?

N10 Det styrande politiska partiet i Entropia onskar halla en folkomrostning i en vik-tig fraga. Partiets strateger har analyserat de mojliga valutgangarna, beroende padet politiska klimatet vid tiden for omrostningen och aven formuleringen av fragan,vilken kan ges en negativ, neutral eller positiv ton. Man har ocksa mojlighetenatt inte ha nagon omrostning alls. Foljande betalmatris representerar de alterna-tiva utgangarna av omrostningen (i procent av rosterna), enligt partistrategernasbedomningar:

KlimatBeslut Mycket gynnsamt Ganska gynnsamt Ganska ogynnsamt Mycket ogynnsamtNegativ ton 40 30 15 10Neutral ton 45 40 20 15Positiv ton 50 40 30 20Ej omrostning 55 55 55 55Sannolikhet 0.1 0.3 0.4 0.2

(a) Bestam alla maximax- och maximin-optimala beslut.

(b) Finn alla optimala beslut, om Laplace-kriteriet anvands, och likasa om Bayes-kriteriet anvands.

(c) Berakna gramelsematrisen och bestam alla optimala minimax-gramelse-beslut,liksom de optimala besluten med forvantade gramelse-kriteriet.

(d) Vad ar det forvantade vardet av perfekt information?

(e) Samma som a) och b) ovan, forutom att beslutet ”ej omrostning” inte tillats.

(f) Samma som c) och d) ovan, forutom att beslutet ”ej omrostning” inte tillats.

10

(g) Diskutera tillampbarheten av a) till f) ovan och utred vilka omstandigheter somkunde gora nagot av kriterierna lampligare an nagot av de andra.

N11 Riskkapitalbolaget Gredelin maste bestamma sig for att kopa eller hyra utrustningfor det mobila G3-natets utbyggnad, dar man lamnat en byggoffert. Av framforhallningsskalmaste kop-hyr- beslutet goras innan Gredelin vet om offerten godtagits. Om Gre-delin koper utrustning, gor man en nettovinst om 82 500 euro om offerten godtas,men en nettoforlust om 40 000 euro om offerten avslas. Om Gredelin i stallet hyrutrustning, gor man en nettovinst om 50 000 euro om offerten godtas, men ingenforlust om offerten avslas. Gredelin bedomer att sannolikheten att offerten godtas ar70%; Gredelin har ocksa nyttofunktionen u(M) =

√M + 40000 , dar M ar uttryckt

i euro.

(a) Anvand ett beslutstrad till att bestamma Gredelins optimala strategi, da denforvantade nyttan ska maximeras.

(b) Vilken sannolikhet for att offerten ska godtas skulle gora Gredelin indifferentmellan besluten ”kop” och ”hyr”?

(c) Vilken nettovinst av ett ”kop”-beslut och godtagen offert skulle gora Gredelinindifferent mellan besluten ”kop” och ”hyr”?

(d) Vad ar sakerhetsekvivalenten, och vad ar riskpremien for beslutet ”hyr”?

(e) Vad vore Gredelins optimala strategi om EMV i stallet for forvantade nyttanskulle maximeras?

N12 Foretaget Radiohalsa avser att eventuellt lamna offert pa anvandning av deras ul-traljudsbaserade diagnostik-system i en offentlig upphandling. Radiohalsa overvageren av fyra olika offerter pa 7 miljoner kronor; 7,5 miljoner kronor; 8 miljoner kronor,respektive 9 miljoner kronor, eller att inte lagga nagot bud. Andra foretag bjuderocksa pa samma projekt och det lagsta budet vinner kontraktet. Radiohalsa harraknat ut att deras nettovinst (i tusentals kronor) blir enligt tabellen nedan, dar Di,i = 1, 2, 3, 4 anger Radiohalsas offertbud och Nj , j = 1, 2, 3, 4, 5 anger andra foretags(”naturens”) bud.

Utfall (lagsta budet vinner)N1 N2 N3 N4 N5

Beslut 6,5M 7M 7,5M 8M 9M

D1: bjud ej 0 0 0 0 0D2: 7M -200 500 500 500 500D3: 7,5M -200 -200 850 850 850D4: 8M -200 -200 -200 1150 1150D5: 9M -200 -200 -200 -200 2050

(a) Redovisa de maximin-optimala besluten samt finn alla optimala beslut omLaplace-kriteriet anvands.

(b) Berakna gramelsematrisen (regret matrix) och bestam alla optimala minimax-gramelse-beslut.

(c) Antag nu att Radiohalsa har uppskattat att sannolikheterna for utfallen N1 tillN5 ar 0,20; 0,40; 0,25; 0,10; respektive 0,05.

i) Bestam de optimala besluten om Bayes-kriteriet anvands.ii) Vilka ar de optimala besluten om det forvantade gramelse-kriteriet anvands?

11

N13 Ett stort svenskt foretag i sportdetaljbranschen har utvecklat en ny typ av ”snowracer”och vill nu lansera den. Marknadsforarna bedomer att den nya snowracer:n kommeratt salja bra med sannolikhet 0,4 och att de kommer att salja daligt med sannolikhet0,6. Foljande tabell anger motsvarande nettovinst (i miljoner kronor):

StrategiUtfall Lansera snowracern Lansera ej snowracern

Saljer bra 45 0Saljer daligt -18 0

Marknadsforarna ar ovilliga att bestamma strategi pa grundval av endast dennainformation och vander sig till ett marknadsanalysforetag for att skaffa mer infor-mation. Analysforetaget erbjuder sig att utfora en marknadsundersokning for prisetattahundratusen kronor. Betingade sannolikheter for marknadsprognoser for givnaforsaljningsvolymer visas i foljande tabell (bl.a. kan utlasas att om den ”Saljer bra”sa ges prognosen ”Ljus” med sannolikhet 0,4.):

Verklig volymPrognos Saljer bra Saljer daligt

Ljus 0,4 0,2Neutral 0,5 0,5Dyster 0,1 0,3

(a) Vad ar optimal strategi, med Bayes kriterium, baserat pa informationen utan

prognos?

(b) Konstruera hela beslutstradet for detta problem och bestam det forvantadevardet av marknadsundersokningen?

N14 Lagprisforetaget Nodl avser att etablera sig i ett expanderande stadsomrade. Etab-leringen skulle innebara kop av markomraden, kallade respektive Lima, Mike ochNovember, och det beslut som ska fattas ar att forvarva inget, ett, tva eller alla treomradena. Beslut om att bygga pa nagot av omradena ar annu inte aktuellt, ochNodl ar for narvarande bara intresserat av den kortsiktiga vinsten av en okning ellernedgang i vardet av markomradena. Man raknar med tre mojliga utfall vad gallerkonjunkturen: forsamrad, stabil, eller forbattrad konjunktur. Foljande tabell visardet kortsiktiga vardet av varje markomrade, saval som deras nuvarande marknad-spris (i tusentals euro):

Kortsiktigt vardeMarkomrade Marknadspris Forsamrad Stabil Forbattrad

konjunktur konjunktur konjunktur

Lima 250 210 275 340Mike 460 460 480 525November 735 620 755 960

(a) Definiera varje mojligt forvarvsbeslut och konstruera betalmatrisen, bestaendeav kortsiktiga vinster/forluster netto.

(b) Vilka ar de maximin-optimala besluten?

(c) Finn alla optimala beslut, om Laplace-kriteriet anvands.

12

(d) Berakna gramelsematrisen och bestam alla optimala minimax-gramelse-beslut.

Antag nu att Nodl har uppskattat att sannolikheterna for de tre konjunkturutfallen(forsamrad, stabil, forbattrad) ar (0.15; 0.55; 0.30).

e) Vilka ar de optimala besluten om Bayes EMV-kriterium anvands?

f) Vilka ar de optimala besluten om det forvantade gramelse (EOL)-kriterietanvands?

g) Vad ar det forvantade vardet av perfekt information?

h) Visa genom direkt utrakning att EMV + EOL ar konstant for alla beslut ochdessutom lika med EMV med perfekt information.

N15 Oljebolaget Baltimar ska besluta om att borra efter olja eller ej inom ett givetomrade. Det kostar c ”enheter”, dar 1 enhet = 100 000 euro, att utfora ett seismisktprov, vars resultat ar ”goda”, ”medelgoda” eller ”daliga” utsikter att finna olja.Sjalva borrningen kostar 75 enheter. Det finns tre mojliga utfall vid en borrning:hog utvinning av olja med ett diskonterat netto-varde (NPV) av 200 enheter, mattligutvinning, med ett NPV av 100 enheter, eller ingen olja alls. Baltimars tidigareerfarenheter fran hundra borrningar av liknande typ kan redovisas i foljande tabell:

UtfallSeismiskt Hog utvinning Mattlig utvinning Ingen olja alls Summaprovresultat

Goda utsikter 20 10 10 40Medelgoda utsikter 9 9 12 30Daliga utsikter 3 12 15 30

Summa 32 31 37 100

(a) Konstruera ett beslutstrad som kan anvandas till att finna en strategi sommaximerar Baltimars vantevarde for det fattade beslutet.

(b) Vilket ar det storsta vardet av c for vilket ett seismiskt prov ar lonsamt?

(c) Om det seismiska provet kostar 3 enheter mindre an det c som beraknats i b)ovan, vad blir Baltimars optimala strategi? Vad ar EVPI och EVII?

(d) Infor nu foljande nyttofunktion u(x), dar x mates i enheter som ovan:

u(x) = (−1)/(100 + x).

Med nyttor i stallet for monetara varden, och med det varde av c som beraknatsi c) ovan, vad blir Baltimars optimala strategi?

N16 Person X gar just nu pa civilingenjorsprogrammet Kommunikations- och transport-system, och kommer om c:a ett ar att valja kurser inom en av tre mojliga profiler.Beroende pa hur arbetsmarknaden ser ut om c:a tva ar sa kommer det att vara olikasvart att fa jobb inom de branscher som profilerna riktar sig mot och inkomstenpaverkas av hur karriarsvangningarna ser ut inom dessa branscher. Alternativt kanen egen profil skapas eller sa kan X hoppa av utbildningen.

X ar bara intresserad av att maximera sin forvantade totala inkomst fram till sinpension. X gor tillsammans med sina kompisar en uppskattning av hur stor inkom-sten blir for de olika profilerna beroende pa hur framtiden kan ta sig ut. De har sjalva

13

kommit upp med fyra tankbara framtidsprognoser som de har givits namnen ”En-ergikris”, ”Interneteran”, ”Retro” och ”Tillverkningsindustri”. Uppskattningarnaav sin totala inkomst (miljoner kronor) for de olika framtidsutsikterna har de sam-manfattat i foljande tabell:

FramtidsutfallProfilval Energikris Internetera Retro TillverkningsindustriKvantitativ logistik 25 18 21 22Trafikinformatik 22 21 19 19Data- telekommunikation 18 24 19 20Egen profil 16 22 15 18Hoppa av 13 16 18 19Framtidsscenario-sannolikhet 0.4 0.3 0.1 0.2

(a) Vilka ar maximin- och maximaxbesluten?

(b) Antag att du varken ar helt och hallet pessimist eller optimist och darfor interiktigt litar pa maximin- och maximaxreglerna. Anvand Hurwicz kriteriummed viktningen λ for att bestamma ett optimalt beslut. Rita upp ett diagrammed λ pa den horizontella axeln och forvantad total inkomst pa den vertikala.Ar det nagon profil som dominerar for alla varden pa λ? Vilket ar det optimalaprofilvalet for λ = 0.5?

(c) Efter en lang diskussion i kompiskretsen har X kommit upp med sannolikheterfor de olika framtidsscenarierna. Sannolikheterna finns givna i tabellen ovan.Vilket ar det optimala profilvalet enligt Bayes-regel?

(d) Vad skulle vara vardet for X av perfekt information?

N17 En biluthyrningsfirma planerar att investera i ett hundratal nya uthyrningsbilar.De har att valja pa att bara kopa sma, bara medelstora eller bara stora bilar. Deminsta bilarna ar bensinsnalast, och de storsta bensintorstigast. Biluthyrningsfirmanar osaker pa hur bensinpriset utvecklas i framtiden. Om bensinpriset kommer att gaupp hastigt sa antas att de mindra bilarna blir lattare att hyra ut, men om prisetstiger i mer normal takt sa antas att de stora bilarna ar mest lonsamma att hyra ut.De forvantade vinsterna (tusentals kronor) for varje alternativ av hyrbilsinkop ochbensinprisutveckling ges i tabellen nedan.

VD pa biluthyrningsfirman bedomer att priset stiger hastigt med sannolikhet 0.6och med normal takt med sannolikhet 0.4.

UtfallNormal stigning Hastig stigning

Sma bilar −2000 4250Medelstora bilar 1250 −1500Stora bilar 3500 −4000

(a) Konstruera ett beslutstrad som kan anvandas till att finna en strategi sommaximerar firmans vantevarde for det fattade beslutet.

(b) Antag att biluthyrningsfirman inte vill anvanda EMV-berakningar for sitt beslututan istallet vill anvanda foljande nyttofunktion u(x), dar x mates i tusentalskronor, som ovan:

u(x) = 1 − 1000/(5000 + x)

14

for att vardera en vinst (eller kostnad). Vad ar det optimala beslutet och vadar den forvantade nyttan? Vad ar sakerhetsekvivalenten? Ar firman riskradd(riskaverse) eller riskbenagen (riskprone)?

(c) Biluthyrningsfirman har mojligheten att kopa en prognos for jordens oljemark-nadsutveckling som ger viss information om hur bensinpriset kommer att stiga.Prognosen anvands som underlag vid beslutet. Foljande tabell ger sanno-likheterna for att prognosen ar korrekt for de tva mojliga utfallen.

UtfallNormal stigning Hastig stigning

Prognos Normal stigning 0.75 0.15Hastig stigning 0.25 0.85

i) Anvand prognosinformationen for att revidera sannolikheterna i beslutstradet.Bestam optimal inkopsstrategi. ii) Vad ar vardet av den imperfekta informa-tion som prognosen gav? iii) Vad ar vardet av perfekt information om huruvidapriset stiger normalt eller hastigt for biluthyrningsfirman?

15

Game theory

G1 In the small country Nedews, the two car manufacturers Ovlov and Baas presentlyshare between them 70 percent of the automobile market. Depending on each com-pany’s decision to compete or cooperate with the other company, the resulting payoffbimatrix of each company’s market share will be as follows:

Baas

Cooperate CompeteCooperate (48, 29) (37, 32)

OvlovCompete (50, 18) (40, 23)

The first number in each pair indicates Ovlov’s market share, and the second numberindicates Baas’ market share, both expressed in percent.

(a) Determine the optimal strategy for each manufacturer, assuming that the ob-jective is to maximize the market share.

(b) In an effort to promote the domestic car industry, the Government of Nedewswishes to encourage cooperation between the two manufacturers. This is doneby announcing that a penalty tax, corresponding to a market share of t percentwill be levied on each company which decides to compete instead of cooperate.If both companies decide to compete, then the tax levied will be retained bythe Government, whereas if only one company decides to compete, then theGovernment will retain half of the tax and subsidize the cooperating companywith the other half. For what values of t will both companies be indeced tocooperate?

(c) Investigate the behaviour of the two companies and the resulting market sharefor all possible values of t.

G2 Two construction firms, C. Meant and Konk Reat, are competing for two largebuilding contracts A (with a net worth of $12 million) and B (worth $15 million).Each firm must submit proposals for both A and B, and each contract will be awardedto the firm that has submitted the best proposal for it. Konk Reat has five engineersspecifically assigned to work on proposal preparation, whereas C. Meant has sixsuch engineers. We assume that all engineers are equally good, and that the moreenginneers that work on a contract proposal, the better it is. Therefore, the firmthat has assigned more engineers to work on a contract proposal than its opponentwill get that contract. If both firms have assigned an equal number of engineers to acontract proposal, that contract will be carried out as a joint venture with the valueof it split equally between C. Meant and Konk Reat.

(a) Define the strategies open to C. Meant and Konk Reat and set up the payoffmatrix with Konk Reat as the row player and the payoffs being the amountsthat Konk Reat recieves. Note that each firm must assign at least one engineerto each contract, and that this is a constant non-zero sum game.

(b) What is the ”gain floor” of Konk Reat and the ”loss-ceiling” of C. Meant?

(c) Find all maximin and minimax strategies.

16

(d) Is the game stable? Why or why not?

G3 Consider Excercise G2 above. Assume that of Konk Reat’s five proposal preparationengineers, only two are competent to deal with contract A (but all of them arecompetent to deal with B).

(a) Set up the revised payoff matrix.

(b) Find all optimal pure strategies for each player.

(c) Find all optimal mixed strategies for each player.

(d) What is the ”value” of this revised game?

G4 A night security guard (Rambo) is watching over four entrances (number 1, 2, 3 and4), to a building containing consumer merchandise, but can only guard one of theentrances and has to decide which one to protect. A burglar Charlie is planningto break in through one of the entrances. Not knowing which entrance is protectedby guard R., the burglar C. still has to choose one of the entrances for his break-in. If C. breaks in through an entrance which happens to be guarded he will becaptured by R., with probabilities 0.6, 0.7, 0.8 and 0.9, respectively, depending onchoosing entrance 1, 2, 3 and 4, respectively. Capturing the burglar is worth $1,000to the guard; if the burglar manages to escape after breaking in through a guardedentrance, he will only do so empty handed. If C. breaks in through an unguardedentrance, he will safely leave with stolen merchandise worth $500, $1,000, $1,500 and$2,000, respectively, depending on having chosen entrance 1, 2, 3 and 4, repsectively.

(a) Assuming that the above situation can be modeled as a two-person zero-summatrix game, set up the payoff matrix of expected gains, with R. as the rowplayer and C. as the column player.

(b) What is the gain-floor of R. and the loss-ceiling of C.?

(c) Find all optimal pure strategies.

(d) Is the game stable? Why or why not?

Assume now that the entrances 1 and 4 are permanently sealed, making them im-possible to break through, and that this fact is known to both Rambo and Charlie.

(e) Set up the revised payoff matrix and find all optimal strategies.

(f) What are the optimal mixed strategies and what is the value of the game?

G5 Betrakta foljande kooperativa spel med tre spelare. Den karaktaristiska kostnads-funktionen, v(S), betecknar den minsta kostnad som koalitionen S kan uppna.Vardet pa v(S) ar

v(1) = 4, v(1, 2) = 10, v(1, 2, 3) = 12v(2) = 7, v(1, 3) = 8,v(3) = 5, v(2, 3) = 10.

Vi antar att varje spelare vill minimera sin egen kostnad.

(a) Formulera ett optimeringsproblem, som sakert har en tillaten losning, for attavgora om karnan (Core) ar tom eller ej.

(b) Bestam Shapley-vardet for var och en av de tre spelarna.

17

G6 Pa ett storre svenskt universitet loneforhandlar den lokala fackforeningen med uni-versitetets ledning. Forhandlingen kan analyseras som ett tva-personers nollsumme-spel. Parterna har vardera fyra rena strategier. Betalningsmatrisen anger fackforeningensutfall (loneokningen i kronor per anstalld och manad) och har foljande utseende:

Ledningens strategiFackets strategi 1 2 3 4

1 190 200 165 1452 160 150 155 1303 195 175 145 1404 210 190 150 155

(a) Vilka ar de optimala rena strategierna for fackforeningen och for foretagsledningen?Vad ar fackforeningens ”vinstgolv” (lagsta garanterade loneokning) och fore-tagsledningens ”forlusttak” (maximala utgift)?

(b) Eliminera sa langt som mojligt eventuella dominerade strategier. Finn darefteralla rena och blandade optimala strategier for bada spelarna. Ar spelet stabilt?Varfor eller varfor ej?

G7 Skokedjan ”Skopricken” erbjuder ”kop tre par skor, betala for tva par”. PersonernaA, B och C ar alla i behov av nya sommarskor, och de vill alla tre kopa en modellsom kostar 299kr. De tre bor alla i narheten av en av skokedjans butiker, men foratt erbjudandet ska galla sa maste kopet goras vid ett och samma tillfalle i en ochsamma butik.

Personerna A, B och C kommer overens om att traffas i butiken pa centralortenstorg for att prova ut och kopa skorna. Person A maste gora en resa till butiken tillkostnad av 50kr tur och retur, person B maste gora en resa till kostnad av 20kr turoch retur och person C bor granne med butiken. Nar de genomfort kopet, och fattvar sitt par skor till ett varde av 299 kr, for totalt 598 kr sa blir de lite oense omhur mycket var och en borde betala for att det ska bli rattvist.

De tre hoppas nu att lite spelteori kan anvandas for att komma fram till en rattviskostnadsdelning.

Skriv ner eventuella (”rimliga”) antaganden du gor utover den information som finnsovan.

(a) Formulera ett optimeringsproblem, baserat pa att alla kostnader som uppstatt isamband med kopet ska delas, som hjalper dem att avgora om karnan (core) artom eller ej, om den inte ar tom, ger forslag pa en kostnadsdelning som liggeri karnan.

Avgor ocksa om en uppdelning dar varje person betalar en tredjedel av dentotala kostnaden ligger i karnan.

(b) Berakna Shapley-vardet for var och en av A, B och C. Avgor om dessa kostnadertillhor karnan.

G8 Tva schampotillverkare, A och B, dominerar den svenska marknaden och har 85%av den svenska marknaden. Dessa tva foretag valjer mellan att samarbeta elleratt konkurrera med varandra. Beroende pa hur de valjer sa uppskattar experterutfallsmatrisen (the payoff matrix) som

Forsta talet i varje par indikerar B:s marknadsandel i procent och det andra angerA:s andel.

18

A

Samarbeta KonkurreraSamarbeta (48, 29) (37, 32)

BKonkurrera (50, 18) (40, 23)

(a) Bestam optimal strategi for var och en av de tva foretagen under antagandetatt de till maximera in marknadsandel.

(b) EU vill uppmuntra de tva foretagen att samarbeta och infor darfor en extraskatt pa schampo. En skatt pa t motsvarar t procent av de tva foretagensmarknadsandel. Hur ska denna skatt sattas for att det blir optimalt for de tvaforetagen att samarbeta?

(c) Bestam de tva foretagens optimala strategi for alla mojliga varden pa t.

G9 (a) Du haller pa och utvecklar ett avancerat sallskapsspel och ett av spelets momentar en en-mot-en-situation dar var och en av de tva spelarna maste valja en avtva strategier. Beroende pa hur motspelaren valjer sa resulterar det i att denene av spelarna tar eller ger fiktiva pengar till den andra. Situationen kanalltsa liknas vid ett tvaapersoners- nollsummespel. Den vinst som spelare A(radspelaren) gor i spelet ar givet i spel-uppstallningen nedan. Du har annuinte bestamt vardet p i vinstmatrisen.

For att spelet ska fungera bra sa maste vill du att en-mot-en-situationen, omspelarna spelar optimalt, motsvarar ett rattvist spel. Bestam p sa att speletblir rattvist.

BA 1 2

1 2 p2 -4 3

(b) Betrakta ett tva-personers nollsummespel. Spelare A har tre strategier ochB har tre. Betalningsmatrisen anger spelare A:s utfall/vinst och har foljandeutseende:

BA 1 2 3

1 0 1 22 -2 1 23 4 -2 1

Eliminera eventuella dominerade strategier. Finn alla rena och blandade opti-mala strategier for spelare A med hjalp av t.ex. grafisk losning. Ange speletsvarde.

G10 (a) Betrakta ett nollsummespel dar vinstmatrisen for radspelaren har foljande ut-seende

BA 1 2 3

1 4 5 62 10 8 q3 5 p 7

19

dar p och q ar parametrar. i) Bestam alla varden pa p och q sa att det finns ensadelpunkt i detta spel. ii) Visa att element (rad 3, kolumn 2) inte kan vara ensadelpunkt oberoende av val av p och q.

(b) Betrakta ett tva-personers nollsummespel. Spelare A har tre strategier ochB har tre. Betalningsmatrisen anger spelare A:s utfall/vinst och har foljandeutseende:

BA 1 2 3

1 0 -1 02 -1 3 -33 1 -2 1

Eliminera eventuella dominerade strategier. Finn alla rena och blandade opti-mala strategier for spelarna A med hjalp av t.ex. grafisk losning. Ange speletsvarde.

20

Location models

L1 Consider the graph in the figure below.

3

3

8

8

4

46

n

n

n

n1

2

3

42 2

(a) Set up the matrix of direct distances.

(b) Use the Floyd-Warshall algorithm to determine the matrix of shortest paths.(Se sidorna 235-236 i boken Optimeringslara for en algoritmbeskrivning.)

L2 I formuleringen av Location Set Covering problemet nedan representeras tackningsmatrisenav mangden Ni vilken bestar av alla noder som kan tacka nod i.

PLCSP : Min z =∑

j∈J

yj

s.t.∑

j∈Ni

yj ≥ 1 ∀i ∈ I

yj = 0/1 ∀j ∈ J

Antag att en nod ar tackt om en resurs ar lokaliserad mindre an T tidsenheter frannoden, samt att kortiden mellan nod i och j ar dij tidsenheter. For att slippadefiniera en tackningsmatris ar det mojligt att direkt i modellen ta hansyn till vil-lkoret att samtliga noder ska tackas inom T tidsenheter. En dylik modell kan varaenklare att anvanda om flera olika T ska utvarderas. Antag att 0 < dii < ǫ ochformulera en sadan modell.

L3 Betrakta foljande p-nod center problem.

P : Min z = maxi

∑

j∈J

dijxij

s.t.∑

j∈J

xij = 1 ∀i ∈ I

∑

j∈J

yj = p

xij ≤ yj ∀i ∈ I; j ∈ Jxij ≥ 0 ∀i ∈ I; j ∈ Jyj = 0/1 ∀j ∈ J

Formulera om problemet sa att malfunktionen blir linjar.

L4 An administrative district includes 18 small villages. One of the functions of thedistrict is to ensure that each community is reasonably well served in case of afire. It was established that no village should be farther than 8 minutes from its

21

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

2

46

7

3

5

8

n n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2 4

4

6

6

6 6

4 4

4

5

5

7

73

2

26

2

3

closest fire hall. The graph with the villages and the distances between them isshown in the graph below. The covering matrix is then given in the table below.

n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11 n12 n13 n14 n15 n16 n17 n18

n1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

n2 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

n3 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

n4 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

n5 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0

n6 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

n7 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

n8 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

n9 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

n10 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0

n11 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

n12 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1

n13 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0

n14 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

n15 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0

n16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0

n17 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1

n18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

Use the reduction algorithm for the set covering problem to reduce the problem asmuch as possible. First eliminate unit rows, then dominated columns then dominatedrows, then repeat as often as possible. What is the optimal location of the facilities,and how many fire stations will be needed in the district?

L5 Industrial customers have contracted demands for heat pumps. These units are to bedelivered from the warehouse of the central suppier to the companies. The supplieris now attempting to locate the warehouse, as to minimize the transportation costof the pumps to its customers. The demand is fairly constant throughout the year.The delivery is per pickup truck, one heat pump at a time, resulting in a linearcost function. The graph below shows the supplier’s customers, their double-digitdemands and the single-digit distances between the customers. A consultant of thesupplier had suggested to locate the warehouse between the nodes n2 and n3 at adistance of d23[w3/(w2 + w3)] = 9[90/(60 + 90)] = 5.5 from n2. They have basedtheir argument on the large weights of the adjacent nodes n2 and n3 that provide astrong pull to locate the warehouse there.

(a) Without any calculations, do you agree with the consultant’s recommendations?

(b) Find a location on the network that minimizes the total delivery cost. Howmuch more expensive was the consultant’s recommendation?

(c) Ignore now the weights at the nodes, and assume that the same graph were to

22

1 2

4 3

n n

n n

5n

3

4 2

7

6

9

5

40 60

30 90

20

be used by some planner to locate a node 1-center. Where would this centerbe located?

L6 Givet en oriktad graf med 5 noder och med en BV-matris (Billigaste Vag mellanvarje par av noder) enligt

BV =

− 2 5 2 12 − 3 3 25 3 − 3 42 3 3 − 11 2 4 1 −

Antag att varje nod har vikten 1.

(a) Bestam en 1-median i grafen.

(b) Vad blir skillnaden om vi istallet efterfragar ett 1-nod-center?

(c) Antag att vi i noderna vill lokalisera sa manga anlaggningar att:

• maximala avstandet till nagon kund ej overskriver 3.

• totala kostnaden minimeras da kostnaden att lokalisera i nod j ges avcj = (2, 3, 1, 3, 4).

Formulera problemet som ett optimeringsproblem.

L7 Consider the tree, with numbers next to the edges denoting their direct distances,below.

4

5

n

6n

1n

8n

2n

9n

10n3

n

13n

14n

12n

11n

7 15n

16n

17n

n

n 6

5

3

4 7

19

3 13

15

9

6

4 3

5

12

8

23

(a) Start at n13 and determine the absolute 1-center. Describe your steps in a fewwords.

(b) Determine the absolute 2-center. Describe your procedure in no more than twosentences.

L8 Betrakta foljande matematiska formulering av det kapaciterade lokaliseringsprob-lemet

z∗ = min

m∑

i=1

n∑

j=1

cijxij +

n∑

i=1

fiyi

da

n∑

j=1

xij − Siyi ≤ 0, i = 1, ...,m (1)

m∑

i=1

xij = Dj , j = 1, ..., n (2)

xj ≥ 0, i = 1, ...,m, j = 1, ..., n (3)yi ∈ {0, 1}, i = 1, ...,m. (4)

dar xij = antal transporterade enheter fran anlaggning i till kund j och

yi =

{

1 om anlaggning i oppnas0 annars

Antag att foljande data ar givna:

m = 2n = 3

f = (14 16)

c =

(

4 2 23 1 3

)

S = (3 7)D = (2 3 2)

(a) Visa att modellen ovan ar ekvivalent med den modellen for det kapaciteradelokaliseringsproblemet som ar givet pa sidan 207 i kursboken.

(b) En losningsmetod for det kapaciterade lokaliseringsproblemet kan baseras paLagrangedualitet. Formulera det lagrandeduala problemet dar villkor (2) La-grangerelaxeras.

L9 (a) Los 1-median problemet for grafen nedan. De tvasiffriga talen vid nodernaanger nodvikterna, och de ensiffriga talen vid bagarna anger avstanden.

(b) Motivera, med matematiskt/logiskt resonemang, varfor en optimallosning till1-median-problemet alltid lokaliserar anlaggningen i en nod i grafen.

(c) Antag att vi vill lokalisera en mellanstadieskola pa en av flera mojliga platser.Vi onskar att placeringen av skolan ska ha egenskapen att de hushall som liggerinom skolans upptagningsomrade inte far ”for langt” till skolan. Vi tankeross att vi, mer precist, vill att det/de hushall som far langst till skolan skaligga sa nara som mojligt. Formulera detta som en matematisk modell enligten standardtyp for anlaggningslokalisering. Definiera variabler och parametrarsom anvands i modellen noggrannt. Vad kallas modellen?

24

11

1213

14

16

17

5

3

7

8

9

23

3

5

18

1 2 3 4

5

6

7

L10 (a) Formulera ett lokaliseringsproblem av typen p-Median som ett linjart heltal-sproblem. Definiera de variabler och parametrar som ingar i ditt problem.

For att istallet gora ”rattvisa” lokaliseringar kan malet for p-Median-problemetmodifieras sa att ett rattvisematt anvands. Betrakta rattvisemattet att finnaminsta zr = maxi{di}−mini{di} dar di ar avstandet mellan en ”customer”-nodoch narmsta ”facility”-nod. Omformulera p-Median-problemet till ett explicitlinjart heltalsproblem dar detta rattvisematt anvands som mal. (Explicit in-nebar har att max- och min-operatorerna i mattet inte kan anvandas i prob-lemformuleringen.)

(b) Visa med ett exempel att rattvisemattet i deluppgift a) kan ge upphov tilllosningar dar varje ”customer” far langt till sin tillordnade ”facility”.

L11 Det ar mandag och det ar forsta dagen efter semestern. Pa ditt skrivbord ligger ettpapper med en matematisk modell och texten: Vi har tankt att implementera dennavariant pa maximal covering location-modellen, kan du titta pa denna modell till jagar tillbaka

max

n∑

i=1

li∑

j=1

wijxij

under villkoren∑

s∈∆ijk

ys ≥ jxik, j = 1, ..., k, k = 1, ..., li, i = 1, ..., n, (1)

n∑

i=1

yi ≤ M, (2)

yi = {0, ..., L}, i = 1, ..., n (3)

xij ∈ {0, 1}, i = 1, ..., n, j = 1, ..., li. (4)

och

xij =

{

1 om efterfragan fran nod i kraver j enheter for att anses ”tackt”0 annars

samtyi = antal som lokaliseras i nod i.

Forklara vilken funktion var och en av parametrarna bor ha i modellen; beskrivfunktionen av var och en av de tva bivillkorsgrupperna; beskriv vad som kan mod-elleras/maximeras med hjalp av den valda malfunktion, och ge ett forslag pa ettsammanhang da denna typ av modell skulle kunna vara anvandbar.

25