Equação das Ondas Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ser descritos matematicamente em termos de ondas. O aspecto essencial da propagação de uma é que esta consiste numa perturbação auto-sustentada do meio através do qual se propaga. Se há propagação, a perturbação deve ser expressa como função do espaço e do tempo: A forma da perturbação em qualquer instante, obtem-se particularizando o valor da variável tempo: (por exemplo t =0) Considere um pulso caminhando para a direita: ]
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Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ... · A equação de onda é uma importante equação diferencial parcial lineal de segunda ordem que descreve a propagação
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Equação das Ondas
Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ser descritos matematicamente em termos de ondas.
O aspecto essencial da propagação de uma é que esta consiste numa perturbação auto-sustentada do meio através do qual se propaga.
Se há propagação, a perturbação deve ser expressa como função do espaço e do tempo:
A forma da perturbação em qualquer instante, obtem-se particularizando o valor da variável tempo: (por exemplo t =0)
Considere um pulso caminhando para a direita: ]
Com base na figura anterior, temos:
Esta equação representa a forma mais geral da função de onda em uma dimensão. Basta apenas escolher a forma f(x,o) =f(x) e substituir x por (x-vt) em
f(x)!
Do mesmo modo, se a onda se desloca para a esquerda:
Isto permite obter a forma geral da equação de ondas a uma dimensão:
Se x se mantiver constante, a derivada parcial de (x,t) no tempo é:
Combinando ambas as equações:
Mas como são necessárias duas constantes para especificar totalmente uma onda , a equação mais geral deve ser de segunda ordem. Calculando as segundas derivadas parciais:
Uma vez que
E lembrando que
Então
Combinando estas equações, obtemos:
A equação de Ondas!
Que admite soluções da forma
ONDAS PLANAS:
Constituem aos mais simples exemplos de ondas tridimensionais. Para ondas planas, as superfícies de igual fase são planos, em geral perpendiculares à direção de propagação da perturbação:
A forma mais reduzida da equação do plano perpendincular à k é
É possível construir um conjunto de planos para os quais � (r) dependa senoidalmente das variáveis espaciais:
A natureza periódica das funções harmônicas no espaço pode ser expressa na forma:
Para que os planos de igual fase se propaguem é necessário que � (r) varie no tempo, o que se consegue introduzindo a dependência temporal :
Uma onda plana harmônica é representada em coordenadas cartesianas, na forma:
Onde α,β, e γ são os co-senos diretores de k
ONDAS ESFÉRICAS:
O laplaciano em coordenadas esféricas:
Procura-se construir uma descrição de ondas esféricas, ou seja,
Onda esférica harmônica:
ONDAS CILÍNDRICAS:
O Laplaciano em coordenadas cilindricas é
A simetria cilíndrica traduz-se pela seguinte exigência:
Qual deve ser a forma de � (r) das soluções desta equação ?
Esta equação representa um conjunto de cilindros coaxiais que preenchem todo o espaço e que se afastam ou se aproximam de um fonte linear de comprimento infinito situada no eixo.
Cálculo do Laplaciano em coordenadas esféricas: Vamos usar os símbolos (r, ɵ, φ) para indicar as coordenadas esféricas de um ponto.
em termos das coordenadas esféricas (r, ɵ, φ). Um cálculo direto é bastante longo. Por isto segui outro caminho. Usando a expressão do laplaciano em duas variáveis em termos das coordenadas polares, temos
Notemos que as relações:
são análogas às relações entre as coordenadas cartesianas e polares no plano, somente, agora, com z e ρ desempenhando, respectivamente, os papéis de x e y. Portanto, usando novamente a expressão do laplaciano em cordenadas polares, podemos escrever
Somando uzz a ambos os lados em (1), temos
,e usando (2),
Precisamos expressar up em coordenadas esféricas. Pela regra da cadeia,
Em (1), estávamos mantendo z fixo e tomando φ e ρ como variáveis independentes, de modo que φp= 0 . Portanto,
De
segue que
Por outro lado, de
segue que
Usando (5) e (6) em (7), obtemos
Substituindo (5) e (6) em (4), obtemos
E, portanto,
finalmente, substituindo (9) em (3), obtemos
que é a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas.
Solução da Equação da Onda em Coordenadas Esféricas
A equação de onda é uma importante equação diferencial parcial lineal de segunda ordem que descreve a propagação de uma variedade de ondas, como as ondas sonoras, as ondas de luz e as ondas na água. É importante em vários campos como a acústica, o eletromagnetismo e a dinâmica de fluídos.
Agradecimentos
Agradecemos, primeiramente, ao professor Altair, pela iniciativa de nos propor esse trabalho visando não só nos preparar para a vida profissional, como ajudar ao próximo. Aos nossos colegas de turma, em especial os que compartilharam essa tarefa conosco. Aos nossos pais e familiares, pelo apoio de hoje e sempre.
Referências
- Material disponibilizado na xerox (Prof. Altair)