MỤC LỤC - luyenthidanang.files.wordpress.com€¦  · Web viewTa cũng chứng minh được G là đồ thị Hamilton. Định lý 2.21 (Fan, 1984) : Cho G là đồ thị

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNGKHOA TOÁN

LỚP CAO HỌC PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP K25

*****

Đề tài : ĐƯỜNG ĐI HAMILTONTiểu luận kết thúc học phần

Môn : Lý thuyết đồ thị

NHÓM THỰC HIỆN :Lê Thị Sơn, Nguyễn Hạ Thi Giang, Nguyễn Ngọc Mỹ,

Nguyễn Phương Thảo, Lê Thiện Trung.

Người Hướng Dẫn : PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Đà Nẵng – 2012

1

MỤC LỤCLời giới thiệu………………………………………………………………………2

CHƯƠNG 1 : CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐỒ THỊ.

1. Đồ thị - Cạnh - Đỉnh………………………………………………………..5

2. Bậc – Nửa bậc……………………………………………………………....6

3. Dãy – Đường đi – Chu trình………………………………………………..8

4. Đồ thị liên thông…………………………………………………………..10

5. Đồ thị con - Thành phần liên thông……………………………………….10

6. Đồ thị k-chính quy………………………………………………………...12

CHƯƠNG 2 : ĐƯỜNG ĐI HAMILTON.

1. Định nghĩa………………………………………………………………...14

2. Điều kiện cần……………………………………………………………...14

3. Điều kiện đủ………………………………………………………………16

Đồ thị vô hướng………………………………………………..17

Đồ thị có hướng………………………………………………..21

Một số kết quả cho đồ thị k-liên thông………………………...23

Một số kết quả cho đồ thị t- khó……………………………….25

Một số kết quả cho đồ thị k – chính quy……………………….27

CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG VÀ BÀI TẬP.

Lời cảm ơn.

Tài liệu tham khảo.

2

Giới thiệuSự ra đời của Lý thuyết đồ thị bắt nguồn từ những bài toán tưởng chừng rất

đơn giản. Từ bài toán 7 cây cầu ở Konigsberg đến đường đi Hamilton là 1 bước

phát triển vượt bậc của Toán học trong lĩnh vực này. Cùng với thời gian và sự

vươn lên mạnh mẽ của lĩnh vực công nghệ, khoa học kỹ thuật, Lý thuyết đồ thị đã

có những đóng góp cực kỳ to lớn về mạng máy tính, mạng lưới giao thông vận tải,

lý thuyết tối ưu.

Về mặt thuật toán, có những định lý, bài tập được chứng minh đơn giản

nhưng lại có hàm lượng tư duy rất cao. Nhiều bài toán đã ra đời để lại những dấu

ấn mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực khoa học như : Đường đi Euler, đường đi

Hamilton, Luồng vận tải…

Trong khuôn khổ 1 tiểu luận chúng em chỉ xin được khai thác về bài toán

đường đi Hamilton và những phương pháp vận dụng giải bài tập. Đã có nhiều ứng

dụng trong mạng tin học ra đời từ thuật toán này nhưng vì lý do hạn hẹp về thời

gian và hạn chế số lượng trang nên Tiểu luận này gồm có :

Chương 1 : Các khái niệm cơ bản trong LTĐT.

Chương 2 : Bài toán đường đi Hamilton và các định lý liên quan.

Chương 3 : Ứng dụng giải những bài tập.

Vì những lý do trên mà tiểu luận chỉ hệ thống lại các định lý, khái niệm mà

không chứng minh các mệnh đề, hệ quả và ví dụ.

*****

3

Nhóm thực hiện :

STT Họ Và Tên Công Việc Chữ Ký Nhận Xét của giáo viên

1 Lê Thị Sơn Chương 2

2 Nguyễn Hạ Thi Giang Chương 3

3 Nguyễn Thị Ngọc Mỹ Chương 2

4 Nguyễn Phương Thảo Chương 1

5 Lê Thiện Trung Chương 1

4

CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ

*****1. Đồ thị - Cạnh – Đỉnh :

a) Đồ thị vô hướng : G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập

E các cạnh. Mỗi cạnh e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w ( không

kể thứ tự).

v w

b) Đồ thị có hướng : G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập

E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cạnh e E được liên kết với một

cặp đỉnh v, w có thứ tự.

v w

c) Đồ thị lót : Cho đồ thị có hướng G = (V,E). Nếu ta thay đổi

mỗi cung của G bằng một cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ

thị lót của G.

Ghi chú : Đồ thị vô hướng có thể xem là đồ thị có hướng trong đó mỗi

cạnh e = (v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v).

d) Đỉnh – cạnh :Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V,E).

Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói đỉnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các

đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề với đỉnh w.

Cho đồ thị G, A(G) là tập các đỉnh không kề nhau (các

đỉnh độc lập nhau). Số phần tử lớn nhất của A(G) được gọi chỉ số độc lập.

Kí hiệu :

Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên thuộc với cặp đỉnh

v, w, ta viết e = (v, w). Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là

đỉnh cuối của cung e.

5

Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta

nói đó là cạnh song song. Cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên. Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập. Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị. Số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị.

e) Các loại đồ thị liên quan : Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn.

Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song.

Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau.

Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ.

2. Khái niệm Bậc :

a) Bậc :Cho đồ thị G = (V, E)

Bậc của đỉnh v V là tổng số cạnh liên thuộc với nó và ký hiệu là d(v).

Nếu đỉnh có khuyên thì mỗi khuyên được tính là 2 khi tính bậc, như

vậy:

d(v) :=Số cạnh liên thuộc + 2*Số khuyên

Từ định nghĩa suy ra , đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0.

Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là .

Số bậc nhỏ nhất của G gọi là .

Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1.

b) Nửa bậc: Cho G = (V,E) là đồ thị có hướng, v V.

Nửa bậc ra của đỉnh v, kí hiệu là dO(v), là số cung đi ra từ đỉnh v (v là

đỉnh đầu).

Nửa bậc vào của đỉnh v V, kí hiệu dI(v), là số cung đi tới đỉnh v (v là

đỉnh cuối).

Ví dụ về bậc :

6

Trong đồ thị này, ta có :

d(x1) = 6 , d(x2) = d(x3) = 4, d(x4) = 3 , d(x5) = 0 , d(x6) = 1

Đỉnh x1 có hai khuyên liên thuộc.

Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x2

và đỉnh x3.

Đỉnh x5 là đỉnh cô lập.

Đỉnh x6 là đỉnh treo.

Ví dụ về nửa bậc :

Xét đồ thị có hướng sau :

Trong đồ thị có hướng này ta có:

dI(x1) = 0 , dO(x1) = 2, dI(x2) = 1 , dO(x2) = 2

dI(x3) = 2 , dO(x3) = 1, dI(x4) = 2 , dO(x4) = 2

dI(x5) = 1 , dO(x5) = 1, dI(x6) = 2 , dO(x6) = 0

Bổ đề bắt tay ( Hand Shaking Lemma) : Cho đồ thị G = (V,E). Khi đó :

i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và .

ii) Nếu G là đồ thị có hướng thì : , trong đó

card(E) là số phần tử của tập E.

Hệ quả 1.1 : Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.

Ghi chú : Bổ đề trên có tên bổ đề bắt tay từ bài toán thực tế sau:

Trong một hội thảo, các đại biểu bắt tay nhau. Khi đó tổng số lần bắt tay của

tất cả đại biểu bao giờ cũng là số chẵn.

c) Các loại đồ thị liên quan :

Đồ thị đầy đủ : Đồ thị Kn là đồ thị đơn, đủ n đỉnh đều có duy nhất

một cạnh liên kết).

Ví dụ: sau đâylà đồ thị K5

7

e4

e3

e1

e2

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x5

x4

x3

x2

x1

x6

Mệnh đề 1.1 : Mọi đỉnh của đồ thị Kn có bậc n-1 và có n(n-1)/2 cạnh.

Đồ thị lưỡng phân : Đồ thị lưỡng phân : G = (V,E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2

tập rời nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V1 và

một đỉnh thuộc V2 .

ký hiệu : G = ({V1 ,V2},E).

Đồ thị lưỡng phân đầy đủKm,n : là đồ thị lưỡng phân ({V1 ,V2},E) với tập

V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh và mỗi đỉnh của V1được nối với mỗi đỉnh của V2

bằng một cạnh duy nhất.

Ví dụ : sau đây là đồ thị K3,3

Mệnh đề 1.2 : Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km,n=({V1 ,V2},E) với tập V1 có m

đỉnh và tập V2 có n đỉnh. Khi đó mỗi đỉnh trong V1 có bậc là n và mỗi đỉnh trong

V2 có bậc là m và Km,n có m.n cạnh.

Đồ thị chính quy : là đồ thị mà các đỉnh kề nhau có bậc bằng nhau.

Đồ thị k- chính quy : là đồ thị chính quy mà mỗi đỉnh có số bậc bằng k.

Ví dụ :

Đồ thị 0 - chính quy là : Đồ thị gồm các đỉnh cô lập.

Đồ thị 1 - chính quy là : Đồ thị gồm các cạnh không nối với nhau.

Đồ thị 2 – chính quy là : Đồ thị gồm các chu trình không nối với nhau

Đồ thị chính quy mạnh : là đồ thị chính quy mà các đỉnh không kề nhau

có bậc bằng nhau.

Ví dụ : là đồ thị k – chính quy mạnh với mọi n.

3. Dãy - Đường đi - chu trình :

8

b ca

x y z

a) Dãy :

Dãy µ từ đỉnh v đền đỉnh w : là dãy các đỉnh và các cạnh nối tiếp nhau

bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dãy µ gọi là độ

dài của dãy µ.

Độ dài của Dãy :

Dãy µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài n được biểu diễn như sau :

µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w )

trong đó : vi(i=1,…,n-1) là các đỉnh trên dãy và ei(i=1,…,n) là các cạnh trên

dãy liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và các cạnh trên dãy có thể lắp

lại.

Dãy có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối

tiếp nhau (e1, e2,….,en) thỏa mãn đỉnh cuối cùng của cung ei là đỉnh đầu

của cung ei+1, i=1,…n-1.

Định lý 1.1 :

(i) Trong đồ thị vô hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi sơ

cấp từ v đến w. (ii) Trong đó đồ thị có hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường

đi có hướng sơ cấp từ v đến w.

b) Vòng :

Vòng là dãy có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau

Vòng có hướng là dãy có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.

c) Đường đi :

Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó

cá cạnh không lặp lại.

Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần.

Đường đi có hướng trong đó đồ thị có hướng là dãy có hướng,

trong đó các cung không lặp lại.

Đường đi có hướng sơ cấp là đường đi có hướng không đi qua một

đỉnh quá 1 lần.

9

d) Chu trình :

Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.

Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá 1 lần.

Chu trình có hướng là đường đi có hướng đỉnh đầu và đỉnh cuối

trùng nhau.

Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua một

đỉnh qua 1 lần.

Định lý 1.2 : Đồ thị G lưỡng phân khi và chỉ khi G không chứa chu

trình độ dài lẻ.

e) Trọng đồ : Trọng đồ (có hướng ) là đồ thị (có hướng ) mà mỗi cạnh (cung) của nó

được gán một số .

Trọng đồ được biểu diễn bởi G =(V,E,w), trong đó V là tập các đỉnh ,

E là tập các cạnh (cung) và w: E→R là hàm số trên E,w(e) là trọng số

của cạnh (cung) e với mọi e E .

Trong trọng đồ độ dài trọng số của đương đi µ là tổng các trọng số trên

đường đi đó.

4. Đồ thị liên thông :

Đồ thị vô hướng gọi là liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có

đường đi nối chúng với nhau.

Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều

có đường đi có hướng nối chúng với nhau.

Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu, nếu đồ thị lót (vô hướng) của nó

liên thông.

Đồ thị có hướng gọi là bán liên thông, nếu với mọi cặp đỉnh (u,v) bao

giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u.

5. Đồ thị con – Thành phần liên thông :

10

a) Đồ thị con : Cho đồ thị G = ( V, E ). Đồ thị G’ = ( V’, E’ ) gọi là đồ thị

con của G nếu V’ V và E’ E

Nếu F E, thì ký hiệu G – F là đồ thị con ( V, E-F ) của G gồm tập đỉnh

V và tập cạnh ( cung ) E – F

Nếu U V, thì ký hiệu G- U là đồ thị con của G thu được từ G sau đó

loại bỏ các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng

Cho U V, đồ thị con của G sinh bởi U (ký hiệu < U >) là đồ thị ( U,

EU) với

EU = { e E / e liên thuộc đỉnh trong U }

Đồ thị tự do : là đồ thị không nhận làm đồ thị

con.

b) Thành phần liên thông : Đồ thị con G’ = ( V’, E’ ) của đồ thị ( có hướng ) G (V,E) gọi là thành

phần liên thông (mạnh ) của đồ thị G.

Nếu nó là đồ thị con liên thông (mạnh) tối đại của G, tức là không tồn

tại đồ thị con liên thông (mạnh) G’’= (V”,E”) ≠ G’ của G thỏa V’ V”,

E’ E”

Ví dụ : Xét đồ thị G = ( V,E) ở ví dụ trước.

Đồ thị G1 = (V1, E1), với V1 = { x1, x2, x3, x4} và E1= { e1, e2, e3, e4} là đồ thị

con của đồ thị G nhưng khong phải thành phần liên thông.

Đồ thị G2 = { V – {x5} , E } = < V – {x5} > là thành phần liên thông của G.

Định lý 1.3 : Cho đồ thị đơn G = (V,E ) với n đỉnh, và k thành phần liên

thông. Khi đó số cạnh m của đồ thị thỏa bất đẳng thức

n – k m

11

e4

e3

e1

e2

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Hệ quả 1.2: Mọi đơn đồ thị n đỉnh với số cạnh lớn hơn là liên

thông.

6. Đồ thị k – liên thông :

a) Đồ thị k – cạnh liên thông :

Cho đồ thị G = (V,E).

Tập tách cạnh : Tập cạnh F E gọi là tập hợp tách cạnh của đồ thị liên

thông G, nếu G-F không liên thông.

Tập cắt cạnh : Hơn nữa, nếu F là tập hợp tách cạnh cực tiểu ( tức

không tồn tại F’ F, F’ F, F’ là tập tách cạnh ), thì F gọi là tập cắt

cạnh. Nếu tập cắt cạnh chỉ có một cạnh,thì cạnh đó gọi là cầu

Đại lượng

= min{card (F) /F là tập tách cạnh của G}

gọi là số liên thông cạnh của G.

Đồ thị k – cạnh liên thông : Đồ thị G gọi là k - cạnh liên thông, nếu

mọi tập tách cạnh có ít nhất k cạnh.

Ghi chú. Từ định nghĩa ta có

k k, G là k - cạnh liên thông

và = max {k / G là k - cạnh liên thông}

b) Đồ thị k – liên thông : Tập tách đỉnh : Tập đỉnh U V gọi là tập hợp tách đỉnh của đồ thị liên

thông G, nếu G- U không có liên thông.

Tập cắt đỉnh : Hơn nữa, nếu U là tập hợp tách đỉnh cực tiểu (tức không

tồn tại U’ U, U’ U, U’ là tập hợp tách đỉnh) thì U gọi là tập cắt đỉnh.

Nếu tập tách đỉnh chỉ có 1 đỉnh, thì đỉnh đó gọi là đỉnh tách .

Đại lượng k(G ) = min{card (U) /U là tập tách đỉnh của G} gọi là số liên thông đỉnh của G

Đồ thị k – liên thông : Đồ thị G gọi là k- liên thông, nếu mọi tập tách

đỉnh có ít nhất k đỉnh.

Ghi chú : Từ định nghĩa ta có

12

o k(G) k k thì G là k - liên thông và k(G) = max { k / G là k -

liên thông}

o Nếu k(G) = k thì G là k – liên thông chặt.Ví dụ : Với G là đơn đồ thị bất kì, ta có :

k(G) = 3. Khi đó, (G) là đồ thị 2-liên thông hoặc 3-liên thông hoặc 3-

liên thông chặt.

Ghi chú :

(i) Tập V và V – {v} v V đều không phải là tập tách đỉnh

(ii) Đồ thị đủ Kn không có tập tách đỉnh. Vì vậy ta qui ước số liên thông đỉnh

của Kn là (n-1).

Ví dụ : Xét đồ thị sau.

Các tập cạnh sau.

{b,c} , {e,g} , {b,c,d} , {d,e,g} , {d}

Là tập tách cạnh, trong đó cạnh d là cầu, {b,c} và {e,g} là các tập cắt cạnh.

Các tập đỉnh sau

{2,3} , {3,4} , {3} , {4} , {5,7}

Là tập tách đỉnh, trong đó đỉnh {3,4} là đỉnh tách , {5,7} là các tập cắt đỉnh.

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Whiney). Với mọi đồ thị G ta có

k(G) (G)

Định lý 1.5: Đồ thị G = (V,E) bậc n là k-liên thông ( ) nếu

13

fb

hg

e

dc

a

7

6

5

43

1

2

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG ĐI HAMILTON*****

1. Định nghĩa :

Cho đồ thị (có hướng) G=(V,E).

a. Chu trình (có hướng) Hamilton là chu trình (có hướng) sơ cấp qua mọi

đỉnh đồ thị.

b. Đường đi (có hướng) Hamilton là đường đi (có hướng) sơ cấp qua mọi

đỉnh của đồ thị.

Như vậy mọi chu trình Hamilton có độ dài bằng số đỉnh, và mọi đường

đi Hamilton có độ dài bằng số đỉnh trừ 1.

c. Đồ thị Hamilton là đồ thị chứa chu trình (có hướng) Hamilton.

Ví dụ 2.1:

Hình 2.1

Đồ thị trên có cả chu trình Euler và chu trình Hamilton:

.2. Điều kiện cần

a. Định lí 2.1 :

Giả sử đồ thị G có chu trình Hamilton C. Khi đó:

Đồ thị G liên thông.

Mọi đỉnh của G có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, và có đúng hai cạnh liên

thuộc nằm trên chu trình C.

Nếu xóa đi k đỉnh bất kì cùng các cạnh liên thuộc chúng, thì đồ thị còn

lại sẽ có tối đa k thành phần liên thông.

14

b. Hệ quả :

Giả sử đồ thị n đỉnh G có đường đi Hamilton P. Khi đó:

Đồ thị G liên thông.

Có ít nhất n-2 đỉnh bậc 2,và mỗi đỉnh đó có đúng 2 cạnh liên thuộc

nằm trên đường đi P.

Nếu xóa đi k đỉnh bất kì cùng các cạnh liên thuộc chúng, thì đồ thị còn

lại sẽ có tối đa k+1 thành phần liên thông.

Ví dụ 2. : Xét đồ thị:

Hình 2.2Đồ thị có đường đi Hamilton: Đồ thị không có chu trình Hamilton

Thật vậy, nếu tồn tại chu trình Hamilton C thì nó phải có 5 cạnh. Vì bậc

deg(v2)=deg(v4)=3 nên phải có 1 cạnh tới v2 và 1 cạnh tới v4 không thuộc chu trình

C. Số cạnh còn lại là 4 nên C không thể có 5 cạnh được, mâu thuẫn.

Ta cũng có thể áp dụng trực tiếp định lý 2.4.1. Nếu bỏ đi 2 đỉnh v 2 và v4

cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại 3 đỉnh độc lập, có 3 thành phần

liên thông. Như vậy theo mệnh đề (iii) của định lý 2.4.1 thì đồ thị không có chu

trình Hamilton.

Ví dụ 2.3: (Bài toán xếp chỗ ngồi) 9 người bạn cùng ngồi ăn trong bàn tròn

4 lần. Mỗi lần họ được xếp ngồi theo một thứ tự. Hãy thay đổi chỗ ngồi mỗi lần

sao cho không có 2 người ngồi gần nhau hơn 1 lần.

V1

V2

V3

V4

V5

15

Ta lập đồ thị 9 đỉnh 1, 2, ...,9, đỉnh i chỉ người i. Ta đặt đỉnh 1 tại tâm và

các đỉnh còn lại trên đường tròn như hình vẽ. Mỗi cách xếp là một chu trình

Hamilton của đồ thị.

Chu trình thứ nhất như hình vẽ là

1

5

6

9

8

7

2

4

3

Hình 2.3

Xoay lần lượt chu trình các góc theo chiều kim đồng hồ ta nhận được

các chu trình, cũng là các cách xếp sau:

1

5

6

9

8

7

2

4

3

Hình 2.4

16

1

5

6

9

8

7

2

4

3

Hình 2.5

1

5

6

9

8

7

2

4

3

Hình 2.63. Điều kiện đủ

a. Điều kiện đủ cho đơn đồ thị vô hướng: Định lý 2.2. Đồ thị đủ Kn với n lẻ (n 3) có (n 1)/2 chu trình

Hamilton từng đôi một không giao nhau (tức là không có cạnh chung).

Chứng minh :

Tương tự như lời giải bài toán xếp 9 người trên bàn tròn, ta xây dựng cách

xếp theo chu trình Hamilton trên đồ thị sau (n=2k+1):

17

12k+1

2k

2k-1

2

4

3

Hình 2.7

Xoay chu trình lần lượt một góc theo chiều kim đồng hồ ta nhận được k

chu trình.

Định lý 2.3 (Dirac). Cho G là đơn đồ thị n đỉnh . Nếu bậc

với mọi đỉnh v của G, thì G có chu trình Hamilton.

Ví dụ 2.4 :

Hình 2.9Theo định lý Dirac, xét đồ thị W6 như hình vẽ.

Trong đồ thị này ta có . Khi đó đồ thị W6 có chu trình

Hamilton.

Hệ quả : Cho G là đơn đồ thị n đỉnh . Nếu bậc với

mọi đỉnh v của G, thì G có đường đi Hamilton.

18

Định lý 2.4. Cho G là đơn đồ thị n đỉnh . Giả sử u và v là hai đỉnh

không kề nhau của G sao cho .Khi đó G có chu trình

Hamilton khi và chỉ khi đồ thị G+(u,v) (đồ thị G thêm cạnh (u,v)) có

chu trình Hamilton.

Định lý 2.5. Cho G là đồ thị đơn giản n đỉnh. Giả sử G’ và G” là hai đồ

thị thu được từ G bằng quy nạp nối tất cả cặp đỉnh không kề nhau có

tổng các bậc ít nhất bằng n. Khi đó ta có G’ G”.

Định nghĩa (Bao đóng) :

Bao đóng C(G) của đồ thị G n đỉnh là đồ thị thu được từ G bằng cách :

Theo quy nạp, nối tất cả các cặp đỉnh không kề nhau mà tổng số bậc ít nhất

bằng n cho đến khi không còn cặp đỉnh nào như vậy nữa.

Định lý 2.6 : Đồ thị G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi bao đóng

của G có chu trình Hamilton.

Định lý 2.7 : Nếu bao đóng C(G) Kn thì đồ thị G có chu trình

Hamilton.

Định lý 2.8 (Ore). Cho G là đơn đồ thị n đỉnh . Nếu

với mọi cặp đỉnh không kề nhau thì đồ thị G có chu

trình Hamilton.

Ví dụ 2.5. Đồ thị W6 ở ví dụ trên cũng thỏa mãn định lý Ơre

Ta có: với mọi cặp đỉnh không kề nhau

nên đồ thị W6 có chu trình Hamilton.

Ví dụ 2.6. Cho G là đơn đồ thị n đỉnh và có

với mọi cặp đỉnh không kề nhau của đồ thị G. CMR: G có đường đi Hamilton.

Chứng minh

19

Ta thêm vào đồ thị G một đỉnh x và nối x với mỗi đỉnh của G bởi một cạnh,

ta thu được đồ thị G’ có n+1đỉnh. Bậc của mọi đỉnh trong G’ đều lớn hơn bậc cũ

của nó một đơn vị (trừ z), còn bậc của z bằng n.

Do đó trong G’thì ta có:

Theo ĐL Ore thì G’ có chu trình Hamilton, suy ra G có đường đi Hamilton.

Định lý 2.9 : Cho G là đơn đồ thị n đỉnh và m cạnh. Nếu

thì đồ thị G có chu trình Hamilton.

Định lý 2.10 : Cho đồ thị đơn G là đồ thị lưỡng phân với hai tập đỉnh V1

và V2 sao cho . Nếu bậc với mọi

đỉnh v của G, thì G có chu trình Hamilton.

Ví dụ 2.7

Hình 2.10

Cho hai tập đỉnh V1 và V2 sao cho như hình vẽ.

Ta có: với mọi đỉnh v của G đều có bậc ít nhất là 2, mà , do đó G có

chu trình Hamilton.

Ví dụ 2.8. Đồ thi sau đây có chu trình Hamilton không?

1 2 3

20

4 5 6

7 8 9

Hình 2.11Giả sử G có chu trình Hamilton H, theo qui tắc 1, tất cả các cạnh kề với

đỉnh bậc 2 đều ở trong H: (1,2);(1,4);(2,3);(3,6);(4,7);(7,8);(6,9);(8,9).

Ta có chu trình con là .

Vậy G không là đồ thị Hamilton.

b. Điều kiện đủ cho đồ thị đơn có hướng

Cho đồ thị có hướng G với n đỉnh. Ta có các kết quả phát biểu trong các định

lý sau.

Định lý 2.9 : (Điều kiện đủ tồn tại chu trình có hướng Hamilton)

(Meyniel) Nếu đồ thị G liên thông mạnh và deg(u) + deg(v) 2n 1.

u, v G không kề nhau thì G có chu trình có hướng Hamilton.

(Ghoula-Houri) Nếu đồ thị G liên thông mạnh và deg(v) n v

G thì G có chu trình có hướng Hamilton.

(Woodall) Nếu degO(u) + degI(v) n. u, v G không tồn tại cung

từ u đến v thì G có chu trình có hướng Hamilton.

Nếu degI(v) n/2 & degO(v) n/2. v G thì G có chu trình có

hướng Hamilton.

Định lý 2.10 (Điều kiện đủ tồn tại đường đi có hướng Hamilton)

Nếu deg(u) + deg(v) 2n 3, u, v G không kề nhau thì G có

đường đi có hướng Hamilton.

Nếu deg(v) n 1, v G thì G có đường đi có hướng Hamilton.

Nếu degO(u) + degI(v) n 1. u, v G không tồn tại cung từ u

đến v thì G có đường đi có hướng Hamilton.

21

Nếu degO(v) n/2 & degI(v) n/2. v G thì G có đường đi có

hướng Hamilton.

Định lý 2.11 (Konig). Mọi đồ thị có hướng đủ đều có đường đi có

hướng Hamilton.

Định nghĩa (Đồ thị bắc cầu) : Đồ thị có hướng đủ G = (V, E) gọi là bắc

cầu nếu (u,v), (v,w) E suy ra (u,w) E.

Hệ quả : Từ định nghĩa ta thấy ngay, một đồ thị có hướng đủ là bắc cầu

khi và chỉ khi nó không có chu trình có hướng độ dài 3.

Định lý 2.12 Đồ thị có hướng đủ bắc cầu khi và chỉ khi nó không có chu

trình có hướng.

Định lý 2.13 Đường đi Hamilton trong đồ thị có hướng đủ là duy nhất

khi và chỉ khi đồ thị bắc cầu.

Định lý 2.14 (Moon-Moser). Cho G=(V,E) là đồ thị có hướng đủ liên

thông mạnh bậc n (n 3). Khi đó với mọi đỉnh v và số nguyên p (3 p

n) luôn tồn tại chu trình có hướng sơ cấp độ dài p qua đỉnh v.

Định lý 2.15 (Camion). Đồ thị có hướng đủ có chu trình có hướng

Hamilton khi và chỉ khi nó liên thông mạnh.

Có một số dạng đồ thị mà ta có thể biết khi nào là đồ thị Hamilton. Ví dụ đồ thị đấu loại.

Định nghĩa (Đồ thị đấu loại) : Đồ thị đấu loại là đồ thị có hướng mà trong đó hai

đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bởi đúng một cung.

Tên đấu loại xuất hiện như vậy vì đồ thị như vậy có thể dùng để biểu diễn kết quả thi

đấu bóng chuyền, bóng bàn hay bất cứ một trò chơi nào mà không cho phép hoà. Ta có định

lý sau:

Định lý 2.16 :

i) Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton.

22

ii) Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton.

Ví dụ :

Đồ thị đấu loại D5 Đồ thị đấu loại liên thông mạnh D6

Hình 2.12 Hình 2.13

c. Một số kết quả cho đồ thị k-liên thông :

(Phần này được dịch từ tài tiệu tham khảo bằng tiếng anh)

Định lý 2.17 (Nash – Williams, 1971) : Cho G là đồ thị 2-liên thông,

bậc n. Nếu thì G là đồ thị Hamilton.

Ví dụ :

Đây là đồ thị 2-liên thông vì ta bỏ đi 2 đỉnh b,e thì

đồ thị không còn liên thông nữa.

Ta có bậc của đồ thi là n = 6.

: bậc nhỏ nhất bằng 3.

: Chỉ số độc lập bằng 2 (tức là số đỉnh độc lập

Nhau lớn nhất bằng 2)

Vậy ta có : suy ra : Đồ thị trên là đồ thị Hamilton.

Định lý 2.18 (Goodman and Hedefniemi, 1974) : Nếu G là đồ thị tự

do và 2-liên thông thì G là đồ thị Hamilton.

23

b

a

c

f

e

d

Ví dụ :

Ta xét đồ thị (đồ thị bánh xe) sau đây :

Đây là đồ thị 2-liên thông và không chứa đồ thị

Nên ta thấy G có chu trình Hamilton với mọi đỉnh.

Định lý 2.19 (Chvatal and Erdos, 1972) : Mỗi đồ thị G với

thì G có chứa chu trình Hamilton.

Ví dụ : đồ thị (P)

Ta có : chỉ số liên thông đỉnh k(G) = 2, = 2.

Vậy nên G có chu trình Hamilton với

Mọi đỉnh.

Định lý 2.20 (Haggkvist and Nicoghossian, 1981) : Cho G là đồ thị 2-

liên thông có bậc n . Nếu thì G là đồ thị Hamilton.

Ví dụ : Ta có thể lấy đồ thị của Ví dụ trên. Ta cũng chứng minh được G là

đồ thị Hamilton.

Định lý 2.21 (Fan, 1984) : Cho G là đồ thị 2-liên thông bậc n. Nếu với

mọi đỉnh u, v với d(u,v) = 2, ta có : thì G là đồ

thị Hamilton.

Ví dụ :

Vậy G là đồ thị Hamilton

d. Một số kết quả cho đồ thị t-khó :

Định nghĩa (Độ co dãn đồ thị) : Cho w(G) là số thành phần liên thông của

đồ

24

u v

thị G. Xét :

Thì được gọi là độ co dãn đồ thị G.

Định nghĩa (đồ thị t-khó) : Nếu tồn tại 1 số t sao cho : thì đồ thị

G được gọi là t-khó.

Nghĩa là : Cho G là đồ thị t-khó, nếu k>1 thì ta không thể chia G thành k

thành phần liên thông bằng cách loại bỏ ít hơn t.k đỉnh.

Ví dụ : Đồ thị Petersen là đồ thị 1-khó.

Nếu ta bỏ đi 1.k = k đỉnh, ta sẽ thu được tối đa k thành phần liên thông.

Qui ước : Các đồ thị hoàn chỉnh đều có độ co dãn vô hạn.

Vaclav Chvatal là người đã đưa ra lý thuyết về độ co dãn đồ thị. Sau đó,

Bauer, Broersma và Schmiechel đã phát triển với 99 định lý.

Hệ quả : Nếu G là đồ thị Hamilton thì G là đồ thị 1-khó.

Định lý 2.22 (Bauer và Schmiechel, 1991) :Cho G là đồ thị 1-khó có

bậc n với . Khi đó, G là đồ thị Hamilton.

Định nghĩa (Tổng bậc dộc lập) : Cho đồ thị G, với , ta có :

{ là các đỉnh độc lập}

25

Thì : được gọi là : tổng bậc độc lập.

Định lý 2.23 (Jung, 1978) : Cho G là đồ thị 1-khó có bậc và

thì G là đồ thị Hamilton.

Ví dụ :

Ta có : n=12, = 8 (Tổng 2 bậc độc lập bé nhất bằng 8).

Vậy suy ra G là đồ thị Hamilton.

Định lý 2.24 (Bigalke và Jung, 1979) : Cho G là đồ thị 1-khó, bậc

với thì G là đồ thị Hamilton.

Ví dụ :

Ta có : n=12, (Chỉ số độc lập)

Vậy : .Suy ra : G là đồ thị Hamilton.

e. Một số kết quả cho đồ thị k-chính quy :

26

Định lý 2.25 (Ước lượng bậc của Bauer-Broersma-Veldman) :

Cho G là đồ thị 1-khó, 2-liên thông và 4-chính quy có bậc thì G là

đồ thị Hamilton.

Định nghĩa (Đồ thị-(n,k)) :

Đồ thị-(n,k) là đồ thị không Hamilton, k-chính quy, 1-khó, n đỉnh.

Nếu tồn tại thì đồ thị trở thành đồ thị Hamilton k-chính quy, 1-

khó, f(k) đỉnh.

Vậy n là số đỉnh nhỏ nhất để tồn tại Đồ thị-(n,k)

Ví dụ : Sau đây là Đồ thị-(18,4).

Chứng minh ước lượng trên :

Trường hợp 1 : , ta sử dụng Định lý 2.3 (Dirac)

Trường hợp 2 :

Định lý 2.26 (Nash-Williams, 1969) : Cho G là đồ thị k-chính quy, có

2k+1 đỉnh thì G là đồ thị Hamilton.

Định lý 2.27 (Erdos and Hobbs, 1978) : Cho G là đồ thị 2-liên thông,

k-chính quy thì có 2k+4 đỉnh ( ) thì G là đồ thị Hamilton. (

27

Định lý 2.28 (Bollobas and Hobbs, 1978) : Cho G là đồ thị 2-liên

thông, k-chính quy, có n đỉnh sao cho : thì G là đồ thị Hamilton.

Định lý 2.29 (Jackson, 1980) : Cho G là đồ thị 2-liên thông, k-chính

quy có nhiều nhất 3k đỉnh thì G là đồ thị Hamilton.

Trường hợp 3 :

Định lý 2.30 (Hilbig 1986) : Cho G là đồ thị 2-liên thông, k-chính quy

nhiều nhất 3k+3 đỉnh thì G thỏa mãn 1 trong các mệnh đề sau :

o G là đồ thị Hamilton.

o G là đồ thị Petersen, P (Ví dụ 2.19)

o G là đồ thị P’ sinh ra bằng cách thay 1 đỉnh của P thành 1 tam

giác 3 đỉnh.

Trường hợp 4 :

Định nghĩa (Đồ thị [v,k]) : là đồ thị 1-khó, 4-chính quy, có v đỉnh và k-liên

thông chặt.

Ta chỉ xét các đồ thị sau : [16,2][16,3][16,4][17,2][17,3][17,4]

Ví dụ : Đồ thị [16,4] và [17,4]

28

Đây là các đồ thị 4-liên thông chặt (cũng là 4 liên thông hoặc 2-liên thông),

1-khó và 4 chính quy.

Định lý 2.31 (Tutte, 1956) : Mọi đồ thị phẳng 4-liên thông đều có chu

trình Hamilton.

Ví dụ : Đồ thị [16,4] và [17,4] ở trên có chu trình Hamilton.

Định lý 2.32 (Ước lượng đỉnh, Haggkvist) : Cho G là đồ thị m-liên

thông, k-chính quy, có tối đa (m+1)k đỉnh thì G là đồ thị Hamilton.

Định lý 2.33 (Haggkvist, 1976) : Cho G là đồ thị lưỡng phân 2-liên

thông, k-chính quy có tối đa 6k đỉnh thì G là đồ thị Hamilton.

Định lý 2.34 (Haggkvist, 1979) : Cho G là đồ thị 2-liên thông, có nhiều

nhất 3k+2 đỉnh với dãy bậc tương ứng là (k, k, …, k+1, k+1) thì G là đồ

thị Hamilton.

Định lý 2.35 (Jackson and Jung) : Cho . G là đồ thị 3-liên thông,

k-chính quy có tối đa 4k đỉnh thì G là đồ thị Hamilton.

*****

29

CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG VÀ BÀI TẬP

*****Đường đi và chu trình Hamilton có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt

là trong tin học và Toán tối ưu. Nhưng vì lý do hạn chế của 1 tiểu luận nên chúng

em chỉ xin trình bày một số dấu hiệu nhận biết 1 đồ thị cho trước có thể có đường

đi, chu trình Hamilton hay không? Cũng như tìm ra những đường đi (nếu có).

Qui tắc để xây dựng một chu trình Hamilton H hoặc chỉ ra đồ thị vô

hướng không là Hamilton

Qui tắc 1.Tất cả các cạnh kề với đỉnh bậc 2 phải ở trong H.

30

Qui tắc 2. Không có chu trình con(chu trình có chiều dài <n) nào được tạo

thành trong quá trình xây dựng H.

Qui tắc 3. Khi chu trình Hamilton mà ta đang xây dựng đi qua đỉnh i thì xoá

tất cả các cạnh kề với i mà ta chưa dùng (vì không được dùng đến nữa).

Điều này lại có thể cho ta một số đỉnh bậc 2 và ta lại dùng qui tắc 1.

Qui tắc 4. Không có đỉnh cô lập hay cạnh treo nào được tạo nên sau khi áp

dụng qui tắc 3.

Bài toán 1 : Hãy xác định đường đi, chu trình Hamilton của các đồ thị sau :

a)

b)

31

a b c

h

gf

e

d

i j k

q

mn l

o p

1 2 3 4 5

1514131211

10 98

7 6

c) d)

e) f)

(Julius Petersen)

****Giải :

32

3

2

45

1 6

8

10

11

97

1413

19

20

16 17

18

12

15

d

ab c

e f

* *g h

1 27

6

4

511

8

10

9

3

a b c

d e f

hg k

a) Áp dụng điều kiện cần, chú ý ta sẽ dùng phương pháp phản chứng.

Ta bỏ đi 4 đỉnh : o, j, q, m và các cạnh liên thuộc thì ta có hình a’.

Theo điều kiện cần :

Giả sử đồ thị trên có chu trình Hamilton. Khi đó, nếu bỏ 4 đỉnh thì ta chỉ có

tối đa là 4 thành phần liên thông.

Giả sử đồ thị trên có đường đi Hamilton. Khi đó, nếu bỏ 4 đỉnh thì ta chỉ có

tối đa là 5 thành phần liên thông.

Hình a Hình a’

Vậy ta có 5 đỉnh cô lập : i, k, p, l, n là 5 thành phần liên thông và {a, b, c, h, g,

f, e, d, a} là 1 thành phần liên thông. Tổng cộng có 6 thành phần liên thông (mâu

thuẫn).

Hay : Đồ thị trên không có đường đi, chu trình Hamilton.

b)

Đồ thị này không có dấu hiệu nhận biết nhưng ta có thể dễ dàng chỉ ra

những chu trình Hamilton như sau :

33

a b c

h

gf

e

d

i j k

q

mn l

o p

a b c

h

gf

e

d

i k

n l

p

*

* *

*

*

*

*

*

*

1 2 3 4 5

1514131211

10 98

7 6

* 1 2 12 3 13 14 4 5 15 6 7 8 9

10 11 1

* 1 11 12 2 3 13 14 4 5 15 6 7 8

9 10 11 1

c) Đồ thị này có 20 đỉnh và 25 cạnh.

Giả sử đồ thị có đường đi Hamilton (P).

đường đi (P) có 19 cạnh. (*)

Theo điều kiện cần, ta có 20 đỉnh thì đồ thị có

ít nhất 20-2=18 đỉnh có bậc 2, mỗi đỉnh

có đúng 2 cạnh liên thuộc trên (P).

Tất cả các đỉnh đều có bậc 3 nên mỗi đỉnh có

1 cạnh không thuộc đường đi (P).

Ngoài 18 đỉnh trên, ta giả sử 2 đỉnh còn lại

luôn luôn có ít nhất 1 cạnh nối chúng với nhau

hoặc nối vào 1 trong 18 đỉnh trên nhưng không nằm trên (P)

Vậy số cạnh ít nhất không thuộc (P) là : (18.1)/2+1 = 10 (cạnh)

Suy ra số cạnh thuộc (P) của đồ thị là : 25-10 = 15 cạnh.( không thỏa mãn (*)).

Vậy đồ thị không có đường đi Hamilton và chu trình Hamilton.

d) Tương tự như câu c, ta có 9 đỉnh và 9 cạnh

Giả sử đồ thị có đường đi Hamiton (P), khi đó : đường đi (P) có 8 cạnh.

Theo điều kiện cần, số cạnh ít nhất không thuộc (P) là : (7.1)/2+1= 4.5 (cạnh).

Vậy số cạnh còn lại của đồ thị là : 9 – 4.5 = 4.5 (cạnh) < 8 cạnh (vô lý).

Suy ra : đồ thị không có đường đi Hamilton và chu trình Hamilton.

e)

a *c

34

3

2

45

1 6

8

10

11

97

1413

19

20

16 17

18

12

15

d

ab c

e f

* *g h

g *h

d

Từ đồ thị ta có thể chỉ ra những đường đi Hamilton sau :

1. d a g e b h f c

2. c b h f e g a d

Nhưng đồ thị không có chu trình Hamilton. Chứng minh :

Giả sử đồ thị có chu trình Hamilton thì ta bỏ đi các đỉnh b và f thì đồ thị có tối

đa 2 thành phần liên thông.

Xem đồ thị thấy có 3 thành phần liên thông (mâu thuẫn).

f) Ta có đường đi Hamilton như sau :

1 2 7 6 5 11 8 9 10 4 3

Nhưng không có chu trình Hamilton vì :

Đồ thị có 11 đỉnh. Giả sử đồ thị có chu trình Hamilton

(P) thì (P) phải có đúng 11 cạnh.

Xét 6 đỉnh không kề nhau : 1, 5, 7, 8, 10, 3. Mỗi đỉnh

này phải có đúng 2 cạnh liên thuộc (P). Vậy ta có :

6.2 = 12 cạnh >11 cạnh (vô lý).

g) Đồ thị petesen có đường đi Hamilton như sau :

a b c d e g k h f i

nhưng không có chu trình Hamilton vì :

Giả sử đồ thị có chu trình Hamilton (P)

Thì (P) phải có đúng 9 cạnh.

Xét 6 đỉnh không kề nhau : a, d, c, f, i, h. Mỗi đỉnh phải có đúng 2 cạnh liên thuộc

(P). Vậy ta có 6.2=12 cạnh > 9 cạnh (vô lý).

Chú ý : Nếu bỏ bất kỳ 1 đỉnh của đồ thị Petersen, ta luôn có được chu trình Hamilton.

35

1 27

6

4

511

8

10

9

3a

cd

eg

bf

h i

k

Ví dụ : Ta bỏ đỉnh f, thì sẽ có đồ thị như sau.

* Khi đó ta có chu trình Hamilton với 5 đỉnh vòng ngoài là :

a e d h k g i c b a

c i g k h d e a b c

* Nếu ta bỏ đỉnh a thì ta sẽ có chu

trình Hamilton với tất cả các đỉnh

h d e g k b c i f h

f h d e g k b c i f

Bài toán 2 : Tìm điều kiện của m, n để có đường đi Hamilton, chu

trình Hamilton.

Giải :a) Đồ thị Km,n có chu trình Hamilton khi và chỉ khi m = n.

Chứng minh

Đồ thị Km,n có m+n đỉnh và có thể chia thành 2 tập V1 và V2 , trong đó :

V1 = , V2 = và mỗi đỉnh ui V1 là đỉnh kề

của tất cả các đỉnh thuộc V2 và ngược lại.

- Nếu m = n khi đó đồ thị Kn,n có chu trình Hamilton như sau:

- Nếu m n, không mất tính tổng quát ta giả sử m > n. Khi đó ta bỏ đi các

đỉnh thuộc tập V2 và các cạnh liên thuộc của các đỉnh này ta được m (>n ) thành

phần liên thông. Suy ra Km,n không có chu trình Hamilton.

b) Đồ thị Km,n có đường đi Hamilton khi và chỉ khi .

Chứng minh

36

b

a

eg k

d c

ih

e g bf

cd

h i

k

Đồ thị Km,n có m+n đỉnh và có thể chia thành 2 tập V1 và V2 , trong đó :

V1 = , V2 = và mỗi đỉnh ui V1 là đỉnh kề

của tất cả các đỉnh thuộc V2 và ngược lại.

- Nếu , không mất tính tổng quát ta giả sử m > n hay m – n = 1,

khi đó ta có đường đi Hamilton như sau :

- Nếu , không mất tính tổng quát ta giả sử m > n hay m – n > 1

m > n + 1

Khi đó ta bỏ đi các đỉnh thuộc tập V2 và các cạnh liên thuộc của các đỉnh này ta

được m (>n+1 ) thành phần liên thông. Suy ra Km,n không có đường đi Hamilton.

*****

Lời cảm ơnDù đã có nhiều cố gắng nhưng có lẽ tiểu luận không thể tránh được những

sai sót nhất định. Kính mong thầy và các bạn học viên K25 Phương Pháp Toán Sơ

Cấp có những đóng góp để Tiểu luận được hoàn chỉnh hơn.

37

Nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TSKH Trần Quốc

Chiến đã có những buổi dạy nhiệt tình, hết mình để chúng em có những kiến thức

nhất định về môn học rất hay này.

*****

Tài liệu tham khảo :[1] Giáo trình Lý Thuyết Đồ Thị dành cho lớp Cao học, PGS.TSKH Trần

Quốc Chiến, Đà Nẵng – 2012.

38

[2] A study of sufficient Conditions for Hamilton Cycle, Melissa de Leon,

Seton Hall University South Orange, New Jersey, USA.

[3] Sách hướng dẫn bài tập Toán Rời Rạc, Ths. Nguyễn Duy Phương, HV

Công nghệ bưu chính viễn thông, Hà Nội – 2006.

[4] Đề tài Toán Rời Rạc, Ths. Lê Đình Huy, TP.HCM - 2011.

[5] Bài tập Lý Thuyết Đồ Thị, Giảng viên : Nguyễn Ngọc Trung.

39