METHODES STATISTIQUES METHODE DES PROBIT DOCUMENT GTPS 11 A Version du 19 septembre 2013 Document rédigé par la commission « Fiabilité » Méthode Statistique des PROBIT dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Document GTPS N°11A Edition : 19 septembre 2013 D dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Recommandation pour obtenir et assurer la fiabilité des produits pyrotechniques en conception
58
Embed
Méthode Statistique des PROBIT · ∗ méthodes adaptées à chacune des phases de la conception, ∗ avantages et inconvénients de chacune des méthodes explicitées. La seconde
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
METHODES STATISTIQUES
METHODE DES PROBIT
DOCUMENT GTPS 11 A
Version du 19 septembre 2013
Document rédigé par la commission « Fiabilité »
Méthode Statistiquedes PROBIT
dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd
Document GTPS N°11AEdition : 19 septembre 2013
D dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd
Recommandation pour obtenir et assurer la fiabilité des produits pyrotechniques en conception
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 1
Table des Matières:
A. GENERALITES....................................................................................................................................................... 2
A.2.1 Documents de référence................................................................................................................................ 2 A.2.2 Autres documents.......................................................................................................................................... 3
B. PREMIERE PARTIE : RECOMMANDATION POUR OBTENIR ET AS SURER LA FIABILITE DES PRODUITS PYROTECHNIQUES EN CONCEPTION............................................................................................... 5
B.3 PRESENTATION DES METHODES STATISTIQUES UTILISEES................................................................ 10 B.3.1 Objet des méthodes statistiques .................................................................................................................. 10 B.3.2 Conditions de mise en œuvre des méthodes statistiques ............................................................................. 10
B.4 COMPARAISON DES METHODES D’EVALUATION DE LA FIABILITE DES PRODUITS
C. SECONDE PARTIE : MISE EN OEUVRE DE LA METHODE DES P ROBIT............................................. 14
C.1 CONVENTIONS DE NOTATION ..................................................................................................................... 14 C.2 PRINCIPE GENERAL DE LA METHODE PROBIT......................................................................................... 15
C.2.1 Intérêts et limiteS de la méthode PROBIT .................................................................................................. 15 C.2.2 Conditions particulières : Choix des paramètres du test............................................................................ 15
C.3 EXPLOITATION DES ESSAIS.......................................................................................................................... 18 C.3.1 Objet ........................................................................................................................................................... 18 C.3.2 Vérification des hypothèses de base ........................................................................................................... 18 C.3.3 Détermination de la droite des PROBIT..................................................................................................... 18 C.3.4 intervalles de confiance sur les estimateurs................................................................................................ 20 C.3.5 Vérification de la normalité de la loi .......................................................................................................... 23 C.3.6 Evaluation d’une probabilité de fonctionnement (ou de non-fonctionnement) et des seuils associés ........ 23 C.3.7 Feuille de calcul ......................................................................................................................................... 24
C.4 EXEMPLES D’APPLICATION.......................................................................................................................... 25 C.4.1 Fiabilité d’un inflammateur électro-pyrotechnique.................................................................................... 25 C.4.2 Procédure d’acceptation d’un lot de cordeaux de découpe ....................................................................... 28 C.4.3 PROBIT « loi vraie » d’un inflammateur électro-pyrotechnique ............................................................... 33 C.4.4 Ré-exploitation d’un test de bRUCETON non exploitable ......................................................................... 38
D. CONCLUSION ...................................................................................................................................................... 41
E. ANNEXE (TABLES) : ........................................................................................................................................... 42
E.1 PROBIT EMPIRIQUES YI EN FONCTION DES POURCENTAGES PI DE FONCTIONNEMENT OBSERVES......................... 43 E.2 COEFFICIENTS DE POIDS WI EN FONCTION DES VALEURS DES PROBIT PROVISOIRES YPI ..................................... 45 E.3 PROBIT DE TRAVAIL ZI = FN
(POURCENTAGES PI OBSERVES , PROBIT PROVISOIRES YPI)................................... 46 E.4 VALEURS DE LA FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE REDUITE. ......................................................... 56
E.5 VALEURS DE ),2/(2
ναχ = FN(NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE ν , NIVEAU DE CONFIANCE 1-α)......................... 57
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 2
A. GENERALITES A.1 OBJET La première partie de cette recommandation est établie à usage des concepteurs pour obtenir et assurer la fiabilité des produits pyrotechniques. Elle doit constituer une base de dialogue dans les relations client ↔ fournisseur, dès lors que le contrat qui les lie requiert des exigences de fiabilité. Elle expose :
• la nature des phases de conception, • les dispositions d'obtention de la fiabilité pour chacune de ces phases, • une présentation des différentes méthodes statistiques à la disposition du concepteur :
∗ méthodes adaptées à chacune des phases de la conception, ∗ avantages et inconvénients de chacune des méthodes explicitées.
La seconde partie de cette recommandation présente la procédure de mise en œuvre de la méthode statistique des PROBIT. Cette méthode permet d’évaluer une probabilité de fonctionnement ou de non-fonctionnement d’un dispositif monocoup (produit pyrotechnique), à partir d’un nombre réduit d’essais. La méthode des PROBIT, développée à l'origine par les biologistes, est une méthode d'essais non séquentielle. Malgré une conduite d'essais parfaite de la méthode, il n'y a pas de garantie d'obtention de résultat. Cette méthode est donc recommandée uniquement quand c'est la seule applicable pour des raisons de conduite d'essais. A.2 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES A.2.1 DOCUMENTS DE REFERENCE
GTPS
1. Dictionnaire de pyrotechnie (éd. 6, 2008).
2. N° 11B : Méthode statistique One-Shot.
3. N° 11C : Méthode statistique de Bruceton.
4. N° 11F : Méthode statistique des essais durcis.
AFNOR 5. Recueil de normes françaises AFNOR – Statistique Tome 1, éd. 7, 2008 :
Vocabulaire, estimation et tests statistiques,
6. Groupe fiabilité (éd. 1, 1981) : Guide d’évaluation de fiabilité en mécanique par l’A.F.C.I.Q,
7. NFX 06-021 (01/10/1991) : Principes du contrôle statistique de lots - application de la statistique,
8. NFX 06-050 (01/12/1995) : Etude de la normalité d’une distribution - application de la statistique,
9. NFX 07-009, NF EN ISO 10012 (01/09/2003) : Système de management de la mesure – exigences pour les processus et les équipements de mesure,
10. NFX 50-130, NF EN ISO 9000 (01/10/2005) : Principes essentiels et vocabulaire - Systèmes de management de la qualité,
11. FD X50-127 (01/04/2002) : Maîtrise du processus de conception et développement - Outils de management,
12. NFX 60-500 (Octobre 1988) : Terminologie relative à la fiabilité, maintenabilité, disponibilité,
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 3
A.2.2 AUTRES DOCUMENTS
A caractère normatif
13. BNAe - RE Aéro 703.05 , Mars 2000 : Guide pour la maîtrise de la fiabilité,
14. ARMP 1, 08/2008 : Exigences OTAN en matière de fiabilité et maintenabilité
15. IEC 60812, CEI 60812 (2006-01-01) : Procédure d'analyse des modes de défaillance et de leurs effets (AMDE) - Techniques d'analyse de la fiabilité du système
16. IEC 61025, CEI 61025 (2006-12-01) : Analyse par arbre de panne (AAP)
17. Note Technique A5-NT-1-X-542-ASAI du 28/08/1990 : « Systèmes pyrotechniques Marges de dimensionnement et de performances ».
Bibliographie PROBIT
18. CAUSSINUS H. - MATHIEU J.R. - MESTE M. - MILHAUD X. (ATS GIAT - Université P.Sabatier du 06/85) : Etude de méthodes statistiques de contrôle d'un composant pyrotechnique.
19. CAUSSINUS H. - MATHIEU J.R. - MESTE M. - MILHAUD X. (Laboratoire de statistique et probabilités CNRS Université P.Sabatier du 11/85) : Evaluation de la distribution de sensibilité d'amorces pour les très petites valeurs du stimulus.
20. CAUSSINUS H. - MATHIEU J.R. - MESTE M. - MILHAUD X. - J.REFOUVELET (ATS GIAT - Université P.Sabatier du 03/87, 3ème congrès du GTPS de JUAN-LES-PINS) : Analyse statistique de la sensibilité d'un composant pyrotechnique.
21. FINNEY D.J. (Cambridge University Press, 1947 - 3rd Ed. 1971) : PROBIT analysis - A statistical treatment of the sigmoïd response curve.
22. MALABIAU R. (Direction des Constructions et Armes Navales de Toulon - 1979) : Méthodes statistiques utilisables pour déterminer la sensibilité des initiateurs électropyrotechniques à diverses excitations d'origine électrique ou électromagnétique.
23. NOL (US NOL, White Oak. NOLM 9910, AD 106-866 du 11/48) : Comparison of the Probit method and the Bruceton up and down method as applied to sensitivity data.
24. U.S. Naval Ordnance laboratory (NAVORD report 2101 du 20/09/54) : Statistical method appropriate for evaluation of fuze explosive - Train safety and reliability.
25. RASPAUD L. (Interface SA 843/91/CNES/6310 du 02/92) : Essais de sensibilité par les méthodes Bruceton et PROBIT.
26. RASPAUD L. - AUGER P. (Interface SA. 840/93/CNES/0132 du 06/94) : Essais de sensibilité par les méthodes One-Shot, Bruceton et PROBIT.
27. THOMSON BRANDT (Note technique 23.110 : Etablissement de la fiabilité expérimentale d'éléments et systèmes monocoups) : Proposition technique concernant la comparaison des efficacités des tests de Bruceton, One-Shot et Probit.
28. Projet PAQTE2004-DLA-05 document CNES réf. DLA-NT-0-988-AP du 24/01/2005 : « Comparaison expérimentale des méthodes ONE SHOT, BRUCETON et PROBIT »
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 4
A.3 TERMINOLOGIE SPECIFIQUE
Afin de permettre une application sans équivoque de la présente recommandation, il a été jugé nécessaire de préciser les notions suivantes :
� Conception : activité créatrice qui, partant des besoins exprimés et des connaissances existantes, aboutit à la définition d’un produit satisfaisant ces besoins et industriellement réalisable,
� Produit : terme englobant tout article issu d’opération de production ou toute prestation de service telle que les productions matérielles (matières premières, produits semi-ouvrés ou finis, ingrédients, pièces, composants, équipements matériels, systèmes, ...),
� Un paramètre fonctionnel est une grandeur physique quantifiable, associée au produit, dont la valeur intervient sur les critères de succès - échec lors de leur mise en œuvre,
� Le critère de succès ou d’échec est le moyen de caractériser la réponse du produit à la sollicitation,
� Le seuil de fonctionnement d’un produit est défini comme étant la valeur du paramètre fonctionnel pour laquelle la probabilité de succès est égale à la fiabilité R.
� Le PROBIT (Prob ability Unit ) représente la valeur augmentée de 5 du fractile d'ordre n de la loi normale centrée réduite (la valeur 5 a été introduite à l'origine de la méthode dans le but d'obtenir des PROBIT tous positifs).
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 5
B. PREMIERE PARTIE : RECOMMANDATION POUR OBTENIR ET ASSURER LA FIABILITE DES PRODUITS
PYROTECHNIQUES EN CONCEPTION B.1 DOMAINE D’APPLICATION
Ce document s’adresse à tout industriel concepteur devant répondre à un besoin formalisé sous forme de spécifications quantifiées de fiabilité d’un produit pyrotechnique. Il couvre :
� Les activités de conception comprenant, conformément à la norme NFX 50-130 réf. [10], les phases de faisabilité, d’avant projet et de développement, au cours desquelles la fiabilité est prise en compte pour aboutir à un produit pouvant être industrialisé au meilleur coût,
� Les activités de conception à caractère permanent qui permettent d’améliorer la fiabilité d’un produit donné.
Il s’applique aux produits mettant en œuvre les substances pyrotechniques définies dans le document cité alinéa 1 au § A.2.1 (produits monocoup).
B.2 METHODOLOGIE PAR PHASE B.2.1 REGLES GENERALES
1. Déterminer les objectifs à atteindre en termes de performances, caractéristiques, coûts et délais,
2. Insérer et gérer la fiabilité au cours des phases de conception du projet,
3. Disposer d’une structure de concertation systématique entre les parties concernées,
4. S’assurer de la cohérence des objectifs avec :
� Les actions envisagées,
� Les résultats obtenus,
5. S’assurer de l’adéquation entre les moyens techniques et humains mis en œuvre et le produit à concevoir.
A ces règles sont associées un certain nombre de tâches telles que tâches de management, de calcul, d’analyse ou d’essai. Elles résultent en particulier des itérations nécessaires entre le dimensionnement du produit et sa fiabilité qui s’expriment en termes de marges et de coefficients de dimensionnement.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 6
B.2.2 FAISABILITE B.2.2.1 OBJECTIF
Cette phase a pour objet de montrer dans quelle mesure il peut être répondu aux besoins exprimés en précisant les concepts, les voies technologiques et les architectures possibles. Les besoins sont exprimés généralement en termes de mission à remplir, d’indications sur l’environnement opérationnel (profil d’emploi et conditions d’environnement associées) et d’objectifs de fiabilité.
Elle doit concourir à établir les exigences de fiabilité à inclure dans le cahier des charges fonctionnel (CdCF) et les éventuelles exigences de management de la fiabilité.
B.2.2.2 TACHES A ACCOMPLIR
Pour chacune des solutions technologiques proposées, les tâches à accomplir sont les suivantes :
� Analyse préliminaire des risques,
� Evaluation des risques par : o recherche bibliographique et/ou expérience acquise sur des
produits similaires, particulièrement au niveau des anomalies ou incidents rencontrés ; recherche de banque de données en fiabilité,
o calculs de simulation numérique permettant de comprendre qualitativement et quantitativement les phénomènes mis en jeu et de mettre en évidence certains points critiques de dimensionnement,
o utilisation d’un plan d’expérience afin de cerner les paramètres influents, leur sensibilité sur les performances et l’interaction entre ces paramètres,
o mise en œuvre d’une des méthodes préconisées dans le tableau du § B.4 pour obtenir une estimation de la moyenne sur certains paramètres en particulier,
� Bilan des points critiques mis en évidence pour chaque solution et comparaison des solutions, vis à vis des besoins exprimés.
A l’issue de cette phase, les éléments d’appréciation à caractère qualitatif devraient constituer les données d’entrée nécessaires au démarrage de la phase suivante. De ce fait, ils devraient être consignés dans le CdCF au chapitre d’exigences de fiabilité.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 7
B.2.3 AVANT-PROJET B.2.3.1 OBJECTIF
Cette phase a pour objet d’étudier les voies faisables identifiées précédemment afin de proposer celle qui pourra être développée.
Elle permet de préparer le dossier de définition préliminaire du produit à réaliser en accord avec les exigences de fiabilité du cahier des charges fonctionnel, établies lors de la phase précédente.
B.2.3.2 TACHES A ACCOMPLIR
Pour chaque solution considérée faisable :
� Modélisation : Construire le bloc-diagramme de fiabilité afin d’établir l’architecture du produit et d’identifier les interfaces concernées dans l’étude de fiabilité. Cette démarche permet de définir l’arborescence « produit » dont le niveau de décomposition s’arrête aux composants possédant des caractéristiques mesurables,
� Allocation : Répartir l’objectif global de fiabilité selon l’arborescence en allouant à chacun des composants et interfaces recensés un objectif prévisionnel de fiabilité : probabilité de réalisation de la fonction compte tenu du profil d’emploi et/ou de la durée de vie relatifs à chaque composant,
� Analyse : Procéder, pour chaque composant répertorié, à une analyse des modes de défaillance, de leurs effets et de leur criticité (AMDEC) afin de mettre en évidence les points jugés critiques en s’appuyant sur :
o des bases de données existantes et/ou le retour d’expérience sur composants analogues,
o éventuellement, et en fonction des produits développés, une expérimentation spécifique en appliquant la ou les méthodes préconisées dans le tableau du § B.4 afin, d’une part de confirmer la première évaluation de la moyenne m (Cf. § B.2.2.2), et, d’autre part, d’apporter une première estimation de l’écart type • lié à la dispersion autour de la valeur moyenne,
� Prévision : Recomposer, dans le bloc diagramme de fiabilité, les évaluations partielles afin d’évaluer l’adéquation de la solution proposée au besoin,
� Plan de validation : Etablir un avant-projet de plan de développement - fiabilité du produit afin d’estimer en terme de coût et de délai les travaux techniques nécessaires pour mener à bien le développement du produit,
� Choix : En considérant toutes les solutions, choisir celle qui répond le mieux au besoin exprimé et qui sera développée dans la phase suivante, en justifiant l’abandon des solutions non retenues.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 8
B.2.4 DEVELOPPEMENT B.2.4.1 OBJECTIF
Cette phase a pour objet :
� D’établir le dossier de définition du produit répondant aux exigences de fiabilité exprimées dans la Spécification Technique de Besoin,
� De valider la conception en utilisant les résultats des études théoriques, des essais, de l’exploitation des faits techniques,
� De préparer les phases de production et d’utilisation en spécifiant les procédés qui seront nécessaires pour assurer la fiabilité au cours de ces deux phases.
B.2.4.2 TACHES A ACCOMPLIR
Pour la solution retenue :
� Procéder à l’étude prévisionnelle de fiabilité qui permet de : o reprendre et affiner le bloc diagramme de fiabilité
précédemment établi, o optimiser les contraintes d’environnement appliquées à chaque
composant, o éventuellement, revoir les allocations de fiabilité et renégocier
les exigences de fiabilité,
� Identifier les événements redoutés par une analyse déductive au moyen d’un arbre de défaillance. L’analyse déductive est une analyse statistique qui ne prend pas en compte les aspects séquentiels des événements. Les limites inhérentes à la mise en œuvre des arbres de défaillance sont :
o définir correctement l’événement redouté (origine de l’arbre), o définir des événements élémentaires, o s’assurer de l’indépendance des événements élémentaires
recensés,
� Effectuer les analyses de défaillance, de leurs effets et de leur criticité pour chaque événement élémentaire recensé,
� Définir toutes les parades à mettre en place pour satisfaire les niveaux de fiabilité requis au moyen :
o d’étude et d’essais jusqu’à la phase qualificative du produit (fiabilité en conception), en mettant en œuvre les méthodes préconisées dans le tableau du § B.4,
o de procédures de fabrication et de recette (fiabilité en fabrication),
� Vérifier et évaluer a posteriori le niveau d’indépendance des événements,
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 9
� Mettre en place les actions « long terme » destinées à s’assurer de la fiabilité tout au long de la durée de vie du produit. En particulier, définir le programme de vieillissement qui sera conduit afin de :
o s’assurer du niveau de fiabilité supposé atteint, o évaluer le préavis nécessaire pour faire face à une défaillance
long terme éventuelle, o alimenter les banques de données, notamment celles utilisées
pour les analyses de fiabilité pendant le développement.
La politique de prélèvement associée devra être conforme au besoin opérationnel.
A la fin de la phase de développement, la conception du produit doit permettre d’atteindre les objectifs de fiabilité.
La phase de développement se concrétise par le dossier d’homologation, de qualification et/ou certification (dossier de définition et ses justificatifs, dossier d’industrialisation).
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 10
B.3 PRESENTATION DES METHODES STATISTIQUES UTILISEE S B.3.1 OBJET DES METHODES STATISTIQUES
Ces méthodes ont pour objet de :
� Caractériser la distribution des seuils de fonctionnement d’un produit par des tests de sensibilité (séquentiels ou simultanés),
� Vérifier la loi de répartition probabiliste adéquate de ces seuils de fonctionnement,
� Exploiter cette loi pour évaluer une probabilité de succès ou d’échec lors du fonctionnement du produit testé, pour un niveau de confiance donné.
B.3.2 CONDITIONS DE MISE EN ŒUVRE DES METHODES STATISTIQUES B.3.2.1 DEFINITION DES SPECIMENS D’ESSAIS
La définition des spécimens d’essais doit prendre en compte les trois points suivants :
1. Définition nominale des spécimens testés :
� La définition nominale des spécimens testés est conforme à un Dossier de Définition et constitue un échantillon représentatif d’une population (Cf. annexe 1).
� Les spécimens d’essais peuvent être :
o Un objet fonctionnel (ex : un inflammateur, le couple formé par une cisaille et le tirant à couper, etc.),
o Une quantité définie d’un produit.
2. Définition de la population :
� Les spécimens d’essais appartiennent à une population clairement identifiée.
� On recommande d’utiliser un lot homogène fabriqué en respectant une même unité de temps, de lieu, de matière première, de méthodes et de personnes, et en tout état de cause, suivant des méthodes et des moyens définis (Cf. annexe 1).
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 11
3. Définition de l’échantillon prélevé :
Il est choisi dans la population suivant un plan d’échantillonnage défini par :
� Le type de test,
� Le schéma suivant lequel le prélèvement doit être effectué, afin d’assurer la validité des résultats d’essais,
� L’effectif de l’échantillon à tester. Il est fonction de la méthode utilisée, comme explicité dans le tableau du § B.4. Il est cependant recommandé de constituer une réserve de spécimens supplémentaires pour aléas,
� La relation entre les résultats des essais et les critères d’acceptation du test.
B.3.2.2 REPRODUCTIBILITE DES ESSAIS
La reproductibilité des essais doit prendre en compte les quatre points suivants :
1. Identification des montages d’essais :
� Montage consommable conforme à un Dossier de Définition,
� Montage réutilisable dont on vérifiera la conformité à un Dossier de Définition et la stabilité de ses caractéristiques fonctionnelles.
3. Maîtrise des sollicitations appliquées aux spéci mens :
� L’incertitude des sollicitations appliquées doit être très inférieure à l’écart-type présumé de la population.
4. Maîtrise des conditions d’essais :
� Conditions d’environnement et d’essais stables durant une séquence d’essais,
� Représentativité des conditions et/ou spécimens d’essais par rapport à la configuration réelle (confinement, diamètre critique, échanges thermiques…),
� Moyens d’essais,
� Procédures,
� Personnel.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 12
B.3.2.3 CONDITIONS PREALABLES
1. Choix du paramètre fonctionnel :
Il doit répondre aux critères suivants :
� Etre ajustable,
� Avoir un comportement connu et continu dans le domaine d’étude envisagé.
2. Choix du critère de succès/échec :
� Il doit être défini sans ambiguïté, après analyse de toutes les réponses possibles du produit étudié.
� Il est nécessaire de connaître le sens de variation de la probabilité de succès ou d’échec en fonction du sens de variation du paramètre fonctionnel choisi.
3. Hypothèses :
On suppose que :
� La résolution du paramètre fonctionnel, pour l’essai, doit être d’environ 10 fois inférieure à la première évaluation de l’estimateur de l’écart-type,
� Le seuil de fonctionnement du paramètre fonctionnel choisi est une variable aléatoire,
� La densité de probabilité de cette variable aléatoire suit une loi normale (1) ou log normale (2), dont le choix, a priori, tiendra compte de l’acquis.
(1) NOTA : Au sujet de l’hypothèse de normalité, il conviendra de s’assurer que le paramètre fonctionnel retenu est régi par un seul et unique phénomène physique dans le domaine d’essais. En effet, certain cas peuvent être régis par plusieurs phénomènes physiques qui conduisent à des lois multimodales comme, par exemple, le jeu d’amorçage en détonation d’un relais d’explosif par un détonateur :
(2) NOTA : Dans le cas d’une loi log-normale, il suffira d’effectuer un changement de variable pour ramener le cas étudié à une loi normale.
X = Jeu amorçage
1ier mode d’amorçage 2ième mode d’amorçage
Pression de détonation Projection de plaque (paillet)
Jeu faible Jeu fort
V
X = Jeu amorçage
1ier mode d’amorçage 2ième mode d’amorçage
Pression de détonation Projection de plaque (paillet)
Jeu faibleJeu faible Jeu fort
V
Jeu fort
V
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 13
B.4 COMPARAISON DES METHODES D’EVALUATION DE LA FIABILITE DES PRODUITS PYROTECHNIQUES
Le tableau 1 ci-dessous propose un inventaire des avantages et des inconvénients de chacune des méthodes statistiques.
Méthode Nbre essais
Avantages Inconvénients
Probit
GTPS 11A (Cf. seconde partie de ce document)
≥ 72
Test non séquentiel Possibilité d’adapter les niveaux en cours d’essais Le meilleur estimateur de l’écart type
Définir au minimum 5 niveaux Risque important d’échec de la méthode (estimé à 16%), même dans les conditions idéales du test
One-shot
GTPS 11B
(Cf. alinéa 2 du § A.2.1)
≥ 30
Tous les résultats d’essais sont exploitables Le choix de la valeur initiale du test ne joue pas sur la précision des résultats La convergence vers la moyenne est assurée et très rapide pour un faible échantillon testé :
• éventuellement mal connue, • dont la loi de probabilité est
unimodale
Test séquentiel entraînant une gestion contraignante des épreuves avec des niveaux non connus à l’avance.
Bruceton
GTPS 11C (Cf. alinéa 3 du § A.2.1)
≥ 30
Donne accès aux estimateurs statistiques de la moyenne et de l’écart type, avec une bonne précision sur la moyenne
− Test séquentiel entraînant une gestion contraignante des épreuves, mais avec un pas fixe
− Dépendance des résultats de la valeur du pas
Essais durcis
GTPS 11F
(Cf. alinéa 4 du § A.2.1)
≥ 1
≤ 10
Permet de montrer des marges sur un produit par rapport à son niveau nominal de fonctionnement, avec moins de 10 essais. Démarche analytique prenant en compte le contenu des AMDEC dont elle est un outil complémentaire. Possibilité d’accepter un échec dans la réalisation du plan d’essais durcis, moyennant :
• soit une évaluation dégradée de la fiabilité (par rapport à la valeur initiale visée)
• soit une augmentation du nombre de spécimens testés
Impose la connaissance des coefficients de variation des paramètres influents Dépendance étroite des résultats aux coefficients de variation associés aux paramètres dispersés Ne permet pas d’accéder à la loi de distribution du paramètre fonctionnel testé
Tableau 1
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 14
C. SECONDE PARTIE : MISE EN OEUVRE DE LA METHODE DES PROBIT
C.1 CONVENTIONS DE NOTATION − aj ordonnée à l’origine de la droite des PROBIT obtenue à l’itération j − b j pente de la droite des PROBIT obtenue à l’itération j − k nombre de niveaux de test (1 ≤ j ≤ k)
− ΦΦΦΦ(t) fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : duett u
⋅=Φ ∫ ∞−
− 22
2
1)(
π
− S écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement du paramètre fonctionnel X − Sp estimateur préalable de l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement du
paramètre fonctionnel X − uαααα/2 fractile de la loi normale (en bilatéral) pour un niveau de confiance 1-α − 1-α niveau de confiance − X moyenne de la distribution des seuils de fonctionnement du paramètre fonctionnel X − XF seuil de fonctionnement du paramètre fonctionnel X − XNF seuil de non fonctionnement du paramètre fonctionnel X − Xnom niveau nominal du paramètre fonctionnel X
− pX estimateur préalable de la moyenne de la distribution des seuils de fonctionnement du
paramètre fonctionnel X − XRéf niveau qui correspond au besoin nominal auquel est associé l’objectif de fiabilité − Pour chaque niveau i d’essai on appelle :
• x i niveau du paramètre fonctionnel X (éventuellement xi = Log10(hi) dans le cas où le paramètre fonctionnel H suit une loi log-normale),
• n i nombre total d'essais effectués au niveau xi • r i : nombre de succès obtenus au niveau xi, • p i pourcentage de fonctionnement calculé au niveau xi (pi = ri / ni), • Ti Intermédiaire de calcul des poids Wi et des PROBIT provisoires YPi • Qi Intermédiaire de calcul des poids Wi et des PROBIT provisoires YPi • Yi PROBIT empirique au niveau xi, • Ypi PROBIT provisoire au niveau xi, • Wi poids affecté au niveau xi, • zi PROBIT de travail au niveau xi, • Zi PROBIT final au niveau xi.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 15
C.2 PRINCIPE GENERAL DE LA METHODE PROBIT Pour un lot donné de produits, et vis à vis du paramètre fonctionnel étudié, cette méthode permet d'évaluer à partir d’un échantillon la moyenne et l'écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement, à l'aide d'estimateurs définis avec un niveau de confiance donné. Ces estimateurs sont déterminés à partir des caractéristiques (pente et ordonnée à l'origine) d'une droite appelée "droite des PROBIT". Cette droite est obtenue après exploitation d'essais non séquentiels, par calculs itératifs. C.2.1 INTERETS ET LIMITES DE LA METHODE PROBIT
Les principaux intérêts de cette méthode sont :
• une exploitation simple d’essais en contrôle de réception (voir exemple au §C.4.2),
• la possibilité de concaténer des résultats de tests BRUCETON et/ou PROBIT obtenus lors de différentes campagnes d’essais (voir exemple au §C.4.3),
• la ré-exploitation de séquences d’essais de BRUCETON non exploitables (condition S/d non comprise entre 0,5 et 2) (voir exemple au § C.4.4).
Les limites de la méthode sont :
• sa sensibilité aux niveaux choisis et à la répartition de l’effectif du lot sur l’ensemble des niveaux : il est recommandé de se rapprocher le plus possible de la répartition N/4 sur les niveaux extrêmes et N/6 sur les niveaux intermédiaires (Cf. § C2.2.1).
• la difficulté d’adaptation des niveaux : elle n'est possible que si l'on dispose d'une réserve suffisante de spécimens (Cf. § C2.2.1)
• le risque d’aboutir à un test de PROBIT non exploitable n’est pas nul, malgré l’emploi d’une stratégie de test adaptée (Cf. § C2.2.1).
C.2.2 CONDITIONS PARTICULIERES : CHOIX DES PARAMETR ES DU TEST Il est nécessaire :
• De connaître le type de loi de répartition de la distribution des seuils de fonctionnement XF ou XNF (fonction du paramètre fonctionnel X), la méthode ne permettant d’exploiter que les résultats dans le cas d’une loi normale (*).
• De disposer d’une première évaluation des estimateurs Px et sP de la loi de probabilité du paramètre fonctionnel étudié, à partir de simulations numériques, de banques de données ou en utilisant une approche dichotomique (ex : méthode « One-Shot » - citée alinéa 2 du §A.2.1) permettant une première évaluation de ces estimateurs.
• De choisir les niveaux de tests et le nombre d’essais par niveau.
(*) NOTA : Dans le cas ou le paramètre fonctionnel H retenu suit une loi log-normale, on réalise un changement de variable X = Log10 (H), et on effectue le test sur la variable transformée X.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 16
C.2.2.1 Détermination des niveaux et du nombre d’es sais par niveau
Px et s -p étant les estimations préalables de la moyenne et de l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement, on recommande de répartir les N spécimens d’essais sur 5 niveaux de tests (N représentant l'effectif des composants testés). Pour avoir le maximum de précision, il est recommandé de choisir les niveaux et la répartition des essais par niveau conformément au tableau suivant:
Valeurs recommandées des niveaux d’essais
Probabilité prévisionnelle de fonctionnement
Nombre d'essais recommandés par niveau
Px - s -p 16% N/4
Px - 0.5 s -p 30% N/6
Px 50% N/6
Px + 0.5 s -p 70% N/6
Px - + s -p 84% N/4
Répartition des N spécimens sur les 5 niveaux de te st :
16%
100%
PX
2
σ+PX2
σ−PX
σ−PX σ+PX
30%
50%
70%
84%
N/6
N/4
N/6
N/6
N/4
Paramètre fonctionnel X
Densité de probabilité :
dueXXX
u⋅=Φ ∫
−
∞−
−σ
π2
2
2
1)(
dX
XdX
)()('
Φ=Φ
Fonction répartition loi normale :
16%
100%
PX
2
σ+PX2
σ−PX
σ−PX σ+PX
30%
50%
70%
84%
N/6
N/4
N/6
N/6
N/4
Paramètre fonctionnel X
Densité de probabilité :
dueXXX
u⋅=Φ ∫
−
∞−
−σ
π2
2
2
1)(
dX
XdX
)()('
Φ=Φ
Fonction répartition loi normale :
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 17
Remarque : Parfois, le test effectué à un niveau donné peut conduire à un pourcentage de fonctionnement observé très différent de celui attendu : on dit dans ce cas que le niveau est aberrant. Le cas le plus fréquent de niveau aberrant est d'observer 0% ou 100% de fonctionnement sur un niveau extrême. Plusieurs raisons expliquent cela :
• Le niveau où l'on a effectué les essais est bien le niveau recherché: l’utilisation de la loi binomiale permet d’expliquer ce résultat :
o La probabilité d’observer 100% de réussite, lorsqu’on se place au niveau correspondant à 84% de fonctionnement, est de P=0,2 lorsque le nombre d’essais est de 10,
o Cette probabilité tombe à P=0,04 lorsque le nombre d’essais est de 18,
o Il est donc recommandé de réaliser un minimum de 18 tirs sur un niveau extrême pour lever avec certitude la condition d’aberrance.
• Le niveau où l'on a effectué les essais n'est pas le niveau recherché: On observe un décalage de la moyenne ou un écart-type réel inférieur à l'écart-type supposé.
• Le niveau où l’on a observé 0% ou 100% de fonctionnement est un niveau intermédiaire: Les hypothèses (Cf. § B.3.2) sont à remettre en cause (normalité de la loi, représentativité de l’échantillon, ou mode opératoire).
C.2.2.2 Conduite des essais Le risque de constater un niveau aberrant n’étant pas négligeable, il est conseillé de ne pas tirer tous les objets en même temps sur tous les niveaux de test. Il est en effet souhaitable d’adopter une stratégie de conduite des essais permettant de réajuster les niveaux de test en fonction des résultats de tir obtenus, afin d’éviter d’obtenir des niveaux aberrants :
• Il est ainsi recommandé de débuter les essais par les niveaux extrêmes.,
• Si au bout du 18ème tir réalisé sur un niveau extrême, il est toujours observé 100% d’échecs ou 100% de succès, ce niveau est très probablement (96%) aberrant,
• Dans ce cas, les niveaux et la répartition des essais par niveaux devront être revus. Remarque 1 : Cette stratégie de réajustement des niveaux d’essais nécessite de disposer d’une réserve de spécimens supplémentaires. Remarque 2 : En phase d’acceptation de lot, on peut tirer les spécimens sans se préoccuper de l’évolution du test, et son exploitation aura lieu une fois les essais terminés, dans la mesure où :
• le produit est connu (vérification de la conformité du produit à une définition nominale), • la procédure est figée (critère du test, niveau et nombre de spécimens par niveau
imposés), • la réussite du test de PROBIT conditionne l’acceptation du lot.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 18
C.3 EXPLOITATION DES ESSAIS C.3.1 OBJET L’exploitation des essais a pour objet :
• d'effectuer les calculs des paramètres de la loi de distribution, • de vérifier l’hypothèse sur la loi de distribution, • d’évaluer une probabilité de fonctionnement ou de non-fonctionnement à partir de
l’exploitation de la loi théorique retenue. C.3.2 VERIFICATION DES HYPOTHESES DE BASE On s’assure que la résolution effective du paramètre fonctionnel est suffisamment faible par rapport à l’estimateur de l’écart-type calculé (un facteur 10 est recommandé). En effet la validité des résultats du test de PROBIT dépend de la résolution d’ajustement des niveaux d'essais. C.3.3 DETERMINATION DE LA DROITE DES PROBIT Ce paragraphe expose la démarche qui conduit à la détermination de la droite des PROBIT correspondant au maximum de vraisemblance (explicité en détail dans le document cité alinéa 21 du § A2.2). Cette démarche se décompose en 8 étapes : C.3.3.1 Etape 1 : Calcul des pourcentages de foncti onnement Pour chaque niveau de sollicitation donné x i le pourcentage de fonctionnement est déterminé par la relation :
p i = r i / n i C.3.3.2 Etape 2 : Calcul des PROBIT empiriques Les PROBIT empiriques peuvent être lus directement dans la table 1 en annexe E1 à partir de la valeur de p i ou calculés avec la formule suivante :
Yi = f(p i ) = Φ-1 (r i / n i ) + 5 NOTA: A l’origine, les calculs se faisant à la main, la valeur +5 a été rajoutée pour que les valeurs des PROBIT soient toutes positives. C.3.3.3 Etape 3 : Calcul des PROBIT provisoires On détermine une droite, dite des PROBIT provisoires, par régression linéaire (par exemple approximation des moindres carrés) entre x i et Yi sur l’ensemble des niveaux d’essais x i :
Ypi = a0 + b0 x i
Cela conduit à une première estimation de la moyenne et de l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement :
0X = 5 - a
b 0
0 et s0 =
1b
0
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 19
C.3.3.4 Etape 4 : Calcul de la pondération Le poids est calculé par la relation :
Wi = ( )ii
i
QQ
T
−1.
2
avec : .2
1 T 2
)5 -( -
i
2 ipY
eπ
= et ( ) ∫∞−
=−Φ=5-
2
-
Pii . 2
15YQ
2iYp u
dueπ
Wi peut également être déterminé à l'aide de la table 2 en annexe E2 . C.3.3.5 Etape 5 : Calcul des PROBIT de travail Les PROBIT de travail correspondent à des valeurs affinées des PROBIT provisoires Ypi. Ils sont obtenus à partir des PROBIT provisoires et des pourcentages de fonctionnement p i :
zi = Ypi + T
)Q -(p
i
i i
zi peut également être déterminé à l'aide de la table 3 en annexe E3. C.3.3.6 Etape 6 : Calcul des PROBIT finaux La droite des PROBIT finaux est obtenue par régression linéaire entre Wi x i et Wi zi :
Zi = a1 + b1 x i
Pour calculer a1 et b1, on procède aux calculs intermédiaires suivants :
∑
∑
=
==k
iii
k
iiii
Wn
xWn
X
1
1
.
..)
∑
∑
=
==k
iii
k
iiii
Wn
zWn
Z
1
1
.
..)
∑∑
∑
=
=
=
−=k
ik
iii
k
iiii
iiiXX
Wn
xWn
xWnS1
1
2
12
.
..
..
∑∑
∑∑
=
=
==
−=k
ik
iii
k
iiii
k
iiii
iiiiXZ
Wn
zWnxWn
zxWnS1
1
11
.
.....
...
Ces calculs intermédiaires permettent alors le calcul de a1 et de b1 :
XbZa))
.11 −= XX
XZ
S
Sb =1
Cela conduit à une nouvelle estimation de la moyenne et de l’écart-type estimation de la distribution des seuils de fonctionnement :
1X = 5 - a
b 1
1 et s1 =
1b
1
Les PROBIT finaux représentent les résultats d’une première itération par rapport au calcul des PROBIT provisoires Ypi calculés précédemment.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 20
C.3.3.7 Etape 7 : Test de convergence On procède à un test de convergence sur les résultats calculés de 1X et de s1 pour déterminer si on doit continuer les itérations de calcul.
Calcul d'erreur sur les valeurs des estimateurs X et s :
� Les écarts types des estimateurs X et b = 1/s sont :
( ) ( ) 21
1/2i i
Sxx
1bS&
)Wn ( b 1
XS
==∑
avec - xSxx i i
2i i i
Wn
)xWn (
2i
∑
∑= ∑ iiWn
� On peut en déduire les intervalles à +/- 1 écart-type des valeurs estimées X et b. Si les estimations précédentes sont comprises dans ces intervalles, la convergence des résultats est considérée comme suffisante :
( ) ( ))1(1
1
)1(1
1& 011011 bsb
sbsb
XsXXXsX−
<<+
+<<−
C.3.3.8 Etape 8 : Itération : Reprise des étapes 4, 5, 6 et 7 Si le test de convergence n’est pas satisfaisant, on reprend les étapes 4, 5 et 6 en remplaçant :
• Les PROBIT provisoires YPi par les PROBIT finaux Zi • L’équation de la droite des PROBIT provisoires par celle des PROBIT finaux
(a0 = a1 & b0 = b1 pour la 1ère itération) Après n itérations et réussite du test de convergence (étape 7), on détermine la droite des PROBIT correspondant au maximum de vraisemblance:
Z = an + bn X NOTA : Dans la pratique, une ou deux itérations sont généralement suffisantes. A l’issue de l’itération n, on calcule les estimateurs de la moyenne et de l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement :
b
a - 5X
n
n= et b
1S
n
=
C.3.4 INTERVALLES DE CONFIANCE SUR LES ESTIMATEURS Pour un niveau de confiance 1−α1−α1−α1−α donné, on calcule le fractile (*) de la loi normale uαααα/2 :
Niveau de confiance 1-αααα
uαααα/2 (bilatéral)
60% 0.84 90% 1.65 95% 1.96
(*) Cf. annexe E4
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 21
C.3.4.1 Intervalle de confiance sur la moyenne au n iveau 1 - αααα (risque bilatéral) La moyenne suit une loi normale.
L’écart type de l’estimateur X vaut : ( ) S X1
b ( n W )
n i i1/ 2
=∑
L’intervalle de confiance bilatéral de m au niveau 1 - α est égal à :
( ) ( ) +− =+≤≤−= mXSuXmXSuXm ..22
αα
C.3.4.2 Intervalle de confiance sur l’écart-type au niveau 1 - αααα (risque bilatéral)
Les estimateurs an et bn suivent des lois normales. L’écart type de l’estimateur bSn = 1 vaut :
( )S b = =1
Sxxn
12
avec ( )∑∑∑ −=
ii
iii
Wn
xWn2
2iiiXX xWnS
Il permet de définir l’intervalle de confiance bilatéral de bn pour un niveau de confiance 1 - α choisi :
( ) ( )nnnn bSubbbSub ⋅+≤≤⋅−22
αα
On en déduit l’intervalle de confiance bilatéral de S au niveau de confiance 1 - α :
( ) ( ) +=⋅
≤≤⋅
= SbS
SbS nn
2n
2n
- u - b
1
u + b
1S
αα
Le logigramme de la page suivante résume toute la démarche d’exploitation du test de PROBIT.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 22
Exploitation du test de PROBIT :
Résultats des essais sur les niveaux i :- Nombre de succès : ri
Plan d’essais PROBIT :- Nombre de niveaux d’essais : k- Nombre de spécimens testé : N- Nombre d’essais par niveaux i : n i
Avec : 1 ≤ i ≤ k & ∑=
=k
ii Nn
1
Etape N°1 :Calcul du pourcentage de succès sur les niveaux i
Pi = r i / n i
Etape N°2 :Calcul des PROBIT empiriques sur les niveaux i
Yi = ΦΦΦΦ-1 (r i / n i) + 5j = 0
Etape N°3 :Régression linéaire sur les PROBIT empiriques :
Y = aj + b j.XCalcul des PROBIT provisoire sur les niveaux i
Ypi = aj + b j.Xi
1ière estimation :
00
0
00
1
5
bS
b
aX
=
−=
Etape N°5 :Calcul des PROBIT de travail sur les niveaux i
( )i
iiPii T
QpYZ
−+=
Etape N°4 :Pondération : Calcul des poids sur les niveaux
( )ii
ii QQ
TW
−=
1
2
Etape N°6 :Régression linéaire sur les PROBIT de travail :
Z = aj + b j.X
Calcul des PROBIT finaux sur les niveaux iZi = aj + b j.Xi
j = j + 1
Estimation J :
j
j
j
jj
bS
b
aX
1
5
=
−=
Etape N°7 :Test de convergence :
la précision des calculs est-elle suffisante ?j = n
Etape N°8 :Itération
jj
jj
iPi
bb
aa
ZY
=
==
−
−
1
1
Non Oui
Estimation finale :
( ) ( )
( ) ( ) +−
+−
=−
≤≤+
=−
=+≤≤−=
σσσαα
αα
nnnn bSubbSubtypeEcart
mXSuXmXSuXmMoyenne
.
1
.
1:
..:
2/2/
2/2/
nn
n
bS
b
aX
15 =−=
Résultats des essais sur les niveaux i :- Nombre de succès : ri
Résultats des essais sur les niveaux i :- Nombre de succès : ri
Plan d’essais PROBIT :- Nombre de niveaux d’essais : k- Nombre de spécimens testé : N- Nombre d’essais par niveaux i : n i
Avec : 1 ≤ i ≤ k & ∑=
=k
ii Nn
1
Plan d’essais PROBIT :- Nombre de niveaux d’essais : k- Nombre de spécimens testé : N- Nombre d’essais par niveaux i : n i
Avec : 1 ≤ i ≤ k & ∑=
=k
ii Nn
1
Etape N°1 :Calcul du pourcentage de succès sur les niveaux i
Pi = r i / n i
Etape N°2 :Calcul des PROBIT empiriques sur les niveaux i
Yi = ΦΦΦΦ-1 (r i / n i) + 5j = 0
Etape N°3 :Régression linéaire sur les PROBIT empiriques :
Y = aj + b j.XCalcul des PROBIT provisoire sur les niveaux i
Ypi = aj + b j.Xi
1ière estimation :
00
0
00
1
5
bS
b
aX
=
−=
Etape N°5 :Calcul des PROBIT de travail sur les niveaux i
( )i
iiPii T
QpYZ
−+=
Etape N°5 :Calcul des PROBIT de travail sur les niveaux i
( )i
iiPii T
QpYZ
−+=
Etape N°4 :Pondération : Calcul des poids sur les niveaux
( )ii
ii QQ
TW
−=
1
2
Etape N°4 :Pondération : Calcul des poids sur les niveaux
( )ii
ii QQ
TW
−=
1
2
Etape N°6 :Régression linéaire sur les PROBIT de travail :
Z = aj + b j.X
Calcul des PROBIT finaux sur les niveaux iZi = aj + b j.Xi
j = j + 1
Estimation J :
j
j
j
jj
bS
b
aX
1
5
=
−=
Estimation J :
j
j
j
jj
bS
b
aX
1
5
=
−=
Etape N°7 :Test de convergence :
la précision des calculs est-elle suffisante ?j = n
Etape N°8 :Itération
jj
jj
iPi
bb
aa
ZY
=
==
−
−
1
1
Etape N°8 :Itération
jj
jj
iPi
bb
aa
ZY
=
==
−
−
1
1
Non Oui
Estimation finale :
( ) ( )
( ) ( ) +−
+−
=−
≤≤+
=−
=+≤≤−=
σσσαα
αα
nnnn bSubbSubtypeEcart
mXSuXmXSuXmMoyenne
.
1
.
1:
..:
2/2/
2/2/
nn
n
bS
b
aX
15 =−=Estimation finale :
( ) ( )
( ) ( ) +−
+−
=−
≤≤+
=−
=+≤≤−=
σσσαα
αα
nnnn bSubbSubtypeEcart
mXSuXmXSuXmMoyenne
.
1
.
1:
..:
2/2/
2/2/
nn
n
bS
b
aX
15 =−=
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 23
C.3.5 VERIFICATION DE LA NORMALITE DE LA LOI L'hypothèse de la normalité de la distribution des seuils de fonctionnement peut être vérifiée (Cf. alinéa 8 du § A.2.1), par l’application d’un test du χ2 :
• Calcul de la valeur du χ2 :
( )Sxx
SxzSzzCalculé
22 −=χ avec :
∑
∑∑
−=
iii
iiii
iiii Wn
xWn
xWnSxx
2
2
∑
∑∑
−=
iii
iiii
iiii Wn
ZWn
ZWnSxz
2
2
∑
∑∑∑
×
−=
iii
iiii
iiii
iiiii Wn
ZWnxWn
ZxWnSxz
• Comparaison avec la valeur théorique du ( )2
2, −kαχ correspondant à k-2 degrés de liberté
(k = nombre de niveaux d’essais) et un risque αααα (Cf. annexe E5). Si χ2calculé < χ2théorique , alors on ne peut pas rejeter l’hypothèse de normalité au risque α.
C.3.6 EVALUATION D’UNE PROBABILITE DE FONCTIONNEMEN T (OU DE NON-
FONCTIONNEMENT) ET DES SEUILS ASSOCIES
Niveau nominal (X nom) : c’est la valeur de définition nominale du paramètre prépondérant
Niveau de référence (X réf) : c’est la valeur du paramètre prépondérant associée à l’évaluation de fiabilité (marges possibles par rapport au niveau nominal)
Le niveau de référence est, selon les cas, soit :
� Le niveau nominal du paramètre fonctionnel prépondérant,
� La valeur nominale du paramètre fonctionnel prépondérant, affectée d’un coefficient de marge spécifié par le client ou par des standards,
� Un majorant ou un minorant d’un besoin exprimé comme déterministe,
� Le niveau correspondant aux bornes de l’intervalle de tolérances du niveau nominal,
� Le niveau correspondant à une (ou aux) borne(s) à ±3 écarts-types du niveau nominal,
� ... Nota : Dans le cas d’un paramètre fonctionnel suivant une loi lognormale, il suffit de faire le changement de variable X=Log(H), et de travailler sur la variable transformée X.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 24
C.3.6.1 Calcul de fiabilité (risque bilatéral)
Si Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale réduite, la probabilité R de bon fonctionnement (PBF) au niveau de confiance (1 - α/2)2 est telle que : C.3.6.1.1 CAS 1: LA PBF CROIT AVEC LE PARAMETRE FONCTIONNEL Si la probabilité de bon fonctionnement croit avec le paramètre fonctionnel, il est nécessaire que le niveau de référence soit supérieur à la borne haute de l’intervalle de confiance de la moyenne X (Cf. §C.3.4.1) : +> mX Réf
Dans ce cas : ( )
−Φ=
+
+
− σα
mXR Réf
2
21
C.3.6.1.2 CAS 2: LA PBF DECROIT AVEC LE PARAMETRE FONCTIONNEL Si la probabilité de bon fonctionnement décroit avec le paramètre fonctionne, il est nécessaire que le niveau de référence soit inférieur à la borne basse de l’intervalle de confiance de la moyenne X (Cf. §C.3.4.1) : −< mX Réf
Dans ce cas : ( )
−Φ=
+
−
− σαRéfXm
R 2
21
C.3.6.2 Calcul des seuils de fonctionnement et de n on fonctionnement (risque bilatéral)
Pour une fiabilité R et pour un niveau de confiance (1-α/2)2 donnés, les seuils de fonctionnement xF et de non-fonctionnement xNF sont : C.3.6.2.1 CAS 1: LA PBF CROIT AVEC LE PARAMETRE FONCTIONNEL
Seuil de fonctionnement : xF = m+ + Φ-1(R).σ+
Seuil de non fonctionnement : xNF = m- - Φ-1(R).σ+ C.3.6.2.2 CAS 2: LA PBF DECROIT AVEC LE PARAMETRE FONCTIONNEL
Seuil de fonctionnement : xF = m- - Φ-1(R).σ+
Seuil de non fonctionnement : xNF = m+ + Φ-1(R).σ+ C.3.6.3 Recommandations L’ensemble des résultats des tests statistiques (Cf. document alinéa 28 du §A.2.2) a montré qu’il existe, pour chaque test de PROBIT, des écarts par rapport à la loi « vraie » :
� Pour déterminer la fiabilité au niveau XRéf, il est recommandé de majorer (ou de minorer selon les cas) de 10% le niveau de XRéf avant de procéder au calcul de la fiabilité.
� Pour déterminer un seuil de fonctionnement ou de non fonctionnement, il est aussi recommandé de majorer (ou de minorer selon les cas) de 10% la valeur du seuil de fonctionnement ou de non-fonctionnement calculée.
Un exemple d’application de cette recommandation est traité dans le §C.4.1.5.2. C.3.7 FEUILLE DE CALCUL Une feuille de calcul fonctionnant sous le tableur EXCEL est disponible sur le site du GTPS (http://www.afpyro.org)
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 25
� Les résultats de calculs présentés ci-après sont extraits de l’utilisation de la feuille de calculs EXCEL (cf. §C.3.7),
� Les valeurs présentées dans les exemples sont arrondies,
� La feuille de calculs (§C.3.7) ne prend en compte que les résultats de la sixième itération dans les calculs de fiabilité malgré une convergence plus précoce (les résultats obtenus sont plus précis).
C.4.1 FIABILITE D’UN INFLAMMATEUR ELECTRO-PYROTECHN IQUE C.4.1.1 Cas traité Le but est d’évaluer la fiabilité d’un inflammateur électro-pyrotechnique en fonction de l’intensité du courant de mise à feu. C.4.1.2 Conditions du test Les conditions d’application du test de PROBIT sont les suivantes :
� Le paramètre fonctionnel étudié est l’intensité du courant de mise à feu appliqué aux bornes de l’inflammateur.
� La probabilité de bon fonctionnement (PBF) varie dans le même sens que le paramètre fonctionnel étudié.
� Le critère de succès est le fonctionnement de l’inflammateur dans un délai inférieur à 10ms après la mise en application du courant. Un long-feu (> 10ms) est donc considéré comme un échec.
� On suppose que la distribution des seuils de fonctionnement en fonction de l’intensité du courant de mise à feu suit une loi normale.
� On dispose de 90 inflammateurs issus d’un lot satisfaisant les recommandations du § B.3.2.1.
� Lors du développement de l’inflammateur, la moyenne et l’écart-type de la distribution des
seuils de fonctionnement ont été évalués à : pX = 1,6 A et sp = 0,02 A
C.4.1.3 Choix des niveaux de tests On choisit les 5 niveaux de tests suivants, avec les effectifs par niveaux correspondants :
Niveau de test Valeur du paramètre
fonctionnel Nombre d'essais prévus par
niveau
pX - sp 1,63 A N/4=18
pX - 0.5 sp 1,64 A N/6=12
pX 1,65 A N/6=12
pX + 0.5 sp 1,66 A N/6=12
pX + sp 1,67 A N/4=18
Soit au total 72 tirs (il reste donc 18 inflammateurs en réserve afin de pouvoir réajuster les niveaux si nécessaire).
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 26
C.4.1.4 Déroulement des essais Comme les sens de variation du paramètre fonctionnel et de la probabilité de bon fonctionnement varient dans le même sens, le critère retenu pour la conduite des essais est le succès du tir. On effectue les tirs conformément à la stratégie du § C.2.2.2 : les tirs réalisés sur les niveaux extrêmes laissent à penser que ces niveaux ne sont pas aberrants.
Pourcentage de succès par niveau Niveau de
test
Valeur du paramètre fonctionnel
Nombre de succès observés par
niveau % observés % théoriques
attendus
pX - sp 1,63 A 1 5,56% 16%
pX - 0.5 sp 1,64 A 4 33,33% 30%
pX 1,65 A 6 50,00% 50%
pX + 0.5 sp 1,66 A 11 91,67% 70%
pX + sp 1,67 A 16 88,89% 84%
Bien que les résultats observés soient différents des résultats attendus, on décide d’exploiter ce test de PROBIT tel quel. C.4.1.5 Exploitation C.4.1.5.1 DETERMINATION DE LA MOYENNE ET DE L’ECART-TYPE La moyenne et l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement sont déterminés par l’exploitation des résultats des essais selon la méthode du §C.3. Les calculs ont été réalisés avec la feuille de calcul du §C.3.7. La première régression linéaire (PROBIT provisoires) fournit les résultats suivants :
• a0 = -117,67 et b0 = 74,41
• 0X = 1,6484A et s0 = 0,0134A
Test de convergence :
Itération Moyenne Ecart-type
i a b X S S( X ) S(b) X - S( X ) < X < X + S( X ) b - S(b) < b < b + S(b) Résultat
La convergence du test est suffisante: Oui dès l'itération N° 1
Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.
Droite des PROBITS :Y = a+b*X
Ecart-types estimateurs Test de précision
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 27
On constate que les conditions d’arrêt des itérations sont bien remplies dès la première itération :
• a1 = -113,38 et b1 = 71,81 A-1
• 1X = 1,649 A et s1 = 0,0139 A
o avec les écarts types des estimateurs s( 1X ) = 2,55.10-3 A et s(b1) = 13,94 A-1
• Test de convergence :
o ( ) ( ) 6512,16484,16461,1 11011 =+<=<−= XsXXXsX
o 001728,0)(
10134,0
)(
1001166,0
110
11
=−
<=<+
=bsb
sbsb
• La première itération est donc suffisante pour le calcul de X et s. Test de normalité :
• Les résultats du test du χ2 sont rappelés ici :
o χ2 calculé = 2,46 < χ
2 théorique(3ddl, 5%) = 7,81
o On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de normalité de la loi pour un risque de 5%. Nous retenons donc les résultats finaux suivants :
Caractéristique Estimateur Ecart-type
de l’estimateur
Moyenne X = 1,649 A ( )S X = 0,00251 A
Pente b = 71,96 A-1 s(b) = 13,6 A-1
Ecart-type s = 0,0139 A -
La droite des PROBIT est représentée sur le graphique suivant :
Méthode PROBIT : Droite des PROBIT finauxInflammateur électrique
Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.
PR
OB
ITS
Méthode GTPS N°11A
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 28
C.4.1.5.2 EVALUATION DE LA FIABILITE DE L’INFLAMMATEUR La valeur de référence xRéf du paramètre x (dans notre cas une intensité minimale de mise à feu) permet de calculer la fiabilité du dispositif à un niveau de confiance (1-α/2)2 donné en utilisant les estimations de m et s au niveau de confiance (1-α) :
−Φ=
+
+
− S
mXR
Réf2)2/1( α
Où Φ(t) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite dont les valeurs sont données table 4 en annexe E4. L’intensité nominale du courant de mise à feu visée est de 2A : compte-tenu des dispersions du système de mise à feu utilisé, elle est supérieure à 1,9A. En appliquant la recommandation du §C.3.6.3, on détermine le niveau de référence en minorant ce niveau nominal de 10%, ce qui nous donne une valeur de :
• XRéf = 1,9/1,1 = 1,727 A En prenant un niveau de confiance 1-α = 90% (soit uα/2 = 1,64), on calcule les bornes des intervalles de confiance bilatéraux de la moyenne et de l’écart-type:
• m+ = X +uα/2.s( X ) = 1,649 + 1,64.0,00251 = 1,653 A
• s+ = 6,13.28,196,71
1
)(.
1
−=
− bsub α
= 0,0202 A
D’ou l’on tire la fiabilité au niveau de confiance (1-α/2)2 = 90,25% :
• ( ) 99988,06816,30202,0
653,1727,1%25,90 =Φ=
−Φ=R
L’inflammateur électro-pyrotechnique étudié possède une fiabilité d’initiation de R = 0,99988, au niveau de confiance 90,25% sous un courant de mise à feu de référence égal à Xréf = 1,727 A. C.4.2 PROCEDURE D’ACCEPTATION D’UN LOT DE CORDEAUX DE DECOUPE On présente ci-après la méthode utilisée pour contrôler en réception la performance de cordeaux de découpe appartenant à un même lot.
Schéma du cordeau de découpe
Dièdre de découpe (charge creuse linéaire)
Enveloppe métallique du cordeau de découpe
Âme du cordeau (explosif)
Dièdre de découpe (charge creuse linéaire)
Enveloppe métallique du cordeau de découpe
Âme du cordeau (explosif)
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 29
On étudie la fiabilité d’un lot de cordeaux de découpe lors des épreuves d’acceptation : • Le critère de fonctionnement correspond à la découpe d’une cible définie (matériau,
épaisseur…)
• Ce lot comprend 19 cordeaux fabriqués : o Ils sont tous issus des mêmes lots de matières premières (explosif et métal de
l’enveloppe du cordeau), o Ils ont tous été fabriqués sur la même machine lors d’une seule campagne de
fabrication.
• Sur chaque cordeau, on prélève 3 tronçons servant aux tirs de réception (2 aux extrémités et 1 au milieu), ce qui représente au total 57 spécimens de tir,
• La condition d’acceptation du lot de cordeaux porte sur son seuil de fonctionnement : o Le seuil de fonctionnement est calculé pour une fiabilité de R=1-10-6 avec un niveau
de confiance de 90%, o Le seuil de fonctionnement (profondeur de découpe) du lot doit être supérieur ou
égal à 3,3mm.
C.4.2.1 Conditions du test Les conditions d’application du test de PROBIT sont les suivantes :
• Le paramètre fonctionnel étudié est l’épaisseur d’une plaque témoin à découper par le cordeau,
• Le brin de cordeau est placé sur une cible métallique dite étagée et comprenant plusieurs paliers d’épaisseurs,
• Le critère de succès sur un niveau est la découpe complète du palier d’épaisseur de la cible étagée,
• On suppose que la distribution des seuils de fonctionnement en fonction de la performance d’épaisseur découpée suit une loi normale,
• On dispose de 57 cibles étagées et de 57 détonateurs pour initier les brins de cordeaux,
• Les épaisseurs des cibles étagées sont prédéfinies à l’avance et figurent dans les conditions d’acceptation des lots de cordeaux : o 13 niveaux compris entre 4,3mm et 5,5mm, o Pas constant de 0,1mm entre deux niveaux successifs.
Schéma du montage d’essais de tirs de brins de cord eaux d découpe :
Cible étagée (niveaux de test)
Cordeau de découpe (prélèvement)
Détonateur
Cible étagée (niveaux de test)
Cordeau de découpe (prélèvement)
Détonateur
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 30
C.4.2.2 Déroulement des essais Les essais s’étant parfaitement passés, on a obtenu les résultats suivants :
Niveaux de test (épaisseurs de la cible étagée en m m) N° cordeau Brin N° tir
Les succès sont repérés par les chiffres 1 et les échecs sont repérés par les chiffres 0.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 31
C.4.2.3 Exploitation On exploite les niveaux non aberrants par la méthode de PROBIT, ce qui nous donne les résultats suivants sur les 8 niveaux exploitables (pourcentage de succès différents de 0% et de 100%) :
Paramètre fonctionnel
Effectif par niveau
Nombre de succès observé
Pourcentage de succès observé
4,4 mm 57 55 96,49%
4,5 mm 57 52 91,23%
4,6 mm 57 41 71,93%
4,7 mm 57 33 57,89%
4,8 mm 57 18 31,58%
4,9 mm 57 11 19,30%
5,0 mm 57 4 7,02%
5,1 mm 57 4 7,02%
Les calculs ont été réalisés avec la feuille de calcul du §C.3.7. La première régression linéaire (PROBIT provisoires) fournit les résultats suivants :
• a0 = 28,80 et b0 = -5,02
• 0X = 4,74mm et s0 = 0,199mm
Test de convergence :
Itération Moyenne Ecart-type
i a b X S S( X ) S(b) X - S( X ) < X < X + S( X ) b - S(b) < b < b + S(b) Résultat
La convergence du test est suffisante: Oui dès l'itération N° 1
Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.
Droite des PROBITS :Y = a+b*X
Ecart-types estimateurs Test de précision
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 32
On constate que les conditions d’arrêt des itérations sont bien remplies dès la première itération :
• a1 = 28,96 et b1 = -5,06
• 1X = 4,734mm et s1 = 0,1976mm
o avec les écarts types des estimateurs s( 1X ) = 1,43.10-2mm et s(b1) = 0,39mm-1
• Test de convergence :
o ( ) ( ) 7582,474,47297,4 11011 =+<=<−= XsXXXsX
o 2139,0)(
1199,0
)(
11836,0
110
11
=−
<=<+
=bsb
sbsb
• La première itération est donc suffisante pour le calcul de X et s. Test de normalité :
• Les résultats du test du χ2 sont rappelés ici :
o χ2 calculé = 4,64 < χ
2 théorique(55ddl, 5%) = 12,59
o On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de normalité de la loi pour un risque de 5%.
Nous retenons donc les résultats suivants (6ième itération) :
Caractéristique Estimateur Ecart-type
de l’estimateur
Moyenne X = 4,734 mm ( )S X = 0,001432 mm
Pente b = -5,06 mm-1 s(b) = 0,39 mm-1
Ecart-type s = 0,1976 mm -
La droite des PROBIT est représentée sur le graphique suivant :
Méthode PROBIT : Droite des PROBIT finauxTirs de recette cordeaux découpeurs
Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.
PR
OB
ITS
Méthode GTPS N°11A
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 33
C.4.2.3.1 EVALUATION DU SEUIL DE FONCTIONNEMENT DU CORDEAU DE DECOUPE La probabilité de bon fonctionnement et le paramètre fonctionnel variant en sens inverse, le seuil de fonctionnement est donné par la formule suivante :
( ) +−
− Φ−= σ.1 RmX F Pour un niveau de confiance 1-α = 90%, on a :
• 64,12
=αu
• ( ) 71,4001432,064,1734,42
=•−=•−=− XsuXm α mm
• ( ) 2263,039,064,106,5
11
2
=•−
=•−
=+ bsub α
σ mm
Le seuil de fonctionnement vaut donc (pour une fiabilité de découpe de 1- 10-6) :
On constate que pour ce lot de cordeaux de découpe, le seuil de fonctionnement calculé est supérieur au critère d’acceptation (3,3 mm), ce qui valide son acceptation. C.4.3 PROBIT « LOI VRAIE » D’UN INFLAMMATEUR ELECTR O-PYROTECHNIQUE C.4.3.1 Cas traité Il s’agit de concaténer différents essais de BRUCETON et de PROBIT ayant été réalisés sur un même lot d’inflammateurs électro-pyrotechniques. Ce PROBIT généralisé a été constitué lors des essais de comparaison des méthodes statistiques menés dans le cadre des travaux PAQTE 2004 du CNES (Cf. document alinéa 28 du §A.2.2) :
• 5 tests de BRUCETON réalisés,
• 4 tests de PROBIT réalisés,
• Soit un total de 591 tirs, réalisés sur le lot d’inflammateurs, à concaténer et à exploiter. Il s’agit du même inflammateur que celui présenté en exemple au §C.4.1.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 34
C.4.3.2 Résultats des essais concaténés La concaténation des 591 résultats de tirs sur les 38 niveaux exploitables figure dans le tableau suivant :
Paramètre fonctionnel
Niveau Paramètre fonctionnel
Effectif par niveau
Nombre de succès observé
% succès observé
1 1,675 A 14 13 92,86% 2 1,660 A 29 16 55,17% 3 1,645 A 20 4 20,00%
BRUCETON N°1 (74 tirs)
4 1,630 A 7 3 42,86% 5 1,675 A 15 12 80,00% 6 1,660 A 24 11 45,83%
BRUCETON N°2 (62 tirs)
7 1,645 A 16 5 31,25% 8 1,680 A 15 13 86,67% 9 1,662 A 26 13 50,00% 10 1,643 A 19 6 31,58%
BRUCETON N°3 (70 tirs)
11 1,625 A 7 1 14,29% 12 1,671 A 8 7 87,50% 13 1,658 A 13 6 46,15% 14 1,6456 A 16 10 62,50%
BRUCETON N°4 (54 tirs)
15 1,633 A 13 3 23,08% 16 1,6323 A 13 3 23,08% 17 1,639 A 20 10 50,00%
BRUCETON N°5 (58 tirs)
18 1,6456 A 16 9 56,25% 19 1,603 A 18 1 5,56% 20 1,618 A 12 3 25,00% 21 1,6323 A 12 2 16,67% 22 1,647 A 12 4 33,33%
PROBIT N°1 (78 tirs)
23 1,6612 A 18 11 61,11% 24 1,631 A 18 4 22,22% 25 1,6454 A 12 3 25,00% 26 1,657 A 12 3 25,00% 27 1,664 A 12 6 50,00%
PROBIT N°2 (72 tirs)
28 1,670 A 18 17 94,44% 29 1,631 A 18 2 11,11% 30 1,6398 A 24 7 29,17% 31 1,646 A 12 5 41,67% 32 1,653 A 12 10 83,33%
PROBIT N°3' (82 tirs)
33 1,6601 A 18 11 61,11% 34 1,636 A 18 6 33,33% 35 1,645 A 12 4 33,33% 36 1,653 A 12 6 50,00% 37 1,662 A 12 11 91,67%
PROBIT N°4 (72 tirs)
38 1,670 A 18 16 88,89%
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 35
C.4.3.3 Exploitation C.4.3.3.1 DETERMINATION DE LA MOYENNE ET DE L’ECART-TYPE La moyenne et l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement sont déterminés par l’exploitation des résultats des essais selon la méthode du § C.3. Les calculs ont été réalisés avec la feuille de calcul du §C.3.7. La première régression linéaire (PROBIT provisoires) fournit les résultats suivants :
• a0 = -59,25 et b0 = 38,93
• 0X = 1,6505 et s0 = 0,025687A
Test de convergence :
Itération Moyenne Ecart-type
i a b X S S( X ) S(b) X - S( X ) < X < X + S( X ) b - S(b) < b < b + S(b) Résultat
La convergence du test est suffisante: Oui dès l'itération N° 2
Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.
Droite des PROBITS :Y = a+b*X
Ecart-types estimateurs Test de précision
On constate que la convergence n’est atteinte qu’à partir de la deuxième itération.
� A la première itération, on a les résultats suivants :
• a1 = -55,79 et b1 = 36,80
• 1X = 1,6522A et s1 = 0,02718A
o avec les écarts types des estimateurs s( 1X ) = 1,498.10-3 et s(b1) = 3,83
• Le test de convergence sur la moyenne n’est pas satisfait :
o ( ) ( ) 6537,16505,16507,1 11011 =+<=>−= XsXXXsX
� Après la deuxième itération on obtient les résultats suivants :
• a2 = -55,85 et b2 = 36,80
• 2X = 1,6522A et s2 = 0,02715A
o avec les écarts types des estimateurs s( 2X ) = 1,498.10-3 et s(b2) = 3,77
• Cette fois, les conditions d’arrêt des itérations sont bien remplies à la deuxième itération :
o ( ) ( ) 6536,16522,16507,1 22122 =+<=<−= XsXXXsX
o 00303,0)(
1002715,0
)(
100246,0
110
11
=−
<=<+
=bsb
sbsb
Test de normalité : • Les résultats du test du χ
2 sont rappelés ici :
o χ2 calculé = 49,63 < χ
2 théorique(36ddl, 5%) = 51
o On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de normalité de la loi pour un risque de 5%.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 36
Nous retenons donc les résultats suivants (6ième itération) :
Caractéristique Estimateur Ecart-type
de l’estimateur
Moyenne X = 1,6522 A ( )S X = 0,00149 A
Pente b = 36,83 A-1 s(b) = 3,77 A-1
Ecart-type s = 0,02715 A -
La droite des PROBIT est représentée sur le graphique suivant :
Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.
PR
OB
ITS
Méthode GTPS N°11A
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 37
C.4.3.3.2 EVALUATION DE LA FIABILITE DE L’INFLAMMATEUR On cherche à évaluer le niveau de référence permettant de garantir une fiabilité de R=1-10-6. La probabilité de bon fonctionnement et le paramètre fonctionnel variant dans le même sens, le seuil de fonctionnement est donné par la formule suivante :
( ) +−
+ Φ+= σ.1 RmXF Pour un niveau de confiance 1-α = 90%, on a :
Cette exploitation représente la « loi vraie » de l’inflammateur électro-pyrotechnique étudié :
• Compte-tenu du grand nombre de résultats de tirs exploités, il n’est pas nécessaire de marger de 10% ce résultat de calcul du seuil de fonctionnement XF (non application de la recommandation du §C.3.6.3),
• On peut conclure que ce dernier possède une fiabilité d’initiation de R = 1-10-6, au niveau de confiance 90,25% sous un courant de mise à feu de référence égal à Xréf = 1,81 A.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 38
C.4.4 RE-EXPLOITATION D’UN TEST DE BRUCETON NON EXP LOITABLE C.4.4.1 Cas traité Nous avons réalisé la séquence fermée d’essais BRUCETON suivante (en application du document GTPS N°11C cité en alinéa 3 du §A.2.1) :
= 7
'
= 8
'
= 9'
= 1
0'
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
13 14 15 16
17 18 19 20
21
22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34
35 36
8,007,00 S S6,00 S E S S S S E S5,00 S E S E S E S E S E S4,00 S E E S E S E S E S3,00 S E S E E E S2,00 E E1,00
8'
9' 10'
Essais préliminaires Séquence fermée
Paramètre fonctionnel
1' 2' 3'
4' 5' 6' 7'
L’exploitation de cette séquence fermée nous donne les résultats suivants :
Xi Rang essais
i
Nombre d’essais réalisés n n*i n*i*i
8,00 0 0 0 0
7,00 5 2 10 50
6,00 4 7 28 112
5,00 3 10 30 90
4,00 2 9 18 36
3,00 1 6 6 6
2,00 0 2 0 0
∑
2941
2 =∗=∑=
k
ii inB92
1
=∗=∑=
k
ii inA36
1
==∑=
k
iiS nN
4673,14
1
2 2
2
=
−−∗∗
−=
N
ABN
N
NU 556,4=X s = 2,4944
Comme le pas du test est égal à d = 1, on constate que le rapport s/d = 2,4944 > 2. Conformément au document GTPS 11C (Cf. alinéas 3 du §A.2.1), on conclut que ce test n’est pas exploitable. C.4.4.2 Récupération des données de tirs dans un ca lcul PROBIT On peut récupérer les résultats de tirs suivants pour les exploiter par la méthode PROBIT :
Ce qui nous fait un total de 32 essais à exploiter.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 39
C.4.4.3 Exploitation La moyenne et l’écart-type de la distribution des seuils de fonctionnement sont déterminés par l’exploitation des résultats des essais selon la méthode du § C.3. Les calculs ont été réalisés avec la feuille de calcul du §C.3.7. La première régression linéaire (PROBIT provisoires) fournit les résultats suivants :
• a0 = 7,32 et b0 = -0,50
• 0X = 4,64 et s0 = 2,00
Test de convergence :
Itération Moyenne Ecart-type
i a b X S S( X ) S(b) X - S( X ) < X < X + S( X ) b - S(b) < b < b + S(b) Résultat
La convergence du test est suffisante: Oui dès l'itération N° 1
Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.
Droite des PROBITS :Y = a+b*X
Ecart-types estimateurs Test de précision
On constate que les conditions d’arrêt des itérations sont bien remplies dès la première itération :
• a1 = 7,19 et b1 = -0,48
• 1X = 4,57 et s1 = 2,09
o avec les écarts types des estimateurs s( 1X ) = 0,485 et s(b1) = 0,236
• Test de convergence :
o ( ) ( ) 06,564,409,4 11011 =+<=<−= XsXXXsX
o 1146,4)(
100,2
)(
13995,1
110
11
=−
<=<+
=bsb
sbsb
o La première itération est donc suffisante pour le calcul de X et s. Test de normalité : Les résultats du test du χ
2 sont rappelés ici :
• χ2 calculé = 0,29 < χ
2 théorique(2ddl, 5%) = 5,99
• On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse de normalité de la loi pour un risque de 5%.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 40
Nous retenons donc les résultats suivants (6ième itération) :
Caractéristique Estimateur Ecart-type
de l’estimateur
Moyenne X = 4,57 ( )S X = 0,483
Pente b = -0.50 s(b) = 0,234
Ecart-type s = 2,09 -
Ces valeurs sont à rapprocher des estimations initiales données par le test de BRUCETON
( 556,4=X & s = 2,4944). La droite des PROBIT est représentée sur le graphique suivant :
Méthode PROBIT : Droite des PROBIT finauxRéexploitation BRUCETON non exploitable (S/d > 2)
Ce document a été édité à partir de la feuille de calcul du GTPS (Version du 07/03/2013).Son utilisation relève exclusivement de la responsabilité de son utilisateur.
PR
OB
ITS
Méthode GTPS N°11A
Il est à noter que cette méthode de ré-exploitation d’un test de BRUCETON non exploitable n’est possible que dans le cas s/d>2 , car c’est le seul cas qui nous laisse suffisamment de niveaux à exploiter par la méthode PROBIT.
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 41
D. CONCLUSION Ce document expose la procédure de mise en œuvre de la méthode PROBIT applicable à l’évaluation de la fiabilité d’un dispositif monocoup. Il explicite la démarche à suivre (conditions de mise en œuvre proprement dite) en insistant notamment sur :
• la détermination des niveaux d’essais, • la conduite des essais.
Cette méthode permet d’évaluer la moyenne et la dispersion des seuils de fonctionnement avec une bonne précision pour un échantillon de taille supérieure à 72, en supposant que les seuils de fonctionnement du paramètre fonctionnel qui caractérise cet échantillon suivent une loi normale ou log-normale. Ces évaluations étendues à une population infinie et assorties d’un niveau de confiance donné permettent d’évaluer la fiabilité du dispositif monocoup pour une valeur définie du paramètre fonctionnel. La méthode reste applicable pour un échantillon de taille inférieure, avec une dégradation des résultats et un risque augmenté d’obtenir un test non exploitable (rappel : risque déjà important même dans les conditions idéales de test). Cette méthode peut être utilisée pour :
• exploiter une série d’essais, y compris en réception de lot lorsque le niveau de fiabilité et la prédétermination des niveaux d’essais font partie des critères d’acceptation (la principale application connue est la réception de cordeaux de découpe sur une cible étagée),
• concaténer des résultats de tests BRUCETON et/ou PROBIT obtenus lors de différentes campagnes d’essais pour obtenir, à partir d’un grand nombre d’essais, les caractéristiques de la « loi vraie »,
• ré-exploiter une séquence d’essais de BRUCETON non exploitable (cas S/d > 2).
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 42
E. ANNEXE (TABLES) : Annexe E1 PROBIT empiriques Yi en fonction des pourcentages pi de fonctionnement observés
Annexe E2 Coefficients de poids Wi en fonction des valeurs des PROBIT provisoires Ypi
Annexe E3 PROBIT de travail zi en fonction des pourcentages pi de fonctionnement observés et des valeurs des PROBIT provisoires Ypi
Annexe E4 Valeurs de la fonction de répartition de la loi normale réduite.
Annexe E5 Valeurs de ),2/(2
ναχ en fonction du nombre de degrés de liberté νννν et du niveau de
confiance 1-αααα)
GTPS 11 A - Version du 19 septembre 2013 - Page 43
E.1 PROBIT empiriques Y i en fonction des pourcentages p i de fonctionnement observés