1 distribution uniforme distribution exponentielle distribution normale (gaussienne) approximation: binomiale avec normale combinaisons de variables gaussiennes distribution log normale théorème Central-Limite Distributions continues Bernard CLÉMENT, PhD MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques HORS PROGRAMME 38-42 • distribution gamma • distribution Weibull 1-37
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie- somme de v.a uniformes - somme de v.a exponentielles - sommes de v.a Binomiales - sommes de v.a Poisson - sommes de v.a de lois diverses.
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Bernard CLÉMENT, PhD MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
hors programme
STATISTICA
18 distributions disponibles
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distribution UNIFORME
Xa b
0 si x ≤ a ou x ≥ b
1 / ( b – a ) si a ≤ x ≤ b
Répartition F 0 si x < a FX ( x ) = ( x – a ) / ( b – a ) si a ≤ x ≤ b
1 si x > b
Moyenne = E (X) = ( a + b ) / 2 Variance = Var (X) = ( b – a )2 / 12
Xp = Quantile d’ordre p (0 < p < 1) : Xp = a + p (b – a)
densité f
10%
8%
10%
11%
10%11%
10%11%
9%9%
0.00090.1008
0.20070.3005
0.40040.5002
0.60010.6999
0.79980.8997
0.9995
UNIF
0
20
40
60
80
100
120
No of
obs
Exemple : simulation
de 1000 nombres
sur l’intervalle (0, 1)
avec la fonction
Statistica : Rnd(x)
loi uniforme sur (0, x)
Bernard CLÉMENT, PhD
fX ( x ) =
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0 0
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Lien entre la loi exponentielle et le processus de PoissonX nombre de réalisations processus de Poisson d’intensité λ
X ~ Po (λ) λ = nombre moyen de réalisations par unité de temps (espace)P( X= x) = λ x exp (- λ ) / x ! x = 0, 1, 2, 3, …
Y = nombre de réalisations processus de Poisson dans une fenêtre de longueur tY ~ Po (λt )
T = temps d’attente avant la prochaine réalisation après une réalisation v.a sur (o, ∞ ) P( T > t ) = P[ X = 0 sur ( 0, t) ] = P( Y = 0 ) = exp (- λt )
alors T suit une loi exponentielle de paramètre λ
fonction de répartition de T FT ( t ) = 1 - P ( T > t )= 0 si t < 0= 1 - exp (- λt ) si t ≥ 0
fonction de densité de T fT (t ) = 0 si t < 0= λ exp (- λt ) si t ≥ 0
moyenne de T E(T) = 1/ λ Écart type de T ET(T) = 1/ λ
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distribution EXPONENTIELLE : T ~ Exp (λ )
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autre paramétrisation θ = 1/ λ
fT (t ) = 0 si t < 0= (1/ θ ) exp (- t / θ ) si t ≥ 0
moyenne de T = E(T) = θ
écart type de T = ET(X) = θ
t p : quantile d’ordre p P (T < t p ) = p 0 < p < 1
t p = - θ ln ( 1 – p )
Comment savoir si un si modèle exponentiel s’applique?
- vérification visuelle avec un graphique quantile-quantile
- test d’ajustement
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4 exemples d’applications la loi exponentielle
pages suivantes
distribution EXPONENTIELLE : T ~ Exp (λ )
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exemple 1 : calcul de probabilités avec une loi exponentielle
composant électronique utilisé dans la protection des lignes à haute tension.
essais ont montré que le taux de défaillance est décrit par une loi de Poisson
avec λ = 10 - 5 par heure (moyenne = 105 heures)Quelle est la probabilité que le composant tombe en panne avant :
1 an / 5 ans / 10 ans ?Solution 1 an = 365 * 24 = 8760 heures
5 ans = 5 * 365 *24 = 43800 heures10 ans = 10 * 365 * 24 = 87600 heures
T durée de vie du composant avant la première panne
P( T ≤ 1 an ) = P( T ≤ 8760 ) = 1 – exp( - 10- 5 * 8760 ) = 1- exp (- 0,0876) = 0,084
P( T ≤ 5 ans ) = P( T ≤ 43800 ) =1 – exp( - 10- 5 *43800 ) = 1- exp (- 0,438) = 0,355
P( T ≤10 ans ) = P( T ≤ 87600 ) =1 – exp( - 10- 5 *87600 ) = 1- exp (- 0,876) = 0,583
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exemple 2 : les données proviennent-elles d’ une distribution exponentielle?
graphique Quantile-Quantileavec une loi exponentielle
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Theoretical Quantile
0,01 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Obs
erve
d Va
lue
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Réponse : graphique quantile (données) vs quantile (loi)
alignement
des points :
indication
que oui
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exemple 3 - comparaison de 2 procédés
Procédé taux de défaillance (heure) coût opér. ($) garantie (h) pénalité (t<400)A 0,005 C 400 DB 0,003 kC (k > 1) 400 D
Quel procédé choisir ? pour quelle valeur de k on choisira B (A) ?Solution : les coûts d’opération et de garantie des procédés
CA = C + D si t ≤ 400 et CA = C si t > 400CB = k C + D si t ≤ 400 et CB = k C si t > 400
coût moyen de A : E(CA ) = (C+D)* P(T ≤ 400) + C * P( T > 400)= C + D*( 1 – exp (- 400*0,005)) = C + 0,865 D
coût moyen de B : E(CB ) = (k C+D)* P(T ≤ 400) + k D* P( T > 400)= k C + D*( 1 – exp (- 400*0,003)) = k C + 0,699 D
E(C A ) = E(C B ) si C + 0,865D = k C + 0,699D
si k = k * = 1 + 0,166(D/C)
Si k < k* choisir le procédé B car son coût moyen est plus petit que celui de A
Si k = k* les deux procédés ont des coûts moyens égaux : A ou B
Si k > k* choisir le procédé A car son coût moyen est plus petit que B
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exemple 4 : circuit électronique de 6 puces + 15 diodes + 20 condensateurs+ 25 résistances placés en série. La fiabilité des composants suivent une loi exponentielle
avec les taux de défaillance (λ)composant nombre λ (défaillances heure) défaillances (an = 24x 365)puces 6 0,02 x 10- 7 175,2 x 10- 7
diodes 15 1,90 x 10- 7 16644 x 10- 7
condensateurs 20 0,50 x 10- 7 13140 x 10- 7
résistances 25 0,80 x 10- 7 7008 x 10- 7
Déterminer la fonction de fiabilité du système et faire son graphique.
solution le circuit fonctionne si tous les composants sont opérantsLa probabilité que le circuit soit opérant jusqu’au temps t est :
P ( T > t ) = P ( T1 > t ) * P ( T2 > t ) * . . . * P ( T n > t )
= exp ( – λ 1t ) * exp ( – λ 2 t ) * . . . * exp (- λ n t ) = exp [ ( - ∑ λ i ) t ]Le taux de défaillance (heure) du circuit est ∑ λ i =
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distribution normale? - méthodes pour répondrePourquoi? nombreuses procédures statistiques reposent sur l’hypothèse
que la variable de réponse Y du processus étudié est normale
Méthodes pour vérifier la normalité1. histogrammes : au moins 50 observations2. comparaisons : effectifs dans xbar ± s , xbar ± 2s , xbar ± 3s3. diagramme quantile-quantile : valable même pour moins de 50 obs.
procédure : disponible dans STATISTICA
1- ordonner les observations x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤ …. ≤ x ( n )2- calculer p i = i / ( n + 1 ) i = 1, 2,…, n
3- calculer z p i = Φ -1 ( p i ) : quantile d’une loi gaussienne
4- droite de moindres carrés passant par ( x ( i ) , zpi )4. tests d’ajustement : Khi-deux, Shapiro-Wilk
chapitre tests d’hypothèses
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méthodes 1-2-3 : jugement visuel
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méthode 4 : calcul
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Distribution: NormalX-ex5.8 = 120+22.4366*x
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Theoretical Quantile
0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.95
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
Obs
erve
d V
alue
Exemple graphique quantile-quantile
Exemple 1: n = 12 X = 104 - 97- 83 – 113 – 107 – 119 - 161- 123 – 129 -134 – 124 - 146
Normal Probability Plot of X-ex5.8 (chap05-V5.sta 21v*1000c)
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
Observed Value
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Exp
ecte
d N
orm
al V
alue
quantile – quantile distribution normale normal probability plot
Exemple 2 : n = 100 - données simulées N ( mu=50, sigma=0,5)
51,00 - 50,37- ...- 50,05 - 49,50
-3 -2 -1 0 1 2 3
Theoretical Quantile
0.01 0.05 0.25 0.50 0.75 0.90 0.99
48.5
49.0
49.5
50.0
50.5
51.0
51.5
52.0
Observed Value
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Exemple 3 : production composants caractéristique qualité Xdoit avoir une valeur nominale de 3,500. Procédé de fabrication estsujet à variations : par expérience l’écart type σ (sigma) de X est 0,01et l’ajustement à valeur nominale peut se dérégler ( usure, … )jusqu’à Δ = ± 1,5*σ autour de la valeur nominale visée 3,500
XL 3,500 XU
3,485 3,515
X
Δ = ± 1,5* σ = ± 0,015
QUESTIONS(a) déterminer les valeurs XL et XU de X qui engloberaient
disons 99,5% de la production?(b) une client exige des composants situés dans l’intervalle de tolérance
3,500 ± 0,030 ( 3,47 ≤ X ≤ 3,53 ). On ne peut pas régler la valeur nominale mieux qu’en (a).Quelle devrait être la valeur de σ pour que 99,5% de la productionsoit dans l’intervalle de tolérance désiré?
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Exemple 3 : suite - solution(a) Posons Δ = - 0,015 P ( XL ≤ X ≤ XU ) = 0,995 XL = ? XU = ?
P [ ( XL - 3,485 ) / 0,01 ≤ (X – 3,485 ) / 0.01 ≤ ( XU – 3,485 ) / 0,01] = 0,995P [ ( XL - 3,485 ) / 0,01 ≤ Z ≤ ( XU – 3,485 ) / 0,01] = 0,995P [ ZL ≤ Z ≤ ZU ] = 0.995 Z suit loi N ( 0,1)
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
gauss-std
ZL= - 2,81 ZU = 2,81
table N(0,1)
ZL = -2,81= (XL - 3,485) / 0,01
XL = 3,485 -2,81*0,01= 3,4569
ZU = 2,81= (XU – 3,485) / 0,01
XU = 3,485+2,81*0,01= 3,5138
0,0025
0
0,995
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Exemple 3 : suite (a) Δ μ XL XU__
σ = 0.01 Δ = -1,5* σ -0,0075 3,485 3,4569 3,5138
Δ = 1,5* σ 0,0075 3,515 3,4869 3,5431
Δ = 0 0 3,500 3,4719 3,5281si on pose XL = 3,4569 et XU = 3,5431 on aura toujours
P( XL ≤ X ≤ XL ) = 0,995 quel que soit μ
(b) On veut que X ne soit jamais inférieur à 3,47 (avec probabilité 0,0025)et ne soit jamais supérieur à 3,53 (avec probabilité de 0,0025). Quelle doit être la valeur de σ? Si Δ = 0 ( μ = 3,500 ) la condition est satisfaite. Voir tableau.Si Δ = ± 0,015 la condition n’est pas satisfaite avec σ = 0,01On veut P ( 3,47 ≤ X ≤ 3,53 ) = 0,995 pour 3,485 ≤ μ ≤ 3,515 et une valeur de σ à déterminer. Si μ = 3,485