-
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Systems of Linear Algebraic Equations
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sistem Persamaan Linear 2
q Acuan q Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,
2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n Chapter 7, 8, dan 9, hlm. 201-290.
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sistem Persamaan Linear 3
q Serangkaian n persamaan linear:
nnnnnn
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
.
.
.
...
...
2211
22222121
11212111
Sejumlah n persamaan linear ini harus diselesaikan secara simultan untuk mendapatkan x1, x2,, xn yang memenuhi setiap persamaan tsb.
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Penyelesaian
q Penyelesaian q Grafis
q Cramer
q Eliminasi
q Penyelesaian langsung q Eliminasi Gauss
q Gauss-Jordan
q Iteratif q Jacobi
q Gauss-Seidel
q Successive Over Relaxation
4
Jml. pers. sedikit, n Jml. pers. banyak, n
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Grafis 5
x2 =
x1 =
x2
x1
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Grafis 6
x2
x1
x2
x1
x2
x1 ill-conditioned system singular system singular system
sejajar berimpit hampir sejajar
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Cramer 7
q Variabel tak diketahui, xi, merupakan perbandingan dua determinan matriks q Penyebut : determinan, D, matriks koefisien sistem persamaan
q Pembilang : determinan matriks koefisien sistem persamaan seperti penyebut, namun koefisien kolom ke i diganti dengan koefisien ci
q Contoh q 3 persamaan linear
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
=++
=++
=++
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Cramer 8
[ ]
==
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A A
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
D == A
D
aac
aac
aac
x 33233
23222
13121
1 =D
aca
aca
aca
x 33331
23221
13111
2 = D
aaa
caa
caa
x 32331
22221
11211
3 =
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Determinan Matriks 9
q Matriks bujur sangkar: n n
q Mencari determinan matriks q Hitungan manual
q MSExcel, dengan fungsi =MDETERM()
q Contoh hitungan determinan matriks 2 2 dan 3 3
[ ]
==
2221
1211
aa
aaA A [ ]
==
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
B B
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Determinan Matriks 10
211222112221
1211det aaaaaa
aaD === A
( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
det
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
+=
+=== B
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Cramer 11
4.71102.03.0
3.193.071.0
85.72.01.03
321
321
321
=+
=+
=
xxx
xxx
xxx
q Contoh: 3 persamaan linear
=
=
4.71
3.19
85.7
102.03.0
3.071.0
2.01.03
3
2
1
x
x
x
CXA
( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )( ) ( )( )[ ]
353.210
3.072.01.02.0
3.03.0101.01.02.03.01073det
=
+=A
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Cramer 12
[ ]
=
102.04.71
3.073.19
2.01.085.7
1A [ ]
=
104.713.0
3.03.191.0
2.085.73
2A [ ]
=
4.712.03.0
3.1971.0
85.71.03
3A
059.631det 1 == A1A 883.525det 2 == A2A 471.1472det 3 == A3A
3353.210059.631
detdet
1 === AA1x 5.2
353.210883.525
detdet
2 =
==AA2x 7
353.210471.1472
detdet
3 === AA3x
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Eliminasi 13
q Contoh: 2 persamaan linear
[ ][ ] 11221122111212222121111222121
21122112121111212111211212111
acxaaxaacxaxaacxaxa
acxaaxaacxaxaacxaxa
=+=+=+
=+=+=+
2111122211221122 acacxaaxaa =
21121122
2111122 aaaa
acacx
=
21121122
1212221 aaaa
acacx
=
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Eliminasi Gauss 14
q Strategi q Forward elimination
q Back substitution
q Contoh q 3 persamaan linear
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
=++
=++
=++ (1)
(2)
(3)
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Eliminasi Gauss 15
111
313313
11
3133212
11
3132
111
212313
11
2123212
11
2122
1313212111
caa
cxaaa
axaaa
a
caa
cxaaa
axaaa
a
cxaxaxa
=
+
=
+
=++
3333232
2323222
1313212111
cxaxa
cxaxa
cxaxaxa
=+
=+
=++
q Forward elimination #1 q Hilangkan x1 dari pers. kedua dan ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan
pengurangan dengan pers. pertama. pivot equation
pivot coefficient
(1)
(2')
(3')
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Eliminasi Gauss 16
222
323323
22
3233
2323222
1313212111
caa
cxaaa
a
cxaxa
cxaxaxa
=
=+
=++
q Forward elimination #2 q Hilangkan x2 dari pers. ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan
pengurangan dengan pers. kedua.
pivot equation pivot coefficient
(1)
(2')
(3'') 3333
2323222
1313212111
cxa
cxaxa
cxaxaxa
=
=+
=++
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Eliminasi Gauss 17
q Back substitution q Hitung x3 dari pers. (3''), hitung x2 dari pers. (2), dan x1 dari pers. (1)
33
33 ac
x
=22
32322 a
xacx
=11
31321211 a
xaxacx
=
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Eliminasi Gauss 18
q Forward elimination
11
22323
22323222
11313212111
.
.
.
...
...
...
=
=++
=+++
=++++
nnn
nnn
nn
nn
nn
cxa
cxaxa
cxaxaxa
cxaxaxaxa
1,...,2,1,11
11
1
1
=
=
=
+=
nni
a
xacx
ac
x
iii
ijj
iij
ii
i
nnn
nn
n
q Back substitution
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Eliminasi Gauss 19
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
=+
=+
=
xxx
xxx
xxx
q Contoh: 3 persamaan linear
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Eliminasi Gauss 20
q Forward elimination q Eliminasi x2 dari Pers. 2 dan 3, Pers. 1 sebagai pivot
q Eliminasi x3 dari Pers. 3, Pers. 2 sebagai pivot
0843.700120.1000)3(
5617.192933.00033.70)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
=++
=+
=
xxx
xxx
xxx
615.7002.1019.00)3(
5617.192933.00033.70)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
=+
=+
=
xxx
xxx
xxx
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Eliminasi Gauss 21
q Back substitution q Menghitung x3 dari Pers. 3''
70120.100843.70
3 ==x
q Substitusi x3 ke Pers. 2' untuk menghitung x2 ( )
5.20033.7
72933.05617.192 =
+=x
q Substitusi x3 dan x2 ke Pers. 1 untuk menghitung x1 ( ) ( )
33
5.21.072.085.71 =
++=x
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Eliminasi 22
q Strategi q Eliminasi variabel tak diketahui, xi, dengan penggabungan dua persamaan.
q Hasil eliminasi adalah satu persamaan yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan satu variabel xi.
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Kelemahan Metode Eliminasi 23
q Pembagian dengan nol q Pivot coefficient sama dengan nol ataupun sangat kecil.
q Pembagian dengan nol dapat terjadi selama proses eliminasi ataupun substitusi.
q Round-off errors q Selama proses eliminasi maupun substitusi, setiap langkah hitungan bergantung pada
langkah hitungan sebelumnya dan setiap kali terjadi kesalahan; kesalahan dapat berakumulasi, terutama apabila jumlah persamaan sangat banyak.
q Ill-conditioned systems q Ill-condition adalah situasi dimana perubahan kecil pada satu atau beberapa
koefisien berakibat perubahan yang besar pada hasil hitungan.
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perbaikan 24
q Pemilihan pivot (pivoting) q Urutan persamaan dipilih sedemikian hingga yang menjadi pivot equation
adalah persamaan yang memberikan pivot coefficient terbesar.
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Penyelesaian 25
q Matriks Inversi q Gauss-Jordan
q Metode Iteratif q Jacobi
q Gauss-Seidel
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Gauss-Jordan 26
q Mirip dengan metode eliminasi Gauss, tetapi tidak diperlukan back substitution.
q Contoh q 3 persamaan linear
4.71102.03.0
3.193.071.0
85.72.01.03
321
321
321
=+
=+
=
xxx
xxx
xxx
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Gauss-Jordan 27
4.71
3.19
85.7
101.03.0
3.071.0
2.01.03
4.71
3.19
385.7
101.03.0
3.071.0
32.031.033
4.71
3.19
6167.2
101.03.0
3.071.0
0667.00333.01
6150.70
5617.19
6167.2
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
0843.70
7931.2
5236.2
0120.1000
0419.010
0681.001
Metode Gauss-Jordan 28
6150.70
5617.19
6167.2
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
6150.70
0033.7/5617.19
6167.2
0200.101900.00
0033.7/2933.00033.7/0033.70033.7/0
0667.00333.01
6150.70
7931.2
6167.2
0200.101900.00
0419.010
0667.00333.01
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
7
7931.2
5236.2
100
0419.010
0681.001
0120.10/0843.70
7931.2
5236.2
0120.10/0120.100120.10/00120.10/0
0419.010
0681.001
Metode Gauss-Jordan 29
7
5.2
3
100
010
001
=
7
5.2
3
3
2
1
x
x
x
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Gauss-Jordan vs Eliminasi Gauss 30
q Metode Gauss-Jordan q Jumlah operasi lebih banyak (50%)
q Memiliki kelemahan yang sama dengan eliminasi Gauss n Pembagian dengan nol n Round-off error
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Matriks Inversi 31
[ ] { } { } { } [ ] { }CAXCXA == 1
100
010
001
333131
232221
131211
aaa
aaa
aaa
133
132
131
123
122
121
113
112
111
100
010
001
aaa
aaa
aaa
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Matriks Inversi 32
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
=+
=+
=
xxx
xxx
xxx
q Contoh: 3 persamaan linear
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Matriks Inversi 33
[ ]
=
100
010
001
102.03.0
3.071.0
2.01.03
A [ ]
=
100
010
003333.0
102.03.0
3.071.0
0667.00333.01
A
[ ]
=
100999.0
010333.0
003333.0
0200.101900.00
2933.00033.70
0667.00333.01
A
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Matriks Inversi 34
[ ]
=
100999.0
01422.00047.0
003333.0
0200.101900.00
0417.010
0667.00333.01
A
[ ]
=
10270.01009.0
01422.00047.0
00047.03318.0
0121.1000
0417.010
0681.001
A
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Matriks Inversi 35
[ ]
=
0999.00027.00101.0
01422.00047.0
00047.03318.0
100
0417.010
0681.001
A
[ ]
=
0999.00027.00101.0
0042.01423.00052.0
0068.00049.03325.0
100
010
001
A
[ ] 1A
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Matriks Inversi 36
{ } [ ] { }
=
=
=
0002.7
4881.2
0004.3
4.71
3.19
85.7
0999.00027.00101.0
0042.01423.00052.0
0068.00049.03325.0
3
2
1
3
2
1
1
x
x
x
x
x
x
CAX
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Iteratif: Jacobi 37
3333232131
2323222121
1313212111
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
=++
=++
=++
33
23213133
22
32312122
11
31321211
axaxac
x
axaxac
x
axaxac
x
=
=
=
33
0232
013131
3
22
0323
012121
2
11
0313
021211
1
axaxac
x
axaxac
x
axaxac
x
=
=
=
0
0
0
03
02
01
=
=
=
x
x
x
33
232131313
22
323121212
11
313212111
axaxac
x
axaxac
x
axaxac
x
nnn
nnn
nnn
=
=
=
+
+
+
nilai awal, biasanya xi0 = 0 iterasi diteruskan
sampai konvergen xin+1 xin, xi
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Iteratif: Jacobi 38
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
=+
=+
=
xxx
xxx
xxx
q Contoh: 3 persamaan linear
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Iteratif: Gauss-Seidel 39
33
1232
113131
3
22
0323
112121
2
11
0313
021211
1
axaxac
x
axaxac
x
axaxac
x
=
=
=
33
1232
113131
3
22
3231
121212
11
313212111
axaxac
x
axaxac
x
axaxac
x
nnn
nnn
nnn
+++
++
+
=
=
=
iterasi diteruskan sampai konvergen
xin+1 xin, xi
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Iteratif: Gauss-Seidel 40
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
=+
=+
=
xxx
xxx
xxx
q Contoh: 3 persamaan linear
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Jacobi vs Gauss-Seidel 41
( )( )( ) 3312321131313
220323
11212
12
110313
02121
11
axaxacx
axaxacx
axaxacx
=
=
=
( )( )( ) 3322322131323
221323
21212
22
111313
12121
21
axaxacx
axaxacx
axaxacx
=
=
=
( )( )( ) 3302320131313
220323
01212
12
110313
02121
11
axaxacx
axaxacx
axaxacx
=
=
=
( )( )( ) 3312321131323
221323
11212
22
111313
12121
21
axaxacx
axaxacx
axaxacx
=
=
=
Jacobi Gauss-Seidel
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Successive Over-relaxation Method 42
q Dalam setiap iterasi, nilai variabel terbaru (yang baru saja dihitung), xn+1, tidak langsung dipakai pada iterasi selanjutnya
q Pada iterasi selanjutnya, nilai tsb dimodifikasi dengan memasukkan pengaruh nilai variabel lama (pada iterasi sebelumnya), xn
q faktor relaksasi dimaksudkan untuk mempercepat konvergensi hitungan (iterasi)
q under-relaxation: 0 < < 1
q over-relaxation: 1 < < 2
( ) nininew xxx += + 111
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Successive Over-relaxation Method 43
( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]33
21
23211
131313
22
32311
121212
11
313212111
11
1
axxaxxac
x
axaxxac
x
axaxac
x
nnnnn
nnnn
nnn
++=
+=
=
+++
++
+
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Successive Over-relaxation Method 44
4.71102.03.0)3(
3.193.071.0)2(
85.72.01.03)1(
321
321
321
=+
=+
=
xxx
xxx
xxx
q Contoh: 3 persamaan linear
-
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 45
