M¸T S¨ KINH NGHIłM NÂNG CAO KĨ NĂNG D—Y TÍNH KHO…NG … · Hºi th£o khoa håc, Tuyên Quang 19-20/05/2018 M¸T S¨ KINH NGHIłM NÂNG CAO KĨ NĂNG D—Y TÍNH KHO…NG

Hội thảo khoa học, Tuyên Quang 19-20/05/2018

MỘT SỐ KINH NGHIỆM NÂNG CAO KĨ NĂNGDẠY TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN

Mai Thị Hiền

Trường Đại học Tân Trào

Tóm tắt nội dung

Bài báo trình bày những kinh nghiệm giúp cho học sinh có thêm một số kỹ năngcơ bản, phương pháp tính một số dạng toán khoảng cách trong hình học không gian.Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic khi làm bài tập tínhkhoảng cách, gây hứng thú cho các em khi học toán, từ đó nâng cao chất lượng học tậpmôn Toán tốt hơn và học sinh được rèn kĩ năng vẽ hình nhiều hơn, vận dụng vào giải cácbài toán hình học thành thạo hơn.

Từ khóa: hình học, khoảng cách, vuông góc, mặt phẳng, đường thẳng, học sinh.

1 Đặt vấn đềMôn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn

học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như:Lý, Hóa, Sinh, Văn. . . Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùngvới phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn họckhác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệthống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đứctính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỷ luật, tính phêphán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ.

Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Nhiều họcsinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Các em đó hầu như phát biểurằng: "Trong giờ lý thuyết em hiểu bài nhưng lại không biết áp dụng lý thuyết vào để tựlàm được bài tập". Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học không gian, người giáo viênđặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước cách tìm ra hướng giảicho từng loại bài toán và để các em tự làm được chứ không áp đặt kết quả hoặc cách làmcho học sinh.

2 Cơ sở lí luận

2.1 Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và một mặt phẳng:

265


Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng M) là khoảng cáchgiữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặctrên đường thẳng M).

2.2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng songsong, giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từmột điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặtphẳng này đến mặt phẳng kia.

266


2.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là độ dài đoạn vuônggóc chung của hai đường thẳng đó.

Nhận xét 1. + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa mộttrong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. Tứclà khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mặt phẳng(P) chứa b và song song với a.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặtphẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

3 Biện pháp thực hiện

- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt: quan hệ song song,quan hệ vuông góc trong không gian.

- Xây dựng các bước tính từng loại khoảng cách.- Hướng dẫn một số bài toán khoảng cách trong sách giáo khoa theo các bước trên.- Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học sinh

và phát triển mở rộng (nếu có) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy năng lực sángtạo.

- Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê phươngpháp mới cho học sinh.

3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngPhần này chỉ lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường

xem nó là chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuộc đường ∆). Nếu tam giác MABvuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? Có thể nhớ lại hệ thức lượng trong tam

giác vuông:1

MH2 =1

MA2 +1

MB2 . Nếu tam giác cân tại M? thì H là trung điểm của AB.

Nếu tam giác thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy ra độ dài MH.

267


Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Tính khoảngcách từ điểm A đến đường thẳng SC.

Với ví dụ này học sinh không khó khăn trong việc kê AH vuông góc với SC (H thuộcSC) và nêu hướng tính AH: SO.AC = AH. SC. Giáo viên thống nhất hướng tính và kếtquả .

3.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngSau khi đưa ra định nghĩa, giáo viên cho 1 ví dụ. Chắc chắn là nhiều học sinh sẽ lúng

túng không biết điểm H nằm trên đường nào. Giáo viên yêu cầu học sinh tìm chân đườngcao kê từ đỉnh của hình chóp đều xuống mặt phẳng đáy, tương tự cho hình chóp có cáccạnh bên bằng nhau. Từ đó giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ trường hợpnày.

Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại các tính chất của hai mặt phẳng vuônggóc. Giáo viên hỏi học sinh: Tính chất nào có thể sử dụng trong việc kê đường vuônggóc xuống mặt phẳng? Học sinh phát hiện ra tính chất sau: Nếu hai mặt phẳng (P) và(Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giaotuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). Vậy học sinh sẽ áp dụng: Hai mặtphẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt phẳng này kê đường thẳng avuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ "Các bước xác định khoảng cách từ một điểmM đến một mặt phẳng (P)" như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với mặt phẳng (P).+ Tìm giao tuyến a của hai mặt phẳng (P) và (Q).

268


+ Trong mặt phẳng (Q), kê đường thẳng MH vuông góc với đường thẳng a. Khi đód(M;(P)) = MH.

Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a, AD = b, AA’ = c. Tính khoảngcách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).

GV yêu cầu mỗi học sinh làm một bước (theo các bước đã hướng dẫn).

+ Tìm mặt phẳng qua B và vuông góc với (ACC’A’): đó là mặt phẳng (ABCD) vì mặtphẳng (ABCD) vuông góc với AA’ nên vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’).

+ Giao tuyến của (ABCD) và (ACC’A’): là AC.+ Trong mặt (ABCD), kê BH vuông góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH vuông góc

với (ACC’A’). Vậy d(B; (ACC’A’)) = BH.+ BH là đường cao của tam giác nào? BH là đường cao của tam giác vuông ABC nên:

1BH2 =

1BA2 +

1BC2 → BH =

ab√a2 + b2

.

3.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song songVí dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Tínhkhoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD).

Hầu như học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD) thành khoảngcách từ điểm A (hoặc điểm B) đến mặt phẳng (SCD). Sau đó tiến hành theo các bước tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A vàvuông góc với (SCD) là hơi phức tạp đối với một số học sinh, một số khác dựng đượcmặt phẳng này nhưng hình vẽ rất rối.

Giáo viên gợi ý cho học sinh: Đã có sẵn một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng(SCD), đó là mặt nào? Từ đó gợi ý tưởng cho các em đổi khoảng cách phải tìm thànhkhoảng cách từ điểm nào tới mặt phẳng (SCD)?

Qua ví dụ cụ thể trên học sinh có thể dần hình thành "Các bước làm để tính khoảngcách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a" như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P).+ Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành (Q’) chứa

a và song song với (Q)).+ Tìm giao tuyến ( ∆) của (P) và (Q).+ Trong (Q): kê MH ⊥ ∆ (H ∈ ∆) .Khi đó MH ⊥(P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) = MH.Nếu là theo các bước đó thì ta dễ dàng biết được khoảng cách trong ví dụ trên nên

đổi thành khoảng cách từ M (trung điểm của AB) đến (SCD) chứ không nên đổi thànhkhoảng cách từ A hay B đến (SCD).

269


3.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Các bước làm được tiến hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳngsong song. Chú ý rằng các bài toán xác định khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳngsong song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đều quy về việc tính khoảng cáchtừ một điểm đến một mặt phẳng.

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai mặtphẳng (ACB’) và (A’C’D).

+ Ta có hai mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D) song song với nhau. Do đó, khoảng khoảngcách giữa hai mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D) là khoảng cách từ điểm B′ đến mặt phẳng(A’C’D) .

+ Tìm mặt phẳng vuông góc với (A’C’D): đó là mặt phẳng (BDD’B’) (vì (BDD’B’) ⊥A’C’).

+ Giao tuyến của (A’C’D) và (BDD’B’): là OD.+ Trong (BDD’B’), kê B’H ⊥OD (H thuộc OD) thì khoảng cách phải tìm là B’H.+ B’H là đường cao của tam giác B’OD. Từ đó có hướng tính: B′H.OD = DD′.B′O.

3.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhauSau khi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (là độ dài đoạn

vuông góc chung).

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥(ABCD), SA=a. Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; SA và d (trong đó d làđường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) và không đi qua A.

Học sinh có thể dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB;đoạn vuông góc chung của SA và BD, đó là AO. Vậy muốn dựng được đoạn vuông gócchung của SA và d thì làm thế nào? Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tạiH. Khi đó đoạn AH là đoạn vuông góc chung của SA và d.

270


Một cách tổng quát, muốn dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường chéonhau và vuông góc với nhau thì làm thế nào?

* Nếu hai đường chéo nhau a và b mà vuông góc với nhau:

Yêu cầu học sinh nói cách dựng đường vuông góc chung của a và b vuông góc vớinhau và chéo nhau?

+ Tồn tại mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a.+ (P) cắt a tại M.+ Kê MN ⊥b (N thuộc b), MN chính là đường vuông góc chung của a và b.

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥(ABCD), SA= a. Tính khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC.

Hướng dẫn. Khoảng cách giữa SB và AD.- Hai đường này có vuông góc không? Tại sao?- Khi học sinh trả lời đúng câu hỏi trên thì có thể tiến hành tìm được đoạn vuông góc

chung của hai đường.+ AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ). Từ đó suy ra có mặt phẳng

chứa SB và vuông góc với AD, đó là (SAB).+ AD cắt (SAB) tại A.

271


+ Kê AM vuông góc với SB. Khi đó AM là đoạn vuông góc chung của AD và SB.+ Học sinh dễ dàng tính được AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB.- Cách tính khoảng cách giữa DB và SC.+ Có mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC).+ (SAC) cắt BD tại O, O là giao điểm của AC và BD.+ Kê OK vuông góc với SC. Khi đó OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD.+ OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK. SC = SA. OC* Nếu hai đường chéo nhau a và b mà không vuông góc với nhau:Việc xác định đường vuông góc chung không cần thiết cho bài toán tính khoảng cách

này. Ta đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng(P), trong đó (P) chứa b và (P) song song với a. Cụ thể giáo viên hướng dẫn học sinh cácbước như sau:

+ Cách 1:- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và (P) // a.- Chọn M trên a, dựng MH⊥(P) tại H.- Từ H, dựng a′// a và cắt b tại B.- Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại A.Khi đó d(a, b) = AB.+ Cách 2:- Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O.- Dựng hình chiếu b′ của b trên (P).- Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b′.- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.Khi đó d(a, b) = AB.

Ví dụ 7. Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc 600. Tínhkhoảng cách giữa AA’ và BC’.

Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy. AB’ có hình chiếu trên đáy làAB nên góc giữa AB’ và mặt phẳng (ABC) là B’AB = 600.

272


Khoảng cách giữa AA’ và BC’ bằng khoảng cách giữa AA’ và mặt phẳng (BCC’B’).Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AHvuông góc với BC thì AH vuông góc với (BCC’).

Khoảng cách phải tìm là AH bằnga√3

.

√3

2=

a2

.

Ví dụ 8 (Áp dụng cho các lớp khá và giỏi: Hình chóp S.ABC có SA vuôg góc với (ABC)).Tam giác ABC vuông tại B. SA =AB =BC =a. Tính khoảng cách giữa các cạnh đối diệncủa tứ diện.

+ Khoảng cách giữa SA và BC: Học sinh có thể phát hiện ra hai đường vuông góc nêndựng được ngay đường vuông góc chung, đó là đường kẻ từ A vuông góc với BC. Dựa

vào tính chất của tam giác vuông có thể tính được ngay khoảng cách này làa√

22

.

+ Khoảng cách giữa AB và SC: Hai đường này không vuông góc. Vậy cần dựng đượcmặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia. Ta nên dựng đường song songvới AB hay SC? Từ C kẻ đườg thẳng (d) song song với AB. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d)và SC. Khoảng cách phải tìm đổi thành khoảng cách giữa AB và (P). Yêu cầu học sinhthực hiện các bước của bài toán này.

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AD vuông góc với (d). Khi đó (SAD) vuông góc với (d)nên (SAD) vuông góc với (P) theo giao tuyến SD. Kẻ AH vuông góc với SD, khi đó AH

vuông góc với (P) và khoảng cách phải tìm là AH bằnga√

22

.

+ Tương tự học sinh dựng và tính được khoảng cách thứ 3:

273


3.6. Mở rộng bài toán khoảng cách

- Trong bài toán khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song tađã biết đổi khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) thành khoảng cách từ B đến mặt phẳng(P) khi AB song song với (P) và dễ dựng, dễ tính khoảng cách từ B đến (P) hơn nhiều tínhkhoảng cách từ A đến (P).

- Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan giữahai khoảng cách này không? Yêu cầu học sinh so sánh trong các trường hợp đặc biệt sau:

Trường hợp thứ nhất M là trung điểm của AB. Học sinh có thể suy ra được hai khoảngcách bằng nhau (hai tam giác AHM và BKM bằng nhau).

Trường hợp thứ hai AB cắt (P) tại M và AB= 2MB. Dựa vào định lí Ta lét, ta có thể suyra khoảng cách từ A đến (P) bằng 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Vậy từ đây ta có thểtính được khoảng cách từ A đến (P) nếu biết khoảng cách từ B đến (P).

Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC). Tam giác ABC đều cạnh a.SA =2a. Tính khoảng cách từ A và trọng tâm I của tam giác SAB đến mặt phẳng ( SBC).

- Bài toán khoảng cách từ A đến (SBC), học sinh hoàn toàn có thể tính được. Kết quả

là độ dài của đoạn AH bằng2a.

a√

32√

4a2 +3a2

4

=2a√

3√19

.

274


Để dựng được khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC) thì trông hình vẽ rất rối. Kiểmtra thử xem nó có liên quan gì đến khoảng cách từ A đến (SBC) hay không? AI cắt (SBC)tại N là trung điểm của SB. Giả sử IE vuông góc với mặt phẳng (SBC). Theo định lí Ta létta suy ra: IE/AH = NI/NA = 1/3.

Vậy khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SBC ) là2a√

33√

19.

4 Kết luậnBài toán khoảng cách trong không gian là một bài toán khó, nó đòi hỏi sự vận dụng

kiến thức tổng hợp và người làm toán phải có trình độ tư duy khá trở lên. Vì vậy sáchgiáo khoa kể cả sách cơ bản và nâng cao viết về khoảng rất đơn giản với mục đích giảmtải. Điều đó lại càng khó cho những học sinh và kể cả giáo viên muốn tìm hiểu sâu vềdạng toán này. Dạy học nói chung và dạy học hình học không gian nói riêng cho học sinhkhông được dạy theo kiểu nhồi nhét kiến thức mà người giáo viên chỉ là người hướngdẫn chỉ đường cho học sinh, để các em tư duy phát hiện ra kết quả.

Với việc cùng xây dựng các bước xác định khoảng cách với học sinh, giúp học sinhcó hướng làm loại toán này và học sinh không có cảm giác đáp án như “từ trên trời rơixuống”. Đó là một điểm rất quan trọng đối với học sinh khi làm toán.

Tài liệu[1] Nguyễn Văn Nho - Lê Bảy (2015), Phương pháp giải toán chuyên đề hình học không

gian, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

[2] Ths. Nguyễn Văn Nho (2014), Phương pháp giải toán hình học không gian, Nhàxuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

[3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Như Cương (Chủ biên) - Phạm Khắc Ban - TạMân (2007), Hình học nâng cao 11, Nhà xuất bản Giáo dục.

[4] Nguyễn Ngọc Thụ (2016), Phương pháp giải toán trong hình học không gian, Nhàxuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

[5] Nguyễn Anh Trường - Nguyễn Tấn Siêng - Nguyễn Văn Bình (2012), Chuyên đề bồidưỡng học sinh giỏi hình học không gian, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

275

M¸T S¨ KINH NGHIłM NÂNG CAO KĨ NĂNG D—Y TÍNH KHO…NG … · Hºi th£o khoa håc, Tuyên Quang 19-20/05/2018 M¸T S¨ KINH NGHIłM NÂNG CAO KĨ NĂNG D—Y TÍNH KHO…NG

Documents