Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl f¨ ur Numerische Mathematik Lineare Mehrschrittverfahren (MSV) Idee: Verwende zur Bestimmung von y i+1 nicht nur den zuletzt zur¨ uckliegenden Werte y i und f i , sondern zus¨ atzlich noch weiter zur¨ uckliegende Werte. y i+1 = s k=0 a k y i−k + s k=−1 b k f i−k Es existieren zwei große Klassen: • Adams–Varianten basieren auf Quadraturformeln und Integration • BDF–Varianten basieren auf Interpolation und Differenziation Im Gegensatz zu konsistenten Einschrittverfahren • sind MSV nicht automatisch stabil. • steigt bei MSV der Aufwand mit der Ordnung nicht an. Mehrschrittverfahren (msv01) 1 Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl f¨ ur Numerische Mathematik Konsistenz + Stabilit¨ at = Konvergenz y ′ = y, y 0 =1,y 1 =e h konsistent und stabil y i+1 = y i−1 +2hf i−1 y i t i h =0.2 h =0.1 exakt 0 1 1 1 0.2 1.2214 1.2214 1.2214 0.4 1.4886 1.4909 1.4918 0.6 1.8168 1.8204 1.8281 0.8 2.2153 2.2227 2.2255 1.0 2.7029 2.7139 2.7183 konsistent, NICHT stabil y i+1 = -3y i−1 +4y i - 2hf i−1 y i t i h =0.2 h =0.1 exakt 0 1 1 1 0.2 1.2214 1.3416 1.2214 0.4 1.4856 3.0862 1.4918 0.6 1.7896 15.8534 1.8281 0.8 2.1075 – 2.2255 1.0 2.3454 – 2.7183 Mehrschrittverfahren (msv02) 2