MR 0720 - Simulação Aula 3 Modelagem utilizando a transformada de Laplace
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MR 0720 - Simulação
Aula 3Modelagem utilizando a transformada de Laplace
Método Analítico de ModelagemHá três estágios para gerar analiticamente um modelo matemático e simulá-lo:
1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico, cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real. Neste estágio, as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída são escolhidas. Exemplo: assumir em um circuito elétrico que seus componentes sejam puramente resistivos, indutivos ou capacitivos, desprezando, por exemplo, a pequena indutância existente nos resistores.
2. Derivar um modelo matemático p/ representar o modelo físico, isto é, escrever as equações de movimento do modelo físico. Para tanto, as leis físicas apropriadas são aplicadas p/ gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e saída. Neste curso a palavra “movimento” seráusada em um contexto geral p/ denotar a variação de qualquer variável física.
3. Tendo-se disponível o modelo, pode-se estudar seu comportamento dinâmico, através da solução das equações diferenciais.
Método Analítico de ModelagemAssumir relações lineares de causa e efeito entre variáveis físicas.Uma equação diferencial ordinária linear tem a seguinte forma:
( )tfyBdtdyB
dtydB
dtydB
dtydB
xAdtdxA
dtxdA
dtxdA
dtxdA
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
=++++++
++++++
−
−
−
−
−
−
LL
L
012
2
21
1
1
012
2
21
1
1
As variáveis x,y etc. são função exclusiva da variável independente (t). Os coeficientes A, B etc. podem variar com t mas não com x, y etc. O termo f(t) pode variar com t de qualquer maneira, mas nãopode envolver x, y etc. Nenhum produto de variáveis dependentes ou de suas derivadas pode estar presente, tais como x*y, x2, x*(dx/dt) etc. Exemplo de uma equação diferencial ordinária linear:
( ) 32
2
54143 txtsendtdx
dtxd
=++
Método Analítico de ModelagemSe os coeficientes A, B etc. são constantes, a equação é dita invariante no tempo ou de coeficientes constantes.Freqüentemente, a descrição de um sistema não-linear pode ser aproximada por equações lineares. As vantagens são:
A análise de um sistema linear pode normalmente ser efetuada por métodos analíticos, sem a necessidade de métodos numéricos;Quando uma equação linear é resolvida, a solução é geral, valendo p/ todas as magnitudes do movimento.
Função de TransferênciaA função de transferência relaciona algebricamente a saída de um sistema à sua entrada. Esta função permite a separação da entrada, do sistema, e da saída em três partes separadas e distintas, o que não ocorre com a equação diferencial. A função de transferência permitirá também combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para obter uma representação total do sistema.
Função de TransferênciaDado uma equação diferencial de ordem n, linear, invariante no tempo e condições iniciais nulas, considerando r(t) sinal de entrada (ou de referência), c(t) sinal de saída (ou variável controlada) e A e B seus coeficientes,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 01
1
1 1 01
n n
n nn n
m m
m mm m
d c t d c t dc tA A A A c t
dt dt dtd r t d r t dr t
B B B B r tdt dt dt
−
− −
−
− −
+ + + + =
+ + + +
L
L
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados da equação,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
11 1 0
11 1 0
n nn n
m mm m
A s C s A s C s A sC s A C s
B s R s B s R s B sR s B R s
−−
−−
+ + + + =
+ + + +
L
L
Função de TransferênciaFormamos agora a relação entre a transformada de Laplace da saída pela da entrada,
( ) ( )( )
11 1 0
11 1 0
m mm m
n nn n
C s B s B s B s BG sR s A s A s A s A
−−
−−
+ + + += =
+ + + +L
L
Chamamos G(s) de função de transferência do sistema (para condições iniciais nulas)
ExemploObter a função de transferência representada por,
( )( ) ( )tt
t rcdtdc
=+ 2
( ) ( ) ( )sss RCsC =+ 2Solução:
( )( )
( ) ( )21+
==sR
CG
s
ss
FT para sistemas elétricos
Indutor
Ω
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-cargaImpedânciaZ(s) = V(s)/I(s)
AdmitânciaY(s) = I(s)/V(s)
FT sistemas mecânicos em translaçãoComponente
Força-velocidade
Força-deslocamento
ImpedânciaZm(s)=F(s)/X(s)
Mola
Amortecedor viscoso
Massa
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).
ComponenteForça-velocidade
Força-deslocamento
ImpedânciaZm(s)=F(s)/X(s)
Mola
Amortecedor viscoso
Massa
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).
FT sistemas mecânicos em rotação
Mola
Amortecedor viscoso
ComponenteTorque -velocidadeangular
Torque -deslocamentoangular
Impedância
Zm(s) = T(s) / θ(s)
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo), K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2
(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).
Inércia
Mola
Amortecedor viscoso
ComponenteTorque -velocidadeangular
Torque -deslocamentoangular
Impedância
Zm(s) = T(s) / θ(s)
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo), K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2
(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).
Inércia
Modelagem circuito elétricoExercício 1 - Dado o circuito abaixo, determine a equação diferencial que representa o sistema e sua função de transferência, considerar a entrada como v(t) e a saída VC(t).
( )( ) ( ) ( )
0
1 tt
t t t
diL Ri i dt vdt C
+ + =∫Mudando a variável de corrente p/ carga temos:
( ) ( )( ) ( )tt
tt vqCdt
dqR
dtqd
L =++1
2
2
A partir da relação tensão-carga em um capacitor tirado da tabela, temos:
( ) ( )( ) ( )tvv
dtdv
RCdtvd
LC tCtCtC =++2
2
Aplicando a transformada de Laplace,
( ) ( ) ( )ssC VVRCsLCs =++ 12
( )( )
( )2
1
1C s
ss
V LCG RV s sL LC= =
+ +
( ) ( )tCt Cvq =
Modelagem circuito elétricoExercício 1 - Podemos simplificar a determinação da função de transferência se calcularmos primeiramente a transformada dos elementos do circuito elétrico. Em seguida aplicamos a Lei de Kirchhoff
( ) ( )ss ICs
RLsV
++=
1
( )( )
Cs
VI sCs 1=
( )( )
( )2
1
1C s
ss
V LCG RV s sL LC= =
+ +
Modelagem sistema mecânico translaçãoExercício 2 - Obter a função de transferência, X(s)/F(s), p/ o sistema,
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton
( ) ( )( ) ( )tt
tv
t fKxdtdx
fdtxd
M =++2
2
( ) ( ) ( ) ( )sssvs FKXsXfXMs =++2
( ) ( ) ( )ssv FXKsfMs =++2
( )( )
( ) ( )KsfMsFX
Gvs
ss ++
== 2
1
Modelagem sistema mecânico translação
Exercício 3 - Obter a função de transferência, X2(s)/F(s), p/ o sistema,
Modelagem sistema mecânico translação
a. Forças atuando sobre M1 devidas somente ao movimento de M1;
b. forças atuando sobre M1 devidas somente ao movimento de M2;
c. todas as forças atuando sobre M1
Exercício 3
Modelagem sistema mecânico translação
a. Forças atuando sobre M2 devidas somente ao movimento de M2;
b. forças atuando sobre M2 devidas somente ao movimento de M1;
c. todas as forças atuando sobre M2
Exercício 3
Modelagem sistema mecânico translaçãoExercício 3 Escrevendo as equações de movimento transformadas por Laplace,
temos:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 02322
212
221212
1
323
321
=++++++−
=+−++++
s
a
vvsv
svs
b
vv
XkksffsMXksf
sFXksfXkksffsM
( ) ( )
( )
( )( )22
22
3
3
ksfabksf
FX
sGv
v
s
s
+−
+==
Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4 - Obter a função de transferência, θ2(s)/T(s), p/ o sistema,
Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4
a. Torques sobreJ1 devidossomente ao movimento de J1;
b. torques sobreJ1 devidossomente ao movimento de J2;
c. diagrama finalde corpo livrepara J1
Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4
a. Torques sobreJ2 devidossomente ao movimento de J2;
b. torques sobreJ2 devidossomente ao movimento de J1;
c. diagrama finalde corpo livrepara J2
Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0222
21
2112
1
=+++−
=−++
s
b
s
sss
a
ksDsJk
TkksDsJ
θθ
θθ
( )( ) ( )
( ) ( )ssss
s Tkk
abtemosdosubstituin
kb
=−→= 222
1 θθθ
θ
( )
( )2
2
kabk
T ss
−=
θ
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