Movimiento rectilneo uniformeElmovimiento rectilneo uniforme
(MRU)fue definido, por primera vez, porGalileoen los siguientes
trminos: "Por movimiento igual o uniforme entiendo aqul en el que
los espacios recorridos por un mvil en tiempos iguales, tmense como
se tomen, resultan iguales entre s", o, dicho de otro modo, es un
movimiento de velocidadvconstante.El MRU se caracteriza por:a)
Movimiento que se realiza en una sola direccin en el eje
horizontal.b) Velocidad constante; implica magnitud, sentido y
direccin inalterables.c) Lamagnitud de la velocidadrecibe el nombre
derapidez. Este movimiento no presenta aceleracin(aceleracin =
0).
Rapidez fantstica.
Concepto de rapidez y de velocidadMuy fciles de confundir, son
usados a menudo como equivalentes para referirse a uno u otro.Pero
larapidez (r)representa un valor numrico, una magnitud; por
ejemplo, 30 km/h.En cambio lavelocidadrepresenta unvectorque
incluye un valor numrico (30 Km/h) y que adems posee unsentidoy
unadireccin.Cuando hablemos de rapidez habr dos elementos muy
importantes que considerar: ladistancia (d)y eltiempo (t),
ntimamente relacionados.As:Si dos mviles demoran el mismo tiempo en
recorrer distancias distintas, tiene mayor rapidez aquel que
recorre la mayor de ellas.Si dos mviles recorren la misma distancia
en tiempos distintos, tiene mayor rapidez aquel que lo hace en
menor tiempo.Significado fsico de la rapidez
La rapidez se calcula o se expresa en relacin a la distancia
recorrida en cierta unidad de tiempo y su frmula general es la
siguiente:
Dondev = rapidez d = distancia o desplazamiento t = tiempo
Usamosvpara representar la rapidez, la cual es igual al cociente
entre la distancia(d)recorrida y el tiempo(t)empleado para
hacerlo.Como corolario, ladistanciaestar dada por la frmula:
Segn esta, la distancia recorrida por un mvil se obtiene de
multiplicar su rapidez por el tiempo empleado.A su vez, si se
quiere calcular eltiempoempleado en recorrer cierta distancia
usamos
El tiempo est dado por el cociente entre la distancia recorrida
y la rapidez con que se hace.Ver: PSU: Fsica;Pregunta
04_2005(2)
En este ejemplo, el mvil recorre 8 metros cada 2 segundos y se
mantiene constante.
Problemas o ejercicios sobre el movimiento rectilneo
uniforme:Ejercicio 1Un automvil se desplaza con una rapidez de 30 m
por segundo, con movimiento rectilneo uniforme. Calcule la
distancia que recorrer en 12 segundos.Analicemos los datos que nos
dan:
Apliquemos la frmula conocida: y reemplacemos con los datos
conocidos:
Qu hicimos? Para calcular la distancia (d), valor desconocido,
multiplicamos la rapidez (v) por el tiempo (t), simplificamos la
unidad segundos y nos queda el resultado final en metros recorridos
en 12 segundos: 360 metrosEjercicio 2
El automvil de la figura se desplaza con movimiento rectilneo
uniforme cunto demorar en recorrer 258 kilmetros si se mueve con
una rapidez de 86 kilmetros por hora?Analicemos los datos que nos
dan:
Apliquemos la frmula conocida para calcular el tiempo:y
reemplacemos con los datos que tenemos:
Qu hicimos? Para calcular el tiempo (t), valor desconocido,
dividimos la distancia (d) por la rapidez (v), simplificamos la
unidad kilmetros y nos queda el resultado final en horas: 3 horas
para recorrer 258 km con una rapidez de 86 km a la hora.Ejercicio
3Con qu rapidez se desplaza un mvil que recorre 774 metros en 59
segundos?Analicemos los datos conocidos:
Aplicamos la frmula conocida para calcular la rapidez:
Qu hicimos? Para calcular la rapidez (v), valor desconocido,
dividimos la distancia (d) por el tiempo (t), y nos queda el
resultado final: la rapidez del mvil para recorrer 774 metros en 59
segundos: 13,11 metros por segundo.Ejercicio 4
Los dos automviles de la figura parten desde un mismo punto, con
movimiento rectilneo uniforme. El amarillo (mvil A) se desplaza
hacia el norte a 90 km por hora, y el rojo (mvil B), hacia el sur a
80 km por hora. Calcular la distancia que los separa al cabo de 2
horas.Veamos los datos que tenemos:Para el mvil A:
Para el mvil B:
Calculamos la distancia que recorre el mvil A:
Calculamos la distancia que recorre el mvil B:
Sumamos ambas distancias y nos da 340 km como la distancia que
separa a ambos automviles luego de 2 horas de marcha.Ejercicio
5
El corredor de la figura trota de un extremo a otro de la pista
en lnea recta 300 m en 2,5 min., luego se devuelve y trota 100 m
hacia el punto de partida en otro minuto.Preguntas: Cul es la
rapidez promedio del atleta al recorrer ambas distancias? Cul es la
rapidez media del atleta al recorrer los 400 metros?Veamos los
datos que tenemos:Para el primer tramo:
Calculamos su rapidez:
Para el segundo tramo:Calculamos su rapidez:
Rapidez promedio:
La rapidez promedio del atleta fue de 110 metros por
minuto.Veamos ahora cul fue la velocidad media (vm)para recorrer
los 400 metros:
La rapidez media del atleta fue de 114,29 metros por minuto.Ver
en seguida:Movimiento rectilneo uniformemente aceleradoVer:Grficas
del movimiento rectilneoVer en
Youtube:http://www.youtube.com/watch?v=ywQRN29OL38http://www.youtube.com/watch?v=D72eUnsUF8Y&feature=relatedEs
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Movimiento rectilneo uniformemente acelerado
Un mvil puede ser acelerado.
Ya vimos que el movimiento rectilneo puede expresarse o
presentarse comoMovimientorectilneo uniforme,o
comoMovimientorectilneo uniformemente acelerado.Este ltimo puede, a
su vez, presentarse como decada libreo desubida o tiro
vertical.Elmovimiento rectilneo uniformemente aceleradoes un tipo
de movimiento frecuente en la naturaleza. Una bola que rueda por un
plano inclinado o una piedra que cae en el vaco desde lo alto de un
edificio son cuerpos que se mueven ganando velocidad con el tiempo
de un modo aproximadamente uniforme; es decir, con una aceleracin
constante.Este es el significado delmovimiento uniformemente
acelerado, el cual en tiempos iguales, adquiere iguales incrementos
de rapidez.En este tipo de movimiento sobre la partcula u objeto
acta una fuerza que puede ser externa o interna.En este movimiento
lavelocidad es variable, nunca permanece constante; lo que si es
constante es la aceleracin.Entenderemos comoaceleracinlavariacin de
la velocidad con respecto al tiempo. Pudiendo ser este cambio en la
magnitud(rapidez), en la direccin o en ambos.Las variables que
entran en juego (con sus respectivas unidades de medida) al
estudiar este tipo de movimiento son:Velocidad inicial Vo
(m/s)Velocidad finalVf (m/s)Aceleracin a (m/s2)Tiempo t
(s)Distancia d (m)Para efectuar clculos que permitan resolver
problemas usaremos las siguientes frmulas:
Consejos o datos para resolver problemas:La primera condicin ser
obtener losvalores numricos de tres de las cinco variables. Definir
la ecuacin que refleje esas tres variables. Despejar y resolver
numricamente la variable desconocida.Tener cuidado con que en
algunas ocasiones un dato puede venir disfrazado; por ejemplo:"un
mvil que parte del reposo.....", significa que su velocidad inicial
esVo = 0; "en una prueba de frenado...", significa que su velocidad
final esVf = 0.Veamos un problema como ejemplo
En direccin hacia el sur, un tren viaja inicialmente a 16m/s; si
recibe una aceleracin constante de 2 m/s2. Qu tan lejos llegar al
cabo de 20 s.? Cul ser su velocidad final en el mismo tiempo?Veamos
los datos que tenemos:
Conocemos tres de las cinco variables, entonces, apliquemos las
frmulas:Averigemos primero la distancia que recorrer durante los 20
segundos:
Conozcamos ahora la velocidad final del tren, transcurridos los
20 segundos:
Respuestas:Si nuestro tren, que viaja a 16 m/s, es acelerado a 2
m/s recorrer 720 metros durante 20 segundos y alcanzar una
velocidad de 56 m/s.Movimiento rectilneo uniformemente retardadoEn
losmovimientos uniformemente decelerados o retardadosla velocidad
disminuye con el tiempo a ritmo constante. Estn, pues, dotados de
una aceleracin que aunque negativa es constante. De ah que todas
las frmulas usadas para los movimientos uniformemente acelerados
sirvan para describir los movimientos uniformemente retardados,
considerando slo que su signo es negativo.Por lo tanto, para
efectuar clculos que permitan resolver problemas que involucren
aceleracin negativa o deceleracin, usaremos las siguientes
frmulas:
Ir aMovimiento de cada libreVer:Grficas del movimiento rectilneo
uniformemente aceleradoVer:Grficas del movimiento rectilneoFuentes
Internet:http://shibiz.tripod.com/id9.htmlhttp://shibiz.tripod.com/id11.htmlhttp://www.lapaginadejc.com.ar/Naturales/Inicio.htmhttp://www.lapaginadejc.com.ar/Naturales/Fisica/Cinematica.htmhttp://www.lapaginadejc.com.ar/Naturales/Fisica/Cinematica2.htmhttp://www.lapaginadejc.com.ar/Naturales/Fisica/Cinematica3.htmhttp://www.natureduca.com/fis_estumov_movicirc05.php,
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Movimiento rectilneo uniformemente acelerado
Evolucin respecto del tiempo de laposicin, de lavelocidady de
laaceleracinde un cuerpo sometido a un movimiento rectilneo
uniformemente acelerado,en un sistema decoordenadas cartesianas,
segn lamecnica clsica.Elmovimiento rectilneo uniformemente
acelerado(MRUA), tambin conocido comomovimiento rectilneo
uniformemente variado(MRUV), es aquel en el que unmvilse desplaza
sobre una trayectoriarectaestando sometido a
unaaceleracinconstante.Un ejemplo de este tipo de movimiento es el
decada librevertical, en el cual la aceleracin interviniente, y
considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.Tambin
puede definirse como el movimiento que realiza una partcula que
partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.El
movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso
particular delmovimiento uniformemente
acelerado(MUA).ndice[ocultar] 1Movimiento rectilneo uniformemente
acelerado en mecnica newtoniana 1.1Deduccin de la velocidad en
funcin del tiempo 1.2Deducin de la posicin en funcin del tiempo
1.3Ecuacin no temporal del movimiento 2Movimiento acelerado en
mecnica relativista 2.1Observadores de Rindler 2.2Horizonte de
Rindler 3Movimiento acelerado en mecnica cuntica 3.1Movimiento bajo
fuerza constante en mecnica cuntica 3.2Efecto Unruh 4Vase tambin
5Referencias 5.1BibliografaMovimiento rectilneo uniformemente
acelerado en mecnica newtoniana[editar]En mecnica clsica el
movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres
caractersticas fundamentales:1. Laaceleraciny lafuerza
resultantesobre la partcula son constantes.2. Lavelocidadvara
linealmente respecto del tiempo.3. Laposicinvara segn una relacin
cuadrtica respecto del tiempo.La figura muestra las relaciones,
respecto del tiempo, del desplazamiento (parbola), velocidad (recta
con pendiente) y aceleracin (constante, recta horizontal) en el
caso concreto de la cada libre (con velocidad inicial nula).El
MRUA, como su propio nombre indica, tiene unaaceleracinconstante,
cuyas relacionesdinmicasycinemticas, respectivamente, son:(1)
En el movimiento rectilneo acelerado, la aceleracin instantnea
es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva
que representa grficamente la funcinv(t).Lavelocidadv para un
instante t dado es:(2a)siendola velocidad inicial.Finalmente
laposicinxen funcin del tiempo se expresa por:(3)dondees la posicin
inicial.Adems de las relaciones bsicas anteriores, existe
unaecuacinque relaciona entre s el desplazamiento y la rapidez del
mvil. sta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el
resultado en (3):(2b)[mostrar]Derivacin de las ecuaciones de
movimiento
Movimiento acelerado en mecnica relativista[editar]
Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleracin (azul),
velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).Enmecnica relativistano
existe un equivalente exacto del movimiento rectilneo uniformemente
acelerado, ya que la aceleracin depende de la velocidad y mantener
una aceleracin constante requerira una fuerza progresivamente
creciente. Lo ms cercano que se tiene es el movimiento de una
partcula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las
caractersticas delMUAde la mecnica clsica.Laecuacin de
movimientorelativista para el movimiento bajo una fuerza constante
partiendo del reposo es:(4)Dondewes una constante que, para valores
pequeos de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es
aproximadamente igual a la aceleracin (para velocidades cercanas a
la de la luz la aceleracin es mucho ms pequea que el cociente entre
la fuerza y la masa). De hecho la aceleracin bajo una fuerza
constante viene dada en el caso relativista por:
La integral de (4) es sencilla y viene dada por:(5)E integrando
esta ltima ecuacin, suponiendo que inicialmente la partcula ocupaba
la posicinx= 0, se llega a:(6)En este caso eltiempo propiode la
partcula acelerada se puede calcular en funcin del tiempo
coordenadotmediante la expresin:(7)Todas estas expresiones pueden
generalizarse fcilmente al caso de un movimiento uniformemente
acelerado, cuya trayectoria es ms complicada que la parbola, tal
como sucede en el caso clsico cuando el movimiento se da sobre un
plano.Observadores de Rindler[editar]El tratamiento de
losobservadoresuniformemente acelerados en elespacio-tiempo de
Minkowskise realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas
de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda
representado por un sistema de referencia asociado a unas
coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas
lamtricade dichoespacio-tiempo:
Considrese ahora la regin conocida como "cua de Rindler", dada
por el conjunto de puntos que verifican:
Y defnase sobre ella uncambio de coordenadasdado por las
transformaciones siguientes:
Donde:, es un parmetro relacionado con la aceleracin del
observador.1, son las coordenadas temporal y espaciales medidas por
dicho observador.Usando estas coordenadas, la cua de Rindler del
espacio de Minkowski tiene una mtrica, expresada en las nuevas
coordenadas, dada por la expresin:
Puede que estas coordenadas representen a un observador
acelerado segn el eje X, cuyacuadriaceleracinobtenida comoderivada
covariantede lacuadrivelocidadest relacionada con el valor de la
coordenadax:
Horizonte de Rindler[editar]Es interesante notar que un
observador uniformemente acelerado tienehorizonte de eventos, es
decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera
de la cua de Rindler):
tal que la luz del otro lado jams alcanzara al observador
acelerado. Estehorizonte de sucesoses del mismo tipo que el
horizonte de sucesos que ve un obsevador situado fuera de unagujero
negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos
no pueden ser vistos por estos observadores.El ejemplo de las
coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de
eventos no est asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos
observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografa
delespacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un
observador inercial no ve ningn horizonte de eventos pero s lo ve
un observador acelerado.Movimiento acelerado en mecnica
cuntica[editar]Movimiento bajo fuerza constante en mecnica
cuntica[editar]En mecnica cuntica no se puede hablar de
trayectorias ya que la posicin de la partcula no puede determinarse
con precisin arbitraria, por lo que slo existen anlogos cunticos
imperfectos del movimiento rectilneo clsico. El equivalente cuntico
ms simple de movimiento uniformemente acelerado es el de una
partcula cuntica (no relativista y sin espn) en un campo de fuerzas
conservativo en el que la energa potencial es una funcin lineal de
la coordenada.
La solucin general de esta ecuacin puede escribirse como
transformada de Fourier del conjunto de soluciones de la ecuacin
estacionaria:
Dondela amplitud es una funcin de la energa que debe escogerse
para satisfacer las condiciones iniciales y la funcinen el
integrando debe ser solucin de la ecuacin de Schrdinger
estacionaria:
Donde:es laconstante de Planckracionalizada.es la masa de la
partcula.es la fuerza que se ejerce sobre la partcula.es la energa
de un estado estacionario delhamiltoniano cuntico.Haciendo el
cambio de variable:
Entonces la ecuacin (*) equivale a la ecuacin:
Que es la ecuacin de Airy, por lo que la solucin general de la
ecuacin de Schrdinger queda en trminos de funciones Airy:
Por consideraciones fsicasB= 0, ya que en caso contrario la
anterior funcin no sera acotada.
Ntese que la ecuacin anterior tiene solucin para cualquier valor
deEy por tanto los estados energticos posibles de una partcula
tienen un espectro continuo (a diferencia de lo que pasa para otros
sistemas cunticos con niveles de energa discretos).Efecto
Unruh[editar]Artculo principal:Efecto UnruhEn1975,Stephen
Hawkingconjetur que cerca del horizonte de eventos de unagujero
negrodeba aparecer una produccin de partculas cuyoespectrode
energas correspondera con la de uncuerpo negrocuya temperatura
fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un
anlisis de observadores acelerados,Paul Daviesprob que el mismo
argumento de Hawking era aplicable a estos observadores
(observadores de Rindler).2En1976,Bill Unruhbasndose en los
trabajos de Hawking y Davies, predijo que unobservadoruniformemente
acelerado observararadiacin de tipo Hawkingdonde un
observadorinercialno observara nada. En otras palabras elefecto
Unruhafirma que el vaco es percibido como ms caliente por un
observador acelerado.3Latemperaturaefectiva observada es
proporcional a la aceleracin y viene dada por:
Donde:,constante de Boltzmann.,constante de
Planckracionalizada., velocidad de la luz.,temperatura absolutadel
vaco, medida por el observador acelerado., aceleracin del
observador uniformemente acelerado.De hecho el estado cuntico que
percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio trmico
diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de
la aceleracin una propiedad absoluta: un observador acelerado
movindose en el espacio abierto puede medir su aceleracin midiendo
la temperatura del fondo trmico que le rodea. Esto es similar al
caso relativista clsico, en donde un observador acelerado que
observa una carga elctrica en reposo respecto a l puede medir
laradiacinemitida por esta carga y calcular su propia aceleracin
absoluta.Vase tambin[editar] Movimiento uniformemente acelerado
Cinemtica Movimiento rectilneo Movimiento rectilneo uniforme Cada
libre Movimiento circularReferencias[editar]1. Volver arribaWhat a
Rindler Observer Sees in a Minkowski Vacuum2. Volver arribaScalar
production in Schwarzschild and Rindler metrics3. Volver
arribaDeteccin experimental de la radiacin UnruhBibliografa[editar]
Gonzlez, Jos T. (1991).Lecciones de Fsica (4 volmenes).
Monytex.ISBN 84-404-4290-4,ISBN 84-398-9218-7,ISBN
84-398-9219-5,ISBN 84-604-4445-7. Resnick, Robert & Halliday,
David (2004).Fsica 4. CECSA, Mxico.ISBN970-24-0257-3. Gonzlez,
Ignacio A. (1995).Fsica para la ciencia y la tecnologa (2
volmenes). Barcelona: Ed. Revert.ISBN 84-291-4382-3.
Ecuaciones Movimiento Rectilneo Uniforme (M.R.U.)Ir
aEjerciciosElmovimiento rectilneo uniforme (m.r.u.)es aquel en el
que la trayectoria es una linea recta y la velocidad es
constante.En este apartado vamos a explicar: El concepto de m.r.u.
Las ecuaciones de este movimientoAdicionalmente puede que ests
interesado en: Lasgrficas del movimiento rectilneo uniforme
Elconvenio de signos en movimientos rectilneosDefinicin de m.r.u.A
pesar de que encontrar elmovimiento rectilneo uniformeom.r.uen la
naturaleza es bastante extrao, es el movimiento ms fcil de estudiar
y nos servir para estudiar otros ms complejos. Elmovimiento
rectilneo uniformecumple las siguientes propiedades: Laaceleracin
es cero(a=0) al no cambiar la velocidad de direccin ni variar
sumdulo Por otro lado, lavelocidad inicial, media e instantneadel
movimiento tienen el mismo valor en todo momentoUn cuerpo realiza
unmovimiento rectilneo uniformecuando sutrayectoriaes una linea
rectay suvelocidad es constante. Esto implica querecorre distancias
iguales en tiempos iguales.
Ecuaciones de m.r.u.Lasecuaciones del movimiento rectilneo
uniformeson:x=x0+vtv=v0=ctea=0Donde: x,x0: Laposicindel cuerpo en
un instante dado (x) y en el instante inicial (x0). Su unidad en el
Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m) v,v0: Lavelocidaddel
cuerpoen un instante dado (v) y en el instante inicial (v0). Su
unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo
(m/s) a: Laaceleracindel cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema
Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)Para
deducir lasecuaciones del movimiento rectilneo uniforme m.r.u.hay
que tener en cuenta que: Lavelocidad mediacoincide con lavelocidad
instantnea No hay aceleracinCon esas restricciones nos
queda:vm=vvm=xt=xx0tt0=t0=0xx0txx0=vtx=x0+vtEjercicioVer ms
ejerciciosDos jugadores de canicas se encuentran uno frente a otro
con sus canicas en la mano. El juego consiste en lanzarlas al mismo
tiempo en lnea recta y hacer que ambas se golpeen. Si ambos se
encuentran situados a 36 metros uno del otro y el jugador A lanza
su canica a 2 m/sg y el jugador B a 4 m/sg en un movimiento
rectilneo uniforme. Calcula a que distancia del jugador B chocarn
las canicas.SolucinDatosConsiderando que la canica del jugador A se
encuentra en el origen de coordenadas:Canica AX0=0 mVA=2 m/sgCanica
BX0=36 mVB=-4 m/sg (se desplaza hacia el origen del sistema de
referencia)ResolucinConsiderando inicialmente el sistema de
referencia comentado en los datos, vamos a estudiar la ecuacin de
la posicin de cada una de las canicas por separado.En un m.r.u. la
posicin de un cuerpo en movimiento viene dada por la siguiente
ecuacin:x=x0+vtCanica jugador A.Sustituyendo los valores de este
jugador en la ecuacin del m.r.u. obtenemos que:xA=0+2tmxA=2tmCanica
jugador BSustituyendo nuevamente en la ecuacin, pero con los datos
del jugador B:xB=364tmObserva que al desplazarse hacia el origen de
nuestro sistema de referencia su velocidad es negativa.Ambas
canicas impactarn cuando sus posiciones sean las mismas, es decir
XA=XB, por tanto:XA=XB2t=364tt=366t=6sgEs decir, cuando transcurran
6 sg chocarn, pero donde?. Como sabemos cuando se produce el
impacto, basta sustituir ese tiempo en la ecuacin de la posicin de
cualquiera de las 2 canicas.XA=2tXA=26XA=12mPor tanto, el choque se
produce a 12 metros del jugador A y a 24 m (36-12) del jugador
B.
Movimiento rectilneoCinemtica
Movimiento rectilneoMovimiento rectilneoMovimiento de cadade los
cuerposRegresin linealMovimiento rectilneouniformeMovimiento
rectilneou. aceleradoMovimiento rectilneo y uniformeMovimiento
rectilneo uniformemente aceleradoInterpretacin geomtrica de la
derivadaIntegral definida
Movimiento rectilneoSe denomina movimiento rectilneo, aqul cuya
trayectoria es una lnea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estar un observador que
medir la posicin del mvilxen el instantet. Las posiciones sern
positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est
a la izquierda del origen.PosicinLa posicinxdel mvil se puede
relacionar con el tiempotmediante una funcinx=f(t).
DesplazamientoSupongamos ahora que en el tiempot, el mvil se
encuentra en posicinx, ms tarde, en el instantet'el mvil se
encontrar en la posicinx'. Decimos que mvil se ha
desplazadox=x'-xen el intervalo de tiempot=t'-t, medido desde el
instantetal instantet'.VelocidadLa velocidad media entre los
instantestyt'est definida por
Para determinar la velocidad en el instantet, debemos hacer el
intervalo de tiempottan pequeo como sea posible, en el lmite
cuandottiende a cero.
Pero dicho lmite, es la definicin de derivada dexcon respecto
del tiempot.Para comprender mejor el concepto de velocidad media,
resolvemos el siguiente ejercicioEjercicioUna partcula se mueve a
lo largo del eje X, de manera que su posicin en cualquier
instantetest dada porx=5t2+1, dondexse expresa en metros yten
segundos.Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo
entre: 2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instantet=2 s.En el instantet=2 s,x=21
m
t (s)x (m)x=x'-xt=t'-tm/s
34625125
2.123.052.050.120.5
2.0121.20050.20050.0120.05
2.00121.0200050.0200050.00120.005
2.000121.002000050.002000050.000120.0005
...............
020
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalot0, la
velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instantet=2 s
es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que
tiende a cero.Calculamos la velocidad en cualquier instantet La
posicin del mvil en el instantetesx=5t2+1 La posicin del mvil en el
instantet+tes x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1 El desplazamiento
esx=x'-x=10tt+5t2 La velocidad media es
La velocidad en el instantetes el lmite de la velocidad media
cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instantetse puede calcular directamente,
hallando la derivada de la posicinxrespecto del tiempo.
En el instantet=2 s,v=20 m/sAceleracin
En general, la velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo.
Supongamos que en un instantetla velocidad del mvil esv, y en el
instantet'la velocidad del mvil esv'. Se denomina aceleracin media
entre los instantestyt'al cociente entre el cambio de
velocidadv=v'-vy el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en
efectuar dicho cambio,t=t'-t.
La aceleracin en el instantetes el lmite de la aceleracin media
cuando el intervalottiende a cero, que es la definicin de la
derivada dev.
Ejemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea
rectax=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresin de La velocidad La
aceleracin del mvil en funcin del tiempo.
Dada la velocidad del mvil hallar el desplazamientoSi conocemos
un registro de la velocidad podemos calcular el
desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, mediante la
integral definida.
El productov dtrepresenta el desplazamiento del mvil entre los
instantestyt+dt, o en el intervalodt. El desplazamiento total es la
suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los
instantest0yt.En la figura, se muestra una grfica de la velocidad
en funcin del tiempo, el rea en color azul mide el desplazamiento
total del mvil entre los instantest0yt, el segmento en color azul
marcado en la trayectoria recta.Hallamos la posicinxdel mvil en el
instantet, sumando la posicin inicialx0al desplazamiento, calculado
mediante la medida del rea bajo la curvav-to mediante clculo de la
integral definida en la frmula anterior.
Ejemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta de
acuerdo a la leyv=t3-4t2+5 m/s. Si en el instantet0=2 s. est
situado enx0=4 m del origen. Calcular la posicinxdel mvil en
cualquier instante.
Dada la aceleracin del mvil hallar el cambio de velocidadDel
mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del mvil entre
los instantest0yt, a partir de un registro de la velocidadven
funcin del tiempot, podemos calcular el cambio de velocidadv-v0que
experimenta el mvil entre dichos instantes, a partir de un registro
de la aceleracin en funcin del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidadv-v0es el rea bajo la
curvaa-t, o el valor numrico de la integral definida en la frmula
anterior.Conociendo el cambio de velocidadv-v0, y el valor
inicialv0en el instantet0, podemos calcular la velocidadven el
instantet.
Ejemplo:La aceleracin de un cuerpo que se mueve a lo largo de
una lnea recta viene dada por la expresin.a=4-t2m/s2. Sabiendo que
en el instantet0=3 s, la velocidad del mvil valev0=2 m/s.
Determinar la expresin de la velocidad del mvil en cualquier
instante
Resumiendo, las frmulas empleadas para resolver problemas de
movimiento rectilneo son
Movimiento rectilneo uniformeUn movimiento rectilneo uniforme es
aqul cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleracin es cero.
La posicinxdel mvil en el instantetlo podemos calcular
integrando
o grficamente, en la representacin deven funcin det.
Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, por lo
que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan
Movimiento rectilneo uniformemente aceleradoUn movimiento
uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada
la aceleracin podemos obtener el cambio de velocidadv-v0entre los
instantest0yt, mediante integracin, o grficamente.
Dada la velocidad en funcin del tiempo, obtenemos el
desplazamientox-x0del mvil entre los instantest0yt, grficamente
(rea de un rectngulo + rea de un tringulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicialt0se toma como cero, quedando
las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, las
siguientes.
Despejando el tiempoten la segunda ecuacin y sustituyndola en la
tercera, relacionamos la velocidadvcon el desplazamientox-x0
Interpretacin geomtrica de la derivadaEl siguiente applet, nos
puede ayudar a entender elconcepto de derivaday la interpretacin
geomtrica de la derivada
Se elige la funcin a representar en el control de seleccin
tituladoFuncin,entre las siguientes:
Se pulsa el botn tituladoNuevoSe observa la representacin de la
funcin elegidaCon el puntero del ratn se mueve el cuadrado de color
azul, para seleccionar una abscisat0.Se elige el aumento, 10, 100,
1000 en el control de seleccin tituladoAumento Cuando se elige 100
1000, la representacin grfica de la funcin es casi un segmento
rectilneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada
sobre la representacin grfica Se calcula la derivada de la funcin
en el punto de abscisat0elegido Se comprueba si coinciden la medida
de la pendiente y el valor de la derivada ent0.Ejemplo:Elegimos la
primera funcin y el puntot0=3.009Elegimos ampliacin 1000. La
pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.
La derivada de dicha funcin es
parat0=3.0 la derivada tiene vale -1.0
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Movimiento Rectilineo Uniforme (Ejemplo y Formula)El movimiento
rectilineo uniforme es aquel movimiento que tiene aceleracion igual
a cero, es decir la velocidad es la misma para cualquier intervalo
de tiempo y debido a esto la formula que decribe este movimiento es
la siguiente:
V=X/tdonde: V, es la velocidad por ejemplo 10Km/h. X, es el
espacio o distancia recorrida ejemplo 20Km t, es el tiempo en el
cual se recorre una distancia X, ejemplo 2horas.
Ejemplo:Cul es la velocidad constante de un automovilque recorre
20Km en 2horas?.
Rta: aplicando la formula tenemos que:
V= 20Km/2horasLo cual da que la velocidad constante del
automovil es:
V=10Km/h,es decir quepor cada hora el automovil recorre una
distancia de 10Km, por eso el automovil recorre 20Km en 2horas.
Tal como se ilustra a continuacion:
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principal
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Ejemplo de Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU)Es aquel que lleva
a cabo un mvil en lnea recta y se dice que es uniforme cuando
recorre distancias iguales en tiempos iguales.La ecuacin del
movimiento rectilneo uniforme MRU es:DatosFrmula
d= distancia (m)
v= velocidad (m/s)d= vt
t= tiempo (s)
EJEMPLO DE MRU:
Calcular la distancia que recorre un tren que lleva una
velocidad de 45 km/h en 45 min.d= x m
v= 45 km / hd= (45 km / h)(3/4 h) = 33.75 km
t= 45 min = 3/4 h
Conceptos bsicos del MRU
Posicin:Es el lugar fsico en el que se encuentra un cuerpo
dentro de un espacio determinado.Movimiento:Es el cambio de lugar
que experimenta un cuerpo dentro de un espacio
determinado.Desplazamiento:Es un cambio de lugar sin importar el
camino seguido o el tiempo empleado, tiene una relacin estrecha con
el movimiento de un cuerpo.Trayectoria:Es la lnea que une las
diferentes posiciones que a medida que pasa el tiempo va ocupando
un punto en el espacio o, de otra forma, es el camino que sigue el
objeto dentro de un movimiento.Velocidad:Distancia que recorre un
mvil representada en cada unidad de tiempo.Rapidez:Es un escalar de
la velocidad en un instante dado o es la velocidad que lleva el
mvil u objeto en una trayectoria.Velocidad media:Promedio de la
suma de todas las distancias y tiempos recorridos.DatosFrmula
V= velocidad media (m/s)
Edm= distancias (m)Vm= E d / E t
Et= tiempos (s)
E= suma de todos los valores
Calcular la distancia final y velocidad media de un automvil que
recorri 1840 km de Ensenada a Quertaro, en donde la primera
distancia recorrida de 450 km la realiz en 5 h, la segunda en 4 h
en una distancia de 280 km, la tercera de 270 km en 4 h, la cuarta
en 5 h en 400 km y la ltima distancia en 6h.
Primero determinamos la distancia final.
df= 1840- (450+280+270+400) = 440kmAhora sumamos los tiempos
realizados y calculamos la velocidad promedio.
tf= 5+4+4+5+6=24hVm= Ed / Et = 1840 km / 24 h = 76.66 km / hUn
problema resuelto de MRU:Un camion de carga viaja da Atlanta a
Chicago,recorriendo una distancia de 500 millas,si el viaje tarda
8h.Cual sera su velocidad media?
d=500mi d = 500mit=8h Vm= - ----- = 62.5 millas/hVm=? t 8h
62.5 mi X 16O9m X 1h-- ----- --h 1m 3600s
=100.562.5m----------3600s
=27.93 m/s