S1. Carga elctrica. Electrizacin de los cuerpos. Ley de
Coulomb
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca1Movimiento peridicoEs
aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo T, denominado
periodo.
En las figuras se muestran ejemplos de movimientos
peridicos.
El movimiento de los planetas alrededor del Sol
El movimiento de un cilindro por una doble rampa
inclinada8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca2Movimiento
OscilatorioEs un movimiento peridico que se efecta alrededor de una
posicin de equilibrio.Como ejemplo de movimiento peridico puede
considerarse el que realiza un bloque que est unido a un resorte
sobre una superficie horizontal sin friccin.
En la animacin, defina las caractersticas de las siguientes
magnitudes:Amplitud APeriodo TFrecuencia fFrecuencia angular
Posicin de equilibrio
frecuenciaFrecuencia angular8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M
Brocca3Ejemplo 13.19. Un transductor ultrasnico empleado para el
diagnostico mdico oscila con una frecuencia de 6,7 MHz . Cunto
tarda cada oscilacin y qu frecuencia angular tiene?
Solucin:
Ejercicio. Si un bloque tarda 4 segundos en dar 2 oscilaciones,
cul de su periodo? Cul es su frecuencia? Cul es su frecuencia
angular?
Solucin
Ejercicios8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca4Movimiento
Armnico SimpleEs un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza
resultante que acta sobre el cuerpo es proporcional a su
desplazamiento, como es el caso de un bloque que oscila libremente
por accin de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se
mueve sobre una superficie sin friccin.
Vea la animacin: MA57_F1_S05_01_REC2_ley_hooke.swf
Observaciones del movimiento del bloque en el MASLa velocidad es
mxima cuando el bloque pasa por el punto de equilibrio. Su
velocidad es cero cuando alcanza su mxima elongacin (x = A).Por la
segunda ley de Newton, la aceleracin es cero en el origen y mxima
en el punto de mxima elongacin.
AAFxFxa mximaF- mximav = 0 a mximaF- mximav = 0 a = 0F = 0v
mxima Reemplazando la expresin de la aceleracin, se obtiene una
ecuacin diferencial de segundo orden respecto a la posicin y al
tiempo.
La solucin de la ecuacin es:8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M
Brocca5Ecuaciones del MASPor la Segunda Ley de Newton
Considerando que
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca6(b)
Ejercicio. Un objeto oscila con frecuencia angular = 8,0 rad/s .
En t = 0 s, el objeto se encuentra en x0 = 4,0 cm con una velocidad
inicial v0= -25,0 cm/s . (a) Determinar la amplitud y la constante
de fase para este movimiento. (b) Escribir x en funcin del
tiempo.Solucin
Analizar para t = 0 sEjemplo Un bloque de 2,00 kg, que se
desliza sin friccin, se conecta a un resorte ideal con k = 300 N/m
. En t = 0 s, el resorte no est estirado ni comprimido y el bloque
se mueve en la direccin negativa a 12,0 m/s . Calcule: a) la
amplitud; b) el ngulo de fase; c) escriba las ecuaciones de
posicin, velocidad y aceleracinSolucin
(a)
Ejercicios
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca7Posicin, velocidad y
aceleracin del MAS
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca8Ejemplo En la
oscilacin descrita en el ejemplo 13.2, k = 200 N/m, m = 0,50 kg y
la masa oscilante se suelta del reposo en x = 0,020 m . a) calcule
las velocidades mxima y mnima que alcanza el cuerpo al oscilar. b)
calcule la aceleracin mxima. c) Determine: la velocidad y
aceleracin cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino
hacia el centro desde su posicin inicial.Solucinvmax = + 0,40 m/s y
vmin = 0,40 m/samax = 8,0 m/s2c) v = -0,35 m/s y a = - 4,0 m/s2
Ejemplo Un resorte se monta horizontalmente con su extremo
izquierdo fijo. Conectando una balanza de resorte al extremo libre
y tirando hacia la derecha, determinamos que la fuerza de
estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de
6,0 N cusa una deformacin de 0,030 m . Quitamos la balanza y y
conectamos un cuerpo de 0,50 kg de masa al extremo, tiramos de l
hasta moverlo 0,020 m, lo soltamos y vemos como oscila. A)
Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcula la
frecuencia, la frecuencia angular y el periodo de la
oscilacin.Solucin k = 200 N/m w= 20 rad/s f = 3,2 Hz T = 0,31 s
Ejercicio8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca9Volvamos al
sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en el ejemplo
13,2, con k = 200 N/m y m = 0,50 kg . Esta vez impartiremos al
cuerpo un desplazamiento inicial de +0,015 m y una velocidad
inicial +0,40 m/s . a) Determine: el periodo, la amplitud y el
ngulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones para: el
desplazamiento, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo.
Solucin(a) T = 0,31 s A = 0,025 m = -53 = - 0,93 rad(b) x = (0,025
m) cos ((20 rad/s)t 0,93) v = -(0,50 m/s) sen ((20 rad/s)t 0,93
rad)a = -(10 m/s2) cos ((20 rad/s)t 0,93 rad)Ejercicio8/19/2012Y
Milachay, E Castillo, M Brocca10Energa potencial elsticaComo se
estudi anteriormente, la fuerza elstica es conservativa, el trabajo
realizado por dicha fuerza entre dos puntos no depende de la
trayectoria, por lo que tiene una energa potencial
asociada.Consideremos el siguiente caso: Un resorte es estirado
desde x1 hasta x2. Determine el trabajo realizado por la fuerza que
el resorte ejerce sobre el mvil.
Se define la energa potencial elstica U como:
x1x28/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca11Si no hay
friccin, la energa mecnica del oscilador armnico se mantiene
constante en todo momento.
De esta expresin se deduce que:
Energa mecnica del oscilador armnico
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca12Relacin entre la
energa cintica y potencial elsticaLa energa mecnica se conserva,
tiene el mismo valor en cualquier punto del movimiento.La energa
potencial elstica es mxima en los extremos del MAS y nula en la
posicin de equilibrio.La energa cintica es mxima en la posicin de
equilibrio y nula en los extremos del MAS.
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca13Ejercicio 7.42 Pg.
272Un bloque de 2,00 kg se empuja contra un resorte con masa
despreciable y constante elstica k = 400 N/m, comprimindolo 0,220 m
. Al soltarse el bloque, se mueve por una superficie sin friccin
que primero es horizontal y luego sube a 37,0 . (a) Qu rapidez
tiene el bloque al deslizarse sobre la superficie horizontal despus
de separarse del resorte? (b) Qu altura alcanza el bloque antes de
pararse y regresar?Solucin Caso 1
Caso 28/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca14El pndulo
simpleUn pndulo simple consta de una cuerda de longitud L y una
lenteja de masa m. cuando la lenteja se deja en libertad desde un
ngulo inicial con la vertical, oscila a un lado y otro con un
periodo T.Cuando el ngulo es pequeo, el segmento de arco barrido
por la lenteja es:
Si el ngulo se expresa en radianes.Por otro lado, por la segunda
ley de Newton:
Reemplazando x y sustituyendo sen por
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca15La ecuacin
diferencial del movimiento del pndulo simple es la que se muestra a
la derecha.
De la ecuacin se deduce la expresin de la frecuencia angular, la
frecuencia y el periodo.
La solucin de la ecuacin es:
El pndulo simple
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca16EjerciciosEjemplo
13.8 . Calcule el periodo y frecuencia de un pndulo simple de 1,00
m de longitud en un lugar donde g = 9,80 m/s2.
Solucin: Sabemos que:
Luego: Ejercicio. Calcule la frecuencia de oscilacin de un
pndulo simple de longitud 2,00 m si el pndulo del tem anterior se
lleva a un lugar donde la aceleracin de la gravedad mide 9,77
m/s2.
Solucin: Sabemos que:
8/19/2012Y Milachay, E Castillo, M Brocca17Es cualquier cuerpo
rgido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio
alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de
masa.
PNDULO FSICOOPNDULO COMPUESTO
Este pndulo real que usa un cuerpo de tamao finito, en contraste
con el modelo idealizado de pndulo simple en el que toda la masa se
concentra en un solo punto.
Un ejemplo del pndulo fsico es un bate de beisboll suspendido de
un punto O,
Es un bate de beisboll suspendida del punto O,como se muestra en
la figura .La fuerza de gravedad acta en el centro de gravedad
(GG)del objeto localizado a una distancia h del punto pivote O. Al
pndulo fsico conviene analizarlo usando las ecuaciones del
movimiento rotacional. La torca sobre un pndulo fsico, calculada
con respecto al punto O es : t = -mgh sen
Al pndulo fsico conviene analizarlo usando las ecuaciones del
movimiento rotacional. La torca sobre un pndulo fsico, calculada
con respecto al punto O es : t = -mgh sen
t = -mgh sen El signo negativo indica que el momento de torsin
es horario si el desplazamiento es anti horario, y viceversa. si se
suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posicin de equilibrio. El
movimiento no es armnico simple porque por que el momento de torsin
t es proporcional al sen no a pero si es pequeo podemos aproximar
sen por en radianes, y el movimiento es aproximadamente armnico
simple. Entonces, t =-(mgh)
Deduccin del periodoFigura 1El pndulo fsico es un sistema con un
slo grado de libertad; el correspondiente a la rotacin alrededor
del eje fijo ZZ (Figura 1).
La posicin del pndulo fsico queda determinada, en cualquier
instante, por el nguloque forma el plano determinado por el eje de
rotacin (ZZ) y el centro de gravedad (G) del pndulo con el plano
vertical que pasa por el eje de rotacin.
Llamaremos a la distancia del centro de gravedad (G) del pndulo
al eje de rotacin ZZ. Cuando el pndulo est desviado de su posicin
de equilibrio (estable) un ngulo , actan sobre l dos fuerzas ( y )
cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ es un vector
dirigido a lo largo del eje de rotacin ZZ, en el sentido negativo
del mismo; i.e.,
Si es el momento de inercia del pndulo respecto al eje de
suspensin ZZ y llamamos a la aceleracin angular del mismo, el
teorema del momento angular nos permite escribir la ecuacin
diferencial del movimiento de rotacin del pndulo:
que podemos escribir en la forma
que es una ecuacin diferencial de segundo orden, del mismo tipo
que la que encontramos para elPndulo Simple.
En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea
pequea, podemos poner seny la ecuacin [3] adopta la forma
que corresponde a un movimiento armnico simple.
El periodo de las oscilaciones es
Ecuaciones del momento de inerciaLa m es la resistencia que
presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de
Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en
rotacin. As, por ejemplo, lasegunda ley de newton:
Tiene como equivalente la rotacin
Tiene como equivalente la rotacin
Donde; T= es igual al momento aplicado al cuerpo I= es el
momento de inercia es la frecuencia angular
Ejemplo del pndulo fsico
Una manera fcil de medir el momento de inercia de un objeto con
respecto a cualquier eje consiste en medir el periodo de oscilacin
alrededor de ese eje. a) Considere que una vara no uniforme de 1.0
kg puede equilibrarse en un punto a 42 cm desde un extremo. Si es
pivoteado con respecto a ese extremo oscilara con un periodo de 1.6
s. Cul es el momento de inercia con respecto a este extremo?
solucin
dadas T=1.6 s h= 0.42m despejamos el momento de inercia I de la
ecuacin de el periodo;