Movimiento en un Plano. DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO Sea r 1 el vector de posición inicial que ubica a la partícula en el plano cartesiano, cuando éste.

Movimiento en un PlanoMovimiento en un Plano

DESPLAZAMIENTO EN EL PLANODESPLAZAMIENTO EN EL PLANO

• Sea Sea rr11 el vector de posición inicial que ubica a la el vector de posición inicial que ubica a la partícula en el plano cartesiano, cuando éste está partícula en el plano cartesiano, cuando éste está en el punto de coordenadas en el punto de coordenadas ( x( x11 , y , y11 ) ) en el instante en el instante de tiempode tiempo tt11..

• SeaSea rr22 el vector de posición final que ubica a la el vector de posición final que ubica a la partícula en el plano cartesiano cuando está en el partícula en el plano cartesiano cuando está en el punto de coordenadas punto de coordenadas ( x( x22 , y , y2 2 )) en el instante de en el instante de tiempo tiempo tt22..

• Se define el vector Se define el vector AA o o cambio de posicióncambio de posición como como aquél que va desde la posición inicial de aquél que va desde la posición inicial de coordenadas coordenadas ( x( x11 , y , y11 ) ) hasta la posición final de hasta la posición final de coordenadas coordenadas ( x( x22 , y , y22 ) ). Veámoslos gráficamente:. Veámoslos gráficamente:

DESPLAZAMIENTO EN EL PLANODESPLAZAMIENTO EN EL PLANO

y +

x +

r 1

r 2

y = y2 – y1

x = x2 – x1

(x1 , y1) en t1

(x2 , y2) en t2

A

x2x1

y1

y2

Trayectoria del cuerpo

Donde:Donde:

x = x = x2 – – x1 es la componente del vector es la componente del vector AA en el eje en el eje x

y =y = y2 – – y1 es la componente del vector es la componente del vector AA en el eje en el eje y

A = A = ||AA|= √ (|= √ (x)x)22 + ( + (y)y)2 2 == √(x√(x2 - x- x1))22 + (y + (y2 - y - y1))2 2

es la magnitud del vector es la magnitud del vector AA, la cual representa la distancia la cual representa la distancia entre la posición inicial y la final,entre la posición inicial y la final, no así la distancia recorrida no así la distancia recorrida por el cuerpopor el cuerpo, puesto que la trayectoria que siguió la , puesto que la trayectoria que siguió la partícula es diferente.partícula es diferente.

Analizando a los vectores que tenemos en la figura, Analizando a los vectores que tenemos en la figura, observamos que el vectorobservamos que el vector rr22 es la resultante de sumar los es la resultante de sumar los

vectores vectores rr11 y y AA; esto es:; esto es:

rr1 + + AA = = rr2

Despejando al vector Despejando al vector A A (siguiendo las reglas del álgebra) (siguiendo las reglas del álgebra) tenemos que:tenemos que:

AA = = rr22 - - rr11

definiendo a definiendo a AA como como rr , tenemos que: , tenemos que:

rr = = rr22 - - rr11 lo cual en expresiones verbales representa:lo cual en expresiones verbales representa:

Cambio de posición o Cambio de posición o Desplazamiento = Posición final - Desplazamiento = Posición final - Posición inicialPosición inicial

Características del vector desplazamientoCaracterísticas del vector desplazamiento

Como el Como el desplazamientodesplazamiento es un es un vectorvector,, tiene:tiene:• Magnitud,,

• unidadunidad, , metros metros

• direccióndirección

• Sentido.- Sentido.- De acuerdo a los puntos cardinales. Por lo general se hace De acuerdo a los puntos cardinales. Por lo general se hace referencia primero al punto hacia donde medimos el ángulo (ejes verticales referencia primero al punto hacia donde medimos el ángulo (ejes verticales cuando los graficamos en un papel) y se continúa diciendo a partir de donde cuando los graficamos en un papel) y se continúa diciendo a partir de donde lo medimos (ejes horizontales).lo medimos (ejes horizontales). Por ejemplo:Por ejemplo:Al Sur del Este (al S del E)Al Sur del Este (al S del E)Al Norte del Oeste (al N del O) Al Norte del Oeste (al N del O)

212

212

22 )()()()( yyxxyxA A

x

y

1tan

I. MOVIMIENTO DE PROYECTILESI. MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Movimiento de ProyectilesMovimiento de Proyectiles• El lanzamiento de proyectiles o movimiento parabólico se refiere a El lanzamiento de proyectiles o movimiento parabólico se refiere a

aquellos cuerpos que al ser lanzados cerca de la superficie terrestre aquellos cuerpos que al ser lanzados cerca de la superficie terrestre describen una trayectoria parabólica bajo las siguientes condiciones:describen una trayectoria parabólica bajo las siguientes condiciones:

– Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento Que el lugar donde se efectúa el lanzamiento no presente resistencia al no presente resistencia al objeto lanzado,objeto lanzado, ya que con resistencia del aire la trayectoria tomaría otras ya que con resistencia del aire la trayectoria tomaría otras formas.formas.

y +

x +Sin resistencia del aire

y +

x +Con resistencia del aire

Movimiento de ProyectilesMovimiento de Proyectiles

– Que el lanzamiento Que el lanzamiento no sea muy elevadono sea muy elevado, de tal manera que la , de tal manera que la aceleración pueda considerarse constante. En estos casos, la aceleración pueda considerarse constante. En estos casos, la aceleración es la aceleración de la gravedad, y aceleración es la aceleración de la gravedad, y g varía con la g varía con la alturaaltura..

Que el lanzamiento Que el lanzamiento no sea de muy largo alcanceno sea de muy largo alcance, de tal , de tal manera que la superficie de la tierra pueda considerarse manera que la superficie de la tierra pueda considerarse plana. Por ejemplo, en lanzamientos transcontinentales la plana. Por ejemplo, en lanzamientos transcontinentales la trayectoria toma trayectoria toma formas de elipses.formas de elipses.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Shuttle.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Shuttle.svg


Con las anteriores restricciones tenemos los siguientes ejemplos Con las anteriores restricciones tenemos los siguientes ejemplos (entre muchos otros) de cuerpos que describen una trayectoria (entre muchos otros) de cuerpos que describen una trayectoria parabólica:parabólica:

– Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.

– Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y Una pelota que rueda sobre una superficie horizontal alta y que cae al suelo.que cae al suelo.

– La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de La bala de un cañón al ser disparada con un ángulo de elevación.elevación.

• El primer ejemplo es de los considerados El primer ejemplo es de los considerados casos generalescasos generales ya que ya que la pelota es la pelota es golpeada desde una cierta alturagolpeada desde una cierta altura, saliendo , saliendo con un con un ánguloángulo de elevación de elevación diferente de cerodiferente de cero y y cae en tierracae en tierra..

• El segundo ejemplo es un caso particular que es conocido como El segundo ejemplo es un caso particular que es conocido como tiro horizontaltiro horizontal, donde , donde el objeto sale con un ángulo de cero gradosel objeto sale con un ángulo de cero grados con respecto a la horizontal.con respecto a la horizontal.

• El tercer ejemplo también es considerado un caso especial El tercer ejemplo también es considerado un caso especial ((Blancos y AlcancesBlancos y Alcances) y es cuando un objeto ) y es cuando un objeto sale de un nivelsale de un nivel (por (por ej. suelo) ej. suelo) y llega a ese mismo nively llega a ese mismo nivel (suelo). (suelo).


• Para entrar en materia, diremos que Para entrar en materia, diremos que el movimiento de proyectiles el movimiento de proyectiles o tiro parabólico es un movimiento resultante o compuesto de doso tiro parabólico es un movimiento resultante o compuesto de dos movimientos:movimientos:

– Uno horizontal y uniforme Uno horizontal y uniforme

y el otro y el otro

– Vertical y uniformemente aceleradoVertical y uniformemente acelerado, ,

ambos movimientos son a ángulos rectos y su combinación produce ambos movimientos son a ángulos rectos y su combinación produce el movimiento resultante.el movimiento resultante.

• Los movimientos que se dan a ángulos rectos son independientes Los movimientos que se dan a ángulos rectos son independientes entre sí.entre sí.

• La presencia de uno (el horizontal) no influye o altera al otro (al La presencia de uno (el horizontal) no influye o altera al otro (al vertical) y viceversa, el vertical no influye o altera al horizontal. vertical) y viceversa, el vertical no influye o altera al horizontal.

Para demostrar lo anterior, realicemos el siguiente experimento:Para demostrar lo anterior, realicemos el siguiente experimento:


Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa alta y alta y sin rozamientosin rozamiento (no hay resistencia al objeto lanzado), si (no hay resistencia al objeto lanzado), si consideramos que dicha mesa es infinitamente larga, entonces consideramos que dicha mesa es infinitamente larga, entonces la pelota se movería en movimiento rectilíneo uniforme, es la pelota se movería en movimiento rectilíneo uniforme, es decir, siempre tendrá la misma velocidad recorriendo decir, siempre tendrá la misma velocidad recorriendo distancias iguales en iguales intervalos sucesivos de tiempo. distancias iguales en iguales intervalos sucesivos de tiempo. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:

x

t x x x x

t t t t

Movimiento horizontal: si la mesa es infinita y no presenta resistencia al objeto lanzado, éste se seguirá moviendo con la misma velocidad inicial con la que fue lanzado. La velocidad en el eje x será siempre la misma v0x = vx = constante.El cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo.


Como complemento al experimento, ahora dejemos caer la Como complemento al experimento, ahora dejemos caer la pelota desde el borde de la mesa y analicemos el pelota desde el borde de la mesa y analicemos el movimiento. Dicho movimiento será de caída libre, movimiento. Dicho movimiento será de caída libre, recorriendo el cuerpo distancias cada vez mayores para los recorriendo el cuerpo distancias cada vez mayores para los mismos intervalos de tiempo, es decir la magnitud de la mismos intervalos de tiempo, es decir la magnitud de la velocidad cada vez será mayor. Ilustrémoslo con la siguiente velocidad cada vez será mayor. Ilustrémoslo con la siguiente figura:figura:

Movimiento vertical: es uniformemente acelerado. En los mismos intervalos de tiempo, el cuerpo recorre cada vez mayor distancia, es decir, la magnitud de su velocidad vertical vy se va incrementando.Se considera que cuando va en el aire, no hay oposición al objeto que se deja caer (caída libre, sin resistencia de ninguna índole)

y t y

y

y

y

t

t

t

t


x t

x x x x t t t t

y t

y t

y t

y t

y t

Ecuaciones de movimiento de ProyectilesEcuaciones de movimiento de Proyectiles

Antes de ver las ecuaciones de movimiento, debemos Antes de ver las ecuaciones de movimiento, debemos recordar lo relativo a la recordar lo relativo a la descomposición de vectores en sus descomposición de vectores en sus componentes rectangulares:componentes rectangulares:

Para las ecuaciones, recordemos que los movimientos son Para las ecuaciones, recordemos que los movimientos son independientes, teniendo en consecuencia independientes, teniendo en consecuencia uno horizontal y uno horizontal y uniforme y otro vertical y uniformemente aceleradouniforme y otro vertical y uniformemente acelerado, siendo las , siendo las mismas ecuaciones anteriormente vistas para ambos mismas ecuaciones anteriormente vistas para ambos movimientos, con la salvedad de que trabajamos en un plano por movimientos, con la salvedad de que trabajamos en un plano por lo que lo que se agrega a las velocidades el subíndice se agrega a las velocidades el subíndice xx o o yy dependiendo si la velocidad es dependiendo si la velocidad es horizontalhorizontal o o vertical vertical respectivamente.respectivamente.

v0y = │V0│۰sen θ0

v0x = │V0│cos θ0

V0

θ0

EjercicioEjercicio

• Una pelota se lanza con una rapidez de Una pelota se lanza con una rapidez de 20 m/s, en una dirección que forma 60º 20 m/s, en una dirección que forma 60º con la horizontal.con la horizontal.– Determinar la velocidad en componentes Determinar la velocidad en componentes

rectangulares. rectangulares.

Ecuaciones de movimiento de ProyectilesEcuaciones de movimiento de Proyectiles

– MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme)MOVIMIENTO HORIZONTAL (Uniforme)

x = xx = x00 + v + v0x0x t t

vv0x 0x = v= vxx = constante = constante

– MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado)MOVIMIENTO VERTICAL (Uniformemente Acelerado)

y = yy = y00 + v + v0y0y t - t - ½ g t½ g t22

y = yy = y00 + + ½½ ( v ( vyy + v + v0y0y ) t ) t

vvyy = v = v0y0y – g t – g t

vvyy22 = v = v0y0y

22 –2 g ( y – y –2 g ( y – y00 ) )

– MOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTEMOVIMIENTO COMBINADO O RESULTANTE

y = yy = y00 + x tan + x tan θθ00 – g x – g x 22 ⁄ ( ⁄ ( v v0 0 cos cos θθ0 0 ) ) 22

Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo de la Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo de la primera ecuación de mov. horizontal, sustituyéndolo en la primera ecuación de mov. horizontal, sustituyéndolo en la primera del mov. vertical y realizando operaciones primera del mov. vertical y realizando operaciones algebraicas.algebraicas.

Importante: Se considera dirección positiva haciaArriba, es decir, se debe reemplazar g = 9.81 m/s2.Porque el signo negativo ya está incluido.

EjercicioEjercicio

• Un proyectil fue lanzado con un ángulo de Un proyectil fue lanzado con un ángulo de 60º con la horizontal y con una rapidez de 60º con la horizontal y con una rapidez de 20m/s. Calcule para un tiempo de 2 20m/s. Calcule para un tiempo de 2 segundos después del lanzamiento.segundos después del lanzamiento.– Velocidad del proyectilVelocidad del proyectil– El alcance que experimenta el proyectilEl alcance que experimenta el proyectil– El tiempo en llegar al punto más altoEl tiempo en llegar al punto más alto

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:

Lanzamiento HorizontalLanzamiento HorizontalEste caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente Este caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente

desde una cierta altura. Debido a esto:desde una cierta altura. Debido a esto:

– El ángulo inicial de salida es de cero grados.El ángulo inicial de salida es de cero grados.

θθ00 = 0 = 0

– La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la componente horizontal de la velocidad inicial y como el componente horizontal de la velocidad inicial y como el movimiento horizontal es uniforme, también es igual a la movimiento horizontal es uniforme, también es igual a la velocidad horizontal en cualquier instante de tiempovelocidad horizontal en cualquier instante de tiempo..

V0 =│V0│= v0x = vx

– La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es cero.cero.

v0y = 0


Ecuaciones para Tiro HorizontalEcuaciones para Tiro Horizontal– Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de

movimiento generales se reducen a:movimiento generales se reducen a:

x = vx = v0 0 tt

y = - y = - ½ g t½ g t22

y = y = ½½ ( v ( vyy ) t ) t

vvyy = – g t = – g t

vvyy22 = –2 g y = –2 g y

– El tiempo que tarda en caer el cuerpo se encuentra El tiempo que tarda en caer el cuerpo se encuentra despejando el tiempo de la segunda ecuacióndespejando el tiempo de la segunda ecuación

t = (- 2y / g)t = (- 2y / g)½ ½ donde y < 0donde y < 0

│ V0 │ = v0x ; v0y = 0

y < 0

x +

y -


BLANCOS Y ALCANCESBLANCOS Y ALCANCES – Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale

disparado con un ángulo de inclinación desde un nivel y llega disparado con un ángulo de inclinación desde un nivel y llega nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y llega a tierra). llega a tierra).

– Debido a lo anterior, tenemos que:Debido a lo anterior, tenemos que:

vv0x 0x == ││VV00│cos │cos θθ00

vv0y 0y == ││VV00│sen │sen θθ00

y = yy = y00 = 0 = 0

Los aspectos principales a considerar son:Los aspectos principales a considerar son:– Tiempo total de vuelo.Tiempo total de vuelo.– Alcance horizontal máximo que alcanza el proyectil.Alcance horizontal máximo que alcanza el proyectil.– Altura máxima que alcanza el proyectil en su recorrido.Altura máxima que alcanza el proyectil en su recorrido.

ymax

Xmax = R

V0

vx = v0x

vy = 0

θ0


BLANCOS Y ALCANCESBLANCOS Y ALCANCES • TIEMPO TOTAL DE VUELOTIEMPO TOTAL DE VUELO ( ( tt TT ))

Se encuentra a partir de la condición Se encuentra a partir de la condición y = yy = y00 = 0 = 0 y de y de la primera ecuación general para el movimiento la primera ecuación general para el movimiento vertical:vertical:

y = yy = y00 + v + v0y0y t - t - ½ g t½ g t22

0 = 0 + v0 = 0 + v0y0y t - t - ½ g t½ g t22

DespejandoDespejando el tiempo el tiempo

t = 2 vt = 2 v0y 0y ⁄ g⁄ g

O bienO bien

t t TT = (2 = (2 ││VV00│sen │sen θθ00 )) ⁄ g⁄ g


BLANCOS Y ALCANCES:BLANCOS Y ALCANCES: • ALCANCE HORIZONTALALCANCE HORIZONTAL ( ( x = xx = xmax.max. = R = R ) )

Se obtiene considerando que la máxima distancia horizontal Se obtiene considerando que la máxima distancia horizontal recorrida se da cuando t es el tiempo total.recorrida se da cuando t es el tiempo total.

Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de movimiento Sustituyendo el tiempo total en la ecuación de movimiento horizontal con xhorizontal con x00= 0= 0

x = vx = v0x0x t tTT

x = vx = v0x0x (2 v (2 v0y 0y ⁄ g)⁄ g)

Sustituyendo las componentes rectangulares de la velocidad Sustituyendo las componentes rectangulares de la velocidad inicialinicial

x = vx = v0 0 cos cos θθ00 (2 v (2 v0 0 sen sen θθ0 0 ⁄ g)⁄ g)

x = vx = v0022 (2cos (2cos θθ00 sen sen θθ0 0 ) ) ⁄ g⁄ g

Usando la identidad trigonométricaUsando la identidad trigonométrica

2 cos 2 cos θθ00 sen sen θθ0 0 = sen 2 = sen 2 θθ0 0

Se tiene que el alcance máximo viene dado por:Se tiene que el alcance máximo viene dado por:

x = (vx = (v0022 sen 2 sen 2 θθ0 0 ) ) ⁄ g⁄ g


BLANCOS Y ALCANCES:BLANCOS Y ALCANCES: • ALTURA MÁXIMAALTURA MÁXIMA ( ( y = yy = ymaxmax.. ))

Se obtiene considerando que la componente vertical de la velocidad es Se obtiene considerando que la componente vertical de la velocidad es cero.cero.

vvyy = 0 = 0

Es decir en el punto donde se alcanza la altura máxima:Es decir en el punto donde se alcanza la altura máxima:– La componente de la velocidad en el eje vertical se hace cero, ya que La componente de la velocidad en el eje vertical se hace cero, ya que

en caso contrario el cuerpo todavía seguiría ascendiendo. Dicha en caso contrario el cuerpo todavía seguiría ascendiendo. Dicha componente hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor hasta componente hace que el cuerpo suba, disminuyendo su valor hasta hacerse nula. hacerse nula.

– La componente horizontal es la que hace que el cuerpo avance y La componente horizontal es la que hace que el cuerpo avance y como es uniforme, en dicho punto es tangente a la parábola.como es uniforme, en dicho punto es tangente a la parábola.

Sustituyendo la condición anterior en la ecuación:Sustituyendo la condición anterior en la ecuación:

vvyy22 - v - v0y0y

22 = –2 g ( y – y = –2 g ( y – y00 ) )

vv0y0y22 = 2 g ( y = 2 g ( ymaxmax ) )

yymax max = v= v0y0y22 ⁄⁄ 2 g 2 g

yymax max = (v= (v0 0 cos cos θθ00))22 ⁄⁄ 2 g 2 g


BLANCOS Y ALCANCES:BLANCOS Y ALCANCES: Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que

todas ellas dependen detodas ellas dependen de::– La velocidad inicialLa velocidad inicial VV00

– El ángulo de disparoEl ángulo de disparo θθ00

– El valor de la gravedadEl valor de la gravedad gg• En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad

inicialinicial VV00 y variamos el ángulo de disparoy variamos el ángulo de disparo θθ00 tendremos que para tendremos que para

mayor ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer. mayor ángulo mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer.

• Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma velocidad pero a Lo mismo sucede con la altura máxima, a misma velocidad pero a mayor ángulo, mayor altura alcanzará. mayor ángulo, mayor altura alcanzará.

Lo anterior se puede observar en la siguiente ilustración:Lo anterior se puede observar en la siguiente ilustración:


`

y +

x +

t`

t``

t```

mismaV 0

``

```

t```> t``> t`

``` ``̀ `


En el caso del alcance horizontal, de la misma figura anterior, se puede En el caso del alcance horizontal, de la misma figura anterior, se puede observar que hay un ángulo especial bajo el cual, el alcance máximo observar que hay un ángulo especial bajo el cual, el alcance máximo es aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir de la expresión:es aún máximo. Dicho ángulo se encuentra a partir de la expresión:

x = (Vx = (V0022 sen 2 sen 2 θθ0 0 ) ) ⁄ g⁄ g

y puesto quey puesto que VV00 yy gg son constantes, entonces el alcance depende son constantes, entonces el alcance depende

dede θθ00 , , además considerando que en blancos y alcances, el además considerando que en blancos y alcances, el

ángulo varía de:ángulo varía de:

000 0 < < θθ < 90< 9000

la función seno tiene el siguiente comportamiento:la función seno tiene el siguiente comportamiento:

0 ≤ sen 0 ≤ sen θθ0 0 ≤ 1≤ 1

siendo su máximo valor la unidad. Consecuentementesiendo su máximo valor la unidad. Consecuentemente de la expresión de la expresión para el alcance máximo tenemos que:para el alcance máximo tenemos que:


sen 2 sen 2 θθ0 0 = 1= 1

resolviendo para el ángulo:resolviendo para el ángulo:

2 2 θθ0 0 = = sensen-1-1 ( ( 1 )1 )

θθ0 0 = = ½ ½ sensen-1-1 ( ( 1 )1 )

θθ0 0 = = ½ (½ (90900 0 ))

θθ0 0 = 45= 4500

Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:


y +

x +

Misma V0

850

450 + 400 = 850 subo 400

450 - 400 = 50 bajo 400

450 + 200 = 650 subo 200

450 - 200 = 250 bajo 200

A partir de los 450

mismo alcance

mismo alcance

650450

250

50


NOTA.-NOTA.- No debe de olvidarse que No debe de olvidarse que las ecuaciones las ecuaciones encontradas para tiro horizontal y blancos y encontradas para tiro horizontal y blancos y alcances, son exclusivamente para casos alcances, son exclusivamente para casos especialesespeciales,, no se pueden aplicar indistintamente a no se pueden aplicar indistintamente a cualquier problema, en todo caso, al resolver un cualquier problema, en todo caso, al resolver un problema se deben de aplicar las ecuaciones problema se deben de aplicar las ecuaciones generales de tiro parabólico ya que las de casos generales de tiro parabólico ya que las de casos especiales se dedujeron de ellas al considerar ciertas especiales se dedujeron de ellas al considerar ciertas condiciones iniciales y finales como son:condiciones iniciales y finales como son:

vv0y0y = 0 = 0 para tiro horizontal para tiro horizontal

y = yy = y00 = 0 = 0 para alcance máximopara alcance máximo

vvyy = 0 = 0 para altura máxima.para altura máxima.

Movimiento en un Plano. DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO Sea r 1 el vector de posición inicial que ubica a la partícula en el plano cartesiano, cuando éste.

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