Slide 1 / 71 Movimiento Armónico Simple
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Movimiento Armónico Simple
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MAS y Movimiento Circular
Hay una profunda conexión entre el Movimiento armónico simple (MAS) y el Movimiento Circular Uniforme (MCU).
Movimiento armónico simple se puede pensar como una proyección enuna-dimensión del Movimiento circular uniforme.
http://www.phys ics.uoguelph.ca/tutorials /shm/phase0.html
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MAS y Movimiento Circular
Todas las ideas que hemos aprendido del MCU, se puede aplicar al MAS ... no tenemos que reinventarlos.
Por lo tanto, vamos a revisar el movimiento circular primero, y a continuación, extenderemos lo que sabemos al MAS.
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Período
El tiempo que toma para que un objeto complete un viaje alrededor de una trayectoria circular se llama su período.
El símbolo de período es "T"
Períodos se miden en unidades de tiempo; por lo general se utilizan los segundos (s).
A menudo se nos da el tiempo (t) que se necesita para que un objeto haga una serie de viajes (n) alrededor de una trayectoria circular. En ese caso,
T = t / n
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1 Si se tarda 50 segundos para que un objeto viaje por todo un círculo 5 veces, ¿cuál es el período de su movimiento?
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2 Si un objeto se mueve en movimiento circular y su período es 7,0s, ¿cuánto tiempo se necesita para que haga 8 revoluciones completas?
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Frecuencia El número de revoluciones que un objeto completa en un período de tiempo determinado se denomina la Frecuencia de su movimiento.
El símbolo de la frecuencia es "f"
Frecuencias se miden en unidades de revoluciones por unidad de tiempo, por lo general se utilizan 1/segundos (s-1). Otro nombre para s-1 es Hertz (Hz). La frecuencia también se puede medir en revoluciones por minuto (rpm), etc.
A menudo se nos da el tiempo (t) que tarda un objeto de hacer un número de revoluciones (n). En ese caso,
f = n / t
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3 Un objeto viaja alrededor de un círculo 50 veces por cada diez segundos, ¿cuál es la frecuencia (en Hz) de su movimiento?
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4 Si un objeto se mueve en un movimiento circular con una frecuencia de 7,0 Hz, ¿Cuantas revolucioneshace en 20s?
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Periodo y frecuencia
Dado que T = t / n
y f = n / t
entonces T = 1 / f
y f = 1 / T
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5 Un objeto tiene un período de 4,0s, ¿cuál es la frecuencia de su movimiento (en Hertz)?
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6 Un objeto está girando con una frecuencia de 8,0 Hz, cual es su período (en segundos)?
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7 Un objeto está en movimiento circular. El radio de su movimiento es 2,0m y su período es 5,0s. ¿Cuál es su la velocidad?
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8 Un objeto está en movimiento circular. El radio de su movimiento es de 2,0 metros y su frecuencia es de 8,0 Hz. ¿Cual es su velocidad?
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En MCU, un objeto completa un círculo, o ciclo, en cada T segundos. Esto significa que vuelve a su posición inicial después de T segundos.
En Movimiento Armónico Simple, el objeto no viaja en un círculo, pero también vuelve a su posición inicial en T segundos.
MAS y Movimiento Circular
Cualquier movimiento que se repite una y otra vez, siempre volviendo a la misma posición se llama "periódico".
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Simple_Harmonic_Motion_Orbit.gif
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· desplazamiento se mide desde el punto de equilibrio
· amplitud es el desplazamiento máximo (Equivalente al radio, r, en el MCU) .
· Un ciclo es un completo viaje (El mismo que un viaje alrededor del círculo en MCU)
· Período es el tiempo requerido para completar un ciclo (El mismo que el periodo de MCU)
· Frecuencia es el número de ciclos completado por segundo (El mismo que Frecuencia en el MCU)
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9 Se tarda 4,0s para un sistema para completar un ciclo de movimiento armónico simple. ¿Cuál es la frecuencia del sistema?
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10 El período de un sistema de masa-resorte es 4,0 s y la amplitud de su movimiento es 0,50m. ¿Cuanto viaja la masa en 4,0 s?
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11 El período de un sistema de masa-resorte es 4,0 s y la amplitud de su movimiento es 0,50m. ¿Cuanto viaje la masa en 6,0?
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Movimiento armónico simple
Hay un punto en cual el resorte ni se estira ni se comprime;esta es la posición de equilibrio.
Nosotros medimos el desplazamiento desde ese punto (X = 0 en la figura anterior).
La fuerza ejercida por el resorte depende del desplazamiento:
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12 Un resorte con un constante de elasticidad de 20 N/m se extiende 0,20m desde el equilibrio, ¿cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte?
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13 Un resorte con un constante de elasticidad de 150 N/m ejerce una fuerza de 30N sobre una masa en un sistema de masa-resorte. ¿Que tan lejos está la masa desde el equilibrio?
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14 Un resorte ejerce una fuerza de 50N sobre la masa en un sistema de masa-resorte cuando está 2,0m del equilibrio. ¿Cual es la constante de elasticidad del resorte?
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Movimiento armónico simple
· El signo menos indica que se trata de una restauración de la fuerza; se dirige a restaurar la masa a su posición de equilibrio.
· k es la constante de elasticidad del resorte
· La fuerza no es constante, por lo que la aceleración es no constante tampoco
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La fuerza máxima ejercida sobre la masa es cuando el resorte es más estirado o comprimido (x =-A o +A):
F =-kA (cuando x =-A + o A)
La fuerza mínima ejercida sobre la masa es cuando el resorte no se extiende (x = 0)
F = 0 (cuando x = 0)
Movimiento armónico simple
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15 ¿En qué locación o locaciones es la magnitud de la fuerza sobre la masa en un sistema de masa-resorte lo máximo?
A x = A B x = 0C x =-A D A & C E todo lo anterior
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16 ¿En qué locación o locaciones es la magnitud de la fuerza sobre la masa en un sistema de masa-resorte lo mínimo?
A x = A B x = 0C x =-A D A & C E todo lo anterior
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Si el resorte se cuelga verticalmente, el único cambio es en la posición de equilibrio, que está en el punto donde la fuerza del resorte es igual a la fuerza de la gravedad.
El efecto de la gravedad es anulado cuando se cambia a este nueva posición de equilibrio.
La gravedad no afecta el sistema masa-resorte
x ahora se mide desde aquí
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Energía y movimiento armónico simple
Cualquier sistema de vibración donde la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento a la negativa esta en movimiento armónico simple (MAS), y se llama a menudo oscilador armónico simple.
Además, MAS requiere que el sistema tenga dos formas de energía y un método que permite la energía para volver adelante y hacia atrás entre estas dos formas.
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Energía en el Sistema de Masa-Resorte
Hay dos tipos de energía en un sistema de masa-resorte.
La energía almacenada en el resorte, ya que se estira o se comprime:
Us= 1/2 kx2
y
La energía cinética de la masa:
EC = 1/2mv2
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La energía mecánica total es constante.
E = Us + EC
Etotal = 1/2 kx2+ 1/2mv2
En cualquier momento, la energía total del sistema es constante e integrada en estas dos formas.
Energía en el sistema masa-resorte
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Cuando la masa está en los límites de su movimiento (x = A o x =-A), la energía total es potencial:
Etotal = 1/2kx2
Cuando la masa está en el equilibrio(x = 0) el resorte no se estira y toda la energía es cinética:
Etotal = 1/2 mv2
Sin embargo, la energía total es constante.
Etotal = 1/2 kx2 + 1/2 mv2
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17 ¿En qué lugar(es) es la energía cinética de un sistema de masa-resorte lo máximo?
A x = A B x = 0C x =-A D A & C E todo lo anterior
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18 ¿En qué lugar(es) es la energía potencial (US) de un sistema de masa-resorte lo máximo?
A x = A B x = 0C x =-A D A & C E todo lo anterior
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19 ¿En qué lugar(es) es la energía total de una masa-resorte de un sistema máximo?
A x = A B x = 0C x =-A D A & C E Es lo mismo en todos los lugares
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20 ¿En qué lugar(es) es la energía cinética de un sistema de masa-resorte lo mínimo?
A x = A B x = 0C x =-A D A & C E todo lo anterior
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Resolución de problemas con la energía
Puesto que la energía es constante, y el trabajo realizado sobre el sistema es cero, siempre se puede encontrar la velocidad de la masa en cualquier lugar mediante el uso de
E0 = Ef
La forma mas general (complicada) de esta ecuación se convierte en
1/2kx02+ 1/2 mv0
2= 1/2 kxf2+ 1/2 mvf
2
Pero por lo general esto se simplifica cuando la energía es dado en un punto donde todo es US(X =A o -A) o cuando todo es EC (x = 0).
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21 ¿Cuál es la energía total de un sistema de masa-resorte si la masa es 2,0 kg, la constante de elasticidad es 200 N/m, y la amplitud de la oscilación es 3,0m?
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22 ¿Cuál es la máxima velocidad de la masa en el sistema de masa-resorte de la pagina anterior: la masa es 2,0 kg, la constante de elasticidad es 200 N/m, y la amplitud de la oscilación es 3,0m?
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El período y la frecuencia de un sistema masa-resorte
Podemos utilizar el período y la frecuencia de una partícula en movimiento en círculo para encontrar el período y la frecuencia:
EC = EPE
½ mv2 = ½ kx2
mv2 = Kx2
m(2#r/ T)2 = Kx2
T2 = m(2# )2x2/ Kx2
T = 2##(m/k)
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23 ¿Cuál es el período de un sistema de masa-resorte si la masa es 4,0kg y la constante del resorte es 64N/m?
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24 ¿Cuál es la frecuencia de un sistema de masa-resorte la pagina anterior: la masa es 4,0kg y el constante del resorte es 64 N/m?
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El péndulo simple
Un péndulo simple consiste de una masa al final de una cuerda ligera. Suponemos que la cuerda no se estira, y que su masa es insignificante.
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El péndulo simple Con el fin de estar en MAS, la fuerza de restauración debe ser proporcional a la negativa del desplazamiento. Aquí tenemos:
que es proporcional al sinθ y no a θ directamente.
Para ángulos pequeños, el sin θ ≈ θ y x = Lθ.
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El péndulo simple tiene la forma de F =-kx si k = mg / L
Pero hemos aprendido antes que
Sustituyendo k mg / L
Aviso: "m" es cancelado, la masa no importa.
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25 ¿Cuál es el período de un péndulo con una longitud de 2,0 m cerca de la superficie de La Tierra?
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26 ¿Cuál es la frecuencia del péndulo de la pagina anterior (una longitud de 2,0 m cerca de la superficie de la Tierra)?
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El péndulo simple
Por lo tanto, siempre y cuando el cable se puede considerar "sin masa" y la amplitud es pequeña, el período no depende de la masa.
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27 ¿Cuál de los siguientes factores afecta el período de un péndulo?
A la aceleración de la gravedad B la longitud de la cuerdaC la masa del péndulo D A & B E A & C F B & C G todo lo anterior
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Energía en el péndulo
Los dos tipos de energía en un péndulo son:
Energía potencial gravitatoria
EPG = mgh
y
La energía cinética de la masa:
EC = 1/2 mv2
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La energía mecánica total es constante.
E = EC + EPG
Etotal = mgh + 1/2 mv2
En cualquier momento en el tiempo la energía total del sistema es contante y compuesto de estas dos formas.
Energía en el péndulo
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28 ¿Cuál es la energía total de un 1 kg péndulo si su altura, en su máxima amplitud es 0,20m por encima de la altura de su equilibrio?
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29 ¿Cuál es la máxima velocidad de la masa del péndulo de la pagina anterior (su altura máxima en amplitud es de 0,20 m por encima de su altura en el equilibrio)?
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Resumen · Para MAS, la fuerza restauradora es proporcional al
desplazamiento a lo negativo: F =-kx
· El período (T) es el tiempo requerido para un ciclo, y la frecuencia (f) es el número de ciclos por segundo.
· T = 1 / f, f = 1 / T
· El periodo de una masa en un resorte:
· Durante MAS, la energía total es constante y continuamente en cambio entre la energía cinética y la potencial
· El período de un péndulo simple es:
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El período y la naturaleza sinusoidal de MAS
http://www.youtube.com/watch? v = eeYRkW8V7Vg función y = Jugar Lis ta & p = 3AB590B4A4D71006 Y indice = 0
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El período y la naturaleza sinusoidal de SHM
Podemos utilizar el círculo como referencia (y ver de los últimos gráfico) para encontrar la posición de una masa en función del tiempo:
x = A cos θ
Dado que la masa está girando con una velocidad angular de # , se puede decir que θ = # t:
x = A cos # t
Además, dado que la velocidad angular, # , es 2# f ó 2# /T
x = A cos 2# ft o x = Acos2# t/T
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El período y la naturaleza sinusoidal de SHM
También podemos encontrar la velocidad en función del tiempo.
La magnitud de v =-v0sinθ
Desde θ = ωt
v =-v0sin ωt
Recordemos que v = ωr y r es A.
v =-Aω sin ωt
Donde la velocidad máxima es de v =-Aω
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El período y la naturaleza sinusoidal de SHM
Por último se encuentra la aceleración en función del tiempo.
a = F/m = -kx/m = -k (A cos ωt)/m
Sustituye a0 con kA/m
a =-a0 cos ωt
Dado que a0 = v2/r = (ωr)2/r = rω 2= Aω 2
a =-Aω 2cos ωt
Donde la aceleración máxima es de a =-Aω 2
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El período y la naturaleza sinusoidal de SHM
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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El período y la naturaleza sinusoidal de SHM
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
T / 4 T / 2 3T / 4 T
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30 ¿Cuál es la aceleración cuando x = 0?
A a < 0B a = 0C a > 0D Esto varía.
T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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31 ¿Cuál es la aceleración cuando x = A?
A a < 0B a = 0C a > 0D Esto varía.
T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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32 ¿Cuál es la aceleración cuando x =-A?
A a < 0B a = 0C a > 0D Esto varía.
T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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33 ¿Cuál es la velocidad cuando x = 0?
A v < 0B v = 0C v > 0D A o C
T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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34 ¿Cuál es la velocidad cuando x = A?
A v < 0B v = 0C v > 0D A o C
T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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35 ¿Dónde está la masa cuando la aceleración es máximo?
A x = A B x = 0C x =-A D A o C
T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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36 ¿Dónde está la masa cuando la velocidad es máxima?
A x = A B x = 0C x =-A D A o C
T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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37 ¿Cuál de los siguientes representa la posición en función del tiempo?
A x = 4 cos (2t)
B x = 2 cos (2t) C x = 2 sen (2t)
D x = 8 cos (2t) T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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38 ¿Cuál de los siguientes representa la velocidad en función del tiempo?
A v = -12 sin (2t)
B v = -12 cos (2t) C v = cos 4 (2t)
D v = sin -4 (2t) T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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39 ¿Cuál de los siguientes representa la aceleración en función del tiempo?
A v = -8 sin (2t)
B v = -8 cos (2t) C v = cos 4 (2t)
D v = sin -4 (2t) T / 4 T / 2 3T / 4 T
x (desplazamiento)
v (velocidad)
a (aceleración)
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