Movimiento Armónico Simple

Proyecto FinalProyecto Final””Movimiento armónico simple”Movimiento armónico simple”

Laboratorio de Física General

UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas

Alejandra Valencia RamírezAbelardo Castellejo GarcíaAna Cristina Chávez Cáliz

Blanca de Jesús Gómez OrozcoMaritza Thalia Bernabé Morales

Resumen

El objetivo de este experimento fue investigar la variación del periodo de oscilación en función de la masa atada a un resorte.

Creemos que a mayor masa, menor es el periodo.

El valor obtenido para las variables resultaron ser, para este caso en particular, k= 0.5665 y p=0.6057, donde k y p forman parte de la ecuación T=pmk : T y m corresponden al periodo y

masa, respectivamente, obteniendo la fórmula:

T= 0.06057m0.5665


Introducción

Un movimiento armónico simple (m.a.s.) es aquel movimiento periódico que queda descrito en función

del tiempo por una función armónica (seno o coseno).


Introducción

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide.


Metodología Experimental

Para el experimento, montamos en el soporte universal una varilla, de la cual colgaba un resorte. De este, a su vez, colocamos diferentes masas (10 en total).



A la izquierda, el esquema del experimento, arriba,nuestro montaje.



Los materiales usados fueron:

Un juego de masas. Dos reglas. Dos cronómetros. Un resorte. Un soporte universal.



2 personas hicieron la toma de el tiempo 3 veces por masa. Se usó un cronómetro, y al final se obtuvo un promedio de los tiempos obtenidos tomando en cuenta sus respectivas incertidumbres



Así mismo, entre otros 2 miembros del equipo se tomó nota sobre la disminución en la longitud del resorte (3 veces por masa), desde que va a su máxima longitud, hasta que se encoge. Se usaron una regla de un metro, y una de 30cm.


Resultados

Así, usando 10 masas diferentes (20gr., 40gr., 60gr., 80gr., 100gr., 120gr., 140gr., 160gr., 180gr. y 200gr.) se hicieron 3 tomas del incremento en el resorte, y 6 tomas del tiempo por masa, obtentiendo la siguiente

tabla:


Resultados

MASA (gramos) DISTANCIA (metros) Promedio Distancia TIEMPO(segundos) Promedio Tiempo(20±05)gr. (0.05±0.005)m. (0.53±0.005)s. (0.50±0.005)s. (0.52±0.005)s.

(0.04±0.005)m. (0.05±0.005)m. (0.47±0.005)s. (0.47±0.005)s.(0.05±0.005)m. (0.60±0.005)s. (0.53±0.005)s.

(40±05)gr. (0.14±0.005)m. (0.57±0.005)s. (0.59±0.005)s. (0.57±0.005)s.(0.15±0.005)m. (0.15±0.005)m. (0.55±0.005)s. (0.43±0.005)s.(0.15±0.005)m. (0.63±0.005)s. (0.64±0.005)s.

(60±05)gr. (0.30±0.005)m. (0.77±0.005)s. (0.63±0.005)s. (0.72±0.005)s.(0.30±0.005)m. (0.30±0.005)m. (0.64±0.005)s. (0.81±0.005)s.(0.30±0.005)m. (0.66±0.005)s. (0.81±0.005)s.

(80±05)gr. (0.40±0.005)m. (0.75±0.005)s. (0.72±0.005)s. (0.75±0.005)s.(0.43±0.005)m. (0.41±0.005)m. (0.77±0.005)s. (0.79±0.005)s.(0.40±0.005)m. (0.84±0.005)s. (0.63±0.005)s.

(100±05)gr. (0.55±0.005)m. (0.70±0.005)s. (0.71±0.005)s. (0.77±0.005)s.(0.55±0.005)m. (0.57±0.005)m. (0.84±0.005)s. (0.73±0.005)s.(0.60±0.005)m. (0.88±0.005)s. (0.75±0.005)s.

MASA (gramos) DISTANCIA (metros) Promedio Distancia TIEMPO(segundos) Promedio Tiempo(120±05)gr. (0.60±0.005)m. (0.96±0.005)s. (0.75±0.005)s. (0.77±0.005)s.

(0.66±0.005)m. (0.63±0.005)m. (0.90±0.005)s. (0.99±0.005)s.(0.62±0.005)m. (1.02±0.005)s. (0.90±0.005)s.

(140±05)gr. (0.80±0.005)m. (1.05±0.005)s. (1.11±0.005)s. (1.09±0.005)s.(0.80±0.005)m. (0.80±0.005)m. (1.11±0.005)s. (1.15±0.005)s.(0.81±0.005)m. (1.04±0.005)s. (1.07±0.005)s.

(160±05)gr. (0.85±0.005)m. (1.14±0.005)s. (1.27±0.005)s. (1.21±0.005)s.(0.90±0.005)m. (0.88±0.005)m. (1.29±0.005)s. (1.26±0.005)s.(0.90±0.005)m. (1.17±0.005)s. (1.15±0.005)s.

(180±05)gr. (0.95±0.005)m. (1.46±0.005)s. (1.27±0.005)s. (1.31±0.005)s.(1.00±0.005)m. (0.98±0.005) (1.30±0.005)s. (1.24±0.005)s.(1.00±0.005)m. (1.32±0.005)s. (1.26±0.005)s.

(200±05)gr. (1.10±0.005)m. (1.31±0.005)s. (1.36±0.005)s. (1.34±0.005)s.(1.10±0.005)m. (1.10±0.005)m. (1.39±0.005)s. (1.24±0.005)s.(1.10±0.005)m. (1.45±0.005)s. (1.32±0.005)s.

Resultados

Tabla 1

MASA (m) Tiempo (t)(20±0.5)gr. (0.52±0.005)s.(40±0.5)gr. (0.57±0.005)s.(60±0.5)gr. (0.72±0.005)s.(80±0.5)gr. (0.75±0.005)s.(100±0.5)gr. (0.77±0.005)s.(120±0.5)gr. (0.77±0.005)s.(140±0.5)gr. (1.09±0.005)s.(160±0.5)gr. (1.21±0.005)s.(180±0.5)gr. (1.31±0.005)s.(200±0.5)gr. (1.34±0.005)s.

De la tabla anterior, tomando los

promedios de las medidas que nos

interesan, obtenemos esta segunda tabla, a la que llamaremos Tabla

1.


Gráfica de la Tabla 1 en milimétrico


20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

m (gr)

T (s)

Interpretación de las gráficas

Como pudimos ver en la gráfica en papel milimétrico, es evidente que existe una falla, muy probablemente debida a algún error en el experimento (el cual especificaremos más adelante); por lo cual decidimos hacer una nueva toma de datos, pero antes, haremos un análisis de la Tabla 1, para después compararla con la segunda muestra de datos.

Debido a que la expresión que estamos manejando (T=pmk) es de tipo potencial, trataremos los datos como tal. Graficaremos en papel logarítmico, linealizaremos por mínimos cuadrados y llegaremos a la función potencial correspondiente.


Graficando la Tabla 1 en logarítmico.

10 100

m (gr)

T (s)

Linealizando por mínimos cuadradosCon el cambio de variable x=log(m) , Y= log(T)

PUNTOS Xi Yi1 1.3 -0.28 -0.37 1.69 0.08 0.09 0.012 1.6 -0.25 -0.39 2.57 0.6 0 03 1.78 -0.14 -0.25 3.16 0.2 0.03 04 1.9 -0.13 -0.24 3.62 0.02 0 05 2 -0.12 -0.24 4 0.01 -0.04 06 2.08 -0.12 -0.24 4.32 0.01 -0.01 07 2.15 0.04 0.08 4.61 0 0.06 08 2.2 0.08 0.18 4.86 0.01 0.08 0.019 2.26 0.11 0.26 5.09 0.01 0.09 0.0110 2.3 0.13 0.29 5.3 0.02 0.08 0.01

N10 19.57 -0.67 -0.92 39.21 0.24 0.04

XiYi X12

Yi2 δyi (δyi)

2

Σxi ΣY1 ΣxiYi ΣX1 Σyi2 ΣδYi Σ(δYi)

2

Aplicando las fórmulas

m=

N ∑i=1

N

x i y i −∑i=1

N

x i ∑i=1

N

y i

N ∑i=1

N

x i2−∑

i=1

N

x i 2

b=

∑i= 1

N

x i2 ∑

i=1

N

y i −∑i=1

N

x i ∑i=1

N

x i y i

N ∑i=1

N

x i2−∑

i=1

N

x i 2

s y=∑i= 1

N

δy i 2

N−2

Δm=s y N

N ∑i=1

N

x i2−∑

i=1

N

x i 2

Aplicando fórmulas

Δb=s y ∑i=1

N

x i2

N∑i=1

N

x i2−∑

i=1

N

x i 2

r=∑i=1

N

x i y i

∑i=1

N

x i2∑

i=1

N

y i2

={1,−1 si todos los puntos coinciden exactamente sobre la recta0, si no hay relación alguna entre las variables

}

y =− 0 . 418± 0 . 061 x 0 . 888± 0 .1220

Gráfica de la función

-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

X

Y

Conversión a una expresión potencial

Y=mX +b

y=axn

Si n= m= -0.418

Y log(a)= b, entonces, a= 10b = 7.726

Entonces:

T= 7.726m-0.418

Donde m es la variable independiente y T la variable dependiente

Gráfica de la función exponencial

En milimétrico En logarítmico

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

m (gr)

T (s)

10 100

X

Y

Tabla 2

Como mencionamos con anterioridad, la gráfica de los datos tomados al principio muestran un error. Tomamos una nueva muestra, esta vez con rango en las masas que va de 10gr. A 100gr. A esta nueva tabla, la denominaremos Tabla 2

MASA (gramos) PERIODO (segundos)(10±05)gr. (0.23±0.005)s.(20±05)gr. (0.34±0.005)s.(30±05)gr. (0.4±0.005)s.(40±05)gr. (0.49±0.005)s.(50±05)gr. (0.52±0.005)s.(60±05)gr. (0.58±0.005)s.(70±05)gr. (0.68±0.005)s.(80±05)gr. (0.75±0.005)s.(90±05)gr. (0.81±0.005)s.(100±05)gr. (0.84±0.005)s.

Gráfica de la Tabla 2 en milimétrico


10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

m (gr)

T (s)

Graficando la Tabla 3 en logarítmico.10 100

0.1

m (gr)T (s)

Linealizando por mínimos cuadradosCon el cambio de variable X=log(m) , Y= log(T)Puntos Xi Yi XiYi Xi² Yi² δYi (δYi)²

1 1.000 -0.638 -0.638 1.000 0.407 0.013 0.0002 1.301 -0.469 -0.610 1.693 0.220 0.012 0.0003 1.477 -0.398 -0.588 2.182 0.158 -0.017 0.0004 1.602 -0.310 -0.497 2.566 0.096 0.000 0.0005 1.699 -0.284 -0.483 2.887 0.081 -0.029 0.0016 1.778 -0.237 -0.421 3.161 0.056 -0.027 0.0017 1.845 -0.167 -0.308 3.404 0.028 0.006 0.0008 1.903 -0.125 -0.238 3.621 0.016 0.015 0.0009 1.954 -0.092 -0.180 3.818 0.008 0.019 0.000

10 2.000 -0.076 -0.152 4.000 0.006 0.009 0.000N Σxi Σyi ΣxiYi Σxi² Σyi² ΣδYi²

10 16.559 -2.796 -4.114 28.332 1.076 0.003

Aplicando las fórmulas

m=

N ∑i=1

N

x i y i −∑i=1

N

x i ∑i=1

N

y i

N ∑i=1

N

x i2−∑

i=1

N

x i 2

b=

∑i= 1

N

x i2 ∑

i=1

N

y i −∑i=1

N

x i ∑i=1

N

x i y i

N ∑i=1

N

x i2−∑

i=1

N

x i 2

s y=∑i= 1

N

δy i 2

N−2

Δm=s y N

N ∑i=1

N

x i2−∑

i=1

N

x i 2

m=10 −4.112 −16.560 −2.795

10 28.335 −16.560 2 = 0.5665

b=28.335 −2.795 −16.560 − 4.112

10 28.335 −16.560 2 =−1.2177

S y= 0.0038

=0.01936

m=0.01936 1010 28.335−16.560 2 =0.0202

Aplicando fórmulas

Δb=s y ∑i=1

N

x i2

N∑i=1

N

x i2−∑

i=1

N

x i 2

r=∑i=1

N

x i y i

∑i=1

N

x i2∑

i=1

N

y i2

={1,−1 si todos los puntos coinciden exactamente sobre la recta0, si no hay relación alguna entre las variables

}

b=0.01936 28.33510 28.335−16.560 2 =0.0341

Y = 0.5665± 0.2020 X − 1.2177 ± 0.0341

¿−4.112

28.335 1.076 =−0.7447

Gráfica de la función0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

XY

Conversión a una expresión potencial

Y=mX +b

y=axn

Si n= m= 0.5665

Y log(a)= b, entonces, a= 10b =0.06057

Entonces:

T= 0.06057m0.5665

Donde m es la variable independiente y T la variable dependiente

Gráfica de la función exponencialEn milimétrico En logarítmico

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

m (gr)

T (s)

10 100 1000

0.1

XY

Discusión

En resumen, a partir de los datos tomados pudimos comprobar que la expresión que nos muestra el periodo

en función de la masa es de tipo potencial.

La fórmula refreja que conforme se usan objetos de mayor masa, el aumenta.


Conclusiones

Dentro de las dificultades, como mencionamos, la primera toma de datos tuvo errores debido a que

nuestro rango de masas era muy alto, lo cual provocó una alteración en el resorte. Para nuestra segunda toma

de datos, limitamos nuestro rango de masas y estuvimos al pendiente de que el resorte no sufriera

cambios.También habría que agregar los errores que como

humanos tenemos al momento de hacer una medición y errores de conceptos.


Agradecimientos

Al MC. Leonel Abad Ortíz por permitirnos el uso de las instalaciones del laboratorio y material, así como

las correcciones hechas.

También a la Dra. Mary Carmen Peña Gomar por su asesoria en el experimento.


Referencias

Movimiento armónico simple. Extraído desde:http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple

Estudio de los modelos de oscilador con un grado de libertad

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm

Movimientos armónicohttp://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-

C/Curiosid/Rc-28/cinemat.htm


http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm

Apéndices


Movimiento Armónico Simple (3)

Movimiento Armónico Simple

Education

introduccin en

montamos en

disminucin en

situado en

incremento en

en total

oscilacin en funcin

algn error en