MOVIMIENTO AMORTIGUADODE LA CINEMTICA A LA
DINMICAIntroduccinNormalmente cuando se estudia el movimiento
armnico amortiguado se parte de los modelos de fuerzadel
resorteydelafuerzadeamortiguamiento. Apartirdelosmodelosdefuerzasse
determinanlas caractersticasdel
movimientoqueresultadelaecuacindemovimientoo aplicacin de la
Segunda Ley de Newton. Para la fuerza del resorte usualmente se
recurre a la Ley de Hooke, que representa un comportamiento
directamente proporcional entre la fuerza con la deformacin del
resorte; mientras que para la fuerza de amortiguamiento el modelo
ms comn es el de un comportamiento directamente proporcional entre
la fuerza y la velocidad. En esta ocasin tomaremos como punto de
partida a la cinemtica del movimiento amortiguado que resulta del
la grfica de deformacin en funcin del tiempo para obtener los
modelos de fuerza, es decir que en lugar de tomas a las causas para
determinar los efectos consideraremos los efectos para definir las
causas.1.Deformacin en funcin del tiempoConsideremos un sistema
Masa-Resorte suspendido, como se indica en la figura 1. Al poner en
movimientoalamasa, ladeformacinenfuncindel
tiempoqueseobtieneesdelaforma presentada en la figura 2, en donde
resalta el hecho de que la amplitud no permanece constante, sino
que va decayendo en el tiempo, a diferencia de lo que ocurre en un
movimiento armnico simple. Adems, todo parece indicar que se
mantiene la periodicidad del movimiento, por lo que se propone como
modelo de ajuste a los datos de la grfica una funcin de la forma:(
) ( ), t sen Ae t xt + (1)siendowla frecuenciade oscilacin; d la
fase inicial del movimiento; y, g un factor de
amortiguamiento.[1]La parteexponencial de la funcincorrespondeal
decaimiento enla amplitud. En la figura 2 se muestra la grfica de
esta funcin de ajuste y en lneas punteadas la amplitud con el
decaimiento exponencial. Masa Posicin de equilibrio x X0 =
0Direccin de movimientoResorte(a) (b)Figura 1. Sistema Masa-Resorte
suspendido.-0.10-0.08-0.06-0.04-0.020.000.020.040.060.080.100.00
2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00Tiempo t
(s)Deformacin x (m) Figura 2. Grfica de deformacin en funcin del
tiempo de un movimiento amortiguado.2 Ecuacin de MovimientoLa
ecuacin de movimiento del sistema est relacionada con la
aceleracin, as comenzamos por determinar a la velocidad a partir de
la deformacin en funcin del tiempo, obteniendo:( )( ) ( ) [ ]dtt
sen Ae ddtt dxt vt + ( ) ( ) ( ) [ ]. t sen t cos Ae t vt + +
(2)Para la aceleracin tenemos:( )( ) ( ) ( ) [ ] { }dtt sen t cos
Ae ddtt dvt at + + ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]. t cos 2 t sen Ae t a2 2 t +
+ (3)Sustituyendo la ecuacin 1 en la 2 tenemos que:( ) ( ) ( ), t x
t cos Ae t vt + de donde resulta:( ) ( ) ( ). t x t v t cos Aet + +
Sustituyendo esta ecuacin y la 1 en la ecuacin de la aceleracin
(ec. 3), obtenemos:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] t x t v 2 t x t a2 2 + (
) ( ) ( ) ( ). t v 2 t x t a2 2 + Multiplicando por la masa a los
lados de la ecuacin, tenemos:( ) ( ) ( ) ( ). t mv 2 t x m t ma2 2
+ (4)Entonces, como el producto de la masa por la aceleracin es
igual a la suma de fuerzas que actan sobre el sistema, de acuerdo
con la Segunda Ley de Newton. En este caso identificamos que hay
una fuerza, que la de restitucin en el sistema, que es directamente
proporcional a la deformacin, es decir, la Ley de Hooke:( ) ( ) (
), t kx t x m F2 2r + (5)en donde asociamos la relacin entre
constantes:,mk202 2 + (6)siendo w0 la frecuencia natural de
oscilacin del sistema, es decir la frecuencia con que oscilara si
no hubiera amortiguamiento.Por otra parte, identificamos la fuerza
de amortiguamiento, que tiene dos caractersticas:1. Es directamente
proporcional a la velocidad; y,2. Su direccin es contraria a la del
movimiento;con el modelo:( ) ( ), t bv t mv 2 Fa (7)siendo b la
constante de amortiguamiento, quedando la relacin entre
constantes:.m 2b (8)En conclusin, la ecuacin 4 representa la
ecuacin de movimiento armnico amortiguado cuando
actanlasfuerzasderestitucinydeamortiguamiento, indicadaspor
lasrelaciones5y7, respectivamente.En cuanto a la relacin 6, entre
las constantes, tenemos que la frecuencia de oscilacin es:( ) ,2 /
12 20 lo que indica que la frecuencia de oscilacin es menor que la
frecuencia natural del sistema; y slo si el amortiguamiento es nulo
o despreciable las frecuencias sern iguales.MOVIMIENTO ARMNICO
AMORTIGUADOEcuacin de Movimiento.Consideremos unsistemaMasa-Resorte
sobreuna mesa horizontalsin friccin.En elMovimientoArmnicoSimplela
fuerza de restitucin del resorte, Fr = -kx, donde k es la constante
de elasticidad y x la deformacin (considerando que el origen de
referencia es la posicin de equilibrio), es la que mantiene el
movimiento oscilatorio de la masa de acuerdo a la ecuacin de
movimiento que se obtiene a partir de la Segunda Ley de Newton,, ma
kx con m la masa; y, a = d2x/dt2, la aceleracin; de donde:, 0 xdtx
d2022 +(1)siendo 0 = (k/m)1/2 la frecuencia natural de oscilacin.
La solucin general de la ecuacin 1, es:( ) ( ), t cos C t x0 1
(2)donde C y son constantes que se determinan mediante las
condiciones iniciales del movimiento. El movimiento descrito a
travs de la ecuacin 2 tiene una amplitud constante en el tiempo, lo
que indica que aun cuando pase mucho tiempo la energa mecnica
delsistema se mantiene constante. La experiencia nos muestra que en
generalel movimiento de los sistemas oscilatorios tienden a
disminuir su amplitud sino existe algo que los mantenga o los
fuerce para mantener o aumentar su amplitud. As que si tratamos de
aproximarnos a realizar una descripcin ms apegada a la realidad
debemos considerar la presencia de una fuerza adicional que poco a
poco le quitar energa mecnica al sistema.Consideremos al sistema
Masa-Resorte en el que adems de la fuerza de restitucin del resorte
se tiene la presencia de una fuerza Fa(t)quetratade amortiguarel
movimiento. El modeloparalafuerzade amortiguamiento,si esdebidaal
movimiento de la masa a travs de un medio (por ejemplo el aire),
tiene dos caractersticas:1) Siempre se opone al movimiento, lo que
significa que est en direccin contraria a la velocidad; y2) Es
directamente proporcional a la magnitud de la velocidad.La primera
caracterstica es generalpara las fuerzas de amortiguamiento;
mientras que la segunda es la caracterstica propiadel
modelopropuesto, esdecir queotrosmodelospuedentener
otrotipodedependenciaparalafuerzade amortiguamiento. De acuerdo al
modelo propuesto, la fuerza de amortiguamiento se puede escribir en
la forma:( ) ( ), t bv t Fa (3)donde b es la constante de
amortiguamiento. Entonces la ecuacin de movimiento de la masa, de
acuerdo con la Segunda Ley de Newton, es:, ma bv kx donde m es la
masa; a es la aceleracin; k es la constante de elasticidad; y, x la
posicin, considerando que la posicin de equilibrio es el origen de
referencia. Sea 0 la frecuencia natural, con 02 = k/m, y = b/2m el
factor de amortiguamiento, entonces la ecuacin de movimiento se
puede escribir como:. 0 xdtdx2dtx d2022 + +(4)La ecuacin 4 es la
ecuacin tpica del Movimiento Armnico Amortiguado. Para obtener
explcitamente a la posicin en funcin del tiempo que satisfaga a la
ecuacin de movimiento, vemos que la funcin que buscamos debe ser
igual a la primeray segunda derivadadelafuncinexceptopor una
constante, y esolosatisfacelafuncinexponencial. Consideremos como
solucin de la ecuacin de movimiento a:( ) , Be t xnt (5)con B y n
constantes por determinar. Sustituyendo la solucin propuesta en la
ecuacin 4, tenemos:( ) . 0 Be n 2 nnt 202 + +resolviendo la ecuacin
cuadrtica para n se tiene dos valores,( ) ( ) , n y, ; n2 / 120222
/ 12021 + de tal manera que la solucin antes propuesta en la
ecuacin 5 ahora se expresa como:( )( ) ( ). e B e B t xt2t12 /
12022 / 12021]1
1]1
+ + Factorizando la primera parte de la dependencia exponencial,
tenemos:( )( ) ( ). e B e B e t xt2t1t2 / 12022 / 12021]1
+ (6)Las constantes B1 y B2 se determinan mediante las
condiciones iniciales. La solucin expresada en la ecuacin 6 es la
solucin general para el movimiento para cuando es diferente de 0.
Las caractersticas del movimiento resultante estn dadas por la
relacin entre el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural
0, que determina el valor del exponente de las funciones
exponenciales que aparecen dentro de los corchetes; sin embargo,
cualquiera que sea esta relacin, la masa va a tender a detenerse
debido al decaimiento exponencial indicado por la funcin
exponencial que multiplica a las dos funciones dentro de los
corchetes.En el caso de que es igual a 0 la solucin indicada en la
ecuacin 6 se reduce a:( ) ( ) . e C B B e t xt1 2 1t1 + (7)Una
segunda solucin de la ecuacin de movimiento en este caso es de la
forma:( ) ; te C t xt2 2 (8)por lo que la solucin general cuando es
igual a 0, es:( ) ( ). t C C e t x2 1t+ (9)2.Movimiento
Sobreamortiguado.Si el factor de amortiguamiento es mayor que la
frecuencia natural 0, el radical en el exponente de las
exponenciales de la solucin 6 son menores que el factor de
amortiguamiento,( ) ,2 / 1202 < porloquelafuncinexponencial
quemultiplicaaB1crecemslentamentedeloquelafuncinexponencial quese
encuentra fuera de los corchetes tiende a cero. La velocidad de la
masa en el movimiento sobreamortiguado es:( ) ( )( )( )( ). e B e B
e t vt22 / 1202 t12 / 1202 t2 / 12022 / 1202;'1]1
+1]1
+ (10)Si las condiciones iniciales son x(0) = x0, y v(0) = v0,
entonces, aplicadas a las ecuaciones 6 y 10 resultan las
relaciones:; B B x2 1 0+ (11)( ) ( ) , B B v22 / 120212 /
120201]1
+1]1
+ (12)de donde se obtiene el valor de las constantes B1 y B2,
resulta:( )( ),2x vB2 / 120202 / 120201 1]1
+ + (13) ( )( ).2v xB2 / 12020 02 / 12022 1]1
+ (14)Enel casodel
sobreamortiguamientolamasanotieneoportunidaddeoscilar,ycualquieraqueseanlascondiciones
iniciales, la tendencia delmovimiento es la de llevar a la masa
hacia la posicin de equilibrio. La figura 1 muestra las
caractersticas de este movimiento para la misma posicin inicial y
tres diferentes valores de velocidad inicial v0 = 0.0 m/s (lnea
gruesa), v0 = 10.0 m/s (lnea punteada), y v0 = -10.0 m/s (lnea
delgada), con x0 = 1.0 m, = 11.0 rad/s, 0 = 10.0 rad/s. 0 0.2 0.4
0.6 0.8Tiempo tHsL00.20.40.60.811.2noicisoPxHtLHmLFigura 1. Grfica
de la posicin en funcin del tiempo, con los valores velocidad
inicial de v0 = 0.0 m/s (lnea gruesa), v0 = 10.0 m/s (lnea
punteada), y v0 = -10.0 m/s (lnea delgada).MOVIMIENTO ARMNICO
FORZADOEcuacin de Movimiento. Consideremos un sistema Masa-Resorte
en el que adems de la fuerza de restitucin del resorte se tiene la
presencia de una fuerza Ff(t) que trata de forzar el movimiento de
la masa. Si la fuerza de forzamiento es una funcin armnica en el
tiempo, con frecuencia angular wf, y amplitud F0, de la forma:( ) (
), t cos F t Ff 0 f (1)la ecuacin de movimiento de la masa, de
acuerdo con la Segunda Ley de Newton, es:( ) , ma t cos F kxf 0 +
dondemeslamasa; aeslaaceleracin; keslaconstantedeelasticidad; y,
xlaposicin, considerando que la posicin de equilibrio es el origen
de referencia. Sea w0 la frecuencia natural, con w02 = k/m,
entonces la ecuacin de movimiento se puede escribir como:( ). t
cosmFxdtx df0 2022 +(2)2.Solucin de la Ecuacin de Movimiento.
Sabemos que la posicin en funcin del tiempo dada por( ) ( ), t cos
C t x0 1 (3)donde C y d constantes que se determinan con las
condiciones iniciales, es solucin general de la ecuacin del
Movimiento Armnico Simple,, 0 xdtx d2022 +(4)por lo que es parte de
la solucin de la ecuacin de movimiento con forzamiento (ec. 2). La
otra parte de la solucin debe ser tal que al sustituirla en los
trminos de la izquierda en la ecuacin de movimiento (ec. 2),
resulte la funcin armnica de la derecha de la igualdad; por lo que
de manera natural podemos proponer que la segunda parte de la
solucin sea de la forma:( ) ( ), t cos B t xf 2 (5)donde B es la
constante. Para determinar a la constante B sustituimos la solucin
5 en la ecuacin 2, obteniendo:( ) ( ) ( ), t cosmFt cos Bf0f202f +
de donde se tiene que el valor de la constante B, para wf w0, es:(
).mFB2f200 (6)Entonces la solucin general completa de la ecuacin de
movimiento resulta:( ) ( ) ( ) t x t x t x2 1+ ( ) ( )( )( ). t
cosmFt cos C t xf2f2000 + (7)Por lotantoel movimientoengeneral
correspondeaunasuperposicindedosmovimientos armnicos que tienen
diferente amplitud y diferente frecuencia. Dependiendo de las
condiciones iniciales sern los valores de las constantes C y d. La
velocidad del movimiento de la masa es:( ) ( )( )( ); t senmFt sen
C t vf2f20f 00 0 (8)y la aceleracin es:( ) ( )( )( ). t cosmFt cos
C t af2f202f 0020 + (9)Supongamos que las condiciones iniciales son
x(0) = x0, y v(0) = v0, entonces al aplicarlas a las ecuaciones 7 y
8, obtenemos las relaciones:( )( ),mFcos C x2f2000 + (10)( ); sen C
v0 0 (11)dedondesedeterminael valor delasconstantesCyd.
Dependiendodelafrecuenciadel forzamiento respecto a la frecuencia
natural ser la importancia del valor del segundo trmino en
larelacin10comparadoconel valordelaposicininicial
x0paradeterminarel valordela constante C; y, de ah su importanciaal
comparar los dos trminos de la solucin 7.Las figuras 1 a 4 muestran
las grficas de la posicin (ec. 7) en funcin del tiempo para
distintos valoras de la frecuencia de forzamiento. Los parmetros
que son iguales en todas las grficas son: w0 = 10.0 rad/s; F0 =
10.0 N; m = 1.0 kg; x0 = 1.0 m; y, v0 = 0.0 m/s. Dependiendo de la
frecuencia de forzamiento es la forma en que se modula la amplitud.
Si la frecuencia de forzamiento es cercana a la frecuencia natural
(figuras 2 y 3), es decir que w02- wf2es grande, la amplitud del
movimiento resultante de lugar a pulsos o paquetes de oscilaciones,
es decir que la amplitud al inicio de estos paquetes comienza en su
valor menor (prcticamente nula en la figura 2), para luego alcanzar
su mximo, y de nuevo volver a su valor menor. Si la frecuencia de
forzamiento no es cercana a la frecuencia natural, es decir que w02
- wf2 es pequea, entonces la variacin en la amplitud se manifiesta
en una forma diferente, como se ilustra en las figuras 1 y 4. 0 2 4
6 8 10 12TiempotHsL- 1- 0.500.51noicisoPxHtLHmL 0 5 10 15 20 25
30TiempotHsL- 2- 1012noicisoPxHtLHmLFigura 1. Grafica de la posicin
en funcin del tiempo, con wf = 1.0 rad/s.Figura 2. Grafica de la
posicin en funcin del tiempo, con wf = 9.7 rad/s. 0 2 4 6 8 10 12
14TiempotHsL- 2- 1012noicisoPxHtLHmL 0 2 4 6 8 10TiempotHsL- 1-
0.500.51noicisoPxHtLHmLFigura 3. Grafica de la posicin en funcin
del tiempo, con wf = 11.0 rad/s.Figura 4. Grafica de la posicin en
funcin del tiempo, con wf = 14.1 rad/s.3.Resonancia.Para fijar
algunas ideas respecto a la amplitud y la importancia relativa de
los dos trminos de la solucin general (ec. 7), consideremos que la
velocidad inicial es nula, por lo que la fase inicial resulta nula
(ec. 11), obtenindose a la posicin en funcin del tiempo, ecuacin 7
con el valor de la constante C dada por la ecuacin 10, como:( )( )(
)( )( ). t cosmFt cosmFx t xf2f20002f2000 +
,_
(12)Si la diferencia w02 - wf2 es grande, la amplitud del primer
trmino de la ecuacin 12 tiende a ser igual a x0, y el segundo
trmino tender a ser solo una pequea perturbacin. Por otra parte, si
la diferencia w02 - wf2 es pequea, entonces x0 es despreciable en
el primer trmino de tal forma que la ecuacin 12 se puede escribir
de la siguiente manera: [1]( )( )( ) ( ) [ ]. t cos t cosmFt xf
02f200 +
,_
Utilizando la identidad trigonomtrica de la diferencia del
coseno de dos ngulos diferentes, se puede transformar la ecuacin
para que quede de la forma:( )( )( ) ( ). t2sen t2senmF 2t xf 0 f
02f2001]1
+
,_
1]1
(13)En la ecuacin 13, la constante por la primera de las
funciones armnicas tiene una frecuencia angular muy pequea, por lo
que constituye la envolvente o amplitud de la segunda funcin
armnica que tiene una frecuencia aproximadamente igual a w0. La
figura 5 muestra la grfica de la funcin de la posicin en el tiempo
(ec. 13), en las regiones oscuras en realidad se tiene una gran
cantidad de oscilaciones (ver las escalas de tiempo y de posicin).
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000Tiempo tHsL- 10000-
50000500010000noicisoPxHtLHmLFigura 5. Grafica de la posicin en
funcin del tiempo, con wf = 10.01 rad/s.Lafigura6 muestra la
amplituddelas oscilaciones, F0/m(w0 2-wf2), en funcin de la
frecuencia angular wf considerando que x0 = 0.0 m, y v0 = 0.0
m/s.Figura 6. Grafica de la amplitud en funcin de la frecuencia
angular wf.Para la frecuencia angular wf = w0se tiene una
discontinuidad en la solucin general presentada, por lo que la
solucin indicada en la ecuacin7noesaplicableen este caso. Si la
frecuencia de forzamiento es igual a la frecuencia natural,
lasegundapartedelasolucinpropuesta(ec. 5) yanoesaplicable;
sinembargo, sedebe proponer una solucin que involucre funciones
armnicas con la frecuencia angular de forzamiento; en este caso se
propone como segunda parte de la solucin a:( ) ( ) ( ) [ ]. t sen B
t cos B t t xf 2 f 1 M 2 + (14)Sustituyendo la solucin propuesta en
la ecuacin de movimiento (ec. 2), tenemos:( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ](
) ( ) [ ] ( ). t cosmFt sen B t cos B t t sen B t cos B t t cos B t
sen B 2f0f 2 f 120f 2 f 12f f 2 f 1 f + + + + Considerando wf = w0,
queda la relacin:( ) ( ) [ ] ( ), t cosmFt cos B t sen B 2f0f 2 f 1
f + de donde se obtiene a las constantes:, 0 B1 ;m 2FB002de tal
manera que la solucin general completa queda en la forma:( ) ( ) (
). t sen tm 2Ft cos C t x0000+ (15)A partir de esta expresin
obtenemos a la velocidad:( ) ( ) ( ) ( ) [ ]; t cos t t senm 2Ft
sen C t v0 0 0000 0 + + (16)y la aceleracin resulta:( ) ( ) ( ) ( )
[ ]. t sen t t cos 2m 2Ft cos C t a020 0 000020 + + (17)Si las
condiciones iniciales son x(0) = x0, y v(0) = v0, entonces al
aplicarlas a las ecuaciones 15 y 16 se obtienen las relaciones para
determinar a las constantes C y d:( ), cos C x0 (18)( ). sen C v0 0
(19)La figura 7 muestra la grfica de la posicin en funcin del
tiempo con los valores w0 = 10.0 rad/s; F0=10.0N;m=1.0kg;x0=1.0m;y,
v0=0.0m/s.Enlagrficaseobservalaformade crecimientolineal
enlaamplituddel movimiento; estoesdeesperarseal considerarquela
frecuenciadeforzamientotiendealafrecuencianatural el
perododelaenvolventetiendea infinito (verfigura 5). Entonces,
podemos concluirque cuando la frecuenciadeforzamiento es igual a la
frecuencia natural tenemos resonancia en la amplitud, y adems esta
es la forma ms eficiente de proporcionarle energa al sistema, es
decir que el sistema tiene tambin resonancia en la energa. 0 5 10
15 20FrecuenciawfHradsL0.250.50.7511.251.51.752dutilpmABHmL0 5 10
15 20FrecuenciawfHradsL0.250.50.7511.251.51.752dutilpmAHmL 0 2.5 5
7.5 10 12.5 15TiempotHsL- 7.5- 5- 2.502.557.5noicisoPxHtLHmLFigura
7. Grafica de la posicin en funcin del tiempo, con wf = w0.[1] Esto
se cumple en general para las condiciones de v0 = 0, y x0 = 0, aun
cuando la diferencia w02 - wf2 no sea pequea.ANLISIS DE ENERGAS DEL
MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADOEnerga Mecnica. La energa mecnica del
sistema Masa-Resorte, con amortiguamiento es:, E E Epr k m+ (1)con
Ek la energa cintica de la masa:, mv21E2k(2)siendo m la masa, y v
la rapidez; y, Epr la energa potencial asociada a la fuerza de
restitucin del resorte:, kx21E2pr(3)siendo k la constante de
elasticidad del resorte, y x el desplazamiento de la masa respecto
a la posicin de equilibrio.Consideremos que la posicin de la masa
en funcin del tiempo est dada por la relacin:( ) ( ), t cos Ce t xt
(4)en donde C es una constante, g es el factor de amortiguamiento
que es igual a b/2m, con b la constantedeamortiguamiento;
wlafrecuenciaangular; t el tiempo; y, dlafaseinicial. La velocidad
de la masa es:( )( )( ) ( ) [ ]. t sen t cos Cedtt dxt vt +
(5)Sustituyendo las expresiones de la posicin y la velocidad en las
de las energas cintica (ec. 2) y la energa potencial del resorte
(ec. 3), se tiene la energa mecnica (ec. 1) en funcin del tiempo;(
) ( ) ( ) [ ] ( ). t cos e kC21t sen t cos e mC21t E2 t 2 2 2 t 2
2m + + desarrollando el binomio al cuadrado, y considerando la
relacin de la frecuencia natural w0:,mk2 / 10
,_
y la relacin de la frecuencia angular w:,2 202 la energa mecnica
se escribe como:( ) ( ) [ ] ( ) [ ]11]1
+ + t 2 sen t 2 cos 1 e kC21t E20202t 2 2m( ) ( ), t f e kC21t
Et 2 2m (6)siendo f(t) la funcin:( ) ( ) [ ] ( ) [ ]. t 2 sen t 2
cos 1 t f20202 + + (7)Si T es el perodo de oscilacin con T = 2p/w,
la funcin f(t) es una funcin peridica con perodo
T/2.Enlafigura1semuestraalafuncinf(t)paralosvaloresparticularesdemasam=1.0kg,
constante de elasticidad k = 1.0 N/m, fase inicial d = 0, constante
C = 1.0 m y constante de amortiguamiento b = 0.2 kg/s. 5 10 15 20
25TiempotHsL0.20.40.60.81fHtLFigura 1. Grfica de la funcin f(t)
dada en la ecuacin
7.Enlafigura2sepresentalagrficadelafuncinquemultiplicaalaf(t)
enlaecuacin6, correspondiente al decaimiento exponencial. 5 10 15
20 25TiempotHsL0.10.20.30.40.5otneimiaceDHmLFigura 2. Grfica de la
funcin del tiempo que multiplica a f(t) en la ecuacin 6.En la
figura 3 se muestra las grficas de la energa cintica, energa
potencial del resorte y la energa mecnica en funcin del tiempo de
un movimiento amortiguado, tambin se incluye la lnea de la energa
total que es igual a la energa mecnica inicial,[ ] [ ] . 2 sen 2
cos 1 kC21E2020220 m11]1
+ + (8)La diferencia entre la energa mecnica y la energa mecnica
inicial es el trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento. 5
10 15 20 25TiempotHsL0.10.20.30.40.5aigrenEEHJLFigura 3. Grfica
delas energas en funcin del tiempo. La lnea gruesa descendente es
la energa mecnica, y la ascendente es la energa que se pierde por
el amortiguamiento. Las lneas a trazos son las energas potencial
(comenzando aproximadamente en 0.5 J) y cintica (comenzando
aproximadamente en cero).2.Factor de Calidad Q.El
cambioenlaenergamecnicasedebeaquelafuerzadeamortiguamientosiemprees
contraria a la direccin del movimiento, por lo que su trabajo en el
tiempo es negativo, es decir, igual al cambio en la energa mecnica.
En particular, la fraccin de energa mecnica perdida en cada
oscilacin permite definir al factor de calidad o simplemente factor
Q, de manera que:( )( ).Q2t Et Emm(9)De la ecuacin 6, el cambio en
la energa mecnica en un perodo de oscilacin es:( ) ( )( )( ) ( ) t
f e kC21T t f e kC21t E T t E Et 2 2 T t 2 2m m m + + + ( )[ ] 1 e
t f e kC21ET 2 t 2 2m ( )[ ]; 1 e t E ET 2m m de tal manera que la
energa perdida en cada oscilacin depende del tiempo, por lo que se
pierde ms energa en las primeras oscilaciones que en las
finales.Por otra parte, la fraccin de energa mecnica prdida en cada
oscilacin es independiente del tiempo,( )( ), 1 et Et E/ Tmm
(10)siendo t una constante de tiempo dada por:.bm21 (11)Combinando
las ecuaciones 9 y 10, tenemos en general que el factor de calidad
Q toma la forma:.1 e2Q/ T (12)Como e-T/t es menor que 1, tenemos
que:; 1 e 1 1 e/ T / T< por lo que en general, el factor de
calidad Q es mayor a 2p. De hecho si el amortiguamiento es "grande"
(pero el movimiento aun es subamortiguado), la cantidad e-T/t puede
ser cercana a cero, por lo que el factor de calidad es
aproximadamente igual a 2p.Por otra parte, si el amortiguamiento es
pequeo, es decir que elvalor de b es pequeo, la constante de tiempo
es grande, por lo que el cociente T/t es una cantidad pequea, de
tal forma que la funcin exponencial en la ecuacin 8 se puede
aproximar mediante los primeros trminos del desarrollo en serie de
Taylor como;T1 e/ T quedando la fraccin de energa perdida por cada
oscilacin (ec. 10), como:( )( ).mTb Tt Et Emm (14)De acuerdo a la
ecuacin 9, el factor Q, resulta.bmbmT2Q (15)Una constante de
amortiguamiento pequea dar un factor Q alto, indicando que la
prdida de energa mecnica por cada oscilacin es reducida.Para tratar
de dar un sentido a la constante de tiempo t, consideremos a E0(t)
igual al producto de los trminos que estn multiplicando a la funcin
f(t) en la ecuacin 6,( ) . e kC21t E/ t 20 (16)Esta funcin evaluada
en t = 0, toma el valor E0(0) = kC2/2; mientras que evaluada en el
tiempo t = t, es:( )1 20e kC21E ( ) ( ), 0 E ) 37 . 0 ( E0 0 es
decir que en el tiempo t = t la funcin tiene un 37% del valor
inicial. Entonces, el sentido de la constante de tiempo t es que
despus de un tiempo t = t, la energa mecnica
prcticamentedecaeosepierdeenun63%. Si consideramosel tiempot =5t
(laenergamecnicaes prcticamente el 0.67% de la energa inicial), se
podra considerar, para propsitos prcticos, que la energa mecnica se
ha perdido en su totalidad; sin embargo, se debe tener cuidado pues
en estetiempolaamplituddelaoscilacin(verec. 4), aunes el
8.2%delaamplitudinicial, aproximadamente. En todo caso, para el
tiempo t = 10t, la amplitud cae hasta el 0.67% de la inicial,
mientras que la energa mecnica es el 0.004% de la inicial, y se
puede considerar que el sistema se ha detenido.