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Movimiento Bajo la Accion de una
Fuerza Central
Mario I. Caicedo
Departamento de Fsica, Universidad Simon Bolvar
Indice
1. Introduccion al Momentum Angular 3
2. Ley de las Areas 6
3. Leyes de Kepler 7
3.1. Descubriendo la Ley de Gravitacion Universal . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 8
3.2. La ley de cubos y cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 11
4. Consideraciones energeticas: El Potencial Efectivo 12
1
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5. Introduccion al Problema de Kepler 15
6. Resumen 19
7. Problema de Revision 20
8. Problemas propuestos 22
9. Tema Avanzado I: Ecuacion de la orbita 24
10.Tema avanzado II: Solucion al al Problema de Kepler 26
11.Apendice: Secciones Conicas 29
2
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1. Introduccion al Momentum Angular
Consideremos una partcula que se mueve bajo la accion de una
fuerza central, esto es, una
fuerza paralela a la lnea que une a la partcula con un punto
fijo (O) denominado el centro de
fuerzas y cuya magnitud solamente depende de la distancia entre
la partcula dicho punto1 .
Por el momento supondremos que el movimiento ocurre en un plano
(afirmacion que pro-
baremos mas adelante). Estas hipotesis sobre la fuerza y el
movimiento sugieren utilizar un
sistema de coordenadas polares centrado en O, lo que permite
escribir directamente las sigu-
ientes expresiones generales para fuerza y la aceleracion
~F = F (r) ur (1)
~a = (r r 2) ur + (r + 2 r ) u (2)
Al utilizar la segunda ley de Newton obtenemos las siguientes
ecuaciones para r y
r r 2 = F (r)M
(3)
r + 2 r = 0 (4)
donde evidentemente M representa la masa de la partcula. La
ecuacion (4) permite concluir
que (vea el problema (1))
Mr2 = ` = constante. (5)
Concentremonos por un momento en la igualdad (5). En primer
lugar debemos recalcar que
la constancia de ` no implica que la distancia al origen de
coordenadas (r) o la velocidad
1si quiere imaginar un ejemplo aproximado piense en la rotacion
anual de la tierra en su orbita alrededor del
sol
3
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angular () sean constantes. Lo que es constante es el producto
de ambas cantidades. Esta
observacion tiene una implicacion geometrica acerca del
movimiento de la partcula sobre la
cual comentaremos mas adelante (vease la secion 2). En segundo
lugar, observemos que la
igualdad (5) se puede reescribir en la forma
` = r(Mr) =(~r Mru
). k (6)
donde k = ur u es un vector unitario ortogonal al plano en que
ocurre el movimiento. Laformula (6) no dice mucho, sin embargo, si
recordamos que ur ur = 0 podemos anadir un 0en la formula (6) para
obtener una nueva expresion para `
` =(~r (Mru +Mrur)
). k (7)
ahora bien, en coordenadas polares la velocidad se escribe en la
forma: ~v = rur + ru, as que,
al usar que el momentum de una partcula se define como ~p =M~v,
podemos concluir finalmente
que el numero ` puede expresarse de manera bastante natural en
terminos de dos cantidades
fsicas (la posicion y el momentum) muy bien definidas segun:
` = (~r ~p) . k (8)
Ahora bien, evidentemente ~r ~p es un vector ortogonal al plano
y ` no es otra cosa que suproyeccion a lo largo del vector k = ur
u. En definitiva, y recapitulando hasta este punto,hemos encontrado
que:
Si el movimiento bajo la accion de una fuerza central es en un
plano entonces el
vector
~L ~r ~p (9)
4
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es constante.
El vector ~L denominadoMomentum Angular es una cantidad fsica de
importancia fundamental
que aparece inexorablemente ligada a la descripcion de la
dinamica de objetos no puntuales,
cabe comentar que la definicion del momentum angular (formula
(9)) es bastante natural y que
surge inducida por el hecho de que la fuerza es central.
Nuestro resultado acerca de la constancia de ~L depende de
introducir la hipotesis simpli-
ficadora segun la cual el movimiento es en un plano. Cabe
preguntarse acerca de la validez
de esta hipotesis. A continuacion utilizaremos la la definicion
de ~L para demostrar rigurosa-
mente que el movimiento de una partcula bajo la accion de una
fuerza central ocurre efectiva
y necesariamente en un plano.
Para lograr la demostracion comenzaremos por probar que, bajo la
hipotesis de fuerzas
centrales, el Momentum Angular es constante. En efecto, usando
la definicion de ~L, su derivada
temporal se calcula facilmente
d~L
dt= ~r ~p+ ~r ~p = 0 + ~r ~F , (10)
ahora bien, la fuerza es central si y solo si ~F ||~r en cuyo
caso, el segundo sumando de la igualdad(10) se anula y eso
demuestra que ~L es un vector constante.
Para concluir la demostracion observemos que, por definicion, ~L
es ortogonal al plano for-
mado por el radio vector de posicion de la partcula (~r) y a su
mpetu (~p), como ~L es constante,
dicho plano tiene que ser fijo.
5
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2. Ley de las Areas
Habamos adelantado que la constancia de ` tena una implicacion
geometrica sumamente
interesante, y este es un buen momento para discutir este punto.
Consideremos el triangulo
infinitesimal formado por el origen de coordenadas y dos puntos
del movimiento separados por
un intervalo de tiempo infinitesimal (dt). El area de dicho
triangulo esta dada por (por que?)
dA =1
2|~r(t+ dt) ~r(t)| (11)
pero:
~r(t+ dt) = ~v(t) dt+ ~r(t) (12)
as que al sustituir resulta:
dA =1
2|~v(t) ~r(t) dt| = 1
2
M
M|~v(t) ~r(t) dt| = 1
2M|~p(t) ~r(t) dt| = 1
2M|~L(t) dt| (13)
esto es
dA =1
2M`dt (14)
donde hemos utilizado que, como el movimiento es bajo la accion
de una fuerza central, |~L| =` = ctte.
En definitiva, hemos demostrado que
dA
dt=
`
2M. (15)
El significado fsico de esta formula es tremendamente
interesante. Como el movimiento es en
un plano, el radio vector de posicion de la partcula va
barriendo un area, la cantidad
dA
dt(16)
6
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no es mas que la rapidez con la cual se barre dicha area. As que
la formula (15) establece que, en
vista de que ` es constante, esta rata es fija (y proporcional a
`). No es posible sobreenfatizar el
hecho de que las manipulaciones matematicas que nos trajeron
hasta la igualdad (15) garantizan
que esta es valida para cualquier fuerza central sin importar la
forma explcita de la funcion
F (r).
La constancia de dA/dt conocida como Ley de las Areas, fue
descubierta por Johannes
Kepler (1571-1630), quien la establecio para las orbitas
planetarias basandose en las mediciones
astronomicas de Tycho Brahe (1546 1601).
3. Leyes de Kepler
Las mediciones de astronomicas de Brahe le permitieron a Kepler
enunciar las siguientes
tres leyes para los movimientos planetarios
1. Los planetas se mueven a lo largo de orbitas elpticas en uno
de cuyos focos se encuentra
el Sol.
2. Los radios que unen al sol con los planetas barren areas
iguales en tiempos iguales
3. Los cubos de las distancias al sol y los cuadrados de los
perodos son proporcionales.
Hay varios comentarios interesantes que se pueden hacer en
relacion a las leyes de Kepler. El
primero consiste en destacar que los resultados de Kepler fueron
totalmente empricos, es decir,
obtenidos directamente a partir de las observaciones y sin
ninguna referencia a alguna relacion
7
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causa efecto ya que no fue sino hasta los trabajos de Newton que
tales relaciones pudieron
establecerse.
El segundo comentario es el siguiente: a la luz de las leyes de
Newton y segun hemos visto,
resulta evidente que la ley de las areas es un fenomeno asociado
a cualquier fuerza que tenga
caracter central.
Finalmente debemos destacar (como exhibiremos mas adelante) que
la primera y tercera
leyes estan directamente relacionadas con la Ley de Gravitacion
Universal de Newton. Descri-
biendo las cosas en terminos modernos, Newton propuso que entre
cualquier par de partculas
puntuales se establece una fuerza central dada por:
~F = GMMor2
ur (17)
donde, M y M0 son las masas de las partculas, G es una
constante, r la distancia que separa
las partculas y ur el vector unitario que define la radial entre
ambas partculas. El exito de esta
teora de gravitacion proviene del hecho de que las leyes de
Kepler pueden derivarse directamente
a partir de la formula de la fuerza (17) y de las leyes del
movimiento de Newton. La ley del
movimiento elptico requiere la integracion de una ecuacion
diferencial (vease la seccion (10)).
3.1. Descubriendo la Ley de Gravitacion Universal
Es interesante tratar de imaginar el proceso de descubrimiento
de una Ley Fsica2. Supong-
amos que tenemos a nuestra disposicion las tres leyes de Kepler,
las leyes de movimiento de
Newton y la notacion matematica que usamos hoy da. Nuestro
interes se va a centrar en ver
2aprend esta forma pedagogica de presentar el problema del Dr.
Rodrigo Medina (IVIC, USB)
8
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que podemos descubrir al pensar en lo que ocurre cuando
meditamos acerca del movimiento
planetario como es descrito por las leyes de Kepler (esto es,
estamos interesados en hacer algo
de investigacion cientfica!).
En primer lugar, y a la luz de lo que hemos aprendido en la
seccion (2) la ley de las areas
nos hace pensar en que la fuerza que el sol ejerce sobre el
planeta es central y que el centro
de fuerza esta localizado en el sol3 de manera que la ecuacion
radial de movimiento para un
planeta de masa m sera
m(r r 2
)= F (r). (18)
En segundo lugar, el hecho de que la orbita del planeta sea una
elipse con el Sol en un foco nos
permite relacionar la distancia radial entre el Sol y el planeta
y el angulo polar a traves de la
3Debemos resaltar que estamos imaginando que el sol esta fijo en
el centro de fuerzas. En verdad esto no
es cierto, podemos imaginar un sistema de dos partculas de masas
similares -las componentes de un sistema
estelar binario constituyen un buen ejemplo de esto- que
interactuan gravitacionalmente, en tal caso y si el
sistema formado por ambas partculas se encuentra muy lejos de
cualquier otra fuente de gravitacion, ambas
partculas ejecutaran una danza en la cual ninguna de las dos
esta fija. En el caso de la tierra y el sol ocurre
que la masa del sol es fantasticamente mayor que la de la tierra
y esto provoca que desde todo punto de vista
practico se pueda considerar al sol como fijo
9
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ecuacion conica (0 < 1)4:r =
1 + cos , (19)
igualdad en que debe entenderse que la dependencia temporal de r
esta codificada (implcita)
en la dependencia temporal del angulo polar.
Al calcular la velocidad radial (r) se obtiene
r = (1 + cos )2
( sen ) = `m
sen , (20)
donde hemos usado que, como la fuerza es central,
` = mr2 = ctte. (21)
Diferenciando r con respecto al tiempo se obtiene la aceleracion
radial (r)
r = `
mcos =
`2
m2
cos
r2(22)
que al ser sustituida en el lado izquierdo de la ecuacion de
movimiento, lleva al resultado
m(r r 2
)= m
( `2
m2
cos
r2 `
2
mr3
)=
=`2
mr2
( cos
r
)=
4La excentricidad () caracteriza el tipo de conica como
sigue:
> 1 hiperbola.
= 1 parabola.
0 < < 1 elipse
= 0 crculo.
10
-
=`2
mr2[ cos (1 cos )] =
= `2
mr2(23)
comparando con el lado derecho de la ecuacion radial se obtiene
en definitiva
F = r2
con: =1
`2
m(24)
de manera que el uso juicioso de las observaciones
experimentales (leyes de Kepler) y de la
mecanica Newtoniana nos ha permitido mostrar que la ley de las
areas y la primera ley de
Kepler implican que la fuerza entre el Sol y el planeta es
central, atractiva y de magnitud
recproca con el cuadrado de la distancia, es decir:
Hemos redescubierto la ley de Gravitacion Universal!
En la seccion (10) demostraremos el recproco de este resultado,
es decir, probaremos que
el uso de las leyes de movimiento de Newton en conjuncion con
una fuerza que va como 1/r2
implica que las trayectorias deben ser conicas.
3.2. La ley de cubos y cuadrados
La ley de los perodos puede ser mostrada a traves de un
argumento sencillo que exhibe
claramente el alcance del teorema de conservacion del momentum
angular. El argumento parte
de inquirir acerca de las condiciones que permitan la existencia
de una orbita planetaria circular
asociada a la fuerza de gravitacion universal, en cuyo caso y
debido a que ` = constante resulta
claro que la velocidad angular tiene que ser uniforme, de esta
forma, la ecuacion radial
11
-
(3) se puede reescribir en la forma (por que?)
R2 = GMoR2
, (25)
donde R es el radio orbital y M0 es la masa del sol, que estamos
suponiendo fijo en el centro
de fuerzas; de esta ecuacion sigue
R32 = GMo . (26)
Recordando que la frecuencia angular y el perodo estan
relacionados por
T =2pi
(27)
se obtiene inmediatamente
R3
T 2= constante (28)
que no es otra cosa que la tercera ley de Kepler, que en el
contexto de esta presentacion, se
convierte en la condicion que permite la existencia de una
orbita circular de radio R.
La prueba del caso general (orbitas elpticas) es mas engorrosa y
no la presentaremos en
este curso.
4. Consideraciones energeticas: El Potencial Efectivo
Comenzaremos esta seccion demostrando que toda fuerza central es
conservativa. Para tal
fin recordemos que el trabajo realizado por una fuerza para
llevar a una partcula entre los
puntos A y B de una trayectoria C se calcula como sigue
W = BA C
~F . d~r . (29)
12
-
Ahora bien, el diferencial de trayectoria mas general posible en
tres dimensiones esta dado por
d~r = dr ur + d~r , (30)
donde dr ur es un elemento infinitesimal de trayectoria a lo
largo de la direccion radial que une
la partcula con el origen de coordenadas, y d~r un movimiento
infinitesimal en una direccion
arbitraria contenida en el plano ortogonal a ur.
Recordando que estamos estudiando fuerzas centrales y utilizando
un origen de coordenadas
que corresponda con el centro de fuerza, la fuerza queda
descrita por la formula (1) y por lo
tanto
~F . d~r = F (r) dr . (31)
De acuerdo a este resultado, los puntos A y B de la trayectoria
C quedan identificados por susrespectivas distancias al origen de
coordenadas (rA, y rB) de manera que el calculo del trabajo
queda reducido al calculo de la siguiente integral ordinaria
W = rBrA
F (r) dr , (32)
en donde todo rastro de la trayectoria ha desaparecido. En
consecuencia, hemos demostrado que
efectivamente la fuerza es conservativa. En consecuencia, existe
una energa potencial asociada
a la fuerza central dada por la integral
U(P ) = Parb
~F . d~r , (33)
donde P es el punto en que queremos calcular la energa
potencial, y arb es un punto arbitrario.
Debido a la estructura de la fuerza central, el potencial solo
puede depender de la distancia al
origen, razon por la cual, en lo sucesivo, describiremos al
potencial central por la formula
13
-
U(r) = rr0F (s) ds , (34)
donde ahora r0 es un radio arbitrario. Por cierto que esta
ultima formula nos permite escribir
a la fuerza en la forma
~F (r) = dUdr
ur . (35)
Con la ayuda del potencial la energa mecanica total de la
partcula que se mueve bajo la accion
de una fuerza central se escribe en la forma
E =M
2
(r2 + (r)2
)+ U(r) (36)
la conservacion del momentum angular nos permite expresar la
velocidad angular en terminos
del radio
=`
Mr2(37)
lo que en definitiva lleva a la siguiente expresion para la
energa
E =M
2r2 +
`2
2Mr2+ U(r) (38)
podemos obtener una forma bien interesante de esta expresion si
definimos el potencial efectivo
por la igualdad
Ueff `2
2Mr2+ U(r), (39)
en efecto, en terminos del potencial efectivo la formula para la
energa se reduce a la siguiente
expresion
E =Mr2
2+ Ueff (r) (40)
14
-
que es formalmente identica a la formula para la energa de una
partcula que se mueve a lo largo
del eje x (E = mx2
2+ U(x)). Esto nos va a permitir estudiar algunos aspectos muy
generales
del movimiento bajo la accion de fuerzas centrales.
A partir de la formula (40) podemos encontrar la siguiente
expresion general para la rapidez
radial de la partcula
r =
2
M(E Ueff (r)) (41)
de aca podemos calcular directamente los puntos de retorno del
movimiento, es decir los valores
de r para los cuales se anula la rapidez radial.
5. Introduccion al Problema de Kepler
El problema de Kepler consiste en calcular la orbita que
corresponde a la fuerza de grav-
itacion Newtoniana. En esta seccion vamos a aplicar las ideas
que hemos introducido en la
anterior para estudiar algunos aspectos del movimiento bajo la
accion de la gravedad, en este
caso
F (r) = GMM0r2
, (42)
de donde (escogiendo r0 =) se obtiene el potencial
gravitacional
U(r) = GMM0r
, (43)
lo que nos lleva a la siguiente expresion para el potencial
efectivo:
Ueff (r) =`2
2Mr2GMM0
r. (44)
15
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30
20
10
0
10
20
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5r
Figura 1: Los potenciales centrfugo (contnuo) y gravitacional
(en puntos)
El primer aspecto obvio de este potencial efectivo es el hecho
de que tiene dos sumandos de
signo diferente, el segundo consiste en que el potencial se
anula a grandes distancias del origen
region en la cual domina el potencial gravitacional de manera
que
lmrUeff = 0
, (45)
cerca del origen el potencial efectivo es totalmente dominado
por el termino centrfugo y ocurre
que
lmr0Ueff = . (46)
El potencial efectivo tiene una sola raz y un solo mnimo global
(para el cual el valor
de Ueff es negativo). Como veremos a continuacion, estas
propiedades del potencial efectivo
nos permiten discutir algunas caractersticas cualitativas del
movimiento de una partcula bajo
la accion de la gravedad si se conoce su energa mecanica total.
Estudiaremos los tres casos
posibles, a saber: E > 0, E = 0 y E < 0
16
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8
6
4
2
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
r
Figura 2: El potencial efectivo para el problema de Kepler. Note
que el potencial tiene un
mnimo absoluto
1. Comencemos considerando el caso en que E < 0 en este caso
(y asumiendo por supuesto
que 0 > E > Min(Ueff )), los puntos de retorno5, es decir
las soluciones de la ecuacion
E Ueff = E `2
2Mr2+G
MM0r
= 0 (47)
son dos, esto es: hay dos puntos de retorno, y en consecuencia
durante todo el movimiento,
la distancia entre la partcula y el origen debera mantenerse
entre estos dos valores, es
decir
rmin r(t) rmax , (48)
de manera que podemos asegurar que la orbita es acotada.
2. En el caso en que la energa total sea positiva E > 0 solo
hay un punto de retorno y
ademaas la partcula puede escapar al infinito (el movimiento no
es acotado) ya que a
5recordemos que los puntos de retorno son los puntos del
movimiento en que la rapidez radial r es nula
17
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grandes distancias E Mr22
> 0
3. El caso de energa nula E = 0 justamente separa las orbitas
acotadas de las no acotadas,
en efecto, si E = 0 la partcula apenas puede alcanzar el
infinito con velocidad nula.
En general los potenciales centrales atractivos son negativos y
se anulan a distancia infinita
del centro, razones por las cuales algunos de los aspectos que
acabamos de discutir mantienen
su validez. As por ejemplo, las orbitas acotadas estan asociadas
a movimientos con energa
mecanica total negativa.
Hay sin embargo un comentario sobre el que debemos hacer
especial enfasis. El hecho de que
una orbita sea acotada no significa que sea periodica (es decir
que el movimiento se repita exac-
tamente luego de un intervalo finito de tiempo). Las preciosas
orbitas elpticas del movimiento
kepleriano son mas bien excepcionales y bajo ningun concepto
representan la geometra de
las orbitas bajo potenciales generales, de hecho el movimiento
Kepleriano es casi milagroso y
esta inexorablemente ligado al hecho de que la fuerza
gravitacional sea inversa al cuadrado de
la distancia entre las masas.
NOTA Hasta aca usted hemos estudiado el material basico para el
tema de fuerzas centrales
del curso FS1112. Para reforzar el material lea con detenimiento
el ejemplo de la seccion 7 y
por supuesto, haga los problemas propuestos!.
Si usted es curioso seguramente estara interesado en ir un poco
mas alla, con ese fin estudie
los temas avanzados secs. 9 y 10.
18
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6. Resumen
Definicion 1 La fuerza entre dos partculas se denomina central
si y solo si es paralela al
vector ~R que une las dos partculas y su magnitud solo depende
de |~R|.
Definicion 2 El momentum angular de una partcula con respecto a
un origen de coordenadas
O es el vector dado por
~L = ~r ~p , (49)
donde ~r y ~p son la posicion y el momentum de la partcula con
respecto a O.
Teorema 1 El momentum angular de una partcula que se mueve bajo
la accion de una fuerza
central es constante.
Teorema 2 Toda fuerza central tiene una energa potencial
asociada. Mas aun, si ~r es la
posicion con respecto al centro de fuerzas, el potencial se
calcula como:
U(r) = rr0F (s) ds , (50)
donde r = |~r| y r0 es un radio arbitrario.
Teorema 3 Dado el potencial asociado a una fuerza central, la
fuerza se calcula como
~F (r) = U dUdr
ur . (51)
Teorema 4 Al utilizar coordenadas polares en el plano del
movimiento la energa mecanica
total de una partcula de masa M que se mueve bajo la accion de
una fuerza central cuyo
potencial es U(r) se puede expresar en la forma
E =M r
2+ Ueff , (52)
19
-
donde el potencial efectivo es
Ueff =`2
2M r2+ U(r) , (53)
y ` es la magnitud del momentum angular de la partcula
Definicion 3 Los puntos de retorno son los radios para los
cuales la velocidad radial r es nula.
7. Problema de Revision
Ejemplo 1 Una partcula de masa m se mueve bajo la accion de una
fuerza central cuyo
potencial es
U =
r2,
donde es una constante positiva y r la distancia al centro de
fuerza.
1. Determine la fuerza.
2. Que puede decir de la trayectoria de la partcula?
3. La posicion y velocidad iniciales de la partcula de prueba
son
~r0 = x0 i+ z0 k, ~v0 = v0 i ,
Determine la mnima distancia a la que la partcula puede
acercarse al centro de fuerza
Solucion La fuerza asociada al potencial se calcula
sencillamente recordando que la fuerza es
opuesta al gradiente del potencial, es decir (formula 35 de la
seccion 4),
~F = U = dUdr
ur = 2
r3ur , (54)
20
-
como es una constante positiva, la fuerza es siempre paralela al
vector ur (es decir, es una
fuerza repulsiva).
La fuerza es central, y por lo tanto la trayectoria de la
partcula de prueba tiene que estar
contenida en un plano (seccion 1), adicionalmente, como U
siempre es positivo Ueff tambien
lo es, y por lo tanto la energa mecanica total tiene que ser
positiva lo que implica que el
movimiento no puede ser acotado, es decir, la partcula tiene que
escapar al infinito (seccion 5).
Como el momentum angular y la energa total de la partcula son
constantes, la posicion y
velocidad iniciales nos permiten calcular estas cantidades sin
ninguna dificultad (secciones 1 y
4),
~L = m(x0 i+ z0 k
) ~v0 = v0 i = mx0 v0 k i = mz0 v0 j (55)
E =mv202
+
x20 + z20
=mv20 (x
20 + z
20) + 2
2 (x20 + z20)
> 0 . (56)
La energa escrita en terminos de la velocidad radial y el
potencial efectivo es
E =m r2
2+
`2
2mr2+
r2(57)
sustituyendo los resultados (55) y (56), e igualando r = 0 para
calcular la posicion radial del
punto de retorno se obtiene la siguiente ecuacion para rmin:
mv20 (x20 + z
20) + 2
2 (x20 + z20)
=mz20 v
20
2 r2min+
r2min(58)
o equivalentemente
mv20 (x20 + z
20) + 2
2 (x20 + z20)
=mz20 v
20 + 2
2 r2min(59)
de donde sigue:
rmin =
m (x20 + z20) v20 + 2mv20 z
20 + 2
x20 + z
20 . (60)
21
-
Notese que si la velocidad inicial fuera nula, la distancia de
mnimo acercamiento sera
rmin =x20 + z
20 . (61)
que no es otra cosa que la distancia inicial al centro de
fuerza.
8. Problemas propuestos
Problema 1 Demuestre la formula (5). Ayuda: observe que el lado
izquierdo recuerda vaga-
mente a la derivada de un producto, multiplique la ecuacion (4)
porM r -el factorM esta all por
conveniencia posterior- y observe lo que ocurre )
Problema 2 Muestre que la ecuacion
r =
1 + cos , (62)
describe una conica en coordenadas polares
Problema 3 A que altura sobre la superficie terrestre debera
colocarse un satelite cuya orbita
es circular para que esta sea geoestacionaria?
Problema 4 Sabiendo que el radio orbital medio de Marte es
aproximadamente 1,52 veces el
radio orbital terreste, Cual sera el perodo orbital
marciano?
Problema 5 El perodo de Pluton es de unos 248,5 anos, estime el
radio medio de su orbita.
22
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Problema 6 Una estacion espacial de masa M viaja en el sistema
solar orbitando alrededor
del sol. En un cierto instante la posicion y velocidad de la
estacion espacial estan dadas por los
vectores
~r0 = pi2 j UA , ~v0 =
(i+~j + k
)UA/ano (63)
con respecto a un sistema de referencia cartesiano con origen en
el Sol. Despreciando totalmente
la interaccion gravitacional entre la estacion espacial y
cualquier miembro del sistema solar
distinto del Sol mismo,
1. Encuentre la energa total de la estacion espacial, de acuerdo
a su resultado diga como es
la orbita elptica, parabolica, hiperbolica?.
2. Calcule el momentum angular (~LS) de la estacion espacial y
describa (mas bien, carac-
terize) su plano orbital.
3. Cual es la velocidad radial de la estacion en los puntos de
mnima (perihelio) y maxima
(afelio) distancia entre esta y el Sol?.
4. Determine el afelio y el perihelio de la estacion.
5. Que tiempo requiere la estacion para completar una orbita
alrededor del sol?.
Observacion Una Unidad Astronomica (UA) es una distancia igual
al semieje mayor de la
orbita terrestre. GM0 = 4pi2 (UA)3/ano, M0=masa solar.
Problema 7 Que puede decir de los angulos que forman la
velocidad y la aceleracion de un
planeta en su afelio y su perihelio?
23
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Problema 8 Considere el potencial U(r) = er/r0r
donde es una constante real, r la dis-
tancia al centro de fuerza y r0 una constante positiva.
1. Cuales son las dimensiones de y r0?
2. Encuentre la fuerza asociada a U .
3. Que puede decir de la fuerza en funcion del signo de
9. Tema Avanzado I: Ecuacion de la orbita
Las ecuaciones de Newton (ecuaciones de movimiento) para el
movimiento bajo la accion
de una fuerza central son
M(r r2) = F (r) (64)
M(r + 2r) = 0 (65)
Sabemos que estas son ecuaciones diferenciales que una vez
integradas nos permiten conocer
la posicion de la partcula en funcion del tiempo, es decir, las
funciones r(t) y (t). Sin embargo,
hemos visto que aun sin resolver estas ecuaciones podemos
entender algunos aspectos generales
del movimiento (conservacion del momentum angular, condiciones
para que los movimientos
sean acotados, etc.). Cabe preguntarse si podremos decir algo
mas. Esta seccion esta dedicada
a mostrar que efectivamente este es el caso, para ello
demostraremos que es posible utilizar las
ecuaciones de movimiento para encontrar una ecuacion diferencial
para la trayectoria trayectoria
que no requiere la integracion (en tiempo) de las ecuaciones de
Newton.
24
-
Comencemos por observar que si lograramos encontrar las
dependencias temporales r(t) y
(t) podramos intentar despejar el tiempo para expresar (por
ejemplo) al radio como funcion
del angulo (r(t))6. De acuerdo a esto, si quisieramos calcular
la rapidez radial podramos utilizar
la regla de la cadena para obtener
dr
dt=
ds
d
d
dt(66)
de esta manera, la derivacion temporal se puede expresar como
sigue
d
dt=d
dt
d
d(67)
Ahora bien, ya hemos aprendido que la segunda ecuacion de
movimiento implica la igualdad
Mr2 = `(= constante) (68)
de manera que la derivacion con respecto al tiempo puede
sustituirse por7
d
dt=
`
Mr2d
d(69)
en el entendimiento de que r = r(). Si iteramos la
diferenciacion temporal obtendremos
d2
dt2=
`
Mr2d
d(
`
Mr2d
d) =
`2
M2r2d
d(1
r2d
d), (70)
de manera, que la segunda derivada del radio con respecto al
tiempo es
d2r
dt2=
`2
M2r2d
d(1
r2dr
d) =
`2
M2r2d
d( d
d(1
r)) (71)
6exactamente como se hace con el movimiento de proyectiles para
demostrar que la trayectoria es parabolica7esto no es tan raro como
parece, ya lo hicimos en la seccion (3.1)
25
-
nuestro objetivo es utilizar este resultado para eliminar el
tiempo de la ecuacion:
M(r r2
)= F (r) (72)
veremos que esto es posible y que la ecuacion resultante es
facilmente resoluble. En efecto, al
sustituir (71) y la formula para la velocidad angular en (72)
resulta
`2
Mr2d2
d2
(1
r
) rM
(`
Mr2
)2= F (r), (73)
o
d2
d2
(1
r
)+1
r= M r
2
`2F (r) , (74)
resultado que se denomina ecuacion de la orbita. Esmenester que
hagamos hincapie en que
la resolucion de esta ecuacion nos lleva a encontrar r = r(), es
decir, la trayectoria u orbita.
10. Tema avanzado II: Solucion al al Problema de Kepler
Como ya habamos mencionado, el problema de Kepler consiste en
calcular la orbita que
corresponde a la fuerza de gravitacion Newtoniana. En este caso,
al sustituir F (r) = r2en la
ecuacion de la orbita se obtiene
d2
d2
(1
r
)+1
r= 1 , (75)
donde
`2
M (76)
Si ahora efectuamos el cambio de variables
u 1r
(77)
26
-
obtenemos la siguiente ecuacion diferencial
u + u = 1 (78)
La ecuacion (78) cumple con nuestro objetivo inicial: buscar una
descripcion de la trayectoria,
en efecto, si resolvemos (78) obtendremos r = r(), la ecuacion
diferencial que hemos obtenido
es reminiscente de la ecuacion del oscilador armonico (x+ 20x =
0) y se diferencia de esta por
el termino constante no-homogeneo, en este punto es necesario
mencionar (sin demostracion)
el siguiente teorema
Teorema 5 La solucion general de la ecuacion diferencial
nohomogenea
x(t) + 20x(t) = f(t) (79)
es
xgral(t) = xH(t) + xp(t) , (80)
donde xH(t) es la solucion general del problema homogeneo
mientras que xp(t) es una solucion
del problema nohomoenea.
Es claro que la funcion constante up(t) = 1 es una solucion de
la ecuacion (78), de manera
que la solucion general esta dada por
u(t) = U0 cos( 0) + 1 (81)
donde U0 > 0 y 0 son constantes, podemos introducir una nueva
constante (= 1 U0) para
reescribir la ecuacion de la trayectoria en la forma
r= {1 + cos( 0)} (82)
27
-
escogiendo = 0 de manera tal que el punto de maximo acercamiento
al centro de fuerzas
corresponda con r(0) se obtiene el resultado final:
r= {1 + cos } (83)
que como ya sabemos, es la ecuacion general de una conica.
No es difcil convencerse (ejercicio) de que la eccentricidad (),
la energa total de la orbita
estan y el momentum angular estan relacionadas por
=
1 +
2E `2
M 2(84)
de donde resulta evidente que, para las orbitas acotadas (E <
0) la eccentricidad es de magnitud
menor a uno ( < 1) condicion que asegura que la orbita es
elptica.
En terminos del signo de la energa el resultado es el
siguiente:
E < 0 orbita elptica (acotada)
E > 0 orbita hiperbolica (no acotada)
E = 0 orbita parabolica (no acotada)
Problema 9 Observacion: Este problema nos lleva a una forma
integral de la ecuacion de la
orbita.
La regla de la cadena nos permite escribir:
d
d r=d
d t
d t
d r=
r(85)
28
-
1. Utilice la igualdad (85), la identidad ` = mr2 y la formula
general para la energa para
despejar en terminos de r, e integre para obtener la formula
general:
(r) = `/r2 dr
2M (E Ueff )(86)
2. Para estudiar el problema de Kepler sustituya
Ueff =`2
2M r2 GMM0
r(87)
y utilice el cambio de variables u = `/r calcule la integral
(esto puede ser largo y tedioso)
y encuentre una formula para (r).
3. Escoja la constante de integracion de forma que el mnimo r
coincida con = 0, despeje
y obtenga r(), verifique que el resultado coincide con la
formula para una orbita conica.
11. Apendice: Secciones Conicas
Las secciones conicas son las curvas que se obtienen de efectuar
la interseccion de un cono
recto con un plano. El ejemplo mas sencillo es un crculo, es
bastante obvio que esta es la curva
que resulta al atravesar un cono recto con un plano ortogonal a
su eje de simetra. Las otras
secciones conicas son la elipse, la parabola y la hiperbola.
En coordenadas polares (r, ) las conicas estan descritas por la
ecuacion
r =
1 + cos(88)
Donde las constantes que aparecen y se denominan excentricidad y
latus rectum de la
conica.
29
-
Toda conica posee dos puntos de interes particular el pericentro
y el apocentro, cuyas posi-
ciones estan dadas por las coordenadas (rmin, 0) y (rmax, pi)
respectivamente.
En el caso en que 1 se obtienen las dos conicas no acotadas: la
parabola y la hiperbola.Queremos centrar nuestro interes en las
elipses ya que estas son las curvas que representan
las trayectorias keplerianas de las partculas con orbitas
acotadas.
La elipse se define como el lugar geometrico de los puntos cuya
suma de distancias a un
punto fijo es constante. En coordenadas cartesianas la ecuacion
de una elipse cuyo eje mayor
es paralelo al eje x se describe por la ecuacion
x2
a2+y2
b2= 1 , (89)
donde a y b son las longitudes de los ejes mayor y menor de la
elipse. Si a = b = R esta ecuacion
se reduce a la de un crculo de radio R con centro en (0, 0).
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
5 4 3 2 1
Figura 3: Las elipses que mostramos aca tienen = 1 en ambos
casos, y excentricidades 0,7 y
0,8
30
-
En la ecuacion polar (88) de las conicas la distancia r se mide
a partir de uno de los focos
de la elipse. Es claro que la formula (88) supone que el eje
mayor de la elipse esta localizado a
lo largo del eje x ( = 0). A partir de la representacion de la
curva en coordenadas polares es
facil ver darse cuena de que
rmax =
1 (90)
rmin =
1 + (91)
de manera que la media de estas cantidades no es otra cosa que
la longitud del eje mayor de la
elipse
rmax + rmin2
=1
2
[
1 +
1 +
]=
1 2 = a , (92)
mientras que la longitud del eje menor (b) esta dada por
b =1 2 . (93)
En terminos de la excentricidad del semieje mayor
rmin = a(1 ) (94)
rmax = a(1 + ) , (95)
mientras que la mitad de la separacion entre los focos esta dada
por el producto del eje mayor
por la excentricidad, esto es: a .
31