MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE

MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE

ETUDE ET MODELISATION

ETUDE DE MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES

OBJECTIFS : Étudier la chute verticale à partir

d’une vidéo Faire l’étude dynamique du

mouvement Modéliser le mouvement par deux

méthodes numériques (méthode d’Euler, Range Kutta d’ordre 2).

I-CHUTE D’UN CORPS

1-PROBLEME POSE On désire étudier dans un référentiel

terrestre, supposé galiléen, le mouvement d’un corps (A) de masse m, constitué d’un matériau de masse volumique rs. A est lâché sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique rl.

On pourra faire varier :La masse du corps A,La masse volumique de A,Le fluide dans lequel on lâche la bille.

Comment décrire le mouvement de la bille ?

1-PROBLEME POSE

2-DEMARCHE UTILISEE On étudie le mouvement de chute

d’une bille dans un fluide. On applique le théorème du centre

d’inertie, au système « bille ». On utilise la méthode d’Euler et Runge-

kutta d’ordre 2 pour simuler le mouvement de la bille, et on compare les résultats aux résultats expérimentaux.

ETUDE EXPERIMENTALEOn étudie le mouvement avec

avimeca

II – ETUDE DYNAMIQUE

THEOREME DU CENTRE D’INERTIE

Référentiel : terrestre supposé galiléen Système étudié : la bille de masse m Forces appliquées au système:

Le poids de la bille La poussée d’Archimède ( )Les forces de frottement visqueux du liquide sur la bille ( )P

pf

P

p

f

FORCES APPLIQUEES

p

2- Modèle n°2

P

f

O

y

j

REMARQUE :On travaille maintenant avec un axe orienté vers le bas ce qui permet d’avoir des valeurs positives pour v et y.

FORCES APPLIQUEES POIDS :

POUSSEE D’ARCHIMEDE :

FORCES DE FROTTEMENT FLUIDE (direction du mouvement, sens opposé au déplacement) :

(avec n = 1 ou n=2)

p

2- Modèle n°2

gVgmP s

r

gVf

rp

vvjmkvf n

v k m - n

P

f

O

y

j

THEOREME DU CENTRE D’INERTIE

m a = P + p + fm a = m g - rf V g - m k vn

a = g - rf V/m g - k vn

Or m = rs V donca = g - rf / rs g - k vn

a = (1- rf / rs )g - k vn

a = A - B.vn avec A = (1- rf / rs )g

2- Modèle n°2

P

f

O

y

j

THEOREME DU CENTRE D’INERTIE

a = A - B vn

L’accélération de la bille dépend de sa vitesse l’accélération dépend du temps

On ne résout pas cette équation facilement

ndv A Bvdt

III- LA METHODE D’EULER

PRINCIPE ET MISE EN OEUVRE

1- LA METHODE D’EULER : PRINCIPE

Méthode numérique utilisée pour résoudre pas à pas une équation différentielle à partir des conditions initiales (en mécanique : position et vitesse, en électricité : tension et intensité du courant)

Basée sur les propriétés de la dérivée

EULER : MISE EN OEUVRE

On cherche, par exemple à résoudre par cette méthode l’équation différentielle suivante :

Condition initiale :– v(t=0) = vo

ndv A Bvdt

La définition de la dérivée donne :

Le problème posé est donc le suivant :On connaît à ti: V(i) On cherche à ti+1 =ti+h : V(i+1)

EULER : MISE EN OEUVRE

( 1) ( ) ( )nV i V i A BV ih

0

( ) ( )'( ) limh

f x h f xf xh

III-LA METHODE D’EULER

3-Chute d’une bille dans un fluide

CONDITIONS INITIALES DU MOUVEMENT

Lorsqu’on lâche la bille :Son accélération est a0 = ASa vitesse est nulle : V(1) = VoLa bille est à l’origine du

repère donc : y0 = 0

3-Chute d’une bille dans un fluide

ITERATIONS

Pour i=1:N+1

V(2)=V(1)+h(A-BV(1)) V(3)=V(2)+h(A-BV(2)) ………………………………… V(N)=V(N-1)+h(A-BV(N-1)) V(N+1)=V(N)+h(A-BV(N))

3-Chute d’une bille dans un fluide

( 1) ( ) ( ( ))nV i V i h A BV i

III-LA METHODE De range-kutta

La méthode de runge-kutta consiste à discrétiser l’équation de cette forme:

À Tel que K1=h*f(V(i))=h ( A-BV(i) Et K2=h*f( V(i) + hf(v(i)) ) =h( A- B ( V(i) +h (A-BV(i) )

( )dV A BV f Vdt

1 2( 1) ( )2

K KV i V i

Après calcul on aboutit à l’expression suivante :

V(i+1)=V(i)+(h/2)* (A-B*V(i)+A- B*(V(i)+h*(A-B*(i)))) ;

Programmation sur matlab de l’équation d’euler

3-Chute d’une bille dans un fluide

Résultats trouvé par matlab

Comparaison des résultats numérique trouvé avec ceux trouvé analytiquement

Conclusion

Merci pour votre attention