Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 1 Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique et/ou magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 1
Mouvement d’une particule chargée
dans un champ électrique et/ou
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 2
Plan
Création d'un champ électrique
Création d'un champ magnétique
Force de Lorentz
Energie d'une particule
Mvt dans
Mvt dans
Mvt dans et croisés
Cas relativiste
• Mvt dans
• Mvt dans
E
B
B
E
E
B
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 3
Champ électrique
A partir de la loi de Coulomb,
on définit le champ électrique créé par en
rur
qqF
20
0
4
Créé par une charge ponctuelle
M
M0
q0
q
r rMMur 0où
rur
qME
20
00
4)()(0 MEqF
0q M
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 4
Champ électrique
Charges ponctuelles :
= champ créé en par une charge (i=1 à N)
placée en
Distribution continue : chaque volume élémentaire porte la charge
qui crée en le champ
N
i
i )M(E)M(E1
iq
iM
)M(Ed
V
)M(Ed)M(E
V q
)M(Ei
Créé par une distribution de charges
M
M
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 5
x
U
d
Q -Q
Exu
d
UE
Champ électrique uniforme et permanent Créé par un condensateur plan
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 6
Orientation de l’aiguille aimantée selon un cercle centré sur
le fil
I r
Champ magnétique Expérience d’Oersted
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 7
Orientation de l’aiguille aimantée parallèlement au champ
magnétique créé par le fil
I r
B
r
IB
2
0
Champ magnétique Expérience d’Oersted
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 8
Solénoïde « infini »
R R
R
I IB
Bobines d’Helmholtz
Champ magnétique Champ magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 9
• Particule de charge et de masse
• Vitesse par rapport à référentiel galiléen
• Présence d’un champ électrique et d’un champ
magnétique
La particule est soumise à la force
appelée force de Lorentz
Force de Lorentz
)( BvEqF
q m
v R
E
B
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 10
Force de Lorentz
Elle traduit une des interactions fondamentales de la
physique.
Pas de limite à sa validité dans le cadre de nos
connaissances actuelles.
Valable en mécanique classique et relativiste
La partie liée à la présence du champ magnétique
est perpendiculaire au champ et à la vitesse .
L’analyse dimensionnelle comparée des deux termes
montre que est homogène à une vitesse.BE
B v
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 11
Force de Lorentz
• La force de Lorentz et la charge sont indépendantes
du choix du référentiel galiléen.
• Soit un référentiel galiléen en translation à la vitesse
par rapport à .
• Composition newtonienne des vitesses :
donc B)u'v(EqF
''' BvEqF
BuEE ' BB '
Formule de transformation des champs
RR
dans R
dans R
et
uvv
q
u
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 12
Force de Lorentz
On néglige les effets du poids de la particule par rapport
à ceux de la force de Lorentz
Deuxième loi de Newton en mécanique classique :
Seule , appelée charge spécifique, est
expérimentalement accessible à la mesure
BvEm
q
dt
vd
Equation du mouvement
mq /
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 13
Pour permanent , dérive de l’énergie
potentielle
où est le potentiel électrostatique
ne travaille pas
L'énergie mécanique de la particule
est une constante du mouvement
cteqVEp
qVmvEm2
2
1
Energie mécanique d'une particule
E EqF E
V
BvqF B
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 14
Emission d’électrons en O à
vitesse nulle et
potentiel électrique nul :
Grilles et transparentes aux électrons et
portées aux potentiels électriques et avec
Absence de champ magnétique
Mouvement des électrons entre l’émission et la
première grille et entre les deux grilles ?
1G 2G
1V 2V210 VV
Energie mécanique d'une particuleApplication : optique électronique
me,
0v
0V
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 15
en O
sur
force de O vers G1
donc de G2 vers G1
force de G1 vers G2
O
1V 2V 0pE
1G01eVEp
12 VVU
Energie mécanique d'une particuleApplication : optique électronique
E
0V
0U
E
G1 G2
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 16
Conservation de :mE
02
1
2
12
221
21 eVmveVmv
m
eVv 11
2
m
eVv 2
2
2
Energie mécanique d'une particuleApplication : optique électronique
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 17
Projection de
perpendiculairement à
1i
2i
Eedt
vdm
2211 sinsin iviv
2211 sinsin iViV
Energie mécanique d'une particuleApplication : optique électronique
E
1V 2V
1v
2v E
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 18
Particule soumise à l’action de uniforme et
permanent
Point matériel soumis à l’action d’un
champ de pesanteur uniforme et permanent
Trajectoire parabolique dans les deux cas
Em
q
dt
vd
gdt
vd
Mouvement d'une particule dans un
champ électrique uniforme et permanent
Emq,
)(mM
g
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 19
Accélérateur linéaire de Stanford
• 3,2 km de long-60 GeV pour les électrons et positrons
• 3 prix Nobel :
• 1976 : Découverte du quark charm
• 1990 : Structure en quarks du proton et du neutron
• 1995 : Découverte du lepton tau
Mouvement dans un champ électriqueApplication 1 : accélérateur linéaire
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 20
Série de tubes conducteurs séparés par de faibles interstices
Entre deux tubes voisins est appliquée une tension alternative
champ électrique alternatif
A l'intérieur d'un tube :
le champ est nul et les particules conservent une vitesse constante
Dans l'espace entre les tubes :
le champ accélère les particules, à condition qu'elles soient
convenablement synchronisées :
Les tubes sont de plus en plus longs : le temps de parcours dans
chaque tube doit être identique et égal à une demi-période
)( 1nnc UUqE
0vE
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 21
Déviation de la particule par le champ
électrique
Passage en à
avec la vitesse
U
Mouvement dans un champ électriqueApplication 2 : déviation électrostatique
mq,
yedUE )/(
xevv 00
)0,0( yxO 0t
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 22
Deuxième loi Newton projetée
selon Ox :
selon Oy :
En sortie du condensateur :
donc et
Déviation de la trajectoire de la particule :
Si
tvxvvdtdv xx 000
mdqUtvmdqUdtdv yy
ltvx AA 0
0vvAx 0mdvqUlmdqUtv AAy
20tan mdvqUlvv Axay
,lL 20tan mdvqULlL
Mouvement dans un champ électriqueApplication 2 : déviation électrostatique
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 23
Utilisation dans un tube cathodique
Mouvement dans un champ électriqueApplication 2 : déviation électrostatique
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 24
Vecteur densité de courant :
où = densité volumique d’électron libre
= vitesse d’ensemble (moyenne) des électrons
Deuxième loi de Newton pour un électron
eeee venvj
en
ev
Em
etvv 0
Mouvement dans un champ électriqueApplication 3 : Conduction dans un métal par les
électrons libres
Eedt
vdm
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 25
Métal =réseau cristallographique idéal + défauts
Déplacement des électrons + chocs sur les constituants du
réseau et les défauts
: vitesse moyenne d’un électron après un choc
de direction aléatoire
: temps moyen entre deux chocs successifs
Loi d’Ohm locale :
Emevvve )(0
0v
00v0v
EEmenj ee )( 2
Mouvement dans un champ électriqueApplication 3 : Conduction dans un métal
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 26
Conductivité du métal :
mene2
L
S
U
I
SjI e
LUE
IU
Résistance du
conducteur
S
L
Mouvement dans un champ électriqueApplication 3 : Conduction dans un métal
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 27
La force de Lorentz se réduit à sa partie magnétique :
est perpendiculaire à et :
BvqFB
BF v B
0vFP BB
Aucune puissance n’est fournie à la particule
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 28
L’énergie cinétique de la particule
est une constante du mouvement
Le module v de la vitesse est une constante du
mouvement
Bvqdt
vdm .vv. 0
2
1 2mvdt
d
22mvEc
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 29
Produit vectoriel
• Cas général
xy
zx
yz
z
y
x
ByBx
BxBz
BzBy
B
B
B
B
z
y
x
v
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 30
Expérience : particule soumise à l’action
d'un champ uniforme et permanent avec une
vitesse initiale perpendiculaire à
Choix d’un repère adapté :
• O position initiale de la particule
• Ox dans le sens et la direction de
• Oz dans le sens et la direction de
• Oy tel que (Oxyz) orthogonal direct
xevv 00
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
mq,
B
B0v
zeBB
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 31
Deuxième loi de Newton :
0
)2(
)1(
z
xm
qBy
ym
qBx
avec
0)0()0()0( tztytx
0)0( vtx
0)0()0( tzty
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 32
• Selon Oz :
Le mouvement de la particule se fait dans un plan
perpendiculaire au champ magnétique
0)0(
0)0(0
tzctez
tzctezz
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 33
• Dans le plan (Oxy) du mouvement :
Soit et l’équation (3)=(1)+ i(2)iyxu
)3()()( um
qBiyix
m
qBixiy
m
qBu
)2()1( xm
qByy
m
qBx
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 34
• Résolution de
)3(0um
qBiu
avec 0)0()0()0( vtyitxtu
tm
qBivtu exp)( 0
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 35
• En utilisant
On obtient
soit
00tiy0tx0tu )()()(
1exp)( 0 tm
qBi
qB
mvitu
tm
qBit
m
qB
qB
mvitu sin1cos)( 0
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 36
• Sachant que
on obtient
)(Re)( tutx )(Im)( tutyet
tm
qB
qB
mvtx sin)( 0
1cos)( 0 tm
qB
qB
mvty
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 37
• On constate que
Trajectoire circulaire
de centre C :
de rayon :
2
0
2
02
qB
mv
qB
mvyx
qB
mvYX cc
00
Bq
mvR 0
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 38
Si q>00v
x
y
CR
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
B
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 39
Si q<0
0v
x
y
CR
B
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 40
Dans les deux cas la trajectoire est parcourue avec la
pulsation
appelée pulsation cyclotron
Cette pulsation et la période correspondante
sont indépendantes de la vitesse de la particule
m
Bqc
ccT
2
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
c
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 41
Cas général :
avec
et
//000 vvv
zz eevBBBvv )( 02
0//0
//000 vvv
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 42
• On utilise
• O position initiale de la particule
• Oz selon :
• Ox selon :
• Oy tel que (Oxyz) orthogonal direct
B zeBB
0v xevv 00
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 43
• On obtient
Mouvement hélicoïdal
tm
qB
qB
mvtx sin)( 0
1cos)( 0 tm
qB
qB
mvty
tvtz //0)(
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 44
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 45
Rlsi
0mv
DelBy
Dytan
Rl
Mouvement dans un champ magnétiqueApplication : Déflexion magnétique
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 46
Mouvement dans un champ magnétiqueApplication : Cyclotron
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 47
Bcte
Bq
mvR
v
Mouvement dans un champ magnétiqueApplication : Synchrotron
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 48
Mouvement dans un champ magnétiquehttp://www.synchrotron-soleil.fr
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 49
Mouvement dans un champ magnétiqueApplication : Spectrographe de masse
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 50
BlIdFd
Mouvement dans un champ magnétiqueApplication : Force de Laplace
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 51
'BIalmgl
'Ial
mglB
Mouvement dans un champ magnétiqueApplication : Balance de Cotton
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 52
0v
E
B
x
y
z
xevvtv 00)0(
yeEE
zeBB
Mouvement dans E et B uniformes,
permanents et perpendiculaires
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 53
Deuxième loi de Newton
B
B
z
y
x
vqEEq
z
y
x
am 0
0
0
0
0
Bx
By
Mise en équation
Mouvement dans E et B uniformes,
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 54
m
qEx
m
qBy
ym
qBx
00......0 tzz
Mouvement plan
Equations du mouvement
Mouvement dans E et B uniformes,
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 55
Détermination de x(t) et y(t)
avec u=x+iy vérifiant l’équation (1)+i(2)
ou…
)1(ym
qBx
)2(m
qEx
m
qBy
Equations du mouvement
Mouvement dans E et B uniformes,
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 56
Détermination de x(t) et y(t)
ym
qBx
m
qEx
m
qBy
Equations du mouvement
Mouvement dans E et B uniformes,
0vym
qBx 0)0( vtx
0)0(typuisque
0
2
vB
E
m
qBy
m
qBy
0)0(ty 0)0(tyavec et
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 57
Equations du mouvement
Mouvement dans E et B uniformes,
)1(cos)( 0 tB
Ev
qB
mty c
B
Et
B
Evvy
m
qBx ccos00
tB
Et
B
Evtx c
c
sin1
)( 0
donc
0)0(txpuisque
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 58
Si 00v
ttv
tx ccc
D sin)(
)cos1()( tv
ty cc
D
où est BEvD
Cycloïde
,0 Dvv
tvtx 0)(
0)(ty0t
Mouvement rectiligne
et uniforme
la vitesse de dérive
Cas particuliers
Mouvement dans E et B uniformes,
Si
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 59
Mouvement dans E et B uniformes,
Dvv0
Dvv0
diaphragme
Filtre de vitesse
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 60
a
b
Création d’un champ électrique de la face 1 vers la face 2
Champ magnétostatique
HV
1
2
Déplacement des charges positives et négatives sur les faces 1 et 2
HE
abvqn )(
Mouvement des charges selon Ox
x
0)( BvEqF H
abqn
IBvBEH
bqn
IBaEV HH
Effet Hall
Mouvement dans E et B uniformes,
HE
B
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 61
L’intensité I est imposée par le circuit d’alimentation.
Le nombre de porteur de charge n par unité de volume
et la charge q de chaque de porteur dépendent du métal
conducteur utilisé.
b dépend de la géométrie du conducteur
La mesure de la tension (quelques micro volts)
permet grâce à
de déterminer le module B du champ magnétique
bqn
IBVH
HV
Sonde à effet Hall pour mesurer des champs
magnétiques
Mouvement dans E et B uniformes,
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 62
Si la condition v<<c n’est plus vérifiée,
la seconde loi de Newton s’écrit toujours
avec et
Les forces conservent les mêmes expressions
Fdt
pd
vmp 2)/(11 cv
][ BvEqF
Cas relativiste
Mouvement dans E et B uniformes,
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 63
Mouvement dans B uniforme,
Résultats de la dynamique relativiste
avec
et
E=cte γ =cte et v=cte
vFdt
dE.
vBvqF )(
2mcE )2/( 22 cvmcmvE
Bvqdt
vdm
si
Cas relativiste
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 64
Si , la trajectoire est circulaire :
La période du mouvement dépend de v contrairement au
cas du cyclotron dans le cas non relativiste
Désynchronisation progressive du mouvement
hémicirculaire de la particule par rapport au champ
électrique accélérateur.
Btv )0(
Bq
mvR
m
Bqc
Cas relativiste
Mouvement dans B uniforme,
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 65
Particule (q,m) initialement au repos et soumise au
champ électrique uniforme et permanent.
Mise en équation :
xx eEE
0)0()0( txtx
xqE
cx
xm
dt
d
21
tm
qE
cx
x x
21
Cas relativiste
Mouvement dans E uniforme,
E
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 66
• On en déduit
• Si (mécanique classique)
• Si
Existence d’une vitesse limite
22
1 tmc
qE
tm
qE
x
x
x
,xqEmct tm
qEx x
,xqEmct cx
Cas relativiste
Mouvement dans E uniforme,
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 67
• On obtient
• Si
• Si
11)( 2
22
tmc
qE
qE
mctx x
x
,xqEmct 2
2)( t
m
qEtx x
,xqEmct cttx )(
121)1( 21 usiuu
Cas relativiste
Mouvement dans E uniforme,
en utilisant
Préparation des Olympiades Internationales, Lycée Hoche – Janvier 2011 – Lionel Jannaud 68
Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique et/ou magnétique uniforme et permanent
Création d'un champ électrique
Création d'un champ magnétique
Force de Lorentz
Energie d'une particule
Mvt dans
Mvt dans
Mvt dans et croisés
Cas relativiste
• Mvt dans
• Mvt dans
E
B
B
E
E
B