Một số bài toán bất đẳng thức
Jan 26, 2016
Một số bài toán bất đẳng thức
Bài toán 1
2
1 cos 3 1 cos 1 cos 0x x x
2
3
2
11 cos 1 cos 2 2cos 1 cos 1 cos
2
1 4 323
2 3 27
3 1 cos 1 cos 0
x x x x x
x x
max 3 cos 12
y x x k
Bài toán 2
9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y
Cho x, y, z thỏa Chứng minh rằng
3 3 3 1x y z
Ta cần chứng minh
Từ giả thiết ab + bc +ca = abc và bất đẳng thức cuối, ta cần chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2x y z y z x z x yP
yz zx xy
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 4 4
1 1 1
x y z y z x z x yP
y z z x x y
x y z
x y z
2 1
1 4
x xx
x
Bài toán 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
4 4 4
4( ) 2 2
2( )
x y z y z x z x yP
y z z x x y
x y z
y z z x x y
x y xx y z
x y z
Nếu không quy mỗi số hạng về hàm theo x, y, z thì
Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
Px y y z x z y z
Bài toán 4
2
2 2
2
2
4 4 1 2 2
2 1 11 1
4 32 32 2
2 (3 ) 9
Py zy z
y z x
Cách giải nào sai?
Cách 1
2
1 1
2 4
1 1
4 4
1
Px y y z x z y z
x xy z x y x z
x
Cách 2
Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
yz xyzxP
x yz y zx z xy
Bài toán 5
21 11
2 22 2 2
11
2
yz x yz x x
x yz x yz x yz
x
x y z
Kĩ thuật Cauchy ngược dấu
Cho các số thực dương a, b, c có a + b + c = 3. Chứng minh rằng
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
b c a
Bài toán 6
2 2 2
2 2 2
2
(1 )
1 1 1
2 2
a a b ab aba
b b b
ab aba a
b
Ta có
Tương tự cho 2 số hạng còn lại
Chú ý rằng 2
3
a b cab bc ca
Cho a, b, c là ba số thực thỏa x + y + z = 3 Chứng minh rằng4 4 42 2 2 3 3x y z
Bài toán 7
Xét hàm số 4( ) 2f t t
PTTT tại t = 12 1
3 3y t
Ta chứng minh 4
4
2 12 0
3 3
6 3 2 1
t t
t t
(1)
Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng
Bài toán 7
Ta chứng minh 4
4
2 12 0
3 3
6 3 2 1
t t
t t
(1)
Với t < -1/2 thì (1) hiển nhiên đúng
Với 1
,2
t
2 2 221 2 1 1 1 2 0t t t
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên (1) được CM
Vậy ta được 2 33 3
3 3P x y z
x
y
g x = 2
3 x+
1
3
2
f x = 2+x4
1
Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức
1 1 1
4 4 4F
ab bc ca
Bài toán 8
Ta có
Đặt
Xét hàm số 1( ) , 0;12
8f t t
t
4 4 4 3a b c
2 2
2 2
1 2
2 4 8 ( )
a bab
ab a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( )
( ) 0 12
( )
x b c
y c a x y z
z a b
21 1 5 1 1( 2) (4 ). 0,
144 36 1448 8
(0;12)
t t tt t
t
Tiếp tuyến tại t = 4 là và1 5
144 36y t
Bài toán 9
Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
Bài toán 10 (KD – 2012)
Nhận xét: Giả thiết và kết luận đều có tính đối xứng đối với 2 biến nên có thể đặt s = x + y, p = x.y
Xét hàm số 3 23
( ) 3 6,0 82
f s s s s s
2( ) 8( ) 0 0 8Gt x y x y x y 2 23
4 62
s p p s 3
3 2
( ) 6 3( ) 6
3 ( ) ( ) 3( ) 6
2
A x y xy x y
x y x y x y
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
Tìm GTLN của
Bài toán 11 (KB – 2012)
2
2 2 2
1( )
0 2
1 2 2
3 3
xy x yx y z
x y zx y
55 5 5 5 5
3 3 2 2
3 3
5 + 10
5 1 5 5 ( ) ( ) ,
2 2 2 4
P x y z x y x y
xy x y x y x y
x y x y t t t x y
2 2 20, 1x y z x y z 5 5 5P x y z
Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
. Tìm GTNN của biểu thức
Bài toán 12 (KA – 2012)
0x y z 2 2 23 3 3 6 6 6x y y z z xP x y z
x + y + z = 0 nên z = - (x + y) và có 2 số không âm hoặc không dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy 0
2 2 2 23 3 3 12( )x y y x x yP x y xy 2 2 23 3 3 12[( ) ]x y y x x y x y xy
2 2
223 2.3 12[( ) ]
y x x y
x y x y xy
3
23 2.3 2 3x y
x y x y
2 2
223 2.3 12[( ) ]
y x x y
x y x y xy
Đặt 0t x y xét 3( ) 2.( 3) 2 3tf t t
3
3
' 2.3( 3) .ln 3 2 3
2 3( 3.( 3) ln 3 1) 0
t
t
f t
f đồng biến trên [0; +) f(t) f(0) = 2 Mà 30 = 1. Vậy P 30 + 2 = 3, dấu “=” xảy ra x = y = z = 0. Vậy min P = 3.
Cách giải sau lấy từ đáp án của Bộ GD&ĐT
Cho a, b, c laø 3 soá döông thoûa maõn ñieàu kieän a + b + c = 2. Chöùng minh raèng:
Bài toán 13 (HSGTN – 2012)
27 28 ( )ab bc ca abc
Sau đây ta xét cách giải bằng phương pháp dùng hàm số
2827 28
27 ( )ab bc ca abc A ab bc ca abc
2
22
3 2
1
22 1 2 1
4 44 4 0 2
( )
( ),
A c a b ab c
a b cc c c c c c
A c c f c c
2
0'( ) 3 2 0 2
3
cf c c c
c
112 284
27 27A A
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2
3a b c
Bài toán 14
Bài toán 15