Morfología Matemática
Morfología Matemática en Imágenes
Hugo Franco, PhD
8 de mayo de 2013
Hugo Franco, PhD Morfología Matemática en Imágenes
Morfología Matemática
Morfología Matemática
Morfología Matemática
Morfología
Estudio de la forma y la estructura
Morfología Matemática
Es una técnica de procesado no lineal de la imagen, interesada en lageometría de los objetos contenidos en una escena segmentada
(usualmente binaria, aunque puede generalizarse a cualquier tipo deimagen)
Las imágenes binarias se pueden interpretar como especi�caciones depertenencia (píxel activo) o no�pertenencia (píxel inactivo) de lasregiones de la imagen a un objeto dado.
Dado lo anterior, cualquier transformación sobre un conjunto de�neuna nueva imagen binaria
El análisis y el procesamiento morfológicos se basan en el álgebrade conjuntos y en la topología
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Morfología Matemática
Operaciones de conjuntos aplicadas a imágenes binarias
Sean A y B conjuntos de puntos en un espaciodiscreto bidimensional Z2 con elementosa = (a1, a2), b = (b1, b2). Algunas operaciones son
Complemento:
A = Ac = {(x, y)|(x, y) /∈ A}
Traslación
Ax = A + x = {a + x|a ∈ A}
con x = (x, y)Transposición (Re�exión):
A = −A = {−a|a ∈ A}
con −a = (−a1,−a2)Diferencia
A−B = {a|a ∈ A ∧ a /∈ B} = A ∩ B
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Morfología Matemática
Análisis morfológico
Permite extraer componentes de la imagen que son útiles en larepresentación y descripción de la forma de las regiones
Super�cie de Objetos
Fronteras
Esqueletos
etc...
Permite obtener características relevantes de los objetos en la imagen
Forma
Tamaño
Posición�Orientación
etc...
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Morfología Matemática
Procesamiento morfológico I
Permite transformar la forma o la estructura de los objetos en una imagen
Tipos:
Morfología binaria (es la más frecuente).Morfología de niveles de grisMorfología de imágenes policromáticas
Utilidad en post-procesamiento: tras un procesos de segmentación,para mejorar sus características
Utilidad en pre-procesamiento: depuración de forma de objetosrequerida para etapas de reconocimiento por forma
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Procesamiento morfológico II
Elemento Estructurante: conjunto cuya distribución geométricasirve de máscara para la aplicación de la especi�cación matemáticadel operador morfológico. Se notará como E
La forma del elemento estrcturante en el espacio discreto puedevariar según la necesidad de la aplicación
Operadores Morfológicos
Son especi�caciones basadas en las operaciones de conjuntos descritaspara modi�car el estado de los píxeles en la imagen. Los principales son:
Dilatación: δE(A) ≡ A⊕ E = {x|(E + x) ∩A 6= ∅}Erosión: εE(A) ≡ A E = {x|(E + x) ⊂ A 6= ∅}Apertura: A ◦ E = (A E)⊕ E = δE(εE(A))
Cierre: A� E = (A⊕ E) E = εE(δE(A))
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Implementación
Las operaciones morfológicas se implementan de forma similar a los�ltros en el dominio del espacio
Elemento Estructurante
Verde: Píxel evaluado
Rojo: Píxeles afectadosen la evaluación
Azul: Píxeles alterados(ejemplo dilatación)
Negro: píxeles activadosen la imagen original
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Dilatación
La salida de la dilatación es el conjunto de puntos barridos por el centrodel Elemento Estructurante B tales que algún punto de B tocaba a algúnpunto de A.
Ejemplo: sea el elemento estructurante 1 1 11 1 11 1 1
el resultado de la dilatación de la imagen de la izquierda es la imagende la derecha. El objeto previamente segmentado de la imagenbinaria resulta en un objeto más grueso.
Las separaciones entre las regiones del objeto se acortan y losori�cios se estrechan. En algunos casos, regiones que estabanseparadas pasan a ser una sola región conexa.
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Erosión
La salida de la erosión es el conjunto de puntos barridos por el centro delElemento Estructurante C si se cumple que todos los puntos de C estabancontenidos en A
Ejemplo: sea el elemento estructurante 1 1 11 1 11 1 1
Imagen original: izquierda. Imagen dilatada:
El objeto previamente segmentado de la imagen binaria resulta en unobjeto más delgado. Las separaciones entre las regiones del objeto sehacen más grandes y los ori�cios se amplían.En ocasiones, una regiónque era conexa podría separarse en dos regiones inconexas.
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Apertura
Permite separar objetos que se saben independientes pero que setocan y quedan unidos en la segmentación
Equivale a desplazar el Elemento Estructurante, en el ejemplo B (uncírculo), por el interior del conjunto (en este caso A) y eliminandolas zonas por las que B no pueda �pasar�. Por ejemplo:
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Cierre
Permite mejorar la super�cie detectada como perteneciente aobjetos detectados en la segumentación, sin separarlos (opuesto a laapaertura)
Equivale a desplazar al Elemento Estructurante (B) por el exteriordel conjunto (A), manteniendo las zonas por las que no pueda�pasar�. Por ejemplo:
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Referencias
Morfología Matemática. José Luis Alba, Fernando Martín -Universidad de Vigo; Jesús Cid - Universidad Carlos III; InmaculadaMora - Universidad Rey Juan Carlos. 2006
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