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Monte-Carlo-Varianzreduktion sgerhold/pub_files/sem15/s_hirber.pdf · PDF fileGewichtete Stichproben (Importance Sampling) Generell geht es darum, gewisse Eigenschaften eines spezi

Aug 25, 2019

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  • Technische Universität Wien

    Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik

    Monte-Carlo-Varianzreduktion

    Autor: Hannes Hirber 1226611

    Betreuer: Privatdoz. Dipl-Ing. Dr.techn.

    Stefan Gerhold

    28. Juli 2015

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Vorwort 2

    2 Was ist das Monte-Carlo-Verfahren? 3 2.1 Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3 Monte-Carlo in der Finanzmathematik 6 3.1 Komplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    4 Nachteile von Monte Carlo 7 4.1 Grundidee der Varianzreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.2 Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    5 Kontrollvariablen (Control Variates) 9 5.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.2 Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.4 Multiple Variates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    6 Antithetische Variablen 12 6.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    7 Geschichtete Stichproben (stratified sampling) 14 7.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    8 Latin Hypercube Sampling 16 8.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 8.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    9 Matching Underlying Assets 19 9.1 Moment matching through path adjustments . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    9.1.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9.2 Weighted Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    10 Gewichtete Stichproben (Importance Sampling) 22 10.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    11 Fazit 24

    1

  • 1 Vorwort

    In meiner Seminararbeit beschäftige ich mit dem Thema der Monte-Carlo-Varianzreduktion. Dabei halte ich mich großteils an das vierte Kapitel des Buches ”Monte Carlo methods in financial Engineering”von Paul Glasserman.

    Da ich zu Beginn der Arbeit eigentlich gar keine Ahnung von diesem Thema hatte, habe ich einige Zeit gebraucht um mich einzuarbeiten. Im nachhinein bin ich froh, dass ich mich damit beschäftigt habe, da Monte-Carlo-Simulationen in der Praxis einen großen Anwendungsbreich haben und vor allem auch im Finanz- und Versicherungs- bereich häufig zur Verwendung kommen. Sie sind allerdings nur zielführend, wenn die Varianz der Simulation ausreichend klein gehalten werden kann. Einige Methoden zur Varianzreduktion sind relativ einfach nachzuvollziehen und die Durchführung scheint machbar, während andere relativ kompliziert sind und nur schwer umzusetzten sind. Durch diese Arbeit wird zumindest überblicksmäßig eine Idee gegeben, wie die verschie- denen Methoden funktionieren.

    Überblick

    Für das allgemein Verständniss wird im zweiten Kapitel ein kurzer Einblick in die Idee die hinter Monte-Carlo-Methoden sowie deren Durchführung und Anwendungsbereiche in der Praxis gegeben. Im dritten Kapitel wird dann konkret der Anwendungsbereich von Monte-Carlo-Simulationen in der Finanzmathematik erörtert, während im vierten Kapitel dann endlich das große Problem thematisiert wird: die große Varianz von Monte-Carlo-Simulationen. Damit sind wir dann endlich beim eigentlichen Thema meiner Arbeit: Wie kann die Va- rianz einer solchen Simulation so klein wie möglich gehalten werden? Glasserman stellt in seinem Buch dazu mehrere Methoden vor, die in den darauffolgen- den Kapiteln vorgestellt werden. Im letzten Kapitel folgt noch eine Analyse über die Durchführbarkeit und Sinnhaftig- keit der einzelnen Methoden im Vergleich, wobei auch der Aufwand und die gegebenen Voraussetzungen eine große Rolle spielen werden.

    2

  • 2 Was ist das Monte-Carlo-Verfahren?

    Das Monte-Carlo-Verfahren ist eine Methode aus der Stochastik. Dabei wird versucht, mithilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie analytisch nicht oder nur aufwändig lösbare ma- thematische Probleme numerisch zu lösen. Als Basis wird dabei eine große Zahl an gleich- artigen Zufallsexperimenten hergenommen. Diese können entweder real durchgeführt werden, oder durch eine Computersimulation generiert werden.

    Die Idee dazu stammt von Enrico Fermi, der sich damit in den 1930er Jahren aus- einandergesetzt hat. Konkret ausgeführt wurden die ersten Monte-Carlo-Simulationen 1946 von Stanislaw Ulam und John von Neumann. Von Neumann benannte die Methode nach der Spielbank Monte Carlo in Monaco.

    Monte-Carlo-Simulationen werden häufig verwendet, wenn:

    • eine alternative Lösung zur analytischen eines rein mathematischen Problems benötigt wird:

    – Approximation der Zahl Pi mithilfe einer zufälligen ”Beregnungëines Quadra- tes auf dem Einheitskreis

    – Berechnung des Integrals einer Funktion über dem Intervall [0, 1] und auch höherdimensionale Integrale (über dem Einheitswürfel)

    • Verteilungseigenschaften von Zufallsvariablen mit unbekanntem Verteilungstyp ge- sucht werden:

    – Ermittlung einer empirischen Verteilungsfunktion

    – Schätzung von Verteilungsparametern

    • eine Nachbildung von komplexen Prozessen konstruiert werden soll, die nicht direkt analysiert werden können:

    – Produktionsprozesse in einem Fertigungsunternehmen

    – Wetter und Klima der Erde

    – Rekonsturktionsverfahren in der Nuklearmedizin

    Auch Probleme mit statistischem Verhalten kann man gut mit dem Monte-Carlo-Verfahren simulieren, was vor allem in der Physik eine große Rolle spielt. Mathematisch gesehen ist das System ein Wahrscheinlichkeitsgewichteter Weg im Pha- senraum Ω. Somit ist es besonders gut dazu geeignet, statistische Mittelwerte einer Größe A mithilfe von normierten statistischen Gewichten P(x) zu berechnen:

    〈A〉 = ∑ x∈Ω P(x)A(x)

    3

  • Wenn der Raum Ω so groß ist, dass die Summation nicht durchgeführt werden kann, erzeugt man stattdessen eine Markov-Kette x1, x2, x3, ... mit Zuständen in Ω, wobei die Häufigkeite eines Zustandes wie das vorgegebene Gewicht P(x) verteilt ist. Damit lässt sich der Erwartungswert als arithmetisches Mittel aus den Zuständen der Markov-Kette berechnen:

    〈A〉 = 1 N

    N∑ i=1

    A(xi)

    Dieses Ergebniss basiert auf dem Gesetz der großen Zahlen. Wichtig ist, dass die Markov- Kette den gesamten Raum abdecken muss, also ergodisch sein muss. So eine Markov- Kette ist oft sehr schwer zu finden.

    2.1 Methoden

    Es gibt nun verschiedene Methoden, eine Monte-Carlo-Simulation zu konstruieren:

    • Metropolis-Monte-Carlo Hier wird nach eim von Nicholas Metropolis publizierten Algorithmus vorgegan- gen, der sich von der Monte-Carlo-Integration ableitet und der zur Untersuchung statistisch-mechanischer Systeme dient.

    • Sequentielle Monte-Carlo-Methode Es wird versucht den Systemzustand als Funktion der Zeit auf Basis einer Reihe von Beobachtungen des Systems und A-priori-Kenntnissen der Systemdynamik zu schätzen. Dabei wird die Wahrscheinlichkeitsdichte des Zustandes diskret durch eine Menge von Partikeln angenähert.

    • Quanten-Monte-Carlo-Methoden Sie werden zur Berechnung von Physikalischen Observablenin inquantenfeldtheo- retischen Modellen benutzt. (z.B. in der Festkörperphysik: Hubbard-Modell, tJ- Modell)

    • kinetische Monte-Carlo-Methode Diese erlaubt es den zeitlichen Fortschritt eines Systems zu simulieren.

    • MCE, MCS und MCR Methode Hier werden normierte Wertermittlungsverfahren (Monte-Carlo-Ertragswert, Monte- Carlo-Sachwert und Monte-Carlo-Residualwertmethode) in die Simulation mitein- bezogen.

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  • 2.2 Beispiel

    Auf der Abbildung sehen wir, wie bei der Approximation der Zahl Pi durch eine Monte- Carlo-Simulation vorgegangen wird: Zuerst haben wir ein Quadrat mit der Breite 1 gegeben. In diese wird ein Viertel des Einheitskreises eingeschrieben. Nun werden zufällig Punkte auf dem Quadrat verteilt. Diese werden anschließend gezählt und es wird das Verhältnis der Punkte innerhalb des Kreises und jener außerhalb aufgestellt. Je mehr Punkte verwendet werden, umso besser wird die Zahl π4 approximiert.

    Abbildung 1: Approximation von Pi

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  • 3 Monte-Carlo in der Finanzmathematik

    Monte-Carlo-Simulationen (MCS) werden in der Finanzmathematik dazu verwendet Portfolios, Kapitalanlagen und andere Finanzinstrumente zu bewerten und zu analysie- ren, indem die verschiedenen Risikofaktoren simuliert werden und danach der Mittelwert der Ergebnisse bestimmt wird. Sie wurden erstmals von 1964 von David Hertz in die Finanzmathematik eingeführt, als er sich mit ihrer Anwendung in der Unternehmensfinanzierung (Corporate Finance) auseinandersetzte und dazu auch ein Paper veröffentlichte. 1977 verwendete Phelim Boyle MCS erstmals zur Bewertung von Derivaten. Dabei wer- den mehrere ta

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