Prof.ª Arminda Pereira Página 1 de 35 ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE MATEMÁTICA Monómios e Polinómios Monómios; fatores numéricos, constantes e varáveis ou indeterminadas; parte numérica ou coeficiente; monómio nulo e monómio constante; parte literal; Monómios semelhantes; forma canónica de um monómio; igualdade de monómios; Grau de um monómio; Soma algébrica e produto de monómios; Polinómios; termos; variáveis ou indeterminadas, coeficientes; forma reduzida; igualdade de polinómios; termo independente; polinómio nulo; Grau de um polinómio; Soma algébrica e produto de polinómios; Casos notáveis da multiplicação como igualdades entre polinómios; Problemas associando polinómios a medidas de áreas e volumes, interpretando geometricamente igualdades que os envolvam; Problemas envolvendo polinómios, casos notáveis da multiplicação de polinómios e factorização. METAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA Monómios e Polinómios 2. Reconhecer e operar com monómios 1. Identificar um monómio como uma expressão que liga por símbolos de produto «fatores numéricos» (operações envolvendo números e letras, ditas «constantes», e que designam números) e potências de expoente natural e de base representada por letras, ditas «variáveis» (ou «indeterminadas»). 2. Designar por «parte numérica» ou «coeficiente» de um monómio uma expressão representando o produto dos respetivos fatores numéricos. 3. Designar por «monómio nulo» um monómio de parte numérica nula e por «monómio constante» um monómio reduzido à parte numérica. 4. Designar por «parte literal» de um monómio não constante, estando estabelecida uma ordem para as variáveis, o produto, por essa ordem, de cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém no monómio dado. 5. Identificar dois monómios não nulos como «semelhantes» quando têm a mesma parte literal. 6. Designar por «forma canónica» de um monómio não nulo um monómio em que se representa em primeiro lugar a parte numérica e em seguida a parte literal. 7. Identificar dois monómios como «iguais» quando admitem a mesma forma canónica ou quando são ambos nulos. 8. Reduzir monómios à forma canónica e identificar monómios iguais. 9. Designar por «grau» de um monómio não nulo a soma dos expoentes da respetiva parte literal, quando existe, e atribuir aos monómios constantes não nulos o grau 0. 10. Identificar, dados monómios semelhantes não nulos, a respetiva «soma algébrica» como um monómio com a mesma parte literal e cujo coeficiente é igual à soma algébrica dos coeficientes das parcelas.
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ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS
FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Monómios e Polinómios
Monómios; fatores numéricos, constantes e varáveis ou indeterminadas; parte numérica ou coeficiente; monómio nulo e monómio constante; parte literal;
Monómios semelhantes; forma canónica de um monómio; igualdade de monómios;
Grau de um monómio;
Soma algébrica e produto de monómios;
Polinómios; termos; variáveis ou indeterminadas, coeficientes; forma reduzida; igualdade de polinómios; termo independente; polinómio nulo;
Grau de um polinómio;
Soma algébrica e produto de polinómios;
Casos notáveis da multiplicação como igualdades entre polinómios;
Problemas associando polinómios a medidas de áreas e volumes, interpretando geometricamente igualdades que os envolvam;
Problemas envolvendo polinómios, casos notáveis da multiplicação de polinómios e factorização.
METAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA
Monómios e Polinómios 2. Reconhecer e operar com monómios
1. Identificar um monómio como uma expressão que liga por símbolos de produto «fatores numéricos» (operações envolvendo números e letras, ditas «constantes», e que designam números) e potências de expoente natural e de base representada por letras, ditas «variáveis» (ou «indeterminadas»).
2. Designar por «parte numérica» ou «coeficiente» de um monómio uma expressão representando o produto dos respetivos fatores numéricos.
3. Designar por «monómio nulo» um monómio de parte numérica nula e por «monómio constante» um monómio reduzido à parte numérica.
4. Designar por «parte literal» de um monómio não constante, estando estabelecida uma ordem para as variáveis, o produto, por essa ordem, de cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém no monómio dado.
5. Identificar dois monómios não nulos como «semelhantes» quando têm a mesma parte literal.
6. Designar por «forma canónica» de um monómio não nulo um monómio em que se representa em primeiro lugar a parte numérica e em seguida a parte literal.
7. Identificar dois monómios como «iguais» quando admitem a mesma forma canónica ou quando são ambos nulos.
8. Reduzir monómios à forma canónica e identificar monómios iguais.
9. Designar por «grau» de um monómio não nulo a soma dos expoentes da respetiva parte literal, quando existe, e atribuir aos monómios constantes não nulos o grau 0.
10. Identificar, dados monómios semelhantes não nulos, a respetiva «soma algébrica» como um monómio com a mesma parte literal e cujo coeficiente é igual à soma algébrica dos coeficientes das parcelas.
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11. Identificar o «produto de monómios» como um monómio cuja parte numérica é igual ao produto dos coeficientes dos fatores e a parte literal se obtém representando cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém nos monómios dados.
12. Multiplicar monómios e adicionar algebricamente monómios semelhantes.
13. Reconhecer, dada uma soma de monómios semelhantes, que substituindo as indeterminadas por números obtém-se uma expressão numérica de valor igual à soma dos valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nas parcelas, as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.
14. Reconhecer, dado um produto de monómios, que substituindo as indeterminadas por números obtém-se uma expressão numérica de igual valor ao produto dos valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nos fatores, as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.
3. Reconhecer e operar com polinómios 1. Designar por «polinómio» um monómio ou uma expressão ligando monómios (designados por «termos do
polinómio») através de sinais de adição, que podem ser substituídos por sinais de subtração tomando-se, para o efeito, o simétrico da parte numérica do monómio que se segue ao sinal.
2. Designar por «variáveis do polinómio» ou «indeterminadas do polinómio» as variáveis dos respetivos termos e por «coeficientes do polinómio» os coeficientes dos respetivos termos.
3. Designar por «forma reduzida» de um polinómio qualquer polinómio que se possa obter do polinómio dado eliminando os termos nulos, adicionando algebricamente os termos semelhantes e eliminando as somas nulas, e, no caso de por este processo não se obter nenhum termo, identificar a forma reduzida como «0».
4. Designar por polinómios «iguais» os que admitem uma mesma forma reduzida, por «termo independente de um polinómio» o termo de grau 0 de uma forma reduzida e por «polinómio nulo» um polinómio com forma reduzida «0».
5. Designar por «grau» de um polinómio não nulo o maior dos graus dos termos de uma forma reduzida desse polinómio.
6. Identificar, dados polinómios não nulos, o «polinómio soma» (respetivamente «polinómio diferença») como o que se obtém ligando os polinómios parcelas através do sinal de adição (respetivamente «subtração») e designar ambos por «soma algébrica» dos polinómios dados.
7. Reconhecer que se obtém uma forma reduzida da soma algébrica de dois polinómios na forma reduzida adicionando algebricamente os coeficientes dos termos semelhantes, eliminando os nulos e as somas nulas assim obtidas e adicionando os termos assim obtidos, ou concluir que a soma algébrica é nula se todos os termos forem assim eliminados.
8. Identificar o «produto» de dois polinómios como o polinómio que se obtém efetuando todos os produtos possíveis de um termo de um por um termo do outro e adicionando os resultados obtidos.
9. Reconhecer, dada uma soma (respetivamente produto) de polinómios, que substituindo as indeterminadas por números, obtém-se uma expressão numérica de valor igual à soma (respetivamente produto) dos valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nas parcelas (respetivamente fatores), as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.
10. Reconhecer os casos notáveis da multiplicação como igualdades entre polinómios e demonstrá-los.
11. Efetuar operações entre polinómios, determinar formas reduzidas e os respetivos graus. 4. Resolver problemas 1. Resolver problemas que associem polinómios a medidas de áreas e volumes interpretando geometricamente
igualdades que os envolvam.
2. Fatorizar polinómios colocando fatores comuns em evidência e utilizando os casos notáveis da multiplicação de polinómios.
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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
1. A figura representa um terreno retangular.
1.1. Escreva uma expressão para o perímetro do retângulo.
1.2. Simplifique a expressão.
1.3. Determine o perímetro do retângulo se: x = 5 e y = 3 .
2. O portão tem 12 peças de metal.
A área de cada peça é: 𝑥 × 𝑥
2.1. Escreva 𝑥 × 𝑥 de outra forma.
2.2. Escreva uma expressão simplificada para a área das 12 peças.
2.3. Determine a área das 12 peças, para x = 20 cm .
3. A figura representa uma caixa com a forma de um paralelepípedo.
3.1. O que representa a expressão: 𝑥 × 𝑦 × 𝑥?
3.2. Escreva de outra forma 𝑥 × 𝑦 × 𝑥.
3.3. Escreva uma expressão para indicar:
a) o comprimento total das arestas;
b) a superfície total da caixa.
3.4. Calcule o volume e a área total da caixa para x = 40 cm e y = 30 cm.
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MONÓMIOS
Um monómio é uma expressão que liga por símbolos de produto «fatores numéricos» (operações envolvendo números e letras, ditas «constantes», e que designam números) e potências de expoente natural e de base representada por letras, ditas «variáveis» (ou «indeterminadas»).
Designa-se por «parte numérica» ou «coeficiente» de um monómio uma expressão representando o produto dos respetivos fatores numéricos.
Designa-se por «parte literal» de um monómio não constante, estando estabelecida uma ordem para as variáveis, o produto, por essa ordem, de cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém no monómio dado.
Designa-se por «grau» de um monómio não nulo à soma dos expoentes da respetiva parte literal, quando existe, e atribuir aos monómios constantes não nulos o grau 0.
Designa-se por «monómio nulo» um monómio de parte numérica nula e por «monómio constante» um monómio reduzido à parte numérica.
Dois monómios não nulos são «semelhantes» quando têm a mesma parte literal.
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Designa-se por «forma canónica» de um monómio não nulo um monómio em que se representa em primeiro lugar a parte numérica e em seguida a parte literal.
Dois monómios são «iguais» quando admitem a mesma forma canónica ou quando são ambos nulos.
SOMA ALGÉBRICA DE MONÓMIOS
Dados monómios semelhantes não nulos, identifica-se a soma algébrica como um monómio com a parte
literal e cujo coeficiente é igual à soma algébrica dos coeficientes das parcelas.
PRODUTO DE MONÓMIOS
Identifica-se o produto de monómios como um monómio cuja parte numérica é igual ao produto dos
coeficientes dos fatores e cuja parte literal se obtém representando cada uma das variáveis elevada à
soma dos expoentes dos fatores em que essas variáveis intervém nos monómios dados.
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POLINÓMIOS
Um polinómio» é um monómio ou uma expressão ligando monómios (designados por «termos do
polinómio») através de sinais de adição, que podem ser substituídos por sinais de subtração tomando-se,
para o efeito, o simétrico da parte numérica do monómio que se segue ao sinal.
Exemplos:
1. Binómio polinómio com 2 termos
12 2 x ; xx 2 ; 5y
2. Trinómio polinómio com 3 termos
524 2 xx ; 924 3 xx
3. Polinómio com 4 termos
1523 23 xxx
Designa-se por «forma reduzida» de um polinómio qualquer polinómio que se possa obter do polinómio
dado eliminando os termos nulos, adicionando algebricamente os termos semelhantes e eliminando as
somas nulas, e, no caso de por este processo não se obter nenhum termo, identificar a forma reduzida
como «0».
Designa-se por «grau» de um polinómio não nulo o maior dos graus dos termos de uma forma reduzida
desse polinómio.
Exemplos:
1. Dado o polinómio, 2323 23545 xxxx .
Coloquemos este polinómio na forma reduzida, isto é, vamos reduzir os termos semelhantes.
Temos então, 2323 23545 xxxx
52435 2233 xxxx
522 23 xx
O grau mais elevado é 3, desta forma, dizemos que o polinómio é do 3º grau.
2. xx 52 polinómio de grau 5 ou polinómio do 5º grau.
OUTROS EXEMPLOS:
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SOMA ALGÉBRICA DE POLINÓMIOS
Dados dois polinómios não nulos, identifica-se o «polinómio soma» (ou o «polinómio diferença») como o que se obtém ligando os polinómios parcelas, colocados entre parênteses, através do sinal de adição (ou «subtração») e designamos ambos por «soma algébrica» dos polinómios dados.
A soma algébrica de dois polinómios na forma reduzida obtém-se adicionando algebricamente os coeficientes dos termos semelhantes, eliminando os nulos e as somas nulas assim obtidas e adicionando os termos assim obtidos. A soma algébrica é nula se todos os termos forem assim eliminados.
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MULTIPLICAÇÃO DE POLINÓMIOS
MULTIPLICAÇÃO DE MONÓMIOS
MULTIPLICAÇÃO DE UM MONÓMIO POR UM POLINÓMIO
Para se multiplicar um monómio por um polinómio, aplicam-se os conhecimentos que temos da simplificação de expressões com parênteses (basta aplicarmos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica, ou seja, multiplicamos o monómio por cada termo do polinómio).
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MULTIPLICAÇÃO DE UM POLINÓMIO POR UM POLINÓMIO
EM GERAL:
Para multiplicar polinómios, multiplica-se cada monómio de um polinómio pelos monómios do outro e adicionam-se algebricamente os produtos obtidos.
Identifica-se o produto de dois polinómios como o polinómio que se obtém efetuando todos os produtos possíveis de um termo de um por todos os termos do outro e adicionando os resultados obtidos.
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FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA
MONÓMIOS E POLINÓMIOS
1. Indica o coeficiente e a parte literal de cada um dos seguintes monómios:
1.1. 5𝑥𝑦2
1.2. −𝑥𝑦2𝑧
1.3. 4
3𝑎
1.4. -5
2. Escreve, na forma reduzida, cada um dos seguintes monómios:
2.1. 2𝑥(3𝑥2)
2.2. 𝑥𝑦(2𝑥𝑦)
2.3. 3𝑥(−2)𝑦2
2.4. −1
3𝑎2 (−
3
2) 𝑎𝑏2
2.5. −2𝑎2 (−1
4) 𝑎3𝑏
2.6. −4𝑎𝑦 (3
4𝑎𝑏)
3. Dado o monómio 𝑀 = −5
7𝑦𝑏(4𝑏)
3.1. Simplifica-o e indica o coeficiente e a parte literal.
3.2. Indica o monómio semelhante a M, que tem coeficiente 7.
4. Indica o monómio simétrico em cada caso:
4.1. 𝑥
4.2. −1
3𝑥2
4.3. 2𝑥𝑦2
5. Simplifica cada uma das seguintes expressões:
5.1. 5𝑎2𝑏 − 8𝑎2𝑏 5.6. 2𝑥𝑦 −1
4𝑥𝑦 −
2
3𝑥𝑦 −
1
8𝑥𝑦
5.2. −5𝑥2𝑦2 + 𝑥2𝑦2 5.7. 4
3𝑚2𝑛 +
5
2𝑚2𝑛 − 3𝑚2𝑛
5.3. −5𝑎𝑏2 −4
3𝑏2𝑎 5.8.
1
2𝑧2𝑡2 +
1
3𝑧2𝑡2 + 8𝑧2𝑡2 −
25
3𝑧2𝑡2
5.4. 1
2𝑥 + 3𝑥 −
1
4𝑥 5.9.
𝑎3𝑏2
2−
3
2𝑎3𝑏2 − 𝑎3𝑏2 −
𝑎3𝑏2
3
5.5. 2𝑎2 + 3𝑎2 − 7𝑎2 +1
2𝑎2 + 2𝑎2
6. É dada a expressão 2𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥3 − 7𝑥2
6.1. Por quantos termos é constituída a expressão?
6.2. Os monómios da expressão são todos semelhantes?
6.3. Simplifica a expressão.
6.4. Escreve o polinómio simétrico daquele que obtiveste em 6.3.
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7. Dados os monómios:
𝐴 = −2𝑥2 𝐵 = −3𝑥2 𝐶 =1
3𝑥𝑦 𝐷 =
2
3𝑥𝑦 𝐸 =
1
2𝑥2𝑦 𝐹 =
1
4𝑥2𝑦
Calcula:
7.1. A +B 7.5. A + B – C + D
7.2. C + D 7.6. A + B + C – D + E
7.3. E – F 7.7. - A + B - C – D – E + F
7.4. A – B + C
8. Reduzindo os termos semelhantes, simplifica cada uma das expressões seguintes:
8.1. 𝑎 + 𝑏 + 3𝑎 − 3𝑏 + 7𝑎
8.2. 𝑥 + 3𝑥2 −𝑥
2+ 7𝑥2 +
2
3𝑥
8.3. 𝑚𝑛 +1
2𝑚 + 3𝑛 − 7𝑚 + 2𝑛 −
𝑚𝑛
3
8.4. 1
2𝑧 +
2
3𝑦𝑧 +
1
4𝑧 −
8
3𝑦𝑧 −
7
5𝑧
8.5. 2𝑢2𝑣 −1
2𝑢2 −
1
4𝑢2𝑣 + 3𝑢2𝑣 +
2
5𝑢2
8.6. 2𝑎𝑏 −𝑎
3− 4𝑎𝑏 − 7𝑐 + 2𝑎𝑏 −
1
3𝑐 + 𝑎
9. Calcula o polinómio soma nos seguintes casos:
9.1. (𝑥2 + 4𝑥 − 5) + (𝑥2 − 4𝑥 + 7)
9.2. (4𝑥2 − 6𝑥 + 7) + (3𝑥2 + 7𝑥 − 7)
10. Calcula:
10.1. −3(𝑥2 + 5𝑥)
10.2. 2𝑥(𝑥2 − 4)
10.3. 3
2𝑥2(−2𝑥2 + 4𝑥 + 6)
10.4. (2
3𝑥𝑦)
2
10.5. (−1
2𝑥2𝑦)
2
10.6. (−2
3𝑥2𝑦3)
3
11. Dados os monómios:
𝐴 = 2𝑥 𝐵 = 3𝑥 𝐶 =5
3𝑥2 𝐷 = −2𝑥𝑦
Calcula:
11.1. 𝐴 × 𝐵; 𝐶 × 𝐷; 𝐴 × 𝐷; 𝐵 × 𝐶
11.2. 𝐴 × 𝐵 × 𝐶; 𝐵 × 𝐶 × 𝐷; 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 × 𝐷
12. Dados os monómios:
𝐴 = 5𝑎2 e 𝐵 = −1
5𝑎𝑏
Calcula:
12.1. 𝐴2 × 𝐵
12.2. 𝐴 × 𝐵2
12.3. 𝐴2 × 𝐵2
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13. Dados os polinómios:
𝑅 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3 𝑆 =1
2𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑇 = 𝑥2 − 𝑥 +
3
2
Determina:
13.1. R + S + T
13.2. R – S – T
13.3. – R + S – T
13.4. – R – S – T
14. Efetua e simplifica:
14.1. 3(4 − 5𝑥2)
14.2. 𝑥(3 − 2𝑥) − 3(−𝑥2 − 8𝑥 + 2)
14.3. 𝑎2𝑏(2 − 3𝑎) − 4𝑎(𝑎𝑏 + 𝑏 − 1)
14.4. 3𝑚𝑛2(𝑚 − 𝑛) +1
2𝑚2(𝑛 − 𝑚2 + 1)
15. Apresenta sob a forma de polinómio reduzido:
15.1. (𝑎 + 3)(𝑏 + 4)
15.2. (𝑎 − 3)(𝑎 − 4)
15.3. (𝑎 + 6)(3𝑎 + 8)
15.4. (2 − 𝑥)(3 + 5𝑥)
15.5. (𝑥 +1
3) (2𝑥 + 6)
15.6. (1
2𝑦2 − 2𝑦) (3𝑦 + 8)
15.7. (𝑎 − 2)(2𝑎2 − 3𝑏 + 4)
15.8. (2 + 3𝑚2 − 𝑛)(2𝑚 − 5𝑛2 + 𝑚𝑛)
15.9. 2(𝑥 + 3) − 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
15.10. (𝑥 − 3)2 + 3
15.11. (𝑦 + 2)2 − 3
16. Desenvolve as seguintes expressões:
16.1. (𝑥 + 3)2
16.2. (4𝑥 − 3)2
16.3. (−3𝑥 + 8)2
16.4. (−4𝑎 − 6𝑏)2
16.5. (3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2)
16.6. (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
16.7. (1
2𝑦 − 1)
2
16.8. (1
3𝑚 − 3𝑛)
2
16.9. (1
3𝑥𝑦 −
1
2𝑥)
2
16.10. (−4𝑎2 −1
2)
2
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17. Qual é o polinómio que se deve subtrair a 7𝑥3 − 𝑥 − 3, para se obter 2 − 𝑥2 − 3𝑥?
18. Sendo:
𝐴 = 2𝑥 +1
2 𝐵 =
1
4𝑥 −
1
2 𝐶 = −𝑥2 + 1
Calcula:
18.1. 𝐴2, 𝐵2 𝑒 𝐶2
18.2. 𝐴2 + 3𝐵2 − 2𝐶2
19. Efetua e simplifica:
19.1. (2𝑥 + 2)2 − (−2𝑥 + 5)2
19.2. (1
2𝑧 − 1)
2
+ (−1
2𝑧 + 1)
2
19.3. (1
2𝑧 − 1)
2
+ (−1
2𝑧 + 1)
2
19.4. (𝑎 − 1)2(3𝑎 − 1) − (𝑎 + 1)2(𝑎 + 4)
19.5. (𝑚 −1
2𝑛)
2
− (−𝑚 +1
2𝑛)
2
− (−𝑚 −1
2𝑛)
2
19.6. (𝑥2 − 3)2 −1
2(1 + 𝑥2)2 − 3 (−2𝑥2 −
1
2)
2
19.7. −2(𝑦 + 5)2 + 3(−𝑦 + 1)2 − (𝑦 − 3)(𝑦 − 5)
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FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA
CADERNO DE APOIO 3.º CICLO
1. Indica a parte numérica, a parte literal e o grau de cada um dos seguintes monómios:
1.1. 4x2 , variável x .
1.2. 37y3 , variável y .
1.3. 3ax4 , variável x , a número real não nulo.
1.4. 2yx2y2 , variáveis x e y .
1.5. 3c , c número real não nulo.
1.6. 21ax2b2cx2y5 , variáveis x e y , a , b e c números reais não nulos.
2. Indica uma forma canónica para cada um dos seguintes monómios e identifica os que são
semelhantes e os que são iguais:
2.1. 3xyx2, variáveis x e y.
2.2. 37zxxy3, variáveis x, y e z.
2.3. 3ayx3, variáveis x e y, a número real não nulo.
2.4. 2y2xy3, variáveis x e y.
2.5. 5
c, c número real não nulo.
2.6. 37xzyxy2, variáveis x, y e z.
2.7. 13,4
3. Escreve na forma canónica o produto dos seguintes monómios e, caso os monómios sejam
semelhantes, determina igualmente a respetiva soma.
3.1. 3x2 e 7x3
3.2. 2y e 5ay
3.3. 4x2y e 8yx2
3.4. 12abcx2y3z4 e 3ba2xyz
3.5. (3 + 2b)x2 e 7axy
4. Obtém uma forma reduzida de cada um dos seguintes polinómios (variáveis x e y), indicando o
respetivo grau e identificando duas alíneas em que se representem polinómios iguais:
A medida do comprimento do lado do quadrado [ABCD] é a logo a sua área é a2.
A medida do comprimento do lado do quadrado 3 é b logo a sua área é b2.
A área dos dois retângulos é igual é diferença entre a área do quadrado [ABCD] e
a área do quadrado 3 menor, pelo que: Área = a2 - b2.
Por outro lado, alinhando os retângulos 1 e 2, como podes observar na
figura ao lado, obtemos um novo retângulo cujas medidas dos seus lados
são a + b e a – b. Logo a área dos dois retângulos é
(a +b) (a – b) = a2 – ab + ba – b2= a2 – b2.
Podemos então concluir que: a2 - b2 = (a +b) (a – b).
Exemplos:
a) (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 𝑥2 − 52 = 𝑥2 − 25
b) (3 − 𝑥)(3 + 𝑥) = 9 − 𝑥2
c) (2𝑦 − 1)(2𝑦 + 1) = (2𝑦)2 − 12 = 4𝑦2 − 1
d) (1 − 𝑎)(1 + 𝑎) = 1 − 𝑎2
e) (9 +1
2𝑥) (9 −
1
2𝑥) = 92 − (
1
2𝑥)
2
= 81 −1
4𝑥2
f) 4𝑏2 − 9 = (2𝑏 − 3)(2𝑏 + 3)
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O produto da soma pela diferença de dois monómios é igual à diferença dos quadrados
desses monómios.
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
4. Calcula, usando este caso notável da multiplicação:
a) (𝑥 + 7)(𝑥 − 7) = b) (𝑦 + 5)(𝑦 − 5) =
c) (2z + 1,5)(2z - 1,5) = d) (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) =
e) (3𝑥 +𝑏
2) (3𝑥 −
𝑏
2) = f) (5𝑎 − 0,5𝑑)(5𝑎 + 0,5𝑑) =
g) (1 −1
2𝑥) (1 +
1
2𝑥) = h) (𝑎 − 3𝑏)(𝑎 + 3𝑏) =
i) (12 − 9)(12 + 9) = j) (𝑢2 +5
3𝑣) (𝑢2 −
5
3𝑣) =
k) (1
8+ 𝑦) (
1
8− 𝑦) = l) (
5
3𝑎 − 1) (
5
3𝑎 + 1) =
m) (−3𝑥 − 1)(−3𝑥 + 1) = n) (𝑏 −2
3) (𝑏 +
2
3) =
o) (−5
7𝑎 − 𝑏) (−
5
7𝑎 + 𝑏) = p) (2𝑦 − 3)(2𝑦 + 3) =
q) (3𝑥 − 4𝑦)(3𝑥 + 4𝑦) = r) (𝑥2 + 7𝑐)(𝑥2 − 7𝑐) =
22 bababa
Quadrado do
1.º Termo
Quadrado do
2.º Termo 1.º 2.º 1.º 2.º
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ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS
FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA
CASOS NOTÁVEIS
1. Traduz de linguagem corrente para linguagem matemática as seguintes expressões: a) A soma do quadrado de dois com o quadrado de seis. b) O quadrado da soma de cinco por sete. c) A diferença do quadrado de três com o quadrado de nove. d) O quadrado da diferença de oito por quinze. e) O quadrado da soma de uma quantidade por outra quantidade. f) A diferença do quadrado de uma quantidade com o quadrado de outra quantidade. g) A soma do quadrado de uma quantidade com o quadrado de outra quantidade. h) O quadrado da diferença de uma quantidade por outra quantidade.
2. Completa, utilizando os casos notáveis da multiplicação: