UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y valle Alma Máter del Magisterio Nacional FACULTAD DE CIENCIAS Escuela Profesional de Matemática e Informática MONOGRAFÍA CÁLCULO VECTORIAL EN R 2 Y R 3 Vectores en el plano y en el espacio tridimensional. Adición y Multiplicación de un vector por un real. Producto escalar. Norma de un Vector. Producto Escalar y Ortogonalidad. Paralelismo. Producto Vectorial en R 3 . Triple producto Escalar. Bases y proyección ortogonal de vectores en R 2 . Ecuación Vectorial de rectas en R 2 y R 3 . Planos en R 3 . Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria. Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0525-2018-D-FAC PRESENTADA POR FLORES AVALOS, LESLIE NORMA INGRID Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: Matemática Lima, Perú 2018
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y valle
Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela Profesional de Matemática e Informática
MONOGRAFÍA
CÁLCULO VECTORIAL EN R2 Y R3
Vectores en el plano y en el espacio tridimensional. Adición y Multiplicación de un vector
por un real. Producto escalar. Norma de un Vector. Producto Escalar y Ortogonalidad.
Paralelismo. Producto Vectorial en R3. Triple producto Escalar. Bases y proyección
ortogonal de vectores en R2. Ecuación Vectorial de rectas en R2 y R3. Planos en R3.
Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria.
Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0525-2018-D-FAC
PRESENTADA POR
FLORES AVALOS, LESLIE NORMA INGRID
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación
Especialidad: Matemática
Lima, Perú
2018
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3
Dedico este trabajo, principalmente, a Dios, por
permitirme haber llegado hasta este momento, tan
importante de mi formación profesional; a mi madre,
por ser el pilar más importante y por demostrarme siempre su cariño y apoyo incondicional; a mi hijo, por
iluminarme día a día con la paz de su sonrisa.
4
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN 10
CAPÍTULO I VECTORES 11
1.1 Vectores en el plano cartesiano y en el espacio tridimensional 11
1.1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica. 11
1.1.2 Representación geométrica de vectores. 12
1.1.3 Suma de vectores. 14
1.1.4 Multiplicación de un vector por un real (escalar). 19
1.1.5 Magnitud o norma de un vector en R2 y R3. 20
1.1.6 Producto escalar o producto punto. 21
1.1.6.1 Propiedades del producto escalar. 24
1.1.7 Vector unitario. 26
1.1.8 Vectores paralelos. 27
1.1.9 Ángulo entre dos vectores. 29
1.1.10 Vectores ortogonales o perpendiculares. 30
1.2 Producto vectorial en R3 o producto cruz 31
1.2.1 Producto vectorial con determinantes. 32
1.2.2 Propiedades. 33
5
1.3 Triple producto escalar (Producto mixto) 33
1.4 Proyección ortogonal y componentes 35
1.5 Área del paralelogramo 36
CAPÍTULO II RECTAS 39
2.1 Rectas en el plano 39
2.1.1 Ecuaciones de la recta. 39
2.1.2 Ecuación punto - pendiente. 40
2.1.3 Ecuación punto- intersección. 40
2.1.4 Recta paralelas. 41
2.1.5 Rectas ortogonales. 43
2.2 Ecuación vectorial de una recta en el plano 43
2.2.1 Ecuación vectorial de la recta en R2. 43
2.3 Ecuación vectorial de una recta en el espacio (R3) 44
2.3.1 Ecuación vectorial en R3. 44
2.3.2 Ecuación paramétrica en R3. 45
2.3.3 Ecuación simétrica en R3. 46
6
CAPÍTULO III PLANOS 49
3.1 Planos en R3 49
3.1.1 Ecuación vectorial del plano. 49
3.1.2 Ecuación paramétrica del plano. 50
3.1.3 Ecuación vectorial general del plano. 50
3.2 Planos paralelos y ortogonales 51
3.3 Ecuación biplanar de la recta 53
3.4 Intersección entre recta y plano 53
3.5 Distancia de un punto a un plano 55
3.6 Ángulo entre recta y plano 57
3.7 Ángulo entre dos planos 58
CAPÍTULO IV PLANOS VECTORIALES 60
4.1 Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria 60
4.1.1 Axiomas de un espacio vectorial. 61
APLICACIÓN DIDÁCTICA 62
7
SÍNTESIS 68
APRECIACIÓN CRÍTICA Y SUGERENCIAS 70
BIBLIOGRAFÍA 71
ANEXOS 72
8
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Segmento de recta dirigido. Por Ayres y Mendelson, 2010 12
Figura 2. Vector u en R2. Por Del Valle, 2011 13
Figura 3. Vector 𝑢 en R3 . Por Del Valle, 2011 14
Figura 4. Suma de vectores. Por Haaser, 2000 15
Figura 5. Ley del paralelogramo. Por Valle, 2011 16
Figura 6. Suma de vectores. Elaboración propia. 16
Figura 7. Suma de vectores con el método del paralelogramo. Elaboración propia. 17
Figura 8. Interpretación gráfica de la suma de vectores en R3. Por Tortosa, 2012 18
Figura 9. Suma de los vectores a + b. Elaboración propia. 18
Figura 10. Multiplicación por un escalar, en R2. Por Haaser, 2000. 19
Figura 11. Multiplicación por un real, en R3. Por Tortosa, 2012. 20
Figura 12. Magnitud de un vector. Por Grossman, 2012 20
Figura 13. Los ángulos α, β, γ son ángulos directores. Por Mesa, 2012 21
Figura 14. Producto escalar entre dos vectores. Por Del Valle, 2012 22
Figura 15. Ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π. Por Del Valle, 2012 22
Figura 16. Ley de cosenos. Por Grossman, 2012 23
Figura 17. Magnitudes de los vectores. Por Grossman, 2012 23
Figura 18. Vectores unitarios en R2. Por Del Valle, 2011 27
9
Figura 19. Vectores unitarios 𝑘, 𝑗 e 𝑖 en R3. Por Del Valle, 2011 27
Figura 20. Ángulo θ formado por los vectores a y b. Elaboración propia 29
Figura 21. Proyección ortogonal de un vector sobre otro. Por Barrera, 2014 35
Figura 22. Paralelogramo formado por los vectores 𝑢 y 𝑣. Por Del Valle, 2011. 37
Figura 23. Recta L en R2. Por Ayres y Mendelson, 2010. 40
Figura 24. Punto pendiente de L. Por Ayres y Mendelson, 2010. 41
Figura 25. Rectas L1 y L2. Por Ayres, 2010. 42
Figura 26. Rectas L1 y L2. Por Ayres y Mendelson, 2010. 42
Figura 27. Ecuación vectorial de la recta en R2. Elaboración propia. 44
Figura 28. Ecuación vectorial de la recta R3. Elaboración propia. 45
Figura 29. Plano P que pasa por el punto 𝑢0. Por Del Valle, 2011 51
Figura 30. Planos paralelos. Por Grossman 2012 52
Figura 31. Planos perpendiculares. Por Grossman, 2012 52
Figura 32. Plano 𝜋1 y 𝜋2. Elaboración propia. 53
Figura 33. Intersección recta y plano. Elaboración propia 54
Figura 34. Plano π y la distancia de Q hasta P. Por Mesa, 2012 55
Figura 35. Plano π y P que no pertenece al plano. Por mesa 2012. 56
Figura 36. Plano π y la recta r. Elaboración propia. 57
Figura 37. Ángulo α formado por los planos 𝜋1 𝑦 𝜋2. Elaboración propia 58
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INTRODUCCIÓN
El cálculo vectorial facilita una notación clara y precisa al representar ecuaciones
matemáticas que nos sirven de referente ante distintas situaciones físicas; también ayuda de
manera significativa a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos. Por ejemplo, la
masa, temperatura y longitud quedan perfectamente definidas con solo conocer el valor de su
medida; las denominadas magnitudes escalares. En otros casos, en cambio, para definirlas
correctamente no es suficiente con conocer el valor absoluto de su medida; por ejemplo: la
fuerza y la velocidad, denominadas magnitudes vectoriales.
El enfoque principal de este trabajo serán los vectores en R2 y R3, apoyándonos en
conceptos básicos de geometría analítica y trigonometría.
Nuestro estudio consta de cuatro grandes bloques a los que denominaremos capítulos, en
ellos tratamos las operaciones básicas de los vectores en R2 y R3: la suma vectorial, la
multiplicación por un real y los productos escalar y vectorial (capítulo I), rectas en el plano,
paralelismo, ortogonalidad y ecuaciones de la recta (capítulo II), planos en R3, planos paralelos y
ortogonales y ecuaciones del plano (capítulo III); finalmente, se plantea una propuesta didáctica
aplicada para la educación secundaria (capítulo IV).
11
CAPÍTULO I
VECTORES
1.1 Vectores en el plano cartesiano y en el espacio tridimensional
1.1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica.
Antes de dar una definición, debemos diferenciar: Ayres y Mendelson (2010) afirma
“Cantidades como el tiempo, la temperatura y la rapidez, que tienen solo magnitud (valor
numérico), se denominan escalares. Por otra parte, cantidades como la fuerza, velocidad y la
aceleración, que tienen tanto magnitud como dirección, se denominan vectores” (p. 317).
Entonces, podríamos decir que un vector es un ente matemático con origen, dirección,
sentido y magnitud. Los vectores se representan geométricamente por segmentos de recta
12
dirigidos (flechas) como se muestra en la figura 1. “El segmento de recta dirigido 𝑃𝑄 es un
vector en el plano denotado por v = 𝑃𝑄 ; los vectores se denotan normalmente por letras
minúsculas en negrita como a, b, u, v y w” (Ayres y Mendelson, 2010, p. 317).
1Figura 1. Segmento de recta dirigido. Por Ayres y Mendelson, 2010
Un vector está determinado por los siguientes elementos
1. Dirección: La misma que tiene la recta sobre la cual está el vector (directriz).
2. Sentido: Uno de los dos posibles que define su dirección, representado por la cabeza de la
flecha.
3. Magnitud: Valor numérico de la norma que representa, expresado por la longitud del
vector.
1.1.2 Representación geométrica de vectores.
En R2 el vector de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3). (Meléndez,
2011)
13
En R2:
Tracemos dos rectas perpendiculares, llamémosle ejes x y y; luego, tomamos el par
ordenado (a, b), que serán nuestras coordenadas cartesianas. Después, trazamos las
perpendiculares a los ejes x y y, entonces se producen dos distancias dirigidas a y b, como se
muestra en la figura 2. Finalmente, a se llama la componente x y b la componente y del vector
�� = (a, b) (Haaser, 2000).
2 Figura 2. Vector u en R2. Por Del Valle, 2011
En R3:
En el espacio R3 todo punto u (vector) se localiza mediante una terna ordenada (a, b, c)
de números reales; donde las dos primeras componentes (a, b) son la proyección vertical
de este punto sobre el plano x, y y la tercera, c, es la proyección horizontal de este punto
sobre el eje z, como en la figura 3 (Del Valle, 2011, p. 121).
14
3 Figura 3. Vector �� en R3 . Por Del Valle, 2011
1.1.3 Suma de vectores.
En R2:
La suma de dos vectores estará definida por:
Sean a y b vectores en R2, para cada a = (a1, a2) y b= (b1, b2), entonces:
a + b = (a1, + b1, a2 + b2)
Una descripción geométrica de la adición de vectores es la siguiente:
1. Elijase un punto P0
2. Constrúyase el vector a desde P0 y localícese así el punto P1
3. Constrúyase la flecha b desde P1 y localícese así el punto P2; la fecha de P0 a P2
corresponde al vector a + b
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Es decir, si el punto de inicio del vector b se ubica en el punto final de a, entonces a + b
corresponde a la flecha dibujada desde el punto de inicio de a hasta el punto final de b, como se
muestra en la figura 4 (Haaser, 2000).
4 Figura 4. Suma de vectores. Por Haaser, 2000
La operación de adición de dos vectores 𝐚 + b puede ilustrarse también de la siguiente
manera. Trasladamos los vectores a y b en paralelo y de forma continua, formando un
paralelogramo. Vemos, en la figura 1.5, por esta construcción que a + b es una diagonal del
paralelogramo (Haaser, 2000).
P0
P1
P2
a
b
a+b
x
y
16
5 Figura 5. Ley del paralelogramo. Por Valle, 2011
Ejemplo 1: Sean u y v vectores en R2, hallar la suma de u y v si u= (4, 1) y v= (2, 3)
Solución:
u + v = (4 + 2, 1 + 3)
u+ v = w = (6, 4)
6 Figura 6. Suma de vectores. Elaboración propia.
17
Ejemplo 2: Dados los vectores u= (5, 2) y v= (1, 4); representar gráficamente la suma de
ambos vectores.
Gráficamente, usando el método del paralelogramo, trazamos las paralelas a los vectores
u y v que llamaremos u’ y v’; finalmente, trazamos la diagonal del paralelogramo que es el
vector w que representa la suma de u y v, como se muestra en la figura 7 (Del Valle, 2011).
El vector w = u + v, entonces:
w= (5+1, 2+4)
w= (6, 6)
7 Figura 7. Suma de vectores con el método del paralelogramo. Elaboración propia.
En R3:
La suma de vectores en R3 estará definida por:
Tenemos que a y b vectores en R3, para cada a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3), entonces: a
+ b= (a1+ b1, a2 + b2, a3+ b3), como se muestra en la figura 8 (Tortosa, 2012).
18
8 Figura 8. Interpretación gráfica de la suma de vectores en R3. Por Tortosa, 2012
Ejemplo 3: Sean a y b vectores en R3. Hallar la suma de a y b si a = (1, 7, 3) y b= (2, 0,
6), entonces:
a + b = (1+2, 7+0, 3+6) = (3, 7, 9)
9 Figura 9. Suma de los vectores a + b. Elaboración propia.
19
1.1.4 Multiplicación de un vector por un real (escalar).
La multiplicación por un real (escalar) r por un vector u, expresado por ru, es un vector r
veces tan largo como u y tiene el mismo sentido que u si r es positivo y sentido opuesto si r es
negativo (Tortosa, 2012).
En R2:
Por definición, si r es un número real y a = (a1, a2) es un vector (Haaser, 2000), entonces:
ra = r(a1, a2) = (ra1, ra2)
Gráficamente:
10 Figura 10. Multiplicación por un escalar, en R2. Por Haaser, 2000.
En R3:
Definimos si k es un real y a = (a1, a2, a3) un vector.
Entonces:
ka = k (a1, a2, a3) = (ka1, ka2, ka3)
20
11 Figura 11. Multiplicación por un real, en R3. Por Tortosa, 2012.
1.1.5 Magnitud o norma de un vector en R2 y R3.
Denotemos la magnitud de un vector a por |a|, siendo este último un escalar (Grossman, 2012).
En R2:
Sea el vector a = (a1, a2), para calcular la magnitud graficamos un triángulo rectángulo
trazando a1 y a2, que serán, en este caso, los catetos y el vector a la hipotenusa. Entonces,
aceptando el teorema de Pitágoras, obtenemos (Grossman, 2012):
|a|= √𝑎12 + 𝑎2
2
12 Figura 12. Magnitud de un vector. Por Grossman, 2012
21
En R3:
Sea �� = (𝑥, 𝑦, 𝑧), la magnitud o norma del vector �� se denota de igual manera como |��|,
se define como:
|��| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
La dirección de �� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) está definida por la medida de los ángulos que forma la
línea de acción del segmento de recta con los ejes x, y, z. Ver figura 13
13 Figura 13. Los ángulos α, β, γ son ángulos directores. Por Mesa, 2012
1.1.6 Producto escalar o producto punto.
“El producto escalar de dos vectores es la magnitud de la proyección del primer vector
sobre el segundo, multiplicada por la norma de este último, donde θ es el ángulo formado por los
dos vectores” (Del Valle, 2012, p. 116).
u • v = |u| |v| cosθ
22
14 Figura 14. Producto escalar entre dos vectores. Por Del Valle, 2012
Observación: Tener en cuenta que se entiende por el ángulo θ entre los vectores u y v, al
ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π, como se muestra en la figura 15.
15 Figura 15. Ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π. Por Del Valle, 2012
Para dar una fórmula alternativa y poder hallar el producto escalar que no dependa de
conocer el ángulo entre los vectores, deseamos hallar una relación del producto escalar
que dependa exclusivamente de las componentes de los vectores. Para ello necesitamos
de la llamada ley de cosenos, conocida por el lector de sus cursos de trigonometría que
recordamos en la figura 16 (Del Valle, 2012, p. 116).
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16 Figura 16. Ley de cosenos. Por Grossman, 2012
En R2:
Ahora sea �� = (𝑥1, 𝑦1) y �� = (𝑥2, 𝑦2 ) un par de vectores en R2
17 Figura 17. Magnitudes de los vectores. Por Grossman, 2012
De la figura 17 y la ley de cosenos tenemos que
‖𝑣 − �� ‖2 = ‖�� ‖2 + ‖𝑣 ‖2 − 2‖�� ‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃
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Luego,
2‖�� ‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 = ‖�� ‖2 + ‖𝑣 ‖2 − ‖𝑣 − �� ‖2
= 𝑥12 + 𝑦1
2 + 𝑥22 + 𝑦2
2 − [(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2]
= 𝑥12 + 𝑦1
2 + 𝑥22 + 𝑦2
2 − [ 𝑥22 − 2𝑥1𝑥2 + 𝑥1
2 + 𝑦22 − 2𝑦1𝑦2 + 𝑦1
2]
de donde
2‖�� ‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2(𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2)
y, por tanto,
�� • �� = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2
es la relación buscada (Valle, 2012)
En R3:
Sea u = (m1, m2, m3) y v = (p1, p2, p3) el producto escalar se obtiene, de igual manera,
multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando, luego, los productos
resultantes. Esto es:
u • v= (m1p1 + m2p2 + m3p3)
1.1.6.1 Propiedades del producto escalar.
1. El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a la magnitud del vector
al cuadrado.
Esto es:
u • u= |u|2
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Demostración:
Sea el vector u = (x, y, z)
u • u= (x, y, z) • (x, y, z) = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)……………………(por definición)
|u| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2………………………..…………(magnitud de un vector)
|u|2= (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
2. El producto escalar de a • b es igual al producto escalar de b• a (conmutativa).
a • b = b• a
Demostración:
Sean los vectores a = (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)
a • b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = (a1 b1 + a2b2 + a3b3)
b • a = (b1, b2, b3) • (a1, a2, a3) = (b1a1 + b2a2 + b3a3)
a • b = b • a
3. Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial
Sean p, q y r vectores. Entonces:
p • (q + r) = p •q + p • r
Demostración:
Sean p= (p1, p2, p3), q= (q1, q2, q3) y r= (r1, r2, r3)
p • (q + r) = (p1, p2, p3) • (q1+r1, q2 +r2, q3+r3) …………………. (suma de vectores)
= (p1(q1+r1), p2(q2 +r2), p3(q3+r3)) ……...……. (Def. de producto escalar)