Momentum Sudut dan Benda Tegar

MOMENTUM SUDUT DAN BENDA TEGAR

DISUSUN OLEH :

1. DINI BISMUTIKA2. MAY RAPIKA

3. MELINDA4. NOVIA SARI5. SUCI AMALIA

MOMENTUM SUDUT DALAM GERAK PLANET

MOMENTUM SUDUT BENDA TEGAR

GERAK MENGGELINDING

MOMENTUM SUDUT PARTIKEL TUNGGAL

BENDA TEGAR

GERAK SATELIT

MOMENTUM SUDUT SISTEM PARTIKEL

STATIKA BENDA TEGAR

GIROSKOPI

KEKEKALAN MOMENTUM PADA BENDA TEGAR

DINAMIKA BENDA TEGAR

MOMEN INERSIA BEBERAPA BENDA TEGAR

MOMENTUM SUDUT DALAM GERAK PLANET

Usaha untuk mempelajari sistem tata suryasecara ilmiah dirintis oleh orang-orang Yunani kuno. Deskripsi yang terperinci tentang kesimpulan yang diperoleh orang-orang Yunani ini diberikan oleh Ptolomeus pada abad kedua. Teori tentang sistem tata surya yang diberikan oleh Ptolomeus disebut sistem geosentrik.

Pada abad ke-enambelas Copernicus menyatakan bahwa deskripsi gerak benda-benda langit akan lebih sederhana jika dianggap bahwa matahari terletak pada pusat jagad. Teori ini disebut teori Copernicus, atau heliosentris. Dalam teori ini bumi adalah suatu planet yang berputar pada sumbunya dan bergerak mengelilingi matahari, dan planet-planet yang lain juga melakukan gerak serupa.

Adanya pertentangan antara dua teori tersebut membuat para mahasiwa astronomi berusaha untuk memperoleh data pengamatan yang lebih teliti. Data semacam ini dikumpulkan oleh Tycho Brahe (1546-1601) yang melakukan pengamatannya tanpa teleskop. Teleskop pertama kali dibuat oleh Galileo pada tahun 1609. data tentang gerak planet dari pengamatan Brahe dianalisa oleh Johannes Kepler (1571-1630) yaitu asisten Brahe, selama dua puluh tahun. Kepler menemukan adanya keteraturan dalam gerak planet-planet, keteraturan ini dinyatakan dalam tiga hukum Kepler untuk gerak planet.

Hukum keppler merupakan hukum – hukum yang menjelaskan tentang gerak planet.

Hukum I Keppler

Orbit planet berbentuk elips dimana matahari terletak pada salah satu titik fokusnya.

Aphelium

Jarak terjauh planet dari matahari

Perihelium

Jarak terdekat planet dari matahari

Hukum Keppler

Garis edar planet ( orbit ) lintasan yang dilalui planet saat mengitari matahari

Orbit Planet

• Jika waktu planet untuk berevolusi dari AB sama dengan waktu planet untuk berevolusi dari CD sama dengan waktu planet untuk berevolusi dari EF

• Maka luas AMB = luas CMD = luas EMF

• Sehingga kecepatan revolusi planet dari AB lebih besar kecepatan revolusi planet dari CD dan kecepatan revolusi planet dari CD lebih besar kecepatan revolusi planet dari EF.

• Semakin dekat matahari kecepatan revolusi planet semakin besar• Semakin jauh dari matahari kecepatan revolusi planet semakin

lambat.

Hukum II KepplerGaris yang menghubungkan planet ke matahari dalam waktu yang sama menempuh luasan yang sama

Hukum III Keppler Kuadrat kala revolusi planet sebanding dengan pangkat tiga

jarak rata – rata planet ke matahari

32

31

22

21

d

d

T

T

d1

d2

T1 = Periode revolusi planet 1T2 = Periode revolusi planet 2d1 = jarak rata – rata planet 1 ke mataharid2 = jarak rata – rata planet 2 ke matahari

Momentum Sudut Partikel Tunggal

momentum sudut sebuah partikel yang berputar terhadap sumbu putar didefenisikan sebagai hasil kali momentum linear partikel tersebut terhadap jarak partikel ke sumbu putarnya.

Maka:

L = r.p

Vector L selalu tegak lurus dengan p dan r. besarnya ditentukan dengan L=p sin θ. r. dimana θ merupaan sudut antara p dan r, Karena θ=90⁰ maka diperoleh L=p.r.

Oleh karena p=m.v dan v=ω.r, dengan ω adalah kecepatan sudut maka besarnya momentum sudut terhadap sumbu putarnya, yaitu:

L=m.v.r

L=m.r2. ω => L=I. ω• • • Momentum sudut pada sebuah partikel

didefinisikan l = r x p, • dengan p = mv• Besarnya momentum sudut• l = r p sin • rumusan ini dapat diubah menjadi• l = r (p sin) = r

p

• atau l = p (r sin) = p r

• dimana p adalah : komponen p yang tegak lurus r dan

• r adalah : komponen r yang tegak lurus p

• Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan doperoleh :

• dl/dt = d (r x p)/dt• dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x

p)• dl/dt = (r x F) + (v x mv) • diperoleh• dl/dt =

dp/dt= F• •

Momentum sudut pada sebuah partikel didefinisikan l = r x p, dengan p = mv

Besarnya momentum sudut l = r p sin rumusan ini dapat diubah menjadi :

l = r (p sin) = r p atau l = p (r sin) = p r dimana p adalah : komponen p yang tegak lurus r dan r adalah : komponen r yang tegak lurus p Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan doperoleh :

dl/dt = d (r x p)/dt

dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p)

dl/dt = (r x F) + (v x mv)

diperoleh

dl/dt = dp/dt= F

Gerak Satelit atau Planet

• Gerak planet dan semua nggota tata surya mengikuti hukum grafitasi universal

• Hukum Grafitasi Universal.• Planet bumi dan planet yang

lainnya bergerak mengitari matahari karena pengaruh gaya grafitasi matahari.

• Gerak satelit mengelilingi planet disebabkan ada gaya grafitasi planet pada satelit.

• Planet bergerak mengelilingi matahari karena matahari memiliki massa lebih besar dari planet.

• Satelit mengelilingi planet karena planet memiliki massa lebih besar dari satelit.

Mp = massa planetMm = massa maahariR = jarak antara massaF = gaya tarik matahari

pada planet

F

R

• F = gaya tarik ( N ) • M1 = massa matahari (kg) • M2 = massa planet (kg)• R = jarak rata- rata matahari dengan planet ( m ) • G = konstanta grafitasi umum ( 6,67 . 10 – 11 N m2/kg2)

F = G 2

21.

R

MM F

R

Besar gaya tarik matahari pada planet adalah sebanding dengan besar massa masing-masing dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara pusat massa masing – masing.

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

DEPARTMEN FISIKA ITB

Bab 6-15

Momentum Sudut Sistem Partikel

Untuk gerak linear sistem partikel berlaku

Momentum kekal jika

Bagaimana dng Gerak Rotasi?

Fp

EXTddt

FEXT 0

L r p

r F Untuk Rotasi, Analog gaya F adalah Torsi

Analog momentum p adalah

momentum sudut



Bab 6-16

Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total:

1 2 31

n

n ii

L l l l l l

,1 1

n ni

net i neti i

dL dl

dt dt

Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh torsi gaya luar saja.



Bab 6-17

i

j

k̂vrmmi

iiii

iiiii

i vrprL

Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel:

r1

r3

r2

m2

m1

m3

v2

v1

v3

Arah L sejajar sumbu z

Gunakan vi = ri , diperoleh

IL

(krn ri dan vi tegak lurus)

Analog dng p = mv !!

krmLi

2

iiˆ



Bab 6-18

Vektor Momentum Sudut

DEFINISIMomentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebut.

Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi):

IL

I

dt

dI

dt

Id

dt

Ld

)(



Bab 6-19

Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan w kekal

L I

L I L I

2i iI m r

Vektor Momentum Sudut


DEPARTMEN FISIKA ITB Benda Tegar

Benda Tegar adalah benda yang tidak mengalami perubahan bentuk meskipun dipengaruhi oleh suatu gaya.

Bab 6-20



Bab 6-21

Torsi – Momen gaya

Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya dengan panjangnya lengan



Bab 6-22

Torsi – Momen gaya

Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.

Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)


Momentum Sudut Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat dirumuskan :

L = I .

Bab 6-23


Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,

L = R Patau L = R mV

L = mR V

Bab 6-24


DEPARTMEN FISIKA ITBJadi momentum sudut adalah suatu vektor yang

tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.

Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.

V = R Sehingga L = m R v

L = m R RL = m R2 Arah L dam adalah sama, maka:

L = m R2 atau L = I

Bab 6-25

DEPARTMEN FISIKA ITBkarena = dθ

dt

maka : L = m R2 dθ

dt

L = I dθ

dt

Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:

L = R P = m (R v)

Bab 6-26

DEPARTMEN FISIKA ITB Bila diturunkan, menjadi:

dL = dR x P R dP

dt dt dt

dL = (V x Mv) + (F x R)

dt

dL = 0 + F x R

dt

karena = F Rmaka = dL

dt

Bab 6-27


Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.

Bab 6-28

DEPARTMEN FISIKA ITB momentum sudut total awal = momentul sudut

total akhir

L = L’

L1 + L2 = L1’ + L2’

Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.

I1 1 + I2 2 = I1’ 1’ + I2’ 2’

Bab 6-29



Momen Inersia Beberapa Benda Tegar

Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai

I = momen inersia benda tegar, menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnya

...222

211

2 rmrmrmIi

ii



Bab 6-31

Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral

dVρrdmrI 22

dm

x

y

z

dmrIrmI ii

i 22

dldrdrdV Dimana Elemen Volume



Bab 6-32

dimana rdr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, dl : perubahan ketebalan.

dldrdrdV



Bab 6-33

Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral

dldrdrrI 2

Asumsi rapat massa ρ konstan

Kita dapat membaginya dalam 3 integral sbb:

LR

dldrdrrI0

2

00

2



Bab 6-34

Hasilnya adalah

LR

I

lr

I L

R

24

44

020

0

4

LRM 2

Massa dari lempengan tersebut

2

2

1MRI Momen Inersia benda



Bab 6-35

Dalil Sumbu Sejajar

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:

Dalil Sumbu Sejajar2MhII cm



Bab 6-36

Momen Inersia:ℓ ℓ

ab

2

12

1mlI

2mRI

)(12

1 22 bamI

R

2

5

2mRI

2

2

1mRI

2

3

1mlI

R



Bab 6-37

Dinamika Benda Tegar

Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:

21

22

2

1

2

12

1

2

1

IIdIdW



Bab 6-38

Energi Kinetik Rotasi

Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah

222

2

1

2

1 iiii rmrmK

2iirmI

2

2

1 IK

Dimana I adalah momen inersia,



Bab 6-39

Energi Kinetik Rotasi

Linear Rotasi

2

2

1 IK 2

2

1MvK

Massa

Kecepatan Linear

Momen Inersia

Kecepatan Sudut



Bab 6-40

Prinsip Kerja-Energi

Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi:

21

22

2

1

2

12

1

2

1

IIdIdW

2

2

1 IK rotasi rotasiKW dimana

Bila ,maka sehingga0 0W0 rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi



Bab 6-41

Menggelinding

Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi



Bab 6-42

Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi

s R Ban bergerak dengan laju ds/dt

com

dv R

dt



Bab 6-43




Bab 6-44


The kinetic energy of rolling

2 212

2 2 21 12 2

2 21 12 2

P P com

com

com com r t

K I I I MR

K I MR

K I Mv K K



Bab 6-45

Gerak Menggelinding Di Bidang Miring

R x

P

sf

gF

singF

cosgF

N Gunakan: torsi = I

sing PR F I

coma R

Maka:2 sin P comMR g I a

2P comI I MR

2

sin

1 /comcom

ga

I MR



Bab 6-46

Menggelinding

Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.

20

20

2

1

2

1 ImvK

V0



Bab 6-47

Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak Rotasi

GiroskopGiroskop adalah roda berat yang berputar pada jari-jarinya. Sebuah giroskop mekanis terdiri dari sebuah roda yang diletakkan pada sebuah bingkai. Roda ini berada di sebuah batang besi yang disebut dengan poros roda. Ketika giroskop digerakkan, maka ia akan bergerak mengitari poros tersebut. Poros tersebut terhubung dengan lingkaran-lingkaran yang disebut gimbal. Gimbal tersebut juga terhubung dengan gimbal lainnya pada dasar lempengan. Jadi saat piringan itu berputar, unit giroskop itu akan tetap menjaga posisinya saat pertama kali dia diputar.

torsi yang disebabkan oleh dua kekuatan yang berlawananFg dan –Fg menyebabkan perubahan momentum sudut L dalam arah yang torsi (karena torsi adalah turunanterhadap waktu dari momentum sudut). Hal ini menyebabkan bagian atas untuk presesi. Dalam sistem tertutup momentum sudut adalah konstan. Hukum konservasi ini secaramatematis berikut dari arah simetri kontinu ruang (tidak ada arah dalam ruang yang berbeda dari arah lain).

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Torque&prev=/search?q=momentum+angular&hl=id&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhhWKp8f39bvzwFx0kiiVyLt0GLzeQ

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Precess&prev=/search?q=momentum+angular&hl=id&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhi8CsIZkQ2hz4K5w_4mQ1IgDmiGMA

Turunan waktu dari momentum sudut disebut torsi:

(cross product kecepatan dan momentum adalah nol, karena vektor ini adalahsejajar.) Jadi memerlukan sistem yang akan "tertutup" di sini adalah secara matematis setara dengan nol torsi eksternal yang bekerja pada sistem:

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Torque&prev=/search?q=momentum+angular&hl=id&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhhWKp8f39bvzwFx0kiiVyLt0GLzeQ

di mana τe x t adalah setiap torsi diterapkan pada sistem partikel. Diasumsikan bahwa kekuatan interaksi internal taat hukum ketiga Newton tentang gerak dalam bentuk yang kuat, yaitu, bahwa kekuatan-kekuatan antara partikel adalah sama dan berlawanan dan bertindak di sepanjang garis antara partikel.Dalam orbit, momentum sudut didistribusikan antara putaran planet itu sendiri dan momentum sudut dari orbitnya

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_laws_of_motion&prev=/search?q=momentum+angular&hl=id&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhgKPxtlTbxC58Tz1tQRZmKYQu4a-g



Bab 6-52

Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama dengan nol.

Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:

SFx = 0 dan SFy = 0St = 0

Kesetimbangan Benda Tegar

Keseimbangan Partikel Syarat keseimbangan

partikel

0FS Syarat keseimbangan

gaya-gaya pada bidang xy

0xFS

0yFS

Keseimbangan Benda Tegar Momen gaya“ukuran efektivitas suatu gaya dalam menghasilkan rotasi benda mengelilingi sumbu putarnya”

Fdτ

= momen gaya (N m)F = gaya (N)d = lengan momen (m)

o Momen gaya searah jarum jam diberi tanda positif

o momen gaya berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif

Keseimbangan Benda Tegar Momen Kopel“merupakan pasangan dua buah gaya yang sejajar dan sama besar, namun arahnya berlawanan

FdM

= momen kopel (N m)F = gaya (N)d = jarak antara kedua

gaya (m)

o Momen kopel searah jarum jam diberi tanda positif

o momen kopel berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif

Keseimbangan Benda Tegar Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan

Jika sejumlah gaya bekerja pada bidang xy, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponenya

y

nnyR

y

nnyyyR

nnyyyRy

nyyyy

R

xFx

R

xFxFxFx

xFxFxFxR

...

...

...

2211

2211

21

x

nnxR

x

nnxxxR

nnxxxRy

nxxxx

R

xFy

R

xFxFxFy

yFyFyFyR

...

...

...

2211

2211

21

Syarat Keseimbangan Benda Tegar

Syarat keseimbangan benda tegar

0FS Syarat keseimbangan benda tegar Jika gaya-gaya

yang bekerja pada bidang xy

0S

0xFS

0yFS 0S

Titik Berat Setiap benda terdiri atas partikel-partikel

yang masing-masing memiliki berat. Resultan dari seluruh berat partikel disebut

gaya berat benda Titik tangkap gaya berat inilah yang

dinamakan titik berat

Menentukan titik berat dengan percobaan

Menentukan titik berat dengan perhitungan

n

nn

n

nn

W

xW

WWW

xWxWxWx

...

...

21

22110

n

nn

n

nn

W

yW

WWW

yWyWyWy

...

...

21

22110

titik berat benda pejal homogen

Jenis Keseimbangan Keseimbangan labil

Keseimbangan yang dialami benda dimana jika dipengaruhi oleh gaya atau gangguan kecil tidak akan segera kembali ke posisi semula

Jenis Keseimbangan Keseimbangan stabil

Keseimbangan yang dialami benda dimana jika dipengaruhi oleh gaya atau gangguan kecil akan segera kembali ke posisi semula

Jenis Keseimbangan Keseimbangan indeferen (netral)

Keseimbangan yang dialami benda dimana jika dipengaruhi oleh gaya atau gangguan tidak mengalami perubahan.

SELESAI

Momentum Sudut dan Benda Tegar

Education