Moment siły, II zasada dynamiki Newtona w ruchu obrotowym ...dydaktyka.fizyka.umk.pl/fizykaAiR/16wk.pdf · Moment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy) Siły zmieniają

Wykład 16

Moment siły, II zasada dynamiki Newtona w ruchu

obrotowym bryły sztywnej

Ruch translacyjny i obrotowy bryły sztywnej –porównanie równań

Ruch postępowy (translacyjny) Ruch obrotowy

• położenie, x

• prędkość liniowa, v = dx/dt

• przyspieszenie, a = dv/dt

• masa, m

• energia kinetyczna, Ek = ½ mv2

• siła, F = ma

• pęd, p = mv

• kąt, θ

• prędkość kątowa, ω = dθ/dt

• przyspieszenie kątowe, ε = dω/dt

• moment bezwładności, I

• energia kinetyczna, Ek = ½ Iω2

• xxxxxxxxxx

• xxxxxxxxxx

Moment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy)

Siły zmieniają ruch translacyjny – odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym jest moment siły.Tak jak siła powoduje przyspieszenie liniowe, tak moment siły powoduje przyspieszenie kątowe.

Zmiana przyspieszenia kątowego (a więc i moment siły) ruchu obrotowego drzwi zależy od:(i) wartości siły(ii) punktu przyłożenia siły (tj. odległości od osi obrotu)(iii) od kierunku siły

Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

Moment siły

!τ =!r ×!FMoment siły F względem punktu O na rysunku poniżej:

τ = Fr⊥ = Fr sinθMoment siły jest wektorem o wartości:

Kierunek wektora:

oraz

Zwrot określamy regułą śruby prawoskrętnej.

!τ ⊥!r

!τ ⊥

!F.

Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

Moment siły zawsze definiujemy względem określonego punktu w przestrzeni.

Moment siły - przykładWyznaczyć wartość, kierunek i zwrot całkowitego momentu siły względem środka cienkiej tarczy:

Fizyka dla szkół wyższych Tom 1 by OpenStax

F1 = 20N F2 = 30N F3 = 30N

⊙ !τ1

⊗ !τ 2

!τ1 =!r ×!F1

!τ 2 =

!r ×!F2

!τ 3 =!r ×!F3

r = 0.5 m

Za „dodatni” przyjmujemy zwykle kierunek prędkości kątowej.

τ wyp = τ1 −τ 2 = −10 N ⋅m

τ 2 = rF2 sin90! = 15 N ⋅m

τ 3 = rF3 sin180! = 0

τ1 = rF1 sin150! = 5 N ⋅m

Moment siły - przykład

O

!τ1 =!r1 ×!F1

!τ 2 =

!r2 ×!F2

τ1 = F1r1 = 750 N ⋅m τ 2 = F2r2 = −750 N ⋅m

τ 2 ⊗ τ1⊙

τwyp = τ1 −τ 2 = 0

Wypadkowy momenty sił liczony względem punktu na osi obrotu:

Słuszne dla momentów sił względem dowolnego punktu na stałej osi obrotu.

ω = 0układ spoczywa

II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

!τ wyp = I

!ε

!Fwyp = m

!a

Ruch translacyjny Ruch obrotowy

!Fwyp

!F

!R

m ⊙

!τ wyp

I

Wypadkowy moment siły liczony względem dowolnego punktu leżącego na stałej osi obrotu:

a

⊙ε

Maszyna Atwooda – przypomnij sobie wykład o siłach

Założenia:• sznurek bez masowy• brak tarcia na krążku • m2 > m1

Znaleźć przyspieszenie ciężarków.

• promień bloczka R• masa bloczka M• moment bezwładności

walca: I = ½ MR2

sznurek nie ślizga się – bloczek obraca się

R

m2g

m1g

N1

N2

N1 N2

!τ1 =

!R ×!N1

⊙

!τ 2 =

!R ×!N2

⊗

Zasady dynamiki Newtona z uwzględnieniem ruchu obrotowego - przykład, wyścig pełnego i pustego walca

https://www.dummies.com/education/science/physics/calculating-rotational-kinetic-energy-on-a-ramp/

αZakładamy, że ruch odbywa się bez poślizgu!

m!g

m!g sinα

m!g cosα

!TS

!N

α

α !R

a = mgR2 sinα

I + mR2

Ipelny =

12

mR2 , Ipusty = mR2

ε = a

R

mg sinα −TS = mamg cosα = N

Ruch translacyjny:

τ = TS Rsin90! = Iε

Ruch obrotowy:

!τ =!R ×!TS

⊗ !τ

apelny =

23

g sinα > apusty =12

g sinα

Walec pełny wygra!

Dlaczego toczące się ciało spowalnia – przecież moment siły tarcia statycznego nadaje przyspieszenie kątowe, które

zwiększa prędkość kątową?

W rzeczywistym świecie ciało i podłoże ulegają lekkiej deformacji i obszar kontaktu nie jest pojedynczym punktem (wychodzimy po za model bryły sztywnej). Ciało mocniej naciska na podłoże „z przodu” (w kierunku ruchu) niż „z tyłu” – w konsekwencji wypadkowa siła reakcji na nacisk jest źródłem momentu siły, który spowalnia ruch obrotowy – jest to idea stojąca za pojęciem tarcia tocznego.

Siły reakcji na nacisk

podłoże

Wahadło fizyczne (cienka deseczka)

Wahadło fizyczne to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w polu grawitacyjnym.

• Trzpień działa na listwę siłą, ale moment tej siły względem punktu P (oś obrotu) wynosi 0.

• Niezerowy moment siły względem punktu P pochodzi tylko od siły ciężkości, która umownie przyłożona jest do środka masy

!τ P =

!r × m

!g

mg

P SM

(środek masy)

l(trzpień,oś obrotu)

θ

r τ P = mgr sinθ

τ P ≈ mgrθPrzybliżenie małego kąta (θ << 1 rad):

τ P = − IPε = − IP!ω = − IP

!!θII zasada dynamiki Newtona:

„-” bo moment siły skierowany zawsze przeciwnie do wektora przesunięcia kątowego

!!θ + mgr

IP

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟θ = 0

IP = 1

12ml2 + mr 2

T = 2π

IP

mgr= 2π

112 l2 + r 2

gr

Równanie oscylatora harmonicznego:

Z twierdzenia Steinera: Okres wahań:

Wahadło fizyczne (hula hop)

Wahadło fizyczne to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w polu grawitacyjnym.

• Trzpień działa na hula hop siłą, ale moment tej siły względem punktu P (oś obrotu) wynosi 0.

• Niezerowy moment siły względem punktu P pochodzi tylko od siły ciężkości, która umownie przyłożona jest do środka masy

!τ P =

!r × m

!g τ P = mgr sinθ

τ P ≈ mgrθPrzybliżenie małego kąta (θ << 1 rad):

τ P = − IPε = − IP!ω = − IP

!!θII zasada dynamiki Newtona:

„-” bo moment siły skierowany zawsze przeciwnie do wektora przesunięcia kątowego

!!θ + mgr

IP

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟θ = 0

IP = mr 2 + mr 2

T = 2π

I p

mgr= 2π 2r

g

Równanie oscylatora harmonicznego:

Z twierdzenia Steinera:Okres wahań:

mg

P

SM(środek masy)

(trzpień,oś obrotu)

θ r

r

Ruch translacyjny i obrotowy bryły sztywnej –porównanie równań

Ruch postępowy (translacyjny) Ruch obrotowy

• położenie, x

• prędkość liniowa, v = dx/dt

• przyspieszenie, a = dv/dt

• masa, m

• energia kinetyczna, Ek = ½ mv2

• siła, F = ma

• pęd, p = mv

• kąt, θ

• prędkość kątowa, ω = dθ/dt

• przyspieszenie kątowe, ε = dω/dt

• moment bezwładności, I

• energia kinetyczna, Ek = ½ Iω2

• moment siły (względem osi obrotu) τ = Iε

• xxxxxxxxx