KONSULTA SOAL KON NIKODEMUS O. ATIE ICHSAN A. PRADANA FAKULTAS J UN ASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1 NSULTASI STRUKTUR ALJABAR 1 “SUBGRUP NORMAL” ( MODULO ) OLEH PHELIPUS ME YANES A. MALELA S KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN JURUSAN PENDIDIKAN MIPA NIVERSITAS NUSA CENDANA KUPANG / 2013 ERE AK
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
SOAL KONSULTASI STRUKTUR ALJABAR 1“SUBGRUP NORMAL”
( MODULO )OLEH
NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE
ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG / 2013
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
SOAL KONSULTASI STRUKTUR ALJABAR 1“SUBGRUP NORMAL”
( MODULO )OLEH
NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE
ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG / 2013
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
SOAL KONSULTASI STRUKTUR ALJABAR 1“SUBGRUP NORMAL”
( MODULO )OLEH
NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE
ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG / 2013
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
1. Diketahui − {0} = {1} dikenakan operasi perkalian modulo merupakan grup. Misalkan= {1} merupakan subset dari − {0} dikenakan operasi perkalian modulo 2, tunjukkanbahwa subgrup dari − {0} ! Jika subgrup dari − {0}, tunjukkan bahwa adalahsubgrup normal !Penyelesaian : Adit bahwa { , } merupakan grup.
Tabel Daftar Cayley
1
1 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlaku sifattertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.
b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.
c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasil perkalianunsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 1Jadi, { , } merupakan monoid.
d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa, 1 inversnya 1.
Berdasarkan penyelesaian a, b, c dan d terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 2 adalah grup maka subgrup dari − { }. Adit adalah subgrup normal.
Karena untuk semua ∈ − {0} dimana ⊆ maka adalah subgrup normal.
2. Diketahui − {0} = {1, 2} dikenakan operasi perkalian modulo merupakan grup. Misalkan= {1}, = {2} dan = {1, 2} masing-masing merupakan subset dari − {0} dikenakanoperasi perkalian modulo 3, tunjukkan bahwa , subgrup dari − {0} ! Jika, subgrup dari − {0}, tunjukkan bahwa , adalah subgrup normal !
UnsurKesatuan
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
Penyelesaian : Adit bahwa,
{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley
1
1 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.
b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.
c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 1Jadi, { , } merupakan monoid.
d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa, 1 inversnya 1.
Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 3 adalah grup maka subgrup dari − { }.
{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley
2
2 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur tidak ada di dalam makatidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.
Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan merupakan grupoid maka { , }bukan grup. Karena { , } bukan grup maka bukan subgrup dari − { }.
UnsurKesatuan
UnsurKesatuan
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley
1 2
1 1 2
2 2 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.
b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.
c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 2 = 2 x 1 = 2Jadi, { , } merupakan monoid.
d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 12 inversnya 2
Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 3 adalah grup maka subgrup dari − { }. Adit bahwa,
3. Diketahui − {0} = {1, 2, 3, 4} dikenakan operasi perkalian modulo merupakan grup.Misalkan = {1, 4}, = {2, 3} dan = {1, 2, 4} masing-masing merupakan subset dari− {0} dikenakan operasi perkalian modulo 5, tunjukkan bahwa , subgrup dari− {0} ! Jika , subgrup dari − {0}, tunjukkan bahwa , adalahsubgrup normal !Penyelesaian : Adit bahwa,
{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley
1 4
1 1 4
4 4 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.
b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.
c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 4 = 4 x 1 = 4Jadi, { , } merupakan monoid.
Unsur
Kesatuan
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 14 inversnya 4
Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 5 adalah grup maka subgrup dari − { }.
{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley
2 3
2 4 1
3 1 4
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa ada hasil perkalian unsur yang tidak ada di dalam
maka tidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan grup. Karena { , } bukan grupmaka bukan subgrup dari − { }.
{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley
1 2 4
1 1 2 4
2 1 4 3
4 4 3 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa ada hasil perkalian unsur yang tidak ada di dalam
maka tidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan grup. Karena { , } bukan grupmaka bukan subgrup dari − { }.
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
Akan ditunjukkan bahwa, adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}
4. Diketahui − {0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dikenakan operasi perkalian modulo merupakan grup.Misalkan = {1, 6}, = {1, 2, 4} dan = {3, 4, 5, 6} masing-masing merupakan subset dari− {0} dikenakan operasi perkalian modulo 7, tunjukkan bahwa , subgrup dari− {0} ! Jika , subgrup dari − {0}, tunjukkan bahwa , adalahsubgrup normal !Penyelesaian : Adit bahwa,
{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley
1 6
1 1 6
6 6 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?
Unsur
Kesatuan
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.
b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.
c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 6 = 6x 1 = 6Jadi, { , } merupakan monoid.
d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 16 inversnya 6
Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 7 adalah grup maka subgrup dari − { }.
{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley
1 2 4
1 1 2 4
2 2 4 1
4 4 1 2
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.
b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.
c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 2 = 2 x 1 = 21 x 4 = 4 x 1 = 4Jadi, { , } merupakan monoid.
Unsur
Kesatuan
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 12inversnya 44 inversnya 2
Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 7 adalah grup maka subgrup dari − { }
{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley
3 4 5 6
3 2 5 1 4
4 5 2 6 3
5 1 6 4 2
6 4 3 2 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa ada hasil perkalian unsur yang tidak ada di dalam
maka tidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan grup. Karena { , } bukan grupmaka bukan subgrup dari − { }. Akan ditunjukkan bahwa,
5. Diketahui − {0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dikenakan operasi perkalian modulomerupakan grup. Misalkan = {1, 10}, = {2, 3, 7} dan = {1, 3, 4, 5, 9} masing-masingmerupakan subset dari − {0}dikenakan operasi perkalian modulo 11, tunjukkan bahwa, subgrup dari − {0} ! Jika , subgrup dari − {0}, tunjukkanbahwa , adalah subgrup normal !
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
Penyelesaian : Adit bahwa,
{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley
1 10
1 1 10
10 10 1
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.
b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.
c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 10 = 10 x 1 = 10Jadi, { , } merupakan monoid.
d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 110 inversnya 10
Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 11 adalah grup maka subgrup dari − { }.
{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley
2 3 7
2 4 6 3
3 6 9 10
7 3 10 5
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa ada hasil perkalian unsur yang tidak ada di dalam
maka tidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.
Unsur
Kesatuan
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan grup. Karena { , } bukan grupmaka bukan subgrup dari − { }.
{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley
1 3 4 5 91 1 3 4 5 9
3 3 9 1 4 54 4 1 5 9 35 5 4 9 3 1
9 9 5 3 1 4
a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.
b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.
c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 3 = 3 x 1 = 31 x 4 = 4 x 1 = 41 x 5 = 5 x 1 = 51 x 9 = 9 x 1 = 9Jadi, { , } merupakan monoid.
Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 11 adalah grup maka subgrup dari − { }.
Unsur
Kesatuan
KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1
Akan ditunjukkan bahwa, adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}