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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
COLEGIO DE LA SAGRADA FAMILIA
AREA DE CIENCIAS NATURALES Y EDUCACIN AMBIENTAL ESTRUCTURA DE
TRABAJO DE LA ASIGNATURA DE FSICA AO 2013
PLANEACIN Y EJECUCIN GRADO 9
MECNICA CLSICA
IV PERIODO ACADEMICO MODULO IV CINEMTICA III: VECTORES Y EL
MOVIMIENTO EN DOS DIRECCIONES (EN EL PLANO)
RESPONSABLE
LICENCIADO NELSON JESUS CARDALES GALINDO
LAS MENTES MS BRILLANTES DE NUESTROS TIEMPOS UN INSTANTE QUE NO
SE REPETIR JAMS QUINTO CONGRESO DE CIENCIAS EXACTAS. SOLVAY,
BRUSELAS 1927
FONDO DE PIE DE IZQUIERDA A DERECHA: Auguste Piccard, mile
Henriot, Paul Ehrenfest, Edouard Herzen, Thophile de Donder, Erwin
Schrdinger, Jules-mile Verschaffelt, Wolfgang Pauli, Werner
Heisenberg, Ralph Howard Fowler, Lon Brillouin. SENTADOS FILA
CENTRAL DE IZQUIERDA A DERECHA: Peter Debye, Martin Knudsen,
William Lawrence Bragg, Hendrik Anthony Kramers, Paul Adrien,
Maurice Dirac, Arthur Holly Compton, Louis-Victor de Broglie, Niels
Bohr SENTADOS FILA FRONTAL DE IZQUIERDA A DERECHA: Irving Langmuir,
Max Planck, Marie Curie, Hendrik Antoon Lorentz, Albert Einstein,
Paul Langevin, Charles-Eugne Guye, Charles Thomson Rees Wilson,
Owen Willans Richardson.
LA FSICA: La que en verdad abri los ojos del hombre al universo
y permiti acceder a la conquistas de sus misterios y a la
profundizacin de otros.
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ACLARACION: El siguiente documento (dividido en mdulos de
acuerdo al nmero de periodos acadmicos) no es un libro y no
pretende serlo, solo es una recopilacin de todas las clases que
durante aos he desarrollado en la asignatura de fsica y que se
encuentran recopiladas en l. Es claro que se usa como base debido a
que mantiene un orden coherente en la temtica la Fsica 1 Hipertexto
Santillana, Editorial Santillana y no se pretende remplazar ni
copiar este texto. Adems se usan otros textos, inclusive de nivel
superior que enriquece la temtica desarrollada. Dicho documento no
tiene ningn valor comercial por lo tanto no se vende a las
estudiantes y a ninguna otra persona dentro o por fuera de la
institucin. Las alumnas los pueden descargar para su uso. Como se
dijo al inicio son las clases preparadas de antemano y la
metodologa de trabajo se acuerda con las estudiantes. Las preguntas
tipo ICFES usadas en el presente documento son tomadas de mdulos
que se han usado en la institucin legalmente, pruebas liberadas por
el Icfes y pginas web que ofrecen banco de preguntas sin ningn tipo
de restriccin pero que obviamente se hace mencin de ellas en el
presente documento como reconocimiento al valioso aporte que
realizan. Dichas preguntas son aplicadas como evaluacin de la
temtica. A continuacin se muestra una lista de textos, documentos y
otros elementos que se usan en el documento. Debido a la cantidad
de enlaces a pginas web, ellas aparecen a lo largo de la temtica
las cuales permiten profundizar en los temas.
TEXTOS DE REFERENCIAS - WEBGRAFIA FISICA 1 HIPERTEXTO
Santillana. EDITORIAL SANTILLANA. FSICA 1. EDITORIAL NORMA. (Versin
consultada anterior al 2007) FISICA SERWAY 5a Y 6a EDICION PARA
INGENERIA Mc GRAWHILL. INSTITUCIN EDUCATIVA 10157 - INCA GARCILASO
DE LA VEGA - MRROPE -
2010 PROF. EDWIN RONALD CRUZ RUIZ. FSICA I PROFESOR: RODOLFO
BERNAL UNIVERSIDAD DE SONORA WWW.EDUCAPLUS.ORG PROYECTO NEWTON:
MINISTERIO DE EDUCACIN, CULTURA Y DEPORTE-
ESPAA
WWW.XTEC.NET/~OCASELLA/ PAGINAS WEB DE LIBRE USO (SIMULADORES
EVALUACIONES PROYECTOS).
Los enlaces aparecen a lo largo del documento. Sern de gran
ayuda y se requiere la Mquina Virtual de Java, si no la tienes
instalada hazlo es gratuita.
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COMPETENCIAS EN CIENCIAS NATURALES
Las competencias que se evalan en ciencias naturales se
describen a continuacin. Cabe anotar que son aplicables a la
asignatura de fsica. IDENTIFICAR: esta competencia enfatiza no en
la memorizacin de los conceptos y las teoras, sino que los
comprenda, que encuentre relacin entre la fsica y las dems reas del
saber y que sepa aplicar sus conocimientos en la resolucin de
problemas. INDAGAR: est orientada a la bsqueda de informacin que
ayude a establecer la validez de una respuesta preliminar. Uno de
esos mecanismos es la experimentacin, donde se recree un fenmeno
natural para deducir de l conclusiones aplicables. EXPLICAR: es
fundamental someter las explicaciones propuestas a debate y estar
dispuestos a cambiarlas cuando se reconozca que existen razones
para ello. La creatividad y la imaginacin como tambin la crtica y
la autocrtica ayudan a la elaboracin de una explicacin coherente y
creble en el estudio de la naturaleza a travs de la fsica. Cada una
de las competencias en ciencias naturales en especial fsica desde
los siguientes componentes:
MECNICA CLSICA: est en relacin con la manera como se caracteriza
el movimiento de un cuerpo y la argumentacin que se hace sobre el
cambio en el movimiento del cuerpo.
- Respecto a quin o qu se mueve un cuerpo? Por qu cambia su
movimiento? El
movimiento es una caracterstica intrnseca de los cuerpos? -
Carcter direccional de algunas de las magnitudes fsicas
involucradas en el
anlisis del movimiento de un cuerpo (posicin, velocidad,
cantidad de movimiento y fuerza).
TERMODINMICA: involucra la manera como se relaciona las
variables de estado en el equilibrio termodinmico y cmo se
incrementa la energa interna de un sistema.
- Relaciones entre energa interna, temperatura, volumen, presin
y nmero de partculas de un sistema.
EVENTOS ONDULATORIOS: se relaciona con la forma como se
caracteriza un movimiento ondulatorio y lo que sucede cuando una
onda interacta con un cuerpo u otra onda.
- Anlisis de la ecuacin de onda.
- Interacciones onda-partcula y onda-onda.
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EVENTOS ELECTROMAGNTICOS: hace referencia a la manera como se
puede cargar elctricamente un sistema, a la forma como se genera
una corriente elctrica y a las condiciones necesarias para que un
cuerpo interacte con un campo magntico.
- Caracterizacin de la carga elctrica de un sistema (su
naturaleza, su ilustracin grfica, entre otros).
- Anlisis bsico de las caractersticas atractivas y repulsivas de
fuerzas elctricas y magnticas y los procesos mediante los cuales es
posible cargar elctricamente un sistema.
- Nocin de campo, potencial elctrico y de las condiciones
necesarias para generar
una corriente elctrica (nociones de conductividad y resistividad
elctrica), as como las condiciones necesarias para que un cuerpo
interacte en un campo magntico.
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REGLAMENTO Y MEDIDAS DE SEGURIDAD EN EL LABORATORIO DE FSICA
No arrojar basura en el piso ni sobre las mesas, usar la
caneca.
No rayar las mesas ni las sillas de brazos. No subirse ni
sentarse en las mismas.
No ingerir alimentos ni bebidas durante la permanencia en el
laboratorio.
No manipular ninguna conexin elctrica del laboratorio. El
docente se
encargar de ello.
No manipular los experimentos de biologa depositados en el
laboratorio.
Usar los materiales disponibles para los montajes planeados,
solo cuando el docente lo disponga.
Cuando se trabaje con fuente de calor y/o corriente elctrica,
espere las
indicaciones del docente para ser manipulados. Hgalo con sumo
cuidado.
Al momento de retirarse, dejar las sillas sobre las mesas.
En caso de evacuacin siga las flechas de la ruta ms cercana al
laboratorio, manteniendo orden en la salida y en los pasillos hasta
el punto de encuentro.
Verificar la medida de presin del extintor asignado al
laboratorio.
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INFORME DE LABORATORIO
A continuacin se har una descripcin sencilla, de las partes de
un laboratorio, las cuales se deben seguir de acuerdo al orden
establecido. PORTADA: Nombre del colegio: Ttulo del laboratorio:
Grado y curso: Nombre de las integrantes del grupo de trabajo:
Asignatura: Nombre del profesor: Fecha de entrega: DESARROLLO:
Nombre de la prctica: aparecen en la gua Objetivo (s) de la
prctica: aparecen en la gua Materiales: los usados en la realizacin
de la prctica, aparecen en la gua Teora relacionada: una breve
descripcin o resumen de la teora vista sobre el tema.
Procedimiento: se hace una corta explicacin de cmo se hizo la
prctica, en primera persona. Recoleccin de datos: se debe anotar
todos los datos obtenidos durante la prctica, en sus respectivas
tablas de valores, si las hay. Tablas y grficas: representacin en
el plano cartesiano de los datos obtenidos. Anlisis de resultados:
se responden las preguntas a partir de la teora conocida y los
resultados que arroje el anlisis de grficas. Conclusiones: se hace
alusin si se lleg a la demostracin prctica de la teora vista en
clases. Bibliografa Webgrafa: se anotan los libros usados como
textos guas y de consultas adems de los enlaces de pginas
relacionadas con la temtica.
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LISTADO DE ECUACIONES GRADO 9 ECUACIONES DE CINEMATICA
A continuacin se enlistan las ecuaciones que se usaran durante
el curso
MU
x = vt
MUA
v = v0 at x = v0t at2/2 v2 = v20 2ax
CAIDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL
v = v0 gt g = 9,8m/s2
y = y0 + v0t gt2/2 v2 = v20 2gy
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
AX = ACos AY = ASen
VECTOR RESULTANTE
A = (A2x + A2y)
ANGULO VECTOR RESULTANTE
Tan = AY / AX
MOVIMIENTO SEMIPARABOLICO
x = v0t y = - gt2/2 vy = -gt y = - x2g/2v2o
MOVIMIENTO PARABOLICO
vx = v0 Cos tv = 2ts ts =v0sen/g vy = v0 Sen x = v0tcos Ymax =
v20 sen2/2g Xmax = v20 sen (2)/g y = v0tSen gt2/2
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SOLUCIN DE ECUACIONES
Para plantear una solucin se debe anotar primero los datos
conocidos y luego los no conocidos de la siguiente forma
DATOS CONOCIDOS DATOS DESCONOCIDOS
DC DD OBSERVACIONES:
Siempre se trabajara en el Sistema Internacional de unidades.
Slo excepcionalmente nos saltaremos esta norma.
Los cambios de unidades se realizaran siempre por factores de
conversin.
Cualquier resultado (aunque sea intermedio) o medida debe ir
siempre acompaado de su unidad.
Nunca es vlido decir "no lo s hacer...", siempre podemos (como
mnimo)
llegar a la resolucin.
Se debe leer cuidadosamente el problema planteado y sacar los
datos que son dados, incluyendo aquellos que son constantes y por
lo tanto no son mencionados pero se usa para la solucin del
problema.
Se debe leer cuidadosamente el problema planteado y sacar los
datos que no son dados, es decir la (s) incgnita (s) para la
solucin del problema.
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MAPA CONCEPTUAL
EL MOVIMIENTO EN DOS DIRECCIONES (EN EL PLANO)
Se caracteriza mediante Puede ser
Magnitudes vectoriales Lanzamiento
horizontal Movimiento
de proyectiles
Composicin de movimientos rectilneos
Vertical
MUA
Horizontal
MU
Como
Posicin
Desplazamiento
Velocidad
Aceleracin
Se representa mediante
Vectores
Con
Norma
Direccin
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MAGNITUDES VECTORIALES
Uno de los objetivos de la fsica es la descripcin de los
fenmenos naturales mediante magnitudes. Por ejemplo, si medimos la
longitud de un objeto, calculamos la masa de un cuerpo, solo con el
valor numrico y la unidad correspondiente, queda bien definidas. A
estas magnitudes se le llama: magnitudes escalares.
Magnitudes escalares: tambin llamadas cantidades escalares, son
magnitudes que quedan totalmente descritas con un nmero y una
unidad. Ejemplo: 5m (longitud), 15kg (masa), 4gr/cm3 (densidad),
12m2 (rea).
Hay magnitudes que necesitan algo ms para quedar bien definidas.
Por ejemplo: si se quiere ir de un punto A hasta un punto B, que
sabemos se encuentra a una distancia de 100m Podramos llegar solo
conociendo la distancia que los separa? Se necesita una direccin y
un sentido. A estas magnitudes se le llama: magnitudes
vectoriales.
Magnitudes vectoriales: son magnitudes que quedan totalmente
descritas con un nmero, una unidad y una direccin. Ejemplo la
velocidad, la aceleracin, desplazamiento, fuerza, tensin.
En el tema anterior vimos que, para describir el movimiento de
un objeto, es necesario indicar la posicin, el desplazamiento, la
velocidad y al aceleracin en diferentes instantes. Es decir
magnitudes bien definidas. Cuando el movimiento de un objeto se
produce en el plano en el espacio, estas magnitudes se expresan por
medio de vectores.
Vector: es una cantidad fsica que para ser definida debe tenerse
en cuenta tanto su magnitud y una direccin. Podemos definirlo
tambin como un segmento de recta dirigido. Se denota con una letra
mayscula o minscula en negrita, por ejemplo A, b.
Se usa el smbolo A, con cualquier letra. La flecha en la parte
superior significa vector.
Smbolo:
CARACTERISTICAS DE UN VECTOR
Modulo, norma o magnitud: se refiere a la longitud del segmento
y mide la distancia entre dos puntos por lo tanto siempre es un
nmero positivo. Dichos puntos se le llaman cola y cabeza de un
vector, tambin se les llama origen y punto final respectivamente.
La norma de un vector se representa dentro del smbolo se escribe la
letra que representa el vector A. Por ejemplo para decir que un
vector mide 25m, se escribe A= 25m. o la letra sin resaltar A =
25m. Tambin se puede escribir el dato sobre el vector de la
siguiente manera:
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Direccin de un vector: est
determinada por la direccin de la recta que lo representa y un
sistema de referencia o de coordenadas. La direccin se establece
entre el ngulo
que forma el eje X+ y el vector que se traza. A este ngulo se le
llama ngulo en posicin normal. Grficamente se representan as:
Sentido de un vector: est determinado por la orientacin de la
flecha situada en el punto final del segmento. En el caso de la
velocidad el sentido siempre coincide con el sentido del
movimiento.
TIPOS DE VECTORES Para representar los vectores hay dos
formas:
Vectores libres Para ser representado no necesita un punto de
referencia. Solo se sigue el orden en que se dan y el ngulo que
forma con una lnea horizontal punteada que se traza en la cola, la
cual viene siendo las veces de eje X+. De la siguiente manera:
Vectores en posicin
Para ser representado se necesita un punto de referencia, el
cual es el origen del, plano cartesiano. Se ubica el vector con la
cola en el origen y formado un ngulo con el eje X+. De la siguiente
manera:
A
Definamos en el plano un sistema de coordenadas, es decir, un
punto origen, y dos ejes perpendiculares. A todo punto P haremos
corresponder un par de nmeros que son sus coordenadas (x, y); se
escribe P(x, y).
y
x
P(x, y)
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Igualdad de vectores
El proceso de medida de una magnitud exige poder compararla con
otra de la misma especie, la cual requiere entre las magnitudes.
Dos vectores A y B son iguales si el trasladar paralelamente uno de
ellos, se le puede hacer coincidir con el otro, es decir, la
magnitud y direccin son las mismas.
Vectores opuestos
Dos vectores A y B son opuestos si la magnitud son las mismas y
direccin son opuestas. Se escribe A = - B. Se dice entonces que A
es equivalente a B.
OPERACIONES CON VECTORES Para sumar vectores se debe conocer su
tipo, es decir, libres o de posicin. Los mtodos son: grafico,
analtico y del paralelogramo.
Mtodo grafico
Se usa para vectores libres. El procedimiento es el siguiente:
sean A = 7cm, B = 3cm, C = 5cm, cuyas direcciones se deducen del
grfico.
Para sumarlos se toma cada vector con su respectiva magnitud y
su direccin y sentido y se traslada de la siguiente forma:
A B
A B
A C
B
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Solucin
Paso 2. Medimos la direccin y la magnitud del segundo vector B,
sin hacerle ninguna modificacin. Se ubica su cola en la cabeza del
primer vector, de acuerdo a su direccin, dejando marcada su cabeza
con la lnea punteada como aparece en la figura 2.
Paso 3. Medimos la direccin y la magnitud del tercer vector C,
sin hacerle ninguna modificacin. Se ubica su cola en la cabeza del
segundo vector, de acuerdo a su direccin.
Paso 1. Tomamos el primer vector A y se mide la direccin es
decir el ngulo y su magnitud, lo trasladamos a un espacio mayor o
en la misma hoja. Sin hacerle ninguna modificacin Dejando marcada
su cola y cabeza con las lneas punteadas como aparece en la figura
1
A
Paso 1
Fig. 1
Paso 2
Fig. 2
A
B
Paso 3
Fig. 3
A B
C
R
Conclusin: el vector resultante o suma, se mide desde la cola
del primer vector, a la cabeza del ltimo vector. Su direccin final
se toma con la primera lnea punteada.
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Mtodo analtico
Se aplica para vectores en posicin. Sean A y B dos vectores,
para sumarlos usamos el concepto de componentes rectangulares
Componentes rectangulares: son las proyecciones (sombras) del
vector sobre los ejes coordenados X y Y. Analizaremos los casos
para uno y dos luego se generalizara para n vector.
Componentes rectangulares para un vector A.
Por teorema de Pitgoras: A2 = A2 x + A2 y A = A2 x + A2 y A= A2
x + A2 y Cada componente se puede expresar mediante una razn
trigonomtrica PARA AX: Cos = AX / A AX = ACos PARA AY: Sen = AY / A
AY = ASen Podemos calcular la direccin de vector conociendo sus
proyecciones, dividiendo AY sobre AX. AY / AX = ASen / ACos, la
expresin Sen / Cos es equivalente a Tan, la A se eliminan en ambos
trminos.
Tan = AY / AX
= Tan-1(AY / AX)
El vector A posee dos componentes: Ax sobre el eje X y Ay sobre
el eje Y Su direccin es el ngulo . Se forma un tringulo rectngulo
cuyos catetos son Ax y Ay y su hipotenusa. Usando el teorema de
Pitgoras calculamos la magnitud del vector A, es decir, la
hipotenusa del tringulo rectngulo.
Ay
Ax
A
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Esta ecuacin permite hallar la direccin de cualquier vector en
posicin, conociendo las componentes rectangulares del vector. Con
ayuda de las componentes podemos ubicar en el plano cartesiano un
vector de posicin usndolo como coordenadas, es decir, A = (Ax ,
Ay). Es necesario tener en cuenta los signos del plano cartesiano,
de acuerdo a los cuadrantes en el plano.
o Ejemplo Dado un vector Q, cuya magnitud es 5cm y forma un
ngulo de 600 con la horizontal. Hallar Qx y Qy.
o Ejemplo Dadas las coordenadas p (8,-6) en el plano. Hallar la
magnitud del P y su direccin que representa. Para dos o ms vectores
el procedimiento es similar, pero se siguen los pasos para la suma
de los vectores libres.
x
y
II I
III IV
+ +
+ +
- -
- -
Todo vector equivale a un punto en el plano
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Generalizacin
Sean A y B dos vectores para hallar A + B, usemos el plano
cartesiano.
El vector A, posee dos componentes Ax , Ay y si direccin . El
vector B, posee dos componentes Bx , By y si direccin . En el eje
x, sumamos las componentes Ax y Bx cuyo resultado es la resultante
Rx, es decir, Ry = Ax + Bx Donde Rx es la proyeccin del vector
resultante sobre el eje X. En el eje y, sumamos las componentes Ay
y By cuyo resultado es la resultante Ry, es decir, Ry = Ay + By
Donde Ry es la proyeccin del vector resultante sobre el eje Y. Del
mtodo analtico para un vector tenemos: Para el eje X: Ry = Ax + Bx
= ACos + BCos Ry = ACos + BCos Para el eje Y: Ry = Ay + By = ASen +
BSen Ry = ASen + BSen
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Una vez conocida Rx y Ry podemos calcular la resultante final de
la suma de acuerdo a Pitgoras: R2 = R2x + R2y La direccin del
vector resultante viene dada por: = Tan-1(RY / RX)
o Problema Mara va a visitar a una amiga, para lo cual realiza
los siguientes desplazamientos: camina 50m hacia el norte (900) y
luego 30m hacia el noreste (450). Encontremos el desplazamiento
total de Mara.
o Problema Catalina debe ir al centro comercial a comprar
algunos artculos de papelera, para hacer la tarea de fsica. Recorre
inicialmente 5km en direccin sureste de su casa (-450); a
continuacin recorre 3,5km en direccin 300 respecto al eje positivo
X y finalmente en direccin noreste (450). Cul es el desplazamiento
total de Catalina?
o Problema La distancia de un observador a un objeto se
representa por un vector A que tiene 76m de magnitud y forma un
ngulo de 2700 con el eje X+. Encuentra las componentes
rectangulares.
o Problema Con los vectores A = 5m formando un ngulo de 300 con
el eje X+, B = 7m formando un ngulo de 360 con el eje Y+ y C = 9m
formando un ngulo de 1300 con el eje X+. Disea un problema y
resulvelo.
Consultas: en que consiste el mtodo de paralelogramo para sumar
vectores. Qu son vectores unitarios? Cmo se usan para sumar
vectores en dos dimensiones? velocidad relativa, mostrar?
Ejemplos.
o Problema
Find the sum of two vectors A and B lying in the xy plane and
given by A = 2.0i + 2.0j and B = 2.0i 4.0j. Distances in meters.
Enlaces de apoyo.
- http://www.educaplus.org/movi/4_4thorizontal.html
- http://www.educaplus.org/movi/4_3tparabolico.html
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
COLEGIO DE LA SAGRADA FAMILIA
AREA DE CIENCIAS NATURALES Y EDUCACION AMBIENTAL TALLER 1 DE
FSICA
VECTORES
1. El siguiente taller es gua para la evaluacin del tema,
resulvalo a conciencia.
Se tienen los siguientes vectores libres a, b, c y d.
Hallar la norma de la resultante y su direccin.
2. Calcular la resultante y la direccin de acuerdo al grafico
(ubique el transportador correctamente para medir los ngulos)
S
O
N
E
A = 70km
B = 60km
C = 48km
D = 100km
E = 120km
F = 135km
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
3. Basado en los vectores unitarios exprese cada punto del plano
en funcin de ellos,
trace cada vector, calcular la resultante y su direccin.
4. Un avin para viajeros abonados parte de un aeropuerto y toma
la siguiente ruta: primero viaja a la ciudad A, localizada a 175 km
en una direccin 300 al norte del este, luego se dirige a la ciudad
B, a 150 km en direccin 200 al oeste del norte y, por ltimo, vuela
190 km al oeste hacia la ciudad C. Encuentre la posicin de la
ciudad C respecto a la posicin del punto de partida. 245 km; 240 al
oeste del norte.
5. Un mvil se desplaza por un terreno, siguiendo la siguiente
trayectoria: 10Km. en
direccin 300 noreste, luego 20Km, en direccin 500 al oeste del
norte, 25 Km en direccin suroccidente y finalmente 10Km hacia el
sur. Calcular el desplazamiento total y su direccin.
6. Un automvil recorre 20 km rumbo al norte y despus 35 km en
una direccin 600 al
oeste del norte. Determine la magnitud y direccin del
desplazamiento resultante del automvil.
7. Una excursionista inicia una excursin caminando primero 25 km
hacia el sureste
desde su campamento base. En el segundo da camina 40 km en una
direccin 600 al norte del este. Determine: a) la componente del
desplazamiento diario de la excursin, b) las componentes del
desplazamiento resultante, c) la magnitud y la direccin del
desplazamiento total.
8. Un jugador novato de golf en la cancha tiene tres golpes para
meter la pelota. Los
desplazamientos sucesivos son 120 m al norte, 150 m al noreste,
y 100 m a 35 oeste del sur. A partir del punto inicial, un golfista
experto podra meterla en el agujero en un desplazamiento nico, Cul
es su valor y su direccin?
9. Un mvil se desplaza por un terreno, siguiendo la siguiente
trayectoria: 20Km. en
direccin 600 noreste, luego 20Km. en direccin 1200 noroeste, 15
Km en direccin 450 suroccidente. Calcular el desplazamiento total y
su ngulo.
B
H
F C
D A
E
G
A (8, 1)
B (4, 4)
C (-4, 3)
D (1, 0)
E (-6, -4)
F (-1, -2)
G (0, -6)
H (2, -5)
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
10. A car travels 20 km due north and then 35 km in a direction
60 west of north. Find
the magnitude and direction of the cars resultant displacement.
11. Sean los vectores A = (-5, 4); B = (3, 5); C = ( 2, 3); D = (4,
1); calcular R y .
Realiza lo mismo para los vectores A = (2, -8); B = (-5, 4); C =
(-4, -2) y D = (3, 7). Determine la resultante y la direccin,
expresar la solucin y las respuesta en vectores unitarios.
12. Sean los vectores A = 7i - 6j; B = -3i + 12j; C = 4i - 4j.
Determine grfica y
algebraicamente R y para:
a) A + B; A + C b) A B; A C c) A+ B + C; A - C B d) 2A - 3(B -
C)
13. The helicopter view in Fig shows two people pulling on a
stubborn mule. Find (a)
the single force that is equivalent to the two forces shown, and
(b) the force that a third person would have to exert on the mule
to make the resultant force equal to zero. The forces are measured
in units of Newtons (abbreviated N).
F2=80N F1=70N
= 750 = 750
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
OPERACIONES ESPECIALES CON VECTORES
Producto de un escalar por un vector Se define el producto de un
nmero m por un vector como el vector que tiene: Direccin: la misma
que Sentido: el mismo que si m es positivo y opuesto al de si m es
negativo Mdulo: el mdulo de multiplicado por el valor absoluto de m
Si m = 0 el vector es el vector nulo, un vector que tiene mdulo 0 y
que se indica por . Es decir, 0. = . Resumiendo, multiplicar un
vector por un nmero m equivale a alargar (o encoger) su mdulo
tantas veces como indica el valor absoluto de m, e invertir su
sentido si m es negativo. El nmero m por el que se multiplica un
vector recibe el nombre de escalar. El resultado siempre es otro
vector. En las figuras de la derecha tienes tres ejemplos de un
producto de un escalar por un vector.
o Problema
Mide los siguientes vectores y aplica las siguientes
operaciones, luego grafica el resultado: 2 , 0,5 , 1,5 , - 3 , -
1,75 y - 0,4 .
Combinaciones lineales de dos vectores Si dados dos vectores, y
, construimos otros vectores combinando productos por escalares con
sumas y restas de la siguiente forma a) 3 + 2
b) 2 +
c) 4 -1,5
d) 2 - 3
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Diremos que hemos formado combinaciones lineales de los dos
vectores y . En la figura de la derecha tienes estas cuatro
combinaciones lineales obtenidas por aplicacin de la regla del
paralelogramo. Es decir, una combinacin lineal de dos vectores y es
cualquier otro vector obtenido as: = m + n siendo m y n
escalares.
o Problema
Mide los siguientes vectores y , calcula los vectores , , y ,
aplica las siguientes operaciones, luego grafica el
resultado: = 3 + 2 , = - 2 + , = - 4 - 1,5 y = 2 - 3
Combinaciones lineales de tres vectores Dados tres dos vectores, ,
y , y tres escalares, r, s y t (es decir, tres nmeros), el vector r
+ s + t diremos que es una combinacin lineal de los vectores , y
.
En la figura tienes dos combinaciones lineales de , y :
el vector , que es = 1,5 + 2 + 1,75 el vector , que es = 3 - 1,5
+ 3,25
El concepto de combinacin lineal se puede extender a cualquier
nmero de vectores, por ejemplo 5 - 3 + 4 - 2 + es una combinacin
lineal de 5 vectores. o Problema
Mide los siguientes vectores , y aplica las siguientes
operaciones y grafica el resultado = 1,5 + 2 + 1,75 y = 3 - 1,5 +
3,25
Enlaces de apoyo
http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html
-
23
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Definicin de producto escalar de dos vectores El producto
escalar de dos vectores y es un escalar que se define como el
producto de sus dos mdulos por el coseno del ngulo que forman. El
producto escalar de y se expresa . Si convenimos en que ^ exprese
el ngulo que forman y , podemos escribir:
= | || |cos( ^ )
Observa que el producto escalar de dos vectores no es otro
vector. Tal como su nombre indica, es un escalar. o Problema 1)
Calcula el producto escalar en los siguientes casos:
a) | |=5, | |=3 y ^ =600 b) | |=4, | |=7 y ^ =300 c) | |=3, |
|=6 y ^ =900 d) | |=9, | |=1 y ^ =1350 e) | |=6, | |=6 y ^ =1800 f)
| |=8, | |=4 y ^ =00
2) Cunto vale el producto escalar de un vector por si mismo? Es
decir cmo
calcularas 2 = ? 3) Tambin es posible calcular directamente un
producto escalar de dos vectores
conociendo sus componentes: = (x1, x2)(y1, y2) = x1y1+ x2y2
Dados los vectores =(3,4), =(1,-2), =(0,4) y =(-3,1), calcula los
siguientes productos escalares:
a) b) c) d) e) f) g) 2 = h) 2 = i) 2 (3 + ) j) ( + )( + ) k) ( +
)2=( + )( + ) l) ( + )( - )
-
24
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
Llamados as porque el movimiento de los cuerpos se debe
describir desde el eje horizontal y vertical de un plano
cartesiano, es decir, la velocidad del cuerpo, se expresa mediante
dos componentes una horizontal y otra vertical. Ellos son:
Movimiento semiparablico (horizontal) Llamamos lanzamiento
horizontal o semiparablico, al movimiento que describe un proyectil
cuando se dispara horizontalmente desde cierta altura con velocidad
inicial v0. Es decir el movimiento se da perpendicularmente a la
aceleracin de la gravedad g. Analicemos grficamente dicho
movimiento. Supongamos que se lanza una pelota desde la superficie
de una mesa e forma horizontal de acuerdo a la figura
siguiente:
La pelota al caer se desplaza horizontalmente. El movimiento se
produce en dos direcciones: una en el eje X, el cual es un MU ya
que no est sujeto a la accin de la gravedad (Proyeccin en el x). Es
decir recorre espacios iguales en tiempos iguales. La otra se da en
el eje Y cuyo movimiento es una MUA, ya que el mvil est sujeto a la
accin de la gravedad, observamos que la distancia entre las
posiciones de la pelota es cada vez mayor, significa que su
velocidad aumenta en la medida que cae. La combinacin de estos dos
movimientos, el MU en el eje X y MUA en el eje Y, determinan la
trayectoria que describe el objeto al caer. Tomemos como punto de
referencia el momento justo antes de lanzarse la pelota y
supongamos que el aire no ofrece resistencia. Ese punto es (0, 0).
De tal forma que la velocidad tiene dos componentes v = (vx, vy) y
su direccin es tangente a la trayectoria.
Proyeccin en el eje x
-
25
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Para el movimiento horizontal la componente vx de la velocidad
del proyectil coincide con la velocidad inicial vx, es decir, v0 =
vx sabemos que el movimiento horizontal es un MU luego la distancia
recorrida o coordenada de posicin horizontal viene dada por x =
v0t. O simplemente x = vt. Siendo v la componente horizontal de la
velocidad de inicial. Para el movimiento vertical la componente vy
el cuerpo est sometido a un movimiento de cada libre, con velocidad
inicial cero (nula). Para cualquier posicin, la componente vy de la
velocidad del proyectil coincide con la velocidad de cada de un
cuerpo, que se suelta desde la misma altura. De cada libre sabemos
que: v = v0 gt, el cambio radica en escribir vy = v0y gt, donde v0y
= 0 vy = gt, De cada libre sabemos que: y = y0 + v0t - gt2 / 2, el
cambio radica en escribir y = y0 + v0yt gt2 / 2, donde v0y = 0 y y0
= 0 Entonces: y = gt2 / 2. Porque el signo menos en la ecuacin?
Para determinar la forma de la trayectoria seguida por el
proyectil, a partir de la ecuacin x = v0t. Despejamos t t = x / v0
Sustituimos esta expresin en y = - gt2 / 2 y = - g (x / v0) 2 / 2 y
= - x2 g / 2v0 2, la grfica corresponde a una parbola invertida.
Enlaces de apoyo.
-
http://rsta.pucmm.edu.do/profesor/nestorc/cinematica/parabolico/parabolico.htm
- http://www.iesaguilarycano.com/dpto/fyq/thoriz.html
- Sugerencia ver ejemplo pagina 83 Fsica 1 Hipertexto
Santillana.
-
26
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
o Ejemplo Un avin deja caer un paquete de alimentos a un grupo
de excursionistas situados horizontalmente a 230m del punto ms
prximo al avin. Este vuela en forma horizontal a 140m de altura y
su vector de velocidad es 45m/s. A qu distancia caer el paquete de
alimentos y cuanto deben caminar los excursionistas para
recogerlo?
o Ejemplo Desde la superficie de una mesa de 1,4m de altura se
lanza una pelota horizontalmente, con una velocidad inicial de
5m/s. Determinar:
a) La posicin de la pelota 0,2 segundos despus del lanzamiento.
b) La posicin de la pelota al chocar contra el piso y La velocidad
del apelota en ese
instante.
o Ejemplo Desde lo alto de un edificio de 80m sobre el nivel de
la calle, se lanza un proyectil horizontalmente con velocidad
inicial de 50m/s. Determinar:
a) La posicin del proyectil 3,0segundos despus de ser lanzado.
b) La ecuacin de la trayectoria que describe el mvil y La velocidad
y oposicin
del mvil al incidir sobre la calle.
o Ejemplo El alcance de un proyectil disparado horizontalmente
desde lo alto de un edificio es igual a la altura de este. Cul es
la direccin del vector velocidad cuando el proyectil choca contra
el suelo?
v0 = 50m/s
P(x,y)
x
80m
-
27
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Movimiento parablico Movimiento de proyectiles
Supongamos que se lanza un objeto con velocidad inicial v0, que
forma con la horizontal un ngulo de acuerdo a la figura
En la grfica se forma un tringulo rectngulo, de acuerdo a las
componentes rectangulares de los vectores en posicin se deduce Cos
= vox / v0 vox = v0 Cos y Sen = voy / v0 voy = v0 Sen En la
direccin horizontal (eje X) el movimiento es un MU, luego a = 0
(nula), luego vx = v0x sustituyendo vx = v0 Cos La coordenada de
posicin en x viene dada por x = vxt, pero vx = v0 Cos sustituyendo
x = v0tCos En la direccin vertical el movimiento es un MUA, pues el
proyectil es atrado hacia la superficie terrestre con una
aceleracin constante, que corresponde a la aceleracin de la
gravedad: g = 9,8m/s2. Las anteriores ecuaciones permiten calcular
la posicin horizontal del proyectil y su velocidad en los dos ejes.
Deduciremos unas que nos permitan calcular el tiempo de subida, de
vuelo, altura y alcance mximo logrado por el proyectil.
Tiempo de subida y de vuelo
Inicialmente ubicamos el punto de referencia en el punto (0,0)
donde x = 0 y y = 0. Como la componente y de la velocidad en la
altura mxima es nula, entonces de la ecuacin: vy = v0y - gt vy =
v0sen - gt pero vy = 0 0 = v0sen - gt despejando t t =v0sen / g,
ecuacin del tiempo de subida y se escribe: ts =v0Sen / g. como la
parbola es un figura simtrica el tiempo de subida es el mismo que
el de bajada, luego el tiempo de vuelo del proyectil sera tv =
2ts.
-
28
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
Altura mxima
Tomando el tiempo de subida y sustituyndolo en la ecuacin y = y0
+ v0yt - gt2 / 2, donde y0 = 0, voy = v0 Sen y y = ymax ymax = 0 +
v0 sen (v0sen / g ) - g(v0sen / g)2 / 2 = v2 0 sen2 /g - v2 0sen2 /
2g ymax = v2 0Sen2 / 2g.
Alcance mximo Para calcular el alcance mximo partimos de x =
v0tcos. Por simetra del movimiento, para el tiempo de subida el
proyectil alcanza su altura mxima siendo este el mismo que demora
en regresar a la altura de lanzamiento es decir, el suelo.
Entonces, tv = 2ts de donde tv = 2v0sen / gs sustituyendo esta
expresin y en lugar de X se escribe Xmax, tenemos: Xmax = v0tcos =
v0 (2v0sen / g) Cos = v2 0 2sencos / g Xmax = v2 0 Sen (2) / g
donde sen (2) = 2sencos.
VARIACIN DE LA VELOCIDAD EN EL MOVIMIENTO PARABLICO
Anlisis: la componente horizontal de la velocidad, v0x,
permanece constante durante la trayectoria del proyectil. La
componente vertical de la velocidad v0y, varia en la medida que el
proyectil se desplaza. Dicha componente disminuye desde el punto A
hasta ser nula en B, debido a que esa es la altura mxima y el mvil
se detiene luego empieza a caer. Entre B y C la componente v0y
cambia de direccin, va dirigida hacia abajo, en la misma direccin
en la que acta la aceleracin de la gravedad y aumenta su magnitud
hasta ser igual al momento de ser lanzada en el punto A.
-
29
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
El alcance mximo se da para un ngulo de 450 Para un ngulo de 150
el alcance ser el mismo que para uno de 750 (ngulos
complementarios) Enlaces de apoyo.
-
http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/movparab/appletsol2.htm
-
http://www.meet-physics.net/David-Harrison/castellano/ClassMechanics/ProjKinematics/ProjKinematics.html
o Problema
Un baln se dispara con velocidad de 15m/s formando, con la
horizontal, un ngulo de 370.
a) Determinar las componentes de la velocidad inicial v0x , v0y
y los valores de las componentes de la velocidad para 0,5s y a los
1,2s. y los valores de las componentes de la posicin en los mismos
tiempos.
b) Calcular el tiempo que demora en alcanzar su altura
mxima.
c) Determinar la altura mxima y la distancia mxima
horizontal.
d) Dibujar la trayectoria y representar el vector velocidad y
sus componentes para los siguientes casos: en el punto de partida,
en el punto ms alto y al cabo de 1,2s.
Sugerencia pagina 84 85 Fsica 1 Hipertexto Santillana
o Problema Un atleta arroja un disco con un ngulo de 600 y
alcanza una distancia de 40m desde el punto de lanzamiento. Halla
el vector velocidad inicial con el cual se lanz el disco.
o Problema Un nio lanza un baln horizontalmente desde la azotea
de un edificio como muestra la figura. Si la altura del edificio es
100m y el baln cae a una distancia de 80m del pie del edificio.
Determinar: el tiempo que demora el baln en el aire, la velocidad
inicial y la final.
100m
80m
-
30
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
o Problema
Un jugador de bsquet lanza un tiro al aro como muestra la
Figura. La distancia horizontal es igual a 6 metros, el ngulo es
53,13 con respecto a la horizontal y la distancia entre el aro y la
pelota es igual a 1,2 metros. Con qu velocidad inicial debe tirar
que la pelota ingrese en el aro?
o Problema Un avin vuela a 7500 m de altura con velocidad
horizontal de 252,0 km/h y deja caer una bomba. a) Cunto tarda en
llegar al suelo? b) A que distancia horizontal se encuentra cuando
llega al suelo respecto del punto que se la solt? Enlaces de
apoyo.
- http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/Tiro/Tiro.htm
-
http://www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimica/applets/Cinematica-2/canonparabolico.htm
Actividades: pagina 86 91 Fsica 1 Hipertexto Santillana.
-
31
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
COLEGIO DE LA SAGRADA FAMILIA
AREA DE CIENCIAS NATURALES Y EDUCACION AMBIENTAL TALLER 2 DE
FSICA
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
1. En la grfica mostrada vemos el lanzamiento de una piedra,
determinar la magnitud de la velocidad "V" horizontal con que
fue lanzada la piedra. (g=10 m/s2)
a) 30 m/s b) 40 m/s c) 50 m/s d) 60 m/s e) 80 m/s
2. Con qu ngulo de elevacin debe dispararse un proyectil para
que su alcance
horizontal sea igual al triple de su altura mxima?
a) 30 b) 53 c) 45 d) 37
3. En el grfico mostrado determine la rapidez de
lanzamiento, si el proyectil lanzado logra ingresar al canal
horizontalmente. Desprecie la resistencia del aire (g=10 m/s2)
a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s
4. Calcular el valor de "h" si la velocidad de lanzamiento
es 50 m/s y el tiempo emplea en llegar al piso es 10 s. a) 80 m
b) 100 m c) 120 m d) 150 m e) 200 m
5. En el diagrama, determine h. (g = 10m/s2)
a) 1,35m b) 1,55m c) 1,75m d) 2,75m e) 3,75m
-
32
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
6. Se patea un baln que describe una trayectoria parablica como
se aprecia en la figura:
La magnitud de la aceleracin en el punto A es aA y la magnitud
de la aceleracin en el punto B es aB. Es cierto que a) aA < aB
b) aA = aB = 0 c) aA > aB d) aA = aB 0
7. De los siguientes vectores, el que corresponde a la
aceleracin del baln en el
punto A, es
8. Durante la Serie Mundial de Bisbol, un jugador de los New
York Yankees, el
equipo deportivo con ms ttulos en la historia, batea una pelota
de home run con una velocidad de 40 m/s y a un ngulo de 26 sobre la
horizontal. Un fielder que puede alcanzar la pelota hasta 3,0m por
encima del nivel del terreno de juego se pega contra la barda que
est a 110 m del home plate. La pelota estaba 120 cm sobre el suelo
cuando fue bateada. Qu tan arriba del guante del jardinero pasar la
pelota?
9. Determinar a qu distancia debe estar un blanco, si con un
rifle, que dispara una
bala con una velocidad inicial de 175 m/s, y el tirador apunta
con un ngulo de 50 sobre el eje horizontal. Desprecie la
resistencia del aire.
a)
b)
c)
d)
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
10. Determinar el ngulo en el que se tiene que apuntar un arco,
sabiendo que tiene
una velocidad inicial de 25m/s, y el blanco est a 64 metros de
distancia.
11. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y
una inclinacin, sobre
la horizontal, de 30. Suponiendo despreciable la prdida de
velocidad con el aire,
calcular: Cul es la altura mxima que alcanza la bala? A qu
distancia del
lanzamiento alcanza la altura mxima? A qu distancia del
lanzamiento cae el
proyectil?
12. Se dispone de un can que forma un ngulo de 60 con la
horizontal. El objetivo
se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m
del can. Con
qu velocidad debe salir el proyectil?
13. Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad
inicial de 13 m/s y con
un ngulo de 45 respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m.
Determinar:
Qu tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega
al arco?
Convierte el gol?, por qu? A qu distancia del arco picara por
primera vez?
14. Sobre un plano horizontal a un altura de 13m se deja rodar
un cuerpo con una
velocidad inicial de 50 m/s. Calcular en qu punto del suelo
pegar y que tiempo
demorara en hacerlo.
15. Un can que forma un ngulo de 45 con la horizontal, lanza un
proyectil a 20
m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. A qu
altura del
muro hace impacto el proyectil? Qu altura mxima lograr el
proyectil? Qu
alcance tendr? Cunto tiempo transcurrir entre el disparo y el
impacto en el
muro?
16. Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial
de 800 km/h, qu
inclinacin debe tener el mortero para que alcance un objetivo
ubicado a 4000 m
de este?
17. A ski-jumper leaves the
ski track moving in the horizontal direction with a speed of
25,0 m/s, as shown in Figure. The landing incline below him falls
off with a slope of 35,0. Where does he land on the incline?
-
34
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
18. Se dispara un proyectil en la forma indicada en la
figura con una velocidad inicial vo y formando un ngulo de tiro
de 36,9 por encima de la horizontal. El disparo se hace desde un
punto a 192m del borde de un precipicio de 160m. El proyectil salva
justamente dicho borde. Elija un sistema de referencia y de
coordenadas adecuado y calcule:
a) la velocidad inicial vo. b) la distancia d que separa el
impacto del pie del precipicio.
19. Una roca descansa sobre un barranco 600
metros por encima de una casa, tal como se muestra en la figura.
En tal posicin que si rodase, saldra disparada con una rapidez de
50,0m/s. Existe un lago de 200 metros de dimetro. Con uno de sus
bordes a 100 metros del borde del barranco. La casa est junto al
lago en el otro borde. a) Si la roca se desprendiera del
barranco
Cunto tiempo permanecera en el aire antes de llegar al
suelo?
b) Caer la roca en la laguna? c) Calcular la rapidez de la roca
al llegar al suelo.
20. El ganador del baln de oro 2009, 2010, 2011 el jugador
Rosarino Lionel Messi
patea un penal y la pelota sale perpendicular a la lnea de gol
con una velocidad de 20 m/s y una elevacin de 18 respecto a la
horizontal. El punto penal se encuentra a 11 m de la lnea de gol y
la altura del travesao es de 2,4 m. En el momento en que la pelota
es pateada el arquero se tira hacia un costado y queda
imposibilitado de alcanzar la misma. Determine qu tiempo demora la
pelota en pasar por la lnea de gol y a qu altura pasar. Ser
gol?
21. Analizar el movimiento de un proyectil de un rifle. Suponga
que el proyectil parte con una velocidad Vo y forma un ngulo con
respecto a la horizontal. Verificar que la altura que alcanza
cuando el tiempo es igual a la mitad del tiempo en el que alcanza
la altura mxima es
h =
22. Un tenista de la ATP golpea la pelota desde el borde de la
cancha a 1,7 m del suelo
y le imprime una velocidad de 50 m/s en una direccin
perpendicular a la red y 2 por debajo de la horizontal. La cancha
tiene un largo total de 24 m y la red tiene una altura de 90 cm.
Determine si la pelota pega en la red, si se va larga o si cae
dentro de la cancha.
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35
NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
23. A ball is thrown horizontally from the top of a 20m high
hill. It strikes the ground
at an angle of 450. With what speed was it thrown?
a) 14m/s b) 20m/s c) 28m/s d) 32m/s
24. A stone is thrown horizontally and follows the path XYZ
shown. The direction of
the acceleration of the stone at point Y is:
a)
b)
c)
d)
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NO ES UN LIBRO PROHIBIDA SU VENTA
COLEGIO DE LA SAGRADA FAMILIA
AREA DE CIENCIAS NATURALES Y EDUCACION AMBIENTAL
HOJA DE RESPUESTAS MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES NOMBRE: GRADO
9:
Rellene el cuadro cuya letra es la respuesta correcta. Hazlo con
lapicero. Rellenar ms de una opcin anula la respuesta. No se
permiten tachones ni enmendaduras.
N OPCIONES
1 A B C D E
2 A B C D E
3 A B C D E
4 A B C D E
5 A B C D E
6 A B C D E
7 A B C D E
23 A B C D E
24 A B C D E