Modulo circunferencia

Módulo de autoaprendizaje: Paralelogramos y Circunferencia

•Alumnos: -Jorge Martínez

-Claudio Vargas

-Felipe Vargas

Hola: Con este modulo queremos que

aprendaz de un manera poco tradicional lo relacionado con la circunferencia y los paralelogramos.

Ren y Stimpy te acompañaran durante el tiempo que uses el módulo, Ren es poco tolerante pero stimpy es más relajado.

Lo único que te podemos decir es que pongas bastante atención a las propiedades para que puededas resolver todos los problemas que te plantearemos.

Buena surte….

Definición de Circunferencia:Una circunferencia es un conjunto infinito de puntos que están a igual

distancia de un punto llamado centro de la circunferencia.

Ox

Punto O = centro de la circunferencia

Circunferencia:

Elementos de la circunferencia

A

B

OD

E

C

L1

L2

Ox = Centro de circunferenciaO x

OA = OB = OC = Radio de la circunferencia.

AB = Diámetro de la circunferencia

L1 = Recta Tangente de la circunferencia

L2 = Recta secante de la circunferencia

DE = Cuerda de la Circunferencia

Área y Perímetro de la circunferencia

a) Área : Es la superficie que la circunferencia cubre

A = . r 2r

b) Perímetro: es la medida del contorno de la circunferencia

rP = 2 . . r

O x

O x

Ángulos y Arcos en la circunferencia

a) Ángulo formado por dos radios:

O

A

B

Relación entre el ángulo y el arco:

= AB

A este ángulo se le llama también ángulo central

O x


b) Ángulo formado por dos cuerdas:

O

A

C

Relación entre el ángulo y el arco:

= AC

2

B

A este ángulo se le llama también ángulo inscrito

O x


c) Los dos ángulos anteriores en una misma circunferencia:

A

C

Relación entre los dos ángulos:

= 2

BO x


d) Varios ángulos inscritos formando el mismo arco:

O

A

C

Relación entre los ángulos:

= =

B

O x


e) Ángulo formado por dos cuerdas:

Medida del ángulo :

= AD + BC

2

A

D

B

C

O x


f) Ángulo formado por dos secantes:

O


= AC - BD

2

A

B

C

D

PO x


g) Ángulo formado por dos tangentes:

O


= ACB - ADB

2

A

B

C DP

O x


h) Ángulo formado por una cuerda y una tangente:

O


= AB

2

A

B

A este ángulo se le llama también ángulo semi inscrito

O x


i) Ángulos que forma una semicircunferencia:

O x Medida del ángulo :

= 90°

A

C

B


j) Ángulo formado por una secante y una tangente:

OMedida del ángulo :

= AC - AB

2

A

B

C

P

O x


k) Arcos formados por rectas paralelas que cortan la circunferencia:

O Relación entre arcos:

AB = CD

AD

BC

O x


l) Ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito:

ORelación entre ángulos:

+ = 180°

AD

B

C

O x

Ejercicios:

O X 46°

Hallar:

?

112

x

y

B

BAC

A

C

CA

B

x

y

Según la propiedad = 2, se puede invertir la propiedd para hallar en este caso que es igual a

232

46

2

B)34

Aplica las propiedades:

A)45

O x

Ejemplo:

Ejercicios:

?

?

72

y

x

?

140

BDC

y

CA

By

A

B D

y

0x

C

A)x=80;y=55

B)x=90;y=144

A) 40 B)70

O x

x

Ejercicios:

?

75

y

x

?

115

x

y

DA

B

C

C

B

A

0x x y

0x

A)90 B)20

a)245 B)65

y

x

60

Ejercicios:

?

61

y

x

?

40

y

x

A

C

B

y

x

E

A

C

B

Dy

200°

B)132

A)120 B)80

O x

O x

A)119

x

241º

Ejercicios:

A

?

?

y

x

?

?

y

x

A

D

C

B

yx 65°

B

C

D2x y

3x+10°

A)x=65;y=57,5 B)x=40;y=68,5

A)x=34;y=68 B)x=56;y=85O x

O x

Segmentos en la circunferencia1er Teorema: los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos iguales con el segmento que une el punto exterior al centro.

O x

A

B

P

AP , BP segmentos tangentes:

AP = BP , OPA = OPB

Segmentos en la circunferencia2do Teorema: si se trazan dos rectas secantes desde un punto

exterior a una circunferencia, entonces:

AB

P

AP . BP = PD . PC

C

D

O x

Segmentos en la circunferencia3er Teorema: si desde un punto exterior a una circunferencia se

traza una recta secante y una tangente, entonces:

O

A

P

AP 2 = PC . BP

B

C

O x

Segmentos en la circunferencia4to Teorema: si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de la

circunferencia, entonces:

A

AE . BE = CE . DE BC

D

EO x

Ejercicios:

B A

C

D

P

Si y15;6 BPAP 8PC Determinar PD

Si y determinar AP20PC5BPA

B

C

P

En este caso hay que aplicar el teorema 2 . Si tú lo aplicas bien te tendría que resultar 11.2

A)20 B)10

O x

O x

Ejercicios:

Si ; determinar 5DE

8OE AB

15;2 CDAEEB AE

A

B

C

D

E

10ODSi y determinar

A B

C

D

E 90AEC

A)5 B)10

A) 6 B)12

O x

O x

Ejercicios:3;6 ADABSi determinar AC

A

B

C

D

18;12 ACAB CDSi determina

A

BC

D

A)12 B)15

A)20 B)8

O x

O x

Ejercicios:

4;14; AEECDBAD ADSi determinar

A

B

C

D

EA)36 B)6

O x

Si determinar2)3:(;15 BPABBP PT

A)8.6 B)10O x

T

AB

P

Paralelogramos:

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Se pueden clasificar en:

• Rectángulos: tienen los cuatro ángulos rectos, pero dos pares de lados iguales.

• Rombos: tienen los cuatro lados iguales.

• Romboides: No tienen lados ni ángulos iguales.

Definición de paralelogramo:

Paralelogramos:

CuadradoCuadrado Lados iguales Ángulos iguales

Diagonales se bisecan y son perpendiculares entre si.

RectánguloRectángulo Lados peralelos iguales

Ángulos rectos

Sus diagonales se bisecan.

RomboRombo Lados iguales Águlos oblicuos

Sus diagonales se bisecan y son perpendiculares entre si.

RomboideRomboide Lados iguales Ángulos obicuos

Sus diagonales se bisecan.

Los ángulos interno y opuestos son congruentes; como los ángulos internos no puestos son suplementarios.

Ejemplos de Paralelogramos:

Rectangulo:

2 pares de lados iguales y todos sus angulos son rectos

(90°)

a a

b

b

Ejercicios

DA

B C

2x

20Perímetro: 40 Aquí hay que recordar que tiene todos sus

lados iguales, asi es que 2x=20

Por lo que resulta que x es igual a 10

DA

B C

E

DE = 15, BE = 3a , AC =6a, EC = 3a

Hallar las variables:

Rombo Perímetro: 40

A

B C

D

2x

3x-7

20

x

D

CB

A

Hallar x e y:Perímetro = 86

Perímetro: 40

36

43

y3

A

A

B

B C

C

D

D

152

54

xCAD

xBAC

Hallar x:

4x-302x+10

Trapecio

y

Nota: los ángulos adyacentes de lados paralelos suman 180°.

Esperamos que hayas aprendido lo que se te presentó, y que lo puedas utilizar enel futuro.

Ren y Stimpy…

…Fin del módulo…

¡NO! ¿en qué piensas idiota?

Bueno, ya que le vamos a hacer, házlo otra vez.

¡¡Déjalo!!

Es solo un niño.

Una pista:

X se obtiene con la propiedad b): del ángulo formado por dos

cuerdas.

Mmm…Parece que haz aprendido algo

Pero te falta mucho.

¡Que bien eres muy inteligente¡

¡¡Eres super¡¡

¡¡Como es que eres tan tonto!!, eso es

BÁSICO.

Dale otra oportunidad po’.No seas malito

Observa bien. Pista: la cuerda AB divide a la

circunferencia en dos partes

iguales

Esó, muy bien.

Se resolvía observando que Y vale 144 y que X vale 90 por ser ángulo

inscrito compartiendo cuerdas con el ángulo central que vale 180.BOC

Me haz sorprendido, creí

que eras mas tonto.

Muy bien hecho amiguito,

demuestra que eres un matemático.

Me arrepiento de lo dicho anteriormente. ¿Cómo puede haber gente tan

incompetente?

No le hagas caso , sé que pudes

lograrlo, confío en ti.

Pista: usa la propiedad h): ángulo formado por una cuerda y una tangente.

2

AB

Se resolvía dividiendo 80:2, ya que se formaba un triángulo isósceles donde cada

ángulo basal vale 70 y el ángulo del vertice 40. En la circunferencia 2

segmentos valen 140 faltando 80 para completar 360, a los 80 se le aplicaba la

propiedad nombrada en la pista.

Pon atencion para que sepas como resolver otro parecido.

Eres un genio, ¡¡MAESTRO!!

Pista: x = 75º, y es un ángulo formado por dos cuerdas. Usa esa

propiedad.

No puede ser tan dificil!!

Piensa un poco

más…

Se resolvía dándose cuenta que x formaba un arco que vale 60º + y.

Además, x = 75º, por lo que el arco debe ser el doble de 75º, o sea

150º, y 150º – 60º = 90º.

Que bien uno bueno!!!

Así se hace, vamos

mejorando…

Pista: y = 115º, por lo que su arco es 230º. El total de la circunferencia es 360º

Eso no fue muy inteligente… Es un simple

ejercicio…piensa…

Se resolvía restando 230º a 360º, quedando el arco

del ángulo x. Lo que queda, que es 130º, se

divide por 2 y da 65º, que es la medida de x.

Parece que es tu dia de suerte…

Demuestra lo que puedes

hacer…

Pista: te dan el valor del ángulo y el de uno de los arcos.

Reemplaza los valores en la fórmula del teorema.

Eres un caso perdido…

Coloca más atención a lo que haces…

Se resuelve al reemplazar los valores del ángulo x y del arco que vale 241º. Al hacer

la operación debiera dar 119º.

Me haz sorprendido…

Muy bien sigue así…

Pista: usa el teorema del ángulo

formado por dos rectas tangentes.

Ja ja fallaste…Mira bien el ejercicio…

Se resolvía restando el doble del ángulo a 200º, y así sale

que y = 120º.

Que sorpresa…piensa..

Eres brillante

Pista: el semiperímetro de una circunferencia mide

180º.

No!!! ¡Como eres tan tonto?

Con calma…

Pista: el semiperímetro de una circunferencia mide

180º.

Más aprende mi tortuga…

No grites que menos piensa…

Se resolvía haciendo 3x+10+2x=180º. De ahí

se saca que x=34º. Posteriormente se iguala 3x+10+y=180º, pero ya

se sabe el valor de x.

Bajo presión trabajas mejor.

Eres muy bieno para

esto

Pista: la cuerda BD divide a la

circunferencia en dos partes iguales..

¿sabes usar lo que tienes arriba

del cuello?

No le hagascaso

Se resolvía restando 180º - 65º= 115º, que es el arco que forma y.

Posteriormente se divide ese valor por 2, y sale el ángulo y.

Te felicito, primera y última

vez…

Muy bien…

Se resolvía haciendo 5 . 20 = x2. Se

resuelve y se obtiene x = 10º.

Si sabes usar la cabeza,

disculpa…

Ren está celoso, el no sabe…

Pista: usa el teorema Nº3.

No sabes JA JA JA JA JA…

Confío en ti piensa un poco…

Se resolvía haciendo 5 . 10 = 2x . x

No era tan dificil, tubiste

suerte…

Tu representas el magis

ignaciano…

Pista: usa el teorema 3.

No puede ser tan dificil!! Eres muy

bieno para esto

Se resolvía haciendo 18 . 2 = x2.

De ahí se saca que x = 6.

Pon atencion para que sepas como resolver otro parecido.

Eres un genio, ¡¡MAESTRO!!

Pista: OD es radio, y es igual a OC, que vale 10.

Eso no fue muy inteligente…

Con calma…

Se resolvía haciendo 62 = 3 . (x+3). Ahí sale que x = 9.

El lado entonces vale 12

Parece que es tu dia de suerte…

Así se hace, vamos

mejorando…

Pista: Usa el teorema 3, reemplaza los valores que

ya te dan.



El valor de x se hallaba al resolver la ecuación que resulta al reemplazar los valores en el teorema 3, quedando 122 = 18 . x .


disculpa…


Pista: reemplaza los valores que te dan en el teorema 3.



Se resolvía al hacer 18 . 4 = 2x . x . De ahí

se obtiene que x es igual a 6.


disculpa…


Pista: reemplaza los valores en el teorema 2.



Se resolvía haciendo 15 . 5 = x2. De ahí se obtiene que x = 8,6.

Tu representas el magis

ignaciano…

Bajo presión trabajas mejor.

Pista: reemplaza los valores dados en el teorema 3.


Mira bien el ejercicio…

Modulo circunferencia

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