Betão Armado e Pré-Esforçado I MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 1. Introdução 1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Objectivo: Garantir um bom comportamento das estruturas em situação corrente de serviço (controlar o nível de fendilhação, limitar a deformação e controlar a vibração). Em condições de serviço, − as acções tomam valores reais previstos (não são majoradas); − o comportamento dos materiais é simulado através da utilização das propriedades médias (não minoradas). 1.2. ACÇÕES Para verificação aos estados limites de utilização são utilizadas combinações de acções com diferentes probabilidades de ocorrência: Combinação rara: pequena probabilidade de ocorrência (estado limite de muito curta duração – algumas horas no tempo de vida da estrutura) G m + Q k + ∑ i ψ 1i Q ik Combinação frequente: probabilidade de ocorrência superior ou igual a 5% do tempo de vida da estrutura (estado limite de curta duração) G m + ψ 1 Q k + ∑ i ψ 2i Q ik Combinação quase-permanente: probabilidade de ocorrência superior a 50% do tempo de vida da estrutura (estado limite de longa duração) G m + ∑ i ψ 2i Q ik G m – valor médio das acções permanentes Q k – valor característico da acção variável base Q ik – valor característico das restantes acções variáveis MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 104
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Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 1. Introdução
1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Objectivo: Garantir um bom comportamento das estruturas em situação corrente de serviço
(controlar o nível de fendilhação, limitar a deformação e controlar a
vibração).
Em condições de serviço,
− as acções tomam valores reais previstos (não são majoradas);
− o comportamento dos materiais é simulado através da utilização das
propriedades médias (não minoradas).
1.2. ACÇÕES Para verificação aos estados limites de utilização são utilizadas combinações de
acções com diferentes probabilidades de ocorrência:
Combinação rara: pequena probabilidade de ocorrência (estado limite de muito
curta duração – algumas horas no tempo de vida da estrutura)
Gm + Qk + ∑i ψ1i Qik
Combinação frequente: probabilidade de ocorrência superior ou igual a 5% do
tempo de vida da estrutura (estado limite de curta duração)
Gm + ψ1 Qk + ∑i ψ2i Qik
Combinação quase-permanente: probabilidade de ocorrência superior a 50% do
tempo de vida da estrutura (estado limite de longa duração)
Gm + ∑i ψ2i Qik
Gm – valor médio das acções permanentes
Qk – valor característico da acção variável base
Qik – valor característico das restantes acções variáveis
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1.3. MATERIAIS
1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de utilização (i) Aço
fyd
σs
fyd
εs
Es
0.2%
fyk
curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos
curva realcurva característicacurva de cálculo
E.L. Utilização
Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização,
Es = 200 GPa
εs
σs
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(ii) Betão
εc
σc
0.85 fcd
3.5‰2‰
fck
Ec
0.4 fck
εc
curva realcurva característica
curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos
Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização,
Ec
εc
σc
fctm
Nota: As propriedades mecânicas do betão variam ao longo do tempo devido aos
efeitos diferidos (fluência e retracção).
1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão
A deformação do betão ao longo do tempo depende de dois efeitos:
− Fluência (depende da actuação das cargas)
− Retracção (independente do estado de tensão)
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1.3.2.1. Fluência
Definição: Aumento da deformação no tempo sob a acção de um estado de tensão
(originada pela variação de volume da pasta de cimento que envolve os inertes).
(i) Exemplo:
(a) Instante de aplicação da carga (t0)
p
εc(to)
εc (t0) = σc (t0)Ec (t0)
(b) Tempo t∞
p
εc(to)εcc(t∞,to)
εcc (t∞, t0) = ϕ (t∞, t0) εc (t0)
onde,
εcc(t∞,t0) representa a deformação por fluência
ϕ (t∞,t0) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de εc no
intervalo de tempo [t∞, t0] e o εc (t0))
Para idades de carregamento usuais, ϕ (t∞, t0) ≅ 2 a 4. Em geral, poderá utilizar-se o
valor ϕ ≅ 2.5.
(ii) Determinação da deformação a longo prazo (t∞) tendo em consideração o efeito da
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2.4. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO (NO QUE RESPEITA AO ASPECTO E À DURABILIDADE) Na ausência de requisitos específicos (impermeabilidade, por exemplo), para
elementos de betão armado em edifícios o EC2 estabelece os seguintes limites:
Classe de exposição Valores recomendados
de wmax [mm] X0, XC1 0.4
XC2, XC3, XC4
XD1, XD2
XS1, XS2, XS3
0.3
Nota: No caso das classes de exposição X0 e XC1, a abertura de fendas não tem
influência na durabilidade, sendo apresentado um limite apenas para garantir um
aspecto aceitável do elemento. Caso este não seja aparente, não hé necessidade de
respeitar este limite.
A abertura de fendas deve ser calculada para a combinação de acções
quase-permanentes.
De referir que os valores especificados no REBAP para o controlo da fendilhação são
inferiores aos do EC2.
Classes de exposição segundo o EC2 1. Sem risco de corrosão ou ataque
Classe de Exposição Ambiente
X0 Para betão simples: todos os ambientes excepto os com gelo, abrasão ou
ataque químico
Para betão armado: ambiente muito seco
2. Corrosão induzida por carbonatação
Classe de Exposição Ambiente
XC1 Seco ou permanentemente molhado
XC2 Húmido (raramente seco)
XC3 Com humidade moderada
XC4 Com ciclos de molhagem e secagem
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3. Corrosão induzida por cloretos
Classe de Exposição Ambiente
XD1 Com humidade moderada
XD2 Húmido (raramente seco)
XD3 Com ciclos de molhagem e secagem
4. Corrosão induzida por cloretos da água do mar
Classe de Exposição Ambiente
XS1 Zonas costeiras marítimas
XS2 Zonas imersas
XS3 Zonas de maré (com ciclos de molhagem e secagem)
5. Acção gelo / degelo
Classe de Exposição Ambiente
XF1 Saturação moderada de água, sem agentes descongelantes
XF2 Saturação moderada de água, com agentes descongelantes
XF3 Saturação elevada de água, sem agentes descongelantes
XF4 Saturação elevada de água, com agentes descongelantes ou água do mar
6. Ataques químicos
Classe de Exposição Ambiente
XA1 Ligeiramente agressivo do ponto de vista químico
XA2 Moderadamente agressivo do ponto de vista químico
XA3 Muito agressivo do ponto de vista químico
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2.5. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2) É possível, em geral, limitar as larguras das fendas a valores aceitáveis e evitar uma
fendilhação não controlada caso se utilizem pelo menos as quantidades mínimas de
armadura e:
para fendilhações causadas por deformações impedidas se limitem os diâmetros
dos varões a utilizar em função da tensão na armadura no instante após a
fendilhação (Tabela 7.2);
para fendilhações causadas por cargas aplicadas devem limitar-se ou os
diâmetros dos varões (Tabela 7.2) ou o espaçamento entre varões (Tabela 7.3),
ambos função da tensão na armadura no instante após a fendilhação.
Para cargas aplicadas poderá estimar-se de forma simplificada a tensão nas
armaduras considerando σIIs ≈
fyd 1.5, uma vez que para o estado limite último se
adoptou, para a combinação fundamental de acções, uma tensão fyd.
Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se considerando σs = fyk. No
entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o estabelecido na tabela 7.2,
deverá adoptar-se o par (σs, φ) que respeita o controlo indirecto dessa tabela, e a
armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de As,min adoptando
esse valor de σs.
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2. Estado Limite de Deformação
2.1. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO
2.1.1 Deformação em fase não fendilhada (Estado I)
a
p
M
1/r
EI I
curvatura: 1 r = M
EII
deslocamento: a = ⌡⌠
L 1 r
–M dx a = 1 EII ⌡
⌠L M –M dx (P.T.V.)
–M − diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.
2.1.2. Deformação em fase fendilhada (estado II)
Problemas:
Determinação das relações momentos-curvatura
Consideração da variação de rigidez ao longo dos elementos
Definição das condições de fronteira da estrutura
DMF
p
(+)
Nota: Cada zona da viga tem uma rigidez diferente,
consoante o nível de momento actuante. 1/r
EI I
EI IIMcr
M
Estado II
Estado IM
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Por forma a ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma curvatura
média para cada zona do elemento.
M M
IIEIII
1/r
M
Mcr
EII
MI
(1/r)I (1/r)m (1/r)II
Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura
média pode ser calculada através de uma média ponderada entre as curvaturas em
estado I e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ):
1 rm = (1 − τ) 1
rI + τ 1 rII
a = ⌡
⌠0
L 1rm
–M dx
Ο coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples pode ser obtido através de:
τ = 1 – β1 β2
σsr
σs 2
= 1 – β1 β2
Mcr
M 2 para M > Mcr
onde,
β1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões
(β1 = 1.0 para varões de alta aderência; β1 = 0.5 para varões aderência normal);
β2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0
para uma única carga de curta duração; β2 = 0.5 para cargas actuando com
permanência ou para vários ciclos de cargas);
σsr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante
da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;
σs – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante
da actuação do valor da carga para a qula se pretende calcular a flecha.
Nota: Se M < Mcr ⇒ τ = 0 ⇒ 1 rm = 1
rI
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2.1.2.1. Cálculo da curvatura em estado I
A curvatura em estado não fendilhado pode ser calculada através da expressão
1 rI = ks1 × 1
rc + ks1 kϕ1 ϕ × 1 rc + 1
rcs1 ,
onde,
ks1 – coeficiente que entra em linha de conta com a acção das armaduras
1 rc – curvatura de base
1
rc = M Ec Ic
kϕ1 – coeficiente que entra em linha de conta com o efeito da fluência
ϕ – coeficiente de fluência
1 rcs1 – acção da retracção
1
rcs1 = kcs1 εcs d
2.1.2.2. Cálculo da curvatura em estado II
1 rII = ks2 × 1
rc + ks2 kϕ2 ϕ × 1 rc + 1
rcs2 ,
1
rcs2 = kcs2 εcs d
2.1.2.3. Método Bilinear (τ constante)
i) Cálculo dos parâmetros
ks1, kϕ1, kcs1, ϕ e ks2, kϕ2, kcs2
ii) Cálculo do coeficiente de repartição τ
M = MD Mcr ⇒ τ = 1 – β1 β2 Mcr MD = constante
onde MD representa momento na secção determinante.
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Secções determinantes (secções de momentos máximos) - Exemplos
τ = τvão
τ = τapoio
τ = 2 τvão + τapoio 3
τ = τapoio 1 + 2 τvão + τapoio 24
iii) Cálculo de flechas
τ = constante ⇒ a = ⌡⌠
0
L 1 rm
–M dx = ⌡⌠
0
L
(1 - τ) 1
rI + τ 1 rII –M dx = ⇔
⇔ a = (1 – τ) ⌡⌠
0
L 1rI
–M dx + τ ⌡⌠
0
L 1rII
–M dx ⇔ a = (1 – τ) aI + τ aII
com aI = ⌡⌠
0
L
ks1 (1 + kϕ1 ϕ) × 1
rc + kcs1 εcs d –M dx
aII = ⌡⌠
0
L
ks2 (1 + kϕ2 ϕ) × 1
rc + kcs2 εcs d –M dx
2.1.2.4. Método dos Coeficientes Globais (coeficientes constantes), definidos para a
secção determinante
coeficientes constantes ⇒ aI = ⌡⌠
0
L
ks1 (1 + kϕ1 ϕ) × 1
rc + kcs1 εcs d –M dx ⇔
⇔ aI = ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ⌡⌠
0
L 1 rc
–M dx + kcs1 εcs d ⌡⌠0
L –M dx
Desprezando a parcela da retracção, aI = ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ac
Da mesma forma, aII = ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac
Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a
a = (1 – τ) aI + τ aII = (1 – τ) ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ac + τ ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac ⇔
⇔ a = [ ](1 – τ) ks1 (1 + kϕ1 ϕ) + τ ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac = k ac
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Aplicação do Método dos Coeficientes Globais
a) Cálculo do deslocamento ac considerando um modelo elástico linear e rigidez de
flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.
b) Correcção do deslocamento para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a