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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FSICA
FSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y PTICA
MDULO # 1: OSCILACIONES MECNICAS -CINEMTICA Y DINMICA- Diego Luis Aristizbal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muoz H.
Profesores, Escuela de Fsica de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln
Temas
Introduccin
Conceptos bsicos del movimiento oscilatorio
Cinemtica del MAS: Ecuaciones cinemticas bsicas
Cinemtica del MAS: MCU. vs MAS.
Dinmica del MAS: Fuerza recuperadora
Dinmica del MAS: Ecuacin diferencial
Taller
Introduccin
El estudio de las oscilaciones o vibraciones es una parte fundamental de la fsica debido a que
prcticamente todos los sistemas fsicos tienen capacidad de oscilar alrededor de un punto de equilibrio.
Cualquier magnitud puede estar sujeta a oscilaciones. En la vida habitual las oscilaciones ms obvias son
aquellas que conciernen a la oscilacin de la posicin (vibraciones en cuerdas, olas en el agua, pndulos,
resortes), sin embargo, cualquier magnitud puede oscilar: la presin de un lquido o un gas, su temperatura,
el campo magntico, el campo elctrico entre otras.
Cuando el cronograma de una partcula oscilando (representacin de la posicin vs el tiempo) es una funcin
sinusoidal se dice que la oscilacin es armnica, en otras palabras, que la partcula oscila con Movimiento
Armnico Simple (MAS.) y a la partcula se le denomina oscilador armnico.
Simulacin:
Bajar SimulPhysics del sitio Web:
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Analizar la simulacin de SimulPhysics correspondiente al Cronograma de un MAS. Para acceder a ella
hacer clic con el mouse en el tem sealado en la Figuras 1. Se despliega la simulacin de la Figura 2. En
sta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
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2
Figura 1
Figura 2
Es muy importante conocer el Movimiento Armnico Simple, ya que el teorema de Fourier establece que
cualquier tipo de oscilacin peridica puede considerarse como la superposicin de movimientos armnicos
simples.
Simulacin:
Analizar la simulacin de SimulPhysics correspondiente al Sintetizador de Fourier. Para acceder a ella
hacer clic con el mouse en el tem sealado en la Figura 3. Se despliega la simulacin de la Figura 4. En sta
hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
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Figura 3
Figura 4
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4
En ste mdulo se trata la cinemtica y la dinmica del MAS. En el mdulo # 2 se estudian el sistema masa-
resorte y el pndulo como modelos bsicos que permiten con base en ellos estudiar sistemas oscilantes ms
complejos (tomos, molculas, edificios, puentes, sonido, telecomunicaciones,).
En el mdulo # 3 se estudia lo referente al comportamiento energtico de una partcula en MAS. En el
mdulo # 4 se analiza la superposicin de dos MAS: interferencia, pulsaciones y polarizacin. En el mdulo
# 5 se estudia las oscilaciones cuando son forzadas haciendo nfasis en el denominado fenmeno de
RESONANCIA.
El fenmeno oscilatorio es la base de gran parte de la tecnologa que se usa a diario: televisin, radio,
celulares, telecomunicaciones en general, holografa, edificios y en general estructuras sismoresistentes,
instrumentos digitales (para imagen y sonido), Este fenmeno es la base para estudiar la luz y el sonido.
Conceptos bsicos del movimiento oscilatorio
La posicin de equilibrio de un cuerpo puede ser de tres tipos: estable, inestable e indiferente. En la Figura
5 se ilustran los tres casos. Los equilibrios estable e inestable corresponden respectivamente a estados de
mnima y mxima energa potencial.
Figura 5
Cuando el cuerpo es separado de la posicin de equilibrio por la accin de un agente externo, oscilar solo si
su posicin de equilibrio era estable. A este tipo de movimiento se le denomina movimiento oscilatorio o
vibratorio. El estudio de este tipo de movimientos es de suma importancia en la fsica, ya que son la base
para la comprensin, entre otros, de fenmenos como el sonido y la luz.
Definiciones bsicas en el movimiento oscilatorio
En el movimiento oscilatorio se utiliza como sistema de coordenadas, a un sistema cuyo origen es la posicin
de equilibrio del oscilador, Figura 6. A continuacin se definirn algunos conceptos bsicos.
Elongacin ( x ): Es el vector posicin del oscilador medido respecto a la posicin de equilibrio. En la Figura
6 corresponde a la variable x . Tiene unidades de longitud: su unidad en el SI es el metro (m).
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Figura 6
Amplitud (A): Corresponde a la magnitud de la mxima elongacin. Tiene unidades de longitud: su unidad en
el SI es el metro (m).
Periodo (P): Si el movimiento oscilatorio es un movimiento peridico, se define como periodo, al tiempo que
se invierte para hacer una oscilacin completa (un ir y venir): su unidad en el SI es el segundo (s).
Es decir si en un intervalo de tiempo t el oscilador hace n oscilaciones completas, se cumple,
tP = [1]
n
Frecuencia (f): Como a todo movimiento peridico, al oscilador peridico tambin se le define una
frecuencia. En este caso, ser el nmero de oscilaciones completas en la unidad de tiempo. En el SI su
unidad es el Hertz (1 Hz=1 oscilacin/s).
Es decir si en un intervalo de tiempo t el oscilador hace n oscilaciones completas, se cumple,
nf = [2]
t
El perodo y la frecuencia son inversos multiplicativos,
f P = 1 [3]
Fase ( ): Un parmetro muy utilizado cuando se estn analizando movimientos oscilatorios, es el que
recibe el nombre de fase del oscilador. Recibe este nombre porque determina en que fase del movimiento
de ir y venir se encuentra la partcula oscilante; por ejemplo, determina si el oscilador en un instante
dado est en su posicin de equilibrio, o en uno de los extremos de oscilacin, o en otra posicin. Este
concepto es un poco abstracto, pero a continuacin se dan algunos ejemplos que aclaran su interpretacin
fsica.
Cada que el oscilador hace una oscilacin completa, se dice que su fase se ha incrementado en 360 ( 2 radianes). Si el oscilador se suelta desde un extremo, cuando su fase sea de 7 radianes, estar ocupando
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6
la posicin del extremo opuesto, y habr transcurrido un tiempo equivalente a tres perodos y medio, y
adems habr completado tres oscilaciones (completas) y media. Ahora, si dos osciladores se sueltan
simultneamente de extremos opuestos, se dice que su diferencia de fase es igual a radianes (se dice que estos osciladores se encuentran en oposicin). Y si se sueltan bajo las mismas condiciones desde la
misma posicin, se dice que estn en fase.
El concepto de diferencia de fase, , es fundamental para estudiar el fenmeno de interferencia.
Fase inicial ( o ): Corresponde al valor de la fase del oscilador en el instante t=0.
Ms adelante se muestra que la fase inicial, o , y la amplitud, A, de un oscilador libre (es decir, NO
forzado) dependen de las condiciones iniciales (posicin y velocidad iniciales).
Ejemplo 1:
Una masa que pende de un resorte se desplaza de su posicin de equilibrio hasta una posicin igual a 2,50
cm y se suelta. Si oscila peridicamente con una frecuencia igual a 0,500 Hz, calcular: (a) su periodo, (b) el
nmero de oscilaciones que hace en 20,0 s, (c) su desfase a los 3,50 s y a los 5,00 s despus de iniciado su
movimiento, (d) su desplazamiento a los 1, 50 s y 4,00 s despus de iniciado su movimiento.
Solucin:
(a) De la ecuacin [3], se deduce que el periodo P es,
1P =
f
1
1 1P = 2,00 s
0,500 Hz 0,500 s
(b) Como el periodo es igual a 2,00 s, significa que para la masa hacer una oscilacin completa invierte un
tiempo igual a 2,00 s. Por lo tanto en 20,0 s hace 10 oscilaciones completas.
(c) Cada 2,00 s la masa se desfasa en 2 (correspondiente a 1 oscilacin completa). Por lo tanto en 3,50 s
se desfasa en 7
2
(la suma resultante de 2 + +
2). A los 5,00 se ha desfasado 5 .
(d) Cuando ha transcurrido 1,00 s la masa se ha movido de un extremo al otro; cuando ha transcurrido
0,50 s adicionales la masa llega a la posicin de equilibrio. Si se supone que la masa en su posicin inicial
estaba en ix = +A i , en t= 1,50 se encontrar en f
x = 0 i dando como resultado para el
desplazamiento,
-
7
f ix = x - x
x = -Ai
x = -2,50 i cm
El lector podr comprobar que transcurridos 4,00 s el desplazamiento es nulo,
x = 0 i cm
Cinemtica del MAS: Ecuaciones cinemticas bsicas
Elongacin: En general toda partcula oscilante cuya elongacin se exprese mediante una relacin
sinusoidal del tiempo, ecuacin [4], se dice que oscila armnicamente. A este movimiento se le denomina
Moviminento Armnico Simple (MAS.) y a la partcula se le denomina oscilador armnico. En la Figura 7 se ilustra un sistema masa resorte oscilando: mediante el desplazamiento de una cinta de papel se puede
recoger su cronograma (representacin de su elongacin y vs tiempo t ); esto se pudo observar en la
simulacin correspondiente a las Figuras 1 y 2.
Figura 7
oy = A sen t + [4]
en donde A es la amplitud, la frecuencia angular (se mide en el SI rad/s),
2 = = 2 f [5]
P
-
8
f la frecuencia medida en el SI en Hz, P el periodo y t el tiempo medidos en el SI en s y o la fase
inicial medida en rad. Adicionalmente la fase es,
o = t + [6]
y se mide en rad.
La velocidad yV y la aceleracin ya de la partcula que oscila con MAS se obtiene derivando respecto al
tiempo la ecuacin [4],
y oV = A cos t + [7]
2y oa = - A sen t + [8]
De las ecuaciones [4] y [8] se obtiene,
2
ya = - y [9]
La elongacin y la aceleracin son vectores opuestos,
2
ya = - y
Ms adelante se muestra que esto es consecuencia de que la fuerza neta que acta sobre un oscilador
armnico es proporcional a la elongacin y es RECUPERADORA,
F = - k y
Es decir es una fuerza Hookeana (recordar la ley de Hooke).
En la Figura 8 se ilustra la representacin temporal de estas magnitudes (para facilidad se asumi o = 0
-
9
Figura 8
Ejemplo 2:
En qu posiciones de la trayectoria de un oscilador armnico son mximas: (a) la magnitud (el mdulo) de la
elongacin, (b) la rapidez, (c) la magnitud de la aceleracin.
Solucin:
Con base en las ecuaciones [4], [7], [8] y [9] se deduce que los valores mximos de las magnitudes de la
elongacin, velocidad y aceleracin son,
maxy = A [10]
y,maxV = A [11]
2
y,maxa = A [12]
En los extremos la elongacin y la aceleracin son mximas y la rapidez es nula. Cuando el oscilador pasa por
la posicin de equilibrio la elongacin y la aceleracin son nulas pero la rapidez es mxima, Figura 9.
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10
Figura 9
Ejemplo 3:
Un oscilador armnico oscila con una frecuencia igual a 2,00 Hz y una amplitud igual a 5,00 cm, calcular: (a)
su mxima elongacin, (b) su mxima rapidez, (c) el mximo valor de la aceleracin.
Solucin:
La elongacin mxima es igual a la amplitud,
maxy = 5,00 cm
Segn la ecuacin [5] la frecuencia angular es,
= 2f
rad = 6,28 rad x 2,00 Hz = 12,6
s
Por lo tanto segn las ecuaciones [11] y [12],
y,maxV = A
y,max
rad cmV = 12,6 x 5,00 cm = 63,0
s s
2
y,maxa = A
2
y,max 2
rad cma = 12,6 5,00 cm = 794
s s
Ejemplo 4:
La elongacin de un oscilador armnico expresada en el SI es,
-
11
y = - 0,200 sen t +
2
Calcular: (a) su amplitud, (b) su frecuencia angular, (c) su periodo, (d) su frecuencia en Hz, (e) su fase
inicial, (f) su fase en el instante t= 2,00 s, (g) su mxima rapidez, (h) su mxima aceleracin, (i) su
velocidad en el instante t=1,30 s.
Solucin:
Segn la ecuacin [4],
oy = A sen t +
Por lo tanto por comparacin se obtiene,
(a) Amplitud,
A= 0,200 m
(b) Frecuencia angular,
rad =
s
(e) Fase inicial,
o
3 = + rad =
2 2
(c) Segn la ecuacin [5],
2 =
P
El periodo es,
2P =
Por lo tanto,
2P =
rad
s
P = 2,00 s
-
12
(d) De la ecuacin [3],
P f = 1
La frecuencia en Hz es,
1f =
P
1f =
2,0 s
f = 0,50 Hz
(f) Segn la ecuacin [6], la fase es,
o = t +
3 = t +
2
rad 3
= 2,00 s + s 2
7 =
2
Como puede deducirse en t = 2,00 s ha transcurrido un periodo, por lo que el desfase es igual a 2 : pas de
una fase en t = 0 s igual a 3
2 a una fase en t = 2,00 s igual a
7
2.
(g) y (h) Con base en las ecuaciones [11] y [12] se obtiene para la rapidez y aceleracin mximas,
y,maxV = A
y,maxrad m
V = 0,200 m = 0,628 s s
2
y,max 2
rad ma = 0,200 m = 1,97
s s
-
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(i) Segn la ecuacin [7],
y
dyV =
dt
y
rad rad V = - x 0,200 m cos x 1,30 s + rad
s s 2
ym
V = - 0,507 s
Ejemplo 5:
Hallar la diferencia de fase entre los osciladores cuyas elongaciones estn expresadas en el SI como sigue:
(a) 1x = 5,00 sen t 2x = 3,00 cos t
(b) 1x = 4,00 sen t 2y = 2,00 cos t
(c) 1x = 1,50 sen t 2x = -3,00 sen t
(d) 1x = 2,00 sen t 2x = -3,50 cos t
Solucin:
Para encontrar la diferencia de fase entre estos osciladores es necesario obtener sus fases empleando la
misma funcin trigonomtrica para sus elongaciones (ambas expresadas con la funcin seno o ambas con la
funcin coseno). Adems es necesario tener en cuenta que la amplitud es siempre positiva (es la magnitud
de la mxima elongacin).
(a) La elongacin del oscilador 2 se puede transformar as,
2
x = 3,00 sen t +
2
Por lo tanto,
2 1
= - = t + - t
2
=
2
Tambin se habra podido realizar al revs,
-
14
1 2
= - = -
2
(b) En este caso las partculas oscilan en direcciones ortogonales, pero el clculo se hace de igual forma,
2 1
= - = t + - t
2
=
2
(c) La elongacin del oscilador 2 se puede transformar as,
2x = 3,00 sen t +
Por lo tanto,
2 1 = - = t + - t
=
(d) La elongacin del oscilador 2 se puede transformar as,
2
x = 3,50 sen t + +
2
2
3x = 3,50 sen t +
2
Por lo tanto,
2 1
3 = - = t + - t
2
3 =
2
Cinemtica del MAS: MCU. vs MAS.
La proyeccin sobre una lnea recta, de una partcula que se mueve con M.C.U (Movimiento Circular
Uniforme), oscila con M.A.S (Movimiento Armnico Simple).
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Simulacin:
Analizar la simulacin de SimulPhysics correspondiente a M.A.S. vs M.C.U. Para acceder a ella hacer
clic con el mouse en el tem sealado en la Figura 10. Se despliega la simulacin de la Figura 11. En sta
hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
Figura 10
Figura 11
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Anlisis:
El asunto consiste en proyectar las variables cinemticas del MCU sobre una recta: podra ser por ejemplo
sobre el eje X o sobre el eje Y. Si se escoge el eje Y las proyecciones son las componentes rectangulares
en esa direccin. Por lo tanto, apoyndose en las Figuras 12, 13, 14 y empleando las relaciones del
movimiento circular para la velocidad lineal V = A y para la aceleracin centrpeta 2a = A , se obtienen,
oy = A sen t +
y o oV = V cos t + = A cos t +
2y o oa = - a sen t + = - A sen t +
Que son las expresiones cinemticas bsicas del MAS, es decir se concluye que la proyeccin sobre una
recta de una partcula movindose con MCU oscila con MAS.
Figura 12
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17
Figura 13
Figura 14
En las Figuras 15, 16 y 17 se ilustra el mismo anlisis con base en la simulacin correspondiente a la Figura
11.
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18
Figura 15
Figura 16
Figura 17
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Dinmica del MAS: Fuerza recuperadora
Una partcula de masa m que oscila con MAS cumple la ecuacin [9],
2
ya = - y [9]
y por tanto, la fuerza neta que acta sobre ella segn la segunda ley de Newton es,
y yF = m a
2
yF = - m y
yF = - k y [13]
en donde,
2k = m [14]
se denomina constate del MAS.
Por tanto, se concluye que una partcula oscila con MAS si y solo si la fuerza neta que acta sobre ella
cumple que:
sea lineal con la elongacin.
sea recuperadora (se oponga en todo instante a la elongacin). Esto es, apunte en todo instante
hacia la posicin de equilibrio de la partcula.
La fuerza es variable. En la posicin de equilibrio es nula y va aumentando en magnitud cuando el oscilador
avanza hacia los extremos del movimiento hasta alcanzar su valor mximo en estos (2
yF = m A ). Por lo
tanto, las oscilaciones se dan por un compromiso entre la inercia y la fuerza restauradora, ya que aunque en el instante que la partcula pasa por la posicin de equilibrio no est sometida a una fuerza neta, aqu es
nula (en la direccin del movimiento), logra atravesar la posicin de equilibrio; esto es consecuencia de la
inercia.
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20
De la ecuacin [14] se deduce que,
mP = 2 [15]
k
1 kf = [16]
2 m
Ejemplos que se analizarn en el mdulo # 2 (los pndulos y el sistema masa-resorte), llevarn a concluir
que, la fecuencia, el perodo, la frecuencia angular y la constante del MAS, son constantes impuestas por la naturaleza al sistema (son huellas digitales). A la frecuencia se le denomina frecuencia natural o frecuencia propia del oscilador.
Dinmica del MAS: Ecuacin diferencial
La segunda ley de Newton aplicada al oscilador armnico, siendo Fy la fuerza neta que acta sobre l es,
yF = ma y
Combinndola con la ecuacin [13] se obtiene,
- ky = ma y
o en forma diferencial,
2
2
d y- ky = m
dt
2
2
d y k + y = 0
dt m
22
2
d y + y = 0 [17]
dt
denominada la ecuacin diferencial del oscilador armnico.
Escribindola en forma comprimida es,
2 + = 0 [17] y
Esta ecuacin diferencial es lineal, de orden 2 y homognea. Segn la teora de ecuaciones diferenciales,
su solucin corresponde a la siguiente combinacin lineal de seno y coseno,
1 2y = c sen t + c cos t
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21
Redefiniendo constantes, con base en la Figura 18, se obtiene de nuevo la ecuacin [4],
oy = A sen t + [4]
Figura 18
La interpretacin de cada una de las variables y constantes es la que se ha venido sealando. En particular,
la amplitud A y la fase inicial o representan las constantes de integracin y sus valores dependen de las
condiciones iniciales como se demostrar a continuacin:
oy = A sen t +
y oV = A cos t +
Aplicando las condiciones iniciales, es decir los valores de la elongacin y la velocidad en t=0, se obtiene,
o oy = A sen
yo oV = A cos
Dividiendo las dos ecuaciones se llega a,
o
yo
ytan = [18]
V
o
Elevando al cuadrado las ecuaciones y luego sumndolas se obtiene,
2
yo2
o 2
VA = y + [19]
-
22
Observndose cmo es que dependen la amplitud y la fase iniciales de las condiciones iniciales de elongacin
y velocidad.
Ejemplo 6:
Una partcula sujeta a un resorte vertical se hala hacia abajo una distancia de 4,00 cm a partir de la
posicin de equilibrio y se suelta desde el reposo. Si la aceleracin inicial hacia arriba de la partcula es
0,300 m/s2 y contina oscilando armnicamente: (a) Cul es el perodo de las subsecuentes oscilaciones?
(b) A qu velocidad pasa la partcula por la posicin de equilibrio? (c) Cul es la ecuacin de la elongacin
en funcin del tiempo para la partcula? (Escoger la direccin positiva hacia abajo)
Solucin:
En la Figura 19 se ilustra la escena fsica (en t=0 y en un instante t>0). El marco de referencia elegido es el
techo y el sistema de coordenadas elegido es el eje Y con origen en la posicin de equilibrio y apuntando
hacia abajo.
Figura 19
Aunque posiblemente no se empleen todas las ecuaciones cinemticas para resolver el ejercicio, es
saludable hacer el listado de ellas,
oy = A sen t + (1)
y oV = A cos t + (2)
2y oa = - A sen t + (3)
(a) La partcula se suelta del extremo inferior y por lo tanto en ese instante tiene su aceleracin y
elongacin mximas en magnitud,
-
23
2
y,maxa = A (4)
y = A (5)
Entonces A = 0,04 my 2
y,maxa = 0,300 m.s , se obtiene para la frecuencia angular,
y,max2a
A
rad = 2,74
s
Adicionalmente,
2 =
P
Y por lo tanto se obtiene para el periodo,
2P =
P = 2,292 s
(b) Por la posicin de equilibrio la partcula pasa con la rapidez mxima,
y,maxV = A
y por lo tanto,
y,max
rad mV = 2,74 x 0,04 m= 0,110
s s
(c) La ecuacin de la elongacin de la partcula est dada por la ecuacin (1),
oy = A sen t + (1)
Como la partcula se solt del extremo inferior la fase inicial del oscilador es o
= 2
ya que en ese
instante y = +A , por lo tanto la ecuacin de la elongacin del oscilador expresada en el SI es,
y = 0,04 sen 2,74 t +
2
-
24
Tarea: Si el sistema coordenadas, en este caso el eje Y, se hubiera tomado apuntando hacia arriba
encontrar la ecuacin de la elongacin.
Rp. 3
y = 0,04 sen 2,74 t + 2
Ejemplo 7:
Una partcula que se cuelga de un resorte ideal tiene una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte se
cuelga del techo de un elevador, y cuelga sin movimiento (respecto al elevador) conforme el elevador
desciende con una rapidez constante de 1,50 m/s. El elevador se para repentinamente y la partcula
contina oscilando armnicamente: (a) Con qu amplitud oscilar la partcula? (b) Cul es la ecuacin de la
elongacin en funcin del tiempo para la partcula? (Escoger la direccin positiva hacia abajo).
Solucin:
En la Figura 20 se ilustra la escena fsica (en t=0 y en un instante t>0). El marco de referencia elegido es el
techo del ascensor y el sistema de coordenadas elegido es el eje Y con origen en la posicin de equilibrio y
apuntando hacia abajo.
Figura 20
Aunque posiblemente no se empleen todas las ecuaciones cinemticas para resolver el ejercicio, es
saludable hacer el listado de ellas,
oy = A sen t + (1)
y oV = A cos t + (2)
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25
2y oa = - A sen t + (3)
(a) Al detenerse el ascensor la partcula sigue con la velocidad de ste (ley de inercia). En ese instante la
partcula se encuentra en la posicin de equilibrio y por lo tanto su rapidez equivale a la mxima,
y,maxV = A
Como -1 = 2,00 rad.s y 1y,maxV = 1,50 m.s se obtiene para la amplitud,
y,maxVA
1
1
1,50 m.sA = 0,750 m
2,00 rad.s
(b) La ecuacin de la elongacin de la partcula est dada por la ecuacin (1),
oy = A sen t + (1)
Como la partcula en t-0 se encontraba en la posicin de equilibrio y con velocidad apuntando en el sentido
positivo de Y, la fase inicial del oscilador es o = 0 ya que en ese instante y = 0y Vy > 0, por lo tanto la
ecuacin de la elongacin del oscilador expresada en el SI es,
y = 0,750 sen 2,00 t
Tarea: Si el sistema coordenadas, en este caso el eje Y, se hubiera tomado apuntando hacia arriba
encontrar la ecuacin de la elongacin.
Rp. y = 0,750 sen 2,00 t +
Taller
1. La elongacin de un oscilador armnico en el SI est dada por la ecuacin,
x = 0,30 cos 8 t
Determinar para este oscilador: (a) fase inicial, (b) amplitud, (c) frecuencia en Hz, (d) periodo, (e)
rapidez mxima, (f) aceleracin mxima, (g) ecuacin de la velocidad en funcin del tiempo, (h) ecuacin
de la aceleracin en funcin del tiempo, (i) ecuacin de la aceleracin en funcin de la elongacin.
Ayuda: si se trabaja con la ecuacin en funcin coseno (como fue dada), la fase inicial ser 0. Si se
trabaja la ecuacin en funcin de seno la fase inicial es
2. Ambos resultados SON EQUVALENTES.
-
26
Rp. (b) 0,30 m (c) 1,27 Hz, (d) 0,79 s, (e) 2,4 m/s, (f) 19 m/s2.
2. El cono de un parlante vibra con MAS a una frecuencia de 262 Hz. La amplitud en el centro del cono es
1,5x10-4 m y en t=0, la elongacin es igual a su amplitud (y=+A). Encontrar la ecuacin de la elongacin
en funcin del tiempo.
Rp. Su ecuacin en el SI es -4
y = 1,510 sen 1650 t + 2
.
3. Hallar la diferencia de fase entre los osciladores cuyas elongaciones estn expresadas en el SI como
sigue:
(a) 1x = -2,00 sen t 2x = 3,00 cos t
(b) 1x = 4,00 sen t 2y = -2,00 cos t
4. Una partcula se mueve con MCU con una velocidad angular igual a 2,00 rad.s-1. Si el radio de su
trayectoria es igual a 10,0 cm y su posicin angular inicial es o
=
12, encontrar las ecuaciones
cinemticas para la elongacin, la velocidad y la aceleracin de la oscilacin de la sombra de la partcula
tanto en X, m1, como en Y, m2, Figura 21.
Figura 21
Rp. para m1,
La ecuacin de la elongacin se obtiene por simple anlisis trigonomtrico (componente rectangular),
x = 0,100 cos 2 t +
12
Las de velocidad y aceleracin se pueden obtener simplemente derivando respecto a l tiempo,
-
27
x
V = - 0,200 sen 2 t +
12
x
a = - 0,400 cos 2 t +
12
Rp. para m2,
La ecuacin de la elongacin se obtiene por simple anlisis trigonomtrico (componente rectangular),
y = 0,100 sen 2 t +
12
Las de velocidad y aceleracin se pueden obtener simplemente derivando respecto a l tiempo,
y
V = 0,200 cos 2 t +
12
y
a = - 0,400 sen 2 t +
12
FIN.
