Modulatori Ottici
Modulatori Ottici.
Introduzione.
I modulatori ottici sono dispositivi che impiegano determinati
materiali cristallini, i quali manifestano particolari propriet
adatte alla modulazione dell'onda luminosa. Essa, infatti, pu
essere modulata in intensit (ampiezza), fase, frequenza o
polarizzazione a seconda della sorgente, del mezzo e del
rivelatore.
I modulatori ottici vengono normalmente impiegati nei sistemi di
comunicazione in fibra ottica. Normalmente per questo tipo di
applicazioni viene utilizzata la modulazione di ampiezza, come
accade nei laser ad iniezione e nei LED, facendo variare la
corrente di pilotaggio. Per realizzare modulatori ad elevata
efficienza e velocit, si utilizzano invece gli effetti
elettro-ottico e acusto-ottico, il cui funzionamento si basa sulla
variazione dell'indice di rifrazione di un cristallo, generato
rispettivamente da un campo elettrico o da una tensione meccanica.
I modulatori basati su questi effetti realizzano la modulazione di
fase (diretta o attraverso variazioni di polarizzazione) o
frequenza, che poi, tramite componenti passivi, viene trasformata
in modulazione di ampiezza; essi sono utilizzati anche per la
modulazione della radiazione all'interno di risonatori per
realizzare sistemi laser pulsanti (Q-switching, cavity dumping e
mode locking).
Ci sono quattro tecniche principali per la realizzazione dei
modulatori ottici:
1. La prima tecnica consiste nella MODULAZIONE DIRETTA o
INTERNA; questa concettualmente la tecnica pi semplice e consiste
nel modulare in ampiezza la radiazione di uscita di un diodo LED o
laser attraverso la modulazione di ampiezza della corrente di
iniezione del dispositivo.
2. La seconda tecnica, basata sull'effetto PLASMA OTTICO,
utilizza le variazioni delle propriet ottiche di un semiconduttore
(dell'indice di rifrazione n e del coefficiente di assorbimento )
al variare della concentrazione dei portatori liberi n e p.
3. La terza tecnica sfrutta l'effetto ELETTRO-OTTICO, che si
basa sulla variazione delle propriet ottiche di un cristallo,
quando questo viene sottoposto all'azione di un campo elettrico;
per una migliore comprensione di questa tecnica sar necessario
trattare la propagazione in mezzi anisotropi.
4. L'ultima tecnica sfrutta invece l'effetto ACUSTO - OTTICO:
analogo al precedente con la differenza che in questo caso la
sollecitazione di tipo elastico (onda acustica).
Modulazione diretta.
Nelle sorgenti di radiazione a semiconduttori, la potenza del
fascio di uscita dipende dall'intensit della corrente di iniezione
ed dunque naturale utilizzare questa propriet per modulare
l'ampiezza della radiazione.
Le modalit sono diverse a seconda che si usino diodi LED oppure
diodi laser e, dunque, in questa sezione, saranno descritte
brevemente le caratteristiche della modulazione di ampiezza diretta
o interna (modulazione del segnale di uscita attraverso la
modulazione della corrente di iniezione) separatamente per ciascuna
delle due classi di dispositivi.
In tabella 1 sono riportati i principali parametri
caratteristici dei diodi LED e laser in modo da valutarne le
prestazioni nei sistemi di comunicazione in fibra ottica:
ParametroLED a bassa radianzaLED ad alta radianzaDiodi laserUnit
di misura
Caduta di tensione222V
Corrente di iniezione50 30050 30050 300mA
Corrente di soglia--50 200mA
Potenza d'uscita1 31 201 100MW
Efficienza di accoppiamento in fibra0.1 30.2 105 50%
Larghezza spettrale30 10030 1001 10nm
Brillanza1 101 1000105W / cm2
Tempo di salita5 502 200.01 1ns
Risposta in frequenza5 7020 20050 2000MHz
Non linearit0.1 100.1 100.1 20%
Vita media a 25C> 106> 106> 106ore
Temperatura di operazione-55 130-55 90-55 70C
Tab.1Parametri caratteristici di diodi LED e laser
Modulazione dei diodi LED.
Un diodo LED costituito essenzialmente da una giunzione PN
polarizzata direttamente; nella regione di interfaccia avviene la
ricombinazione delle coppie elettrone - lacuna che consente la
produzione di fotoni. Il numero di fotoni generati dipende quasi
linearmente dalla corrente di iniezione e cos pure la potenza. La
modulazione del fascio di uscita si ottiene modulando la corrente
di iniezione.
E' interessante notare che, essendo assente un effetto soglia,
la modulazione diretta di un LED pu essere eseguita anche per
valori della corrente di iniezione molto piccoli.
Il comportamento ad elevate frequenze di modulazione limitato
dal tempo di vita medio di ricombinazione dei portatori, che nei
semiconduttori a gap diretto (GaAs), pesantemente drogati
(>1019cm-3 ), dell'ordine della decina di nanosecondi. Pertanto,
i tempi di salita tipici dei diodi LED (che sono appunto legati
alla variazione della concentrazione dei portatori quindi alle
variazioni di corrente e quindi alle variazioni della luce) variano
tipicamente da 1 a circa 100 ns corrispondenti a bande dell'ordine
del centinaio di megaHertz.
Per quanto concerne la linearit, la risposta di un LED pu
presentare un certo grado di non linearit, con conseguenti
distorsioni della risposta in frequenza, che possono essere dovute
anche ad effetti termici prodotti nella giunzione essendo la
caratteristica di uscita del diodo LED dipendente dalla temperatura
della giunzione.
Questi effetti possono essere eventualmente compensati
utilizzando dei particolari circuiti di pilotaggio contenenti un
certo grado di distorsione capaci di compensare la distorsione
introdotta dal LED; in figura 1 riportato lo schema di un circuito
di compensazione della non linearit dell'intensit luminosa.
Fig. 1Circuito di compensazione delle non linearit di un LED
tramite un normale diodo.
A parit di tensione di alimentazione V del circuito, la corrente
totale I data dal contributo di due correnti: ILED e ID. A causa
della non linearit, l'intensit luminosa nel LED non varia
linearmente con la corrente; quest' ultima si ripartisce nei due
rami a seconda della caratteristica corrente - tensione dei due
componenti.
Si vuol fare in modo che al variare della corrente I, una parte
maggiore o minore di essa venga fatta scorrere nell'altro ramo (
quello con il diodo e la resistenza in serie ). Ad esempio, nel
caso di figura 1, a parit di tensione, il LED tende ad assorbire
una maggiore corrente, e ci potrebbe bilanciare l'aumento meno che
lineare della luce (fig. 2):
Fig. 2Andamento meno che lineare della luce.
Modulazione di diodi laser.
La modulazione diretta di un diodo laser pi complicata di quella
realizzabile nei diodi LED a causa dell'effetto soglia presente
nella caratteristica di uscita che lega la potenza emessa alla
corrente di iniezione (fig. 3):
Fig. 3Caratteristica di un diodo laser.
Questo risulta particolarmente evidente quando si analizza la
risposta di un diodo laser sottoposto ad un gradino di
corrente:
Fig. 4a) Gradino di corrente
b) Impulso luminoso ritardato di un tempo ts ( tr.
Dalle figure 4a) e 4b) si pu notare che il laser risponde con un
gradino di intensit luminosa ritardato di un certo tempo tr ,
dovuto al fatto che il diodo laser impiega un certo tempo ts per
raggiungere la soglia dell'emissione stimolata. Questo ritardo pu
essere cos espresso:
(1)
dove i l'ampiezza del gradino di corrente applicato al diodo
laser, is la corrente di soglia e (sp il tempo di ricombinazione
elettrone - lacuna per emissione spontanea.
Poich nella maggior parte dei casi il restante tempo di salita
del laser, dopo aver raggiunto la soglia, molto basso si pu
scrivere:
(2)
Dalla caratteristica di uscita di un diodo laser, si pu vedere
che il modo pi semplice per ridurre il tempo di ritardo
l'applicazione al diodo laser di una corrente di polarizzazione, in
modo da tenerlo appena sotto o appena sopra soglia. Si pu dunque
scrivere:
(3)
dove ib la corrente di polarizzazione.
Frequency chirping.
Nella modulazione diretta dei diodi laser occorre tenere
presente l'effetto del Frequency Chirping, che consiste in una
modulazione di frequenza della radiazione luminosa in uscita dovuta
a variazioni dell'indice di rifrazione n del semiconduttore dovute
a loro volta a variazione di concentrazione dei portatori liberi.
Questo effetto deve essere tenuto in debita considerazione quando
si progettano sistemi di trasmissione in fibra ottica ad elevato
bit rate e su grandi distanze.
Modulatori a semiconduttore (effetto plasma ottico).
I modulatori ottici realizzati con materiali a semiconduttore
utilizzano le variazioni dell'indice di rifrazione n e del
coefficiente di assorbimento di un semiconduttore quando viene
cambiata la concentrazione dei portatori liberi in accordo alle
seguenti relazioni:
(4a)
(4b)
dove
e la carica dell'elettrone
( la lunghezza d'onda della radiazione incidente
c la velocit della luce nel vuoto
n l'indice di rifrazione del semiconduttore
0 la costante dielettrica del vuoto
N la variazione della concentrazione dei portatori rispetto
all'equilibrio
m la massa efficace
( la mobilit
i pedici e e h si riferiscono rispettivamente agli elettroni e
alle lacune.
Sfruttando le variazioni di n e di , al variare della
concentrazione dei portatori, si possono costruire dei modulatori,
rispettivamente di ampiezza e di fase.
Modulatori in assorbimento (FCAM: free carrier absorption
modulator)
Il modo pi semplice per realizzare un modulatore di ampiezza con
un dispositivo a semiconduttore basato sull'uso di un diodo (fig.
5) in cui il fascio ottico da modulare viene fatto passare
parallelamente alla giunzione del diodo.
Fig. 5Schema di principio di un modulatore d'ampiezza in silicio
basato sul fenomeno dell'assorbimento da parte dei portatori
liberi.
Quando il diodo polarizzato direttamente, una variazione della
corrente di iniezione induce una variazione della concentrazione
dei portatori in prossimit della giunzione e, quindi, attraverso
una variazione del coefficiente di assorbimento genera una
modulazione del fascio ottico che attraversa la giunzione ( = f ( I
)).
Questo dispositivo presenta l'inconveniente di poter essere
utilizzato efficientemente solo a lunghezze d'onda molto grandi
(decina di micron). L'uso di questi modulatori a lunghezze d'onda
pi piccole reso complicato dal fatto che le variazioni del
coefficiente di assorbimento sono proporzionali al quadrato della
lunghezza d'onda della radiazione da modulare. Ci implica che la
stessa variazione della concentrazione di portatori provoca ad 1 m
un effetto cento volte pi piccolo di quello che si avrebbe
utilizzando una radiazione a 10 m.
Da queste considerazioni si comprende il motivo per cui un
modulatore basato su variazioni del coefficiente di assorbimento
non possa avere, nel vicino infrarosso, una lunghezza L inferiore a
5mm.
Modulatori a variazione di fase (FPOM: Fabry Perot optical
modulator)
Le equazioni (4a) e (4b) mostrano che le variazioni del
coefficiente di assorbimento sono sempre accompagnate da una
variazione dell'indice di rifrazione e, quindi, della fase del
fascio che attraversa il semiconduttore. Questo rende possibile
realizzare modulatori di ampiezza utilizzando uno schema
interferometrico capace di trasformare le variazioni dell'indice di
rifrazione del semiconduttore in modulazioni di ampiezza del fascio
ottico.
Lo schema che consente di realizzare i modulatori pi efficienti
basato sull'uso dell'effetto Fabry Perot ed rappresentato in figura
6.
Fig. 6Schema di principio di un modulatore di ampiezza in
silicio sull'uso dell'interferometro Fabry Perot.
Il dispositivo pu essere facilmente realizzato utilizzando uno
strato di un diodo al silicio (P-N-) lavorato otticamente alle
facce terminali, le quali possono essere a contatto con ossido di
silicio; attraverso questo strato si propaga la radiazione da
modulare. Queste facce funzionano come specchi piani paralleli e
costituiscono nell'insieme una configurazione Fabry Perot. Quando
il diodo polarizzato direttamente, variando la corrente di
iniezione, varia la concentrazione dei portatori, quindi anche
l'indice di rifrazione del mezzo e quindi la frequenza naturale
della fibra; in altre parole si ha un modo che oscilla all'interno
della zona N-: variando n si sposta la curva di risonanza, che ora
non pi centrale, e quindi si ha una modulazione (fig. 7).
Fig. 7Variazione di frequenza naturale della fibra.
Questi dispositivi sono facilmente integrabili sia con
dispositivi elettronici che ottici ed inoltre non presentano
eccessivi problemi costruttivi.
Per completezza citiamo un ultimo effetto.
EFFETTO FRANZ KELDISH.
Se un semiconduttore sottoposto all'azione di un campo
elettrico, il profilo delle bande di valenza e di conduzione pu
modificarsi inducendo una variazione del coefficiente di
assorbimento ottico. Questa variazione pu portare ad un cambiamento
del valore dell'ampiezza della banda proibita (gap) e quindi ad una
modulazione di ampiezza indotta dal campo applicato.
E' un metodo che presenta una bassa efficienza dal momento che
richiede valori elevati del campo elettrico ed quindi usato assai
raramente.
Fig. 8Tipico andamento del coefficiente di assorbimento in un
semiconduttore in funzione della differenza tra l'energia del
fotone incidente e quella del gap, per diversi valori dell'ampiezza
di un campo elettrico applicato all'esterno.
Modulatori basati sull'effetto elettro-ottico.
Prima di procedere con la trattazione di questo tipo di
modulatori occorre fare delle premesse di carattere fisico.
La polarizzazione delle onde luminose.
Una perturbazione ottica una quantit vettoriale la cui direzione
del vettore non coincide con la direzione di propagazione. Questo
vettore detto vettore ottico. Per un'onda luminosa piana che si
propaga in un mezzo isotropo il vettore ottico ortogonale alla
direzione di propagazione. Generalmente si assume come vettore
ottico il campo elettrico.
Consideriamo un'onda luminosa incidente perpendicolarmente su
una lamina polarizzatrice. Questa lamina trasmette la luce senza
assorbimento apprezzabile se il vettore ottico parallelo ad una
certa direzione preferenziale della lamina, l'asse di trasmissione
della lamina, mentre l'assorbe completamente se il vettore ottico
ortogonale a questa direzione preferenziale. Nel caso in cui il
vettore ottico abbia una direzione intermedia lo si pu pensare come
la combinazione di due vettori uno perpendicolare ed uno parallelo
all'asse di trasmissione della lamina polarizzatrice. La lamina
trasmetter la componente parallela al suo asse di trasmissione ed
assorbir la componente ortogonale. L'onda uscente dalla lamina avr
il vettore ottico parallelo all'asse di trasmissione e diremo che
quest'onda polarizzata linearmente. Chiameremo il piano contenente
la direzione di propagazione e il vettore ottico piano di
vibrazione. Ogni sistema ottico capace di trasmettere solo luce
linearmente polarizzata verr detto filtro polarizzatore.
a)b)c)
Fig. 9Nei tre casi sopra disegnati la lamina polarizzatrice ha
l'asse di trasmissione verticale (frecce verticali). Nel caso a)
l'onda incidente ha il vettore ottico parallelo all'asse di
trasmissione della lamina e quindi il suo stato di polarizzazione
non subisce alterazioni.
Nel caso b) l'onda incidente ha il vettore ottico ortogonale
all'asse di trasmissione e quindi la lamina polarizzatrice assorbe
l'onda.Nel caso c) il vettore ottico ha un'inclinazione arbitraria
rispetto all'asse di trasmissione. In questo caso l'onda emergente
dalla lamina la componente dell'onda incidente parallela all'asse
di trasmissione.
Supponiamo ora che l'onda polarizzata uscente da un primo
polarizzatore venga fatta passare attraverso un secondo
polarizzatore. L'ampiezza dell'onda trasmessa dal secondo filtro
sar proporzionale al coseno dell'angolo tra il vettore ottico
dell'onda polarizzata e l'asse di trasmissione del secondo
filtro.
Fig. 10In questa immagine sono evidenziate le componenti del
campo rispetto all'asse di trasmissione della seconda lamina
Sovrapposizione di onde polarizzate: la polarizzazione ellittica
e circolare.
Consideriamo due onde luminose sinusoidali linearmente
polarizzate aventi stessa frequenza e viaggianti nella stessa
direzione. Se i loro vettori ottici sono paralleli, si combinano in
un'unica onda linearmente polarizzata la cui ampiezza e fase sono
funzioni delle ampiezze e delle fasi delle onde componenti. Ci
proponiamo di studiare la natura dell'onda risultante nel caso in
cui le due perturbazioni ottiche siano mutuamente ortogonali.
Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane con l'asse x
nella direzione di propagazione, l'asse y parallelo al vettore
ottico di un'onda, e l'asse z parallelo al vettore ottico
dell'altra onda.
Fig. 11In questa immagine sono mostrate le due onde Ez ed Ey e
la risultante E
I vettori ottici delle due onde sono rappresentati da
espressioni del tipo
(5)
Le funzioni Ey ed Ez rappresentano anche le componenti del
vettore ottico risultante E lungo gli assi y e z. In un dato punto
dello spazio, questo vettore varia nel tempo sia in lunghezza che
in direzione. Il suo vertice descrive una curva, di cui le
equazioni (5) sono le equazioni parametriche. Per determinare la
forma di questa curva , dobbiamo solamente eliminare t tra le due
equazioni. A questo fine indichiamo con la differenza di fase tra
le due oscillazioni e ridefiniamo l'origine dei tempi ponendo cos
le equazioni (5) diventano
(6)
Da queste equazioni otteniamo
e, dopo alcuni semplici passaggi, otteniamo
(7)
Questa l'equazione di un'ellisse, e quindi concludiamo che il
vertice del vettore che rappresenta la perturbazione ottica in un
dato punto dello spazio descrive un'ellisse nel piano
perpendicolare alla direzione di propagazione. Esprimiamo questo
fatto dicendo che l'onda polarizzata ellitticamente.
Notiamo che in ogni istante il modulo del vettore E della
perturbazione ottica risultante dato dall'equazione
(8)
Le equazioni (5) mostrano che Ey varia da +Ay a -Ay e che Ez
varia da +Az a -Az. Quindi l'ellisse rappresentata da queste
equazioni, o dall'equazione (7) inscritta in un rettangolo con lati
di lunghezza 2Ay e 2Az. Se le due oscillazioni sono in fase, cio se
con N l'ellisse degenera in un segmento rettilineo coincidente con
la diagonale del rettangolo che giace nel primo e nel terzo
quadrante (fig. 12b). Infatti in questo caso l'equazione (6) d
.
Se con n( N l'equazione (6) d.
L'onda risultante ancora linearmente polarizzata, ma ora la
perturbazione ottica parallela all'al-tra diagonale del rettangolo,
cio a quella che giace nel secondo e quarto quadrante. (fig. 12c)
.Se con n( N l'equazione (7) diventa , che l'equazione di
un'ellisse avente gli assi nelle direzioni y e z (fig. 12d). Se in
particolare, Ay = Az, l'ellisse degenera in una circonferenza e si
dice che l'onda polarizzata circolarmente. In questo caso il
vettore che rappresenta la perturbazione ottica in un dato punto
ruota con velocit angolare costante senza variare in modulo.
a)b)c)d)
Fig. 12Stati di polarizzazione corrispondenti a differenti
valori della differenza di fase (
Vediamo di comprendere quale sia la direzione di rotazione del
vettore ottico nel caso di polarizzazione ellittica o circolare. A
questo fine consideriamo la posizione del vettore ottico al tempo t
= 0 e al tempo t = (, dove ( una piccola frazione del periodo T.
Queste posizioni sono mostrate dai segmenti OP1 e OP2 della figura
13.
a)b)
Fig. 13Nel caso a) 0 < ( < ( : il vettore ottico ruota in
senso orario.Nel caso b) ( < ( < 2(: il vettore ottico ruota
in senso antiorario.
Dalla (6), troviamo che
a t = 0:
a t = (:
Ricordiamo ora che se il suo argomento giace tra 0 e il coseno
una funzione decrescente dell'argomento, mentre una funzione
crescente del suo argomento se questo giace tra 0 e -. Quindi, se
risulta 0 < ( < (, Ez una funzione decrescente del tempo a t
= 0 il punto P2 giace al di sotto del punto P1, e il vettore ottico
ruota in senso orario rispetto all'osservatore verso cui viaggia
l'onda (fig. 13a). Se, invece, -( < ( < 0, Ez una funzione
crescente del tempo a t = 0 e il vettore ottico ruota in senso
antiorario rispetto all'osservatore verso cui viaggia l'onda (fig.
13b).
In conclusione per un'onda viaggiante nella direzione dell'asse
x di un sistema cartesiano di riferimento destrorso, troviamo che
rispetto ad un osservatore posto di fronte alla sorgente, il
vettore ottico ruota in senso orario o antiorario a seconda che la
componente z anticipi o ritardi rispetto alla componente y di un
angolo di fase minore di .
Propriet fondamentale dei mezzi anisotropi.
Fino ad ora abbiamo concentrato la nostra attenzione nei mezzi
isotropi ovvero in quei materiali in cui le propriet ottiche siano
le stesse in tutte le direzioni. Vediamo ora di spostare la nostra
attenzione verso quei materiali in cui le propriet ottiche variano
a seconda della direzione ovvero i mezzi anisotropi. Questa
anisotropia viene spesso chiamata anche birifrangenza.
Propriet fondamentale di questi mezzi la seguente: per ogni
direzione di propagazione in un mezzo anisotropo ci sono solo due
onde, vibranti in uno o nell'altro di due piani mutuamente
ortogonali, che conservano il loro stato di polarizzazione mentre
viaggiano attraverso il mezzo. In altre parole per i mezzi
anisotropi ci sono due direzioni preferenziali tali che le onde
polarizzate linearmente secondo queste direzioni non subiscono
alterazioni del loro stato di polarizzazione nell'attraversamento
del mezzo. Queste due direzioni preferenziali vengono definite come
gli assi principali del mezzo. Differentemente una distribuzione di
campo con polarizzazione generica incidente su un mezzo anisotropo
dovr essere scomposta negli stati di polarizzazione consentita
ognuno dei quali si propaga senza alterazioni, ma con velocit di
fase diverse. Infatti altra importante caratteristica dei mezzi
anisotropi che le velocit di propagazione delle onde lungo gli assi
principali del mezzo sono diverse.
La produzione di luce polarizzata ellitticamente e
circolarmente.
Vediamo ora di analizzare come varia lo stato di polarizzazione
di un'onda polarizzata linearmente quando attraversa una lamina
birifrangente.
Siano y e z gli assi della lamina e ny e nz i rispettivi indici
di rifrazione. Le corrispondenti velocit di propagazione lungo y e
z sono: e .
Supponiamo, per esempio, che ny < nz di modo che la velocit
di propagazione dell'onda che viaggia lungo y sia maggiore di
quella che viaggia lungo z.
Sia E il vettore ottico dell'onda luminosa linearmente
polarizzata incidente sulla lamina. Scomponiamo l'onda incidente
(che supponiamo essere monocromatica ) in due onde con i piani di
vibrazione rispettivamente paralleli all'asse y e z.
Fig. 14Produzione di luce polarizzata ellitticamente
Quando entrano nella lamina, l'onda incidente e le sue
componenti hanno la stessa fase. I moduli dei tre vettori ottici
corrispondenti sono del tipo
(9)
dove e .
Nella lamina, le onde onde viaggiano con velocit vy e vz. Se d
lo spessore della lamina il tempo necessario per attraversare la
lamina e per l'onda nella direzione y e z rispettivamente. Perci
quando le due onde escono dalla lamina i loro vettori ottici sono
rappresentati dalle seguenti equazioni:
(10)
dove (0 la lunghezza d'onda nel vuoto. Vediamo quindi che le due
onde emergenti hanno fasi diverse. Infatti, l'oscillazione
parallela all'asse z ritarda rispetto a quella parallela all'asse y
di un angolo di fase
(11)
Come spiegato precedentemente le due oscillazioni si ricombinano
per produrre un'onda polarizzata ellitticamente. Concludiamo perci
che, in generale, il passaggio attraverso una lamina birifrangente
muta un'onda polarizzata linearmente in un'onda polarizzata
ellitticamente.
Lamine a quarto d'onda e lamine a mezzo d'onda.
Consideriamo ora il caso in cui le componenti dell'onda
incidente abbiano una differenza di fase (, ovvero che , .
Supponiamo per semplicit che Ay = Az. In questo caso l'onda in
ingresso sar polarizzata circolarmente se ( = (/2, mentre sar
polarizzata linearmente e con la direzione di polarizzazione
parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante se ( = 0.
La differenza di fase tra le componenti Ey ed Ez dell'onda
emergente, (u, data dalla relazione
.(12)
Tra gli infiniti valori che pu assumere ((, i pi interessanti
sono e .
Lamina a Il primo caso quello in cui che provoca uno sfasamento
tra le due onde uscenti dalla lamina pari a . Questo facilmente
dimostrabile:
In questo caso gli assi dell'ellisse coincidono con le direzioni
y e z. L'ellisse descritta in senso antiorario. Una lamina di
spessore d tale che , cio, una lamina in cui le lunghezze dei
cammini ottici delle due onde che vibrano nei piani paralleli ai
due assi differiscono di detta lamina a quarto d'onda.
Nel nostro caso specifico se l'onda incidente polarizzata
linearmente, ( = 0, l'onda emergente sar polarizzata circolarmente
(fig. 15). Infatti .
Onda incidenteOnda emergente
Fig. 15Lamina a quarto d'onda con onda incidente polarizzata
linearmente.
Se invece l'onda incidente polarizzata circolarmente, , l'onda
emergente sar polarizzata linearmente lungo la bisettrice del
secondo e quarto quadrante (fig. 16). Infatti .
Onda incidenteOnda emergente
Fig. 16Lamina a quarto d'onda con onda incidente polarizzata
circolarmente.
Quindi, possiamo ottenere luce polarizzata circolarmente ponendo
lungo il cammino ottico di un'onda polarizzata linearmente una
lamina a quarto d'onda con gli assi inclinati a 45 rispetto al
piano di vibrazione dell'onda incidente.
Lamina a Il secondo caso quello in cui lamina a mezzo d'onda, in
cui lo sfasamento introdotto dalla lamina . Questo facilmente
dimostrabile:
Una lamina di spessore d tale che , cio, una lamina in cui le
lunghezze dei cammini ottici delle due onde che vibrano nei piani
paralleli ai due assi differiscono di detta lamina a mezzo
d'onda.
Nel nostro caso specifico se l'onda incidente polarizzata
linearmente, ( = 0, l'onda emergente sar ancora polarizzata
linearmente ma la sua direzione sar parallela alla bisettrice del
secondo e quarto quadrante (fig. 17). Infatti .
Onda incidenteOnda emergente
Fig. 17Lamina a mezzo d'onda con onda incidente polarizzata
linearmente.
Se invece l'onda incidente polarizzata circolarmente, , l'onda
emergente sar ancora polarizzata circolarmente ma con verso di
rotazione opposto (fig. 18). Infatti .
Onda incidenteOnda emergente
Fig. 18Lamina a mezzo d'onda con onda incidente polarizzata
circolarmente.
Il Tensore dielettrico in un mezzo anisotropo.
In un mezzo isotropo, la polarizzazione indotta sempre parallela
al campo elettrico applicato ed in relazione con questo tramite uno
scalare indipendente dalla direzione in cui il campo elettrico
applicato (dipende quindi solo dalla sua intensit). Questo non pi
vero in un mezzo anisotropo, se si escludono particolari direzioni.
In questi materiali la polarizzazione indotta dipender
dall'ampiezza e dalla direzione lungo cui applicato il campo
elettrico secondo la relazione
(13)
dove P il vettore polarizzazione indotta, E il vettore campo
elettrico e ( il tensore suscettibilit elettrica. L'ampiezza dei
termini (ijdipende ovviamente dalla scelta degli assi x, y e z
rispetto alla struttura cristallina del mezzo. Scegliendo come assi
x, y e z gli assi principali del mezzo la matrice che rappresenta
il tensore ( diventa diagonale riducendo cos la relazione tra P ed
E a
.(14)
Possiamo anche scrivere la risposta dielettrica del mezzo
tramite il tensore permeattivit dielettrica (ij con la relazione
matriciale
(15)
dove D il vettore spostamento elettrico.
Dall'equazione costitutiva D = (0 E + P ricaviamo che
(16)
Anche in questo caso con l'opportuna scelta degli assi x, y e z
fatta prima, riesco a diagonalizzare la matrice del tensore
permeabilit dielettrica. La relazione (15) pu anche essere espressa
in forma tensoriale Di = (ij Ej.
L'ellissoide di Fresnel o ellissoide degli indici.
Un mezzo isotropo caratterizzato da un unico parametro, l'indice
di rifrazione, che determina la velocit di propagazione nel
mezzo.
In un mezzo anisotropo invece non c' un'unica velocit di
propagazione e quindi un unico indice di rifrazione. Esiste per la
possibilit di descrivere completamente le propriet ottiche di
questi mezzi assegnando tre direzioni caratteristiche mutuamente
ortogonali, Ox, Oy e Oz e tre corrispondenti costanti n1, n2 e n3,
dette indici di rifrazione principali. Le due onde piane che
viaggiano nella direzione dell'asse x hanno i piani di vibrazione
paralleli agli assi y e z, e le velocit di propagazione sono e
rispettivamente. Le due onde che viaggiano nella direzione
dell'asse y hanno i piani di vibrazione paralleli agli assi x e z,
con velocit di propagazione e v3 rispettivamente. Le due onde che
viaggiano nella direzione dell'asse z hanno i piani di vibrazione
paralleli agli assi x e y, con velocit di propagazione v1 e v2
rispettivamente. Notare che le velocit di propagazione dipendono
dalla direzione di vibrazione e non dalla direzione di
propagazione. Quindi per esempio, l'onda che vibra in una direzione
parallela all'asse x ha la stessa velocit di propagazione sia che
si propaghi in una direzione parallela all'asse y che ad una
parallela all'asse z.
Per determinare i piano di vibrazione e le velocit di
propagazione delle due onde che si propagano in una qualsiasi
direzione diversa da Ox, Oy o Oz, usiamo il seguente metodo.
Dapprima costruiamo l'ellissoide (fig. 11a) i cui tre semiassi sono
paralleli a Ox, Oy e Oz, e che hanno lunghezza uguale
rispettivamente a n1, n2 e n3. L'equazione di questo ellissoide
.(17)
a)b)
Fig. 19Ellissoide di rotazione.
Assegnata la direzione di propagazione, s, costruiamo poi un
piano perpendicolare a questa direzione (cio parallelo al
corrispondente fronte d'onda) e passante per il centro
dell'ellissoide. L'intersezione del piano con l'ellissoide
un'ellisse. Gli assi di quest'ellisse sono paralleli ai piani di
vibrazione delle due onde piane che viaggiano invariate nella
direzione assegnata. Le lunghezze dei semiassi sono numericamente
uguali ai due corrispondenti indici di rifrazione (fig 19b).
Apriamo una parentesi per spiegare da dove deriva l'equazione
(17).
La superficie a densit di energia costante Ue nello spazio D
data dalla relazione pu essere scritta nella forma dove (x, (y, (z
sono le costanti dielettriche principali. Se sostituiamo a e
definiamo gli indici di rifrazione degli assi principali come nx,
ny e nz, con (i = x, y, z), l'ultima equazione pu essere scritta
nella forma
(18)
Questa equazione la generica equazione di un ellissoide con gli
assi principali paralleli agli assi x, y e z e lunghi 2nx, 2ny e
2nz rispettivamente. Questo ellissoide noto come ellissoide degli
indici o di Fresnel o indicatrice ottica. La propagazione
dell'energia descritta dal vettore di Poynting che dato dalla
perpendicolare al piano tangente all'ellissoide nell'intersezione
tra l'ellissoide stesso e la retta parallela alla direzione di
propagazione per l'origine (fig. 20)
Fig. 20Piano tangente all'ellissoide nel punto Q e vettore di
Poynting.
Per i materiali di tipo isotropo in cui gli indici di rifrazione
sono gli stessi in tutte e tre le direzioni, l'ellissoide di
Fresnel degenera in una sfera. Per i cristalli anisotropi in cui
due degli indici principali di rifrazione sono uguali (n1 = n2 = n0
e n3 = ne ), definiti cristalli uniassiali, l'ellissoide di Fresnel
un ellissoide di rotazione attorno ad un asse detto asse ottico del
cristallo uniassiale.
(19)
Per i cristalli uniassiali la sezione normale all'asse
dell'ellissoide di Fresnel una circonferenza. Tutte le onde piane
che viaggiano nella direzione dell'asse ottico conservano il loro
stato di polarizzazione. Per tali onde il cristallo si comporta
come un mezzo isotropo.
In tutte le altre direzioni, tuttavia, il cristallo
birifrangente. Assegnata una direzione di propagazione arbitraria
OA, diversa dall'asse ottico, intersechiamo l'ellissoide di Fresnel
con un piano passante per il suo centro e normale ad OA.
L'intersezione un'ellisse, di cui un asse, MN, giace nel piano
equatoriale dell'ellissoide, mentre l'altro, PQ, giace nel piano
che contiene la direzione di propagazione e l'asse ottico.
Fig. 21Ellissoide di Fresnel per un cristallo uniassiale
positivo.
Questi due assi sono paralleli ai piani di vibrazione delle due
onde polarizzate linearmente che viaggiano nella direzione OA. Se
definiamo il piano contenente la direzione di propagazione e l'asse
ottico come sezione principale del cristallo relativa ad una data
direzione di propagazione, possiamo dire che delle due onde
polarizzate linearmente che viaggiano in una data direzione, una ha
il suo piano di vibrazione normale e l'altra parallelo alla
corrispondente sezione principale.
L'indice di rifrazione dell'onda che vibra ortogonalmente alla
sezione principale (e perci all'asse ottico) numericamente uguale a
n2, il raggio della sezione equatoriale dell'ellissoide. La velocit
di quest'onda perci v2. Per questa ragione l'onda che vibra in una
direzione ortogonale all'asse ottico detta onda ordinaria e il suo
indice di rifrazione detto indice di rifrazione ordinario n0.
L'indice di rifrazione dell'onda che vibra nel piano della sezione
principale numericamente uguale al semiasse OP dell'ellisse. Questo
indice di rifrazione diverso per le diverse direzioni di
propagazione; il suo valore sempre intermedio tra n2 e n3 e viene
detto indice di rifrazione straordinario ne. Quindi l'onda che
vibra nel piano della sezione principale ha una velocit che dipende
dalla direzione di propagazione, per questa ragione detta onda
straordinaria.
Classificazione dei mezzi anisotropi.
Nei cristalli uniassiali si ha che due degli indici principali
di rifrazione sono uguali, nx = ny = n0 con ed uno diverso, . In
questi cristalli il tensore dielettrico assume la forma .
In questi cristalli vi un solo asse ottico che per convenzione
l'asse z.
Nei cristalli uniassiali l'indice di rifrazione ordinario n0
mentre quello straordinario ne. Se n0ne il cristallo detto
negativo.
Propagazione della luce nei cristalli uniassiali.
Molti dei dispositivi elettro-ottici moderni sfruttano i
cristalli uniassiali. Esempi comuni di cristalli usati sono la
calcite, il quarzo e il niobato di litio. In questi cristalli
l'equazione dell'ellissoide degli indici assume la forma
(20)
dove sono stati scelti gli assi di simmetria con la convenzione
che z l'asse ottico. La figura (fig. 22) mostra l'ellissoide degli
indici per un cristallo uniassiale positivo. Il versore s indica la
direzione di propagazione dell'onda luminosa. Siccome l'ellissoide
in questo caso invariante rispetto a rotazioni attorno all'asse z,
la proiezione di s sul piano xy stata scelta, senza perdere di
generalit, in modo che coincida con l'asse y.
Fig. 22Costruzione per trovare gli indici di rifrazione per una
direzione di propagazione s data. La figura mostra un cristallo
uniassiale con nx=ny=n0, nz=ne
In accordo con quanto detto prima l'intersezione del piano
normale a s passante per l'origine dell'ellissoide d origine
all'ellisse di intersezione in cui la lunghezza del semiasse
maggiore, OA, equivale all'indice di rifrazione straordinario . La
lunghezza del semiasse minore, OB, invece equivale all'indice di
rifrazione ordinario n0.
chiaro dalla figura che come varia l'angolo ( tra l'asse ottico
e la direzione s di propagazione dell'onda, la direzione di
propagazione ordinaria rimane fissa come pure il valore dell'indice
di rifrazione, pari a n0. Invece la direzione di polarizzazione
straordinaria e il valore dell'indice di rifrazione straordinario
dipendono da (. L'indice ne infatti varia da assunto quando ( = 0,
a assunto quando ( = 90. L'indice di rifrazione pu essere ricavato,
noto che sia l'angolo ( dalla relazione
(21)
Riassumendo, la propagazione di un'onda luminosa in un cristallo
uniassiale in generale consiste in un'onda ordinaria e in un'onda
straordinaria. Il vettore campo elettrico E (e il vettore
spostamento elettrico D) per l'onda ordinaria sempre perpendicolare
all'asse ottico e al versore di propagazione. La velocit di fase
dell'onda ordinaria sempre pari a indipendentemente dalla direzione
di propagazione. Il vettore spostamento D dell'onda straordinaria
sempre perpendicolare al versore di propagazione mentre il suo
vettore campo elettrico E non in generale perpendicolare a s ma
giace nel piano formato da s e D. I vettori campo elettrico delle
due onde ordinaria e straordinaria sono mutuamente ortogonali.
Prima di proseguire, diamo una dimostrazione matematica
dell'espressione (21). stato supposto che il vettore s appartenga
al piano yz e quindi posso scrivere l'equazione dell'ellissoide in
questo piano, ovvero per x = 0. L' equazione dell'ellissoide
diventa quindi . Se ( l'angolo che il vettore s forma con l'asse z,
le coordinate del punto A, (fig. 22), si possono esprimere con le
relazioni e . A questo punto sufficiente sostituirle nell'equazione
dell'ellissoide e si trova:
L'effetto elettro-ottico.
In questo capitolo analizzeremo la propagazione di un'onda
elettromagnetica all'interno di un mezzo le cui propriet possono
essere modificate con l'applicazione di un campo elettrico.
Nelle sezioni precedenti abbiamo visto che la propagazione in un
mezzo anisotropo pu essere agevolmente studiata con l'ausilio
dell'ellissoide degli indici che, nel caso in cui gli assi
coordinati (x,y,z) coincidono con gli assi principali, pu essere
descritta dall'equazione in forma canonica:
(22)
L'effetto elettro - ottico lineare, pu essere descritto
considerando gli effetti che un campo elettrico applicato
dall'esterno ha sul tensore dielettrico. Questi effetti possono
essere analizzati attraverso le modifiche indotte sull'ellissoide
degli indici. In generale, l'applicazione di un campo elettrico,
oltre ad indurre un cambiamento degli indici di rifrazione ni,
causer l'apparizione dei termini misti dell'equazione (23) dovuta
all'eventuale rotazione degli assi dielettrici principali.
L'ellissoide degli indici in un mezzo sottoposto
all'applicazione di un campo elettrico si modificher in generale
nella forma:
(23)
dove i coefficienti (i sono legati alle componenti del campo
elettrico applicato secondo la relazione
(24)
dove rij prende il nome di tensore elettro ottico lineare.
Ad esempio se i = 4 allora .
In questa relazioni 1, 2, 3 corrispondono agli assi dielettrici
principali x, y, z rispettivamente e nx, ny e nz sono gli indici
principali di rifrazione. Il nuovo ellissoide degli indici si
riduce a quello usuale quando Ek = 0. In generale gli assi
principali dell'ellissoide (23) non coincidono con quelli
dell'ellissoide non soggetto a campo elettrico.
Una nuova terna di assi di riferimento pu essere ottenuta
tramite una rotazione di coordinate, dagli assi principali del
cristallo.
Il tensore elettro ottico lineare un tensore 6 x 3 i cui
elementi cambiano a seconda della classe cristallografica a cui
appartiene il mezzo. Una tabella con i vari tensori per i cristalli
uniassici riportata nella sezione con gli esempi assieme ad una
tabella con alcuni indici di rifrazione.
Effetto elettro-ottico in un cristallo KDP.
Consideriamo l'esempio specifico di un cristallo di potassio
diidrogeno fosfato (KH2PO4) noto anche come KDP. Questo un
cristallo uniassiale tetragonale con simmetria di tipo . Per
convenzione l'asse ottico l'asse z. Dalle matrici riportate sopra
si vede che il tensore elettro-ottico rij ha solo tre elementi non
nulli r41=r52 e r63. Usando l'equazione (23) e la matrice rij
otteniamo, in presenza di un campo elettrico E (Ex, Ey, Ez),
l'ellissoide degli indici espresso dalla relazione
(25)
dove le costanti impiegate nei primi tre termini non dipendono
dal campo applicato.
Troviamo quindi che l'applicazione di un campo elettrico
introduce dei termini in due variabili nell'equazione
dell'ellissoide. Questo significa che gli assi principali
dell'ellissoide, causa l'applicazione del campo elettrico, non sono
pi paralleli agli assi principali (x, y, z) del cristallo. Risulta
quindi necessario determinare le direzioni dei nuovi assi e
l'ampiezza dei rispettivi indici di rifrazione in presenza del
campo E. In questo modo potremo poi determinare l'effetto del campo
elettrico sulla propagazione nel mezzo. Per semplicit supponiamo
che il campo elettrico applicato al cristallo sia diretto lungo
l'asse ottico. In questo modo le componenti Ex ed Ey del campo sono
nulle e l'equazione (25) diventa
(26)
Il problema da risolvere consiste nel trovare un nuovo sistema
di coordinate (x', y', z') nel quale l'equazione dell'ellissoide
degli indici non contenga termini misti e abbia quindi la forma
.(27)
Quindi in presenza di un campo elettrico applicato secondo z gli
assi principali dell'ellissoide degli indici diventano x', y', z'.
In accordo con l'equazione (27) la lunghezza degli assi principali
dell'ellissoide corrisponde a 2nx, 2ny, 2nz che dipenderanno dal
campo applicato.
Nel caso dell'espressione (26) si ha che per giungere
all'equazione (27) la nuova terna di assi x', y' e z' dovr avere
l'asse z' parallelo all'asse z. Inoltre a causa della simmetria in
x e y nella (25) i nuovi assi x' e y' sono legati agli assi x e y
tramite una rotazione di 45 espressa dalle relazioni seguenti
(28)
Fig. 23Effetto elettro ottico: rotazione degli assi in una
lamina di KDP
Sostituendo le espressioni (28) nell'equazione (26) ottengo
(29)
Questa equazione mostra che x', y' e z (dato che z' = z ) sono
effettivamente gli assi dell'ellissoide degli indici quando viene
applicato al cristallo un campo elettrico diretto lungo z. Si noti
inoltre che la lunghezza dell'asse x' dell'ellissoide 2nx', dove
.
Assumendo che ed usando la relazione differenziale troviamo
che
(30)
(31)
da cui si capisce che l'applicazione del campo elettrico lungo
l'asse z ha deformato l'ellissoide che non pi a simmetria
circolare.
Consideriamo ora il caso in cui il campo applicato sia diretto
parallelamente all'asse x. In questo caso l'equazione (25) assume
la forma
(32)
allora chiaro che il nuovo asse x' coincider con x in quanto i
termini misti coinvolgono solo y e z. necessaria una rotazione nel
piano yz per ricondurre la (30) all'usuale forma dell'ellissoide.
Sia ( l'angolo tra le nuove coordinate y'z' e le vecchie coordinate
yz. La trasformazione da y, z a y', z' data dalle relazioni
(33)
Sostituendo la relazione (31) nell'equazione (30) e richiedendo
che non compaiano termini in yz ottengo che
(34)
con l'angolo ( tale che
.(35)
Il nuovo ellissoide degli indici ha i suoi assi principali
ruotati di un angolo ( attorno all'asse x rispetto agli assi
principali del cristallo non soggetto ad un campo elettrico Ex.
Modulazione elettro ottica.
Abbiamo mostrato nella sezione precedente che l'applicazione di
un campo elettrico pu cambiare l'ellissoide degli indici. Sappiamo
inoltre che la propagazione di onde elettromagnetiche nei cristalli
caratterizzata dall'ellissoide degli indici. Possiamo quindi usare
l'effetto elettro-ottico per manipolare la propagazione delle onde
luminose ed il loro stato di polarizzazione. Consideriamo ad
esempio una lamina di KDP, tagliata normalmente all'asse z,
soggetta ad un campo elettrico diretto lungo z. Se consideriamo la
propagazione della luce lungo l'asse z, allora, in accordo con le
equazioni (30) e (31), la birifrangenza data da
.(36)
Sia ora d lo spessore della lamina. Il ritardo di fase per
questa lamina dato da
(37)
dove V = Ez d la tensione applicata e la lunghezza d'onda della
radiazione incidente.
In questo caso il ritardo di fase proporzionale alla tensione
applicata. Di conseguenza siamo in grado di modificare lo stato di
polarizzazione di un'onda incidente sulla lamina nello stato
desiderato.
Per avere un ritardo di fase (( = ( la tensione applicata al
cristallo
(38)
dove V( definita tensione a mezzo d'onda definibile per ogni . I
valori tipici della tensione V( variano da un minimo di qualche
decina di volt fino a qualche Kilovolt.
Effetto elettro ottico longitudinale e trasverso.
Il caso in cui il campo elettrico parallelo alla direzione di
propagazione dell'onda incidente, viene indicato come effetto
elettro ottico longitudinale; se il campo elettrico normale alla
direzione di propagazione dell'onda incidente, viene indicato come
effetto elettro ottico trasverso.
MODULATORI ELETTRO - OTTICI DI AMPIEZZA E DI FASE
Si possono distinguere due tipi di modulatori: i modulatori di
fase e i modulatori di ampiezza.
MODULATORI DI FASE
Supponiamo di avere una situazione come quella descritta nella
sezione precedente in cui l'onda emessa incidente polarizzata lungo
una delle due polarizzazioni consentite nel cristallo, dopo
l'applicazione del campo elettrico ( x' e y' ). In questo caso,
dopo l'applicazione del campo, l'onda polarizzata linearmente, si
propaga nel cristallo senza alterare il suo stato di
polarizzazione, solo che ora il suo indice di rifrazione :
(39)
Quindi l'onda emessa descritta, che all'ingresso del cristallo
:
(40)
all'uscita del cristallo sar data da:
(41)
dove il ritardo di fase :
(42)
Questo rappresenta la modulazione di fase: la fase dell'onda
trasmessa contiene un termine modulato linearmente con la tensione
applicata.
MODULAZIONE DI AMPIEZZA
Si possono adottare diverse configurazioni per comprendere il
principio di funzionamento di un modulatore elettro - ottico di
ampiezza; la configurazione base la seguente:
Fig. 24Schema di un modulatore di ampiezza basato sull'effetto
elettro ottico. Il primo polarizzatore non necessario nel caso in
cui il fascio di ingresso sia gi polarizzato.
Un fascio di radiazione in ingresso viene polarizzato
linearmente dal primo polarizzatore; la cella elettro ottica ne
modifica la direzione di polarizzazione in funzione della tensione
V applicata ai suoi capi. Questa modulazione di polarizzazione
viene poi trasformata in modulazione di ampiezza dal secondo
polarizzatore.
Supponiamo che sia la direzione di polarizzazione del
polarizzatore di ingresso che di quella di uscita siano
verticali.
In assenza di campo e quindi per V = 0, l'onda viene trasmessa
totalmente ( il suo stato di polarizzazione non cambia ).
Se viene applicato un campo elettrico, le direzioni consentite
diventano x', y'; supponiamo che il cristallo produca una
rotazione, ad esempio di / 2 ( cio V = V ): in questo caso il
cristallo si comporta come una lamina a / 2 e quindi se la
polarizzazione in ingresso era verticale, quella di uscita risulta
orizzontale.
La conclusione che per V = V il polarizzatore di uscita ' blocca
tutto ' e si ha minima trasmissione.
Questa una delle situazioni possibili, ma ce ne sono anche delle
altre: ad esempio, si potrebbe pensare ad un polarizzatore di
uscita incrociato rispetto a quello di ingresso, ovvero:
Fig 25Polarizzatore di uscita incrociato rispetto a quello
d'ingresso.
In questo caso si verifica la situazione opposta, infatti, per V
= 0 si ha minima trasmissione, mentre per V = V si ha massima
trasmissione.
CENNI SULL'EFFETTO ACUSTO - OTTICO
Le propriet elettromagnetiche di molti materiali sono funzione
di un eventuale campo di forze applicato dall'esterno. A frequenze
ottiche, il cambio della costante dielettrica e dell'indice di
rifrazione in funzione di un campo di pressioni applicate prende il
nome di effetto elasto - ottico. In seguito a studi su questo
fenomeno possibile analizzare l'interazione tra un'onda acustica ed
un fascio luminoso che d luogo proprio all'effetto acusto - ottico.
Su questo effetto possibile realizzare modulatori di ampiezza molto
efficienti.
Esempi.
Vediamo ora alcuni esempi di applicazione della teoria
presentata.
Esempio 1.
Si consideri una lamina tagliata da un cristallo uniassiale
elettro ottico perpendicolare all'asse z. La lunghezza della lamina
in direzione z L. Il cristallo pu essere sottoposto ad un campo
elettrico di polarizzazione diretto secondo z e viene illuminato da
un campo luminoso di segnale E polarizzato circolarmente, che si
propaga secondo z. x e y sono gli assi principali del cristallo con
riferimento ai quali E si pu scomporre in
(43)
a) Qual il verso della polarizzazione?
L'indice di rifrazione ordinario n0 = 2,006 e la lunghezza
d'onda quella del laser He-Ne . Dopo il cristallo viene posto un
polarizzatore con direzione di polarizzazione verticale.
b) Qual l'espressione del campo in uscita?
Alla lamina viene applicata una tensione.
c) Rappresentare il campo in uscita dal cristallo prima e dopo
il polarizzatore, tenendo conto solo dello sfasamento relativo fra
le componenti.
Soluzione.
Fig. 26
a)
Per le componenti di E valgono le seguenti relazioni:
per (t = 0 Ex = 1, Ey = 0 mentre per Ex = 0, Ey = -1.
Si vede quindi che all'aumentare di t Ex decresce mentre Ey
cresce in modulo diventando pi negativo. Il verso di polarizzazione
di E indicato dalla freccia rossa tratteggiata.
b)
Se non applico il campo elettrico, il polarizzatore lascia
passare solo la componente x e quindi il campo in uscita sar .
c)
Se applico alla lamina una tensione , ci sono due nuovi assi di
riferimento x' e y'.
Fig. 27
In uscita ci sar uno sfasamento di (/2 indotto dal
cristallo.
Il vettore campo elettrico in ingresso polarizzato circolarmente
e ruota in senso antiorario. Anche secondo i nuovi assi x', y' lo
sfasamento tra le componenti di E di (/2.
Il campo in ingresso partendo dall'espressione iniziale (43),
sarebbe correttamente correttamente descritto da
(44)
ma anche da
(45)
e quindi il campo in uscita
(46)
naturalmente non tenendo conto dello sfasamento comune nel
cristallo.
Ad esempio per (t = 0 Ex = 1, Ey = -1 e quindi (fig. 27) la
risultante diretta orizzontalmente e vale .
Dopo il polarizzatore il campo nullo in quanto passano solo le
componenti verticali.
Esempio 2
Un cristallo elettro ottico uniassiale presenta gli assi come in
figura. Davanti al cristallo viene posto un polarizzatore con
direzione di polarizzazione verticale e dopo il cristallo un
polarizzatore con direzione di polarizzazione orizzontale. Il
sistema deve modulare un'onda luminosa che si propaga nella
direzione dell'asse ottico z. Il cristallo viene sottoposto ad una
tensione V( - v(t), applicata nella direzione z, data da una
componente continua e da una componente variabile nel tempo e tale
che 0 < v(t) < V(/2. Le componenti del campo che si propaga,
in uscita dal cristallo, vengono espresse secondo gli assi della
birifrangenza indotta come: , dove (, sfasamento indotto dal campo
applicato, vale naturalmente (, prodotto da V(, ridotto della
quantit prodotta da v(t). Si chiede di determinare i valori del
campo in uscita dal polarizzatore orizzontale quando v(t) = 0 e
quando v(t) = V(/2.
Soluzione.
In questo esempio mostreremo due diversi metodi risolutivi.
Metodo 1
Situazione inizialeCampo per t = 0 e v(t) = 0Campo per v(t) =
(/2
Lo sfasamento indotto dal campo applicato ( = (-( dove lo
sfasamento indotto da v(t).
Abbiamo le seguenti situazioni:
Tensione applicata alla laminaExEy
v(t) = 0V(cos (tcos ((t + ( )
v(t) = (/2V(/2cos (t
Per t = 0 e v(t) = 0, Ex = 1, Ey = -1. Il valore massimo del
campo in uscita .
Per t = 0 e v(t) = (/2, Ex = 1, Ey = 0. Al variare di t il campo
con polarizzazione circolare ruota in senso antiorario. Il valore
massimo del campo 1.
In generale al variare di v(t) il valore massimo del campo
varier tra 1 e .
Metodo risolutivo alternativo (metodo dell'ampiezza
complessa).
Rappresento il campo in ingresso secondo x', y' utilizzando
l'ampiezza complessa. L'ampiezza complessa tutto quello che non
dipende dal tempo ovvero Aej(, mentre non considero il termine
ej(t.
I valori del campo in ingresso sono: x = Aej( , y = Aej( con
(qualsiasi.
In generale il campo pu essere descritto:
ingressouscita
x'
y'
Consideriamo il caso in cui (1 = (/2.
Dato che il polarizzatore in uscita orizzontale quello che mi
interessa trovare la componente orizzontale del campo in uscita.
Proietto quindi su y le componenti di x' e y' e ottengo:
Se trascuro A ottengo che la proiezione su y vale .
Il modulo e la fase valgono: . Come mi aspettavo, dato che la
polarizzazione circolare e avendo trascurato A, il modulo
unitario.
Consideriamo ora il caso in cui (1 = (.
Trascurando A la proiezione su y data da:
In questo caso la proiezione su y ha modulo pari a e fase
nulla.
Se (1 = ((v) ho la formulazione generica della proiezione
sull'asse y.
Esempio 3
Si consideri una lamina tagliata da un cristallo elettro ottico
uniassiale. Viene applicato un campo elettrico lungo l'asse z di
100V / cm. Si calcoli lo spessore della lamina in grado di
trasformare da lineare lungo l'asse x a circolare la polarizzazione
di un'onda in ingresso.
Siano noti i seguenti dati: n0 = 1,55 r63 = 0,83 10-12 m/V = 630
nm
Soluzione.
Per avere una polarizzazione circolare in uscita con
polarizzazione lineare in ingresso la lamina deve essere in / 4 e
quindi lo sfasamento .La situazione descritta dal testo la
seguente.
L'applicazione di un campo elettrico provoca una rotazione degli
assi di riferimento di 45
Nel nostro caso vale che e quindi . Da questa relazione ricavo
lo spessore della lamina che
Questo valore per lo spessore della lamina indica che i dati
forniti non sono molto realistici. Se invece applicassi un campo di
10 KV/cm otterrei per la lamina uno spessore L = 5,0956 cm molto pi
verosimile.Appendice: cristalli per l'optoelettronica.
Fig. A1Parte ottica dello spettro elettromagnetico.
ADA arsenato deidrogenato di ammonio (NH4 H2 AsO4 )
Materiale elettro-ottico poco utilizzato per la realizzazione di
modulatori ottici.
Possiede una discreta trasparenza nel visibile.
Cristallo uniassiale.
ADP fosfato deidrogenato di ammonio (NH4 H2 PO4 )
Utilizzato come trasduttore sonar.
Possiede una buona trasparenza nel visibile e nel vicino IR da
0.2 a 1.2 micron.
Cristallo piezoelettrico (isomorfo del KDP).
r63 adatto alla configurazione elettro-ottica longitudinale, r41
alla trasversale.
KDA arsenato deidrogenato di potassio (KH2 AsO4 )
Ottimo per applicazioni di bassa potenza e per realizzare
modulatori a banda larga.
Materiale piezoelettrico e ferroelettrico (isomorfo del
KDP).
KDDP fosfato dideuterato di potassio (KD2 PO4 )
Utilizzato nei campi della modulazione e della sensoristica.
Trasparente tra i 0.2 e i 2.0 micron.
Materiale elettro-ottico (isomorfo del KDP), cristallo
uniassico.
KDP fosfato deidrogenato di potassio (KH2 PO4 )
Trasparente in tutto il visibile e nel vicino UV (da 0.4 a 1.3
micron), completamente opaco nell'infrarosso.
Cristallo elettro-ottico; sopra i 123K uniassiale, esibisce
effetti elettro-ottici lineari e quadratici; sopra e sotto la sua
temperatura di Curie piezoelettrico; materiale dielettrico non
lineare.
KTNniobato di tantalato e potassio (KTax Nb1-x O3)
Buone caratteristiche di trasmissione nell'IR fino a 5
micron.
Presenta propriet elettro-ottiche sopra la sua temperatura di
Curie ( otticamente isotropo), eccellenti caratteristiche
acustiche, buon comportamento alla modulazione e deviazione dei
raggi laser, effetto elettro-ottico lineare sotto la temperatura di
Curie e quadratico sopra; pu essere utilizzato come isolante e come
semiconduttore (tipo n).
niobato di litio (LiNbO3)
Il pi importante materiale per optoelettronica.
Buone caratteristiche di trasparenza nel visibile e vicino
IR.
Materiale ferroelettrico.
Possiede un elevato coefficiente elettro-ottico, elevata
birifrangenza, un forte effetto
piezoelettrico, eccellenti propriet acustiche.
Proustite (Ag3 AsS3)
Minerale ottimo per l'effetto elettro-ottico e ottica non
lineare; largamente utilizzato nell'IR e in particolare per i laser
a CO e CO2; si comporta anche da semiconduttore e
fotoconduttore.
Trasparente tra 0.6 e 13 micron.
tantalato di litio (LiTaO3)
Applicazioni nel campo della modulazione e della
sensoristica.
Possiede propriet elettro-ottiche, piezoelettriche e
ferroelettriche.
BGO ossido di germanio e bismuto (Bi12 GeO20)
Fortemente piezoelettrico, otticamente attivo, fotoconduttivo,
esibisce un piccolo effetto elettro-ottico lineare.
semiconduttoriUtilizzati nella realizzazione di modulatori,
interruttori e deviatori sia discreti che integrati.
Buone propriet elettro-ottiche.
Vediamo ora una tabella con gli indici di rifrazione di alcuni
cristalli uniassiali.
Cristallorij [10-12 m/V ]Indici di rifrazione[10-12 m/V]
ADP
( fosfato di ammonio e deuterio)r41 = 28
r63 = 8.5 n0 = 1.52
ne = 1.4895
27
KDP
(fosfato di potasssio e deuterio)r41 = 8.6
r63 = 10.6 n0 = 1.51
ne = 1.4729
34
Quarzor41 = 0.2
r63 = 0.83n0 = 1.54
ne = 1.550.7
3.4
LiNbO3(Niobato di litio)r33 = 30.8
r13 = 8.6
r22 = 3.4
r42 = 28n0 = 2.29
ne = 2.2328
37
LiTaO3(Tautanato di litio)r33 = 30.3
r13 = 5.7n0 = 2.17
ne = 2.18314
BaTiO3(Titanato di bario)r33 = 23
r13 = 8
r42 = 820n0 = 2.44
ne = 2.37334
Nella pagina seguente riportiamo una tabella contenente il
tensore elettro ottico lineare per i cristalli uniassiali.
Cristalli uniassiali tetragonali.4
4224mm
Cristalli uniassiali trigonali.332
Cristalli uniassiali esagonali.66mm622
La notazione sopra le matrici indica il gruppo di simmetria.
Indice Generale319
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