Modulação Multiportadoras

Modulação Multiportadora (OFDM)

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• OFDM é o acrônimo para Orthogonal Frequency Division Multiplexing

• É uma técnica que converte um canal com desvanecimento seletivo em frequência em um conjunto de subcanais paralelos com desvanecimento plano.

• Reduz a complexidade computacional associada à transmissão em altas taxas sobre um canal que é seletivo em frequência.

• OFDM é uma boa técnica para sistemas que transmitem em alta taxas

Modulação OFDM• A modulação OFDM está sendo utilizada em diversos sistemas de comunicação:-DAB (Digital Radio Broadcasting)-DVB-T (Terrestrial Divital Video Broadcasting)-ISDB-T (Terrestrial Integrated Service Digital Broadcasting)-Wireless LAN Networks Hiperlan/2 Wi-Fi (IEEE 802.11x)

-Wimax (Worldwide Interoperability for Microwave Access/Interoperabilidade Mundial para Acesso de Micro-ondas) – IEEE 802.16-UWB (Ultrawideband) – IEEE 802.15.3

- Sistemas DSL (Digital Subscriber Line), Power-Line Communication (PLC) 2

Modulação OFDMTransmissão de Dados Utilizando Portadoras Múltiplas

• A forma mais simples de modulação multiportadora divide a sequência de dados a ser transmitida em diversa subsequências, transmitidas em diferentes subcanais ortogonais centrados em diferentes frequências portadoras.• O número de subcanais ou de subsequências deve ser tal que a banda de cada subcanal seja menor do que a banda de coerência do canal original, de maneira a assegurar uma ISI desprezível.

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Modulação OFDM

• Considere um sistema de comunicação utilizando modulação linear, no qual os dados são transmitidos à uma taxa R e ocupam uma banda B. A largura de banda de coerência do canal é assumida Bc < B Seletividade em frequência.

• A ideia básica da modulação multiportadora é dividir este sistema de banda larga em N subsistemas paralelo com banda BN = B/N << Bc

Desvanecimento plano.

• A taxa de dados em cada subsistema (subcanal) é RN =R/N.

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Modulação OFDM

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1

0

2N

i i ii

s t s g t cos f t

0 0 1i Nf f i B , i ,.....,N

• A duração dos símbolos em cada subcanal é TN 1/BN>>1/Bc 50, onde é o espalhamento de atraso rms do canal banda larga.

• Considerando g(t) um pulso cosseno levantado obtemos TN =(1+)/BN.

• O sinal transmitido é dado por: , onde si

é o símbolo complexo transmitido e i é um offset de fase. Para canais que não se sobrepõem

Modulação OFDM

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• O receptor para este sistema de modulação multiportadora é mostrado abaixo.

Exercício: Considere um sistema multiportador com uma banda total de 1MHz. Suponha que o sistema opera em uma cidade com espalhamento de atraso de 20s. Quantos subcanais são necessários para obter-se desvanecimento plano em cada subcanal?

Modulação OFDM

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Modulação Multiportadora com Sobreposição de Subcanais

• A eficiência espectral da modulação multiportadora é melhorada utilizando canais que se sobrepõe. A condição de ortogonalidade entre as subportadoras deve ser mantida de forma a permitir a separação dos dados transmitidos.

• Mostra-se que as subportadoras formam um conjunto de funções base, aproximadamente, ortogonais para qualquer i, no intervalo . E, que, nenhum outro conjunto de subportadoras com espaçamento menor do que 1/TN formam um conjunto ortogonal no intervalo para um offset de fase arbitrário.

0cos 2 0 1 2N if i / T t , i , , ,.....

0 N,T 0 N,T

Modulação Multiportadora

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• Mostra-se também que forma um conjunto de funções base ortogonais para escolhas apropriadas do pulso g(t).

• A família de pulsos cosseno levantado são uma escolha comum para o pulso g(t).

• Para g(t) um pulso cosseno levantado temos que BN=(1+)/TN > 1/TN para > 0, como os subcanais são separados de 1/TN, então estes se sobrepõem.

• Na prática, os canais ocuparam uma banda um pouco maior do que BN, isto é B = (1++)/TN . Contudo, exceto pelo primeiro e último subcanal, e não afetam a largura de faixa total do sistema, como mostrado na figura abaixo.

0( )cos 2 0 1 2N ig t f i / T t , i , , ,.....

Largura de faixa total


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Exercício: Considere um sistema multiportadora com TN = 0.2ms >>Tm. Assuma um sistema com 128 subportadoras (ou subcanais). Se um pulso cosseno levantado é usado com = 1 e se a banda adicional (devido a limitação temporal) é de = 0.1. Determine a largura de faixa total do sistema com e sem superposição de bandas.

Receptor multiportador para sistemas com canais se sobrepondo

Estimativa do sinal sem o efeito do canal e do ruído Estimativa do sinal com o efeito do canal e do ruído

ni é um ruído AWGN com potência N0BN


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Técnicas para compensação do efeito de desvanecimento plano em cada subportadora

1.Codificação com interleaving no tempo e frequência;

2.Equalização em frequência

3.Precodificação

4.Carregamento adaptativo


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Implementação Discreta da Modulação OFDM

• A Série e a Transformada Discreta de Fourier

-A Série de Fourier Discreta (DFS)

Convolução Periódica


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Convolução Periódica


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-A Transformada Discreta de Fourier (DFT)

• Uma sequência de comprimento finito N pode sempre ser associada à uma sequência periódica por:

• A sequência x[n] pode ser recuperada de através da equação

• A sequência pode ser reescrita como

• A DFT, X(k), de x[n] é associada a DFS de pela seguinte equação

,


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• Como a soma para o cálculo da DFS envolve somente o intervalo entre zero e (N-1), então as equações de síntese e análise da DFT são dadas por:

Exercício: Determine e esboce a DFT da sequência x(n) mostrada abaixo para os seguintes valores de N: a) N=5, b) N=10, c) N= 1024. Resolva o item c) utilizando o comando fft do MATLAB. Este comando realiza o cálculo da DFT utilizando um algoritmo denominado Fast Fourier Transform.

1 0 1 2 3 40 outros valores de

, n , , , ,x n

, n


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Convolução Circular

• Considere duas sequências de comprimento finito x1[n] e x2[n], ambas com DFTs X1(k) e X2(k). Deseja-se determinar a sequência x3[n] para qual a DFT é X3[k]= X1(k) X2(k).

• x3[n] corresponde a um período da sequência que é dada por:

ou, equivalentemente,

Desde que ((m))N = m para 0 m N-1, então

Convolução Circular


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Exercício: Determine a convolução circular entre as sequências mostradas abaixo para: a) N=L e N=2L.

N=L N=2L


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O Prefixo Cíclico (CP)

• Considere uma sequência transmitida x[n] = x[0],.......,x[N-1] e um canal FIR com resposta ao impulso h[n] = h[0],......,h[] de comprimento +1= Tm/Ts, onde Ts é o período de amostragem associado com a sequência discreta.

• O prefixo cíclico consiste das últimas amostras de x[n], isto é, {x[N- ],...,x[N-1]}

• O prefixo cíclico é colocado no início de cada sequência transmitida produzindo a sequência , - n N-1, como mostrado na figura abaixo.

• Note que com esta definição, para - n N-1, o que implica em para ..


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O Prefixo Cíclico

• Considere que é a entrada do canal h[n], então a saída y[n] é dada por:

• Portanto, a presença do prefixo cíclico transforma a convolução linear na convolução circular . Assim, tomando a DFT da saída do canal na ausência de ruído, temos


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Notas:• A sequência x[n] pode ser recuperada de y[n], supondo o conhecimento do canal, através da seguinte equação:

• Note que y[n] tem comprimento N+ e que as primeiras amostras não são necessárias para se recuperar x[n]. Assim, estas amostras devem ser descartadas.• O uso do CP não só transforma uma convolução linear em circular como também evita a ISI, desde que seu comprimento seja sempre maior ou igual ao espalhamento de atraso do canal.

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Notas:• Como a recuperação de x[n] através da equação X(i)=Y(i)/H(i) requer o conhecimento do canal, os valores de H(i) podem ser estimados no receptor através do uso de portadoras piloto.• A divisão Y(i)/H(i) equivale ao uso de um equalizador de forçagem a zero com 1 coeficiente por subcanal, isto é, c(i)=1/H(i). O critério MMSE pode também ser utilizado, neste caso

• O uso do CP leva a um overhead de N/ resultando numa redução da taxa transmitida de N/(+N). Além disso, a potência utilizada para transmitir o CP é perdida.

Exercício: Considere uma sequência de dados ocupando uma largura de faixa de 1MHz (==0) e um período de símbolo de Ts=1s. O canal tem um espalhamento de atraso máximo Tm=5s. Assuma um sistema de transmissão com modulação multiportadora ortogonais com N=128 e modulação MQAM para cada sub-canal. O prefixo cíclico tem um comprimento de =8 o que assegura uma transmissão sem ISI. Encontre a largura de faixa de cada sub-canal, o tempo total de transmissão associado com o símbolo transmitido, o overhead do prefixo cíclico e a taxa de bits do sistema considerando M=16.

2 2

*

n

H ic i

H i

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Mulplexagem por Divisão de Frequências Ortogonais (OFDM)

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Representação Matricial da Transmissão OFDM

• A sequência de saída do canal numa transmissão OFDM pode ser escrita como:

onde h[n]=hn, x[n]=xn, y[n]=yn e [n]= n(ruído).

• E de uma forma mais compacta como:

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Representação Matricial da Transmissão OFDM

•Pode-se mostrar que a representação matricial anterior é equivalente a:

e, compactamente, pode ser reescrita como

Matriz de convolução circulante

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Notas:-A matriz é normal, isto é, , assim a decomposição em autovalores é dada por

onde é uma matriz diagonal de autovalores de e M é uma matriz unitária cujas colunas constituem os autovalores de . -A DFT de x[n] por ser representada por onde Q é dada por

e, como então a IDFT pode ser representada por - Pode-se mostrar que e Assim temos que

H HH H=HH

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Dois Problemas Importantes em Sistemas OFDM

-PAPR (Peak-to-Average Power Ratio)

• Uma baixa PAPR permite o amplificador de potência operar eficientemente, por outro lado alta PAPR força o amplificador ter um grande backoff.

• O Custo do amplificador aumenta com o aumento do backoff.

• Alta PAPR requer alta resolução do DAC no Tx e do ADC no Rx, desde que a faixa dinâmica do sinal é proporcional a PAPR.

IBO-Input backoff

OBO-Output backoffPin sat é a potência de saturação acima da qual começa a região não-linear, é a potência média de entrada.

2

2

max x( t )PAPR

E x( t ) sinais contínuos

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-PAPR (Peak-to-Average Power Ratio)

• Qualquer sinal com amplitude constante tem uma PAPR=0dB. Uma sinusoide tem uma PARP=3dB.

•Considere o sinal discreto .

• Considerando x[n] uma v.a. Gausiana, iid com média nula e potência unitária então:

PAPR=N

•Na prática este valor de PAPR requer adição coerente de todas as componentes, o que é altamente improvável.•Existe diversa técnica de redução ou tolerência à PAPR de sinais OFDM, incluindo clipping do sinal OFDM, técnicas de codificação especial, pré-distorção, etc.

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-Offset de Tempo e Frequência

• A ortogonalidade entre as subportadoras é perdida quando a separação entre elas não permanece a mesma, isto é, f=1/TN.

• Esta perda de ortogonalidade pode ser provocada por descasamento do oscilador, deslocamento Doppler ou erros de sincronização temporal.

• Esta perda de ortogonalidade provoca severa ICI devido a forma sinc das portadoras no domínio da frequência.

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-Offset de Tempo e Frequência

• Considere uma portadora pura em banda base . Uma subportadora interferente pode ser escrita como

• Se o sinal é demodulado com um offset de frequência /TN, então a interferência torna-se

• A ICI é dada por

• A ICI total é

• Pode-se mostrar que a ICI provocada por um offset temporal é aproximadamente dada por . Como, geralmente, , este efeito pode ser desprezível.

2 Nj it / Tix t e

2 Nj i m t / Ti mx t e

2 Nj i m t / T

i mx t e

Modulação Multiportadoras

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