Modul UAS PM.TPB IPB

KATA PENGANTAR

Keterkaitan antar topik dalam matematika pada umumnya dan dalam kalku-lus pada khususnya, sangatlah kuat. Oleh karena itu, agar dapat memahami su-atu topik/materi dengan baik maka seorang mahasiswa harus sudah memahamikonsep/materi pendukungnya. Akibatnya, seorang mahasiswa yang mengikutikuliah matematika/kalkulus akan mempunyai resiko kegagalan semakin kecilapabila ia belajar secara kontinu sejak hari pertama perkuliahan.

Diperlukan sarana yang memadai untuk membiasakan belajar secara kon-tinu, baik buku-buku referensi untuk memperkaya pemahaman konsep, maupunsoal-soal latihan yang dirancang untuk mempertajam pemahaman suatu konsepyang disusun bertahap dari paling mudah ke soal paling sulit. Di samping itu,soal-soal latihan yang bertahap tersebut juga untuk melatih keterampilan sertauntuk memahami pentahapan dan proses dalam suatu penyelesaian soal.

Modul MAT100 Pengantar Matematika dan modul MAT104 Kalkulus meru-pakan pengalaman beberapa dosen pengajar Pengantar Matematika dan Kalku-lus dalam persiapan pengajaran, yang kemudian dituangkan/disusun menjadisebuah modul sebagai upaya untuk membantu mahasiswa agar dapat belajarsecara kontinu dan terarah. Namun demikian, modul ini disusun bukan sebagaipengganti peranan buku referensi tetapi sebagai pendamping/pelengkap bukureferensi tersebut.

Pengajaran Pengantar Matematika/Kalkulus TPB IPB diselenggarakan dalam28 kelas paralel dan diasuh oleh 28 dosen pengajar yang berbeda, dengansendirinya akan terdapat 28 cara pendekatan. Modul ini diharapkan dapatmembantu para dosen pengajar dan para mahasiswa untuk menyamakan persepsitentang kedalaman pembahasan dari suatu topik.

Pembahasan setiap topik mencakup :

1. Tujuan/sasaran pembelajaran

2. Pengetahuan prasyarat yang dibutuhkan suatu pokok bahasan. Untukmengetahui prasyarat sudah dikuasai dengan baik oleh mahasiswa, dapatdiketahui melalui pemberian soal.

3. Pokok Bahasan

Diberikan teori singkat, dengan maksud agar para mahasiswa dapat menge-tahui materi-materi esensial dari setiap topik. Bila pokok bahasan sudahpernah dipelajari di level pendidikan sebelumnya, perlu diuji kemampuanmahasiswa dengan memberi soal yang telah dirancang. Dari jawaban soalini, pengajar dapat membenarkan, mempertajam konsep yang sudah adaataukah memberi konsep baru yang belum diketahui mahasiswa. Pada

1

tahap ini diharapkan terjadi proses belajar aktif karena mahasiswa terlibatlangsung dalam proses pembelajaran, mahasiswa diajak berfikir bersamadan akhirnya terjadi peningkatan kemampuan berfikir logis.

4. Soal-soal Latihan

Di akhir kegiatan belajar dari suatu pokok bahasan, dirancang soal-soallatihan yang terdiri dari soal-soal yang sudah diidentifikasi konsep yangterkandung di dalam soal-soal tersebut yang belum terbahas di kuliah atauyang sudah terbahas tetapi pengajar masih ragu apakah mahasiswa sudahmengerti.

Dengan digunakannya modul ini, diharapkan para dosen akan mendapatumpan balik sedini mungkin, dan dapat mengantisipasi setiap permasalahanyang dihadapi oleh mahasiswa serta mahasiswa dapat mempersiapkan evaluasiakhir jauh-jauh hari sebelumnya.

Terakhir, kami akan mengucapkan terima kasih kepada DUE LIKE yangtelah pemberi hibah pengajaran ini dalam bentuk penyusunan modul.

Bogor, 15 Nopember 2006Penyusun

2

Petunjuk Bagi Pemakai ModulBuku [1] pada daftar pustaka merupakan buku rujukan utama mata ajaran

Pengantar Matematika dan Kalkulus. Istilah dan urutan pembahasan materiPengantar Matematika dan Kalkulus mengikuti buku tersebut. Sedangkanbuku [2] dan buku [3] digunakan sebagai pelengkap.

Soal-soal latihan dikelompokkan atas:

1. Tugas/bahan diskusi, dimaksudkan soal latihan ini akan membantu mem-pertajam pemahaman materi/konsep.

2. Latihan terbimbing, dimaksudkan soal latihan ini akan membantu maha-siswa memahami pentahapan penyelesaian soal.

3. Latihan mandiri, setelah memahami konsep dan pentahapan soal, dihara-pkan pada kelompok soal ini mahasiswa dapat mengerjakan soal secaramandiri.

Siapkan satu buku khusus untuk mengerjakan semua soal yang disediakanpada modul ini, baik soal di bahan diskusi, soal latihan terbimbing maupun soallatihan mandiri.

Catatan bagi mahasiswa bahwa keberhasilan Anda tergantung dari tingkataktifitas Anda membaca dan memahami buku rujukan, tingkat aktifitas Andamembaca teori singkat pada modul ini yang merupakan rangkuman dari teoriyang ada di buku rujukan, serta aktifitas Anda mengerjakan soal-soal latihanpada modul ini. Pada prinsipnya dosen pengajar menyediakan sarana, hasilakhir tergantung dari usaha setiap mahasiswa.

Daftar Pustaka[1] Stewart, J. (1998). Kalkulus. Edisi keempat, Erlangga, Jakarta.

(Terjemahan)

[2] Purcell, E. J. dan Dale Varberg. (1995). Kalkulus dan GeometriAnalitis, jilid 1. Edisi kelima, Erlangga, Jakarta. (Terjamahan).

[3] Anton, H. (1981). Calculus with Analytic Geometry. Brief Edition.

3

Daftar Isi

1. Selang, Ketaksamaan dan Nilai Mutlak1.1 Urutan Bilangan Real1.2 Selang1.3 Ketaksamaan

Latihan Terbimbing 1.3Latihan Mandiri 1.3

1.4 Nilai MutlakKetaksamaan dengan Nilai MutlakLatihan Terbimbing 1.4Latihan Mandiri 1.4

2. Fungsi dan Model2.1 Fungsi

Cara Penyajian FungsiLatihan Mandiri 2.1

2.2 Jenis-jenis FungsiLatihan Mandiri 2.2

2.3 Fungsi Baru dari Fungsi LamaTransformasi FungsiOperasi Aljabar FungsiKomposisi FungsiLatihan Terbimbing 2.3Latihan Mandiri 2.3

2.4 Model MatematikaLatihan Mandiri 2.4

3. Limit dan Kekontinuan Fungsi3.1 Limit Fungsi

Limit Fungsi di Satu TitikLimit Satu SisiLimit Tak Hingga

3.2 Hukum LimitLatihan Terbimbing 3.1 dan 3.2Latihan Mandiri 3.1 dan 3.2

3.3 Kekontinian Fungsi3.3 Kekontinuan di Satu Titik

Kekontinuan Kiri dan Kekontinuan KananKekontinuan SelangLatihan Terbimbing 3.3Latihan Mandiri 3.3

4

1 Selang, Ketaksamaan dan Nilai Mutlak

Pokok Bahasan1.1 Urutan Bilangan Real1.2 Selang1.3 Ketaksamaan1.4 Nilai Mutlak

Prasyarat :1. Sifat operasi aljabar bilangan real2. Perkalian dan pemfaktoran3. Operasi himpunan

Tujuan/sasaran :Mahasiswa dapat1. menjelaskan pengertian selang,2. menentukan himpunan jawab ketaksamaan,3. menentukan himpunan jawab ketaksamaan dengan nilai mutlak.

Perhatikan prasyarat yang dibutuhkan untuk mempelajari subbab ini. Bacadan pelajari lagi materi matematika SMU, kemudian kerjakan Tugas 1. berikutini.

Tugas 1.Tuliskan rumus-rumus perkalian istimewa dan pemfaktoran yang telah Anda

kenal di SMU. Tuliskan juga definisi operasi gabungan dan irisan dari duahimpunan.

Setelah menyelesaikan Tugas 1., ujilah daya ingat Anda dengan mengerjakansoal-soal berikut. Soal yang tidak dapat Anda kerjakan, dapat didiskusikandengan kelompok belajar Anda.

Pre-test

1. Uraikan setiap bentuk aljabar berikut.

(a) x2 − y2 = · · · · · ·(b) x3 − y3 = · · · · · ·(c) x3 + y3 = · · · · · ·(d) x2 − 2x− 8 = · · · · · ·(e) x2 − 2x + 8 = · · · · · ·(f) −3x2 + 7x− 2 = · · · · · ·(g) x4 − y4 = · · · · · ·

5

(h) x6 − y6 = · · · · · ·(i) x4 − 1 = · · · · · ·(j) x4 + 1 = · · · · · ·(k) x6 − 1 = · · · · · ·(l) x6 + 1 = · · · · · ·

2. Bentuk kuadrat x2 − 2x + 4 adalah definit positif, karena · · · · · · · · · · · ·

3. Secara umum, bentuk kuadrat ax2 +bx+c dengan a,b, dan c konstanta,adalah definit positif jika · · · · · · · · · · · · dan definit negatif jika · · · · · · · · · · · · .

4. Sederhanakan

(a)18

x2 + 3x− 4

x+

6x + 3

= · · · · · · · · · · · ·

(b)2x− 2x2

x3 − 2x2 + x= · · · · · · · · · · · ·

Tugas 2.Tuliskan himpunan bilangan asli, himpunan bilangan bulat, himpunan bi-

langan rasional, dan himpunan bilangan real. Buatlah kaitan antara himpunan-himpunan tersebut menggunakan diagram venn atau menggunakan himpunanbagian.

1.1 Urutan Bilangan Real

Dari sistem bilangan real diperkenalkan bilangan positif dan negatif. Kemudiandidefinisikan istilah lebih besar dan lebih kecil sebagai berikut.

x < y ⇐⇒ x− y < 0

Berikut ini adalah sifat-sifat urutan bilangan real yang akan kita gunakanuntuk menyelesaikan ketaksamaan.

Theorem 1 Misalkan a, b, c dan d bilangan real.

1. Jika a < b dan b < c, maka a < c (sifat transitif)

2. Jika a < b, maka a + c < b + c (sifat penambahan)

3. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc (sifat perkalian)

6

4. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc (sifat perkalian)

5. Jika 0 < a < b , maka1a

>1b

.

Bahan Diskusi

1. Jika1x

>14

maka x < 4 . Benar atau salahkah pernyataan tersebut ?

Bila benar, apa alasannya, dan bila salah, beri contoh penyanggahnya.

2. Jika1x

<14

maka x > 4 . Benar atau salahkah pernyataan tersebut ?Bila benar, apa alasannya, dan bila salah, beri contoh penyanggahnya.

3. Jika a ≤ b, maka a2 ≤ ab . Benar atau salahkah pernyataan tersebut ?Bila benar, apa alasannya, dan bila salah, beri contoh penyanggahnya.

4. Jika a ≤ b, maka a3 ≤ a2b . Benar atau salahkah pernyataan tersebut ?Bila benar, apa alasannya, dan bila salah, beri contoh penyanggahnya.

1.2 Selang

Himpunan bilangan real R dapat digambarkan sebagai suatu garis yang dina-makan garis bilangan. Selang adalah himpunan bagian dari himpunan bilanganreal R , dilambangkan sebagai berikut.

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}(a,∞) = {x ∈ R : x > a}(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}(−∞,∞) = R

Sebelum membahas ketaksamaan, kita mengingat kembali materi prasyaratoperasi himpunan dengan cara mengerjakan soal-soal di bawah ini.

7

Pre-test

Diketahui himpunanA = [2,∞) ; B = (−∞, 3) ; C = (−5, 1) ; dan D = [0, 4]

Tentukan

1. A ∪B dan A ∩B

2. A ∩ C dan B ∩ C

3. (C ∩D) ∪A dan (A ∩D) ∩B

4. B ∩ (A ∪D)

1.3 Ketaksamaan

Pada subbab ini akan dipelajari cara menyelesaikan ketaksamaan. Himpunansemua bilangan real yang memenuhi ketaksamaan disebut himpunan jawab/himpunanpenyelesaian ketaksaan. Menyelesaikan ketaksamaan dapat dengan sifat urutanatau dengan garis bilangan bertanda.

Bahan DiskusiTentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut.

1. x ≤ 2 + x

2. 5− x < 1− x

3. x2 + 1 ≥ 0

4. x2 + 1 < 0

5. (x + 1)2 ≥ 0

6. (x + 1)2 ≤ 0

7. (x + 1)2 > 0

8. (x + 1)2 < 0

9.−1

x + 1≤ 0

10.x2 + 1x− 1

≥ 0

8

Bahaslah bahan diskusi di atas bersama dengan teman-teman kelompok be-lajar Anda. Jika ada kesulitan atau keragu-raguan, tanyakan ke dosen Anda.Setelah membahas bahan diskusi, kerjakan contoh-contoh soal berikut.

Contoh 1.Tentkan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut.

1. −3 ≤ 2x + 1 < 7

2. 2− x < x + 4 ≤ 2x− 1

3. 5x + 3 > 2x2

4. (x + 1)(x− 3)(x− 1) ≥ 0

5. (x2 + 1)2 − 7(x2 + 1) + 10 < 0

Bila telah terjawab semua soal contoh, diharapkan Anda sudah siap un-tuk mengerjakan soal-soal latihan terbimbing berikut. Ikutilah petunjuk yangdiberikan.

Latihan Terbimbing(Kerjakan di buku latihan soal Anda)

Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut.

1. 2x− 3 ≤ 6− x

Petunjuk : Gunakan sifat penambahan dan sifat perkalian dari urutanbilangan real. Pada setiap langkah penyelesaian, tuliskan sifat urutanbilangan real yang digunakan.

2. 1 + x ≤ x + 2 < 2x− 5

Petunjuk :

• Gunakan a < b < c ⇐⇒ a < b dan b < c

• Gunakan sifat penambahan dan perkalian

• Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk irisan 2 himpunan/selang

3. x2 − 2x ≤ 8

Petunjuk :

• Buatlah salah satu ruas menjadi nol

• Faktorkan bentuk kuadrat tersebut

• Selesaikan dengan menggunakan sifat urutan, juga menggunakan garisbilangan bertanda.

9

4. (x− 2)(x + 1)(2x + 1) ≤ 0

Petunjuk :

• Lebih aman diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan bertanda.

5. (ax− 1)(x− b)2(x + c) > 0 ; a > 1, b > 1, c > 1

Petunjuk : ikuti pola penyelesaian soal nomor 4, perhatikan saat menen-tukan tanda pada garis bilangan ada faktor linear muncul berulang.

Berikut ini kita akan mempelajari cara menentukan himpunan penyelesaianketaksamaan rasional

F (x)G(x)

≤ H(x)J(x)

(1)

dengan F,G, H dan J suku banyak.Secara umum, langkah penyelesaian sebagai berikut.

• Ubah bentuk ketaksamaan (1) menjadiF (x)G(x)

− H(x)J(x)

≤ 0 (2)

• Bentuk (2) disamakan penyebutnya, sehingga menjadiA(x)B(x)

≤ 0 (3)

• Faktorkan pembilang dari ketaksamaan bentuk (3)

• Tentukan tanda ketaksamaan dengan garis bilangan

• Tentukan himpunan penyelesaian.

Contoh 2Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut.

1.x− 2x + 1

≤ 0

2.2x− 1x− 3

> 1

3. −1 ≤ 3x− 1

≤ x + 1

4. 1 +3

2x− 1≤ x

10

Soal-soal latihan berikut merupakan soal ketaksamaan bentuk rasional. Ker-jakan dengan mengikuti petunjuk yang telah diberikan.

Latihan TerbimbingTentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut.

1.1x≥ x

Petunjuk :

• Pindahkan ruas kanan ke ruas kiri, sehingga berbentuk · · · ≥ 0.

• Samakan penyebut dan faktorkan pembilangnya.

• Tentukan tanda ketaksamaan pada garis bilangan.

• Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk gabungan selang.

2. x +1

x + 1≤ 1

Petunjuk :

Ikutilah pola penyelesaian soal 1., pada saat menentukan tanda pada garisbilangan, perhatikan faktor linear muncul berulang.

3.1x2

+ 1 ≤ 2x

Petunjuk : Ikutilah pola penyelesaian soal 1.

4.x + 5x + 1

≥ 2x

x− 1Petunjuk : Ikutilah pola penyelesaian soal 1. Perhatikan bahwa ketak-samaan ini memuat bentuk kuadrat definit. Bahaslah cara menyelesaikan-nya bersama anggota kelompok belajar atau dibahas saat kuliah.

5.(x− 3)(x + 2)2

(x− 5)3≥ 0


6.x− 1x + 1

≤ x


Setelah menyelesaikan semua soal latihan terbimbing di atas, kerjakan soal-soal latihan mandiri berikut pada ”buku latihan soal” Anda.

11

Latihan Mandiri

Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut.

1. 2x− 4 < 8− x

2. −1 ≤ 5− x < 1 + x

3. 2x < 3− x2

4. x2 − 3 ≥ 0

5. 4 + x < x + 5 ≤ 1− 3x

6. (2x + 3)(3x− 1)2(x− 5) < 0

7. (x + 1)(x2 + 2x− 7) ≥ x2 − 1

8.4x≤ 2

9.x

3< x + 1

10. 1 ≤ 2x≤ 3

11.x− 1− x2

x2< 0

12.x2 − 2x + 5

x2≥ 0

13.x + 4x− 3

≥ 1− x

x + 2

14. x ≤ 3 + x

x− 1< 4

15. −2 <x + 3x2

≤ 3

16. Misalkan a > 0 dan b > 0. Buktikan

(a) a < b ⇐⇒ a2 < b2

(b) a < b ⇐⇒ a <a + b

2< b

12

1.4 Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan |x| adalah jarak dari x ke 0pada garis bilangan real yang didefinisikan sebagai berikut

|x| = { x ;x ≥ 0−x ;x < 0

Berikut ini adalah sifat-sifat nilai mutlak yang akan kita gunakan untukmenyelesaikan ketaksamaan dengan nilai mutlak.

Theorem 2 Misalkan x, y ∈ R dan a > 0, berlaku

1. |xy| = |x| |y|

2.∣∣∣∣xy

∣∣∣∣ =|x||y|

3. |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a

4. |x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a atau x ≤ −a

5. |x| ≤ |y| ⇐⇒ x2 ≤ y2

6.√

x2 = |x|

Untuk lebih mempertajam pengertian tentang konsep nilai mutlak, bahaslahbahan diskusi berikut dengan anggota kelompok belajar atau antar kelompokbelajar atau dibahas saat kuliah.

Bahan Diskusi

1. Tentukan semua nilai x yang memenuhi ketaksamaan berikut.

(a) |x + 1| ≥ 0

(b) |x + 1| ≤ 0

(c) |x + 1| > 0

(d) |x + 1| < 0

(e) |x + 1| ≥ −4

(f) |x + 1| ≤ −4

(g)∣∣x2 + 1

∣∣ ≥ 0

13

2. Tuliskan dalam bentuk tanpa nilai mutlak |2x− 4| = · · · · · ·

3.√

x2 − 2x + 1 = · · · · · ·

Ketaksamaan Dengan Nilai Mutlak

Langkah pertama dalam menyelesaikan ketaksamaan dengan nilai mutlakadalah mengubah bentuknya menjadi ketaksamaan tanpa nilai mutlak den-gan menggunakan Teorema 2 atau dengan menggunakan definisi nilai mutlak.Berikut ini diberikan soal-soal contoh dan soal latihan terbimbing (kerjakandengan mengikutilah petunjuk yang diberikan.)

Contoh 3Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut.

1. |3x− 2| > 4

2.∣∣∣∣2 +

1x

∣∣∣∣ ≤ 3

3. |5x + 1| < |6− 3x|

4. 2 ≤ |x| ≤ 5

5. |x| − |1− 2x| ≤ 2x

Latihan Terbimbing

1. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan∣∣x2 + 2x + 1

∣∣ ≥ 1

Petunjuk :

• Gunakan sifat nilai mutlak |x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a atau x ≤ −a

• Selesaikan ketaksamaan yang dihasilkan dari setiap kasus, perhatikanbahwa salah satu kasus memuat bentuk kuadrat definit.

• Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk gabungan selang keduakasus.

2. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan∣∣∣∣4− 5

x

∣∣∣∣ ≤ x;x > 0

Petunjuk :

• Gunakan sifat nilai mutlak |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a

14

• Gunakan sifat −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x dan x ≤ a

• Selesaikan ketaksamaan yang dihasilkan dari setiap kasus.

• Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk irisan selang keduakasus.

3. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan |7x− 5| ≥ 2 |1− 3x|Petunjuk :

• Gunakan sifat nilai mutlak |x| ≥ |y| ⇐⇒ x2 ≥ y2.

• Buat salah satu ruas menjadi nol : x2 − y2 ≥ 0.

• Faktorkan bentuk kuadrat tersebut :(x− y)(x + y) ≥ 0.

• Selesaikan dengan garis bilangan bertanda.

4. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan x |x| < |2x− 3|Petunjuk :

• Tidak dapat digunakan sifat nilai mutlak |x| ≥ |y| ⇐⇒ x2 ≥ y2.Diskusikan kenapa?

• Untuk mengubah menjadi ketaksamaan tanpa nilai mutlak gunakandefinisi nilai mutlak.

• Buat untuk kasus x ≥ 0 atau x < 0, kemudian gunakan sifat|x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a atau x ≤ −a


5. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan|x| − |x + 3|

x≤ 2

Petunjuk : Gunakan definisi nilai mutlak untuk mengubah menjadi ketak-samaan tanpa nilai mutlak, diskusikan langkah selanjutnya dengan anggotakelompok belajar atau diskusikan saat kuliah.

6. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan |x− 4| − 1 <∣∣x2 + 1

∣∣Petunjuk :

• Perhatikan bahwa∣∣x2 + 1

∣∣ = x2 + 1 untuk setiap x ∈ R.

• Kemudian gunakan sifat nilai mutlak |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a.

• Gunakan sifat −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x dan x ≤ a

• Selesaikan ketaksamaan yang dihasilkan dari setiap kasus.

• Tuliskan himpunan penyelesaian dalam bentuk irisan selang keduakasus.

15

7. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan (x + 2) |x− 1| ≤ 0

Petunjuk :

• Gunakan definisi nilai mutlak untuk mengubah menjadi ketaksamaantanpa nilai mutlak

• Buat untuk kasus x ≥ 1 atau x < 1

• Selesaikan dengan garis bilangan bertanda, hasilnya diiriskan denganx ≥ 1 untuk kasus satu dan iriskan dengan x < 1 untuk kasuslainnya.


8. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaanx |x + 1|3− x

< 0

Petunjuk : ikuti pola penyelesaian soal 7.

Latihan MandiriTentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut

1.∣∣x2 − 4

∣∣ ≤ x− 3

2. 1 < |x + 2| ≤ 8

3. |x + |x− 2|| > 6

4.∣∣∣∣x +

1x

∣∣∣∣ ≤ 2

5.|x|+ 14− |x|

≥ 0

6. x + |x| ≤ |3x + 1|

7. |x− 2| > 4|x + 1|

8.|x| − 12− |x|

≤ 0

9.|x− 1|2− |x|

≥ 0

10.|x + 1||x− 2|

≤ 2

11. (2x− 1)2 − 5 |2x− 1|+ 4 < 0

16

2 Fungsi dan Model

Pokok Bahasan

1. Fungsi dan cara penyajian fungsi

2. Jenis-jenis fungsi

3. Fungsi baru dari fungsi lama

4. Model matematika

Prasyarat :

• Ketaksamaan dan nilai mutlak

• Sistem Koordinat kartesius, garis lurus dan grafik persamaan

Tujuan/sasaranMahasiswa dapat

1. menjelaskan pengertian fungsi dan dapat menentukan daerah definisi dandaerah hasil suatu fungsi

2. menjelaskan jenis-jenis fungsi

3. menyajikan fungsi dalam bentuk grafik

4. menyelesaikan operasi fungsi

Perhatikan prasyarat yang dibutuhkan untuk mempelajari bab ini. Untukmengingat kembali materi prasyarat tersebut, Anda dapat kerjakan soal Tugas3 dan soal berikut ini

Tugas 3.

Jelaskan maksud dari

1. Sistem koordinat kartesius

2. Absis

3. Ordinat

4. Kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV

5. Gradien garis lurus

17

Bahan DiskusiRumus garis lurus dengan gradien m dan memotong sumbu y di b adalah

y = mx + b. Bagaimana gambar garis tersebut jika

1. m > 0 dan b > 0

2. m > 0 dan b < 0

3. m < 0 dan b > 0

4. m < 0 dan b < 0

5. m = 0 dan b > 0

6. m = 0 dan b < 0

Bentuk umum garis lurus adalah ax + by + c = 0, dengan a 6= 0, b 6= 0,maka gradien garis tersebut · · · · · ·

Mengapa dibutuhkan syarat a 6= 0, b 6= 0?

Pre-Test

1. Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan berikut

(a) 2x− x2 ≥ 0

(b) |x| ≤ 1 + 2x

2. Tentukan persamaan garis dengan gradien m = 2 yang melalui titik(−1, 3).

3. Gambarkan grafik fungsi f dengan f(x) ={

x ; x ≤ 02− x ; x > 0

2.1 Fungsi

Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f : A −→ B adalahsuatu aturan yang memadankan setiap x ∈ A ke tepat satu y ∈ B. Aturanfungsi f ditulis y = f(x), x disebut peubah bebas dan y disebut peubah takbebas. Dalam kasus ini A disebut daerah definisi fungsi f , dan himpunan{y ∈ B ; y = f(x) , x ∈ A} disebut daerah nilai fungsi f . dinotasikan

• daerah definisi fungsi f : Df = {x ; fungsi f terdefinisi}

• daerah nilai fungsi f : Wf = {y ∈ B ; y = f(x), x ∈ Df}

18

Contoh 1

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) =2 + 24− x

• Daerah definisi fungsi f (Df ) = · · · · · · · · ·• Daerah hasil fungsi f (Wf ) = · · · · · · · · · · · ·

2. Diketahui fungsi g dengan g(x) = x2 + 1

• Daerah definisi fungsi g (Dg) = · · · · · · · · ·• Daerah hasil fungsi g (Wg) = · · · · · · · · · · · ·

3. Diketahui fungsi h dengan h(x) =√

x2 − 2x

• Daerah definisi fungsi h (Dh) = · · · · · · · · ·• Daerah hasil fungsi h (Wh) = · · · · · · · · · · · ·

Cara Menyajikan Fungsi

Terdapat empat cara untuk menyajikan suatu fungsi yaitu secara verbal(dengan kata-kata), secara numerik (dengan tabel angka), secara visual (dengangambar), dan secara aljabar (dengan rumus persamaan). Berikut ini diberikancontoh menyajikan fungsi dengan menggunakan cara verbal dan tiga cara lain-nya tersebut dapat Anda kerjakan.

Contoh 2

1. Secara Verbal

Suatu swalayan di kota Bogor menarik ongkos parkir sebesar C(x) ru-piah selama waktu x jam. Aturan ongkos parkir di swalayan tersebutadalah sebagai berikut. Ongkos parkir satu jam pertama adalah 2000rupiah, dikenai tambahan ongkos sebesar 1000 rupiah untuk setiap satujam tambahan berikutnya, hingga paling lama waktunya 5 jam.

2. Secara numerik · · · · · · · · · · · ·

3. Secara visual · · · · · · · · · · · ·

4. Secara aljabar · · · · · · · · · · · ·

19

Latihan Mandiri 2.1

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) ={

x2 ; x ≤ 12x− 1 ; x > 1

(a) Tentukan f(0) dan f(2)(b) Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f.

2. Diketahui fungsi f dengan f(x) = 2x2 − 4x

(a) Tentukan f(1), f(h), f(x + h), danf(c + h)− f(c)

h(b) Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f.

3. Salah satu stasiun TV swasta nasional memberlakukan aturan pemberiantingkat diskon (D) dalam persen, atas banyaknya belanja iklan (x) dalamjuta rupiah sebagai berikut. Banyaknya belanja iklan kurang dari 500juta rupiah dikenai diskon 5%, belanja iklan dari 500 juta rupiah sampaidengan 1 milyar rupiah diberi diskon 10%, dan belanja iklan lebih dari 1milyar diberi diskon 30 %.

(a) Tingkat diskon D tergantung dari banyaknya belanja iklan x,nyatakan hubungan tersebut secara numerik.

(b) Nyatakan hubungan D dengan x secara visual (gambar grafik fungsiD)

(c) Nyatakan juga hubungan tersebut secara aljabar.

2.2 Jenis-jenis Fungsi

Anda tentunya telah mengenal jenis-jenis fungsi di SMU. Untuk mengingatkembali semua itu, beberapa fungsi sederhana dibuat sebagai tugas atau bahandiskusi.

Contoh 3

1. Fungsi linear±y = f(x) = ax + b ; a dan b konstanta real

Fungsi g dengan g(x) = b disebut fungsi konstan dan fungsi h denganh(x) = x disebut fungsi identitas.

Df = · · · · · · · · · dan Wf = · · · · · · · · ·Dg = · · · · · · · · · dan Wg = · · · · · · · · ·Dh = · · · · · · · · · dan Wh = · · · · · · · · ·

20

2. Fungsi kuadrat

y = f(x) = ax2 + bx + c ; a, b, c konstanta real, a 6= 0.

Df = · · · · · · · · · dan Wf = · · · · · · · · ·

Bahan Diskusi

1. Apa syarat untuk definit positif dan definit negatif pada fungsi kuadrat.

2. Gambar grafik fungsi kuadrat untuk semua kasus (untuk semua kemungk-inan tanda dari a dan diskriminan D.)

Tugas 4Fungsi Trigonometri

1. Sebutkan semua fungsi trigonometri yang telah Anda pelajari di SMU

2. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil dari semua fungsi trigonometritersebut.

3. Gambarkan grafik semua fungsi trigonometri tersebut.

Seteleh membaca buku referensi utama halaman 31 s/d 37 dan mengikutikuliah pengantar matematika, diharapkan Anda dapat mengerjakan Tugas 5berikut ini.

Tugas 5Tuliskan bentuk umum, contoh bentuk khusus, daerah definisi dan daerah

hasil dari fungsi polinom, fungsi pangkat, fungsi akar kuadrat, fungsi balikan,fungsi rasional, fungsi eksponen dan fungsi logaritma.

Berikut ini diperkenalkan fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong (piece-wise function). Beberapa contoh piecewise function adalah sebagai berikut.

1. Fungsi Nilai Mutlak

f(x) ={

x ; x ≥ 0−x ; x < 0

21

2. Fungsi bilangan bulat terbesar

f(x) = [|x|] = n ; n ≤ x < n + 1 ; x ∈ Ratau diuraikan menjadi

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·untuk n = −2 ; −2 ≤ x < −1 =⇒ f(x) = [|x|] = −2

untuk n = −1 ; −1 ≤ x < 0 =⇒ f(x) = [|x|] = −1

untuk n = 0 ; 0 ≤ x < 1 =⇒ f(x) = [|x|] = 0

untuk n = 1 ; 1 ≤ x < 2 =⇒ f(x) = [|x|] = 1

untuk n = 2 ; 2 ≤ x < 3 =⇒ f(x) = [|x|] = 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·ditulis

f(x) =

· · · ; · · · · · · · · ·−2 ; −2 ≤ x < −1−1 ; −1 ≤ x < 00 ; 0 ≤ x < 11 ; 1 ≤ x < 22 ; 2 ≤ x < 3· · · ; · · · · · · · · ·

3. Fungsi h dengan h(x) =

1 ; x ≤ 01− x ; 0 < x ≤ 1x− 1 ; x > 1

Contoh 4

1. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi h tersebut di atas

2. Uraikan fungsi f dengan f(x) =[∣∣∣x

2

∣∣∣] ; −3 ≤ x < 5

Tugas 6Tuliskan definisi fungsi genap dan definisi. Berikan contoh masing-masing.

Setelah Anda mengerjakan tugas di atas, kerjakan semua soal berikut ten-tang menentukan daerah definisi dan daerah hasil dari berbagai jenis fungsi.Ikutilah petunjuk yang diberikan pada setiap soal.

22

Latihan Terbimbing 2.2

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) = 5− 2x.

(a) Df = · · · · · · · · · dan Wf = · · · · · · · · ·(b) Jika Df = [−1, 4), maka Wf = · · · · · · · · ·

Petunjuk : Untuk menentukan Wf , gunakan batasan nilai y denganmenggunakan sifat ketaksamaan.

2. Diketahui fungsi f dengan f(x) = 4− x2.

(a) Df = · · · · · · · · · dan Wf = · · · · · · · · ·(b) Jika Df = (−4, 1], maka Wf = · · · · · · · · ·

Petunjuk : Untuk menentukan Wf , gunakan batasan nilai y denganmenggunakan sifat ketaksamaan.

(c) Jika Df = (−∞,−1], maka Wf = · · · · · · · · ·Petunjuk : Untuk menentukan Wf , gunakan batasan nilai y denganmenggunakan sifat ketaksamaan.

3. Diketahui fungsi f dengan f(x) = x2 − 2x, tentukan Df dan Wf .

Petunjuk :

• Untuk menentukan Df , gunakan aturan menentukan daerah defin-isi fungsi polinom.

• Untuk menentukan Wf , ubahlah dahulu ke bentuk kuadrat sempurna(f(x) = (x + a)2 + b; a, b konstanta) kemudian tentukan batasan ydengan menggunakan sifat ketaksamaan.

4. Diketahui fungsi f dengan f(x) =1 + 2x

5− x, tentukan Df dan Wf .

Petunjuk :

• Untuk menentukan Df , tetapkan syarat penyebutnya tak nol.

• Untuk menentukan Wf , nyatakan x dalam y , dari sini diperolehsyarat untuk y.

5. Diketahui fungsi f dengan f(x) =x2 − 2x− 3

x + 1, tentukan Df dan

Wf .

Petunjuk :

• Untuk menentukan Df , tetapkan syarat penyebutnya tak nol.

23

• Untuk menentukan Wf , sederhanakan bentuk f(x) kemudian caribatasan y dengan syarat x ∈ Df .

6. Diketahui fungsi f dengan f(x) =√

9− x2, tentukan Df dan Wf .

Petunjuk :

• Untuk menentukan Df , tetapkan syarat yang didalam akar harustak negatif.

• Untuk menentukan Wf , tentukan batas y dengan sifat ketaksamaanuntuk semua x ∈ Df .


2x− x2, tentukan Df dan Wf .

Petunjuk :

• Untuk menentukan Df , tetapkan syarat yang didalam akar harustak negatif.

• Untuk menentukan Wf , ubahlah yang didalam akar menjadi bentukuadrat sempurna kemudian tentukan batas y dengan sifat ketak-samaan untuk semua x ∈ Df .


1− 2 sinx, tentukan Df danWf .

Petunjuk : Ikuti pola penyelesaian soal nomor 6

9. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f dengan

y = f(x) ={

x2 + 2 ; x < 11− 2x ; 1 ≤ x ≤ 2

Petunjuk :

• Untuk menentukan Df , gabungkan selang semua x.

• Untuk menentukan Wf , tentukan batas y dengan sifat ketaksamaanuntuk kasus x < 1 atau 1 ≤ x ≤ 2 kemudian gabung selang nilaiy tersebut.

10. Diketahui fungsi f dengan f(x) = [|x|]+ |x| , tentukan Df dan Wf .

Petunjuk :

• Buatlah fungsi ini menjadi fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong.

• Untuk menentukan Df dan Wf , ikuti cara seperti soal nomor 9.

11. Diketahui fungsi f dengan f(x) =

∣∣x2 − 4∣∣

x − 2, tentukan Df dan Wf .

Petunjuk :

• Buatlah fungsi ini menjadi fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong.

24

• Untuk menentukan Df dan Wf , ikuti cara seperti soal nomor 9

12. Periksa apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi genap, fungsi gan-jil, ataukah bukan keduanya.

(a) f(x) = 4− x4.

(b) f(x) =2x

x2 + 1(c) f(x) = x + 3

Petunjuk :

• Tentukan f(−x).

• Jika f(−x) = f(x) maka f fungsi genap, jika f(−x) = −f(x)maka f fungsi ganjil, dan jika tidak memenuhi kedua syarat tersebutmaka fungsi f bukan fungsi genap maupun bukan fungsi ganjil.

Latihan Mandiri 2.2

Untuk soal nomor 1-14, tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi fdengan f(x) sebagai berikut.

1. f(x) = x + 3 ; x < 2

2. f(x) = x2 − 4x + 5

3. f(x) = 3 + 2x− x2

4. f(x) =2x + 1x− 1

5. f(x) =−2x2 − 3x + 2

x + 2

6. f(x) =√

6− 2x

7. f(x) =√

x2 + 16

8. f(x) =√

3 + 2x− x2

9. f(x) = 1 + 2 sin2 x

10. f(x) = tan(2x)

11. f(x) = 1 + 3 cos(x + π)

12. f(x) = [|x|] + |x− 4| ; 1 ≤ x ≤ 6

13. f(x) = 1 + 2√

x−1

14. f(x) =√

1− ln(x− 3)

25

15. f(x) = |x|+ x + 1

16. f(x) =|x|x

+ 1

17. Periksa apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap, fungsi ganjil, ataukahtidak keduanya.

(a) f(x) = |x|+ cos x

(b) f(x) = x + 3 + x3

26

2.3 Fungsi Baru Dari Fungsi Lama

Dari fungsi sederhana dapat dibentuk fungsi baru dengan cara :

1. Transformasi Fungsi

(Pergeseran, peregangan, dan pencerminan)

2. Operasi Aljabar Fungsi

(Penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian)

3. Komposisi Fungsi.

Tugas 7Gambar grafik fungsi-fungsi sederhana berikut.

1. f(x) = x2

2. f(x) =√

x

3. f(x) =1x

4. f(x) = |x|

5. f(x) = [|x|]

6. f(x) = sin x

7. f(x) = cos x

8. f(x) = ln x

9. f(x) = exp(x)

Transformasi Fungsi

Pergeseran Grafik Fungsi (Translasi)Grafik fungsi y = f(x − a) + b ; a, b > 0 diperoleh dari grafik fungsi

y = f(x) dengan cara menggeserkannya a satuan ke kanan (arah sumbu xpositif) dan b satuan ke atas (arah sumbu y positif)

27

Bahan DiskusiBagaimana arah pergeseran grafik y = f(x− a) + b untuk kasus lainnya,

yaitu

1. a > 0 dan b < 0

2. a < 0 dan b > 0

3. a < 0 dan b < 0

Peregangan Grafik Fungsi (Dilatasi)

Grafik fungsi y = af(bx) ; a, b > 1 diperoleh dari grafik fungsi y = f(x)dengan cara meregangkan secara tegak dengan faktor a , kemudian memam-patkan secara mendatar dengan faktor b.

Bahan DiskusiBagaimana peregangan yang berlaku pada grafik fungsi f dengan y = f(x)

jika terjadi fungsi baru sebagai berikut.

1. y =1af(

1bx)

2. y = af(1bx)

3. y =1af(bx)

dengan a, b > 1.

Pencerminan Grafik Fungsi (Refleksi)Untuk memperoleh grafik

1. y = −f(x) , cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu x

2. y = f(−x) , cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu y

Contoh 5

1. Grafik fungsi y = −af(x + b) + c ; b, c > 0 dan a > 1, diperolehdari grafik fungsi y = f(x) dengan cara menggeser sejauh · · · · · · · · ·satuan ke · · · · · · · · · , kemudian meregangkan secara · · · · · · · · · denganfaktor · · · · · · · · · , kemudian dicerminkan terhadap sumbu · · · · · · · · · ,dan terakhir digeser sejauh · · · · · · · · · satuan ke · · · · · · · · · .

28

2. Grafik fungsi y = f(−ax) ; a > 1, diperoleh dari grafik fungsi y = f(x)dengan cara memampatkan secara · · · · · · · · · . dengan faktor · · · · · · · · · .,kemudian dicerminkan terhadap sumbu · · · · · · · · · ..

3. Grafik fungsi y = f(−x

a+ b) + c ; b > 0 dan a > 1, diperoleh dari grafik

fungsi y = f(x) dengan cara meregangkankan secara · · · · · · · · · . denganfaktor · · · · · · · · · ., kemudian dicerminkan terhadap sumbu · · · · · · · · · ,dan terakhir digeser sejauh · · · · · · · · · satuan ke · · · · · · · · · .

Operasi Aljabar FungsiJumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dari fungsi f dan g didefinisikan

sebagai fungsi yang aturanya ditentukan oleh

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (f − g)(x) = f(x)− g(x)

3. (fg)(x) = f(x)g(x)

4. (f

g)(x) =

f(x)g(x)

Fungsi f + g , f − g dan fg mempunyai daerah definisi yang sama yaitu

D = Df∩Dg, sedangkan fungsif

gmempunyai daerah definisi pada D−{x ∈ R

; g(x) = 0}

Fungsi KomposisiMisalkan fungsi f dan g memenuhi Wf ∩Dg 6= φ. Komposisi dari g dan f ,

ditulis g ◦ f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada himpunanbagian dari Df yang aturanya ditentukan oleh

(g ◦ f)(x) = g(f(x))dengan daerah definisi

Dg◦f = {x ∈ Df ; f(x) ∈ Dg}

Tugas 10Buatlah definisi untuk komposisi g dan f , yaitu fungsi f ◦ g (syarat fungsi

f ◦ g terdefinisi, nilai fungsi dan daerah definisi)

Bahan diskusi

1. Dapatkah daerah definisi dan daerah nilai fungsi f ◦g ditentukan sebelumaturan fungsinya?

29

2. Apakah Wf ∩Dg 6= φ berakibat dengan Dg◦f 6= φ, atau sebaliknya?

Setelah Anda mengerjakan semua Tugas dan Bahan diskusi, kerjakan soal-soal latihan terbimbing berikut dengan mengikuti petunjuk

yang telah diberikan.

Latihan terbimbing 2.3

1. Diketahui fungsi f dan g dengan f (x) = 2x − 1 ; 0 ≤ x < 4 , dang(x) = x2 ; x ≤ −1

(a) Periksa apakah f ◦ g terdefinisi?(Petunjuk : periksa Wg ∩Df 6= φ)

(b) Jika ya, tentukan aturan fungsi f ◦ g beserta daerah definisi dandaerah hasilnya.(Petunjuk : Gunakan aturan (f ◦ g)(x) = f(g(x)), aturan Df◦g ={x ∈ Dg ; g(x) ∈ Df}, kemudian tentukan batasan y denganaturan ketaksamaan dengan x ∈ Df◦g.)

(c) Periksa apakah g ◦ f terdefinisi?(Petunjuk : periksa Wf ∩Dg 6= φ)

(d) Jika ya, tentukan aturan fungsi g ◦ f beserta daerah definisi dandaerah hasilnya.(Petunjuk : Gunakan aturan (g ◦ f)(x) = g(f(x)), aturan Dg◦f ={x ∈ Df ; f(x) ∈ Dg}, kemudian tentukan batasan y denganaturan ketaksamaan dengan x ∈ Dg◦f .)

(e) Periksa apakah f ◦ f terdefinisi?(Petunjuk : periksa Wf ∩Df 6= φ)

(f) Jika ya, tentukan aturan fungsi f ◦ f beserta daerah definisi dandaerah hasilnya(Petunjuk : Gunakan aturan (f ◦ f)(x) = f(f(x)), aturan Df◦f ={x ∈ Df ; f(x) ∈ Df}, kemudian tentukan batasan y denganaturan ketaksamaan dengan x ∈ Df◦f .)

2. Diketahui fungsi f dengan f(x) =|−x|−x

(a) Gambar grafik fungsi f .(b) Gunakan hasil jawab a) dan gunakan aturan transformasi untuk

menggambar grafik fungsi g dengan

g(x) =|2− x|2− x

+ 1

Petunjuk:

a) Ubahlah bentuk f(x) tanpa nilai mutlak kemudian gambar.

b) Gunakan aturan pergeseran/translasi

30

3. Diketahui fungsi f dan g dengan f (x) = |2x− 4| dan g(x) = x2.Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f + g

Petunjuk:

a) Tentukan Df dan Dg, barulah tentukan Df+g

b) Tentukan aturan (f +g)(x), kemudian ubahlah bentuk (f +g)(x) tanpanilai mutlak

c) Tentukan batasan y untuk setiap x ∈ Df+g, kemudian gabungkan!

4. Diketahui fungsi f dan g dengan f (x) =√

x− 2 dan g(x) = x2

(a) Tunjukkan bahwa g ◦ f terdefinisi.

(b) Tentukan aturan fungsi g ◦ f beserta daerah definisi dan daerahhasilnya.Petunjuk :

• Tunjukkan Wf ∩Dg 6= φ

• Gunakan aturan (g ◦ f)(x) = g(f(x)), aturan Dg◦f = {x ∈ Df

; f(x) ∈ Dg}, kemudian tentukan batasan y dengan aturanketaksamaan dengan x ∈ Dg◦f .

5. Diketahui fungsi f dengan f (x) = x2 , rumuskan g(x) dimana grafikfungsi g didapat dari grafik fungsi f dengan

(a) mencerminkan terhadap sumbu x , kemudian menggeser sejauh 1satuan ke kanan, selanjutnya diregangkan secara tegak dengan faktor2.

(b) mencerminkan terhadap sumbu y , dimampatkan secara mendatardengan faktor 2, kemudian menggeser sejauh 2 satuan ke bawah

6. Diketahui fungsi f dengan f (x) = [|x|]

(a) Gambar grafik fungsi f

(b) Gunakan pencerminan untuk menggambar grafik fungsi g dengang(x) = − [|x|]

(c) Gunakan pencerminan untuk menggambar grafik fungsi h denganh(x) = [|−x|]

7. Diketahui

f(x) ={−1 ; x ≤ 0x− 2 ; x > 0

g(x) = cos x ; −π ≤ x ≤ π

h(x) = |x|Tentukan

31

(a) f − h beserta daerah asal dan daerah hasil

(b) f ◦ g beserta daerah asal dan daerah hasil(Petunjuk : periksa dahulu apakah f ◦ g terdefinisi)

(c) h ◦ f beserta daerah asal dan daerah hasil(Petunjuk : periksa dahulu apakah h ◦ f terdefinisi)

(d) f + g beserta daerah asal dan daerah hasil

8. Diketahui fungsi f dengan f (x) =x2 +

√x

x− 2, tentukan daerah definisi

fungsi f.

(Petunjuk : pandang fungsi f sebagai hasil operasi beberpa fungsi, ke-mudian gunakan aturan menentukan daerah definisi operasi fungsi)

Latihan Mandiri 2.3

1. Diketahui fungsi f dan g dengan f (x) = [|x|] dan g(x) =√

x. Tentukandaerah definisi dan daerah hasil fungsi f + g dan fg.

2. Diketahui fungsi f dan g dengan f (x) =√

x2 − 1 dan g(x) =√

2x + 1.Tunjukkan bahwa g ◦ f terdefinisi, tentukan aturan fungsi g ◦ f besertadaerah definisi dan daerah hasilnya.

3. Diketahui fungsi f dan g dengan f (x) = 2x + 1 ; 0 ≤ x < 3 dang(x) = x2 − 1 ; x ≤ −1

(a) Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f dan g.

(b) Selidiki apakah fungsi f ◦ g dan g ◦ f terdefinisi

(c) Jika fungsi komposisi terdefinisi, tentukan aturan fungsi f ◦ g dang ◦ f beserta daerah definisi dan daerah hasilnya.

4. Diketahui fungsi f dan g dengan

f (x) ={−x ; x < 02x ; x ≥ 0 dan g(x) = x2 − 1

(a) Tentukan daerah definisi dan daerah hasil fungsi f dan g.

(b) Selidiki apakah fungsi f ◦ g dan g ◦ f terdefinisi

(c) Jika fungsi komposisi terdefinisi, tentukan aturan fungsi f ◦ g dang ◦ f beserta daerah definisi dan daerah hasilnya.

5. Diketahui fungsi f dengan

f(x) =

2 ; x ≤ 02− x ; 0 < x ≤ 2x− 2 ; x > 2

32

(a) Gambar grafik fungsi f

(b) Gambar grafik fungsi g dan tentukan rumus g(x) = f(x− 1)

(c) Gambar grafik fungsi h dan tentukan rumus h(x) = f(2x) + 1

(d) Gambar grafik fungsi H dan tentukan rumus H(x) = 2f(−x)


f (x) ={

x ; x ≥ 21 + x2 ; x < 2 dan g(x) =

{5 ; x < 01− 2x ; x ≥ 0

Tentukan f + g dan g ◦ f beserta daerah definisi dan daerah hasilnya.


f(x) ={

1 ; x ≥ 22− x ; x < 2

Didefinisikan g(x) = f(|4 + x|) dan h(x) = 2f(x)− g(x), tentukan

(a) daerah definisi dan daerah hasil fungsi g dan h

(b) gambar grafik fungsi g dan h

2.4 Model Matematika

Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali menggunakanfungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Tujuan model adalahmemahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan tentang perilakudi masa depan.

Latihan Mandiri 2.4

1. Sebuah perahu meninggalkan dermaga pada pukul 14.00 dengan kecepatankonstan. Pada pukul 16.00 perahu sampai di pulau P yang berjarak 60km dari dermaga. Nyatakan jarak , S , sebagai fungsi linear dari waktu,t. Gambarkan grafik fungsinya.

2. Sebuah balon berbentuk bola dengan jari-jari r meter, mempunyai isiV (r) = 1

3πr2. Tentukan fungsi yang menyatakan banyaknya udara yangdiperlukan untuk menggelembungkan balon dari jari-jari r meter ke jari-jari (r + 1) meter.

3. Menurut penelitian, lingkar (garis tengah) batang pohon jati, P , yangtumbuh di tanah dengan kesuburan tertentu akan membesar menurutumur pohon jati, t , tersebut sebagai berikut. Pada umur kurang dari3 tahun, garis tengah batang pohon jati tumbuh linear dengan laju 5 cm

33

per tahun. Pada umur 3 sampai dengan 10 tahun garis tengah batangpohon jati membesar secara linear dengan laju 20 cm per tahun, dan padaumur lebih dari 10 tahun garis tengah batang pohon jati bertambah secaralinear dengan laju 2 cm per tahun.

(a) Tentukan fungsi garis tengah batang pohon jati, P , terhadap umurpohon , t.

(b) Gambarkan grafik P (t)

(c) Berapa garis tengah batang pohon jati yang berumur 2 tahun, 8tahun, dan 12 tahun.

4. Sebuah toko bahan bangunan menerapkan diskriminasi harga batu merahkepada pembelinya, maksudnya adalah total uang yang harus dibayar,B , tergantung dari banyaknya genteng, x , yang dibeli dengan aturansebagai berikut. Jika membeli kurang dari 100 batu merah, pembeliharus membayar harga per buah batu merah 1000 rupiah. Jika membeli100 sampai dengan 500 batu merah, harga batu merah per buah didiskon5%, dan jika membeli lebih dari 500 batu merah maka harga batu merahper buah didiskon 10%.

(a) Nyatakan secara aljabar hubungan antara tingkat diskon, D , denganbanyaknya batu merah yang dibeli, x.

(b) Berapa rupiah total uang yang harus dibayar jika membeli 300 batumerah dan membeli 700 batu merah.

(c) Nyatakan secara aljabar hubungan antara total uang yang harusdibayar, B , dengan banyaknya batu merah yang dibeli, x.

(d) Gambar grafik D(x) dan B(x).

34

3 Limit dan Kekontinuan Fungsi

Pokok Bahasan

1. Limit Fungsi

2. Hukum Limit

3. Kekontinuan Fungsi

Prasyarat : Fungsi, daerah definisi dan daerah hasil, operasi aljabar fungsi,fungsi komposisi.

Tujuan/sasaranMahasiswa dapat

1. menjelaskan pengertian limit secara intuisi

2. menggunakan teorema limit utama, teorema substitusi, teorema jepit/apit,untuk menghitung limit fungsi.

3. merumuskan definisi kekontinuan fungsi di satu titik dan kekontinuan padaselang.

4. menjelaskan dan menggunakan teorema nilai antara.

3.1 Limit Fungsi

Limit Fungsi di Satu Titik

Limit fungsi di satu titik menggambarkan perilaku fungsi jika peubah be-basnya mendekati suatu titik.

Misal fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat c, kecuali mungkindi c.

limx−→c

f(x) = L

artinya apabila nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan caramembuat nilai x cukup dekat ke c, tetapi x 6= c

Tugas 11Diketahui fungsi f dengan

f(x) ={

2 ; x 6= 03 ; x = 0

limx−→0

f(x) = limx−→0

· · · = · · ·

35

Limit Satu SisiLimit satu sisi menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati

suatu titik dari satu arah saja, kiri atau kanan.

IlustrasiPerhatikan fungsi f dengan

f(x) =

x + 1 ; x ≤ 01− x ; 0 < x ≤ 1x2 + 2 ; 1 ≤ x ≤ 4

• nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0 dengan cara mengambil xcukup dekat ke 1 dari arah kiri, x 6= 1, dilambangkan sebagai

limx−→1−

f(x) = 0

• nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3 dengan cara mengambil xcukup dekat ke 1 dari arah kanan, x 6= 1, dilambangkan sebagai

limx−→1+

f(x) = 3

Theorem 3 limx−→c

f(x) = L ⇐⇒ limx−→c−

f(x) = limx−→c+

f(x) = L

Tugas 12Dengan memanfaatkan cara menentukan limit suatu fungsi yang sudah dipela-

jari di SMU dan pengetahuan limit satu sisi, maka tentukan limx−→1−

f(x), limx−→1+

f(x) , dan limx−→1

f(x) jika diketahui f(x) ={

x2 ; x < 12x ; x ≥ 1

Limit Tak HinggaLimit tak hingga menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau

mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik.

Ilustrasi

• Perhatikan fungsi f dengan f(x) =1

|x− 1|

limx−→1

f(x) = ∞

artinya nilai f(x) dapat dibuat besar tanpa batas (besar tak hingga)dengan cara mengambil nilai x cukup dekat ke 1, tetapi x 6= 1.

36

• Perhatikan fungsi f dengan f(x) =1x

limx−→0+

f(x) = ∞

limx−→0−

f(x) = −∞

3.2 Hukum Limit

Theorem 4 (Teorema Limit Utama)Misalkan k konstanta, n bilangan bulat positif, lim

x−→cf(x) dan lim

x−→cg(x) ada,

maka

1. limx−→c

k = k

2. limx−→c

x = c

3. limx−→c

kf(x) = k limx−→c

f(x)

4. limx−→c

(f(x) + g(x)) = limx−→c

f(x) + limx−→c

g(x)

5. limx−→c

(f(x)− g(x)) = limx−→c

f(x)− limx−→c

g(x)

6. limx−→c

(f(x)g(x)) = limx−→c

f(x) lim g(x)

7. limx−→c

(f(x)g(x)

)=

limx−→c

f(x)

limx−→c

g(x); jika lim

x−→cg(x) 6= 0

8. limx−→c

(f(x))n =(

limx−→c

f(x))n

9. limx−→c

n√

f(x) = n

√lim

x−→cf(x) ; jika lim

x−→cf(x) > 0 untuk n genap

Bahan DiskusiSelesaikan lim

x−→2([|x|] + [|−x|])

Bagaimana anda menyelesaikan soal ini, dapatkah teorema limit utama di-gunakan sebagai alat untuk menyelesaikan soal tersebut. Berikan alasan Anda.

37

Theorem 5 (Teorema Substitusi)Jika f fungsi polinom dan fungsi rasional, c dalam daerah definisi fungsi

f , maka

limx−→c

f(x) = f(c)

Theorem 6 (Teorema Jepit/Apit)Jika f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) berlaku pada x disekitar c (kecuali mungkin di

c) dan limx−→c

f(x) = limx−→c

h(x) = L, maka limx−→c

g(x) = L

Latihan Terbimbing 3.1 dan 3.2

1. limx−→2

(x2 + 1)

(Petunjuk : gunaka teorema substitusi)

2. limx−→4

(2 +√

x)

(Petunjuk : gunakan teorema limit utama, aturan penambahan)

3. limx−→2

[|x|] = · · · · · · · · ·

(Petunjuk : gunakan limit satu sisi)

4. limx−→0

([|x|]x)

(Petunjuk : gunakan limit satu sisi)

5. limx−→4

x3 + x + 12x2 + 1

(Petunjuk : gunakan teorema substitusi)

6. limx−→1

x2 + x = 2x2 − 1

(Petunjuk : sederhanakan fungsinya, kemudian gunakan teorema substi-tusi)

7. limx−→2

∣∣x2 − 4∣∣

x− 2(Petunjuk : sederhanakan fungsinya, kemudian gunakan limit satu sisi)

38

8. limx−→−1

√x3 − 1

(Petunjuk : gunakan teorema limit utama, aturan akar)

9. limx−→1

√x2 + 1

(Petunjuk : gunakan teorema limit utama, aturan akar)

10. limx−→0

x2 +√

x

x + 1(Petunjuk : cari daerah definisi, kemudian gunakan limit satu sisi)

11. limx−→2−

2x− 2

= · · · · · · · · · dan limx−→2+

2x− 2

= · · · · · · · · ·

(Petunjuk : limit tak hingga)


2x− 1 ; x ≤ 12− x ; 1 < x < 2

x2 x ≥ 2

Tentukan (jika ada)

(a) limx−→0

f(x)

(b) limx−→1

f(x)

(c) limx−→2

f(x)

13. limx−→1−

x2 + 1(x− 1)(x + 1)3

(Petunjuk : limit tak hingga)

14. limx−→1

(x− 1)2 sin(

π

x− 1

)

Latihan Mandiri 3.1 dan 3.2

1. limx−→2

3 + x− x3


1− x ; x ≤ −1x + 1 ; −1 < x < 0(x− 1)2 x ≥ 0

Tentukan (jika ada)

39

(a) limx−→−1

f(x)

(b) limx−→0

f(x)

(c) limx−→2

f(x)

3. limx−→−2

3− 5x

x + 1

4. limx−→2+

x + 1x− 2

5. limx−→0

x + 2x2(x− 2)

6. limx−→0

√x + 1−

√1− x

x

7. limx−→1+

x2 − |x− 1| − 1|x− 1|

8. limx−→2

[∣∣x + 12

∣∣]9. lim

x−→1[|2x|]

10. limx−→2

1 +√

x− 2x + 1

11. limx−→0

(1

x√

4 + x− 1

2x

)

12. limx−→1

√x− x2

1−√

x

13. limx−→0

|x| cos(

2π

x

)

14. limx−→2+

|x− 2|x− [|x|]

40

3.3 Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan Di Satu TitikMisalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat c . Fungsi f

dikatakan kontinu di c jika

limx−→c

f(x) = f(c)

atau, syarat fungsi f kontinu di c jika dijabarkan sebagai berikut

1. f(c) terdefinisi

2. limx−→c

f(x) ada

3. limx−→c

f(x) = f(c)

Jika ada dari 3 syarat di atas tidak dipenuhi, maka dikatakan f tidakkontinu di c.

Tugas 13

1. Diketahui fungsi f dengan f (x) =x2 − 1x− 1

(a) Periksa apakah f kontinu di x = 1

(b) Beri alasan

2. Diketahui fungsi f dengan f (x) ={

x + 1 ; x ≤ 1x2 ; x > 1


(b) Beri alasan

3. Diketahui fungsi f dengan f (x) =1

|x− 1|


(b) Beri alasan

4. Diketahui fungsi f dengan f (x) =

x2 + x− 2x− 1

; x 6= 1

5 ; x = 1


41

(b) Beri alasan

Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, b]. Fungsi f dikatakankontinu kiri di b ⇐⇒ lim

x−→b−f(x) = f(b)

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a, b). Fungsi f dikatakankontinu kanan di a ⇐⇒ lim

x−→a+f(x) = f(a)

Kontinu Selang

1. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a, b). jika f kontinupada setiap titik pada selang tersebut.

2. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutup [a, b]. jika f kontinupada setiap titik pada selang terbuka (a, b), f dikatakan kontinu kiri dib, dan f dikatakan kontinu kanan di a.

Tugas 14

1. Diketahui fungsi f dengan f (x) =√

4− x

2. Periksa apakah f kontinu di x = 4

3. Periksa apakah f kontinu kiri di x = 4

4. Periksa apakah f kontinu pada selang tutup [1, 4]

Bahan Diskusi

1. Jika fungsi f kontinu di x = c, maka fungsi f kontinu kanan padaselang [c, d]

Benarkah? beri alasan!

2. Jika fungsi f kontinu kanan pada selang [c, d], maka fungsi f kontinudi x = c

Benarkah? beri alasan!

42

Theorem 7 1. Jika f dan g kontinu di c dan k konstanta, maka fungsi

f + g, f − g, fg, kf juga kontinu di c serta fungsif

gjuga kontinu di

c asalkan g(c) 6= 0.

2. Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah definisinya

(a) fungsi polinom

(b) fungsi rasional

(c) fungsi trigonometri

(d) fungsi akar

3. Teorema Limit Fungsi Komposisi

Jika limx−→c

g(x) = L dan f kontinu di L, maka limx−→c

f(g(x)) =

f( limx−→c

g(x)) = L

4. Teorema Kekontinuan Fungsi Komposisi

Jika fungsi g kontinu di c dan fungsi f kontinu di g(c), maka fungsikomposisi f ◦ g kontinu di c

5. Teorema Nilai Antara

Jika fungsi f kontinu pada selang tutup [a, b] dan bilangan w beradadiantara f(a) dan (b), maka dijamin ada bilangan c antara a danb sehingga f(c) = w

Untuk mempertajam pengertian konsep kekontinuan fungsi, bahaslah den-gan anggota kelompok belajar Anda atau diskusikan saat kuliah soal-soal padabahan diskusi dan soal-soal pada latihan terbimbing maupun pada latihan mandiri.

Bahan Diskusi

1. Perhatikan Teorema Limit Fungsi Komposisi. Jika syarat cukup teorematersebut tidak dipenuhi, apakah lim

x−→cf(g(x)) tidak ada? beri alasan dan

contoh kasusnya.

2. Perhatikan Teorema Kekontinuan Fungsi Komposisi. Jika syarat cukupteorema tersebut tidak dipenuhi, apakah f ◦ g tidak kontinu di c? beri

alasan dan contoh kasusnya.

43

Latihan Terbimbing 3.3


f(x) =

x2 ; x < 12− x ; 1 < x ≤ 41 +

√x ; x > 4

(a) Periksa apakah fungsi f kontinu di x = 0? beri alasan

(b) Periksa apakah fungsi f kontinu di x = 1? beri alasan

(c) Periksa apakah fungsi f kontinu di x = 4? beri alasan

2. Tentukan daerah kekontinuan fungsi f berikut dengan

(a) f(x) =√

4− x2

(b) f(x) =1−

√x

x− 2Petunjuk : pandang fungsi f sebagai fungsi hasil oparasi beberapafungsi, sehingga gunakan aturan kekontinuan operasi fungsi dalammenentukan daerah kekontinuan

3. Tentukan konstanta a, b, c, dan d agar fungsi f kontinu pada R. dengan

f(x) =

ax2 + b ; x ≤ 03x− 2 ; 0 < x ≤ 22c− x2 ; 2 < x ≤ d−17 x > d

Petunjuk : periksa kekontinuan di titik-titik x = 0, x = 2, dan x = d

4. Diketahui fungsi f dengan limx−→0

f(x) = 2 dan fungsi g dengan g(0) = 3

(a) Jika f kontinu di x = 0, tentukan (f + g)(0)

(b) Jika g kontinu di x = 2 dan limx−→0

g(x) = −5, maka tentukan

lim 2x−→0

(g ◦ f) (x)


f(x) =

x− 1|x− 1|

; x 6= 1

0 ; x = 1

dan g(x) = x2 + 1.

Tentukan (jika ada)

(a) limx−→1

f(x)

(b) limx−→1

(g ◦ f) (x)

44

(c) kekontinuan fungsi g ◦ f di x = 1

(d) limx−→0

g(x)

(e) limx−→0

(f ◦ g) (x)

(f) kekontinuan fungsi f ◦ g di x = 0

6. Diketahui fungsi f dengan f(x) = x3 − 4x2 − 5x + 9

(a) Periksa apakah fungsi f kontinu pada selang [0, 4]

(b) Buktikan persamaan f(x) = −5 mempunyai penyelesaian padaselang [0, 4]Petunjuk : periksa dahulu syarat cukup TNA, jika dipenuhi makaterbukti.

Latihan Mandiri 3.3


x2 − 9x + 3

x 6= −3

2 x = −3

(a) Periksa apakah fungsi f kontinu di x = −3? beri alasan

(b) Periksa apakah fungsi f kontinu di x = 1? beri alasan

2. Tentukan daerah kekontinuan fungsi f dengan

(a) f(x) =x− 1x2 + 4

(b) f(x) =x√

x− 1x2 − 4

(c) f(x) =5

5−√

x2 − 16

45

3. Tentukan konstanta A dan B agar fungsi f kontinu di x = −1 dandi x = 2

f(x) =

Ax + B ; x < −13 |x|+ 2 −1 ≤ x ≤ 2Bx2 −A x > 2

4. Buktikan bahwa ada bilangan c yang memenuhi persamaan c3 + c2 =1 + 2c


f(x) ={−1 ; x < −13− 3 ; x ≥ −1

g(x) ={

2− x ; x > 3x + 1 ; x ≤ 3

(a) Tentukan (jika ada) limx−→3

g(x)

(b) Periksa apakah f kontinu di x = −1

(c) Tentukan (jika ada) limx−→3

(f ◦ g) (x)

(d) Periksa kekontinuan fungsi f ◦ g di x = 3

(e) Tentukan (jika ada) limx−→−1

f(x)

(f) Periksa apakah g kontinu di x = 3

(g) Tentukan (jika ada) limx−→−1

(g ◦ f) (x)

(h) Periksa kekontinuan fungsi g ◦ f di x = −1

46

Modul UAS PM.TPB IPB

Documents