1 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution LOGIKA MATEMATIKA Logika matematika mempunyai peranan mendasar dalam perkembangan teknologi computer. Karena logika digunakan dalam berbagai aspek di bidang computer seperti pemrograman, ersitektur computer, basisdata dan sebagainya. Nah coba kamu tentukan keterkaitan antara logika matematika dengan pemrograman computer. Logika merupakan ilmu yang mempelajari aturan-aturan penalaran (pemikiran logis) baik dalam bidang matematika, sains, hokum dan bidang lainnya. Logika berhubungan dengan pernyataan. Oleh karena itu, dalam logika hanya terdapat dua kemungkinan kebenaran, yaitu benar atau salah. Dalam pengoperasian computer hanya dikenal du kondisi yang analog dengan logika, yaitu ada atau tidak adanya aliran listrik. Kondisi ini dapat diartikan dalam bahasa logika sebagai kondisi “True” atau “False”. Masih ingatkah kamu akan bilangan biner? Sistem bilangan inilah yang digunakan dalam setiap instruksi pada computer. Instruksi ini pada dasarnya merupakan serangkaian kombinasi logis. Dalam bahasan berikut, kita akan mempelajari logika dimulai dengan pengertian tentang pernyataan, bentuk-bentuk logika sama dengan metode-metode penalaran atau pemikiran logis.
28
Embed
MODUL SEMESTER 2 - · PDF fileKalimat merupakan rangkaian kata-kata yang disusun sedemikian rupa ... memperoleh suatu pernyataan sederhana seperti 1 + 1 ... komponen-komponennya
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika mempunyai peranan mendasar dalam perkembangan teknologi
computer. Karena logika digunakan dalam berbagai aspek di bidang computer seperti
pemrograman, ersitektur computer, basisdata dan sebagainya. Nah coba kamu tentukan
keterkaitan antara logika matematika dengan pemrograman computer.
Logika merupakan ilmu yang mempelajari aturan-aturan penalaran (pemikiran logis) baik
dalam bidang matematika, sains, hokum dan bidang lainnya.
Logika berhubungan dengan pernyataan. Oleh karena itu, dalam logika hanya terdapat dua
kemungkinan kebenaran, yaitu benar atau salah.
Dalam pengoperasian computer hanya dikenal du kondisi yang analog dengan logika, yaitu ada
atau tidak adanya aliran listrik. Kondisi ini dapat diartikan dalam bahasa logika sebagai kondisi
“True” atau “False”.
Masih ingatkah kamu akan bilangan biner? Sistem bilangan inilah yang digunakan dalam
setiap instruksi pada computer. Instruksi ini pada dasarnya merupakan serangkaian kombinasi
logis.
Dalam bahasan berikut, kita akan mempelajari logika dimulai dengan pengertian tentang
pernyataan, bentuk-bentuk logika sama dengan metode-metode penalaran atau pemikiran logis.
2 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
A. PERNYATAAN, BUKAN PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA.
1. Pernyatan dan Bukan Pernyataan
Kalimat merupakan rangkaian kata-kata yang disusun sedemikian rupa sehingga memiliki
arti yang utuh. Kalimat itu sendiri dikelompokkan menjadi 4 (empat) kelompok, yaitu : kalimat
pernyataan, kalimat Tanya, kalimat perintah, dan kalimat seru.
Dalam matematika, kalimat yang penting adalah kalimat pernyataan (deklaratif). Kalimat
seperti ini memiliki cirri khusus, yaitu kita dapat menentukan kalimat itu sebagai kalimat yang
hanya benar saja atau sebagai kalimat yang salah saja. Sebagai contoh :
a. Sembilan adalah bilangan ganjil
b. Sin 300 sama dengan 1
32
c. Ibu kota Indonesia adalah Yogyakarta.
d. Pada segitiga siku-siku berlaku kuadrat sisi miring sama dngan jumlah kuadrat sisi-sisi yang
lain.
Kalimat (a), (b), (c), (d) pada contoh di atas merupakan pernyataan, mengapa?
Pada kalimat (a) dan (d) kita dapat menentukan bahwa kalimat-kalimat tersebut adalah benar dan
kalimat (b) dan (c) adalah kalimat yang bernilai salah.
Dari penjelasan di sata, kita peroleh definisi sebagai berikut :
Perhatikan contoh berikut :
a. x + 5 = 17
b. p adalah bilangan prima
c. Ani adalah gadis yang cantik
d. Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat.
Kalimat (a), (b), (c) dan (d) bukan pernyataan. Pada kalimat-kalimat tersebut kita tidak
dapat menentukan papakah kalimat itu benar atau salah. Untuk lebih jelasnya perhatikan
penjelasan berikut ini.
Kalimat “x + 5 = 17” adalah bukan pernyataan karena bila x diganti dengan 12, maka 12 + 5
= 17 menjadi pernyataan yang benar, tetapi bila x diganti dengan sembarang bilangan real yang
Pernyataan adalah kalimat tertutup yang hanya benar atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya
DEFINISI
3 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
tidak sama dengan 12, maka kalimat tersebut bernilai salah. Jadi kalimat tersebut bias bernilai
benar atau bernilai salah tergantung dari nilai x. Jadi x + 5 = 17 bukanlah pernyataan.
Kalimat “p adalah bilangan prima” merupakan bukan pernyataan karena bila p diganti
dengan 0, maka pernyataan “0 adalah bilangan prima” bernilai salah, tetapi bila p diganti dengan 3,
maka pernyataan “3 adalah bilangan prima” bernilai benar.
Kalimat “Ani adalah gadis cantik” adalah relative, cantik menurut si A belum tentu cantik
menurut si B. Jadi kalimat “Ani adalah gadis cantik” bukan pernyataan.
Demikian pula hanya untuk kalimat “jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat”
adalah bukan pernyataan. Karena dekat itu relative. Jarak antara Jakarta dan Surabaya dekat
apabila dibandingkan dengan jarak antara Jakarta dan Kairo sehingga menjadi pernyataan yang
benar, tetapi bila dibandingkan dengan jarak antara Jakarta dan Bandung maka menjadi
pernyataan yang salah.
Dari penjelasan di atas, maka diperoleh definisi sebagai berikut.
Soal Latihan
Manakah dari kalimat-kalimat berikut yang merupakan pernyataan? tentukan nilai kebenarannya.
1. Sin2 300 + cos2 300 = 1
2. 2x – 6 = 18
3. 54 habis dibagi 3
4. Persegi adalah persegi panjang yang mempunyai panjang dan lebar sama
5. 100 : 5 = 20
6. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 3600
7. Rumus luas persegi panjang adalah panjang dikalikan lebarnya.
8. Menara itu sangat tinggi
9. 2 adalah bilangan rasional
10. Bilangan asli merupakan himpunan bagian dari bilangan bulat
11. Sekarang menunjukkan jam 09.00
12. Pelajar yang malas tidak suka belajar
Suatu kalimat merupakan bukan pernyataan jika kalimat tersebut tidak dapat ditentukan
benar atau salahnya atau menggantung pengertian relative.
DEFINISI
4 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
13. Kota besar menyerap tenaga kerja dari pedesaan
14. Keliling segitiga merupakan jumlah panjang ketiga sisi-sisinya
15. Udara di Kota Bandung sejuk sekali
Manakah dari kalimat-kalimat berikut yang merupakan kalimat terbuka? Tentukan penyelesaian
dari himpunan penyelesaiannya!
16. Satu jam sama dengan 360 detik
17. x menit sama dengan 34
jam
18. 2x2 – 7x – 15 = 0, x anggota Real
19. 2k +1 merupakan bilangan ganjil untuk k anggota bilangan cacah
20. 2k merupakan bilangan genap untuk k anggoata bilangan cacah
21. Untuk setiap bilangan riil x berlaku x < x2
22. cos x < 1 untuk 00 x 900
23. Ada bilangan prima yang genap
24. x2 < 3 – 2x, x anggota bilangan real
25. Satu windu sama dengan p hari
B. INGKARAN atau NEGASI
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menyangkal atau mengingkari sesuatu. Untuk
mengingkari atau menyangkal sesuatu kita seringkali menggunakan kata “tidak”, “tidak benar” atau
“bukan”. Misalnya ada seorang teman kamu mengatakan bahwa “Paus bernafas dengan insang”.
Karena kamu mengetahui bahwa pernyataan temanmu itu salah, maka kamu menyangkal
pernyataan tersebut dengan mengatakan
1. Tidak benar bahwa paus bernafas dengan insang, atau
2. Paus tidak bernafas dengan insang, atau
3. Paus bernafas bukan dengan insang, atau
4. Paus bernafas dengan paru-paru.
Keempat pernyataan baru diatas yang diperoleh dari menyangkal pernyataan awal disebut negasi.
Negasi atau ingkaran dari pernyataan p ditulis p.
Nilai kebenaran dari suatu ingkaran selalu berlawanan dengan pernyataan semula. Jika “p” benar,
maka ” p ” salah dan jika “p” salah maka “ p ” benar. Perhatikan table kebenaran berikut!
5 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
Tabel 1.1 Tabel kebenaran Negasi
p p
B S
S B
Catatan:
Metamatematika atau metalogika merupakan cabang dari logika yang berkaitan dengan
kombinasi dan aplikasi symbol matematika. Metalogika juga berkaitan dalam penelusuran
penalaran (pembuktian) teorema-teorema yang ada pada matematika
Metalogika ini sendiri terdiri dari beberapa prinsip dasar yang pada umumnya berkaitan
dengan bukti-bukti dari ketetapan dalam merumuskan suatu teorema. Metalogika berkembang
pada sekitar tahun 1800-an seiring dengan banyaknya usaha yang dilakukan metematikawan dalam
merumuskan suatu teorema. Teorema itu sendiri diperoleh sebagai akibat dari aksioma yang tidak
memerlukan pembuktian tersendiri.
Karena memiliki tingkat kesulitan yang tinggi, dalam merumuskan suatu teorema diperlukan usaha
yang lama dan teliti sedemikian sehingga metematika pada saaat itu dipandang sebagai suatu buku
cerita atau novel. Sampai pada akhirnya Whitehead dan Russel menerbitkan buku berjudul
“Principia Mathematica”sekitar tahun 1925. sebagai contoh, ratusan halaman diperlukan untuk
memperoleh suatu pernyataan sederhana seperti 1 + 1 = 2
C. PERNYATAAN MAJEMUK
Dua atau lebih pernyataan dapat digabungkan sehingga membentuk pernyataan baru yang
disebut pernyataan majemuk. Penggabungan tersebut menggunakan kata hubung logika seperti
dan ( ), atau ( ), jika …,maka …( ), serta …jika dan hanya jika …( )
Ada 4 jenis pernyataan majemuk, yaitu:
1. Konjungsi
2. Disjungsi
3. Implikasi
4. Biimplikasi
Suatu pernyataan dapt bernilai benar atau salah, sehingga ada dua kemungkinan nilai untuk setiap
satu pernyataa, yaitu benar (B) atau salah (S). Oleh karena itu, untuk gabungan dua pernyataan p
dan q (pernyataan majemuk) mempunyai komposisi nilai kebenaran seperti pada table berikut :
6 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
Table 1.2 Komposisi Pernyataan
p q
B B
B S
S B
S S
Dengan kata lain suatu pernyataan majemuk tidak diharuskan memiliki hubungan antara
komponen-komponennya. Hal itu merupakan sifat yang mendasar di dalam logika matematika.
1. KONJUNGSI
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “dan”
dilambangkan dengan “ ”. Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q adalah
Suatu konjungsi akan mempunyai nilai benar, jika kedua pernyataannya benar. Tetapi jika
salah satu atau kedua-duanya bernilai salah, maka konjungsi itu bernilai salah.
Tabel 1.3 Nilai Kebenaran p q
p q p q
B B B
B S S
S B S
S S S
Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi berikut :
a. P : Tan 300 = 1
32
(benar)
q : 24 = 16 (benar)
(p q) : tan 300 = 1
32
dan 24 = 16 bernilai benar
b. p : Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur (benar)
q : 7 adalah bilangan genap (salah)
p q , dibaca p dan q
7 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
(p q) : Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur dan 7 adalah bilangan genap bernilai salah
c. p : 225 habis dibagi 4 (salah)
q : 3 x 7 = 16 (salah)
(p q) : 225 habis dibagi 4 dan 3 x 7 = 16 bernilai salah
Catatan :
Pada konjungsi kata logika “dan” dapat diganti dengan “tetapi”, “walaupun”, dan “meskipun”.
2. DISJUNGSI
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “atau” dan
dilambangkan dengan “ ”. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut :
Suatu konjungsi akan mempunyai nilai kebenaran salah jika kedua pernyataannya bernilai
salah. Tetapi jika salah satu atyau kedua-duanya bernilai benar, maka disjungsi itu bernilai benar.
Perhatikan table kebenaran untuk disjungsi berikut :
Tabel. 1.4 Nilai Kebenaran pv q
p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S
Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut :
a. Semua bilangan prima adalah ganjil atau semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x
b. Ada bilangan asli yang terbesar atau jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 1800
c. Semua persegi mempunyai sisi sama panjang atau besar sudut pusat lingkaran sama
dengan dua kali sudut keliling
Jawab :
a. p : semua bilangan prima ganjil, berarti pernyataan bernilai salah
q : semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x, pernyataan bernilai salah
jadi p v q bernilai salah
p q, dibaca : p atau q
8 Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
b. p : ada bilangan asli yang terbesar , berarti pernyataan bernilai salah
q : jumlah sudut sudut dalam segitiga adalah 1800 , pernyataan bernilai benar
jadi p v q bernilai benar
c. p : semua persegi mempunyai sisi sama panjang, pernyataan bernilai benar
q : besar sudut pusat lingkaran sama denngan dua kali sudut keliling, pernyataan bernilai
benar
jadi p v q bernilai benar
3. IMPLIKASI
Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk dari pernyataan p dan
pernyataan q yang berbentuk :
p disebut anteseden (sebab) dan q disebut konsekuen (akibat atau konklusi). Jadi, suatu
implikasi menyatakan hubungan sebab-akibat walaupun pada dasarnya nilai kebenaran suatu
pernyataan majemuk tiddak diharuskan ada hubungan antara komponen-komponen