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Modélisation et Identification des
systèmes électriques
MEC 81
Semestre: 2 Master : Commande Electrique
UE Fondamentale Code : MEC 81
Matière: Modélisation et Identification des systèmes électriques
(MISE)
VHS: 45h (Cours: 1h30, TD: 1h30)
Crédits: 4 Coefficient: 2
Mode d’évaluation : Control continu : 40% ; Examen : 60%.
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Connaissances préalables recommandées:
Notions de base en génie électriques (EEA) et en
mathématiques
Objectifs de l’enseignement:
La modélisation des systèmes électrotechniques est indispensable
à la compréhension et la commande de ces dispositifs. Le choix des
modèles et l'analyse critique des résultats des simulations sera au
cœur de cette UE.
Capacités et compétences visées :
Etre capable de comprendre les principes de modélisation et
développer des modèles pour des systèmes électriques et identifier
les paramètres et analyser le comportement pour un cahier de
charges précis.
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Chapitre 1 : Systèmes et expériences (02 semaines)
Généralités, types de modèles, modèles et simulation, comment
obtenir un modèle
Chapitre 2 : Modèle mathématique (02 semaines)
Schéma bloc d’un système, variables caractéristiques,
représentations interne et externe d’un système
Chapitre 3 : Modélisation des systèmes électriques (02
semaines)
Modélisation d’un composant passif, d’un composant actif, des
circuits électriques de base
Chapitre 4 : Outils de modélisation (02 semaines)
Bond graph (BG) ou Graphe informationnel causales (GIC))
(Application aux circuits électriques
Chapitre 5 : Généralités sur l’identification (02 semaines)
Définitions, étapes, génération SBPA, choix de la structure du
modèle
Chapitre 6 : Méthodes d’identification graphiques (02
semaines)
Méthode de Strejc, méthode de Broïda…
Chapitre 7 : Méthodes d’identification numériques (03
semaines)
Méthodes récursives, méthode non récursives.
PROGRAMME
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TP n° 1 : Modélisation et simulation des circuits électriques
passif ou actif.
TP n° 2 : Modélisation et simulation des convertisseurs
électromécaniques
TP n° 3 Mesure directe de la réponse d'un système
TP n° 4 : Identification paramétrique d’un système électrique
par les Méthodes de Strejc et Broïda
TP n° 5 : Identification numérique (en ligne) d'une Machine DC
par la Méthode des moindres carrées récursives MCR
TP n° 6 : Identification numérique (en ligne) d'un Machine AC
par la Méthode des moindres carrées récursives MCR
Mode d’évaluation : Control continu : 100%.
Travaux pratiques de Modélisation &Identification des
Systèmes Electriques
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DYNAMIC MODELING AND CONTROL OF ENGINEERING SYSTEMS
Modeling and Simulation of Systems Using MATLAB and Simulink
Devendra
K. Chaturvedi
, LINEAR SYSTEMS ANALYSIS, SECOND EDITION, A.N. TRIPATHI, NEW
AGE
INTERNATIONAL (P) LIMITED, PUBLISHERS, 1998
, NEW AGE INTERNATIONAL (P) LIMITED, PUBLISHERS, 1998
Modeling Identification and Simulation of Dynamic Systems P.P.J.
van den
Bosch, A.C. van der Klauw, CRC Press 1994
Modeling of Dynamic Systems L. Ljung and T. Glad Prentice Hall
1994
System Modeling and Identification R.Johanessen Prentice Hall
1993
L. Ljung: System Identification: Theory for the User. Prentice
Hall 1999, 2nd ed
Références bibliographiques: METRE A JOURS
http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://fr.bookzz.org/g/Devendra
K. Chaturvedihttp://fr.bookzz.org/g/Devendra K.
Chaturvedihttp://fr.bookzz.org/g/Devendra K.
Chaturvedihttp://fr.bookzz.org/g/Devendra K.
Chaturvedihttp://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/
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Introduction Modélisation &
Identification des Systèmes Electriques
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Introduction
Modélisation & Identification des
Systèmes Electriques
L’Electrotechnique est une discipline
scientifique liée à l’industrie: Elle étudie les
systèmes dynamiques, les signaux et
l’information, à des fins de conduite
(commande et control) ou de prise de
décision.
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Introduction
Modélisation & Identification des
Systèmes Electriques
Les mots clés de notre UE
sont :
• Systèmes Electriques
• Modélisation
• Identification
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CHAPITRE1 : Généralités sur les systèmes, la modélisation et
l’identification
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Généralités sur les systèmes
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Hierarchically nested set of systems.
System as collection of interconnected components.
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Grandeurs relatives à un système
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Modeling and Control of Engineering Systems, Clarence W. de
Silva, P38 Table 1.x : Some Linear Constitutive Relations
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Classification of Systems
According to the Time Frame (Selon l,interval du temps): Systems
can be
categorized on the basis of time frame as : Discrete Continuous
Hybrid
According to the Complexity of the System : Systems can be
classified on the
basis of complexity, as shown in Figure 1.3. : Physical sys,
Conceptual sys &
Esoteric sys.
Classification of system based on complexity.
Les systèmes
peuvent être
classés en
fonction de
leur
complexité,
comme
illustré à la
figure 1.3. :
Systèmes
physiques,
systèmes
conceptuels
et systèmes
ésotériques
يمكن تصنيف
األنظمة وفقًا
لتعقيدها ، كما
هو موضح في
. : 1.3الشكل
النظم
الفيزيائية
والنظم
المفاهيمية
والنظم
الباطنية
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Physical systems peuvent être définis comme des systèmes dont
les variables peuvent être mesurées avec des dispositifs physiques
quantitatifs tels
qu'un système électrique, un système mécanique, un système
informatique, un
système hydraulique, un système thermique ou une combinaison de
ces
systèmes. Un système physique est un ensemble de composants dans
lequel
chaque composant a son propre comportement, utilisé à des fins
spécifiques.
Ces systèmes sont relativement moins complexes. Certains des
systèmes
physiques sont montrés aux figures a et b.
Conceptual systems sont ces systèmes dans lesquels toutes les
mesures sont conceptuelles ou imaginaires et sous forme qualitative
comme
dans les systèmes psychologiques, les systèmes sociaux, les
systèmes de
soins/ santé et systèmes économiques. La figure 1.4c montre le
système de
transport. Les systèmes conceptuels sont les systèmes dans
lesquels la
quantité d'intérêt ne peut pas être mesurée directement avec des
appareils
physiques. Ce sont des systèmes complexes.
Esoteric systems sont les systèmes dans lesquels les mesures
ne sont pas possibles avec des appareils de mesure
physiques.
La complexité de ces systèmes est de premier ordre.
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(a) (c)
According to the Interactions syst also depends upon the degree
of interconnection of events from none to total
Interactions may be unidirectional or bidirectional, crisp or
fuzzy, static or dynamic, etc.
Types of systems. (a) Mechanical system. (b) Electronic circuit.
(c) Transportation system.
(b)
Systems will be divided into three classes according to the
degree of interconnection
of events.
1. Independent—If the events have no effect upon one another,
then the system is
classifyed as independent.
2. Cascaded—If the effects of the events are unilateral (that
is, part A affects part B, B
affects C, C affects D, and not vice versa), the system is
classifi ed as cascaded.
3. Coupled—If the events mutually affect each other, the system
is classifi ed as
coupled.
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According to the Nature and Type of Components
1. Static or dynamic components
2. Linear or nonlinear components
3. Time-invariant or time-variant components
4. Deterministic or stochastic components
5. Lumped parametric component or distributed parametric
component
6. Continuous-time and discrete-time systems
According to the Uncertainties Involved
Deterministic—No uncertainty in any variables, for example,
model of pendulum. Stochastic—Some variables are random, for
example, airplane in fl ight with random wind gusts,
mineral-processing plant with random grade ore, and phone network
with random arrival times and call lengths. Fuzzy systems—The
variables in such type of systems are fuzzy in nature. The fuzzy
variables are quantifi ed with linguistic terms.
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Généralités la modélisation
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Qu'est-ce que la modélisation? La
modélisation est un processus
d'abstraction d'un système réel. Un modèle décrit un cadre
conceptuel pour décrire un
système et peut être considéré comme une abstraction
d'un système réel ou d'une réplique physique d'un
système ou d'une situation.
C'est une représentation factuelle de la
réalité ( للواقع الواقعي التمثيل ).
Le mot modèle est dérivé du latin et sa
signification est moule ou motif (modèle
physique).
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Objectifs de la modélisation Le modèle et la modélisation sont
des mots de calque avec de nombreuses interprétations différentes.
Par exemple, un modèle de cancer est un animal dans lequel ce
cancer peut être déclenché. Dans ce livre, un modèle sera une
description mathématique d'un processus réel, construit avec un but
précis à l'esprit. Ce but peut être: • Analyser les phénomènes pour
les approfondir
(modèles en physique, chimie ...); • Estimer les quantités pour
lesquelles aucun capteur
n'est disponible, à partir de mesures indirectes; • Tester des
hypothèses (diagnostics médicamenteux
ou fouciologiques, contrôle de la qualité des soins de santé
...);
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• Enseignement (simulateurs pour aéronefs, centrales nucléaires,
patients en état critique ...);
• La prévision du comportement à court terme de Lerm
(contraintes adaptatives des processus modifiant la chaux) ou le
comportement à long terme (prévisions économiques pour la
planification gouvernementale);
• Régulation de Processus (régulation autour d'un point de
consigne nominal, trajectoire suivie de grands transitoires,
contrôle optimal ...);
• (Annulation de bruit, compression de données, filtrage,
interpolation ...).
• L'implémentation d'un filtre de Kalman, par exemple, nécessite
un modèle du processus générant les données.
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Modélisation et modèle mathématique
• Description des systèmes ou de l’essentiel de leurs
rôles par une série:
= d’équations (une ou plusieurs) = de représentations graphiques
(une ou plusieurs)
qui décrivent des relations entre une ou plusieurs
variables d’une manière précise.
– Les modèles mathématiques sont utilisés
particulièrement en biologie, ingénierie électrique et
physique. Egalement dans d’autres domaines comme
en économie, sociologie et science politique.
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Exemple : ( exple ELT) on souhaite investir dans une action qui
rapportera 10 % annuellement. Quel montant aura‐t‐il au bout de
l'année ? i.e touver le modèle du problème
Solution:
L'investissement initial est inconnu. Définissons : X : le
montant investit dans cette action Le montant accumulé à la fin de
l'année sera
X + 10% x = X+ ,01X = 1,1X ( modèle du problème)
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1. Pour trouver la hauteur d'une tour, sans l'escalader
réellement
2. Pour mesurer la largeur d'une rivière sans la traverser
3. Pour mesurer la masse de la Terre, sans utiliser la balance
4. Pour trouver la température à la surface ou au centre du
soleil
5. Pour estimer le rendement du blé à partir de la culture
6. Pour quantifier la quantité de sang dans un corps humain
vivant 7. Pour prévoir la population pour l'année 2050 8. Pour
déterminer le temps requis par un satellite pour
compléter une orbite autour de la terre, disons à la
hauteur d'environ 10 000 km au-dessus du sol
Pourquoi la modélisation est-elle nécessaire?
Parce que ... Elle peut être très utile
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9. Évaluer l'impact d'une réduction de 30% de l'impôt
sur le revenu sur l'économie nationale
10. Vérifier l'efficacité du pistolet efficace dont la
performance dépend de 10 paramètres, chacun
pouvant prendre 10 valeurs différentes, sans
fabriquer réellement 1010 pistolets
11.Pour déterminer le temps moyen entre les
défaillances (MTBF) ou la durée de vie moyenne
d'une ampoule électrique
12.Prévoir le montant total des réclamations
d'assurance qu'une entreprise doit payer l'année
prochaine
Pourquoi la modélisation est-elle nécessaire? Parce que ...
la
modélisation peut être très utile
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Why is modeling required? Because … modeling may be quite
useful
Pourquoi la modélisation est-elle nécessaire? Parce que ...
la
modélisation peut être très utile
1. To find the height of a tower, say the Kutub Minar of Delhi
or the Leaning Tower at Pisa without actually climbing it 2. To
measure the width of a river without actually crossing it 3. To
gauge the mass of the Earth, not using any balance 4. To fi nd the
temperature at the surface or at the centre of the sun
5. To estimate the yield of wheat in India from the standing
crop
6. To quantify the amount of blood inside a living human
body
7. To predict the population of China for the year 2050
8. To determine the time required by a satellite to complete one
orbit around the
earth, say at the height of about 10,000 km above the ground
9. To assess the impact of 30% reduction in income tax over the
national economy
10. To ascertain the optimally efficient gun whose performance
depends on 10
parameters, each of which can take 10 different values, without
actually manufacturing
1010 guns
11. To determine the mean time between failures (MTBF) or
average life span of an
electric bulb
12. To forecast the total amount of insurance claims a company
has to pay next year
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Dans de nombreux domaines, il est nécessaire de faire appel
à
une modélisation du système physique étudié. Cette
modélisation
est réalisable théoriquement en faisant exclusivement appel à
des
modèles de type boîte blanche basés sur les équations non-
linéaires de la physique gérant le fonctionnement du
procédé.
Par définition, cette procédure demande à l'utilisateur d'avoir
des
connaissances très avancées dans de nombreux domaines et
conduit généralement à des modèles complexes et peu
parcimonieux (insuffisant = maigre).
L'identification ou la modélisation expérimentale est une
solution intéressante pour modéliser les systèmes physiques
car
elle permet de combiner des informations a priori liées aux
connaissances de l'utilisateur à des résultats expérimentaux
directement obtenu sur le système à identifier.
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Le modèle qui en découle est souvent qualifié de boîte
grise. Qu'il soit linéaire, non linéaire, à paramètres variants,
c'est
à l'estimation d'un modèle de type comportemental que
s'intéresse
les membres de ce groupe. Ce groupe (boites grises) aborde
les
aspects méthodologiques d’estimation de paramètres physiques,
la
reconstruction de grandeurs d’entrée à partir de modèles de
comportement et l'identification pour la commande. Ces études
se
font pour les systèmes monovariables ou multivariables dans
un
cadre boucle ouverte ou boucle fermée. Les outils développés
sont
appliqués sur différents types de processus (électriques,
thermiques, robotiques, …) et servent d'appui aux travaux
d'autres
opérations de l’équipe.
RNA, LF, ANFIS : Le modèle qui en découle est souvent qualifié
de boîte noire
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Boîte blanche basés sur les équations
Boîte grise ( graph le liaison ou BG)
Boîte Noire ( TIA: RNA, LF, ANFIS…..)
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Les principaux avantages des modèles analytiques (et des modèles
informatiques) par rapport aux modèles physiques sont les
suivants:
1. Les ordinateurs modernes à haute capacité et à grande
vitesse
peuvent gérer des Modèles à grande vitesse et à faible coût.
2. Les modèles analytiques / informatiques peuvent être modifiés
rapidement, facilement et rapidement = Vitesse à faible coût.
3. Il ya une grande flexibilité de faire des changements
structurels et paramétriques.
4. Directement applicable dans les simulations par
ordinateur.
5. Les modèles analytiques peuvent être facilement intégrés avec
des modèles informatiques / numériques / expérimentaux, pour
générer des modèles «hybrides».
6. La modélisation analytique peut être commodément effectuée
bien avant la construction d'un prototype (en fait, cette étape
peut jouer un rôle déterminant dans la décision de faire du
prototype).
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La modélisation mathématique est l'art (ou la science) de
représenter (ou de transformer) une réalité physique en des
modèles abstraits accessibles a l'analyse et au calcul.
La simulation numérique est le processus qui permet de
calculer sur ordinateur les solutions de ces modèles et donc
de
simuler la réalité physique.
La modélisation mathématique et la simulation numérique ont
pris une importance considérable ces dernières décennies
dans tous les domaines de la science et des applications
industrielles (ou sciences de l'ingénieur).
Modélisation mathématique et simulation numérique
BREF:
Lors du développement du modèle(i.e. Modélisation il faut
optimiser deux choses: Simplicité du modèle + Précision du
modèle ou fidélité du modèle
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Importance Modélisation et de Simulation
numérique/graphique • Pré-construction • Pré-prototypage •
Développement des lois de commande • Optimisation La simulation : •
Restituer une image du comportement du système
réel dans différents scénarios de fonctionnement les plus
sévères
• Comprendre les notions théoriques • Comblé le manque
d’équipement des bans d’essais
et manipulations • Valider le modèle
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Model Types
Experimental model Analytical model
Une façon d'analyser un système
consiste à imposer au système des
excitations (entrées), à mesurer les
réactions (sorties) du système et à
intégrer les données d'E / S ainsi
obtenues à un modèle analytique
approprié. Ceci est connu sous le
nom de «modélisation
expérimentale» ou d'identification
de modèle ou d'identification de
système
Une autre façon d'analyser un système consiste à utiliser un
modèle analytique du système, qui provient des équations physiques
(constitutives) des composants ou des processus constitutifs du
système.
Les modèles analytiques comprennent des modèles d'état, des
graphiques linéaires, des graphiques de liaison, des modèles de
fonction de transfert (dans le domaine de Laplace) et des modèles
de domaine fréquentiel
En général, les modèles peuvent être regroupés dans les
catégories suivantes:
1. Modèles physiques (prototypes)
2. Modèles analytiques
3. Modèles informatiques (numériques) (tableaux de données,
tableaux, courbes, programmes,
fichiers, etc.)
4. Modèles expérimentaux (utiliser les données expérimentales
d'E / S pour l’«identification» du
modèle)
Il est irréaliste d’essayer de développer un «modèle universel»
qui incorporera
tous les aspects imaginables du système === hypothèses
simplificatrices
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1. Time-domain model: Differential equations with time t as the
independent variable.
2.. Transfer function model: Laplace transform of the output
variable divided by the Laplace
transform of the input variable (algebraic equation with the
Laplace variable s as the independent
variable).
3.. Frequency domain model: Frequency transfer function (or
frequency response function) which is
a special case of the Laplace transfer function, with s = jw.
The independent variable is frequency
w.
4. Nonlinear model: Nonlinear differential equations (principle
of superposition does not hold).
5. Linear model: Linear differential equations (principle of
superposition holds).
6. Distributed (or continuous)-parameter model: Partial
differential equations (Dependent variables
are functions of time and space).
7. Lumped-parameter model: Ordinary differential equations
(dependent variables are functions of
time, not space).
8. Time-varying (or nonstationary or nonautonomous) model:
Differential equations with time-
varying coefficients (model parameters vary with time).
9. Time-invariant (or stationary or autonomous) model:
Differential equations with constant
coefficients (model parameters are constant).
10. Random (stochastic) model: Stochastic differential equations
(variables and/or parameters are
governed by probability distributions).
11. Deterministic model: Nonstochastic differential
equations.
12.. Continuous-time model: Differential equations (time
variable is continuously defined).
13.. Discrete-time model: Difference equations (time variable is
defined as discrete values at a
sequence of time points).
14. Discrete transfer function model: z-transform of the
discrete-time output divided by the z-
transform of the discrete-time input.
Il existe de nombreux types de modèles analytiques. Ils
comprennent les éléments suivants:
:
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Généralités sur l’identification
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Le mot identification désigne l'action consistant à identifier
(donner, attribuer
un nom ou un code en propre – numérique ou graphique- à la chose
ou la
personne ainsi reconnue) un objet ou un individu.
Identification peut également désigner :
•identification, en psychologie, fait de se reconnaître dans
une
caractéristique, ou une personne extérieure à soi
•Identification, en ressources humaines, technique utilisée dans
l'approche
directe afin d'identifier des candidats
•Identification, abus de notation, en mathématiques, consistant
à remplacer
une quantité mathématique par une autre qui n'est pas identique
mais à les
mêmes propriétés dans le but de simplifier le discours
•Identification, forme de simplification, possible dans
certaines équations et
pas dans d'autres et mène au concept d'injectivité
•Identification, en droit, contrôle notamment par le biais d'une
carte d'identité,
qui ne peut être exercé en France que par un policier, un
gendarme ou, dans
certains cas, un douanier
•Identification, en ésotérisme, sens de départ très proche de
celui de la
psychologie, comme de la philosophie, qu'elle dépasse pourtant
du fait des
notions spirituelles et initiatiques qu'elle implique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Identification_(psychanalyse)https://fr.wikipedia.org/wiki/Identification_(ressources_humaines)https://fr.wikipedia.org/wiki/Identification_(abus)https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiqueshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Injectivit%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_injectivehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Carte_d'identit%C3%A9https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Identification_(th%C3%A9osophie)&action=edit&redlink=1https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89sot%C3%A9risme
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•Identification de système, technique consistant à obtenir
un modèle mathématique d'un système à partir de mesures ;
•Identification, en informatique, moyen
de « connaître » l'identité d'une entité, souvent à l'aide
d'un identifiant tel qu'un nom d'utilisateur. À ne pas
confondre
avec le contrôle d'identité (ou authentification) qui permet
de
vérifier cette identité
•Identification, en biologie, des êtres vivants repose sur
la
reconnaissance de leur taxon dans une classification, sur la
base
de leurs caractères externes, selon une démarche basée sur
une clé de détermination
•Identification, en gestion de configuration, détermination
de
l'ensemble des éléments membres des configurations
https://fr.wikipedia.org/wiki/Identification_de_syst%C3%A8mehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le_math%C3%A9matiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Identifianthttps://fr.wikipedia.org/wiki/Nom_d'utilisateurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Authentificationhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Biologiehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Taxonhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Classificationhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A9_de_d%C3%A9terminationhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Gestion_de_configuration
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Procédure d’identification
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Schémas fonctionnelsdes systèmes
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2
PlanSchémas fonctionnels
Définitions
Représentations
Manipulation de schémas fonctionnels
Produit
Sommation
Contre réaction
Réductions des schémas fonctionnels
Règles de réductions
Procédure générale
Exemples
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3
Le schéma fonctionnel permet de représenter un système en tenant
compte des différentes variableset éléments qui le caractérisent
:
– les variables sont représentées par des flèches
– les éléments sont représentés par des rectangles (bloc
fonctionnel) ; chaque bloc fonctionnel est une fonction de
transfert (FT) entre une variable d ’entrée et une variable de
sortie
Schéma fonctionnel
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4
Exemple : variation de vitesse
couple résistant
commande du hacheur
mesure de la vitessehacheur
moteur+ charge
génératrice tachymétrique
tension induit
vitesse arbre
Schéma fonctionnel plus détaillé :
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5variables intermédiaires
perturbation
sortieentrée
– Objectif : détailler le fonctionnement du système• plusieurs
blocs fonctionnels• 1 bloc : un élément physique, une relation
fonctionnelle• apparition de variables intermédiaires
(internes)• le nombre de variables externes est inchangé
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6
Schéma fonctionnel
Les branches (flèches orientées) entre les blocs portent les
variables intermédiaires globales du système.
Représentation graphique un système linéaire
Chaque fonction est schématisée par un bloc. L’allure globale du
schéma renseigne aussi sur sa structure (boucle ouverte, boucle
fermée).
Les équations différentielles du comportement sont traduites par
la fonction de transfert de chaque constituant.
-
7
Schéma fonctionnelUn schéma fonctionnel est constitué par un
assemblage de quatre types d’éléments:
Blocs (rectangles)ComparateursPoints de dérivationsFlèches
(circulations orientées des signaux)
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8
Formalisme
Bloc: Le bloc possède une entrée E et une sortie S. La
fonction
de transfert H du bloc est déterminée d'après les équations
de
fonctionnement.
H
SE
S(p) = E(p) × H(p)
-
9
Formalisme
Jonction: La variable de la branche 1 est identique à celle de
la branche 2, un prélèvement d’information ne modifie pas la
variable.
Branche 1
Branche 2
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10
FormalismeSommateur: Les sommateurs permettent d’additionner ou
de soustraire des variables. Ils possèdent plusieurs entrées mais
une seule sortie.
1 2 3S(p) = E (p) + E (p) - E (p)
S++
-E 2
E 1
E 3
-
11
Formalisme
Comparateur: Cas particulier de sommateur qui permet de
faire la différence de deux entrées (de comparer) ici :
SE 1
E 2
+-
1 2S(p) = E (p) - E (p)
-
12
Manipulation des schémasProduit
Il est possible de remplacer des blocs en ligne par le bloc
produit des fonctions de chaque blocs.
A BE S1 S
A ×××× BE S
[ ]S = A×B ×ES = B × S1S1 = A × E
-
13
Manipulation des schémasSommation
S1 = A × ES2 = B × ES = S1 +S2
[ ]S = A + B ×E
A
B
++
E
S1
S2
SA + BE
S
-
14
Manipulation des schémasContre réaction
( )( )
S = A × S = A× E - R
S = A× E - B×S
A S = E1+AB
×
A
1+ABE SA
B
+ -E Sε
R
-
15
Manipulation des schémasContre réaction avec retour unitaire
( )S = A × S = A× E - S
A S = E1 + A
×
A
1 + AE SA+ -
E Sε
-
16
Manipulation des schémasDéplacement d’une sommation
( )( ) ( )
( )
sS = G × S = G× S1 - S2
S =
S = G K E
G× E×K - K
-
M
M
×
×
E S1 εsK + - G
KS2 M
S
K+ - GE
M
Sε εs( )
( )
sS = G × S = G× K
S = G K E - M
ε×
×
-
17
Manipulation des schémasDéplacement d’une sommation
( )( )
S = G × S = G× S1 - M
S = G×
S = G×
E×K -M
E×K - G M×
E S1 εK + - G
M
S
1S = G×K×(E - M)
S = G×K×E -K G×M
K+ - GE
M
Sεεεε
1/K
-
18
Manipulation des schémasDéplacement d’une jonction
[ ][ ]
S1 = G × K ×E
S2 = F × K ×E
E UK G S1
F S2
E K G S1
F S2K
-
19
Manipulation des schémasDéplacement d’une jonction
[ ]S1 = G × K ×ES2 = F × E
E UK G S1
F S2
E K G S1
F S21/K
-
20
Règles de TransformationLe schéma fonctionnel d’un système de
commande est souvent compliqué. Il peut comprendre plusieurs
boucles de retour ou d’action, et plusieurs signaux d’entrée.
G
H
+
±±±±
R E C
B≡
G·H1/H+
±±±±
R C
Au moyen de la réduction systématique des schémas fonctionnels,
tout système à retour de boucles multiples peut se ramener à une
forme canonique.
-
21
Règles de transformation Règle 1: Éléments en série
P1 P2x y
P1·P2x y
Règle 2: Éléments en parallèle
P1 + P2x yP1
P2
x y+
±
-
22
Règles de transformation Règle 3: Retrait d’un élément d’une
chaîne d’action
Règle 4: Élimination d’une boucle de retour
P1
P2
x y+
±P2x y+
±
P1
P2
P1
P2
x y+
±±±± P1
1 ± P1·P2x y
-
23
Règles de transformation Règle 5: Retrait d’un élément d’une
boucle de retour
Règle 6a: Redisposition des comparateurs
P1
P2
x y+
±±±± P1· P2x y+
±
1
P2
z+
±
+
±
w
x
y
z+
±
+
±
w
y
x
-
24
Règles de transformation Règle 6b: Redisposition des
comparateurs
Règle 7: Déplacement d’un comparateur en amont d’un élément
z+
±
+
±
w
x
y
z+
±
±
w
x
y
+
Pxz+
±±±±
y
Pxz+
±±±±
y1
P
-
25
Règles de transformation Règle 8: Déplacement d’un comparateur
en aval d’un élément
Règle 9: Déplacement d’un point de dérivation en amont d’un
élément
z+
±
x
y
Pz+
±
xP
yP
Pxy
y
Pxy
yP
-
26
Règles de transformation Règle 10: Déplacement d’un point de
dérivation en aval d’un élément
Règle 11: Déplacement d’un point de dérivation en amont d’un
comparateur
Pxy
x
yPx
x 1
P
z+
±
x
y
z
+
±
z
y
+
±
x z
-
27
Règles de transformation Règle 12: Déplacement d’un point de
dérivation en aval d’un élément
z+
±
x
y
x
+
±±±±y
+
±
x z
x
-
28
Méthode générale de réduction
Répéter les étapes de 1 à 5 pour chaque signal d’entrée, tant
que nécessaire.
ÉÉtape 6tape 6
Répéter les étapes 1 à jusqu’à l’obtention de la forme canonique
pour un signal d’entrée particulier
ÉÉtape 5tape 5
Faire passer les comparateurs à gauche, et les points de
dérivation à droite de la boucle principale (règles 7, 10 et
12)
ÉÉtape 4tape 4
Éliminer toutes les boucles de retour non principales (règle
4)ÉÉtape 3tape 3
Associer tous les éléments en parallèle (règle)ÉÉtape 2tape
2
Associer tous les éléments en série (règle 1)ÉÉtape 1tape 1
-
29
Exemple 1Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous forme
canonique
+ +
+-G1 G4
H1
G2
G3
H2
RC
+
+
Étape 1: éléments en série Étape 2: éléments en parallèle
-
30
Exemple 1 (suite)Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous
forme canonique
+ +
+-G1·G4
H1
G3 + G2
H2
RC
Étape 3: éléments en boucle
-
31
Exemple 1 (suite)Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous
forme canonique
+
-G3 + G2
H2
RCG1·G4
1 – G1·G4·H1
Étape 1: éléments en série
H2
G1·G41 – G1·G4·H1
+
-
R C
-
32
Exemple 2
G(p)R(p)
+-
E(p) Y(p)
Exprimer la sortie du système représenté par le schéma
fonctionnel suivant.
E(p) = R(p) - Y(p)Y(p) = G(p) × E(p)
( )Y(p) = G(p) × R(p)-Y(p)G(p) Y(p) = R(p)×
1 + G(p)
-
Graphe de transfert (graphe de fluence)OBJECTIFS
DE L’ENSEIGNEMENT :
Savoir manipuler les techniques de représentation des
systèmes
CONTENU THEORIQUE :
• Dans ce chapitre on s’intéresse à l’explication de graphe de
fluence comme outil de
représentation d’un système continu linéaire invariant
(SLCI),
• On définie cette graphe de transfert, les techniques de
réalisations tout en s’intéressant
a la règle de Mason et les techniques d’applications.1
-
1. Définitions
• Un graphe de transfert ou de fluence qui permet de simplifier
l’écriture et la mise en
équation des processus lorsque le nombre de variables
augmente.
• Un graphe de transfert est constitué d’un ensemble de noeuds
reliés entre eux par des
branches orientées.
- Les noeuds représentent les variables du système.
- Chaque branche est affectée d’un coefficient correspondant à
la transmittance qui relie
entre deux noeuds (variables).
Graphe De Fluence (ou De Transfert ou de Liaison)
2
-
Soit un système régit par le système d’équations algébriques
suivantes :
Le graphe de la figure ci-contre est appelé: graphe de
fluence.
Un nœud auquel arrive plusieurs branches est appelé : puit (nœud
secondaire).
Un nœud à partir duquel peuvent partir plusieurs branches est
appelé : nœud source.
- X1 X2 X3 nœuds sources - X5 nœud puit (secondaire)
3
-
Chaîne directe : est une liaison entre 2 variables réalisée en
suivant les sens des flèches et en passant une seule fois par
chaque nœud.
La transmittance d’une chaîne directe est le produit des
transmittances rencontrées en les parcourant.
x 5a1 a2 a3 a4 x1Tcd x 5 / x1 = a1 a2 a3 a4
Boucle est un parcourt suivant les flèches qui partant d’un nœud
revient à ce même nœud sans passer 2 fois par le même nœud.
La transmittance d’une boucle est le produit des transmittances
rencontrées lors de son parcourt.
Tb a1 a2 a34
-
2- Réalisation des graphes &Transformations élémentaires
5
-
3. Règle de Mason : La transmittance d’un graphe de transfert
d’entrée xe et de sortie xs est déterminée comme suit :
Δ : déterminant du graphe donné
Bi : transmittance de la boucle n°i (Bi) Bi Bj : somme des
produits des transmittances des boucles disjointes 2 à 2 Bi Bj Bk :
somme des produits des transmittances des boucles disjointes 3 à 3N
: nombre des parcours directs de l’entrée xe à la sortie xs avec un
nœud ne doitêtre traversé qu’une seule fois.Pi : La transmittance
du parcourt direct n°i, obtenu en faisant le produit
destransmittances des boucles du parcourt i.Δi : déterminant du
graphe obtenu en supprimant tous les nœuds traversés par leparcours
i.
Remarque : A chaque parcours i correspond un Δi . 6
-
Exemple d’application:
Nombre de boucle =1B1 T (p) H' (p)Δ1- B1 T (p ) H' (p )
Nombre de parcours =1P1 H (p) T (p) Δ 1 =1 F (p ) = T(p) H(p) /
[ (1+T(p ) H '(p )]
7
-
4- Exercice d’application:
Soit le schéma électrique suivant :1/ Mettre le système en
équations.2/ Représenter le système par un graphe de transfert.3/
Déterminer la transmittance H (p) V(2) / V (1)
8
-
9
-
Example 7.1 : - Develop a block diagram for a d.c. generator,
used as a
rotating amplifier, supplying current to a resistive Joad.
Solution: The circuit diagram of the system is shown in Fig.
7.5. The input
signal is V, (s) and the output, V0 (s). ln addition, we have
four intermediate
variablesfield current 11 (s), armature current la(s), air gap
flux cI>(s) and
induced voltage E (s). Input V; (s) produces the field current
11 (s), the two
being related by the equation,
LINEAR SYSTEMS ANALYSIS
A.N. TRIPATHI
-
Feedback Systems 189
---(jIf Fig. 7.5 d.c. Generator
( L, .I' + R,) Irs = Vi (s) . (i)
The field current produces the field flux,
(i i)
The air gap tlux is the difference between the field flux and
the armature reaction
flux ", i.e.,
(.1') = r (s) - " (s) . (iii)
The air gap flux induces a voltages E(s) in the armature, which
is linearly propor-
tional to it, i.e.,
E(s) = K" (.1'). (iv)
The induced voltage E(s) causes the armature current I"
according to the relation,
(s L" + R" + Rd I" (.I') = E (s) (v)
The armature reaction flux is directly proportional to the
armature current, i.e.,
" (.\') = K3 la (s) And finally the output,
(vi)
(vii)
The cause-effect relationships given mathematically by eqns. (i)
to (vii) can be
displayed more effectively by the block diagram shown in Fig.
7.6. Figure 7.6
places in evidence the inherent feedhack action of the armature
reaction flux. In
fact, whenever a subsequent variable affects preceding variables
in the cause- ef-
fect chain, we have a feedback action.
4>a (s)
Fig.7.6 Block Di:lgram of d.c. Generator
-
190 LinearSystems Analysis
la(s)
(a)
Vt(S) � �(s) K2 la(s) Rt - ► Lt s+ Rt Las-t(Ra.+Rt_+ K2K3)
(b)
Vj (s) K1 K2RL
(Lfs-t·RL) ( 1 as +Ra+R\_-+K2k3 -----►►Vo(S)
(c)
Fig. 7, 7 Bloc.k Oiagram Reduction of Fig. 7 .6
7.2 Block Diagram Reduction
In situations like that of Example 7.1, the overall transfer
function of the system
may be obtained either by combining the system equations or by
redudng the
block diagram to a single block. The expression in this single
block will be the
system transfer function. In this section we study the
techniques for reducing corn
plex block diagrams into a single block.
Three types of reductions for combining blocks connected in
series, parallel, or foed
back configurations have already been described in the previous
section. The steps in
volved in simplifying a b\ock diagram, when these three
reduction methods are sufticient,
are shown by simplifying the block diagram of Fig. 7.6 in Figs.
7.7 (a), (b) and (c).
When the loops are intertwined in the case of more complex block
diagrams,
we need additional techniques for block diagram simplification.
The techniques
required for such cases are illustrated by the next example.
Example 7.2 : - Simplify the block diagram shown in Fig.
7.8.
1-----.Y(s)
,.._ ____ H, _, ___ ___.
1'ïg. 7 .8 A Complex Block Diagram
-
Feedback Systems 191
lt is not possible to use any one of the three previous
combinations because of
the intertwining loops.
Movement of pick-off points: If the 'pick-otr points of the
teedback loops could
be altered by moving them forward (i.e., towards the input) or
backward, sorne
simplification could result. For exarnple, if the pick-off point
of H6 could be
moved back to location 2 from location 3, the H3 block and the
feedback around it
cou Id be combined into one block. However, this shift should
not alter the feed
back signal being received at the summingjunction A. To ensure
this, the transfer
fonction H,, should be altered to Ho IH3. The shifting of
pick-off point and the
subsequent reductions are shown in Figs. 7.9 (a), (b), and
(c).
( a)
(b)
Hz H3 1-H3
2
�--------; H 6 / H3---�
( C)
Fig. 7.9 Rcduction of Block Diagram of Fig. 7.8
1-------4-►v(s)
1----vcs>
-
192 Linear Systems Analysis
For further reduction, one more shift in the pick-off point is
needed. We cou ld
shift either pick-off point of HI> IH, backwards to location
I or shift pick-off point of H, forward to location 2. Let us
follow the second alternative. Once again, the process of shitiing
the pick-off point should not alter the signal being received
at
the summing junction B. To ensure this, the transfer function H,
should be multi-
pi ied by H4 • This shift and the resulting simplitlcations are
shown in Fig. 7.10.
xes) yes)
(a)
xes) yes)
(b)
Xes) + A yes)
2
(c)
xes) H1HzH3 HI, Y (s) l-H)+H,HfistHZHJ H~H.: -
(d)
"'ig. 7.10 Further Reduction ofI'ig. 7.8
-
Feedback Systems 193
Movement of summing junctions: The block diagram reduction of
Fig. 7.8 has been achieved in Figs. 7.9 and 7.10 by the movement of
pick-off points. In a similar fashion we could move summing
junctions also. For example, let us move
the summing junction into which HI feeds from B to A. The
process of shifting
should not alter the signal received at the input of H2 . To
ensure this the feedback
block H5 should be divided by HI. This shift and further
reductions are shown in Fig.7.11.
It should be noted that the locations of the two summing
junctions at the input end of fig. 7.11 (a) have been interchanged
in Fig. 7.11 (b). This is quite permis-sible as it does not alter
the signal being received at the input of the next block. The
overall transfer function arrived at in Fig. 7.11 (d) is the same
as the transfer func-tion in Fig. 7.10 (d).
X(s).A + -V(s)
B
(a)
H IH1
Xes) + + V(s)
X(S)~ 1-*' f-I --
-
194 Linear Systems Analysis
7 .3 Signal Flow Graph
A block diagram shows the interconnected parts through which the
input signal moves towards the output. The characteristics of the
different elements of the path are shown by the transfer fonction
blocks. The same information can be displayed, somewhat more
neatly, by a line diagram in which the summing junctions and
pick-off points are represented simply as nodes: the paths are
indicated by lines; the direction of flow of the signal by arrows;
and the path characteristic by its transfer fonction, written along
the line. Such a line diagram is called a signal flow graph. The
signal flow graphs for Example 7.1 (Fig. 7.6) and Example 7.2 (Fig.
7.8) are shown in Figs. 7.12 (a) and (b).
Fig. 7.12 Si�nal Flow Graph for (a) Fig. 7.6 and (b) Fig.
7.8
A system variable is associated with each node. The line joining
any Iwo nodes is called a directed branch. The transfer fonction
relating the variable at the output end of the line to the variable
at its input end is called the branch tra11smitta11ce.The signal
going to all the outward directed branches from a node is the sum
of the signais coming on incoming branches. For example, for the
node in Fig. 7 .12 (a), the incoming signal is K,11 - K3 la = . The
outgoing signal is this sum. Therefore, E = K2 (K 1 Ir - K3 lu). If
we write similar eq.uations for each node, we gct the original
system eqns. (i) to (vii) of Example 7.1, written out in a slightly
different form:
For node 11
For node
For node E
-
Feedback Systems 195
For node /" E
For node \01 : /" RL = Vo.
The signal tlow graph may, therefore, be thought of as a
graphical repre-
sentation for a set of algebraic equations. Instead of
simplifying the algebraic
equations step by step to obtain a single equation relating the
input to the output,
i.e., the transfer function of the system, we simplify the
signal flow graph to obtain
a single equivalent branch connecting the input node to the
outpul node.
The rules for si mplification of a signal tlow graph are similar
to those for block
diagram manipulations. Four of these basic rules, which follow
straightaway from the basic definitions, are summarised in Table
7.1 for quick reference.
Table 7.1 ~ules for Simplification ofSignall
-
196 Linear Systems Analysis
The following example illustrates the use of these rulcs for
simplifying signal
tlow graphs.
Example 7.3: - Simplify the signal tlow graph of Fig. 7.12 (b)
to obtain the
transfer function between X and Y.
Solution: The signal tlow graph is reproduced in Fig. 7.13 (a).
The subsequent
stcp-by-stcp reduction of the graph is shown in Fig. 7.13 (b) to
(g).
-Hs
X,X,c��5 -�--�ov�H3 H4 1
-H5(a) Signal flow graph
Xo .,.1
-H4H5
Xo �•�•�• oY X� M1
H1H6 (b) Removal of nodes XI and X5
vo
(c) Removal ofnode X2
( d) Addition of parallel branches
(e) Removal of node X4
-
Feedback Systems 197
~-H1HiH&-H2H)H~HS
XO~~~~--~--~~-----oY H1HZ X3 H3H4
(I) Addition of parallel loops
X O--------t .. ------------Oy
H, H2 H3 H4
(g) Final graph
Fig. 7.13 Reduction of Signal Flow Graph
The transfer function derived from the signal flow graph
reduction is the same as that obtained by the block diagram
reduction in Example 7.2.
The sequence of steps for reduction of a signal flow graph to a
single branch. as illustrated above, is not a unique one. It is
usually not possible to ascertain beforehand which sequence will
involve minimum computation. A major ad-vantage of the signal flow
grapb technique is the availability of a formal procedure for
reduction of a flow graph from mere inspection. This procedure is
called Mason'sformula. Certain terms need to be defined before this
formula can be used. These terms are as follows.
Source node: The node at the input end which has only outward
branches, e.g., node X in Fig. 7.13 (a).
Sink node: The node at the output end which has only inward
branches, e.g., node Y in Fig. 7.13 (a).
Forward path (or simple path): A sequence of outward directed
branches from source node to sink node such that no node is
encountered more than once. Figure 7.13 (a) has only one forward
path (X, XI> X2, X3, X4, Ys, Y). Other graphs may have more than
one forward path.
Forward path transmittance: The product of all the individual
branch transmit-tances in a forward path, e.g., in Fig. 7. 13(a)
the forward path transmittance is H, H2 H, H4.
Loop: It is a path starting at a node and terminating at the
same node. Figure 7.13 (a) has three loops: (i) {X" X2, X3, Xd;
(ii) {X3, X4, X3,}; (iii) {X2, X3, X4, X5, X2 }.
-
198 Linear Systems Analysis
Loop transmittance: The product of branch transmittances in a
loop. The three
loop transmittances of Fig. 7.13 (a) are: (i)- H i Hz H6 ; (ii)
H3 ; (iii) - Hz H3 H4 H5 .
Non-touching or disjoint loops : Loops which do not have any
common nodes.
In Fig. 7.13 (a) none of the three loops is disjoint.
Determinant of a graph, A= 1 - (sum of ail loop transmittances)
+ (sum of the
products of ail possible pairs of non-touching loop
transmittances) - (sum of the
products of ail possible triplens of non-touching loop
transmittances) + .....
C()factor with respect to a particular forward path k, Ak = 1 -
(sum of ail loop
transmittances of the loops that do not touch the k th forward
path) + (sum of the
products of ail possible pairs of non-touching loop
transmittances of loops which
do not touch the kth forward path) - (sum of the products all
possible triplens of
non-touching loop transmittances of loops which do not touch the
kth forward
path) + .... Thus, 11, is the cofactor of the element
corresponding to the kth forward
path in the graph determinant 11, with the transmittance of ail
the loops touching
the kth path removed.
Mason' s formula gives the net transmittance or the graph
transmittance frorn a
source node to a sink node. In our terminology, this graph
transmittancc is the
transfer fonction relating the output to the input. The
formulais,
where
H = graph transmittance or the transfer fonction;
A = the determinant of the graph;
Gk = transmittance of the kth forward path; and
A, = cofactor of the kth forward path, as defined avove.
(7.5)
The procedure for using this formulais illustrated by applying
it to Example 7.3.
By an inspection of Fig. 7. 13 (a), we note that there is only
one forward path with a
transmittance H i H2 H3 H4 . There are three loops with
transmittances (i) - Hi H2 H,,,
(ii) H3 and (iii) - H2 H3 H4 H5 • Ali the loops touch each
other, so there are no non
touching loops. Further, all the loops touch the forward path.
Hence,
A = 1 - H3 + Hi H2 H6 + H2 H3 H4 Ho
A, = 1.
Therefore, H Hi H2H3H4
1 - H3 + H1 H2 Ho+ H2 H3 H4 Ho
-
Feedback Systems 199
Thus, Mason's formula permits reduction of the graph in almost a
single step,
without the need for a step-by-step graphical reduction
procedure. This is a great
help, especially in the case of more complex graphs.
Example 7.4: - Find the overall transfer fonction of the·system
whose signal
tlow graph is shown in Fig. 7 .14.
Solution: There are three forward paths:
G, = H, H1 H3 H4 Hs Hr,; G2 == Hi H7 H4 Hs H6 and G3 = H1 H2 HR
Hr..
There are three loops:
L, = -H4 Hw ; L2 = - HR H6 H9 and L3 = - H3 H4 H5 H6 H9 .
Out of these, L 1 and L2 do not have any node in common and
hence are non-touch
ing loops. Therefore, the determinant of the graph is,
ô = 1 + H4 H,o + Ho HR H9 + H3 H4 Hs Ho H9 + H4 Hw Hx H6 H9.
For path G i, all the loops touch it. Therefore its cofactor ô 1
= 1.
Fig. 7.14 A Signal Flow Graph
Similarly, ô2 = 1. However, for the third path 03, loop L 1 is
non-touching. Hence
ôi = 1 +H4H10.
The overall transfer function, according to eqn. (7.5) is,
H, H2 H3 H4 Hs Hr, + H, H1H4 Hs Ho+ H, H1 Hx Hr, + H, H2 Hx Hr.
H4 Hm
1 + H4 Hw + Hr, Hx H9+ H3 H4 Hr, H9+ H4 H,o Hx Ho H9
It bas been mentione
-
200 linear Systems Analysis
Example 7.5 : - Simplify the tlow diagram of Fig. 7.15 to obtain
the graph transmittance. Verify it by using Crammer's rule.
Solution: There are two forward paths:
H4
x� 2 .. QY � H3
-H5
Fig. 7.15
Therc is only one loop; Li = - H2 H3• Therefore, 6 = 1 + H2 Hs
and 6, = � 2 = l . Therefore,
Hi H2 H3 + H, H4 1 +H2 H5
Now, let us write the algebraic equations for the given
graph:
Rewriting these equations in the matrix form we get,
(): [
Xi l [ Xi l + �
� = X �4 .
The cleterminant for Crammer's rule is,
which is the same as the detenninant of the signal flow graph.
Cofactor for the output Y.
anJ
Hs Hi � r = - H2 1 H4 = H3 H4 + Hi H2 H5
0 -H3 0
which is the same result as that obtained by the signal flow
graph.
-
10
-
1Modélisation des systèmes dynamique par l’approche ESPACE
D’ETAT ou MODÈLE D’ÉTAT
• C’est quoi espace d’état & modèle d’état• Pourquoi ce type
de modèle (atouts et avantages)• Pour un système donné , ce modèle
ést-il unique !!• Comment trouver un modèle d’état” ou
“representation d’etat”, pour un
système lineaire stationnaire invariant (SLSI) : cas des
systèmesélectriques ( + hypotheses simplificatrices)
• Trouvez les états [les x(t)] et les sorties [les y(t)]•
Comment faire la conversion entre une fonction transfer et un
modèle
d’état• Comment étudier la commendabilité et l’observabilité• Et
si le système n’est pas observable : les obsevateurs (estimateurs
d’état)
Objectifs du chapitre
-
Les systèmes dynamiques linéaires peuvent être étudiés dans le
domaine temporel
par un certain nombre de techniques classiques. Les méthodes les
plus couramment
utilisées reposent sur les représentation par équations
différentielles et par réponse
impulsionnelle.
Les difficultés rencontrées dans l’emploi de ces méthodes
temporelles, notamment
lors de l’étude de systèmes relativement complexes, ont été à
l’origine du
développement des méthodes de transformation (transformée de
Laplace et Fourier)
conduisant à une représentation par fonction de transfert.
L’utilité de cette
transformation a été démontrée pour l’étude de la stabilité et
la réponse
fréquentielle.
2
-
L’un des inconvénients majeurs de cette approche est de supposer
les conditions
initiales nulles. Ces conditions initiales jouent cependant un
rôle important dans
l’étude des systèmes dans l’étude des systèmes dans le domaine
temporel où la
solution dépend beaucoup du passé du système.
Un autre inconvénient de cette approche est qu’elle s’adapte mal
au cas multi-
variables (plusieurs entrées, plusieurs sorties : E+S≥ 3 ).
On peut encore citer d’autres inconvénients :• La variable de
Laplace « p » interdit l’utilisation de méthode numériques.• Les
systèmes non-linéaires sont difficilement décrits par des fonctions
de
transfert.• Compensation d’un pôle instable par un zéro.
3
-
La représentation dans l’espace d’état permet de pallier à ces
difficultés
et d’unifier le cadre de l’étude des systèmes dynamiques
continus ou
discretsLe concept d’état est utilisé chaque fois que des
informations sur desvariables internes sont nécessaires pour
prendre une décision concernantun système
Par la suite on suppose les systèmes linéaires (vérifient le
théorème de
superposition) et stationnaires (coefficients constants). Cette
hypothèse forte et
difficile suppose que l’on a effectué la modélisation avec soin,
en précisant les
domaines de fonctionnement dans lesquels cette hypothèse est
acceptable. 4
4
-
5
Cette représentation où le concept d’état est utilisé chaque
fois que des informations sur des variables internes sont
nécessaires pour prendre une décision concernant un système. On
peut donc donner certains avantages de la représentation d’état :•
Unicité de la représentation ; une classe très importante de
processus
physiques peut être représentée par un modèle mathématique du
type
• La représentation d’état tient compte de l’état initial (la
contrainte detravailler avec des systèmes au repos est ici
inutile).
• La représentation d’état est plus facilement adaptable au cas
multi-variable et . donne une description des variables internes
(d’où lenom aussi de représentation interne).
• La représentation d’état permet d’étudier la commendabilité
etl’observabilité
.
-
6
-
7
une représentation d'état permet de modéliser un système
dynamique
sous forme matricielle en utilisant des variables d'état.
Cette représentation, qui peut être linéaire ou non, continue ou
discrète,
permet de déterminer l'état du système à n'importe quel instant
futur si
l'on connaît l'état à l'instant initial et le comportement des
variables
exogènes qui influent sur le système.
To be continued (part 2 and 3)
A RetenirA Retenir
Présentation1HKE_MISE_chap1_INTRO_2020_bis([all_000])_MISE_1MISE_1002_hke_MISE_Présentation2003_hke_MISE_Graphe
de transfert (graphe de
fluence)004_hke_MISE_EEslide_20_chapitre_6006_HKE_MISE_identif_2017
students_HKE_identif_2018
Page viergePage viergePP_188
200_A.N._Tripathi_Linear_system_analysis.pdfPreface to the Second
Edition������������������������������������Preface to the First
Edition�����������������������������������Contents���������������1.
Systems and Their ModelsLearning Objectives1.1 Automobile Ignition
system�������������������������������������1.1.1 System Variables
and Parameters��������������������������������������������1.1.2
Mathematical Model�������������������������������1.1.3 Simplifying
Assumptions������������������������������������
1.2 Automobile Suspension
System���������������������������������������1.3 Systems and Their
Models�����������������������������������1.3.1 Across and Through
Variables�����������������������������������������1.3.2 Electrical
Analogies���������������������������������
1.4 An Electromechanical System: The
Loudspeaker�������������������������������������������������������1.4.1
Frequency Response�������������������������������1.4.2
Transducers������������������������
1.5 A Thermal System���������������������������1.6 A Liquid
Level System��������������������������������1.7 A Biomedical
System������������������������������1.8 Concluding
Comments������������������������������Glossary���������������Problems���������������
2. Classification Of SystemsLearning
Objectives��������������������������2.1 Linear and Non-linear
Systems����������������������������������������2.2 Dynamic and
Static Systems�������������������������������������2.3 Time
Invariant and Time-varying
Systems��������������������������������������������������2.4
Continuous Time and Discrete time
Systems����������������������������������������������������2.5
Lumped Parameter and Distributed Parameter
Systems�������������������������������������������������������������2.6
Deterministic and Stochastic Systems2.7 Concluding
Comments������������������������������Glossary���������������Problems
3. Analysis Of First And Second Order SystemsLearning
Objectives��������������������������3.1 Review of the Classical
Method of Solving Linear Differential
Equations����������������������������������������������������������������������������������3.2
Transient and Steady-State
Response����������������������������������������������3.3 Standard
Test Singals and Their
Properties�����������������������������������������������������3.4
First Order Systems������������������������������3.5 Second Order
Systems�������������������������������3.6 The General Equation for
Second Order
Systems��������������������������������������������������������Glossary���������������Problems
4. Fourier SeriesLearning
Objectives��������������������������4.1 Representation of a
Periodic Function by Fourier Series4.2 Symmetry
Conditions������������������������������4.3 Convergence of Fourier
Series����������������������������������������4.4 Exponential Form
of Fourier Series���������������������������������������������4.5
Power and r.m.s. Values����������������������������������4.6
Analysis with Fourier
Series���������������������������������������4.7 Graphical
Method���������������������������4.8 Frequency
Spectrum�����������������������������4.9 Concluding
Comments������������������������������Glossary���������������Problems
5. Fourier TransformLearning
Objectives��������������������������5.1 From Fourier Series to
Fourier
Transform���������������������������������������������������5.2
Fourier Transforms of Some Common
Signals����������������������������������������������������5.3 The
Impulse Function�������������������������������5.4
Convolution����������������������5.5 Analysis with Fourier
Transforms�������������������������������������������5.6 The DFT
and the
FFT������������������������������Glossary���������������Problems
6. Laplace TransformLearning
Objectives��������������������������6.1 From Fourier Transform to
Laplace
Transform������������������������������������������������������6.2
Properites of Laplace
Transform������������������������������������������6.3 Laplace
Transforms of Common
Functions�������������������������������������������������6.4 The
Transfer Function��������������������������������6.5 Partial
Fraction Expansion6.6 Analysis with Laplace
Transforms�������������������������������������������Glossary���������������Problems
7. Feedback SystemsLearning
Objectives��������������������������7.1 Interconnection of
Systems�������������������������������������7.2 Block Diagram
Reduction����������������������������������7.3 Signal Flow
Graph����������������������������7.4 Feedback Control
Systems�����������������������������������7.5 Transient
Response�����������������������������7.6
Stability��������������������7.7 Accuracy�������������������7.8
Sensitivity����������������������Glossary���������������Problems
8. State VariablesLearning
Objectives��������������������������8.1 State
Variables��������������������������8.2 Standard Form of State
Variable
Equations����������������������������������������������������8.3
Phase Variables��������������������������8.4 State Variables for
Electrical
Networks��������������������������������������������������8.5
Transfer Function and State
Variables������������������������������������������������8.6
Solution of State
Equations��������������������������������������8.7 Determination of
F(t) Using Caley-Hamilton Theorem8.8 Determination of F(t) by
Diagonalising A8.9 Determination of F(t) Using Laplace
Transform8.10 Linear Transformation of State
Variables����������������������������������������������������8.11
Analysis with State
Variables�����������������������������������������8.12 Concluding
Comments�������������������������������Glossary���������������Problems
9. Discrete-time SystemsLearning
Objectives��������������������������9.1 Discrete-time
Signals��������������������������������9.2 Modelling of
Discrete-time
Systems���������������������������������������������9.3 Solution of
Difference Equation������������������������������������������9.4
Discrete-time Convolution������������������������������������9.5
The z-Transform��������������������������9.6 The z-Transfer
Function9.7 Analysis with
z-Transform������������������������������������9.8 State-Variable
Descritpion�������������������������������������9.9 Solutions of
State-variable
Equations������������������������������������������������Problems
Index������������